Finans Piyasalarında Volatilite Hesaplama Yöntemleri

T.C. MARMARA ÜNİVERSİTESİ BANKACILIK VE SİGORTACILIK ENSTİTÜSÜ SERMAYE PİYASASI ve BORSA ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS DÖNEM PROJESİ

FİNANSAL PİYASALARDA VOLATİLİTE HESAPLAMA YÖNTEMLERİ

Salim KASAP 903208002

İSTANBUL, 2009

T.C. MARMARA ÜNİVERSİTESİ BANKACILIK VE SİGORTACILIK ENSTİTÜSÜ SERMAYE PİYASASI ve BORSA ANABİLİM DALI

YÜKSEK LİSANS DÖNEM PROJESİ

FİNANSAL PİYASALARDA VOLATİLİTE HESAPLAMA YÖNTEMLERİ

Salim KASAP 903208002

Danışman: Yrd.Doç.Dr. İ. Özlem KOÇ

İSTANBUL, 2009

İçindekiler 1 Finansal Piyasalar ve Volatilite

1

1.1

Volatilite Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Volatilite Tahmini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Volatilite Hesaplama Yöntemleri

13

2.1

Tarihsel Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2

Üstel Ağırlıklı Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3

Garch (1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1

Garch(1,1) Değişkenlerin Tahmini . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2

Modelin Geçerliliği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3

GARCH(1,1) Gelecekteki Volatilitenin Tahmini . . . . . . . . 25

3 Volatilite ve Opsiyonlar

29

3.1

Opsiyon Volatilite Vade Yapısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2

Öngörülen Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tablo Listesi 1

Volatilite Verisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2

Ağırlıklı Ortalama Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3

60 Gün Opsiyon Volatilitesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4

GARCH(1,1) Değişken Tahmini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5

GARCH(1,1) 1999-2009 ve 2003-2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6

GARCH(1,1) Otokorelasyon Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7

İMKB30 Endeks Volatilite Vade Yapısı . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8

Volatilite Vade Yapısı %1 Volatilite Değişimi Etkisi . . . . . . . . . . 30

9

8 Ekim 2008 USDTL Öngörülen Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . 32

10

Uzun Zaman Yayılma Pozisyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

11

Uzun Zaman Yayılma Pozisyonu Greek Ölçümleri . . . . . . . . . . . 33

Şekil Listesi 1

USDTL 16.12.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

USDTL 10 Gün Volatilite 16.12.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . . . . . .

2

3

USDTL Volatilite Konisi 16.12.05 - 5.02.09

3

4

USDTL 10 Gün Volatilite Dağılım 16.12.05 - 5.02.09

. . . . . . . . .

4

5

USDTL Fiyat, 10 Gün Volatilite 16.12.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . . .

4

6

EURUSD / 10 Gün Volatilite 19.12.05 - 6.02.09 . . . . . . . . . . . .

5

7

EURUSD Volatilite Konisi 19.12.05 - 6.02.09 . . . . . . . . . . . . . .

6

8

İMKB 30 Endeks/ 10 Gün Volatilite 2.11.05 - 5.02.09 . . . . . . . . .

7

9

İMKB 30 Endeks Volatilite Konisi 2.11.05 - 5.02.09 . . . . . . . . . .

7

10

USDTL 1 Ay Volatilite 23.11.06 - 25.08.08 . . . . . . . . . . . . . . . 11

11

İMKB 30 ÜAHO Volatilite λ = 0, 94 25.01.99 - 6.02.09 . . . . . . . . 16

12

İMKB 30 / ÜAHO Volatilite λ = 0, 94: 25.01.99 - 6.02.09 . . . . . . . 17

13

İMKB 30 / GARCH(1,1) Volatilite: 25.01.99 - 6.02.09 . . . . . . . . . 22

14

İMKB 30 / GARCH(1,1) Volatilite: 1.01.03 - 6.02.09 . . . . . . . . . 24

15

GARCH(1,1) Volatilite Tahmini 25.01.99 - 6.02.09 . . . . . . . . . . . 26

16

GARCH(1,1) Volatilite Tahmini 1.01.03 - 25.11.08 . . . . . . . . . . . 27

17

GARCH(1,1) Volatilite Tahmini 1.01.03 - 6.02.09 . . . . . . . . . . . 28

18

USDTL 1 Ay ÖV-TV 12.12.03 - 19.12.08 . . . . . . . . . . . . . . . . 31

19

USDTL Öngörülen Volatilite Konisi 13.10.06 - 8.10.08 . . . . . . . . . 33

20

USDTL Öngörülen Volatilite Ekim 2006 - Aralık 2008 . . . . . . . . . 34

21

USDTL Opsiyon Fiyatları: Spot ve Volatilite Etkisi . . . . . . . . . . 34

. . . . . . . . . . . . . .

Kısaltmalar EYOT: En Yüksek Olasılık Tahmini EWMA: Exponential Weighted Moving Average GARCH: Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity İMKB: İstanbul Menkul Kıymetler Borsası ML: Maximum Likelihood ÖV: Öngörülen Volatilite TV: Tarihsel Volatilite U30: Ulusal 30 ÜAHO: Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalama VOB: İzmir Vadeli İşlemler ve Opsiyon Borsası

Giris¸ Ülkemiz finans piyasalarında oldukça yeni olarak nitelenebilecek türev ve ileri türev ürünlerin fiyatlaması, risklerinin yönetilmesi, gelecekte oluşabilecek senaryolara göre pozisyonların gözden geçirilmesi için kullanılan modellerde en önemli parametre volatilitedir. Volatilite, opsiyon fiyat modellerinde modele dışarıdan girilen tek değişkendir ve teorik modellerin gerçek dünya ile bağlantısını sağlar. Volatilite opsiyon fiyatlarının yorumlanması, ucuz ya da pahalı olduğunun anlaşılması için yoğun olarak kullanılmaktadır. Tarihsel volatiliteden farklı olarak, öngörülen volatilite (implied volatility) piyasada gözlemlenen opsiyon fiyatlarından hesaplanır veya doğrudan veri yayımcılarından temin edilebilir. Elde edilen bu değer ilerleyen kısımlarda değinilecek olan volatilite konisi, persentil, zskor vs. yöntemleri ile analiz edilip opsiyonun pahalı/ucuz volatilitenin yüksek/düşük olduğuna karar verilebilir.

Volatilite, dayanak varlık fiyatlarından farklı bir karakteristiğe sahiptir, volatilitenin özellikle ortalamaya dönüş eğilimi analizlerimizde önemli yer tutmaktadır.

Bu projede volatilite ve volatilitenin etkilerine değinilecektir. Proje üç bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde finansal piyasalar ve volatilite genel olarak ele alınmıştır. Karmaşık hesaplamalar kullanılmadan volatilite ve piyasa gözlemleri özellikle Türkiye örnekleri çerçevesinde incelenmiştir. Bu bölümde karmaşık hesap yöntemlerine erişim imkanı bulunmayan veya çok kısa zamanda karar alınması gereken durumlar için kullanılabilecek yöntemler açıklanmıştır. İkinci bölümde volatilite hesaplama yöntemleri incelenmiştir. Bu yöntemler: Tarihsel, Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalama ve GARCH(1,1) olarak sıralanmıştır.

Ayrıca GARCH(1,1) kullanılarak gelecekteki volatilitenin tahmini konusunda formüller yazılmıştır. Bölüm içerisinde çok sayıda Türkiye finans piyasalarından örnekler verilerek konunun açıklanmasına çalışılmıştır. Üçüncü bölümde ise volatilite ve opsiyonlar arasındaki ilişki irdelenmiştir.

GARCH(1,1) kullanılarak volatilite vade yapısı (volatility term structure) oluşturulması üzerinde durulmuş, volatilite değişiminin opsiyon fiyatları üzerindeki etkileri ele alınmıştır.

İzmir Vadeli İşlemler Borsası’nın, yakın bir zamanda opsiyon işlemlerine başlaması beklenmektedir. Volatilite ve opsiyonlar arasındaki ilişkinin doğru anlaşılması bu işlemleri yapan kişiler için önemli ve gereklidir. Volatilite karakteristiklerini bilmeden ve opsiyonlar ile ilişkisini kurmadan işlem yapanların riskleri tahminlerinden fazla olabilir ve çalıştıkları kurumlara ya da kendi hesaplarına beklemedikleri kadar büyük zararlar verebilirler.

Opsiyon işlemlerinin organize bir piyasada başlayacak olması, volatilite konusunun önemini arttırmaktadır. Bölümde ayrıca öngörülen volatilite (implied volatility) konusuna ve piyasadaki gözlemlere yönelik analizlere yer verilmiştir. Tüm projede hesaplamalarda kullanılan Excel VBA kodları, sırası geldikçe gösterilmiştir.

1 Finansal Piyasalar ve Volatilite 1.1

¨ Volatilite Ozellikleri

Volatilite tahmini yapmadan önce volatilite özelliklerinin incelenmesi yerinde olacaktır. Şekil 1’de, 16 Aralık 2005 - 5 Şubat 2009 tarihleri arasındaki veriyi içeren USDTL grafiği gösterilmiştir . Grafikte USDTL fiyatının serbest bir şekilde aşağı yukarı hareket etmiş olduğunu gözlemleyebiliyoruz: Fiyat 1,700 civarına üç defa gelmiş, 1,1500 seviyeleri de görülmüş. Grafik analiz edildiğinde UDSTL fiyatının herhangi bir ortalama değere doğru yöneldiği kolayca söylenemez. Ekonomik gerçekleşmeler ve piyasa arz talep koşullarının kur üzerinde etkili olduğu söylenebilir. Önümüzdeki dönem kurun 2,00; 3,00 veya 1,00 olacağı grafiğe bakarak iddia edilemez. Şekil 2’de 1,80 1,70 1,60 1,50 1,40 1,30 1,20

16.12.08

16.10.08

16.08.08

16.06.08

16.04.08

16.02.08

16.12.07

16.10.07

16.08.07

16.06.07

16.04.07

16.02.07

16.12.06

16.10.06

16.08.06

16.06.06

16.04.06

16.02.06

16.12.05

1,10

Şekil 1: USDTL 16.12.05 - 5.02.09 Kaynak: Bloomberg

USDTL 10 günlük volatilite grafiği gösterilmiştir. Volatilite hesaplamaları için logaritmik getiri serisi kullanılmıştır1 . Volatilite, USDTL fiyatına benzer şekilde aynı dönemde zaman zaman yükselmiş, zaman zaman düşmüştür. En yüksek %65 civarları görülmüş, en düşük ise %3 civarına inilmiştir. Volatilite grafiğinde dikkati çeken Volatilite ve logaritmik getiri konusunda detaylı bir analiz için bkz Espen Gaarder HAUG. The Complete Guide to Option Pricing Formulas.McGraw-Hill, NY, second edition, 2007 s.445 vd.

1

2

1.1 Volatilite Özellikleri

70,00%

60,00%

50,00%

40,00%

30,00%

20,00%

10,00%

0,00% 05.09.05

24.03.06

10.10.06

28.04.07

14.11.07

01.06.08

18.12.08

06.07.09

Şekil 2: USDTL 10 Gün Volatilite 16.12.05 - 5.02.09 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

en önemli nokta, volatilitenin yükseldiğinde/düştüğünde mutlaka ortalama bir değere doğru hareket etmiş olmasıdır. Kullanılan veri seti için bu değer %16 olarak hesaplanmıştır. Volatilite zaman zaman trend yapmaktadır. 2006 yılı ikinci yarısından 2007 yılı ikinci yarısına kadar volatilite düşük seyretmiş ve iniş çıkışlardan ziyade düşüş trendi içerisinde olmuştur. Bu ve benzeri dönemler düşük volatilite dönemi olarak yorumlanabilir. 2008 Ağustos-Ekim arasında volatilite, piyasadaki çalkantıyı gösterir şekilde yükseliş trendine girmiştir.

Volatilite özellikleri aşağıdaki gibi özetlenebilir: 1. Volatilitenin uzun dönemli bir ortalaması vardır, 2. Volatilite yükseldiğinde veya düştüğünde ortalama değerine dönme eğilimindedir, 3. Volatilitenin ortalamasına belirli bir dönüş hızı vardır.

Volatilite ve ortalama ilişkisi, şekil 3’de gösterilmiş olan volatilite konisi yardımı ile daha rahat analiz edebilir.

10 günlük opsiyonlar için volatilite:

3

1.1 Volatilite Özellikleri 10%

25%

50%

75%

90%

35,00% 30,00%

Volatilite

25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

Gün

Şekil 3: USDTL Volatilite Konisi 16.12.05 - 5.02.09 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

• %20 ihtimalle %5.9’dan küçük veya • %31’den yüksek olacak (10 ve 90 persentil), • 10 günlük ortalama volatilite ise %12.35.

60 günlük opsiyonlar için volatilite: • %50 olasılıkla %10’dan küçük veya • %21’den büyük olacak (25 ve 75 persentil), • Ortalaması ise %14.

Zaman ilerledikçe, ortalama ve volatilite değerleri daha stabil hale gelmektedir. Volatilite konisi, opsiyon volatilitelerinin analizinde yaygın olarak kullanılan bir yöntemdir ve volatilite özellikleri hakkında önemli bilgiler edinilmesini sağlar2 . Şekil 4’de 10 günlük volatilitenin frekans dağılımı gösterilmiştir: Dağılımın normal olmadığı kolaylıkla görülebilir3 . Volatilite çoğu zaman düşük seyretmesine rağmen yükselişler bazen çok ciddi boyutlara ulaşmıştır.

4

1.1 Volatilite Özellikleri

180 160 140 Gözlem

120 100 80 60 40 20 0 63,1%

60,1%

57,0%

54,0%

50,9%

47,8%

44,8%

41,7%

38,7%

35,6%

32,6%

29,5%

26,5%

23,4%

20,3%

17,3%

14,2%

11,2%

8,1%

5,1%

2,0%

Şekil 4: USDTL 10 Gün Volatilite Dağılım 16.12.05 - 5.02.09 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları USDTL

10 G Vol

2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 05.09.05

24.03.06

10.10.06

28.04.07

14.11.07

01.06.08

18.12.08

06.07.09

Şekil 5: USDTL Fiyat, 10 Gün Volatilite 16.12.05 - 5.02.09 Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

Şekil 5’de USDTL ve 10 gün volatilite değerleri aynı grafikte beraber olarak gösterilmiştir. USDTL volatilitesi ve dolar fiyatı arasında doğrusal bir ilişkinin varlığı Sheldon NATENBERG. Option Volatility & Pricing. McGraw-Hill, New York, 1994 s.275 Normal dağılım N (µ, σ 2 ) ile ifade edilir ve simetriktir. Volatilite dağılımı sağa çarpık lognormal dağılım şeklinde görünüyor.

2

3

5

1.1 Volatilite Özellikleri

tartışılabilir: Kur yükseldikçe volatilite artmış ya da volatilite arttıkça kur yükselmiştir. Bu ifade, volatilite ve TL arasında ters yönlü bir ilişki mevcuttur şeklinde de yorumlanabilir: Volatilite yükseldikçe TL değer kaybeder ya da TL değer yitirdikçe volatilite yükselir.

EURUSD

10 G. Vol

1,60 1,50 1,40 1,30 1,20 1,10

19.12.08

19.10.08

19.08.08

19.06.08

19.04.08

19.02.08

19.12.07

19.10.07

19.08.07

19.06.07

19.04.07

19.02.07

19.12.06

19.10.06

19.08.06

19.06.06

19.04.06

19.02.06

19.12.05

1,00

Şekil 6: EURUSD / 10 Gün Volatilite 19.12.05 - 6.02.09 Volatilite= 1 + 10G Volatilite Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

Şekil 6’da EURUSD paritesi ve 10 günlük volatilite aynı grafikte ele alınmıştır.

Volatilite verisinin daha iyi gözlemlenebilmesi için volatilite değerlerine ‘1’ ilave edilmişitir. EURO 2005-2008 yükseliş trendinde 10 günlük volatilite %3 ila %13 arasında kalmıştır. USDTL’nin 2006 Temmuz- 2007 Temmuz düşüş trendindeki volatilite özellikleri, EURUSD yükseliş trendi özelliklerine oldukça benzer şekilde hareket etmiştir.

Ağustos 2008 den itibaren EURUSD volatilitesinin piyasa problemlerini yansıtır şekilde yükseldiği gözlemlenmiştir. İlgili döneme ait EURUSD volatilite konisi şekil 7’de gösterilmiştir. EURUSD 10 gün vadeli opsiyonlarda volatilite: • %20 olasılıkla %32’den yüksek veya • %6’dan düşük olacak (10 ve 90 persentil) • Medyan değeri ise %12,35.

180 gün vadede volatilite:

6

1.1 Volatilite Özellikleri 10%

25%

50%

75%

90%

35,00% 30,00%

Volatilite

25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

Gün

Şekil 7: EURUSD Volatilite Konisi 19.12.05 - 6.02.09 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

• %50 olasılıkla %18 ve %11 arasında gerçekleşecek (25 ve 75 persentil).

• 180 gün ortalama volatilite ise %16,5. Şekil 8’de İMKB ulusal 30 endeksi ve 10 günlük volatilite birlikte gösterilmiştir.

Grafikte endeks verileri 25.000 ile ölçeklenmiştir. Endeks yükselirken volatilite dar bir bantta sakin kalmış, Endeks Ağustos 2006 ve Ocak 2008 arasında yukarı trend yaparken volatilite ortalama %27 civarında seyretmiştir. 2008 başından itibaren ise volatilite artışı ve fiyat düşüşü ciddi boyutlara ulaşmıştır. İMKB 30 Endeksi 10 günlük volatilite değerlerinin Ekim 2008 de %92 seviyesine yükseldikten sonra Kasım 2008 de %80 seviyelerine gerilediğini gözlemlenmiştir. Bu değerlere en yakın en yüksek seviye ise eldeki verilere dayanarak %50 olarak tespit edilmiştir. İMKB 30 endeksi 10 gün volatilitesinin 2008 Kasım ayından itibaren düşüş trendinde olduğu söylenebilir. Şekil 9’da İMKB 30 endeks volatilite konisi gösterilmiştir. Endeks uzun dönemli volatilite ortalaması %32 civarında hesaplanmıştır. 60 günlük U30 endeks opsiyonu için volatilite %50 ihtimalle %26 seviyesinden düşük veya %39 seviyesinden yüksek olabilir.

7

1.1 Volatilite Özellikleri IMKB 30

10 G Vol

3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 06.07.09

18.12.08

01.06.08

14.11.07

28.04.07

10.10.06

24.03.06

05.09.05

17.02.05

Şekil 8: İMKB 30 Endeks/ 10 Gün Volatilite 2.11.05 - 5.02.09: Endeks 1/25000 Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları 10%

25%

50%

75%

90%

60,00%

50,00%

Volatilite

40,00%

30,00%

20,00%

10,00%

0,00% 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Gün

Şekil 9: İMKB 30 Endeks Volatilite Konisi 2.11.05 - 5.02.09 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

130

140

150

160

170

180

8

1.2 Volatilite Tahmini

1.2

Volatilite Tahmini

Opsiyon işlemlerinde volatilite tahmininin öneminden daha önce bahsedilmişti. Volatilite tahminleri çoğu zaman gerçeği yansıtmayabilir ve hatta kimi durumlarda gerçekleşen volatilite tahminlerden çok farklı olabilir.

Opsiyon fiyatları ve volatilite tahminine ilişkin opsiyon trader’ı Sheldon Natenberg şöyle demektedir:

Bir opsiyonun değeri teorik olarak opsiyonun vadesi süresince konu finansal varlıkta oluşacak volatiliteye bağlıdır. Bu volatilite, trader için önceden bilinemeyecek bir değişkendir. Trader, teorik fiyatlama modellerinden birini kullanacaksa, dayanak varlığın gelecekte oluşabilecek volatilitesine dair bir tahmin yürütmek zorundadır. Volatilite tahminindeki tüm zorluklara rağmen, opsiyon alım satımı yapan profesyonel makul volatilite tahmini yapabilmelidir4 .

Tablo 1’de gösterilmiş olan hayali volatilite verisi kullanılarak belirli dönemler veya cari dönem için volatilite tahmininde nasıl bir yöntem izlenebilir?

Bir yöntem Tablo 1: Volatilite Verisi

Gün

10

30

60

90

100

110

120

Volatilite

16,59%

17,78%

24,01%

33,68%

32,91%

31,90%

30,81%

Tablo 2: Ağırlıklı Ortalama Volatilite

Gün Volatilite Ağırlık

10

30

60

90

100

110

120

16,59% × 30,00%

17,78% × 25,00%

24,01% × 15,00%

33,68% × 10,00%

32,91% × 10,00%

31,90% × 5,00%

30,81% × 5,00%

tüm volatilite verisinin ortalamasını almak olabilir: %26.81. Tüm veriye aynı ağırlık 4

NATENBERG (1994) s.273

9

1.2 Volatilite Tahmini Tablo 3: 60 Gün Opsiyon Volatilitesi

Gün Volatilite Ağırlık

10

30

60

90

100

110

120

16,59% × 10,00%

17,78% × 15,00%

24,01% × 40,00%

33,68% × 15,00%

32,91% × 10,00%

31,90% × 5,00%

30,81% × 5,00%

uygulanmak istenmiyorsa ve kısa dönemli volatilite tahmini analizi gerçekleştiren için daha önemli ise ağırlıklandırma yapılabilir: Tablo: 2. Ağırlıklandırma için belirli bir kural yoktur, ağırlıklar volatilite tahminini gerçekleştiren kişinin piyasa tecrübesi ile şekillenir. Ağırlıklandırma yapıldığı durumda hesaplanan volatilite: %22,82.

Ağırlıklandırma vadelere göre yapılsa idi volatilite %30 hesaplanacaktı. 60 günlük opsiyonları değerlemek için volatilite tahmini yapılıyorsa, 60 günlük veriye daha fazla ağırlık vererek hesaplamalar gerçekleştirebilir: Tablo 3. 60 günlük volatiliteye daha çok ağırlık verilen durumda volatilite tahmini %25,41 olarak hesaplanmıştır. Volatilite tahminlerinde öngörülen volatilite de hesaba katılabilir. Bazı piyasa katılımcıları, etkin piyasa teorimlerine inanarak öngörülen volatilitenin tüm gerçeği yansıttığını düşünüp hesaplamalarında sadece öngörülen volatiliteyi kullanabilmektedirler. Bazı piyasa oyuncuları ise öngörülen volatiliteye %20 ve %80 aralığında ağırlık vermeyi uygun bulmaktadırlar. Trader kendi tahminine güveniyorsa öngörülen volatilite değerine %20 ağırlık verebilir, kendine güvenmediği durumlarda %80 ağırlığa kadar çıkabilir. 60 Gün USDTL opsiyonları öngörülen volatilitesinin %32 olduğunu varsayılsın. Trader tahminine güveniyorsa öngörülen volatilite ile birlikte yeni tahmini %20 × %32 + %80 × %25, 41 = %26, 72 olabilir. Volatilite tahmini %50 ağırlıklandırma ile %28,7; öngörülen volatiliteye %80 ağırlık verildiğinde ise %30,68 olarak gerçekleşmiştir.

Trader, doğru volatiliteyi tahmin etmeye çalışmaktansa, volatilite koşullarına uygun stratejiyi seçmeye odaklanmalıdır. Opsiyon stratejisini kararlaştırmak için trader çeşitli faktörleri gözönüne alabilir: 1. Uzun dönemli volatilite ortalaması hangi seviyede?

1.2 Volatilite Tahmini

10

2. Kısa dönemli volatilite ortalama volatiliteye nazaran ne durumda?

3. Tarihsel volatilitenin trendi nasıl, yükseliyor mu düşüyor mu, stabil mi?

4. Öngörülen volatilite seviyesi nedir ve trendi nasıl?

5. Kısa mı yoksa uzun vadeli opsiyonlar ile işlem yapıyoruz?

6. Volatilite stabil mi?

Opsiyon Uygulaması USDTL bir ay vadeli opsiyonlarda işlem yapmak istendiği varsayılsın. Analiz için bir ay vadeli tarihsel ve öngörülen volatilite, ayrıca ikisinin uzun dönem volatilite olan ilişkileri kullanabilir. Pozisyon açılması düşünülen güne dair yapılan analiz şekil 10’da gösterilmiştir. Volatilite dört aydır düşen bir trend içerisinde ve trend stabil hale gelmiştir. Hem öngörülen hem tarihsel volatilite birbirine çok yakın ve uzun dönem ortalamanın altında fiyatlanmıştır. Daha önceki dönemler incelendiğinde volatilite düşüş trendlerinin yaklaşık dört ay sürdüğü tespit edilmiştir. Tarihsel volatilitenin ortalamanın altında kaldığı dönemlerde, tarihsel volatilitede herhangi bir hareket olmamasına rağmen öngörülen volatilite zaman zaman uzun dönemli ortalamaya doğru hareket etmiştir. Özetle söylenecek olursak volatilite artışı beklediği için açılacak pozisyon uzun vega uzun gama5 olmalıdır. Volatilite oldukça düşük olduğu ve uzunca bir süredir düşük seyrettiği için opsiyon satarak riskli bir pozisyon alınması uygun görülmemiştir6 . Volatilite görece düşük olduğu için uzun strangle7 veya straddle8 pozisyonları geçmişe nazaran daha az maliyetli olacaktır. Bu stratejilere geçmişe nazaran daha az prim ödenip daha fazla kar elde etme olasılığı ortaya çıkmıştır. USDTL volatilite konisi şekil 3’de gösterilmişti. 30 günlük volatilite %10 ihtimal ile %7.5 altında olabilir, halihazırda %11. Volatilitenin daha fazla düşmesi beklenmemektedir. Pozisyon uzun vega kısa gama olarak da açılabilirdi: Bu durumda uzun Vega, opsiyon fiyatının volatilite değişimine olan hassaslığıdır. Gama ise dayanak varlık fiyatındaki değişimlerin opsiyon Delta’sına etkisini ölçer.

6 Opsiyon riskleri ile ilgili olarak bkz. Sebastien BOSSU and Philippe HENROT. Finance and Derivaties Theory and Practice. John Wiley and Sons Ltd., West Sussex, England, 2006 s.125-136 7 Strangle, eşit büyüklükte ve farklı kullanım fiyatlı alım ve satım opsiyonlarının aynı anda bir araya getirilmesi ile oluşturulur.

8 Straddle, eşit büyüklükte ve aynı kullanım fiyatlı alım ve satım opsiyonlarının aynı anda bir araya getirilmesi ile oluşturulur.

5

11

1.2 Volatilite Tahmini Öngörülen Volatilite

Tarihsel Volatilite

35,00%

30,00% Uzun Dönem Volatilite Ortalaması

25,00%

20,00%

15,00%

10,00% Vade

5,00%

0,00% 18.12.2008

09.09.2008

01.06.2008

22.02.2008

14.11.2007

06.08.2007

28.04.2007

18.01.2007

10.10.2006

Şekil 10: USDTL 1 Ay Volatilite 23.11.06 - 25.08.08 Kaynak: Bloomberg

vadeli opsiyon alıp kısa vadeli opsiyon satılması gerekecekti. Uzun zaman yayılma stratejisi, volatilite artışından olumlu etkilenir9 .

Ağustos 2007’de tarihsel volatilite ve öngörülen volatilite arasındaki fark iyice açılmış ve tarihsel volatilite oldukça yüksek seyretmiştir. Bu durumda volatilite satmak uygun bir taktik olarak değerlendirilebilirdi. Kullanılabilecek stratejilerden bir tanesi kısa zaman yayılma olabilirdi. USDTL volatilite ilişkisi daha önce tartışılmıştı: Volatilite düştükçe TL değer kazanıyor, aksi halde değer yitiriyor. TL-Volatilite ilişkisi bu şekilde tespit edildikten sonra volatilite düşüşü bekleniyorsa 1x2 satım geri yayılma10 pozisyonu açılabilir, volatilite yükselişi beklentisinde ise 1X2 alım geri yayılma stratejisi uygulanabilir.

9 10

Opsiyon stratejileri için www.optiontradingtips.com sitesi incelenebilir.

1X2 geri yayılma stratejileri satılan opsiyonlardan fazla opsiyon alınması ile oluşturulur

12

2 Volatilite Hesaplama Yöntemleri

¨ 2 Volatilite Hesaplama Yontemleri 2.1

Tarihsel Volatilite

Önceki kısımlarda tarihsel volatilite, pratik tahmin yöntemleri, volatilite konisi, öngörülen volatilite konuları ele alınmıştı. Bu kısımda, tarihsel volatilite tahmini için matematiksel altyapıyı açıklamaya çalışacağız. Tarihsel volatiliteyi tahmin etmek için kullanılacak varsayımlar: 1. Objektif P ölçütünde (objective P measure) Standart Black Scholes geometrik brown hareketi varsayımı11 : dS(t) = S(t)µdt + σS(t)dW 2. Hisse fiyatı S, n+1 sayıda birbirine eşit uzaklıkta gözlemden oluşur. ∆t gözlem aralığının uzunluğudur ve ti − ti−1 ifadesine eşittir.

3. S lognormal dağılım kurallarına uygun hareket eder. ξ1 , . . . , ξn getiri serisi tanımlansın: ξi = ln

S(ti ) S(ti−1 )

ξ1 , . . . , ξn , bağımsız normal olarak dağılan rassal değişkenlerdir 1. ve 2. momentleri: 1 E[ξi ] = (µ − σ 2 )∆t 2 2 V ar[ξi ] = σ ∆t İstatistik teorisine göre volatilite (σ) tahmini gözlem volatilitesi (Sξ ) kullanılarak yapılabilir:12 Sξ σ∗ = ∆t 11 Salih N. NEFTÇİ. An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives. Academic Press, California, USA, second edition, 2000 s.272 12 Thomas BJÖRK. Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford University Press, Oxford, Newyork, second edition, 2004 s.105

13

2.2 Üstel Ağırlıklı Volatilite Gözlem varyansı: n

Sξ2

2 1 X = ξi − ξ , n − 1 i=1

(1)

n

1X ξi ξ= n i=1 Volatilite tahmini standart sapmasının (D) yaklaşık ifadesi: σ∗ D(σ ∗ ) ≈ √ 2n Gözlem sayısı arttıkça gözlem varyansı asıl varyansa; volatilite tahmini standart sapması ise sıfıra yaklaşmaktadır. Denklem 1 genelde basitleştirmeye tabi tutularak değiştirilir: 1. ξ sıfır kabul edilir.

2. n−1 n ile değiştirilir. Bu bizi tarafsız varyans tahmini konumundan en yüksek logaritmik olasılık varyans tahminine konumuna taşır.

Basitleştirmelerden sonra varyans: n

Sξ2

2.2

1X 2 = ξ n i=1 i

(2)

¨ ˘ Ustel Agırlıklı Volatilite

Tarihsel volatiliteyi tahmin etmeye çalışırken denklem 1 ve denklem 2’de geçmiş veriler eşit ağırlıklı olarak kullanılmıştır. Geçmiş tarihli verilere üstel olarak daha az ağırlık verip, volatilite tahminimizin yakın verileri ağırlıklı olarak kullanması sağlanabilir. Bu yönteme ‘Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalama’ ismi verilir13 . λ üstel ağırlıklandırma katsayısı olmak üzere volatilite tahmini için oldukça basit olan ÜAHO formülü: 2 2 σn2 = λσn−1 + (1 − λ)ξn−1 13

Philippe JORION. Value At Risk. McGraw-Hill, New York, third edition, 2007 s. 230

(3)

14

2.2 Üstel Ağırlıklı Volatilite

Bugünkü volatilite bir gün önceki volatilite ve bir gün önceki fiyat değişiminin karesi kullanılarak tahmin edilmiştir. Fonksiyonun üstel olarak nasıl değiştiğini anlamak 2 için 3 numaralı denkleme σn−1 formülasyonunu eklensin: 2 2 2 σn2 = λ[λσn−2 + (−λ)ξn−2 ] + (1 − λ)ξn−1 2 2 2 σn2 = (1 − λ)(ξn−1 + ξn−2 ) + λ2 σn−2

Üçüncü, dördüncü . . . varyansları denkleme ekledikçe denklem aşağıdaki genel hale ulaşır: σn2

= (1 − λ)

m X

2 2 λi−1 ξn−i + λm σn−m

(4)

i=1

2 m büyüdükçe λm σn−m terimi gözardı edilebilecek kadar küçülür ve ξi , günlük getirilere verilen ağırlıklar zamanda geriye gittikçe üstel olarak λ nisbetinde azalır. λ küçüldükçe ,ξi , getirilere verilen ağırlık artar, büyüdükçe azalır. λ düşük ve gözlemlenen volatilite yüksek ise, tahmin edilen volatilite de yüksek olacaktır. Yüksek λ değerleri ise volatilite tahminlerinin yeni bilgiye daha yavaş adapte olmasına yol açar14 .

JP Morgan bankası tarafından geliştirilen RiskMetrics veritabanında λ 0,94 olarak kullanılmaktadır. JP Morgan bankasına göre bu değer gerçekleşen volatiliteye en yakın tahminlerin hesaplanmasını sağlamaktadır. Excel VBA kullanarak lambda değerini kullanıcının girdiği ve logaritmik getiri serisini kullanarak üstel ağırlıklı hareketli ortalama volatilite hesaplayan kod:

Function UAHOvol( g e t i r i , lambda As Double , Islemgunu ) As Double Dim n As I n t e g e r , i As I n t e g e r Dim sum As Double sum = 0 n = A p p l i c a t i o n . Count ( g e t i r i ) For i = 1 To n sum = sum + ( 1 − lambda ) ∗ ( lambda ^ ( i − 1 ) ) ∗ ( g e t i r i (n − i + 1) ^ 2)

John C. HULL. Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, Saddle River, New Jersey, USA, fifth edition, 2003 s. 375 14

15

2.2 Üstel Ağırlıklı Volatilite Next i UAHOvol = sum ^ 0 . 5 ∗ Islemgunu ^ 0 . 5 I f lambda >= 1 Then UAHOvol = −1

End Function

Fonksiyon, hesaplanan volatiliteyi bir yıldaki işlem günü sayısını kullanarak yıllığa çevirir. İMKB 30 endeksi ÜAHO volatilitesi şekil 11’de gösterilmiştir.

140,00% 120,00% 100,00% 80,00% 60,00% 40,00% 20,00% 0,00% 18.11.10

06.07.09

22.02.08

10.10.06

28.05.05

14.01.04

01.09.02

19.04.01

06.12.99

24.07.98

Şekil 11: İMKB 30 ÜAHO Volatilite λ = 0, 94 25.01.99 - 6.02.09 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

Şekil 12’de İMKB 30 endeksi fiyatları ve volatiliteyi aynı grafikte farklı eksenlerde gösterilmiştir. İMKB 30 endeksi için uzun dönemli ÜAHO volatilite %42 olarak hesaplanmış (tüm volatilitelerin ortalaması) ve grafikte yatay düz çizgi ile gösterilmiştir. Volatilite ve fiyatlar arasındaki ters yönlü ilişki grafikte açıkça görülmektedir: Fiyatlar düştükçe volatilite yükselmiş, fiyatlar yükseliş trendine girdiğinde ise volatilite düşmüş ve uzun süre stabil olarak kalmıştır.

16

2.3 Garch (1,1)

80.000,00

140,00% UZUN DÖNEMLİ ORTALAMA

120,00%

70.000,00 60.000,00

100,00%

40.000,00

U030

Volatilite

50.000,00 80,00% 60,00% 30.000,00 40,00%

20.000,00

20,00%

10.000,00

0,00%

0,00 18.11.10

06.07.09

22.02.08

10.10.06

28.05.05

14.01.04

01.09.02

19.04.01

06.12.99

24.07.98

Şekil 12: İMKB 30 / ÜAHO Volatilite λ = 0, 94: 25.01.99 - 6.02.09 Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

2.3

Garch (1,1)

Önceki kısımlarda volatilitenin uzun dönemli ortalamasından ve volatilitenin ortalama değere doğru yönelmesinden bahsedilmişti. 2 numaralı denklemde volatilite eşit ağırlıklı olarak hesaplanmıştı. Tüm veri ağırlıklı olarak hesaplamalara dahil edilmek istenmeyebilir. Hesaplama yapılacak tarihten 1, 2,3. . . yıl önceki verilerin bugüne olan etkisinin az olması çoğu zaman daha mantıklı olabilir. Geçmiş veri setine daha az önem verip yakın veri setini hesaplamalara daha etkin olarak dahil edebilmek için ağırlıklandırma yapılması gerekir. Bunu yapabilecek bir model: σn2

=

m X i=1

2 αi ξn−1

(5)

17

2.3 Garch (1,1)

Ağırlık katsayısı α, pozitiftir. Katsayıyı i > j iken αi < αj olarak seçilirse, geçmiş veriye daha az önem verilmiş olur. Ağırlıklar toplamı 1 olmalıdır: m X

αi = 1

i=1

Volatilite ile ilgili olarak sürekli uzun dönemli ortalamasından ve volatilitenin uzun dönemli ortalamaya doğru hareket etmesinden bahsedildi. Denklem 5 uzun dönemli ortalamayı içerecek şekilde genişletilebilir: σn2

= γVL +

m X

2 αi ξn−1

(6)

i=1

VL , uzun dönemli varyans ve γ uzun dönemli varyansa atanan ağırlık olarak kullanılmıştır. Ağırlıklar toplamı 1’e eşit olmalıdır: γ+

m X

αi = 1

(7)

i=1

Bahsedilen model ARCH(m) modeli olarak bilinir ve Engle tarafından finans dünyasına tanıtılmıştır15 . Varyans tahmini, uzun dönemli ortalama ve m sayıda gözleme dayanarak hesaplanır. Geçmişteki verilere daha az önem verilir. Denklem 6 γVL = ω olarak tanımlanıp yeniden düzenlenebilir: σn2

=ω+

m X

2 αi ξn−1

(8)

i=1

ARCH(m) modelinin finans dünyasında önemli ölçüde kabul görmesinden sonra daha genel bir model oluşturulabilmesi için çalışmalar yapılmaya başlanmıştır. GARCH(1,1) modeli Bollerslev tarafından 1986 yılında finans dünyasına tanıtılmıştır16 . Modelde varyans, uzun dönemli varyans, önceki dönem varyans tahminleri ve önceki dönem Model hakkında detaylı bilgi için bkz. R. ENGLE. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation. Econometrica, 50:987-1008, 1982 16 Model hakkında detaylı bilgi için bkz. T. BOLLERSLEV Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity. Journal Of Econometrics, 31:307-327, 1986 15

18

2.3 Garch (1,1) getirilerinin kareleri kullanılarak hesaplanmaktadır. GARCH(1,1) denklemi: 2 2 σn2 = γVL + αξn−1 + βσn−1

Ağırlıklar toplamı 1 olmalı: γ+α+β =1 Daha önce yapıldığı gibi

γVL = ω olarak tanımlanıp denklem yeniden yazılırsa: 2 2 + βσn−1 σn2 = ω + αξn−1

(9)

Modeldeki (1,1) ifadesi en yakın varyans ve getiri karesinin kullanıldığını anlatır.

Daha genel GARCH(p,q) modeli, p dönemi getiri karelerini ve q dönemi varyansını kullanarak hesap yapar. ÜAHO volatilite, GARCH(1,1) modelinin özel bir halidir: γ = 0,

α = 1 − λ,

β=λ

Modelde β azalma oranı olarak adlandırılır: β = 0, 8 ise, bir önceki dönemin önemi %80,iki önceki dönemin önemi %64 . . . GARCH modelinin stabil olması için α+β < 1 olmalıdır, aksi takdirde uzun dönemli ortalamaya negatif ağırlık verilir ve model ortalamaya yöneleceği yerde ortalamadan uzaklaşır17 . ˘ ¸ kenlerin Tahmini 2.3.1 Garch(1,1) Degis Ortalaması sıfır, normal dağılıma tabi bir veri setinde, m sayıda gözlem kullanarak X değişkeninin varyansı nasıl tahmin edilebilir? Gözlemler ξ1 , ξ2 , ξ3 . . . ξm iken varyans ise v olarak tanımlansın. ξi gerçekleşme olasılığı, X = ξi olduğunda X değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonudur: 1 √ exp 2πv 17

HULL (2003) s. 380

−ξi2 2v

19

2.3 Garch (1,1) m gözlemin gözlemlendiği sırada gerçekleşme olasılığı: m Y i=1

1 √ exp 2πv

−ξi2 2v

(10)

En yüksek gerçekleşebilir olasılık (maximum likelihood estimation) yönteminde en iyi v tahmini 10 numaralı denklemi en yüksek değere ulaştıracak sayıdır18 . Bir ifadenin en yüksek değerini bulmak ile ifadenin logaritmasının en yüksek değerini bulmak aynı şeydir. 10 numaralı denklemin logaritması alınsın:

m X 1 ξi2 − ln(2πv) − 2 2v i=1 Denklemdeki sabitlerin maksimizasyon ile ilgisi yok, sabitlerden arındırılırsa: m X i=1

ξ2 −ln(v) − i v

(11)

Garch(1,1) değişkenlerini bulmak için en yüksek gerçekleşebilir olasılık yöntemi kullanılacaktır. vi , i gününde gözlemlenen varyans değeridir. Ayrıca, ξi değişkeninin varyansa bağlı olarak normal dağılıma uygun olduğunu varsayılacaktır. Değişken tahmini fonksiyonu 10 numaralı denklem ile hemen hemen aynı, sadece v vi ile değiştirilmiştir: m Y i=1

1 √ exp 2πvi

−ξi2 2vi

Logaritma aldığımızda m X i=1

ξ2 −ln(vi ) − i vi

(12)

12 numaralı denklem, iteratif yöntemler kullanarak çözülebilir. Tablo 4’de İMKB 30 endeksi 25 Ocak 1999 -6 Şubat 2009 tarihleri arasındaki kapanış fiyatlarını kullana18

HULL (2003) s. 378-379

20

2.3 Garch (1,1) Tablo 4: GARCH(1,1) Değişken Tahmini Tarih

XU030

ξi

ξi2

vi = σ 2

25.01.99 26.01.99 27.01.99 28.01.99 29.01.99 01.02.99 02.02.99 03.02.99 .. .

2903,52 2941,54 3091,55 3044,62 3109,17 3237,69 3196,23 3256,2 .. .

−ln(vi ) − ξi2 /vi

0,01301 0,04974 -0,0153 0,02098 0,0405 -0,01289 0,01859 .. .

0,00017 0,00247 0,00023 0,00044 0,00164 0,00017 0,00035 .. .

0,00081 0,00075 0,00092 0,00086 0,00082 0,0009 0,00083 .. .

6,90727 3,91077 6,7378 6,549 5,10452 6,8298 6,67659 .. .

27.01.09 28.01.09 29.01.09 30.01.09 02.02.09 03.02.09 04.02.09 05.02.09 06.02.09

33186,78 34518,77 33777,56 33503,02 32607,74 33189,63 33867,34 33344,3 34559,52

-0,01009 0,03935 -0,02171 -0,00816 -0,02709 0,01769 0,02021 -0,01556 0,0358

0,0001 0,00155 0,00047 0,00007 0,00073 0,00031 0,00041 0,00024 0,00128

0,00077 0,00071 0,00079 0,00077 0,0007 0,00071 0,00068 0,00065 0,00062

7,03686 5,06974 6,54583 7,08853 6,21654 6,81028 6,69514 6,96155 5,31898

*En Yüksek Olasılık Tahmini

15854,902

rak GARCH(1,1) değişkenlerini modellenmiştir. Modelde, EYOT en yüksek değerin bulunmasını sağlayacak vi değeri Excel çözücü (solver) eklentisi kullanılarak hesaplanmıştır19 . Hesaplanan diğer değişkenler ω = 0, 00001065, α = 0, 0937, β = 0, 8963 Uzun dönemli varyans: VL =

0, 00001065 ω = = 0, 0326388 1−α−β 1 − 0, 0937 − 0, 8963

√ Uzun dönemli varyans için bulunan değerin karekökü 252 ile çarpılarak yıllık volatilite ifade edilebilir. Piyasada volatilite genellikle yıllık ve yüzde cinsinden ifade edilir. Örnekte yıllık uzun dönemli volatilite %51,81 olarak hesaplanmıştır. ÜAHO Excel, çözücü eklentisi en yüksek olasılık tahmin yönteminde global en yüksek olasılıktan ziyade lokal en yüksek olasılık hesaplar.

19

21

2.3 Garch (1,1) volatilitenin GARCH(1,1) modelinin özel bir hali olduğu daha önce söylenmişti: ω = 0, α = 1 − λ, β = λ

En yüksek gerçekleşebilir olasılık yöntemlerini kullanarak λ katsayını hesaplanabilir. Örnekte λ katsayını 0,9367 olarak hesaplanmıştır. RiskMetrics ölçütüne oldukça yakın. Şekil 13’de İMKB 30 endeksi ve GARCH(1,1) volatilite yıllığa çevrilmiş olarak ve ayrı eksenlerde gösterilmiştir. Volatilite ve fiyatlar arasındaki ters yönlü ilişki açıkça görülmektedir: Özellikle endeksin 2003 yılından itibaren yukarı yönlü trendine başlaması ile birlikte, volatilite uzun dönemli ortalamasının çoğu zaman altında ve oldukça stabil olarak gerçekleşmiştir.

XU030

150%

90.000

125%

75.000

100%

60.000

75%

45.000

50%

30.000

25%

15.000

0%

İMKB 30

Volatilite

GARCH_V

0 06.07.2009

22.02.2008

10.10.2006

28.05.2005

14.01.2004

01.09.2002

19.04.2001

06.12.1999

24.07.1998

Şekil 13: İMKB 30 / GARCH(1,1) Volatilite: 25.01.99 - 6.02.09 Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

GARCH(p,q) modelleri, kullanılan veri setine göre oldukça değişik sonuçlar üretebilir. 1 Ocak 2003 - 6 Şubat 2009 kapanışlarını kullanarak gerçekleştirilen hesaplamalar ve 1999-2009 yılları verileri kullanılarak oluşturulan model değişkenleri farkları tablo 5’de verilmiştir. 2003 Ocak ayından itibaren hesaplanan değişkenlerle oluşturulan grafik ise şekil 14’de gösterilmiştir. 1999 başlangıç ve 2003 başlangıç tarihli veri ile yapılan modelleme sonuçlarının oldukça farklı olduğu söylenebilir. Hesapla-

22

2.3 Garch (1,1)

malarda kullanılacak veri setini ne kadar geriye götürmek gerektiği konusunda herhangi bir kural bulunmamaktadır. Piyasada genel olarak volatilite trendlerine göre karar verilmesi eğilimi vardır. Örneğe geri dönecek olursak, İMKB 30 için trend 2003 öncesi ve sonrasında değişiktir. Bazı profesyoneller tüm veri setini hesaba katarken bazı profesyoneller trendlere dikkat ederler. Hangi yöntemin doğru olduğu ise piyasa koşullarında ortaya çıkar. Genel olarak konulmuş bir kural olmasa da GARCH(1,1) modellemesinde en azından dört yıllık veri kullanılması daha sağlıklı sonuçların elde edilmesine yardımcı olur. Modeli kullanırken buna özellikle dikkat etmek gerekir.

Tablo 5: GARCH(1,1) 1999-2009 ve 2003-2009: Değişkenlerin Karşılaştırılması

Uzun Dönem Varyans Volatilite

1999-09

2003-09

0,001065288 0,5181

0,000532640 0,3663

0,00001065 0,09368 0,89632 0,990006 15854,90

0,00001350 0,0863981 0,88826 0,97465872925 10298,56

GARCH Değişkenleri ω α β α+β EYOT

˘ 2.3.2 Modelin Gec¸erliligi GARCH modelinin temelinde, volatilitenin zamanla değişeceği varsayımı bulunur.

Grafiklerde de gösterildiği gibi, volatilite bazı dönemlerde yüksek, bazı dönemlerde düşük olarak gerçekleşmiştir. Volatilitenin yukarı ya da aşağı trend yaptığı dönemler mevcuttur. ξi2 değerleri, kendinden önce gelen değerlerden etkilenir ve kendinden sonra oluşan değerleri de etkiler. Bu olguyu incelemek için ξi2 otokorelasyon değerlerinin gözönüne alınması gerekir. Otokorelasyon herhangi bir seri ,xi , için k gün olarak kabul edilirse xi ve xi+k arasındaki korelasyondur20 . Tablo 6 ikinci sütunda Thomas MIKOSCH. Elementary Stochastic Calculus with Finance in View. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, seventh edition, 2008 s. 22 20

23

2.3 Garch (1,1) GARCH_V

XU030 90.000

100%

75.000 75%

45.000

50%

İMKB 30

Volatilite

60.000

30.000

i

25% 15.000 0%

0 06.07.2009

22.02.2008

10.10.2006

28.05.2005

14.01.2004

01.09.2002

Şekil 14: İMKB 30 / GARCH(1,1) Volatilite: 1.01.03 - 6.02.09 Kaynak: Bloomberg, Yazarın Hesaplamaları

ξi2 otokorelasyon değerleri hesaplanmıştır. Üçüncü sütunda Ljung-Box istatistiği hesaplanmıştır. Ljung-Box istatistiği21 : m

K X

wk η 2

k=1

η, k gün için otokorelasyon değeridir ve wk =

m−2 m−k

Ljung-Box istatistiği, otokorelasyonu tespit etmek amacı ile istenen anlam seviyesi ile hesaplanan ve k serbestlik derecesindeki ki-kare kritik P değeri ile karşılaştırılır22 .

Tablo 6 beşinci sütunda kritik P değeri hesaplanmıştır. ‘H0 :Otokorelasyon yoktur’ hipotezini kabul etmek için Ljung-Box istatistiğinin kritik P değerinden küçük Ljung Box istatistiği, bir grup zaman serisi otokorelasyonlarının sıfırdan farklılığını test eder.

Ljung-Box herbir gecikme aralığı (lag) için rassallığı araştırmak yerine verilen gecikme aralığı için genel rassallığı ölçer ve bu yüzden portmanto testi olarak da sınıflandırılır.

22 İstatistiksel sınama testleri için bkz. John E. FREUND. Matematiksel İstatistik. 6. Baskı Literatür Yayıncılık, İstanbul, 2001 s. 421-453 21

24

2.3 Garch (1,1)

olması gerekir. Tablonun birinci bölümünde ξi2 değerleri için, %1 anlam seviyesinde otokorelasyon olduğu tespit edilmiştir. GARCH modelinin otokorelasyonu giderip gidermediğinin anlaşılması için tablonun ikinci bölümünde aynı analizler ξi2 /vi serisi kullanılarak gerçekleştirilmiştir. GARCH(1,1), örnek veri setini açıklamakta başarılıdır: Otokorelasyon yoktur hipotezi %1 anlam seviyesinde red edilmiştir.

Tablo 6: GARCH(1,1) Otokorelasyon Testi H0 :Otokorelasyon yok, anlam seviyesi:%1 Gün

Otokorelasyon

1 2 3

0,2725 0,2646 0,1498

5 10 15 30

0,1173 0,1175 0,0655 0,0408

1 2 3 5 10 15 30

LjungBox ξ2 185,772 360,920 417,076

Ki-Kare P

Kritik P

H0

0,00% 0,00% 0,00%

6,635 9,210 11,345

Red Red Red

0,00% 0,00% 0,00% 0,00%

15,086 23,209 30,578 50,892

Red Red Red Red

0,0190 0,0314 0,0053

475,537 576,497 652,923 788,057 ξ 2 /v 0,899 3,370 3,440

34,30% 18,55% 32,87%

6,635 9,210 11,345

Kabul Kabul Kabul

0,0155 0,0262 -0,0288 -0,0269

4,209 9,968 12,574 22,609

51,97% 44,33% 63,52% 83,10%

15,086 23,209 30,578 50,892

Kabul Kabul Kabul Kabul

2.3.3 GARCH(1,1) Gelecekteki Volatilitenin Tahmini n − 1 gününde n günü varyansını tahmin etmek için 9 numaralı denklemden yararlanılmıştı. Denklem γ = 1 − α − β eşitliği kullanılarak yeniden yazılabilir: 2 2 σn2 = (1 − α − β)VL + αξn−1 + βσn−1

2 2 σn2 − VL = α(ξn−1 − VL ) + β(σn−1 − VL )

25

2.3 Garch (1,1) Beklenen değer operatörü ile yeniden ifade edilsin: 2 2 E(σn2 − VL ) = E(α(ξn−1 − VL )) + E(β(σn−1 − VL ))

2 2 Uzun dönemde (n+k) E(ξn+k ) = σn2 ve E(σn+k−1 ) = σn2 olacağı bilinmektedir. DenkGarch(1,1)

UzunDönem Volatilite

54,00% 52,00%

Volatilite Tahmini

50,00% 48,00% 46,00% 44,00% 42,00% 40,00% 38,00% 36,00%

350

300

250

200

150

100

50

0

Takvim Günü

Şekil 15: GARCH(1,1) Volatilite Tahmini 25.01.99 - 6.02.09: σ 2 = 0, 00062529, ω = 0, 00001016, α = 0, 0895, β = 0, 9008 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

lemin sağ tarafı beklenti operatöründen arındırılıp n + k için yeniden yazılsın: 2 E(σn+k − VL ) = (α + β)(σn2 − VL )

2 E(σn+k ) = VL + (α + β)(σn2 − VL )

n günü varyansı tahmin edildikten sonra gelecek günler varyansları tahmin edilsin: n + 1, 2 E(σn+1 ) = VL + (α + β)(σn2 − VL )

n + 2, 2 2 E(σn+2 ) = VL + (α + β)(σn+1 − VL )

n + 3, 2 2 E(σn+3 ) = VL + (α + β)(σn+2 − VL )

26

2.3 Garch (1,1)

n+1 için bulunan ifade n+2 tahminine, n+2 tahmini n+3 tahminine . . . yerleştirilip k kadar tekrar edilirse genel bir formüle ulaşılabilir: 2 E(σn+k ) = VL + (α + β)k (σn2 − VL )

(13)

GARCH modelinin stabil olabilmesi için α + β < 1 olması gerekir. Tahmin yaparken kullanılan (α + β)k ifadesi, model stabil olduğunda yapılan tahminleri uzun dönemli ortalamaya yaklaştırır. 13 numaralı denklemde üstel ifade 1’den küçük olduğu için, ikinci parçanın değeri, zaman ilerledikçe (k arttıkça) azalır. Model stabil değilse tahminler uzun dönemli ortalama varyanstan uzaklaşır23 .

Garch(1,1)

UzunDönem Volatilite

76,00% 71,00%

Volatilite Tahmini

66,00% 61,00% 56,00% 51,00% 46,00% 41,00% 36,00%

350

300

250

200

150

100

50

0

Takvim Günü

Şekil 16: GARCH(1,1) Volatilite Tahmini 1.01.03 - 25.11.08: σ 2 = 0, 00219111, ω = 0, 00001343, α = 0, 08640, β = 0, 8883 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

Şekil 15’de, 25.01.99 - 6.02.09 İMKB 30 Endeks kapanışları ile elde edilen değişkenleri kullanarak gerçekleştirilen tahminler gösterilmiştir. Model, önümüzdeki günlerde (6 Şubat 2009 sonrası) volatilitenin artacağını tahmin etmiştir. Şekil 17’de tahminde kullanılan veri seti 2003 yılından başlamaktadır. 25 Kasım 2008 tarihinde 2003 yılını başlangıç alarak yapılan tahminin sonuçları şekil 16’da gösterilmiştir: Model volatilitenin düşeceğini tahmin etmiştir. 6 Şubat 2009 tarihinde 2003 başlangıç tarihli veride GARCH volatilite %37,3 seviyesine gerilemiştir.

23

HULL (2003) s. 383

27

2.3 Garch (1,1) Garch(1,1)

UzunDönem Volatilite

37,60% 37,40%

Volatilite Tahmini

37,20% 37,00% 36,80% 36,60% 36,40% 36,20% 36,00%

350

300

250

200

150

100

50

0

Takvim Günü

Şekil 17: GARCH(1,1) Volatilite Tahmini 1.01.03 - 6.02.09: σ 2 = 0, 00055453, ω = 0, 00001343, α = 0, 08640, β = 0, 8883 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları

1999 ve 2003 yılını başlangıç alan ve Şubat 2009 son tarihli verilerin kullanıldığı tahminlerin sonuçları bir hayli farklı: 1999 başlangıçlı veri volatilite artışı tahmin etmiş, 2003 yılını baz alan veri ile volatilitenin düşeceği tahmin edilmiştir.

28

3 Volatilite ve Opsiyonlar

3 Volatilite ve Opsiyonlar 3.1

Opsiyon Volatilite Vade Yapısı

n dönemindeki volatilite, ω, α, β değişkenlerinin kullanıldığı 13 numaralı denklemde k dönem için genel volatilite tahmin fonksiyonu tartışılmıştı. Volatilite, zaman içinde değişir, herhangi bir vadedeki opsiyonu fiyatlarken kullanılabiliecek volatilite GARCH(1,1) modelinden faydalanarak hesaplanabilir. Bunun için vadeye kadar tüm günlerin volatilitesinin tahmin edilip ortalamasını alınması yeterli olacaktır. N gün için opsiyon volatilitesi formüle edilebilir: N −1 1 X 2 E(σn+k ) N k=0

(14)

Tablo 7: 2 Ocak 2003-25 Kasım 2008, İMKB30 Endeks Volatilite Vade Yapısı ω α β σn2 VL

0,00001343 0,08640113 0,88834474 0,002191 0,000532

Gün Volatilite Ortalama Tahmin

14

30

60

90

120

180

240

300

69,35% 65,29%

64,98% 57,28%

58,74% 47,34%

54,35% 41,93%

51,21% 39,17%

47,20% 37,17%

44,84% 36,73%

43,33% 36,63%

Tablo 7’de 14-300 gün vadeli opsiyonlar için volatilite tahminleri gerçekleştirilmiştir. VBA kodu kullanarak hesaplanan ortalama opsiyon volatilitesi ile 13 numaralı denklemi kullanarak yapılan tahminler arasında önemli farklar ortaya çıkmıştır.

Opsiyon fiyatlarken, ortalama volatilitenin kullanılması kesinlikle daha doğrudur.

Opsiyonun vadesi uzadıkça, tahmin edilen oran uzun dönem ortalama varyansa VL yaklaşır. Ortalama opsiyon volatilitesini hesaplamak için Excel VBA kodu: Function OpsVol ( OpsGun , VL, Alpha , Beta , Vol_n , IslemGunu , O p t i o n a l V o l A r t i s As V a r i a n t ) Dim i As I n t e g e r , sum As Double , YeniVol As Double sum = 0

29

3.1 Opsiyon Volatilite Vade Yapısı I f I s M i s s i n g ( V o l A r t i s ) Then For i = 0 To OpsGun − 1

sum = sum + VL + ( Alpha + Beta )^ i ∗ ( Vol_n − VL) Next i

OpsVol = ( ( sum / OpsGun ) ∗ IslemGunu ) ^ 0 . 5 Else

YeniVol = ( ( Vol_n ∗ IslemGunu ) ^ 0 . 5 + V o l A r t i s ) ^ 2 / IslemGunu

For i = 1 To OpsGun sum = sum + VL + ( Alpha + Beta ) ^ i ∗ ( YeniVol − VL)

Next i

OpsVol = ( ( sum / OpsGun ) ∗ IslemGunu ) ^ 0 . 5

End I f

End Function

GARCH(1,1) kullanarak yapılan tahminlerin mutlaka piyasa fiyatında olacağı garanti edilemez. Piyasada, arz talep veya diğer oluşabilecek koşullara bağlı olarak volatilite kotasyonları modelin tahmin ettiğinden farklı olarak gerçekleşebilir. Model genel olarak yönü gösterir.

Tablo 7’de ele alınan örnek için piyasada olabilecek volatilite artışlarının opsiyon volatilitesine olan etkisi hesaplanabilir. Tablo 8’de %1 volatilite değişiminin opsiyon volatilitesine olan etkisi gösterilmiştir. Vade uzadıkça volatilite şoklarının etkisi azalmıştır.

Tablo 8: 2 Ocak 2003-25 Kasım 2008, İMKB30 Endeks Volatilite Vade Yapısı %1 Volatilite Değişimi Etkisi Volatilite Yükselişi

1%

Gün Volatilite Opsiyon Volatilitesi Artış Sonrası Opsiyon Volatilitesi Artış Etkisi

14

30

60

90

120

180

240

300

69,35%

64,98%

58,74%

54,35%

51,21%

47,20%

44,84%

43,33%

69,61% 0,25%

65,20% 0,23%

58,92% 0,18%

54,50% 0,15%

51,34% 0,13%

47,29% 0,10%

44,92% 0,08%

43,39% 0,06%

30

3.2 Öngörülen Volatilite

3.2

¨ or ¨ ulen Ong ¨ Volatilite

Öngörülen volatilite piyasada işlem yapanların gelecekte oluşabilecek volatiliteye dair uzlaşması olarak nitelenebilir. Öngörülen volatilite, tarihsel volatilite ile zaman zaman farklılıklar gösterebilir. Şekil 18’de USDTL bir ay vadeli başabaş (atm)24 öng1 Aylık Tarihsel

1 Aylık Öngörülen

60

50

40

30

20

10

0 01.09.2002

14.01.2004

28.05.2005

10.10.2006

22.02.2008

06.07.2009

Şekil 18: USDTL 1 Ay ÖV-TV 12.12.03 - 19.12.08 Kaynak: Bloomberg

örülen opsiyon volatilitesi ve tarihsel volatilite gösterilmiştir. Öngörülen volatiliteye dair gözlemler: 1. Öngörülen Volatilite, tarihsel volatiliteye göre daha sakin hareket ediyor.

2. Öngörülen Volatilite ile tarihsel volatilite ayrı yönlerde hareket edebilir.

3. Volatilite, yükselişini tamamladığı anda düşüş trendine başlıyor, yükselişlerde yassı hareket çok fazla yok.

4. Volatilite düşüş trendleri, yükseliş trendlerine göre daha uzun sürüyor.

24

ATM = At the money, başabaş

31

3.2 Öngörülen Volatilite

5. Tarihsel volatilite yüksek iken opsiyon kotasyonu veren kurumlar, yüksek volatilite ile opsiyon almak istemiyor olabilirler, bu yüzden öngörülen volatilite kotasyonları tarihsel volatiliteye göre düşük fiyatlanabilir.

8 Ekim 2008 tarihinde USDTL atm opsiyon volatiliteleri Tablo 9’da gösterilmiştir.

Tablo 9: 8 Ekim 2008 USDTL Öngörülen Volatilite 1 Hafta

2 Hafta

1 Ay

2 Ay

3 Ay

4 Ay

6 Ay

40%

35%

28%

26%

24%

23%

22%

Opsiyon Uygulaması Önümüzdeki günlerde volatilitenin yükseleceği ve volatilite yükselişinden opsiyon kullanarak yararlanılabilecek bir strateji oluşturmak istendiği varsayılsın. Volatilite artışından kâr edilebilecek opsiyon stratejilerinden biri uzun zaman yayılma 25 olabilir. Şekil 19 USDTL öngörülen volatilite konisi ve tablo 9 karşılaştırıldığında, bir ay ve altı ay volatilitenin %90 persentil civarında olduğu görülmüştür. Tablo 10’da gösterilmiş olan pozisyonun açıldığını varsayalım. Pozisyonun başlangıç greek Tablo 10: Uzun Zaman Yayılma Pozisyonu

İşlem Tarihi

A/S

Tipi

Vade

Kullanım Fiyatı

Opsiyon Fiyatı

Nominal

VKG

08 Ekim 08 08 Ekim 08

S A

C C

07 Kasım 08 08 Nisan 09

1,4462 1,5381

0,04051 0,08090

10.000 10.000

30 182

ölçümleri tablo 11’de gösterilmiştir. Pozisyon negatif gama, pozitif vega olarak özetlenebilir. Volatilite artışının pozisyonu olumlu etkilemesi beklenmektedir. Piyasada volatilite ile USDTL kuru arasında gözlemlenmiş bir olgu var: Kur yükseliş trendine girdiğinde genelde volatilite de yükselmektedir.

Pozisyon açıldığı andaki kâr zarar beklentisi şekil 21a’da gösterilmiştir. Bu grafiğe bakıldığında pozisyon almak konusunda tereddüt yaşanabilir, neredeyse hiçbir spot Uzun vadeli opsiyon alım + Kısa vadeli opsiyon satım. Zaman yayılma stratejileri detaylı analiz için bkz. NATENBERG (1994) s. 148-154 25

32

3.2 Öngörülen Volatilite 10,00%

25,00%

50,00%

75,00%

90,00%

30 25 20 15 10 5 0 1 Hafta

2 Hafta

1 Ay

2 Ay

3 Ay

4 Ay

6 Ay

Şekil 19: USDTL Öngörülen Volatilite Konisi 13.10.06 - 8.10.08 Kaynak: Yazarın Hesaplamaları Tablo 11: Uzun Zaman Yayılma Pozisyonu Greek Ölçümleri Try Rate

Fx Rate

Vol

Delta

Gamma

Vega

Theta

15,00% 15,00%

2,00% 2,00%

26,00% 22,00% Toplam

49,97% 49,99% 2

3,7444 1,7816 -19.628

0,0016 0,0040 23,50

- 0,0009 - 0,0005 5

seviyesinde portföyün kar etmesi olanaklı değilmiş gibi görünüyor. Şekil 21b’de ise spot artış azalışları volatilite ile beraber modellenmiştir: Kur düştükçe volatilite düşürülmüş, kur yükseldikçe volatilite yükseltilmiştir.

Kur 1,00 ve 2,00 aralığında, volatilite %10 ve %80 aralığında modellenmiştir. Grafikte görüldüğü üzere kur ve volatilite birlikte artarsa pozisyon kara geçebilir. Pozisyon açıldıktan sonra piyasada kote edilen öngörülen volatilite verilerini içeren grafik Şekil 20’de gösterilmiştir. Grafikte gri olarak işşaretlenen bölge USDTL için geleneksel volatilite kanalı olarak nitelenebilir. Finansal piyasalardaki bozulma Lehman Brothers firmasının 2008 Ekim ayında batmasından hemen sonra başlamıştı. Bu olayın sonrasında USDTL kuru ile birlikte volatilite çok sert ve çok hızlı yükselmiştir. Opsiyon portföyü 403.900 TL prim ödeyerek açılmıştı. 24 Ekim 2008 tarihinde pozisyonun kapatılmasına karar verilmiştir. 24 Ekim 2008 tarihinde spot: 1,6895,

33

3.2 Öngörülen Volatilite 1 Hafta

2 Hafta

1 Ay

2 Ay

3 Ay

4 Ay

6 Ay

64,00 59,00 54,00 49,00 44,00

ÖV

39,00 34,00 29,00 24,00 19,00 14,00 9,00

13.12.08

13.11.08

13.9.08

13.10.08

13.8.08

13.7.08

13.6.08

13.5.08

13.4.08

13.3.08

13.2.08

13.1.08

13.12.07

13.11.07

13.10.07

13.9.07

13.8.07

13.7.07

13.6.07

13.5.07

13.4.07

13.3.07

13.2.07

13.1.07

13.12.06

69%

13.11.06

61%

13.10.06

4,00

Şekil 20: USDTL Öngörülen Volatilite Ekim 2006 - Aralık 2008 Kaynak: Bloomberg 1000

0

750 500

-250

250 0

-500

-250 -500

-750

78%

52%

44%

35%

27%

18%

10%

(a) Spot Hareketi ve Kar Zarar

1,97

1,85

1,73

1,61

1,48

1,36

1,24

1,12

1,00

Spot

Volatilite

(b) Spot/Volatilite↓↑ ve Kar Zarar

Şekil 21: USDTL Opsiyon Fiyatları: Spot ve Volatilite Etkisi

kısa ve uzun opsiyon volatiliteleri ise %40 olarak gerçekleşmiştir. Pozisyon yaklaşık 199.000 TL kar etmiştir. 7 Kasım 2008 vadeli opsiyonu itfa tarihinde spot 1,5440, uzun opsiyon volatilitesi ise %24 olarak gerçekleşmiştir. Pozisyon kısa opsiyonunun

3.2 Öngörülen Volatilite itfa tarihinde kapatılmış olsaydı yaklaşık 30.000 TL kar oluşacaktı.

34

3.2 Öngörülen Volatilite

35

Sonuc¸ Bu projede finansal piyasalar ve volatilite konusu ele alınmıştır. Volatilite konusu, hesaplanması, uygulamaları Türkiye finansal piyasalarında çok iyi bilinmemektedir. Özellikle volatilite hakkındaki kaynakların dağılımının fazla ve anlatım dillerinin karmaşık olması konunun iyi anlaşılmasını engellemektedir. Bu projede anlatım dili sadeleştirilip, piyasa örnekleri kullanılarak volatilite anlatılmaya çalışılmıştır. Ayrıca kullanılan Excel VBA çözümleri yeri geldikçe projenin içinde gösterilmiştir.

Volatilite hesaplaması, risk yönetimi, alım satım, opsiyonlar, gelecekte oluşabilecek fiyat hareketlerinin modellenmesi, Monte Carlo simülasyonları vs. gibi pekçok alanda kullanılmaktadır. Böylesine geniş kullanım alanı olan bir kavramın Türkiye finansal piyasalarında öneminin artmasını beklememiz hayal olmaz. Özellikle VOB’da opsiyon kontratlarının devreye girmesi ile konuyla ilgilenecek olanların ve halihazırda kaynaklara erişim sıkıntısı çekenlerin projemizden yararlanabileceğini düşünüyoruz.

3.2 Öngörülen Volatilite

36

BENNINGA (2008) BJÖRK (2004) BOSSU and HENROT (2006) JACKSON and STAUNTON (2001) JORION (2007) JORION (2003) NATENBERG (1994) CRACK (2007) STULZ (2003) HAUG (2007) WILMOTT (2007) MIKOSCH (2008) NEFTÇİ (2000) ROSS (1996) HULL (2003) FREUND (2001) BOLLERSLEV (1986) ENGLE (1982)

Kaynaklar BENNINGA, S.: 2008, Financial Modelling, third edn, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

BJÖRK, T.: 2004, Arbitrage Theory in Continuous Time, second edn, Oxford University Press, Oxford, Newyork.

BOLLERSLEV, T.: 1986, Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity, Journal Of Econometrics 31, 307–327.

BOSSU, S. and HENROT, P.: 2006, Finance and Derivaties Theory and Practice, John Wiley and Sons Ltd., West Sussex, England.

CRACK, T. F.: 2007, Heard On The Street: Quantitative Questions from Wall Street Job Interviews, tenth edn, Lightning Source UK Ltd., United Kingdom.

ENGLE, R.: 1982, Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of uk inflation, Econometrica 50, 987–1008.

FREUND, J. E.: 2001, Matematiksel İstatistik, Literatür Yayıncılık, İstanbul.

HAUG, E. G.: 2007, The Complete Guide to Option Pricing Formulas, second edn, McGraw-Hill, New York.

HULL, J. C.: 2003, Options, Futures and Other Derivatives, fifth edn, Prentice Hall, Saddle River, New Jersey, USA. JACKSON, M. and STAUNTON, M.: 2001, Advance Modelling in Finance using Excel and VBA, John Wiley and Sons Ltd., West Sussex, England.

JORION, P.: 2003, Financial Risk Manager Handbook, second edn, John Wiley and Sons Inc., West Sussex, England.

JORION, P.: 2007, Value At Risk, third edn, McGraw-Hill, New York.

MIKOSCH, T.: 2008, Elementary Stochastic Calculus with Finance in View, seventh edn, Worl Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 5 Toh Tuck Link, Singapore.

KAYNAKLAR

37

NATENBERG, S.: 1994, Option Volatility & Pricing, McGraw-Hill, New York.

NEFTÇİ, S. N.: 2000, An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives, second edn, Academic Press, San Diego, California, USA. ROSS, S. M.: 1996, Stochastic Processes, second edn, John Wiley and Sons Inc., West Sussex, England.

STULZ, R. M.: 2003, Risk Management & Derivatives, Thomson South-Western, United States of America.

WILMOTT, P.: 2007, Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance, second edn, John Wiley and Sons Ltd., West Sussex, England.

Dizin ARCH Modeli, 18 EWMA, 14 Excel Solver, 21 Gama, 32 GARCH(1,1), 18, 22 GARCH(1,1) Persistency, 19 GARCH(1,1) Volatilite Tahmini, 25 GARCH(p,q), 19, 22 Geometrik Brown Hareketi, 13 Implied Volatility, 9, 11, 31 Ljung-Box, 24 Maximum Likelihood Estimation, 20 N Gün Opsiyon Volatilitesi, 29 Opsiyon Stratejileri Straddle, 10 Strangle, 10 RiskMetrics, 15 Tarihsel Volatilite, 13 Uzun Dönemli Varyans, 18 Vega, 32 Volatilite Konisi, 3, 6