Zbirka zadataka iz matematike

за осми разред основне школе

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ www.zavod.co.rs k.b. 18211

Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић

ЗБИРКА

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

за осми разред основне школе

Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

за осми разред основне школе

8

П

Ова Збирка задатака намењена је ученицима осмог разреда основне школе и написана је према важећем Наставном програму за предмет Математика. Настојали смо да њоме дамо допринос успешном остваривању програма. Збирка припада уџбеничком комплету за осми разред Завода за уџбенике, који чине Уџбеник, Збирка задатака из математике за оне који желе и могу више и Приручник уз уџбеник са оријентационим распоредом У збирци су задаци дати према наставним темама. Наслови тема и лекција истоветни су са одговарајућим насловима у уџбенику а у оквиру њих задаци су дати, по нашем мишљењу, у логичном следу, од лакших ка тежим, што омогућава сваком ученику напредовање од препознавања и репродукције садржаја до њиховог пуног разумевања и примене. Задаци нису означавани звездицама (једном или више), што се често среће у збиркама задатака, јер смо сматрали да звездице могу ученике демотивисати и унапред обесхрабрити. Збирка садржи око 700 задатака у оквиру једанаест поглавља – наставних тема; за све су дати резултати а за велики број, пре свега сложенијих, дата су комплетна решења или упутства за њихово решавање. Дато је и око 100 задатака, намењених проверавању стечених знања; они су распоређени на крају сваке наставне теме и оформљени у облику контролних вежби, датих на три нивоа. Да би се олакшало рачунање, на крају књиге дата је таблица квадрата бројева од 1 до 100. Иако њу, у свакодневној настави, успешно замењују џепни рачунари, што по нашем мишљењу треба и подстицати, због проблема који се у вези с тим јављају приликом провера знања (контролних вежби и писмених задатака), када се, по правилу, не дозвољава употреба џепних рачунара, добро је да се ученици увежбају у раду с таблицом и оспособе за њено коришћење. Неће представљати проблем да се за саму проверу знања припреме копије таблице, како се она не би злоупотребила. Захваљујемо се рецензентима др Арифу Золићу, Милици Прошић и Пери Цветиновићу на корисним примедбама и сугестијама. Са захвалношћу ћемо примити све конструктивне примедбе и предлоге корисника књиге. Београд, 2010. године Аутори

Садржај

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

Талесова теорема ................................................................................................................................................. Сличност троуглова .......................................................................................................................................... Ставови сличности троуглова ..................................................................................................................... Примена сличности на правоугли троугао ..............................................................................................

, , 2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни Односи правих. Мимоилазне праве Однос праве и равни. Права нормална на раван. Растојање тачке од равни Односи две равни Ортогонална пројекција на раван Полиедар

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

Појам једначине Еквивалентне трансформације једначина Примена линеарних једначина Неједначине Еквивалентне неједначине Примена линеарних неједначина

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

Призма. Појам, врсте, елементи Мрежа призме Површина призме. Површина усправне четворостране призме Површина правилне тростране призме. Површина правилне шестостране призме Запремина призме. Запремина усправне четворостране призме. Запремина правилне тростране призме. Запремина правилне шестостране призме. Маса тела.

1 7 8 10 12

2 16 17 18 19 21 22

3 25 25 27 29 30 31

4 34 36 37 39 41

5

Појам, врсте, елементи Мрежа пирамиде................................................................................................ Површина пирамиде. Површина четворостране пирамиде Површина правилне тростране пирамиде. Површина правилне шестостране пирамиде Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде Запремина правилне тростране пирамиде. Запремина правилне шестостране пирамиде

43

46 48 49 51 53 55

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

Функција y = kx + n График линеарне функције Нуле и знак линеарне функције Ток линеарне функције Имплицитни облик линеарне функције

7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина 7.2. Стубични и кружни дијаграми 7.3. Средња вредност и медијана

8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

Појам система линеарних једначина са две непознате Еквивалентност система линеарних једначина са две непознате Решавање система линеарних једначина са две непознате методом смене Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената 8.5. Решавање система линеарних једначина са две непознате графичком методом 8.6. Примена система линеарних једначина са две непознате

9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

Ваљак и његови елементи Равни пресеци ваљка Мрежа ваљка; површина ваљка Запремина ваљка

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

Купа и њени елементи Равни пресеци купе Мрежа купе; површина купе Запремина купе

11.1. Појам лопте и сфере 11.2. Пресеци лопте (сфере) и равни 11.3. Површина и запремина лопте

,

,

6 59 60 61 62 63

7 65 67 68

8 72 73 73

74 75 76

9 79 80 81 83

10 86 87 88 89

11 92 93 94

97

1

1.1. Đ˘Đ°ĐťĐľŃ ĐžĐ˛Đ° тоОроПа Đ&#x;ĐžĐ´Ń ĐľŃ‚Đ¸ Ń Đľ

!

Ako paralelne prave na jednoj pravoj odsecaju duĂŚi a i b a na drugoj al i bl (sl. 1), onda vaĂŚi a : b = al : bl. b a a a' a'

b b'

b' p

1. Neka paralelne prave seku krake nekog ugla pOq u taËkama A, B na kraku p odnosno Al, Bl na kraku q.

B A

Ako je OA : AB = 4 : 3, dokaĂŚi da je AAl : BBl = 4 : 7.

2. Prave AAl i BBlsu paralelne. Odredi nepoznatu duĂŚinu x prema slici: a)

p

b)

12 O

A

v)

10

B

20

q

B'

A'

B

p x

O

4

A'

B'

x q

O

A

20

A

15 A'

q O

B'

16

5 A'

p

B 10 x

B'

q

3. Dve paralelne prave seku par pravih kao na slici. Odredi nepoznatu duĂŚinu x. a)

b) 12

x 4

6

12

4

6

x

4. Na jednom kraku ugla nalaze se duÌi duÌina 3 i 4. Kroz wihove krajeve konstruisane su paralelne prave koje na drugom kraku odsecaju dva odseËka. Ako je duÌina veÊeg 6, kolika je duÌina maweg od wih?

7

5. Neka je ABCD trapez sa osnovicama AB i CD i M taËka kraka AD koja ga deli u razmeri 2 : 3. Prava kroz M paralelna osnovicama seËe krak BC u taËki N. Odredi BN : NC. 6. Podeli konstruktivno datu duæ: a) na 3 jednaka dela; b) u razmeri 2 : 3 : 5; v) u razmeri 1 :

2 ; g) u razmeri 2 : 3 .

7. Kroz temena trougla konstruisane su prave paralelne naspramnim stranicama.

Dokaæi da one odreuju trougao Ëije su stranice dva puta veÊe od stranica polaznog trougla.

8. Na stranicama AB i AC trougla ABC izabrane su taËke M i N, pri Ëemu je AM : AB = 3 : 4 , AN : AC = 3 : 4. Ako je BC = 8 odredi duæinu MN. 9. Osnovice trapeza su duæina a = 7 cm i b = 4 cm. Dve prave paralelne osnovicama dele jedan krak na tri jednaka dela. Odredi duæine duæi koje one grade sekuÊi trapez.

10. Konstruiπi duæi Ëije su duæine jednake x =ab, y =ab/c, z = a/b (a, b, c su duæine datih duæi, jediniËna duæ je 1 cm).

11. Dokaæi da pri paralelnom osvetqewu jednake duæi na jednoj pravoj imaju jednake senke na drugoj pravoj.

12. Neka su a i b dve samerqive duæi jedne prave i al, bl wihove senke baËene pri paralelnom osvetqewu na drugu pravu. Dokaæi da su ali blsamerqive.

1.2. Сличност троуглова Подсети се

!

Trougao ABC je sliËan trouglu KLM, u zapisu 9ABC ~9 KLM, ako je \A = \K, \B = \L, \C = \M. OdgovarajuÊe stranice sliËnih trouglova su proporcionalne: AB : KL = BC : LM = CA : MK = k.

Odnos obima sliËnih trouglova jednak je koeficijentu sliËnosti k.

Odnos povrπina sliËnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenta sliËnosti k2.

1. Dat je trougao ABC. Konstruiπi wemu sliËan trougao KLM, ako je koeficijent 1 2 sliËnosti jednak: a) 2; b) ; v) ; g) 2 .

2 3 2. Dve paralelne prave grade sa parom pravih koje se seku odseËke Ëija je duæina prikazana na slikama

8

p

B

y A' 5 4 A O 6 8 B' x

B

2 A y

x 3

O

5

4

A'

B'

q

a) Obeleæi i zapiπi koji su trouglovi sliËni. b) IzraËunaj nepoznate duæine x i y.

3. Da li su sliËni trouglovi Ëija su dva ugla 24° i 42° odnosno 42° i 114°?

4. Dve paralelne prave grade na kracima ugla odseËke duæina kao na slici. Odredi nepoznate x i y.

x

10

5

4

5. Neka je k konstanta sliËnosti dva sliËna trougla ABC i KLM. Kolika je razmera teæiπnih duæi iz B i iz L?

y

8

6. Neka je ABC ~ AlBlCl, AB = 12, BC = 15, BlCl = 40, AlCl = 24. Koliko je AC i AlBl? 7. Trougao ABC ima stranice AB = 3 cm, BC = 9 cm, CA = 8 cm. Obim wemu sliËnog trougla KLM je 30 cm. Odredi stranice tog trougla.

8. Trougao ABC ima stranice AB = 10 cm, BC = 8 cm, CA = 6 cm. Povrπina wemu sliËnog trougla KLM je 70 cm2. Odredi stranice tog trougla.

9. Neka su ABC i A1B1C1 sliËni trouglovi. Najduæa stranica trougla ABC je 24 cm, a najkraÊa visina trougla A1B1C1 je 10 cm. Ako je povrπina trougla A1B1C1 jednaka 60 cm2 izraËunaj povrπinu trougla ABC. 10. IzraËunaj duæinu x na slici ispod levo.

L C

α

8

x

12

α

y 7

4

6

84˚ 6

A

x

BK

9

M

11. Trouglovi ABC i KLM na slici iznad desno su sliËni. Odredi x, y i \K.

9

2

,, ,, 2.1. ĐžĐ´Đ˝ĐžŃ Ń‚Đ°Ń‡ĐşĐľ и право. ĐžĐ´Đ˝ĐžŃ Ń‚Đ°Ń‡ĐşĐľ и равни. ĐžĐ´Ń€ĐľŃ’ĐľĐ˝ĐžŃ Ń‚ право. ĐžĐ´Ń€ĐľŃ’ĐľĐ˝ĐžŃ Ń‚ равни Đ&#x;ĐžĐ´Ń ĐľŃ‚Đ¸ Ń Đľ

!

Dve razliËite taËke odreuju jednu jedinu pravu.

Ako dve razliËite taËke A i B pripadaju ravni, tada sve taËke prave AB pripadaju toj ravni.

Tri taËke koje se ne nalaze na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan.

Prava i taËka van we odreuju taËno jednu ravan Dve prave koje se seku odreuju taËno jednu ravan.

Dve razliËite paralelne prave odreuju taËno jednu ravan.

1.

ZaokruÌi slovo ispred reËenica koje su taËne: a) Ravan je odreena pravom i taËkom van we. b) Dve prave odreuju jednu ravan. v) Tri taËke odreuju jednu ravan. g) Ravan je odreena s dve prave koje se seku.

2.

Dato je sedam razliËitih taËaka, pri Ëemu ne postoje tri taËke koje su na istoj pravoj. Koliko je pravih odreeno parovima tih taËaka? PrikaÌi reπewe odgovarajuÊom skicom.

3.

Dato je deset razliËitih taËaka. Parovima tih taËaka je odreeno najviπe: a) 5; b) 10; v) 20; g) 45; d) 90 pravih.

ZaokruÌi slovo ispred taËnog odgovora.

4. Neka su A1, A2,.. , A5 razliËite taËke koje pripadaju kruÌnici k(O,r).

Koliko je: a) najmawe; b) najviπe pravih odreeno parovima taËaka O, A1, A2,.. , A5 ?

5.

Dat je skup od 20 taËaka pri Ëemu wih 10 pripada jednoj pravoj? Koliko je najviπe pravih odreeno parovima taËaka iz tog skupa?

6.

Koliko pravih je odreeno parovima temena kocke prikazane na slici?

D1

7.

A1

B1 D

Dato je 5 paralelnih pravih pri Ëemu wih 3 pripada jednoj ravni. Koliko je najviπe ravni odreeno parovima tih pravih?

A

16

C1

C B

2.2. Односи правих. Мимоилазне праве Подсети се

!

Za dve prave se kaæe da su mimoilazne ako ne postoji nijedna ravan kojoj pripadaju.

1.

Date su reËenice: a) Ako dve prave nisu paralelne, onda se one seku. b) Ako se dve prave ne seku, onda su one paralelne. v) Ako su dve prave u jednoj ravni i nisu paralelne, onda se one seku.

Zaokruæi slovo ispred reËenice koja je taËna.

2.

Neka prava p seËe pravu q i neka prava q seËe pravu r. U kakvom poloæaju mogu biti prave p i r ako su prave p, q i r u jednoj ravni?

3.

Prave a i b se seku u taËki P. Prava c seËe prave a i b. a) Ako prava c ne sadræi taËku P, tada se prave a, b i c nalaze u jednoj ravni. b) Ako prava c sadræi taËku P, tada se prave a, b i c ne nalaze u jednoj ravni.

Koja od ovih reËenica je taËna?

4.

Neka je prava p paralelna pravoj q i neka prava q paralelna pravoj r. U kakvom su poloæaju prave p i r ako su prave p, q i r u jednoj ravni?

5.

Neka je prava p paralelna pravoj q i neka prava q paralelna pravoj r. U kakvom su poloæaju prave p i r ako prave p, q i r nisu u jednoj ravni?

6.

U ravni su date tri prave koje meusobno nisu paralelne. U koliko taËaka se seku neke od tih pravih?

7.

Prave m i n su mimoilazne. Prava a je paralelna pravoj m, a prava b je paralelna pravoj n. Prave a i b mogu da:

D1 A1

a) se seku; b) se mimoilaze; v) budu paralelne.

Samo jedan od ovih odgovora ne moæe biti taËan. Koji?

8.

Na modelu kocke ABCDA1B1C1D1 prikazanom na slici utvrdi koje prave odreene temenima kocke su mimoilazne sa pravom BD1.

C1 B1

D A

C B

17

4

4.1. Појам, врсте, елементи Подсети се

! ДИЈАГОНАЛА ПРИЗМЕ

ТЕМЕ ОСНОВА БОЧНА ИВИЦА

ДИЈАГОНАЛА БОЧНЕ СТРАНЕ

БОЧНА СТРАНА

ДИЈАГОНАЛА ОСНОВЕ

ОСНОВНА ИВИЦА

Ako je prizma uspravna, a osnove su pravilni mnogouglovi, za tu prizmu se kaæe da je pravilna.

Duæ odreena temenima prizme koja ne pripadaju istoj strani prizme naziva se dijagonala prizme Presek prizme i ravni kojoj pripadaju nesusedne boËne ivice prizme naziva se dijagonalni presek

1. Koliko najmawe strana, ivica i temena moæe imati prizma?

2. Popuni tabelu: Petostrana prizma Broj osnova Broj boËnih strana Broj strana Broj osnovnih ivica Broj boËnih ivica Broj ivica

34

©estostrana prizma

Devetostrana prizma

Desetostrana prizma

n-tostrana prizma

12. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je apotema h = 12 3 cm a boËna strana zaklapa sa ravni osnove ugao od 60°.

13. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je povrπina osnove 150 3 cm 2 , a a) boËna strana; b) boËna ivica zaklapa sa ravni osnove ugao od 30°.

14. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je osnovna ivica 6 cm, a centar osnove je od boËne strane na rastojawu 3 3 cm .

15. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je osnovna ivica 2 5 cm a centar osnove je od boËne ivice na rastojawu od 4 cm.

5.5. Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде. Подсети се

!

Pravilna Ëetvorostrana piramida SABCD: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi.

S S

H a

h

D

S

h

B O

D

b

h

H

b

M

O N

H

C

β

α A

S

b

a 2

β

C

α M

A

a√2 2

N

O

a 2

B

2

a 2 a 2 a 2 2 2 h2 = H 2 + ` j , b2 = H 2 + c m , b =h +` j 2 2 2 O

a

M

a√2 2 A

a 2 N

a 2

B

P = 2a 2 + 2ah .

2

V=

a H 3

1. Keopsova piramida ima oblik pravilne Ëetvorostrane piramide osnovne ivice 233 m i visine 149 m. IzraËunaj zapreminu.

53

2. Povrπina jedne boËne strane pravilne Ëetvorostrane piramide je 12 cm2 i a) osnovna ivica 4 cm; b) apotema 12 cm; v) povrπina osnove 2 cm2.

IzraËunaj zapreminu te piramide.

3. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je boËna ivica b = 10 cm i visina H = 8 cm.

4. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je: a) osnovna ivica 20 2 cm , nagibni ugao boËne ivice prema osnovi 60°; b) visina 30 cm, nagibni ugao boËne ivice prema osnovi 45°.

5. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je apotema h = 10 cm a nagibni ugao boËne strane prema osnovi b = 60°.

6. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je osnovna ivica a = 12 cm a nagibni ugao boËne strane prema osnovi b = 30°.

S

7. U kocku ivice a = 12 cm, upisana je piramida SMNPQ (M, N, P i Q su srediπta ivica jedna strane kocke a S centar naspramne strane). Vidi sliku! а) IzraËunaj zapreminu piramide. b) U kojoj su razmeri zapremine piramide i kocke?

P Q

N

8. Povrπina omotaËa pravilne Ëetvorostrane piramide je 60 cm2. IzraËunaj zapreminu ako je odnos osnovne ivice i apoteme 3 : 2.

M

9. Povrπina osnove pravilne Ëetvorostrane piramide SABCD je 100 cm2, a povrπina omotaËa je 260 cm2. IzraËunaj: a) povrπinu preseka ACS; b) povrπinu poliedra SABC; v) zapreminu te piramide.

10. Mreæa pravilne Ëetvorostrane piramide je ucrtana u kvadrat stranice 12 2 cm . Vidi sliku! IzraËunaj zapreminu te piramide ako je duæina osnovne ivice jednaka apotemi.

11. Zapremina pravilne Ëetvorostrane piramide je 48 cm3. Osnovna ivica je 6 cm. Povrπina piramide je: 2 a) 96 cm2; b) 90 cm2; v) ^48 + 12 5 h cm ; g) 64 cm2; d) 144 cm2.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

54

h

a

h

6

6.1. Линеарна функција y = kx + n 1. Kojim od datih formula je zadata linearna funkcija: a) y = 3x + 1; b) y = 0,2x ‡ 3; v) y = 4; g) y = 3(x ‡ 1)2 ‡ x(3x + 1); d) x2 ‡ y + 5 =0?

2. Odredi k i n u linearnoj funkciji: a) y = - x + 1 ; b) y = x; v) y = ‡3; g) y = 2 + x .

3

3

5

3. Popuni tabelu: x y = 0,3x‡1 x y = 2x ‡ 0,5

‡0,1

‡0,2

1

2

‡1

0,5

4. Ako je 2x ‡ 3y = 5, popuni tabelu: x y

‡1

‡3 ‡2

3

5. Utvrdi funkcionalnu zavisnost x i y i dopuni tabelu: x y

2 5

3 8

4 11

‡1

‡3 ‡2

‡2 ‡1

‡1 0

0 1

‡3

6. Data je tabela x y

1 2

Nai odgovarajuÊu formulu.

7. Izmeu x i y je linearna veza. Popuni tabelu: x y

‡1

0 1

2 ‡3

‡2

8. Domen funkcije y = 3x ‡ 2 je [‡2,5]. Odredi skup vrednosti.

9. Skup vrednosti funkcije y = ‡2x + 5 je [‡1,4]. Odredi domen.

10. Popuni tabelu: 1 0,5

2 0,75

3 1,0

4 1,25

5 1,5

n

11. Dati su brojevi 8, 11, 14, 17, 20, 23,... Tada na n- tom mestu mora biti broj: a) 2n+6; b) 6n+2; v) 5n+3; g) 3n+5. Zaokruæi taËan odgovor.

59

Đ&#x;ĐžĐ´Ń ĐľŃ‚Đ¸ Ń Đľ

8

!

•

JednaÄ?ina oblika ax + by = c, gde su a, b i c dati realni brojevi, a x i y nepoznate, naziva se linearna jednaÄ?ina sa dve nepoznate.

•

UreÄ‘eni par realnih brojeva (x0, y0) je reĹĄewe linearne jednaÄ?ine ax + by = c sa dve nepoznate x i y, ako je taÄ?na jednakost ax0 + by0 = c.

• • • • • • • •

Sva reĹĄewa jednaÄ?ine Ä?ine skup wenih reĹĄewa. a1 x + b1 y = c1 Dve jednaÄ?ine ) Ä?ine sistem linearnih jednaÄ?ina sa dve nepoznate a2 x + b2 y = c2 x i y (a1, b1, c1, a2, b2, c2 su dati realni brojevi). a1 x0 + b1 y0 = c1 Ako su obe jednakosti ) taÄ?ne, onda je ureÄ‘eni par (x0, y0) jedno a2 x0 + b2 y0 = c2 reĹĄewe sistema.

Skup reĹĄewa datog sistema jednaÄ?ina Ä?ine sva reĹĄewa sistema, tj. skup svih ureÄ‘enih parova koji zadovoqavaju obe jednaÄ?ine sistema. x = x1 Sistem jednaÄ?ina sa dve nepoznate ' nazivamo sistem jednaÄ?ina u reĹĄenom y = y1 obliku.

Sistem jednaÄ?ina koji nema nijedno reĹĄewe naziva se protivureÄ?nim ili nemogućim.

Sistem jednaÄ?ina J1 ekvivalentan je sistemu jednaÄ?ina J2 ako je skup reĹĄewa sistema jednaÄ?ina J1 jednak skupu reĹĄewa sistema jednaÄ?ina J2.

Ekvivalentne transformacije sistema jednaÄ?ina su: L 1 = D1 L 2 = D2 1. Zamena redosleda jednaÄ?ina: sistem ' ekvivalentan je sistemu ' .

L 2 = D2 L 1 = D1 2. Promena jedne jednaÄ?ine sistema mnoĹžewem wenih strana brojem razliÄ?itim L 1 = D1 L 1 = D1 od nule: sistem ' ekvivalentan je sistemu ' . tL2 = tD2 (t ! 0) L 2 = D2 3. Promena jedne jednaÄ?ine dobijena dodavawem wenim stranama proizvoqnog L 1 = D1 ekvivalentan je sistemu umnoĎ€ka strana druge jednaÄ?ine: sistem ' L 2 = D2 L 1 = D1 . ' L2 + tL1 = D2 + tD1 4. Nepoznatu iz jedne jednaÄ?ine sistema izraziti kao funkciju druge nepoznate i zameniti u drugoj jednaÄ?ini dobijenim izrazom.

71

8.1. Појам система линеарних једначина са две непознате 1. Date su jednaËine: a) x + 2y = 7; b) a5 = 30a + 2; v) 3m + 17 = 4n ‡ 30; g) 3y2 + 4z2 = 1.

Koje od wih su jednaËine sa dve nepoznate? Koje od datih jednaËina su linearne?

2. Dati su izrazi: I1 = 3x + 2, I2 = 5y ‡ 4, I3 = 6x2. Koja od jednakosti I1 = I2, I2 = I3, I3 = I1 je jednaËina sa dve nepoznate? Koja od jednaËina je linearna?

3. Napiπi linerane jednaËine koje prevode sledeÊe reËenice na matematiËki jezik: a) Razlika dva broja je 23; b) Zbir dvostrukog broja a i trostrukog broja b je 4; v) KoliËnik dva broja je 11, a ostatak je 7.

4. Dokaæi da su ureeni parovi (a, b) = (1, 2) i (a, b) = (5, 6) reπewa jednaËine b ‡ a = 1.

5. Ureeni parovi (m, n) = (2, 3) i (m, n) = (1, ‡3) nisu reπewa jednaËine 10m + 7n = 3.

Dokaæi.

6. Data je linearna jednaËina 5x ‡ 3y = 2. Odredi brojeve p i q tako da ureeni parovi (p, 1) i (4, q) budu reπewa date jednaËine.

7. Napiπi bar jednu linearnu jednaËinu sa dve nepoznate Ëije jedno reπewe je (x, y) = (5, ‡ 2 ) 8. Odredi sva reπewa jednaËine 4x ‡ y = 2010.

9. Da li jednaËine 7x + 16y = 23 i y = 2010 Ëine sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate?

3a + 4b = 7 . Koji od ureenih parova (a, b) 10. Dat je sistem linearnih jednaËina f : ' 5a - 2b = 3 su reπewa datog sistema jednaËina: a) (3, 4); b) (1, 1); v) (‡1, 2)?

11. Dokaæi da ureeni parovi (‡2, 6) i (1, 3) nisu reπewa sledeÊeg sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate: J : '

4p + 9q = 22 .

7q - 3p =- 9

12. Napiπi bar jedan sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate Ëije reπewe je (x, y) = (2, 1).

13. Da li postoje realni brojevi x i y, takvi da je 4x ‡ 7y = 11 i 20x ‡ 35y = 54? x + 8y = 11 ? Na koji naËin se mogu 14. Koliko reπewa ima sistem jednaËina J : ' 3x + 24y = 33 opisati sva reπewa datog sistema?

72

, ,

1

Сличност троуглова

1.1 1.

Razloæi 3OBBl na 7 podudarnih trouglova i podudarne paralelogrme prema slici.

Tvrewe postaje oËevidno.

v)

p

2

1 1

1

1

7.

O

A'

q

B'

a

ABCE i ABDC su paralelogrami. Sledi EC = AB = CD. E

3.

4.

C

12 x = & x = 2, 4 ; b) (x + 10): x = 20: 15 , a) 20 4 (x + 10): x = 4: 3 3x + 30 = 4x v) 10: 5 = (x + 16): 16 . x = 30 x = 16

B

a) x: 4 = 12: 6 ; b) x: 4 = 12: 6 x=8 x=8 x 6 = 3 4 9 x= 2

F

4

8.

x

BN : NC= = AM : MD =2 : 3

6 D

D

A

3

5.

2

a

A

2.

√3

1

√2

√2

B

g)

Neka prava koja sadræi taËku M a paralelna je BC seËe AC u N. Prema Talesovoj teoremi ANl : AC = AM : AB = AN : AC. Otuda je Nl / N, tj. MN || BC . Prema Talesovoj teoremi vaæi i MN : BC = AM : AB = 3 : 4. Sledi 3 MN = BC = 6 .

4 C

C N

M

N

A

B A

6.

a)

M

B

b) 9.

Sa slike se vidi: B

D a

a A

C x y 3

B'

4 4

C' 4

D' 4

A'

97

за осми разред основне школе

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ www.zavod.co.rs k.b. 18211

Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић

ЗБИРКА

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

за осми разред основне школе