Matematika by Zavod za udžbenike

за седми разред основне школе

МАТЕМАТИКА 8 600262 021496

www.zavod.co.rs k.b. 17210

Војислав Андрић Ђорђе Дугошија Вера Јоцковић Владимир Мићић

МАТЕМАТИКА

за седми разред основне школе

Војислав Андрић Ђорђе Дугошија Вера Јоцковић Владимир Мићић

MАТЕМАТИКA за седми разред основне школе

Садржај

1.1. Квадрат рационалног броја ....................................................................................... 1.2. Решавање једначине x2 = а ........................................................................................ 1.3. Квадратни корен............................................................................................................. 1.4. Постојање ирационалних бројева ............................................................................ 1.5. Реални бројеви и бројевна права ............................................................................... 1.6. Основна својства реалних бројева ........................................................................... 1.7. Операције с квадратним коренима – основна својства .............................. 1.8. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја ...

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Питагорина теорема .................................................................................................... Теорема обрнута Питагориној теореми ........................................................... Примене Питагорине теореме ................................................................................. Примена Питагорине теореме на ромб, трапез и делтоид .................... Конструкције тачака на бројевној правој које одговарају квадратним коренима природних бројева ..........................................................

37 40 42 45 47

3.1. Степен чији је изложилац природан број ............................................................. 3.2. Множење степена једнаких основа ......................................................................... 3.3. Дељење степена једнаких основа ............................................................................ 3.4. Множење степена једнаких изложилаца .............................................................. 3.5. Дељење степена једнаких изложилаца ................................................................. 3.6. Степеновање степена ................................................................................................... 3.7. Примери операција са степенима ........................................................................... 3.8. Рационални алгебарски изрази. Бројевна вредност израза .......................... 3.9. Полиноми ............................................................................................................................... 3.10. Сабирање полинома ..................................................................................................... 3.11. Множење монома ......................................................................................................... 3.12. Множење полинома ..................................................................................................... 3.13. Квадрат збира и квадрат разлике ..................................................................... 3.14. Разлика квадрата .........................................................................................................

7 9 12 14 17 21 31 32

50 54 56 58 59 61 62 66 70 74 77 79 81 84

3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19.

Растављање полинома на чиниоце ...................................................................... Сложенији примери растављања полинома на чиниоце ........................... Примена полинома – једнакости и једначине................................................. Примена полинома – нједнакости и неједначине.......................................... Примене полинома ........................................................................................................

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Правоугли координатни систем у равни ............................................................113 Растојање тачака у координатној равни..........................................................116 Зависне величине и њихово графичко представљање....................................118 Директно пропорционалне величине......................................................................122 Обрнуто пропорционалне величине ........................................................................125 Пропорција .........................................................................................................................127 Графички приказ директно пропорционалних величина .............................132

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Многоугао – појам и врсте. Број дијагонала многоугла ............................... 97 Збир углова многоугла ................................................................................................... 99 Правилни многоуглови – појам и својства .........................................................102 Конструкције правилних многоуглова...................................................................106 Обим и површина многоугла ......................................................................................109

3 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7.

86 87 89 91 94

Централни и периферијски угао круга ................................................................135 Обим круга. Број Π ........................................................................................................139 Дужина кружног лука ....................................................................................................141 Површина круга ................................................................................................................143 Површина кружног исечка и кружног прстена .................................................146

7.1. Размера дужи .....................................................................................................................149 7.2. Сличност троуглова ......................................................................................................154

, , ................................................................................157

2.1. Đ&#x161;Đ˛Đ°Đ´Ń&#x20AC;Đ°Ń&#x201A; 1.1. Đ&#x;Đ¸Ń&#x201A;Đ°ĐłĐžŃ&#x20AC;Đ¸Đ˝Đ° Ń&#x20AC;Đ°Ń&#x2020;Đ¸ĐžĐ˝Đ°ĐťĐ˝ĐžĐł Ń&#x201A;ĐľĐžŃ&#x20AC;ĐľĐźĐ° ĐąŃ&#x20AC;ĐžŃ&#x2DC;Đ°

Do sada smo upoznali skupove prirodnih brojeva (N), prirodnih brojeva proĎ&#x20AC;irenih brojem 0 (N0), celih brojeva (Z), razlomaka proĎ&#x20AC;irenih brojem 0 (Q+0) i racionalnih brojeva (Q). U svakom od ovih skupova brojeva uĂ&#x2039;ili smo kako da wihove elemente uporeďŁżujemo, kako da ih predstavqamo na brojevnoj pravoj (ili polupravoj), uveli smo operacije sabirawa i oduzimawa, mnoĂŚewa i deqewa, reĎ&#x20AC;avali neke jednaĂ&#x2039;ine i nejednaĂ&#x2039;ine u tim skupovima, nauĂ&#x2039;ili kako da steĂ&#x2039;ena znawa o wima primewujemo.

Podsetimo se da smo u svakom od skupova brojeva proizvod broja sa sobom zvali kvadrat tog broja. BuduĂ&#x160;i da skup Q racionalnih brojeva sadrĂŚi (kao svoje podskupove) svaki od navedenih skupova, baviĂ&#x160;emo se daqe racionalnim brojevima, ako u tekstu drugaĂ&#x2039;ije ne naglasimo. Dakle, k v a d r a t racionalnog broja x je broj x Âˇ x . Zapisujemo x Âˇ x = x2.

ĐżŃ&#x20AC;Đ¸ĐźĐľŃ&#x20AC;

IzraĂ&#x2039;unaj kvadrate brojeva: a) â&#x20AC;Ą3; b) a) (â&#x20AC;Ą3)2 = (â&#x20AC;Ą3) Âˇ (â&#x20AC;Ą3) = 3 Âˇ 3 = 9;

2 1 7 ; v) â&#x20AC;Ą1,2 ; g) 2 ; d) 0; ďŁż) - . 3 7 4 ( Âˇ ) 2 2 2 2 4 b) c m = Âˇ = = ; 3 3 3 ( Âˇ ) 9

v) (â&#x20AC;Ą1,2)2 = (â&#x20AC;Ą1,2) Âˇ (â&#x20AC;Ą1,2) = 1,2 Âˇ 1,2 = 1,44; g) c d) 02 = 0 Âˇ 0 = 0;

15 2 15 15 15 15 225 Âˇ = ; m =c mÂˇc m= 7 7 7 7 7 49

7 2 7 ďŁż) c - m = c - m Âˇ c 4 4

7 7 7 49 . m= Âˇ = 4 4 4 16

S obzirom na to da je proizvod dva pozitivna ili negativna broja pozitivan broj, vaĂŚi: kvadrat racionalnog broja razliĂ&#x2039;itog od 0 je pozitivan racionalan broj. Kvadrat broja 0 jednak je 0. Dakle, ako je aâ&#x2C6;&#x2C6;Q, a â&#x2030; 0, onda je a2 >0. Kako brojeve koji su pozitivni ili jednaki 0 nazivamo nenegativni racionalni brojevi, moĂŚemo reĂ&#x160;i da je kvadrat racionalnog broja nenegativan racionalan broj.

1 7

3 11

9 121

2 5

2 9

1 4

3 8

4 25

4 81

1 16

9 64

пример

1 49

IzraËunaj kvadrate racionalnih brojeva i dobijene brojeve predstavi u decimalnom 7 3 2 zapisu: a) ; b) - ; v) - 1 ; 10 4 5 2 2 2 7 2 49 7 49 3 2 9 a) c m = = 0, 49 ; b) c - m = = 2, 25 ; v) c -11 m = c - m = = 1, 96. 5 5 25 10 100 4 4

Uporedi kvadrate brojeva: 2 2 3 3 a) 1,4 i ‡1,4; b) - i ; v) 17 i ‡17; g) - 2 i 2 . 5 5 5 5 2 2 a) 1,4 = 1,4 · 1,4 = 1,96; (‡1,4) = (‡1,4) · (‡1,4) = 1,96. Vidimo da je 1,42 = (‡1,4)2;

пример

Proveri taËnost popuwene tabele:

2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 b) c - m = c - mc - m = ,c m = . Vidimo da je c - m = c - m ; 5 5 5 25 5 25 5 5 2 2 2 2 v) 17 = 289 ; (‡17) = (‡17)(‡17) = 289. Vidimo da je 17 = (‡17) ; g) c -22

3 2 13 2 169 13 2 169 3 2 3 2 ,c m = . Vidimo da je c -22 m = c 2 m . m = cm = 5 5 25 5 25 5 5

пример

Moæemo zakquËiti da za svaki racionalan broj a vaæi: (‡a)2 = (‡a) · (‡a) = a · a = a2. Dakle, kvadrat svakog racionalnog broja jednak je kvadratu wemu suprotnog racionalnog broja. U prethodnim razredima uËili smo: ako je duæina stranice kvadrata jednaka a izabranih jedinica za duæinu, onda je povrπina tog kvadrata jednaka a2 odgovarajuÊih jedinica za povrπinu.

IzraËunaj povrπinu kvadrata Ëija je duæina stranice: 17 a) 8,6 cm; b) cm ; v) 1dm 4 cm. 4 17 2 289 a) P = (8,6)2cm2 = 73,96 cm2; b) P = c m cm 2 = cm 2 = 18, 625 cm 2 ; 4 16 2 2 2 v) 1dm 4 cm = 1,4 dm; P = (1,4) dm = 1,96 dm .

Задаци 1. IzraËunaj kvadrate brojeva: a)

3 4 ; b) 2,17; v) - ; g) ‡3,54. 5 11

2. IzraËunaj kvadrate racionalnih brojeva i dobijene brojeve napiπi u decimalnom 5 7 3 5 zapisu (konaËnom ili beskonaËnom): a) ; b) - ; v) - ; g) . 11 2 4 12 3. Uveri se da su kvadrati navedenih parova suprotnih racionalnih brojeva jednaki: 3 3 3 3 a) ‡ 7 i 7; b) i - ; v) ‡2 ,16 i 2,16; g) 1 i - 1 . 7 7 4 4 4. Popuni tabelu: x

‡2

5 3

‡0,7

1 4

0,53

1 7

2,5

x2 (‡x)2 5. IzraËunaj povrπinu kvadrata Ëija je duæina stranice: 5 39 dm; v) 2 dm 3 cm; g) m. 8 8 6. IzraËunaj vrednost izraza: a) 10,6 cm; b)

2 5 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 a) - 2 - c m ; b) 4 · c m - c 4 · m - c 4 - m ; v) (- 0, 125 : 0, 5) 2 - c - m 3 4 5 4 4 4 5 . 5

7. IzraËunaj vrednost izraza:

1.2. Решавање једначине x2=a Ponovimo: kvadrat racionalnog broja razliËitog od 0 je pozitivan racionalan broj i kvadrat broja 0 jednak je 0. Daqe, kvadrati suprotnih racionalnih brojeva jednaki su. Ta znawa Êemo koristiti prilikom reπavawa primera koji slede, a trebaÊe nam i poznavawe tablice mnoæewa.

пример

a) Izaberi tri racionalna broja veÊa od 1 i uveri se da su wihovi kvadrati veÊi od 1. b) Kvadrat racionalnog broja veÊeg od 1 je racionalan broj veÊi od 1. Dokaæi. m , pri Ëemu su m i n n prirodni brojevi i m > n. Tada su (tablica mnoæewa!) m2 i n2 prirodni brojevi, takvi m2 da je m2 > n2, pa je a 2 = 2 2 1 , πto je trebalo dokazati. n Ako je racionalan broj a veÊi od 1, moæemo ga napisati u obliku

пример

a) Izaberi tri pozitivna racionalna broja mawa od 1 i uveri se da su wihovi kvadrati pozitivni racionalni brojevi mawi od 1. b) Kvadrat pozitivnog racionalnog broja maweg od 1 je pozitivan racionalan broj mawi od 1. Dokaæi. m , n pri Ëemu su m i n prirodni brojevi r i m < n. Tada su m2 i n2 prirodni brojevi, 2 m takvi da je m2 < n2, pa je a 2 = 2 pozitivan racionalan broj mawi od 1, πto je tren balo dokazati. Ako je racionalan broj a pozitivan i mawi od 1, moæemo ga napisati u obliku

Kvadrat racionalnog broja maweg od ‡1 je racionalan broj veÊi od 1 i kvadrat negativnog racionalnog broja veÊeg od ‡1 je pozitivan racionalan broj mawi od 1. Dovoqno je pozvati se na prethodna dva primera i Ëiwenicu da su kvadrati suprotnih racionalnih brojeva jednaki.

слика 1

Moæe nam pomoÊi i predstavqawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj (sl. 1).

Na osnovu datih primera, uz dopune da je kvadrat broja 0 jednak 0, kvadrat broja 1 jednak 1 i kvadrat broja ‡1 jednak 1, moæemo navedeno prikazati koristeÊi pojam apsolutne vrednosti racionalnog broja. Na taj naËin nalazimo da je taËno sledeÊe tvrewe. Kvadrat racionalnog broja Ëija je apsolutna vrednost veÊa od 1 veÊi je od 1. Kvadrat racionalnog broja Ëija je apsolutna vrednost mawa od 1 mawi je od 1. Kvadrat racionalnog broja Ëija je apsolutna vrednost jednaka 1 jednak je 1.

пример

U prethodnim razredima reπavali smo jednaËine i uËili πta je skup reπewa jednaËine. Sada Êemo reπavati jednaËinu x2 = 1 u skupu racionalnih brojeva.

Nai skup S svih racionalnih brojeva Ëiji je kvadrat jednakk 1. Na osnovu dokazanog tvrewa o kvadratu racionalnog broja zakquËujemo da: 1° racionalni brojevi Ëija je apsolutna vrednost veÊa od 1 ne pripadaju skupu S (wihovi su kvadrati veÊi od 1); 2° racionalni brojevi Ëija je apsolutna vrednost mawa od 1 ne pripadaju skupu S (wihovi su kvadrati mawi od 1); 3° brojevi ‡1 i 1 pripadaju skupu S (to su racionalni brojevi i kvadrati su im jednaki 1). Dokazali smo da je S = {‡1, 1}.

Saglasno ranije nauËenom, mi smo u primeru 4 reπavali jednaËinu x2 = 1 u skupu racionalnih brojeva i naπli wen skup reπewa S = {‡1, 1}. UoËavamo da jednaËina x2 = a, gde je a racionalan broj: 1° nema reπewa u skupu racionalnih brojeva ako je a < 0; 2° ima jedinstveno reπewe, broj 0, ako je a = 0; 3° ima dva reπewa ako je racionalan broj a pozitivan i uz to je a kvadrat nekog racionalnog broja r, a = r2. Ta dva reπewa su suprotni racionalni brojevi (jednakih apsolutnih vrednosti) ‡r i r. Napomena. ‡ Koji je od ova dva broja negativan, a koji pozitivan zavisi od znaka broja r. Ostaje otvoreno pitawe da li jednaËina x2 = a ima racionalna reπewa za svaki pozitivan racionalan broj a. O tome Êe biti reËi kasnije.

Reπi (u skupu racionalnih brojeva) jednaËinu: 1 49 9 ; v) x 2 = ; g) x2 = 0; d) x2 = ‡ 1; ) x 2 =- ; e) x2 = ‡5. 4 16 25 PostupajuÊi na sliËan naËin kao prilikom reπavawa primera 4 uveravamo se da: a) x2 = 9; b) x 2 =

пример

a) skup reπewa jednaËine x2 = 9 je A = {‡3, 3}; 1 1 1 je B = ' - , 1 ; 4 2 2 49 7 7 v) skup reπewa jednaËine x 2 = je C = ' - , 1 ; 16 4 4 g) zbog 02 = 0, broj 0 pripada skupu reπewa te jednaËine. Kvadrat racionalnog broja razliËitog od nule je pozitivan racionalan broj, pa nije reπewe jednaËine. Skup reπewa jednaËine x2 = 0 je D = {0}; b) skup reπewa jednaËine x 2 =

d) kvadrat bilo kog racionalnog broja je nenegativan racionalan broj. Stoga ne postoji (u skupu racionalnih brojeva) reπewe jednaËine x2 = ‡1, pa je wen skup reπewa prazan, E = ∅; ) vidi odgovor pod d); e) vidi odgovor pod d).

Задаци 1. IzraËunaj brojeve (2,1)2, (2,2)2, (2,3)2, (2,4)2, (2,5)2, (2,6)2, (2,7)2, (2,8)2 i (2,9)2 i uveri se da je svaki od wih polazeÊi od drugog veÊi od prethodnog i svi su veÊi od 4. 2. IzraËunaj (0,2)2, (0,7)2, (1,2)2, (1,5)2, (1,9)2 i uveri se da je svaki od tih brojeva veÊi od prethodnog, pozitivan i mawi od 4.

3. IzraËunaj (‡2,7)2, (‡2,4)2, (‡2,2)2, (‡2,1)2; (‡1,9)2, (‡1,6)2, (‡1,1)2, (‡0,8)2, (‡0,4)2, (‡0,1)2. Uveri se da je svaki od brojeva mawi od prethodnog polazeÊi od drugog, prva Ëetiri veÊa od 4, a sledeÊih πest pozitivni i mawi od 4. 4. Nai skup svih racionalnih brojeva Ëiji je kvadrat jednak: a) 4; b) 5. Reπi (u skupu racionalnih brojeva) jednaËinu: a) x2= 9; b) x 2 = 6. Reπi sledeÊe jednaËine: a) 5x2 = 20; b) 5 (x2 ‡ 5) = 20; v)

1 9 ; v) . 9 25

49 25 ; v) x 2 = . 16 36

4 2 3 x =1 7 4

5 2 2 x - = 1 je: 7 5 7 7 49 49 a) ; b) - ; v) ; g) - ; d) 0. 5 5 25 25 Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

7. Proizvod reπewa jednaËine

1.3. Квадратни корен Neka je a > 0, pri Ëemu je a kvadrat nekog racionalnog broja. Pozitivno reπewe jednaËine x2 = a nazivamo kvadratni koren broja a. OznaËavamo ga sa a . Reπewa te jednaËine su brojevi a i ‡ a .

1 9 ; v) ; g) 2,25. 25 16 a) Kako je 36 = 62, kvadratni koren broja 36 je pozitivno reπewe jednaËine x2 = 62. To je broj 6. Zato je 36 = 6 . IzraËunaj kvadratni koren broja: a) 36 ; b)

1 пример

1 1 2 1 = c m , kvadratni koren broja je pozitivno reπewe jednaËine 25 5 25 1 2 1 1 1 x 2 = c m , a to je broj . Zato je = . 5 5 25 5

b) Kako je

v) Kako je

9 3 2 9 = c m , kvadratni koren broja je pozitivno reπewe jednaËine 16 4 16 9 3 9 3 x2 = , a to je broj . Pa je = . 16 4 16 4

g) Kako je 1,52 = 2,25, kvadratni koren broja 2,25 je pozitivno reπewe jednaËine x2 = 1,52, a to je broj 1,5. ZnaËi 2, 25 1, 5 .

2 Nai skup reπewa jednaËine: a) x =

64 4 2 ; b) x = ; v) x2 = 0,04. 49 121

64 8 2 8 2 = c m . JednaËina glasi x 2 = c m . Weno pozitivno reπewe je 49 7 7 64 8 64 64 8 8 = , a skup reπewa je A = ' , 1 = '- , 1. 49 7 49 49 7 7

пример

a) Imamo da je broj

4 2 2 2 2 = c m . Zato jednaËina glasi x 2 = c m . Weno pozitivno reπe121 11 11 4 2 4 4 2 2 = , we je broj , a skup reπewa je B = ' 1 = '- , 1. 121 11 121 121 11 11 v) Imamo da je 0,04=0,22. JednaËina glasi x2 = 0,22. Weno pozitivno reπewe je broj 0,, 0, 2 , a skup reπewa je C = " - 0, 04 , 0, 04 , = " - 0, 2; 0, 2 , . b) Imamo da je

Podsetimo se da je apsolutna vrednost racionalnog broja a jednaka broju N a ako je a ≥ 0 i jednaka broju ‡a ako je a < 0. OznaËavali smo je sa | a |.

Odredi skup reπewa jednaËine x2 = a2, i broj

пример

a) a = ‡4; b) a =

a 2 ako je:

2 5 1 ; v) a =- ; g) a = ‡2,75; d) a =- . 7 3 5

a) JednaËina glasi: x2 = (‡4)2 = 16 = 42, pa je skup reπewa A = " - 4 2 , 4 2 , = " - 4, 4 , . Vidimo da je ( ) 2 4 = - 4 ; 2 2 2 2 2 2 2 2 b) x 2 = c m , B = ' - , 1, c m = = ; 7 7 7 7 7 7 5 2 25 5 2 5 5 5 2 5 5 v) x 2 = c - m = = c m , C = ' - , 1, c - m = = - ; 3 3 3 3 3 3 9 3 g) x 2 = ^- 2, 75 h2

7, 5625 = ^2, 75 75 h2 , D = " - 2, 75, 2, 75 ,, ^-22, 2,

1 2 1 1 d) x 2 = c m , E = ' - , 1, 5 5 5

2, 755

2, 75 ;

1 2 1 1 . c m = = 5 5 5

UoËavamo da je u svih pet sluËajeva Zaista, ako je:

a 2 = a . Ovo vaæi u opπtem sluËaju.

1° a > 0, onda je a2 >0 i pozitivno reπewe jednaËine x2 = a2 jednako je a (= | a |); u tom sluËaju je a 2 = a ; 2° a = 0, onda je a2 = 0, jednaËina x2 = a2 glasi x2 = 0 i ima taËno jedno reπewe, broj 0; u tom sluËaju je a 2 = 0 = 0 ;

3° a < 0, onda je a2 > 0 i pozitivno reπewe jednaËine x2 = a2 jednako je ‡a (= |a|); u tom sluËaju je a 2 = a . Na taj naËin smo se uverili da vaæi sledeÊe. Kvadratni koren kvadrata bilo kojeg racionalnog broja jednak je apsolutnoj vrednosti tog broja. Dakle, za svako a ∈ Q vaæi a2 = a .

Задаци 1. Zaokruæi kvadratni koren Ëija je vrednost ceo broj: 1° 25 ,

250 ,

2500 ;

2° 9 ,

90 ,

900 ,

2. IzraËunaj kvadratni koren broja: a) 49; b) 3. IzraËunaj kvadratni koren broja: a) 2,56;

360 ,

81 .

1 16 64 25 ; v) ; g) ; d) . 36 49 9 81 b) 3,61; v) 5,29.

4 49 4 16 ; b) x 2 = ; v) x 2 = ; g) x 2 = . 9 36 25 81 5. Nai skup reπewa jednaËine: a) x2 = 0,36; b) x2 = 1,69; v) x2 = 5,29; g) x2 = 3,61.

2 4. Nai skup reπewa jednaËine: a) x =

6. Nai skup reπewa jednaËine x2 = a2 i broj a) a =

a 2 ako je:

3 24 7 ; b) a = ; v) a =- ; g) a = 3; d) a = ‡5 . 5 19 16

7. Nai skup reπewa jednaËine x2 = a2 i broj

a 2 ako je:

a) a = ‡0,14; b) a = 3,27; v) a = ‡2,25; g) a = 6,54. 8. Ako je a = ‡2,86 i b = a)

a 2 ; b)

9. IzraËunaj: a) v)

3 , izraËunaj: 4

b 2 ; v) 0, 0225 ,

9 - 116

(a + b) 2 ; g) 2, 25 , 9 + 16

(b - a) 2 ; d)

(a - 3b) 2 .

225 ; b) 169 16 16 . 1+ 125 25 22500 ,

36 +

1 - 2, 25 ; 4

1.4. Постојање ирационалних бројева Videli smo da je jedno od osnovnih svojstava svake duæi wena duæina. NauËili smo kako da pri izabranoj jedinici mere za duæinu izraæavamo duæine nekih duæi brojevima ‡ wihovim mernim brojevima. Bili su to pozitivni brojevi iz skupova brojeva koje smo veÊ koristili (prirodni brojevi u mlaim razredima osnovne

πkole, a pozitivni racionalni brojevi u petom i πestom razredu). Da li se, pri izabranoj jedinici mere za duæinu, svakoj duæi moæe pridruæiti wen merni broj? Da li nam pozitivni racionalni brojevi to obezbeuju? SloæiÊemo se da je naπe nastojawe da duæinu svake duæi izrazimo brojem prirodno. Stoga prihvatamo (dogovaramo se) da se pri izabranoj jedinici mere za duæinu, duæina svake duæi izraæava brojem, mernim brojem duæine te duæi. UoËavamo da nije reËeno kakvim brojem. Upravo to Êe biti predmet naπeg daqeg interesovawa.

слика 2

AB = a cm, P = a2 cm2

пример

UËili smo, isto tako, da figure u ravni imaju povrπinu i da ih (te povrπine), na isti naËin, pri izabranoj jedinici mere za povrπinu moæemo izraziti brojevima ‡ mernim brojevima wihovih povrπina. Opet su to bili do tada upoznati pozitivni brojevi. Ako je pri tome figura kvadrat Ëiji je merni broj duæine stranice, pri izabranoj jedinici mere za duæinu, jednak a, onda je merni broj povrπine kvadrata, izraæene u odgovarajuÊoj jedinici mere za povrπinu, jednak a2 (sl. 2).

слика 3

Pri zadatoj jedinici mere za duæinu, nacrtaj trougao Ëiji je merni 1 broj povrπine, pri odgovarajuÊoj jedinici mere za povrπinu, jednak . 2 1 Jednakokraki pravougli trougao ABC C ima povrπinu jednaku . 2 Da bismo malo pojednostavili izlagawe, neÊemo u reπewima isticati da se radi o mernim brojevima pri izabranim ili odgovarajuÊim jedinicama mere za duæinu odnosno mere za povrπinu.

1 D

1 A

Neka je zadata jedinica mere za duæinu. Nacrtaj kvadrat Ëiji je merni broj povrπine, pri odgovarajuÊoj jedinici mere za povrπinu, jednak 2.

пример

Kvadrat BMNC C se, oËigledno, razlaæe dijagonalama CM M i BN N na Ëetiri podudarna jednakokraka pravougla trougla. Svi su oni podudarni s jednakokrakim pra1 vouglim trouglom ABC C (povrπine ), pa je povrπina 2 1 kvadrata BMNC C jednaka 4 · c m = 2 . 2 Stranica BC C kvadrata BMNC C ima duæinu. Ako je merni broj te duæine jednak x, onda je merni broj wegove povrπine P jednak x2, pa je x2 = 2. Dakle, postoji brojj Ëiji je kvadrat jednak 2.

слика 4

пример

p2 = 5 · q2. Broj p2 je deqiv (prostim) brojem 5, pa mora i broj p biti deqiv sa 5. Dakle, postoji prirodan broj k, takav da je p = 5k. Onda mora biti: (5k)2 = 25k2 = 5q2, odnosno q2 = 5k2. Sada, na isti naËin, sledi da je i broj q deqiv sa 5, pa postoji prirodan broj l, takav da je q = 5l. ZakquËujemo da je NZD(p,q) H 5 , πto protivreËi pretpostavci da su p i q uzajamno prosti prirodni brojevi. Dakle, ne postoji racionalan broj Ëiji je kvadrat jednak 5.

Да ли знате? Do saznawa da postoje brojevi koji nisu racionalni doπlo se davno. Stari Grci su se u to uverili i ta je Ëiwenica izazvala veliko razoËarewe. To se desilo u πestom veku pre Hrista i vezuje se za pitagorejce, uËenike, velikog mislioca Pitagore.

Задаци 1. Dokaæi da ne postoji racionalan broj Ëiji je kvadrat jednak 3. 2. Dokaæi da ne postoji racionalan broj Ëiji je kvadrat jednak 7. 3. Dokaæi da ne postoji racionalan broj Ëiji je kvadrat jednak 6. 4. Da li jednaËina x2 = 5 ima reπewa u skupu racionalnih brojeva? Zaπto? 5. Da li jednaËina x2 = 6 ima reπewa u skupu racionalnih brojeva? Zaπto? 6. U skupu prirodnih brojeva mawih od 10 odredi one brojeve Ëiji je kvadratni koren racionalan broj.

1.5. Реални бројеви и бројевна права NauËili smo da pored racionalnih brojeva postoje brojevi koji nisu racionalni; nazvaÊemo ih iracionalni brojevi. Na taj naËin nalazimo da je broj Ëiji je kvadrat jednak 2 iracionalan, broj Ëiji je kvadrat jednak 5 iracionalan, ... NasluÊujemo da iracionalnih brojeva ima beskonaËno mnogo. Uskoro Êemo se u

to uveriti, a znatno kasnije, u sredwoj πkoli, dokazaÊemo da ih ima viπe nego racionalnih brojeva. Nalazimo se opet u veÊ poznatoj situaciji. Skup brojeva kojim se koristimo morali smo proπiriti i u wega uvesti nove brojeve, ovog puta iracionalne brojeve. Tako smo postigli da, pri izabranoj jedinici mere za duæinu, merni broj duæine svake duæi bude zaista broj. JednaËina x2 = 2 i woj sliËne jednaËine imaju reπewa u proπirenom skupu brojeva i joπ mnogo toga. Objediwavawem racionalnih i iracionalnih brojeva u novi, proπireni skup brojeva dobijamo skup realnih brojeva. Wegovi su elementi realni brojevi. OznaËavamo ga sa R. Realan broj je ili racionalan ili iracionalan. U do sada upoznatim skupovima brojeva izvodili smo razliËite operacije s wihovim elementima (sabirawe, mnoæewe, ...) i uspostavqali odnose izmeu wihovih elemenata („biti mawi“, „biti veÊi“, „biti jednak“, ...). Brojeve smo takoe predstavqali na brojevnoj pravoj (ili polupravoj), pridruæujuÊi ih taËkama te prave, a potom se i brojevnom pravom koristili prilikom izvoewa nekih operacija ili uoËavawa nekih odnosa u odgovarajuÊem skupu. KrenuÊemo od prikazivawa realnih brojeva na brojevnoj pravoj. Racionalni brojevi na brojevnoj pravoj. ‡ NauËili smo kako se na zadatoj brojevnoj pravoj prikazuju racionalni brojevi. Pri izabranoj jedinici mere za duæinu (izabranoj jediniËnoj duæi) OI racionalnom broju a (a>0), odgovara taËka A, takva da je a merni broj duæine duæi OA. PrikazaÊemo kako moæemo zadatu duæ podeliti na tri odnosno pet jednakih delova. слика 5

O(0)

I(1)

A(a)

пример

Zadatu duæ podeli na tri jednaka dela.

Neka nam je zadata duæ AB i neka je Aq poluprava koja nije paralelna sa AB. Izaberimo na Aq proizvoqnu duæ AP = d i neka su Q i C taËke na Aq, takve da su P i Q izmeu AiCi AP = PQ = QC = d. C q слика 6

Q Duæ AC C je taËkama P i Q podeqena na tri jednaka S dela. Neka su M i N taËke duæi AB, takve da su duæi P T R PM M i QN N paralelne sa BC C i neka su R i S taËke duæi BC, takve da su duæi PR i QS paralelne sa AB. Zbog M N B AP = PQ i PM M || QN, N PM M je sredwa linija trougla A NQA i vaæi AM = MN = PT. Pri tome je T srediπte duæi NQ i preseËna je taËka duæi NQ i PR, odnono duæi NQ i MS. Zbog PQ = TS i QT T || CR, QT T je sredwa linija trougla RCP P i vaæi PT = TR = MN. N »etvorougao NBRT T je paralelogram, pa su mu naspramne stranice jednake, NB = TR = MN. N Dokazali smo da je AM = MN = NB, πto znaËi da je taËkama M i N duæ AB podeqena na tri jednaka dela.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА 2.1. Питагорина теорема

Да ли знате?

PITAGORA (oko 580 ‡ oko 500. godine pre n. e.) grËki filozof i matematiËar, osnivaË filozofske i matematiËke pitagorejske πkole. Toj πkoli se pripisuje otkriÊe da postoje nesamerqive duæi, poznata Pitagorina teorema. Prema wihovom uËewu, suπtina svih stvari je u broju i ceo svemir je skladno ureen sistem brojeva i wihovih odnosa. O znaËajnom starogrËkom matematiËaru Pitagori bilo je reËi pre nekoliko Ëasova, kad smo govorili o pojmu iracionalnog broja. Iako se pouzdano zna da su za svojstvo pravouglog trougla na koje se odnosi Pitagorina teorema znali stari EgipÊani i Vavilonci joπ u XVIII veku pre Hrista, smatra se da wen prvi ispravan dokaz pripada upravo Pitagori. слика Ako kanap duæine 12 dm podelimo na tri dela vezivawem Ëvorova na rastojawu 3 dm od 4 dm jednog kraja i 4 dm od drugog kraja, dobiÊemo modele tri duæi (duæina od 3 dm, 4 dm, 5 dm) 3 dm od kojih moæemo, pomoÊu ekserËiÊa zabijenih na mestima Ëvorova, zatezawem formira5 dm ti „trougao“. Merewem pomoÊu uglomera ili uporeivawem s pravim uglom trougaonog lewira najveÊeg od uglova tako formiranog trougla (naspram najveÊe stranice) uveriÊemo se da je taj ugao prav. Tako smo doπli do jed15 cm nostavne metode „konstruisawa“ (pribliæno) 8 cm pravog ugla. Za ovakav postupak su znali stari EgipÊani i Vavilonci. „Mrdalice“, kojima smo se bavili u πestom 17 cm razredu, mogu nam, na sliËan naËin, posluæiti kao pribor za ovakvo, eksperimentalno i pribliæno konstruisawe pravog ugla. Ako uzmemo tri modela duæi duæina od 8 cm, 15 cm, 17 cm, uveriÊemo se, pomoÊu uglomera ili trougaonika, da je najveÊi od uglova „trougla“ koji one formiraju prav. UoËavamo da za trojke brojeva 3, 4, 5 , odnosno 8, 15, 17 vaæi da je:

32 + 42 = 52, 82 + 152 = 172. Da li je ova pravilnost sluËajna ili smo, poput starih EgipÊana i Vavilonaca, naslutili neko opπte svojstvo pravouglih trouglova?

TEOREMA P

N a

c b

B a C слика 2

слика 3

Povrπina kvadrata nad hipotenuzom bilo kojeg pravouglog trougla jednaka je zbiru povrπina kvadrata nad katetama tog trougla.

Dokaz. ‡ U vezi s pojmom povrπine uËili smo da podudarne figure imaju jednake povrπine i da je povrπina figure koja je rastavqena na viπe delova jednaka zbiru c b povrπina tih delova. Pretpostavimo da nam je zadat bilo c kakav pravougli trougao ABC, pri Ëemu je C teme pravog ugla, i da su a i b wegove katete a c wegova hipotenuza. Ako katetu CA produæimo preko wenog kraja A za duæ AM, b A a M podudarnu sa CB, katetu CB produæimo preko wenog kraja B za duæ BP, podudarnu sa CA i odredimo taËku N, simetriËnu taËki C u odnosu na osu MP, dobiÊemo kvadrat CMNP, Ëije su stranice jednake a+b. (Zaπto je kvadrat?) Neka su E i F, redom, taËke koje pripadaju duæima MN i NP, takve da je ME = b, EN = a, NF= b, FP = a (sl. 2). Jednostavno se uveravamo da su pravougli trouglovi EAM, FEN, BFP podudarni s trouglom ABC. Da bismo sliku malo rasteretili, izostaviÊemo oznake za temena veÊeg i maweg kvadrata i numerisati pravougle trouglove brojevima od 1 do 4 (sl. 3; 2°, 3°). Tako smo osnovni, veÊi kvadrat rastavili na pet delova (Ëetiri pravougla trougla i mawi kvadrat) i wegova je povrπina jednaka zbiru povrπina tih pet delova. Ako formirana Ëetiri pravougla trougla, premeπtajuÊi ih uz neophodno obrtawe, presloæimo kako je to prikazano na slici 3, uveravamo se da je osnovni, veÊi kvadrat rastavqen na Ëetiri pravougla trougla i dva mawa kvadrata, jedan stranice a i drugi stranice b, pa je wegova povrπina jednaka zbiru povrπina tih πest delova. Povrπina osnovnog kvadrata se nije promenila pa zbir povrπina pet delova iz prvog rastavqawa mora biti jednak zbiru povrπina πest delova iz drugog rastavqawa. Povrπina maweg kvadrata u prvom rastavqawu, a to je kvadrat nad hipotenuzom polaznog pravouglog trougla, jednaka je c2 dok su povrπine mawih kvadrata u drugom rastavqawu, a to su kvadrati koji su podudarni kvadratima nad katetama polaznog pravouglog trougla, jednake a2 odnosno b2. Kako se prilikom premeπtawa i obrtawa povrπine uoËena Ëetiri pravougla trougla ne mewaju, figure koje ih dopuwuju do podudarnih, veÊih kvadrata moraju imati jednake povrπine. Na prvoj slici to je kvadrat nad hipotenuzom, a na drugoj su to kvadrati nad katetama polaznog pravouglog trougla, πto znaËi da je povrπina kvadrata nad hipotenuzom pravouglog trougla jednaka zbiru povrπina kvadrata nad katetama tog trougla. Time je teorema dokazana. 1°

2°

3°

b 4

1 b a

2 c

b a

b 3

c 2 b

3 a

3.1. Степен чији је изложилац природан број

PODSETI SE U Ëetvrtom razredu smo broj 987 654 zapisivali i na sledeÊi naËin: 987 654 = 900000 + 80000 + 7000 + 600 +50 + 4 = 9 · 100 000 + 8·10 000 + 7·1 000 + 6·100 + 5·10 + 4 = 9·105 + 8·104 + 7·103 + 6·102 + 5·101 + 4. Tada smo prvi put koristili stepene broja 10, tj. brojeve 101, 102, 103, 104, 105... za kraÊi (dekadni) zapis prirodnog broja.

Ak ko ivica kocke ima duæinu a, zapremina kocke V jednaka je a · a · a. KraÊi zapis ovve fo ormule je V = a · a · a = a3.

пример

U Ëetvrtom razredu smo koristili formule za izraËunavawe povrπine kvadrata P = a · a = a2 i povrπine kocke P = 6 · a · a = 6 · a2 i u wima izraz a · a zamewivali izrazom a2.

IzraËunajj 25. Iz Pr roizvod 2 · 2 · 2 · 2 · 2 kraÊe se moæe zapisati kao 25 gde broj 5 pokazuje koliko putta br roj 2 mnoæimo samim sobom. Dakle, 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

Uopπte, moæemo se dogovoriti da ako realan broj a treba da pomnoæimo samim sobom n puta (n je prirodan broj), onda se traæeni proizvod a $ a $ a $ f $ a 1 44 4 2 44 3 kraÊe zapisuje kao an i Ëita „a na n“. n Broj an zovemo n-ti stepen broja a. U stepenu an realan broj a predstavqa osnovu stepena, a prirodan broj n izloæilac (ili eksponent) stepena. stepen osnova stepena

izloæilac stepena

Ako izraËunavamo n-ti stepen broja a, onda govorimo o operaciji stepenovawa, pa veÊ upoznatim algebarskim operacijama sabirawa, oduzimawa, mnoæewa, deqewa i korenovawa, pridodajemo joπ jednu znaËajnu algebarsku operaciju.

IzraËunajj 54. Iz Br roj 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 25 · 25 = 625.

Dookaæi da jee 24 = 42. Kaako je 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 i 42 = 4 · 4 = 16, to je dokaz zavrπen.

©ta je veÊe 35 ili 53? Kaako je 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 27 · 9 = 243 i 53 = 5 · 5 · 5 = 125, to je 243 > 125, pa je 35 > 53.

пример

IzraËunajj (‡1)7. Iz

Daa li je an = na ?

пример

Vrednost broja a1 je po dogovoru jednaka samom broju a.

U primeru 4 videli smo da je 24 = 42 = 16, a u primeru 5 da je 35 > 53. To govori da an ni ije jednako sa na za svaki realan broj a i svaki prirodan broj n. Postoje i druggi pr rimeri, jer ako je a paran, a n neparan prirodan broj, onda je an paran, a na neparaan pr rirodan broj.

Br roj (‡1)7 = (‡1)·(‡1)·(‡1)·(‡1)·(‡1)·(‡1)·(‡1). Kako je (‡1) · (‡1) = 1, to je

пример

(‡1)7 = 1 · 1 · 1 · (‡1) = ‡1.

©ta je veÊee (‡3)4 ili (‡4)3? Kaako je (‡3)4 = (‡3) · (‡3) · (‡3) · (‡3) = 9 · 9 = 81 i (‡4)3 = (‡4) · (‡4) · (‡4) = 16 · (‡4) = ‡64, 64, to je (‡3)4 = 81 > ‡ 64 = (‡4) ( )3.

9 пример

2 3 IzraËunaj c m . Iz 3 3 2 2 2 2 8 . c m = c m$c m$c m= 3 3 3 3 27

Poznato oznato je da se jedna memorijska Êelija u raËunaru zove bit. Jedan bajt sadræi æ 10 10 8 bita. Jedan kilobajt (kB) je 2 = 1024 bajta. Jedan megabajt (MV) ima 2 , dakle 1 024 ki ilo obajtova. Jedan gigabajt (GB) je 210 ili 1 024 megabajta, a jedan terabajt (TV) ima 210 illi 1 024 gigabajta. Dakle, jedan kilobajt ima 210, megabajt ima 220, gigabajt ima 230, a jeddan terabajt ima 240 bajta. Broj 240 = 1 024 · 1 024 · 1 024 · 1 024 = 1 099 511 627 776 i im ma 13 cifara.

Svetlosna vetlosna godina je duæina puta koju svetlost prevali za jednu godinu. Brzina svet svet8 lo osti je 3 · 10 m/s, a u godini dana ima 60 · 60 · 24 · 365 = 31 536 000 sekundi. Traæen na uddaqenost iznosi 3 · 108 · 31 536 000 = 94 608 000 · 108 m ili 9 460 800 000 000 000 m = 9 460 800 000 000 km, pa svetlosna godina pribliæno1 predstavqa duæinu neπtto maalo mawu od devet i po hiqada milijardi kilometara.

Do o kraja 2005. godine najveÊi poznati prost broj je bio 230.402.457 ‡1 (ovaj broj im ma 9 152 052 cifara). IzraËunali su ga 15. decembra 2005. godine dva profesora sa Misuri uri dræavnog univerziteta. Koliki je izraËunati broj najboqe govori sledeÊ sledeÊi podatak. odatak. Ako na stranicu kwige stane oko 2 500 cifara, onda bi kwiga u kojoj bi sse ob bjavio taj prost broj imala oko 3 660 strana.

пример

Stepeni se u nauci, a i u svakodnevnom æivotu koriste vrlo Ëesto jer mnoge velike brojeve nije lako napisati i opisati koriπÊewem klasiËnog dekadnog zapisa.

Avogadrov vogadrov broj, poznat joπ i kao Avogadrova konstanta, predstavqa broj molekula u jeddnom molu supstance. Avogadrov broj iznosi 6,022 141 99(47) · 1023 po molu.

Kaæe se pribliæno, jer jedna astronomska godina ima neπto viπe od 365, na primer 365,25 dana.

МНОГОУГАО 2.1. Многоугао 4.1. Питагорина – теорема појам и врсте. Број дијагонала многоугла

U petom i πestom razredu smo uËili da se prosta zatvorena izlomqena linija u ravni naziva i mnogougaona linija. Mnogougao je figura u ravni koju Ëini mnogougaona linija i unutraπwa oblast odreena tom linijom. Slika 1

Duæi koje Ëine mnogougaonu liniju nazivaju se stranice mnogougla. ZajedniËke taËke stranica nazivaju se temena mnogougla. Stranice mnogougla koje imaju zajedniËko teme su susedne, a koje nemaju zajedniËkih taËaka su nesusedne. Temena koja su na jednoj stranici su susedna, a koja to nisu su nesusedna. Prema broju temena mnogougao je trougao, Ëetvorougao, petougao,.....»esto se umesto mnogougao kaæe i n-tougao (Ëita se entougao), gde je n prirodan broj i n H 3 . Temena se obeleæavaju sa A, B, C, f, X, Y, Z ili jednim slovom i indeksom, odnosno A1, A2, A3, ..., An. Na primer, petougao se obeleæava ABCDE ili A1A2A3A4A5 (sl. 1).

слика 1

C A

Uglovi Ëija su temena temena mnogougla, Ëiji kraci su odreeni susednim stranicama mnogougla i koji imaju zajedniËke taËke sa unutraπwom oblaπÊu mnogougla su uglovi mnogougla. Uglovi petougla ABCDE su: \EAB, \ABC, \BCD, \CDE, \DEA . Te uglove moæemo obeleæavati i sa: a1, a2, a3, a4, a5 (sl. 2).

Slika 2

D α4 E

слика 2

α5

α3 αSlika 1 3

α2

Temena, stranice i uglovi su osnovni elementi mnogougla. Mnogougao je konveksan ako za bilo koje dve wegove taËke duæ koju one odreuju, pripada mnogouglu. U suprotnom mnogougao je nekonveksan. Na primer, petouglovi prikazani na slici 1 su konveksni, a πestougao prikazan na slici 3 je nekonveksan (duæ odreena temenima C i E ne pripada πestouglu). Mi Êemo daqe razmatrati samo konveksne mnogouglove.

слика 3

C A

Duæi Ëije su krajwe taËke nesusedna temena mnogougla nazivaju se dijagonale mnogougla.

Slika 4

пример

Na slici 4 prikazan je petougao i nacrtane su sve wegove dijagonale.

слика 4

D B

E A

Slika 5

пример

Koliko dijagonala ima πestougao? Iz jednog temena πestougla uoËavaju se 3 dijagonale. Da li to vaæi za sva temena?

слика 5

C E

Pogledaj sledeÊu sliku! Temenom A i temeB F B F B F B F nom B su odreene A A A A po tri dijagonale (AC, AD, AE, BD, BE, BF), temenom C dve (CE, CF), temenom D jedna (DF), jer smo ostale veÊ uoËili iz drugog temena. To je ukupno 9 dijagonala.

Razmotrimo koliko ukupno dijagonala ima n-tougao (mnogougao sa n temena). Iz jednog temena mnogougla je odreeno n ‡ 3 dijagonale, πto moæemo zapisati dn = n ‡ 3. Iz n temena to je n · (n ‡ 3) dijagonale. Svaku dijagonalu smo „raËunali“ iz obe krajwe taËke, πto znaËi da broj n · (n ‡ 3) treba da podelimo sa 2. Dakle, broj svih dijagonala n-tougla (mnogougla sa n temena), u oznaci Dn, jeste: Dn =

n $ (n - 3) . 2

пример

Proveri ovo tvrewe za Ëetvorougao, petougao, πestougao.

IzraËunaj koliko dijagonala ima desetougao. D10 = Desetougao ima 35 dijagonala.

10 $ (10 - 3) 10 $ 7 = = 35 . 2 2

Контролна питања

©ta je mnogougao? ©ta su temena, πta stranice, a πta uglovi mnogougla? ©ta su susedne stranice mnogougla? ©ta je dijagonala mnogougla? Zaπto iz jednog temena n-tougla postoji n ‡ 3 dijagonala?

Задаци 1. Nacrtaj osmougao, pa obeleæi wegova temena i uglove. 2. Nacrtaj petougao koji ima dva para paralelnih stranica. 3. Nacrtaj πestougao koji ima tri para paralelnih stranica. 4. Nacrtaj konveksni n-tougao Ëija su temena na trima paralelnim pravama ako je n = 5, n = 6. 5. Koliko dijagonala se moæe nacrtati iz jednog temena 15-tougla? 6. Koliko dijagonala ima: a) 15-tougao; b) 20-tougao? 7. Ako se iz jednog temena n-tougla moæe nacrtati 10 dijagonala, koliko: a) temena; b) stranica; v) dijagonala ima taj n-tougao? 8. Ako n-tougao ima 27 dijagonala, koliko je n? 9. Da li postoji mnogougao Ëiji je broj dijagonala: a) 10; b) 20; v) 30? 10. Ako mnogougao ima 5 puta viπe dijagonala nego stranica, izraËunaj koliko stranica ima taj mnogougao. 11. Da li postoji mnogougao Ëiji je broj stranica jednak broju dijagonala? Slika 6

4.2. Збир углова многоугла U πestom razredu smo uËili da je:

слика 6

28˚

‡zbir uglova trougla 180°,

65˚

115˚

‡ zbir uglova Ëetvorougla 360°.

70˚

76˚

70˚

65˚

76˚ 110˚

110˚

115˚

КРУГ 2.1. Централни 6.1. Питагорина итеорема периферијски угао круга

‡

‡ ‡ ‡ ‡

U petom razredu smo uËili sledeÊe. Kruænica k(O, r) je prosta zatvorena linija u ravni Ëija je svaka taËka M na datom rastojawu r od date taËke O te ravni. TaËka O je centar, a duæ OM je polupreËnik te kruænice. Kruænica k(O, r) i wome odreena unutraπwa oblast ravni odreuju figuru koja se naziva krug K(O, r). Ugao Ëije je teme centar kruænice naziva se centralni ugao kruænice ili woj odgovarajuÊeg kruga. Ako kraci ugla aOb seku kruænicu k(O, r) u taËkama A i B i ako je luk AB u tom uglu, kaæe se da je ugao aOb centralni ugao nad lukom AB (sl. 1). Slika 1 polupreËnika Za dva centralna ugla jedne kruænice ili kruænica jednakih vaæi: слика • jednaka su ako su nad jednakim lukovima; S a • veÊem od uglova odgovara veÊi luk; A • mawem od uglova odgovara mawi luk. k

Konveksni ugao Ëije teme pripada kruænici, a kraci seku kruænicu naziva se periferijski ugao kruænice ili woj odgovarajuÊeg kruga. Ako kraci periferijskog ugla cSd seku kruænicu k(O, r) u taËkama C i D i ako je luk CD u tom uglu, kaæe se da je periferijski ugao nad lukom CD (sl. 1).

пример

Slika 2

Na slici 2a je prikazana kruænica k(O, r). Nacrtaj centralni ugao nad lukom MN i periferijski ugao nad lukom PQ. Reπewe je prikazano na slici 2b. Koliko centralnih, a koliko periferijskih uglova se moæe nacrtati?

а) P

б)

слика 2

P Q

O N

k N

135

Slika 3

Na slici 3 je prikazana kruænica k(O, r).

слика 3

пример

Izmeri, pa uporedi centralni i periferijski ugao nad lukom AB. ©ta zapaæaπ? Centralni ugao AOB je dva puta veÊi od periferijskog ugla ASB. Nacrtaj joπ dva periferijska ugla nad lukom AB, pa proveri taËnost ovog zapaæawa.

Slika 4 слика 4

Uverimo se da vaæi sledeÊe.

S B

Centralni ugao kruga je dva puta veÊi od periferijskog ugla nad istim lukom. Neka je \ASB periferijski ugao kruga K(O, r) i \AOB centralni ugao nad istim lukom AB. Razlikujemo tri sluËaja. I. TaËka O je na jednom kraku \ASB;

Slika 5

II. TaËka O je u \ASB;

слика 5

III. TaËka O je izvan \ASB.

S O

SluËaj I. ‡ Neka je AS preËnik kruga (sl. 4). Tada je \AOB spoqaπwi ugao ΔOBS, pa je \AOB = \OBS + \OSB = 2\OSB = 2\ASB. SluËaj II. (sl. 5). ‡ Neka prava SO seËe kruænicu u taËki C. Periferijski i centralni ugao su podeqeni:

\ASB = \ASC + \CSB \AOB = \AOC + \COB. Na osnovu razmatrawa pod I sledi \AOC = 2\ASC i \COB = 2\CSB, pa je

Slika 6

слика 6

\AOB = 2\ASC + 2\CSB = 2 (\ASC + \CSB) = 2\ASB.

SluËaj III. (sl. 6). ‡ Neka prava SO seËe kruænicu u taËki C. Za periferijski i centralni ugao vaæi: \ASB = \ASC ‡ \CSB,

S O C A

\AOB = \AOC ‡ \COB. Na osnovu razmatrawa pod I sledi \AOC = 2\ASC i \COB = 2\CSB, pa je \AOB = 2\ASC ‡ 2\CSB = 2 (\ASC ‡ \CSB) = 2\ASB.

Ovim smo se uverili da je uvek centralni ugao kruga dva puta veÊi od periferijskog ugla nad istim lukom.

136

MaËe je sliËno odrasloj maËki, dete svojim roditeqima, objekat na maloj fotografiji istom objektu na uveÊanoj fotografiji. U geometriji sliËne figure imaju isti oblik dok im druge karakteristike na primer veliËina, boja i dr. mogu biti razliËite.

слика 1

U Ëemu je tajna sliËnosti? Kada kaæemo da su neke figure sliËne? Odgovor Êete saznati u narednim lekcijama.

7.1. Размера дужи Pri predstavqawu realnih brojeva na brojevnoj pravoj utvrdili smo da svaka duæ, pri izabranoj jedinici mere e, ima duæinu ‡ pozitivan broj koji pokazuje koliko se jediniËnih duæi i wenih delova nalazi u merenoj duæi. Pod razmerom dve duæi podrazumevaÊemo koliËnik duæina tih duæi. Dakle, ako duæi a i b imaju duæine u odnosno v mernih jedinica e, onda je a : b = u : v. Ako je za jedinicu mere izabrana neka druga duæ f u odnosu na koju a, odnosno b imaju duæine p odnosno q, a duæ f ima duæinu w jedinica e, onda je u = pw, v = qw. Odatle sledi u : v = p : q i a : b = p : q. Dakle, razmera dve duæi ne zavisi od izabrane jedinice mere kojom su te duæi merene. Ako postoji duæ e koja se ceo broj puta sadræi i u duæi a i u duæi b, za duæi a i b se kaæe da su samerqive. U suprotnom, duæi su nesamerqive. Razmera samerqivih duæi (kada ih merimo jedinicom e) je koliËnik dva cela pozitivna broja, dakle pozitivan racionalan broj. Vaæi i obrnuto. Ako je razmera dve duæi racionalan broj, te duæi su samerqive. m b Zaista, ako je a : b racionalan broj jednak onda je a = m $ pa se n-ti n n deo duæi b sadræi m puta u duæi a i n puta u duæi b. Razmera dve nesamerqive duæi je iracionalan broj.

149

, , 1. Реални бројеви 1.1. 1. a) 9 ; b) 4,7089; v) 16 ; g) 12,5316.

25 121 2. a) 49 = 12, 25 ; b) 9 = 0, 5625 ; 4 16 v) 25 = 0, 2066115702479338842975 121

‡2

25 9

(malo smo se „namuËili“);

(‡x)2

25 9

g) 25 = 0, 17361 . 144

2 2 3. a) (‡7)2 = 72 = 49; b) c 3 m = c - 3 m = 9 ;

(‡2,16)2

2,162

= 4,6656;

g) c - 1 3 m = c 1 3 m = 100 . 7

5 ‡0,7 0 3

1 7

2,5

0,2809

64 49

6,25

0,2809

64 49

6,25

1 4

0,53

0,49 0

1 16

0,49 0

1 16

5. a) 112,36 cm2; b) 25 dm 2 ; v) 5,29 dm2; 64 g) 23,765625 m2. 6. a) 33 ; b) - 277 ; v) - 7 . 25

16 8 3 7. a) 0; b) ; v) ‡0,16; g) 11. 4

1.2. 1. (2,1)2 = 4,41; (2,2)2 = 4,84; (2,3)2 = 5,29; (2,4)2 = 5,76; (2,5)2 = 6,25; (2,6)2 = 6,76; (2,7)2 = 7,29'; (2,8)2 = 7,84; (2,9)2 = 8,41; 4 < 4,41 < 4,84 < 5,29 < 5,76 < 6,25 < 6,76 < 7,29 < 7,84 < 8,41. 2. (0,2)2 = 0,04; (0,7)2 = 0,49; (1,2)2 = 1,44; (1,5)2 = 2,25; (1,9)2 = 3,61; 0,04 < 0,49 < 1,44 < 2,25 < 3,61 < 4. 3. (‡2,7)2 = 7,29; (‡2,4)2 = 5,76; (‡2,2)2 = 4,84; (‡2,1)2 = 4,41; (‡1,9)2 = 3,61; (‡1,6)2 = 2,56; (‡1,1)2 = 1,21; (‡0,8)2 = 0,64; (‡0,4)2 = 0,16; (‡0,1)2 = 0,01;

7,29 > 5,76 > 4,84 > 4,41 > 4 > 3,61 > 2,56 > 1,21 > 0,64 > 0,16 > 0,01 > 0. 4. a) " - 2, 2 , ; b) ' - 1 , 1 1 ; v) ' - 3 , 3 1 . 3 3

5 5

5. a) Reπewa su brojevi ‡3 i 3; b) reπewa su brojevi - 7 i 7 ; v) reπewa su brojevi 4 5 5 4 . - i 6

6. Postupi kao prilikom reπavawa primera 3, u lekciji 1. Reπewa su brojevi: a) ‡2 i 2; b) ‡3 i 3; v) - 7 i 7 . 4 4 7. g)

1.3. 1. 1° 25 , 2500 ; 2° 9 , 900 , 81 . 16 4 1 1 = ; = ; v) 49 7 36 6 64 8 25 5 = ; d) = . 9 3 81 9 2, 56 = 1, 6 ; b) 3, 61 = 1, 9 ;

2. a) 49 = 7 ; b) g) 3. a)

v) 5, 29 = 2, 3 . 4. a) ' - 2 , 2 1 ; b) ' - 7 , 7 1 ; v) ' - 2 , 2 1 ; 3 3 6 6 5 5 4 4 g) ' - , 1 . 9 9

5. a) {‡0,6; 0,6}; b) {‡1,3; 1,3}; v) {‡2,3; 2,3}; g) {‡1,9; 1,9}. 6. a) ' - 3 , 3 1,

5 5 b) ' - 24 , 24 1, 19 19

v) ' - 7 , 7 1, 16 16

g) " - 3, 3 ,,

3 2 3 3 = ; c m = 5 5 5 c

24 2 24 24 = ; m = 19 19 19

7 2 7 7 ; = m = 16 16 16

32 = 3 = 3 ;

157

за седми разред основне школе

МАТЕМАТИКА 8 600262 021496

www.zavod.co.rs k.b. 17210

Војислав Андрић Ђорђе Дугошија Вера Јоцковић Владимир Мићић

МАТЕМАТИКА

за седми разред основне школе