Zbirka zadataka iz matematike by Zavod za udžbenike

за седми разред основне школе

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ 8 600262 021502

www.zavod.co.rs k.b. 17214

Војислав Андрић Ђорђе Дугошија Вера Јоцковић Владимир Мићић

ЗБИРКА

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

за седми разред основне школе

Др Војислав Андрић дР Ђорђе Дугошија Вера Јоцковић др Владимир Мићић

ЗБИРКА

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

за седми разред основне школе

Садржај Предговор12

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

1.1. Квадрат рационалног броја ....................................................................................... 1.2. Решавање једначине x2 = а ........................................................................................ 1.3. Квадратни корен............................................................................................................. 1.4. Постојање ирационалних бројева ............................................................................ 1.5. Реални бројеви и бројевна права ............................................................................... 1.6. Основна својства реалних бројева ........................................................................... 1.7. Операције са квадратним коренима – основна својства ............................ 1.8. Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја ...

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

Питагорина теорема .................................................................................................... Теорема обрнута Питагориној ................................................................................ Примене Питагорине теореме на квадрат, правоугаоник и троугао . Примене Питагорине теореме на ромб, трапез и делтоид .................... Конструкције тачака на бројевној правој које одговарају квадратним коренима природних бројева ..........................................................

РАЦИОНАЛНИ АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ

7 8 8 9 10 10 11 12

15 15 16 17 17

3.1. Степен чији је изложилац природан број ............................................................. 3.2. Множење степена једнаких основа ......................................................................... 3.3. Дељење степена једнаких основа ............................................................................ 3.4. Множење степена једнаких изложилаца .............................................................. 3.5. Дељење степена једнаких изложилаца ................................................................. 3.6. Степеновање степена ................................................................................................... 3.7. Примери операција са степенима ........................................................................... 3.8. Рационални алгебарски изрази. Бројеван вредност израза .......................... 3.9. Полиноми ............................................................................................................................... 3.10. Сабирање полинома ..................................................................................................... 3.11. Множење монома ......................................................................................................... 3.12. Множење полинома ..................................................................................................... 3.13. Квадрат збира и квадрат разлике ..................................................................... 3.14. Разлика квадрата .........................................................................................................

20 21 22 22 23 23 24 28 27 28 29 30 31 32

3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19.

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

Растављање полинома на чиниоце ...................................................................... Сложенији примери растављања полинома на чиниоце ........................... Примена полинома – једнакости и једначине................................................. Примена полинома – нједнакости и неједначине.......................................... Примене полинома ........................................................................................................

МНОГОУГАО

3АВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ

КРУГ

СЛИЧНОСТ

Многоугао – појам и врсте. Број дијагонала многоугла ............................... Збир углова многоугла ................................................................................................... Правилни многоуглови – појам и својства ......................................................... Конструкције правилних многоуглова................................................................... Обим и површина многоуглова ..................................................................................

5.1. Правоугли координатни систем у равни ............................................................ 5.2. Растојање тачака у координатној равни.......................................................... 5.3. Зависне величине и њихово представљање ........................................................ 5.4. Директно пропорционалне величине...................................................................... 5.5. Обрнуто пропорционалне величине ........................................................................ 5.6. Графици пропорционалних величина ...................................................................... 5.7. Односи и пропорције .......................................................................................................

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

32 33 34 35 36

Централни и периферијски угао круга ................................................................ Обим круга. Број Π ........................................................................................................ Дужина кружног лука .................................................................................................... Површина круга ................................................................................................................ Површина кружног исечка и кружног прстена .................................................

39 40 41 43 43

47 49 49 51 53 55 56

60 61 62 63 64

7.1. Размера дужи ..................................................................................................................... 68 7.2. Сличност троуглова ...................................................................................................... 70

РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА ................................................................................ 73

РЕАЛНИ БРОЈЕВИ

1.1. Квадрат рационалног броја 1. IzraËunaj kvadrat broja: 5 17 2 v) ‡ 1,42; g) 3 ; d) . b) - ; 3 5 3 2. IzraËunaj kvadrat broja i dobijeni broj predstavi u decimalnom zapisu: a)1,7;

5 3 2 ; b) - ; v) . 4 5 3 m , m ! Z, n ! N: 3. IzraËunaj kvadrat broja i dobijeni broj zapiπi u obliku n a) ‡ 1,2; b) 0,35; v) 2,12. a)

4. Uveri se da su kvadrati navedenih parova suprotnih racionalnih brojeva jednaki: 3 3 4 4 i ; b) 3,16 i ‡3,16; v) - 2 i 2 . 7 7 5 5 5. IzraËunaj povrπinu kvadrata Ëija je duæina stranice: a) -

8 m; 25

b) 8,12 cm;

v) 1 dm 4 cm.

6. Popuni tabelu: x

‡1,3

3 8

-3

2,16

1 3

5,02

12 7

0,43

8 11

x2 7. Popuni tabelu: x

7 4

2 5

1 4

1 3

3 7

5 8

9 14

‡0,16

0,36

1,53

2,9

3,24

‡x x2 (‡x)2 8. Popuni tabelu: x

‡2,3

‡1,8

‡x x2 (‡x)2

9. IzraËunaj vrednosti izraza a2 + b2 i (a + b)2 ako je: 4 7 2 ; b) a = ‡ 1,7, b = ; v) a = 5,12, b = ‡ 3,6; g) a =- , b = ‡ 2,1. 5 8 3 2 2 2 10. IzraËunaj vrednosti izraza (a · b) i a · b ako je: a) a = 2,4, b =

5 5 3 4 a) a = ‡ 3,2, b =- ; b) a = , b = ; v) a = 1,6, b = ‡ 2,4; g) a =- , b = 2,4. 4 8 4 3

1.2. Решавање једначине x2 = a 1 2 3 8 9 10 11 12 18 19 , , , f, , , , , , f, , , 1. Napravi „tablicu mnoæewa“ brojeva 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 20 . ProËitaj iz we kvadrate navedenih brojeva i uveri se da je svaki od tih kva10 drata veÊi od prethodnog i mawi od sledeÊeg kvadrata. 2. IzraËunaj kvadrate racionalnih brojeva i poreaj ih po veliËini: a) 0,17; 0,18; 0,19; 0,20; 0,21; 0,22; 0,23; b) ‡ 0,23; ‡ 0,22; ‡ 0, 21; ‡ 0,20; ‡ 0,19; ‡ 0,18; ‡ 0,17. UoËi vezu izmeu ta dva niza kvadrata. 3. Odredi skup svih racionalnih brojeva Ëiji je kvadrat: a)

4 ; 25

4. Odredi skup svih racionalnih brojeva Ëiji je kvadrat: a) 1,44;

16 ; 49

v) ‡36.

b) 2,89;

v) 4,41.

5. Reπi (u skupu racionalnih brojeva) jednaËinu: a) x2 = 3,24; b) x2 = ‡ 1,21; v) x2 = 5,29. 6. Reπi (u skupu racionalnih brojeva) jednaËinu: 121 36 9 2 2 2 ; b) x = ; v) x =- . a) x = 16 169 49 7. Reπi (u skupu racionalnih brojeva) jednaËinu: a) 12 x2 = 75;

b) 80x2 = 45;

v) ‡ 4 x2 = 12.

8. IzraËunaj duæinu stranice kvadrata ako je wegova povrπina: 64 dm2. a) 2,25 m2; b) 81

1.3. Квадратни корен 9 36 16 225 361 ; b) ; v) ; g) ; d) . 64 121 289 169 144 1 17 19 46 ; v) 6 ; g) 3 . 2. IzraËunaj kvadratni koren broja: a) 2 ; b) 1 4 64 25 81 3. IzraËunaj kvadratni koren broja: a) 0,36; b) 1,69; v) 2,89; g) 3, 24. 1. IzraËunaj kvadratni koren broja: a)

11. Ako za realan broj x vaæi ‡1 < x < 1, onda je | x | < 1. Dokaæi. 12. Odredi sve realne brojeve x za koje vaæi: a) x + 2 1 5 ;

b) x - 3 2 2 ;

v) x + 2 1 7 .

13. Odredi sve realne brojeve x za koje vaæi: a) 2x < 6;

b) x 2 2 2 ;

v) 3x 1- 2 .

14. Odredi sve realne brojeve x za koje vaæi: x 3 1 2 2 ; v) c - m x 1 . a) ‡3x < 6; b) 5 3 5 1 3 5 1 15. Zadati su intervali: A = c - 2 , E; B = c - , 1 m; C = ;- 1, E; D = ; , 2 2 m. 3 2 3 3 Kojim od tih intervala pripada broj: 1 3 a) ‡2; b) - ; v) 0; g) 1; d) 2 ; ) ; e) 2 2 . 3 5 16. Nacrtaj brojevnu pravu i na woj oznaËi intervale: 1 3 5 1 a) c - 2 , E; b) c - , 1 m; v) ;- 1, E; g) ; , 2 2 m. 3 2 3 3 17. Ako za realne brojeve x vaæi - 1 G x 1 2 , onda je taËno: a) x ! ^- 1, 2 h; b) x ! ^- 1, 2 @; v) x ! 6- 1, 2 h; g) x ! 6- 1, 2 @.

Zaokruæi taËan odgovor.

18. Odredi sve realne brojeve x za koje vaæi: a) 2x + 3 1 5 ; b) x 2 - 1 2 3 ; v) x 5 - 3 1 2 . 19. Odredi interval kojem pripada realan broj x ako za wega vaæi: a) 2 1 x + 3 G 5 ; b) - 2 G x + 1 1 3 ; v) - 3 G x 3 + 1 G 2 . Prikaæi ga na brojevnoj pravoj.

1.7. Операције с квадратним коренима – основна својства 1. Uveri se da je

25 = 144

25 5 = . 12 144

2. Dokaæi da za bilo koja dva pozitivna realna broja a i b vaæi 3. Uveri se da je: a) .

27 = 3 3 ; b)

112 = 4 7 ; v)

a = b

245 = 7 5 ; g)

a . b 1053 = 9 13

4. Izrazi kao proizvod prirodnog broja i korena prostih brojeva (jednog ili viπe) sledeÊe kvadratne korene: a) 333 ; b) 884 ; v) 3344 .

ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

2.1. Питагорина теорема

1. IzraËunaj duæinu hipotenuze pravouglog trougla ako su zadate duæine wegovih 45 kateta: a) 12 cm i 35 cm; b) 3,2 dm i 6 dm; v) 7 cm i cm; g) 3,5 dm i 5,625 dm. 4 2. IzraËunaj duæinu hipotenuze pravouglog trougla ako su zadate duæine wegovih kateta: a) 9 cm i 14 cm; b) 2,4 dm i 3,5 dm; v) 0,42 m i 0,16 m. 3. IzraËunaj duæinu jedne katete pravouglog trougla ako su zadate duæine wegove druge katete i hipotenuze: 3 15 a) 21 cm i 29 cm; b) 3,75 dm i 9,75 dm; v) 10 dm i 2,8 dm; g) m i m. 2 8 4. IzraËunaj duæinu nepoznate katete pravouglog trougla ako su date duæine jedne wegove katete i hipotenuze: a) 3 dm i 5 dm; b) 12 cm i 18 cm; v) 26 cm i 15 cm. 5. IzraËunaj obim pravouglog trougla ako su: a) duæine kateta a = 7 cm, b = 15 cm; b) duæina katete a = 11 cm i duæina hipotenuze c = 6 cm; v) duæina katete b = 6 dm i duæina hipotenuze c = 15 dm. 6. IzraËunaj duæinu treÊe stranice pravouglog trougla ako su duæine wegovih dveju b) 17 cm i 14 cm; v) 11 cm i 23 cm; stranica: a) 12 cm i 13 cm; g) 16 cm i 16 cm. Koliko reπewa ima? 7. IzraËunaj obim i povrπinu pravouglog trougla Ëija je duæina hipotenuze 26 dm, a duæina jedne katete 10 dm. 8. IzraËunaj duæinu hipotenuze jednakokrakog pravouglog trogugla ako su duæine wegovih kateta jednake: a) 8 cm; b) 2 cm.

2.2. Теорема обрнута Питагориној теореми 1. Uveri se da je trougao Ëiji su merni brojevi stranica: 58 16 63 40 63 87 a) 28, 45, 53; b) , , 13; v) , 14, ; g) 15, , pravougli. 3 5 5 3 4 4 2. Uveri se da trougao Ëiji su merni brojevi stranica: 7 8 3 35 73 25 23 , , ; g) 12, nije pravougli. a) 6, 8, 13; b) , , ; v) 10, 4 5 2 2 4 4 2 3. Proveri da li je trougao Ëije su duæine stranica: a) 9 cm, 16 cm, 19 cm; b)

12 37 m, 7 m, m; 5 5

v) 30 cm, 17 cm, 23 cm;

g) 1,6 m, 1,2 m, 2 m pravougli.

4. Ako je trougao Ëije su duæine stranica a, b, c pravougli, onda je i trougao Ëije su a b c duæine stranica: a) 3a, 3b, 3c; b) , , ; v) ka, kb, kc, k ! R, pravougli. Dokaæi. 2 2 2

5. Zadate su duæine tri duæi: a) 7 cm, 3 cm, 4 cm; b) 12,5 cm, 8 cm, 9,2, cm; v) 3 dm, 73 55 8,75 dm, 9,25 dm; g) 3 dm, 8,4 dm, 5 dm; d) cm, cm, 16 cm. Da li postoji 3 3 trougao Ëije su to duæine stranica? Ako postoji, da li je on pravougli?

2.3. Примене Питагорине теореме на квадрат, правоугаоник и троугао 1. IzraËunaj duæinu dijagonale kvadrata ako je duæina wegove stranice: a) 5 cm; b) 2 2 cm; v) 5 3 cm. 2. IzraËunaj duæinu stranice kvadrata ako je duæina wegove dijagonale: a) 3 2 dm; b)2,4 dm; v) 2 6 cm. 3. IzraËunaj duæinu dijagonale pravougoanika ako su duæine wegovih susednih stranica: 28 dm i 9 dm. a) 12 cm i 8 cm; b) 4,8 dm i 1,4 dm; v) 5 4. IzraËunaj obim pravougaonika ako je duæina wegove dijagonale 34 cm i duæina jedne stranice 16 cm. 5. IzraËunaj obim kvadrata ako je rastojawe wegovog centra simetrije od temena jednako 12 cm. 6. Oπtar ugao izmeu dijagonala pravougaonika jednak je 60°, a duæina dijagonala je 24 cm. IzraËunaj obim i povrπinu tog pravougaonika. 7. IzraËunaj duæinu teæiπne duæi pravouglog trougla ABC (\C = 90°) ako su zadate: a) a = 6 cm, b = 8 cm; b) a = 4 cm, a = 30°; v) a = 7 cm, c = 25 cm; g) b = 6 cm, a = 60°; d) c = 8 cm, a = 45°. 8. IzraËunaj povrπinu jednakokrakog trougla ako je duæina wegovih krakova b = 12 cm i duæina osnovice a = 16 cm. 9. IzraËunaj povrπinu jednakostraniËnog trougla stranice a = 8 cm. 10. Ako su duæine kateta pravouglog trougla 20 cm i 80 cm, izraËunaj visinu i teæiπnu duæ koje odgovaraju hipotenuzi tog trougla. 11. Staru drvenu banderu slomio je vetar i vrhom dodiruje tlo. Duæina dela od tla do „preloma“ je 3 m a vrh je sada na rastojawu 1,6 m od podnoæja. Kolika je bila visina bandere pre preloma. 12. IzraËunaj povrπinu pravouglog trougla ako je jedna kateta dugaËka 30 cm a druga za 20% kraÊa od prve.

, ,

Рeални бројеви

1.1. 25 121 289 ; v) 2,0164; g) ; d) . 9 9 25 25 9 4 = 1, 5625 ; b) = 0, 36 ; v) = 0, 4 . a) 16 25 9 144 36 ; = a) 1, 44 = 100 25 1225 49 = ; b) 0, 1225 = 10 000 400 44944 2809 . = v) 4, 4944 = 10 000 625 3 2 3 2 9 ; a) c - m = c m = 7 7 49

a) 2,89; b

2. 3.

‡2,3 ‡1,8

‡0,16

0,36

‡x

2,3

0,16

‡0,36

5,29 3,24 0,0256 0 0,1296

(‡x)2

5,29 3,24 0,0256 0 0,1296

1,8

1,53

2,9

3,24

‡x

‡1,53

‡2,9

‡3,24

2,3409 8,41

10,4976

(‡x)2

2,3409 8,41

10,4976

b) 3,162 = (‡3,16)2 = 9,9856; 9. 4 14 4 14 ,2 = , v) c - 2 m = 5 5 5 5 14 2 14 196 . cm =c m= 5 5 25 64 2 a) m ; b) 65,9344 cm2; 625

v) (1,4 dm)2 = 1,96 dm2. 6. x

x2 x

3 8

‡1,3

1 3

-3

2,16

5,02

PopuniÊemo zatim tabelu: a)

9 64

1,69 11 1 4,6656 25,2004

12 7

x2 144

8 11

64 121

‡x x2 (‡x)2

12 5

0,43

4 5

7 8

144 25

289 100

16384 625

4 9

16 25

49 64

324 25

441 100

a+b

16 5

a2+b2

160 25

5849 1600

24484 625

4364 900

(a+b)2

256 25

1089 1600

1444 625

6889 900

0,1849

7 2 1 4 5 4

7. x

Da nam se ne bi meπali naËini zapisivawa, prvo Êemo sve zadate racionalne brojeve m . zapisati u obliku n 24 12 4 17 7 = , b = ; b) a = - , b = ; a) a = 10 5 5 10 8 512 128 36 18 = , b==; v) a = 100 25 10 5 2 21 . g) a = - , b = 3 10

1 3

3 7

5 8

9 14

7 4

2 5

1 4

0 -1 -3 -5 - 9

49 16

4 25

1 16

49 16

4 25

1 16

1 9

9 49

25 64

81 196

1 9

9 49

25 64

81 196

17 10

33 40

128 75

2 3

18 5

21 10

38 25

83 30

UoËavamo da su u sve Ëetiri kolone brojevi u posledwa dva reda razliËiti.

10. PostupiÊemo kao u prethodnom zadatku. a) a

v) 8 5

a·b

15 32

12 5

a2 · b2

225 1024

9216 625

256 225

(a · b)2

225 1024

9216 625

256 25

16 5

5 8

5 4

3 4

256 25

25 64

64 25

16 9

25 16

9 16

144 25

12 5

4 3

v) -

96 25

g) -

48 15

UoËavamo da su u sve Ëetiri kolone brojevi u posledwa dva reda jednaki.

1.2. 1.

1 , 100 64 , 100 225 , 100

4 , 100 81 , 100 256 , 100

9 , 100 100 , 100 289 , 100

16 , 100 121 , 100 324 , 100

25 , 100 144 , 100 361 , 100

36 , 100 169 , 100 400 . 100

0,172 < 0,182 < 0,192 < 0,202 < 0,212 < 0,222 < 0,232 (‡0,23)2 > (‡0,22)2 > (‡0,21)2 > (‡0,20)2 > (‡0,19)2 > (‡0,18)2 > (‡0,17)2 0,172 = (‡0,17)2; 0,182 = (‡0,18)2; 0,192 = (‡0,19)2; 0,202 = (‡0,20)2; 0,212 = (‡0,21)2; 0,222 = (‡0,22)2; 0,232 = (‡0,23)2.

49 , 100 196 , 100

UoËavamo da taj niz ima svojstvo da je svaki od wegovih Ëlanova veÊi od prethodnog i mawi od sledeÊeg Ëlana (ako ima i prethodni i sledeÊi Ëlan). 2.

(‡0,21)2 = 0,0441; (‡0,20)2 = 0,0400; (‡0,19)2 = 0,0361; (‡0,18)2 = 0,0324; (‡0,17)2 = 0,0289.

Brojioce proizvoda u traæenoj tabeli moæemo „proËitati“ iz tzv. velike tablice mnoæewa (tablica mnoæewa brojeva od 1 do 20) a svi imenioci su jednaki 100. Stoga Êemo traæene kvadrate jednostavno dobiti deleÊi sa 100 Ëlanove „velike tablice mnoæewa“ koji se nalazi na wenoj „dijagonali“. Dobijamo niz:

a) 0,172 = 0,0289; 0,182 = 0,0324; 0,192 = 0,0361; 0,202 = 0,0400; 0,212 = 0,0441; 0,222 = 0,0484; 0,232 = 0,0529; b) (‡0,23)2 = 0,0529; (‡0,22)2 = 0,0484;

2 2 4 4 a) ' - , 1 ; b) ' - , 1 ; v) Q. 5 5 7 7

a) {‡1,2; 1,2}; b) {‡1,7; 1,7}; v) {‡2,1; 2,1}.

a) A = {‡1,8; 1,8}; b) B = Q; v) C = {‡2,3; 2,3}.

11 14 a) A = ' - , 1 ; v) C = Q. 4 4

b) B = ' -

5 5 3 3 a) A = ' - , 1 ; b) B = ' - , 1 ; v) C = Q. 2 2 4 4 8 8. a) a = 1,5 m; b) a = dm. 9 7.

1.3. 1.

a) v) d)

a) b)

36 6 9 3 b) ; = = ; 121 11 64 8 16 4 225 15 ; g) ; = = 289 17 169 13 361 19 . = 144 12 1 9 3 2 = = ; 4 4 2 17 81 9 1 = = ; 64 64 8

6 6 , 1; 13 13

19 = 25

169 13 ; = 25 5

46 = 81

289 17 . = 81 9

0, 36 = 0, 6 ; b)

1, 69 = 1, 3 ;

2, 89 = 1, 7 ; g)

3, 24 = 1, 8 .

3, 12 2 = 3, 12 = 3, 12 ;

за седми разред основне школе

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ 8 600262 021502

www.zavod.co.rs k.b. 17214

Војислав Андрић Ђорђе Дугошија Вера Јоцковић Владимир Мићић

ЗБИРКА

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

за седми разред основне школе