Black Scholes Merton Modeli

¨ um Bol ¨

1

Black Scholes Merton Modeli Black Scholes Merton Modeli bölümünde: • Black Scholes kısmi diferansiyel denklemine (denklem:1.1) ulaşıp türev fiyatlamasında önemini anlatacağız.

1 Θ +rS |{z} ∆ + σ 2 S 2 |{z} Γ = rf |{z} 2 Teta Delta Gama

(1.1)

• Olasılık tekniğini kullanarak Avrupa tipi alım opsiyonunu fiyatlayacağız: Hisse ve Fayda z }| { S N (d1 ) c= − | {z } ∆

Bono z }| { −rT Ke N (d2 ) | {z } P (in)

| {z } Borçlanma ve Maliyeti

• Opsiyonların genel olarak formüllerini verdikten sonra Excel VBA kullanarak kodlayacağız. Excel 2007 programında kodlama Bölüm ??, C# Dilinde kodlama ise Bölüm ??’de anlatılacak.

• Bölümün sonunda BSM modelinden daha farklı varsayımlara yer veren alternatif opsiyon fiyatlama modellerini tartışacağız.

2

Black Scholes Merton Modeli

1970li yılların başında Fischer Black, Myron Scholes ve Robert Merton hisse opsiyonlarının fiyatlamasında bugün Black-Scholes modeli olarak adlandırılan modeli geliştirerek finans mühenisliği alanında çığır açtılar.1 Black Scholes Merton formülü ve eşleniği sayabileceğimiz Binom Modeli, finans dünyasında en fazla kullanılan formüllerden ikisi olarak nitelenebilir.

1970li yıllarda BSM modelinin tanıtılmasının ardından Türev piyasalar ve buna bağlı olarak finansal mühendislik inanılmaz ilerlemeler kaydetti. 1997 yılında Myron Scholes ve Robert Merton Nobel Ekonomi ödülüne layık görüldü. Fischer Black, ne yazık ki 1995 yılında kanser yüzünden kaybedilmişti; yaşasaydı ödülü alanlardan biri de hiç süphesiz kendisi olacaktı. İlerleyen kısımlarda tartışacağımız Black Scholes Merton diferansiyal denklemini türetmek için kullanılacak varsayımlar: 1. Hisse fiyatı, Geometrik Brown Hareketi sürecine uygun olarak hareket eder.

2. Volatilite sabittir, opsiyonun vadesi boyunca değişmez.

3. Risksiz faiz r sabittir ve tüm vadeler için aynıdır.

4. Hisselerde açığa satış ve açığa satıştan elde edilen paranın kullanımı serbesttir.

5. İşlem maliyeti ve vergi yoktur. Tüm hisseler mükemmel şekilde bölünebilir.

6. Risksiz arbitraj imkanı söz konusu değildir.

7. Hisse alım satımı süreklidir.

1.1

BSM Diferansiyel Denklemi

Black Scholes Merton modelinden önce de opsiyonlar alınıp satılıyordu ve değişik modeller mevcuttu. Black Scholes Merton modelinin piyasaya getirdiği en büyük yenilik, opsiyon portföyünün bono ve hisseden oluşan bir portföyle taklit edilebileceği ve riskinin bu şekilde ortadan kaldırılabileceği yönündeki argüman oldu. Eğer bir türev portföyü, hisse ve bonodan oluşan 1

F. Black and M. Scholes “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Journal of Political Economy, 81 (Mayıs/Haziran 1973), 637-659; R. C. Merton, “Theory of Rational Option Pricing,” Bell Journal of Economics and Management Science, (1973, Bahar), 141-83

BSM Diferansiyel Denklemi

3

bir portföy ile taklit edilebilirse (replicating portfolio) o zaman iki portföyün riskinin eşit olması gerekir ve bu bize arbitraj fiyatlama yöntemini kullanabilmenin yolunu açar.

Hisse senedi fiyat süreci kısım ?? da ele aldığımız Geometrik Brown Hareketi sürecine uygun hareket eder: dS = µSdt + σSdW

(1.2)

f , değeri S e bağlı olan bir türev enstrümanın fiyatı olsun. f değeri, S ve t nin bir fonksiyonu olmalı. Bölüm ?? kısım ?? de işlediğimiz İtô lemmayı f e uygulayabiliriz. Uygulamadan önce Itô Lemma çarpım talosu ve kurallarını hatırlayalım: Tablo 1.1: Çarpım Tablosu İtô Lemma

1 dW dt

1

dW

dt

1 dW dt

dW dt 0

dt 0 0

2

• Kural 1: (dt)2 = 0, lim∆t→0 (∆t) ∆t = 0 • Kural 2: dW × dt = 0, E (dW dt) = dtE (dW ) = 0 ve V ar (dW dt) = (dt)3 = 0. Bir rassal değişken, varyansı oldukça küçük ise ortalamakare de beklentisine yanaşır. Bizim örneğimizde sıfır. √ • Kural 3: (dW )2 = dt E(dW )2 = E(φ t)2 = dt varyans, V ar[(dW )2 ] = E(dw)4 − [E(dW )2 ]2 = 2(dt)2 (dW )2 Rassal değişkenimiz ortalamakare de dt değerine yanaşır. f (S, t) türev fonksiyonunu Taylor genleşmesi yardımı ile ikinci dereceye kadar açalım: ∂f ∂f dS + dt ∂S ∂t 1 ∂2f ∂2f 1 ∂2f 2 + (dS) + dSdt + (dt)2 + · · · 2 ∂S 2 ∂S∂t 2 ∂t2

df [S(t), t] =

4

Black Scholes Merton Modeli

dS denklemini, açĹlÄąmÄąmÄąza yerleĹ&#x;tirip çarpÄąm tablosunu kullanarak sĂźreci ifade edelim:

df =

∂f 1 ∂2f ∂f dt + [Âľ S dt + ĎƒS dW ] + (dt)2 2 ∂t ∂S 2 ∂t | {z } 0

1 ∂2f ∂2f 2 + [Âľ S dt + Ďƒ S dW ] + dt [Âľ S dt + Ďƒ S dW ] 2 ∂S 2 ∂t∂S ∂f ∂f ∂f = dt + Âľ S dt + Ďƒ S dW ∂t ∂S ∂S i 1 ∂2f h 2 2 2 2 2 2 2 Âľ S (dt) + Ďƒ S (dW ) + 2Âľ S Ďƒdt ¡ dW + 2 ∂S 2 ∂2f ∂2f +Âľ (dt)2 + Ďƒ dt ¡ dW ∂t∂S ∂t∂S

df =

∂f 1 ∂2f ∂f + ÂľS + Ďƒ2 S 2 ∂t ∂S 2 ∂S 2

dt + Ďƒ S

∂f dW ∂S

(1.3)

Ä°lerleyen satÄąrlarda Black Scholes diferansiyel denklemini elde etmek için hedging yaklaĹ&#x;ÄąmÄąnÄą kullanacaÄ&#x;Äąz. Bu yaklaĹ&#x;ÄąmÄą, Binom Modeli’ni incelerken ele almÄąĹ&#x;tÄąk. PortfĂśy, uzun opsiyon ve −δS kadar hisse senedinden oluĹ&#x;makta idi. Uygun miktarda hisse ve opsiyon ile oluĹ&#x;turulan portfĂśy, riskten arÄąnmÄąĹ&#x; olarak kabul edilir. Riskten arÄąndÄąrÄąlmÄąĹ&#x; portfĂśy getirisinin ise risksiz faiz oranÄąna eĹ&#x;it olmasÄą gerekir. Uzun opsiyon, f ,ve −δS kadar kÄąsa hisseden oluĹ&#x;an portfĂśyĂź yazalÄąm: V = f − δS PortfĂśydeki deÄ&#x;iĹ&#x;imi tĂźrev alarak ifade edebiliriz: dV = df − δdS

(1.4)

dS ifadesini 1.2 numaralÄą denklemde, df ifadesini ise 1.3 numaralÄą denklemde elde etmiĹ&#x;tik. Ä°ki denklemi 1.4 numaralÄą denkleme yerleĹ&#x;tirelim: dV =

∂f 1 ∂2f ∂f + ÂľS + Ďƒ2 S 2 ∂t ∂S 2 ∂S 2

dt + Ďƒ S

∂f dW − δ (Âľ S dt + Ďƒ S dW ) ∂S

BSM Diferansiyel Denklemi

=

5

∂f ∂f 1 2 2 ∂2f + ÂľS + Ďƒ S − δ¾ S dt ∂t ∂S 2 ∂S 2

∂f + ĎƒS − Î´ĎƒS dW ∂S

(1.5)

PortfÜyß riskten arĹndĹrmak için dW terimini ortadan kaldĹrmalĹyĹz:

∂f ∂f ĎƒS − Î´ĎƒS = 0 ⇒ δ = (1.6) ∂S ∂S 1.6 numaralÄą denklemde elde ettiÄ&#x;imiz δ ifadesini 1.5 numaralÄą denkleme yerleĹ&#x;tirelim:

∂f 1 2 2 ∂2f ∂f ∂f + ÂľS + Ďƒ S − ÂľS dt dV = ∂t ∂S 2 ∂S 2 ∂S 1 ∂f ∂2f dt + Ďƒ 2 S 2 dt (1.7) = ∂t 2 ∂S 2 1.7 NumaralÄą denklem Wiener sĂźrecini içermez ve deterministiktir. Risk içermediÄ&#x;ine gĂśre risksiz faiz oranÄąnda bĂźyĂźmesi gerekir. dt anÄąnda portfĂśyĂźn getirisi:

∂f dV = r [f − δS] dt = r f − S dt (1.8) ∂S

1.7 NumaralÄą denklemde elde ettiÄ&#x;imiz ifade ile 1.8 numaralÄą denklemde bulduÄ&#x;umuz ifade birbirine eĹ&#x;it olmalÄą:

1 2 2 ∂2f ∂f ∂f dt + Ďƒ S dt = r f − S dt ∂t 2 ∂S 2 ∂S DĂźzenlemeleri yapÄąp sadeleĹ&#x;tirdikten sonra: ∂f ∂f 1 ∂2f + rS + Ďƒ2 S 2 = rf ∂t ∂S 2 ∂S 2

(1.9)

1.9 NumaralÄą denklem Black Scholes Merton diferansiyel denklemidir.

Black Scholes diferansiyel denklemine yukarÄąda anlattÄąÄ&#x;ÄąmÄązdan farklÄą yĂśntemler ile de ulaĹ&#x;Äąlabilir. Bir Ăśrnek hisse ve bonodan ulaĹ&#x;an replikasyon portfĂśyĂź ile dinamik bir alÄąm satÄąm stratejisi kullanmak olabilir. Replikasyon portfĂśyĂź konusunu Binom Modelini tartÄąĹ&#x;Äąrken ele almÄąĹ&#x;tÄąk. Opsiyon ďŹ yatÄą, uygun miktarda senet ve bono ile taklit edilebilir.

6

Black Scholes Merton Modeli

Replikasyon portföyü ile Black Scholes PDE denklemini elde edebilmek için M kadar bir tutar ile türev ürüne yatırım yaptığımız varsayalım. Alabileceğimiz türev ürün miktarı f türev ürünün değeri iken M f olur. Zaman ilerledikçe türev portföy değişimi: M df f

M 1 2 2 ∂2f ∂f ∂f M ∂f = σ S + µS + dW dt + σS f 2 ∂S 2 ∂S ∂t f ∂S

dM =

(1.10)

1.10 Numaralı denklemdeki portföy yatırım stratejisini değiştirelim. Portföyün S ∂f f ∂S tutarı ile hisse senedi, S ∂f 1− f ∂S tutarı ile ise bono yatırımı yapalım.

Risksiz faizin (r) sabit olduğunu kabul etmiştik, dinamiklerini yazalım: dBt = rdt Bt Zaman ilerledikçe portföy getirisi:

∂f S ∂f 1 − Sf ∂S M M f ∂S dM = dS + dB S B

S ∂f S ∂f S ∂f = M µdt + M σdW + 1 − M rdt f ∂S f ∂S f ∂S

S ∂f S ∂f M ∂f + 1− dW = µM M r dt + σS f ∂S f ∂S f ∂S

(1.11)

Denklem 1.10 ve denklem 1.11 portföylerinin Wiener süreçleri birbiri ile aynı, dolayısı ile riskleri de aynı olmalı. Riskler aynı olduğunda beklenen getirilerin farklı olmaması gerekir. Beklenen getiriler farklı değilse iki portföyün sürüklenme (drift) katsayılarını birbirine eşitleyebiliriz:

M 1 2 2 ∂2f ∂f ∂f S ∂f S ∂f σ S + µS + + 1− = µM Mr f 2 ∂S 2 ∂S ∂t f ∂S f ∂S

∂f ∂f ∂f ∂f 1 2 2 ∂2f σ S + µS + + rf − rS = µS 2 ∂S 2 ∂S ∂t ∂S ∂S

7

BSM Diferansiyel Denklemi Düzenlemeleri yapıp sadeleştirdikten sonra: ∂f ∂f 1 ∂2f + rS + σ 2 S 2 2 = rf ∂t ∂S 2 ∂S

(1.12)

Denklem 1.9 ifadesini elde edebilmek için koruma (hedging) yaklaşımını kullandık. Denklem 1.12’de ise replikasyon portföyü kullanarak kısmi diferansiyel denkleme ulaştık.

Denklem 1.9 ve denklem 1.12 Black Scholes Merton türev ürün değerleme denkleminin temelinde yer alan kısmi diferansiyel denklemidir (Black Scholes PDE). S’e bağlı olarak yaratılan türev ürünlerin değeri, denklemin çözümünde kullanılan sınır koşullarına bağlıdır. Avrupa tipi alım opsiyonunda t = T iken sınır koşulu: f = max(S − K, 0) Satım opsiyonu sınır koşulu: f = max(K − S, 0) Kısmi diferansiyel denklemin türetilmesinde kullanılan portföy sadece kısa ∂f bir an için risksizdir: t ve S değiştikçe değeri değişir ve bu da riskten ∂S korunmak amacı ile portföyün sıklıkla ayarlanması gereğini doğurur.

Black Scholes Merton kısmi diferansiyel denkleminde µ yer almaz.

Hisse volatilitesi σ sabit olarak denklemde yerini alır.

Denklem 1.9 ve denklem 1.12’de gösterdiğimiz kısmi diferansiyel denklemi opsiyon greeklerini kullanarak yazabiliriz: 1 Θ +rS |{z} ∆ + σ 2 S 2 |{z} Γ = rf |{z} 2 Teta Delta Gama

Delta koruması yapılmış bir portföyde (∆ = 0), Delta ve risk faktörü ortadan kalkar, geriye teta ve gama kalır. Risk unsuru ortadan kaldırılmış bir süreci, adil bir oyun olarak niteleyip beklenen değerini sıfıra eşitlersek,

8

Black Scholes Merton Modeli

diferansiyel denklemin rf tarafını sıfır kabul edebiliriz. Bu durumda teta opsiyon riskini gama riski cinsinden yaklaşık olarak yazabiliriz: 1 Θ ≈ − S2Γ 2 Bir opsiyon pozisyonunda gama ve tetanın işaretleri birbirinin tersidir: Pozitif gama opsiyon pozisyonunun tetası eksi değer alır, negatif gama pozisyonu teta değeri pozitiftir. Alım satım terminolojisi ile söyleyecek olursak: Bir opsiyon pozisyonu ya uzun gama-kısa teta veya kısa gama-uzun teta olur. Alım yada satım opsiyonu alan yatırımcının gama pozisyonu uzun, teta pozisyonu ise kısadır. Diğer koşullar sabit iken zaman ilerledikçe opsiyon değer kaybeder. Opsiyonda alım yapan yatırımcının beklentisi piyasada hareket olmasıdır. Opsiyon satan yatırımcı ise, tetada uzun, gamada kısa pozisyon almış demektir. Opsiyon satıcısının beklentisi piyasada hareket olmamasıdır. Opsiyon greekleri ??. bölümde detaylı olarak ele alınacaktır.

Black Scholes Merton kısmi diferansiyel denklemini, temettü ödemeyen hisse senedi için formüle ettik. Sabit q oranında temettü ödeyen bir hisse için aynı PDE kullanılabilir mi? Kısa türev ve hisseden oluşan bir portföyü işlettiğimizi varsayalım. Portföy: P = −f +

∂f S ∂S

dt anında portföy değerindeki değişim: dP = −df +

∂f ∂f dS + q dt S ∂S ∂S

(1.13)

Delta koruması yapılmış portföy için df 1.7 numaralı denklemde elde edilmişti. Denkleme ilişkin süreçleri temettü ödenen durum için yeniden tekrarlamadan sadece temettü getirisini 1.7 numaralı denkleme ilave ederek 1.13 denklemini −f + δS portföyü için yeniden yazalım:

∂f 1 2 2 ∂2f ∂f dP = − + σ S S dt dt + q 2 ∂t 2 ∂S ∂S Temettü getirisi: q

∂f S dt ∂S

Girsanov Teoremi ile ¾’den r’ye GeçiĹ&#x;

9

PortfĂśy, delta korumasÄą yapÄąlarak riskten arÄąndÄąrÄąldÄą, dolayÄąsÄą ile risksiz getiri oranÄąnda bĂźyĂźmeli: dP = rP dt ∂f S olduÄ&#x;una gĂśre: ∂s

∂f ∂f 1 2 2 ∂2f ∂f r −f + S dt = − − Ďƒ S +q S dt ∂S ∂t 2 ∂S 2 ∂S

PortfĂśy P = −f +

DĂźzenlemeleri ve sadeleĹ&#x;tirmeleri yaptÄąktan sonra sĂźrekli q oranÄąnda temettĂź Ăśdeyen hisse senedi için Black Scholes Merton kÄąsmi diferansiyel denklemi ∂f ∂f 1 ∂2f + (r − q)S + Ďƒ2 S 2 = rf (1.14) ∂t ∂S 2 ∂S 2 TemettĂź Ăśdeyen hisse senedi için kÄąsmi diferansiyel denklemi greek notasyonlarÄą ile yazabiliriz: 1 Θ + (r − q)S∆ + Ďƒ 2 S 2 Γ = rf 2

1.2

Girsanov Teoremi ile ¾’den r’ye Gec¸is¸

Black&Scholes modeli tĂźm dĂźnyaca kabul edilmiĹ&#x; bir modeldir. Bu modeli diÄ&#x;er modellerden ayÄąran ve tĂźm dĂźnyaca kabul edilmesini saÄ&#x;layan bazÄą Ăśzelikler vardÄąr. BilindiÄ&#x;i Ăźzere hisse senetlerini Brownian Motion ve bir eÄ&#x;ilim parametresi yardÄąmÄą ile modellemekteyiz: dSt = ÂľSt dt + ĎƒSt dWt

√ 1 2 ST = S0 exp Âľ − Ďƒ T + ĎƒÇŤ T 2 Bu modelde bulunan eÄ&#x;ilim parametresi Âľ ve bir opsiyon ďŹ yatlarken hesaplanmasÄą gereken beklenen deÄ&#x;er herkese gĂśre deÄ&#x;iĹ&#x;ebilir.

OpsiyonlarÄąn ďŹ yatlanabilmesi için herkesin Ăźzerinde anlaĹ&#x;abileceÄ&#x;i ortak bir parametre bulunmasÄą gerekir. Girsanov teoremi ile ilgili detaylÄą bilgi için ??. BĂślĂźme bakÄąnÄąz.

10

Black Scholes Merton Modeli

Black&Scholes, eğilim parametresini risksiz faiz oranına eşitleyerek herkesin kabul edebileceği ortak bir değişken oluşturmayı başardı. ft dSt = rSt dt + σSt dW

Denklemde µ kullanılan Objektif olasılık ölçeğinden (P ) Girsanov Teorisini kullanarak ve yeni bir olasılık ölçümüne geçmemiz gerekir. Risksiz faiz oranını modelimize ekleyebilmek için yeni bir süreç olarak Bono’yu aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz: dBt = rBt dt Bt = ert Görüldüğü gibi bono deterministik bir süreç izler. Bunu aklımızda tutmamız gerekiyor, çünkü Ito çarpım kuralını kullanırken bize kolaylık sağlayacak.

Bono sürecini kullanarak iskonto edilmiş hisse senedi fiyatını modelleyelim:

St = d(Bt−1 St ) d Bt = dSet

Yukarda bulduğumuz sonucu Ito çarpım kuralı ile açalım: dSet = Bt−1 dSt + St dBt−1 + dBt−1 dSt

= e−rt (µSt dt + σSt dWt ) + St (−rBt−1 dt) + dBt−1 dSt | {z } −rt

=e

−rt

St (µdt + σdWt ) + e

0

St (−rdt)

−rt

=e =

St ((µ − r)dt + σdWt ) −1 Bt St ((µ − r)dt + σdWt )

µ−r dt + dWt ) = Set σ( σ } | {z Θ

Bononun deterministik olmasından yararlanarak dBt−1 dSt ifadesini yok sayabildik. Yukarda kullandığımız Θ, market price of risk olarak isimlendirilir.

Bu andan sonra Girsanov Teorisini kullanarak yeni bir olasılık ölçümüne

Girsanov Teoremi ile µ’den r’ye Geçiş

11

geçiyoruz: dSet = Set σ(Θdt + dWt ) ft = Set σdW

Bu yeni olasılık ölçümüne,Q, risksiz ölçüm (risk-nötr) diyeceğiz. Yeni ölçüm eski ölçüm olan P ’ye eşdeğerdir ve iskontolanmış hisse senedi fiyatlarının martingale olmasını sağlamıştır.

Set = Se0 +

Z

0

t

fu σ Seu dW

Rt fu integrali bir Ito integralidir ve bu Yukarıdaki eşitlikte 0 σ Seu dW sayede bir martingaledir. Unutulmamalıdır ki tüm Ito integralleri birer martingaledir. İskontolanmamış hisse senedi fiyatının, St , ortalama getirisinin yeni olasılık ölçütünde, Q, risksiz faiz oranı kadar olduğunu göstermek için ft dönüşümünü yapmamız gerekir. dWt = −Θdt + dW dSt = µSt dt + σSt dWt

ft ) = µSt dt + σSt (−Θdt + dW (µ − r) ft ) = µSt dt + σSt (− dt + dW σ ft ) = µSt dt + St ((r − µ)dt + σdW ft = rSt dt + σSt dW Bu diferansiyel denklemi çözersek aşağıdaki sonucu elde ederiz: ft + (r − 1 σ 2 )t) St = S0 exp(σ W 2

P olasılık ölçümünden Q olasılık ölçümüne geçerken görüldüğü gibi volatilite değişmedi. Değişiklik sadece eğilimde (drift) meydana geldi.

12

Black Scholes Merton Modeli Volatilite bize hangi fiyatların olası olduğunu göstermektedir. Bunu şu şekilde yorumlayabiliriz: İki ölçümde de hisse senedinin alabileceği fiyatları aynı bırakıyoruz. Ancak o fiyatları alma olasılıklarını değiştiriyoruz. Yani, iki ölçümümüzde de hisselerin alabileceği fiyatlar ve alamayacağı fiyatlar aynı. Tek fark bu fiyatlara erişme olasılıklarıdır. Eğer µ değeri r değerinden daha büyükse, ki böyle olmasını bekleriz yoksa insanlar hisse senedi almak yerine risksiz faiz kazanmayı tercih ederlerdi, yeni ölçüm sayesinde getirinin düşük olduğu olaylara daha çok olasılık vererek ortalamayı µ’den r’ye düşürmüş olduk.

1.3

˘ Kullanarak Opsiyon Fiyatlama Olasılık Teknigi

Black Scholes Merton kısmi diferansiyel denklemini, olasılık tekniğini kullanarak Avrupa tipi alım opsiyonu için çözmeye çalışacağız. Opsiyon fiyatını, risk-nötr olasılık ölçeğinde beklenti operatörünün fonksiyonu olarak olarak ifade edip, beklentiyi yoğunluk fonksiyonu üzerinden integral alarak değerlendireceğiz.

Opsiyonun vade sonu değerini H(T, S) ile ifade edelim. Ft = F ((t, St ), t zamanında vadesi T olan opsiyonun değerini ifade etsin. t zamanındaki fiyat: Z T

Z T R ξT Q − tw rυ dυ Ft = Et e H(w, S)dw (1.15) H(w, S)dW = Et ξt t t Q, risk nötr olasılık ölçeğinde hesaplanan beklentiyi ifade eder.

Z T Rw e− t rv dv H(w, S)dw t

İfadesinin yoğunluk fonksiyonu üzerinden integralini alıp beklentiyi çözerek türev ürünün fiyatını bulabiliriz. Avrupa tipi alım opsiyonu vade sonu T zamanında kar zarar fonksiyonu: H(T, S) = FT = max[0, ST − K] K, kullanım fiyatı, risksiz faiz r sabit ve hisse fiyat süreci Geometrik Brown Hareketi’ne uygun hareket ediyor: dSt = µdt + σdWt St

Olasılık Tekniği Kullanarak Opsiyon Fiyatlama

13

Hissenin stokastik süreci önemli olmakla birlikte şartlı beklentiyi, hisse hareketlerinin risk-nötr olasılıklarına göre değerlendireceğiz. Risk nötr ölçeğinde, alınıp satılan tüm finansal varlıkların beklenen getirisi basit olarak risksiz faizdir (r). Dolayısı ile risk nötr hisse fiyat süreci: dSt = rdt + σdWtQ St Itô lemma vasıtası ile risk nötr logaritmik hisse fiyatı: 1 d log St = (r − σ 2 )dt + σdWtQ 2 Logaritmik hisse fiyatı Aritmetik Brown Hareketine göre hareket ettiği için hisse logaritmik fiyat şartlı yoğunluk ifadesi (τ = T − t olmak üzere):

1 log ST | log St ∼ N log St + (r − σ 2 )τ, σ 2 τ 2 Opsiyonun fiyatını denklem 1.15’i kullanarak yazabiliriz: Ft = e−rτ EtQ [max(0, ST − K)] Formül çıkarabilmemiz için şartlı beklentiyi değerlendirmemiz gerekir. Yukarıdaki ifadeyi logaritmik hisse fiyatı cinsinden tekrar yazalım: Ft = e−rτ EtQ [max(0, exp(log ST ) − K] Logaritmik hisse fiyatı risk nötr şartlı yoğunluğunu kullanarak şartlı beklentiyi şartlı logaritmik hisse fiyatı üzerinden integral alarak yeniden ifade edebiliriz: −rt

Ft = e

Z

∞

1 [exp(log ST ) − K] √ 2πσ 2 τ log K

# [log ST − log St − (r − 12 σ 2 )τ ]2 d log ST × exp − 2σ 2 τ "

14

Black Scholes Merton Modeli

ifadeyi açalım: 1

e−rτ 2πσ 2 τ " # Z ∞ [log ST − log St − (r − 21 σ 2 )τ ]2 × exp log ST − d log ST 2σ 2 τ log K

Ft = √

1

e−rτ 2πσ 2 τ" # Z ∞ [log ST − log St − (r − 21 σ 2 )τ ]2 exp − × d log ST 2σ 2 τ log K

−K√

(1.16)

İki integral, dağılım fonksiyonları şeklinde. Her bir integrali ayrı ayrı ele alacağız. İntegrallarin içini standart normal dağılım argümanlarına uygun hale getirmemiz gerekiyor. Birinci integralde Z = log SSTt dönüşümü ile başlayalım. Dönüşümü kullanarak integrali yeniden yazalım: " # Z ∞ [Z − (r − 21 σ 2 )τ ]2 1 −rτ √ exp Z − dZ e St 2σ 2 τ 2πσ 2 τ log K St

Üstel ifadeleri birleştirelim:

√

1 2πσ 2 τ

e−rτ St ×

Z

∞ log

K St

# 2Zσ 2 τ − Z 2 + 2Z(r − 21 σ 2 )τ − (r − 12 σ 2 )2 τ 2 dZ exp 2σ 2 τ "

Üstel ifadenin payını sadeleştirelim:

√

1 2πσ 2 τ

e−rτ St

Z

∞

log

K St

"

# −Z 2 + 2Z(r + 12 σ 2 )τ − (r − 12 σ 2 )2 τ 2 exp dZ 2σ 2 τ

Pay’daki ifadeye 2rσ 2 τ 2 ekleyip çıkararak tam kareye çevirelim. Düzenlemelerden sonra integral: " # Z ∞ −Z 2 + 2Z(r + 12 σ 2 )τ + (r + 21 σ 2 )2 τ 2 1 √ exp dZ St × 2σ 2 τ 2πσ 2 τ log SK t Kare’yi tamamladıktan sonra elde edeceğimiz integral: # " Z ∞ [Z − (r + 12 σ 2 )τ ]2 1 √ St dZ exp − 2σ 2 τ 2πσ 2 τ log K St

Olasılık Tekniği Kullanarak Opsiyon Fiyatlama

15

İkinci bir dönüşüm daha yapmamız gerek: Y =

Z − (r + 21 σ 2 )τ √ σ τ

İntegral biraz daha basitleşecek: St

Z

∞ K −(r+ 1 σ 2 )τ log S t √ 2 σ τ

1 Y2 √ exp − dY 2 2π

log SKt − (r + 21 σ 2 )τ √ noktasına göre hesaplanan standart normal σ τ dağılımın değerine eşit hale geldi. Denklem 1.16 elimizdeki verilerle yeniden yazılabilir: İntegral, −

! log SKt + (r + 21 σ 2 )τ 1 √ e−rτ −K√ Ft = St Φ 2 σ τ 2πσ τ " # Z ∞ 1 2 [log ST − log St − (r − 2 σ )τ ]2 exp × d log ST 2σ 2 τ log K Φ(x), x noktasında bulunan standart normal dağılım değeri iken, 1−Φ(x) = Φ(−x) eşitliğini kullanarak denklemi düzenlemeye devam edelim. İkinci inlog ST − log St − (r − 21 σ 2 )τ √ dönüşümüne ihtiyategrali çözmek için Y = σ τ cımız var. Dönüşüm sonrası integral: −rτ

Ke

Z

∞ K −(r− 1 σ 2 )τ log S t √ 2 σ τ

1 Y2 √ exp − dY 2 2π

İntegrali standart normal dağılım formuna dönüştürdük. Avrupa Tipi Alım opsiyonu formülü:

Ft = St Φ |

z

d1

log SKt

d2

z }| }| !{ !{ St 1 2 1 2 log K + (r − 2 σ )τ + (r + 2 σ )τ √ √ −Ke−rτ Φ σ τ σ τ {z } {z } | N (d1 )

N (d2 )

16

Black Scholes Merton Modeli Hisse ve Fayda z }| { c= S N (d1 ) − | {z } ∆

Bono z }| { Ke−rT N (d2 ) | {z } P (in)

{z } | Borçlanma ve Maliyeti

∆, Dinamik hedge işleminde kullanılması gereken hisse miktarıdır.

P (in), Opsiyonun parada bitirmesinin risk nötr olasılığıdır.

Bu bölümde kısmi diferansiyel denklemi çözmekten ziyade olasılık tekniğini kullanarak opsiyon fiyatını elde ettik.

1.4

Opsiyon Fiyat Formulleri ¨

Black Scholes Merton formülünü genel olarak kabul gören notasyonlara uygun şekilde yazalım: τ = T − t

Temettü ödemeyen hisse: Alım Opsiyonu: c = SN (d1 ) − Ke−rT N (d2 ) Satım Opsiyonu: p = Ke−rT N (−d2 ) − S [1 − N (d1 )]

log(St /K) + r + 0.5σ 2 τ √ d1 = σ τ √ d2 = d1 − σ τ

Opsiyon Fiyat Formülleri

17

Temettü ödeyen hisse: Alım Opsiyonu: c = Se−qT N (d1 ) − Ke−rT N (d2 ) Satım Opsiyonu: p = Ke−rT N (−d2 ) − Se−qT [1 − N (d1 )]

log(St /K) + r − q + 0.5σ 2 τ √ d1 = σ τ √ d2 = d1 − σ τ Black Scholes Merton modelini, taşıma maliyeti b ilave ederek daha genel olarak ifade edebiliriz. (τ = T − t).

Alım Opsiyonu: c = Se(b−r)τ N (d1 ) − Ke−rT N (d2 ) Satım Opsiyonu: p = Ke−rT N (−d2 ) − Se(b−r)τ N (−d1 )

log(St /K) + b + 0.5σ 2 τ √ d1 = σ τ

log(St /K) + b − 0.5σ 2 τ √ d2 = σ τ √ d2 = d1 − σ τ b=r b=r−q b=0 b = r − rf

BSM 1973 hisse opsiyon modeli Sürekli temettü q ile 1973 Merton Hisse Opsiyon Modeli Black 1976, Vadeli ve Alivre opsiyon fiyat modeli Garman Kohlhagen yabancı para opsiyon modeli.

Black Scholes Merton modeli için Excel’de kod yazıp, opsiyonları fiyatlamaya hazırız. Hazırladığımız kod:

18

Black Scholes Merton Modeli

P u b l i c Function BSM_Genel( CallPut As S t r i n g , S As Double , x _ As Double , T As Double , r As Double , _ b As Double , v As Double ) As Double Dim d1 As Double , d2 As Double d1 = ( Log ( S / x ) + ( b + v ^ 2 / 2 ) ∗ T) / ( v ∗ Sqr (T) ) d2 = d1 − v ∗ Sqr (T) I f CallPut = " c " Then BSM_Genel = S ∗ Exp ( ( b − r ) ∗ T) ∗ CND( d1 ) _ − x ∗ Exp(− r ∗ T) ∗ CND( d2 ) E l s e I f CallPut = "p" Then BSM_Genel = x ∗ Exp(− r ∗ T) ∗ CND(−d2 ) _ − S ∗ Exp ( ( b − r ) ∗ T) ∗ CND(−d1 ) End I f End Function

Kod, matematik olarak ifade ettiğimiz opsiyon fiyatlarını Excel VBA’da oluşturmamızı sağlıyor. Yapısı sayesinde hem alım hem satım opsiyonunu fonksiyonu kullanarak fiyatlayabiliriz. Fonksiyonda kullandığımız CND(x) fonksiyonu, kümülatif normal dağılımı ifade ediyor. Kümülatif normal dağılıma ilişkin açıklamalar kısım ??, CND fonksiyonu detayları ise ??. sayfada ifade edilmiştir. Kullanıcı tanımlı fonksiyonu kullandığımız Excel dosyası: Şekil 1.1. Örnek: Aşağıdaki değişkenlere göre İMKB 30 Endeksi alım ve satım opsiyonu fiyatları nedir?

• T =1 yıl (365 gün) • S = 43650 • K = 48000 • σ = %40 • q = %3 • r = %16, 75 Alım:7493, satım:5730 puan.

19

Opsiyonlarda Kaldıraç Etkisi Black Scholes modelinde, herhangi bir türev ürünün değer fonksiyonu Black Scholes kısmi diferansiyel denklemini doğrulamalıdır. f (t, St ) = eSt t > 0 BS modelinde yukarıdaki fonksiyon bir türev ürünün değeri olabilir mi? Bunu anlamak için kısmi diferansiyel denklemi doğrulayıp doğrulamadığını araştırmamız gerekir: ∂f ∂f 1 ∂2f + rS + σ2 S 2 ∂t ∂S 2 ∂S 2 Fonksiyona uygulayalım: rf =

∂f 1 1 ∂2f ∂f + rS + σ2 S 2 = 0 + rSt est + σ 2 S 2 eSt 6= reSt 2 ∂t ∂S 2 ∂S 2 f (t, St ) = eSt t > 0 fonksiyonu Black Scholes çerçevesinde bir türev ürünün değeri olamaz.

Uzun Alım opsiyonu spot/fiyat grafiği: Şekil 1.4; Uzun Satım opsiyonu spot/fiyat grafiği: Şekil 1.5. Grafiklerde itfa rakamları ile birlikte opsiyon fiyatlarına da yer verildi.

A 1 2 3 4 5 6 7 8

B

U030 Spot: Kullanım fiyatı: Vade(Gün): Risksiz Faiz: b: Volatilite: Temettü:

C

43650 48000 365 16,75% 13,75% 40,00% 3,00%

D

Alım Opsiyonu: Satım Opsiyonu:

E

7.493 5.730

Şekil 1.1: Excel, Genel BSM Formülü

1.5

Opsiyonlarda Kaldırac¸ Etkisi

Hisse fiyatındaki %1 değişimin aynı hisseye ait opsiyonda yaratacağı % değişimi “opsiyon” daki kaldıraç olarak tanımlayabiliriz. Opsiyonların yatırımcılar arasında son otuz yılda oldukça rağbet görmesinin temelinde “kaldıraç” faktörünün önemli etkisi vardır. Kaldıraç, normal koşullarda finansal enstruman veya yatırımlarda riski arttırmasından dolayı çok arzulanan bir şey

20

Black Scholes Merton Modeli

değildir. Opsiyon satın alındığında opsiyonun kaldıraç etkisi ,yapılan yatırımı, kredili alınan hisse senedi, firma alımları vs’nin tersine sıfırın altına indiremez.

• S: Hisse fiyatı • q: Temettü verimi, • c: Alım opsiyonu • p: Satım opsiyonu Alım (c) opsiyonu kaldıraç etkisi: Lc = e−qT N (d1 ) ×

S c

Satım (p) opsiyonu kaldıraç etkisi: Lp = e−qT N (−d1 ) ×

S p

Fiyatı 100 ve temettü ödemeyen oldukça likit bir hisse aldığınızı varsayalım. Hisse fiyatı bir gün sonra 101 olursa günlük getiriniz %1 olur. Şimdide aynı hissenin bir ay vadeli -başabaş- (atm) alım opsiyonunu aldığınızı düşünelim.

• Opsiyonun fiyatı Black Scholes modeli kullanarak vade 30/360, %1,5 risksiz faiz, ve %15 yıllık volatilite ile 1,79 TL olur.

• Yukarıda verdiğimiz formüle göre bu opsiyon bize 29 kat kaldıraç etkisi sağlayacaktır.

• Bir gün sonra hisse fiyatı 101 olursa vadeye 29 gün kaldığı dikkate alınarak hesaplanacak opsiyon fiyatı 2,32 YTL olur, • Getiri yaklaşık %30.

• Biz, modelden çıkan fiyatın piyasada alınıp satılan fiyat olduğunu varsaydık ki çoğu zaman geçerli olmayabilir. Piyasa, modelin ortaya çıkardığı fiyatın %50’sinde dahi işlem görse kaldıraçın etkisi dikkat çekici büyüklükte olacaktır.

Opsiyonlarda Kaldıraç Etkisi

21

Opsiyonlarda kaldıraç etkisini anlamak için şekil 1.2 ve şekil 1.3 incelenmeli.

10-11 Eylül tarihlerinde İMKB Ulusal 30 Endeksi %5.44 düşerken bazı hisselerin %90 kullanım fiyatlı2 satım opsiyonlarının fiyatları %180 lere kadar prim yaptı. . .

Opsiyon alırken beklentilerimiz: • Opsiyona konu finansal menkul kıymetin fiyatı pozisyonumuz yönünde hareket etsin • Volatilite yükselsin GARAN 45 gün 3,6 kullanım fiyatlı alım opsiyonu fiyatı aşağıdaki koşullar çerçevesinde 0,0795 olur.

• Spot = 3,4 • Volatilite %30 • Faiz %12 • Sürekli temettü %3 Bir gün sonra GARAN fiyatı 3,55 olur ve volatilite değişmezse opsiyon fiyatı 0,1417 olur. 10.000 kontrat (Her kontrat 1 hisse temsil etsin) için kar: 10, 000 × (0, 1417 − 0, 0795) = 622 Başlangıçta 795 TL prim ödenmişti, yatırımın getirisi yaklaşık %78, hisse senedi ise %4,41 değerlendi. Fiyatlar oynamadan bir gün sonra volatilite %40 seviyesine yükselirse opsiyon fiyatı 0,1223 olur. 10.000 kontrat (Her kontrat 1 hisse temsil etsin) için kar: 10, 000 × (0, 1223 − 0, 0795) = 428 Fiyatlar kıpırdamadığı halde volatilite artışı sayesinde pozisyonun getirisi %53 oldu.

Fiyat değişimi senaryosunu biraz değiştirelim: GARAN fiyatı 30 gün sonra 3,55 olsun ve volatilite ise %25 seviyesine düşsün. Bu koşullar altında 2 %90 kullanım fiyatı, hisse senetleri için %90×Spot. Hisse fiyatı 100 ise, %90 kullanım fiyatlı opsiyonun kullanım seviyesi 90 olur. %110 seviyesi deseydik kullanım seviyesi 110 olacaktı. Hisse senetlerinde %100 kullanım fiyatı= ATM = Başabaş = Spot olur.

22

Black Scholes Merton Modeli

opsiyonun fiyatı 0,0552 olur. 10.000 kontrat (Her kontrat 1 hisse temsil etsin) için kar: 10, 000 × (0, 0552 − 0, 0795) = −243 Bu senaryoda zarar ettik. Zaman opsiyon fiyatlarını aleyhinde işliyor. Opsiyon satın alanlar, piyasanın hızlı hareket etmesini ister.

Volatilite senaryosunu ise şöyle değiştirelim: Opsiyon vadesine 8 gün kala, volatilite %60’a çıksın. Diğer tüm değişkenler ise sabit. Bu durumda opsiyonun fiyatı 0,0505 olur, kar zararımız: 10, 000 × (0, 0505 − 0, 0795) = −290 Volatilite artışı, opsiyon vadesine çok az bir zaman kala gerçekleştiği için %60 seviyesine yükselmesine rağmen zarar ettik.

Opsiyon satarken beklentilerimiz: • Opsiyona konu finansal menkul kıymetin fiyatı pozisyonumuzun tersi yönünde hareket etsin • Volatilite yükselmesin, sabit kalsın veya düşsün Opsiyon aldığımız ve kar ettiğimiz örneklerin tamammında opsiyon satıcısı zarar ederken, zarar ettiğimiz durumlarda ise kar edecekti. Opsiyon satıcısı piyasada hareket olmamasını ister. Zaman, opsiyon satıcısının lehine işler.

23

Opsiyonlarda Kaldıraç Etkisi

Hisse Senetleri Bilgi Amaçlı Opsiyon Fiyatları

10.Eyl.2008

IMKB 30 endeksi içerisinden seçtiğimiz hisse senetleri için 90 gün vadeli alım ve satım opsiyonlarını indikatif olarak fiyatladık.

Tablo için açıklama: Fiyatlama parametrelerimiz: Model :Black Scholes TRY Faiz 16,75% Temettü Verimi :0% Vade 90 Gun Kullanim Spot seviyesinin %90, %100 ve %110 seviyeleri Seviyeleri Örnek: AKBNK spot 5.35 iken sırasıyla 4.815 ; 5.35; 5.885

Hisse

Volatilite

Spot

Volatilite modellemesinde Garch(1,1) kullanarak 90 günlük ortalama opsiyon volatilitesini hesapladık Veriler, son 1300 günlük kapanışı içeriyor.

Piyasada genel olarak fiyatlamalar mevduat oranı olarak söylenebiliyor. Mevduat oranına dönüştürmek için ornek formül (90 gun): (%Opsiyon Primi + yıllık Mevduat Oranı /4 )/ 90 *365

Alim Opsiyonlari 90,00% 100%

110%

Satim Opsiyonlari 90% 100%

110%

AKBNK TI Equity

49,81%

6,550

17,44%

11,71%

7,51%

3,96%

7,84%

13,25%

AKGRT TI Equity

41,98%

5,050

16,27%

10,22%

5,97%

2,79%

6,35%

11,72%

ARCLK TI Equity

31,26%

4,480

14,84%

8,19%

3,90%

1,36%

4,33%

9,64%

AYGAZ TI Equity

31,64%

3,020

14,89%

8,27%

3,97%

1,41%

4,40%

9,72%

DOHOL TI Equity

36,11%

1,710

15,45%

9,11%

4,83%

1,97%

5,24%

10,57%

DYHOL TI Equity

38,63%

1,890

15,80%

9,59%

5,32%

2,31%

5,72%

11,06%

EREGL TI Equity

32,77%

6,850

15,03%

8,48%

4,19%

1,54%

4,61%

9,93%

ISCTR TI Equity

37,69%

5,650

15,67%

9,41%

5,14%

2,19%

5,54%

10,88%

KRDMD TI Equity

37,11%

1,030

15,59%

9,30%

5,02%

2,11%

5,43%

10,77%

KCHOL TI Equity

32,00%

4,240

14,93%

8,33%

4,04%

1,45%

4,47%

9,78%

PTOFS TI Equity

35,75%

6,300

15,41%

9,04%

4,76%

1,93%

5,17%

10,51%

SAHOL TI Equity

33,48%

4,920

15,11%

8,61%

4,32%

1,63%

4,74%

10,07%

SKBNK TI Equity

48,24%

2,440

17,20%

11,41%

7,20%

3,72%

7,54%

12,94%

TUPRS TI Equity

34,13%

26,250

15,20%

8,74%

4,45%

1,72%

4,87%

10,19%

THYAO TI Equity

34,65%

7,150

15,26%

8,83%

4,55%

1,78%

4,96%

10,29%

SISE TI Equity

32,61%

1,640

15,01%

8,45%

4,16%

1,53%

4,58%

9,90%

TCELL TI Equity

38,65%

7,800

15,80%

9,59%

5,32%

2,32%

5,72%

11,07%

GARAN TI Equity

50,77%

3,920

17,59%

11,89%

7,70%

4,11%

8,02%

13,44%

ULKER TI Equity

32,19%

2,920

14,96%

8,37%

4,08%

1,47%

4,50%

9,82%

YKBNK TI Equity

34,56%

2,600

15,25%

8,82%

4,53%

1,77%

4,95%

10,27%

Şekil 1.2: 10 Eylül 2008 tarihinde IMKB U030’a Dahil Senetler İçin Opsiyon Fiyatları

24

Black Scholes Merton Modeli

Hisse Senetleri Bilgi Amaçlı Opsiyon Fiyatları

11.Eyl.2008

IMKB 30 endeksi içerisinden seçtiğimiz hisse senetleri için 89 gün vadeli alım ve satım opsiyonlarını indikatif olarak fiyatladık.

Tablo için açıklama: Fiyatlama parametrelerimiz: Model :Black Scholes TRY Faiz 16,75% Temettü Verimi :0% Vade 89 Gun Kullanım Spot seviyesinin %90, %100 ve %110 seviyeleri Seviyeleri Örnek: AKBNK spot 5.35 iken sırasıyla 4.815 ; 5.35; 5.885

Hisse

Volatilite

Spot

Volatilite modellemesinde Garch(1,1) kullanarak 89 günlük ortalama opsiyon volatilitesini hesapladık Veriler, son 1300 günlük kapanışı içeriyor.

Piyasada genel olarak fiyatlamalar mevduat orani olarak söylenebiliyor.Mevduat oranına dönüştürmek için ornek formül (90 gun): (%Opsiyon Primi + yıllık Mevduat Oranı /4 )/ 90 *365

Alim Opsiyonlari 90,00% 100%

110%

Satim Opsiyonlari 90% 100%

110%

AKBNK TI Equity

49,87%

6,150

13,83%

8,75%

5,28%

6,02%

11,18%

17,95%

AKGRT TI Equity

41,99%

4,720

12,18%

7,01%

3,73%

4,79%

9,90%

16,91%

ARCLK TI Equity

31,26%

4,340

12,63%

6,50%

2,85%

1,98%

5,77%

12,05%

AYGAZ TI Equity

31,64%

2,860

11,22%

5,53%

2,32%

2,62%

7,08%

14,03%

DOHOL TI Equity

36,11%

1,620

11,97%

6,43%

3,08%

3,33%

7,94%

14,74%

DYHOL TI Equity

38,63%

1,770

11,71%

6,43%

3,20%

4,14%

9,12%

16,16%

EREGL TI Equity

32,75%

6,250

9,18%

4,26%

1,70%

4,04%

9,67%

17,65%

ISCTR TI Equity

37,70%

5,200

10,56%

5,54%

2,62%

4,60%

10,04%

17,57%

KRDMD TI Equity

37,11%

0,910

8,29%

4,00%

1,72%

6,26%

12,85%

21,46%

KCHOL TI Equity

32,00%

3,880

9,21%

4,22%

1,65%

3,79%

9,32%

17,25%

PTOFS TI Equity

35,76%

6,050

12,74%

6,97%

3,39%

2,88%

7,12%

13,55%

SAHOL TI Equity

33,48%

4,700

12,06%

6,28%

2,85%

2,66%

6,95%

13,59%

SKBNK TI Equity

48,24%

2,240

12,35%

7,51%

4,33%

6,63%

12,27%

19,57%

TUPRS TI Equity

34,13%

24,500

10,74%

5,40%

2,38%

3,48%

8,45%

15,72%

THYAO TI Equity

34,67%

7,050

14,28%

8,04%

4,01%

2,06%

5,58%

11,30%

SISE TI Equity

32,61%

1,550

11,25%

5,63%

2,43%

2,83%

7,39%

14,36%

TCELL TI Equity

38,68%

7,150

10,51%

5,58%

2,68%

4,94%

10,50%

18,09%

GARAN TI Equity

50,79%

3,460

10,88%

6,55%

3,76%

8,94%

15,51%

23,62%

ULKER TI Equity

32,18%

2,800

12,10%

6,20%

2,73%

2,36%

6,49%

13,05%

YKBNK TI Equity

34,56%

2,540

13,65%

7,55%

3,69%

2,25%

6,00%

11,98%

Şekil 1.3: 11 Eylül 2008 tarihinde IMKB U030’a Dahil Senetler İçin Opsiyon Fiyatları. Kullanım Fiyatları Şekil 1.2 ile Aynı

Opsiyonlarda Kaldıraç Etkisi

25

Black Scholes ve FX Opsiyonları Black Scholes Modelinde yabancı para opsiyonları sürekli temettü ödeyen hisse senedi gibi fiyatlanır. Yabancı para faizi, hissede karşımıza çıkan sürekli temettü gibi yorumlanır, yerli para faizi ise risksiz iskonto faizi. FX opsiyonu için Black Scholes formüllerini aşağıdaki şekliyle yazabiliriz: rf faiz ödeyen FX: Alım Opsiyonu: c = Se−rf T N (d1 ) − Ke−rT N (d2 ) Satım Opsiyonu: p = Ke−rT N (−d2 ) − Se−rf T [1 − N (d1 )]

log(St /K) + r − rf + 0.5σ 2 τ √ d1 = σ τ √ d2 = d1 − σ τ USDTRY alım opsiyonunu aşağıdaki değişkenleri kullanarak fiyatlayalım: • Spot= 1,5440 • K=1,6000 • Vade 45 gün • r=%12 • rf =%3 • Volatilite=%22 Rakamları formülde ilgili yerlere koyduğumuzda fiyatı 0,0313 olarak buluruz.

Black Scholes ve Vadeli Fiyatlar Black Scholes modelinde opsiyon fiyatları, spot fiyat yerine alivre (forward) fiyatlar kullanılarak hesaplanabilir:

26

Black Scholes Merton Modeli F0 = S0 erτ ⇒ S0 = F0 e−rτ Alım Opsiyonu: c = e−rτ [F0 N (d1 ) − K N (d2 )] Satım Opsiyonu: p = e−rτ [K N (−d2 ) − F0 N (−d1 )] log(F0 /K) 1 √ √ + σ τ 2 σ τ √ d2 = d1 − σ τ

d1 =

Itfa

Fiyat

400,00 300,00 200,00 100,00 2,95

2,85

2,75

2,65

2,55

2,45

2,35

2,25

2,15

2,05

1,95

-100,00 -200,00

Şekil 1.4: Uzun Alım Opsiyonu Fiyat ve İtfa Değeri

Vadeli fiyatları kullanmanın avantajı, temettü ödeyen, ödemeyen veya yabancı para opsiyonu için temettü oranlarına ihtiyaç duyulmamasıdır. Opsiyona konu finansal varlık vadeli fiyatı bilindiği anda opsiyon fiyatı da hesaplanabilir.

27

Opsiyonlarda Kaldıraç Etkisi Itfa

Fiyat

500,00 400,00 300,00 200,00 100,00 2,95

2,85

2,75

2,65

2,55

2,45

2,35

2,25

2,15

2,05

1,95

-100,00 -200,00

Şekil 1.5: Uzun Alım Opsiyonu Fiyat ve İtfa Değeri

¨ ¸ meleri Black Scholes ve Vadeli Kontrat Sozles Futures opsiyonlarında, gözlemlenen kontrat fiyatı doğrudan vadeli fiyat olarak kullanılıp modelden future kontrat opsiyon fiyatı elde edilebilir. f (t, St ) = S0 − Ke−r(T −t) vadeli kontrat fiyat fonksiyonu Black Scholes diferansiyel denklemi koşullarını sağlayabilir mi? ∂f ∂f 1 ∂2f + rS + σ2 S 2 = rf ∂t ∂S 2 ∂S 2

∂f ∂f 1 ∂2f + rS + σ2 S 2 = −rKer(T −t) + rSt + 0 = rf (t, St ) ∂t ∂S 2 ∂S 2

Put-Call Paritesi Vadeli kontrat fiyat fonksiyonu Black Scholes diferansiyel denklemi şartlarını yerine getiriyor. Buradan hareket ile put call paritesini kanıtlayabiliriz: ct − pt = St − Ke−r(T −t)

28

Black Scholes Merton Modeli Black Scholes formülleri: c = SN (d1 ) − Ke−rT N (d2 )

p = Ke−rT N (−d2 ) − SN (−d1 )

log(St /K) + r + 0.5σ 2 τ √ d1 = σ τ √ d2 = d1 − σ τ Parite: ct − p t

= SN (d1 ) − Ke−rT N (d2 ) − Ke−rT N (−d2 ) − SN (−d1 )

= St − Ke−rT

N (−x) = 1 − N (x)

Call Put paritesi sürekli temettü q ödeyen hisse senedi için de yazılabilir:

Temettü ödeyen hisse vadeli fiyatı: f (t, St ) == S0 − Ke−(r−q)(T −t) Call Put Paritesi: ct − p t

= SN (d1 ) − Ke−rT N (d2 ) − Ke−rT N (−d2 ) − SN (−d1 )

= St − Ke−(r−q)T

N (−x) = 1 − N (x)

Opsiyonlarda Kaldıraç Etkisi • Spot USDTL 1,5450 • 1 Yıl vadeli USDTL fiyatı 1,7513 • Risksiz faiz %14,50 • USD faizi %2 • K = 1, 900 alım opsiyonu fiyatı 0,0835

Yukarıdaki verilen değişkenlere göre aynı vadeye K = 1, 9000 put opsiyonu fiyatı ne olmalıdır? ct − pt = St − e−(r−q)T K

pt = ct − St − e−(r−q)T K

pt = 0, 0835 − (1, 5450 − 1, 9000e−(%14,5−%2)1 ) pt = 0, 0835 − (−0, 13174)

pt = 0, 2152

29

30

Black Scholes Merton Modeli

Alım-Satım Simetrisi Bundan önceki bölümlerde, sadece alım-satım paritesinden bahsetmiştik. Şimdi alım-satım simetrisinden bahsedeceğiz. Simetri Bates (1991), Carr (1994), Carr ve Bowie (1994) tarafından detaylı olarak ele alındı. Simetri:

K (SebT )2 c(S, K, T, r, b, σ) = p S, , T, r, b, σ K SebT

Kullanım fiyatı K olan bir alım opsiyonunun değeri kullanım fiyatı K (SebT )2 olan kadar satım opsiyonuna eşittir. Simetri, opsiK SebT yon pozisyonlarının statik korunması ve bariyer opsiyon risklerinin yönetiminde kullanılmaktadır.

Alım-Satım Super ¨ Simetri İşimize yarayabilecek olan bir simetriyi yazalım: c(S, K, T, r, b, σ) = p(−S, −K, T, r, b, −σ) Alım opsiyonu fiyatını − Varlık fiyatı, −volatilite ve −kullanım fiyatı ile satım opsiyonu fiyatından elde edebiliriz. Opsiyonlarda kullanılan bir dönüşümü ele alalım: k × c(S, K, T, r, b, σ) = c(k × S, k × K, T, r, b, σ) Süpersimetriyi dönüşümü uygulayarak yeniden yazalım: c(S, K, T, r, b, σ) = −p(S, K, T, r, b, −σ) Satım opsiyonu için süpersimetri: p(S, K, T, r, b, σ) = −c(S, K, T, r, b, −σ) Süpersimetri, alım ve satım için ayrı ayrı kod yazmayı gereksiz hale getiriyor ve işimizi önemli ölçüde kolaylaştırıyor. Süpersimetri, negatif volatilite konularında detaylı analiz ve tartışmalar için: Adamchuk(1998), Peskir ve Shiryaev(2001), Haug (2002) ve Aase (2004).

Opsiyonlarda Kaldıraç Etkisi Seri Ac¸ılımı Kullanarak Opsiyonların Karda ˙Itfa Etme Olasılıklarının Hesaplanması Faiz oranlarının gözardı edilebilir olduğu varsayımı ile bir yıl vadeli “başabaş” alım opsiyonunun %20 volatilite ile karda bitme olasılığı nedir?

Faiz oranı ihmal edilebilir (sıfır) ise, başabaş opsiyonun (alım ya da satım farketmez) d2 değeri: √ S ln K + (r − σ 2 /2)T −σ T √ d2 = = 2 σ T olarak yazılabilir.

Kolayca hatırlanabilecek bir formül. Bir alım opsiyonunun karda bitirme olasılığını hesaplayabilmek için N (d2 ) değerini bilmemiz gerekir, kumulatif standart normal dağılım fonksiyonunu tahmin edebilmek için de ya bilimsel bir hesap makinasına ya da excel benzeri bir elektronik tablo programına ihtiyaç duyarız. Seri açılımı burada yardımımıza yetişiyor: Normal dağılım yoğunluk fonksiyonunu Taylor açılımı kullanarak tahmin edebiliriz.

1 N (d) = 2π

Z

d

− 12 x2

e

−∞

1 1 dx = + √ 2 2π

d5 d3 + − ... + ... d− 6 40

Yüksek dereceli terimleri ihmal edersek: N (d) =

1 1 1 + √ d = + 0.4 ∗ d 2 2 2π

Bunu da hatırlamak kolay. Sonuçta başabaş opsiyonun karda bitirme olasılığını hesaplayabilmek için sadece volatilite tahminine ve vade bilgisine ihtiyacımız var. √ ! √ −σ T − t %20 ∗ 1 N (d2 ) = 0.5 + 0.4 ∗ = 0.5 + 0.4 ∗ − = 0.46 2 2 Bu formül ile kısayollar akılda tutulursa sadece kağıt kalem kullanarak opsiyonun karda bitirme olasılığını hesaplayabilirsiniz.

31

32

1.6

Black Scholes Merton Modeli

¨ umleri Stokastik Volatilite Modelleri ve ˙Ilgili Opsiyon C¸oz ¨

Black Scholes Merton Geometrik Brown Hareketi dünyasının iki önemli varsayımının • Sabit volatilite • Sabit faiz olduğunu konuşmuştuk. Empirik olarak bu varsayımların doğru olmadıklarını söyleyebiliriz. Geometrik Brown hareketi varsayımı ve sabit volatilite koşulu, bazı egzotik opsiyonların fiyatlamasında yanlış sonuçlar ortaya çıkarabilir. BSM varsayımlarının esnetilmesi ile ilgili çeşitli fikirleri bazı akademik çalımalarda görmekteyiz. Önerilen alternatif modeller ve stokatistik süreçler, Geometrik Brown ve sabit volatiliteye göre daha sağlıklı sonuçlar elde etmemize yardımcı olabilir. Bu kısımda bilinen bazı alternatif modeller ve sağladıkları avantajlar ele alınacaktır.

1.7

Giris¸

BSM modelinde menkul kıymet fiyatlarının lognormal olarak dağıldığı varsayılır ve fiyatlar sürekli bir değişkenlik içindedir. BSM hisse stokastik diferansiyel denklemini hatırlayalım: dSt = rSt dt + σSt dWt Yukarıdaki sürece göre Black-Scholes PDE ise ∀ t ∈ [0,T], aşağıdaki gibi yazılabilir: 1 rC(t, S) = Ct (t, S) + rSCS (t, S) + σ 2 S 2 CSS (t, S) 2 Notasyonlar: ∂C ∂2C ∂C , CS = , CSS = ∂t ∂S ∂S 2 Bu PDE’ye ulaşmak için finansal menkul kıymetin kendisinin de ele alındığı oto finansman (self-financing) bir portföy oluşturmuştuk. Oto finansman stratejisi, portföy kar zararının sadece portföy ile ilgili fiyat hareketlerinden kaynaklandığını, portföye nakit giriş çıkışı yapılmadığını ifade eder. Oto finansman stratejisi oluşturabilmemiz için risk ve riski ortadan Ct =

Giriş

33

kaldıracak faktör sayılarının birbirine eşit olması gerekir. Uzun alım opsiyonu pozisyonunda riski yönetmek için, ∆ kadar finansal menkul kıymet satılıyordu. Notasyon olarak π eğer bir oto finansman portföyünü tanımlıyorsa, aşağıdaki yol izlenebilir: π = C(t, S) − ∆S 1 dπ = Ct (t, S)dt + CS (t, S)dS + σ 2 S 2 CSS (t, S)dt − ∆dS 2 ∆=CS (t,S) alındığında, dπ deterministik bir hal alır (bir diğer deyişle risksiz) ve belirlenen bir zaman aralığındaki değişim ise rπdt olarak gösterilebilir.

Bu durumda: 1 r(C(t, S) − ∆S)dt = Ct (t, S)dt + σ 2 S 2 CSS (t, S)dt 2 denklemini yazarak Black-Scholes PDE’ye ulaşılabiliriz.

Burada dikkat edilecek noktalardan bir tanesi, volatilite parametresinin sabit olarak varsayılmasıdır. Fakat ekonometrik bazı çalışmalar tarafından da gösterildiği üzere volatilite sabit (homoscedastic) bir yapıya sahip olmak yerine değişken bir yapıya sahiptir. Heteroscedasticity olarak da adlandırılabilecek zaman bağlı değişen volatilite özelliğini ekonometrik modellemek için ise ARCH/GARCH ve türevleri geliştirilmiştir. Kısaca burada volatilite modellenmektedir ve bu parametrenin aslında hiç de kolay bir yapıya sahip olmadığı daha iyi anlaşılmıştır. Bu yapıyı süreçler üzerinden yansıtmak amacıyla bazı yaklaşımlar ortaya çıkmıştır. Bazı yaklaşımlar direkt olarak geometrik Brownian Motion yerine farklı bir süreç önerirken, bazı yaklaşımlarda jump effect denilen ani sıçrayış özellikleri katılmıştır. Bu yöntemlerle sabit volatilite özelliğinden kurtulmak mümkün olmaktadır. Finansal menkul kıymetlerin hareketlerini modellemek üzere önerilen süreçler 3 gruba ayrılabilir: 1. Pure Diffusion Modeller: Ele alınan objenin sürekli bir şekilde değişkenlik gösterdiği durumlarda kullanılan modeller.

2. Mixed Jump-Diffusion Modeller: Ele alınan objenin bazen sürekli bazen de ani sıçrayışlarla değişkenlik gösterdiği durumlarda kullanılan modeller.

3. Pure Jump Modeller: Ele alınan objenin yalnızca ani sıçrayışlarla değişkenlik gösterdiği durumlarda kullanılan modeller.

34

Black Scholes Merton Modeli

Tüm bu modelleri kapsayan genel bir yapı ise Levy süreçleri olarak adlandırılmaktadır. Kısaca Levy süreçler, 0 zaman noktasından başlayan, durağan (stationary) ve bağımsız olarak değişen stokastik süreçlerdir. Bunun daha formal bir tanımı aşağıdaki şekilde yapılabilir: Eğer S={St : t ≥ 0} bir stokastik süreç ise ve aşağıdaki özellikleri taşıyorsa bir Levy süreçtir: 1. Başlama zamanı; S0 = 0 2. s<t için dağılımları bazında aşağıdaki eşitliğin doğru olması: St − Ss ⇒ St−s 3. Artan zaman noktaları bazında, birbirinden bağımsız değişimler; St2 − St1 , ..., Stm − Stm−1 4. Right-Continious ile Left-Limits özelliğini taşıması: C` adl` ag (M, d) metrik bir uzay ve E ∈ R olsun. f : E → M ∀ t ∈ E için aşağıdaki koşulları sağlıyorsa C` adl` ag fonksiyonudur: Sol Limit f (t−) := lim f (s)mevcutsa ve s↑t

Sağ Limit f (t+) := lim f (s)mevcutsa ve f (t)’ye eşitse s↓t

Levy süreçlerinin analizleri aslında oldukça karmaşık olabilmektedir ve bu nedenle bu kapsamda daha fazla detaya girilmeyecektir. Sürekliliğin ve ani sıçrayışların tanımlanabildiği bu süreçler finansal matematik alanında oldukça önemli bir yere sahiptir.

Diffusion model, mixed jump diffusion model ve pure jump model ile değişken volatilite yapısını yaratan önermelerin en popüler olanları aşağıda özetlendi:

Constant Elasticity of Variance Modeli

35

• Heston Model (Diffusion Model) • Constant Elasticity Model (Diffusion Model) • Merton Mixed-Jump Diffusion Model • Variance-Gamma Model (Pure Jump Model) İlerleyen satırlarda yukarıda gösterilen bu modeller ile ilgili önemli bilgiler verilecektir. Bu modellerin sağladıkları esneklikler ve birbirlerinden hangi yönlerde farklılıklar gösterdikleri de daha iyi bir şekilde görülebilecektir. Öncelikle Diffusion modelleme yapısı üzerine kurulu yaklaşımlardan başlamak istiyoruz. Modelleye geçmeden önce şunu da söylememşz gerekir: Bahsedilen modeller arasında tüm fiyatlamalar için en iyisi . . . modelidir diye bir kavram olmamalıdır ve bu nedenle en başarılıdan en başarısız modele doğru bir sıralama yapmak doğru değildir.

1.8

Constant Elasticity of Variance Modeli

Bu modelde (CEV) volatilite’nin stokastik bir yapıya sahip olması için volatilite’nin ayrıca modellenmesi yerine varlık fiyatları üzerinden bir yaklaşım mevcuttur. Modelde volatilite parametresi sabit olacaktır, fakat varlık fiyatı üzerinden, volatilite, dolaylı bir şekilde değişkenlik gösterir hale gelecektir.

Modelde volatilite varlık fiyatının bir fonksiyonu olacaktır. Önerilen model, β > 0 için aşağıdaki gibidir: dSt = rSt dt + σStβ dWt β=1 olduğu durumda sıkça kullanılan Geometrik Brownian motion modeli elde edilmektedir. Bu parametre 1 değerinden farklı olduğu zaman varlık fiyatı değiştikçe volatilite de değişecektir. Bu durumda iki senaryo olabilir: Senaryo 1: β > 1 Eğer varlık fiyatı artarsa volatilite de artacaktır. Ortaya çıkacak olasılık dağılımı ise asimetrik olacaktır. Dağılım fonksiyonunun sağ kuyruğu kalınlaşırken, sol kuyruğu ise daralacaktır. Bu literatürde right-skewness olarak da belirtilmektedir. Varlık fiyatları arttıkça ve volatilite de bu nedenle arttıkça, daha yüksek fiyatların ortaya çıkma ihtimali de artacaktır. Varlık

36

Black Scholes Merton Modeli

fiyatları düştükçe volatilite azalacak ve daha düşük fiyatların olma olasılığı da azalacaktır.

Senaryo 2: β < 1 Eğer varlık fiyatı artarsa volatilite azalacaktır. Ortaya çıkacak olasılık dağılımı asimetrik olmakla beraber sol kuyruğu kalın ve sağ kuyruğu dar bir fonksiyonel şekil olarak görülecektir. Buna da left-skewness denilebilir.

Varlık fiyatları arttıkça volatilite düşecek ve daha yüksek fiyatların olma olasılığı da azalacaktır. Bunun tersine, varlık fiyatları azaldıkça volatilite artacak ve daha da düşük fiyatların olma olasılığı yükselecektir.

CEV modeli ile European Call ve Put opsiyonlarının analitik fiyatlandırması tahmin edilebileceği üzere daha karmaşık olacaktır. Öncelikle dağılım normal dağılım değildir. Bunun en basit ve sezgisel açıklaması buradaki normal dağılımlı varlık fiyatının β üssü ile çarpılmasıdır. Bilindiği üzere normal dağılımlı rassal değişkenler çarpıldığında ki-kare dağılım ortaya çıkar ve analitik çözümde de bu dağılım görülecektir. Ortaya çıkan ki kare dağılımı merkezi değildir. Opsiyon fiyatlarının kanıtı gösterilmeden yalnızca analitik çözümler direkt olarak verilmiştir.

Analitik çözümler β değerine göre de değişecektir. Bu durumda iki senaryoyu ayrı ayrı ele almak gerekiyor.

Senaryo 1: β > 1 Bu durumda European Call ve Put opsiyonlarının değeri için aşağıdaki formüller ortaya çıkmaktadır: C(0, S, β) = S0 [1 − χ2 (c, −b, a)] − Ke−rT [χ2 (a, 2 − b, c)] P (0, S, β) = Ke−rT [1 − χ2 (a, 2 − b, c)] − S0 [χ2 (c, −b, a)]

Burada yer alan parametreler aşağıda gösterilecektir. Öncelikle, β değerinin sıfırdan büyük olmak koşuluyla 1’den küçük olduğu senaryo gösterilsin.

Senaryo 1: β < 1 Bu durumda European Call ve Put opsiyonlarının değeri için aşağıdaki formüller ortaya çıkmaktadır:

Heston Modeli

37

C(0, S, β) = S0 [1 − χ2 (a, b + 2, c)] − Ke−rT [χ2 (c, b, a)] P (0, S, β) = Ke−rT [1 − χ2 (c, b, a)] − S0 [χ2 (a, b + 2, c)]

Yukarıda yer alan tüm parametreler ise aşağıdaki gibi gösterilebilir: [Ke−rT ]2(1−β) (1 − β)2 v 1 b= 1−β S 2(1−β) c= (1 − β)2 v

a=

Son olarak bu parametrelerin içinde yer alan v terimi ise volatilite parametresini içermektedir. Kısaca, aşağıdaki gibidir:

σ2 2r(β−1)T v= e −1 2r(β − 1)

Burada χ2 (z,k,α) olarak gösterilen kümülatif dağılımda yer alan α merkezsizleştirme parametresi, k serbestlik derecesi ve z de değişkenin bu değerden düşük olduğu sınırdır. Burada implied volatilite düşünüldüğünde, eğer β > 1 ise, implied volatilite kulanım fiyatı ile doğru orantılıdır. Diğer yandan eğer β < 1 ise ters orantılıdır. CEV modeli en çok exotic hisse opsiyonlar için kullanılmaktadır.

1.9

Heston Modeli

Heston modelindeki temel yaklaşım, yukarıda gösterilen stokastik diferansiyel denklemin içinde yer alan volatilite parametresinin de ayrı bir stokastik diferansiyel sürece bğlı olarak modellenmesidir. Modelde iki stokastik süreç vardır ve bu nedenle korelasyonların da dikkate alınması gerekecektir.

Bilindiği üzere aşağıdaki eşitlik doğrudur:

dW 1 , dW 2 = ρdt

Burada ρ olarak gösterilen terim bilinen korelasyondur. Burada önerilen stokastik diferansiyel denklemler ise aşağıdaki şekilde gösterilebilir. Öncelikle varlık fiyatının stokastik diferansiyel denklemi verilsin:

38

Black Scholes Merton Modeli

dSt = rSt dt +

p v(t)St dWt1

Burada görüldüğü üzere Heston Modeli Black-Scholes modelinin baz aldığı denklem ile neredeyse aynı. En önemli farklılık volatilite zamana bağlı olarak değişen bir yapıdadır ve izlediği stokastik süreç aşağıdaki şekliyle modellenebilir: √ dvt = −λ(v(t) − v)dt + γ vt dWt2

Açıkça görüldüğü üzere volatilite süreci modellemesinde eğilim (drift), ortalamaya yaklaşan (mean-reverting) bir yapıya sahip. Burada v uzun vadedeki denge değeri (equilibrium value) iken λ ise hız (speed) faktörüdür.

Ayrıca, volatilite’nin volatilite parametresi ise γ olarak gösterilmiş ve bu da sabit kabul edilmiştir. Bunun sabit kabul edilmediği bir yaklaşımın modele olan katkısı fazla olmayabilir. Volatilite modellenirken CIR (Cox, Ingersoll, Ross) modelleme yaklaşımı kullanılmıştır. Bu yaklaşım bilindiği üzere faiz dinamiklerini açıklamak için öne sürülmüştür. Burada kullanılmasının nedenlerinden bir tanesi de negatif volatilite değerlerinin bu denklem ile hiç bir zaman mümkün olmamasıdır.

Korelasyonları sıfır olmayan bu iki stokastik süreç üzerine yazılmış olan bir opsiyonun PDE’si aşağıdaki gibi olacaktır: 1 rC(t, S, v) = Ct (t, S, v) + rSCS (t, S, v) − λ(v − v)Cv (t, S, v) + [Θ(t, S, v)] 2 Θ(t, S, v) = vS 2 CSS (t, S, v) + γ 2 vCvv (t, S, v) + 2ργvSCSv (t, s, v) Yukarıdaki notasyonlarla tamamen paralel olarak aşağıdaki geçerlidir: ∂2C ∂S∂v Görüldüğü üzere yukarıda verilen black-Scholes PDE’si ile neredeyse aynı. Bu sonuca ulaşmak için Black-Scholes modelinin yaklaşımına paralel olarak öyle bir portföy kurulmalıdır ki, stokastik terimlerden kurtulmak mümkün olsun. Black-Scholes PDE’sine delta-hedging ile ulaşılabiliyorduk.

Aynı mantık burada da geçerli olacaktır, fakat bu sefer hem varlıktan hem de varlığın volatilite’sinden kaynaklanan iki risk faktörü bulunmaktadır.

Kısaca, volatilite riskinin de elimine edilmesi için portföy buna göre tekrar düzenlenmelidir. Bu durumda C(t, S, v)-∆S yeterli olmayacaktır. Aşağıdaki gibi bir portföy oluşturulmalıdır: CSv =

Merton Mixed-Jump Diffusion Modeli

39

π = C(t, S, v) − ∆S − ∆1 C1 (t, S, v) Yukarıda Black-Scholes PDE bulurken izlenen yol ile aynı olmak üzere dπ hesaplanmalı ve bunun için de dC ve d C1 hesaplanmalıdır. Bunun için de 2-D Ito’s Lemma yeterli olacaktır. Varlık ve volatilite’sinden oluşan stokastik yapı hedge edilecek ve oluşturulacak portföy deterministik bir yapıya dönüşecektir. Burada tüm detayları gösterilmese de, yukarıda Black-Scholes modelindeki portföy oluşturulmasında izlenen yollar Heston PDE’sine ulaşabilmek için de geçerlidir.

Heston Modeli için analitik bir çözüm mevcuttur. Black-Scholes call opsiyon fiyatına benzer olarak aşağıdaki sonuç elde edilmektedir: C(0, S, v) = S0 f1 − Ke−rT f2 Burada yer alan f1 ve f2 terimleri de Fourier transformasyonu ile gösterilmektedir ve bir nevi risk-nötr olasılıkları belirtmektedir. Transformasyon aşağıdaki gibi gerçekleştirilir: F (ξ) =

Z

∞

f (x)e−2πiξx dx

−∞

Fourier ters transformasyonu aşağıdaki şekilde yapılmaktadır: f (x) =

Z

∞

F (ξ)e2πiξx dx

−∞

Heston Modelinin performansına bakıldığında ise bazı özellikler dikkat çekmektedir. Model out-of-money opsiyonlar için gereğinden yüksek fiyatlar (overprice) bulurken, in-the-money opsiyonlar için ise gereğinden düşük fiyatlar (underprice) hesaplanmaktadır. Önceki kısımda gösterilen CEV modeli ve Heston modeli belirtildiği üzere pure diffusion modellerdir. Burada jump effect görülmemektedir. Sonraki kısımda ise mixed jump diffusion model kategorisi altında bulunan Merton modeli ele alınacaktır.

1.10

Merton Mixed-Jump Diffusion Modeli

Sabit bir volatilite değerinden kurtulmak ve modelin içinde ani sıçrayışların olması empirik olarak çok daha mantıklı oldukça doğru bir yaklaşımdır.

40

Black Scholes Merton Modeli

Finansal piyasalarda ani sıçrayışlar ve düşüşler oldukça sıklıkla gözlemlenmektedir ve Geometrik Brownian Motion ise bunu yansıtamamaktadır. Bu nedenle finansal menkul kıymet süreçleri hem sürekli hem de süreksiz olabilecek bir yapıya sahip olmalıdır (Quantum mekaniğindeki temel gerçek de aslında bu yapıdır). Bu ani ve stokastik sıçrayışları modellemek için kullanılabilecek dağılım fonksiyonu ise süreksiz yapıya sahip olan Poisson dağılımıdır. Kısa bir hatırlatma amacıyla, t ve t + τ arasında gerçekleşen olayın sayısının dağılımı için, n≥ 0 olmak üzere aşağıdaki yazılabilir: P r[N (t + τ ) − N (t) = n] =

e−λτ (λτ )n n!

Bu kapsamda da λ yılda ortalama jump sayısı olacaktır. Burada önerilen stokastik diferansiyel denklem ise aşağıdaki gibidir: dSt = (r − λυ)St dt + σSt dWt + St dP Denklemde yer alan υ ortalama jump büyüklüklerini gösterirken dP ise Poisson sürecidir. Ayrıca önemli bir nokta da dW ve dP süreçlerinin birbirlerinden bağımsız oluşlarıdır. Kolayca anlaşılabileceği üzere, λυ terimi de varlık fiyatının ani sıçrayışlardan kaynaklı ortalama büyümesidir.

Sıçrayışların büyüklüklerinin logaritması normal dağılıma uygun ise ise önemli bir sonuca varabiliriz. Bahsettiğimiz normal dağılımın volatilite parametresi ς olarak gösterilirse, European Call opsiyon fiyatı aşağıdaki gibi yazılabilecektir: ∞ λ(1+υ) X e (λ(1 + υ)T )n

n=0

n!

C(0, S, n)

Burada C(0,S,n) call opsiyon fiyatı olup n değerine bağlı parametreleri vardır. Örneğin, varyans aşağıdaki gibi değişecektir: V ol = σ 2 +

nς 2 T

Buna ek olarak risksiz faiz oranı da aşağıdaki gibi olacaktır: R = r − λυ +

n(ln(1 + υ)) T

European Put opsiyon fiyatı, parametreler yukarıdaki gibi olmak üzere:

Variance-Gamma Modeli

∞ λ(1+υ) X e (λ(1 + υ)T )n

n=0

n!

41

P (0, S, n)

Sonuçların kanıtları burada gösterilmeyecek. Bu model ile ilgili detaylı bilgi Merton tarafından yazılan Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinious adlı makalede bulunabilir. Bu model F/X opsiyonları için düzgün sonuçlar vermektedir. Modelde dikkat edilmesi gereken önemli noktalardan biri opsiyonun vadesidir. Kısa vadeli opsiyonlar ele alındığında jump effect implied volatilite’yi daha çok etkilerken, uzun vadede bu etki azalmaktadır.

1.11

Variance-Gamma Modeli

Diğer modellere kıyasla anlaşılması biraz daha zor olan fakat oldukça popüler bir model haline gelen Variance-Gamma modelinde gamma sürecini izleyen bir değişken ele alınmaktadır. Gamma süreci eğer η(t; µ, σ) olarak gösterilirse ve t ve t+h arasındaki değişimleri betimlerse, I= η(t+h; µ, σ)− η(t; µ, σ) > 0 olarak gösterilecek artışların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır:  2  µ h −µI 2 µ µσh  I σ −1 e σ  fh (I) = 2 σ Γµ h σ

Burada gösterilen Γ da gamma operatörüdür. Burada ele alınan Variance Gamma süreci, gamma sürecinden seçilen rassal zaman noktalarında Brownian Motion’ın değerlendirilmesinden ortaya çıkmaktadır. Ele alınan Brownian Motion ise aşağıdaki gibidir: B(t; Θ, v) = Θt + vWt Buradaki Θ drift ve v ise volatilite parametresidir. Bu bilgi doğrultusunda aşağıda iki terim tanıtılacaktır: ξ=− s= q 1+

Θ v2

v

Θ 2 σ v 2

42

Black Scholes Merton Modeli

Burada kanıtı gösterilmemek üzere European Call opsiyonun fiyatı ise aşağıdaki gibi yazılabilir: ! r r 1 − F1 σ t C(0, S, K) = S0 Ψ d −Φ , (α + s) , σ 1 − F1 σ −rT

Φ = Ke

Ψ d

r

! r 1 − F2 σ t , (αs) , σ 1 − F2 σ

Ψ olarak gösterilen bir Bessel fonksiyonudur. Ayrıca α = ξs olmakla beraber diğer terimler de aşağıdaki gibidir:

S0 1 − F1 t 1 ln + rt + ln d= s K σ 1 − F2 2 σ(α + s) F1 = 2 2 σα F2 = 2 Burada gösterilen bu oldukça karmaşık sonuç ile ilgili detaylı bilgi için Madan, Carr ve Chang tarafından yazılmış The Variance-Gamma Process and Option Pricing adlı makaleye başvurulabilir.

1.12

Modeller Arası Farklar

Bu kısıma ele aldığımız 4 farklı modelin yaklaşımlarındaki farklar aslında kolayca görülmektedir. Varlık fiyatlarının volatilite’sini empirik olarak daha gerçekçi yapmak için, bir diğer deyişle stokastik bir yapıda temsil etmek için modeller farklı difüzyonlar izlemektedir. Heston stokastik volatilite’yi ayrı bir süreç olarak tanımlarken, CEV bu yapıyı varlık fiyatları üzerinden gerçekleştirmektedir. Merton ise jump efektleri ekleyerek ani sıçrayışlar tanıtmakta ve volatilite değişken bir yapıya sahip olmaktadır. Gamma-Variance ise bunu sürekli bir süreç ile değil de yalnızca jump efektler ile gerçekleştirmektedir.

Kolay bir diğer yaklaşım için volatilite farklı zaman aralıklarında alınıp bir ortalaması bulunabilir. Örnek olarak, eğer 1 yıllık bir süre içerisinde her 3 aylık dönemlerde volatilite değişecekse ortalama alınabilir.

43

Modeller Arası Farklar Örnek:

1 yıl boyunca üçer aylık volatilite değerlerinin aşağıdaki gibi olacağını varsayalım: σ1 = 0.15σ2

= 0.20σ3 = 0.25σ4

= 0.20

Bu durumda ortalama volatilite de aşağıdaki gibi olacaktır: f2 = (0.25)0.152 + (0.25)0.202 + (0.25)0.252 + (0.25)0.202 = 0.041 σ

Burada volatilite öngörülebilir kabul edilmiştir ve pek gerçekçi değildir.

Bu nedenle yukarıda verilen daha karmaşık yaklaşımlar öne sürülmüştür.

Buna ek olarak ARCH/GARCH modellemeleri veya Implied volatilite Fonksiyonu da kullanılabilmektedir. Genel olarak tüm bu yaklaşımlar ile süreçlerin gerçeği yansıtma güçleri arttırılmıştır. Bu modeller ise giderek daha popüler olmaya başlamışlardır.

44

1.13

Black Scholes Merton Modeli

Bloomberg ve Opsiyonlar

İMKB 30 Endeksi’ne dair opsiyonları Bloomberg’de fiyatlamak için XU030 F10 OVME GO komutları kullanılır. Komutlar verildikten sonra gelen ekran 1.6’da gösterildi. Bu ekrandan 12 nolu Stradle stratejisi seçildiğinde açılan fiyatlama penceresi ise şekil 1.7’de gösterildi. Hisse senedi opsiyon

Şekil 1.6: İMKB 30 Endeksi Opsiyon Strateji Seçimi

fiyatlaması Bloomberg ekranında Endeks için kullanılan ekrandan yapılır: GARAN F8 OVME GO. Şekil 1.6’da gösterilen ekrandan 21 nolu Butterfly penceresini seçersek şekil 1.8’de gösterilen fiyatlama penceresi açılır.

Butterfly stratejisi kar zarar grafiğini görmek istersek şekil 1.8’deki ekrandan Scenario Graph sekmesi tıklanabilir. Kâr zarar grafiği şekil 1.9’da gösterildi.

USDTRY opsiyon fiyatlamak için TRY F11 OV GO komutu kullanılabilir. Üç ay vadeli başabaş opsiyona ilişkin fiyatlama penceresi şekil 1.10’da gösterildi.

USDTRY opsiyonları strateji seçimi, OVME ekranından farklı olarak, şekil 1.10’da gösterilen fiyatlama penceresinde 92 Strategy sekmesi kullanılarak yapılır. Vanilla açılır kutusu tıklandığında ise opsiyon tipleri değiştirilebilir. Strateji sekmesinden Volatility Strategy-Strangle seçilirse şekil 1.11’de gösterilen fiyatlama penceresi açılır.

Strateji kar-zararını tablo olarak görmek istersek şekil 1.10’da gösterilen fiyatlama penceresindeki 90 Tools sekmesi Scenario Table seçeneği

Bloomberg ve Opsiyonlar

Şekil 1.7: İMKB 30 Endeksi Opsiyon Fiyatlama-Straddle

Şekil 1.8: GARAN Opsiyon Fiyatlama-Butterfly

45

46

Black Scholes Merton Modeli

Şekil 1.9: GARAN Butterfly Stratejisi Kar Zarar

Şekil 1.10: USTRY Alım Opsiyonu Fiyatlama

Bloomberg ve Opsiyonlar

47

Şekil 1.11: USTRY Strangle Strateji Fiyatlama

kullanılabilir. Tablo şekil 1.12’da gösterildi.

Şekil 1.12: USTRY Strangle Strateji Kar Zarar Tablosu

Borsalarda alınıp satılan opsiyonların Bloomberg Terminalinde özel ekranları vardır. Bank of America hissesine dair opsiyonları görebilmek için BAC US F8 OMON GO komutları verilmesi gerekir. Opsiyon izleme ekranı şekil 1.13’de gösterildi.

48

Black Scholes Merton Modeli

Şekil 1.13: Bank of America Opsiyon İzleme Ekranı

Şekil 1.14: Bank of America Opsiyon İzleme Ekranı-Greek Mid Şablonu

Şekil 1.13’de gösterilen opsiyon izleme ekranı sütun başlıkları: IVM Implied Volatility Mid (Öngörülen volatilite alış satış ortalaması), DM Delta Mid (Delta alış satış ortalaması), Volm Volume (Hacim). Sütun başlıkları Templates sekmesindeki hazır şablonlardan biri seçilerek veya Edit sekmesinden isteğe göre düzenlenebilir. Hazır şablonlardan Greeks Mid seçildiğinde şekil 1.14’de gösterilen izleme ekranı açılır. Bir önceki ekran-

Bloomberg ve Opsiyonlar

49

dan farklı olarak GM sütunu Gamma Mid, (Alış satış Gama ortalaması) ve VM Vega Mid, (Alış satış Vega ortalaması) sütunu geldi. IVM ve Volm sütunları çıktı.