İstatistik Ders Notları by Salim Kasap

GoBack

İstatistik Salim Kasap March 26, 2011

1 / 36

Giriş Yöntem Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Giriş

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

2 / 36

Yöntem Giriş Yöntem Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Bu bölümde, ■ Taylor serileri ve ﬁnans alanında kullanımı ■ Newton Rhapson Metodu ve ﬁnans alanında

kullanımı

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

■ Olasılık

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

■ Olasılık dağılım fonksiyonları

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları

■ Son olarak değişik dağılımlar altında BS opsiyon

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

ﬁyatlamasını inceleyeceğiz.

3 / 36

Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri

Taylor Serileri

4 / 36

x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri

Fonksiyonların yaklaşık tahminininde kullanılan sonsuz seri formu: ∞ X n=0

an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + · · ·

5 / 36

x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Fonksiyonların yaklaşık tahminininde kullanılan sonsuz seri formu: ∞ X n=0

an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + · · ·

Serinin her bir terimi bir sabit ve x değişkeninin kuvveti çarpımıdır. Bu tip serilere kuvvet (power) serisi adı verilir. Kuvvet serilerinin kısmi toplamları polinomdur: Sn = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an−1 xn−1

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

5 / 36

x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

∞ X

an xn kuvvet serisini herhangi bir aralıkta f (x)

n=0

fonksiyonuna yaklaştıracak an katsayılarını nasıl bulabiliriz? f (x) =

∞ X n=0

an xn = a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 +· · ·+an xn +· · ·

x = 0 ise, serinin sadece ilk terimi a0 sıfırdan farklıdır: a0 = f (0) Serinin her bir teriminin türevini alalım: f ′ (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + · · · + nan xn−1 + · · · x = 0 ise, a1 = f ′ (0)

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

5 / 36

x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Tekrar türev alalım: f ′′ (x) = 2a2 + 6a3 x + · · · + n(n − 1)an xn−2 + · · · x = 0 ise, a2 = Üçüncü türev:

f ′′ (0) 2

f 3 (x) = 6a3 + · · · + n(n − 1)(n − 2)an xn−3 + · · · x = 0 ise, a3 =

f 3 (0) . 6

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

5 / 36

x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

Genelleştirirsek: f (n) (0) an = n! Bulduğumuz seri f fonksiyonunun x = 0 etrafındaki Taylor Serisi ve hesaplanan katsayılar an ise f fonksiyonunun Taylor katsayıları olarak adlandırılır.

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

5 / 36

Taylor Açılımı ve ex Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

f (x) = ex fonksiyonunun x = 0 etrafındaki Taylor serisini bulalım: f (x) = ex

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri

′

′′

Newton Rhapson Metodu

f (x) = e f

(n)

f (0) = 1 ′′

.. .

f (0) = 1 .. .

(n)

Olasılık

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

′

f (x) = e

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

f (0) = 1

(x) = e

f (0) 0!

1 0!

a1 =

f ′ (0) 1!

1 1!

a2 =

f ′′ (0) 2!

1 2!

f (n) (0) n!

1 n!

a0 =

(0) = 1 an =

.. .

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

6 / 36

Taylor Açılımı ve ex Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Bulduğumuz Taylor serisi: ∞ X

an x n =

∞ X xn n=0

n=0

Bir başka deyişle: ex =

∞ X xn n=0

x2 x3 x4 x5 =1+x+ + + + ··· n! 2! 3! 4! 5!

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

6 / 36

Taylor Açılımı ve ex Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

x = 0 olduğunda ex fonksiyonu e sayısına yaklaşır. 5. dereceden tahmin edelim: ex =

∞ X (ex )n n=0

x 2 x 3 (e ) (e ) x = 1 + (e ) + + 2! 3!

(ex )4 (ex )5 + + = 2, 716666667 4! 5!

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

6 / 36

Taylor Açılımı ve Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri

ex =

R1 0

−x2

∞ X xn n=0

olduğunu biliyoruz. x gördüğümüz her yere −x2 koyalım:

7 / 36

Taylor Açılımı ve Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

ex =

R1 0

−x2

∞ X xn n=0

olduğunu biliyoruz. x gördüğümüz her yere −x2 koyalım: −x2

∞ X (−1)n x2n n=0

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

7 / 36

Taylor Açılımı ve Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

ex =

R1 0

−x2

∞ X xn n=0

olduğunu biliyoruz. x gördüğümüz her yere −x2 koyalım: −x2

∞ X (−1)n x2n

n=0

Böylece:

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

−x2

1 4 1 6 1 8 = 1 − x + x + x + x + ··· 2 6 24 2

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

7 / 36

Taylor Açılımı ve Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık

İntegralin 8. dereceden çözümü: Z 1 −x2 dx e 0 Z 1 1 4 1 6 1 8 2 1 − x + x + x + x dx ≈ 2 6 24 0 1 5 1 7 1 9 1 1 3 x |0 = x− x + x − x + 3 10 42 216 1 1 1 1 − + ≈ 0, 7475 =1− + 3 10 42 216

R1 0

−x2

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

7 / 36

x = a Etrafında Taylor Serileri Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık

■ Bazı durumlarda, f (x) fonksiyonunu

∞ X

an xn kuvvet

n=0

serisi ile göstermek mümkün olmayabilir. ■ Bu durumlarda

∞ X n=0

an (x − a)n kuvvet serisini

kullanabiliriz (a sabit). ■ Son ifade ettiğimiz seriye f (x) fonksiyonunun a

etrafında Taylor serisi denir

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

∞ X n=0

an (x − a)n

f (n) (a) an = n! 8 / 36

x = a Etrafında Taylor Serileri Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

■ Fonksiyonu a etrafında tahmin etmek için Taylor

polinomu kullanabiliriz. ■ Genelde terim sayısı arttıkça tahminin kalitesi de

yükselir. ■ Pn (x) polinom derecesi en fazla n olan (n + 1)’nci

kısmi toplamı ifade etsin. Taylor polinomu: 1 ′′ Pn (x) = f (a) + f (a)(x − a) + f (a)(x − a)2 2! 1 (n) + · · · + f (a)(x − a)n n! ′

8 / 36

Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

Taylor serileri birden fazla değişken için genelleştirilebilir: T (x1 , · · · , xd ) ∞ ∞ X X ∂ n1 ∂ nd f (a1 , · · · , ad ) n1 · · · (x − a ) ··· = 1 1 nd n1 ∂x ∂x n1 ! · · · nd ! 1 d n =0 n =0 1

· · · (xd − ad )nd

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

9 / 36

Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Giriş Taylor Serileri x = 0 Etrafında Taylor Açılımı Taylor Açılımı ve ex Taylor Açılımı ve R 1 −x2 dx 0 e

x = a Etrafında Taylor Serileri Birden Fazla Değişken ve Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

“x” ve “y” değişkenlerine bağlı hareket eden f (x, y) fonksiyonunun (a, b) etrafında ikinci derece Taylor polinomu: f (x, y) ≈ f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) 1 + fxx (a, b)(x − a)2 2! 2 +2fxy (a, b)(x − a)(y − b) + fyy (a, b)(y − b)

alt indisler karşılık gelen kısmi türevleri ifade etmektedir.

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

9 / 36

Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

10 / 36

Black&Scholes formülünde kullanılan N (d1 ) ve N (d2 ) değerlerini hesaplamak için Taylor açılımından yararlanabiliriz: (2) f (a) (1) (x − a)2 f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + 2! f (3) (a) f (n) (a) 3 + (x − a) +, . . . , + (x − a)n + . . . 3! n!

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

11 / 36

Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

Bu açılımı a = 0 noktasında yaparsak Maclaurin serisi elde ederiz: (2) f (0) 2 (1) (x) f (x) = f (0) + f (0)(x) + 2! f (n) (0) n f (3) (0) 3 (x) + . . . + (x) + . . . + 3! n! 11 / 36

Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım

1 √ N (d) = 2π

− 21 x2

−∞

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

11 / 36

1 √ N (d) = 2π

− 21 x2

−∞

2 3 x x f (x) = ex = 1 + x + + + ... 2! 3! x4 x6 2 −x2 =1−x + g(x) = e − + ... 2! 3! x4 x6 x2 − 21 x2 h(x) = e + 2 − 3 + ... =1− 2 2 ∗ 2! 2 ∗ 3!

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

11 / 36

Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Bulduğumuz değerleri integralin içine koyalım: Z d 2 4 6 x x x 1 1− + 2 − 3 + . . . dx N (d) = √ 2 2 ∗ 2! 2 ∗ 3! 2π −∞ Bu integral işlemini iki parçaya ayırmalıyız:

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

11 / 36

d>0 ise; N (d) = Z 0 2 4 6 x 1 x x √ 1− + 2 − 3 + . . . dx 2 2 ∗ 2! 2 ∗ 3! 2π −∞ Z d 4 6 2 x x 1 x + 2 − 3 + . . . dx +√ 1− 2 2 ∗ 2! 2 ∗ 3! 2π 0

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

11 / 36

d<0 ise; N (d) = Z 0 2 4 6 x 1 x x √ 1− + 2 − 3 + . . . dx 2 2 ∗ 2! 2 ∗ 3! 2π −∞ Z 0 2 4 6 x 1 x x √ 1− + 2 − 3 + . . . dx − 2 2 ∗ 2! 2 ∗ 3! 2π d Z 0 4 6 2 x x 1 x + 2 − 3 + . . . dx =√ 1− 2 2 ∗ 2! 2 ∗ 3! 2π −∞ Z d 2 4 6 1 x x x +√ 1− + 2 − 3 + . . . dx 2 2 ∗ 2! 2 ∗ 3! 2π 0

11 / 36

Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım Giriş Taylor Serileri

Standart normal kümülatif dağılım söz konusu olduğunda:

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Taylor Açılımı ve Kümülatif Normal Dağılım

■ 0 noktasına göre simetriktir

Newton Rhapson Metodu

■ Dağılım eğrisinin 0’a kadar olan bölümü alanın

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları

■ Dağılım eğrisinin altında kalan toplam alan 1’e eşittir

yarısıdır ve 0,5’e eşittir. Yukarıdaki özelliklerden faydalanarak integral işleminin ilk kısmı olan ve −∞’den başlayarak 0’a kadar giden kısmın değerinin 0,5 olduğunu söyleyebiliriz.

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

11 / 36

x3 1 x5 x− + 2 N (d) = 0, 5 + √ 2 ∗ 3 2 ∗ 2! ∗ 5 2π d 7 x + ... − 3 2 ∗ 3! ∗ 7 0 3 5 7 1 d d d = 0, 5 + √ d− + − + ... 6 40 336 2π

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

11 / 36

Yüksek dereceli terimleri ihmal edersek: d sıfırdan büyükse: 1 N (d) = 0, 5 + √ d 2π d sıfırdan küçükse: 1 N (d) = 0, 5 − √ d 2π

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

11 / 36

Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Olasılık

Newton Rhapson Metodu

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

12 / 36

Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Herhangi bir f (x) denkleminin, f (x) = 0 noktasında köklerini bulmak için x0 ilk tahmini ile başlayıp giderek daha iyi tahminler (x1 , x2 , x3 . . .) yapabileceğimiz Newton Rhapson yöntemi aşağıdaki formül ile gösterilebilir: f (xn−1 ) xn = xn−1 − ′ f (xn−1)

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

13 / 36

Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı

7 sayısının karekökünü Newton metodu ile bulmaya çalışalım. İlk yapmamız gereken fonksiyonu ifade etmek: f (x) = x2 − 7 f (x) fonksiyonunun türevi: 2x olur ve:

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

x2 − 7 x2 + 7 f (x) =x− = x− ′ f (x) 2x 2x

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

13 / 36

Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Giriş Taylor Serileri

x0 = 3 ilk tahmini ile başlarsak:

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

x1 =

Newton Rhapson Metodu Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı

x2 =

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları

x3 = x4 =

x20 + 7 2x0 x21 + 7 2x0 x22 + 7 2x0 x23 + 7 2x0

= 2, 66667 x0 = 3 = 2, 64583 x1 = 2, 66667 = 2, 645751 x2 = 2, 64583 = 2, 645751 x3 = 2, 645751

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

13 / 36

Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Olasılık

■ 3. adımdan itibaren kök 6 haneye kadar doğru olarak

tahmin edildi. ■ İlk tahmin değerimiz 25 gibi oldukça uzak bir sayı

olsaydı, Newton metodu ile sonuç 7. denemede 6 haneye kadar doğru olarak bulunacaktı.

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

13 / 36

NR metodunu opsiyon öngörülen volatilitesini tahmin etmek için kullanabiliriz: PF:Piyasa ﬁyatı, f (c) opsiyon ﬁyatı olmak üzere: f (c|σ = σn−1 ) − P F σn = σn−1 − V ega|σ = σn−1

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

13 / 36

Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Giriş Taylor Serileri

USDTRY

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Olasılık

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

Gün

Fiyat

Call 1,5500

1,6000

%20,00

%10,00

%2,00

0,05183

Bir önceki tabloda verilen bilgileri kullanarak NR yöntemi sonuçları:

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Spot

III

Adım

Vega

1 2 3 4 5

100,00% 18,65% 20,00% 20,00% 20,00%

0,294359 0,047730 0,051836 0,051833 0,051833

0,051833 0,051833 0,051833 0,051833 0,051833

0,298133 0,304171 0,304520 0,304520 0,304520

II−III IV

Fark

0,186519 0,200008 0,200000 0,200000 0,200000

0,800000000 -0,013481474 0,000008065 0,000000000 -

−

13 / 36

Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Giriş Taylor Serileri

■ Yöntem, oldukça çabuk sonuca yaklaşıyor.

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

■ Öngörülen volatilite başlangıç tahminimiz %100 gibi

Newton Rhapson Metodu Newton Rhapson ve Finansta Kullanımı Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

yüksek bir rakam olmasına rağmen algoritma 3. adımdan itibaren yeterli derecede doğru sonuç üretiyor. ■ Başlangıç volatilite tahminimiz %500 olsaydı doğru

sonuca 6. adımda ulaşacaktık.

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

13 / 36

Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Özellikleri Değişkenler

Olasılık

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

14 / 36

Olasılık Özellikleri Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Özellikleri Değişkenler Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

Özellik

Notasyon

S olayı sürekli gerçekleşecekse olasılığı 1’dir S olayı hiçbir zaman gerçekleşmeyecekse olasılığı 0’dır Olasılıklar, her zaman 0 ve 1 arasındadır A,B Örneklem Uzayında herhangi 2 olay ise A,B,C Örneklem Uzayında herhangi 3 olay ise

P (S) = 1 P (S) = 0 0 ≤ P (A) ≤ 1

P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩ B) P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) A,B,C olayları karşılıklı bağ- P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + daşmaz ise P (C) Toplama kuralı: Olasılıklar genel toplam kuralı P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A)· P (B) A ve Ac karşılılı bağdaşmaz P (A ∪ AC ) = P (A) + P (Ac ) = olaylardır P (S) = 1 ve P (Ac ) = 1 − P (A)

15 / 36

Değişkenler Giriş Taylor Serileri

■ Rassal bir değişken ya kesikli ya sürekli olur.

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Özellikleri Değişkenler Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

16 / 36

Değişkenler Giriş Taylor Serileri

■ Rassal bir değişken ya kesikli ya sürekli olur.

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

■ Kesikli bir rd ancak sonlu (ya da sayılabilir sonlu)

Newton Rhapson Metodu

sayıda değer alır.

Olasılık Olasılık Özellikleri Değişkenler Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

16 / 36

Değişkenler Giriş Taylor Serileri

■ Rassal bir değişken ya kesikli ya sürekli olur.

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

■ Kesikli bir rd ancak sonlu (ya da sayılabilir sonlu)

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Özellikleri Değişkenler Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

sayıda değer alır. ■ Sözgelimi, her biri 1’den 6’ya kadar numaralanmış iki

zar atıldığında, zarların üste gelen yüzlerindeki sayıların toplamı olarak tanımlanan X rassal sayısı şu değerlerden birini alır: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Demek ki kesikli bir rassal değişkendir.

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

16 / 36

Değişkenler Giriş Taylor Serileri

■ Rassal bir değişken ya kesikli ya sürekli olur.

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

■ Kesikli bir rd ancak sonlu (ya da sayılabilir sonlu)

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Özellikleri Değişkenler Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

sayıda değer alır. ■ Sözgelimi, her biri 1’den 6’ya kadar numaralanmış iki

alabilir.

16 / 36

Değişkenler Giriş Taylor Serileri

■ Rassal bir değişken ya kesikli ya sürekli olur.

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

■ Kesikli bir rd ancak sonlu (ya da sayılabilir sonlu)

sayıda değer alır. ■ Sözgelimi, her biri 1’den 6’ya kadar numaralanmış iki

alabilir. ■ Öyleyse bir kimsenin kilosu sürekli bir değişkendir -

ölçümün hassaslığına göre diyelim 70-73 kg aralığında her değeri alabilir.

16 / 36

Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Rassal Değişkenler OYF

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

17 / 36

Rassal Değişkenler OYF Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Rassal Değişkenler OYF Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

X, x1 , x2 , . . . , xn . . . gibi ayrık değerler alan kesikli bir rd olsun. O zaman f (x) = P (X = xi ) i = 1, 2, 3, . . . , n, . . . =0 x= 6 xi Fonksiyonuna, X’in kesikli olasılık yoğunluk fonksiyonu denir, burada P (X = xi ), X rassal değişkeninin xi değerini alması olasılığıdır.

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

18 / 36

X sürekli bir rd olsun. Aşağıdaki koşul sağlanırsa f (x), X’in OYF’sidir denir:

∞

f (x) ≥ 0 f (x) dx = 1

−∞ b

f (x) dx = P (a ≤ x ≤ b)

Burada f (x) dx, sürekli bir değişkenin dar bir aralıktaki olasılığı diye bilinir; P (a ≤ x ≤ b) ise X’in a, b aralığında kalma olasılığı anlamına gelir.

18 / 36

Rassal Değişkenler OYF Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

Kesikli bir rd’nin tersine, sürekli bir rd için, X’in belli bir değer alma olasılığı sıfırdır; böyle bir değişkenin olasılığı ancak, graﬁkte gösterilen (a,b) gibi bir aralıkta ölçülebilir. 18

Newton Rhapson Metodu

P(a≤X≤b)

Olasılık

16 14

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Rassal Değişkenler OYF

12 10

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

8 6

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları

4 2

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

-15%

-10%

-5%

10%

15%

18 / 36

Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bileşik Olasılık OYF Olasılık Dağılımlarının Özellikleri Ortak Varyans ve Korelasyon

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

19 / 36

Bileşik Olasılık OYF Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bileşik Olasılık OYF Olasılık Dağılımlarının Özellikleri Ortak Varyans ve Korelasyon

Kesikli bileşik OYF X ile Y iki kesikli rassal değişken olsun. O zaman: f (x, y) = P (X = x ve Y = y) = 0 X 6= x ve Y = 6 y iken f (x) kesikli bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu adını alır ve X’in x değerini ve Y ’nin y değerini almasının (bileşik) olasılığını gösterir.

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

20 / 36

Bileşik Olasılık OYF Giriş Taylor Serileri

X, Y Bileşik Dağılım

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bileşik Olasılık OYF Olasılık Dağılımlarının Özellikleri Ortak Varyans ve Korelasyon Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları

0 1 2 3 Pr(Y=y)

Y 0

Pr(X=x)

0,125 0,250 0,125 0,000 0,5

0,000 0,125 0,250 0,125 0,5

0,125 0,375 0,375 0,125

Tablo içindeki rakamların toplamı 1 olmalıdır. Tablo Pr(X=x) sütunu şöyle anlaşılmalıdır: Y 0 veya 1 iken X’in 0 olması (birinci satır), X’in 1 olması (ikinci satır). . .

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

20 / 36

Bileşik Olasılık OYF Giriş Taylor Serileri

X, Y Bileşik Olasılık Yoğunluk 0,250

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

0,200

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bileşik Olasılık OYF Olasılık Dağılımlarının Özellikleri Ortak Varyans ve Korelasyon Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları

0,150 p(x,y) 0,100 0,050 1

0,000 0

1 x

0 2

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

20 / 36

Bileşik Olasılık OYF Giriş Taylor Serileri

X Marjinal Yoğunluk

0,4

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

0,35

Newton Rhapson Metodu

0,3

Olasılık

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bileşik Olasılık OYF Olasılık Dağılımlarının Özellikleri Ortak Varyans ve Korelasyon Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

0,25 p(x)

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

2 x

3 20 / 36

Bileşik Olasılık OYF Giriş Taylor Serileri

Y Marjinal Yoğunluk

0,6

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

0,5

Newton Rhapson Metodu Olasılık

0,4 p(y)

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

0,3 0,2 0,1 0 0

1 y

20 / 36

Sürekli iki değişken olan X ile Y’nin OYF’si f(x,y) şöyledir:

∞

−∞

∞

f (x, y) ≥ 0 f (x, y) dx dy = 1

−∞ dZ b a

f (x, y) dx dy = P (a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d)

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

20 / 36

Olasılık Dağılımlarının Özellikleri Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bileşik Olasılık OYF Olasılık Dağılımlarının Özellikleri Ortak Varyans ve Korelasyon Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

Beklenen Değer Kesikli bir rd olan X’in beklenen değeri E(X) ve varyansı var(X), şöyle tanımlanır: X X E(X) = xf (x) var(X) = (x − µ)2 f (X) x

Burada

, X’in bütün değerlerinin toplamı, f(x) ise X’in

(kesikli) OYF’sidir. Sürekli bir rd için beklenen değer ve varyans: Z ∞ Z ∞ E(X) = xf (x) dx var(X) = (x−µ)2 f (x) dx −∞

−∞

21 / 36

Ortak Varyans ve Korelasyon Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bileşik Olasılık OYF Olasılık Dağılımlarının Özellikleri Ortak Varyans ve Korelasyon

X ile Y, ortalamaları sırasıyla µx ile µy olan iki rd olsun. Bu iki değişken arasındaki ortak varyans (covariance) şöyle tanımlanır: orv(X, Y ) = E(X − µx )(Y − µy ) = E(XY ) − µx µy Korelasyon katsayısı: orv(X, Y ) ρ= σx σy

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

22 / 36

Ortak Varyans ve Korelasyon Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Eğer X ile Y kesikli rassal değişkenlerse ortak varyans: XX orv(X, Y ) = (X − µx )(Y − µy ) f (x, y) y

XX y

XY f (x, y) − µx µy

22 / 36

X ile Y sürekli rassal değişkenlerse ortak varyans: orv(X, Y ) Z ∞Z ∞ = (X − µx )(Y − µy ) f (x, y) dx dy −∞ Z Z−∞ ∞ ∞ = XY f (x, y) dx dy − µx µy −∞

−∞

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

22 / 36

Beklenen Değer, Varyans, Ortak Varyans ve Korelasyon Özellikleri E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ) V ar(X) ≥ 0 V ar(aX + b) = a2 V ar(X) V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2orv(X, Y ) orv(X, X) = V ar(X) orv(X, Y ) = orv(Y, X) orv(X, aY + bZ) = a orv(X, Y ) + b orv(X, Z) −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1 22 / 36

Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

23 / 36

Binom Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

X rassal değişkeni ancak ve ancak olasılık dağılımı n x b(x; n; p) = p (1 − p)n−x x

x = 0, 1, 2, 3 . . . , n

biçimindeyse iki terimli binom dağılımına uyar ve iki terimli rassal değişken olarak adlandırılır.

24 / 36

Binom Dağılımı Giriş Taylor Serileri

Denklemdeki ifadeler:

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

■ n Deneme sayısı

Newton Rhapson Metodu

■ p Başarı oranı

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

■ 1 − p = q Başarısızlık oranı ■ x Başarılı gözlem sayısı

n ■ n denemede başarılı x denemesinin seçilebileceği x n n! yol sayısı: = x x!(n − x)! ■ n − x Başarısız gözlem sayısı 24 / 36

Binom Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

Binom olasılık deneyinin özellikleri: 1. Her bir deneme sadece iki sonuçla bitebilir, veya deneme sonuçları ikiye indirilebilir. 2. Deneme sayısı sabit olmak zorundadır. 3. Denemelerin sonuçları birbirinden bağımsız olmak zorundadır. 4. Başarı olasılığı tüm denemelerde aynıdır. Binom dağılımı için aşağıdaki özelliği yazabiliriz: b(x, n, p) = b(n − x, n, 1 − p)

24 / 36

Türkiye’de işsizlik oranı yetişkinler arasında %13 olarak açıklanmıştır. Rastgele seçilen 200 yetişkin içerisinde: 1. 20 işsiz olması 2. En fazla 20 işsiz olması 3. En az 20 işsiz olması 4. 20’den fazla işsiz olması olasılıkları nedir?

24 / 36

Sırasıyla: %3,98 %12,15, %91,82, %87,84 Excel programından faydalanılarak oluşturulan çözüm: ■ P (K = k) =BINOMDIST(20,200,%13,0) ■ P (K ≤ k) =BINOMDIST(20,200,%13,1) ■ P (K ≥ k) = 1 − P (K ≤ k) + P (K = k) ■ P (K > k) = 1 − P (K ≤ k)

24 / 36

Binom Dağılımı Giriş

0,09 0,08

Taylor Serileri

Newton Rhapson Metodu

0,07 0,06

Olasılık

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

0,02 0,01

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

χ (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

0 0

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

0,04 0,03

Olasılık

1 0,9 0,8 0,7 0,6

BOYF

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı

0,05

0,5 0,4 0,3 0,2 K

0,1 0 0

24 / 36

Binom Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

Binom dağılımı momentleri: µ = n · p ;σ =

√

n·p·q

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

24 / 36

Poisson Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

■ Binom dağılımında n sayıda örnek ile hesaplamaları

gerçekleştirdik. ■ Örnek sayısı çok yüksek, başarı oranı düşük ise

ikiterimli dağılım olasılıklarını hesaplamak zorlaşır. ■ n → ∞ ve p → 0 iken np sabit kaldığında iki terimli

dağılımın limitteki biçimine bakalım.

■ Sabit olarak nitelediğimiz np, λ olarak

adlandırılacaktır.

25 / 36

b(x; n; p) n−x x λ n λ 1− = n n x

x n−x n(n − 1)(n − 2), . . . , (n − x + 1) λ λ = 1− x! n n

Yukarıdaki denklemin limitteki dağılımı: λx e−λ p(x, λ) = x!

25 / 36

Bir X rassal değişkeni, olasılık yoğunluk fonksiyonu: λx e−λ p(x, λ) = x!

x = 1, 2, 3, . . .

şeklindeyse Poisson dağılımına uyar ve Poisson rassal değişkeni adını alır. n ≥ 100 ve np < 10 ise Poisson dağılımı fonksiyonu ile bulunan değerler iki terimli dağılım değerine mükemmel ölçüde yaklaşır.

25 / 36

Boğaz köprüsünden geçen araçların kaza yapma olasılığı 0,00003 ve köprüyü 200.000 araç geçtiği varsayımı ile: ■ 5 tane ■ En çok 5 tane ■ 5’ten fazla

kaza olma olasılıkları nedir?

25 / 36

Poisson Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Çözüm: 0, 00003 ∗ 200.0005 e−0,00003∗200.000 p(X = 5) = = 0, 1606 5!

p(X ≤ 5) = p(X = 5) + p(X = 4) + p(X = 3) + p(X = 2) + p(X = 1) + p(X = 0) = 0, 1606 + 0, 1339 + 0, 0892 + 0, 0446 + 0, 0149 + 0, 0025 = 0, 4457 5’ten fazla kaza olma ihtimali: 1 − p(X ≤ 5) = 1 − 0, 4457 = 0, 5543

25 / 36

Poisson Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Poisson dağılımı momentleri: Ortalama µ = λ Varyans σ 2 = λ Moment üreten fonksiyonu:

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

MX (t) = exp λ(e − 1)

25 / 36

Poisson Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Poison dağılımı, zaman ile ilgili olarak da yazılabilir. Eğer λ = αt poison dağılımına uygun hareket eden bir rassal değişkenin ortalaması ise, t zamanındaki başarı sayısı aşağıdaki poison dağılımına uyar: exp {−αt} (αt)x p(x; αt) = x!

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

25 / 36

λ > 0 olan bir süreç eğer aşağıdaki koşulları sağlıyorsa Homojen Poisson Stokastik Süreci olarak adlandırılır: ■ Sıfırdan başlar, X0 = 0 ■ Artışlar birbirinden bağımsızdır ve durağan süreç izler

(stationary process). Xt − Xs , t > s ise, Xt−s − X0 ile aynı dağılıma uygun hareket eder. ■ Her t > 0’da Xt , Poisson P oi(λt) dağılımına tabidir.

Homojen Poisson dağılımı kümülatif olasılık yoğunluk fonksiyonu: P (Y1 ≤ x) = 1 − e−λx 25 / 36

Rassal (sĂźrekli) bir deÄ&#x;iĹ&#x;ken, X, eÄ&#x;er OYFâ&#x20AC;&#x2122;si Ĺ&#x;u kalÄąba uyuyorsa normal daÄ&#x;ÄąlmaktadÄąr denir: 2 1 (x â&#x2C6;&#x2019; Âľ) 1 â&#x2C6;&#x161; exp â&#x2C6;&#x2019; f (x) = 2 Ď&#x192;2 Ď&#x192; 2Ď&#x20AC; Âľ ile Ď&#x192; 2 , daÄ&#x;ÄąlÄąmÄąn sÄąrasÄąyla ortalamasÄą ve varyansÄądÄąr

BazÄą Ă&#x2013;nemli Kuramsal OlasÄąlÄąk DaÄ&#x;ÄąlÄąmlarÄą Binom DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Poisson DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm Log Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm Gama DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Ď&#x2021;2 (Ki-Kare) DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Student t DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą F DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Beta DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Ä°ki DeÄ&#x;iĹ&#x;kenli Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm

26 / 36

Normal Dağılım Giriş

N(0,1)

N(0,2)

N(-1,0)

N(-1,2)

Taylor Serileri

0,45

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

0,4

Newton Rhapson Metodu

0,35

Olasılık

0,3

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

0,25

0,2 0,15 0,1 0,05 0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

26 / 36

Normal Dağılım Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

Özellikleri: ■ Ortalamasının iki yanında simetriktir. ■ Normal dağılım kurtosis değeri 3, çarpıklık değeri ise

sıfırdır. Kurtosis değeri 3’ten büyük olan dağılımlar leptokurtic olarak adlandırılır. Normal dağılımdan farklı dağılımlarda çarpıklık negatif veya pozitif olabilir. ■ Normal eğri altında kalan alanın yaklaşık yüzde 68’i

µ ± σ değerleri, yüzde 95 kadarı µ ± 2σ değerleri, yüzde 99,7 kadarı da µ ± 3σ değerleri arasında yer alır. 26 / 36

Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm GiriĹ&#x; Taylor Serileri Taylor Serisi ve KĂźmĂźlatif Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm Newton Rhapson Metodu OlasÄąlÄąk OlasÄąlÄąk YoÄ&#x;unluk FonksiyonlarÄą BileĹ&#x;ik OlasÄąlÄąk YoÄ&#x;unluk Fonksiyonu BazÄą Ă&#x2013;nemli Kuramsal OlasÄąlÄąk DaÄ&#x;ÄąlÄąmlarÄą Binom DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Poisson DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm Log Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm Gama DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Ď&#x2021;2 (Ki-Kare) DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Student t DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą F DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Beta DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Ä°ki DeÄ&#x;iĹ&#x;kenli Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm

â&#x2013; Normal daÄ&#x;ÄąlÄąm iki anakĂźtle parametresi olan Âľ ile

Ď&#x192; 2 â&#x20AC;&#x2122;ye dayanÄąr, bunlar bir kez belirlendi mi, Xâ&#x20AC;&#x2122;in belli bir aralÄąkta olma olasÄąlÄąÄ&#x;Äą, normal daÄ&#x;ÄąlÄąmÄąn OYFâ&#x20AC;&#x2122;si kullanÄąlarak bulunabilir. Bunun iĂ§in, Âľ ve Ď&#x192; 2 â&#x20AC;&#x2122;si verilmiĹ&#x; normal daÄ&#x;ÄąlmÄąĹ&#x; X deÄ&#x;iĹ&#x;kenini, standartlaĹ&#x;tÄąrÄąlmÄąĹ&#x; normal deÄ&#x;iĹ&#x;ken Zâ&#x20AC;&#x2122;ye aĹ&#x;aÄ&#x;Äądaki gibi dĂśnĂźĹ&#x;tĂźrĂźrĂźz: xâ&#x2C6;&#x2019;Âľ Z= Ď&#x192; StandartlaĹ&#x;tÄąrÄąlmÄąĹ&#x; bir deÄ&#x;iĹ&#x;kenin ortalamasÄą sÄąfÄąr, varyansÄą bir olur. Zâ&#x20AC;&#x2122;yi daha Ăśnce verilen normal OYFâ&#x20AC;&#x2122;de yerine koyarsak: 1 1 2 F (Z) = â&#x2C6;&#x161; exp â&#x2C6;&#x2019; Z 2 2Ď&#x20AC; 26 / 36

■ Normal dağılmış bir değişken geleneksel olarak şöyle

yazılır: X ∼ N (µ, σ 2 ) Burada ∼ , “dağılmaktadır” anlamına gelir, N normal dağılımı gösterir, ayraç içindeki iki büyüklük de normal dağılımın iki anakütle parametresi olan ortalama ve varyanstır. Bu yol izlenirse, X ∼ N (0, 1) X’in sıfır ortalama ve birim varyansla normal dağıldığı anlamına gelir. Başka bir deyişle, standartlaştırılmış normal bir Z değişkenidir. 26 / 36

Log Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm GiriĹ&#x; Taylor Serileri Taylor Serisi ve KĂźmĂźlatif Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm Newton Rhapson Metodu OlasÄąlÄąk OlasÄąlÄąk YoÄ&#x;unluk FonksiyonlarÄą BileĹ&#x;ik OlasÄąlÄąk YoÄ&#x;unluk Fonksiyonu BazÄą Ă&#x2013;nemli Kuramsal OlasÄąlÄąk DaÄ&#x;ÄąlÄąmlarÄą Binom DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Poisson DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm Log Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm Gama DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Ď&#x2021;2 (Ki-Kare) DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Student t DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą F DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Beta DaÄ&#x;ÄąlÄąmÄą Ä°ki DeÄ&#x;iĹ&#x;kenli Normal DaÄ&#x;ÄąlÄąm

y = ln(x) normal daÄ&#x;ÄąlÄąma uygun hareket ediyorsa o zaman x lognormal olarak daÄ&#x;ÄąlÄąr. Lognormal olasÄąlÄąk daÄ&#x;ÄąlÄąm fonksiyonu: f (X) =

1 â&#x2C6;&#x161;

xĎ&#x192;y 2Ď&#x20AC;

exp

â&#x2C6;&#x2019;(ln(x) â&#x2C6;&#x2019; Âľy ) 2Ď&#x192;y2

Fonksiyon, X deÄ&#x;iĹ&#x;keninin pozitif deÄ&#x;erleri iĂ§in tanÄąmlanmÄąĹ&#x;tÄąr.

27 / 36

Log Normal Dağılım Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

µy , σy , µx , σx aşağıdaki formüller ile ifade edilebilir:   i 21 h 2 µy = ln  µx 1  σy = ln µσx2 + 1 2 σx +1 µ2 x

n µx = exp µy +

σy2 2

12 2 σx = µx eσy − 1

27 / 36

Log Normal Dağılım Giriş

0,18

Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

0,16 0,14

ln(X) Ortalama (µ)= 2

0,12 ln(X) Standart Sapma (σ)=1

0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0

27 / 36

Normal dağılım ve lognormal dağılım 1 ve ikinci momentleri için tabloda gösterilen dönüşüm formülleri kullanılabilir. Finansal Varlık Getiriler

Log Getiriler

Dağılım

Log Normal

Normal

1. Moment 2. Moment

M1 M2

M V

1. Moment 2. Moment

M 1 = exp(M + 0.5V ) M 2 = exp(2M + 2V )

M = 2ln(M 1) − 0.5ln(M 2) V = 2ln(M 1) + ln(M 2)

27 / 36

z, standart normal değişken, T zaman ise uygun z değeri ve T yılı verildiğinde lognormal dağılım özelliklerini kullanarak gelecekteki birikimlerimizi tahmin edebileceğimiz bir formül yazabilir miyiz? √ ln(WT ) = M T + z V T o n √ WT = W0 exp M T + z V T W0 : Başlangıç Anındaki Birikim WT : T Anındaki Birikim

27 / 36

Log Normal Dağılım Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

254 ay önce İMKB 100 endeksine yatırılan 1 TL 254 ay sonunda yaklaşık 150 TL olduysa önümüzdeki 24 ay boyunca %10, %25, %50, %75, %90 olasılıkla portföy hangi değerde olabilir?

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

M = 0, 0200, V = 0, 0220 (Aylık)

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Hesaplanan değerler aşağıdaki graﬁkte gösterildi.

Gerçek

10%

25%

50%

75%

90% 700

600

500

400

300

200

100

0 -256

-232

-208

-184

-160

-136

-112

-88

-64

-40

-16

27 / 36

Gama Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Bir değişkenin gama rassal değişkeni adını alabilmesi için olasılık yoğunluk fonksiyonunun aşağıdaki gibi olması gerekir: ( 1 α−1 −x/β x e x > 0 ise, α β Γ(α) g(x; α; β) = 0 değilse.

28 / 36

Gama Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Olasılık yoğunluk hesaplanmasında kullanılan Γ fonksiyonu: Z ∞ Γ(α) = xα−1 e−x dx α > 0 0

α şekil β ise ölçek parametresidir. Dağılımın ilk iki momenti: µ = αβ

; σ 2 = αβ 2

28 / 36

Gama Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Gama dağılımı değişik α ve β değerleri için aşağıdaki graﬁkte gösterildi. Alfa=4 Beta=8

Alfa=6 Beta=10

Alfa=8 Beta=12

0,03

0,025

0,02

0,015

0,01

0,005

0 0

100

120

140

160

180

200

28 / 36

χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

Z1 , Z2 , . . . , Zk , bağımsız standartlaştırılmış normal değişkenler (yani sıfır ortalama ve birim varyanslı) normal değişkenler olsun. Bu durumda,

k X

Zi2

i=1

■ Büyüklüğü, k serbestlik derecesi (sd) ile χ2 dağılımı

gösterir ■ Burada sd terimi, yukarıdaki toplamda bulunan

bağımsız büyüklüklerin sayısı anlamına gelir. ■ Bir ki-kare değişkeni χ2k ile gösterilir, burada k, sd

göstergesidir.

29 / 36

χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

Ki-kare dağılımı 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 SD= 2 0,25 0,2

SD= 4

0,15 SD= 10

0,1

SD= 20

0,05 0 0

29 / 36

χ2 dağılımının özellikleri aşağıdadır: ■ Graﬁkte gösterildiği gibi, χ2 dağılımı çarpık bir

dağılımdır, çarpıklığın derecesi sd’ye bağlıdır. Görece küçük sd için dağılım bir hayli sağa çarpıktır; ama sd sayısı yükseldikçe, dağılım gittikçe artan biçimde simetriye yaklaşır. 100’ü aşan sd için şu değişken, p √ 2 2χ − 2k − 1

Standartlaştırılmış bir normal değişken sayılabilir, burada k, sd’dir.

29 / 36

χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

■ Ki-kare dağılımının ortalaması k, varyansı 2k’dir,

burada k, sd’dir. ■ Eğer Z1 ile Z2 , k1 ve k2 sd ile iki bağımsız ki-kare

değişkeniyse, Z1 + Z2 toplamı da sd = k1 + k2 olan bir ki-kare değişkeni olur.

29 / 36

Student t Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

■ Eğer Z1 ∼ N (0, 1) ise başka bir Z2 değişkeni, k sd ile

ki-kare dağılımına uyuyor ve Z1 ’den bağımsız dağılıyorsa, o zaman,

■

t= p Z2 /k √ Z1 k = √ z2 Biçiminde tanımlanmış bir değişken, k sd ile Student t dağılımına uyar. ■ Bir t dağılımı değişkeni sıklıkla tk ile gösterilir, burada

k, sd’dir. 30 / 36

Student t Dağılımı Giriş Taylor Serileri

T dağılımı

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

0,45 SD= 1 0,4

Newton Rhapson Metodu

0,3

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

SD= 3

0,35

SD= 2

Olasılık

0,25

SD= 10

0,2 0,15

SD= 30

0,1 0,05 0 -8

-6

-4

-2

30 / 36

Student t dağılımının özellikleri şunlardır: ■ Şekilde gösterildiği gibi, t dağılımı, normal dağılım

gibi simetriktir, ama normal dağılımdan daha yayvandır. Fakat sd yükseldikçe normal dağılıma yakınsar. ■ t dağılımının ortalaması sıfır, varyansı k/(k-2)’dir.

30 / 36

F Dağılımı Giriş Taylor Serileri

■ Eğer Z1 ile Z2 , sırasıyla k1 ve k2 sd ile, bağımsız

dağılmış ki-kare değişkenleriyse,

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

■

Z1 /k1 F = Z2 /k2 değişkeni, k1 ve k2 sd ile (Fisher) F dağılımına uyar. ■ Bir F dağılımı değişkeni Fk1 ,k2 ile gösterilir, burada

altimler iki Z değişkeninin sd’lerini gösterir, k1 pay sd, k2 payda sd adını alır.

31 / 36

F Dağılımı Giriş Taylor Serileri

F dağılımı

k 4,10

k 10,20

k 20,40

k 40,60

k 60,80

1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

χ (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

31 / 36

F Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

F dağılımı aşağıdaki özellikleri taşır: ■ Ki-kare dağılımı gibi F dağılımı da sağa çarpıktır.

Ama k1 ve k2 büyüdükçe F dağılımının da normal dağılıma yaklaştığı gösterilebilir.

■ Bir F dağılımı değişkeninin ortalama değeri, k2 > 3

için k2 /(k2 − 2)’dir, varyansı ise, k2 > 4 için tanımlanmış biçimiyle şöyledir: 2k22 (k1 + k2 − 2) k1 (k1 − 2)2 (k2 − 4)

31 / 36

F Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

■ k sd ile bir t dağılımı rassal değişkeninin karesi, 1 ve k

sd ile bir F dağılımına uyar. Simgelerle gösterirsek t2k = F1,k

■ Eğer payda sd’si k2 yeterince büyükse, F ile ki-kare

dağılımları arasında şu ilişki vardır: k1 F ∼ χ2k1 Yani, yeterince büyük payda sd’si için, pay sd’sinin F değeri ile çarpımı, pay sd’li ki-kare değerinin yaklaşık aynısıdır. 31 / 36

F Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

Student t, ki-kare ve F dağılımları büyük sd’lerde normal dağılıma yakınsadıklarından, bu üç dağılıma normal dağılımla ilişkili dağılımlar denir.

31 / 36

Beta Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

■ Herhangi bir değişkenin Beta Rassal Değişkeni olarak

adlandırılabilmesi için olasılık yoğunluğunun aşağıdaki gibi tanımlanmış olması gerekir: ( Γ(α+β) α−1 β−1 x (1 − x) 0 < x < 1 ise, Γ(α)·Γ(β) f (x) = 0 değilse.

■ Bu fonksiyonda α > 0 β > 0’dır

32 / 36

Beta Dağılımı Giriş Taylor Serileri

Beta dağılımının ortalaması ve varyansı:

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

α αβ 2 µ= ,σ = α+β (α + β)2 (α + β + 1)

32 / 36

Beta Dağılımı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

Beta Dağılımı 4

P(X <= 0,6)

3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

32 / 36

Beta Dağılımı Giriş Taylor Serileri

Çeşitli α, β Değerleri İle Beta Dağılımları

χ (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

Alfa=2 Beta=4

Alfa=4 Beta=6

Alfa=10 Beta=12

Alfa=20 Beta=40

0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

32 / 36

İki Değişkenli Normal Dağılım Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

X, Y rassal değişken çifti, ortak olasılık yoğunlukları aşağıdaki gibiyse iki değişkenli normal dağılıma uyar ve ortak dağılmış rassal değişkenler diye adlandırılırlar. −∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞ için: f (x, y) exp {−Q/ [2(1 − ρ2 )]} p = 2πσ1 σ2 1 − ρ2

y − µ2 (x − µ1 ) (y − µ2 ) x − µ1 + − 2ρ Q= σ1 σ2 σ1 σ2 σ1 > 0, σ2 > 0, −1 < ρ < 1, ρ Korelasyon Katsayısı 33 / 36

İki Değişkenli Normal Dağılım Giriş Taylor Serileri

İki Değişkenli Normal Dağılım

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

1,6

Newton Rhapson Metodu

1,4

Olasılık

1,2

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

χ2 (Ki-Kare) Dağılımı Student t Dağılımı F Dağılımı Beta Dağılımı İki Değişkenli Normal Dağılım

p(x,y)

0,6 0,4 -3

0,2 -1

-1

-2

-3

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Normal Dağılım Log Normal Dağılım Gama Dağılımı

0,8

33 / 36

X marjinal olasılık yoğunluğu: ( 2 ) 1 x − µ1 1 g(x) = √ exp − 2 σ1 σ1 2π X = x iken Y ’nin koşullu yoğunluğu ilk iki momenti: µy|x

σ2 = µ2 + ρ (x − µ1 ), σ1

2 = σ22 (1 − ρ2 ) σy|x

Y = y iken X’nin koşullu yoğunluğu ilk iki momenti: µx|y

σ1 = µ1 + ρ (y − µ2 ), σ2

2 = σ12 (1 − ρ2 ) σx|y

33 / 36

Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

34 / 36

Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

Black Scholes opsiyon denklemi logaritmik getirilerin normal dağıldığı varsayımı altında ﬁyatlanır. Hatırlayacak olursak: Alım Opsiyonu: c = Se(b−r)τ N (d1 ) − Ke−rT N (d2 ) Satım Opsiyonu: p = Ke−rT N (−d2 ) − Se(b−r)τ N (−d1 ) log(St /K) + (b + 0.5σ 2 ) τ √ d1 = σ τ √ d2 = d1 − σ τ 35 / 36

Moment Özellikleri: Finansal Varlık Getiriler

Log Getiriler

Dağılım

Log Normal

Normal

1. Moment 2. Moment

M1 M2

M V

1. Moment 2. Moment

M 1 = exp(M + 0.5V ) M 2 = exp(2M + 2V )

M = 2ln(M 1) − 0.5ln(M 2) V = 2ln(M 1) + ln(M 2)

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

35 / 36

Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Alım opsiyonu formülünü moment özellikleri tablosundaki ifadeleri kullanarak yeniden düzenleyelim: ■ M = ln(S) + r − q − 0.5σ 2 )T ve V = σ 2 T olarak

yazabiliriz.

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

■ exp(M + 0, 5V ) ifadesi, S exp[(r − q)T ] formuna

indirgenebilir

■ Yukarıdaki ifadelerin ışığında alım opsiyonu formülü:

c(LN ) = exp(−rT )[exp(M +0, 5 V )N (d1 )−X N (d2 )] √ √ ■ d2 = [M − ln(X)]/ V = d1 − V 35 / 36

Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Normal dağılım momentlerinden lognormal momentlere geçişi hatırlayalım: M 1 = exp(M + 0, 5V ) ve M 2 = exp(2M + 2V )

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

■ M 1 ve M 2, gama dağılımı ﬁyatlamasında

kullanılacak. 1 ■ Eğer değişkeni gama dağılımına uygun hareket A ediyorsa A değişkeni resiprokal gama dağılımına göre hareket eder.

Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

35 / 36

Gama dağılımı şekil α ve ölçek β parametrelerini lognormal dağılım momentlerini kullanarak tahmin edebiliriz: 2M 2 − M 12 α= M 2 − M 12 M 2 − M 12 β= M1 × M2

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

35 / 36

RG opsiyon ﬁyatı: c(RG) = exp(−rT )M 1 g1 − X g2 ■ g1 ve g2 Black Scholes denklemindeki N (d1 ) ve

N (d2 ) terimlerinin yerini alır. Bu değerleri hesaplamak için Excel kullandık. ■ Excel g1 formülü:

GAMMADIST(1/X;alpha-1;beta;TRUE) ■ Excel g2 formülü:

GAMMADIST(1/X;alpha;beta;TRUE)

35 / 36

Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

RG opsiyon ﬁyatı özellikle paradan uzak opsiyonların ﬁyatlanmasında BS değerine göre farklılık gösterir. Aşağıdaki tabloda sayısal bir örnek ele alınmıştır.

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

(S) (X) (r) (q) (T, yıl) (v)

5,00 6,00 12,00% 2,00% 0,50 40,00%

LN Fiyat RG Fiyat

0,31 0,31

M V

1,6194 0,0800

M1 M2

5,26 29,93

d1 d2 N (d1) N (d2)

-0,3264 -0,6092 0,3721 0,2712

α β g1 g2

14,0067 0,0146 0,3544 0,2559

=exp(-r*T)(exp(M+0,5*V)*N(d1)-X*N(d2)) =exp(-r*T)(M1*g1-X*g2)

α=(2*M2-M12 )/(M2-M12 ) β=(M2 − M12 )/(M1*M2) 35 / 36

Sıçrama Difüzyon Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Merton (1976) sıçrama difüzyon süreci modeli: dS = (r − λk)S dt + σSdW + kdq dW , Brown hareketi, dq ise sıçrama bileşeni.

36 / 36

Sıçrama Difüzyon Giriş Taylor Serileri

Merton’a göre:

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

■ Sıçrama riskleri birbirinden bağımsızdır

Newton Rhapson Metodu

■ Portföy içerisinde bulunan hisselerin bazısı yukarı

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları

sıçrama yaparken diğerleri aşağı sıçrama ile süreci dengeler. ■ Sıçrama riski bu şekilde tanımladığında sıçramadan

kaynaklanan riskin yönetilmesi mümkün hale gelir.

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

36 / 36

Sıçrama Difüzyon Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

Merton, sıçrama difüzyon süreci opsiyon ﬁyat formüllerinde kullanılacak değişkenler: ■ λ Bir yılda beklenen sıçrama sayısı ■ v Sıçramalar da dahil toplam volatilite ■ γ Volatilitenin sıçrama ile açıklanan bölümü

(yüzdesel) Formüller: c= p=

∞ X e−λT (λT )i

i=0 ∞ X i=0

ci (S, K, T, r, σi )

e−λT (λT )i pi (S, K, T, r, σi ) i! 36 / 36

Sıçrama Difüzyon Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu

Bates (1991) daha gerçekçi bir model ileri sürdü: ¯ dS = (b − λk)Sdt + σSdW + kdq Modelin Merton modelinden farkları:

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları

■ Sıçramalar asimetriktir, ortalamaları sıfırdan farklıdır

Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

■ Sıçrama riski, portföy çeşitlendirilmesi ile ortadan

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları

kaldırılamaz

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

36 / 36

Sıçrama Difüzyon Giriş Taylor Serileri

Bates modelindeki değişkenler:

Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

■ S Menkul kıymet

Newton Rhapson Metodu

■ b Taşıma Maliyeti

Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

■ σ Sıçrama olmayan durum volatilitesi

¯ ve δ log menkul kıymet ﬁyatı ■ γ ¯ = ln(1 + k) sıçramalarının standart sapması

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

36 / 36

Bates modelindeki değişkenler II: ■ k Poisson dağılımına tabi bir olayın oluşmasına bağlı

olan rassal yüzdesel sıçrama, (1 + k lognormal olarak dağılır). ¯ Beklenen sıçrama büyüklüğü ■ k ■ λ Poisson olaylarının sıklığı ■ q Yoğunluğu λ olan Poisson dağılımı sayacı

Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

36 / 36

Sıçrama Difüzyon Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım

Formüller: c=

Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı

∞ X e−λT (λT )i

i=0 ∞ X i=0

ci (S, K, T, r, bi , σi )

e−λT (λT )i pi (S, K, T, r, bi , σi ) i!

p σi = σ 2 + δ 2 (i/T ) i¯ γ ¯ b i = b − λk + T

Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

36 / 36

Sıçrama Difüzyon Giriş Taylor Serileri Taylor Serisi ve Kümülatif Normal Dağılım Newton Rhapson Metodu Olasılık Olasılık Yoğunluk Fonksiyonları Bileşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

■ Merton ve Bates formüllerindeki alım ve satım

opsiyonları fonksiyonları, opsiyon greek fonksiyonları ile değiştirilerek greek riskleri elde edilebilir. ■ Opsiyon ﬁyatları sıçrama difüzyon formüllerinde çok

çabuk şekilde ﬁyata yaklaşır. ■ Eğer kod yazacak olsaydık i = 50 olarak kullanmak

yeterli olacaktı.

Bazı Önemli Kuramsal Olasılık Dağılımları Değişik Dağılımlar ile BS Fiyatı Gama Dağılımı İle Opsiyon Fiyatı Sıçrama Difüzyon

36 / 36