Математика 18210 by Zavod za udžbenike

Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић

M A за осми разред основне школе

Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић

ни

ке

M A

За во

за

уџ

бе

за осми разред основне школе

ке ни бе

РЕЦЕНЗЕНТИ = dr Arif ZoliÊ Pera CvetinoviÊ Milica ProπiÊ

ОДГОВОРНИ УРЕДНИК = Slobodanka RuæiËiÊ

уџ

УРЕДНИK Miloqub AlbijaniÊ

за

ЗА ИЗДАВАЧА = Miloqub AlbijaniÊ, direktor i glavni urednik CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд

За во

37.016:51(075.2) МАТЕМАТИКА : за осми разред основне школе / Вера Јоцковић ... [и др.] ; [цртежи Марија Караћ]. – 2. изд. – Београд : Завод за уџбенике, 2011 (Лозница : Младост груп). – 180 стр. : граф. прикази ; 27 cm Тираж 25.000. – Регистар. – Библиографија : стр. 180. ISBN 978-86-17-17447-5 1. Јоцковић, Вера, 1949– [аутор] COBISS.SR-ID 183027212

Ministar prosvete Republike Srbije, svojim reπewem broj 650-02-00129/2010-06 od 21. jula 2010. godine, odobrio je ovaj uxbenik za izdavawe i upotrebu u osmom razredu osnovne πkole. ISBN 978-86-17-17447-5 © ZAVOD ZA UXBENIKE, BEOGRAD, (2010‡2011) Ovo delo ne sme se umnoæavati, fotokopirati i na bilo koji naËin reprodukovati, ni u celini, a ni u delovima, bez pismenog odobrewa izdavaËa.

За во

за

уџ

бе

ни

ке

Ovaj uxbenik namewen je uËenicima osmog razreda osnovne πkole i napisan je prema Nastavnom programu. Nastojali smo da wime doprinesemo uspeπnom ostvarivawu programa. Uxbenik pripada uxbeniËkom kompletu za osmi razred Zavoda za uxbenike, koja Ëine Zbirka zadataka iz matematike, Zbirka zadataka iz matematike za one koji æele i mogu viπe i PriruËnik uz uxbenik sa orijentacionim rasporedom. Programom predvieni sadræaji obraeni su u okviru jedanaest nastavnih tema. Svaka tema je podeqena na nastavne jedinice, koje se, po pravilu, mogu obraditi na jednom πkolskom Ëasu. Nastojali smo da nove pojmove, kad god je to bilo opravdano, uvedemo kroz uvodne, uraene primere i obradimo ih na naËin koji je primeren uzrastu uËenika. Dodatni uraeni primeri, kao i zadaci na kraju lekcije nameweni su sticawu tehnike rada s tim pojmovima i uoËavawu moguÊnosti za wihove primene. U svakoj lekciji su Kontrolna pitawa a u nekima i istorijski i zabavni komentari pod naslovom „Da li znate?“. Nove reËi, kojima nazivamo uvedene pojmove, u tekstu su πtampane kurzivom. Tvrewa, bilo da ih prihvatamo kao osnovna, oËigledna, bilo da ih izvodimo u kwizi, odπtampana su masnim slogom. UËenicima i nastavnicima kao dopunski materijal preporuËujemo i literaturu i sajtove koji su dati na kraju uxbenika. Takoe, priloæen je i registar pojmova. Nadamo se da Êe Uxbenik biti korisna kwiga uËenicima prilikom usvajawa novog znawa, nastavnicima prilikom koncipirawa nastave i wenog ostvarivawa i roditeqima koji æele da pomognu svojoj deci u savlaivawu izloæene materije. Zahvaqujemo se recenzentima dr Arifu ZoliÊu, Milici ProπiÊ i Peri CvetinoviÊu na korisnim primedbama i sugestijama. Zahvaqujemo se Zavodu za uxbenike na poverewu koje nam je ukazano time πto smo angaæovani da napiπemo ovaj uxbenik. O tome da li smo to poverewe opravdali sudiÊe korisnici kwige. Sa zahvalnoπÊu Êemo primiti sve konstruktivne primedbe i predloge i nastojati da po wima postupimo u pripremi eventualnog novog izdawa. Beograd, 2010. godine Autori

Садржај

ни ке

Талесова теорема ................................................................................................................................................. Сличност троуглова .......................................................................................................................................... Ставови сличности троуглова ..................................................................................................................... Примена сличности на правоугли троугао ..............................................................................................

, ,

Призма. Појам, врсте, елементи ................................................................................................................ Мрежа призме ........................................................................................................................................................ Површина призме. Површина усправне четворостране призме.................................................... Површина правилне тростране призме. Површина правилне шестостране призме......... Запремина призме. Запремина усправне четворостране призме. Маса тела. Маса призме ...................................................................................................................................................... 66 4.6. Запремина правилне тростране призме. Запремина правилне шестостране призме ....

За 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

34 37 41 45 49 53

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

15 19 21 24 27 31

Појам једначине ....................................................................................................................................................... Еквивалентне трансформације једначина ................................................................................................ Примена линеарних једначина .......................................................................................................................... Неједначине ................................................................................................................................................................ Еквивалентне неједначине ................................................................................................................................. Примена линеарних неједначина .....................................................................................................................

во

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

за

7 8 11 14

Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни ........ Односи правих. Мимоилазне праве ............................................................................................................... Односи праве и равни. Права нормална на раван. Растојање тачке од равни ...................... Односи две равни.................................................................................................................................................... Ортогонална пројекција на раван ................................................................................................................. Полиедар .....................................................................................................................................................................

уџ

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

бе

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

55 58 61 63 70

Појам, врсте, елементи.................................................................................................................................... Мрежа пирамиде ................................................................................................................................................... Површина пирамиде. Површина четворостране пирамиде .............................................................. Површина правилне тростране пирамиде. Површина правилне шестостране пирамиде Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде .......................................................... Запремина правилне тростране пирамиде. Запремина правилне шестостране пирамиде

72 78 78 81 84 86

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Функција y = kx + n .............................................................................................................................................. График линеарне функције ............................................................................................................................... Нуле и знак линеарне функције....................................................................................................................... Ток (рашћење и опадање) линеарне функције ......................................................................................... Имплицитни облик задавања линеарне функције .................................................................................

89 92 94 97 99

ке

ни

7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина ................................................................. 102 7.2. Стубични и кружни дијаграми ........................................................................................................................ 104 7.3. Средња вредност и медијана ........................................................................................................................... 107

Појам система линеарних једначина са две непознате ...................................................................... Еквивалентност система линеарних једначина са две непознате .............................................. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом смене .......................... Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената ........................................................................................................... 8.5. Графички приказ решења система линеарних једначина са две непознате ............................ 8.6. Примена система линеарних једначина са две непознате ................................................................

уџ

бе

8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Ваљак и његови елементи ................................................................................................................................ Равни пресеци ваљка ............................................................................................................................................ Мрежа ваљка; површина ваљка ...................................................................................................................... Запремина ваљка ...................................................................................................................................................

За во

9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

119 121 125

за

111 115 117

128 130 132 135

Купа и њени елементи ................................................................................................................................... Равни пресеци купе ............................................................................................................................................ Мрежа купе; површина купе .......................................................................................................................... Запремина купе....................................................................................................................................................

137 139 141 144

11.1. Појам лопте и сфере ....................................................................................................................................... 148 11.2. Пресеци лопте (сфере) и равни .................................................................................................................. 151 11.3. Површина и запремина лопте ...................................................................................................................... 154

, , ........................................................................................................ 158

РЕЦЕНЗЕНТИ = dr Arif ZoliÊ Pera CvetinoviÊ Milica ProπiÊ УРЕДНИK Miloqub AlbijaniÊ ОДГОВОРНИ УРЕДНИК = Slobodanka RuæiËiÊ ЗА ИЗДАВАЧА = Miloqub AlbijaniÊ, direktor i glavni urednik CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2) МАТЕМАТИКА : за осми разред основне школе / Вера Јоцковић ... [и др.] ; [цртежи Марија Караћ]. – 2. изд. – Београд : Завод за уџбенике, 2011 (Лозница : Младост груп). – 180 стр. : граф. прикази ; 27 cm Тираж 25.000. – Регистар. – Библиографија : стр. 180. ISBN 978-86-17-17447-5 1. Јоцковић, Вера, 1949– [аутор] COBISS.SR-ID 183027212

П Ovaj uxbenik namewen je uËenicima osmog razreda osnovne πkole i napisan je prema Nastavnom programu. Nastojali smo da wime doprinesemo uspeπnom ostvarivawu programa. Uxbenik pripada uxbeniËkom kompletu za osmi razred Zavoda za uxbenike, koja Ëine Zbirka zadataka iz matematike, Zbirka zadataka iz matematike za one koji æele i mogu viπe i PriruËnik uz uxbenik sa orijentacionim rasporedom. Programom predvieni sadræaji obraeni su u okviru jedanaest nastavnih tema. Svaka tema je podeqena na nastavne jedinice, koje se, po pravilu, mogu obraditi na jednom πkolskom Ëasu. Nastojali smo da nove pojmove, kad god je to bilo opravdano, uvedemo kroz uvodne, uraene primere i obradimo ih na naËin koji je primeren uzrastu uËenika. Dodatni uraeni primeri, kao i zadaci na kraju lekcije nameweni su sticawu tehnike rada s tim pojmovima i uoËavawu moguÊnosti za wihove primene. U svakoj lekciji su Kontrolna pitawa a u nekima i istorijski i zabavni komentari pod naslovom „Da li znate?“. Nove reËi, kojima nazivamo uvedene pojmove, u tekstu su πtampane kurzivom. Tvrewa, bilo da ih prihvatamo kao osnovna, oËigledna, bilo da ih izvodimo u kwizi, odπtampana su masnim slogom. UËenicima i nastavnicima kao dopunski materijal preporuËujemo i literaturu i sajtove koji su dati na kraju uxbenika. Takoe, priloæen je i registar pojmova. Nadamo se da Êe Uxbenik biti korisna kwiga uËenicima prilikom usvajawa novog znawa, nastavnicima prilikom koncipirawa nastave i wenog ostvarivawa i roditeqima koji æele da pomognu svojoj deci u savlaivawu izloæene materije. Zahvaqujemo se recenzentima dr Arifu ZoliÊu, Milici ProπiÊ i Peri CvetinoviÊu na korisnim primedbama i sugestijama. Zahvaqujemo se Zavodu za uxbenike na poverewu koje nam je ukazano time πto smo angaæovani da napiπemo ovaj uxbenik. O tome da li smo to poverewe opravdali sudiÊe korisnici kwige. Sa zahvalnoπÊu Êemo primiti sve konstruktivne primedbe i predloge i nastojati da po wima postupimo u pripremi eventualnog novog izdawa. Beograd, 2010. godine Autori

Садржај 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

, , 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

34 37 41 45 49 53

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5.

15 19 21 24 27 31

7 8 11 14

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

55 58 61 63 70

72 78 78 81 84 86

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

89 92 94 97 99

9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

111 115 117 119 121 125

128 130 132 135

10 10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

137 139 141 144

11 11.1. Појам лопте и сфере ....................................................................................................................................... 148 11.2. Пресеци лопте (сфере) и равни .................................................................................................................. 151 11.3. Површина и запремина лопте ...................................................................................................................... 154

, , ........................................................................................................ 158

2.1. Талесова 1.1. Питагорина теорема теорема Neke od oblika Talesove teoreme veÊ smo koristili u sedmom razredu, na primer kada je trebalo datu duæ da podelimo na n jednakih delova.

слика 1

Na slici je prikazano kako se koriπÊewem Talesove teoreme deli data duæ a na tri jednaka dela.

Objasni konstrukciju na slici 1.

слика 2

Podsetimo se da Talesova teorema glasi: Ako paralelne prave na jednoj pravoj odsecaju duæi a i b a na drugoj a´ i b´ (sl. 2), onda vaæi a : b = a´ : b´.

a a'

пример

U popularnoj formulaciji u ovoj teoremi se tvrdi da su senke dve duæi jedne prave baËene pri paralelnom osvetqewu na drugu pravu proporcionalne tim duæima.

Ako kroz srediπte M jednog kraka trapeza ABCD konstruiπemo pravu paralelnu osnovicama, onda, ona polovi drugi krak (sl. 3).

b b'

слика 3

Ovde tri paralelne prave (prave koje sadræe osnovi- A B ce trapeza i konstruisana prava) seku prave koje sadræe krakove. Po Talesovoj teoremi, razmera odseËaka na prvom kraku jednaka je razmeri odseËaka na drugom kraku. Kako je prva razmera jednaka 1, i druga je jednaka 1. Sledi: konstruisana prava polovi drugi krak.

пример

PomoÊu Talesove teoreme moæemo podeliti datu duæ u datoj razmeri.

Podeli datu duæ u PQ u razmeri a : b (a i b su date duæ u i).

слика 4

S b

Na polupravu Ëiji je poËetak taËka P a koja sa polupravom PQ gradi neopruæen ugao nanesemo redom duæi a = PR i b = RS. Traæena deoba (na delove m i n) ostvaruje se paralelnim pravama SQ i RT T prema slici 4.

R a m

n T

3 пример

Kraci ugla pOq preseËeni su sa dve paralelne prave. Duæine dobijenih odseËaka na jednom kraku su 2 i 3, a prvi odseËak na drugom kraku je 1,5. Koliki je drugi odseËak? 1, 5 x Prema Talesovoj teoremi, biÊe = . Odavde 3 2 4, 5 nalazimo x = = 2, 25 . 2

Контролна питања

слика 5

q x

1,5 O

2 c

3 a

p b

Kako glasi Talesova teorema? Kako se deli duæ na n jednakih delova? Kako se deli duæ u datoj razmeri?

Задаци 1. Podeli datu duæ na: a) pet; b) sedam jednakih delova. 2. Podeli datu duæ u razmeri: a) 3 : 2; b)

3: 2 .

3. Podeli datu duæ na tri dela u razmeri 5 : 3 : 2.

слика 6

4. Date su duæi a, b i c i jediniËna duæ e = 1 cm (sl. 6). Konstruiπi duæ x takvu da je: a) a : x = b : c;

b) x : a = b : c;

v) x =

a ; b

g) x = ab.

1.2. Сличност троуглова Dva trougla istog oblika nazvali smo sliËni trouglovi. Trouglovi istog oblika moraju imati jednake odgovarajuÊe uglove. To svojstvo smo i iskoristili za pravu definiciju sliËnih trouglova: trouglovi koji imaju jednake odgovarajuÊe uglove nazivaju se sliËni.

1 пример

Dva pravougla trougla, jedan koji ima oπtar ugao od 30° i drugi Ëiji je jedan oπtar ugao 60° su sliËni. Zaista, drugi oπtar ugao prvog trougla je 60° (komplement od 30°), a drugog 30°. Sledi da oba trougla imaju uglove 30°, 60°, 90°, te su sliËni.

слика 7

60°

30°

PokazaÊemo sada da je uvek jedan od sliËnih trouglova uveÊana ili podudarna kopija drugog. Neka su ABC i Am Bm Cm sliËni trouglovi, tj. \A = \Am , \B = \Bm , \C = \Cm . Piπemo DABC ~ DA˝B˝C˝. Na polupravama AB i AC moæemo odrediti taËku B´, odnosno C´ tako da je trougao Am Bm Cm podudaran trouglu AB´C´. Zbog jednakosti uglova \ABl Cl = \ABC prave B´C´ i BC su paralelne. Prema Talesovoj teoremi, vaæi AB : AC = ABl : ACl = Am Bm : Am Cm . Prema osobini proporcije, biÊe AB : Am Bm = AC : Am Cm . Da smo umesto jednakosti uglova \A = \Am isto uradili polazeÊi od jednakosti uglova \B = \Bm , dobili bismo AB : BC = Am Bm : Bm C m , odnosno AB : Am Bm = BC : Bm C m . Otuda vaæi

слика 8

C A

B' C''

A''

B''

AB BC CA = = = k. m m m m AB BC C m Am Dakle, vaæi odgovarajuÊe stranice sliËnih trouglova su proporcionalne. PodseÊamo: odgovarajuÊe stranice nalaze se naspram odgovarajuÊih jednakih uglova. Odnos odgovarajuÊih stranica je pozitivan broj k. Zove se koeficijent sliËnosti (proporcionalnosti). SliËni trouglovi sa koeficijentom sliËnosti k = 1 su podudarni. Zaπto?

пример

Primetimo da je odnos obima sliËnih trouglova takoe jednak koeficijentu sliËnosti. Zaπto?

Da li su sliËni trouglovi Ëije su stranica 3 cm, 4 cm, 5 cm i 6 cm, 8 cm, 13 cm? Nisu. Kada bi bili sliËni, morala bi da vaæi proporcija 3 : 4 : 5 = 6 : 8 : 13. Kako 3 4 5 ona ne vaæi, = ! trouglovi nisu sliËni. 6 8 13

3 пример

Neka je DABC C ~ DKLM i k koeficijent sliËnosti. Ako su AD i KN N visine ovih trouglova, onda je AD : KN = k. Trouglovi ABD i KLN N su sliËni jer je:

слика 9

\B \L, \D \D ° \N,, \A 90° \B = 90° - \L \K. Zato je AD : KN = AB : KL = k.

L B

Iz ovog primera moæe se videti kako se odnose povrπine dva sliËna trougla. RaËunamo, P (ABC) =

1 1 2 BC $ AD = kLM $ kKN = k $ P (KLM) . 2 2

Dakle, odnos povrπina sliËnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenta sliËnosti.

Контролна питања

Koja dva trougla su sliËna? Kako se odnose odgovarajuÊe stranice dva sliËna trougla? ©ta je koeficijent sliËnosti? Kako se odnose povrπine sliËnih trouglova?

Задаци слика 10

1. Dve paralelne prave grade sa parom unakrsnih uglova odseËke Ëija je duæina prikazana na slici 10. a) Pronai parove jednakih uglova na slici.

b) Obeleæi i zapiπi koji su trouglovi sliËni. x

v) IzraËunaj nepoznate duæine x i y.

2. Da li su sliËni jednakostraniËni trouglovi? A jednakokrakopravougli? A bilo koja dva jednakokraka trougla? 3. Da li su sliËni trouglovi Ëija su dva ugla 35° i 54°, odnosno 54° i 91°? 4. Dve paralelne prave grade na kracima ugla odseËke duæina prema slici 11. Odredi nepoznate x i y. 5. Neka je k = 2 koeficijent sliËnosti dva data sliËna trougla ABC i KLM. Kolika je razmera:

a) visina iz B i iz L; b) visina iz M i iz C?

слика 11

4 y

6. Neka je DABC ~ DA´BĆ´, AB = 12 cm, BC = 15 cm, BĆ´ = 40 cm, AĆ´ = 24 cm. Kolike su duæi AC i A´B´? 7. Trougao ABC ima stranice AB = 6 cm, BC = 9 cm, CA = 12 cm. Obim wemu sliËnog trougla KLM je 18 cm. Odredi stranice tog trougla. 8. Trougao ABC ima stranice AB = 5 cm, AC = 12 cm, BC = 13 cm. Povrπina wemu sliËnog trougla KLM je 120 cm2. Odredi stranice tog trougla. 9. Neka su ABC i A1B1C1 sliËni trouglovi. Najduæa stranica trougla ABC je 18 cm, a najkraÊa visina trougla A1B1C1 je 6 cm. Ako je povrπina trougla A1B1C1 jednaka 36 cm2, izraËunaj povrπinu trougla ABC.

1.3. Ставови сличности троуглова Kako prepoznati da su dva trougla sliËna, tj. da imaju jednake odgovarajuÊe uglove? Primetimo da ako trouglovi imaju dva odgovarajuÊa ugla jednaka, tada im je i treÊi ugao jednak (zbir svih uglova trougla je 180°). Dakle, vaæi sledeÊe tvrewe. Prvi stav sliËnosti (UU, skraÊeno od ugao, ugao):

пример

Dva trougla su sliËna ako imaju dva odgovarajuÊa ugla jednaka.

Trouglovi ABO i CDO su sliËni jer je \A OdgovarajuÊe stranice su proporcionalne:

\C, \B \B

\D .

AO : CO = AB : CD = BO : DO.

C слика 12

Neka je O presek dijagonala trapeza ABCD sa osnovicama AB i CD. Dokaæi da je AO : CO = AB : CD.

Vaæi i tvrewe. Drugi stav sliËnosti (RUR, skraÊeno od razmera, ugao, razmera): Dva trougla su sliËna ako im je po jedan ugao jednak a stranice na wihovim kracima proporcionalne. Dokaz. Neka su ABC i Am Bm C m dva trougla takva da je \A = \Am , AB : Am Bm = AC : Am C m .

слика 13 C'

Odredimo na kracima AB, odnosno AC taËke B´, odnosno C´ takve da je AB´ = Am Bm , AC´ = Am C m . Dokaæimo da je BC paralelno B´C´.

C A

Neka je C n taËka na kraku AC takva da je BC n paralelno BĆ´. Dokaæimo da je C / C n . Prema Talesovoj teoremi, vaæi AC n : AB = AC l : ABl . Kako je po pretpostavci AC : AB = AC´ : AB´, biÊe AC n : AB = AC : AB . Sledi AC n = AC , pa je C n / C . Odavde sledi da je BC paralelno BĆ´. Stoga je \B = \B´, \C = \C´ i zbog 3 ABĆ´ , 3 Am Bm C m dobijamo \B = \Bm , \C = \C m , πto je i trebalo dokazati.

B' C''

B''

пример

A''

Da li su sliËni pravougli trouglovi Ëije su katete 8 cm i 5 cm, odnosno 10 i 16 cm? Jesu. Trouglovi imaju po jedan ugao jednak (prav), a stranice na wegovim kracima su proporcionalne 8 : 5 = 16 : 10.

пример

Dokaæi da je sredwa linija trougla paralelna jednoj stranici trougla i jednaka wenoj polovini. Neka je M srediπte stranice AB a N srediπte stranice AC C trougla ABC. Tada je 1 trougao AMN N sliËan trouglu ABC C sa koeficijentom sliËnosti (po drugom stavu 2 sliËnosti, jer je A слика 14 1 \A \A, AM : AB = AN : AC = ). 2 M N Zato je \AMN MN

\ABC i MN N || AB i MN : BC =

1 . 2

Takoe vaæi sledeÊe tvrewe. TreÊi stav sliËnosti (RRR, skraÊeno od razmera, razmera, razmera): Dva trougla su sliËna ako su im odgovarajuÊe stranice proporcionalne. слика 15

Dokaz. Neka su ABC i Am Bm C m dva trougla takva da je

B C' C

C''

AB BC CA . = = Am Bm Bm C m C m Am Neka je C´ taËka takva da je \C´AB = \Am , \C´BA = \Bm (sl. 15). Prema prvom stavu sliËnosti je ABC´~Am Bm C m pa je

B'' A''

AB BCl Cl A . = = m m m m AB BC C m Am

Uporeivawem dve produæene proporcije zakquËujemo da je BC´ = BC, C´A = CA. Trouglovi ABC i ABC´ imaju jednake sve tri odgovarajuÊe stranice, pa su podudarni. Sledi \A = \Am , \B = \Bm , \C = \C m , πto je i trebalo dokazati.

4 пример

Da li su sliËni trouglovi Ëije su stranice 5 cm, 11 cm, 7 cm odnosno 21 cm, 33 cm, 15 cm? Jesu, jer je 5 : 7 : 11 = 15 : 21 : 33, na osnovu RRR stava sliËnosti.

Контролна питања

Kako glasi prvi stav sliËnosti trouglova? Kako glasi drugi stav sliËnosti trouglova? Kako glasi treÊi stav sliËnosti trouglova?

Задаци 1. Neka je DABC ~ DKLM i k koeficijent sliËnosti. Ako su AD i KN teæiπne duæi ovih trouglova, dokaæi da je: a) DABD ~ DKLN; b) AD : KN = k. 2. Neka se teæiπne duæi BB´ i CC´ trougla ABC seku u taËki T. Dokaæi da je DBC´T ~ DB´CT. Koliki je koeficijent sliËnosti? 3. Dokaæi da se teæiπne duæi trougla seku u teæiπtu trougla koje ih deli u razmeri 2 : 1. 4. Neka su M taËka stranice AB i N taËka stranice AC trougla ABC takve da je AM : AB = AN : AC = 1 : 3. a) Dokaæi da je MN paralelno BC. b) U kojoj razmeri preseËna taËka P duæi CM i BN deli ove duæi? 5. Jedna od dijagonala trapeza podeqena je preseËnom taËkom dijagonala na odseËke 2 cm i 3 cm. Mawa osnovica trapeza je 5 cm. Kolika je veÊa osnovica? 6. Od duæi Ëije su duæine u centimetrima: a) 4, 5, 7, 8, 10, 14; b) 5, 7, 14, 10, 10, 20; v) 2, 2, 2 , 2 2 , 3 , 6 formirana su dva sliËna trougla. Koliki je koeficijent sliËnosti? 7. IzraËunaj x sa slike 16.

A x

слика 17

слика 16

D 6

8. IzraËunaj x sa slike 17.

1.4. Примена сличности на правоугли троугао слика 18

D b

Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom \C. Visina iz temena C deli ga na dva pravougla trougla. Svaki od wih sliËan je polaznom trouglu jer ima i joπ po jedan oπtar ugao polaznog trougla.

OznaËimo sa h duæinu visine iz C, a sa p i q duæine delova na koje podnoæje D deli hipotenuzu (sl. 18). Iz DABC ~ DCBD sledi a : b : c = p : h : a, a iz DABC ~ DACD sledi a : b : c = h : q : b. C a2 b2 ab Odavde nalazimo: p = , q = , h = . c c c a2 b2 + , odakle sledi c2 = a2 + b2. Sabirawem dobijamo: p + q = c = c c Time je na joπ jedan naËin dokazana Pitagorina teorema. h

Mnoæewem dobijamo: p · q = h2, pa je h = p $ q (visina je geometrijska sredina odseËaka).

Контролна питања

Kako glasi Pitagorina teorema? Na kakve trouglove visina koja odgovara hipotenuzi deli pravougli trougao? Koliki su odseËci koje visina koja odgovara hipotenuzi gradi na hipotenuzi? Kolika je visina koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla ako su poznati odseËci koje ona gradi na hipotenuzi?

Задаци 1. Katete pravouglog trougla su 11 cm i 2 cm. Kolika je visina koja odgovara hipotenuzi? Koliki su odseËci na koje ova visina deli hipotenuzu? 2. Visina pravouglog trougla deli hipotenuzu na duæi Ëije su duæine 2 cm i 8 cm. Odredi duæine kateta. 3. Neka je CD visina koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla ABC. IzraËunaj obim trougla ako je: a) AD = 2 cm, CD = 6 cm; b) AC = 6 cm, CD = 3 3 cm. 4. Konstruiπi duæ duæine

mn , gde su m, n duæine datih duæi.

a+b H ab (a, b su date duæine duæi), tj. da aritmetiËka sre5. Pokaæi slikom da je 2 dina nije mawa od geometrijske.

6. Nad stranicama pravouglog trougla konstruisani su sliËni trouglovi. Dokaæi da je povrπina najveÊeg jednaka zbiru povrπina dva mawa.

,, ,, 2.1. Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни

U prethodnim razredima uËili smo o geometrijskim objektima koji su u jednoj ravni ‡ meusobnom odnosu taËke i prave; meusobnom odnosu pravih; odreenosti prave, figurama... Za taj deo geometrije koristi se naziv planimetrija ‡ reË koja je nastala u sredwem veku, kombinovawem latinske reËi planum (znaËi ravan) i grËke reËi nfxtf~ (koja se Ëita metreo, a znaËi merim). Ove godine razmatraÊemo geometrijske objekte u prostoru. Taj deo geometrije naziva se stereometrija. To je reË koja se javqa u staroj GrËkoj i nastala je od grËkih reËi vxftfqv (Ëita se stereos i znaËi zapremina) i nfxtf~. ZnaËi, uËiÊemo o meusobnom odnosu pravih u prostoru, pravih i ravni, dve i viπe ravni, zatim o nekim geometrijskim telima. Naravno, pri tome koristiÊemo kao modele objekte iz okruæewa, prostora u kojem se nalazimo. Za geometrijski objekat kaæemo da je odreen nekim svojim delom (svojstvom) ako postoji jedan jedini takav слика 1 B objekat koji te delove sadræi (to svojstvo ima). Tako dve razliËite taËke odreuju jednu jedinu pravu. A Podsetimo se da smo ravan list papira koristili α za model ravni i na slikama smo ga predstavqali kao paralelogram. Iz petog razreda znamo da ako je taËka A u ravni a, kaæemo i da taËka A pripada ravni a. Ako je taËka B van ravni a, kaæemo da taËka B ne pripada ravni a (sl. 1). Razmotrimo Ëime je odreena ravan. NasluÊujemo da ravan nije odreena jednom taËkom ili dvema razliËitim taËkama. Uveri se u to koristeÊi svesku kao model ravni i vrh olovke, odnosno olovku kao model taËke, odnosno prave (sl. 2). Birawem taËke A u prostoru poloæaj ravni koja je sadræi nije odreen. Ravan (sveska) moæe se pomerati u bezbroj poloæaja, a da se pri tome ne mewa poloæaj taËke A (sl. 2a). слика 2

б)

в)

Birawem joπ jedne taËke B opet se ravan ne moæe „uËvrstiti“. Ona se moæe pomerati, tj. „obrtati“ oko prave AB (sl. 2b). Primetimo da vaæi: Ako dve razliËite taËke A i B pripadaju ravni, tada sve taËke prave AB pripadaju toj ravni. Ako izaberemo joπ jednu taËku C, koja nije na pravoj AB, ravan koja i wu sadræi je odreena, tj. zauzima taËno jedan poloæaj (sl. 2v). Ovo ukazuje na to da za ravan prihvatamo da: Tri taËke koje se ne nalaze na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan. Kaæe se da je ravan odreena taËkama A, B, C (kraÊe se piπe ravan ABC) (sl. 2v). Neka je taËka C van prave p. UoËimo razliËite taËke A i B na pravoj p. Na osnovu prethodnog sledi da taËke A, B, C odreuju taËno jednu ravan i prava p je u toj ravni. Dakle, vaæi i da: Prava i taËka van we odreuju taËno jednu ravan.

пример

Proveri da li prethodna tvrewa o odreenosti ravni vaæe ako kao model ravni koristimo vrata na uËionici. слика 3

Vrata su priËvrπÊena za ram u zidu na dva mesta (πarke). Vrata mogu zauzimati viπe poloæaja. Dakle, dve taËke (i wima odreena prava) ne odreuju ravan. Ako je izabrana joπ jedna taËka, da li je poloæaj ravni (vrata) odreen? Odgovor zavisi od toga gde biramo tu taËku. Ako je treÊa taËka (πarka) na pravoj odreenoj prvim dvema πarkama, postoji viπe poloæaja vrata. A ako je treÊa taËka van te prave, na primer brava, postoji jedan poloæaj vrata.

Ranije su qudi na selu pravili niske stolice sa tri „noge“ tzv. tronoæac. Zaπto tronoæac ne moæe da se „klati“? Tri taËke koje nisu na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan.

Na slici 5 prikazane su taËke A, B, C, C D koje nisu u jednoj ravni. Duæ AC C se ne vidi jer je zaklowena trouglovima ABD i BCD. UobiËajeno je da se isprekidanom linijom prikazuju duæi koje su neËim zaklowene. Kaæemo da su nevidqive.

слика 4

слика 5

C B

пример

Date su Ëetiri razliËite taËke A, B, C, C D. Koliko ravni je odreeno sa bar po tri od ovih taËaka? Ako su taËke A, B, C, C D na jednoj pravoj, tada one ne odreuju nijednu ravan. (Postoji bezbroj ravni koje sadræe tu pravu; sl. 6a) Ako neke tri od ovih taËaka odreuju jednu ravan i ako je Ëetvrta taËka u toj ravni, tada ove Ëetiri taËke odreuju jednu ravan (sl. 6b). Ako ove taËke nisu u jednoj ravni, tada one odreuju Ëetiri ravni (to su ravni ABC, ABD, ACD, BCD; sl. 6v). слика 6

пример

б)

в)

Koliko postoji ravni tako da sadræe dve prave p i q koje se seku? TaËno jedna. Neka je A zajedniËka taËka pravih p i q, a taËke B i C redom na pravama p i q. Tada se taËke A, B i C ne nalaze na jednoj pravoj, pa odreuju taËno jednu ravan. Ta ravan sadræi obe prave jer sadræi po dve wihove taËke (sl. 7).

слика 7

A q

Dve prave koje se seku odreuju taËno jednu ravan.

пример

Koliko ravni sadræi dve razliËite prave, m i n, koje su paralelne? U petom razredu nauË u ili smo da su dve prave paralelne ukoliko su u istoj ravni i nemaju zajedniËkih taËaka. Ako na jednoj od ovih pravih izaberemo dve taËke, a na drugoj jednu taËku, te tri taËke nisu na jednoj pravoj te odreuju taËno jednu ravan. Ta ravan je jedina koja sadræi date paralelne prave (sl. 8).

слика 8

Prema tome, dve razliËite paralelne prave odreuju taËno jednu ravan.

Контролна питања

Koliko najmawe razliËitih taËaka odreuje jednu pravu? Kada tri razliËite taËke odreuju taËno jednu ravan? Da li bilo koje tri taËke odreuju taËno jednu ravan? U kakvom meusobnom poloæaju mogu biti dve prave u jednoj ravni? Kada dve prave odreuju taËno jednu ravan?

Задаци 1. Na slici 9 prikazan je kvadar ABCDEFGH. Koja wegova temena: a) pripadaju; b) ne pripadaju ravni BCG? 2. Dato je pet taËaka, pri Ëemu ne postoje tri taËke koje su na istoj pravoj. Koliko je pravih odreeno parovima tih taËaka? Prikaæi reπewe odgovarajuÊom skicom.

слика 9

H E

G F

D A

C B

3. Date su Ëetiri razliËite taËke. Koliko je: a) najmawe; b) najviπe pravih odreeno parovima tih taËaka? 4. Dve prave se seku ako imaju: a) bar jednu;

b) taËno jednu;

v) najviπe jednu zajedniËku taËku.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. Koliko je pravih odreeno parovima temena pravilnog osmougla? 6. Neka su A1, A2, ..., A8 razliËite taËke koje pripadaju kruænici k(O, r). Koliko je: a) najmawe; b) najviπe pravih odreeno parovima taËaka O, A1, A2, ..., A8? 7. Dopuni sledeÊe reËenice tako da dobijena tvrewa budu taËna. Ravan je odreena sa tri taËke koje _____________________________. Ravan je odreena sa pravom i taËkom ______________. Ravan je odreena sa dve __________ koje se seku. Ravan je odreena sa dve razliËite _____________ prave. 8. Neka su a, b, c, d razliËite paralelne prave od kojih nikoje tri ne pripadaju jednoj ravni. Koliko je ravni odreeno parovima ovih pravih? 9. Neka su a, b, c prave koje se seku u jednoj taËki i nisu u jednoj ravni. Koliko je ravni odreeno parovima ovih pravih?

2.2. Односи правих. Мимоилазне праве Razmotrimo u kakvom meusobnom poloæaju mogu biti dve prave. Dve olovke nam mogu posluæiti kao model dve prave.

слика 10

Ako dve prave imaju taËno jednu zajedniËku taËku, kaæemo da se seku. Prave a i b se seku u taËki S (sl. 10). Ako dve prave imaju zajedniËke sve taËke, kaæemo da se poklapaju.

b a

слика 11

c d

Prave c i d se poklapaju (sl. 11). Ako dve prave nemaju zajedniËkih taËaka, razlikujemo dva sluËaja: ‡ postoji ravan u kojoj su te prave,

слика 12

‡ ne postoji ravan u kojoj su te prave. Prvi sluËaj nam je poznat ‡ prave su paralelne (sl. 12).

U petom razredu istakli smo da: Ako dve prave pripadaju jednoj ravni, nemaju zajedniËkih taËaka ili se poklapaju, kaæemo da su paralelne. U drugom sluËaju kaæemo da su prave mimoilazne. Za dve prave kaæe se da su mimoilazne ako ne postoji nijedna ravan kojoj pripadaju.

Na kojoj od sledeÊih slika su prikazane mimoilazne prave? n

пример

слика 13

n m α

α a)

б)

α в)

Na slici 13a prave su u ravni. Na slici 13b prava m je u ravni a prava n ispod ravni i oËigledno ne postoji ravan kojoj pripadaju. Na slici 13v prave su ispod ravni, ali moguÊe je i da se seku. Dakle, na slici 13b prikazane su mimoilazne prave.

2 пример

3 пример

Ako zamislimo da avioni lete pravolinijski, kakvim pravama bi pripadale wihove putawe?

слика 14

Putawe kretawa aviona najËeπÊe pripadaju mimoilaznim pravama.

Na modelu kocke ABCDA1B1C1D1 prikazanom na slici 15 utvrdi koje prave odreene temenima kocke su mimoilazne sa pravom AB.

D1 A1

Контролна питања

B1 D

Sa pravom AB mimoilazne su prave A1D1, B1C1, CC1, DD1, A1C1, B1D1, CD1, DC1, DA1, CB1. слика 15

C B

U kakvom meusobnom poloæaju mogu biti dve prave koje pripadaju jednoj ravni? U kakvom meusobnom poloæaju mogu biti dve prave? Kada su dve prave paralelne? Kada su dve prave mimoilazne?

Задаци 1. Na modelu kocke ABCDA1B1C1D1 prikazanom na slici 15 utvrdi koje prave odreene temenima kocke: a) jesu paralelne pravoj AC; b) seku pravu AC1. 2. Prave a, b, c pripadaju jednoj ravni. Prave a i b seku se u taËki S, a prave b i c seku se u taËki T. U kakvom meusobnom poloæaju mogu biti prave a i c ako su taËke S i T razliËite? 3. Date su prave a, b i c. Prave a i b seku se u taËki S, a prave b i c seku se u taËki T. U kakvom meusobnom poloæaju mogu biti prave a i c ako su taËke S i T razliËite? 4. Ako dve prave imaju dve razliËite zajedniËke taËke, tada se te prave: a) seku;

b) poklapaju;

v) mimoilaze.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. Ako su prave a i b mimoilazne, tada one mogu pripadati ravnima koje: a) se poklapaju;

b) su paralelne;

NetaËan je samo jedan odgovor. Koji?

v) se seku.

2.3. Односи праве и равни. Права нормална на раван. Растојање тачке од равни Razmotrimo u kakvom meusobnom poloæaju mogu biti prava i ravan. Olovka i sveska nam mogu posluæiti kao model prave i ravni. слика 16 ‡ Prava i ravan nemaju zajedniËkih taËaka.

Takve su i prava b i ravan b. Tada je prava b paralelna ravni b (sl. 16). ‡ Prava i ravan imaju bar dve razliËite zajedniËke taËke.

β слика 17

Ako prava c i ravan c imaju dve razliËite zajedniËke taËke, tada su sve taËke prave c u ravni c, pa kaæemo da je prava c u ravni c ili da ravan c sadræi pravu c (sl. 17).

c γ

пример

Ako prava i ravan nemaju zajedniËkih taËaka ili je prava u ravni, kaæemo da je prava paralelna ravni.

Prava a je u ravni a, a prava b je van te ravni i paralelna je sa pravom a. U kakvom je poloæaju prava b prema ravni a ? слика 18 Prava b je paralelna ravni a. Ako bi prava b prodi- b rala ravan a, ona bi imala zajedniËku taËku sa pravom a, a to je nemoguÊe.

a α

слика 19

‡ Prava i ravan imaju taËno jednu zajedniËku taËku. Prava a i ravan a imaju zajedniËku taËku A. Kaæemo da prava a prodire ravan a u taËki A ili da ravan a seËe pravu a u taËki A (sl. 19). Poseban poloæaj ima prava koja prodire ravan i normalna je na ravan.

A α a

Kaæemo da je prava a normalna na ravan a ako je prava a normalna na svaku pravu ravni a koja sadræi taËku prodora prave a i ravni a.

2 пример

слика 20

Postavi olovku tako da je normalna na ravan sveske i obeleæ e i taËku prodora. Nacrtaj nekoliko pravih u svesci tako da sadræe tu taËku prodora. Proveri koristeÊi trougaoni lewir kakve uglove gradi olovka sa tim pravama? Zamiπqena prava n odreena olovkom gradi prave uglove sa pravama koje su u ravni a i sadræe taËku prodora N (sl. 20).

N α

Ako treba da utvrdimo da je neka prava normalna na ravan, da li bi trebalo da proveravamo ugao izmeu te prave i svake prave te ravni koja sadræi taËku prodora? Jasno je da je takav zahtev teπko izvodqiv! Kako da postupimo? SledeÊi ogled nam moæe dati odgovor na to pitawe.

U svesci nacrtaj prave p i q koje se seku u taËki N N. Postavi olovku tako da „prodire“ ravan sveske u taËki N N, da je normalna na pravu p i da:

пример

a) nije normalna na pravu q;

b) je normalna na pravu q.

(Koristi trougaoni lewir.) Da li je olovka normalna na ravan sveske? a) Olovka nije normalna na ravan sveske. b) Olovka je normalna na bilo koju pravu u svesci koja sadræi taËku N (proveri!), pa je normalna i na ravan sveske.

слика 21

o p

p q

N α

N α б)

пример

Ako je prava n, koja prodire ravan a u taËki N, normalna na dve prave te ravni koje sadræe taËku N, onda je prava n normalna na ravan a.

Dva trougaona lewira postavi tako da im je po jedna kateta u ravni sveske, a da se drugi par kateta sastavi. U kakvom je poloæaju prava odreena sastavqenim parom kateta prema ravni sveske? Prava odreena sastavqenim parom kateta normalna je na prave koje su odreene drugim parom kateta tih lewira, pa je, prema tome, normalna i na ravan sveske (sl. 22).

слика 22

пример

TaËka A je van ravni a. Postoji taËno jedna prava koja sadræi taËku A i normalna je na datu ravan. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje dve normale, n1 i n2, iz taËke A na ravan a, koje prodiru ravan u taËkama N1 i N2. Tada bi dva ugla trougla AN N1N2 bila prava. To je nemoguÊe, pa ne mogu da postoje dve normale iz taËke van ravni na ravan. Stoga, postoji taËno jedna prava iz taËke van ravni koja je normalna na tu ravan (sl. 23).

слика 23

n1 A

N1 α

Ako prava prodire ravan i nije normalna na ravan, kaæe se da je kosa prema ravni.

слика 24

U petom razredu nauËili smo πta je rastojawe taËke od prave. A πta je rastojawe taËke od ravni? N

TaËka A je van ravni a. Neka je N prodor normale iz taËke A kroz ravan a. Kaæemo da je duæina duæi AN rastojawe taËke A od ravni a.

Контролна питања

Kada prava prodire ravan? Koliko zajedniËkih taËaka imaju prava i ravan ako je prava paralelna ravni? Kada je prava u ravni? Kada je prava normalna na ravan? U kakvom je poloæaju prava prema ravni ako je ta prava normalna na taËno jednu pravu u toj ravni? ©ta je rastojawe taËke od ravni?

Задаци слика 25

1. KoristeÊi model kocke ABCDA1B1C1D1, prikazan na slici 25, utvrdi u kakvom su meusobnom poloæaju: a) prava AC i ravan BC1B1; . v) prava BD1 i ravan 1

b) prava AD i ravan ABC;

2. Na modelu kocke ABCDA1B1C1D1, prikazanom na slici 25, utvrdi koje su prave odreene temenima kocke paralelne sa ravni: v) ACC1. a) ABC; b) BCC1; 3. Na modelu kocke ABCDA1B1C1D1, prikazanom na slici 25, utvrdi koje prave odreene temenima kocke prodiru ravan ABB1.

D1 A1

C1 B1

4. Model kocke postavi tako da samo: a) jedna wena ivica; b) jedno weno teme bude u ravni stola. Kakav poloæaj imaju prave odreene ivicama kocke prema ravni stola? 5. Prava a je u ravni a a prava b je van te ravni i paralelna je sa ravni. U kakvom poloæaju mogu biti prave a i b? 6. Proveri taËnost reËenice: Ako je prava a paralelna sa ravni a, tada je prava a paralelna sa bilo kojom pravom ravni a. 7. Ako su dve razliËite prave a i b normalne na ravan a, tada: a) prave a i b se seku; b) prave a i b su paralelne;

слика 26

v) prave a i b su mimoilazne. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 8. TaËke A, B, C su u ravni a, a taËka D je van ravni, tako da je prava AD normalna na ravan a. Ako je DB = DC, dokaæi da je AB = AC. Vidi sliku 26!

9. Nacrtaj u svesci trougao ABC i izaberi taËku S u tom trouglu. U taËki S postavi pravu p koja prodire ravan ABC. Na pravoj p izaberi taËku M, tako da je \ASM = \BSM = 90° . Odredi \CSM . 10. Ravan a normalna je na duæ AB u wenom srediπtu S. Ravan a nazivamo simetralnom ravni duæi AB. Dokaæi da je svaka taËka M simetralne ravni a na jednakim rastojawima od krajwih taËaka duæi AB.

2.4. Односи две равни слика 27

Koristi dve sveske kao modele za dve ravni, pa razmotri u kakvom meusobnom poloæaju mogu biti dve ravni. ‡ Dve ravni nemaju nijednu zajedniËku taËku. ‡ Dve ravni imaju sve zajedniËke taËke, one se poklapaju. Za dve ravni koje nemaju nijednu zajedniËku taËku ili se poklapaju kaæemo da su paralelne.

Na slici 28 prikazane su ravni a i b, koje se seku po pravoj p.

слика 28

Na slici 27 prikazane su ravni a i b, koje su paralelne. Za dve ravni koje imaju taËno jednu zajedniËku pravu kaæemo da se seku.

β p α

1 пример

Utvrdi u kakvom su poloæaju ravan poda tvoje uËionice i: a) ravni zidova; b) ravan tavanice. a) Ravan poda seËe se sa ravnima zidova; b) Ravan poda i ravan tavanice su paralelne (ako tavanica nije kosa).

слика 29

Neka je prava a u ravni a. Sve taËke ravni a koje su sa iste strane prave a zajedno sa pravom a nazivamo poluravan. Prava a je granica poluravni. Poluravni ravni a sa granicom a obeleæavamo sa aa1 i aa2.

α2 a

α1

слика 30

Dve poluravni sa zajedniËkom graniËnom pravom grade diedarsku povrπ i dele prostor na dva dela. Jedan od tih delova prostora zajedno sa diedarskom povrπi gradi diedar. Pri tome vodimo raËuna koji smo od delova prostora izabrali, jer jedna diedarska povrπ gradi dva diedra. Poluravni se nazivaju strane diedra, zajedniËka graniËna prava je ivica diedra.

a p

Neka je apb diedar. Na ivici p izaberemo neku taËku S i u poluravnima pa i pb konstruiπemo redom poluprave Sa i Sb koje su normalne na ivicu p. Ugao aSb Ëija oblast je u diedru nazivamo uglom diedra (sl. 30).

Neka je ugao aSb ugao diedra ap a b. U kakvom je poloæaju ivica p prema ravni koja je odreena pravama a i b? Prave a i b odreene polupravama Sa i Sb seku se u taËki S, pa odreuju jednu ravan, obeleæimo je sa c. Prava p je normalna na pravama a i b i prodire ravan c u taËki S. To znaËi da je prava p normalna na ravan c (sl. 31).

слика 31

γ b

p S

пример

Ako je ugao diedra prav, za diedar se kaæe da je prav diedar.

Neka je ugao aSb ugao diedra ap a b i neka je A taËka na polupravoj Sa. TaËka B je podnoæje æ normale n iz taËke A na poluravan pb. U kakvom je poloæaju poluprava SB prema ivici p?

3 пример

U poluravni b odredimo pravu q tako da sadræi taËku B i da je paralelna ivici p. Prava n je normalna na ravan b, pa je normalna na prave q i SB. Sledi da je prava q normalna na ravan odreenu pravama n i SB. Daqe je i prava p normalna na tu ravan, a i na pravu SB. Dakle, poluprava SB je normalna na ivicu p.

слика 32

α A a β S

B p

Ugao diedra ap a b je 60°. Koliko je rastojawe taËke A od druge strane diedra ako je taËka A na strani ap a i od ivice p je na rastojawu 4 cm?

пример

Neka je taËka P podnoæje normale a iz taËke A na ivicu p. Tada je AP P = 4 cm. U taËki P odredimo norA malu b na ivicu p koja je na strani pb diedra (sl. 33). Rastojawe taËke A od poluravni pb je duæina duæi AB, gde je B podnoæje normale iz taËke 660°° A na pravu b. Ugao diedra je 60°, pa je \APB P = 60°. P B Iz pravouglog trougla APB kateta PB jednaka je p polovini hipotenuze AP, pa se izraËunava da je AB = 2 3 cm . Rastojawe taËke A od druge strane diedra je 2 3 cm .

слика 33

Za ravni a i b koje se seku i grade jednake ‡ prave diedre kaæemo da su uzajamno normalne, tj. ravan a je normalna na ravan b i obrnuto.

Контролна питања

Kada se dve ravni poklapaju? Kada su dve razliËite ravni paralelne? Kada su dve ravni paralelne? Kada se dve ravni seku? ©ta je diedarska povrπ? ©ta je diedar? Kada je ravan normalna na ravan?

Задаци

1. Prava p odreuje poluravni a1p i pa2 ravni a. Izaberi taËke A i B u poluravni a1p i taËke C i D u poluravni pa2. Proveri taËnost sledeÊih reËenica: a) Prava AC seËe pravu p. b) Prava AB seËe pravu CD. v) Prava AD i prava p su paralelne.

2. Neka su a i b razliËite paralelne ravni. Prava a je u ravni a, a prava b je u ravni b. U kakvom poloæaju mogu biti prave a i b? 3. Neka su a i b ravni koje se seku. Prava a je u ravni a, a prava b je u ravni b. U kakvom poloæaju mogu biti prave a i b? 4. Neka je prava m paralelna ravni a. Ako ravan b sadræi pravu m, tada ravni a i b: a) mogu da se seku;

b) mogu da budu paralelne;

v) mogu da se poklapaju.

Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora. 5. Kroz pravu n normalnu na ravan a moæe se postaviti: a) samo jedna ravan normalna na ravan a; b) taËno dve ravni normalne na ravan a; v) bezbroj ravni normalnih na ravan a. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 6. Ravan a seËe ravan b po pravoj a i ravan c po pravoj b. U kakvom poloæaju mogu biti ravni b i c ako su prave a i b paralelne? 7. Ravan a seËe ravan b po pravoj a i ravan c po pravoj b. U kakvom su poloæaju prave a i b ako su ravni b i c paralelne?

2.5. Ортогонална пројекција на раван Geometrijske objekte koji su u jednoj ravni predstavqamo odgovarajuÊom slikom u ravni. Predstavqawe geometrijskih objekata koji su u prostoru odgovarajuÊom slikom u jednoj ravni je potrebno i za graevinarstvo, tehniku, arhitekturu, umetnost... To predstavqawe moguÊe je uraditi na razliËite naËine i predmet je izuËavawa nekih matematiËkih disciplina. Nivo znawa kojim raspolaæu uËenici osmog razreda osnovne πkole nije dovoqan da bismo mogli detaqnije da izlaæemo razliËite metode predstavqawa prostora u jednoj ravni. Stoga Êemo upoznati samo osnovne karakteristike ortogonalnog (normalnog) projektovawa (preslikavawa) prostora na jednu ravan. Ortogonalna projekcija (slika) taËke A na ravan r je taËka Al u kojoj normala iz taËke A na ravan r prodire ravan r.

n A

Oznaka Aʹ Ëita se A prvo ili A prim. Prava AAʹ naziva se projektujuÊi zrak taËke A. Ravan r je projekcijska ravan. Osnovno πto moæemo da istaknemo za ortogonalno projektovawe, odnosno ortogonalnu projekciju (daqe Êemo reÊi samo projekciju) jeste sledeće.

слика 34

‡ Projekcija taËke je taËka. TaËka koja je u projekcijskoj ravni poklapa se sa svojom projekcijom. ‡ Ako taËka pripada nekom geometrijskom objektu, tada projekcija te taËke pripada projekciji tog objekta.

Odredi projekciju duæ u i AB na ravan r ako je ta duæ u : a) paralelna ravni r; b) u ravni r; v) na pravoj koja je normalna na ravan r; g) na pravoj koja nije ni normalna na ravan ni paralelna sa ravni r. U svakom od ovih sluËajeva uporedi duæ u inu duæ u i sa duæ u inom wene projekcije. B б)

г)

A B' π

пример

в)

слика 35

A A'

B B'

A' B' π

Projekcija duæi na ravan odreena je projekcijama wenih krajwih taËaka. a) Ako je duæ paralelna ravni r, tada je Ëetvorougao Al Bl BA pravougaonik, pa je projekcija duæi AB duæ Al Bl , pri Ëemu je AB = Al Bl (sl. 35a). b) U ovom sluËaju duæ se poklapa sa svojom projekcijom (sl. 35b). v) U ovom sluËaju projekcija duæi je taËka, pa je duæina projekcije 0 (sl. 35v). g) Ako je duæ AB kosa prema ravni r, wena projekcija je duæ Al Bl i vaæi da je AB > Al Bl (sl. 35g).

Razmotrimo kako se projektuje prava. U prethodnim primerima umesto duæi AB posmatrajmo pravu AB. Vaæi:

слика 36

a' α A

‡ prava paralelna projekcijskoj ravni paralelna je sa svojom projekcijom na tu ravan; ‡ prava koja je u projekcijskoj ravni poklapa se sa svojom projekcijom na tu ravan; ‡ projekcija prave normalne na ravan je taËka; ‡ projekcija prave koja nije normalna na projekcijsku ravan je prava. Prava i wena projekcija pripadaju ravni koja je normalna na projekcijsku ravan i seku se u taËki prodora prave kroz projekcijsku ravan (sl. 36).

Oπtri ugao a koji obrazuje prava a sa svojom projekcijom aʹ na ravan π naziva se ugao izmeu prave a i ravni r. Za ugao a kaæe se i da je nagibni ugao prave a prema ravni r.

пример

Prava p gradi sa ravni r ugao od 30° i prodire je u taËki P. TaËka Q je na pravoj p tako da je PQ = 6 cm. IzraËunaj Ë duuæinu projekcije duæ u i PQ na ravan r i rastojawe taËke Q od ravni r.

слика 37

30°

TaËka P poklapa se sa svojom projekcijom (sl. 37). Trougao PQQʹ je pravougli. Hipotenuza PQ = 6 cm, \Ql PQ = 30° , a kateta naspram ugla od 30° jednaka je polovini hipotenuze PQ, pa vaæi: 1 2 2 2 QQ Ql = PQ i PQ = PQ Q + Ql Q . Sledi da je Pl Ql = 3 3 cm, QQʹ = 3 cm. 2

TaËke A i B su od projekcijske ravni r redom na rastojawu 3 cm i 7 cm. Kolika je duæ u ina duæ u i AB ako je duæ u ina projekcije duæ u i na ravan r 4 cm? Koliki je ugao izmeu  prave AB i ravni r? слика 38

Obeleæimo sa Aʹ i Bʹ projekcije taËaka A i B na ravan r. »etvorougao AʹBʹBA je pravougli trapez Ëije su osnovice 3 cm i 7 cm, a kraÊi krak 4 cm. Duæ AB je duæi krak ovog trapeza i jednaka je 4 2 cm. Ugao izmeu prave AB i ravni r je 45° (sl. 38).

7 3

Odredi projekciju kvadrata ABCD na ravan r ako je bar jedan par wegovih stranica paralelan ravni r. б)

пример

слика 39 a)

D A

C в)

B A D'

C' B'

A' D' π

B B' C' π

Ako je ravan kvadrata paralelna sa ravni r, projekcija kvadrata je wemu podudaran kvadrat (sl. 39a). Ako je ravan kvadrata normalna na ravan r, projekcija kvadrata je duæ jednaka stranici kvadrata (sl. 39b). Ako je ravan kvadrata kosa prema ravni r, projekcija kvadrata je pravougaonik. Pri tome stranice AB i CD koje su paralelne ravni r projektuju se u pravoj veliËini, a stranice AD i BC C projektuju se u mawe duæi (sl. 39v).

Контролна питања

U kakvom su meusobnom poloæaju projektujuÊi zraci u ortogonalnom projektovawu? ©ta je ortogonalna projekcija taËke na ravan? Kako se konstruiπe ortogonalna projekcija taËke na ravan? ©ta je ortogonalna projekcija duæi na ravan? Kada je duæina ortogonalne projekcije duæi na ravan jednaka duæini te duæi? Moæe li duæina ortogonalne projekcije duæi na ravan da bude veÊa od duæine te duæi? ©ta je ortogonalna projekcija prave na ravan? Kada je ortogonalna projekcija prave na ravan taËka? ©ta je nagibni ugao prave prema ravni?

Задаци 1. ©ta mogu biti projekcije dve jednake i paralelne duæi na ravan? 2. Projekcije dve paralelne razliËite prave na ravan mogu biti: a) razliËite paralelne prave; b) prave koje se seku; v) dve taËke;

g) jedna prava.

Samo jedan odgovor je netaËan. Koji? 3. Projekcije dve prave, koje se seku, na ravan mogu biti: a) razliËite paralelne prave;

b) prave koje se seku;

v) dve taËke;

d) prava i taËka van we.

g) jedna prava;

Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora. 4. Projekcije dve prave, koje su mimoilazne, na ravan mogu biti: a) razliËite paralelne prave; b) prave koje se seku; v) dve taËke;

g) jedna prava.

Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora. 5. TaËke A i B su sa raznih strana ravni a, redom, na rastojawu 2 cm, odnosno 4 cm od ravni a. Ako je duæina projekcije AʹBʹ duæi AB na ravan a jednaka 12 cm, izraËunaj duæinu duæi MB, gde je M taËka duæi AB koja pripada ravni a. 6. JednakostraniËni trougao ABC, AB = 4 cm, nalazi se u ravni koja seËe ravan r po pravoj AB. IzraËunaj obim i povrπinu trougla AʹBʹCʹ, koji je projekcija trougla ABC na ravan r. Ravni ABC i r grade ugao od: a) 30°;

b) 45°;

v) 60°.

7. Kada je projekcija kruga: a) krug; b) duæ jednaka preËniku kruga?

2.6. Полиедар Geometrijska tela smo upoznali joπ od prvog razreda. UoËili smo da je geometrijsko telo deo prostora ograniËen sa svih strana nekim povrπima. „Granica“ koja razdvaja deo prostora koji pripada geometrijskom telu (unutraπwu oblast) od ostalog dela prostora (spoqaπwa oblast) naziva se povrπ geometrijskog tela. Povrπ geometrijskog tela i wegova unutraπwa oblast zajedno Ëine geometrijsko telo. Povrπ geometrijskog tela moæe da bude sastavqena od delova ravni ili od delova krivih povrπi. Geometrijsko telo Ëija je povrπ sastavqena od konaËno mnogo mnogouglova naziva se poliedar. Pri tome, dva mnogougla imaju najviπe jednu zajedniËku stranicu, tri ili viπe mnogouglova imaju najviπe jedno zajedniËko teme. Na primer, kocka i kvadar su poliedri.

б)

в)

г)

д)

слика 40

пример

Koja su od geometrijskih tela prikazanih na slici 40 poliedri?

Poliedri su prikazani na slici 40 pod b, v, g.

Nabroj temena, ivice i strane poliedra prikazanog na slici 41.

пример

Mnogouglovi koji Ëine povrπ poliedra nazivaju se strane poliedra. Mnogouglovi koji Ëine susedne strane poliedra imaju zajedniËku stranicu koja se naziva ivica poliedra. Ako tri ili viπe strana poliedra (mnogouglova) imaju zajedniËku taËku, ta taËka je teme poliedra. Duæ Ëije su krajwe taËke dva temena poliedra koja nisu na istoj strani naziva se dijagonala poliedra.

Temena su A, B, ___, D, ___, ___ . Ivice su AB, ____, ____, AD, ___ ...

слика 41

C D E

Strane su ABC, ABED,___, ___, ... B

Koliko najmawe mnogouglova Ëini povrπ poliedra? Koliko temena i ivica ima taj poliedar?

пример

Najmawe Ëetiri mnogougla mogu Ëiniti poliedarsku povrπ. Tom povrπi je odreen poliedar sa Ëetiri strane, Ëetiri temena i πest ivica (sl. 42).

слика 42

Kao i mnogouglovi i poliedri mogu biti konveksni i nekonveksni. Poliedar je konveksan ako sadræi svaku duæ Ëije mu krajwe taËke pripadaju. Mi Êemo se baviti samo nekim konveksnim poliedrima.

Koji su poliedri, prikazani na slici 43, konveksni? б)

в)

г)

пример

слика 43

Konveksan poliedar prikazan je na slici 43a.

Ako povrπ poliedra „iseËemo“ duæ nekih ivica tako da sve strane poliedra mogu da budu u jednoj ravni, dobijamo jednu figuru sastavqenu od mnogouglova, koja se zove mreæa poliedra.

Koja figura je mreæ e a datog poliedra?

пример

слика 44

Mreæa datog poliedra je na slici 44a.

б)

Контролна питања

©ta je geometrijska figura? ©ta je konveksan mnogougao? ©ta je geometrijsko telo? Od kakvih figura je sastavqena povrπ poliedra? Da li postoji poliedar sa tri strane? Da li poliedar moæe imati tri temena? Koliko strana, ivica, temena ima kocka?

Задаци 1. Da li postoji poliedar Ëija povrπ je sastavqena od kvadrata?

слика 45

2. Da li poliedar moæe imati osam ivica? D

3. Od kojih mnogouglova je sastavqena povrπ poliedra na slici 45? Koliko strana, ivica i temena ima taj poliedar? Koliko dijagonala ima taj poliedar?

4. Koji su poliedri prikazani na slici 46 konveksni? слика 46

б)

в)

г)

5. Ravnima se odseku delovi kocke kao na slici 47. Koliko temena, strana i ivica ima nastalo telo? слика 47

слика 48

6. Koliko temena, ivica i strana ima poliedar prikazan na slici 48?

U Ëetvrtom, petom i πestom razredu reπavali smo jednaËine i nejednaËine u skupu prirodnih, a zatim i u skupu celih i racionalnih brojeva koriπÊewem osobina raËunskih operacija. U sedmom razredu upoznali smo osnovna svojstva realnih brojeva i pojam racionalnog algebarskog izraza. SteËena znawa i umewa o jednaËinama i nejednaËinama i racionalnim algebarskim izrazima i iskustva vezana za reπavawe jednaËina i nejednaËina i transformacije racionalnih algebarskih izraza iskoristiÊemo da detaqnije upoznamo pojmove linearne jednaËine i nejednaËine, wihove ekvivalentne transformacije, reπavawe i mnogobrojne primene.

3.1. Појам једначине

пример

U prethodnim razredima o jednaËinama smo govorili kao o jednakostima koje sadræe nepoznatu. U redovima koji slede baviÊemo se detaqnijim razmatrawem pojma jednaËine.

U petom i πestom razredu reπavali smo jednaËine 2xx + 5 = 13, 3a ‡ 5 = 16, 95 ‡ 7cc = 36... PrimeÊujemo da su 2xx + 5, 13, 3a ‡ 5, 16, 95 ‡ 7c, 36 ... algebarski racionalni izrazi i da su meusobno povezani znakom jednakosti.

Dati su racionalni algebarski izrazi: 3 + 8, 10 + 1 i 2xx + 5. ©ta se dobija ako date racionalne algebarske izraze meusobno  poveæemo znakom jednakosti? Ako date racionalne algebarske izraze meusobno poveæemo znakom jednakosti, dobiÊemo matematiËke objekte, tj. jednakosti: 3 + 8 = 10 + 1, 3 + 8 = 2xx + 5 i 10 + 1 = 2xx + 5. Prva jednakost 3 + 8 = 10 + 1 je numeriËka jednakost, jer sadræi samo realne brojeve (konstante) 3, 8, 10 i 1 i ne sadræi nijednu nepoznatu (promenqivu) i taËna je, jer je 3 + 8 = 11 = 10 + 1.

2 пример

Druga i treÊa jednakost sadræe realne brojeve 2 i 5, odnosno 10 i 1 i nepoznatu (promenqivu) x. Za neke vrednosti nepoznate x (npr. za x = 0 i x = 7) dobijene jednakosti su netaËne, a za neke vrednosti nepoznate x (npr. x = 3) taËne, jer je 3 + 8 = 10 + 1 = 11 ! 5, 3 + 8 = 10 + 1 = 11 ! 2 · 7 + 5 = 19, a 3 + 8 = 10 + 1 = 11 = 2 · 3 + 5. Prva jednakost je primer taËne numeriËke (brojevne) jednakosti, a druga i treÊa jednakost su primeri jednaËina.

JednaËina po nepoznatoj (promenqivoj) x je jednakost oblika L = D , gde su L i D algebarski racionalni izrazi od kojih bar jedan sadræi nepoznatu (promenqivu) x. Izraze L i D zvaÊemo leva, odnosno desna strana jednaËine. Reπewe jednaËine L = D je svaki realan broj xo za koji je jednakost L = D taËna. Reπiti jednaËinu L = D znaËi odrediti skup svih wenih reπewa. JednaËinu oblika x = xo smatraÊemo jednaËinom u reπenom obliku.

пример

Dati su izrazi: L = 5xx ‡ 6, D1 = 3xx + 4 i D2 = x2. Da li su jednakosti L = D1 i L = D2 jednaËine? Jednakost L = D1, tj. jednakost 5xx ‡ 6 = 3x + 4 jeste jednaËina, jer sadræi promenqivu (nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena jednakost, tj. jednaËina taËna za neke vrednosti nepoznate x (na primer za x = 5) i netaËna takoe za neke vrednosti x (na primer za x = 0). Za realan broj 5 kaæemo da je reπewe jednaËine 5x ‡ 6 = 3x + 4, jer je jednakost 5 · 5 ‡ 6 = 3 · 5 + 4 taËna. Za broj 0 kaæemo da nije reπewe jednaËine, jer jednakost 5 · 0 ‡ 6 = 3 · 0 + 4 nije taËna. Skup S = {5} jeste skup reπewa date jednaËine. Jednakost L = D2, tj. jednakost 5xx ‡ 6 = x2, takoe je jednaËina, jer sadræi i promenqivu (nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena jednakost, tj. jednaËina taËna za neke vrednosti nepoznate x (na primer za x = 2 i x = 3) i netaËna takoe za neke vrednosti x (na primer za x = 0, x = ‡2). Brojevi 2 i 3 su reπewa jednaËine 5x ‡ 6 = x2, jer je 5 · 2 ‡ 6 = 4 = 22 i 5 · 3 ‡ 6 = 9 = 32, a broj 1 nije reπewe date jednaËine, jer je 5 · 1 ‡ 6 = ‡ 1 ! 12. Skup S = {2, 3} je skup reπewa date jednaËine.

x2 - 4 =0? x-2 Data jednaËina definisana je za x ! 2, jer smo ranije (u VII razredu) videli da algebarski racionalan razlomak postoji ako je wegov imenilac razliËit od 0. Oblast u kojoj x2 - 4 postoji algebarski racionalan izraz , tj. domen date jednaËine je skup M = R\{2}. x-2 Prema tome, iako je x2 ‡ 4 = (x ‡ 2)(xx + 2) = 0 za x = 2 i x = ‡2, jednaËina ima samo jedno reπewe x = ‡2, jer drugo „reπewe“ x = 2 ne pripada domenu date jednaËine.

пример

Koliko reπewa ima jednaËina

Domen jednaËine L = D po nepoznatoj x je skup M svih realnih brojeva za koje postoje algebarski racionalni izrazi L i D. Takve vrednosti nazivamo dopustivim vrednostima nepoznate (promenqive) x. Skup reπewa date jednaËine L = D Ëine svi realni brojevi iz domena M date jednaËine za koje je jednakost L = D taËna.

пример

Odredi skupove reπewa jednaËina: a) 7xx ‡ 13 = 5x + 3 + 2x ‡ 16; b) 6x + 11 = 5x ‡ 7 + x + 2. JednaËina 7xx ‡ 13 = 5x + 3 + 2x ‡ 16 je isto πto i jednaËina 7x ‡ 13 = 7x ‡ 13. Dobijena jednaËina ima beskonaËno mnogo reπewa, jer svaki realan broj zadovoqava dobijenu jednakost 7xx ‡ 13 = 7x ‡ 13. JednaËina 7x ‡ 13 = 7x ‡ 13 naziva se identitet i wen skup reπewa je S = R. JednaËina 6xx + 11 = 5x ‡ 7 + x + 2 je isto πto i jednaËina 6x + 11 = 6x ‡ 5. Dobijena jednaËina 6xx + 11 = 6x ‡ 5 nema reπewa, jer ne postoji nijedan realan broj koji zadovoqava dobijenu jednakost. JednaËina 6xx + 11 = 6x ‡ 5 naziva se nemoguÊa jednaËina i wen skup reπewa je S = Q.

JednaËina po nepoznatoj x oblika L = L, gde je L algebarski racionalni izraz koji sadræi nepoznatu (promenqivu) x, naziva se identitet. Identitet ima beskonaËno mnogo reπewa. Skup reπewa jednaËine koja predstavqa identitet jednak je domenu jednaËine (identiteta). JednaËina koja nema reπewa tj. Ëiji je skup reπewa prazan naziva se nemoguÊa jednaËina.

Контролна питања

©ta je numeriËka jednakost? Koju jednakost nazivamo jednaËinom? ©ta je reπewe jednaËine? ©ta je domen date jednaËine? ©ta je skup reπewa jednaËine? Kada data jednakost predstavqa identitet? ©ta je nemoguÊa jednaËina? Koliko reπewa ima nemoguÊa jednaËina?

Задаци 1. Koje od datih jednakosti su numeriËke (brojevne) jednakosti: a) 16 : 2 = 11 ‡ 3;

b) 10 ‡ 3a = 1;

v) 81 = 52 + 55;

g) 10 · 8 = 200 : 20 + 70?

2. Dati su izrazi: M = 12 : 4, N = 9 ‡ 6 i P = 3y ‡ 15. Koliko numeriËkih jednakosti, a koliko jednaËina se dobija ako date izraze poveæemo znakom jednakosti? 3. Dati su izrazi: A = 4z ‡ 9, B = 3z + 12 i C = 6 ‡ 11z. Koliko jednaËina se moæe dobiti meusobnim povezivawem datih izraza znakom jednakosti? 4. Napiπi jednu numeriËku jednakost i jednu jednaËinu. 5. Da li je reπewe jednaËine 5a ‡ 9 = 2a + 3 elemenat skupa S = {‡2, ‡1, 0, 1, 2, 3, 4}? 8 6. Dokaæi da je 4 reπewe jednaËine = 6 - x . Da li je 2 reπewe date jednaËine? Da li x je 3 reπewe date jednaËine? 7. Odredi skup reπewa jednaËina: a) 17b ‡ 3 = 8b ‡ 3 + 9b;

b) 10m + 17 ‡ 3m = 7m ‡ 5.

Koja je od datih jednaËina identitet, a koja nemoguÊa? 8. Napiπi primere bar dva identiteta i dve nemoguÊe jednaËine. 9. Da li su skupovi reπewa jednaËina 3x + 7 ‡ 2x = 12 + x ‡ 5 i

3x - 18 = 3 jednaki? x-6

3.2. Еквивалентне трансформације једначина U prethodnim razredima jednaËine smo reπavali koriπÊewem osobina algebarskih operacija. Postavqa se pitawe da li je moguÊ racionalniji pristup ovom problemu, s obzirom na to da smo u meuvremenu detaqnije upoznali skup realnih brojeva i wegove osobine. Konkretno, koristiÊemo sledeÊa veÊ poznata svojstva realnih brojeva.

• Ako su a, b i c realni brojevi i ako je a = b i b = c, onda je a = c. • Ako su a, b i c realni brojevi, onda je a = b, ako i samo ako je a + c = b + c. • Ako su a, b i c (c ! 0) realni brojevi onda je a = b, ako i samo ako je a · c = b · c.

Navedena pravila vaæe i ako se umesto realnih brojeva uzmu algebarski izrazi. JednaËine Ëiji skupovi reπewa su jednaki nazivaÊemo ekvivalentnim jednaËinama.

пример

Reπi jednaËinu: 8xx ‡ 21 = 7xx + 9. Za jednakost realnih brojeva vaæi osobina saglasnosti sa sabirawem, tj. iz jednakosti a = b sledi i da je a + c = b + c, πto znaËi da se jednakost ne mewa ako se i na levu i na desnu stranu jednakosti doda isti realan broj. Tako jednaËina 8xx ‡ 21 = 7xx + 9 dodavawem broja 21 i na levu i na desnu stranu jednakosti postaje 8x ‡ 21 + 21 = 7xx + 9 + 21 ili 8x = 7x + 9 + 21. PrimeÊujemo da je u suπtini pri prelasku sa leve na desnu stranu jednakosti broj ‡21 promenio znak. Ako sada i na levu i na desnu stranu nove jednakosti dodamo broj ‡7x, dobija se jednakost 8xx ‡ 7x = 7x + 30 ‡ 7x, tj. 8xx ‡ 7x = 30 i konaËno x = 30. Opet primeÊujemo da je efekat prelaska broja 7x sa desne na levu stranu jednakosti u stvari promena znaka broja 7x. ZakquËujemo da smo jednaËinu 8xx ‡ 21 = 7x + 9 transformisali u jednaËinu x = 30, koja predstavqa jednaËinu u reπenom obliku. JednaËine 8xx ‡ 21 = 7x + 9 i x = 30 imaju jednak skup reπewa S = {30} πto se moæe i proveriti, jer je 8 · 30 ‡ 21 = 219 i 7 · 30 + 9 = 219.

2 пример

3 пример

x x +3 = +1. 7 5 Ako levu i desnu stranu jednaËine pomnoæimo sa NZS (7, 5) = 7 · 5 = 35, dobija se jednax x kost 35 ` + 3 j 35 ` + 1 j ili 5xx + 105 = 7x + 35. Dodavawem izraza ‡ 5x ‡ 35 i levoj 7 5 i desnoj strani jednakosti dobija se 5xx + 105 ‡ 5x ‡ 35 = 7x + 35 ‡ 5x ‡ 35 ili 105 ‡ 35 = 7xx ‡ 5x, tj. 70 = 2x. Mnoæewem i leve i desne strane dobijene jednaËine sa 1 , tj. deqewem i leve i desne strane sa 2 dobija se jednaËina 35 = x ili x = 35. Proverom 2 zakquËujemo da vaæi i obrnuto, tj. ako je x = 35, onda je 35 : 7 + 3 = 8 i 35 : 5 + 1 = 8. Reπi jednaËinu:

=4. 7 Za jednakost realnih brojeva vaæi osobina saglasnosti sa mnoæewem, tj. iz jednakosti a = b, ako je c ! 0, sledi da je a · c = b · c, i obratno, πto znaËi da se jednakost ne mewa ako se i leva i desna strana jednakosti pomnoæe istim realnim brojem ra5x 3 zliËitim od nule. Tako jednaËina = 4 mnoæewem i leve i desne strane jedna7 5x 3 kosti sa 7 postaje 7 · = 4 · 7 ili 5xx + 3 = 4 · 7 = 28. Ako sada i levoj i desnoj 7 strani dobijene jednakosti dodamo broj ‡3, dobija se jednakost 5x + 3 ‡ 3 = 28 ‡ 3, tj. 5xx = 25. Ako sada i levu i desnu stranu jednakosti podelimo sa 3, dobija se 5xx : 5 = 25 : 5 5x 3 ili x = 5. PrimeÊuujemo da je jednaËina = 4 transformisana najpre u jed7 naËinu 5xx = 25, a potom i u jednaËinu x = 5, koja je u reπenom obliku. Polazna jednaËina, jednaËina 5xx = 25 i x = 5 imaju jednake skupove reπewa S = {5} πto se opet moæe proveriti, jer je (5 · 5 + 3) : 7 = 28 : 7 = 4. Odredi skup reπewa jednaËine:

JednaËine iz primera 1, 2 i 3 imaju oblik ax = b. JednaËine oblika ax = b (a i b su realni brojevi a x je nepoznata) ubuduÊe Êemo nazivati linearnim jednaËinama.

пример

Reπewe linearne jednaËine ax = b po nepoznatoj x jeste svaki realan broj x0 takav da je ax0 = b. JednaËine Ëiji su skupovi reπewa jednaki nazivaÊemo ekvivalentnim jednaËinama. Moæe se reÊi i da su dve jednaËine ekvivalentne ako su reπewa jedne istovremeno i reπewa druge, i obrnuto, reπewa druge istovremeno i reπewa prve jednaËine. Dve jednaËine su ekvivalentne i ako obe nemaju reπewa.

JednaËina 5xx ‡ 6 = 3xx + 4 jeste linearna jednaËina, jer se svodi na jednakost 2xx = 10. JednaËine x2 = 81, 5xx ‡ 6 = x2 i (2xx ‡ 6)2 = 0 nisu linearne veÊ kvadratne jednaËine (jer je najviπi stepen nepoznate x jednak 2). Kvadratne jednaËine ne mogu se svesti na oblik axx = b.* JednaËina (xx + 2)(x + 3) ‡ x2 = 7 sadræi nepoznatu x na stepenu 2, pa je kvadratna, ali se svodi na jednaËinu x2 + 2xx + 3x + 6 ‡ x2 = 7, tj. jednaËinu 5xx + 6 = 7, koja je linearna.

пример

Da li su jednaËine x = 6, x2 = 36 i 5xx ‡ 7 = 2x + 11 ekvivalentne? Prva jednaËina data je u reπenom obliku. Druga jednaËina ima reπewa 6 i ‡6, jer iz x2 = 36 sledi da je x2 ‡ 36 = (xx ‡ 6)(x + 6) = 0, odnosno x1 = 6 i x2 = ‡6. Pri tom je 62 = 36 i (‡6)2 = 36. TreÊa jednaËina 5xx ‡ 7 = 2x + 11 transformiπe se u 5x ‡ 2x = 11 + 7 ili 3xx = 18 i konaËno u x = 6, a proverom se dobija da je 5 · 6 ‡ 7 = 2 · 6 + 11. Dakle, skupovi reπewa datih jednaËina su: S1 = {6}, S2 = {6, ‡6} i S3 = {6}. Kako je S1 = S3 ! S2, to znaËi da su prva i treÊa jednaËina ekvivalentne, a druga nije sa wima ekvivalentna. Broj 6 je reπewe sve tri jednaËine, ali broj ‡6 nije, jer zadovoqava samo drugu, ali ne i prvu i treÊu jednaËinu. Iz prethodnih primera zakquËujemo da se reπavawe jednaËine L = D (gde su L i D racionalni algebarski izrazi) moæe pojednostaviti koriπÊewem tri, veÊ pomenuta, svojstva realnih brojeva, koja vaæe i za racionalne algebarske izraze. 1. Ako se u datoj jednaËini L = D jedan algebarski izraz ili neki wegov deo zameni izrazom koji je wemu jednak (za svako x iz domena M), dobija se jednaËina ekvivalentna datoj. 2. Ako se i levoj i desnoj strani jednaËine L = D doda isti algebarski izraz A (definisan na domenu M), dobija se jednaËina L + A = D + A koja je ekvivalentna datoj jednaËini. * Meutim,

kvadratne jednaËine se mogu reπiti svoewem na jednu ili viπe linearnih jednaËina (vidi primer 5).

3. Ako se leva i desna strana jednaËine L = D pomnoæe racionalnim algebarskim izrazom A (A ! 0, definisanom na domenu M), dobija se jednaËina L · A = D · A koja je ekvivalentna datoj jednaËini. Navedena svojstva realnih brojeva, tj. algebarskih racionalnih izraza, jednaËinu L = D transformiπu u niz jednaËina koje su ekvivalentne sa datom. Svojstva 1, 2 i 3 su ekvivalentne transformacije jednaËina. Reπavawe jednaËine L = D je postupak u kojem se koriπÊewem transformacija 1, 2 i 3, tj. ekvivalentnim transformacijama date jednaËine, i povoqnim izborom izraza A, posle konaËno mnogo koraka i konaËno mnogo ekvivalentnih jednaËina, dobija jednaËina ax = b (a ! 0), a odatle i jednaËina u reπenom obliku x = xo. Postupak kojim se iz date dobija jednaËina ax = b najËeπÊe se izvodi tako πto se izrazi koji sadræe nepoznatu izdvajaju na jednu stranu jednakosti (na primer levu), a izrazi koji sadræe konstante na drugu stranu jednakosti (na primer desnu). Na taj naËin se iz jednaËine L = D dobija jednaËina x = xo. Lakπi deo posla je da se dokaæe obrnuto, da iz x = xo sledi da je L = D. Time je dokaz ekvivalentnosti jednaËina L = D i x = xo zavrπen.

Reπi jednaËinu 3xx ‡ 6 = 9xx + 12. Tok reπavawa jednaËine 3xx ‡ 6 = 9xx + 12 poπtovawem navedenih pravila i veÊ upoznatih svojstava operacije kraÊe zapisujemo: (data jednaËina)

3xx ‡ 6 ‡ 9x = 9x + 12 ‡ 9x

(svojstvo 2 ‡ dodavawe i levoj i desnoj strani jednaËine izraza ‡9x)

‡6xx ‡ 6 = 12

(svojstvo 1 ‡ zamena izraza 3x ‡ 9x izrazom ‡6x i izraza 9xx ‡ 9x nulom)

‡6xx ‡ 6 + 6 = 12 + 6

(svojstvo 2 ‡ dodavawe i levoj i desnoj strani jednaËine 6)

‡6xx = 18

(svojstvo 1 ‡ zamena izraza ‡ 6 + 6 nulom i izraza 12 + 6 izrazom 18)

пример

3xx ‡ 6 = 9x + 12

- 6x · c x = ‡ 3.

1 1 m = 18 · c - m 6 6

(svojstvo 3 ‡ mnoæewe i leve i desne strane jednaËine 1 izrazom - ) 6 (svojstvo 1)

UbuduÊe pravila po kojima smo vrπili ekvivalentne transformacije jednaËina neÊemo konkretno navoditi, veÊ Êemo ih koristiti, a objaπwewe podrazumevati.

Контролна питања

Koje jednaËine nazivamo linearnim? Kada su dve jednaËine ekvivalentne? Koje su ekvivalentne transformacije jednaËina? Da li su jednaËine x = 0 i x2010 = 0 ekvivalentne?

Задаци 1. Reπi jednaËine:

a) x + 7 = 3,

b) y ‡ 4 = 13,

v) 4 ‡ z = 9.

n 6 v) =- 18 . =- 8 , 5 p 3. Reπi jednaËine: a) 3x + 15 = 2x + 7, b) 14 ‡ 5a = 9 ‡ 6a, v) 4b + 27 = 27 ‡ 11b.

2. Odredi reπewa jednaËina:

a) 7m = 35,

4. Odredi reπewa jednaËina: a) 5x ‡ 2 = 13,

b) 10 ‡ 3a = 1,

v) 7 = 5 ‡ 6b,

g) 18 = 3c ‡ 6.

5. Reπi jednaËine: a) 7x + 2 = 5x + 8, b) 4 ‡ 3y = 6 ‡ 4y, v) 1 ‡ (2z + 3) = z + 5. 6. Odredi reπewa jednaËina: y y 1 x z z b) 3 + = 2 + , v) + 5 = 3 - . a) 1 - = , 3 2 6 4 5 4 7. Napiπi bar jednu linearnu jednaËinu Ëije je reπewe: a) ‡ 7,

b) 4,

g) 0,75.

8. Reπi jednaËine: a+3 = 2a - 12 , 5 9. Reπi jednaËine: a)

b) 1 + b -

2+b 3+b , = 5 4

v) 1 - c -

1 - 2c 1 - 3c . = 7 2

1+y 1+y x x x 1-z 1-z = b) 1 + y + , v) 1 - z . - = , = 4 5 5 2 3 2 7 10. Reπi jednaËine i utvrdi koja od wih nema reπewe, a koja ima beskonaËno mnogo reπewa: a)

x-3 x-1 x-3 , = 5 2 10

v) (x ‡ 5)2 ‡ (x + 4)2 = 3 · (5 ‡ 6x),

b) x · (x ‡ 2) = x · (2 + x) ‡ 4x, g) 1 +

x-2 x+2 . =15 5

11. Da li su ekvivalentne jednaËine: a) x + 16 = 4x + 8 i

x - 1 = 2x - 5 , 2

b) 3x ‡ 2 = 4x + 1 i

x x +2 = -1? 3 4

3.3. Примена линеарних једначина

пример

Matematika je nauka koja ima πiroku primenu i skoro da ne postoji oblast qudskog delovawa u kojoj nije prisutna. Primeri koji slede imaju za ciq da pokaæu kako se neki problemi iz svakodnevnog æivota, drugih nauka i drugih oblasti matematike mogu „prevesti“ na jezik linearnih jednaËina i zatim uspeπno reπiti koriπÊewem ekvivalentnih transformacija jednaËina.

Milan je kupio uxbenik matematike i platio ga je 378 dinara. Porez na dodatu vrednost ((PDV) za kwige u Republici Srbiji iznosi 8%. Koliko novca pripada izdavaËu, a koliko novca ide u buxet Republike Srbije? Neka je u neto cena uxbenika, tj. iznos koji pripada izdavaËu. Na tu cenu se dodaje 8% u koliko iznosi PDV (zato se i zove porez na dodatu vrednost). Dakle, (100 + 8)% u = 378, ili 1,08 u = 378. Dobijena jednaËina je linearna po nepoznatoj u i tada je u = 378 : 1,08 = 37800 : 108 = 350. Prema tome, od plaÊenih 378 dinara izdavaËu pripada 350, a buxetu Republike Srbije 378 ‡ 350 = 28 dinara od cene uxbenika.

пример

U bazenu se nalazi 600 litara vode temperature 50oC. Koliko litara vode Ëija je temperatura 18oC treba sipati u bazen da bi temperatura meπavine bila pogodna za kupawe i iznosila 24oC? Ako nepoznatu koliËinu vode oznaËimo sa x, onda je jasno da Êe ukupna koliËina vode biti 600 + x. Kako je koliËina toplote koju sadræi svaka pojedinaËna komponenta meπavine jednaka koliËini toplote meπavine, dobija se jednaËina 600 · 50 + x · 18 = (600 + x) · 24. Dobijena linearna jednaËina po nepoznatoj x ekvivalentna je sa jednaËinom 30 000 + 18xx = 14 400 + 24x. Reπavawem jednaËine dobija se 18xx ‡ 24x =14 400 ‡ 30 000, tj. ‡ 6x = ‡ 15 600. Deqewem i leve i desne strane jednaËine sa (‡6) dobija se da je x = 2600, πto znaËi da je u bazen trebalo sipati 2 600 litara vode temperature 18oC. Proizvodwa nakita spada u najstarije zanate od postanka civilizacije. Danas se koriste dva naËina oznaËavawa koliËine zlata u nakitu, i to: finoÊa zlata izraæena u karatima i finoÊa zlata izraæena u hiqaditim delovima mase. KoliËina zlata od jednog karata predstavqa teæinu zlata od 41,66 grama u jednom kilogramu metala, ili 1000 grama Ëistog zlata iznosi 24 karata. Tako 10 karata predstavqa 416,6 g/kg; 14 karata je 585 g/kg, i 18 karata iznosi 750 g/kg. Drugi naËin obeleæavawa predstavqa koliËinu zlata izraæenu u hiqaditim delovima mase, na primer: 585; 750 ili 333/1000.

3 пример

4 пример

Koliko karata ima zlato koje se dobije kada se pomeπa 2 kgg zlata finoÊe 17 karata i 3 kgg zlata finoÊe 22 karata? Neka je dobijeno 5 kg zlata finoÊe ff. Tada je 2 · 17 + 3 · 22 = 5f 5f. Dobijena je linearna jednaËina po nepoznatoj ff. Dakle, 34 + 66 = 100 = 5f, pa je f = 20. ZnaËi da je dobijeno zlato finoÊe 20 karata.

Jedan putnik-peπak iz Beograda do Varπave stigne za 55 dana, a drugi iz Varπave u Beograd za 66 dana. Ako oba krenu u isti Ëas, jedan drugom u susret, posle koliko dana Êe se sresti? 1 1 Prvi putnik za jedan dan pree deo puta, a drugi putnik za jedan dan pree 55 66 1 1 + deo puta. Dakle, wih dvojica za jedan dan preu delova puta. Ako su putni55 66 1 1 + ci do susreta putovali y dana, onda je yc m = 1 . Mnoæewem i leve i desne 55 66 strane jednaËine sa NZS (55, 66) = 330 dobija se linearna jednaËina po nepoznatoj y, tj. jednaËina 6y 6y + 5y = 11y = 330, pa je y = 330 : 11 = 30 dana. To znaËi da su se putnici sreli posle 30 dana.

Да ли знате? Na nadgrobnom spomeniku Ëuvenog antiËkog matematiËara (iz III veka) Diofanta Aleksandrijskog piπe: „PutniËe! Ovde su sahraweni zemni ostaci Diofanta. Brojevi Êe reÊi, o Ëuda, koliki je vek wegovog æivota bio. Divno mu detiwstvo uze πesti deo. A kad mu proteËe æivota, joπ dvanaesti deo, pokri se brada wegova maqama muæevnim. Sedmi deo Diofant u braku bez dece provede. A kad proteËe joπ godina pet, sreÊnim ga uËini roewe prekrasnog prvenca sina, kome je sudbina dala samo polovinu prekrasnog i svetlog æivota oËevog. I u dubokom bolu starac æivota zemnog doËeka kraj, poæivevπi Ëetiri godine poπto izgubi sina. Reci, u kojoj godini æivota doËeka smrt Diofant?“ Ako broj Diofantovih godina obeleæimo sa x, onda je iz teksta zadatka jasno da x x x x se moæe formirati sledeÊa jednaËina: + + + 5 + + 4 = x . Mnoæewem 6 12 7 2 i leve i desne strane dobijene jednaËine sa najmawim zajedniËkim sadræaocem brojeva 6, 12, 7 i 2, tj. brojem 84 dobija se ekvivalentna linearna jednaËina 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x. Sledi da je 68x + 756 = 84x ili 756 = 84x ‡ 75x = 9x. KonaËno, x = 756 : 9 = 84. To znaËi da je Diofant æiveo 84 godine.

5 пример

Ako se prirodan broj a podeli prirodnim brojem b, koliËnik je 5 i ostatak 10. O kojim prirodnim brojevima se radi, ako je wihova razlika 1610? Iz uslova zadatka je a = 5b + 10. Tada je wihova razlika a ‡ b = 5b + 10 ‡ b = 1610. Dakle, 4b + 10 = 1610, pa je 4b = 1610 ‡ 10 = 1600 i b = 1600 : 4 = 400. Traæeni brojevi su b = 400, i a = 5b + 10 = 2010. Zaista 2010 pri deqewu sa 5 daje koliËnik 400 i ostatak je 10.

Iz prethodnih primera moæe se zakquËiti da reπavawe problemskih zadataka koriπÊewem jednaËina, tj. zadataka u kojima nije direktno data jednaËina koju treba reπiti (bez obzira na to da li se radi o reπavawu konkretnih i æivotnih situacija, problema iz drugih nauka ili problema iz raznih matematiËkih disciplina) ima nekoliko vaænih faza: 1. razumevawe problema, tj. razdvajawe πta je u zadatku dato, a πta se traæi, 2. racionalno odabirawe nepoznate (promenqive) i taËno definisawe πta ona predstavqa, 3. modelirawe problema, tj. prevoewe uslova datih u problemskom zadatku na jezik jednaËina, 4. reπavawe dobijene jednaËine koriπÊewem upoznatih ekvivalentnih transformacija, 5. provera da li je dobijeno reπewe taËno, da li odgovara svim uslovima datim u problemskom zadatku i da li odgovara realnosti.

Задаци 2 , dobija se broj 4a. Odredi broj a. 5 2. Zbir Ëetiri uzastopna prirodna broja je 2010. O kojim brojevima je reË? 1. Ako se broju a doda broj

3. Ako Branko kupi 4 sveske, preostane mu 8 dinara. Ako bi æeleo da kupi 5 svezaka, nedostaje mu 12 dinara. Koliko koπta sveska? Koliko novca ima Branko? 4. Stub je ukopan u zemqu treÊinu svoje duæine, polovina duæine je u vodi, a 2 m viri izvan vode. Kolika je duæina stuba? 5. Ako se sa 240 kg sena 5 ovaca moæe hraniti 8 dana, koliko je sena potrebno da se stado od 80 ovaca hrani 15 dana? 6. Letelo je jato gusaka i sretne usamqenu gusku koja ih pozdravi reËima: „Zdravo, 100 gusaka“. Na to guska predvodnik jata odgovori: „Da nas je joπ ovoliko i poloviia i Ëetvrtina i da nam se ti pridruæiπ, bilo bi nas taËno 100“. Koliko gusaka je bilo u jatu?

7. Æarko bi neki posao zavrπio za 12 dana, Leka za 15 dana, a Raπa za 20 dana. Koliko Êe posla ostati nedovrπeno ako sva trojica rade zajedno 4 dana? 8. Zlatar Zlatko æeli da pomeπa 5 kg zlata finoÊe 16 karata sa izvesnom koliËinom zlata finoÊe 21 karat da dobije zlato finoÊe 18 karata. Koliko mu zlata finoÊe 21 karat za to treba? 9. Dva deËaka voze bicikle. Mlai svakog minuta prelazi 120 m, a stariji 150 m. Posle koliko minuta Êe stariji deËak stiÊi mlaeg ako je mlai poπao jedan minut ranije? 10. U odreenom trenutku voæwe automobilista Zoran je rekao da je preπao 9 km viπe 7 od celog puta, a wegov saputnik Jevta je dodao da su preπli 8 km mawe od 5/6 9 celog puta. Kolika je duæina puta? 11. Obim rukometnog igraliπta je 120 m, a duæina je za 20 m veÊa od πirine. Kolika je povrπina rukometnog igraliπta? 12. Povrπina kruæne biciklistiËke staze je 525π m2, a πirina staze je 5 m. Slobodan i Miπko voze bicikl tako πto Slobodan vozi spoqaπwim, a Miπko unutraπwim rubom staze. Koliko metara u svakom „krugu“ viπe pree Slobodan nego Miπko?

3.4. Неједначине

пример

U prethodnim razredima pored jednaËina, reπavali smo i nejednaËine. Ciq ove nastavne jedinice je da se detaqnije definiπu pojam nejednaËine i pojmovi reπewa i skupa reπewa nejednaËine.

U petom i πestom razredu reπavali smo nejednaËine 2xx + 5 < 13, 3a ‡ 5 H 16, 95 ‡ 7cc > 36. PrimeÊujemo da su 2xx + 5, 13, 3a ‡ 5, 16, 95 ‡ 7c, 36... algebarski racionalni izrazi i da su ti izrazi meusobno povezani znacima nejednakosti: <, G, H, >.

Dati su izrazi: 3 + 4, 10 ‡ 8 i 6xx ‡ 5. ©ta se dobija ako date izraze meusobno  poveæemo jednim od nejednakosnih znakova (>, <, H, G) ? Ako date izraze poveæemo meusobno jednim od znakova nejednakosti, npr. >, dobiÊemo matematiËke objekte, tj. neke od moguÊih nejednakosti: 3 + 4 > 10 ‡ 8, 3 + 4 > 6xx ‡ 5 i 6x ‡ 5 > 10 ‡ 8.

2 пример

Prva nejednakost je numeriËka, jer sadræi samo realne brojeve (konstante) 3, 4, 8 i 10, i ne sadræi nijednu nepoznatu (promenqivu) i taËna je, jer je 3 + 4 = 7 > 10 ‡ 8 = 2. Druga i treÊa nejednakost sadræe realne brojeve 3, 4, 5 i 6, odnosno 10, 8, 6 i 5 i nepoznatu (promenqivu) x i za neke vrednosti nepoznate x su taËne, a za neke vrednosti nepoznate x su netaËne. Prva jednakost je primer taËne numeriËke (brojevne) nejednakosti, a druga i treÊa nejednakost su primeri nejednaËina.

NejednaËina po nepoznatoj (promenqivoj) x je nejednakost oblika L > D , gde su L i D algebarski racionalni izrazi od kojih bar jedan sadræi nepoznatu x. Umesto znaka > moæemo ravnopravno biti upotrebqen i neki od preostalih nejednakosnih znakova (>, G, H), πto se podrazumeva i kod narednih opπtih razmatrawa. Reπewe nejednaËine L > D po nepoznatoj x je svaki realan broj x0 za koji je nejednakost L > D taËna. Svi realni brojevi za koje je nejednakost L > D taËna Ëine skup reπewa nejednaËine L > D . NejednaËina x > x0 predstavqa nejednaËinu u reπenom obliku.

пример

Dati su izrazi: L = 5xx ‡ 6 i D = 3xx + 4. Da li je nejednakost L < D nejednaËina? Da li su brojevi 3 i 6 reπewa date nejednaËine? Nejednakost L < D, tj. nejednakost 5xx ‡ 6 < 3x + 4 jeste nejednaËina, jer sadræi promenqivu (nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena nejednakost, tj. nejednaËina taËna za neke vrednosti nepoznate x (npr. za x = 3) i netaËna takoe za neke vrednosti x (npr. za x = 6). Za realan broj 3 kaæemo da je reπewe nejednaËine 5x ‡ 6 < 3x + 4, jer je nejednakost 5 · 3 ‡ 6 = 9 < 3 · 3 + 4 = 13 taËna. Za broj 6 kaæemo da nije reπewe nejednaËine, jer nejednakost 5 · 6 ‡ 6 = 24 < 3 · 6 + 4 = 22 nije taËna. Skup reπewa date nejednaËine S je skup svih realnih brojeva x za koje je 5x ‡ 8 < 3x + 6.

пример

Koliko reπewa imaju nejednaËine: a) 7xx + 9 ‡ 4x > x ‡ 5 + 2x, b) 5xx + 1 < 4x ‡ 9 + x?

NejednaËina 7xx + 9 ‡ 4x > x ‡ 5 + 2x svodi se na nejednakost 3x + 9 > 3x ‡ 5 koja je taËna za svaki realan broj, jer je 9 > ‡5 za ma koji realan broj x. Dakle, skup reπewa date nejednaËine je S = R. Iz nejednaËine 5xx + 1 < 4x ‡ 9 + x sledi nejednakost 5x + 1 < 5x ‡ 9 koja nije taËna ni za jedan realan broj, jer je za svaki realan broj x netaËna relacija 1 < ‡9. To znaËi da je skup reπewa date nejednaËine S = Q.

пример

Date su nejednaËine u reπenom obliku: a) ‡2 < x < 4, b) 0 G x < 7, v) ‡ 9 < x G 3, g) ‡ 5 G x G 6, d) x > 1, ) x G ‡3. Prikaæi skupove reπewa datih nejednaËina grafiËki i zapiπi skupove reπewa u obliku odgovarajuÊih intervala. SliËne zadatke smo veÊ reπavali u VII razredu kada smo upoznali pojmove otvorenog, zatvorenog i poluotvorenog intervala. Dogovaramo se da pojmove „beskonaËno“ i „minus beskonaËno“ simboliËki oznaËavamo sa 3, odnosno ‡3. Tada su reπewa datih jednaËina predstavqena sledeÊim grafiËkim prikazima, tj. intervalima: _______(____________________)________ | ‡2 $ #4 0 S = (‡ 2, 4)

_[___________________)_______ 0$ #7 S = [ 0, 7)

_______(____________________]_________ _______[______________]_______ | | ‡9$ #3 ‡5$ $6 0 0 S = (‡ 9, 3] S = [‡5, 6] ______(____________________)______ __________________________]_________ | | # ‡3 0 1$ 0 S = (1, 3) S = (‡3, ‡3]

Otvoreni interval (a, b) = {x| x ! R i a < x < b}; Poluotvoreni interval [a, b) = {x | x ! R i a G x < b}; Poluotvoreni interval (a, b] = {x | x ! R i a < x G b}; Zatvoreni interval [a, b] = {x | x ! R i a G x G b}.

x+2 H0. 2 x Kao i kod jednaËina i kod nejednaËina moramo posmatrati skup dopustivih vrednosti nepoznate x, tj. skup realnih brojeva za koji postoje algebarski racionalni izrazi koji grade nejednaËinu. Izraz na levoj strani nejednaËine ne postoji ako je wegov imenilac jednak nuli, tj. ako je x2 = 0, ili x = 0, pa je domen ove nejednaËine skup M = R\{0}. Kako je imenilac razlomka x2 uvek pozitivan, to mora biti x + 2 H 0, ili x H ‡ 2.

пример

Odredi skup reπewa nejednaËine

Dakle, reπewe date nejednaËine Ëine svi realni brojevi veÊi od ‡2 i razliËiti od 0, tj. S = { x | x ! R i x H ‡2 i x ! 0}. Dobijeni skup S moæe se zapisati i kao unija dva intervala S = [−2, 0) , (0, 3), πto se moæe i grafiËki predstaviti. _______[___________________)(________________ ‡2 $

#0$

Domen nejednaËine L > D je skup M svih realnih brojeva za koje postoje racionalni algebarski izrazi L i D. Skup reπewa date nejednaËine L > D Ëine svi realni brojevi iz domena M date nejednaËine za koje je nejednakost L > D taËna.

Data je nejednaËina x G 3. Da li su skupovi reπewa date jednaËine jednaki ako je:

пример

a) x prirodan broj,

b) x ceo broj,

v) x realan broj?

NejednaËina x G 3 posmatra se na tri razliËita domena: M1 = N, N M2 = Z i M3 = R. U skupu prirodnih brojeva, tj. na domenu M1 skup reπewa je konaËan skup S1 = {1, 2, 3}. U skupu celih brojeva, tj. na domenu M2 skup reπewa je beskonaËan skup celih brojeva S2 = { ... ‡ 2, ‡ 1, 0, 1, 2, 3}. U skupu realnih brojeva, tj. na domenu M3 skup reπewa nejednaËine je skup S3 = (‡3, 3] = {x | x ! R i x G 3}. Dakle, na razliËitim domenima dobijamo i razliËite skupove reπewa. Postavqa se pitawe da li je to uvek tako, tj. da li postoje nejednaËine koje na razliËitim domenima imaju jednake skupove reπewa.

Контролна питања

Da li je svaka numeriËka nejednakost taËna? U Ëemu je razlika izmeu numeriËke nejednakosti i nejednaËine? Kako utvrujemo da je realan broj x0 reπewe neke nejednaËine? ©ta je otvoren, πta zatvoren, a πta poluotvoren interval? Da li je reπewe neke nejednaËine uvek neki interval? ©ta je domen nejednaËine? ©ta je skup reπewa nejednaËine? Da li postoje nejednaËine koje na razliËitim domenima imaju jednake skupove reπewa?

Задаци 1. Napiπi po dva primera taËne numeriËke nejednakosti i nejednaËine. 2. Dati su izrazi: A = 0, B = 2x ‡ 4, C = x + 7. Napiπi bar tri nejednakosti koje se dobijaju povezivawem datih izraza nekom od nejednakosnih relacija. 3. Da li su brojevi ‡1, 0, 1, 2, 3, 4 reπewa nejednaËina: a) 5x ‡ 7 H 3x + 1, b) x2 < 1? Da li je skup S = {‡1, 0, 1, 2, 3, 4} skup reπewa datih nejednaËina? 4. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 5x + 13 > 7x ‡ 6 ‡ 2x, b) x2 + 4 < x2 ‡ 9. 5. Napiπi po dve nejednaËine Ëiji je skup reπewa: a) S = R, b) S = Q. 6. Date su nejednaËine u reπenom obliku: a) ‡3 < x < 5, b) 1 G x < 9, v) ‡ 4 < x G 2, g) ‡6 G x G 7, d) x > 0, ) x #- 3 . Prikaæi skupove reπewa datih jednaËina grafiËki i zapiπi skupove reπewa u obliku odgovarajuÊih intervala. 7. Napiπi nejednaËinu u reπenom obliku ako je skup wenih reπewa interval: a) (‡2, 4), b) [ 0, 7 ], v) [‡5, 3), g) (‡3, 8], d) (‡3, 1], ) [‡6, 3 ).

3.5. Еквивалентне неједначине U prethodnim razredima nejednaËine smo reπavali koriπÊewem osobina algebarskih operacija. Postavqa se pitawe da li je moguÊ racionalniji pristup ovom problemu, s obzirom na to da smo u meuvremenu detaqnije upoznali skup realnih brojeva i wegove osobine? Konkretno, koristiÊemo sledeÊa veÊ poznata svojstva realnih brojeva:

• Ako su a, b i c realni brojevi i ako je a > b i b > c onda je i a > c. • Ako su a, b i c realni brojevi, onda je a > b, ako i samo ako je a + c > b + c. • Ako su a, b i c (c > 0) realni brojevi, onda je a > b, ako i samo ako je a · c > b · c.

пример

Reπi nejednaËinu: 5x ‡ 11 > 4x + 3. Za nejednakost realnih brojeva vaæi osobina saglasnosti sa sabirawem, tj. iz nejednakosti a > b sledi i da je a + c > b + c, i obratno, πto znaËi da nejednakost ne mewa taËnost ako se i levoj i desnoj strani nejednakosti doda isti realan broj. Tako nejednaËina 5xx ‡ 11 > 4x + 3 dodavawem broja 11 i levoj i desnoj strani nejednakosti postaje 5xx ‡ 11 + 11 > 4x + 3 + 11 ili 5x > 4x + 3 + 11. PrimeÊujemo da je u suπtini pri prelasku sa leve na desnu stranu nejednakosti broj ‡11 promenio znak. Ako sada i levoj i desnoj strani nove nejednakosti dodamo broj ‡4x, dobija se nejednakost 5xx ‡ 4x > 4x + 14 ‡ 4x, tj. 5xx ‡ 4x > 14 i konaËno x > 14. Opet primeÊujemo da je efekat prelaska broja 4xx sa desne na levu stranu nejednakosti u stvari promena znaka broja 4x. NejednaËina x > 14 i nejednaËina 5x ‡ 11 > 4x + 3 imaju jednak skup reπewa koga Ëine svi realni brojevi veÊi od 14, tj. S = {x | x ! R i x > 14}. Skup reπewa date nejednaËine moæe se prikazati grafiËki kao interval (14, 3). ________________________________(_____________________ 0

14$

Linearna nejednaËina po nepoznatoj (promenqivoj) x je nejednakost oblika ax > b, gde su a i b realni brojevi, x nepoznata (promenqiva).

пример

Umesto znaka > moæemo ravnopravno biti upotrebqen i neki od preostalih nejednakosnih znakova (<, G, H), πto se podrazumeva i kod narednih opπtih razmatrawa.

x+2 G4. 3 Za nejednakost realnih brojeva vaæi osobina saglasnosti sa mnoæewem pozitivnim brojem, tj. iz nejednakosti a G b sledi i da je a · c G b · c (c > 0), πto znaËi da se nejednakost ne mewa ako se i leva i desna strana nejednakosti pomnoæe istim pozitivnim realnim brojem. Reπi jednaËinu:

2 пример

x+2 Tako nejednaËina G 4 mnoæewem i leve i desne strane nejednakosti sa 3 posta3 x+2 G 4·3 ili x + 2 G 4 · 3 = 12. Ako sada i levoj i desnoj strani dobijene nejedje 3· 3 nakosti dodamo broj ‡2 (ili oduzmemo broj 2), dobija se ekvivalentna nejednakost x + 2 ‡ 2 = 12 ‡ 2, tj. x G 12 ‡ 2 = 10. PrimeÊujemo da je efekat prelaska broja 2 sa leve x+2 na desnu stranu jednakosti promena wegovog znaka. NejednaËine x G 10 i G4 3 imaju jednak skup reπewa, a to je skup svih realnih brojeva mawih ili jednakih sa 10, tj. S = {x | x ! R i x G 10}. Skup reπewa date nejednaËine moæe se prikazati grafiËki intervalom (‡3, 10]. ______________________________________]_______________ 0

#10

NejednaËine Ëiji su skupovi reπewa jednaki nazivaÊemo ekvivalentnim nejednaËinama.

пример

Da li su nejednaËine x G 3, x2 G 9 i 7xx ‡ 4 G 3xx + 8 ekvivalentne? Prva nejednaËina je data u reπenom obliku. Druga nejednaËina ima za reπewe sve realne brojeve veÊe ili jednake ‡3 ili mawe ili jednake 3. TreÊa nejednaËina 7xx ‡ 4 G 3xx + 8 transformiπe se u 7xx ‡3x G 8 + 4 ili 4x G 12 i konaËno u x G 3. Dakle, skupovi reπewa datih nejednaËina su: S1 = {x | x ! R i x H 3} = (‡3, 3]; S2 = {x | x ! R i ‡3 G x G 3} = [3, 3] i S3 = {x | x ! R i x G 3} = (‡3, 3]. Kako je S1 = S3 ! S2, to znaËi da su prva i treÊa nejednaËina ekvivalentne, a druga nije sa wima ekvivalentna.

пример

Na pismenoj veæbi iz matematike MiÊa je reπavao linearnu nejednaËinu 2 ‡ 8xx > 17 ‡ 5x. Wegovo reπewe glasi: Ako levoj i desnoj strani nejednaËine dodamo broj 5x, dobija se nejednakost 2 ‡ 8xx + 5xx > 17 ‡ 5x + 5x ili 2 ‡ 3x > 17. Oduzimawem broja 2 i od leve i od desne strane nejednaËine sledi da je 2 ‡ 3xx ‡ 2 > 17 ‡ 2, tj. ‡ 3x > 15. Kada i levu i desnu stranu nejednaËine podelimo sa ‡3, dobiÊemo nejednakost ‡3xx : (‡3) > 15 : (‡3) ili x > ‡5. To bi znaËilo da je jedno od moguÊih reπewa i broj 0, πto nije taËno, jer nije taËno ni da je 2 ‡ 0 = 2 > 17 ‡ 0 = 17. U Ëemu je greπka? Ako i levoj i desnoj strani nejednakosti ‡ 3xx > 15 dodamo izraz 3x ‡ 15, dobiÊe se nova nejednakost 3xx ‡ 15 ‡ 3x > 15 + 3x ‡ 15 ili ‡15 > 3x. Kada se i leva i desna strana nejednakosti podele sa 3, dobije se ‡5 > x ili x < ‡ 5. Dakle, skup reπewa nejednaËine je x < ‡5, tj. S = { x | x ! R i x < ‡5} = (−3, −5).

Greπka zaista postoji i napravqena je kod deqewa brojem ‡3, jer mnoæewe ili deqewe nejednakosti negativnim brojem (bez promene smera nejednakosti) nije ekvivalentna transformacija. Naime, oËigledno je da ako je c < 0, onda je (‡c) > 0, pa i levu i desnu stranu nejednakosti a > b, tj. a ‡ b > 0 moæemo pomnoæiti sa pozitivnim brojem (‡c). Dobija se nejednakost (‡c)(a ‡ b) > 0, jer je proizvod dva pozitivna broja (‡c) i a ‡ b pozitivan. Iz nejednakosti ‡ac > ‡ bc, ako i jednoj i drugoj strani nejednakosti dodamo izraz ac + bc, dobija se nejednakost ‡ac + ac + bc > ‡bc + ac + bc ili bc > ac, πto znaËi da je ac < bc. Dakle, mnoæewe nejednakosti negativnim brojem, pri Ëemu se i smer nejednakosti mewa jeste joπ jedna od ekvivalentnih transformacija nejednakosti, pa prema tome i nejednaËina. To znaËi da se mnoæewem ili deqewem nejednakosti negativnim brojem > transformiπe u <, i obrnuto, < se transformiπe u >. Analogna situacija deπava se i sa H i G. Iz prethodnih primera zakquËujemo da se reπavawe nejednaËine L > D (gde su L i D racionalni algebarski izrazi) moæe pojednostaviti koriπÊewem sledeÊih svojstava racionalnih algebarskih izraza: 1. Ako se u datoj nejednaËini L > D jedan algebarski izraz zameni izrazom koji je wemu jednak (za svaku vrednost nepoznate iz domena nejednaËine M), dobija se nejednaËina ekvivalentna datoj. 2. Ako se i levoj i desnoj strani nejednaËine L > D doda isti algebarski izraz A (definisan na domenu M) dobija se nejednaËina L + A > D + A koja je ekvivalentna datoj nejednaËini. 3. Ako se i leva i desna strana nejednaËine L > D pomnoæe realnim brojem A (A > 0), dobija se nejednaËina L · A > D · A koja je ekvivalentna datoj nejednaËini. 4. Ako se i leva i desna strana nejednaËine L > D pomnoæe realnim brojem A (A < 0), dobija se nejednaËina L · A < D · A koja je ekvivalentna datoj nejednaËini.

Koliko reπewa imaju nejednaËine: a) 5xx + 13 > 7x ‡ 5 ‡ 2x + 11; b) 11x + 9 ‡ 5x < 6x ‡ 3?

пример

Navedena svojstva realnih brojeva nejednaËinu L > D transformiπu u nejednaËinu koja je ekvivalentna sa datom. Reπavawa nejednaËine L > D je postupak u kojem se koriπÊewem transformacija 1, 2, 3 i 4, tj. ekvivalentnim transformacijama date nejednaËine, i povoqnim izborom izraza ili broja A, posle konaËno mnogo koraka i konaËno mnogo ekvivalentnih nejednaËina, dobija linearna nejednaËina ax > b (a ! 0), a odatle i nejednaËina u reπenom obliku x > xo. Postupak kojim se iz date dobija nejednaËina ax > b najËeπÊe se izvodi tako πto se izrazi koji sadræe nepoznatu izdvajaju na jednu stranu nejednakosti (npr. levu), a izrazi koji sadræe konstante na drugu stranu jednakosti (npr. desnu). Na taj naËin se iz L > D dobija x > xo.

NejednaËina 5xx + 13 > 7x ‡ 5 ‡ 2x + 11 je ekvivalentna sa nejednaËinom 5x + 13 > 5x + 6 i posle oduzimawa broja 5xx i od leve i od desne strane nejednaËine sa nejednakoπÊu 13 > 6. Dobijena nejednaËina ima beskonaËno mnogo reπewa, jer uvek vaæi nejednakost 13 > 6. Dakle, S = R.

5 пример

NejednaËina 11xx + 9 ‡ 5x < 6x ‡ 3 je ekvivalentna sa nejednaËinom 6x + 9 < 6x ‡ 3 i posle oduzimawa broja 6xx i od leve i desne strane, sa nejednakosti 9 < ‡3. Kako dobijena nejednakost nije taËna ni za jednu vrednost realnog broja x, to nejednaËina nema reπewa, tj. wen skup reπewa je S = Q.

KoriπÊewem svojstava 1, 2, 3 i 4 reπi nejednaËinu: 2

пример

x 3

x -1H +5 2

- 1 m H 6`

x + 5j 2

x 3

-1H

x +5. 2

svojstvo 3 (mnoæewe sa NZS (2, 3) = 6)

2(xx ‡ 2) ‡ 6 H 3xx + 30

svojstvo 1

2x ‡ 4 ‡ 6 H 3xx + 30

svojstvo 1

2x ‡ 10 H 3xx + 30

svojstvo 1

2x ‡ 10 ‡ 3xx + 10 H 3xx + 30 ‡ 3xx + 10

svojstvo 2 (dodavawe izraza ‡ 3xx + 10)

2x ‡ 3x H 30 + 10

svojstvo 1

‡ x H 40

svojstvo 4 (mnoæewe sa ‡1)

x G ‡ 40.

nejednaËina u reπenom obliku.

Контролна питања

Za koju nejednaËinu kaæemo da je linearna? Kada su dve nejednaËine ekvivalentne? Koje su ekvivalentne transformacije nejednaËina? Da li su nejednaËine x > 0 i x2 > 0 ekvivalentne?

Задаци 1. Reπi nejednaËine: a) x + 8 < 3, b) y ‡ 4 > 12, v) 5 ‡ z G 10. 3 n 2- 7 , v) G- 24 . p 5 3. Reπi nejednaËine: a) 4x + 15 < 3x + 7, b) 14 ‡ 6a H 9 ‡ 7a, v) 7b + 23 > 23 ‡ 12b.

2. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 8m H 32, b)

4. Odredi skup reπewa nejednaËina:

a) 3x ‡ 2 G 13,

b) 16 ‡ 6a > 7,

v) 19 H 7 ‡ 2b,

g) 24 < 5c ‡ 1.

5. Reπi nejednaËine: a) 7x + 2 H 4x + 8,

b) 4 ‡ 5y 2 6 ‡ 3y ,

6. Odredi skup reπewa nejednaËina: y y x 1 b) 3 + G 2 + , a) 1 - 2 , 4 7 5 3

v) 1 ‡ (4z + 3) G 2z + 5.

z z +513- . 2 6

7. Napiπi bar jednu linearnu jednaËinu Ëiji je skup reπewe : a) (3, 3), b) (‡3, ‡2]. 8. Reπi nejednaËine: a)

a+3 2 2a - 11 , 3

9. Reπi jednaËine: a)

b) 1 + b -

x x x - 1 , 2 5 3

2+b 3+b H , 2 5 b) 1 + y +

v) 1 - c -

1+y 1+y , H 5 3

10. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 9x ‡ 8 G 7x ‡ 3 + 2x,

1 - 2c 1 - 3c 1 . 7 4 v) 1 - z -

1-z 1-z 2 . 2 7

b) 6x + 5 ‡ 2x > 4x + 17.

3.6. Примена линеарних неједначина

пример

Kao i linearne jednaËine i linearne nejednaËine imaju πiroku primenu u svakodnevnom æivotu, samoj matematici i drugim naukama.

Vodostaj Save trenutno je ‡120 cm. Koliko reka Sava najviπe moæe porasti, a da pri tom ne poplavi ako je wena obala na koti 200 cm? Ako porast vodostaja oznaËimo sa x, onda treba da bude ‡ 120 + x < 200, tj. x < 200 + 120 = 320. Dakle, Sava moæe najviπe narasti do 320 cm.

пример

Koliko litara vrele vode Ëija je temperatura 80oC treba pomeπati sa 40 litara vode temperature 16oC da bi temperatura meπavine bila pogodna za kupawe i imala temperaturu izmeu  22oC i 25oC? Ako nepoznatu koliËinu vode oznaËimo sa x, onda je jasno da Êe ukupna koliËina vode biti 40 + x. Kako je koliËina toplote koju sadræi svaka pojedinaËna komponenta meπavine jednaka koliËini toplote meπavine, dobija se nejednaËina 22 · (40 + x) < 40 · 16 + x · 80 < 25 · (40 + x). Jasno je da imamo dve nejednaËine 880 + 22xx < 640 + 80x < 1000 + 25x. Prva nejednaËina ima reπewe 880 ‡ 640 < 80xx ‡ 22x, tj. 240 < 58x, pa je 240 : 58 < x. To znaËi da je 4,14 ... < x. Druga nejednaËina 640 + 80xx < 1 000 + 25x ekvivalentna je sa

2 пример

3 пример

80xx ‡ 25x < 1 000 ‡ 640 ili 55x < 360. Dakle, x < 360 : 55 = 6,54... KonaËno je 4,14... < x < 6,54... πto znaËi da Êe sve koliËine vode izmeu 4,14 litara i 6,54 litra doprineti pogodnoj temperaturi meπavine.

Cena zbirke zadataka iz matematike je paran broj dinara. Ukupna cena 9 zbirki veÊa je od 3300, a mawa od 3400 dinara, dok je ukupna cena 13 zbirki veÊa od 4700, a mawa od 4800 dinara. Kolika je cena jedne zbirke zadataka? Neka je cena jedne zbirke zadataka jednaka z. Tada je 3300 < 9zz < 3 400, ali i 4 700 < 13zz < 4 800. Sledi da je 3300 6 3400 7 4700 7 4800 2 = 366 1 z 1 = 377 i = 361 1z1 = 369 . 9 9 9 9 13 13 13 13 Sledi da je cena zbirke 366 < z < 370. Jedini paran broj koji zadovoqava dobijeni sistem nejednaËina je broj 368, pa je cena zbirke zadataka iz matematike jednaka 368 dinara.

Задаци 1. Odredi sve realne brojeve koji su mawi od svoje petine. 2. Zbir tri uzastopna prirodna broja je mawi od 2010. O kojim brojevima je reË? 3. Koliko ima prirodnih brojeva x za koje je 7x ‡ 8 1 3x + 24? 4. Odredi najveÊi prirodan broj x za koji je

x x + 3 1 + 11 . 2 5

5. Koliko ima celih brojeva a takvih da je 2 1

5 - 3x 16? 4

6. Odredi najmawi ceo broj y koji zadovoqava nejednakost 5,5 + 4y H 1 + y. 7. Odredi sve realne brojeve r takve da je 5(r ‡ 2) ‡ r < 2 i 1 ‡ 3(r ‡ 1) < ‡2. 8. Postoje li celi brojevi koji ispuwavaju nejednakosti: x ‡ 4 > 10, 2x ‡ 1 > 3 i 3x + 2 < 56.

2.1. Појам, 4.1. Питагорина врсте,теорема елементи

ReË prizma je latinski oblik grËke reËi rtkgna (Ëita se prisma) a znaËi otesan (u smislu otesana greda).

слика 1

пример

Na slici 1 dati su primeri poliedara koji su prizme.

слика 2

пример

Na slici 2 dati su primeri poliedara koji nisu prizme.

Prizma je poliedar Ëiju povrπ Ëine dva podudarna n-tougla koji se nalaze u paralelnim razliËitim ravnima i n paralelograma. Dve n-tougaone strane prizme, koje su u paralelnim ravnima, nazivaju se osnovama prizme, a paralelogrami se nazivaju boËnim stranama prizme. Sve boËne strane (n paralelograma) Ëine omotaË prizme. (Broj n je prirodan broj koji nije mawi od 3.) Broj stranica mnogouglova koji su osnove prizme odreuju wen naziv. Ako su osnove trouglovi, prizma je trostrana, ako su Ëetvorouglovi, prizma je Ëetvorostrana itd. Na slici 1 prikazane su Ëetvorostrana, trostrana, πestostrana, petostrana i osmostrana prizma. Stranice i temena n-touglova i paralelograma (strana prizme) jesu redom ivice i temena prizme.

слика 3 N1

Stranice osnova prizme su osnovne ivice prizme, a stranice boËnih strana, koje nisu osnovne, zovu se boËne ivice prizme. Dakle, n-tostrana prizma ima 2n osnovnih ivica i n boËnih ivica.

Ako su osnovne i boËne ivice prizme jednake, ta prizma je jednakoiviËna.

ОСНОВА ТЕМЕ БОЧНА ИВИЦА ВИСИНА ОСНОВНА ИВИЦА УСПРАВНА ПРИЗМА

БОЧНА СТРАНА

КОСА ПРИЗМА

Rastojawe ravni osnova prizme naziva se visina prizme.

Razlikujemo uspravne i kose prizme. Ako su boËne ivice prizme normalne na ravnima osnova, prizma je uspravna (ili prava), a ako boËne ivice nisu normalne na ravnima osnova, prizma je kosa. Ako je prizma uspravna, duæina boËne ivice jedanaka je visini prizme. (Ako je prizma kosa, uoËava se prava normalna na ravnima osnova, koja prodire ravni osnova u taËkama N i N1. Duæina duæi NN1 je u tom sluËaju visina prizme.) Za neke prizme postoje i posebni nazivi. Prizma Ëija je osnova paralelogram zove se paralelepiped. Paralelepiped koji je uspravan i wegova osnova je pravougaonik zove se kvadar. Kvadar Ëije su sve ivice jednake zove se kocka. Ako je prizma uspravna, a osnove su pravilni mnogouglovi, za tu prizmu se kaæe da je pravilna. Mi Êemo se baviti uspravnim prizmama. слика 4

ПАРАЛЕЛEПИПЕД

КВАДАР

КОЦКА

Duæ odreena temenima prizme koja ne pripadaju istoj strani prizme naziva se dijagonala prizme.

слика 5

пример

Kolika je dijagonala kvadra Ëije su ivice a, b, c? Neka je ABCDEFGH H kvadar Ëije su ivice a, b, c. Vidi sliku! UoËimo dijagonalu AG. Iz pravouglog trougla ACG sledi da je AG2 = AC C2 + CG2, odnosno AG2 = 2 2 2 AB + BC C + CG , jer je trougao ABC pravougli. Dakle, AG2 = a2 + b2 + c2, odnosno AG =

b +c .

H E

G F

D C A

a) osnovama; b) boËnim ivicama prizme.

пример

Razmotri πta je presek pravilne πestostrane prizme i ravni koja je paralelna:

Neka je ABCDEFA1B1C1D1E1F1 pravilna πestostrana prizma. a) Ravan a je paralelna ravnima osnova prizme i seËe boËne ivice. Presek je πestougao A2B2C2D2E2F2 podudaran sa πestouglovima osnova (sl. 6a). b) Ravan b je paralelna boËnim ivicama prizme i ima zajedniËke taËke s osnovama. Presek tada moæe biti boËna ivica, boËna strana ili pravougaonik (sl. 6b, v, g, d). Presek prizme i ravni b kojoj pripadaju nesusedne boËne ivice prizme naziva se dijagonalni presek. Dve stranice dijagonalnog preseka su odgovarajuÊe dijagonale osnova (sl. 6d). слика 6

D1 C1

F1 F2 α

A1 B1 E2 D2

B2 C2

A2 E

E1 F1 A1 B1

E C

F A

а)

A1 B1

F A

E1 F1

D1 A1 B1 C1

б)

E β C

г)

F A

в)

D C

F A

D1 C1

C B

д)

Preseke prizme i ravni koja je u kosom poloæaju prema ravnima osnova prizme neÊemo razmatrati.

Контролна питања

©ta je prizma? Da li boËne strane prizme mogu pripadati paralelnim ravnima? Koliko temena, ivica, strana ima osmostrana prizma? Kada je prizma uspravna? Kada je prizma pravilna? ©ta je visina prizme? ©ta je dijagonala prizme?

Задаци 1. Moæe li prizma da ima Ëetiri:

a) temena;

b) ivice;

v) strane?

2. BoËne strane uspravne prizme su uvek: a) kvadrati; b) podudarni pravougaonici; v) pravougaonici; g) jednakokraki trapezi. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

3. Osnovna i boËna ivica pravilne Ëetvorostrane prizme su a = 5 cm i b = 12 cm. IzraËunaj: a) dijagonalu osnove; b) dijagonalu boËne strane; v) dijagonalu prizme. 4. Da li visina prizme moæe biti veÊa od duæine: a) osnovne; b) boËne ivice? 5. IzraËunaj duæinu dijagonale kocke Ëija je ivica: a) 4 cm; b) 4 3 cm; v) a. 6. IzraËunaj zbir duæina dijagonala kvadra Ëije su ivice: a) 3 cm, 4 cm, 12 cm;

2 cm,

3 cm, 2 cm;

v) m, p, q.

7. IzraËunaj obim i povrπinu dijagonalnog preseka kocke Ëija je ivica: a) 8 cm; b) a. 8. IzraËunaj: a) povrπine maweg i veÊeg dijagonalnog preseka; b) dijagonale pravilne πestostrane prizme, Ëije su osnovna ivica a = 10 cm i visina H = 6 cm.

4.2. Мрежа призме U prethodnoj lekciji upoznali smo osnovne elemente prizme (temena, ivice, strane, visine). Za uoËavawe i povezivawe ovih elemenata i neπto detaqnije sagledavawe tela potrebno je da napravimo model i nacrtamo odgovarajuÊu sliku tog modela. Model prizme moæemo da napravimo od raznog materijala, koji je dovoqno Ëvrst ali se moæe seÊi makazama. Pri tome, prvo treba sve strane prizme razviti u jednoj ravni, da se nadovezuju i Ëine jednu figuru. Figura koju Ëine svi mnogouglovi (strane) prizme naziva se mreæa prizme. Iz mreæe se savijawem i lepqewem moæe napraviti model prizme. слика 7

пример

Razvij u mreæu pravilnu trostranu prizmu Ëija je osnovna ivica 2 cm i visina 3 cm. (sl. 8a). Neka je ABCA1B1C1 data prizma. Mreæa moæe da se konstruiπe na viπe naËina. Prikazana su dva. Ako prizmu razreæemo duæ boËne ivice AA1 i osnovnih ivica AB, AC, A1B1, A1C1, tada mreæa izgleda kao na slici 8b. Ako datu prizmu razreæemo duæ svih boËnih ivica i osnovnih ivica AB i AC, tada mreæa izgleda kao na slici 8v. слика 8

A1 A1''

B1'

B1 B

A1''

C1''

C1 A1

C1'

A1'

C C

A а)

A''

б)

в)

Prvo konstruiπemo mreæu te prizme. Konstruiπemo romb ABCD Ëije su dijagonale d1 = 4 cm i d2 = 6 cm (sl. 9a). Zatim konstruiπemo jednu boËnu stranu ‡ pravougaonik Ëija je jedna stranica duæ AB (stranica romba), a dijagonala je d = 7 cm (sl. 9b). Konstruiπemo mreæu (sl. 9v). Na slici 9g prikazan je model te prizme.

пример

Napravi model uspravne Ëetvorostrane prizme Ëija je osnova romb. Dijagonale osnove su d1 = 4 cm, d2 = 6 cm, a dijagonala boËne strane d = 7 cm.

слика 9

D1 D1 D

B1'

A1''

C1 B1

C d1

B D

а)

A1'

m 7c

б)

в)

A''

C B

г)

пример

Neka je razvijeni omotaË pravilne πestostrane prizme kvadrat Ëija je stranica 8 cm. Konstruiπi mreæu i napravi model te prizme. слика 10 Ako je razvijeni omotaË prizme kvadrat, tada je zbir svih osnovnih ivica prizme jednak boËnoj ivici. Jednu stranicu kvadrata podelimo na πest jednakih delova (sl. 10a), odnosno kvadrat podelimo na πest podudarnih pravougaonika (svaki je podudaran sa po jednom boËnom stranom priб) в) zme, sl. 10b). Sa dve naspramne а) strane kvadrata, van oblasti kvadrata, konstruiπemo pravilne πestouglove (osnove prizme). Da li po jedna stranica tih πestouglova moæe bilo kako biti „vezana“ za stranice kvadrata? Vidi sliku!

Na slici 10v prikazan je model te prizme.

Контролна питања

©ta je mreæa prizme? Da li su mreæe podudarnih poliedara podudarni mnogouglovi? Ako su razvijeni omotaËi dve prizme podudarni pravougaonici, da li su te prizme podudarne? Ako je razvijeni omotaË uspravne prizme kvadrat, da li je ta prizma pravilna?

Задаци 1. Zaokruæi slovo pored slike na kojoj je prikazana mreæa kocke. а)

б)

в)

слика 11 г)

2. Konstruiπi mreæu kvadra Ëije su ivice 2,5 cm, 3,5 cm, 5 cm. 3. Konstruiπi mreæu pravilne Ëetvorostrane prizme Ëija je osnovna ivica 3cm, a: a) boËna ivica 4,5 cm;

b) dijagonala boËne strane 5 cm.

4. Konstruiπi mreæu uspravne trostrane prizme Ëije su osnove jednakokraki trouglovi. Osnovne ivice su 3 cm i 6 cm. Visina prizme je 4 cm.

5. Koja dva mala kvadrata treba na slici 12 izbrisati i koje linije nacrtati tako da dobijeni mnogougao bude mreæa pravilne Ëetvorostrane prizme?

слика 22

6. Data je mreæa pravilne Ëetvorostrane prizme (sl. 13). Nacrtaj linije koje nedostaju. Zatim oznaËi stranicu koja bi se posle sastavqawa modela poklopila sa stranicom AD. OznaËi temena koja Êe se poklopiti sa temenom B. 7. Ako je razvijeni omotaË uspravne prizme kvadrat, tada: a) osnovne i boËne ivice te prizme su jednake; b) osnova te prizme je kvadrat; v) obim osnove prizme je jednak boËnoj ivici te prizme. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

слика 13

4.3. Површина призме. Површина усправне четворостране призме Zbir povrπina strana prizme je povrπina prizme.

Proveri da li za povrπinu kvadra Ëije su ivice a, b, c vaæi formula P = 2B + M. M

пример

Ako sa B obeleæimo povrπinu jedne osnove prizme, sa M povrπinu omotaËa, a sa P povrπinu prizme, tada je: P = 2B + M.

Strane kvadra su tri para podudarnih pravougaonika i povrπina kvadra se izraËunava P = 2ab + 2bc + 2ac, gde su a, b, c duæine ivica kvadra. Ako odredimo da su a i b stranice pravougaonika koji su osnove prizme, a c visina prizme, tada je 2ab = 2B, 2bcc + 2acc = M, pa formula P = 2B + M vaæi za kvadar.

Strane kocke su πest kvadrata, pa je povrπina kocke P = 6a2, gde je a duæina ivice kocke.

IzraËunaj povrπinu kocke Ëija je dijagonala d = 8 3 cm.

слика 14

пример

Jedna dijagonala kocke ABCDA1B1C1D1 je CA1. Duæ CA1 je dijagonala pravougaonika (dijagonalni presek kocke) ACC1A1. Pravougaonik nacrtamo, kaæe se, u pravoj veliËini da bismo jasnije videli elemente. AA1 = a gde je a ivica kocke. CA1 je dijagonala strane kocke i 2 CA = a 2 . Daqe je CA 21 = ^a 2 h 22aa 2 + a 2 3a 2 , pa je CA1 = a 3 . Sledi da je a 3 8 3 cm = 8 cm, odnosno a = 8 cm. Povrπina kocke je P = 6 · 8 2 , P = 384 cm2.

C1 B1

D A A1

B C1

IzraËunaj zbir svih ivica pravilne Ëetvorostrane prizme ako je povrπina wene osnove 25 cm2, a povrπina omotaËa 140 cm2. Osnovna ivica je a = 5 cm. Povrπina omotaËa je M = 4aH, H gde je H visina prizme. Tada je 140 cm2 = 4 · 5 cm · H. Sledi da je H = 7 cm, pa je zbir duæina svih ivica te prizme 8a + 4b = 8 · 5 cm + 4 · 7 cm = 68 cm.

пример

Osnova uspravne prizme je trapez ABCD (AB || CD), Ëije su osnovice a = 14 cm, b = 4 cm i kraci c = d = 13 cm. IzraËunaj povrπinu te prizme ako je wena visina jednaka visini osnove. Visina trapeza (jedne osnove) je h = 13 2 - 5 2 12 , pa je povrπina jedne osnove 14 + 4 B1 B= · 12 , B = 108 cm2 i H = 12 cm. слика 15 2 B A B A1 Povrπina omotaËa je: A h M=a·H+c·H+b·H+d·H H, C1 M = 14 · 12 + 13 · 12 + 4 · 12 + 13 · 12, D1 C D C 2 D M = (14 + 13 + 4 + 13) · 12 = 528, M = 528 cm . Povrπina prizme je: P = 2B + M, P = 2 · 108 + 528 = 744. Povrπina prizme je 744 cm2.

Контролна питања

©ta je povrπina prizme? Kako se raËuna povrπina kvadra ako su poznate duæine ivica? Kako se raËuna povrπina kocke?

Задаци 1. IzraËunaj povrπinu kvadra Ëije su ivice 2,8 cm, 3,5 cm i 7 cm. 2. IzraËunaj povrπinu kvadra Ëije su dve ivice i dijagonala, redom, 3 cm, 4 cm i 13 cm. 3. IzraËunaj povrπinu kocke ako je: a) ivica 2,5 cm; b) dijagonala jedne wene strane 10 2 cm.

слика 16

4. Adam je nacrtao mreæu kocke i utvrdio da je duæ MN jednaka 10 cm. Vidi sliku 16! Kolika je povrπina kocke Ëiju je mreæu Adam nacrtao? 5. Od 5 kockica, svaka povrπine 12 cm2, sastavqen je kvadar. Kolika je povrπina tog kvadra?

6. Sve strane drvene kocke ivice 2 m su obojene. Za to je potrebno tri konzerve po 1,5 kg boje. Ta kocka je iseËena na osam jednakih mawih kocki. Ako treba obojiti neobojene strane tih mawih kocaka, koliko konzervi iste boje treba dokupiti? 7. Povrπina pravilne Ëetvorostrane prizme je 360 cm2, a povrπina osnove je 36 cm2. IzraËunaj dijagonalu: a) osnove; b) boËne strane; v) prizme. 8. Osnova uspravne prizme je romb sa dijagonalama d1 = 16 cm i d2 = 12 cm. Visina prizme je jednaka visini osnove. IzraËunaj: a) povrπinu prizme;

b) povrπine dijagonalnih preseka te prizme.

9. Ako su povrπine boËnih strana Ëetvorostrane prizme jednake, da li je ta prizma pravilna? 10. Osnova prizme je paralelogram Ëije su stranice 6 cm i 4 cm, a oπtar ugao 30°. Visina prizme je 5 cm. IzraËunaj povrπinu te prizme.

4.4. Површина правилне тростране призме. Површина правилне шестостране призме U prethodnom odeqku zakquËili smo da se povrπina svake prizme raËuna po pravilu: P = 2B + M, gde se sa B obeleæava povrπina jedne osnove prizme, sa M povrπina omotaËa.

1 пример

Osnove pravilne trostrane prizme su jednakostraniËni trouglovi, pa je: a2 3 a2 3 P = 2B + M M, P = 2 + 3aH , odnosno P = + 3aH . 4 2

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je rastojawe izmeu ravni osnova 5 cm, a rastojawe izmeu  boËnih ivica 3 cm. Rastojawe izmeu osnova je visina prizme, a rastojawe izmeu boËnih ivica je duæina osnovne ivice (sl. 17). Posle zamene datih podataka u formuli i izraËunavawa sledi da je povrπina prizme P = ^4, 5 3 45 hcm2.

слика 17

C1 B1

5 cm

пример

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je osnovna ivica a i visina H. H

3 cm C

пример

Razvijeni omotaË pravilne trostrane prizme je pravougaonik sa stranicama 12 cm i 6 cm. IzraËunaj povrπinu te prizme. Jedna stranica pravougaonika, koji je razvijeni omotaË pravilne prizme, jednaka je obimu osnove. Druga stranica tog pravougaonika jednaka je boËnoj ivici prizme. U ovom primeru postoje слика 18 dva sluË u aja (sl. 18). ‡ Obim osnove je 12 cm, odnosno osnovna ivica 4 cm, a visina 6 cm. Povrπina je P = ^ 8 72 h cm2.

пример

‡ Obim osnove je 6 cm, osnovna ivica je 2 cm a visina je 12 cm. Povrπina je P = ^2 3 + 72 h cm2.

IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane prizme ako su osnovna ivica a i visina H. H Osnove pravilne πestostrane prizme su pravilni πestouglovi stranice a, pa je P = 2B + M, M P = 2 ·6

a2 3 + 6aH , odnosno P 4

3 + 6aH .

5 пример

Za pakovawe neke robe potrebno je napraviti drvenu kutiju oblika pravilne πestostrane prizme Ëije su sve ivice po 0,5 m. Kutiju treba sa spoqaπwe strane obojiti. Koliko boje treba nabaviti ako je za bojewe 1 m2 potrebno 350 g boje? IzraËunajmo povrπinu kutije, odnosno pravilne πestostrane jednakoiviËne prizme. P = 3 · 0, 5 2 3 + 6 · 0, 5 2 3 · 0, 5 2 ^ 3 P c 3 · 0, 25 ^ 1, 73 2 h = 2, 7975

слика 19

P = 2, 7975 m2. Za bojewe je potrebno nabaviti 2,7975 · 350 = 979,125 pribliæno 980 g boje.

слика 20

пример

IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane prizme ako je duæa dijagonala osnove 20 cm, a duæa dijagonala prizme 52 cm. Neka je ABCDEFA1B1C1D1E1F1 data prizma. Za izraËunavawe povrπine potrebno je da znamo osnovnu i boËnu ivicu prizme. Duæa dijagonala osnove jednaka je dvostrukoj osnovnoj ivici prizme, pa je a = 10 cm.

A1 B1

Duæa dijagonala osnove (AD), duæa dijagonala prizme (DA1) i boËna ivica (AA1) grade pravougli trougao (ADA1) . Visina, odnosno duæina boËne ivice je H2 = 522‡ 202, H = 48 cm. Povrπina prizme je P = 3 · 1100 2 3 + 6 · 10 · 48 = 300 3 + 2880 .

D A B

Povrπina prizme je ^300 3 + 2880 h cm2.

Контролна питања

Kako se izraËunava povrπina pravilne trostrane prizme? Kako se izraËunava povrπina pravilne πestostrane prizme? Da li povrπina omotaËa pravilne trostrane prizme moæe da bude jednaka povrπini jedne osnove te prizme? Da li povrπina osnova pravilne πestostrane prizme moæe da bude jednaka povrπini omotaËa te prizme?

Задаци 1. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 10 cm, visina 8 cm;

b) obim osnove 12 cm, boËna ivica 4,5 cm.

2. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je zbir svih osnovnih ivica 36 cm, a zbir svih dijagonala boËnih strana 60 cm. 3. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 8 cm, visina 12 cm; b) obim osnove 24 cm, visina 1 dm. 4. IzraËunaj povrπinu pravilne jednakoiviËne πestostrane prizme ako je rastojawe wenih naspramnih boËnih strana 8 3 cm. 5. KraÊa dijagonala osnove pravilne πestostrane prizme je d = 12 3 cm, a visina prizme H = 8 cm. IzraËunaj povrπinu prizme i duæu dijagonalu prizme. 6. Pravilna πestostrana prizma osnovne ivice 10 cm i visine 8 cm preseËena je duæ jednog od veÊih dijagonalnih preseka. Da li su tako nastala tela prizme? Kolika je povrπina jednog tog dela? 7. VeÊi dijagonalni presek pravilne πestostrane prizme je kvadrat povrπine 36 cm2. IzraËunaj povrπinu maweg dijagonalnog preseka i povrπinu prizme.

4.5. Запремина призме. Запремина праве четворостране призме. Маса тела. Маса призме Svako geometrijsko telo zaprema neki deo prostora. Taj deo prostora ima svoju zapreminu. »esto je bitno da veliËinu zapremine izrazimo kao proizvod nekog pozitivnog realnog broja i izabrane jedinice mere za zapreminu. Zapremina tela je nenegativan broj pridruæen telu, tako da: ‡ dva tela koja se mogu dovesti do poklapawa imaju jednake zapremine; ‡ ako se telo moæe razloæiti na dva ili viπe tela (Ëije unutraπwe oblasti nemaju zajedniËkih taËaka), tada je wegova zapremina jednaka zbiru zapremina delova; ‡ zapremina kocke Ëija ivica ima jediniËnu duæinu je 1.

Iz Ëetvrtog razreda znamo da kocka Ëija ivica ima duæinu 1 (… centimetar, decimetar, metar…) ima zapreminu 1 (… kubni centimetar, kubni decimetar, kubni metar, …).

Sve navedeno ne znaËi da se moæe lako odrediti zapremina svakog tela. Kada se moæe odrediti zapremina nekog tela, ne prenosi se jedinica za merewe (kocka) u bukvalnom smislu, veÊ se izvode pravila po kojima, kao kod povrπine, na osnovu datih podataka, izraËunavamo zapreminu. Ta pravila se zapisuju formulama. Sve navedeno o zapremini tela vaæi i za sve poliedre, pa samim tim i za prizme.

пример

5 7 Duæ u ine ivica kvadra su: a) 8 cm, 5 cm, 3 cm; b) cm, cm, 3 2 3 cm. Odredi zapreminu tog kvadra. 4 U Ëetvrtom razredu smo nauË u ili da je zapremina kvadra jednaka proizvodu duæina wegovih ivica koje polaze iz istog temena. Pri tome, duæine ivica merene su istom jedinicom duæine i merni brojevi su bili prirodni.

слика 23

a) Izaberimo kocku ivice 1 cm za jedinicu merewa zapremine. Duæine ivica kvadra su 8 cm, 5 cm i 3 cm, pa jediniËnu kocku moæemo sloæiti 8 # 5 puta u jednom redu. Redova ima 3. ZakquË u ujemo da jediniËnu kocku moæemo smestiti 8 # 5 # 3 puta u ovaj kvadar, pa je wegova zapremina jednaka 8 # 5 # 3 jedinica za merewe zapremine. Piπemo V = 8 · 5 · 3 · 1 cm3, odnosno V = 120 cm3. 5 7 3 b) Podelimo, redom, ivice kvadra Ëije su duæina cm, cm, cm na 5 jednakih 3 2 4 delova, 7 jednakih delova i 3 jednaka dela. Zatim razloæimo kvadar (postavqawem ravni paralelnih odgovarajuÊim stranama kvadra) na 5 # 7 # 3 = 105 jednakih kvada1 1 1 ra. Svaki od tih „malih“ kvadara ima ivice cm, cm, cm i zapreminu koja je 3 2 4 1 jednaka zapremine kocke ivice 1cm. Dakle, zapremina datog kvadra je: 24 1 105 5 7 3 105 cm 3 . 105 · · 1cm 3 = cm 3 . ZnaËi, V = cm · cm · cm = 24 24 3 2 4 24 Zapremina kvadra jednaka je proizvodu duæina wegovih ivica koje polaze iz istog temena. Ako su duæine ivica a, b, c, merene istom jedinicom duæine, tada je V = a · b · c. Kvadar je uspravna Ëetvorostrana prizma Ëija je osnova pravougaonik, ivice osnove su a i b, a visina c. Dakle, moæemo pisati V = a · b · c = (a · b) · c = B · H. Zapremina uspravne Ëetvorostrane prizme Ëija je osnova pravougaonik jednaka je proizvodu povrπine wegove osnove i visine. V = B · H. Sledi da je zapremina kocke Ëija je ivica duæine a jednaka V = a · a · a, odnosno V = a 3.

2 пример

Kocka Ëija je ivica 6 cm i kvadar sa ivicama 12 cm, 3 cm i 6 cm imaju jednake zapremine. Ove prizme, oËigledno, ne mogu se dovesti do poklapawa.

Date su dve uspravne Ëetvorostrane prizme. Osnova prve prizme je kvadrat stranice 8 cm, a osnova druge prizme je pravougaonik Ëije su stranice 4 cm i 16 cm. Visine obe prizme su po 10 cm. IzraËunaj Ë zapremine tih prizama.

пример

Ako dve Ëetvorostrane prizme imaju jednake zapremine, da li se te prizme mogu dovesti do poklapawa? слика 22

слика 23

Ako sa V1 i V2 obeleæimo redom zapremine ovih prizama, onda je V1 = (8 cm · 8 cm) · 10 cm= 640 cm3 i V2 = (4 cm · 16 cm) · 10 cm = 640 cm3. Zapremine ovih prizama su jednake.

Ako dve Ëetvorostrane prizme imaju osnove jednakih povrπina i imaju jednake visine, kakve mogu da budu wihove zapremine? NasluÊujemo da u tom sluËaju wihove zapremine treba da budu jednake. Da je takvo zakquËivawe ispravno svedoËi i tzv. Kavalijerijev* princip: слика 24

Ako dva tela preseËemo paralelnim ravnima i ako, pri tome, preseci tela sa bilo kojom od tih ravni imaju jednake povrπine, tada ta tela imaju jednake zapremine.

Primenimo Kavalijerijev princip na dve uspravne Ëetvorostrane prizme Ëije su visine jednake. Osnova jedne prizme je kvadrat stranice a, a osnova druge prizme je neki konveksan Ëetvorougao Ëija je povrπina jednaka povrπini kvadrata, dakle a2. Neka su osnove ovih prizama u ravni a (sl. 24). Ako preseËemo ove prizme ravnima koje su paralelne ravni a, kakvi su preseci? Preseci su podudarni sa odgovarajuÊim osnovama ovih prizama, odnosno wihove povrπine su jednake a2. Sledi, po Kavalijerijevom principu, da ove prizme imaju jednake zapremine. Zapremina uspravne Ëetvorostrane prizme jednaka je proizvodu povrπine wene osnove i visine: V = B · H.

*Bonaventura Kavalijeri (1598‡1647), italijanski matematiËar.

»esto je potrebno da izraËunamo masu tela.

пример

Masa tela m je proizvod zapremine i gustine t: m = V · t.

g IzraËunaj masu granitne kocke Ëija je ivica 12 cm. Gustina granita je t = 28 cm 3 g m = 12 3 cm 3 · 2, 8 = 4838, 43g = 4, 838 kg . cm 3

Контролна питања

©ta je zapremina poliedra? ©ta je zapremina prizme? Koje osobine ima zapremina? Da li su zapremine tela koja se mogu dovesti do poklapawa jednake? Da li vaæi i obrnuto? Kako se raËuna zapremina kocke? Kako se raËuna zapremina uspravne Ëetvorostrane prizme? Kako se raËuna masa tela?

Задаци 1. IzraËunaj zapreminu kvadra Ëije su ivice 4,25 m, 7,2 m, 3,2 m. 2. IzraËunaj zapreminu kocke Ëija je ivica: a) 1,5 cm; b)

5 cm ; v) 1,25 m.

3. BoËna ivica pravilne Ëetvorostrane prizme je tri puta veÊa od osnovne ivice. Povrπina prizme je 280 cm2. IzraËunaj zapreminu te prizme. 4. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 5 cm, a dijagonala prizme 13 2 cm ; b) osnovna ivica 5 2 cm , a dijagonala prizme za 2 cm duæa od boËne ivice. 5. U akvarijumu oblika kvadra, Ëije dno ima stranice 75 cm i 20 cm, nalazi se voda do visine 50 cm. Za koliko Êe se podiÊi nivo vode u akvarijumu ako se na wegovo dno spusti kamena kocka ivice 15 cm? a) 1 cm; b) 1,5 cm; v) 2 cm; g) 2,25 cm; d) 15 cm. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 6. Tri podudarne kocke sloæene su jedna do druge i tako je dobijen kvadar povrπine 42 cm2. Zapremina tog kvadra je: a) 9 3 cm 3 ; b) 27 3 cm 3 ; v) 6 2 cm 3 ; Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

g) 3 3 cm 3 ;

d) 27 cm3.

7. Aluminijumska ploËa je oblika kvadra sa ivicama 2 m, 1,5 m, 5 mm. Kolika je masa g ove ploËe ako je gustina aluminijuma t = 2, 7 ? cm 3

4.6. Запремина правилне тростране призме. Запремина правилне шестостране призме

IzraËunaj Ë zapreminu uspravne trostrane prizme ABCA1B1C1. Osnova je pravougli trougao Ëije su katete AC C = 4 cm, BC = 6 cm a visina prizme je 10 cm. Ovu prizmu dopunimo do uspravne Ëetvorostrane prizme ADBCA1 D1 B1C1, Ëija je osnova pravougaonik ABDC.

пример

Prizme ABCA1B1C1 i ADBA1 D1 B1 su podudarne, pa su wihove zapremine jednake. V ABCA1B1C1) = V( V( V ADBA1 D1 B1). Vaæi da je V ADBCA1D1B1C1) = V( V( V ABCA1B1C1 ) + V( V ADBA1 D1 B1) V ADBCA1D1B1C1) = 2V( V( V ABCA1B1C1 ). Sledi da je 1 1 V(ABCA1B1C1 ) = V( V ADBCA1D1B1C1) = P(ADBC) · H. 2 2 Poπto je povrπina pravougaonika ABCD dva puta veÊa od povrπine 1 DABC, to daqe vaæi V( V ABCA1B1C1) = · 2P(ABC) · H = P(ABC) · H. 2 1 Dakle, zapremina je V( V ABCA1B1C1 ) = · 4 cm · 6 cm · 10 cm = 120 cm3. 2

слика 25

C1 D1 A1

B C

D A

Ako osnova uspravne trostrane prizme nije pravougli trougao, veÊ bilo kakav trougao (taj trougao moæe se bar jednom visinom razloæiti na dva pravougla trougla), ta prizma se moæe razloæiti na dve prizme Ëije su osnove pravougli trouglovi, pa razmotrena formula za odreivawe zapremine vaæi za bilo koju uspravnu trostranu prizmu. Dakle, V = B · H. Poπto se svaki mnogougao moæe razloæiti na trouglove, to se i svaka prava prizma moæe razloæiti na prizme Ëije su osnove trouglovi. PrimewujuÊi osobine zapremine, zakquËujemo da je: Zapremina prave prizme jednaka proizvodu povrπine osnove i visine. V = B · H.

пример

Do istog zakquËka moæemo da doemo i primewujuÊi Kavalijerijev princip.

IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane prizme ako su osnovna ivica a i visina H. H Osnova pravilne trostrane prizme je jednakostraniËni trougao, pa je povrπina osnove B =

a2 3 a2 3 , a zapremina V = B · H H, odnosno V = · H. 4 4

3 пример

IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane prizme ako su osnovna ivica a i visina H. H Osnova pravilne πestostrane prizme je pravilni πestougao, pa je povrπina osnove B=6 ·

a2 3 3a 2 3 3a 2 3 , a zapremina V = B · H H, odnosno V = = · H. 4 2 2

Контролна питања

Kako se raËuna zapremina pravilne trostrane prizme? Kako se raËuna zapremina pravilne πestostrane prizme? ©ta je masa tela?

Задаци 1. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 10 cm, visina 2 3 cm ;

b) obim osnove 15 cm, boËna ivica 9 cm.

2. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane prizme ako je zbir svih boËnih ivica 12 cm, a zbir svih dijagonala boËnih strana 30 cm. 3. Od gvoæa je izliven deo maπine u obliku pravilne trostrane prizme. Osnovna ivica je 6 cm, a duæina (visina) 1 m. IzraËunaj masu tog dela (gustina gvoæa 3 t = 7, 8 g/cm . 4. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 6 cm, boËna ivica 2 cm;

b) obim osnove 60 cm, visina 0,5 dm.

5. IzraËunaj zapreminu pravilne jednakoiviËne πestostrane prizme ako je rastojawe wenih naspramnih boËnih strana: a) 12 3 cm ; b) 12 cm. 6. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane prizme ako je veÊi dijagonalni presek kvadrat obima 36 cm. 7. KraÊa dijagonala osnove pravilne πestostrane prizme je 12 cm, a visina prizme je 8 cm. IzraËunati zapreminu te prizme. 8. Stubovi su napravqeni od bukovog drveta i oblika su pravilne πestostrane prizme osnovne ivice 10 cm i duæine 1 m. Koliko se takvih stubova moæe transportovati 3 vozilom nosivosti 1t ako je gustina bukovog drveta t = 0, 74 g/cm ? 9. U bazen oblika pravilne πestostrane prizme osnovne ivice 2 m i dubine 2 m treba nasuti vodu. Koliko litara vode moæe da stane u taj bazen ako dubina vode treba da bude 1,5 m? 2 10. Povrπina osnove pravilne πestostrane prizme je 48 3 cm , a povrπina omotaËa je 48 cm2. IzraËunaj zapreminu prizme.

2.1. Појам, 5.1. Питагорина врсте, теорема елементи

ReË piramida je latinski oblik grËke reËi rytankv (Ëita se piramis) kojom su Grci nazivali egipatske piramide.

слика 1

пример

Na slici 1 dati su primeri poliedara koji su piramide.

Na slici 2 dati su primeri poliedara koji nisu piramide. слика 2

Piramida SA1A2A3...An je poliedar Ëiju povrπ Ëine mnogougao A1A2A3...An i n trouglova SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1. Mnogougao A1A2A3...An naziva se osnova piramide, a trouglovi SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1 se nazivaju boËnim stranama piramide. Sve boËne strane (n trouglova) Ëine omotaË piramide. (Broj n je prirodan broj ne mawi od 3.) Broj stranica mnogougla osnove odreuje naziv piramide. Ako je osnova trougao, piramida je trostrana, ako je Ëetvorougao, piramida je Ëetvorostrana itd. Na slici 1 prikazane su Ëetvorostrana, trostrana, osmostrana i πestostrana piramida.

Stranice i temena n-tougla (osnove) i trouglova (strana piramide) redom su ivice i temena piramide.

слика 3

ВРХ БОЧНА ИВИЦА БОЧНА СТРАНА

Stranice osnove piramide su osnovne ivice piramide. Stranice boËnih strana, koje nisu osnovne, nazivaju se boËne ivice piramide. Dakle, n-tostrana piramida ima n osnovnih ivica i n boËnih ivica. Sve boËne strane i sve boËne ivice piramide imaju jedno zajedniËko teme koje se naziva vrh piramide.

ОСНОВНА ИВИЦА ОСНОВА

Rastojawe vrha od ravni osnove piramide naziva se visina piramide. Rastojawe vrha piramide od osnovne ivice piramide (visina boËne strane) naziva se apotema.

слика 4

ВИСИНА

Ako je osnova piramide pravilni mnogougao i ako je prava odreena vrhom piramide i srediπtem osnove normalna na ravan osnove, kaæe se da je piramida pravilna (sl. 4).

АПОТЕМА

Ako su sve ivice piramide jednake, ta piramida je jednakoiviËna. Za trostranu jednakoiviËnu piramidu postoji i poseban naziv ‡ tetraedar. RazmotriÊemo πta je presek piramide i ravni.

пример

слика 5

Neka je SABC C data pravilna trostrana piramida. Ravan a je paralelna ravni osnove. Neka je vrh piramide od ravni a na rastojawu 2 cm. Paralelne ravni ABC C i a seku ravan ABS po pravama AB i A1B1 koje su paralelne. Vidi sliku! Sledi da su trouglovi ABS i AB AS = A1B1S sliËni i vaæi (*). A1 B1 A1 S

S A1 O1 α

C1 B1 C

O B

Neka je O srediπte osnove i neka prava AS OS SO prodire ravan a u taËki O1. Trouglovi AOS i A1O1S su sliËni, pa je = A1 S O1 S AB OS 6 (**). Iz proporcija (*) i (**) i datih podataka sledi = = =3. A1 B1 O1 S 2

3 пример

AC OS = = 3 , gde je C1 prodor ivice CS kroz raA1 C1 O1 S van a. Presek piramide i ravni a je trougao A1B1C1 sliËan trouglu ABC. Pri tome, koeficijent sliËnosti jednak je razmeri rastojawa ravni osnove i ravni preseka od vrha piramide. Jasno je da ovakav zakqučak možemo izvesti i za četvorostranu piramidu wenim rastavqawem na dve trostrane piramide. Ovo važi i za petostranu, šestostranu, ... piramidu. Na isti naËin dokazujemo da je

Razmotri πta je presek pravilne Ëetvorostrane piramide i ravni koja sadræi vrh piramide i seËe osnovu. Neka je SABCD pravilna Ëetvorostrana piramida. a) Ako ravan a sadræi vrh piramide i seËe ravan osnove po pravoj koja sa osnovom ima zajedniËko jedno teme, presek je boËna ivica odreena tim temenom (sl. 6a). b) Ako ravan b sadræi vrh i dva susedna temena osnove piramide, presek je boËna strana odreena tim temenima (sl. 6b). v) Ako ravan c sadræi vrh i dva nesusedna temena osnove, presek je trougao Ëije su stranice dijagonala osnove i dve boËne ivice piramide (sl. 6v).

слика 6

б)

пример

g) Ako ravan d sadræi vrh i seËe dve osnovne ivice piramide, presek je trougao (sl. 6g). S

г)

S γ

C B

в)

C B

Preseke piramide sa ravnima koje ne sadræe vrh i nisu paralelne osnovi piramide neÊemo razmatrati.

Контролна питања

©ta je piramida? Da li boËne strane piramide mogu pripadati paralelnim ravnima? Koliko najmawe temena, ivica i strana ima piramida? Kada je piramida pravilna? ©ta je visina piramide? ©ta je apotema?

Задаци 1. Na slici 7 prikazane su piramide. Obeleæi wihova temena, a zatim za svaku odredi osnovu, boËne strane i vrh. слика 7

2. Da li postoji piramida Ëije svako teme moæe biti vrh? 3. Koliko strana, temena, osnovnih ivica, boËnih ivica, boËnih strana ima osmostrana piramida? 4. Moæe li piramida da ima Ëetiri: a) temena;

b) ivice;

v) strane?

5. Da li visina piramide moæe biti veÊa od duæine: a) osnovne; b) boËne ivice? 6. BoËne strane pravilne piramide ne mogu biti: a) jednakokraki; b) jednakostraniËni; v) raznostraniËni; g) jednakokraki pravougli; d) jednakokraki tupougli trouglovi. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 7. Ako je ravan osnove pravilne piramide projekcijska ravan, πta je ortogonalna projekcija: a) osnovne ivice; b) osnove; v) boËne ivice; g) boËne strane; d) vrha piramide?

8. Osnova Ëetvorostrane piramide je strana ABCD kocke ABCDEFGH, a vrh je srediπte S strane EFGH. Da li je ta piramida pravilna? Obrazloæi odgoH G vor! IzraËunaj duæine boËnih ivica, visinu i apoteme te piS F ramide ako je ivica kocke 8 cm. Vidi sliku! E слика 8

9. IzraËunaj apotemu pravilne: a) Ëetvorostrane; b) trostrane; v) πestostrane piramide Ëije su osnovna ivica 10 cm, a boËna ivica 13 cm.

D A

5.2. Мрежа пирамиде U prethodnoj lekciji upoznali smo osnovne elemente piramide. Kao za prizmu, i za piramidu se konstruiπe mreæa.

Razvij u mreæu pravilnu trostranu piramidu Ëija je osnovna ivica 3 cm i boËna ivica 4 cm (sl. 9a). Neka je SABC C data piramida. Mreæa moæe da se konstruiπe na viπe naËina. Prikazana su dva. Ako piramidu razreæemo duæ svih boËnih ivica, dobija se mreæa prikazana na slici 9b. Ako datu piramidu razreæemo duæ boËne ivice AS i osnovnih ivica AB i AC, tada je mreæa prikazana na slici 9v. б)

S S'

пример

S'' S'

S''

A A

S' S S A'

B A

B A'

A''

A'' A

в)

слика 9

а)

S''

Konstruiπi mreæu pravilne Ëetvorostrane piramide Ëija je osnovna ivica a = 4 cm i nagibni ugao: a) boËne ivice prema osnovi je a = 45°; b) boËne strane prema osnovi je b = 60°. Neka je SABCD data pravilna Ëetvorostrana piramida. a) S obzirom na to da je ortogonalna projekcija prave AS na ravan osnove piramide prava AO, gde je O centar osnove, to je nagibni ugao boËne ivice AS prema ravni osnove ugao OAS (sl. 10a). Taj ugao je ugao trougla ASO, pri Ëemu je AO jednako polovini dijagonale kvadrata ABCD (duæina duæi AO je polupreËnik kruænice opisane oko osnove), AS je boËna ivica, a duæina OS je visina piramide. Trougao 1 AOS je, u ovom sluËaju, odreen katetom AO = AC i uglovima \AOS = 90° , 2 \OAS = 45° . Hipotenuza AS jednaka je boËnoj ivici, pa moæemo da konstruiπemo mreæu piramide. S

а)

C β

пример

слика 10

S'''

B A

B S''

S'ˇ S A A

O S'

b) Nagibni ugao boËne strane, na primer BCS, prema osnovi je ugao diedra odreenog poluravnima ABCD i BCS (sl. 10b). To je ugao SMO, gde je M taËka ivice BC C takva da je prava SM M normalna na pravu BC. Dakle, ugao SMO je ugao trougla SMO. Duæina duæi SM M je jednaka apotemi piramide. Duæ MO je jednaka polovini stranice kvadrata. (Duæina duæi MO je jednaka polupreËniku kruænice upisane u osnovu.) U ovom sluËaju trougao MOS je odreen kate1 tom OM = AB i uglovima \MOS = 90° , 2 \OMS M = 60° .

б)

S'''

S''

S'ˇ S A

β O

Duæina hipotenuze MS je apotema date piramide, te imamo dovoqno podataka da moæemo da konstruiπemo mreæu.

Контролна питања

©ta je mreæa piramide? ©ta je mreæa jednakoiviËne trostrane piramide?

Задаци 1. Konstruiπi mreæu pravilne trostrane piramide Ëija je: a) osnovna ivica 4 cm, apotema 5 cm;

b) boËna ivica 7 cm, apotema 4,5 cm.

2. Konstruiπi mreæu pravilne πestostrane piramide ako su: a)osnovna ivica 3 cm, boËna ivica 5 cm;

b) boËna ivica 10 cm, visina H = 8 cm.

3. Ako se razvijeni omotaË Ëetvorostrane piramide sastoji od Ëetiri jednakostraniËna trougla, tada je osnova te piramide: a) romb;

b) jednakokraki trapez;

v) kvadrat.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 4. Konstruiπi mreæu trostrane piramide Ëije su osnovne ivice 3 cm, 4 cm, 5 cm i sve boËne ivice su po 5 cm. 5. Jedna strana kocke je osnova piramide, a srediπte naspramne strane kocke je vrh piramide. Konstruiπi mreæu te piramide ako je ivica kocke 4 cm.

5.3. Површина пирамиде. Површина четворостране пирамиде Zbir povrπina strana piramide je povrπina piramide.

пример

Ako sa B obeleæimo povrπinu osnove piramide, sa M povrπinu omotaËa, a sa P povrπinu piramide, tada je P = B + M.

Osnova piramide je pravougaonik ABCD, AB = 8 cm, BC C = 6 cm. Visina piramide je 6 cm, a sve boËne ivice su jednake. IzraËunaj povrπinu te piramide. Poπto su boËne ivice jednake, sledi da normala iz vrha piramide prodire ravan osnove u preseku dijagonala pravougaonika ABCD. BoËne strane ove piramide su jednakokraki trouglovi, pri Ëemu je 3 ABS 3 CDS C , 3 BCS C 3 DAS (sl. 11). Apoteme izraËunavamo kao duæine visina koje odgovaraju osnovicama ovih trouglova. TaËke M i N su redom srediπta ivica AB i BC, C a O prodor normale iz vrha S kroz ravan osnove (sl. 11).

Iz trougla MOS je SM M2 = MO2 + OS2, SM M2 = (3 cm)2 + (6 cm)2, SM = h1 = 3 5 cm . Na isti naËin iz trougla NOS je SN = h2 = 2 13 cm . Povrπina piramide je

пример

P = B + M, B = P(ABCD), M = P(ABS) + P(BCS) + P(CDS) + P(DAS) bh ah P(ABCD) = ab, P (ABS) ( ) = 1 , P (BCS) ( )= 2 2 2 ab + 2

P Dakle,

P = 48 + 8 · 3 5

ah1 bh + 2 2 , P = ab + ah1 + bh2. 2 2 6 $ 2 13 , P = (48

24 5

) cm 2 .

2 пример

a +4

b 2

a 2

слика 12

ah , P = a2 + 2ah. 2

N B

IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide osnovne ivice a i apoteme h. P = B + M, P

O M

h2 a

b D

пример

слика 13

h D a

C B

IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide ako su osnovna ivica a = 4 cm, boËna ivica b = 8 cm (sl. 12). Apotema je h

a 2 2 b - ` j , h = 2 15 cm . Povrπina je P = (16 2

) cm .

Контролна питања

©ta je povrπina piramide? Kako se raËuna povrπina pravilne Ëetvorostrane piramide? Da li povrπina osnove i povrπina omotaËa piramide mogu biti jednake? Da li povrπina jedne boËne strane moæe biti jednaka povrπini osnove piramide?

Задаци 1. Neka su za pravilnu Ëetvorostranu piramidu SABCD elementi: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi (sl. 13). IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide ako su: a) a = 7 cm, h = 4 cm;

b) a = 8 cm, H = 3 cm;

v) b = 10 cm, h = 8 cm;

g) H = 12 cm, h = 13 cm;

d) a = 10 cm, a = 45°; D

b a

O N

β B

) a = 12 cm, b = 60°. S

O M

слика 13

a 2

α M

a√2 2

a 2

2. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je povrπina osnove B = 36 cm2 a visina H = 4 cm. 3. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane jednakoiviËne piramide ivice 8 cm. 4. Povrπina pravilne Ëetvorostrane piramide je 125 cm2. Sve strane ove piramide imaju jednake povrπine. Apotema je: a) 2,5 cm;

b) 5 cm;

v) 7,5 cm;

g) 9 cm;

d) 10 cm.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. Zbir svih ivica jednakoiviËne Ëetvorostrane piramide je 32 cm. Wena povrπina 2 2 je: a) 16 · (1 + 2 ) cm ; b) 4 · (4 + 3 ) cm ; Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

v) 16 · (1 + 3 ) cm 2 .

6. Ana ima samolepqivi papir oblika kvadrata stanice 19 cm. Da li tim papirom moæe da oblepi sve strane pravilne Ëetvorostrane piramide Ëije su sve ivice po 10 cm? (Dozvoqeno je bilo kakvo seËewe papira.)

5.4. Површина правилне тростране пирамиде. Површина правилне шестостране пирамиде U prethodnom odeqku zakquËili smo da se povrπina svake piramide raËuna po pravilu: P = B + M,

пример

gde se sa B obeleæava povrπina osnove piramide a sa M povrπina omotaËa.

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako su osnovna ivica a i apotema h.

h b

Osnova pravilne trostrane piramide je jednakostraniËni trougao, a boËne strane su podudarni jednakokraki trouglovi, pa je P=

3 4

a слика 14

b h

ah . 2

C A

a B

слика 15

пример

IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako su osnovna ivica a i apotema h. S

Osnova pravilne πestostrane piramide je pravilni πestougao stranice a, pa je a2 3 ah P=6 +6 , 4 2 odnosno P=

+ 3ah .

b F

E D

A a B

пример

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako su rastojawa vrha od temena osnove po 10 cm, a rastojawa vrha od osnovnih ivica po 8 cm. Rastojawe vrha piramide od temena osnove jednako je duæini boËne ivice, a rastojawe vrha od osnovnih ivica jednako je apotemi. Prema tome, a 2 2 ` j =b 2 P

a 2 h 2 , odnosno ` j = 10 2 - 8 2 , a = 12 cm. 2

12 2 3 4

12 · 8 , P = (36 3 2

144) cm 2 .

пример

IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je duæa dijagonala osnove 16 cm, a visina 15 cm. Poπto je duæa dijagonala osnove jednaka dvostrukoj osnovnoj ivici, to je a = 8 cm. Srediπte jedne osnovne ivice, srediπte osnove i vrh piramide grade pravougli trougao MOS (sl. 16). Iz ovog trougla je слика 16 2

SM = MO + OS , h2

Povrπina je

8 3 m 2

15 ,

3a 2 3 P= + 3 h, 2 P = (96 3 24

a 3 2 h =c m +H , 2 2

h 2 = 48 + 225,

h = 273 cm . h

3 · 82 3 P= + 3 · 8 · 273 , 2 ) 2, 244 (4 ) cm 2 .

Контролна питања

F A

E D

M B

Kako se izraËunava povrπina pravilne trostrane piramide? Kako se izraËunava povrπina pravilne πestostrane piramide? Da li povrπina omotaËa pravilne trostrane piramide moæe da bude jednaka povrπini osnove te piramide? Da li povrπina osnove pravilne πestostrane piramide moæe da bude jednaka polovini povrπine omotaËa te piramide?

Задаци 1. Neka su elementi pravilne trostrane piramide SABC: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, h1 visina osnove, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi (sl. 17).

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako su: a) a = 12 cm; h = 7 cm;

b) a = 6 cm, b = 5 cm;

v) a = 6 cm, H = 3 cm;

g) b = 13 cm, h = 12 cm.

C h1

b h H α

O β M 1 O h1 3

O B

слика 17

α C 2 h1 3

M 1 a B 2

2. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako je zbir svih osnovnih ivica 18 cm, a zbir svih boËnih ivica 12 cm. 3. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako je osnovna ivica a = 12 cm, a nagibni ugao boËne strane prema osnovi b = 60° (sl. 18). 4. Ivica osnove pravilne trostrane piramide jednaka je visini piramide a = H = 12 cm. Povrπina te piramide je: 2

a) (36 3 + 36 39 ) cm ; b) 72 3 cm ; v) 180 3 cm ; g) 72 42 cm . Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. Neka su elementi pravilne πestostrane piramide SABCDEF: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, h1 visina karakteristiËnog trougla osnove, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi (sl. 18). IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako su: a) a = 10 cm; h = 12 cm; b) a = 6 cm, b = 12 cm; v) a = 6 cm, H = 3 cm; g) b = 13 cm, h = 12 cm. слика 18

S F

β M B

b H

F A

E O a

α D C

M α B

β M a√3 O 2

M a B 2

6. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je duæa dijagonala osnove 20 cm, a visina piramide 5 cm. 7. Pravilnu πestostranu piramidu SABCDEF seËe ravan SAD. Da li su tako nastala tela piramide? Kolika je povrπina jednog tog dela ako je AB = 6 cm, AS = 10 cm?

5.5. Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде NauËili smo kako se izraËunava zapremina prizme. Sada treba da naemo pravilo po kome se izraËunava zapremina piramide.

пример

Osnova Ëetvorostrane piramide je strana ABCD kocke ABCDEFGH, H a vrh je srediπte S kocke. IzraËunaj zapreminu piramide ako je ivica kocke a. UoËimo piramide Ëije su osnove strane kocke, a vrhovi u centru kocke. Takvih piramida ima 6 i moæemo zamisliti da se sve one mogu dovesti do poklapawa. Kocka je razloæena na 6 piramida (Ëije unutraπwe oblasti nemaju zajedniËkih taËaka), pa je wena zapremina jednaka zbiru zapremina tih piramida. Dakle, zapreслика 19 a3 mina piramide SABCD je V = . Osnova ove piramide je kvadrat H G 6 3

a a 1 2 a povrπine visina je . Poπto je = · a · , moæemo zakqu2 6 3 2 Ëiti da je zapremina ove piramide jednaka treÊini zapremine odgovarajuÊe a prizme. ProveriÊemo da li ovo vaæi i za bilo koju piramidu. a2,

S D

C B

Dve piramide imaju osnove jednakih povrπina i jednake visine. Wihove osnove su u ravni a. Ove piramide preseËene su sa ravni b koja je paralelna ravni a. слика 20

a) Uporedi povrπine preseka piramida i ravni b.

пример

b) Uporedi zapremine ovih piramida.

a) Preseci piramida i ravni b su figure sliËne odgovarajuÊoj osnovi. Pri tome su koeficijenti sliËnosti α osnove i preseka jednake (koeficijent sliËnosti je jednak razmeri rastojawa ravni a i b od vrha piramide). Znamo da je odnos povrπina sliËnih figura jednak kvadratu koeficijenata sliËnosti. Sledi da preseci datih piramida sa ravni b imaju jednake povrπine. b) Ove piramide zadovoqavaju uslove Kavalerijevog principa, pa sledi da su wihove zapremine jednake.

пример

Neka je EABC C trostrana piramida, Ëija je osnova jednakostraniËni trougao ABC, C a boËna ivica EB normalna na ravan osnove. Dokaæi da je zapremina ove piramide jednaka treÊini zapremine prizme ABCDEF F (sl. 21a). D

PreseËemo prizmu ABCDEF ravnima AEF i ACE E (sl. 21b). UoËimo sledeÊe piramide: ADEF, F ACFE, ABCE E (prvo teme je vrh), (sl. 21v). Osnove piramida ACFE E i ABGE E su podudarni trouglovi koji su u jednoj ravni. S obzirom na to da imaju zajedniËki vrh A, to su wihove visine jednake, pa su po Kavalerijevom principu i wihove zapremine jednake. Dakle, V(ACFE) = V(ABCE). Piramide ADEF i EABC imaju podudarne osnove u paralelnim ravnima i jednake visine (duæine boËnih ivica prizme su jednake), pa je V(ADEF) = V(EABC). Jasno je da V(ABCE) = V(EABC). Tri piramide na koje smo isekli prizmu imaju jednake zapremine, tj.

слика 21

F E

б)

C B

в)

C B

1 V(ABCDEF). 3 Poπto se osnova svake piramide dijagonalama iz jednog temena moæe podeliti na trouglove, to se svaka piramida moæe razloæiti na trostrane piramide sa zajedniËkim vrhom. V(ADEF) = V(EABC) = V(ACEF) =

Zapremina piramide jednaka je treÊini zapremine prizme koja sa tom piramidom ima podudarnu osnovu i jednaku visinu. Sa B obeleæimo povrπinu osnove piramide, sa H visinu, a sa V zapreminu. Tada je

пример

B·H . 3

Osnovna i boËna ivica pravilne Ëetvorostrane piramide SABCD su a = 6 cm, b = 8 cm. IzraËunaj zapreminu. Prvo izraËunamo visinu piramide. Visina piramide H je visina koja odgovara osnovici jednakokrakog trougla ACS (sl. 13). H

Zapremina je V =

a 2 2 b -c m ,H 2

a H , odnosno V 3

(

6 2 c m, 2

)

46 cm

H = 46 cm . V = 12 46 cm 3 .

Контролна питања

Kako se raËuna zapremina piramide? Kada dve piramide podudarnih osnova imaju jednake zapremine?

Задаци 1. Neka su za pravilnu Ëetvorostranu piramidu SABCD elementi: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, b nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, a nagibni ugao boËne strane prema osnovi (sl. 13). IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako su: a) a = 9 cm, H = 4 cm;

b) a = 8 cm, h = 5 cm;

v) H = 12 cm, h = 13 cm;

g) a = 8 cm, a = 45°.

2. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je obim osnove 32 cm i a) visina 9 cm; b) boËna ivica 6 cm; v) apotema 8 cm. 3. Pravilna Ëetvorostrana jednakoiviËna piramida ivice 8 cm preseËena je sa dve ravni, pri Ëemu svaka od wih sadræi vrh piramide i srediπta po jednog para naspramnih ivica osnove. Na taj naËin nastaju Ëetiri piramide. IzraËunaj povrπinu jedne od tih piramida. 4. Zbir povrπina osnove i jedne boËne strane pravilne Ëetvorostrane piramide je 36 cm2. Razlika povrπina omotaËa i osnove je 64 cm2. IzraËunaj zapreminu te piramide. 5. Naspramne boËne ivice pravilne Ëetvorostrane piramide obrazuju prav ugao. IzraËunaj zapreminu te piramide ako je boËna ivica 4 cm.

5.6. Запремина правилне тростране пирамиде. Запремина правилне шестостране пирамиде

U prethodnoj lekciji nauËili smo da je: V=

B·H , 3

gde smo sa B obeleæili povrπinu osnove piramide, sa H visinu, a sa V zapreminu.

1 пример

IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane piramide ako su osnovna ivica a i visina H. H a2 3 ·H a2 ·H 4 V= . Posle sreivawa je V = . 3 12

пример

IzraËunajj zapreminu pravilne trostrane piramide ako su osnovna ivica 6 cm, a boËna ivica 4 3 cm. RaËunamo visinu piramide. Koristimo sliku 17. Iz trougla BOS je: H2

2 2 b 2 - c h1 m 3

b2 - c

a 3 m, 3

(4 3 ) 2

6 3 m , H = 6cm . 3

Zapremina je: V

((6cm)

3 · 6cm , 12

18 3 cm 3 .

пример

Zapremina date piramide je 18 3 cm 3 .

IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane piramide ako su osnovna ivica a i visina H. H 6 V=

a2 3 ·H a2 ·H 4 . Posle sreivawa je V = . 3 2

3 IzraËunaj visinu pravilne πestostrane piramide ako je wena zapremina 144 3 cm a osnovna ivica 6 cm.

Zamenimo date vrednosti u jednakosti V = 144 3 cm 3 =

·H 2

(6cm) 2 3 · H , odnosno H 2

Контролна питања

, pa je 3

144 3 cm · 2 , 36cm 2 3

8cm .

Kako se raËuna zapremina piramide? Ako prizma i piramida imaju podudarne osnove i jednake visine, kakve su wihove zapremine?

b) a = 6 cm, b = 5 cm;

v) b = 6 cm, H = 3 cm;

g) b = 13 cm, h = 12 cm. 3

2. Zapremina pravilne trostrane piramide je 48 3 cm i osnovna ivica 12 cm. IzraËunaj visinu te piramide. 3. IzraËunaj masu drvenog modela jednakoiviËne trostrane piramide Ëija je ivica g . 6 cm a gustina drveta t . 0, 7 3 cm 2 4. Ivica osnovne pravilne trostrane piramide je 12 cm, a povrπina omotaËa je 3 povrπine piramide. Zapremina te piramide je: 3

a) 144 3 cm ;

b) 72 3 cm ;

v) 144 6 ;

g) 216 cm3;

d) 288 cm3.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane piramide ako je povrπina osnove 2 B = 36 3 cm , a boËna ivica s = 5 3 cm . 6. Pravilna trostrana prizma i pravilna trostrana piramida imaju podudarne osnove i jednake zapremine. Razmera visina te prizme i te piramide je: a) 1 : 2;

b) 2 : 1;

v) 1 : 3;

g) 3 : 1;

d) 4 : 1.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 7. Neka su elementi pravilne πestostrane piramide SABCDEF: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, h1 visina karakteristiËnog trougla osnove, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi (sl. 18). IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane piramide ako su: a) a = 6 cm, H = 3 cm;

b) a = 6 cm, b = 12 cm;

v) a = 6 cm, h = 6 3 cm ;

g) b = 13 cm, h = 12 cm.

8. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane piramide osnovne ivice a = 6 cm, ako je povrπina omotaËa tri puta veÊa od povrπine osnove. 9. Visina pravilne πestostrane piramide je 6 cm, a boËna ivica zaklapa sa osnovom 45°. IzraËunaj zapreminu te piramide. 2 10. Povrπina osnovne pravilne πestostrane piramide je 96 3 cm , a zapremina je 96 cm3. IzraËunaj povrπinu te piramide.

2.1. Функција 6.1. Питагорина y = kx теорема +n

U prethodnom razredu upoznali smo neke oblike zavisnosti veliËina (na primer direktnu proporcionalnost). Zavisnost smo zadavali na razne naËine: tabelom odgovarajuÊih vrednosti, formulom (zakonom veze) ili grafikom. Sada Êemo upoznati neπto sloæeniju zavisnost.

пример

Zavisnost veliËine y od veliËine x data je u tabeli x

‡2

‡3

Proveri da li se ova zavisnost moæe zadati formulom y = 2x + 1. Proveravamo da li po formuli dobijamo odgovarajuÊe vrednosti: y(‡2) = 2 (‡2) + 1 = ‡3, y(0) = 2 · 0 +1 = 1, y(1) = 2 · 1 + 1 = 3, y(3) = 2 · 3 + 1 = 7. Dobijene vrednosti su iste kao u tabeli. Zavisnost se moæe zadati ovom formulom.

Zavisnost veliËine y od promenqive veliËine x oblika y = kx + n za zadate brojeve k i n naziva se linearna funkcija.

пример

Pretpostavimo da kofa ima zapreminu 12 l i da se u woj nalazi 2 l vode. Neka se iz Ëesme u kofu uliva 5 l vode u minuti. Koliko Êe vode biti u kofi za: a) jedan; b) dva; v) t, t t d [ , 2] minuta ? Za jedan minut uliÊe se 5 l vode pa Êe u kofi biti V V(1) = 5 · 1 + 2 = 7 l vode. Za dva minuta biÊe V V(2) = 5 · 2 + 2 = 12 l. Dakle, kofa Êe se napuniti za dva minuta. Za t, t d [ , 2] minuta iz Ëesme je isteklo 5tt litara vode pa je ukupna koliËina vode u kofi V = 5t + 2 l. KoliËina V vode u kofi u primeru 2 je, dakle, sve dok se kofa ne napuni, linearna funkcija vremena t sa konstantama k = 5 i n = 2.

Koliko Êe vode biti u kofi za t, t t H 2 minuta?

пример

Kofa ostaje puna i posle drugog minuta, jer Êe se viπak preliti. Dakle, V( V t) = 2 za sve t H 2 . KoliËina vode u kofi za t H 2 je ponovo linearna funkcija, ali sada konstantna linearna funkcija sa k = 0 i n = 2.

Kod linearne funkcije y = kx + n, nezavisno promenqiva x moæe uzimati vrednosti iz bilo kojeg podskupa D skupa realnih brojeva R, jer je za sve x iz D jedinstveno odreen odgovarajuÊi realni broj y = kx + n (vrednost funkcije). Skup D dopustivih vrednosti nezavisno promenqive naziva se domen ili oblast definisanosti funkcije. U primeru 1, domen je {‡2, 0 1, 3}, a skup vrednosti je {‡3, 1, 3, 7}. U primeru 2 oblast definisanosti je D = {t | 0 G t G 2} (jer takva vremena posmatramo). Skup vrednosti je interval [2, 12] (jer u kofi moæe biti od 2 do 12 l vode). U primeru 3 oblast definisanosti je D = {t | t H 2} a skup vrednosti {2}. Ukoliko domen linearne funkcije nije unapred zadan, uzimamo da je domen ceo skup R.

©ta je domen a πta skup vrednosti funkcija: a) y = 3; b) y = 3xx ‡ 4? a) Kako domen nije naveden, uzimamo za domen skup svih realnih brojeva. Za bilo koji realan broj x odgovarajuÊa vrednost funkcije je 3. Dakle, skup svih vrednosti je {3}.

пример

b) I ovde domen nije naveden pa uzimamo D = R. Broj y je vrednost funkcije ako postoji broj x takav da je y = 3xx ‡ 4. Za koje y postoji ovakvo x?

Potraæimo ga reπavajuÊi datu vezu kao jednaËinu po x. To je linearna jednaËina, a wih smo veÊ nauËili da reπavamo. Ekvivalentnim transformacijama dobijamo: y 3x 4 y + 4 3x y+4 =x 3 y+4 x= 3 y+4 Kako je za bilo koje realno y broj realan, jednaËina ima reπewe za svako y. Da3 kle, vrednost y moæe biti bilo koji realan broj. Skup vrednosti date linearne funkcije je zbog toga skup svih realnih brojeva.

Na potpuno isti naËin moæemo se uveriti da skup vrednosti bilo koje nekonstantne linearne funkcije y = kx + n (k ! 0) je skup realnih brojeva R.

Контролна питања

©ta je linearna funkcija? ©ta je domen (oblast definisanosti) a πta skup vrednosti? Da li je konstantna funkcija linearna? Koliki su brojevi k i n te funkcije?

Задаци 1. ©irina platna je 1,4 m. Ako kupimo x metara platna, obim O tog komada se izraæava sledeÊom formulom: a) O = 2x + 1,4;

b) O = 1,4 x + 1,4;

v) O = 2x + 2,8;

g) O = x + 2,8.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 2. Zavisnost y od x data je tabelom: x

‡2

‡6

a) Pokaæi da je ova zavisnost linearna po zakonu y = ‡2x + 4. b) Odredi domen i skup vrednosti. v) Ako zamenimo vrste u tabeli, po kom zakonu x zavisi od y? 3. Auto se nalazi u Mladenovcu (60 km od Beograda) i kreÊe se putem brzinom 60 km na Ëas ka Topoli (90 km od Beograda). Napiπi formulu za udaqenost auta od: a) Beograda; b) Topole za t minuta; v) Za koliko minuta Êe auto stiÊi u Topolu? 4. Odredi domen i skup vrednosti funkcija: a) y =- 3x + 1, 0 G x G 2 ;

b) y = 2x ‡ 4;

v) y =- 3x - 4, x d {- 2, - 1, 0, 1, 2} .

5. Funkcija y = ‡3x + 4 ima domen [‡1, 2]. Odredi skup vrednosti. 6. Funkcija y = ‡3x + 6 ima skup vrednosti [‡2, 12]. Odredi wen domen. 7. Mirko je imao tri evra. Svakog meseca uπtedi po 5 evra. a) Koliko evra Êe imati posle x meseci? b) Posle koliko vremena Êe moÊi da kupi bicikl koji koπta 98 evra?

6.2. График линеарне функције Podsetimo se: Grafik linearne funkcije y = kx + n je skup svih parova (x, y), tj. taËaka u koordinatnoj ravni, za koje vaæi ova veza. U daqem Êemo videti da je ovaj skup prava linija.

пример

v) y = 2xx ‡ 3. a) U sedmom razredu videli smo da je grafik funkcije y = 2xx prava linija koja sadræi koordinatni poËetak, jer su veliËine x i y direktno proporcionalne. Za crtawe ove prave dovoqno je odrediti joπ jednu wenu taËku razliËitu od koordinatnog poËetka. Za x = 1 vrednost funkcije je y = 2, pa je grafik prava koja sadræi taËke (0, 0) i (1, 2) (sl. 1).

5 4 3 2 1

слика 1

y=2 x–3

y=2 x+3 y=2 x

Nacrtaj grafik funkcije: a) y = 2x; x b) y = 2xx + 3;

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1

-2 -3

b) PrimeÊujemo da su vrednosti ove funkcije uvek za 3 veÊe od odgovarajuÊe vrednosti funkcije iz a). Zato Êe wen grafik takoe biti prava koja je paralelna grafiku nacrtanom pod a). Za x = 0 vrednost funkcije je y = 3. Za x = 1 vrednost funkcije je y = 5. Dakle, grafik je prava koja sadræi taËke (0, 3) i (1, 5) (sl. 1). v) Vrednosti ove funkcije su uvek za 3 mawe od odgovarajuÊe vrednosti funcije iz a). Zbog toga je i wen grafik prava paralelna grafiku funkcije iz a). Za x = 0 vrednost funkcije je y = ‡3. Za x = 1 vrednost je y = ‡1. Grafik je prava koja sadræi taËke (0,‡3) i (1, ‡1) (sl. 1).

Na isti naËin, ako je k ≠ 0, zakquËujemo da je grafik funkcije y = kx prava linija koja sadræi koordinatni poËetak. Za k = 0 funkcija glasi y = 0, pa se wen grafik poklapa sa x-osom. Kako se vrednost funkcije y = kx + n u taËki x dobija kada se na vrednost funkcije y = kx u taËki x doda broj n, grafik funkcije y = kx + n dobija se pomerawem svake taËke za |n|: nagore, ako je n > 0 ili nadole, ako je n < 0 (sl. 2). Zbog y(0) = k · 0 + n = n, vidi se:

слика 2

k y=

kx y=

(0,n) 0

n je jednako vrednosti funkcije y = kx + n za x = 0. Grafik funkcije y = kx + n je prava koja sadræi taËku (0, n) na y-osi i paralelna je pravoj koja je grafik funkcije y = kx (sl. 2).

Kako je svaka prava odreena sa dve taËke, za crtawe grafika linearne funkcije dovoqno je spojiti dve taËke grafika pravom linijom. Vezu y = kx + n moæemo posmatrati kao jednakost sa dve nepoznate x i y. Skup reπewa ove jednaËine se onda poklapa sa grafikom linearne funkcije y = kx + n. Zato za vezu y = kx + n kaæemo da je jednaËina prave. Broj k se naziva koeficijent pravca prave y = kx + n.

пример

Dve prave y = k1x + n1 i y = k2x + n2 koje imaju isti koeficijent pravca k1 = k2 = k paralelne su pravoj y = kx i zbog toga su paralelne. Vaæi i obratno, paralelne prave imaju isti koeficijent pravca.

Kakve su prave Ëije su jednaËine y = ‡3xx + 8 i y = ‡3xx + 5? Prave su paralelne jer imaju isti koeficijent pravca (k= ‡3).

Za koje a su prave y

(

a) x

2iy

(

a) x

1 paralelne?

Uslov paralelnosti je jednakost koeficijenata pravca: 1 ‡ a = 3 + a. Reπewe ove jednaËine je a = ‡1. Za a = ‡1 prave imaju jednaËine y = 2x + 2 i y = 2x ‡ 1.

Контролна питања

©ta je grafik linearne funkcije? Kako izgleda grafik linearne funkcije? Kako se crta grafik linearne funkcije? Kako izgleda grafik konstantne funkcije? ©ta je koeficijent pravca prave? Kakvi su koeficijenti pravca dve paralelne prave?

Задаци 1. Koja od taËaka (0, 1), (‡3, 2), (4, 1) pripada pravoj y = 3x ‡ 1? 2. Grafik funkcije y = 0,5x + 3 sadræi taËku: a) A(2, 2);

b) B(‡2, ‡2);

v) C(‡2 , 2);

g) D(‡1 , 2);

d) E(‡2, ‡4).

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 3. Nacrtaj grafike funkcija: a) y = 3x, b) y = 3x ‡ 2, v) y = ‡3x, g) y = ‡3x + 1.

2 4. Odredi preseËne taËke prave y =- x + 4 sa koordi3 natnim osama.

слика 3

5. Napiπi jednaËinu prave koja sadræi taËke: a) (‡1, 4) i (0, 0); b) (0, 4) i (1, 5).

6. ProËitaj koordinate preseËnih taËaka pravih sa koordinatnim osama na slici 3 i napiπi wihove jednaËine.

0 1

3 7. Koliko je koordinatni poËetak udaqen od prave y =- x + 3 ? 4 4 4 8. Koliko su udaqene prave y =- x + 4 i y =- x + 6 ? 3 3

пример

6.3. Нуле и знак линеарне функције

Na stovariπtu ima 20 t ugqa. Svakoga dana proda se 4 tone. Za koliko dana Êe se sav ugaq prodati? Posle t dana koliËina neprodatog ugqa Êe biti y= 20 ‡ 4t, t sve dok je 20 ‡ 4t H 0. Traæi se t tako da je y = 0, odnosno reπewe jednaËine 20 ‡ 4tt = 0. Reπavawem dobijamo t = 5. Za pet dana biÊe sav ugaq prodat.

2x+

Traæena taËka ima ordinatu y = 0. Apscisa joj je zato reπewe jednaËine ‡2xx + 4 = 0. Reπavawem nalazimo x = 2. Proverite na slici 4 da prava y = ‡2xx + 4 seËe x-osu u taËki (2,0).

y=‡

пример

Odredi taËku u kojoj grafik funkcije y = ‡2xx + 4 seËe x-osu.

0 1 слика 4

Vrednost nezavisno promenqive x za koju je vrednost linearne funkcije y = kx + n jednaka nuli, tj. reπewe jednaËine kx + n = 0, naziva se nula funkcije.

Odavde vidimo da vaæi:

IzraËunaj nulu funkcije: a) y = ‡2xx + 5; b) y = 3x; x v) y = 5.

пример

nula funkcije je prva koordinata taËke preseka grafika te funkcije i x-ose.

a) Nula funkcije je reπewe jednaËine ‡2xx + 5 = 0. Reπavawem dobijamo 2x b) Iz 3xx = 0 nalazimo x = 0.

5 . 2

Da li funkcija y

x + 3,

{0 ,

} ima nulu?

Nema, jer je y = 0 za x = 3, a 3 se ne nalazi u domenu.

пример

v) JednaËina 5 = 0 nema reπewa. Funkcija nema nulu.

Odredi nulu funkcije y = 0. Svako realno x je nula ove funkcije.

Osim u Celzijusovim stepenima ((yy), temperatura se izraæava i u Farenhajtovim (x) i Kelvinovim ((zz) stepenima. Veze su:

пример

y z

5 (x 9 5 ( 9

) , 67) .

a) Koliko Farenhajtovih stepeni iznosi nula Celzijusovih stepeni? b) Na koliko Farenhajtovih stepeni kquËa voda? v) Kelvinova nula naziva se apsolutna nula (od we nema niæe temperature). Koliko Celzijusovih stepeni iznosi apsolutna nula? Reπewe: a) 32; b) na 212 ; v) oko ‡273.

U nekim sluËajevima korisna je informacija za koje vrednosti x je linearna funkcija pozitivna, odnosno negativna, tj. kakav je wen znak.

пример

Za koje x je funkcija y = ‡2xx + 6 nenegativna? Traæene vrednosti dobijamo reπavawem nejednaËine ‡2xx + 6 H 0. Tok reπavawa je: -22 6H0 6 H 2x 3Hx x G 3. слика 5

пример

y 8 7 6 5 4 3 2 1

ProËitaj sa grafika znak funkcije y = ‡2x + 6. Grafik je za x < 3 iznad, a za x > 3 ispod x-ose. Funkcija je pozitivna za x < 3 a negativna za x > 3.

0 1

-3 -2 -1 -1 -2

Контролна питања

6 2x+ y=-

Ako je u taËki x odgovarajuÊa vrednost y linearne funkcije pozitivna (negativna), odgovarajuÊa taËka (x, y) wenog grafika je iznad (ispod) x-ose i obratno.

2 3 4 x

©ta je nula funkcije? Kako se odreuje nula funkcije? Kako se sa grafika oËitava nula funkcije? Kako se odreuje znak funkcije?

Задаци 1. Da li svaka linearna funkcija ima nulu?

слика 6

2. Da li je 4 nula funkcije y = ‡3x + 12? 3. Da li je ‡3 nula funkcije y = ‡3x + 12? 4. Odredi nulu i znak funkcija: a) y = 2 ‡ x; b) y = 2x + 5; v) y = ax ‡ 3; g) y = (1 ‡ a)x + a. 5. OËitaj nulu i znak funkcije sa datog grafika.

1 -1 0 - 32

6. Grafik linearne funkcije seËe x-osu u taËki (‡2, 0) a y-osu u taËki (0, ‡3). Koja je to funkcija? 7. Kakva je linearna funkcija koja ima dve razliËite nule? 8. Funkcija y = ‡3x + n je negativna za x > 0. Kakvo je n? 9. Prava y = kx + n je iznad x-ose u I i II kvadrantu a ispod x-ose u IV kvadrantu. Kakvog znaka su k i n?

6.4. Ток (рашћење и опадање) линеарне функције Da li se sa poveÊawem vrednosti nezavisno promenqive x poveÊava ili smawuje vrednost linearne funkcije y = kx + n? Od Ëega to zavisi? Da bismo to utvrdili, pretpostavimo da su x1 i x2 bilo koje dve vrednosti iz domena funkcije takve da je x1 < x2. Razmotrimo prvo sluËaj k > 0. Mnoæewem obe strane nejednakosti x1 < x2 sa k dobijamo kx1 < kx2. Dodavawem stranama n dobijamo kx1 + n < kx2 + n. ZakquËujemo da je y (x1) 1 y (x2) , odnosno da слика 7

ako je k > 0, vrednost linearne funkcije y = kx + n raste sa porastom nezavisno promenqive. Kaæemo da je tada linearna funkcija rastuÊa. Grafik ovakve funkcije ima oπtar nagibni ugao a prema pozitivnom delu apscisne ose (sl. 7). Neka je sada k < 0. Mnoæewem strana nejednakosti x1 < x2 sa negativnim brojem k mewa se smer nejednakosti te dobijamo kx2 < kx1 i odatle kx2 + n < kx1 + n. ZakquËujemo da ako je k < 0, vrednost linearne funkcije y = kx + n opada sa porastom nezavisne promenqive. Kaæemo da je linearna funkcija opadajuÊa. Grafik ovakve funkcije ima tup nagibni ugao a prema x-osi (sl. 8). Za k = 0, linearna funkcija je konstantna, tj. ne mewa vrednost na domenu. Grafik ovakve funkcije je prava paralelna x-osi (pa i sama x-osa).

α 0

слика 8

α 0

1 пример

a) Kako je k = 3 > 0, funkcija je rastuÊa.

Ispitaj tok funkcije y

пример

Ispitaj tok funkcija: a) y = 3xx ‡ 7; b) y = ‡3x + 55; v) y = 3.

b) Kako je k = ‡3 < 0, funkcija je opadajuÊa. v) Kako je k = 0, funkcija je konstantna.

(

a) x

2 za razne vrednosti parametra a.

Funkcija je rastuÊa ako je 1 ‡ a > 0, tj. za a < 1. Funkcija je opadajuÊa ako je 1 ‡ a < 0, tj. za a > 1. Funkcija je konstantna za a = 1.

Контролна питања

Od Ëega zavisi tok linearne funkcije? Kad linearna funkcija raste a kad opada?

Задаци 2 x - 100 ; v) y = ‡x + 1000? 3 2. Za koje vrednosti broja a je rastuÊa funkcija: a) y = 2ax ‡ 4; b) y = (a - 2) x + 2 ?

1. Kakav je tok fukcija: a) y = ‡6; b) y =

3. Ispitaj tok funkcije y = (2k - 6) x + k, k d R . 4. Ako je funkcija y = (2 ‡ k)x + 2 rastuÊa, kakvo je k? слика 9

5. Na slici 9 je grafik preenog puta s za vreme t. Kolika je brzina?

s(km)

6. Funkcija y = kx ‡ k + 1 je opadajuÊa. Dokaæi da je odseËak koji grafik pravi na y-osi veÊi od 1.

7. Prava y = kx + n ne prolazi kroz: a) I; b) II; v) III kvadrant. Kakvog su znaka k i n?

60 40 20 0 1

t(čas)

8. Koja od datih slika moæe da predstavqa grafik funkcije y = ‡3x + c, gde je c neki pozitivan broj? слика 10 y

слика 11

слика 12

слика 13

9. Koje su funkcije Ëiji su grafici na prethodnim slikama rastuÊe a koje opadajuÊe?

6.5. Имплицитни облик линеарне функције Razmotrimo vezu izmeu promenqivih x i y oblika ax + by + c = 0, (a, b, c d R) . a c U sluËaju da je b razliËito od nule, ovu vezu moæemo reπiti po y: y =- x - . b b Odavde zakquËujemo da je y linearna funkcija od x, pa skup svih parova (x, y) taËaka u koordinatnoj ravni koji zadovoqavaju ovu vezu predstavqa grafik te funkcije, dakle to je prava linija. c U sluËaju da je b = 0 i a ! 0, vezu moæemo reπiti po x: x =- . Sada je x linea arna funkcija od y (Ëak konstantna). Skup svih parova (x, y) taËaka u koordinatnoj ravni kojima je apscisa konstantna je prava paralelna y-osi (vertikalna prava). Zato vezu ax + by + c = 0, ako je bar jedan od brojeva a ili b razliËit od nule, nazivamo implicitni oblik linearne funkcije. Kada je a = b = 0, c ! 0 ne postoje x i y koji zadovoqavaju datu vezu.

Dokaæi da su prave 3xx ‡ 5y + 7 = 0 i ‡6xx + 10 y ‡ 3 = 0 paralelne.

пример

Kada je a = b = c = 0 bilo koji par realnih brojeva, zadovoqava datu vezu.

3 7 6 3 Eksplicitni oblik jednaËine prve prave je y = x + a druge y = . Kako x+ 5 5 10 10 3 6 je = , prave imaju isti koeficijent pravca, pa su paralelne. 5 10

пример

слика 14

y 5 0 6= 4 + y –3 3 2x 2 x=2 1

Nacrtaj pravu Ëija je jednaËina: a) x = 2; b) y = ‡1; v) 2x ‡ 3y + 6 = 0. a) Prava je paralelna y-osi i seËe x-osu u taËki (2, 0). b) Prava je paralelna x-osi i seËe y-osu u taËki (0, ‡1). v) Dve taËke prave su na primer (0, 2) i (‡3, 0), jer je 2 · 0 ‡ 3 · 2 + 6 = 0, 2 · (‡3) ‡ 3 · 0 + 6 = 0.

Контролна питања

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3

y=–1

©ta je implicitni oblik linearne funkcije? Kako izgleda jednaËina vertikalne prave? Kako izgleda jednaËina horizontalne prave? Kako izgleda jednaËina kose prave? Kako izgleda jednaËina rastuÊe (opadajuÊe) prave?

Задаци 1. Nacrtaj prave: a) 2x ‡ y + 3 = 0; b) 5x ‡ 4y + 3 = 0; v) 4x ‡ 2 = 0. 2. TaËka (8, ‡3) pripada pravoj ax ‡ y + 5 = 0. Odredi a. 3. Nacrtaj pravu x = 2y ‡ 5. 4. Koliko je koordinatni poËetak udaqen od prave 3x + 4y = ‡12? 5. Napiπi jednaËinu prave koja sadræi koordinatni poËetak i paralelna je pravoj 3x ‡ 4y + 5 = 0. y x 6. Prava odseca na x-osi odseËak 5 a na y-osi 3. Proveri da je wena jednaËina + = 1 . 5 3 7. Dokaæi da su prave ‡x + 2y + 5 = 0, 2x ‡ 4y + 5 = 0 paralelne. IzraËunaj wihovo rastojawe.

100

Jedna od odlika savremenog života je ogroman broj informacija koje do nas svakodnevno stiæu. Te informacije često su sakrivene u moru numeriËkih podataka iz kojih ih treba izvući. Krupni problemi qudske civilizacije (zagaenost planete, prenaseqenost, natalitet, pandemije, migracije...), kao i problemi iz svakodnevnog života (kretawe cena, vozni red, vremenska prognoza, sportski i kulturni dogaaji...) izražavaju se često u formi numeriËkih podataka. Da bi se iz wih lakše izvukla neka informacija, ti se podaci prikazuju slikovito na razne načine. Sigurno ste na televiziji ili u novinama već viali ovakve slike. слика 1

5 6 5 4 3 2 1 0

4 3 2

ће о оле лет пр

ципеле рубље капути

е јес

зим

ципеле рубље капути

1 0

о пр

лећ

лет

јес

ен

зим

ПРОДАЈА пролеће лето јесен зима

Prva predstavqa linijski grafikon, druga stubični, a treća kružni dijagram prodaje navedene robe u hiqadama komada. Poseban deo matematike statistika bavi se obradom masovnih podataka. U ovoj lekciji naučićete da čitate i sami sastavqate grafičke prikaze numeriËkih podataka.

101

7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина Podatke sa kojima raspolažemo najpre na neki način sredimo, a zatim, u zavisnosti od toga kakvu informaciju želimo da izvučemo, biramo pogodan način za wihovo predstavqawe. Ako želimo da predstavimo zavisnost nekih podataka od drugih podataka, služimo se tabelama (pravougaonim šemama podeqenim na pravougaona poqa).

пример

Školski dnevnik je tipična tabela. U prvoj koloni (stupcu) ispisana su po nekom redu prezimena i imena učenika. Ostale kolone odgovaraju predmetima koje aci slušaju. Svakom aku odgovara vrsta (red) dnevnika. Wegove ocene iz pojedinog predmeta upisane su u poqe koje se nalazi u preseku wemu odgovarajuće vrste i kolone koja odgovara predmetu. Deo dnevnika

слика 2

Istorija

Geografija

Matematika

Hemija

Fizika

Srpski jezik

Fizičko

Adamović Petar

Marjanović Bogoqub

Petrović Dušan

Prezime ime

слика 3

Data je tabela:

пример

Učenik

102

Pliva (Da, Ne)

Vozi bicikl (Da, Ne)

Vozi rolere (Da, Ne)

Adamović Petar

Marjanović Bogoqub

Petrović Dušan

Živković Milena

Uskok Dušica

Mihajlović Senka

–urović Bogdanka

Kron Diana

ProËitajte iz we informacije: a) Koliko učenika ne ume da pliva? b) Koliki procenat učenika vozi bicikl? v) Da li više dečaka ili devojčica vozi rolere? 6 Odgovori: a) 3; b) = 75%; v) više devojčica vozi rolere. 8

Učenicima su podeqeni anketni listići na kojima zaokružuju gde su bili na raspustu: na moru, na planini, na selu ili kod kuće. Zatim je sastavqena tabela. Ukupno

||||

Planina

|||

|||| |||| ||

|||| |

пример

Prebrojavawe

Selo Kod kuće

Ona pokazuje način provoewa raspusta učenika tog odeqewa.

пример

Ukoliko su posmatrani podaci numeriËki, zavisnost jednih od drugih umesto tabelom pogodno je prikazati (linijskim) grafikonom. Iz tablice se pravi grafikon spajawem odgovarajuÊih taËaka u koordinatnoj ravni poligonalnom linijom. Prikaz grafikonom je pregledniji i shvatqiviji od prikaza tabelom, pa se često koristi za prikaz rezultata rada u firmama, fabrikama, školama...

Na sledećem grafikonu prikazan je uspeh učenika iz matematike, fizike i istorije u prvom tromesečju. Sa grafikona se, na primer, lako vidi da je najviše slabih ocena bilo iz matematike (4), a najviše odličnih (7) iz fizike.

слика 4

10 8

математика

физика

историја

2 0 слаб

добар врло добар одличан

Na ssledećem grafikonu je prikazana brzina kretawa vozila u posmatranih pet minuta vožwe. Iz grafikona se vidi da se vozilo u prvom minutu kretalo konstantnom brzinom 40 km na čas, da je u sledećem minutu (ravnomerno) kočilo i stalo, da je od drugog do trećeg minuta stajalo a zatim (ravnomerno) povećavalo brzinu, sve dok nije ponovo dostiglo 40 km na čas. U petom minutu voženo je konstantno tom brzinom.

v(km/h)

слика 5

50 40 30 20 10 1 2 3 4 5

t(min)

103

Контролна питања

Šta je tabela? Kako se pravi grafikon?

Задаци 1. Pročitajte sa grafikona (sl. 1) šta se najviše prodavalo u proleće. 2. Pretvorite grafikon (sl. 1) u tabelu. 3. Koliko aka ima u odeqewu prema slici 4? 4. Pretvorite grafikon iz primera 4 u tabelu. 5. Pretvorite tabelu iz primera 3 u grafikon. 6. Pretvorite tabelu iz dnevnika u grafikon koji će prikazivati uspeh učenika iz istorije, geografije i matematike.

7.2. Стубични и кружни дијаграми

пример

Pored tabela i grafikona postoje i drugi, često efektniji načini za prikazivawe podataka.

Tabelu iz primera 3 prethodne lekcije možemo efektnije prikazati stubičnim dijagramom sa kojeg se mnogo lakše vidi da je veÊina učenika provela deo raspusta na selu.

слика 6 14 12 10 8 6 4

Podaci su prikazani stubićima odgo- 2 varajuće visine. Širina stubića je 0 код куће море планина село proizvoqna, ali su svi stubići jednake širine. I razmak među stubićima je isti. To su jedina pravila za stubični način predstavqawa. Ponekad se koristi i višestubiËni prikaz.

104

број ђ

Marko i Janko pecali su zajedno prošle nedeqe. U tabeli je prikazano koliko su riba kojeg dana upecali. Ponedeqak

Utorak

Sreda

Četvrtak

Petak

Marko

Janko

пример

Isti podaci predstavqeni dvostubiËnim prikazom izgledaju ovako. слика 7

16 14 12 10 8

Марко

Јанко

4 2 0 понедељак

уторак

среда

четвртак

петак

Umesto stubića, podaci se često predstavqaju kružnim dijagramom (pitom).

Predstaviti sledeće tabelarne podatke pitom: Troškovi života

пример

Iznos (e)

Stan

Hrana

Odevawe

Zabava

300

250

100

Rešewe. Pun krug (360°) treba radijusima razdeliti na četiri isečka čije površine (i centralni uglovi) stoje u razmeri 300 : 250 : 100 : 40. Odgovarajući centralni ugao za prvo parče pite (troškovi za stan) je

ТРОШКОВИ ЖИВОТА

слика 8

стан храна

300 360° = 156, 5° . 300 + 250 + 100 + 40

одевање забава

105

3 пример

4 пример

250 360° = 130, 4° , za odevawe 690 100 40 360° = 52, 2° i za zabavu ostatak 360° = 20, 9° . PomoÊu uglomera delimo krug 690 690 (pitu) i dobijamo kružni dijagram. Za

hranu

odgovarajući

centralni

Kružni dijagram može biti i u trodimenzionalnoj 3D varijanti.

ugao

слика 9

Na dijagramu je prikazana raspodela qudi po krvnim grupama

КРВНЕ ГРУПЕ

0 група A група

O : A : B : AB = 40% : 39% : 16% : 5%.

Б група AБ група

Контролна питања

Kako se pravi stubični dijagram? Kako se podaci predstavqaju pitom?

Задаци 1. Pretvori podatke sa slike 9 u tabelu i u stubični dijagram. 2. Prokomentariši podatke sa stubiËnog dijagrama (sl. 6). 3. Prokomentariši podatke sa pite dijagrama (sl. 8). 4. Prokomentariši podatke sa pite dijagrama (sl. 9). 5. Pronai u novinama razne grafičke prikaze i protumači ih.

106

пример

7.3. Средња вредност и медијана

Marko je imao tokom godine ocene 1, 4, 5, 5, 5 na testovima iz matematike. Koju ocenu bi trebalo da dobije na kraju godine? Ako saberemo sve ocene dobijamo 1+4+5+5+5=20. Kako je bilo pet testova, na kraju treba da dobije ocenu 20 : 5 = 4. Ovako izračunat broj 4 je sredwa vrednost (prosek) svih wegovih ocena.

Uopšte, sredwa vrednost (prosek) brojeva a1, a2, ..., an je broj a =

a1 + a2 + f + an . n

Zabeležena temperatura po danima data je u sledeÊoj tabeli. Kolika je sredwa temperatura u toku prve nedeqe novembra?

пример

Sredwa vrednost se uvek nalazi izmeu najmaweg i najvećeg od datih brojeva (dokažite!), te predstavqa neku sredinu tih brojeva.

Dan

Temperatura

Rešewe:

4 + 10 + 12 + 6 7

5 + 12

= 7 stepeni.

Dva aka imaju sledeće ocene.

пример

Predmet 1 Predmet 2 Predmet 3 Predmet 4 Predmet 5 Predmet 6 Predmet 7 Predmet 8 –ak A

–ak B

Koji od wih ima boqi uspeh? Boqi je onaj ak koji je ostvario veći prosek ocena. Prosek ocena prvog aka je 4,5 a drugog 4,25. Boqi uspeh ima prvi ak.

107

Deo neke celine (u statistici se ona naziva populacija) nazivamo uzorak. Često je nemoguće za sve elemente populacije utvrditi da li imaju neko svojstvo ili ga nemaju, ali je moguće sačiniti dobar uzorak i na osnovu wega proceniti broj elemenata u populaciji koji imaju posmatrano svojstvo. Takav dobar uzorak pravi se slučajnim izborom elemenata iz populacije, odnosno izborom u kojem svaki element populacije ima istu šansu da ue u uzorak. Sredwa vrednost je važna numeriËka karakteristika vrednosti uzorka (i može se izračunati jer su vrednosti uzorka poznate). Ako je uzorak dobar, onda sredwa vrednost cele populacije ocewuje se sredwom vrednošću uzorka.

пример

Škola ima 500 aka. Ocenite koliko je aka obolelo od gripa, ako je meu slučajno izabranih 30 aka registrovano 6 obolelih aka. Naš uzorak čini 30 slučajno izabranih aka. Dodelimo svakom aku broj 1 ako je oboleo, a 0 ako nije. U uzorku onda imamo 6 jedinica i 24 nule. Sredwa vrednost po6 smatranih vrednosti uzorka je . Sredwa vrednost broja obolelih za celu školu je 30 x , gde je x ukupan broj obolelih. Prirodno je očekivati da su obe sredwe vred500 nosti približno jednake (jer smo dali jednaku šansu svakom aku da ue u uzorak). x 6 Iz dobijamo x = 100, te procewujemo da u celoj školi ima oko 100 obole= 500 30 lih od gripa.

Prosek nije jedina sredina koja se koristi.

пример

Na ai-tom kilometru nekog puta nalazi se kuća u kojoj stanuje i-ti ak, i = 1, 2, ..., n. Na kom kilometru tog puta treba sazidati školu tako da ukupan put koji svi aci preu idući u školu bude najkraći?

108

Rešimo zadatak prvo za n = 5 (sl. 10). Očigledno je da škola treba da bude negde izmeu prve i posledwe kuće na tom putu. Nije optimalno sazidati školu tako da sa jedne strane od we bude više kuća nego sa druge, jer od we postoji boqi poloæaj koji je malo bliži većem broju kuća. Zidawem škole u toj tački smawio bi se put do škole većem broju

слика 10

a4 a3

5 пример

dece a mawem povećao za istu vrednost i time smawio ukupan put svih aka do škole. Dakle, školu treba zidati tako da na putu bude jednak broj kuća s obe strane πkole! Otuda, prema slici 10, školu treba zidati na mestu sredwe kuće (na kilometru a3 puta). Potpuno ista situacija bila bi i da je broj kuća n neparan. Školu bi trebalo sazidati na mestu sredwe kuće na tom putu. U slučaju da je n parno, postoje dve sredwe kuće. Školu bi trebalo sazidati bilo gde izmeu wih, na primer na sredini.

Neka su dati brojevi a1, a2, ..., an. U slučaju da je n neparno, medijana je sredwi po veličini meu datim brojevima, a u slučaju da je n parno, medijana je aritmetička sredina (poluzbir) dva sredwa po veličini broja meu wima. Medijana datih brojeva je dakle broj m koji ima svojstvo da meu datim brojevima ima jednako mnogo brojeva mawih od m, kao i većih od m.

пример

Školu u primeru 5 treba, dakle, sazidati u tački čija je koordinata medijana brojeva a1, a2, ..., an.

Odredi medijanu brojeva 2, 1, 4, 6, 4. Poreamo date brojeve po veličini: 1, 2, 4, 4, 6. Sredwi broj je 4. Dakle, medijana je 4.

Odredi medijanu brojeva 2, 1, 4, 6, 5, 6, 7, 2. Poreamo date brojeve po veličini: 1, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 7. 4 5 Sada postoje dva sredwa broja 4 i 5. Medijana je = 4, 5 . 2

Контролна питања Šta je sredwa vrednost (prosek) datih brojeva? Koja svojstva ima prosek? Kako se procewuje sredwa vrednost populacije pomoću uzorka? Šta je medijana datih brojeva? Koja svojstva ima medijana?

109

Задаци 1. Odredi sredwu vrednost i medijanu brojeva: a) 1, 2, 3, 4, 5;

b) 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3;

v) ‡1, 2, ‡3, 4, ‡5.

2. Broj sunčanih dana u mesecima prikazan je tabelom. Mesec SunËanih dana

1 2

2 4

3 5

4 7

5 12

6 15

7 20

8 21

9 18

10 13

11 5

12 10

Koliki je prosek broja sunčanih dana u toku jednog meseca?

3. Dokažite da je prosek datih brojeva uvek izmeu najmaweg i najvećeg. 4. Raspodela ocena iz matematike u dva razreda data je u tabeli. Razred A Razred B

Nedovoqan 3 2

Dovoqan 4 2

Dobar 6 10

Vrlo dobar 3 3

Odličan 4 3

U kojem razredu je postignut boqi uspeh iz matematike? 5. U razredu ima 25 devojčica. Wihova prosečna visina je 130 cm. a) Objasni kako je izračunata ova prosečna visina; b) Ako je jedna devojčica visoka 132 cm, mora li u razredu postojati devojčica visoka 128 cm? v) Mora li većina devojčica biti visoka 130 cm? g) Ako se devojčice poreaju po visini od najniže do najviše, mora li ona u sredini biti visoka 130 cm? d) Mora li polovina devojčica biti niža od 130 cm, a druga polovina viša od 130 cm? 6. Od mesta A do mesta B ima 160 km koje treba preći za 2,5 sata. a) Kojom prosečnom brzinom treba voziti? b) Ako je utrošeno 1 sat za prvih 40 km puta, kojom prosečnom brzinom treba voziti ostatak puta? 7. U slučajnom uzorku od 100 lica 20 bi glasalo za lice A. Koliko glasova očekujemo da će lice A dobiti ako glasača ima 200000? 8. –ak je imao tri upisane ocene iz matematike i prosek 3,3 u prvom polugou. U drugom polugou ima dve upisane ocene i prosek 4,5. Koji prosek je ostvario na kraju godine? Koju ocenu bi trebalo da dobije na kraju godine?

110

U treÊem poglavqu govorili smo o linearnim jednaËinama sa jednom nepoznatom. Ciq ovog poglavqa je da se upoznamo sa sistemima linearnih jednaËina sa dve nepoznate, wihovim reπavawem ekvivalentnim transformacijama i wihovim primenama na mnogobrojne probleme u nauci i svakodnevnom æivotu.

8.1. Појам система линеарних једначина са две непознате

пример

Pojam linearne jednaËine sa dve nepoznate upoznaÊemo kroz primere, kao πto smo upoznali i druge matematiËke pojmove.

Ako je za 15 jednakih svezaka i 7 jednakih kwiga plaÊeno 2550 dinara, onda se to matematiËkim jezikom moæe zapisati kao 15xx + 7y 7y = 2550, gde je x nepoznata cena sveske, a y nepoznata cena kwige. Jednakost 15xx + 7y = 2550 je linearna jednaËina sa dve nepoznate x i y. Primetimo da je za x = 1 i y = 2 dobijena jednakost netaËna, jer je 15 + 14 = 29 ! 2550, a za x = 100 i y = 150 dobijena jednakost taËna, jer je 15 · 100 + 7 · 150 = 1500 + 1050 = 2550. Za ureeni par (x, y) = (1, 2) kaæemo da nije reπewe dobijene jednaËine 15xx + 7y = 2550, a za ureeni par (x, y) = (100, 150) kaæemo da jeste reπewe date jednaËine.

»iwenica da jedna kwiga vredi 10 puta viπe od sveske moæe se zapisati matematiËkim jezikom kao y = 10 x ili kao y ‡ 10 x = 0, gde je x cena sveske, a y cena kwige. I jednakost y = 10 x je linearna jednaËina sa dve nepoznate. Ureeni par (4, 40) je jedno reπewe ove jednaËine. PrimeÊujemo da ova jednaËina ima beskonaËno mnogo reπewa, jer za svaki realan broj a ureeni par (a, 10a) je weno reπewe.

111

пример

Jednakost 2xx + y = 7 je linearna jednaËina sa dve nepoznate x i y. Sva reπewa ove jednaËine dobijamo ako proizvoqno izaberemo x. Neka je x = t. OdgovarajuÊe y izraËunamo iz date jednakosti: y = 7 ‡ 2x = 7 ‡ 2t. Skup svih reπewa je {(t,, 7

2 )|

Ranije smo videli da u koordinatnom sistemu ovaj skup predstavqa pravu liniju Ëija je jednaËina y = 7 ‡ 2x.

Na osnovu prethodnih primera, moæe se zakquËiti: JednaËina oblika ax + by = c, gde su a, b i c dati realni brojevi, a x i y nepoznate naziva se linearna jednaËina sa dve nepoznate. Ureeni par realnih brojeva (x0, y0) je reπewe ove linearne jednaËine ako je taËna jednakost ax0 + by0 = c. Sva reπewa jednaËine Ëine skup wenih reπewa.

пример

Za 15 jednakih svezaka i 10 jednakih kwiga plaÊeno je 2550 dinara. Koliko koπta sveska, a koliko kwiga ako je kwiga 10 puta skupqa od sveske? Ako cenu sveske oznaËimo sa x, a cenu kwige sa y, istovremeno vaæe sledeÊe jednakosti: 15x + 7y = 2550 . ' y 10x Kaæemo da smo dobili sistem od dve jednaËine sa dve nepoznate. Primetimo da je ureeni par (30, 300) reπewe i jedne i druge jednaËine, tj. reπewe dobijenog sistema, jer je 15 · 30 + 7 · 300 = 2550 i 300 = 10 · 30. Kako smo dobili ovo reπewe? Da li je to i jedino reπewe sistema?

пример

Ako umesto y u prvu jednaËinu uvrstimo 10x, dobija se jednakost 15 x + 7 · 10 x = 2550 ili 85 x = 2550, pa je x = 2550 : 85 = 30. Tada je y = 10 x = 10 · 30 = 300. Dakle, cena jedne sveske je 30 dinara, a kwige 300 dinara.

112

Miπa i Neπa zajedno imaju 127 DVD-a sa filmovima, pri Ëemu Miπa ima 35 DVD-a viπe od Neπe. Koliko DVD-a ima Miπa, a koliko Neπa? Neka Miπa ima m, a Neπa n DVD-a. Tada se uslovi zadatka izraæavaju jednaËinama:

пример

m + n = 127 . m n = 35

Dobijene jednaËine Ëine sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate. Iz prve jednaËine je m = 127 ‡ n, pa se zamenom u drugu jednaËinu dobija 127 ‡ n ‡ n= 35. Reπavawem ove jednaËine dobija se 92 = 2n, tj. n = 46. Sada je m = 127 ‡ n = 127 ‡ 46 = 81. Dakle, Neπa je imao 46, a Miπa 81 DVD-a.

Dve jednaËine )

a1 x + b1 y = c1 Ëine sistem od dve linearne jednaËine sa dve a2 x + b2 y = c2

nepoznate x i y (gde su a1, b1, c1, a2, b2, c2 dati realni brojevi). a1 x0 + b1 y0 = c1 Ako su obe jednakosti ) taËne, onda je ureeni par (x0, y0) jedno a2 x0 + b2 y0 = c2 reπewe sistema. Skup svih ovakvih ureenih parova je skup svih reπewa ovog sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate.

x + 2y 2y 5 . 2x 3y = 11

Ureeni par (7, ‡1) je reπewe datog sistema jednaËina jer brojevi 7 i ‡1 zadovoqavaju i prvu i drugu jednaËinu: 7 + 2 · (‡1) = 5 i 2 · 7 + 3(‡1) = 11.

пример

Dat je sistem jednaËina '

Ureeni par (5, 0) nije reπewe datog sistema jednaËina, jer brojevi 5 i 0 zadovoqavaju prvu jednaËinu i ne zadovoqavaju drugu jednaËinu: 5 + 2 · 0 = 5 i 2 · 5 + 3 · 0 = 10 ! 11.

пример

Ureeni par (‡2, 5) nije reπewe datog sistema jednaËina, jer brojevi ‡2 i 5 zadovoqavaju drugu jednaËinu i ne zadovoqavaju prvu jednaËinu: ‡ 1 + 2 · 5 = 9 ! 5 i 2 · (‡2) + 3 · 5 = 11.

Dat je sistem jednaËina '

x + 2y 2y x + 2y 2y

3 . 5

Kako je nemoguÊe da vrednost izraza x + 2 y istovremeno bude i 3 i 5, dati sistem nema nijedno reπewe.

Sistem koji nema nijedno reπewe naziva se protivureËni ili nemoguÊ. x = x1 nazivamo sistem jednaËina u reπenom Sistem jednaËina oblika ' y = y1 obliku.

113

8 пример

Sistem jednaËina '

x=5 predstavqa sistem jednaËina u reπenom obliku. Wegovo y=8 jedino reπewe je ureeni par (5, 8).

Reπiti sistem dve jednaËine sa dve nepoznate znaËi odrediti skup reπewa.

Контролна питања

©ta je linearna jednaËina sa dve nepoznate? ©ta je reπewe linearne jednaËine sa dve nepoznate? ©ta je sistem linaernih jednaËina sa dve nepoznate? Kada se govori o sistemu jednaËina u reπenom obliku? ©ta je reπewe sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate? Kada je sistem jednaËina nemoguÊ?

Задаци 1. Date su jednaËine: a) x + y = 5, b) a3 = a + 6, v) m + 7 = n ‡ 10, g) y2 + z2 = 1. Koje od wih su jednaËine sa dve nepoznate? Koje od datih jednaËina su linearne? 2. Napiπi linearne jednaËine koje prevode sledeÊe reËenice na matematiËki jezik: a) Zbir dva broja je 57, b) Razlika dvostrukog broja x i trostrukog broja y je 2010, v) KoliËnik dva broja je 9. 3. Dokaæi da su ureeni parovi (a, b) = (3, 4) i (a, b) = (‡1, 7) reπewa jednaËine 3a + 4b = 25. 4. Dokaæi da ureeni parovi (m, n) = (1, 4) i (m, n) = (5, ‡2) nisu reπewa jednaËine 8m + 3n = 7. 5. Data je linearna jednaËina 3x ‡ 2y = 7. Odredi brojeve p i q tako da ureeni parovi (p, 4) i (1, q) budu reπewa date jednaËine. 6. Napiπi linearnu jednaËinu sa dve nepoznate Ëije je jedno reπewe (x, y) = (7, ‡ 4 ). 7. Da li jednaËine x + y = 2010 i x = 123 Ëine sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate? 2a + 5b = 14 . Koji od ureenih parova (a, b) su 8. Dat je sistem linearnih jednaËina J : ' 7a - b = 12 reπewa datog sistema jednaËina: a) (7, 0), b) (2, 2), v) (‡2, 5)? 9. Napiπi bar jedan sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate Ëije reπewe je (x, y) = (3, 0).

114

10. Dokaæi da ureeni parovi (‡1, 5) i (4, 9) nisu reπewa sledeÊeg sistema linearnih 3p + 11q = 52 jednaËina sa dve nepoznate: J : ' . 6q - 5p = 34 11. Da li postoje realni brojevi x i y, takvi da je 7x ‡ 2y = 15 i 28x ‡ 8y = 36?

8.2. Еквивалентност система линеарних једначина са две непознате U poglavqu o jednaËinama govorili smo o ekvivalentnim jednaËinama i upoznali nekoliko transformacija koje jednaËine (ne mewajuÊi wihov skup reπewa) prevode u jednaËine u reπenom obliku. Ciq ove nastavne jedinice je da se upoznamo sa transformacijama koje dati sistem jednaËina prevode u sistem jednaËina u reπenom obliku, ne mewajuÊi pri tom wegov skup reπewa. Takve transformacije nazivamo ekvivalentne transformacije sistema.

пример

Sistemi jednaËina

J1 : '

x=5 y =- 3

J2 : '

2x = 10 3y =- 9

J3 : '

2y =- 6 x 15

su ekvivalentni. Ureeni par (5, ‡3) je jedino reπewe i prvog i drugog i treÊeg sistema jednaËina, poπto se deqewem jednaËina sa 2 i 3 i zamenom wihovog redosleda J2 i J3 svode na sistem jednaËina J1, koji je u reπenom obliku. Sisteme koji imaju isti skup reπewa nazivamo ekvivalentnim sistemima. Transformacije koje ne mewaju skup reπewa sistema nazivamo ekvivalentne transformacije. Ekvivalentne transformacije sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate zasnivaju se na poznatim Ëiwenicama i veÊ ranije upoznatim osobinama realnih brojeva: ako je a = b i b = c, onda je a = c; ako je a = b, onda je a + c = b + c i obrnuto; ako je c ! 0, onda iz a = b sledi ac = bc i obrnuto. Na osnovu wih, zakquËujemo da sledeÊe transformacije ne mewaju skup reπewa sistema (sa L i D smo oznaËili levu, odnosno desnu stranu jednaËina): Transformacija 1. Zamena redosleda jednaËina: L 2 = D2 L 1 = D1 ekvivalentno sa ' . ' L 1 = D1 L 2 = D2

115

Transformacija 2. Promena jedne jednaËine mnoæewem wenih strana sa brojem razliËitim od nule: L 1 = D1 L 1 = D1 ekvivalentno sa ' . ' tL 2 = tD2, t ! 0 L 2 = D2 Transformacija 3. Promena jedne jednaËine dobijena dodajuÊi wenim stranama proizvoqni umnoæak strana druge jednaËine: L 1 = D1 L 1 = D1 ekvivalentno sa ' . ' L 2 = D2 L 2 + t $ L 1 = D2 + t $ D1 Transformacija 4. Nepoznatu iz jedne jednaËine sistema izraziti kao funkciju druge nepoznate, pa je u drugoj jednaËini zameniti dobijenim izrazom.

пример

Sistemi jednaËina su ekvivalentni.

J1 : '

22xx 3y = 8 y x+1

J2 : '

x=1 y=2

Zamenom vrednosti y = x + 1 iz druge u prvu jednaËinu sistema J1 dobija se jednaËina 2xx + 3(x + 1) = 8, tj. 5x + 3 = 8 ili 5x = 8 ‡ 3 = 5. Reπewe dobijene jednaËine je x = 5 : 5 = 1. Sledi da je y = x + 1 = 1 + 1 = 2. Sistemi jednaËina J1 i J2 su ekvivalentni, jer je ureeni par (1, 2) jedino reπewe i jednog i drugog sistema jednaËina.

Контролна питања

Kada su dva sistema jednaËina ekvivalentni? Navedi ekvivalentne transformacije sistema jednaËina.

Задаци 1. Da li su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : '

x=0 2x + 3y = 15 i J2 : ' ? y=5 4y - 5x = 20

2. Dokaæi da su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : '

116

5a - 6b = 4 a=2 i J2 : ' . 2a + 7b = 11 a+b=3 x=1 5x = 5 3. Dati su sistemi linearnih jednaËina sa dve nepoznate: J1 : ' , J2 : ' , y =- 2 3y =- 12 2x = 2 J3 : ' . Koji od datih sistema su ekvivalentni? 7y =- 21 12p + 13q = 14 3p = 0 i J2 : ' nisu ekvivalentni. 4. Dokaæi da sistemi jednaËina J1 : ' 4p - 5q = 6 2q = 2 m=2 5. Napiπi bar jedan sistem jednaËina ekvivalentan sa sistemom jednaËina: J : ' . n=9 x=1 x=1 x+y=7 2x = 8 6. Da li su ekvivalentni sistemi: a) J1 : ' , J2 : ) 2 ; b) J1 : ' , J2 : ' . y=4 x-y=1 2x + y = 11 y = 16

8.3. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом смене Reπavawe sistema linearnih jednaËina metodom smene zasniva se na transformaciji 4:

пример

Nepoznatu iz jedne jednaËine sistema izraziti kao funkciju druge nepoznate, pa je u drugoj jednaËini zameniti dobijenim izrazom.

Reπi sistem linearnih jednaËina: '

x=9 . 3x 2y = 31

Nepoznata x iz prve jednaËine sistema zamewuje se u drugu jednaËinu sistema. Dobijamo niz ekvivalentnih sistema: x=9 x=9 x=9 x=9 x=9 , ' , ' , ' , ' ' 3x 2y = 31 3 9 + 2y 2y 27 2y = 31 2y 31 31 - 27 4 y = 4: 2 = 2 y=2

Postupak reπavawa je jednostavan. Korak 1: Iz jedne jednaËine izraËunaj jednu nepoznatu (nazovimo je prva) kao (linearnu) funkciju od druge nepoznate. Korak 2: Zameni prvu nepoznatu u drugoj jednaËini dobijenim izrazom. Korak 3: Reπi dobijenu (linearnu) jednaËinu po drugoj nepoznatoj. Korak 4: Zameni dobijenu vrednost za drugu nepoznatu u izraz za prvu nepoznatu i izraËunaj je.

пример

Odredi reπewe sistema linearnih jednaËina: '

x=y+2 . 2x 5y = 11

I u ovom sluËaju se reπavawe sistema linearnih jednaËina odvija preko ekvivalentnih sistema jednaËina, s tim πto je najjednostavnije nepoznatu x iz prve jednaËine sistema zameniti u drugu jednaËinu: x y+2 x=y+2 x y 2 x=y+2 , ' , ' , ' , ' 2x 5y = 11 2 (y ) + 5y 11 11 2y + 4 5y = 11 7y 4 = 11 '

x=y+2 7y 11 11 4

, '

x=y+2 x=1 , ' y = 7: 7 = 1 y=1

117

пример

Reπi sistem linearnih jednaËina: '

3a 2a

2b 15 . b 17

Najjednostavnije je iz druge jednaËine izraziti nepoznatu b kao funkciju od a i zameniti je u prvoj jednaËini dobijenim izrazom. DobiÊe se jednaËina po a koju treba reπiti, a zatim izraËunati b: 3a 2b 15 3a 2b = 15 3a 2 ( ) = 15 3a a 15 , ' , ' , ' , ' 2a b 17 b 1 a b 17 2a b 17 2a '

7a b

3344

15 7a , ' a b

15 15

34 a

, '

a b

49: 7

7 a=7 , ' a b = 17 - 2 $ 7

пример

Cana i Dana treba da podele 2345 dinara, tako da Cana dobije 789 dinara viπe od Dane. Koliko novca Êe dobiti Cana, a koliko Dana? Ako novac koji treba da dobije Cana obeleæimo sa c, a novac koji treba da dobije Dana sa d, dobijamo sistem jednaËina: c + d = 2345 i c ‡ d = 789. Reπavawem sistema jednaËina dobija se: c d = 2345 c d = 2345 d 9 d = 2345 2d + 789 = 2345 , ' , ' , ' , ' c d = 789 c d + 789 c d + 789 c d + 789 '

d = 1556: 2 = 778 d = 778 , ' . c d + 789 c = 778 + 789 = 1567

Dakle, Cana Êe dobiti 1567, a Dana 778 dinara.

Задаци 1. Metodom smene reπi sledeÊe sisteme linearnih jednaËina: 2x + 3y = 15 a =- 2 , b) ' . a) ' x=3 4b - 5a = 18 2. Odredi reπewa sistema jednaËina: 3x + 4y = 24 7a + 3b = 34 6m + 7n =- 1 , b) ' , v) ' . a) ' x-y=3 a = 2b m+n=0 3. Reπi sisteme jednaËina: 8x - 3y = 5 2p + 5q = 20 0, 2a + 0, 3b = 1, 2 , b) ' , v) ' . a) ' x + 3y = 4 3p - q = 13 0, 4a - 0, 1b = 1 1 2 2 1 x+ y=3 x- y=5 , b) * 5 . 4. Odredi reπewa sistema jednaËina: a) * 2 3 4 x-y=1 4x = 15y 5. Zbir dva broja je 2010, a wihova razlika 666. O kojim brojevima je reË?

118

6. U pravougaoniku Ëiji je obim 100 cm, jedna stranica je za 8 cm veÊa od druge. Odredi povrπinu tog pravougaonika. 7. Obim jednakokrakog trougla je 32 cm, a krak i osnovica se odnose kao 5 : 6. Kolika je povrπina datog trougla? 3x + y = 25 x - 4y = 25 , b) ' . 8. Reπi sistem jednaËina: a) ' 9x + 3y = 30 5x - 20y = 125

8.4. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената Reπavawe sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate metodom suprotnih koeficijenata zasniva se na ekvivalentnim transformacijama a posebno na transformaciji 3. U sluËaju da su koeficijenti uz neku nepoznatu suprotni, sabirawem jednaËina po stranama dobija se jednaËina u kojoj se ta nepoznata ne pojavquje (jer je koefijent uz wu jednak nuli), a koja moæe da zameni jednu jednaËinu sistema.

пример

Reπi sistem linearnih jednaËina: '

5y = 7 . 5y = 13

Sistem linearnih jednaËina reπava se preko ekvivalentnih transformacija sistema, s tim πto se umesto druge jednaËine sistema zapisuje zbir prve i druge jednaËine sistema, Ëime se postiæe da druga jednaËina ostane sa samo jednom nepoznatom. Kada se ona izraËuna, lako je izraËunati i vrednost druge nepoznate. Konkretno: 3x 5y = 7 3x 5y = 7 3x 5y 7 3x 5y = 7 , ' , ' , ' , ' 2x 5y = 13 3x 5x 2x 5y = 13 + 7 5x 20 x = 20: 5 4 '

пример

3x 2x

12 - 5y 5y x=4

, '

-5y 5y 7 - 12 = - 5 y= ( , ' x=4 x=4

Odredi reπewe sistema linearnih jednaËina: '

3a 2a

): ( 5) = 1

2b 6 . 3b = - 9

U prethodnom primeru prvu i drugu jednaËinu bilo je moguÊe sabrati direktno. Meutim, u ovom primeru to ne bi dalo rezultat, jer su koeficijenti uz obe nepoznate razliËiti. Da bismo dobili jednake koeficijente, ali suprotnog znaka, pogodno je da prvu jednaËinu pomnoæimo sa 3, a drugu sa 2 i potom primenimo postupak kao u prethodnom primeru:

119

2 пример

3a 2a

2b 6 9a , ' 3b = - 9 4a '

6b = 18 9a 6b , ' 6b = - 18 13a = 0

, '

9a 6b 18 , a = 0: 13 0

0 6b = 18 b = 18: (- 6) b =- 3 , ' , ' . a=0 a 0 a 0

пример

Anka je kupila 3 kgg braπna i 5 kgg πeÊera i platila 424 dinara. U istoj prodavnici Branka je kupila 5 kgg braπna i 8 kgg πeÊera i platila 686 dinara. Koliko koπta 1 kg braπna, a koliko 1 kgg πeÊera? Ako cenu braπna oznaËimo sa b, a cenu πeÊera sa s, onda je na osnovu uslova zadatka 3b + 5s = 424 i 5b + 8s = 686. Dakle, dobili smo sistem od dve linearne jednaËine sa dve nepoznate. Sistem reπavamo metodom suprotnih koeficijenata, tako πto prvu jednaËinu mnoæimo sa 5, a drugu sa ‡ 3: 3b 5s = 424 | $ 5 15b s = 2120 , ' . ) 5b 8s = 686 | (- 3) -15 15b s =- 2058 U narednom koraku umesto druge jednaËine koristimo zbir prve i druge jednaËine: 15b s = 2120 15b + 25 $ 62 = 2120 , ' , ' 25s 24s = s 2120 2058 62 s = 62 '

15b s 62

, '

b = 570: 15 = 38 s = 62

Prema tome, 1 kg braπna koπta 38 dinara, a 1 kg πeÊera 62 dinara.

Na osnovu uraenih primera moæemo zakquËiti da se metoda suprotnh koeficijenata primewuje kod sistema Ëiji su svi koeficijenti uz nepoznate razliËiti od nule i da ima sledeÊe korake. Korak 1. Proveri da li su koeficijenti uz neku promenqivu u jednaËinama suprotni. Ako jesu, idi na korak 2. U suprotnom, idi na korak 3. Korak 2. Zameni drugu jednaËinu sistema zbirom jednaËina (sabirawem po stranama) i idi na korak 4. Korak 3. Pomnoæi strane prve i druge jednaËine pogodnim brojem da dobijeπ suprotne koeficijente uz izabranu nepoznatu (ako su koeficijenti uz nepoznatu bili a i A, pomnoæi strane jednaËina redom sa A i ‡a) i idi na korak 2. Korak 4. Reπi drugu jednaËinu i idi na korak 5. Korak 5. Iz prve jednaËine izraËunaj preostalu nepoznatu.

120

Задаци 1. Odredi reπewa sistema jednaËina: 2x + 3y = 15 6a + 5b = 22 , b) ' , a) ' 5x - 3y = 6 7b - 6a = 2

v) '

4m + 9n = 13 . 5n - 2m = 3

2. Reπi sisteme jednaËina: a) '

3x + 4y = 25 a + 2b = 3 7c + d = 9 , b) ' , v) ' . x - y =- 1 3a + b = 2 5c + 11d = 27 3. Odredi reπewa sistema jednaËina: 5x + 3y = 16 3p - 10y = 13 4m = 7n , b) ' , v) ' . a) ' 4x + 7y = 22 8p + 7y = 1 5m = 9n 4. Reπi sistem jednaËina: Z1 3 ]] x + y = 8 8x = 5y 3 (x + 1 ) = 4 (y - 2 ) 5 , b) [ 12 , v) ) . a) ' 7 4x + 3y = 44 y-x=3 ] 4 x - 10 y =- 6 \ 5. Za 5 svezaka i 7 olovaka plaÊeno je 220 dinara. Koliko koπta 7 svezaka i 5 olovaka ako je sveska za 20 dinara skupqa od olovke? 6. Dva broja Ëija je aritmetiËka sredina 37, razlikuju se za 8. O kojim brojevima je reË? 7. Dvocifreni broj je 4 (Ëetiri) puta veÊi od zbira svojih cifara, a 12 (dvanaest) puta veÊi od wihove razlike. Odredi taj dvocifreni broj. 8. Reπi sistem jednaËina: a) '

3x + 8y = 34 4x - 7y = 15 , b) ' . 12x + 32y = 96 8x - 14y = 30

8.5. Графички приказ решења система линеарних једначина са две непознате

пример

Reπavawe sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate grafiËkom metodom zasniva se na Ëiwenici da se skup reπewa svake linearne jednaËine po nepoznatim x i y moæe prikazati kao skup taËaka u Dekartovom xOy koordinatnom sistemu (prava ako je bar jedan koeficijent uz nepoznate razliËit od nule, odnosno cela ravan ili prazan skup ako su oba koeficijenta uz nepoznate jednaka nuli). Skup reπewa sistema linearnih jednaËina biÊe tada presek skupova reπewa svih jednaËina sistema. Situacije koje pri tom mogu nastati ilustrujemo sledeÊim primerima. GrafiËkom metodom odredi reπewa sistema linearnih jednaËina: '

y 2x y=5

JednaËina y ‡ 2x = 3, tj. jednaËina y = 2x + 3, u Dekartovom koordinatnom xOy Oy sistemu predstavqa pravu a Ëija je jednaËina y = 2x + 3.

121

y=5 =

5 SS(1,5) (1,5) 4 3 B(0,3) 0 2 1

слика 1

Tačka

пример

Prava a: y ‡ 2xx = 3

‡2

‡1

--5 -4 - -3 - -2 - -1 0 1 2 -11 C(-2,-1) ( -22 -33 -44

2 пример

3 пример

Sve taËke prave a, dakle beskonaËno mnogo taËaka imaju osobinu da wihove koordinate zadovoqavaju jednaËinu y = 2x + 3, a sve taËke prave b imaju koordinatu y jednaku 5. Prave a i b se seku u taËki S Ëije su koordinate x = 1, y = 5. Koordinate taËke S(x, y) imaju obe osobine, tj. y = 2x + 3 i y = 5. S obzirom na to da je crtawe pravih u koordinatnoj ravni ograniËene preciznosti, dobro je da uvek proverimo da li ovako procewene koordinate taËke preseka pravih sa crteæa zadovoqavaju obe jednaËine sistema. Zato proveravamo, x = 1, y = 5 je zaista reπewe datog sistema jednaËina, jer je 5 ‡ 2 · 2 = 1 i 5 = 5.

GrafiËkom metodom reπi sistem linearnih jednaËina: '

122

y 6

y=2 x+3

UoËimo i pravu b Ëija je jednaËina y = 5. Prava a je definisana taËkama B i C (vidi tablicu), a prava b: y = 5 je paralelna sa x-osom iznad we na rastojawu 5.

2x 3y = 5 . x =- 2

Kao i u prethodnom primeru, u Dekartovom koordinatnom xOy Oy sistemu konstruiπemo pravu c Ëija je jednaËina 2x + 3y = 5 (pomoÊu tablice i taËaka M i N) N i pravu d Ëija je jednaËina x = ‡2 koja je paraслика 2 lelna sa y-osom na rastojawu 2 levo od we. Prave c i d seku se u taËki S Ëije su koordinate (‡2, 3). OËigledno je da koordinate taËke S zadovoqavaju sistem.

‡5

x=-2

N(-5,5)

Prava c: 2xx +3y = 5 Tačka

2x +3 y=

S(-2,3)

5 4 3 2 1

M(1,1)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2

GrafiËkom metodom odredi reπewa sistema jednaËina '

3 4 5x

3x 2y = 1 . x + 4y 4y 5

Jednakosti 3xx ‡ 2y = 1 i x + 4y = 5 su jednaËine pravih koje su u xOy O ravni predstavqene pravom p (zadata taËkama A i B), odnosno pravom q (zadata taËkama C i D).

Prave p i q seku se u taËki S(1, 1). Proverom se utvruje da je x = 1 i y = 1 zaista reπewe datog sistema jednaËina, jer je 3 · 1 ‡ 2 · 1 = 1 i 1 + 4 · 1 = 5. слика 3

пример

Tačka

‡2

‡1

y 6

x+4y= 5

D(-3,2) -3,2)

Prava q: x + 4y = 5 Tačka

‡3

3x -2y =1

Prava p: 3xx ‡ 2y = 1

5 4 3 2 1

A(3,4) A(3,4)

S(1,1) (1,1) C(5,0) 5,0) 3 4 5 6 7x

- -4 - -3 - -2 - -1 0 1 2 -5 -11 B(-1,-2)) -22 B(-1,-2) -33 -44

GrafiËkom metodom reπi sistem jednaËina '

2x 4x

y 3 . 2y = 6

Ako date jednaËine predstavimo pravama m i n u Dekartovoj koordinatnoj xOy Oy ravni, onda se dobija:

пример

Tačka

‡3

Prava n: 4x ‡ 2y 2y = 6 Tačka

‡1

слика 4

y 6 5 4 3 2 1

y=2 -2x x-3 +y= -3

Prava m: 2x ‡ y = 3

D(3,3) B(2,1)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x C(1,-1) -1 -2 -3 A(0,-3) -4

OËigledno je da se prave m i n poklapaju, tj. svaka taËka prave m je i taËka prave n. To znaËi da dati sistem ima beskonaËno mnogo reπewa. Ako je x = tt, onda je y = 2x ‡ 3 = 2tt ‡ 3. Ureeni par (t, t 2t ‡ 3), gde je t neki realan broj, predstavqa opπte reπewe date jednaËine. Primetimo i da su obe jednaËine datog sistema ekvivalentne, jer se svode na jednaËinu 2xx ‡ y = 3.

123

GrafiËkom metodom odredi reπewa sistema linearnih jednaËina ' Prava a: 2x + y = 3

слика 5

‡1

Prava n: 4xx + 2y = ‡2

‡2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x N(2,-1) -1 Q(0,-2) -2 -3 -4 +3

M(-1,5) 5 4 3 P(-2,2) 2 1

x y=2

y 6

=-2

Tačka

y 3 . 2y = - 4

y 2x+

пример

Tačka

2x 4x

Ako reπewa jednaËine 2x + y = 3 predstavimo kao pravu u Dekartovoj koordinatnoj ravni (pomoÊu taËaka M i N N), a jednaËinu 4x + 2y = ‡ 4 pravom b (pomoÊu taËaka P i Q), onda je jasno da se te dve prave ne seku, tj. paralelne su. To dokazuju i wihovi koeficijenti pravca, jer obe prave imaju koeficijent k = ‡2. Takav sistem smo veÊ susretali, utvrdili da on nema reπewa i zvali nemoguÊim ili protivureËnim. Zaista, jednaËine 2xx + y = 3 i 2x + y = ‡ 2 su protivureËne.

Iz prethodnih primera moæemo izvesti sledeÊe zakquËke. Neka sistemu jednaËina )

a1 x + b1 y = c1 u Dekartovoj koordinatnoj xOy a2 x + b2 y = c2 ravni odgovaraju dve prave Ëije su jednaËine: a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2. Ako se prave a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2 seku u taËki S(xo, yo), sistem ima jedinstveno reπewe x = xo i y = yo. Ako se prave a1x + b1y = c1 i a x + b2y = c2 poklapaju, sistem ima beskonaËno mnogo reπewa. Ako su prave a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2 paralelne, sistem nema reπewa.

Задаци 1. GrafiËkim metodom reπi sistem jednaËina: a) '

124

2x + y = 5 3x - y = 9 , b) ' . y=3 x=4 2. GrafiËkim metodom odredi reπewe sistema jednaËina: 3x + y = 6 6x - 4y = 2 , b) ' . a) ' x + 3y = 10 2x + 3y = 5 3. GrafiËkim metodom reπi sistem jednaËina: 2x + y = 7 4x - y = 3 , b) ' . a) ' 4x + 2y = 10 12x - 3y = 9

8.6. Примена система линеарних једначина са две непознате Sistemi linearnih jednaËina sa dve nepoznate imaju znaËajne primene kako u matematici, tako i u drugim naukama, ali i u mnogobrojnim problemima iz svakodnevnog æivota. NajznaËajnije primene sistema linearnih jednaËina ilustrujemo sledeÊim primerima.

пример

Zbir dva broja je 52. Ako se veÊi od wih podeli mawim, dobija se koliËnik 9 i ostatak 2. O kojim brojevima je reË? Neka je veÊi od traæenih brojeva x, a mawi y. Tada je x + y = 52 i tada je x = 9y + 2, pa dobijamo sistem jednaËina: x + y = 52 . ' x 9y 9y 2 Transformacijom dobijenog sistema u niz ekvivalentnih sistema i primenom metode smene (jer je nepoznata x u drugoj jednaËini sistema veÊ izraËunata) nalazimo: '

x + y = 52 9y 2 + y = 52 10y = 52 - 2 10y = 50 , ' , ' , ' , x 9y 9y 2 x 9yy 2 x 9y 9y 2 x 9yy 2 y = 50: 10 = 5 y=5 , ' . ' x 9y 9y 2 x = 9 $ 5 2 47

Traæeni brojevi su 47 i 5. Wihov zbir je 52, a pri deqewu 47 sa 5 dobija se koliËnik 9 i ostatak 2.

пример

Pre Ëetiri godine Marko je bio Ëetiri puta stariji od Nenada, a za Ëetiri godine Marko Êe biti tri puta stariji od Nenada. Koliko godina sada ima Marko, a koliko Nenad? Ako Marko sada ima m, a Nenad n godina, onda su pre 4 godine imali m ‡ 4, odnosno n ‡ 4 godina i tada je m ‡ 4 = 3(m ‡ 4). Za 4 godine Marko Êe imati m + 4 godina, a Nenad n + 4 godina i tada Êe biti m + 4 = 3(n + 4). Dobijamo sledeÊi sistem jednaËina: m 4 4( ) . ' m+4 3( ) Transformacijom sistema jednaËina dobija se:

125

2 пример

m 4 m+4

4( 3(

) m 4 , ' ) m+4

4n - 16 m , ' 3n + 12 m

44n n 3n

4 - 16 m , ' 4 + 12 m

4n 3n 3n

12 . 8

Ako vrednost nepoznate m iz prve jednaËine zamenimo u drugoj jednaËini, dobija se: '

m 4n 12 12 m 4n 12 m 4n , ' , ' 4n 12 3n + 8 4n 3n = 12 + 8 n = 20

1122

, '

m = 4 20 n = 20

ZnaËi Marko sada ima 68, a Nenad 20 godina. Pre Ëetiri godine Marko je imao 64, a Nenad 16 godina, πto je 4 puta viπe. Za Ëetiri godine Marko Êe imati 72, a Nenad 24 godine, πto je 3 puta viπe.

пример

Odredi jednaËinu prave p, koja sadræi taËke: A(1, 3) i B(4, 6). Neka je jednaËina traæene prave y = kxx + n. Kako taËke A i B pripadaju traæenoj pravoj, to koordinate taËaka zadovoqavaju jednaËinu prave, πto znaËi da je: 3 = k · 1 + n i 6 = k · 4 + n. k n=3 Iz uslova zadatka dobijamo sistem jednaËina: ' koji reπavamo metodom 4k n 6 smene. Dakle, k n=3 n k n k n k , ' , ' , ' , ' 4k n 6 4k n 6 4k 3 k 6 3k 3 = 6 '

n 3k

k 3

, '

n k=1

, '

n=3-1 k=1

пример

Traæena jednaËina je y = kxx + n, tj. y = x + 2.

Od Novog Sada do Beograda turistiËki brod putuje Dunavom 3 sata. Od Beograda do Novog Sada isti turistiËki brod putuje Dunavom 5 sati. Za koliko sati Êe Dunavom iz Novog Sada do Beograda stiÊi plastiËna boca u kojoj je Milica svojoj drugarici Veri poslala reπewe ovog zadatka ako je rastojawe od Beograda do Novog Sada Dunavom 75 km? Neka je v1 brzina broda, v2 brzina Dunava. Znamo da je rastojawe izmeu Novog Sada i Beograda 75 km, a znawa iz fizike ukazuju na to da se preeni put izraËunava kada se brzina kretawa pomnoæi sa vremenom utroπenim za prelazak puta. Na osnovu toga je (v1 + v2) · 3 = 75 i (v1 ‡ v2) · 5 = 75, jer nizvodno Dunav ubrzava brod, a uzvodno Dunav usporava brod. Dobija se sistem jednaËina:

)

126

3 ( 5$ (

1 1

75 v1 + v2 = 25 ili ' . v1 v2 = 15 2) = 75 2)

4 пример

Sistem jednaËina reπavamo metodom suprotnih koeficijenata tako πto prvu jednaËinu zadræimo, a umesto druge napiπemo zbir prve i druge jednaËine. Na taj naËin dobijamo: v1 + v2 = 25 v1 + v2 = 25 v1 + 20 = 25 v2 = 5 , ' , ' , ' . ' 2v1 = 40 v1 = 20 v1 = 20 v1 = 20 Vreme za koje Êe boca preÊi put od Novog Sada do Beograda je t =

s 75 = = 15 sati. v2 5

Задаци 3 . O kojim brojevima je reË? 7 2. Dva broja se razlikuju za 19, a zbir wihovih treÊina je 27. Koji su to brojevi? 1. Zbir dva broja je 2010, a wihov koliËnik je

3. Zbir dva broja je tri puta veÊi od wihove razlike. Odredi o kojim brojevima je reË ako se, kada jedan saberemo sa 10, a od drugoga oduzmemo 10, dobiju jednaki brojevi. 4. Na ekskurziji je bilo 64 uËenika. DevojËice su smeπtene u Ëetvorokrevetne, a deËaci u trokrevetne sobe. Koliko je bilo deËaka, a koliko devojËica ako su upotrebqene dve Ëetvorokrevetne sobe viπe? 5. ©kola je nabavila 120 uxbenika i 80 zbirki zadataka i platila ukupno 72000 dinara. Za tri uxbenika plati se kao za Ëetiri zbirke. Kolika je cena uxbenika, a kolika zbirke? 6. Mira i Vesna imaju jednake sume novca. Mira potroπi 42 dinara, a Vesna 214 dinara. Koliko su novca imale ako sada Mira ima tri puta viπe novca nego Vesna? 7. Pas je ugledao zeca na razdaqini od 240 m ispred sebe. Zec pretrËi 500 m za 2 minuta, a pas pretrËi 1325 m za 5 minuta. Za koje vreme Êe pas stiÊi zeca? 8. Sada sin ima 9 godina, a wegov otac 35. Za koliko godina Êe otac biti 3 puta stariji od sina? 9. U jednom magacinu bilo je 4 puta viπe jabuka nego u drugom. Kada je iz veÊeg magacina izdato 950 kg, a iz maweg 50 kg jabuka, na oba mesta je ostala ista koliËina jabuka. Koliko jabuka je bilo u svakom magacinu?

127

2.1. Ваљак 9.1. Питагорина и његови теорема елементи

пример

Na slici vidimo poznatu nam maπinu koja sluæi za zavrπno ravnawe asfalta prilikom izgradwe puteva. Wen najvaæniji deo (onaj koji pritiskom ravna) ima oblik vaqka, pa i maπinu nazivamo vaqak. Znamo i neke jednostavne alatke oblika vaqka koje nam sluæe u poqoprivredi ili za ravnawe sportskih terena od πqake, ali i savremenije graevinske maπine, alatke za vaqawe limova u vaqaonicama i sl.

слика 1

Navedi joπ neke objekte koji imaju oblik vaqka. Silosi za æitarice i druge poqoprivredne proizvode, konzerve, oklagija...

слика 2

слика 3

128

Vaqak, osnovni elementi. Posmatrajmo pravougaonik SAA1S1. Ako se on obrne oko svoje stranice SS1 za 360°, pa objeS1 A1 dinimo sve taËke prostora kroz koje pri tome prou taËke pravougaonika, dobiÊemo telo koje nazivamo vaqak. Prava o(S,S1) je osa tog vaqka a duæina duæi SS1 je wegova visina; visinu Êemo oznaËavati sa H. UoËavamo da su pri tom obrtawu stranice SA i S1A1 pravougaonika opisale dva podudarna kruga koji priA S padaju paralelnim ravnima, normalnim na osu o. To su krugovi σ K(S, SA) i K1(S1, S1A1) i nazivamo ih osnove vaqka. Wihovi polupreËnici jednaki su duæinama naspramnih stranica SA i S1A1 pravougaonika, a one su jednake. PolupreËnik osnove vaqka je polupreËnik vaqka, wegovu duæinu oznaËavamo sa r. TaËke S i S1 su centri osnova K i K1 vaqka. Izvodnice i omotaË vaqka. Prilikom opisanog obrtawa pravougaonika SAA1S1 oko ose o(S, S1) stranica AA1 Êe opisati povrπ koja se sastoji od svih duæi TT1, koje su paralelne i podudarne sa duæi S1 A1 AA1, pri Ëemu taËka T prolazi svim taËkama kruæne linije k(S, T1 SA). Ta povrπ omotava vaqak i naziva se omotaË vaqka. To je povrπ koju nazivamo cilindar. Duæi TT1 su izvodnice vaqka; wihova duæina jednaka je visini vaqka i oznaËavamo je sa s. Dakle, cilindar koji je omotaË vaqka formiran je od izvodnica A S TT1 vaqka, pri Ëemu je T bilo koja taËka kruæne linije k(S, SA). T

Cilindar nas podseÊa na sulundar peÊi. Turska reË sulundar potiËe od latinske reËi cylindrus.

пример

Napomena. Mi se ovde bavimo samo uspravnim kruænim vaqkom i wegovim elementima i to ne naglaπavamo posebno. U sredwoj πkoli Êemo upoznati i neπto opπtije pojmove kruænog vaqka i cilindra, koji ne moraju biti uspravni. Postoje i cilindri koji nisu kruæni.

Vaqak nastaje obrtawem kvadrata stranice a = 6 cm oko: 1) jedne od wegovih stranica; 2) jedne od wegovih osa simetrije koja ne sadræi nijedno wegovo teme. IzraËunaj:

слика 4

2°

1° σ

a) polupeËnik vaqka; b) visinu vaqka; v) duæinu izvodnice vaqka.

s r

Reπewe. 1) a) r = a = 6 cm;

пример

b) H = a = 6 cm; v) s = h = 6 cm. 2) a) r =

a = 3 cm ; b) H = a = 6 cm; v) s = H = 6 cm. 2

Pravougaonik stranica a = 2 cm, b = 14 cm obrÊe se oko prave p, koja se nalazi u ravni pravougaonika i paralelna je wegovim duæim stranicama a weno rastojawe od woj bliæe od tih stranica jednako je 3 cm. Kakvo telo se pri tom obrtawu formira? Reπewe. Pri tom obrtawu formira s telo oblika cevi duæine 14 cm, Ëiji je „spoqaπwi“ polupreËnik 5 cm, „unutraπwi“ polupreËnik 3 cm, a debqina „zidova“ je 2 cm. U stvari, ako je zadati pravougaonik ABCD, pri Ëemu je AB = 2 cm, AD = 14 cm i stranica BC C bliæa pravoj p od stranice AD, to telo se dobija ako se iz vaqka Ëija je osa p, polupreËnik 5 cm i jedna izvodnica AD iseËe (odstrani) vaqak Ëija je osa p, polupreËnik 3 cm i jedna izvodnica BC.

Контролна питања

p D

слика 5

14 cm

3 cm B1

2 cm

©ta je vaqak? ©ta je osa a πta visina vaqka? ©ta su osnove a πta polupreËnik vaqka? ©ta je omotaË vaqka a πta su wegove izvodnice?

129

Задаци 1. Pravougaonik stranica a = 8 cm, b = 12 cm obrÊe se oko: 1) jedne od wegovih duæih stranica; 2) jedne od wegovih kraÊih stranica; 3) simetrale wegovih duæih stranica; 4) simetrale wegovih kraÊih stranica. Za svaki nastali vaqak izraËunaj polupreËnik, visinu i duæinu izvodnice vaqka. 2. Osnove vaqka su krugovi polupreËnika 12 cm a duæina wegovih izvodnica je 20 cm. Takav se vaqak moæe dobiti obrtawem: a) pravougaonika stranica 6 cm i 10 cm oko jedne od wegovih stranica; b) kvadrata stranice 20 cm oko prave paralelne dvema wegovim stranicama i bliæe za 4 cm jednoj od wih; v) pravougaonika stranica 24 cm i 20 cm oko jedne od wegovih osa simetrije; g) kvadrata stranice 24 cm oko jedne od wegovih osa simetrije. Zaokruæi slovo ispred taËnog (taËnih) odgovora. 3. Odredi duæine stranica pravougaonika i poloæaj prave p u odnosu na wega ako je wegovim obrtawem oko p nastalo telo oblika cevi Ëija je duæina 50 cm, debqina „zidova“ 3 cm a „spoqaπwi“ preËnik jednak 14 cm. 4. Opiπi vaqak i povrπ koja ga ograniËava a da pri tom ne koristiπ pojam obrtawa geometrijske figure oko ose.

9.2. Равни пресеци ваљка слика 6

Preseci tela razliËitim ravnima daju nam neke dodatne informacije o obliku tela. PosmatraÊemo preseke vaqT σ ka ravnima koje: 1) su normalne na osu vaqka; S1 S1 2) sadræe osu vaqka; α 3) paralelne su sa osom vaqka i ne T sadræe je. 1) Ravni koje su normalne na osu vaqka mogu ga ne seÊi (sl. 6a) ili ga seÊi po S S krugu (sl. 6b). Prvi sluËaj nastaje ako ta ravan, oznaËimo je sa a, normalna na osu o(S, S1), seËe osu o u taËki T koja ne pripada duæi SS1. Tada ravan i vaqak nemaju zajedniËkih taËaka. Drugi sluËaj nastaje ako ravan a seËe osu o u taËki T koja pripada duæi SS1. Tada je presek krug u ravni a sa centrom T, podudaran sa osnovama vaqka. Ako se T poklapa sa S ili S1, taj Êe krug biti upravo jedna od osnova vaqka. 2) Ravni koje sadræe osu vaqka normalne su na obe ravni osnova vaqka. Svaka od wih seËe vaqak po pravougaoniku stranica 2r i H. Te pravougaonike nazivaσ

130

mo osni preseci vaqka. Na slici 7 to je pravougaonik MM1N1N. Pri tome je MN = 2r, MM1 = H. 3) I ravne koje su paralelne sa osom vaqka i ne sadræe je normalne su na obe ravni osnova vaqka. Zavisno od toga da li prava po kojoj takva ravan seËe jednu od ravni osnova, na primer ravan kojoj pripada osnova K(S, r): ‡ nema zajedniËkih taËaka s krugom K, ‡ dodiruje K, ‡ seËe krug K po wegovoj tetivi MN, ravan i vaqak: ‡ nemaju zajedniËkih taËaka, ‡ seku se po jednoj izvodnici vaqka, ‡ seku se po pravougaoniku MM1N1N.

2 пример

слика 7

N1 S1

K M1

ω N S M

слика 10

N1 M1

α слика 9

N M

ω ω

слика 11

Dat je vaqak polupreËnika 4 cm i visine 6 cm. IzraËunaj duæinu dijagonale wegovog osnog preseka.

4 cm

Reπewe. Osni presek tog vaqka je pravougaonik sa stranicama od 8 cm (= 2 · 4 cm) i 6 cm. Duæina wegove dijagonale je d=

6 2 cm = 10 cm .

4 cm

6 cm

пример

Ove tri moguÊnosti su prikazane, redom, na slikama 8, 9 i 10. ImajuÊi u vidu da ravan a ne sadræi osu vaqka, jasno je da u posledwem sluËaju pravougaonik MM1N1N nije osni presek vaqka. Za wegove stranice vaæi MN < 2r, MM1 = H.

слика 8

Osni presek vaqka a je kvadrat stranice a = 8 cm. Ravan a je paralelna sa osom tog vaqka i seËe ga po pravougaoniku povrπine 32 cm2. Koliko je rastojawe izmeu te ravni i ose vaqka? Reπewe. Ako je osni presek vaqka kvadrat, visina vaqka jednaka je preËniku wegove osnove. Dakle, H = a = 2rr = 8 cm, r = 4 cm. Jedna od stranica preseËnog pravougaonika

131

2 пример

ravni a i vaqka jednaka je visini vaqka, dakle, ona je 8 cm. BuduÊi da je povrπina tog pravougaonika jednaka 32 cm2, druga stranica je 4 cm. Rastojawe izmeu слика 13 ravni i woj paralelne prave jednako je rastojawu bilo koje od taËaka te prave od 4 cm c d te ravni. Naimo rastojawe taËke S od te ravni. Ono je jednako visini jednako4 cm S straniËnog trougla stranice 4 cm. Da4 3 kle, d = cm. 2

Контролна питања

слика 12

Navedi tri vrste ravnih preseka vaqka. Kakva je ravan koja seËe vaqak po krugu? Kakav je taj krug? ©ta je osni presek vaqka? Mogu li dva osna preseka jednog vaqka biti nepodudarni pravougaonici? Kakav je poloæaj ravni koja seËe vaqak: 1) po jednoj duæi; 2) po pravougaoniku povrπine mawe od povrπine osnog preseka tog vaqka?

Задаци 1. Osni presek vaqka je kvadrat stranice 10 cm. Odredi polupreËnik, visinu i duæinu izvodnica tog vaqka. IzraËunaj povrπinu preseka tog vaqka simetralnom ravni (vidi odeqak 2.3, zadatak 10) jedne od wegovih izvodnica. 2. Vaqak polupreËnika 15 cm i visine 20 cm preseËen je sa ravni koja je paralelna osi vaqka i na rastojawu je 8 cm od ose. IzraËunaj povrπinu takvog preseka. 3. Povrπina preseka vaqka sa ravni normalnom na wegove izvodnice je 196r cm2, a duæina dijagonale osnog preseka tog vaqka je 53 cm. IzraËunaj povrπinu osnog preseka vaqka.

9.3. Мрежа ваљка; површина ваљка

132

Mreæa vaqka. NauËili smo da je vaqak ograniËen dvema osnovama i omotaËem. Osnove su podudarni krugovi, smeπteni u dve paralelne ravni izmeu kojih je rastojawe jednako visini vaqka. OmotaË vaqka je cilindar. Moæemo li o omotaËu reÊi neπto viπe od jednostavnog dodeqivawa naziva?

T1 Na slici 13 prikazali T1' T1 smo omotaË vaqka polupreËnika r i visine h. ZaH mislimo da smo ga rasekli duæ jedne od izvodnica (na T 2rπ slici je to TT1), i razvili TT' u ravan. DobiÊemo pravougaonik TT´T´1T1, pri Ëemu слика 13 smo dve strane izvodnice, duæ koje smo sekli omotaË, oznaËili sa TT1 i T´T´1. Duæine stranica TT1 i T´T´1 jednake su visini cilindra, dok su duæine stranica TT´ i T1T´1 jednake obimu (krugova) osnova vaqka. Dakle TT1 = h, TT´= 2rr.

T1'

Na taj naËin moæemo celu povrπ vaqka razviti u jednu ravan. ImajuÊi u vidu da se ona sastoji od omotaËa i dveju osnova, dovoqno je u ravni, u koju smo razvili omotaË, dobijenom pravougaoniku pridruæiti dva kruga, podudarna krugovima osnova vaqka, svakoj od stranica duæine 2rr po jedan, tako da je dodiruje ostajuÊi izvan pravougaonika. Na taj naËin dobijamo mreæu vaqka. UoËavamo da smo je formirali na isti naËin na koji smo formirali mreæu kvadra. Jasno je da je vaqak odreen svojom mreæom i da ga na osnovu we moæemo formirati. слика 14

Povrπina vaqka. Vaqak je ograniËen svojim dvema osnovama i svojim omotaËem. Tu Ëiwenicu moæemo iskazati i na ovaj naËin: povrπ vaqka sastoji se iz dveju wegovih osnova i wegovog omotaËa. Povrπina vaqka jednaka je povrπini wegove povrπi. Zbog toga, povrπina vaqka jednaka je zbiru povrπina wegovih osnova i povrπine wegovog omotaËa. T1

T1'

Ako oznaËimo sa B povrπinu jedne od osnova i sa M povrπinu omotaËa vaqka, onda je povrπina P vaqka T'

P = 2B + M.

Za vaqak polupreËnika r i visine H biÊe B = r2r (povrπina kruga polupreËnika r). Prilikom razvijawa omotaËa u ravan wegova povrπina se ne mewa, pa je jednaka povrπini pravougaonika sa stranicama duæina 2rr i H. Dakle, M = 2rr · H. Zbog toga je P = 2r2r +2rr · H = 2rr (r + H). Povrπina P vaqka polupreËnika r i visine H je

пример

P = 2rr (r + H).

IzraËunaj povrπinu vaqka koji nastaI je obrtawem pravougaonika sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm oko:

4 cm 6 cm 4 cm

6 cm

a) kraÊe stranice; b) duæe stranice. Reπewe. a) r = 6 cm, H = 4 cm; P = 2 · 6 · r(6 + 4) cm2, P = 120r cm2. b) r = 4 cm, H = 6 cm; P = 2 · 4 · r(4 + 6) cm2, P = 80r cm2.

слика 15

133

пример

IzraËunaj povrπinu tela koje nastaje obrtawem pravougaonika stranica a = 2 cm, I b = 14 cm oko prave p, koja se nalazi u ravni pravougaonika, paralelna je duæinim stranica i nalazi se na rastojawu od 3 cm od woj bliæe stranice. Reπewe. Videli smo (vidi 9.1, primer 3) da pri ovakvom obrtawu nastaje telo koje ima oblik cevi. Ono je ograniËeno sa dva cilindara i dva kruæna prstena. Pri tome je spoqaπwi, veÊi cilindar polupreËnika 5 cm a visine 14 cm a unutraπwi, mawi cilindar ima polupreËnik od 3 cm i visinu od 14 cm, dok su kruæni prstenovi ograniËeni kruænicama polupreËnika 5 cm i 3 cm. Zbog toga je povrπina tela jednaka (r1 = 5 cm, r2 = 3 cm, H = 14 cm) P = 2r1r · H + 2r2r · H + 2 (r12r ‡ r22r) = = (140r + 84r + 32r) cm2 = 256r cm2.

Контролна питања

p D

C 2 cm

слика 16

3 cm

14 cm

Od Ëega se sastoji mreæa vaqka? Kako se izraæava povrπina vaqka pomoÊu povrπine geometrijskih figura koje Ëine povrπ vaqka? Kako glasi formula za izraËunavawe povrπine vaqka polupreËnika r i visine H?

Задаци 1. Nacrtaj na kartonu mreæu vaqka polupreËnika 5 cm i visine 16 cm. Iseci je i, koristeÊi samolepqivu traku, napravi model takvog vaqka. 2. IzraËunaj povrπinu vaqka koji nastaje obrtawem pravougaonika stranica a = 24 cm, b = 14 cm oko: a) jedne od wegovih duæih stranica; v) simetrale wegovih duæih stranica;

b) jedne od wegovih kraÊih stranica; g) simetrale wegovih kraÊih stranica.

3. IzraËunaj povrπinu vaqka ako znaπ da je wegova visina 24 cm i da je odnos preËnika wegove osnove prema visini jednak 3 : 4. 4. Vaqak Ëiji je osni presek kvadrat stranice 16 cm podeqen je dvema meusobno normalnim ravnima, koje sadræe wegovu osu, na Ëetiri dela. IzraËunaj povrπine tih delova. 5. Nai u ostavi konzervu oblika vaqka. Izmeri joj preËnik osnove i visinu i izraËunaj koliko se, pribliæno, takvih konzervi moæe napraviti od table lima dimenzija 2 m # 3 m ako prilikom izrade otpadne oko 20% lima.

134

6. Drveni vaqak visine 24 cm i povrπine osnog preseka 384 cm2 preseËen je sa tri ravni, paralelne ravnima wegovih osnova, na Ëetiri dela. Dobijene delove treba obojiti. Koliko je, pribliæno, boje potrebno ako za bojewe 1 dm2 treba 5 g boje i ako je r . 3,14? 7. Okrugli bazen dubine 2 m preËnika 8 m treba obloæiti keramiËkim ploËicama. Koliko je, pribliæno, komada potrebno ako za oblagawe 1 m2 treba 400 ploËica (r . 3,14). 8. IzraËunaj povrπinu vaqka ako je obim wegovog osnog preseka 30 cm i povrπina jedne wegove osnove jednaka je povrπini wegovog omotaËa.

9.4. Запремина ваљка Znamo da je zapremina prave (uspravne) prizme jednaka proizvodu povrπine osnove i visine te prizme, V = B · H. U to smo se uverili koristeÊi Kavalijerijev princip, prema kojem vaæi: ako dva tela preseËemo paralelnim ravnima i ako, pri tome, preseci ta dva tela bilo kojom od tih ravni imaju jednake povrπine, onda ta dva tela imaju jednake zapremine. Posmatrajmo pravu prizmu i vaqak jednakih povrπina osnova i jednakih visina. Moæemo ih smestiti tako da im po jedna osnova pripada dvema paralelnim ravnima, koje se nalaze na rastojawu jednakom visini ta dva tela (sl. 17). Pretpostavimo da su paralelne ravni ~ i ~1 ravni osnova prizme i vaqka, rastojawe izmeu wih je H i neka su povrπina osnove prizme i povrπina osnove vaqka jednake B. Neka je a bilo koja ravan paralelna ravnima ~ i ~1 koja seËe prizmu i vaqak. Ona seËe prizmu po mnogouglu koji je podudaran s wenim osnovama, dakle po mnogouglu povrπine B. Ravan a seËe vaqak po krugu koji je podudaran osnovama vaqka, dakle po krugu povrπine B. Na taj naËin zakquËujemo (na osnovu pomenutog principa) da su zapremine ta dva tela, prizme i vaqka, jednake. Zapremina prizme jednaka je B · H, pa je i zapremina vaqka jednaka B · H.

слика 17

ω1

Ako oznaËimo sa B povrπinu jedne od osnova vaqka i ako je H wegova visina, onda je zapremina V vaqka V = B · H. Za vaqak polupreËnika r, dakle polupreËnika osnove r, povrπina B osnove jednaka je B = r2r. Zbog toga je zapremina V takvog vaqka jednaka V = r2 r · H. Zapremina V vaqka polupreËnika r i visine H je: V = r2r · H.

135

1 пример

2 пример

IzraËunaj zapreminu vaqka koji nastaje obrtawem pravougaonika sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm oko: a) kraÊe stranice; b) duæe stranice. Reπewe. U prethodnoj lekciji raËunali smo povrπine ovakva dva vaqka. a) r = 6 cm, H = 4 cm; V = r2r · H = 36r · 4 cm3 = 144r cm3. b) r = 4 cm, H = 6 cm; V = r2r · H = 16r · 6 cm3 = 96r cm3.

U konzervu vaqkastog oblika treba da stane 16r l uqa, pri Ëemu osni presek tog vaqka treba da bude kvadrat. IzraËunaj polupreËnik i visinu takve konzerve.

слика 18

Reπewe. Znamo da litar uqa ima zapreminu od 1 dm3. Dakle, H = 2r, V = 16r dm3; V = r2r · 2rr = 2r3r, 16r dm3 = 2r3r,

H r

8 dm3 = r3; r = 2 dm, H = 4 dm.

Контролна питања

Kako glasi princip na koji se pozivamo da bismo naπli formulu za izraËunavawe zapremine vaqka? Kako se zapremina vaqka izraæava pomoÊu wegove povrπine osnove i visine? Kako se zapremina vaqka izraæava pomoÊu wegovog polupreËnika i visine?

Задаци 1. Povrπina vaqka jednaka je 48r cm2 a povrπina wegovog omotaËa 30r cm2. IzraËunaj zapreminu tog vaqka. 2. Odredi, pribliæno, visinu vaqkaste posude preËnika 14 cm ako u wega stane 4 l vode c r . 22 m . 7 3. IzraËunaj povrπinu vaqka ako mu je zapremina 100r cm3 a preËnik osnove je 10 cm. 4. IzraËunaj masu gvozdene cevi duæine 2 m ako joj je unutraπwi preËnik 18 mm a spoqaπwi 26 mm i znaπ da je gustina gvoæa 7,87 g/cm3. 5. Koliko litara vode treba potroπiti da bi se napunilo 80% bazena vaqkastog oblika preËnika 3 m i visine 1,20 m? 6. Iz lonca unutraπweg preËnika 24 cm i visine 30 cm voda se presipa u lonËiÊe unutraπweg preËnika 12 cm i visine 10 cm. Koliko Êe se takvih lonËiÊa napuniti? Koliko je vode preteklo?

136

7. Metalni vaqak zapremine 800r cm3 i polupreËnika osnove 10 cm pretopqen je u vaqak dva puta veÊe visine. IzraËunaj polupreËnik dobijenog vaqka.

2.1. Питагорина 10.1. Купа и њени теорема елементи

Na slici je rasprπivaË za rastresit materijal. Takav alat koristi se u poqoprivredi, graevinarstvu... On ima oblik kupe. Navedi joπ neke objekte koji imaju oblik kupe.

слика

10 слика 1

Kupa, osnovni elementi. Posmatrajmo pravougli trougao SAV s pravim uglom u temenu S. Ako se on obrne za 360° oko svoje stranice SV, pa objedinimo sve taËke prostora kroz koje pri tome prou taËke trougla, dobiÊemo telo koje nazivamo kupa. Prava o(S,V) je osa te kupe a duæina duæi SV je wena visina; kao kod prizme, piramide i vaqka, i sad Êemo visinu oznaËavati slovom H. UoËavamo da je pri tom obrtawu stranica SA opisala krug koji pripada ravni kroz S normalnoj na osu o. To je krug K(S, SA) i nazivamo ga osnova kupe. PolupreËnik kruga K jednak je duæini katete SA trougla SAV. To je polupreËnik osnove kupe. TaËka S je centar osnove kupe. TaËka V je vrh kupe. 2 σ

слика 3

Napomena. Mi se bavimo uspravnom kruænom kupom (i konusnom povrπi) i wenim elementima i to ne naglaπavamo posebno. U sredwoj πkoli Êemo upoznati i neπto opπtiji pojam kruæne kupe (i konusne povrπi) koja ne mora biti uspravna. Neki od nas Êe, u daqem πkolovawu, upoznati i konusne povrπi koje nisu kruæne.

Izvodnice i omotaË kupe. Prilikom opisanog obrtawa pravouglog trougla SAV oko ose o(S,V) hipotenuza AV Êe formirati povrπ koja se sastoji od svih duæi MV, gde taËka M prolazi svim taËkama kruæne linije k(S, SA). Ta povrπ omotava naπu kupu i nazivamo je omotaË kupe. Duæi MV su izvodnice kupe za sve taËke M koje pripadaju kruænoj liniji k(S, SA). Svi trouglovi SMV podudarni su trouglu SAV, pa su sve izvodnice kupe duæi jednake duæine, jednake duæini hipotenuze AV pravouglog trougla SAV. Duæinu izvodnica kupe oznaËavamo sa s. OmotaË kupe je povrπ koju nazivamo konusna povrπ (konus).

137

Zadate su katete pravouglog trougla a = 7 cm, b = 24 cm.

слика 4

1) IzraËunaj polupreËnik osnove, visinu i duæinu izvodnice kupe koja nastaje obrtawem tog trougla oko: a) kraÊee katete; b) duæe katete.

C слика 5

A слика 6 B

2) Kakvo se telo dobija obrtawem tog trougla oko wegove hipotenuze? Reπewe. 1) a) r = b = 24 cm, H = a = 7 cm, s =

пример

b) r = a = 7 cm, H = b = 24 cm, s =

7 2

24 + 7 cm

24 cm

s1 H1

25 cm.

25 cm .

s1 C

2) Obrtawem tog pravouglog trougla oko wegove hipotenuze nastaje telo koje se sastoji od dve kupe podudarnih osnova, oslowenih osnovama jedna na drugu. Vrhovi tih kupa su temena A i B oπtrih uglova pravouglog trougla ABC. Iako to formulacijom zadatka nije traæeno, nije teπko izraËunati karakteristiËne elemente dveju kupa, koje su se pojavile u sluËaju 2). PolupreËnik osnova tih kupa jednak je hipotenuzinoj visini pravouglog trougla ABC. IzraæavajuÊi a povrπinu 1 1 tog trougla na dva naËina, nalazimo da je P a$b c $ hc , odakle dobijamo 2 2 hc =

a b 7 24 = cm = 6, 72 cm . 2 25

Zbog toga za veÊu kupu vaæi: r1 = 6,72 cm, s1 = 24 cm, H1 = = 576 - 45, 1584 cm = 23, 04 cm .

24 2 - 6, 72 72 2 cm =

Za mawu kupu je r2 = r1 = 6,72 cm, s2 = 7 cm, H2 = AB ‡ H1 = (25 ‡ 23,04) cm = 1,96 cm.

Контролна питања

Kako moæe nastati kupa? ©ta je osa a πta su visina i vrh kupe? ©ta je osnova kupe? ©ta su izvodnice a πta omotaË kupe?

Задаци 1. Jednakokraki pravougli trougao Ëija je duæina hipotenuze 20 cm obrÊe se oko svoje ose simetrije. IzraËunaj polupreËnik osnove, visinu i duæinu izvodnica dobijene kupe.

138

2. Kvadrat stranice a = 12 cm, obrÊe se oko jedne od svojih dijagonala. Kakvo telo pri tom nastaje? IzraËunaj karakteristiËne elemente tela iz kojih se ono sastoji.

3. Duæina izvodnica kupe je 16 3 cm . One zaklapaju ugao od 30° sa ravni osnove. IzraËunaj polupreËnik osnove i visinu kupe. 4. Kakvo se telo dobija ako se pravougli trapez obrÊe oko svoje: a) kraÊe osnovice; b) duæe osnovice; v) kraÊeg kraka?

10.2. Равни пресеци купе Preseci kupe ravnima mogu biti razliËite geometrijske figure. Mi Êemo razmatrati samo dve vrste takvih preseka: 1) preseci ravnima normalnim na osu kupe; 2) preseci ravnima koje sadræe osu kupe.

Да ли знате? Apolonije iz Parge (oko 260‡190. godine pre nove ere), poznati starogrËki matematiËar, napisao je viπetomno delo Konusni preseci, koje je znaËajno doprinelo razvoju matematike, astronomije, optike, ...

1) Ravni koje su normalne na osu kupe paralelne su s ravni wene osnove. Takve ravni mogu kupu: ili ne seÊi (I) ili je seÊi u jednoj taËki (vrh kupe V) (II) ili je seÊi po krugu (III). SluËajevi I i II su jasni. U sluËajevima III ravan seËe kupu po krugovima razliËitog polupreËnika. NajveÊi od tih polupreËnika je polupreËnik osnove kupe; u tom sluËaju se preseËna ravan poklapa s ravni osnove a preseËni krug je osnova kupe. слика 8

σ V

2) Ravni koje sadræe osu kupe normalne su na ravan wene osnove. Svaka od wih seËe kupu po jednakokrakom trouglu Ëija je osnovica preËnik kupe a kraci su mu izvodnice kupe. Dakle, svi osni preseci jedne kupe su podudarni jednakokraki trouglovi. Na slici 8 prikazali smo osni presek kupe sa ravni a; to je trougao PQV, PQ = 2r, PV = QV = s. OËigledno je da se visina svakog osnog preseka kupe poklapa s visinom te kupe.

σслика 7 I

III

III r S I

139

пример

Osni presek kupe visine H = 12 cm ima povrπinu 60 cm2. IzraËunaj polupreËnik osnove i duæinu izvodnica te kupe. слика 9

Reπewe. Taj osni presek kupe je jednakokraki trougao visine 12 cm i povrπine 60 cm2. Dakle,

1 2 a $ 12 cm = 60 cm . 2 Odatle nalazimo da je a = 2rr = 10 cm, pa je r = 5 cm. Trougao SPV je pravougli s pravim uglom u temenu S. Stoga je s

SSP 2

SV SV 2 =

12 2 + 5 2 cm = 13 cm .

пример

Osni presek kupe je jednakostraniËni trougao (takva se kupa Ëesto naziva jedna2 kostraniËna) povrπine 144 3 cm . Tu kupu seËe ravan a koja prolazi kroz teæiπte osnog preseka i normalna je na osu kupe. IzraËunaj povrπinu preseka kupe i ravni a. Reπewe. Ako je osni presek kupe jednakostraniËni trougao, stranice tog trougla jednake su 2rr (=s). Stoga je r = 12 cm. Uz oznake sa slike 10 uoËavamo da je, zbog sliËnosti trouglova SAV V i TA1V, V r : r1 слика 10 V 2r = SV V : TV V = 3 : 2. Zbog toga je r1 = = 8 cm , pa je traæena 3 2 povrπina jednaka 64r cm . s

Moæemo koristiti Ëiwenicu da je koeficijent sliËno3 sti k jednak , pa je odnos povrπina jednak 2 9 144r k2 = c= m. 4 64r

Контролна питања

α r1

T r

Kakve figure mogu biti preseci kupe i ravni normalne na osu kupe? ©ta je osni presek kupe? Kakve su figure osni preseci kupe? Moæe li osni presek kupe biti pravougli trougao? Gde je teme pravog ugla tog trougla?

Задаци 1. PolupreËnik osnove kupe je 8 cm, a povrπina osnog preseka je 48 cm2. IzraËunaj duæinu izvodnica te kupe.

140

2. Osni presek kupe je pravougli trougao a wena visina je 12 cm. IzraËunaj: a) povrπinu wene osnove; b) povrπinu wenog osnog preseka.

3. Kupu polupreËnika osnove 9 cm i visine 12 cm seËe ravan paralelna ravni osnove kupe, takva da je vrh V kupe na rastojawu 4 cm od te ravni. IzraËunaj povrπinu preseka. 4. Povrπina osnove kupe je 256r cm2 a povrπina wenog preseka sa ravni paralelnom ravni osnove, na rastojawu 6 cm od te ravni jednaka je 144r cm2. IzraËunaj visinu i duæinu izvodnica te kupe.

10.3. Мрежа купе; површина купе Mreæa kupe. Znamo da je kupa ograniËena svojom osnovom i svojim omotaËem. Osnova kupe je krug, a wen omotaË je konusna povrπ (konus). O krugu i wegovim elementima sve znamo. Posmatrajmo stoga omotaË kupe. Neka je wen polupreËnik r i duæina wene izvodnice s. P' OmotaË moæemo razviti u ra- слика 11 s V van tako πto Êemo ga raseÊi V duæ jedne izvodnice, na pris α mer duæ izvodnice PV (sl. P 11a), pa tako dobijenu figuru razviti u ravan. Dobijeni razvoj u ravni omotaËa kupe je kruæni iseËak. Wegov poP P' lupreËnik jednak je duæini izvodnice kupe, dakle s. слика 12 P'

Ako tom razvoju omotaËa kupe s pridruæimo wenu osnovu K, a to je V s krug polupreËnika r, dobiÊemo P α mreæu kupe (sl. 12). Da bismo praktiËno napravili model mreæe kupe (u stvari wene povrπi), moæemo zamisliti da smo od kartona napravqen model, pored toga πto smo ga rasekli duæ izvodnice PV rasekli i duæ osnovne kruænice (granice osnove), sekuÊi u oba smera, dok se zaseci (zamiπqamo!) dodirnu. U praktiËnom postupku to Êe znaËiti da smo se dovoqno pribliæili i sveli neraseËen deo kruænice na „taËku“ (u stvari na veoma kratak luk) T. Jasno je da zadata povrπ kupe (pa time i kupa) odreuje mreæu te kupe. Mreæa kupe se sastoji od kruænog iseËka i kruga koji dodiruje kruæni luk tog iseËka. Pitamo se da li svaka figura koja se sastoji od kruænog iseËka i kruga koji ga

K T

слика 13

T P P'

141

dodiruje u nekoj taËki wegovog kruænog luka P moæe predstavqati mreæu kupe. Na slici 14 pod a) i b) prikazano je da to nije taËno.

P' слика 14

V K

K P б)

пример

Kruæni u iseËak polupreËnika kruga s i centralnog ugla (merenog u stepenima) a i krug K polupreËnika r koji ga dodiruje spoqa u taËki kruænog luka tog iseËka formiraju mreæu kupe. Odredi vezu koja je ispuwena izmeu r, s i a. Reπewe. Mora duæina kruænog luka tog kruænog iseËka biti jednaka obimu kruga. Dakle, mora biti sno s

sra = 2rr , odnosno r 180

a r (ili, ravnopravno, a = 360 $ , odno360 s

360 ). a

a , pokazuje da je zadavawem kruænog iseËka, koji je deo mreæe 360 kupe, zadata i osnova kupe. Prva od wih, r

Povrπina kupe. Povrπ kupe sastoji se od osnove i omotaËa, pa je povrπina kupe jednaka zbiru povrπina wene osnove i omotaËa. Osnova kupe je krug polupreËnika r i wena povrπina je r2r, oznaËavamo je sa B (poËetno slovo reËi baza ‡ osnova), B = r2r. OmotaË kupe je konusna povrπ, koja se moæe razviti u ravan u kruæni iseËak polupreËnika s, pri Ëemu je duæina wegovog kruænog luka jednaka obimu osnove. Povrπina omotaËa kod nas se, tradicionalno, oznaËava slovom M i jednaka je povrπini tog iseËka. Ako je a mera u stepenima centralnog ugla tog iseËka, wegova povrπina je jednaka sra s 2 ra . BuduÊi da to jeste omotaË kupe, mora biti (vidi primer 1) 2rr = , M= 180 360 pa je M=

s 2 ra s $ sra s = = $ 2rr = rrs . 360 2 $ 180 2

Na taj naËin za povrπinu P kupe nalazimo P = B + M = r 2 r + rrs = rr (r + s) . Dokazali smo da vaæi Pvrπina P kupe, Ëiji je polupreËnik osnove r a duæina izvodnice s, jednaka je P = rr (r + s).

142

2 пример

IzraËunaj povrπinu kupe koja nastaje obrtawem pravouglog trougla Ëije su katete a = 36 cm, b = 15 cm oko: a) duæe katete; b) kraÊe katete. 2

слика 15

Reπewe. a) r = b = 15 cm, s = 36 + 15 cm = 1521 cm = 39 cm , P = rr (r + s) = 15r (15 + 39) cm2 = 810r cm2. 2

b) r = a = 36, s = 15 + 36 cm = 39 cm , P = rr (r + s) = 36r (36 + 39) cm2 = 2700r cm2.

слика 16

b a

IzraËunaj povrπinu tela koje nastaje obrtawem pravouglog trougla, Ëije su katete a = 8 cm, b = 6 cm, oko wegove hipotenuze. Reπewe. Nalazimo prvo hipotenuzu tog trougla, c

a2 + b2 =

слика 17

6 2 cm = 100 cm = 10cm .

пример

Telo se sastoji od dve kupe podudarnih osnova, koje su osnovama prislowene jedna na drugu. PolupreËnik tih osnova jednak je hipotenuzinoj visini posmatranog pravouglog trougla. Ima-

a c

juÊi u vidu da je povrπina tog trougla jednaka, s jedne strane hc 1 1 1 1 a b , a s druge strane c hc , nalazimo da je a b = c hc , b 2 2 2 2 a b 8 6 odnosno hc = . Dakle, hc 4,, 8 r. A c 10 Povrπ naπeg tela sastoji se od omotaËa dveju kupa. PolupreËnici osnova tih kupa jednaki su 4,8 cm. Duæine s1 i s2 wihovih izvodnica jednake su duæinama kateta datog pravouglog trougla. Na taj naËin nalazimo P

M1 + M2

rrr rs1 + rrs2

rrr ra + rrb ,

P = 4,8r (8 + 6) cm2 = 67,2r cm2.

Контролна питања

Od kojih figura se sastoji mreæa kupe? Kakva je veza izmeu mernih brojeva centralnog ugla kruænog iseËka, merenog stepenima, i duæina polupreËnika kruænog iseËka i polupreËnika kruga, merenih istim jedinicama? Kako glasi formula za izraËunavawe povrπine omotaËa kupe? Kako glasi formula za izraËunavawe povrπine kupe?

143

Задаци 1. IzraËunaj povrπinu kupe Ëiji je polupreËnik osnove jednak 8 cm a visina jednaka 15 cm. 2. IzraËunaj povrπinu kupe Ëiji je osni presek jednakostraniËan trougao stranice a = 17 cm. 3. IzraËunaj veliËinu, izraæenu u stepenima, centralnog ugla kruænog iseËka koji se razvija u ravan omotaË kupe polupreËnika osnove 8 cm i visine 4 5 cm. Skiciraj sliku mreæe te kupe. 4. OmotaË kupe razvijen u ravan je polukrug. Osni presek te kupe je: a) jednakokraki pravougli trougao; b) jednakostraniËan trougao; v) jednakokraki trougao s uglom naspram osnovice jednakim 30°. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. Jednakokraki trougao obrÊe se oko jednog od svojih krakova. IzraËunaj povrπinu dobijenog tela ako jedan ugao trougla ima 120° a duæina kraka je 4 3 cm.

10.4. Запремина купе Znamo da je zapremina piramide jednaka jednoj treÊini proizvoda povrπine 1 wene osnove i wene visine, V = B $ H . UoËavamo da ovo tvrewe vaæi bez obzi3 ra na to kakav mnogougao predstavqa osnovu piramide. Ovom Êemo se Ëiwenicom koristiti u daqem radu. Kupa je telo, zaprema odreeni deo prostora i ima zapreminu. Posmatrajmo kupu i piramidu jednakih povrπina osnova B i jednakih visina H, pri Ëemu je piramida pravilna πestostrana. Neka su wihove osnove u izabranoj ravni ~0 tako da su im vrhovi VP (piramide) i VK (kupe) s iste strane te ravni. Neka je S0 centar simetrije pravilnog πestougla A1A2A3A4A5A6 i O0 centar osnove kupe. слика 18

M3 M2 M1 M4 S M5 M6 a

A3 A4

144

ω0

A2 A1

S0 A5

O r

a0 A6

O0 r0 S

Neka je ~ proizvoqna ravan paralelna ravni ~0 i takva da seËe duæ S0VP u taËki S a duæ O0VK u taËki O. Znamo da ta ravan seËe piramidu po pravilnom πestouglu a kupu po krugu. Neka su M1, M2, M3, M4, M5, M6 temena dobijenog πestougla u ravni ~ i neka je PVK jedna izvodnica kupe a Q wen presek sa ravni ~. Ravni ~ odgovara odreeni odnos k = VPS : VPS0 = VKO : VKO0. Trouglovi VPSM1 i VPS0A1 su sliËni i koeficijent sliËnosti je k. Onda je SM1 : S0A1 = k. Znamo da je S0A1 = a0 ‡ stranica pravilnog πestougla u ravni ~0 i SM1 = a ‡ stranica pravilnog πestougla u ravni ~. Dakle a = ka0, pa je odnos povrπina tih πestouglova jednak k2, P = k2P0 = k2B. Na isti naËin, iz sliËnosti trouglova VKOT i VKO0S sledi da je odnos polupreËnika r kruga u ravni ~ i polupreËnika r0 kruga u ravni ~0 koji predstavqa osnovu kupe r : r0 = k, odnosno r = kr0, pa je odnos povrπina tih krugova jednak k2, r2r = k2r02r, r2r = k2B. Uverili smo se da su za proizvoqnu ravan ~, povrπine figura po kojima ta ravan seËe piramidu i kupu jednake. Prema veÊ upoznatom principu zapremine ta dva tela su jednake. Znamo da je zapremina V piramide Ëija je povrπina osnove B i visina H, 1 jednaka V = B $ H . 3 Zapremina kupe jednaka je jednoj treÊini proizvoda povrπine osnove i visine te kupe. Ako je polupreËnik osnove kupe r a wena visina H, imamo da je povrπina B osno1 1 2 ve kupe B = r2r, pa je V = B $ H = r r $ H . 3 3 Zapremina V kupe polupreËnika osnove r i visine H je 1 V = B $ H , tj. V = 1 r 2 r H . 3 3

IzraËunaj zapreminu tela koje nastaje obrtawem jednakokrakog pravouglog trougla katete a = 18 cm oko: a) katete; b) hipotenuze.

слика 19

Reπewe. IzraËunavamo prvo duæinu hipotenuze

1 пример

a2 + b2

a 2 = 18 2 cm .

a) r = a = 18 cm, H = a = 18 cm (sl. 19) 1 2 r r$H 3

1 2 18 r $ 18 cm 3 = 1944rcm 3 . 3

b) Telo se sastoji od dve kupe podudarnih osnova i jednakih visina, dakle jednakih zapremina. PolupreËnik osnove tih kupa je c c r = = 9 2 cm a wihova je visina takoe jednaka = 9 2 cm . 2 2 Traæena zapremina tela je V

1 3

2 ((9 3

слика 20

A _c a 2 _c 2

a B

2 3 3 ) r 9 2 cm = 972 2 rcm .

145

2 пример

Reπewe. Neka je to trapez ABCD (AB veÊa osnovica) i taËke P i Q stranice AB podnoæja normala iz C i D na tu osnovicu. Iz pravouglog trougla BCP P raËunamo 2 2 duæinu duæi PB P , PB = 15 - 12 cm = 9 cm . Duæina duæi AQ je AQ = (22 ‡ (9 + 8)) cm = 5 cm. Obrtawem ovog trapeza oko mawe osnovice nastaje telo koje predstavqa vaqak polupreËnika 12 cm i visine 22 cm iz kojeg su odstrawene dve kupe jednakih polupreËnika osnove r = 12 cm, jedna visine 9 cm a druga visine 5 cm. Ako oznaËimo sa VV zapreminu vaqka, a sa V1 i V2 zapremine pomenutih kupa, nalazimo da je traæena zapremina V jednaka V

VV - V1

1 $9 3 3 = 2496r cm .

V2 = 12 2 r c 22 -

C слика 21

8 cm 12 cm

cm 15

Date su osnovice a = 22 cm, c = 8 cm, jedan krak b = 15 cm i visina h = 12 cm trapeza. IzraËunaj zapreminu tela koje nastaje obrtawem tog trapeza oko mawe osnovice.

22 cm A

B слика 22

1 $ 5 m cm 3 = 3 A

Kupa se moæe na razliËite naËine smeπtati u druga tela. Kaæemo da je kupa upisana u pravilnu piramidu ako je osnova kupe (krug) upisan u osnovu takve piramide (pravilan mnogougao) a vrhovi im se poklapaju. Kupa je opisana oko pravilne piramide ako je wena osnova opisana oko osnove piramide a vrhovi im se poklapaju.

пример

IzraËunajj zapreminu kupe upisane u pravilnu trostranu piramidu ako je osnovna ivica a 8 3 cm i boËna ivica b = 17 cm. Reπewe. PolupreËnik osnove kupe je polupreËnik kruga upisanog u jednakostraniËni trougao stranice a = 8 3 cm , 1 a 3 1 8 3$ 3 $ = $ cm , r = 4 cm. 3 2 3 2 2 a 3 = 8 cm , U pravouglom trouglu A1VC C je A1 C = $ 3 2 A1V = b = 17 cm, pa je visina H kupe (i piramide) r=

17 2 - 8 2 cm

1 2 r r$H 3

b H

15 cm .

Traæena zapremina je

146

V слика 23

1 2 4 r 15 3

3 80r cm .

a A1

Контролна питања

Kako se zapremina kupe izraæava preko povrπine osnove B i visine H kupe? Kako se zapremina kupe izraæava preko polupreËnika osnove r i visine H kupe? Kada kaæemo da je kupa upisana u pravilnu piramidu?

Задаци 1. IzraËunaj zapreminu kupe koja nastaje obrtawem pravouglog trougla kateta a = 16 cm, b = 30 cm oko: a) kraÊe katete; b) duæe katete. 2. IzraËunaj zapreminu tela koja nastaje obrtawem jednakostraniËnog trougla stranice a = 15 cm oko jedne od wegovih teæiπnih linija. 3. Osni presek kupe je jednakokraki trougao osnovice a = 16 cm i krakova b = 17 cm. IzraËunaj zapreminu kupe. 4. IzraËunaj zapreminu tela koje nastaje obrtawem jednakokrakog trapeza visine 8 cm i duæina osnovica 24 cm i 12 cm oko: a) duæe osnovice; b) wegove simetrale. 5. Data je pravilna πestostrana piramida osnovne ivice a = 16 cm i boËne ivice b = 34 cm. U wu je upisana i oko we je opisana kupa. IzraËunaj odnos zapremina opisane i upisane kupe.

слика 24

6. Za proveravawe uspravnosti objekata i wihovih delova u graevinarstvu se koristi i visak, metalna kupa koja visi okaËena u centru osnove o tanku nit. U koliko se najviπe mesinganih visaka moæe pretopiti 5 kg mesinga, gustine 8,5 g/cm3, ako je preËnik osnove te kupe 4 cm a visina 6 cm i r . 3,14? Koliki je „rastur“ (u procentima)?

8 a

147

2.1. Питагорина 11.1. Појам лопте теорема и сфере

Svi znamo πta je lopta i bez teπkoÊa Êemo prepoznati telo koje ima oblik lopte. Igrali smo se u ranom detiwstvu gumenim ili plastiËnim loptama, sad loptama igramo fudbal, koπarku, rukomet, odbojku, vaterpolo, tenis... Zapaæamo da Sunce i Mesec imaju oblik lopte, nauËili smo da Zemqa ima oblik lopte. Govorimo o pravilnosti tela oblika lopte u smislu wegovog odstupawa od tog oblika, πto je posledica naπeg, kroz iskustvo steËenog, uverewa da je lopta telo pravilnog oblika.

слика 1

Ipak, ako nas neko zamoli da mu kaæemo, neposredno ili telefonom, πta je lopta, teπko Êemo u tome uspeti bez pozivawa na opaæajno iskustvo ili pokazivawa (kako to telefonom?) tela oblika lopte. Lopta i sfera; osnovni elementi. Posmatrajmo polukrug KP kruga K(O,R), odreen wegovim preËnikom AB i izborom jednog od dva, tako nastala polukruga. Na slici 2 oznaËen je πrafirawem. Ako se taj polukrug obrne oko ose o(A,B) za 360°, pa objedinimo sve taËke prostora kroz koje pri tome prou taËke polukruga, dobiÊemo telo koje nazivamo lopta. TaËka O je centar te lopte a R wen polupreËnik.

слика 2

B kP R KP O

Pri ovakvom obrtawu polukruA ænica k(O,R) opisaÊe povrπ u prosto- слика 3 слика 4 ru koja je granica lopte. Ta povrπ je sfera, O je wen centar a R wen poluB B preËnik. ReË sfera je latinski oblik M Mk grËke reËi v{akta, kako su Grci nazivali nebeski svod. Pri ovakvom O KP O kP obrtawu ne mewa se rastojawe taËaka polukruænice od centra O. Bilo koja taËka M sfere slika je wene taËke Mk polukruænice, pa je rastojawe bilo A A koje taËke sfere od centra O jednako o(А,B) o(А,B) R. TaËke prostora koje ne pripadaju sferi nemaju takvo svojstvo. Wihovo rastojawe od O je ili veÊe od R (na slici 5 taËka P) ili mawe od R (na slici 5 taËka Q). TaËka P´ je na sferi i pripada duæi OP, pa je OP = R + P´P > R, dok je

148

слика 5

taËka Q´ na sferi i taËka Q pripada duæi OQ´, pa je OQ + QQ´ = OQ´, tj. OQ = R ‡ QQ´ < R. Na osnovu izloæenog, moæemo reÊi da pomenuto svojstvo taËaka sfere odreuje sferu. Dakle,

P P'

Q O

Neka su dati taËka O i duæ duæine R. Sfera sa centrom O i polupreËnikom R je skup svih taËaka prostora koje su na rastojawu R od O. OznaËavamo je sa S(O,R).

Sfera je, kao πto smo rekli, granica lopte, tako da se lopta sa centrom u taËki O i polupreËnikom R sastoji od svih taËaka prostora koje pripadaju sferi S(O,R) ili se nalaze unutar we. Dakle, Neka su dati taËka O i duæ duæine R. Lopta sa centrom O i polupreËnikom R je telo koje se sastoji od svih taËaka prostora koje pripadaju sferi S(O,R) ili se nalaze unutar we. OznaËavamo je sa B(O,R). Neka je M bilo koja taËka lopte B(O,R). Ako je M na sferi, weno rastojawe od O jednako je R. Ako je M unutar sfere, weno rastojawe od O mawe je od R. TaËke van sfere ne pripadaju lopti i wihovo rastojawe od O veÊe je od R. Zbog toga prethodnu definiciju lopte moæemo, ravnopravno, iskazati i na sledeÊi naËin.

слика 6

M T M

Neka su dati taËka O i duæ duæine R. Lopta sa centrom O i polupreËnikom R je telo koje se sastoji od svih taËaka prostora koje su na rastojawu od O mawem ili jednakom R.

слика 7

Navikli smo se da duæ i wenu duæinu Ëesto oznaËavamo istim slovom. Svaka taËka sfere S(O,R) nalazi se na rastojawu R od centra O sfere. Zbog toga svaku duæ OM gde je M neka taËka sfere S(O,R) nazivamo polupreËnik te sfere. TaËke A, B, C, D pripadaju sferi S(O, R) (sl. 7); duæi OA, OB, OC, OD su polupreËnici te sfere.

R O R

Ako su A i B dve taËke sfere S(O, R), takve da duæ AB prolazi kroz centar O sfere, onda je duæ AB preËnik. TaËke A, B, C, D, E, F pripadaju sferi S(O, R) (sl. 7) i takve su da duæi AB, CD, EF prolaze kroz O. Zbog toga su AB, CD, EF preËnici sfere S(O, R). Duæina svakog preËnika sfere S(O, R) jednaka je 2R. Dve taËke sfere koje su krajevi wenog preËnika nazivamo par antipodalnih taËaka te sfere. Na slici 8 su A i B antipodalne taËke; takve su i C i D, odnosno E i F. VeÊ smo naglasili da sferu odlikuje wena pravilnost. Sve taËke sfere su ravnopravne. Ali, ako iz nekog razloga jednu taËku sfere izdvojimo, dobijamo moguÊnost da na woj „uvedemo red“. To Êemo koristiti u sledeÊoj lekciji.

R R

B слика 8

F B D O C

149

1 пример

2 пример

Duæ AB duæine 14 cm je preËnik sfere. Odredi wen centar i polupreËnik.

слика 9

Reπewe. Centar te sfere je srediπte O duæi AB a wen polupreËnik jednak je polovini duæine preËnika. Dakle, R = 7 cm.

Zadate su duæine kateta pravouglog trougla ABC, C a = 24 cm, b = 10 cm. Odredi centar i polupreËnik lopte koja nastaje obrtawem kruga opisanog слика 10 oko tog trougla, oko wegove hipotenuze. C

Reπewe. IzraËunaÊemo prvo duæinu hipotenuze trougla 2

a b

ABC, c = a + b = 26 cm . Znamo da je u pravouglom trouglu centar oko wega opisane kruænice srediπte hipotenuze a polupreËnik te kruænice jednak je polovini duæine hipotenuze. Dakle, centar lopte je srediπte O duæi AB a polupreËnik lopte je 13 cm.

Контролна питања

O B

Kako moæe nastati sfera sa centrom O i polupreËnikom R? Kako moæeπ opisati loptu sa centrom O i polupreËnikom R, kao skup taËaka u prostoru? ©ta je preËnik a πta par antipodalnih taËaka sfere S(O, R)?

Задаци 1. Krug opisan oko kvadrata stranice a = 12 cm obrÊe se oko: a) simetrale jednog para naspramnih stranica kvadrata; b) jedne od dijagonala kvadrata. Uveri se da se u oba sluËaja dobija ista lopta. ©ta je centar te lopte i koliki je wen polupreËnik? 2. U jednakostraniËni trougao stranice a = 18 cm upisan je krug. Odredi centar i polupreËik lopte koja nastaje obrtawem tog kruga oko bilo koje od wegovih osa simetrije. 3. Uveri se da za bilo koju taËku M simetralne ravni duæi AB sfera S(M, MA) sadræi taËke A i B. (U zadatku 10, lekcija 2.3, nauËili smo da za dve zadate taËke A i B ravan koja prolazi kroz srediπte S duæi AB i normalna je na wu, nazvali smo je simetralna ravan duæi AB, ima svojstvo da je svaka taËka te ravni jednako udaqena od taËaka A i B.)

150

11.2. Пресеци лопте (сфере) и равни слика 11

n C

Neka je zadata lopta B(O, R), a time i wena granica, sfera S(O, R), i neka je ~ bilo koja ravan. Posmatrajmo pravu n koja je normalna na ~ i prolazi kroz O. OznaËimo sa C taËku prodora prave n kroz ravan ~ a sa P i Q taËke u kojima ona prodire sferu (one su krajevi wenog preËnika ‡ antipodalne su). Duæina d duæi OC je rastojawe taËke O od ravni ~. To rastojawe moæe biti veÊe od R, jednako R ili mawe od R, pa razlikujemo tri sluËaja: 1) d > R; tada ravan ~ nema zajedniËkih taËaka sa sferom, pa ni s loptom (sl. 12a);

2) d = R; tada ravan ~ ima sa sferom (i loptom) jednu zajedniËku taËku ‡ dodiruje sferu (i loptu) (sl. 12b); слика 12

3) d < R; tada ravan ~ seËe sferu po nekoj prostoj zatvorenoj liniji a loptu po figuri u ~ ograniËenoj tom linijom (sl. 12v). Sad Êemo se uveriti da je u ovom sluËaju presek sa sferom kruæna linija a presek s loptom krug u ravni ~.

а)

б)

в)

C C

ω O

пример

Date su lopta B(O, R) i ravan ~, takva da je centar O na rastojawu mawem od R od ravni ~. Uveri se da ravan ~ seËe sferu S(O, R) po kruænoj liniji u ravni ~ a loptu B(O, R) po krugu Ëija je granica ta kruæna linija. Reπewe. Neka je C taËka u kojoj prava kroz O, normalna na ravan ~, prodire ~. Neka je M bilo koja taËka preseËne krive sfere S(O, R) i ravni ~. Trougao OMC C je pravougli s pravim uglom kod temena C. Duæina wegove hipotenuze OM M jednaka je R. Duæina d wegove katete OC C jednaka je rastojawu taËke O od ravni ~ i za zadato O i ~ je potpuno odreena. Pitagorina teorema, primewena na DOMC, daje CM =

OM 2 - OC 2 =

слика 13

C O M

d2 .

151

1 пример

Dakle, proizvoqna taËka M preseËne linije nalazi se na odreenom rastojawu R2

d 2 od taËke C, πto znaËi da pripada kruænoj liniji sa centrom C i polu-

preËnikom R 2 d 2 = r . Na taj naËin uverili smo se da je presek ravni ~ i sfere S(O, R) kruæna linija k(C, r) u ravni ~ a presek ravni ~ i lopte B(O, R) je krug K(C, r) u ravni ~.

Specijalno, ako je d = 0, πto znaËi da ravan ~ prolazi kroz centar O sfere (i lopte), presek sa sferom je velika kruænica k(O, R) sfere, smeπtena u ravni ~ a presek s loptom je veliki krug K(O, R) lopte, koji je, takoe, u ravni ~.

пример

Ako je d = R, centar O sfere (i lopte) je na rastojawu R od ravni ~. U tom sluËaju ravan dodiruje, tangira (reË potiËe od latinske reËi tangere, πto znaËi dodirivati) sferu u jednoj taËki. Zovemo je tangentna ravan sfere (i lopte).

слика 15

ω n

слика 14

Lopta B(O, R) preseËena je sa dve paralelne ravni, pri Ëemu prva od wih seËe loptu po velikom krugu. Na kolikom rastojawu od we se nalazi druga ravan ako ona seËe loptu po krugu povrπine jednake polovini povrπine velikog kruga? Reπewe. Povrπina velikog kruga ove lopte je R2r. Povrπina maweg kruga je r2r, gde je r2 = R2 ‡ d2. Prema zahtevu mora biti R2r = 2rr2r = 2(R2 ‡ d2)r, odakle naR lazimo R2 = 2d2, odnosno d = . Dakle, traæeno ra2 R stojawe je . 2 слика

ω1 C

d R O

ω R

слика 17

P kε O Q ε

152

Jedna primena; geografske koordinate.. Naglasili smo da su sve taËke sfere ravnopravne. Pri tome posmatramo sferu kao geometrijski objekat. Ako, iz nekih razloga, izdvojimo meu taËkama sfere S(O, R) jednu taËku, oznaËimo je sa P, time je na sferi izdvojena i woj antipodalna taËka Q, ali i ravan f, koja prolazi kroz O i normalna je na duæ PQ. Time smo izdvojili i veliku

kruænicu kf sfere, koja predstavqa presek sfere i ravni f.

слика 18

пример

U predmetu priroda i druπtvo, a potom i u predmetu geografija bavili smo se odreivawem poloæaja taËaka, prikazivawem linija i wihovih oblika i sliËno na povrπi Zemqe. Za to smo koristili paralele, kruæne linije, koje pripadaju povrπi Zemqe i ravnima paralelnim jednoj izdvojenoj ravni ‡ ravni ekvatora, i meridijane, polukruænice koje pripadaju povrπi Zemqe i poluravnima Ëija je granica prava kroz taËke N (severni pol) i S (juæni pol). Pri tome smo meridijanima pridruæivali mere u stepenima uglova koje „wihove“ poluravni zaklapaju sa izabranom poluravni koja, pored N i S, prolazi i kroz odreenu taËku u Opservatoriji u GriniËu (Greenwich) S kod Londona. Time se odreuje geografska duæina, u smeru prema istoku, od 0° do 180° i u smeru prema zapadu od 0° do 180°. SliËno se ekvator prihvata za nultu paralelu i od wega se meri od 0° do 90°‚ prema severu (severna πirina) i od 0° do 90° prema jugu (juæna πirina). Prepoznajemo u ovome opisani postupak izdvajawa jedne taËke, na primer severnog pola N, i time izdvajawa druge taËke S i „glavne“ velike kruæne linije u ravni f (ravan ekvatora). Pitamo se kojim je to svojstvom severni pol zasluæio „privilegiju“ da bude izdvojen. NauËnici su u to umeπali saznawa o poloæaju i kretawu nebeskih tela. Na taj naËin izbor taËke N, a time i S i ekvatora, rezultat je wihovog dogovora.

KoristeÊi geografsku kartu Srbije, odredi pribliæno, u stepenima, geografsku duæinu i geografsku πirinu sledeÊih mesta: a) Leskovac; b) Inija; v) KosjeriÊ. Reπewe. UoËavamo da su oznake izabranih gradova na karti tako smeπtene da moæemo, uz zanemarqivu greπku, pisati da se: a) Leskovac nalazi na 22° istoËne duæine i 43° severne πirine; b) Inija nalazi na 20° istoËne duæine i 45° severne πirine; v) KosjeriÊ nalazi na 20° istoËne duæine i 44° severne πirine.

Контролна питања

Koja tri poloæaja u odnosu na sferu (loptu) moæe zauzimati ravan? ©ta je presek sfere (lopte) i ravni ako je centar sfere (lopte) na rastojawu mawem od wenog polupreËnika od ravni? ©ta je velika kruænica sfere i veliki krug lopte? Kada ravan dodiruje sferu S(O, R)? ©ta je u tom sluËaju presek ravni i sfere? Kako se na povrπ Zemqe uvode geografske koordinate?

153

Задаци 1. IzraËunaj povrπinu preseËnog kruga lopte B(O, 17 cm) i ravni ~ ako je rastojawe centra lopte od ravni ~ 15 cm. 2. Jedan od polupreËnika lopte podeqen je sa dve podeone taËke na tri jednaka dela. Dve ravni normalne na taj polupreËnik prolaze kroz podeone taËke. IzraËunaj odnos povrπina preseËnih figura lopte i tih ravni. 3. Povrπina velikog kruga lopte je 625r cm2. Lopta je preseËena dvema paralelnim ravnima, takvim da su povrπine preseËnih krugova 49r cm2 i 576r cm2. Koliko je rastojawe izmeu tih ravni? 4. Uveri se da se dve sfere Ëiji su centri na rastojawu mawem od zbira a veÊem od razlike wihovih polupreËnika seku po kruænici. 5. Rastojawe taËaka A i B je 40 cm. Odredi sve taËke prostora koje su na rastojawu 37 cm od taËke A i 13 cm od taËke B. 6. Dve lopte jednakih polupreËnika smeπtene su tako da se centar jedne od wih nalazi na granici druge. IzraËunaj povrπinu preseka tih lopti. 7. Pronai na geografskoj karti Evrope naseqa Ëije su geografske koordinate pribliæno: a) 25° istoËne duæine i 45° severne πirine; b) 4° zapadne duæine i 40° severne πirine; v) 30° istoËne duæine i 60° severne πirine.

11.3. Површина и запремина лопте Povrπina lopte. Povrπ lopte je sfera. Zbog toga je povrπina lopte u stvari povrπina sfere. Za razliku od tela kojima smo se do sada bavili (prizma, piramida, vaqak, kupa), Ëije smo povrπi mogli razviti u ravan i tako odreivati wihove povrπine, sfera se ne moæe razviti u ravan. Ipak, naπa opaæajna iskustva nas uveravaju da sfera ima povrπinu. MatematiËari su se veÊ u antiËkim vremenima bavili odreivawem povrπine sfere i wenih delova, pre svih Arhimed (oko 287‡212. godine pre nove ere). Povrπina P lopte polupreËnika R jednaka je P = 4R2r.

154

Dat je jednakostraniËni trougao stranice a = 12 cm. U wega je upisan i oko wega opisan krug. IzraËunaj povrπine lopti koje nastaju obrtawem tih krugova oko prave koja sadræi jednu od visina tog trougla.

пример

Reπewe. Znamo da se u jednakostraniËnom trouglu

слика 19

poklapaju sve Ëetiri znaËajne taËke. U takvom trouglu a 3 2 a 3 stranice a je h = a r0 h= , 2 3 3 1 a 3 rn h= . U naπem sluËaju je 3 6 h 6 , r0 4 3 , rn = 2 3 cm . Prema izvedenoj formuli, raËunamo P0 = 4 ( Pu = 4 (

64 3 rcm ,

16 3 rcm 2 .

) rcm ) rcm

Upisana i opisana sfera (lopta). Upotpunili smo listu tela kojima se bavimo u osnovnoj πkoli. Kao πto smo se, u vezi s mnogouglovima, bavili pitawima vezanim za kruænice upisane u neki mnogougao ili opisane oko wega, posmatraÊemo sada i sfere upisane u neku prizmu ili piramidu ili opisane oko we. Sfera je opisana oko neke prizme ili piramide ako sva temena te prizme ili piramide pripadaju sferi. Tada kaæemo da je ta prizma ili piramida upisana u sferu. Sfera je upisana u neku prizmu ili piramidu ako sve strane te prizme ili piramide dodiruju sferu. U takvom sluËaju kaæemo da je ta prizma ili piramida opisana oko sfere. Ne mora uvek postojati sfera koja je upisana u ili opisana oko neke prizme ili piramide. Traæewe odgovora, potvrdnog ili odreËnog, na pitawe da li takva sfera postoji moæe biti zanimqiv zadatak.

a) sfere upisane u tu kocku;

пример

Data je kocka ivice a = 16 cm. IzraËunaj povrπinu: b) sfere opisane oko te kocke.

слика 20

Reπewe. a) Naspramne strane kocke dodiruju sferu u krajevima jednog wenog preËnika. Zbog toga je 2R = a = 16 cm, pa je R = 8 cm, P = 4R2r = 4 · 82r cm2 = 256r cm2.

155

слика 21

пример

b) Krajevi dijagonala kocke su krajevi preËnika sfere. Znamo da je D pa je 2R zimo P

166

a 3 ,R

4R 2 r

16 3 cm , O

8 3 cm . Na taj naËin nala-

4 $ (8 ( 3 ) 2 rcm 2

768rcm 2 .

Zapremina lopte. Lopta zaprema odreeni deo prostora i ima zapreminu. Zapremina V lopte polupreËnika R je V=

4 3 R r. 3

Да ли знате? слика 22

Arhimed (oko 287‡212. godine pre nove ere) najznaËajniji matematiËar stare GrËke i jedan od najveÊih matematiËara svih vremena. Bavio se, pored ostalog, nalaæewem povrπina i zapremina obrtnih tela (vaqka, kupe, lopte). Jednim od svojih najvaænijih rezultata smatrao je utvrivawe Ëiwenice da se zapremine vaqka, lopte i kupe jednakih polupreËnika i jednakih visina (vidi sliku 22) odnose kao 3 : 2 : 1.

пример

Pravougli trougao kateta a = 16 cm, b = 30 cm upisan je u krug K(O, r). IzraËunaj zapreminu lopte koja nastaje obrtawem kruga K oko jednog od wegovih preËnika.

pa je R = r = 17 cm. Traæena zapremina je V

156

слика 23

Reπewe. Znamo da je centar kruænice opisane oko pravouglog trougla srediπte wegove hipotenuze i da je polupreËnik te kruænice jednak polovini duæine hipotenuze. RaËunamo c = a 2 + b 2 = 34 cm ,

4 3 R r 3

4 4 $ 17 3 rcm 3 = $ 4913rcm rcm 3 3 3

19652 rcm 3 . 3

слика 25

U zadacima koristiÊemo pojmove polulopte i polusfere. Neka je B(O, R) data lopta. UoËimo jedan od wenih velikih krugova K(O, R). On se nalazi u ravni a koja sadræi centar O sfere. α

Polulopta lopte B(O, R) odreena jednom ravni a, koja prolazi kroz O je deo te lopte koji se nalazi u ravni a (to je veliki krug K(O, R)) ili s jedne, izabrane strane te ravni. Krug K je osnova polulopte. Stranu biramo nekim dodatnim zahtevom.

Контролна питања

Kolika je povrπina lopte polupreËnika R? Kolika je zapremina lopte polupreËnika R?

Задаци 1. IzraËunaj povrπinu i zapreminu lopte preËnika 16 cm. 2. IzraËunaj zapreminu lopte ako je wena povrπina 144r dm2. 3. Da bi pribliæno odredio povrπinu metalne cisterne oblika sfere, napravqene od tankog lima Ëiju debqinu je mogao zanemariti, majstor je u cisternu sipao vodu i napunio ju je sa 3052 l. Kolika je pribliæno traæena povrπina cisterne u dm2 ako je r . 3,14? 4. IzraËunaj povrπinu sfere koja nastaje obrtawem kruænice opisane oko kvadrata stranice a = 24 cm oko jednog wenog preËnika. 5. IzraËunaj povrπinu sfere upisane u kocku ivice a = 15 cm. 6. IzraËunaj zapreminu lopte opisane oko pravilne trostrane prizme ako je osnovna ivica a = 8 2 cm i visina 30 cm. 7. Od drvene kocke ivice a = 20 cm istesana je drvena lopta najveÊe zapremine. Koliki je, pribliæno, procenat odbaËenog materijala? 8. IzraËunaj masu gvozdene loptaste cisterne ako je spoqaπwi preËnik 6 m, a debqina zida 2 cm. Gusina gvoæa je 7,8 g/cm3. 9. Vodotoraw loptastog oblika snabdeva naseqe od 5000 stanovnika. Koliki treba da bude unutraπwi polupreËnik te lopte ako treba obezbediti 100 l vode u sekundi i zalihe treba da obezbede snabdevawe za 2 sata?

157

, ,

1. Сличност троуглова 1.1. 1.

4. Koristi osobine proporcije.

б)

a) a x

c b

б)

c b

2. Vidi slike а)

б)

в)

1 √2 √3 1

a x

b c a

e x

b a

√2

√3 A

3. 2

г)

x a

b e b

e a

1.2. 1. a) Jednaki su unakrsni i transverzalni uglovi. b) Dva trougla na slici su otuda sliËni. y x 4 6 v) = i = , x = 6,4; y = 4,8. 8 5 4 5 2. JednakostraniËni trouglovi su sliËni. Jednakokraki pravougli trouglovi su sliËni. Ne, nisu bilo koja dva jednakoraka trougla sliËna. 3. Jesu. 5 y+8 8 x+5 4. = , = , x = 7,5; y = 12. 10 4 10 4 1 5. a) k; b) . k | AC | 24 | Al Bl | 12 6. , = = , 15 40 40 15 |AC| = 9 cm, |A´B´| = 32 cm. 7. AB + BC + CA = 27; k =

158

18 . 27

2 18 2 KL = = , KL = 6 $ = 4, 3 27 3 AB 2 2 LM = BC $ = 6; KM = AC $ = 8. 3 3 8. DABC je pravougli zbog AB2 + AC2 = BC2, pa 1 mu je povrπina P = $ AB $ AC = 30 . Koefici2 Pl 120 jent sliËnosti je k = = = 4 =2. P 30 Odatle, KL = 2 · AB = 10, LM = 2 · BC = 26; KM = 24. 9. Naspram najduæe stranice nalazi se najkraÊa 2 $ 36 visina. Osnovica DA1B1C1 je = 12 . Koe6 18 3 ficijent sliËnosti je k = = . Iz P : P1 12 2 = (3 : 2)2 dobijamo P = 81.

1.3. 1. a) \B = \L BA : LK = BD : LN = k ( 9ABD a 9KLN. b) AD : KN = BA : LK = k. A

L B

2. BĆ´ je sredwa linija troA ugla ABC. Sledi BĆ´ || BC 1 i Bl Cl = BC . Kako je C' B' 2 \TBĆ´ = \TBC (kao traT nsverzalni) i \TC´B´ = B C \TCB (kao transverzalni) biÊe prema UU stavu 9TBĆ´ ~ 9TBC, a koeBl Cl 1 = . ficijent sliËnosti je k = BC 2 3. Iz zadatka 2 sledi da T deli BB´ i CC´ u razmeri 2 : 1. Zbog ravnopravnosti teæiπnih duæi T deli i teæiπnu duæ AA´ u odnosu 2 : 1. 4. a) 9AMN ~ 9ABC prema RUR stavu. Pritom je MN : BC = 1 : 3. Iz \NMA = \CBA sledi A MN || BC. b) 9MNP ~ 9CBP preM N ma UU stavu. BP : PN = CP : PM = BC : MN P = 3 : 1. B

D C 5 5. 9ABE ~ 9CDE po UU stavu. Otuda x : 3 = 5 : 2, 2 E 3 pa je x = 7,5. 6. a) 4 : 5 : 7 = 8 : 10 : 14. A B x SliËni su trouglovi sa stranicama 8, 10, 14 i 4, 5, 7 a koeficijent sliËnosti je 2. b) 5 : 10 : 7 = 10 : 20 : 14; SliËni su trouglovi sa stranicama 5, 10, 7, odnosno 10, 20, 14. Koe1 ficijent sliËnosti je . 2 v) 2: 2 3 : 6 = 2 : 2: 3 ; SliËni su trouglovi sa stranicama 2, 2 2 , 6 , odnosno 2 , 2, 3 . Koeficijent sliËnosti je 2 . 7. 9ABD ~ 9ACB prema UU (\A = \A. \ABD = \ACB). Zato AB : AD = AC : AB, tj. x : 2 = 8 : x. Otuda je x2 = 16 i x = 4.

8. 9ABD ~ 9CBA prema UU. Sledi BD : AB = BA : CB, tj. x : 5 = 5 : (x + 4), x (x + 4) = 25, x2 + 4x = 25, x2 + 4x + 4 = 29, (x + 2)2 = 29, x + 2 = 29 , x = 29 - 2 . A

1.4. a2 121 = , c 5 5 2 b 4 ab 22 , h= . = = q= c c 5 5 5 5

1. c =

11 2 + 2 2 = 5 5 , p =

5. Vidi sliku.

h b=2

6. Iz P1 a 2 P b 2 =` j i 2 =c m P3 c P3 c

2. p = 2, q = 8, c = p + q = 10 2 a = pc = 20 & a = 2 5 , 2 b = qc = 80 & b = 4 5 .

sabirawem dobijamo 2 2 P1 + P2 a +b = =1. 2 P3 c

3. a) (20 + 8 10 ) cm b) (6 + 6 3 ) cm . 4. Konstrukcija je prikazana na slici:

√ab a

a=11

a+b 2 b

P2 a

b c P3

√mn m

159

2. Тачка, права, раван 2.1. D

C 1. a) Pripadaju B, C, G, F. b) Ne pripadaju A, D, E, H. 2. Odreeno je 10 E pravih. Vidi sliku! A 3. a) Odreena je najmawe jedna prava. b) Odreeno je najviπe πest pravih. 4. b.

5. 28. 6. a) Odreeno je najmawe 28 pravih u sluËaju kada su taËke A1, A2,..., A8 u parovima krajwe taËke preËnika kruænice k. b) Odreeno je najviπe 36 pravih kada taËke A1, A2,..., A8 nisu u parovima krajwe taËke preËnika. 7. …….. nisu na jednoj pravoj. …….. van we……. prave ……. paralelne… 8. Odreeno je 6 ravni. 9. Odreene su 3 ravni.

2.2. 1. a) Pravoj AC je paralelna prava A1C1; b) Pravu AC1 seku prave AB, AB1, AA1, AC, AD, A1C, B1D, BD1, C1C, C1D1, C1D. 2. Prave a i c su ili paralelne ili se seku.

3. Prave a i c mogu biti paralelne, mogu se seÊi i mogu biti mimoilazne. 4. b. 5. a.

2.3. 1. a) Prava AC prodire ravan BC1B1 u taËki C. b) Prava AD pripada ravni ABC.

b) Prave odreene ivicama kocke prodiru ravan stola. E

v) Prava BD1 prodire ravan ACC1 u centru kocke.

D A

2. a) Sa ravni ABC su paralelne prave: AB, AC, AD, BC, BD, CD, A1B1, A1C1, A1D1, B1C1, B1D1, C1D1. b) Sa ravni BCC1 su paralelne prave: BC, BC1, BB1, CB1, CC1, C1B1, AD, AD1, AA1, DD1, DA1, D1A1. v) Sa ravni ACC1 su paralelne prave: AC, AC1, AA1, CA1, A1C1, BB1, DD1. 3. Ravan ABB1 prodiru prave: BC, B1C1, A1D1, AD, BC1, AD1, B1C, A1D, AC1, A1C, BD1, B1D, A1C1, B1D1, AC, BD.

H F

D C

5. Prave a i b mogu biti paralelne ili mimoilazne. 6. ReËenica nije taËna. 7. b. 8. Iz AD 9 a sledi AD 9 AB, AD 9 AC. Iz AD = AD, DB = DC, \DAB = \DAC = 90° sledi 9ABD , 9ACD. Iz podudarnosti sledi AB = AC, πto je i trebalo dokazati. D

160

E B

AB Є α

G F

4. a) Ivice kocke koje su paralelne sa ivicom koja je u ravni stola paralelne su sa ravni stola. Prave odreene ostalim ivicama prodiru ravan stola. H

BЄα

9. \CSM = 90° .

A C

10. Ako se taËka M poklapa sa taËkom S tada je SA = SB. Ako je taËka M ravni a razliËita od taËke S, tada uoËimo ravan MAB. Trouglovi ASM i BSM su u ravni MAB. Poπto je AS = BS, MS = MS, \MSA = \MSB = 90° sledi po stavu podudarnosti SUS da je DASM , DBSM. Odavde je MA = MB, πto je i trebalo dokazati.

α S A

B M

2.4. 1. a) TaËno. b) NetaËno, jer mogu biti i paralelne. v) NetaËno. 2. Prave a i b mogu biti paralelne ili mimoilazne. 3. Prave a i b mogu biti paralelne ili mimoilazne ili mogu da se seku. 4. Ako prava m nije u ravni a tada je taËno a i b. Ako je prava m u ravni a tada mogu biti taËni svi odgovori. 5. v.

6. Ravni b i c mogu biti paralelne ili se mogu seÊi. Vidi sliku!

β α

a β

b γ

7. Prave a i b su paralelne.

2.5. 1. Projekcije dve jednake i paralelne duæi na ravan su dve jednake i paralelne duæi, dve taËke ili jedna duæ. 2. b. 3. b, g. 4. a, b. 5. Vidi sliku. AB je hipotenuza DAB1B gde je AB1 || A´B´. AB2 = 122 + 62, AB = 6 5 cm AAl AM 3 AMAl + 3 BMBl , pa je , = BBl BMl 1 6 5 - BM . BM = 4 5 cm . = 2 BM B 4 A' 2 A

B' B1

6. Neka je C1 srediπte stranice AB. Skiciraj sliku. Iz trougla sledi da je a) \CC1C´ = 30°, \C1CĆ = 90°, CC1 = 2 3 cm , CCl = 3 cm , C1C´ = 3 cm. AĆ´ = AC´ = BĆ´ = BC´ = 13 cm . OAl Bl Cl = (4 + 2 13 ) cm, PA´BĆ´ = 6 cm2. b) \CC1C´ = 45°, \C1CĆ = 90°, CC1 = 2 3 cm , CCl = 6 cm , C1 Cl = 6 cm . AĆ´ = AC´ = BĆ´ = BC´ = 10 cm . OAl Bl Cl = (4 + 2 10 ) cm, PAl Bl Cl = 2 6 cm 2 . v) OAl Bl Cl = (4 + 2 7 ) cm, PAl Bl Cl = 2 3 cm 2 . 7. a) Ravan u kojoj je krug je paralelna projekcijskoj ravni. b) Ravan u kojoj je krug je normalna na projekcijsku ravan.

2.6. 1. Da. Kocka. 2. Da. 3. Povrπ ovog poliedra je sastavqena od trouglova. Ovaj poliedar ima 8 strana, 12 ivica, 6 temena. Ima 3 dijagonale.

4. b, g. 5. Nastalo telo ima 14 temena, 9 strana, 21 ivicu. 6. Telo ima 16 temena, 24 ivice, 10 strana.

161

3. Линеарне једначине и неједначине

3.1. 1. NumeriËke jednakosti su: a) 16 : 2 = 11 ‡ 3; v) 81 = 52 + 55; g) 10 · 8 = 200 : 20 + 70. 2. Jednakost je 12 : 4 = 9 ‡ 6, a jednaËine su 12 : 4 = 3y ‡ 15 i 9 ‡ 6 = 3y ‡ 15. 3. Tri: 4z ‡ 9 = 3z + 12, 3z + 12 = 6 ‡ 11z i 6 ‡ 11z = 4z ‡ 9. 4. 7 + 2 = 36 : 4 i 5b + 7 = 2b ‡ 13. 5. Jeste, jer je 4 ! S i 5 · 4 ‡ 9 = 2 · 4 + 3 = 11. 6. Brojevi 2 i 4 jesu reπewa date jednaËine, a 3 nije reπewe. 7. a) Jednakost 17b ‡ 3 = 8b ‡ 3 + 9b, tj. 17b ‡ 3 = 17b ‡ 3 je identitet i S = R;

x = 1 je identitet, s tim πto je x x ! 0, pa je S = R \ {0}; v) Jednakost 10m + 17 ‡ 3m = 7m ‡ 5 je nemoguÊa jer je 7m + 17 ! 7m ‡ 5; g) Jednakost y2 ‡ 49 = (y + 7)(y ‡ 7) je identitet i S = R. 8. Identiteti su: x + 5 = 3x + 5 ‡ 2x i 5(y ‡ 4) = 5y ‡ 20. NemoguÊe jednaËine su 7x ‡ 10 = 11x + 18 ‡ 4x i 6(a + 9) = 6a ‡ 33. 9. Nisu. Prva jednaËina je identitet i S = R. Druga jednaËina ima skup reπewa S = R \ {6}. b) Jednakost

3.2. 1. a) x = ‡4; b) y = 17; v) z = ‡5. 2. a) m = 5; b) n = ‡40; v) p = -

1 . 3

3. a) x = ‡ 8; b) a = ‡5; v) b = 0. 1 4. a) x = 3; b) a = 3; v) b = - ; g) c = 8. 3 7 5. a) x = 3; b) y = 2; v) z = - . 3 24 6. a) a = 7; b) y = 20; v) z = . 5

7. a) x + 7 = 0; b) 2x + 7 = x + 11; v) 2x 5 = 10 ; g) 4a + 3 = 8a. 3 5 ; v) c = . 8. a) a = 7; b) b = 11 11 9. a) x = 0, b) y = ‡ 1, v) z = 1. 1 10. a) x = ; b) JednaËina ima beskonaËno mnogo 2 reπewa; v) JednaËina nema reπewa; g) x = 0. 8 11. a) Jesu, jer obe imaju skup reπewa S = ' 1 ; 3 b) Nisu.

3.3. 2 . 15 Traæeni brojevi su 501, 502, 503 i 504. Stub je visok 12 m. Nataπa je imala 18 jabuka i 24 kruπke. 7200 kg sena. U jatu je bilo 36 gusaka. OstaÊe neuraena jedna petina posla. 10 Zlataru Zlatku treba = 3, 333f kg zlata 3 finoÊe 21 karat.

1. a = 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. Za 4 minuta. 10. Duæina puta je 306 km. 11. Duæina rukometnog igraliπta je 40 m, πirina 20 m, pa je povrπina rukometnog terena 800 m2. 12. Unutraπwi polupreËnik staze je 50 m, a spoqaπwi 55 m. To znaËi da Slobodan u jednom krugu pree 110rm, a Miπko 100rm. Dakle, Slobodan u svakom krugu pree 10rm viπe od Miπka.

3.4. 1. 11 < 25 ‡ 7, 23 · 16 > 148 + 57, x + 8 H 23, 3y + 5 G 2(y ‡ 4). 2. 2x ‡ 4 < 0, x + 7 H 0, 2x ‡ 4 G x + 7. 3. a) 4 jeste reπewe nejednaËine 5x ‡ 7 H 3x + 1, a ostali brojevi nisu;

162

b) Nejednakost x2 < 1 ispuwava samo broj 0. Skup S = {‡ 1, 0, 1, 2, 3, 4} nije skup reπewa nijedne od datih nejednaËina. 4. a) S = R, b) S = Q. 5. a) x + 11 > x i 5 ‡ 6x < 55 ‡ 6x, b) 2x + 7 G 5 + 2x i 4x ‡ 9 H x + 10 + 3x.

6. a) _____(____________________)________ ‡3 -----" !----- 5 S = (‡ 3, 5) b) _______[____________________)________ 1 -----" !----- 9 S = [1, 9) v) ______(____________________]________ ‡ 4 -----" !----- 2 S = ( ‡ 4, 2]

g) ______[____________________]________ ‡6 -----" !----- 7 S = [‡ 6 , 7] d) ______(____________________)________ 0 ----" S = (0, 3) ) ___________________________]_________ !----- - 3 S = (‡ 3, - 3 ]

7. a) ‡2 < x < 4, b) 0 G x G 7, v) ‡ 5 G x < 3, g) ‡3 < x G 8, d) x G 1 ) x H ‡ 6.

3.5. 1. a) x < ‡5 ; b) y > 16; v) z H ‡5. 2. a) m H 4; b) n > ‡35; v) Uslov da nejednaËina postoji je da je p ! 0. 3 Ako je p pozitivno, nejednaËina G- 24 nep ma reπewa, jer je wena leva strana pozitivna, a desna negativna. Ako je p < 0, onda se mnoæewem cele nejednaËine sa p znak nejednako1 sti mewa i dobija se da je - G p G 0 . 8 3. a) x < ‡8 ; b) a H ‡5; v) b > 0. 3 4. a) x G 5; b) a 1 3 ; v) b H ‡6; g) c > 5. 2

5. a) x H 2; b) y > ‡1; v) z H-

7 . 6

24 15 ; b) y H ; v) z < ‡3. 7 2 7. a) x + 11 > 14; b) 2x + 5 G 1. 36 ; b) b H 2; v) c < ‡17. 8. a) a 1 5 9. a) x > 0; b) y H ‡ 1; v) z < 1. 10. a) S = R; b) S = Q. 2x 11. Da li su ekvivalentne nejednaËine: H1 i x x 15? 3x 12. a) a = ‡ 3, b) S = R \ {4}; v) S = Q. 6. a) x 1

3.6. 1. x < 0. 2. Reπewe su sve trojke uzastopnih prirodnih brojeva x, x + 1 i x + 2, takve da je 1 G x G 668, πto znaËi da je najmawa takva trojka 1, 2, 3, a najveÊa 668, 669, 670. 3. Sedam, jer je x < 8, pa je x ! {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

4. 5. 6. 7. 8.

NajveÊi takav prirodan broj je 26. Pet, i to su: ‡ 6, ‡5, ‡4, ‡3 i ‡2. To je broj ‡ 1. Broj r zadovoqava relaciju 2 < r < 3. Postoje, jer je 14 < x < 18, pa su traæeni brojevi 15, 16 i 17.

4. Призма 4.1. 1. a) Ne. b) Ne. v) Ne. 2. v. 3. a) 5 2 cm ; b) 13 cm; v) 194 cm. 4. a) Da. b) Ne. 5. a) 4 3 cm ; b) 12 cm; v) a 3 . 2 2 2 6. a) 52 cm; b) 12 cm; v) 4 m + p + q .

7. a) O = 16 (1 + 2 ) cm, P = 64 2 cm 2; b) O = 2a (1 + 2 ), P = a 2 2 . 8. a) Povrπine maweg i veÊeg dijagonalnog preseka pravilne πestostrane prizme su, redom, 2 60 3 cm , 120 cm2. b) KraÊa dijagonala prizme je 4 21 cm , a duæa 2 109 cm .

163

4.2. 5. Jedno reπewe ja dato na slici.

1. a. 3. b) Prvo konstruiπi pravougli trougao ABB1 (kateta AB = 3 cm, hipotenuza AB1=5 cm). 4. Osnovne ivice su 3 cm, 6 cm, 6 cm. 6 6

6. A

C1 B1' A1' D1'

6 3

6 6

7. v.

4.3. 1. 2. 3. 4.

107,8 cm2. 192 cm2. a) 37,5 cm2; b) 600 cm2. Ako je ivica kocke a, tada je MN2 = a2 + (3a)2. Sledi da je 102=10a2, a = 10 cm. P = 60 cm2. 5. 44 cm2. 6. Treba dokupiti tri konzerve te farbe.

7. a) 6 2 cm ; b) 6 5 cm ; v) 6 6 cm . 8. a) 576 cm2; b) P1=16 cm · 9,6 cm = 153,6 cm2, P2 = 12 cm · 9,6 cm = 115,2 cm2. 9. Ne. Prizma Ëije je osnova romb i osnovna ivica je jednaka boËnoj ivici nije pravilna. 10. B = 12 cm2, P = 2 · 12 cm2 + (2 · 6 cm + 2 · 4 cm) · 5 cm = 124 cm2.

4.4 2

1. a) P = (50 3 + 240) cm ; b) P = (8 3 + 54) cm .

2. a = 6 cm, b = H = 8 cm, P = (18 3 + 144) cm 2 . 2

3. a) P = (192 3 + 576) cm ; b) P = (48 3 + 240) cm 2 . 4. Rastojawe naspramnih boËnih strana pravilne πestostrane prizme jednako je duæini mawe dijagonale osnove. Ako je a osnovna ivica prizme, onda je a 3 = 8 3 cm , a = H = 8 cm.

P = 192 ( 3 + 2) cm . 5. P = 144 (3 3 + 4) cm 2 . Duæa dijagonala prizme je Dd = 8 10 cm . 6. Jesu prizme. P = 50 (3 3 + 8) cm 2 . 7. 2a = H = 6 cm, a = 3 cm. Povrπina maweg dijagonalnog preseka je 18 3 cm 2 , a povrπina 2 prizme P = 27 ( 3 + 4) cm .

4.5. 1. a) 97,92 cm3. 3

2. a) 3,375 cm3; b) 5 5 cm ; v) 1,953125 m3. 3. a) P= 2a2 +4a · 3a=14a2, 14a2= 280 cm2, a = 20 cm , H = 3 20 cm , V = 120 5 cm 3 .

164

3 4. H = 12 2 cm, V = 300 2 cm ; b) Dijagonala 2 2 osnove je 10 cm. (b + 2) = b + 102, b2 + 4b + 4 = b2 + 100, b = 24 cm, V = 1200 cm3.

5. g.

6. a.

7. 40,5 kg.

4.6. 9. V = 6

225 3 3 1. a) 150 cm3; b) cm . 3 4 2. 9 3 cm . 3. IzraËunamo zapreminu 62 3 3 V= · 100 = 900 3 , V = 900 3 cm . 4 g Masa je m = 900 3 cm 3 · 7, 8 = 3 cm 7020 3 g = 7, 02 3 kg .

V = 15588 dm3. U taj bazen moæe da stane 15588 litara vode. 10. Prvo raËunamo osnovnu ivicu prizme, a zatim visinu. Iz B = 48 3 cm 2 sledi 2

3 = 48 3 cm 2 , 4 pa je a2 = 32 cm2, a = 4 2 cm . Iz M = 48 cm2 sledi 6aH = 48 cm2, 24 2 cm · H = 48cm 2 , H = 2 cm . Zapremina je 2 3 V = B · H = 48 3 cm · 2 cm = 48 6 cm . 6

4. a) 108 3 cm 3 ; b) 750 3 cm 3 . 5. a) 2592 3 cm 3 ; b) 864 cm3. 6.

(20dm) 2 3 $ 15dm = 9000 3 dm 3 . 4

2 187 3 3 cm . 8

3 7. 576 3 cm . 8. Masa jednog stuba je 19,203 kg. Moæe se transportovati 52 stuba.

5. Пирамида 5.1. 2. Da. To je svaka trostrana piramida. 3. Osmostrana piramida ima 9 strana, 9 temena, 8 osnovnih ivica, 8 boËnih ivica, 8 boËnih strana. 4. a) Da. b) Da. v) Da. To je trostrana piramida. 5. a) Da. b) Ne. 6. v

7. a) Ta osnovna ivica. b) Osnova. v) Duæ odreena centrom osnove i temenom osnove koje odreuje tu boËnu ivicu. g) KarakteristiËni trougao mnogougla osnove. d) Centar osnove. 8. Piramida je pravilna. BoËna ivica je 4 6 cm , visina 8 cm, apotema 4 5 cm . 9. a) 12 cm; b) 12 cm; v) 12 cm.

5.2. 1. Vidi uraen primer 1 u odeqku 5.2. 2. a) Osnova je pravilan πestougao stranice 3 cm, a boËna strana je jednakokraki trougao sa osnovicom 3 cm i krakom 5 cm; b) Konstruiπe se pravougli trougao ASO tako da je hipotenuza 5 4. AS = 10 cm, a kateta 5 OS = 8 cm. 5 Kateta AO je jednaka 3 osnovnoj ivici pira5 mide, pa se zadatak svo4 di na primer pod a. 5 5 3. v

5. D1

B1 A' D

B S

B A''

B' A1

165

5.3. 1. a) 105 cm2; b) 144 cm2; v) 336 cm2; g) 360 cm2; 2 d) (100 + 100 3 ) cm ; ) 432 cm2. 2. 96 cm2 3. 64 (1 + 3 ) cm 2 .

4. d. 5. v. 6. Da.

5.4 2 2 1. a) (36 3 + 126) cm ; b) 9 ( 3 + 4) cm ;

v) 27 3 cm 2 ; g) (25 3 + 180) cm 2 .

5. a) (150 3 + 360) cm 2 ; b) 54 ( 3 + 15 ) cm 2 ; v) 54 ( 3 + 2) cm 2 ; g) (150 3 + 360) cm 2 .

2. 9 ( 3 + 7 ) cm 2 .

6. 150 ( 3 + 2) cm 2 .

3. 108 3 cm 2 . 4. a.

7. (27 3 + 9 91 + 48) cm 2 .

5.5 1. a) 108 cm3; b) 64 cm3; v) 400 cm3; g) 2. a) 192 cm3; b)

256 2 3 cm 3

128 256 3 3 3 cm ; v) cm . 3 3

64 2 3 cm . 3 4. Neka je a osnovna ivica, h apotema. Tada je

ah ah = 36, 4 - a 2 = 64 . 2 2 ah Posle sabirawa sledi da je 5 = 100 , odno2 ah 2 = 36 sledi sno ah = 40. Iz jednakosti a + 2 a2 +

a 2 2 2 a = 4 cm, h = 10. IzraËunajmo H = h - ` j , 2 H=4 6 , 64 6 3 cm . 3 5. Neka je SABCD pravilna Ëetvorostrana piramida. Trougao ACS je jednakokraki pravougli, AS = CS = 4 cm. Sledi da je V=

AC = a 2 = 4 2 , a = 4 cm, H = 2 2 cm , V=

32 2 3 cm . 3

5.6. 1. a) 72 3 cm 3 ; b) 3 39 cm 3 ; v) 25 407 cm 3 . 3 H = 4 cm. m = 18 2 $ 0, 7g = 17, 766g . b. 108 cm3.

81 3 3 cm ; 4

2. 3. 4. 5.

6. v. 7. a) 54 3 cm 3 ; b) 324 cm3; v) 162 3 cm 3 ; g) 150 23 cm 3 . 8. 324 2 cm 3 . 3 9. 108 3 cm . 3

10. (96 3 + 24 51 ) cm .

6. Линеарна функција 6.1. 1. v. 2. a) y(‡2) = ‡2 · (‡2) + 4 = 8

166

y(3) = ‡2 · 3 + 4 = ‡2 y(5) = ‡2 · 5 + 4 = ‡6;

4. a) Domen je [0,2] a skup vrednosti [‡5,1]; b) Domen je R a skup vrednosti R; v) Domen je {‡2, ‡1, 0, 1, 2} a skup vrednosti {2, ‡1, ‡4, ‡7, ‡10}. 5. Skup vrednosti je [‡2, 7]. 8 6. Domen je ;2, E. 3 7. a) ImaÊe 3 + 5x. b) 3 + 5x = 98, x = 19. Posle 19 meseci.

b) Domen je {‡2, 3, 5}. Skup vrednosti je {8, ‡2, ‡6}. 1 v) x = - y + 2 . 2 3. a) Udaqenost od Beograda je y = 60 + t. 60 B

30 M

b) Udaqenost od Topole je y = 30 ‡ t. v) Za 30 minuta.

6.2. 1. Nijedna. 2. v. 3. Vidi sliku.

2 1

-2 y= 3 x

y=3x

4. (0,4) i (6,0). 5. a) y = ‡4x; b) y = x + 4.

0 1

-3 -2 -1

-1 -2 -3

y = ‡2x + 4. 7. Duæ AB ima duæinu

y 6 5 4

4 +3 =5. Povrπina trougla OAB 5$h 1 . je 4 $ 3 = 2 2 12 Sledi h = . 5

x+1 y=-3 x y=-3

2 8 6. c , m ; y = x + 2 i 3 3

8. Prave su paralelne. Traæeno rastojawe je CC1 = 12 (kao u zadatku 9) i OC1 ‡ OC. Kako je OC = 5 6 12 6 18 6 $ = OC1 = OC $ = , rastojawe je . 4 5 4 5 5

3 2 1

3 h

-1 O 0 1 -1

2 1

x 2

3 A

-1 O 0 1 -1

C 2

6.3. 1. 2. 3. 4.

Ne. Jeste. Ne. a) Nula je x = 2. Funkcija je pozitivna za x < 2, a 5 . Funkcija je 2 5 5 pozitivna za x 2 - , a negativna za x 1 - ; 2 2 3 v) Za a > 0, nula je . Funkcija je pozitivna za a 3 3 x 2 , a negativna za x 1 . a a 3 Za a < 0, nula je . Funkcija je pozitivna za a 3 3 x 1 , a negativna za x 2 . a a Za a = 0, funkcija nema nule i stalno je negativna.

a . Funkcija je pozitivna a-1 a a za x 1 , a negativna za x 2 . a-1 a-1 a Za a < 1, nula je . Funkcija je pozitivna za a-1 a a x2 , a negativna za x 1 . a-1 a-1 Za a = 1, funkcija nema nula i stalno je pozitivna. Nula je ‡1. Za x < ‡1 funkcija je pozitivna, za x > ‡1 negativna. 3 y=- x - 3. 2 Svuda je jednaka nuli. n G 0. k < 0, n > 0.

g) Za a > 1, nula je

negativna za x > 2. b) Nula je -

5. 6. 7. 8. 9.

167

6.4. 1. a) Konstantna funkcija; b) raste; v) opada. 2. a) za a > 0; b) za a > 2. 3. Za k > 3 je rastuÊa, za k = 3 konstantna, za k < 3 opadajuÊa. 4. k < 2.

km . h OdseËak na y-osi je ‡k + 1 > 1 jer je k < 0. a) k G 0, n < 0; b) k H 0, n < 0; v) k G 0, n > 0. »etvrta slika (slika 13). Prva je rastuÊa, ostale su opadajuÊe.

5. 30 6. 7. 8. 9.

6.5. 1. +3 5x -4 y

5. 3x ‡ 4y = 0. 5 0 6. Provera: (5,0) pripada pravoj zbog + = 1 . 5 3 3 0 (0,3) pripada pravoj zbog + = 1 . 5 3

y 4 2 1

0 1

-3 -2 -1 0 +3= 2xy

-2

4x-2=0

-1

1 pa su praKoeficijenti pravca su jednaki 2 ve paralelne.

-3

| AB | =

2. 8a + 3 + 5 = 0 & a = ‡1. 3.

0 1

-5 -4 -3 -2 -1

-1 -2

4. 5 · d = 4 · 3, d =

12 . 5

-1

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 d –1 –2 –3

168

5 2 5 2 5 5; c m +c m = 4 2 2 5 5 5 ; d2 $| CD | = $ & d2 = 4 2 2 3 5. d = d1 + d2 = 2 y

2 1

3x +4 y=

5 & d1 = 5 ; 2

| CD | =

2 1

-5 =2y

5 2 5 2 5; 5 +c m = 2 2

d1 $| AB | = 5 $

y 3 x

1 5 x- , 2 2 1 5 2x - 4y + 5 = 0 & y = x + . 2 4

7. - x + 2y + 5 = 0 & y =

2 D 5 1 4 C 5 –2 –1 O 0 1 2 –1 –2 B 5 –3 2

A 5

7. Графичко представљање података 7.1. 1. Cipele. 2.

5. ProleÊe

Leto

Jesen

Zima

Cipele

4,2

2,5

3,5

4,5

Rubqe

2,2

4,3

1,7

2,7

Kaputi

3. 20

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

море планина

село

код куће

6. број ђака 3

4. Slab

Dobar

Vrlo dobar

OdliËan

историја математика географија

Matematika

Fizika

Istorija

довољан

добар

в. добар

одличан

7.2. 1.

(%)

Krvne grupe Procenat

40%

39%

16%

2. Najviπe aka provelo je raspust na selu, najmawe na planini. 3. NajveÊi troπkovi su za stan i hranu. 4. Najbrojnija krvne grupe su O i A, a najrea je AB .

15 5 0

AБ

7.3. 3 1. Sredwa vrednost je: a) 3; b) 14 : 7 = 2; v) - . 5 Medijana je: a) 3; b) 2; v) ‡1. 2. 132 : 12 = 11. 3. Neka je m najmawi a M najveÊi od brojeva a1, a2, ..., an. Tada je m G ai G M (i = 1, 2,..., n) pa je m + m + f + m r a1 + a2 + f + an Ga= G m= n n M+M+f+M = M. G n

4. Sredwa vrednost ocena razreda A je 3$1+4$2+6$3+7$4+4$5 77 = = 3, 21, 3+4+6+3+4 24 i razreda B je 2 $ 1 + 2 $ 2 + 10 $ 3 + 3 $ 4 + 3 $ 5 63 = = 3, 15, 2 + 2 + 10 + 3 + 3 20 pa je boqi uspeh postignut u razredu A. 5. a) Sabrane su sve visine devojËica pa je zbir podeqen sa 25. b) Ne. v) Ne. g) Ne. d) Ne.

169

160 320 640 km 6. a) vr = = = = 64 ; 2, 5 5 10 h b) Ostatak od 120 km puta treba preÊi za 1,5 h. Traæena proseËna brzina je 120 240 km = = 80 . 1, 5 3 h

7. 40000. a + a2 + a3 + a4 + a5 8. 1 = 5 a1 + a2 + a3 a + a5 $3+ 4 $2 3, 3 $ 3 + 4, 5 $ 2 3 2 = = 5 5 = 3, 78 . 4.

8. Системи линеарних једначина са две непознате

8.1. 1. JednaËine sa dve nepoznate su a), v) i g), a linearne su a) i v). 2. a) a + b = 57; b) 2x ‡ 3y = 2010; v) m : n = 9. 3. 3 · 3 + 4 · 4 = 25 i 3 · (‡1) + 4 · 7 = 25, pa su (a, b) = (3, 4) i (a, b) = (‡1, 7) reπewa jednaËine 3a + 4b = 25. 4. 8 · 1 + 3 · 4 = 20 ! 7 i 8 · 5 + 3 · (‡2) = 34 ! 7, pa ureeni parovi (m, n) = (1, 4) i (m, n) = (5, ‡2) nisu reπewa jednaËine 8m + 3n = 7. 5. (p, 4) = (5, 4) i (1, q) = (1, ‡2). 6. x ‡ 2y = 15.

7. Da. 8. a) (7, 0) nije reπewe; b) (2, 2) jeste reπewe; v) (‡2, 5) nije reπewe. 9. Ureeni par (‡1, 5) zadovoqava prvu, a ne zadovoqava drugu jednaËinu. Ureeni par (4, 9) ne zadovoqava ni prvu ni drugu jednaËinu. 10. x + y = 3 i 4x + 3y = 12. 11. Ne postoje, jer ako se druga jednaËina podeli sa 4, dobija se jednaËina 7x ‡ 2y = 9. Prva i druga jednaËina su protivureËne.

8.2. 1. Jesu, jer je S = {(0, 5)} jedino reπewe i jednog i drugog sistema jednaËina. 2. Dokaz se zasniva na Ëiwenici da je (a, b) = (2, 1) jedino reπewe oba sistema. 3. Sistemi jednaËina J1 i J3,, sistem jednaËina J2 nije ekvivalentan ni sa jednim od preostala dva sistema jednaËina.

4. Sistemi nisu ekvivalentni, jer je (0, 1) reπewe drugog, a nije reπewe prvog sistema jednaËina. 5. m + n = 11 i 5m ‡ n = 1. 6. Nisu, jer (1, 4) jeste reπewe drugog, a nije reπewe prvog sistema jednaËina.

8.3. 1. a) x = 3, y = 3; b) a = ‡2, b = 2. 2. a) x = 4, y = 1; b) a = 2, b = 1; v) m = 1, n = ‡ 1. 3. a) x = 1, y = 1; b) p = 5, q = 2; v) a = 3, b = 2. 22 15 , y= ; b) x = 15, y = 4. 4. a) x = 7 7 5. Traæeni brojevi su 1338 i 672. 6. Jedna stranica pravougaonika je 29 cm, a druga 21 cm. Povrπina pravougaonika je 609 cm2. 7. Krak je 10 cm, a osnovica 12 cm. Visina trougla je 8 cm, a povrπina trougla je 48 cm2.

8. a) Dati sistem je ekvivalentan sa sistemom 3x + y = 25 i oËigledno je protivureËan, tj. ' 3x + y = 10 nema reπewa. b) Dati sistem je ekvivalentan sa sistemom x - 4y = 25 i ima beskonaËno mnogo reπewa: ' x - 4y = 25 x = 4t + 25, y = t (t ! R).

8.4. 1. a) x = 3, y = 3; b) a = b = 2; v) m = n = 1. 1 7 2. a) x = 3, y = 4; b) a = , b = ; v) c = 1, d = 2. 5 5

170

3. a) x = y = 2; b) p = 1, y = ‡ 1; v) m = n = 0. 4. a) x = 5, y = 8; b) x = 4, y = 10; v) x = ‡ 1, y = 2. 5. Olovka koπta 10, a sveska 30 dinara.

6. Traæeni brojevi su 41 i 33. 7. Traæeni brojevi su 12, 24, 36 i 48. 3x + 8y = 34 8. a) Dati sistem je ekvivalentan sa ' 3x + 8y = 24 i protivureËan je, tj. nema reπewa.

4x - 7y = 15 4x - 7y = 15 i ima beskonaËno mnogo reπewa, tj. x = 7t + 9 i y = 4t + 3 (t ! R).

b) Dati sistem je ekvivalentan sa '

8.5. 1. a) GrafiËkom metodom dobija se x = 1, y = 3. Proverom se uveravamo da je to stvarno reπewe. b) GrafiËkom metodom dobijamo da je potencijalno reπewe x = 4, y = 3, πto se proverom i dokazuje.

2. a) x = 1, y = 3; b) x = 1, y = 1. 3. a) Kako su prave y = 7 ‡ 2x i y = 5 ‡ 2x paralelne, to sistem nema reπewa. b) Kako se prave y = 4x ‡ 3 i 12x ‡ 3y = 9 poklapaju, to system ima beskonaËno mnogo reπewa.

8.6. 1. 2. 3. 4.

Traæeni brojevi su 603 i 1407. 50 i 31. Radi se o brojevima 40 i 20. »etvorokrevetnih soba ima 10, a trokrevetnih 8, pa je deËaka 40, a devojËica 24. 5. Uxbenik koπta 400, a zbirka 300 dinara.

6. Mira i Vesna su imale po 300 dinara, a sada imaju 300 ‡ 42 = 258, odnosno 300 ‡ 214 = 86 dinara. 7. Za 16 minuta. 8. Za 4 godine. 9. U prvom magacinu je bilo 1200 kg, a u drugom magacinu 300 kg jabuka.

9. Ваљак 9.1.

3 cm

8 cm

50 cm

3 cm

1. 1) r = 8 cm, H = 12 cm, s = 12 cm; 2) r = 12 cm, H = 8 cm, s = 8 cm; 3) r = 6 cm, H = 8 cm, s = 8 cm; 4) r = 4 cm, H = 12 cm, s = 12 cm. 2. b), v). 3. a = 50 cm, b = 3 cm, prava p paralelna sa duæom stranicom na rastojawu 4 cm od bliæe od wih.

4. Neka je u ravni ~ dat krug K(O, r). Cilindar polupreËnika r i visine H je povrπ koja se sastoji od svih taËaka svih duæi MM1 duæine H normalnih na ~ kada M proe kroz sve taËke kruænice k(O,r); to je omotaË vaqka. Osnove vaqka su krug K i wemu podudaran krug K1(O1,r) u ravni ~1, paralelnoj ~ i na rastojawu H od ~, ograniËen kruænicom k1(O1,r) koja se sastoji od svih krajeva M1 duæi MM1 kad M opiπe k. Povrπ vaqka polupreËnika r i visine H je zatvorena povrπ koja se sastoji od omotaËa i dveju osnova takvog vaqka. Vaqak polupreËnika r i visine H je telo koje se sastoji od svih taËaka povrπi takvog vaqka i svih taËaka koje se nalaze unutar te povrπi.

9.2. 1. r = 5 cm, H = 10 cm, s = 10 cm. P = r2r = 25r cm2. 2. a = 15 2 - 8 2 cm = 161 cm, P = 2a $ H = 2 161 $ 20cm 2

= 40 161 cm 2 . r

d a a

171

9.3. 1.

5 cm

D1 H 16 cm 10π cm

5 cm

2. Mi smo naπli konzervu tuwevine i merewem utvrdili da joj je preËnik osnove 8,5 cm a visina 4 cm. Wena je povrπina P = 2rr (r + H), r = 4,25 cm, H = 4 cm, P = 70,125r cm2 á 220,3 cm2. Povrπina table lima je 60000 cm2, 20% otpada je 12000 cm2, pa je upotrebqeno 48000 cm2 lima. Moæe se napraviti pribliæno 217 takvih konzervi. 3. a) r = 14 cm, H = 24 cm, P = 28r · 38 cm2 = = 1064r cm2; b) r = 24 cm, H = 14 cm, P = 48r · 38 cm2 = = 1824r cm2; v) r = 12 cm, H = 14 cm, P = 24r · 26 cm2 = 624r cm2; g) r = 7 cm, H = 24 cm, P = 14r · 31 cm2 = 434r cm2. 4. 2r : H = 3 : 4, r = 9 cm, P = 18r · 33 cm2 = 594r cm2. 5. r = 8 cm, H = 16 cm, P=

1 1 2 M + B + 2rH = 32 (3r + 8) cm . 4 2

B A

6. 384 = 24 · 16, pa je 2r = 16 cm, r = 8 cm, B = 64 cm2. Zbir povrπina vaqaka je 8B + M = 2rr(4r + H). Dakle, povrπina koju treba obojiti je 896r cm2, πto je pribliæno 2813,44 cm2. Za to nam treba oko 563 grama boje. H4 H3 H

H2 r

7. PoploËati treba r2r + 2rrH = 32r m2 . 100,53 m2; za to nam treba oko 40000 ploËica. 8. 4r + 2H = 30 cm, r2r = 2rrH. Iz druge jednaËine nalazimo da je r = 2H, πto zameweno u prvu jednaËinu daje 10H = 30 cm; H = 3 cm, r = 6 cm, P = 12r(6+3)cm2 = 108r cm2.

9.4. 1. 2B + M = 48r cm2, M = 30r cm2; 2B = 18r cm2; B = r2r = 9r cm2, r = 3 cm; M = 2rrH = 30r cm2; rH = 15 cm2, H = 5 cm, V = 9r · 5 cm3 = 45r cm3. 2. V = 4 dm3, r = 7 cm, r2r · H = 4 dm3 = 4000 cm3, H=

4000 4000 4000 = cm = 25, 9cm. cm . 22 154 49r 49 $ 7

3. r2r · H = 100r cm3, 2r = 10 cm; r2H = 100 cm3, 100 r = 5 cm; H = cm = 4cm ; P = 90r cm2. 25

4. m = t · V; V = V1 ‡ V2 = (132r · 2000 ‡ 92r · 2000) mm3 = 2r (169 ‡ 81) cm3 . 552,64 cm3; m . 4,349 g. 5. r = 1,5 m, H = 1,20 m; V = 1,52r · 1,20 m3 = 2,7r m3, V$

80 = 2, 16rm 3 . 6, 7284m 3 = 6782, 4l. 100

6. r = 12 cm, H = 30 cm, V = 122r · 30 cm3 = = 4320r cm3, r1 = 6 cm, H1 = 10 cm, V1 = 62r · 10 cm3 = 360r cm3, 4320 : 360 = 12; nije preteklo vode. 7. r2r · H = 800r cm3, r · H = 8r cm, H = 8 cm. H1 = 16 cm, r12r · 16 cm3 = 800r cm3, r12 = 50 cm2, r1 = 50 cm.

172

10. Купа 10.1. 4.

1. r = 10 cm, H = 10 cm, s = 10 2 cm (slika ispod levo). V1

H 10cm 10cm

10cm

Iz vaqka iseËena kupa.

16 3 $ 3 cm = 24cm, 2 H

16 3 cm, H = SV = 2

V 60˚

16√

30˚

Vaqku pridodata kupa.

2. Telo se sastoji iz dve kupe podudarnih osnova i jednakih visina. Za svaku od wih je r = 6 2 cm, H = 6 2 cm, s = 12 cm (slika iznad desno). 3. r = AS =

Od veÊe kupe odseËena mala. A

s = 16 3 cm. V'

10.2. V

1. Osni presek je jednakokraki trougao osnovice a = 2r =16 cm.

2r $ H 2 = 48cm , 2

H = 6 cm, s = H 2 + r2 , s = 10 cm. 2. Osni preseci kupa su V jednakokraki trouglovi. Osni presek naπe kupe je jednakokraki 12cm pravougli trougao visine 12 cm, zbog toga je r i r = 12 cm. S

2r $ H 2 B = r2r = 144r cm2, P0 = = 144cm . 2 V 3. 12 : 4 = 9 : r, r = 3 cm, P = 9r cm2. 4. r2r = 256r cm2, r = 16 cm, r12r = 144r M1 S1 r1 cm2, r1 = 12 cm. Trouglovi MVS i M1VS1 M r S su sliËni, pa su im stranice proporcionalne. Zbog toga je VS : VS1 = SM : S1M1; H : (H ‡ SS1) = r : r1 = 16 : 12 = 4 : 3, 3H = 4H ‡ 4 · 6 cm, H = 24 cm, s=

r +H =

16 + 24 cm = 8 13 cm.

10.3. 2

1. s = r + H = 8 + 15 cm = 17cm, P = rr(r + s) = 8r(8 + 17) cm2 = 200r cm2. a 2. s = a = 17 cm, r = = 8, 5cm, 2 P = 8,5r(8,5 + 17) cm2 = 433,5r cm2. 3. s =

= 144 cm = 12cm. sra = 2rr , a = 240°. 180

s α

4. s = 2r, b).

(4 5 ) + 8 cm =

173

5. Telo dobijamo ako se iz veÊe kupe iseËe (odc strani) mawa kupa. b PolupreËnik osnove B C obeju kupa je visina S a koja odgovara kraku tog trougla a duæine wihovih izvodnica su duæine osnovice A' (za veÊu) i kraka (za mawu) trougla. Povrπ tela sastoji se od omotaËa te dve kupe, pa je wegova povrπina jednaka zbiru povrπina

ta dva omotaËa, P = M1 + M2. Trougao ABA´ je jec dnakostraniËan, zbog toga je r = AS = , s1 = c, 2 c 3 , 2 2 BC = BS = 4 3 cm, BS = 6 3 cm, 3 c c 3 = 6 3 cm, c = 12 cm = s1, r = = 6cm, 2 2 P = rr (s1 + s2) = 6r (6 3 + 4 3 ) cm 2 = s2 = a = b = 4 3 cm, BS =

= 60 3 rcm 2 .

10.4. 1 2 3 r r $ H = 4800rcm ; 3 1 2 3 b) r = 16 cm, H = 30 cm, V = r r $ H = 2560rcm . 3 a a 3 15 3 2. r = = 7, 5cm, H = = cm, 2 2 2 V = 37, 5r 3 cm 3 . 1. a) r = 30 cm, H = 16 cm, V =

9 2 a 2 s - c m = 15cm , r = = 8cm, 2 2 V = 320r cm3. 4. a) Telo se sastoji od vaqka polupreËnika 8 cm i visine 12 cm i dve podudarne kupe polupreËnika osnove 8 cm i visine 6 cm. Zbog toga

5. PolupreËnik R osnove opisane kupe jednak je duæini osnovne ivice, R = 16 cm. PolupreËnik r osnove upisane kupe jednak je visini karakteristiËnog trougla pravilnog πestougla stranice a = 16 cm (taj trougao je jednakostraniËan), r = 8 3 cm . Visine obe kupe jednake su visini H piramide. VO : VU = 8704 : 6528 = 4 : 3.

3. H =

V = V1 + 2V2 = 8 2 r $ 12cm 3 + 2 $ = 1024rcm

6 cm

12 cm

8 cm

1 2 8 r $ 6cm 3 3

C 8 cm

6 cm

12 cm

A B

b) Telo se dobija ako se od kupe polupreËnika osnove 12 cm i visine 16 cm odseËe kupa polupreËnika 6 cm i visine 8 cm. Zbog toga je 1 V = V1 - V2 = (12 2 r $ 16 - 6 2 r $ 8) cm 3 3 3 = 672rcm V

8 cm

8 cm A

174

6 cm

6 cm B

6. m = t · V = 8,5 g/cm3; V=

1 2 1 2 3 r r $ H = 2 r $ 6cm , 3 3

V = 8r cm3 . 25,12 cm3. Masa jednog viska je m . 8,5 · 25,12 g = 213,52 g. Zbog toga se 5 kg mesinga moæe pretopiti u 23 mesingana viska zadatih dimenzija. Rastur je pribliæno 89 g. U procentima to je oko 1,78%.

11. Лопта 11.1. 3.

1. U oba sluËaja 1 12 2 cm , r = 6 2 cm 2 a centar lopte je preseËna taËka O ortogonala kvadrata.

2. Centar lopte je centar kruga upisanog u trougao. U sluËaju jednakostraniËnog troa ugla, on se poklapa s teæiπtem T trougla. PolupreËnik lopte jednak je polupreËniku A kruga upisanog u trougao. Zbog toga R = rU =

O 12cm C

T a

1 a 3 1 18 3 = cm = 3 3 cm. 3 2 3 2

Za svaku taËku M simetralne ravni duæi M AB duæine duæi MA i MB su jednake. Neka je S srediπte duæi A B S AB. Simetralna ravan a duæi AB prolazi kroz S i normalna je α na duæ AB. Sfera sa centrom u taËki M ravni a i polupreËnikom jednakim duæini duæi MA (navikli smo se da duæinu oznaËavamo isto tako sa MA) S(M, MA) sadræi taËku A. Ona sadræi i taËku B jer je duæina duæi MB jednaka duæini duæi MA, dakle, jednaka polupreËniku te sfere. A sfera S(M, MA) sadræi sve taËke prostora koje su na rastojawu od wenog centra M jednakom wenom polupreËniku.

11.2. 1. Vidi primer 1 iz lekcije 11.2. Povrπina preseËnog kruga je P = 64r cm2.

M2 M1

M 17cm

15cm

N r2 S2

R r1 S1

R O

α2 α1

2. Neka je to lopta B(O,R). Ako su S1 i S2 taËke koje dele polupreËnik ON na tri jednaka dela, R 2R onda je OS1 = , OS2 = . Iz pravouglih 3 3 trouglova OS1M1 i OS2M2 raËunamo kvadrate r12 i r22 polupreËnika preseËnih krugova, 2R 2 5 2 R 2 8 2 2 2 m = R , r2 = R - c m = R . 3 9 3 9 8 2 Povrπine preseËnih krugova su P1 = R r , 9 5 P2 = R 2 r , te je traæeni odnos povrπina 9 8 P1 : P2 = . 5

r12 = R 2 - c

3. R = 25 cm, r1 = 24 cm, r2 = 7 cm. OS1 = 25 2 - 24 2 = = 7 cm,

S2 S1 O

OS2 = 25 2 - 7 2 = = 24 cm. Traæeno rastojawe je 17 cm. 4. Neka su to sfere S1(O1,R1) i S2(O2,R2). One se seku; neka je A jedna od preseËnih taËaka. Postavimo ravan a kroz A normalnu na duæ O1O2 i neka ona seËe O1O2 u taËki S. Takva ra-

175

van seËe obe sfere po kruænici sa centrom S i polupreËnikom jednakim rastojawu taËke A od duæi O1O2. TaËke te truænice su preseËne taËke sfere S1 i S2. Za wih vaæi O1M = R1, O2M = R2. Drugih preseËnih taËaka te dve sfere nema. 5. Zbog 37 cm ‡ 13 cm < 40 cm < 37 cm + 13 cm, sfere S1(A, 37 cm) i S2(B, 13 cm) seku se po kruænici. Posmatrajmo presek ove dve sfere jednom ravni koja sadræi taËke A i B. Vidi sliku. ST2 = AT2 ‡ AS2 = BT2 ‡ BS2, 372 ‡ (40 ‡ x)2 =

= 132 ‡ x2 (izostavili smo pisawe cm) 1369 ‡ 1600 + 80x ‡ x2 = 169 ‡ x2, 80x = 400, x = 5 cm. ST = r = 13 2 - 5 2 cm = 12cm. Presek je kruænica polupreËnika 12 cm sa centrom u taËki S koja pripada duæi AB i na rastojawu je 5 cm od taËke B. 6. B1(O1,R), B2(O2,R). Trougao O1O2T je jednakostraniËan. PolupreËnik preseËnog kruga jeR 3 dnak je visini tog trougla, r = , pa je tra2 2 3R æena povrπina P = r. 4 T

40-x

S xB

13 c

37 c A

7. a) Piteπti u Rumuniji; b) Madrid; v) Sankt Peterburg.

11.3. 1. R = 8 cm, P = 4R2r = 256r cm2, 4 3 3 V = R r . 2143, 57cm . 3 2. 4R2r = 144r dm3, R2 = 36 dm2, R = 6 dm, V = 288r dm3. 4 3 3 3. 3052l = 3052dm = R r, R3r = 2289 dm3, 3 R3 . 729 dm3, R . 9 dm, P . 4 · 92r dm2 . 1017,36 dm2.

jednak rastojawu te taËke od temena prizme. U 2 a 3 pravouglom trouglu OT1A1 je A1 T1 = , 3 2 H 2 12 3 $ 3 OT = , A1 T1 = $ cm = 12cm, 2 3 2 OT = 15 cm, C1 T1

O C

O A

1 1 4. R = a 2 = 24 2 cm = 2 2 = 12 2 cm, P = 4R2r = 4 · 2 · 144r cm2 = = 1152r cm2. a 5. 2R = a = 15cm, R = = 7, 5cm, 2 P = 4R2r = 4 · 7,52r cm2 = 225r cm2. 6. Centar lopte je srediπte duæi koja spaja teæiπta dowe i gorwe osnove a polupreËnik je

176

R = OA1 =

OT12 + A1 T12 =

12 2 + 15 2 cm

= 369 cm, 4 3 3 V = R r = 492 369 cm . 3 7. To je lopta upisana u kocku ivice a = 20 cm. a R = = 10cm, 2 4000 4 3 3 3 3 rcm . 4187cm . V = $ 10 rcm = 3 3 Zapremina kocke je VK = a3 = 8000 cm3, pa je odbaËeno gotovo 47% materijala.

4 r (R 31 - R 32) , R1 = 3 m, 3 = 27 m3, R23 = 26,198073 m3,

8. m = t · V, V = V1 - V2 = R2 = 2,97 m, R13

R13 ‡ R23 = 0,801927 m3, V=

4 3 3 r $ 0, 801927m = 4r $ 0, 267309m . 3

. 3,3589 cm3, t = 7,8 g/cm3, m . 26,19942 t. 9. Potrebno je da zapremina vodotorwa bude veÊa od zapremine vode koja obezbeuje snabdevawe za 7200 sekundi. Zbog toga mora biti (1 l =

1 dm2), V > 720000 l = 720 m3. Dakle, 4 3 1 3 3 3 R r 2 720m , pa mora biti R 2 $ 540m . 3 r Ako prihvatimo za pribliænu vrednost broja r broj 3,1416, dobijamo da mora biti R3 > 171,8869 m3. Zbog 53 = 125, 63 = 216 mora biti 5 m < R < 6 m. RaËunamo redom, 5,13 = 132,651; 5,23 = 140,608; 5,33 = 148,877; 5,43 = 157,464; 5,53 = 166,375; 5,63 = 175,616. Dakle, ako je unutraπwi polupreËnik vodotorwa 5,6 m, u wega se moæe smestiti zahtevana zaliha vode.

177

Регистар појмова Сличност троуглова

– једнакост 34 – једначина у решеном облику 35 – линеарне једначине 39 – линеарне неједначине 49 – неједнакост 45 – неједначине 45 – немогућа једначина 36 – нумеричка једнакост 34 – нумеричка неједнакост 46 – примена линеарних једначина 42 – примена линеарних неједначина 53 – решен облик једначине – решен облик неједначине 46 – решење једначине 35 – решење неједначине 46 – скуп решења једначине 36 – скуп решења неједначине 47 – скуп решења неједначине као интервал 47 – својства рационалних алгебар. израза 51

– други став сличности 11 – коефицијент сличности 9 – површина сличних троуглова 10 – први став сличности 11 – слични троулови 8 – сличност и правоугли троугао 14 – Талесова теорема 7 – трећи став сличности 12 Тачка, права, раван – геометријско тело 31 – диедар 25 – дијагонала полиедра 31 – две равни 24 – ивица полиедра 31 – конвексан полиедар 32 – мимоилазне праве 19 – мрежа полиедра 32 – однос тачке и праве 15 – однос тачке и равни 15 – одређеност праве 15 – одређеност равни 16 – однос правих 19 – односи праве и равни 21 – ортогонална пројекција тачке на раван – паралелне равни 24 – полиедар 31 – прав диедар 25 – права паралелна равни 21 – права коса према равни 23 – права нормална на раван 21 – права продире раван 21 – права у равни 16 – пројекција дужи 28 – пројекција праве 28 – равни које се секу 24 – растојање тачке од равни 23 – симетрална раван дужи 24 – страна полиедра 31 – теме полиедра 31 – угао диедра 25 – угао између праве и равни 28 – узајамно нормалне равни 26

Призма

Линеарне једначине и неједначине – домен једначине 36 – домен неједначине 47 – еквивалентне једначине 37 – еквивалентне неједначине 49 – еквивалентне трансформације једначина – еквивалентне трансформације неједнач. – знаци неједнакости 45 – идентитет 36 – интервал 47

178

– бочна ивица призме 56 – бочна страна призме 55 – висина призме 56 – дијагонала квадра 56 – дијагонала призме 56 – дијагонални пресек призме 57 – запремина квадра 67 – запремина коцке 67 – запремина правилне тростране призме 70 – запремина правилне шестостр. призме 71 – запремина тела 66 – запремина усправне призме 70 – запремина четворостране призме 68 – ивица призме 55 – једнакоивична призма 56 – Кавалијеријев принцип 68 – квадар 56 – коса призма 56 – коцка 56 – маса тела 69 – мрежа призме 61 – омотач призме 55 – основа призме 55 – основна ивица призме 56 – паралелепипед 56 – површина квадра 61 – површина коцке 61 – површина правилне тростране призме 63 – површина правилне четворостр. призме 62 – површина правилне шестостране призме 65 – правилна призма 56 – пресек призме и равни 57 – призма 55 – страна призме 55 – теме призме 55 – усправна призма 56

Пирамида – апотема пирамиде 73 – бочна ивица пирамиде 73 – бочне стране пирамиде 72 – висина пирамиде 73 – врх пирамиде 73 – запремина пирамиде 85 – запремина правилне тростр. пирамиде 86 – запремина правилне четворос.пирамиде 85 – запремина правилне шестост. пирамиде 87 – ивица пирамиде 73 – једнакоивична пирамида 73 – мрежа пирамиде 76 – основа пирамиде 72 – основна ивица пирамиде 73 – пирамида 72 – површина пирамиде 78 – површина правилне тростране пирамиде 81 – површина правилне четворост.пирамиде 79 – површина правилне шестостр.пирамиде 81 – правилна пирамида 73 – пресек равни и пирамиде 73 – теме пирамиде 73 – тетраедар 73 Линеарна функција – вредност линеарне функције за х=0 92 – график линеарне функције 92 – домен функције 90 – имплицитни облик линеарне функције 99 – једначина праве 93 – коефицијент правца праве 93 – константна линеарна функција 97 – линеарна функција 89 – нагибни угао праве 97 – нула функције 94 – опадајућа линеарна функција 97 – растућа линеарна функција 97 – скуп вредности линеарне функције 91 Графичко представљање података – кружни дијаграм 105 – линијски графикон 103 – медијана 109 – популација 108 – средња вредност бројева 107 – статистика 101 – стубични дијаграм 104 – табеларно представљање података – узорак 108

102

Систем од две линеарне једначине са две непознате – еквивалентни системи 115 – еквивалентне трансформације система

115

– линеарне једначине са две непознате 112 – противречан систем 113 – решени облик система 113 – решење линеарне једначине са две неп. 112 – скуп решења лин.једн.са две непознате 112 – скуп решења система 113 Ваљак – ваљак 128 – висина ваљка 128 – запремина ваљка 135 – изводнице ваљка 128 – мрежа ваљка 133 – омотач ваљка 128 – оса ваљка 128 – осни пресеци ваљка 131 – основе ваљка 128 – површина ваљка 133 – полупречник ваљка 128 – пресеци ваљка равнима 130 – цилиндар 128 Купа – висина купе 137 – запремина купе 145 – изводнице купе 137 – конусна површ 137 – купа 137 – мрежа купе 141 – омотач купе 137 – описана купа 146 – оса купе 137 – осни пресеци купе 139 – површина купе 142 – пресеци купе равнима 139 – уписана купа 146 Лопта – антиподалне тачке сфере 149 – велика кружница сфере 152 – географске координате 153 – екватор 153 – запремина лопте 156 – лопта 148 – меридијани 153 – описана лопта и сфера 155 – паралеле 153 – површина лопте 154 – полулопта и полусфера 157 – полупречник лопте и сфере 148 – пресеци лопте и сфере равнима 152 – пречник лопте и сфере 149 – сфера 148 – тангентна раван сфере 152 – уписана лопта и сфера 155 – центар лопте и сфере 148

179

Литература 1. МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ ЗА УЧЕНИКЕ ОСНОВНИХ ШКОЛА, Друштво математичара Србије, Београд (разна годишта) 2. Драгољуб Милошевић, Борисав Симић: МАТЕМАТИЧКА ЧИТАНКА ЗА VII И VIII РАЗРЕД Завод за уџбенике, Београд, 2007. 3. Миодраг Петковић: ЗАНИМЉИВИ МАТЕМАТИЧКИ ПРОБЛЕМИ Друштво математичара Србије, Београд, 2008. 4. Ариф Золић, Борисав Симић: МАТЕМАТИЧКИ МОЗАИК, Друштво математичара Србије, Београд, 1989. 5. Manturov, Solncev, Sorkin, Fedin: MALI REČNIK MATEMATIČKIH TERMINA SA TUMAČEWIMA, Naučna knjiga, Beograd 1969.

САЈТОВИ • Друштво • Сајт

математичара Србије – http://www.dms.org.yu

са великим бројем задатака – http: //www.problems.ru/

• Енциклопдија

Википедија – http://sr.wikipedia.org/wiki/Математика

Vera JockoviÊ, Vladimir MiÊiÊ, –ore Dugoπija, Vojislav AndriÊ: MATEMATIKA za 8. razred osnovne πkole • Drugo izdawe, 2011. godina • IzdavaË: Zavod za uxbenike, Beograd, ObiliÊev venac 5, www.zavod.co.rs • Likovni urednik: Tijana Rančić • Grafički urednik: Milan Bjelanović • Dizajn i korice: Marija Hajster • Kompjuterska obrada: Aleksandar Savić • Crteži: Marija Karać • Lektor: Miroslava Ružić-Zečević • Korektura Zavoda za uxbenike • Format: 20,5 × 26,5 cm • Obim: 22½ πtamparskih tabaka • Rukopis predat u πtampu aprila 2011. godine • ©tampawe zavrπeno aprila 2011. godine • ©tampa: „MLADOST GRUP“, Loznica

180

За во за ни

бе

уџ

ке

слика 1

Na slici je prikazano kako se koriπÊewem Talesove teoreme deli data duæ a na tri jednaka dela. Podsetimo se da Talesova teorema glasi:

ни

Objasni konstrukciju na slici 1.

слика 2

бе

Ako paralelne prave na jednoj pravoj odsecaju duæi a i b a na drugoj a´ i b´ (sl. 2), onda vaæi a : b = a´ : b´.

a a'

U popularnoj formulaciji u ovoj teoremi se tvrdi da su senke dve duæi jedne prave baËene pri paralelnom osvetqewu na drugu pravu proporcionalne tim duæima.

уџ

за

слика 3

За во

1 пример

Ako kroz srediπte M jednog kraka trapeza ABCD konstruiπemo pravu paralelnu osnovicama, onda, ona polovi drugi krak (sl. 3).

b b'

пример

PomoÊu Talesove teoreme moæemo podeliti datu duæ u datoj razmeri.

Podeli datu duæ u PQ u razmeri a : b (a i b su date duæ u i).

слика 4

S b

R a m

n T

слика 5

x 1,5

Kako glasi Talesova teorema? Kako se deli duæ na n jednakih delova? Kako se deli duæ u datoj razmeri?

3 a

уџ

Задаци

p b

ни

ке

1, 5 x Prema Talesovoj teoremi, biÊe = . Odavde 3 2 4, 5 nalazimo x = = 2, 25 . 2

Контролна питања

бе

3 пример

Kraci ugla pOq preseËeni su sa dve paralelne prave. Duæine dobijenih odseËaka na jednom kraku su 2 i 3, a prvi odseËak na drugom kraku je 1,5. Koliki je drugi odseËak?

1. Podeli datu duæ na: a) pet; b) sedam jednakih delova. 2. Podeli datu duæ u razmeri: a) 3 : 2; b)

3: 2 .

за

3. Podeli datu duæ na tri dela u razmeri 5 : 3 : 2.

слика 6

4. Date su duæi a, b i c i jediniËna duæ e = 1 cm (sl. 6). Konstruiπi duæ x takvu da je: b) x : a = b : c;

v) x =

a ; b

g) x = ab.

За во

a) a : x = b : c;

Zaista, drugi oπtar ugao prvog trougla je 60° (komplement od 30°), a drugog 30°. Sledi da oba trougla imaju uglove 30°, 60°, 90°, te su sliËni.

слика 7

60°

30°

ке

пример

Dva pravougla trougla, jedan koji ima oπtar ugao od 30° i drugi Ëiji je jedan oπtar ugao 60° su sliËni.

ни

PokazaÊemo sada da je uvek jedan od sliËnih trouglova uveÊana ili podudarna kopija drugog. Neka su ABC i Am Bm Cm sliËni trouglovi, tj. \A = \Am , \B = \Bm , \C = \Cm . Piπemo DABC ~ DA˝B˝C˝.

уџ

бе

Na polupravama AB i AC moæemo odrediti taËku B´, odnosno C´ tako da je trougao Am Bm Cm podudaran trouglu AB´C´. Zbog jednakosti uglova \ABl Cl = \ABC prave B´C´ i BC su paralelne. Prema Talesovoj teoremi, vaæi AB : AC = ABl : ACl = Am Bm : Am Cm . Prema osobini proporcije, biÊe AB : Am Bm = AC : Am Cm . Da smo umesto jednakosti uglova \A = \Am isto uradili polazeÊi od jednakosti uglova \B = \Bm , dobili bismo AB : BC = Am Bm : Bm C m , odnosno AB : Am Bm = BC : Bm C m . Otuda vaæi

слика 8

C A

B' C''

A''

B''

Dakle, vaæi

за

AB BC CA = = = k. m m m m AB BC C m Am

odgovarajuÊe stranice sliËnih trouglova su proporcionalne.

За во

PodseÊamo: odgovarajuÊe stranice nalaze se naspram odgovarajuÊih jednakih uglova.

Odnos odgovarajuÊih stranica je pozitivan broj k. Zove se koeficijent sliËnosti (proporcionalnosti). SliËni trouglovi sa koeficijentom sliËnosti k = 1 su podudarni. Zaπto?

пример

Primetimo da je odnos obima sliËnih trouglova takoe jednak koeficijentu sliËnosti. Zaπto?

3 пример

Neka je DABC C ~ DKLM i k koeficijent sliËnosti. Ako su AD i KN N visine ovih trouglova, onda je AD : KN = k. слика 9

Trouglovi ABD i KLN N su sliËni jer je:

\B \L, \D \D ° \N,, \A 90° \B = 90° - \L \K.

Zato je AD : KN = AB : KL = k.

ке

RaËunamo, P (ABC) =

ни

Iz ovog primera moæe se videti kako se odnose povrπine dva sliËna trougla. 1 1 2 BC $ AD = kLM $ kKN = k $ P (KLM) . 2 2

бе

Dakle,

odnos povrπina sliËnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenta sliËnosti.

уџ

Контролна питања

Задаци

за

Koja dva trougla su sliËna? Kako se odnose odgovarajuÊe stranice dva sliËna trougla? ©ta je koeficijent sliËnosti? Kako se odnose povrπine sliËnih trouglova?

слика 10

За во

1. Dve paralelne prave grade sa parom unakrsnih uglova odseËke Ëija je duæina prikazana na slici 10. a) Pronai parove jednakih uglova na slici.

b) Obeleæi i zapiπi koji su trouglovi sliËni. x

v) IzraËunaj nepoznate duæine x i y.

a) visina iz B i iz L; b) visina iz M i iz C?

слика 11

4 y

ни

ке

9. Neka su ABC i A1B1C1 sliËni trouglovi. Najduæa stranica trougla ABC je 18 cm, a najkraÊa visina trougla A1B1C1 je 6 cm. Ako je povrπina trougla A1B1C1 jednaka 36 cm2, izraËunaj povrπinu trougla ABC.

бе

1.3. Ставови сличности троуглова

уџ

Kako prepoznati da su dva trougla sliËna, tj. da imaju jednake odgovarajuÊe uglove?

за

Primetimo da ako trouglovi imaju dva odgovarajuÊa ugla jednaka, tada im je i treÊi ugao jednak (zbir svih uglova trougla je 180°). Dakle, vaæi sledeÊe tvrewe. Prvi stav sliËnosti (UU, skraÊeno od ugao, ugao):

Trouglovi ABO i CDO su sliËni jer je \A OdgovarajuÊe stranice su proporcionalne:

\C, \B \B

\D .

AO : CO = AB : CD = BO : DO.

C слика 12

Neka je O presek dijagonala trapeza ABCD sa osnovicama AB i CD. Dokaæi da je AO : CO = AB : CD.

За во

пример

Dva trougla su sliËna ako imaju dva odgovarajuÊa ugla jednaka.

Vaæi i tvrewe.

Drugi stav sliËnosti (RUR, skraÊeno od razmera, ugao, razmera):

Dva trougla su sliËna ako im je po jedan ugao jednak a stranice na wihovim kracima proporcionalne. Dokaz. Neka su ABC i Am Bm C m dva trougla takva da je \A = \Am , AB : Am Bm = AC : Am C m .

слика 13 C'

Odredimo na kracima AB, odnosno AC taËke B´, odnosno C´ takve da je AB´ = Am Bm , AC´ = Am C m . Dokaæimo da je BC paralelno B´C´.

C A

B' C''

B''

ке

Da li su sliËni pravougli trouglovi Ëije su katete 8 cm i 5 cm, odnosno 10 i 16 cm?

ни

Jesu. Trouglovi imaju po jedan ugao jednak (prav), a stranice na wegovim kracima su proporcionalne 8 : 5 = 16 : 10.

бе

пример

A''

уџ

Neka je M srediπte stranice AB a N srediπte stranice AC C trougla ABC. Tada je 1 trougao AMN N sliËan trouglu ABC C sa koeficijentom sliËnosti (po drugom stavu 2 sliËnosti, jer je A слика 14 1 \A \A, AM : AB = AN : AC = ). 2 M N \ABC i MN N || AB i MN : BC =

1 . 2

Zato je \AMN MN

за

пример

Dokaæi da je sredwa linija trougla paralelna jednoj stranici trougla i jednaka wenoj polovini.

За во

Takoe vaæi sledeÊe tvrewe. TreÊi stav sliËnosti (RRR, skraÊeno od razmera, razmera, razmera):

Dva trougla su sliËna ako su im odgovarajuÊe stranice proporcionalne.

слика 15

Dokaz. Neka su ABC i Am Bm C m dva trougla takva da je

C''

AB BC CA . = = Am Bm Bm C m C m Am

Neka je C´ taËka takva da je \C´AB = \Am , \C´BA = \Bm (sl. 15). Prema prvom stavu sliËnosti je ABC´~Am Bm C m pa je

B'' A''

AB BCl Cl A . = = m m m m AB BC C m Am

4 пример

Da li su sliËni trouglovi Ëije su stranice 5 cm, 11 cm, 7 cm odnosno 21 cm, 33 cm, 15 cm? Jesu, jer je 5 : 7 : 11 = 15 : 21 : 33, na osnovu RRR stava sliËnosti.

Контролна питања

ни

ке

Kako glasi prvi stav sliËnosti trouglova? Kako glasi drugi stav sliËnosti trouglova? Kako glasi treÊi stav sliËnosti trouglova?

Задаци

бе

1. Neka je DABC ~ DKLM i k koeficijent sliËnosti. Ako su AD i KN teæiπne duæi ovih trouglova, dokaæi da je: a) DABD ~ DKLN; b) AD : KN = k.

уџ

2. Neka se teæiπne duæi BB´ i CC´ trougla ABC seku u taËki T. Dokaæi da je DBC´T ~ DB´CT. Koliki je koeficijent sliËnosti? 3. Dokaæi da se teæiπne duæi trougla seku u teæiπtu trougla koje ih deli u razmeri 2 : 1.

за

4. Neka su M taËka stranice AB i N taËka stranice AC trougla ABC takve da je AM : AB = AN : AC = 1 : 3. a) Dokaæi da je MN paralelno BC.

b) U kojoj razmeri preseËna taËka P duæi CM i BN deli ove duæi?

За во

5. Jedna od dijagonala trapeza podeqena je preseËnom taËkom dijagonala na odseËke 2 cm i 3 cm. Mawa osnovica trapeza je 5 cm. Kolika je veÊa osnovica? 6. Od duæi Ëije su duæine u centimetrima: a) 4, 5, 7, 8, 10, 14; b) 5, 7, 14, 10, 10, 20; v) 2, 2, 2 , 2 2 , 3 , 6 formirana su dva sliËna trougla. Koliki je koeficijent sliËnosti? 7. IzraËunaj x sa slike 16.

слика 17

слика 16

D 6

8. IzraËunaj x sa slike 17.

1.4. Примена сличности на правоугли троугао слика 18

D b

Neka je ABC pravougli trougao sa pravim uglom \C. Visina iz temena C deli ga na dva pravougla trougla. Svaki od wih sliËan je polaznom trouglu jer ima i joπ po jedan oπtar ugao polaznog trougla.

бе

ни

ке

уџ

Mnoæewem dobijamo: p · q = h2, pa je h = p $ q (visina je geometrijska sredina odseËaka).

Контролна питања

за

За во

Задаци

1. Katete pravouglog trougla su 11 cm i 2 cm. Kolika je visina koja odgovara hipotenuzi? Koliki su odseËci na koje ova visina deli hipotenuzu? 2. Visina pravouglog trougla deli hipotenuzu na duæi Ëije su duæine 2 cm i 8 cm. Odredi duæine kateta. 3. Neka je CD visina koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla ABC. IzraËunaj obim trougla ako je: a) AD = 2 cm, CD = 6 cm; b) AC = 6 cm, CD = 3 3 cm.

4. Konstruiπi duæ duæine

mn , gde su m, n duæine datih duæi.

a+b H ab (a, b su date duæine duæi), tj. da aritmetiËka sre5. Pokaæi slikom da je 2 dina nije mawa od geometrijske.

6. Nad stranicama pravouglog trougla konstruisani su sliËni trouglovi. Dokaæi da je povrπina najveÊeg jednaka zbiru povrπina dva mawa.

,, ,,

ке

2.1. Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни

За во

за

уџ

бе

ни

б)

в)

ке

Ovo ukazuje na to da za ravan prihvatamo da: Tri taËke koje se ne nalaze na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan.

Kaæe se da je ravan odreena taËkama A, B, C (kraÊe se piπe ravan ABC) (sl. 2v).

ни

Neka je taËka C van prave p. UoËimo razliËite taËke A i B na pravoj p. Na osnovu prethodnog sledi da taËke A, B, C odreuju taËno jednu ravan i prava p je u toj ravni. Dakle, vaæi i da:

бе

Prava i taËka van we odreuju taËno jednu ravan.

уџ

за

пример

За во

пример

Proveri da li prethodna tvrewa o odreenosti ravni vaæe ako kao model ravni koristimo vrata na uËionici. слика 3

Ranije su qudi na selu pravili niske stolice sa tri „noge“ tzv. tronoæac. Zaπto tronoæac ne moæe da se „klati“? Tri taËke koje nisu na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan.

слика 4

слика 5

C B

слика 6

ни

б)

в)

уџ

слика 7

A q

За во

за

пример

ке

Ako su taËke A, B, C, C D na jednoj pravoj, tada one ne odreuju nijednu ravan. (Postoji bezbroj ravni koje sadræe tu pravu; sl. 6a) Ako neke tri od ovih taËaka odreuju jednu ravan i ako je Ëetvrta taËka u toj ravni, tada ove Ëetiri taËke odreuju jednu ravan (sl. 6b). Ako ove taËke nisu u jednoj ravni, tada one odreuju Ëetiri ravni (to su ravni ABC, ABD, ACD, BCD; sl. 6v).

бе

пример

Date su Ëetiri razliËite taËke A, B, C, C D. Koliko ravni je odreeno sa bar po tri od ovih taËaka?

Dve prave koje se seku odreuju taËno jednu ravan.

пример

слика 8

Prema tome, dve razliËite paralelne prave odreuju taËno jednu ravan.

Контролна питања

ке

1. Na slici 9 prikazan je kvadar ABCDEFGH. Koja wegova temena: a) pripadaju; b) ne pripadaju ravni BCG?

ни

Задаци

G F

бе

2. Dato je pet taËaka, pri Ëemu ne postoje tri taËke koje su na istoj pravoj. Koliko je pravih odreeno parovima tih taËaka? Prikaæi reπewe odgovarajuÊom skicom.

слика 9

C B

4. Dve prave se seku ako imaju: a) bar jednu;

уџ

3. Date su Ëetiri razliËite taËke. Koliko je: a) najmawe; b) najviπe pravih odreeno parovima tih taËaka?

b) taËno jednu;

v) najviπe jednu zajedniËku taËku.

за

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. Koliko je pravih odreeno parovima temena pravilnog osmougla?

6. Neka su A1, A2, ..., A8 razliËite taËke koje pripadaju kruænici k(O, r). Koliko je: a) najmawe; b) najviπe pravih odreeno parovima taËaka O, A1, A2, ..., A8?

За во

7. Dopuni sledeÊe reËenice tako da dobijena tvrewa budu taËna. Ravan je odreena sa tri taËke koje _____________________________. Ravan je odreena sa pravom i taËkom ______________. Ravan je odreena sa dve __________ koje se seku. Ravan je odreena sa dve razliËite _____________ prave.

8. Neka su a, b, c, d razliËite paralelne prave od kojih nikoje tri ne pripadaju jednoj ravni. Koliko je ravni odreeno parovima ovih pravih?

9. Neka su a, b, c prave koje se seku u jednoj taËki i nisu u jednoj ravni. Koliko je ravni odreeno parovima ovih pravih?

2.2. Односи правих. Мимоилазне праве Razmotrimo u kakvom meusobnom poloæaju mogu biti dve prave. Dve olovke nam mogu posluæiti kao model dve prave.

слика 10

Ako dve prave imaju taËno jednu zajedniËku taËku, kaæemo da se seku. Prave a i b se seku u taËki S (sl. 10).

слика 11

c d

ни

Prave c i d se poklapaju (sl. 11).

ке

Ako dve prave imaju zajedniËke sve taËke, kaæemo da se poklapaju.

b a

Ako dve prave nemaju zajedniËkih taËaka, razlikujemo dva sluËaja: ‡ ne postoji ravan u kojoj su te prave.

слика 12

бе

‡ postoji ravan u kojoj su te prave,

Prvi sluËaj nam je poznat ‡ prave su paralelne (sl. 12).

уџ

U petom razredu istakli smo da:

за

Ako dve prave pripadaju jednoj ravni, nemaju zajedniËkih taËaka ili se poklapaju, kaæemo da su paralelne. U drugom sluËaju kaæemo da su prave mimoilazne.

За во

Za dve prave kaæe se da su mimoilazne ako ne postoji nijedna ravan kojoj pripadaju.

Na kojoj od sledeÊih slika su prikazane mimoilazne prave? n

пример

слика 13

α б)

α в)

слика 14

ке

Putawe kretawa aviona najËeπÊe pripadaju mimoilaznim pravama.

Na modelu kocke ABCDA1B1C1D1 prikazanom na slici 15 utvrdi koje prave odreene temenima kocke su mimoilazne sa pravom AB.

ни

Sa pravom AB mimoilazne su prave A1D1, B1C1, CC1, DD1, A1C1, B1D1, CD1, DC1, DA1, CB1.

слика 15

уџ

Контролна питања

бе

2 пример

3 пример

Ako zamislimo da avioni lete pravolinijski, kakvim pravama bi pripadale wihove putawe?

за

U kakvom meusobnom poloæaju mogu biti dve prave koje pripadaju jednoj ravni? U kakvom meusobnom poloæaju mogu biti dve prave? Kada su dve prave paralelne? Kada su dve prave mimoilazne?

Задаци

За во

1. Na modelu kocke ABCDA1B1C1D1 prikazanom na slici 15 utvrdi koje prave odreene temenima kocke: a) jesu paralelne pravoj AC; b) seku pravu AC1. 2. Prave a, b, c pripadaju jednoj ravni. Prave a i b seku se u taËki S, a prave b i c seku se u taËki T. U kakvom meusobnom poloæaju mogu biti prave a i c ako su taËke S i T razliËite? 3. Date su prave a, b i c. Prave a i b seku se u taËki S, a prave b i c seku se u taËki T. U kakvom meusobnom poloæaju mogu biti prave a i c ako su taËke S i T razliËite?

4. Ako dve prave imaju dve razliËite zajedniËke taËke, tada se te prave: a) seku;

b) poklapaju;

v) mimoilaze.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. Ako su prave a i b mimoilazne, tada one mogu pripadati ravnima koje: a) se poklapaju;

b) su paralelne;

NetaËan je samo jedan odgovor. Koji?

v) se seku.

ке

Takve su i prava b i ravan b.

ни

Tada je prava b paralelna ravni b (sl. 16). ‡ Prava i ravan imaju bar dve razliËite zajedniËke taËke.

слика 17

бе

Ako prava c i ravan c imaju dve razliËite zajedniËke taËke, tada su sve taËke prave c u ravni c, pa kaæemo da je prava c u ravni c ili da ravan c sadræi pravu c (sl. 17).

c γ

за

Prava a je u ravni a, a prava b je van te ravni i paralelna je sa pravom a. U kakvom je poloæaju prava b prema ravni a ? слика 18

Prava b je paralelna ravni a. Ako bi prava b prodi- b rala ravan a, ona bi imala zajedniËku taËku sa pravom a, a to je nemoguÊe.

За во

пример

уџ

Ako prava i ravan nemaju zajedniËkih taËaka ili je prava u ravni, kaæemo da je prava paralelna ravni.

a α

слика 19

‡ Prava i ravan imaju taËno jednu zajedniËku taËku. Prava a i ravan a imaju zajedniËku taËku A. Kaæemo da prava a prodire ravan a u taËki A ili da ravan a seËe pravu a u taËki A (sl. 19).

Poseban poloæaj ima prava koja prodire ravan i normalna je na ravan.

A α a

Kaæemo da je prava a normalna na ravan a ako je prava a normalna na svaku pravu ravni a koja sadræi taËku prodora prave a i ravni a.

Zamiπqena prava n odreena olovkom gradi prave uglove sa pravama koje su u ravni a i sadræe taËku prodora N (sl. 20).

N α

ке

пример

слика 20

бе

ни

U svesci nacrtaj prave p i q koje se seku u taËki N N. Postavi olovku tako da „prodire“ ravan sveske u taËki N N, da je normalna na pravu p i da:

уџ

b) je normalna na pravu q.

(Koristi trougaoni lewir.) Da li je olovka normalna na ravan sveske? a) Olovka nije normalna na ravan sveske.

слика 21

за

b) Olovka je normalna na bilo koju pravu u svesci koja sadræi taËku N (proveri!), pa je normalna i na ravan sveske.

p q

N α б)

За во

пример

a) nije normalna na pravu q;

пример

Ako je prava n, koja prodire ravan a u taËki N, normalna na dve prave te ravni koje sadræe taËku N, onda je prava n normalna na ravan a.

слика 22

Ako prava prodire ravan i nije normalna na ravan, kaæe se da je kosa prema ravni.

N1 α

за

Контролна питања

слика 24

уџ

TaËka A je van ravni a. Neka je N prodor normale iz taËke A kroz ravan a. Kaæemo da je duæina duæi AN rastojawe taËke A od ravni a.

слика 23

бе

U petom razredu nauËili smo πta je rastojawe taËke od prave. A πta je rastojawe taËke od ravni?

ке

Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje dve normale, n1 i n2, iz taËke A na ravan a, koje prodiru ravan u taËkama N1 i N2. Tada bi dva ugla trougla AN N1N2 bila prava. To je nemoguÊe, pa ne mogu da postoje dve normale iz taËke van ravni na ravan. Stoga, postoji taËno jedna prava iz taËke van ravni koja je normalna na tu ravan (sl. 23).

ни

пример

TaËka A je van ravni a. Postoji taËno jedna prava koja sadræi taËku A i normalna je na datu ravan.

За во

Задаци

слика 25

1. KoristeÊi model kocke ABCDA1B1C1D1, prikazan na slici 25, utvrdi u kakvom su meusobnom poloæaju: a) prava AC i ravan BC1B1; . v) prava BD1 i ravan 1

b) prava AD i ravan ABC;

D1 A1

C1 B1

ке

7. Ako su dve razliËite prave a i b normalne na ravan a, tada: a) prave a i b se seku; b) prave a i b su paralelne;

слика 26

v) prave a i b su mimoilazne. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

бе

8. TaËke A, B, C su u ravni a, a taËka D je van ravni, tako da je prava AD normalna na ravan a. Ako je DB = DC, dokaæi da je AB = AC. Vidi sliku 26!

ни

уџ

9. Nacrtaj u svesci trougao ABC i izaberi taËku S u tom trouglu. U taËki S postavi pravu p koja prodire ravan ABC. Na pravoj p izaberi taËku M, tako da je \ASM = \BSM = 90° . Odredi \CSM .

за

10. Ravan a normalna je na duæ AB u wenom srediπtu S. Ravan a nazivamo simetralnom ravni duæi AB. Dokaæi da je svaka taËka M simetralne ravni a na jednakim rastojawima od krajwih taËaka duæi AB.

2.4. Односи две равни

За во

слика 27

Na slici 28 prikazane su ravni a i b, koje se seku po pravoj p.

слика 28

Na slici 27 prikazane su ravni a i b, koje su paralelne. Za dve ravni koje imaju taËno jednu zajedniËku pravu kaæemo da se seku.

β p α

a) Ravan poda seËe se sa ravnima zidova; b) Ravan poda i ravan tavanice su paralelne (ako tavanica nije kosa).

α2

α1

слика 30

уџ

бе

слика 29

ке

ни

1 пример

Utvrdi u kakvom su poloæaju ravan poda tvoje uËionice i: a) ravni zidova; b) ravan tavanice.

a p

за

слика 31

γ b

p S

пример

За во

Ako je ugao diedra prav, za diedar se kaæe da je prav diedar.

Neka je ugao aSb ugao diedra ap a b i neka je A taËka na polupravoj Sa. TaËka B je podnoæje æ normale n iz taËke A na poluravan pb. U kakvom je poloæaju poluprava SB prema ivici p?

A a β S

B p

ке

пример

слика 32

ни

Ugao diedra ap a b je 60°. Koliko je rastojawe taËke A od druge strane diedra ako je taËka A na strani ap a i od ivice p je na rastojawu 4 cm?

уџ

бе

слика 33

за

пример

Za ravni a i b koje se seku i grade jednake ‡ prave diedre kaæemo da su uzajamno normalne, tj. ravan a je normalna na ravan b i obrnuto.

За во

Контролна питања

Kada se dve ravni poklapaju? Kada su dve razliËite ravni paralelne? Kada su dve ravni paralelne? Kada se dve ravni seku? ©ta je diedarska povrπ? ©ta je diedar? Kada je ravan normalna na ravan?

Задаци

b) mogu da budu paralelne;

v) mogu da se poklapaju.

ке

Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora. 5. Kroz pravu n normalnu na ravan a moæe se postaviti:

ни

a) samo jedna ravan normalna na ravan a; b) taËno dve ravni normalne na ravan a; v) bezbroj ravni normalnih na ravan a.

бе

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

6. Ravan a seËe ravan b po pravoj a i ravan c po pravoj b. U kakvom poloæaju mogu biti ravni b i c ako su prave a i b paralelne?

уџ

7. Ravan a seËe ravan b po pravoj a i ravan c po pravoj b. U kakvom su poloæaju prave a i b ako su ravni b i c paralelne?

за

2.5. Ортогонална пројекција на раван

За во

Geometrijske objekte koji su u jednoj ravni predstavqamo odgovarajuÊom slikom u ravni. Predstavqawe geometrijskih objekata koji su u prostoru odgovarajuÊom slikom u jednoj ravni je potrebno i za graevinarstvo, tehniku, arhitekturu, umetnost... To predstavqawe moguÊe je uraditi na razliËite naËine i predmet je izuËavawa nekih matematiËkih disciplina. Nivo znawa kojim raspolaæu uËenici osmog razreda osnovne πkole nije dovoqan da bismo mogli detaqnije da izlaæemo razliËite metode predstavqawa prostora u jednoj ravni. Stoga Êemo upoznati samo osnovne karakteristike ortogonalnog (normalnog) projektovawa (preslikavawa) prostora na jednu ravan. Ortogonalna projekcija (slika) taËke A na ravan r je taËka Al u kojoj normala iz taËke A na ravan r prodire ravan r.

n A

слика 34

Odredi projekciju duæ u i AB na ravan r ako je ta duæ u :

ни

ке

a) paralelna ravni r; b) u ravni r; v) na pravoj koja je normalna na ravan r; g) na pravoj koja nije ni normalna na ravan ni paralelna sa ravni r.

U svakom od ovih sluËajeva uporedi duæ u inu duæ u i sa duæ u inom wene projekcije. B

пример

в)

г)

бе

б)

A A'

B B'

A' B'

уџ

слика 35

Projekcija duæi na ravan odreena je projekcijama wenih krajwih taËaka.

За во

за

a) Ako je duæ paralelna ravni r, tada je Ëetvorougao Al Bl BA pravougaonik, pa je projekcija duæi AB duæ Al Bl , pri Ëemu je AB = Al Bl (sl. 35a). b) U ovom sluËaju duæ se poklapa sa svojom projekcijom (sl. 35b). v) U ovom sluËaju projekcija duæi je taËka, pa je duæina projekcije 0 (sl. 35v). g) Ako je duæ AB kosa prema ravni r, wena projekcija je duæ Al Bl i vaæi da je AB > Al Bl (sl. 35g).

слика 36

α A

Razmotrimo kako se projektuje prava. U prethodnim primerima umesto duæi AB posmatrajmo pravu AB. Vaæi: ‡ prava paralelna projekcijskoj ravni paralelna je sa svojom projekcijom na tu ravan; ‡ prava koja je u projekcijskoj ravni poklapa se sa svojom projekcijom na tu ravan; ‡ projekcija prave normalne na ravan je taËka; ‡ projekcija prave koja nije normalna na projekcijsku ravan je prava. Prava i wena projekcija pripadaju ravni koja je normalna na projekcijsku ravan i seku se u taËki prodora prave kroz projekcijsku ravan (sl. 36).

Oπtri ugao a koji obrazuje prava a sa svojom projekcijom aʹ na ravan π naziva se ugao izmeu prave a i ravni r. Za ugao a kaæe se i da je nagibni ugao prave a prema ravni r.

слика 37

30°

бе

уџ

7 3

за

пример

ни

ке

пример

Prava p gradi sa ravni r ugao od 30° i prodire je u taËki P. TaËka Q je na pravoj p tako da je PQ = 6 cm. IzraËunaj Ë duuæinu projekcije duæ u i PQ na ravan r i rastojawe taËke Q od ravni r.

За во

Odredi projekciju kvadrata ABCD na ravan r ako je bar jedan par wegovih stranica paralelan ravni r.

пример

слика 39 a)

C в)

б)

A' D' π

B B' C' π

Контролна питања

ни

ке

Задаци

бе

1. ©ta mogu biti projekcije dve jednake i paralelne duæi na ravan? 2. Projekcije dve paralelne razliËite prave na ravan mogu biti: a) razliËite paralelne prave; b) prave koje se seku; g) jedna prava.

уџ

v) dve taËke;

Samo jedan odgovor je netaËan. Koji?

3. Projekcije dve prave, koje se seku, na ravan mogu biti: b) prave koje se seku;

v) dve taËke;

d) prava i taËka van we.

за

a) razliËite paralelne prave;

g) jedna prava;

Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora.

4. Projekcije dve prave, koje su mimoilazne, na ravan mogu biti:

За во

a) razliËite paralelne prave; b) prave koje se seku; v) dve taËke;

g) jedna prava.

Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora.

5. TaËke A i B su sa raznih strana ravni a, redom, na rastojawu 2 cm, odnosno 4 cm od ravni a. Ako je duæina projekcije AʹBʹ duæi AB na ravan a jednaka 12 cm, izraËunaj duæinu duæi MB, gde je M taËka duæi AB koja pripada ravni a.

6. JednakostraniËni trougao ABC, AB = 4 cm, nalazi se u ravni koja seËe ravan r po pravoj AB. IzraËunaj obim i povrπinu trougla AʹBʹCʹ, koji je projekcija trougla ABC na ravan r. Ravni ABC i r grade ugao od: a) 30°;

b) 45°;

v) 60°.

7. Kada je projekcija kruga: a) krug; b) duæ jednaka preËniku kruga?

2.6. Полиедар

ке

Geometrijska tela smo upoznali joπ od prvog razreda. UoËili smo da je geometrijsko telo deo prostora ograniËen sa svih strana nekim povrπima. „Granica“ koja razdvaja deo prostora koji pripada geometrijskom telu (unutraπwu oblast) od ostalog dela prostora (spoqaπwa oblast) naziva se povrπ geometrijskog tela. Povrπ geometrijskog tela i wegova unutraπwa oblast zajedno Ëine geometrijsko telo.

ни

Povrπ geometrijskog tela moæe da bude sastavqena od delova ravni ili od delova krivih povrπi. Geometrijsko telo Ëija je povrπ sastavqena od konaËno mnogo mnogouglova naziva se poliedar.

бе

Pri tome, dva mnogougla imaju najviπe jednu zajedniËku stranicu, tri ili viπe mnogouglova imaju najviπe jedno zajedniËko teme.

уџ

Na primer, kocka i kvadar su poliedri.

б)

в)

г)

д)

слика 40

за

пример

Koja su od geometrijskih tela prikazanih na slici 40 poliedri?

За во

Poliedri su prikazani na slici 40 pod b, v, g.

Nabroj temena, ivice i strane poliedra prikazanog na slici 41.

пример

Temena su A, B, ___, D, ___, ___ . Ivice su AB, ____, ____, AD, ___ ...

слика 41

C D E

Strane su ABC, ABED,___, ___, ... B

Koliko najmawe mnogouglova Ëini povrπ poliedra? Koliko temena i ivica ima taj poliedar?

пример

Najmawe Ëetiri mnogougla mogu Ëiniti poliedarsku povrπ. Tom povrπi je odreen poliedar sa Ëetiri strane, Ëetiri temena i πest ivica (sl. 42).

слика 42

ке

Kao i mnogouglovi i poliedri mogu biti konveksni i nekonveksni.

Poliedar je konveksan ako sadræi svaku duæ Ëije mu krajwe taËke pripadaju.

б)

в)

г)

слика 43

за

уџ

пример

бе

Koji su poliedri, prikazani na slici 43, konveksni?

ни

Mi Êemo se baviti samo nekim konveksnim poliedrima.

Konveksan poliedar prikazan je na slici 43a.

За во

Ako povrπ poliedra „iseËemo“ duæ nekih ivica tako da sve strane poliedra mogu da budu u jednoj ravni, dobijamo jednu figuru sastavqenu od mnogouglova, koja se zove mreæa poliedra.

Koja figura je mreæ e a datog poliedra?

пример

слика 44

Mreæa datog poliedra je na slici 44a.

б)

Контролна питања

ке

ни

Задаци

1. Da li postoji poliedar Ëija povrπ je sastavqena od kvadrata?

бе

2. Da li poliedar moæe imati osam ivica?

3. Od kojih mnogouglova je sastavqena povrπ poliedra na slici 45? Koliko strana, ivica i temena ima taj poliedar? Koliko dijagonala ima taj poliedar?

слика 45

уџ

4. Koji su poliedri prikazani na slici 46 konveksni?

за

слика 46

б)

в)

г)

За во

5. Ravnima se odseku delovi kocke kao na slici 47. Koliko temena, strana i ivica ima nastalo telo? слика 47

слика 48

6. Koliko temena, ivica i strana ima poliedar prikazan na slici 48?

уџ

3.1. Појам једначине

бе

ни

ке

U petom i πestom razredu reπavali smo jednaËine 2xx + 5 = 13, 3a ‡ 5 = 16, 95 ‡ 7cc = 36...

пример

За во

пример

за

U prethodnim razredima o jednaËinama smo govorili kao o jednakostima koje sadræe nepoznatu. U redovima koji slede baviÊemo se detaqnijim razmatrawem pojma jednaËine.

PrimeÊujemo da su 2xx + 5, 13, 3a ‡ 5, 16, 95 ‡ 7c, 36 ... algebarski racionalni izrazi i da su meusobno povezani znakom jednakosti.

Prva jednakost je primer taËne numeriËke (brojevne) jednakosti, a druga i treÊa jednakost su primeri jednaËina.

ке

пример

ни

бе

JednaËinu oblika x = xo smatraÊemo jednaËinom u reπenom obliku.

за

Jednakost L = D1, tj. jednakost 5xx ‡ 6 = 3x + 4 jeste jednaËina, jer sadræi promenqivu (nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena jednakost, tj. jednaËina taËna za neke vrednosti nepoznate x (na primer za x = 5) i netaËna takoe za neke vrednosti x (na primer za x = 0). Za realan broj 5 kaæemo da je reπewe jednaËine 5x ‡ 6 = 3x + 4, jer je jednakost 5 · 5 ‡ 6 = 3 · 5 + 4 taËna. Za broj 0 kaæemo da nije reπewe jednaËine, jer jednakost 5 · 0 ‡ 6 = 3 · 0 + 4 nije taËna. Skup S = {5} jeste skup reπewa date jednaËine.

Jednakost L = D2, tj. jednakost 5xx ‡ 6 = x2, takoe je jednaËina, jer sadræi i promenqivu (nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena jednakost, tj. jednaËina taËna za neke vrednosti nepoznate x (na primer za x = 2 i x = 3) i netaËna takoe za neke vrednosti x (na primer za x = 0, x = ‡2). Brojevi 2 i 3 su reπewa jednaËine 5x ‡ 6 = x2, jer je 5 · 2 ‡ 6 = 4 = 22 i 5 · 3 ‡ 6 = 9 = 32, a broj 1 nije reπewe date jednaËine, jer je 5 · 1 ‡ 6 = ‡ 1 ! 12. Skup S = {2, 3} je skup reπewa date jednaËine.

За во

пример

уџ

Dati su izrazi: L = 5xx ‡ 6, D1 = 3xx + 4 i D2 = x2. Da li su jednakosti L = D1 i L = D2 jednaËine?

x2 - 4 =0? x-2 Data jednaËina definisana je za x ! 2, jer smo ranije (u VII razredu) videli da algebarski racionalan razlomak postoji ako je wegov imenilac razliËit od 0. Oblast u kojoj 2 x -4 postoji algebarski racionalan izraz , tj. domen date jednaËine je skup M = R\{2}. x-2 Prema tome, iako je x2 ‡ 4 = (x ‡ 2)(xx + 2) = 0 za x = 2 i x = ‡2, jednaËina ima samo jedno reπewe x = ‡2, jer drugo „reπewe“ x = 2 ne pripada domenu date jednaËine.

пример

Koliko reπewa ima jednaËina

ни

ке

JednaËina 7xx ‡ 13 = 5x + 3 + 2x ‡ 16 je isto πto i jednaËina 7x ‡ 13 = 7x ‡ 13. Dobijena jednaËina ima beskonaËno mnogo reπewa, jer svaki realan broj zadovoqava dobijenu jednakost 7xx ‡ 13 = 7x ‡ 13. JednaËina 7x ‡ 13 = 7x ‡ 13 naziva se identitet i wen skup reπewa je S = R.

JednaËina 6xx + 11 = 5x ‡ 7 + x + 2 je isto πto i jednaËina 6x + 11 = 6x ‡ 5. Dobijena jednaËina 6xx + 11 = 6x ‡ 5 nema reπewa, jer ne postoji nijedan realan broj koji zadovoqava dobijenu jednakost. JednaËina 6xx + 11 = 6x ‡ 5 naziva se nemoguÊa jednaËina i wen skup reπewa je S = Q.

бе

пример

Odredi skupove reπewa jednaËina: a) 7xx ‡ 13 = 5x + 3 + 2x ‡ 16; b) 6x + 11 = 5x ‡ 7 + x + 2.

уџ

за

JednaËina koja nema reπewa tj. Ëiji je skup reπewa prazan naziva se nemoguÊa jednaËina.

Контролна питања

За во

Задаци 1. Koje od datih jednakosti su numeriËke (brojevne) jednakosti: a) 16 : 2 = 11 ‡ 3;

b) 10 ‡ 3a = 1;

v) 81 = 52 + 55;

g) 10 · 8 = 200 : 20 + 70?

7. Odredi skup reπewa jednaËina: a) 17b ‡ 3 = 8b ‡ 3 + 9b;

b) 10m + 17 ‡ 3m = 7m ‡ 5.

ни

ке

8 6. Dokaæi da je 4 reπewe jednaËine = 6 - x . Da li je 2 reπewe date jednaËine? Da li x je 3 reπewe date jednaËine?

бе

Koja je od datih jednaËina identitet, a koja nemoguÊa?

8. Napiπi primere bar dva identiteta i dve nemoguÊe jednaËine.

уџ

9. Da li su skupovi reπewa jednaËina 3x + 7 ‡ 2x = 12 + x ‡ 5 i

3x - 18 = 3 jednaki? x-6

за

3.2. Еквивалентне трансформације једначина

За во

U prethodnim razredima jednaËine smo reπavali koriπÊewem osobina algebarskih operacija. Postavqa se pitawe da li je moguÊ racionalniji pristup ovom problemu, s obzirom na to da smo u meuvremenu detaqnije upoznali skup realnih brojeva i wegove osobine. Konkretno, koristiÊemo sledeÊa veÊ poznata svojstva realnih brojeva.

Navedena pravila vaæe i ako se umesto realnih brojeva uzmu algebarski izrazi. JednaËine Ëiji skupovi reπewa su jednaki nazivaÊemo ekvivalentnim jednaËinama.

ке

Za jednakost realnih brojeva vaæi osobina saglasnosti sa sabirawem, tj. iz jednakosti a = b sledi i da je a + c = b + c, πto znaËi da se jednakost ne mewa ako se i na levu i na desnu stranu jednakosti doda isti realan broj. Tako jednaËina 8xx ‡ 21 = 7xx + 9 dodavawem broja 21 i na levu i na desnu stranu jednakosti postaje 8x ‡ 21 + 21 = 7xx + 9 + 21 ili 8x = 7x + 9 + 21. PrimeÊujemo da je u suπtini pri prelasku sa leve na desnu stranu jednakosti broj ‡21 promenio znak. Ako sada i na levu i na desnu stranu nove jednakosti dodamo broj ‡7x, dobija se jednakost 8xx ‡ 7x = 7x + 30 ‡ 7x, tj. 8xx ‡ 7x = 30 i konaËno x = 30. Opet primeÊujemo da je efekat prelaska broja 7x sa desne na levu stranu jednakosti u stvari promena znaka broja 7x. ZakquËujemo da smo jednaËinu 8xx ‡ 21 = 7x + 9 transformisali u jednaËinu x = 30, koja predstavqa jednaËinu u reπenom obliku. JednaËine 8xx ‡ 21 = 7x + 9 i x = 30 imaju jednak skup reπewa S = {30} πto se moæe i proveriti, jer je 8 · 30 ‡ 21 = 219 i 7 · 30 + 9 = 219.

уџ

За во

за

пример

бе

ни

пример

Reπi jednaËinu: 8xx ‡ 21 = 7xx + 9.

пример

Reπi jednaËinu:

JednaËine iz primera 1, 2 i 3 imaju oblik ax = b. JednaËine oblika ax = b (a i b su realni brojevi a x je nepoznata) ubuduÊe Êemo nazivati linearnim jednaËinama.

ни

JednaËina 5xx ‡ 6 = 3xx + 4 jeste linearna jednaËina, jer se svodi na jednakost 2xx = 10.

бе

JednaËine x2 = 81, 5xx ‡ 6 = x2 i (2xx ‡ 6)2 = 0 nisu linearne veÊ kvadratne jednaËine (jer je najviπi stepen nepoznate x jednak 2). Kvadratne jednaËine ne mogu se svesti na oblik axx = b.* JednaËina (xx + 2)(x + 3) ‡ x2 = 7 sadræi nepoznatu x na stepenu 2, pa je kvadratna, ali se svodi na jednaËinu x2 + 2xx + 3x + 6 ‡ x2 = 7, tj. jednaËinu 5xx + 6 = 7, koja je linearna.

уџ

пример

ке

за

Prva jednaËina data je u reπenom obliku. Druga jednaËina ima reπewa 6 i ‡6, jer iz x2 = 36 sledi da je x2 ‡ 36 = (xx ‡ 6)(x + 6) = 0, odnosno x1 = 6 i x2 = ‡6. Pri tom je 62 = 36 i (‡6)2 = 36. TreÊa jednaËina 5xx ‡ 7 = 2x + 11 transformiπe se u 5x ‡ 2x = 11 + 7 ili 3xx = 18 i konaËno u x = 6, a proverom se dobija da je 5 · 6 ‡ 7 = 2 · 6 + 11. Dakle, skupovi reπewa datih jednaËina su: S1 = {6}, S2 = {6, ‡6} i S3 = {6}. Kako je S1 = S3 ! S2, to znaËi da su prva i treÊa jednaËina ekvivalentne, a druga nije sa wima ekvivalentna. Broj 6 je reπewe sve tri jednaËine, ali broj ‡6 nije, jer zadovoqava samo drugu, ali ne i prvu i treÊu jednaËinu.

За во

пример

Da li su jednaËine x = 6, x2 = 36 i 5xx ‡ 7 = 2x + 11 ekvivalentne?

Iz prethodnih primera zakquËujemo da se reπavawe jednaËine L = D (gde su L i D racionalni algebarski izrazi) moæe pojednostaviti koriπÊewem tri, veÊ pomenuta, svojstva realnih brojeva, koja vaæe i za racionalne algebarske izraze. 1. Ako se u datoj jednaËini L = D jedan algebarski izraz ili neki wegov deo zameni izrazom koji je wemu jednak (za svako x iz domena M), dobija se jednaËina ekvivalentna datoj.

2. Ako se i levoj i desnoj strani jednaËine L = D doda isti algebarski izraz A (definisan na domenu M), dobija se jednaËina L + A = D + A koja je ekvivalentna datoj jednaËini. * Meutim,

kvadratne jednaËine se mogu reπiti svoewem na jednu ili viπe linearnih jednaËina (vidi primer 5).

уџ

Reπi jednaËinu 3xx ‡ 6 = 9xx + 12.

бе

ни

ке

Reπavawe jednaËine L = D je postupak u kojem se koriπÊewem transformacija 1, 2 i 3, tj. ekvivalentnim transformacijama date jednaËine, i povoqnim izborom izraza A, posle konaËno mnogo koraka i konaËno mnogo ekvivalentnih jednaËina, dobija jednaËina ax = b (a ! 0), a odatle i jednaËina u reπenom obliku x = xo. Postupak kojim se iz date dobija jednaËina ax = b najËeπÊe se izvodi tako πto se izrazi koji sadræe nepoznatu izdvajaju na jednu stranu jednakosti (na primer levu), a izrazi koji sadræe konstante na drugu stranu jednakosti (na primer desnu). Na taj naËin se iz jednaËine L = D dobija jednaËina x = xo. Lakπi deo posla je da se dokaæe obrnuto, da iz x = xo sledi da je L = D. Time je dokaz ekvivalentnosti jednaËina L = D i x = xo zavrπen.

Tok reπavawa jednaËine 3xx ‡ 6 = 9xx + 12 poπtovawem navedenih pravila i veÊ upoznatih svojstava operacije kraÊe zapisujemo: 3xx ‡ 6 ‡ 9x = 9x + 12 ‡ 9x

(svojstvo 2 ‡ dodavawe i levoj i desnoj strani jednaËine izraza ‡9x)

‡6xx ‡ 6 = 12

(svojstvo 1 ‡ zamena izraza 3x ‡ 9x izrazom ‡6x i izraza 9xx ‡ 9x nulom)

6 ‡6xx ‡ 6 + 6 = 12 + 6

За во

пример

(data jednaËina)

за

3xx ‡ 6 = 9x + 12

‡6xx = 18 - 6x · c

x = ‡ 3.

1 1 m = 18 · c - m 6 6

(svojstvo 2 ‡ dodavawe i levoj i desnoj strani jednaËine 6) (svojstvo 1 ‡ zamena izraza ‡ 6 + 6 nulom i izraza 12 + 6 izrazom 18) (svojstvo 3 ‡ mnoæewe i leve i desne strane jednaËine 1 izrazom - ) 6 (svojstvo 1)

UbuduÊe pravila po kojima smo vrπili ekvivalentne transformacije jednaËina neÊemo konkretno navoditi, veÊ Êemo ih koristiti, a objaπwewe podrazumevati.

Контролна питања

Задаци 1. Reπi jednaËine:

a) x + 7 = 3,

b) y ‡ 4 = 13,

v) 4 ‡ z = 9.

ке

Koje jednaËine nazivamo linearnim? Kada su dve jednaËine ekvivalentne? Koje su ekvivalentne transformacije jednaËina? Da li su jednaËine x = 0 i x2010 = 0 ekvivalentne?

a) 7m = 35,

a) 5x ‡ 2 = 13,

бе

4. Odredi reπewa jednaËina:

ни

n 6 v) =- 18 . =- 8 , 5 p 3. Reπi jednaËine: a) 3x + 15 = 2x + 7, b) 14 ‡ 5a = 9 ‡ 6a, v) 4b + 27 = 27 ‡ 11b.

2. Odredi reπewa jednaËina:

b) 10 ‡ 3a = 1,

v) 7 = 5 ‡ 6b,

g) 18 = 3c ‡ 6.

уџ

5. Reπi jednaËine: a) 7x + 2 = 5x + 8, b) 4 ‡ 3y = 6 ‡ 4y, v) 1 ‡ (2z + 3) = z + 5.

a) ‡ 7,

b) 4,

g) 0,75.

8. Reπi jednaËine: a+3 = 2a - 12 , 5 9. Reπi jednaËine:

b) 1 + b -

За во

за

6. Odredi reπewa jednaËina: y y 1 x z z b) 3 + = 2 + , v) + 5 = 3 - . a) 1 - = , 3 2 6 4 5 4 7. Napiπi bar jednu linearnu jednaËinu Ëije je reπewe:

2+b 3+b , = 5 4

v) 1 - c -

1 - 2c 1 - 3c . = 7 2

1+y 1+y x x x 1-z 1-z = b) 1 + y + , v) 1 - z . - = , = 4 5 5 2 3 2 7 10. Reπi jednaËine i utvrdi koja od wih nema reπewe, a koja ima beskonaËno mnogo reπewa: a)

x-3 x-1 x-3 , = 5 2 10

v) (x ‡ 5)2 ‡ (x + 4)2 = 3 · (5 ‡ 6x),

b) x · (x ‡ 2) = x · (2 + x) ‡ 4x, g) 1 +

x-2 x+2 . =15 5

11. Da li su ekvivalentne jednaËine: a) x + 16 = 4x + 8 i

x - 1 = 2x - 5 , 2

b) 3x ‡ 2 = 4x + 1 i

x x +2 = -1? 3 4

3.3. Примена линеарних једначина

ни

бе

Neka je u neto cena uxbenika, tj. iznos koji pripada izdavaËu. Na tu cenu se dodaje 8% u koliko iznosi PDV (zato se i zove porez na dodatu vrednost). Dakle, (100 + 8)% u = 378, ili 1,08 u = 378. Dobijena jednaËina je linearna po nepoznatoj u i tada je u = 378 : 1,08 = 37800 : 108 = 350. Prema tome, od plaÊenih 378 dinara izdavaËu pripada 350, a buxetu Republike Srbije 378 ‡ 350 = 28 dinara od cene uxbenika.

уџ

пример

ке

за

Ako nepoznatu koliËinu vode oznaËimo sa x, onda je jasno da Êe ukupna koliËina vode biti 600 + x. Kako je koliËina toplote koju sadræi svaka pojedinaËna komponenta meπavine jednaka koliËini toplote meπavine, dobija se jednaËina 600 · 50 + x · 18 = (600 + x) · 24. Dobijena linearna jednaËina po nepoznatoj x ekvivalentna je sa jednaËinom 30 000 + 18xx = 14 400 + 24x. Reπavawem jednaËine dobija se 18xx ‡ 24x =14 400 ‡ 30 000, tj. ‡ 6x = ‡ 15 600. Deqewem i leve i desne strane jednaËine sa (‡6) dobija se da je x = 2600, πto znaËi da je u bazen trebalo sipati 2 600 litara vode temperature 18oC.

За во

пример

U bazenu se nalazi 600 litara vode temperature 50oC. Koliko litara vode Ëija je temperatura 18oC treba sipati u bazen da bi temperatura meπavine bila pogodna za kupawe i iznosila 24oC?

Proizvodwa nakita spada u najstarije zanate od postanka civilizacije. Danas se koriste dva naËina oznaËavawa koliËine zlata u nakitu, i to: finoÊa zlata izraæena u karatima i finoÊa zlata izraæena u hiqaditim delovima mase. KoliËina zlata od jednog karata predstavqa teæinu zlata od 41,66 grama u jednom kilogramu metala, ili 1000 grama Ëistog zlata iznosi 24 karata. Tako 10 karata predstavqa 416,6 g/kg; 14 karata je 585 g/kg, i 18 karata iznosi 750 g/kg. Drugi naËin obeleæavawa predstavqa koliËinu zlata izraæenu u hiqaditim delovima mase, na primer: 585; 750 ili 333/1000.

Neka je dobijeno 5 kg zlata finoÊe ff. Tada je 2 · 17 + 3 · 22 = 5f 5f. Dobijena je linearna jednaËina po nepoznatoj ff. Dakle, 34 + 66 = 100 = 5f, pa je f = 20. ZnaËi da je dobijeno zlato finoÊe 20 karata.

бе

ни

за

уџ

пример

ке

пример

Koliko karata ima zlato koje se dobije kada se pomeπa 2 kgg zlata finoÊe 17 karata i 3 kgg zlata finoÊe 22 karata?

Да ли знате?

За во

Na nadgrobnom spomeniku Ëuvenog antiËkog matematiËara (iz III veka) Diofanta Aleksandrijskog piπe: „PutniËe! Ovde su sahraweni zemni ostaci Diofanta. Brojevi Êe reÊi, o Ëuda, koliki je vek wegovog æivota bio. Divno mu detiwstvo uze πesti deo. A kad mu proteËe æivota, joπ dvanaesti deo, pokri se brada wegova maqama muæevnim. Sedmi deo Diofant u braku bez dece provede. A kad proteËe joπ godina pet, sreÊnim ga uËini roewe prekrasnog prvenca sina, kome je sudbina dala samo polovinu prekrasnog i svetlog æivota oËevog. I u dubokom bolu starac æivota zemnog doËeka kraj, poæivevπi Ëetiri godine poπto izgubi sina. Reci, u kojoj godini æivota doËeka smrt Diofant?“ Ako broj Diofantovih godina obeleæimo sa x, onda je iz teksta zadatka jasno da x x x x se moæe formirati sledeÊa jednaËina: + + + 5 + + 4 = x . Mnoæewem 6 12 7 2 i leve i desne strane dobijene jednaËine sa najmawim zajedniËkim sadræaocem brojeva 6, 12, 7 i 2, tj. brojem 84 dobija se ekvivalentna linearna jednaËina 14x + 7x + 12x + 420 + 42x + 336 = 84x. Sledi da je 68x + 756 = 84x ili 756 = 84x ‡ 75x = 9x. KonaËno, x = 756 : 9 = 84. To znaËi da je Diofant æiveo 84 godine.

Iz uslova zadatka je a = 5b + 10. Tada je wihova razlika a ‡ b = 5b + 10 ‡ b = 1610. Dakle, 4b + 10 = 1610, pa je 4b = 1610 ‡ 10 = 1600 i b = 1600 : 4 = 400. Traæeni brojevi su b = 400, i a = 5b + 10 = 2010. Zaista 2010 pri deqewu sa 5 daje koliËnik 400 i ostatak je 10.

ке

пример

Ako se prirodan broj a podeli prirodnim brojem b, koliËnik je 5 i ostatak 10. O kojim prirodnim brojevima se radi, ako je wihova razlika 1610?

ни

бе

1. razumevawe problema, tj. razdvajawe πta je u zadatku dato, a πta se traæi, 2. racionalno odabirawe nepoznate (promenqive) i taËno definisawe πta ona predstavqa,

уџ

3. modelirawe problema, tj. prevoewe uslova datih u problemskom zadatku na jezik jednaËina, 4. reπavawe dobijene jednaËine koriπÊewem upoznatih ekvivalentnih transformacija,

Задаци

за

5. provera da li je dobijeno reπewe taËno, da li odgovara svim uslovima datim u problemskom zadatku i da li odgovara realnosti.

2 , dobija se broj 4a. Odredi broj a. 5 2. Zbir Ëetiri uzastopna prirodna broja je 2010. O kojim brojevima je reË?

За во

1. Ako se broju a doda broj

3. Ako Branko kupi 4 sveske, preostane mu 8 dinara. Ako bi æeleo da kupi 5 svezaka, nedostaje mu 12 dinara. Koliko koπta sveska? Koliko novca ima Branko?

4. Stub je ukopan u zemqu treÊinu svoje duæine, polovina duæine je u vodi, a 2 m viri izvan vode. Kolika je duæina stuba? 5. Ako se sa 240 kg sena 5 ovaca moæe hraniti 8 dana, koliko je sena potrebno da se stado od 80 ovaca hrani 15 dana? 6. Letelo je jato gusaka i sretne usamqenu gusku koja ih pozdravi reËima: „Zdravo, 100 gusaka“. Na to guska predvodnik jata odgovori: „Da nas je joπ ovoliko i poloviia i Ëetvrtina i da nam se ti pridruæiπ, bilo bi nas taËno 100“. Koliko gusaka je bilo u jatu?

ке

9. Dva deËaka voze bicikle. Mlai svakog minuta prelazi 120 m, a stariji 150 m. Posle koliko minuta Êe stariji deËak stiÊi mlaeg ako je mlai poπao jedan minut ranije?

ни

10. U odreenom trenutku voæwe automobilista Zoran je rekao da je preπao 9 km viπe 7 od celog puta, a wegov saputnik Jevta je dodao da su preπli 8 km mawe od 5/6 9 celog puta. Kolika je duæina puta?

бе

11. Obim rukometnog igraliπta je 120 m, a duæina je za 20 m veÊa od πirine. Kolika je povrπina rukometnog igraliπta?

за

3.4. Неједначине

уџ

12. Povrπina kruæne biciklistiËke staze je 525π m2, a πirina staze je 5 m. Slobodan i Miπko voze bicikl tako πto Slobodan vozi spoqaπwim, a Miπko unutraπwim rubom staze. Koliko metara u svakom „krugu“ viπe pree Slobodan nego Miπko?

пример

За во

U prethodnim razredima pored jednaËina, reπavali smo i nejednaËine. Ciq ove nastavne jedinice je da se detaqnije definiπu pojam nejednaËine i pojmovi reπewa i skupa reπewa nejednaËine.

Druga i treÊa nejednakost sadræe realne brojeve 3, 4, 5 i 6, odnosno 10, 8, 6 i 5 i nepoznatu (promenqivu) x i za neke vrednosti nepoznate x su taËne, a za neke vrednosti nepoznate x su netaËne. Prva jednakost je primer taËne numeriËke (brojevne) nejednakosti, a druga i treÊa nejednakost su primeri nejednaËina.

ке

пример

Prva nejednakost je numeriËka, jer sadræi samo realne brojeve (konstante) 3, 4, 8 i 10, i ne sadræi nijednu nepoznatu (promenqivu) i taËna je, jer je 3 + 4 = 7 > 10 ‡ 8 = 2.

ни

бе

Reπewe nejednaËine L > D po nepoznatoj x je svaki realan broj x0 za koji je nejednakost L > D taËna.

уџ

Svi realni brojevi za koje je nejednakost L > D taËna Ëine skup reπewa nejednaËine L > D . NejednaËina x > x0 predstavqa nejednaËinu u reπenom obliku.

за

Nejednakost L < D, tj. nejednakost 5xx ‡ 6 < 3x + 4 jeste nejednaËina, jer sadræi promenqivu (nepoznatu) x. PrimeÊujemo da je dobijena nejednakost, tj. nejednaËina taËna za neke vrednosti nepoznate x (npr. za x = 3) i netaËna takoe za neke vrednosti x (npr. za x = 6). Za realan broj 3 kaæemo da je reπewe nejednaËine 5x ‡ 6 < 3x + 4, jer je nejednakost 5 · 3 ‡ 6 = 9 < 3 · 3 + 4 = 13 taËna. Za broj 6 kaæemo da nije reπewe nejednaËine, jer nejednakost 5 · 6 ‡ 6 = 24 < 3 · 6 + 4 = 22 nije taËna. Skup reπewa date nejednaËine S je skup svih realnih brojeva x za koje je 5x ‡ 8 < 3x + 6.

За во

пример

Dati su izrazi: L = 5xx ‡ 6 i D = 3xx + 4. Da li je nejednakost L < D nejednaËina? Da li su brojevi 3 i 6 reπewa date nejednaËine?

пример

Koliko reπewa imaju nejednaËine: a) 7xx + 9 ‡ 4x > x ‡ 5 + 2x, b) 5xx + 1 < 4x ‡ 9 + x?

SliËne zadatke smo veÊ reπavali u VII razredu kada smo upoznali pojmove otvorenog, zatvorenog i poluotvorenog intervala. Dogovaramo se da pojmove „beskonaËno“ i „minus beskonaËno“ simboliËki oznaËavamo sa 3, odnosno ‡3. Tada su reπewa datih jednaËina predstavqena sledeÊim grafiËkim prikazima, tj. intervalima: _______(____________________)________ | ‡2 $ #4 0 S = (‡ 2, 4)

_[___________________)_______ 0$ #7 S = [ 0, 7)

ке

пример

бе

ни

за

уџ

пример

За во

Odredi skup reπewa nejednaËine

#0$

Data je nejednaËina x G 3. Da li su skupovi reπewa date jednaËine jednaki ako je: b) x ceo broj,

v) x realan broj?

Контролна питања

ни

ке

пример

a) x prirodan broj,

Задаци

за

уџ

бе

1. Napiπi po dva primera taËne numeriËke nejednakosti i nejednaËine.

За во

2. Dati su izrazi: A = 0, B = 2x ‡ 4, C = x + 7. Napiπi bar tri nejednakosti koje se dobijaju povezivawem datih izraza nekom od nejednakosnih relacija.

3. Da li su brojevi ‡1, 0, 1, 2, 3, 4 reπewa nejednaËina: a) 5x ‡ 7 H 3x + 1, b) x2 < 1? Da li je skup S = {‡1, 0, 1, 2, 3, 4} skup reπewa datih nejednaËina? 4. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 5x + 13 > 7x ‡ 6 ‡ 2x, b) x2 + 4 < x2 ‡ 9.

5. Napiπi po dve nejednaËine Ëiji je skup reπewa: a) S = R, b) S = Q.

6. Date su nejednaËine u reπenom obliku: a) ‡3 < x < 5, b) 1 G x < 9, v) ‡ 4 < x G 2, g) ‡6 G x G 7, d) x > 0, ) x #- 3 . Prikaæi skupove reπewa datih jednaËina grafiËki i zapiπi skupove reπewa u obliku odgovarajuÊih intervala.

7. Napiπi nejednaËinu u reπenom obliku ako je skup wenih reπewa interval: a) (‡2, 4), b) [ 0, 7 ], v) [‡5, 3), g) (‡3, 8], d) (‡3, 1], ) [‡6, 3 ).

ни

ке

уџ

Za nejednakost realnih brojeva vaæi osobina saglasnosti sa sabirawem, tj. iz nejednakosti a > b sledi i da je a + c > b + c, i obratno, πto znaËi da nejednakost ne mewa taËnost ako se i levoj i desnoj strani nejednakosti doda isti realan broj. Tako nejednaËina 5xx ‡ 11 > 4x + 3 dodavawem broja 11 i levoj i desnoj strani nejednakosti postaje 5xx ‡ 11 + 11 > 4x + 3 + 11 ili 5x > 4x + 3 + 11. PrimeÊujemo da je u suπtini pri prelasku sa leve na desnu stranu nejednakosti broj ‡11 promenio znak. Ako sada i levoj i desnoj strani nove nejednakosti dodamo broj ‡4x, dobija se nejednakost 5xx ‡ 4x > 4x + 14 ‡ 4x, tj. 5xx ‡ 4x > 14 i konaËno x > 14. Opet primeÊujemo da je efekat prelaska broja 4xx sa desne na levu stranu nejednakosti u stvari promena znaka broja 4x. NejednaËina x > 14 i nejednaËina 5x ‡ 11 > 4x + 3 imaju jednak skup reπewa koga Ëine svi realni brojevi veÊi od 14, tj. S = {x | x ! R i x > 14}. Skup reπewa date nejednaËine moæe se prikazati grafiËki kao interval (14, 3).

за

пример

бе

Reπi nejednaËinu: 5x ‡ 11 > 4x + 3.

________________________________(_____________________ 14$

За во

Linearna nejednaËina po nepoznatoj (promenqivoj) x je nejednakost oblika ax > b, gde su a i b realni brojevi, x nepoznata (promenqiva).

пример

Umesto znaka > moæemo ravnopravno biti upotrebqen i neki od preostalih nejednakosnih znakova (<, G, H), πto se podrazumeva i kod narednih opπtih razmatrawa.

ке

2 пример

ни

______________________________________]_______________ 0

#10

уџ

бе

NejednaËine Ëiji su skupovi reπewa jednaki nazivaÊemo ekvivalentnim nejednaËinama.

за

Prva nejednaËina je data u reπenom obliku. Druga nejednaËina ima za reπewe sve realne brojeve veÊe ili jednake ‡3 ili mawe ili jednake 3. TreÊa nejednaËina 7xx ‡ 4 G 3xx + 8 transformiπe se u 7xx ‡3x G 8 + 4 ili 4x G 12 i konaËno u x G 3. Dakle, skupovi reπewa datih nejednaËina su: S1 = {x | x ! R i x H 3} = (‡3, 3]; S2 = {x | x ! R i ‡3 G x G 3} = [3, 3] i S3 = {x | x ! R i x G 3} = (‡3, 3]. Kako je S1 = S3 ! S2, to znaËi da su prva i treÊa nejednaËina ekvivalentne, a druga nije sa wima ekvivalentna.

За во

пример

Da li su nejednaËine x G 3, x2 G 9 i 7xx ‡ 4 G 3xx + 8 ekvivalentne?

пример

ни

ке

за

уџ

бе

1. Ako se u datoj nejednaËini L > D jedan algebarski izraz zameni izrazom koji je wemu jednak (za svaku vrednost nepoznate iz domena nejednaËine M), dobija se nejednaËina ekvivalentna datoj. 2. Ako se i levoj i desnoj strani nejednaËine L > D doda isti algebarski izraz A (definisan na domenu M) dobija se nejednaËina L + A > D + A koja je ekvivalentna datoj nejednaËini. 3. Ako se i leva i desna strana nejednaËine L > D pomnoæe realnim brojem A (A > 0), dobija se nejednaËina L · A > D · A koja je ekvivalentna datoj nejednaËini. 4. Ako se i leva i desna strana nejednaËine L > D pomnoæe realnim brojem A (A < 0), dobija se nejednaËina L · A < D · A koja je ekvivalentna datoj nejednaËini.

Koliko reπewa imaju nejednaËine: a) 5xx + 13 > 7x ‡ 5 ‡ 2x + 11; b) 11x + 9 ‡ 5x < 6x ‡ 3?

пример

За во

2 3

x -1H +5 2

- 1 m H 6`

-1H

x +5. 2

x + 5j 2

svojstvo 3 (mnoæewe sa NZS (2, 3) = 6) svojstvo 1

бе

2(xx ‡ 2) ‡ 6 H 3xx + 30 2x ‡ 4 ‡ 6 H 3xx + 30

svojstvo 1

2x ‡ 10 H 3xx + 30

svojstvo 1

2x ‡ 10 ‡ 3xx + 10 H 3xx + 30 ‡ 3xx + 10

svojstvo 2 (dodavawe izraza ‡ 3xx + 10)

2x ‡ 3x H 30 + 10

svojstvo 1

x G ‡ 40.

svojstvo 4 (mnoæewe sa ‡1)

за

‡ x H 40

уџ

пример

ни

KoriπÊewem svojstava 1, 2, 3 i 4 reπi nejednaËinu:

ке

5 пример

Контролна питања

nejednaËina u reπenom obliku.

За во

Za koju nejednaËinu kaæemo da je linearna? Kada su dve nejednaËine ekvivalentne? Koje su ekvivalentne transformacije nejednaËina? Da li su nejednaËine x > 0 i x2 > 0 ekvivalentne?

Задаци

1. Reπi nejednaËine: a) x + 8 < 3, b) y ‡ 4 > 12, v) 5 ‡ z G 10. 3 n 2- 7 , v) G- 24 . p 5 3. Reπi nejednaËine: a) 4x + 15 < 3x + 7, b) 14 ‡ 6a H 9 ‡ 7a, v) 7b + 23 > 23 ‡ 12b.

2. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 8m H 32, b)

4. Odredi skup reπewa nejednaËina:

a) 3x ‡ 2 G 13,

b) 16 ‡ 6a > 7,

v) 19 H 7 ‡ 2b,

g) 24 < 5c ‡ 1.

5. Reπi nejednaËine: a) 7x + 2 H 4x + 8,

b) 4 ‡ 5y 2 6 ‡ 3y ,

6. Odredi skup reπewa nejednaËina: y y x 1 b) 3 + G 2 + , a) 1 - 2 , 4 7 5 3

v) 1 ‡ (4z + 3) G 2z + 5.

z z +513- . 2 6

7. Napiπi bar jednu linearnu jednaËinu Ëiji je skup reπewe : a) (3, 3), b) (‡3, ‡2].

a+3 2 2a - 11 , 3

9. Reπi jednaËine: a)

b) 1 + b -

x x x - 1 , 2 5 3

2+b 3+b H , 2 5 b) 1 + y +

v) 1 - c -

1 - 2c 1 - 3c 1 . 7 4

ни

ке

8. Reπi nejednaËine:

1+y 1+y , H 5 3

1-z 1-z 2 . 2 7

b) 6x + 5 ‡ 2x > 4x + 17.

бе

10. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 9x ‡ 8 G 7x ‡ 3 + 2x,

v) 1 - z -

уџ

3.6. Примена линеарних неједначина

за

За во

пример

Kao i linearne jednaËine i linearne nejednaËine imaju πiroku primenu u svakodnevnom æivotu, samoj matematici i drugim naukama.

пример

ке

ни

пример

3300 6 3400 7 4700 7 4800 2 = 366 1 z 1 = 377 i = 361 1z1 = 369 . 9 9 9 9 13 13 13 13 Sledi da je cena zbirke 366 < z < 370. Jedini paran broj koji zadovoqava dobijeni sistem nejednaËina je broj 368, pa je cena zbirke zadataka iz matematike jednaka 368 dinara.

уџ

бе

пример

Задаци

за

1. Odredi sve realne brojeve koji su mawi od svoje petine. 2. Zbir tri uzastopna prirodna broja je mawi od 2010. O kojim brojevima je reË? 3. Koliko ima prirodnih brojeva x za koje je 7x ‡ 8 1 3x + 24?

4. Odredi najveÊi prirodan broj x za koji je

x x + 3 1 + 11 . 2 5

За во

5. Koliko ima celih brojeva a takvih da je 2 1

5 - 3x 16? 4

6. Odredi najmawi ceo broj y koji zadovoqava nejednakost 5,5 + 4y H 1 + y. 7. Odredi sve realne brojeve r takve da je 5(r ‡ 2) ‡ r < 2 i 1 ‡ 3(r ‡ 1) < ‡2.

8. Postoje li celi brojevi koji ispuwavaju nejednakosti: x ‡ 4 > 10, 2x ‡ 1 > 3 i 3x + 2 < 56.

2.1. Појам, 4.1. Питагорина врсте,теорема елементи

ни

уџ

слика 2

За во

за

Na slici 2 dati su primeri poliedara koji nisu prizme.

пример

слика 1

бе

пример

Na slici 1 dati su primeri poliedara koji su prizme.

ке

ReË prizma je latinski oblik grËke reËi rtkgna (Ëita se prisma) a znaËi otesan (u smislu otesana greda).

Prizma je poliedar Ëiju povrπ Ëine dva podudarna n-tougla koji se nalaze u paralelnim razliËitim ravnima i n paralelograma.

Dve n-tougaone strane prizme, koje su u paralelnim ravnima, nazivaju se osnovama prizme, a paralelogrami se nazivaju boËnim stranama prizme. Sve boËne strane (n paralelograma) Ëine omotaË prizme. (Broj n je prirodan broj koji nije mawi od 3.) Broj stranica mnogouglova koji su osnove prizme odreuju wen naziv. Ako su osnove trouglovi, prizma je trostrana, ako su Ëetvorouglovi, prizma je Ëetvorostrana itd. Na slici 1 prikazane su Ëetvorostrana, trostrana, πestostrana, petostrana i osmostrana prizma.

Stranice i temena n-touglova i paralelograma (strana prizme) jesu redom ivice i temena prizme.

слика 3 N1

Stranice osnova prizme su osnovne ivice prizme, a stranice boËnih strana, koje nisu osnovne, zovu se boËne ivice prizme. Dakle, n-tostrana prizma ima 2n osnovnih ivica i n boËnih ivica.

Ako su osnovne i boËne ivice prizme jednake, ta prizma je jednakoiviËna.

ОСНОВА ТЕМЕ БОЧНА ИВИЦА ВИСИНА ОСНОВНА ИВИЦА БОЧНА СТРАНА

КОСА ПРИЗМА

Rastojawe ravni osnova prizme naziva se visina prizme.

ке

УСПРАВНА ПРИЗМА

ни

бе

Za neke prizme postoje i posebni nazivi. Prizma Ëija je osnova paralelogram zove se paralelepiped. Paralelepiped koji je uspravan i wegova osnova je pravougaonik zove se kvadar.

уџ

Kvadar Ëije su sve ivice jednake zove se kocka.

Ako je prizma uspravna, a osnove su pravilni mnogouglovi, za tu prizmu se kaæe da je pravilna.

за

Mi Êemo se baviti uspravnim prizmama.

слика 4

За во

ПАРАЛЕЛEПИПЕД

КВАДАР

КОЦКА

Duæ odreena temenima prizme koja ne pripadaju istoj strani prizme naziva se dijagonala prizme.

слика 5

пример

b +c .

H E

G F

D C A

a) osnovama; b) boËnim ivicama prizme.

пример

Razmotri πta je presek pravilne πestostrane prizme i ravni koja je paralelna:

ке

b) Ravan b je paralelna boËnim ivicama prizme i ima zajedniËke taËke s osnovama. Presek tada moæe biti boËna ivica, boËna strana ili pravougaonik (sl. 6b, v, g, d).

ни

Presek prizme i ravni b kojoj pripadaju nesusedne boËne ivice prizme naziva se dijagonalni presek. Dve stranice dijagonalnog preseka su odgovarajuÊe dijagonale osnova (sl. 6d). слика 6

F2 α

A1 B1 E2 D2

B2 C2

A2 E

E1 F1 A1 B1

A1 B1

б)

в)

D1 A1 B1 C1

β C

D C

F A

за

а)

F A

E1 F1

D1 C1

бе

D1 C1

уџ

E1 F1

F A

г)

C B

д)

Preseke prizme i ravni koja je u kosom poloæaju prema ravnima osnova prizme neÊemo razmatrati.

За во

Контролна питања

Задаци 1. Moæe li prizma da ima Ëetiri:

a) temena;

b) ivice;

v) strane?

2. BoËne strane uspravne prizme su uvek: a) kvadrati; b) podudarni pravougaonici; v) pravougaonici; g) jednakokraki trapezi. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

2 cm,

3 cm, 2 cm;

v) m, p, q.

ке

a) 3 cm, 4 cm, 12 cm;

7. IzraËunaj obim i povrπinu dijagonalnog preseka kocke Ëija je ivica: a) 8 cm; b) a.

уџ

4.2. Мрежа призме

бе

ни

8. IzraËunaj: a) povrπine maweg i veÊeg dijagonalnog preseka; b) dijagonale pravilne πestostrane prizme, Ëije su osnovna ivica a = 10 cm i visina H = 6 cm.

за

U prethodnoj lekciji upoznali smo osnovne elemente prizme (temena, ivice, strane, visine). Za uoËavawe i povezivawe ovih elemenata i neπto detaqnije sagledavawe tela potrebno je da napravimo model i nacrtamo odgovarajuÊu sliku tog modela. Model prizme moæemo da napravimo od raznog materijala, koji je dovoqno Ëvrst ali se moæe seÊi makazama. Pri tome, prvo treba sve strane prizme razviti u jednoj ravni, da se nadovezuju i Ëine jednu figuru.

За во

Figura koju Ëine svi mnogouglovi (strane) prizme naziva se mreæa prizme. Iz mreæe se savijawem i lepqewem moæe napraviti model prizme. слика 7

слика 8

A1 A1''

B1'

C1''

A''

б)

в)

уџ

а)

бе

C A'

A1 A

A1''

ке

Neka je ABCA1B1C1 data prizma. Mreæa moæe da se konstruiπe na viπe naËina. Prikazana su dva. Ako prizmu razreæemo duæ boËne ivice AA1 i osnovnih ivica AB, AC, A1B1, A1C1, tada mreæa izgleda kao na slici 8b. Ako datu prizmu razreæemo duæ svih boËnih ivica i osnovnih ivica AB i AC, tada mreæa izgleda kao na slici 8v.

ни

пример

Razvij u mreæu pravilnu trostranu prizmu Ëija je osnovna ivica 2 cm i visina 3 cm. (sl. 8a).

A1'

C1'

за

Napravi model uspravne Ëetvorostrane prizme Ëija je osnova romb. Dijagonale osnove su d1 = 4 cm, d2 = 6 cm, a dijagonala boËne strane d = 7 cm.

пример

За во

B1'

A1''

C1 B1

B D

а)

D1 A1'

m 7c

слика 9

б)

в)

A''

C B

г)

ке

слика 10 Ako je razvijeni omotaË prizme kvadrat, tada je zbir svih osnovnih ivica prizme jednak boËnoj ivici. Jednu stranicu kvadrata podelimo na πest jednakih delova (sl. 10a), odnosno kvadrat podelimo na πest podudarnih pravougaonika (svaki je podudaran sa po jednom boËnom stranom priб) в) zme, sl. 10b). Sa dve naspramne а) strane kvadrata, van oblasti kvadrata, konstruiπemo pravilne πestouglove (osnove prizme). Da li po jedna stranica tih πestouglova moæe bilo kako biti „vezana“ za stranice kvadrata? Vidi sliku!

бе

ни

пример

Neka je razvijeni omotaË pravilne πestostrane prizme kvadrat Ëija je stranica 8 cm. Konstruiπi mreæu i napravi model te prizme.

уџ

Na slici 10v prikazan je model te prizme.

Контролна питања

за

За во

Задаци

1. Zaokruæi slovo pored slike na kojoj je prikazana mreæa kocke. а)

б)

в)

слика 11 г)

2. Konstruiπi mreæu kvadra Ëije su ivice 2,5 cm, 3,5 cm, 5 cm. 3. Konstruiπi mreæu pravilne Ëetvorostrane prizme Ëija je osnovna ivica 3cm, a: a) boËna ivica 4,5 cm;

b) dijagonala boËne strane 5 cm.

4. Konstruiπi mreæu uspravne trostrane prizme Ëije su osnove jednakokraki trouglovi. Osnovne ivice su 3 cm i 6 cm. Visina prizme je 4 cm.

5. Koja dva mala kvadrata treba na slici 12 izbrisati i koje linije nacrtati tako da dobijeni mnogougao bude mreæa pravilne Ëetvorostrane prizme?

слика 22

ке

слика 13

уџ

бе

ни

7. Ako je razvijeni omotaË uspravne prizme kvadrat, tada: a) osnovne i boËne ivice te prizme su jednake; b) osnova te prizme je kvadrat; v) obim osnove prizme je jednak boËnoj ivici te prizme. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

за

4.3. Површина призме. Површина усправне четворостране призме Zbir povrπina strana prizme je povrπina prizme.

Proveri da li za povrπinu kvadra Ëije su ivice a, b, c vaæi formula P = 2B + M. M

пример

За во

Ako sa B obeleæimo povrπinu jedne osnove prizme, sa M povrπinu omotaËa, a sa P povrπinu prizme, tada je: P = 2B + M.

Strane kocke su πest kvadrata, pa je povrπina kocke P = 6a2, gde je a duæina ivice kocke.

IzraËunaj povrπinu kocke Ëija je dijagonala d = 8 3 cm.

слика 14

D1 B1

ке

A A1

AA1 = a gde je a ivica kocke. CA1 je dijagonala strane kocke i 2 CA = a 2 . Daqe je CA 21 = ^a 2 h 22aa 2 + a 2 3a 2 , pa je CA1 = a 3 . Sledi da je a 3 8 3 cm = 8 cm, odnosno a = 8 cm. Povrπina kocke je P = 6 · 8 2 , P = 384 cm2.

бе

IzraËunaj zbir svih ivica pravilne Ëetvorostrane prizme ako je povrπina wene osnove 25 cm2, a povrπina omotaËa 140 cm2.

уџ

Osnovna ivica je a = 5 cm. Povrπina omotaËa je M = 4aH, H gde je H visina prizme. Tada je 140 cm2 = 4 · 5 cm · H. Sledi da je H = 7 cm, pa je zbir duæina svih ivica te prizme 8a + 4b = 8 · 5 cm + 4 · 7 cm = 68 cm.

за

пример

ни

пример

Visina trapeza (jedne osnove) je h = 13 2 - 5 2 12 , pa je povrπina jedne osnove 14 + 4 B1 B= · 12 , B = 108 cm2 i H = 12 cm. слика 15 2 B A B A1 Povrπina omotaËa je: A h M=a·H+c·H+b·H+d·H H, C1 M = 14 · 12 + 13 · 12 + 4 · 12 + 13 · 12, D1 C D C 2 D M = (14 + 13 + 4 + 13) · 12 = 528, M = 528 cm . Povrπina prizme je: P = 2B + M, P = 2 · 108 + 528 = 744. Povrπina prizme je 744 cm2.

пример

За во

Osnova uspravne prizme je trapez ABCD (AB || CD), Ëije su osnovice a = 14 cm, b = 4 cm i kraci c = d = 13 cm. IzraËunaj povrπinu te prizme ako je wena visina jednaka visini osnove.

Контролна питања

©ta je povrπina prizme? Kako se raËuna povrπina kvadra ako su poznate duæine ivica? Kako se raËuna povrπina kocke?

Задаци 1. IzraËunaj povrπinu kvadra Ëije su ivice 2,8 cm, 3,5 cm i 7 cm. 2. IzraËunaj povrπinu kvadra Ëije su dve ivice i dijagonala, redom, 3 cm, 4 cm i 13 cm.

4. Adam je nacrtao mreæu kocke i utvrdio da je duæ MN jednaka 10 cm. Vidi sliku 16! Kolika je povrπina kocke Ëiju je mreæu Adam nacrtao?

ни

5. Od 5 kockica, svaka povrπine 12 cm2, sastavqen je kvadar. Kolika je povrπina tog kvadra?

слика 16

ке

3. IzraËunaj povrπinu kocke ako je: a) ivica 2,5 cm; b) dijagonala jedne wene strane 10 2 cm.

бе

уџ

7. Povrπina pravilne Ëetvorostrane prizme je 360 cm2, a povrπina osnove je 36 cm2. IzraËunaj dijagonalu: a) osnove; b) boËne strane; v) prizme. 8. Osnova uspravne prizme je romb sa dijagonalama d1 = 16 cm i d2 = 12 cm. Visina prizme je jednaka visini osnove. IzraËunaj: b) povrπine dijagonalnih preseka te prizme.

за

a) povrπinu prizme;

9. Ako su povrπine boËnih strana Ëetvorostrane prizme jednake, da li je ta prizma pravilna?

За во

10. Osnova prizme je paralelogram Ëije su stranice 6 cm i 4 cm, a oπtar ugao 30°. Visina prizme je 5 cm. IzraËunaj povrπinu te prizme.

ке

a2 3 a2 3 P = 2B + M M, P = 2 + 3aH , odnosno P = + 3aH . 4 2

слика 17

ни

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je rastojawe izmeu ravni osnova 5 cm, a rastojawe izmeu  boËnih ivica 3 cm.

Rastojawe izmeu osnova je visina prizme, a rastojawe izmeu boËnih ivica je duæina osnovne ivice (sl. 17). Posle zamene datih podataka u formuli i izraËunavawa sledi da je povrπina prizme P = ^4, 5 3 45 hcm2.

3 cm C

уџ

бе

1 пример

Osnove pravilne trostrane prizme su jednakostraniËni trouglovi, pa je:

5 cm

пример

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je osnovna ivica a i visina H. H

за

Jedna stranica pravougaonika, koji je razvijeni omotaË pravilne prizme, jednaka je obimu osnove. Druga stranica tog pravougaonika jednaka je boËnoj ivici prizme. U ovom primeru postoje слика 18 dva sluË u aja (sl. 18). ‡ Obim osnove je 12 cm, odnosno osnovna ivica 4 cm, a visina 6 cm. Povrπina je P = ^ 8 72 h cm2.

За во

пример

Razvijeni omotaË pravilne trostrane prizme je pravougaonik sa stranicama 12 cm i 6 cm. IzraËunaj povrπinu te prizme.

пример

‡ Obim osnove je 6 cm, osnovna ivica je 2 cm a visina je 12 cm. Povrπina je P = ^2 3 + 72 h cm2.

IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane prizme ako su osnovna ivica a i visina H. H Osnove pravilne πestostrane prizme su pravilni πestouglovi stranice a, pa je P = 2B + M, M P = 2 ·6

a2 3 + 6aH , odnosno P 4

3 + 6aH .

IzraËunajmo povrπinu kutije, odnosno pravilne πestostrane jednakoiviËne prizme. P = 3 · 0, 5 2 3 + 6 · 0, 5 2 3 · 0, 5 2 ^ 3 P c 3 · 0, 25 ^ 1, 73 2 h = 2, 7975

слика 19

ке

5 пример

бе

ни

P = 2, 7975 m2. Za bojewe je potrebno nabaviti 2,7975 · 350 = 979,125 pribliæno 980 g boje.

Neka je ABCDEFA1B1C1D1E1F1 data prizma. Za izraËunavawe povrπine potrebno je da znamo osnovnu i boËnu ivicu prizme. Duæa dijagonala osnove jednaka je dvostrukoj osnovnoj ivici prizme, pa je a = 10 cm.

Duæa dijagonala osnove (AD), duæa dijagonala prizme (DA1) i boËna ivica (AA1) grade pravougli trougao (ADA1) . Visina, odnosno duæina boËne ivice je H2 = 522‡ 202, H = 48 cm.

уџ

слика 20

за

пример

IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane prizme ako je duæa dijagonala osnove 20 cm, a duæa dijagonala prizme 52 cm.

Povrπina prizme je P = 3 · 1100 2 3 + 6 · 10 · 48 = 300 3 + 2880 .

D A B

За во

Povrπina prizme je ^300 3 + 2880 h cm2.

Контролна питања

Задаци 1. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 10 cm, visina 8 cm;

b) obim osnove 12 cm, boËna ivica 4,5 cm.

3. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 8 cm, visina 12 cm; b) obim osnove 24 cm, visina 1 dm.

ке

2. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je zbir svih osnovnih ivica 36 cm, a zbir svih dijagonala boËnih strana 60 cm.

ни

4. IzraËunaj povrπinu pravilne jednakoiviËne πestostrane prizme ako je rastojawe wenih naspramnih boËnih strana 8 3 cm.

бе

5. KraÊa dijagonala osnove pravilne πestostrane prizme je d = 12 3 cm, a visina prizme H = 8 cm. IzraËunaj povrπinu prizme i duæu dijagonalu prizme. 6. Pravilna πestostrana prizma osnovne ivice 10 cm i visine 8 cm preseËena je duæ jednog od veÊih dijagonalnih preseka. Da li su tako nastala tela prizme? Kolika je povrπina jednog tog dela?

уџ

7. VeÊi dijagonalni presek pravilne πestostrane prizme je kvadrat povrπine 36 cm2. IzraËunaj povrπinu maweg dijagonalnog preseka i povrπinu prizme.

За во

за

Zapremina tela je nenegativan broj pridruæen telu, tako da: ‡ dva tela koja se mogu dovesti do poklapawa imaju jednake zapremine;

‡ ako se telo moæe razloæiti na dva ili viπe tela (Ëije unutraπwe oblasti nemaju zajedniËkih taËaka), tada je wegova zapremina jednaka zbiru zapremina delova; ‡ zapremina kocke Ëija ivica ima jediniËnu duæinu je 1.

Iz Ëetvrtog razreda znamo da kocka Ëija ivica ima duæinu 1 (… centimetar, decimetar, metar…) ima zapreminu 1 (… kubni centimetar, kubni decimetar, kubni metar, …).

ни

ке

слика 23

уџ

бе

За во

за

пример

Zapremina kvadra jednaka je proizvodu duæina wegovih ivica koje polaze iz istog temena. Ako su duæine ivica a, b, c, merene istom jedinicom duæine, tada je V = a · b · c.

Kvadar je uspravna Ëetvorostrana prizma Ëija je osnova pravougaonik, ivice osnove su a i b, a visina c. Dakle, moæemo pisati V = a · b · c = (a · b) · c = B · H. Zapremina uspravne Ëetvorostrane prizme Ëija je osnova pravougaonik jednaka je proizvodu povrπine wegove osnove i visine. V = B · H. Sledi da je zapremina kocke Ëija je ivica duæine a jednaka V = a · a · a, odnosno V = a 3.

2 пример

Kocka Ëija je ivica 6 cm i kvadar sa ivicama 12 cm, 3 cm i 6 cm imaju jednake zapremine. Ove prizme, oËigledno, ne mogu se dovesti do poklapawa.

слика 23

бе

ни

ке

слика 22

Ako sa V1 i V2 obeleæimo redom zapremine ovih prizama, onda je V1 = (8 cm · 8 cm) · 10 cm= 640 cm3 i V2 = (4 cm · 16 cm) · 10 cm = 640 cm3. Zapremine ovih prizama su jednake.

уџ

пример

Ako dve Ëetvorostrane prizme imaju jednake zapremine, da li se te prizme mogu dovesti do poklapawa?

за

За во

слика 24

Ako dva tela preseËemo paralelnim ravnima i ako, pri tome, preseci tela sa bilo kojom od tih ravni imaju jednake povrπine, tada ta tela imaju jednake zapremine.

*Bonaventura Kavalijeri (1598‡1647), italijanski matematiËar.

»esto je potrebno da izraËunamo masu tela.

g IzraËunaj masu granitne kocke Ëija je ivica 12 cm. Gustina granita je t = 28 cm 3 g m = 12 3 cm 3 · 2, 8 = 4838, 43g = 4, 838 kg . cm 3

ни

Контролна питања

ке

пример

Masa tela m je proizvod zapremine i gustine t: m = V · t.

уџ

бе

Задаци

за

1. IzraËunaj zapreminu kvadra Ëije su ivice 4,25 m, 7,2 m, 3,2 m. 2. IzraËunaj zapreminu kocke Ëija je ivica: a) 1,5 cm; b)

5 cm ; v) 1,25 m.

3. BoËna ivica pravilne Ëetvorostrane prizme je tri puta veÊa od osnovne ivice. Povrπina prizme je 280 cm2. IzraËunaj zapreminu te prizme.

За во

4. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 5 cm, a dijagonala prizme 13 2 cm ; b) osnovna ivica 5 2 cm , a dijagonala prizme za 2 cm duæa od boËne ivice.

5. U akvarijumu oblika kvadra, Ëije dno ima stranice 75 cm i 20 cm, nalazi se voda do visine 50 cm. Za koliko Êe se podiÊi nivo vode u akvarijumu ako se na wegovo dno spusti kamena kocka ivice 15 cm? a) 1 cm; b) 1,5 cm; v) 2 cm; g) 2,25 cm; d) 15 cm. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 6. Tri podudarne kocke sloæene su jedna do druge i tako je dobijen kvadar povrπine 42 cm2. Zapremina tog kvadra je: a) 9 3 cm 3 ; b) 27 3 cm 3 ; v) 6 2 cm 3 ; Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

g) 3 3 cm 3 ;

d) 27 cm3.

7. Aluminijumska ploËa je oblika kvadra sa ivicama 2 m, 1,5 m, 5 mm. Kolika je masa g ove ploËe ako je gustina aluminijuma t = 2, 7 ? cm 3

4.6. Запремина правилне тростране призме. Запремина правилне шестостране призме

ке

IzraËunaj Ë zapreminu uspravne trostrane prizme ABCA1B1C1. Osnova je pravougli trougao Ëije su katete AC C = 4 cm, BC = 6 cm a visina prizme je 10 cm.

ни

Ovu prizmu dopunimo do uspravne Ëetvorostrane prizme ADBCA1 D1 B1C1, Ëija je osnova pravougaonik ABDC. V ABCA1B1C1) = V( V( V ADBA1 D1 B1). Vaæi da je

бе

V ADBCA1D1B1C1) = V( V( V ABCA1B1C1 ) + V( V ADBA1 D1 B1) V ADBCA1D1B1C1) = 2V( V( V ABCA1B1C1 ). Sledi da je

1 1 V(ABCA1B1C1 ) = V( V ADBCA1D1B1C1) = P(ADBC) · H. 2 2 Poπto je povrπina pravougaonika ABCD dva puta veÊa od povrπine 1 DABC, to daqe vaæi V( V ABCA1B1C1) = · 2P(ABC) · H = P(ABC) · H. 2 1 Dakle, zapremina je V( V ABCA1B1C1 ) = · 4 cm · 6 cm · 10 cm = 120 cm3. 2

слика 25

C1 D1 A1

B C

за

уџ

пример

Prizme ABCA1B1C1 i ADBA1 D1 B1 su podudarne, pa su wihove zapremine jednake.

D A

За во

пример

Do istog zakquËka moæemo da doemo i primewujuÊi Kavalijerijev princip.

IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane prizme ako su osnovna ivica a i visina H. H Osnova pravilne trostrane prizme je jednakostraniËni trougao, pa je povrπina osnove B =

a2 3 a2 3 , a zapremina V = B · H H, odnosno V = · H. 4 4

Osnova pravilne πestostrane prizme je pravilni πestougao, pa je povrπina osnove B=6 ·

a2 3 3a 2 3 3a 2 3 , a zapremina V = B · H H, odnosno V = = · H. 4 2 2

Контролна питања

Задаци

бе

ни

Kako se raËuna zapremina pravilne trostrane prizme? Kako se raËuna zapremina pravilne πestostrane prizme? ©ta je masa tela?

ке

пример

IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane prizme ako su osnovna ivica a i visina H. H

1. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane prizme ako je:

b) obim osnove 15 cm, boËna ivica 9 cm.

уџ

a) osnovna ivica 10 cm, visina 2 3 cm ;

2. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane prizme ako je zbir svih boËnih ivica 12 cm, a zbir svih dijagonala boËnih strana 30 cm.

за

3. Od gvoæa je izliven deo maπine u obliku pravilne trostrane prizme. Osnovna ivica je 6 cm, a duæina (visina) 1 m. IzraËunaj masu tog dela (gustina gvoæa 3 t = 7, 8 g/cm . 4. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane prizme ako je:

a) osnovna ivica 6 cm, boËna ivica 2 cm;

b) obim osnove 60 cm, visina 0,5 dm.

За во

5. IzraËunaj zapreminu pravilne jednakoiviËne πestostrane prizme ako je rastojawe wenih naspramnih boËnih strana: a) 12 3 cm ; b) 12 cm.

6. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane prizme ako je veÊi dijagonalni presek kvadrat obima 36 cm.

7. KraÊa dijagonala osnove pravilne πestostrane prizme je 12 cm, a visina prizme je 8 cm. IzraËunati zapreminu te prizme.

8. Stubovi su napravqeni od bukovog drveta i oblika su pravilne πestostrane prizme osnovne ivice 10 cm i duæine 1 m. Koliko se takvih stubova moæe transportovati 3 vozilom nosivosti 1t ako je gustina bukovog drveta t = 0, 74 g/cm ? 9. U bazen oblika pravilne πestostrane prizme osnovne ivice 2 m i dubine 2 m treba nasuti vodu. Koliko litara vode moæe da stane u taj bazen ako dubina vode treba da bude 1,5 m?

2 10. Povrπina osnove pravilne πestostrane prizme je 48 3 cm , a povrπina omotaËa je 48 cm2. IzraËunaj zapreminu prizme.

2.1. Појам, 5.1. Питагорина врсте, теорема елементи

слика 1

за

Na slici 2 dati su primeri poliedara koji nisu piramide.

слика 2

За во

пример

уџ

бе

пример

ни

Na slici 1 dati su primeri poliedara koji su piramide.

ке

ReË piramida je latinski oblik grËke reËi rytankv (Ëita se piramis) kojom su Grci nazivali egipatske piramide.

Piramida SA1A2A3...An je poliedar Ëiju povrπ Ëine mnogougao A1A2A3...An i n trouglova SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1.

Mnogougao A1A2A3...An naziva se osnova piramide, a trouglovi SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1 se nazivaju boËnim stranama piramide. Sve boËne strane (n trouglova) Ëine omotaË piramide. (Broj n je prirodan broj ne mawi od 3.) Broj stranica mnogougla osnove odreuje naziv piramide. Ako je osnova trougao, piramida je trostrana, ako je Ëetvorougao, piramida je Ëetvorostrana itd. Na slici 1 prikazane su Ëetvorostrana, trostrana, osmostrana i πestostrana piramida.

Stranice i temena n-tougla (osnove) i trouglova (strana piramide) redom su ivice i temena piramide.

слика 3

ВРХ БОЧНА ИВИЦА БОЧНА СТРАНА

ОСНОВНА ИВИЦА

ке

ОСНОВА

Rastojawe vrha od ravni osnove piramide naziva se visina piramide.

слика 4

АПОТЕМА

уџ

Ako su sve ivice piramide jednake, ta piramida je jednakoiviËna.

ВИСИНА

бе

Ako je osnova piramide pravilni mnogougao i ako je prava odreena vrhom piramide i srediπtem osnove normalna na ravan osnove, kaæe se da je piramida pravilna (sl. 4).

ни

Rastojawe vrha piramide od osnovne ivice piramide (visina boËne strane) naziva se apotema.

Za trostranu jednakoiviËnu piramidu postoji i poseban naziv ‡ tetraedar.

за

RazmotriÊemo πta je presek piramide i ravni.

пример

За во

Data je pravilna trostrana piramida osnovne ivice a = 4 cm i visine H = 6 cm. Odredi presek te piramide i ravni a koja je paralelna ravni osnove, nema zajedniËkih taËaka sa osnovom i seËe boËne ivice te piramide. Neka je SABC C data pravilna trostrana piramida. Ravan a je paralelna ravni osnove. Neka je vrh piramide od ravni a na rastojawu 2 cm. Paralelne ravni ABC C i a seku ravan ABS po pravama AB i A1B1 koje su paralelne. Vidi sliku! Sledi da su trouglovi ABS i AB AS = A1B1S sliËni i vaæi (*). A1 B1 A1 S

слика 5

S A1 O1 α

C1 B1 C

O B

ке

пример

ни

Razmotri πta je presek pravilne Ëetvorostrane piramide i ravni koja sadræi vrh piramide i seËe osnovu.

уџ

бе

Neka je SABCD pravilna Ëetvorostrana piramida. a) Ako ravan a sadræi vrh piramide i seËe ravan osnove po pravoj koja sa osnovom ima zajedniËko jedno teme, presek je boËna ivica odreena tim temenom (sl. 6a). b) Ako ravan b sadræi vrh i dva susedna temena osnove piramide, presek je boËna strana odreena tim temenima (sl. 6b). v) Ako ravan c sadræi vrh i dva nesusedna temena osnove, presek je trougao Ëije su stranice dijagonala osnove i dve boËne ivice piramide (sl. 6v).

за

За во A

в)

г)

C B

слика 6

б)

пример

g) Ako ravan d sadræi vrh i seËe dve osnovne ivice piramide, presek je trougao (sl. 6g).

C B

Preseke piramide sa ravnima koje ne sadræe vrh i nisu paralelne osnovi piramide neÊemo razmatrati.

Контролна питања

ке

Задаци

ни

1. Na slici 7 prikazane su piramide. Obeleæi wihova temena, a zatim za svaku odredi osnovu, boËne strane i vrh.

за

уџ

бе

слика 7

2. Da li postoji piramida Ëije svako teme moæe biti vrh?

За во

3. Koliko strana, temena, osnovnih ivica, boËnih ivica, boËnih strana ima osmostrana piramida?

4. Moæe li piramida da ima Ëetiri: a) temena;

b) ivice;

v) strane?

9. IzraËunaj apotemu pravilne: a) Ëetvorostrane; b) trostrane; v) πestostrane piramide Ëije su osnovna ivica 10 cm, a boËna ivica 13 cm.

D A

ке

ни

5.2. Мрежа пирамиде

бе

U prethodnoj lekciji upoznali smo osnovne elemente piramide. Kao za prizmu, i za piramidu se konstruiπe mreæa.

уџ

Razvij u mreæu pravilnu trostranu piramidu Ëija je osnovna ivica 3 cm i boËna ivica 4 cm (sl. 9a). Neka je SABC C data piramida. Mreæa moæe da se konstruiπe na viπe naËina. Prikazana su dva.

За во

пример

б)

S''

C A

S' S S

B A'

A''

A'' A

в)

слика 9

S S

S''

а)

за

Ako piramidu razreæemo duæ svih boËnih ivica, dobija se mreæa prikazana na slici 9b. Ako datu piramidu razreæemo duæ boËne ivice AS i osnovnih ivica AB i AC, tada je mreæa prikazana na slici 9v.

S''

C β

O B

S''

S'ˇ

за A

За во

O S' б)

S'''

пример

уџ

слика 10

S'''

бе

а)

ни

ке

a) S obzirom na to da je ortogonalna projekcija prave AS na ravan osnove piramide prava AO, gde je O centar osnove, to je nagibni ugao boËne ivice AS prema ravni osnove ugao OAS (sl. 10a). Taj ugao je ugao trougla ASO, pri Ëemu je AO jednako polovini dijagonale kvadrata ABCD (duæina duæi AO je polupreËnik kruænice opisane oko osnove), AS je boËna ivica, a duæina OS je visina piramide. Trougao 1 AOS je, u ovom sluËaju, odreen katetom AO = AC i uglovima \AOS = 90° , 2 \OAS = 45° . Hipotenuza AS jednaka je boËnoj ivici, pa moæemo da konstruiπemo mreæu piramide.

U ovom sluËaju trougao MOS je odreen kate1 tom OM = AB i uglovima \MOS = 90° , 2 \OMS M = 60° .

S''

S'ˇ S A

β O

Duæina hipotenuze MS je apotema date piramide, te imamo dovoqno podataka da moæemo da konstruiπemo mreæu.

Контролна питања

©ta je mreæa piramide? ©ta je mreæa jednakoiviËne trostrane piramide?

1. Konstruiπi mreæu pravilne trostrane piramide Ëija je: a) osnovna ivica 4 cm, apotema 5 cm;

ке

Задаци b) boËna ivica 7 cm, apotema 4,5 cm.

a)osnovna ivica 3 cm, boËna ivica 5 cm;

ни

2. Konstruiπi mreæu pravilne πestostrane piramide ako su:

b) boËna ivica 10 cm, visina H = 8 cm.

a) romb;

b) jednakokraki trapez;

бе

3. Ako se razvijeni omotaË Ëetvorostrane piramide sastoji od Ëetiri jednakostraniËna trougla, tada je osnova te piramide: v) kvadrat.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

уџ

4. Konstruiπi mreæu trostrane piramide Ëije su osnovne ivice 3 cm, 4 cm, 5 cm i sve boËne ivice su po 5 cm.

за

5. Jedna strana kocke je osnova piramide, a srediπte naspramne strane kocke je vrh piramide. Konstruiπi mreæu te piramide ako je ivica kocke 4 cm.

За во

5.3. Површина пирамиде. Површина четворостране пирамиде Zbir povrπina strana piramide je povrπina piramide.

пример

Ako sa B obeleæimo povrπinu osnove piramide, sa M povrπinu omotaËa, a sa P povrπinu piramide, tada je P = B + M.

Iz trougla MOS je SM M2 = MO2 + OS2, SM M2 = (3 cm)2 + (6 cm)2, SM = h1 = 3 5 cm . Na isti naËin iz trougla NOS je SN = h2 = 2 13 cm . Povrπina piramide je

Dakle, P = 48 + 8 · 3 5

ah1 bh + 2 2 , P = ab + ah1 + bh2. 2 2 6 $ 2 13 , P = (48

24 5

ке

ab + 2

) cm 2 .

ни

пример

P = B + M, B = P(ABCD), M = P(ABS) + P(BCS) + P(CDS) + P(DAS) bh ah P(ABCD) = ab, P (ABS) ( ) = 1 , P (BCS) ( )= 2 2 2

уџ

O M

b 2

a 2

3 пример

слика 12

IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide osnovne ivice a i apoteme h. P = B + M, P

a +4

ah , P = a2 + 2ah. 2

За во

пример

за

h2 a

b D

бе

слика 13

h D a

C B

IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide ako su osnovna ivica a = 4 cm, boËna ivica b = 8 cm (sl. 12). Apotema je h

a 2 2 b - ` j , h = 2 15 cm . Povrπina je P = (16 2

) cm .

Контролна питања

ке

слика 13

ни

b) a = 8 cm, H = 3 cm;

v) b = 10 cm, h = 8 cm;

g) H = 12 cm, h = 13 cm;

β M

O N

за

) a = 12 cm, b = 60°. C

уџ

бе

a) a = 7 cm, h = 4 cm; d) a = 10 cm, a = 45°;

a 2

α M

a√2 2

a 2

За во

2. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je povrπina osnove B = 36 cm2 a visina H = 4 cm. 3. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane jednakoiviËne piramide ivice 8 cm.

4. Povrπina pravilne Ëetvorostrane piramide je 125 cm2. Sve strane ove piramide imaju jednake povrπine. Apotema je: a) 2,5 cm;

b) 5 cm;

v) 7,5 cm;

g) 9 cm;

d) 10 cm.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

5. Zbir svih ivica jednakoiviËne Ëetvorostrane piramide je 32 cm. Wena povrπina 2 2 je: a) 16 · (1 + 2 ) cm ; b) 4 · (4 + 3 ) cm ; Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

v) 16 · (1 + 3 ) cm 2 .

5.4. Површина правилне тростране пирамиде. Површина правилне шестостране пирамиде

ке

U prethodnom odeqku zakquËili smo da se povrπina svake piramide raËuna po pravilu: P = B + M,

ни бе

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako su osnovna ivica a i apotema h.

Osnova pravilne trostrane piramide je jednakostraniËni trougao, a boËne strane su podudarni jednakokraki trouglovi, pa je a

3 4

ah . 2

a слика 14

за

уџ

пример

gde se sa B obeleæava povrπina osnove piramide a sa M povrπina omotaËa.

слика 15

пример

За во

IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako su osnovna ivica a i apotema h. S

Osnova pravilne πestostrane piramide je pravilni πestougao stranice a, pa je a2 3 ah P=6 +6 , 4 2 odnosno P=

+ 3ah .

b F

E D

A a B

Rastojawe vrha piramide od temena osnove jednako je duæini boËne ivice, a rastojawe vrha od osnovnih ivica jednako je apotemi. Prema tome, a 2 2 ` j =b 2

a 2 h 2 , odnosno ` j = 10 2 - 8 2 , a = 12 cm. 2

12 2 3 4

12 · 8 , P = (36 3 2

144) cm 2 .

ни

ке

пример

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako su rastojawa vrha od temena osnove po 10 cm, a rastojawa vrha od osnovnih ivica po 8 cm.

бе

Poπto je duæa dijagonala osnove jednaka dvostrukoj osnovnoj ivici, to je a = 8 cm. Srediπte jedne osnovne ivice, srediπte osnove i vrh piramide grade pravougli trougao MOS (sl. 16). Iz ovog trougla je слика 16 2

SM = MO + OS , h2

Povrπina je

8 3 m 2

15 ,

a 3 2 h =c m +H , 2 2

h 2 = 48 + 225,

h = 273 cm . h

3 · 82 3 P= + 3 · 8 · 273 , 2 ) 2, 244 (4 ) cm 2 .

F A

E D

M B

3a 2 3 P= + 3 h, 2 P = (96 3 24

уџ

за

пример

IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je duæa dijagonala osnove 16 cm, a visina 15 cm.

За во

Контролна питања

IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako su: a) a = 12 cm; h = 7 cm;

b) a = 6 cm, b = 5 cm;

v) a = 6 cm, H = 3 cm;

g) b = 13 cm, h = 12 cm.

C h1

O β M 1 O h1 3

O B

α C 2 h1 3

M 1 a B 2

ни

ке

b h H

слика 17

2. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako je zbir svih osnovnih ivica 18 cm, a zbir svih boËnih ivica 12 cm.

бе

3. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako je osnovna ivica a = 12 cm, a nagibni ugao boËne strane prema osnovi b = 60° (sl. 18).

уџ

4. Ivica osnove pravilne trostrane piramide jednaka je visini piramide a = H = 12 cm. Povrπina te piramide je: 2

a) (36 3 + 36 39 ) cm ; b) 72 3 cm ; v) 180 3 cm ; g) 72 42 cm . Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

за

5. Neka su elementi pravilne πestostrane piramide SABCDEF: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, h1 visina karakteristiËnog trougla osnove, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi (sl. 18). IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako su:

a) a = 10 cm; h = 12 cm; b) a = 6 cm, b = 12 cm; v) a = 6 cm, H = 3 cm; g) b = 13 cm, h = 12 cm. S

За во

слика 18

O a

α D

a A

M α B

β M a√3 O 2

M a B 2

5.5. Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде

ке

NauËili smo kako se izraËunava zapremina prizme. Sada treba da naemo pravilo po kome se izraËunava zapremina piramide.

ни

бе

UoËimo piramide Ëije su osnove strane kocke, a vrhovi u centru kocke. Takvih piramida ima 6 i moæemo zamisliti da se sve one mogu dovesti do poklapawa. Kocka je razloæena na 6 piramida (Ëije unutraπwe oblasti nemaju zajedniËkih taËaka), pa je wena zapremina jednaka zbiru zapremina tih piramida. Dakle, zapreслика 19 a3 mina piramide SABCD je V = . Osnova ove piramide je kvadrat H G 6 a a 1 2 a povrπine visina je . Poπto je = · a · , moæemo zakqu2 6 3 2 Ëiti da je zapremina ove piramide jednaka treÊini zapremine odgovarajuÊe a prizme. ProveriÊemo da li ovo vaæi i za bilo koju piramidu.

уџ

пример

Osnova Ëetvorostrane piramide je strana ABCD kocke ABCDEFGH, H a vrh je srediπte S kocke. IzraËunaj zapreminu piramide ako je ivica kocke a.

S D

C B

за

a2,

За во

Dve piramide imaju osnove jednakih povrπina i jednake visine. Wihove osnove su u ravni a. Ove piramide preseËene su sa ravni b koja je paralelna ravni a. слика 20

a) Uporedi povrπine preseka piramida i ravni b.

пример

b) Uporedi zapremine ovih piramida.

D E

б)

C B

в)

ни

бе

слика 21

ке

C B

уџ

пример

1 V(ABCDEF). 3 Poπto se osnova svake piramide dijagonalama iz jednog temena moæe podeliti na trouglove, to se svaka piramida moæe razloæiti na trostrane piramide sa zajedniËkim vrhom.

за

V(ADEF) = V(EABC) = V(ACEF) =

За во

Zapremina piramide jednaka je treÊini zapremine prizme koja sa tom piramidom ima podudarnu osnovu i jednaku visinu.

пример

Sa B obeleæimo povrπinu osnove piramide, sa H visinu, a sa V zapreminu. Tada je V=

B·H . 3

Zapremina je V =

a 2 2 b -c m ,H 2

a H , odnosno V 3

(

6 2 c m, 2

)

46 cm

H = 46 cm . V = 12 46 cm 3 .

Контролна питања

Kako se raËuna zapremina piramide? Kada dve piramide podudarnih osnova imaju jednake zapremine?

Задаци

a) a = 9 cm, H = 4 cm;

b) a = 8 cm, h = 5 cm;

v) H = 12 cm, h = 13 cm;

g) a = 8 cm, a = 45°.

ни

ке

1. Neka su za pravilnu Ëetvorostranu piramidu SABCD elementi: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, b nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, a nagibni ugao boËne strane prema osnovi (sl. 13). IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako su:

бе

2. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je obim osnove 32 cm i a) visina 9 cm; b) boËna ivica 6 cm; v) apotema 8 cm.

уџ

3. Pravilna Ëetvorostrana jednakoiviËna piramida ivice 8 cm preseËena je sa dve ravni, pri Ëemu svaka od wih sadræi vrh piramide i srediπta po jednog para naspramnih ivica osnove. Na taj naËin nastaju Ëetiri piramide. IzraËunaj povrπinu jedne od tih piramida.

за

4. Zbir povrπina osnove i jedne boËne strane pravilne Ëetvorostrane piramide je 36 cm2. Razlika povrπina omotaËa i osnove je 64 cm2. IzraËunaj zapreminu te piramide.

За во

5. Naspramne boËne ivice pravilne Ëetvorostrane piramide obrazuju prav ugao. IzraËunaj zapreminu te piramide ako je boËna ivica 4 cm.

5.6. Запремина правилне тростране пирамиде. Запремина правилне шестостране пирамиде

U prethodnoj lekciji nauËili smo da je: V=

B·H , 3

gde smo sa B obeleæili povrπinu osnove piramide, sa H visinu, a sa V zapreminu.

1 пример

IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane piramide ako su osnovna ivica a i visina H. H a2 3 ·H a2 ·H 4 V= . Posle sreivawa je V = . 3 12

ке

2 2 b 2 - c h1 m 3

b2 - c

a 3 m, 3

Zapremina je: V

((6cm)

3 · 6cm , 12

(4 3 ) 2

6 3 m , H = 6cm . 3

18 3 cm 3 .

за

IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane piramide ako su osnovna ivica a i visina H. H 6

a2 3 ·H a2 ·H 4 . Posle sreivawa je V = . 3 2

пример

За во

пример

уџ

Zapremina date piramide je 18 3 cm 3 .

ни

RaËunamo visinu piramide. Koristimo sliku 17. Iz trougla BOS je:

бе

пример

IzraËunajj zapreminu pravilne trostrane piramide ako su osnovna ivica 6 cm, a boËna ivica 4 3 cm.

3 IzraËunaj visinu pravilne πestostrane piramide ako je wena zapremina 144 3 cm a osnovna ivica 6 cm.

Zamenimo date vrednosti u jednakosti V = 144 3 cm 3 =

·H 2

(6cm) 2 3 · H , odnosno H 2

Контролна питања

, pa je 3

144 3 cm · 2 , 36cm 2 3

8cm .

Kako se raËuna zapremina piramide? Ako prizma i piramida imaju podudarne osnove i jednake visine, kakve su wihove zapremine?

Задаци

a) a = 12 cm, H = 6 cm;

b) a = 6 cm, b = 5 cm;

v) b = 6 cm, H = 3 cm;

g) b = 13 cm, h = 12 cm. 3

ке

1. Neka su elementi pravilne trostrane piramide SABC: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, h1 visina osnove, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi (sl. 17). IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane piramide ako su:

2. Zapremina pravilne trostrane piramide je 48 3 cm i osnovna ivica 12 cm. IzraËunaj visinu te piramide.

a) 144 3 cm ;

b) 72 3 cm ;

бе

ни

3. IzraËunaj masu drvenog modela jednakoiviËne trostrane piramide Ëija je ivica g . 6 cm a gustina drveta t . 0, 7 3 cm 2 4. Ivica osnovne pravilne trostrane piramide je 12 cm, a povrπina omotaËa je 3 povrπine piramide. Zapremina te piramide je: v) 144 6 ;

g) 216 cm3;

d) 288 cm3.

уџ

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

5. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane piramide ako je povrπina osnove 2 B = 36 3 cm , a boËna ivica s = 5 3 cm .

a) 1 : 2;

за

6. Pravilna trostrana prizma i pravilna trostrana piramida imaju podudarne osnove i jednake zapremine. Razmera visina te prizme i te piramide je: b) 2 : 1;

v) 1 : 3;

g) 3 : 1;

d) 4 : 1.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

За во

7. Neka su elementi pravilne πestostrane piramide SABCDEF: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, h1 visina karakteristiËnog trougla osnove, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi (sl. 18). IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane piramide ako su:

a) a = 6 cm, H = 3 cm;

b) a = 6 cm, b = 12 cm;

v) a = 6 cm, h = 6 3 cm ;

g) b = 13 cm, h = 12 cm.

2.1. Функција 6.1. Питагорина y = kx теорема +n

бе

‡2

‡3

Proveri da li se ova zavisnost moæe zadati formulom y = 2x + 1.

уџ

пример

Zavisnost veliËine y od veliËine x data je u tabeli

ни

ке

Proveravamo da li po formuli dobijamo odgovarajuÊe vrednosti: y(‡2) = 2 (‡2) + 1 = ‡3, y(0) = 2 · 0 +1 = 1, y(1) = 2 · 1 + 1 = 3, y(3) = 2 · 3 + 1 = 7.

за

Dobijene vrednosti su iste kao u tabeli. Zavisnost se moæe zadati ovom formulom.

За во

Zavisnost veliËine y od promenqive veliËine x oblika y = kx + n za zadate brojeve k i n naziva se linearna funkcija.

пример

Koliko Êe vode biti u kofi za t, t t H 2 minuta?

пример

ке

ни

Skup D dopustivih vrednosti nezavisno promenqive naziva se domen ili oblast definisanosti funkcije.

бе

U primeru 1, domen je {‡2, 0 1, 3}, a skup vrednosti je {‡3, 1, 3, 7}.

U primeru 2 oblast definisanosti je D = {t | 0 G t G 2} (jer takva vremena posmatramo). Skup vrednosti je interval [2, 12] (jer u kofi moæe biti od 2 do 12 l vode).

уџ

U primeru 3 oblast definisanosti je D = {t | t H 2} a skup vrednosti {2}.

за

Ukoliko domen linearne funkcije nije unapred zadan, uzimamo da je domen ceo skup R.

©ta je domen a πta skup vrednosti funkcija: a) y = 3; b) y = 3xx ‡ 4?

a) Kako domen nije naveden, uzimamo za domen skup svih realnih brojeva. Za bilo koji realan broj x odgovarajuÊa vrednost funkcije je 3. Dakle, skup svih vrednosti je {3}.

пример

За во

b) I ovde domen nije naveden pa uzimamo D = R. Broj y je vrednost funkcije ako postoji broj x takav da je y = 3xx ‡ 4. Za koje y postoji ovakvo x?

Na potpuno isti naËin moæemo se uveriti da skup vrednosti bilo koje nekonstantne linearne funkcije y = kx + n (k ! 0) je skup realnih brojeva R.

Контролна питања

ке

©ta je linearna funkcija? ©ta je domen (oblast definisanosti) a πta skup vrednosti? Da li je konstantna funkcija linearna? Koliki su brojevi k i n te funkcije?

ни

Задаци

a) O = 2x + 1,4;

бе

1. ©irina platna je 1,4 m. Ako kupimo x metara platna, obim O tog komada se izraæava sledeÊom formulom: b) O = 1,4 x + 1,4;

v) O = 2x + 2,8;

g) O = x + 2,8.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

x y

уџ

2. Zavisnost y od x data je tabelom:

‡2

‡6

за

a) Pokaæi da je ova zavisnost linearna po zakonu y = ‡2x + 4. b) Odredi domen i skup vrednosti.

v) Ako zamenimo vrste u tabeli, po kom zakonu x zavisi od y?

За во

3. Auto se nalazi u Mladenovcu (60 km od Beograda) i kreÊe se putem brzinom 60 km na Ëas ka Topoli (90 km od Beograda). Napiπi formulu za udaqenost auta od: a) Beograda; b) Topole za t minuta; v) Za koliko minuta Êe auto stiÊi u Topolu?

4. Odredi domen i skup vrednosti funkcija: a) y =- 3x + 1, 0 G x G 2 ;

b) y = 2x ‡ 4;

v) y =- 3x - 4, x d {- 2, - 1, 0, 1, 2} .

5. Funkcija y = ‡3x + 4 ima domen [‡1, 2]. Odredi skup vrednosti.

6. Funkcija y = ‡3x + 6 ima skup vrednosti [‡2, 12]. Odredi wen domen.

7. Mirko je imao tri evra. Svakog meseca uπtedi po 5 evra. a) Koliko evra Êe imati posle x meseci? b) Posle koliko vremena Êe moÊi da kupi bicikl koji koπta 98 evra?

6.2. График линеарне функције Podsetimo se: Grafik linearne funkcije y = kx + n je skup svih parova (x, y), tj. taËaka u koordinatnoj ravni, za koje vaæi ova veza.

ке

U daqem Êemo videti da je ovaj skup prava linija.

слика 1

y=2 x–3

ни 5 4 3 2 1

бе

a) U sedmom razredu videli smo da je grafik funkcije y = 2xx prava linija koja sadræi koordinatni poËetak, jer su veliËine x i y direktno proporcionalne. Za crtawe ove prave dovoqno je odrediti joπ jednu wenu taËku razliËitu od koordinatnog poËetka. Za x = 1 vrednost funkcije je y = 2, pa je grafik prava koja sadræi taËke (0, 0) i (1, 2) (sl. 1).

уџ

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1

-2 -3

за

пример

v) y = 2xx ‡ 3.

y=2 x+3 y=2 x

Nacrtaj grafik funkcije: a) y = 2x; x b) y = 2xx + 3;

За во

v) Vrednosti ove funkcije su uvek za 3 mawe od odgovarajuÊe vrednosti funcije iz a). Zbog toga je i wen grafik prava paralelna grafiku funkcije iz a). Za x = 0 vrednost funkcije je y = ‡3. Za x = 1 vrednost je y = ‡1. Grafik je prava koja sadræi taËke (0,‡3) i (1, ‡1) (sl. 1).

слика 2

k y=

kx y=

(0,n) 0

n je jednako vrednosti funkcije y = kx + n za x = 0. Grafik funkcije y = kx + n je prava koja sadræi taËku (0, n) na y-osi i paralelna je pravoj koja je grafik funkcije y = kx (sl. 2).

ни

Kakve su prave Ëije su jednaËine y = ‡3xx + 8 i y = ‡3xx + 5?

Za koje a su prave y

(

a) x

уџ

бе

Prave su paralelne jer imaju isti koeficijent pravca (k= ‡3).

2iy

(

a) x

1 paralelne?

Uslov paralelnosti je jednakost koeficijenata pravca: 1 ‡ a = 3 + a. Reπewe ove jednaËine je a = ‡1. Za a = ‡1 prave imaju jednaËine y = 2x + 2 i y = 2x ‡ 1.

за

пример

ке

Контролна питања

За во

Задаци

1. Koja od taËaka (0, 1), (‡3, 2), (4, 1) pripada pravoj y = 3x ‡ 1?

2. Grafik funkcije y = 0,5x + 3 sadræi taËku: a) A(2, 2);

b) B(‡2, ‡2);

v) C(‡2 , 2);

g) D(‡1 , 2);

d) E(‡2, ‡4).

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 3. Nacrtaj grafike funkcija: a) y = 3x, b) y = 3x ‡ 2, v) y = ‡3x, g) y = ‡3x + 1.

слика 3

2 4. Odredi preseËne taËke prave y =- x + 4 sa koordi3 natnim osama.

5. Napiπi jednaËinu prave koja sadræi taËke: a) (‡1, 4) i (0, 0); b) (0, 4) i (1, 5).

0 1

ке

6. ProËitaj koordinate preseËnih taËaka pravih sa koordinatnim osama na slici 3 i napiπi wihove jednaËine.

ни

3 7. Koliko je koordinatni poËetak udaqen od prave y =- x + 3 ? 4

бе

4 4 8. Koliko su udaqene prave y =- x + 4 i y =- x + 6 ? 3 3

уџ

за

Traæena taËka ima ordinatu y = 0. Apscisa joj je zato reπewe jednaËine ‡2xx + 4 = 0. Reπavawem nalazimo x = 2. Proverite na slici 4 da prava y = ‡2xx + 4 seËe x-osu u taËki (2,0).

2x+

пример

Odredi taËku u kojoj grafik funkcije y = ‡2xx + 4 seËe x-osu.

y=‡

За во

пример

6.3. Нуле и знак линеарне функције

0 1 слика 4

Vrednost nezavisno promenqive x za koju je vrednost linearne funkcije y = kx + n jednaka nuli, tj. reπewe jednaËine kx + n = 0, naziva se nula funkcije.

Odavde vidimo da vaæi:

IzraËunaj nulu funkcije: a) y = ‡2xx + 5; b) y = 3x; x v) y = 5.

пример

nula funkcije je prva koordinata taËke preseka grafika te funkcije i x-ose.

a) Nula funkcije je reπewe jednaËine ‡2xx + 5 = 0. Reπavawem dobijamo 2x

} ima nulu?

бе

{0 ,

Nema, jer je y = 0 za x = 3, a 3 se ne nalazi u domenu.

Odredi nulu funkcije y = 0.

уџ

пример

x + 3,

5 . 2

ни

v) JednaËina 5 = 0 nema reπewa. Funkcija nema nulu.

Da li funkcija y

ке

b) Iz 3xx = 0 nalazimo x = 0.

Svako realno x je nula ove funkcije.

за

пример

За во

Osim u Celzijusovim stepenima ((yy), temperatura se izraæava i u Farenhajtovim (x) i Kelvinovim ((zz) stepenima. Veze su: y z

5 (x 9 5 ( 9

) , 67) .

U nekim sluËajevima korisna je informacija za koje vrednosti x je linearna funkcija pozitivna, odnosno negativna, tj. kakav je wen znak.

Traæene vrednosti dobijamo reπavawem nejednaËine ‡2xx + 6 H 0. Tok reπavawa je: -22 6H0 6 H 2x 3Hx x G 3. слика 5

бе

5 4 3 2 1

ProËitaj sa grafika znak funkcije y = ‡2x + 6.

Grafik je za x < 3 iznad, a za x > 3 ispod x-ose. Funkcija je pozitivna za x < 3 a negativna za x > 3.

уџ

пример

8 7 6

0 1

-3 -2 -1 -1 -2

2 3 4 x

за

Контролна питања

6 2x+ y=-

ни

Ako je u taËki x odgovarajuÊa vrednost y linearne funkcije pozitivna (negativna), odgovarajuÊa taËka (x, y) wenog grafika je iznad (ispod) x-ose i obratno.

ке

пример

Za koje x je funkcija y = ‡2xx + 6 nenegativna?

За во

©ta je nula funkcije? Kako se odreuje nula funkcije? Kako se sa grafika oËitava nula funkcije? Kako se odreuje znak funkcije?

Задаци

1. Da li svaka linearna funkcija ima nulu?

слика 6

2. Da li je 4 nula funkcije y = ‡3x + 12?

3. Da li je ‡3 nula funkcije y = ‡3x + 12? 4. Odredi nulu i znak funkcija: a) y = 2 ‡ x; b) y = 2x + 5; v) y = ax ‡ 3; g) y = (1 ‡ a)x + a. 5. OËitaj nulu i znak funkcije sa datog grafika.

1 -1 0 - 32

ке

9. Prava y = kx + n je iznad x-ose u I i II kvadrantu a ispod x-ose u IV kvadrantu. Kakvog znaka su k i n?

бе

ни

6.4. Ток (рашћење и опадање) линеарне функције

Da li se sa poveÊawem vrednosti nezavisno promenqive x poveÊava ili smawuje vrednost linearne funkcije y = kx + n? Od Ëega to zavisi?

уџ

Da bismo to utvrdili, pretpostavimo da su x1 i x2 bilo koje dve vrednosti iz domena funkcije takve da je x1 < x2. Razmotrimo prvo sluËaj k > 0.

за

Mnoæewem obe strane nejednakosti x1 < x2 sa k dobijamo kx1 < kx2. Dodavawem stranama n dobijamo kx1 + n < kx2 + n. ZakquËujemo da je y (x1) 1 y (x2) , odnosno da слика 7

ako je k > 0, vrednost linearne funkcije y = kx + n raste sa porastom nezavisno promenqive.

За во

Kaæemo da je tada linearna funkcija rastuÊa. Grafik ovakve funkcije ima oπtar nagibni ugao a prema pozitivnom delu apscisne ose (sl. 7). Neka je sada k < 0. Mnoæewem strana nejednakosti x1 < x2 sa negativnim brojem k mewa se smer nejednakosti te dobijamo kx2 < kx1 i odatle kx2 + n < kx1 + n. ZakquËujemo da

ako je k < 0, vrednost linearne funkcije y = kx + n opada sa porastom nezavisne promenqive.

Kaæemo da je linearna funkcija opadajuÊa. Grafik ovakve funkcije ima tup nagibni ugao a prema x-osi (sl. 8). Za k = 0, linearna funkcija je konstantna, tj. ne mewa vrednost na domenu. Grafik ovakve funkcije je prava paralelna x-osi (pa i sama x-osa).

α 0

слика 8

α 0

1 пример

a) Kako je k = 3 > 0, funkcija je rastuÊa.

Ispitaj tok funkcije y

b) Kako je k = ‡3 < 0, funkcija je opadajuÊa.

(

a) x

ке

v) Kako je k = 0, funkcija je konstantna.

2 za razne vrednosti parametra a.

ни

Funkcija je rastuÊa ako je 1 ‡ a > 0, tj. za a < 1. Funkcija je opadajuÊa ako je 1 ‡ a < 0, tj. za a > 1. Funkcija je konstantna za a = 1.

уџ

Контролна питања

бе

пример

Ispitaj tok funkcija: a) y = 3xx ‡ 7; b) y = ‡3x + 55; v) y = 3.

Задаци

за

Od Ëega zavisi tok linearne funkcije? Kad linearna funkcija raste a kad opada?

2 x - 100 ; v) y = ‡x + 1000? 3 2. Za koje vrednosti broja a je rastuÊa funkcija: a) y = 2ax ‡ 4; b) y = (a - 2) x + 2 ?

1. Kakav je tok fukcija: a) y = ‡6; b) y =

За во

3. Ispitaj tok funkcije y = (2k - 6) x + k, k d R . 4. Ako je funkcija y = (2 ‡ k)x + 2 rastuÊa, kakvo je k? слика 9

5. Na slici 9 je grafik preenog puta s za vreme t. Kolika je brzina?

s(km)

6. Funkcija y = kx ‡ k + 1 je opadajuÊa. Dokaæi da je odseËak koji grafik pravi na y-osi veÊi od 1.

7. Prava y = kx + n ne prolazi kroz: a) I; b) II; v) III kvadrant. Kakvog su znaka k i n?

60 40 20 0 1

t(čas)

8. Koja od datih slika moæe da predstavqa grafik funkcije y = ‡3x + c, gde je c neki pozitivan broj? слика 10 y

слика 11

слика 13

ке

слика 12

ни

9. Koje su funkcije Ëiji su grafici na prethodnim slikama rastuÊe a koje opadajuÊe?

бе

6.5. Имплицитни облик линеарне функције

уџ

Razmotrimo vezu izmeu promenqivih x i y oblika ax + by + c = 0, (a, b, c d R) .

За во

за

a c U sluËaju da je b razliËito od nule, ovu vezu moæemo reπiti po y: y =- x - . b b Odavde zakquËujemo da je y linearna funkcija od x, pa skup svih parova (x, y) taËaka u koordinatnoj ravni koji zadovoqavaju ovu vezu predstavqa grafik te funkcije, dakle to je prava linija. c U sluËaju da je b = 0 i a ! 0, vezu moæemo reπiti po x: x =- . Sada je x linea arna funkcija od y (Ëak konstantna). Skup svih parova (x, y) taËaka u koordinatnoj ravni kojima je apscisa konstantna je prava paralelna y-osi (vertikalna prava).

Zato vezu ax + by + c = 0, ako je bar jedan od brojeva a ili b razliËit od nule, nazivamo implicitni oblik linearne funkcije. Kada je a = b = 0, c ! 0 ne postoje x i y koji zadovoqavaju datu vezu.

Dokaæi da su prave 3xx ‡ 5y + 7 = 0 i ‡6xx + 10 y ‡ 3 = 0 paralelne.

пример

Kada je a = b = c = 0 bilo koji par realnih brojeva, zadovoqava datu vezu.

3 7 6 3 Eksplicitni oblik jednaËine prve prave je y = x + a druge y = . Kako x+ 5 5 10 10 3 6 je = , prave imaju isti koeficijent pravca, pa su paralelne. 5 10

y 5 0 6= 4 + y –3 3 2x 2 x=2 1

Nacrtaj pravu Ëija je jednaËina: a) x = 2; b) y = ‡1; v) 2x ‡ 3y + 6 = 0. a) Prava je paralelna y-osi i seËe x-osu u taËki (2, 0).

Контролна питања

y=–1

ни

v) Dve taËke prave su na primer (0, 2) i (‡3, 0), jer je 2 · 0 ‡ 3 · 2 + 6 = 0, 2 · (‡3) ‡ 3 · 0 + 6 = 0.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3

ке

b) Prava je paralelna x-osi i seËe y-osu u taËki (0, ‡1).

бе

пример

слика 14

Задаци

за

уџ

1. Nacrtaj prave: a) 2x ‡ y + 3 = 0; b) 5x ‡ 4y + 3 = 0; v) 4x ‡ 2 = 0.

2. TaËka (8, ‡3) pripada pravoj ax ‡ y + 5 = 0. Odredi a.

За во

3. Nacrtaj pravu x = 2y ‡ 5.

4. Koliko je koordinatni poËetak udaqen od prave 3x + 4y = ‡12? 5. Napiπi jednaËinu prave koja sadræi koordinatni poËetak i paralelna je pravoj 3x ‡ 4y + 5 = 0. y x 6. Prava odseca na x-osi odseËak 5 a na y-osi 3. Proveri da je wena jednaËina + = 1 . 5 3

7. Dokaæi da su prave ‡x + 2y + 5 = 0, 2x ‡ 4y + 5 = 0 paralelne. IzraËunaj wihovo rastojawe.

100

ни

ке

бе

Sigurno ste na televiziji ili u novinama već viali ovakve slike. слика 1

уџ

5 4 3 2

за

ће о оле лет пр

ципеле рубље капути

е јес

зим

За во

6 5 4 3 2 1 0

ципеле рубље капути

1 0

о пр

лећ

лет

јес

ен

зим

ПРОДАЈА пролеће лето јесен зима

101

7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина

ни

ке

Podatke sa kojima raspolažemo najpre na neki način sredimo, a zatim, u zavisnosti od toga kakvu informaciju želimo da izvučemo, biramo pogodan način za wihovo predstavqawe. Ako želimo da predstavimo zavisnost nekih podataka od drugih podataka, služimo se tabelama (pravougaonim šemama podeqenim na pravougaona poqa).

бе

Deo dnevnika

слика 2

Geografija

Matematika

Hemija

Fizika

Srpski jezik

Fizičko

Adamović Petar

Marjanović Bogoqub

Prezime ime

Petrović Dušan

уџ

Istorija

за

пример

За во

слика 3

Data je tabela:

пример

Učenik

102

Pliva (Da, Ne)

Vozi bicikl (Da, Ne)

Vozi rolere (Da, Ne)

Adamović Petar

Marjanović Bogoqub

Petrović Dušan

Živković Milena

Uskok Dušica

Mihajlović Senka

–urović Bogdanka

Kron Diana

Ukupno

||||

Planina

|||

|||| |||| ||

|||| |

пример

Prebrojavawe

Selo Kod kuće

ни

Ona pokazuje način provoewa raspusta učenika tog odeqewa.

ке

Učenicima su podeqeni anketni listići na kojima zaokružuju gde su bili na raspustu: na moru, na planini, na selu ili kod kuće. Zatim je sastavqena tabela.

пример

уџ

слика 4

за

Na sledećem grafikonu prikazan je uspeh učenika iz matematike, fizike i istorije u prvom tromesečju.

математика

физика

историја

Sa grafikona se, na primer, lako vidi da je najviše slabih ocena bilo iz matematike (4), a najviše odličnih (7) iz fizike.

За во

пример

бе

0 слаб

добар врло добар одличан

v(km/h)

слика 5

50 40 30 20 10 1 2 3 4 5

t(min)

103

Контролна питања

Šta je tabela? Kako se pravi grafikon?

Задаци

ке

1. Pročitajte sa grafikona (sl. 1) šta se najviše prodavalo u proleće. 2. Pretvorite grafikon (sl. 1) u tabelu. 4. Pretvorite grafikon iz primera 4 u tabelu. 5. Pretvorite tabelu iz primera 3 u grafikon.

ни

3. Koliko aka ima u odeqewu prema slici 4?

бе

6. Pretvorite tabelu iz dnevnika u grafikon koji će prikazivati uspeh učenika iz istorije, geografije i matematike.

уџ

7.2. Стубични и кружни дијаграми

за

Pored tabela i grafikona postoje i drugi, često efektniji načini za prikazivawe podataka. слика 6

Tabelu iz primera 3 prethodne lekcije možemo efektnije prikazati stubičnim dijagramom sa kojeg se mnogo lakše vidi da je veÊina učenika provela deo raspusta na selu.

пример

За во

12 10

8 6 4

104

број ђ

Marko i Janko pecali su zajedno prošle nedeqe. U tabeli je prikazano koliko su riba kojeg dana upecali. Ponedeqak

Utorak

Sreda

Četvrtak

Petak

Marko

Janko

ке слика 7

ни

14 12 10

бе

пример

Isti podaci predstavqeni dvostubiËnim prikazom izgledaju ovako.

Јанко

уџ

Марко

0 понедељак

за

уторак

среда

четвртак

петак

За во

Umesto stubića, podaci se često predstavqaju kružnim dijagramom (pitom).

Predstaviti sledeće tabelarne podatke pitom: Troškovi života

пример

Iznos (e)

Stan

Hrana

Odevawe

Zabava

300

250

100

ТРОШКОВИ ЖИВОТА

слика 8

стан храна

300 360° = 156, 5° . 300 + 250 + 100 + 40

одевање забава

105

odgovarajući

centralni

Kružni dijagram može biti i u trodimenzionalnoj 3D varijanti. Na dijagramu je prikazana raspodela qudi po krvnim grupama

слика 9

уџ

O : A : B : AB = 40% : 39% : 16% : 5%.

ugao

ке

Контролна питања

за

Kako se pravi stubični dijagram? Kako se podaci predstavqaju pitom?

Задаци

За во

1. Pretvori podatke sa slike 9 u tabelu i u stubični dijagram. 2. Prokomentariši podatke sa stubiËnog dijagrama (sl. 6). 3. Prokomentariši podatke sa pite dijagrama (sl. 8). 4. Prokomentariši podatke sa pite dijagrama (sl. 9). 5. Pronai u novinama razne grafičke prikaze i protumači ih.

106

КРВНЕ ГРУПЕ

ни

hranu

бе

3 пример

4 пример

250 360° = 130, 4° , za odevawe 690 100 40 360° = 52, 2° i za zabavu ostatak 360° = 20, 9° . PomoÊu uglomera delimo krug 690 690 (pitu) i dobijamo kružni dijagram. Za

0 група A група Б група AБ група

Marko je imao tokom godine ocene 1, 4, 5, 5, 5 na testovima iz matematike. Koju ocenu bi trebalo da dobije na kraju godine?

ке

Ako saberemo sve ocene dobijamo 1+4+5+5+5=20. Kako je bilo pet testova, na kraju treba da dobije ocenu 20 : 5 = 4. Ovako izračunat broj 4 je sredwa vrednost (prosek) svih wegovih ocena.

ни

пример

7.3. Средња вредност и медијана

Uopšte,

a1 + a2 + f + an . n

бе

sredwa vrednost (prosek) brojeva a1, a2, ..., an je broj a =

Dan

4 + 10 + 12 + 6 7

За во

Rešewe:

Temperatura

за

Zabeležena temperatura po danima data je u sledeÊoj tabeli. Kolika je sredwa temperatura u toku prve nedeqe novembra?

пример

уџ

Sredwa vrednost se uvek nalazi izmeu najmaweg i najvećeg od datih brojeva (dokažite!), te predstavqa neku sredinu tih brojeva.

5 + 12

= 7 stepeni.

Dva aka imaju sledeće ocene.

пример

Predmet 1 Predmet 2 Predmet 3 Predmet 4 Predmet 5 Predmet 6 Predmet 7 Predmet 8

–ak A

–ak B

Koji od wih ima boqi uspeh? Boqi je onaj ak koji je ostvario veći prosek ocena. Prosek ocena prvog aka je 4,5 a drugog 4,25. Boqi uspeh ima prvi ak.

107

ке

sredwa vrednost cele populacije ocewuje se sredwom vrednošću uzorka.

ни

уџ

бе

Naš uzorak čini 30 slučajno izabranih aka. Dodelimo svakom aku broj 1 ako je oboleo, a 0 ako nije. U uzorku onda imamo 6 jedinica i 24 nule. Sredwa vrednost po6 smatranih vrednosti uzorka je . Sredwa vrednost broja obolelih za celu školu je 30 x , gde je x ukupan broj obolelih. Prirodno je očekivati da su obe sredwe vred500 nosti približno jednake (jer smo dali jednaku šansu svakom aku da ue u uzorak). x 6 Iz dobijamo x = 100, te procewujemo da u celoj školi ima oko 100 obole= 500 30 lih od gripa.

за

пример

Škola ima 500 aka. Ocenite koliko je aka obolelo od gripa, ako je meu slučajno izabranih 30 aka registrovano 6 obolelih aka.

Prosek nije jedina sredina koja se koristi.

пример

За во

108

слика 10

a4 a3

Potpuno ista situacija bila bi i da je broj kuća n neparan. Školu bi trebalo sazidati na mestu sredwe kuće na tom putu. U slučaju da je n parno, postoje dve sredwe kuće. Školu bi trebalo sazidati bilo gde izmeu wih, na primer na sredini.

ке

пример

ни

бе

Medijana datih brojeva je dakle broj m koji ima svojstvo da meu datim brojevima ima jednako mnogo brojeva mawih od m, kao i većih od m.

за

Odredi medijanu brojeva 2, 1, 4, 6, 4.

Poreamo date brojeve po veličini: 1, 2, 4, 4, 6. Sredwi broj je 4. Dakle, medijana je 4.

Odredi medijanu brojeva 2, 1, 4, 6, 5, 6, 7, 2.

За во

пример

уџ

Školu u primeru 5 treba, dakle, sazidati u tački čija je koordinata medijana brojeva a1, a2, ..., an.

Poreamo date brojeve po veličini: 1, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 7. 4 5 Sada postoje dva sredwa broja 4 i 5. Medijana je = 4, 5 . 2

Контролна питања

Šta je sredwa vrednost (prosek) datih brojeva? Koja svojstva ima prosek? Kako se procewuje sredwa vrednost populacije pomoću uzorka? Šta je medijana datih brojeva? Koja svojstva ima medijana?

109

Задаци 1. Odredi sredwu vrednost i medijanu brojeva: a) 1, 2, 3, 4, 5;

b) 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3;

v) ‡1, 2, ‡3, 4, ‡5.

2. Broj sunčanih dana u mesecima prikazan je tabelom. 1 2

2 4

3 5

4 7

5 12

6 15

7 20

8 21

Koliki je prosek broja sunčanih dana u toku jednog meseca?

9 18

10 13

11 5

12 10

ке

Mesec SunËanih dana

3. Dokažite da je prosek datih brojeva uvek izmeu najmaweg i najvećeg.

Nedovoqan 3 2

Dovoqan 4 2

Dobar 6 10

Vrlo dobar 3 3

бе

Razred A Razred B

ни

4. Raspodela ocena iz matematike u dva razreda data je u tabeli.

Odličan 4 3

U kojem razredu je postignut boqi uspeh iz matematike?

за

уџ

5. U razredu ima 25 devojčica. Wihova prosečna visina je 130 cm. a) Objasni kako je izračunata ova prosečna visina; b) Ako je jedna devojčica visoka 132 cm, mora li u razredu postojati devojčica visoka 128 cm? v) Mora li većina devojčica biti visoka 130 cm? g) Ako se devojčice poreaju po visini od najniže do najviše, mora li ona u sredini biti visoka 130 cm? d) Mora li polovina devojčica biti niža od 130 cm, a druga polovina viša od 130 cm?

За во

6. Od mesta A do mesta B ima 160 km koje treba preći za 2,5 sata. a) Kojom prosečnom brzinom treba voziti? b) Ako je utrošeno 1 sat za prvih 40 km puta, kojom prosečnom brzinom treba voziti ostatak puta?

7. U slučajnom uzorku od 100 lica 20 bi glasalo za lice A. Koliko glasova očekujemo da će lice A dobiti ako glasača ima 200000?

8. –ak je imao tri upisane ocene iz matematike i prosek 3,3 u prvom polugou. U drugom polugou ima dve upisane ocene i prosek 4,5. Koji prosek je ostvario na kraju godine? Koju ocenu bi trebalo da dobije na kraju godine?

110

ни

ке

уџ

бе

8.1. Појам система линеарних једначина са две непознате

за

пример

За во

пример

Pojam linearne jednaËine sa dve nepoznate upoznaÊemo kroz primere, kao πto smo upoznali i druge matematiËke pojmove.

111

Sva reπewa ove jednaËine dobijamo ako proizvoqno izaberemo x. Neka je x = t. OdgovarajuÊe y izraËunamo iz date jednakosti: y = 7 ‡ 2x = 7 ‡ 2t. Skup svih reπewa je {(t,, 7

2 )|

Ranije smo videli da u koordinatnom sistemu ovaj skup predstavqa pravu liniju Ëija je jednaËina y = 7 ‡ 2x.

ни

Na osnovu prethodnih primera, moæe se zakquËiti:

ке

пример

Jednakost 2xx + y = 7 je linearna jednaËina sa dve nepoznate x i y.

JednaËina oblika ax + by = c, gde su a, b i c dati realni brojevi, a x i y nepoznate naziva se linearna jednaËina sa dve nepoznate.

бе

Ureeni par realnih brojeva (x0, y0) je reπewe ove linearne jednaËine ako je taËna jednakost ax0 + by0 = c.

уџ

Sva reπewa jednaËine Ëine skup wenih reπewa.

за

Ako cenu sveske oznaËimo sa x, a cenu kwige sa y, istovremeno vaæe sledeÊe jednakosti: 15x + 7y = 2550 . ' y 10x Kaæemo da smo dobili sistem od dve jednaËine sa dve nepoznate. Primetimo da je ureeni par (30, 300) reπewe i jedne i druge jednaËine, tj. reπewe dobijenog sistema, jer je 15 · 30 + 7 · 300 = 2550 i 300 = 10 · 30.

За во

пример

Za 15 jednakih svezaka i 10 jednakih kwiga plaÊeno je 2550 dinara. Koliko koπta sveska, a koliko kwiga ako je kwiga 10 puta skupqa od sveske?

Kako smo dobili ovo reπewe? Da li je to i jedino reπewe sistema?

пример

112

m + n = 127 . m n = 35

Dobijene jednaËine Ëine sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate.

Dve jednaËine )

ке

Iz prve jednaËine je m = 127 ‡ n, pa se zamenom u drugu jednaËinu dobija 127 ‡ n ‡ n= 35. Reπavawem ove jednaËine dobija se 92 = 2n, tj. n = 46. Sada je m = 127 ‡ n = 127 ‡ 46 = 81. Dakle, Neπa je imao 46, a Miπa 81 DVD-a.

a1 x + b1 y = c1 Ëine sistem od dve linearne jednaËine sa dve a2 x + b2 y = c2

ни

пример

бе

nepoznate x i y (gde su a1, b1, c1, a2, b2, c2 dati realni brojevi). a1 x0 + b1 y0 = c1 Ako su obe jednakosti ) taËne, onda je ureeni par (x0, y0) jedno a2 x0 + b2 y0 = c2 reπewe sistema.

Ureeni par (7, ‡1) je reπewe datog sistema jednaËina jer brojevi 7 i ‡1 zadovoqavaju i prvu i drugu jednaËinu: 7 + 2 · (‡1) = 5 i 2 · 7 + 3(‡1) = 11. Ureeni par (5, 0) nije reπewe datog sistema jednaËina, jer brojevi 5 i 0 zadovoqavaju prvu jednaËinu i ne zadovoqavaju drugu jednaËinu: 5 + 2 · 0 = 5 i 2 · 5 + 3 · 0 = 10 ! 11.

за

x + 2y 2y 5 . 2x 3y = 11

пример

Dat je sistem jednaËina '

уџ

Skup svih ovakvih ureenih parova je skup svih reπewa ovog sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate.

пример

За во

Ureeni par (‡2, 5) nije reπewe datog sistema jednaËina, jer brojevi ‡2 i 5 zadovoqavaju drugu jednaËinu i ne zadovoqavaju prvu jednaËinu: ‡ 1 + 2 · 5 = 9 ! 5 i 2 · (‡2) + 3 · 5 = 11.

Dat je sistem jednaËina '

x + 2y 2y x + 2y 2y

3 . 5

Kako je nemoguÊe da vrednost izraza x + 2 y istovremeno bude i 3 i 5, dati sistem nema nijedno reπewe.

Sistem koji nema nijedno reπewe naziva se protivureËni ili nemoguÊ. x = x1 nazivamo sistem jednaËina u reπenom Sistem jednaËina oblika ' y = y1 obliku.

113

8 пример

Sistem jednaËina '

x=5 predstavqa sistem jednaËina u reπenom obliku. Wegovo y=8 jedino reπewe je ureeni par (5, 8).

Контролна питања

бе

ни

ке

Reπiti sistem dve jednaËine sa dve nepoznate znaËi odrediti skup reπewa.

уџ

Задаци

за

1. Date su jednaËine: a) x + y = 5, b) a3 = a + 6, v) m + 7 = n ‡ 10, g) y2 + z2 = 1. Koje od wih su jednaËine sa dve nepoznate? Koje od datih jednaËina su linearne?

2. Napiπi linearne jednaËine koje prevode sledeÊe reËenice na matematiËki jezik: a) Zbir dva broja je 57, b) Razlika dvostrukog broja x i trostrukog broja y je 2010, v) KoliËnik dva broja je 9.

За во

3. Dokaæi da su ureeni parovi (a, b) = (3, 4) i (a, b) = (‡1, 7) reπewa jednaËine 3a + 4b = 25. 4. Dokaæi da ureeni parovi (m, n) = (1, 4) i (m, n) = (5, ‡2) nisu reπewa jednaËine 8m + 3n = 7. 5. Data je linearna jednaËina 3x ‡ 2y = 7. Odredi brojeve p i q tako da ureeni parovi (p, 4) i (1, q) budu reπewa date jednaËine.

6. Napiπi linearnu jednaËinu sa dve nepoznate Ëije je jedno reπewe (x, y) = (7, ‡ 4 ).

7. Da li jednaËine x + y = 2010 i x = 123 Ëine sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate? 2a + 5b = 14 . Koji od ureenih parova (a, b) su 8. Dat je sistem linearnih jednaËina J : ' 7a - b = 12 reπewa datog sistema jednaËina: a) (7, 0), b) (2, 2), v) (‡2, 5)? 9. Napiπi bar jedan sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate Ëije reπewe je (x, y) = (3, 0).

114

ни

ке

8.2. Еквивалентност система линеарних једначина са две непознате

x=5 y =- 3

J2 : '

2x = 10 3y =- 9

J3 : '

2y =- 6 x 15

за

su ekvivalentni.

J1 : '

Ureeni par (5, ‡3) je jedino reπewe i prvog i drugog i treÊeg sistema jednaËina, poπto se deqewem jednaËina sa 2 i 3 i zamenom wihovog redosleda J2 i J3 svode na sistem jednaËina J1, koji je u reπenom obliku.

пример

Sistemi jednaËina

уџ

бе

U poglavqu o jednaËinama govorili smo o ekvivalentnim jednaËinama i upoznali nekoliko transformacija koje jednaËine (ne mewajuÊi wihov skup reπewa) prevode u jednaËine u reπenom obliku. Ciq ove nastavne jedinice je da se upoznamo sa transformacijama koje dati sistem jednaËina prevode u sistem jednaËina u reπenom obliku, ne mewajuÊi pri tom wegov skup reπewa. Takve transformacije nazivamo ekvivalentne transformacije sistema.

За во

Sisteme koji imaju isti skup reπewa nazivamo ekvivalentnim sistemima. Transformacije koje ne mewaju skup reπewa sistema nazivamo ekvivalentne transformacije.

Ekvivalentne transformacije sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate zasnivaju se na poznatim Ëiwenicama i veÊ ranije upoznatim osobinama realnih brojeva: ako je a = b i b = c, onda je a = c; ako je a = b, onda je a + c = b + c i obrnuto; ako je c ! 0, onda iz a = b sledi ac = bc i obrnuto. Na osnovu wih, zakquËujemo da sledeÊe transformacije ne mewaju skup reπewa sistema (sa L i D smo oznaËili levu, odnosno desnu stranu jednaËina):

Transformacija 1. Zamena redosleda jednaËina: L 2 = D2 L 1 = D1 ekvivalentno sa ' . ' L 1 = D1 L 2 = D2

115

Transformacija 2. Promena jedne jednaËine mnoæewem wenih strana sa brojem razliËitim od nule: L 1 = D1 L 1 = D1 ekvivalentno sa ' . ' tL 2 = tD2, t ! 0 L 2 = D2

ке

Transformacija 3. Promena jedne jednaËine dobijena dodajuÊi wenim stranama proizvoqni umnoæak strana druge jednaËine: L 1 = D1 L 1 = D1 ekvivalentno sa ' . ' L 2 = D2 L 2 + t $ L 1 = D2 + t $ D1

22xx 3y = 8 y x+1

J2 : '

x=1 y=2

бе

su ekvivalentni.

J1 : '

уџ

пример

Sistemi jednaËina

ни

Transformacija 4. Nepoznatu iz jedne jednaËine sistema izraziti kao funkciju druge nepoznate, pa je u drugoj jednaËini zameniti dobijenim izrazom.

за

Контролна питања

Kada su dva sistema jednaËina ekvivalentni? Navedi ekvivalentne transformacije sistema jednaËina.

За во

Задаци

1. Da li su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : '

x=0 2x + 3y = 15 i J2 : ' ? y=5 4y - 5x = 20

2. Dokaæi da su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : '

116

x=9 . 3x 2y = 31

ни

Reπi sistem linearnih jednaËina: '

бе

уџ

пример

ке

Nepoznatu iz jedne jednaËine sistema izraziti kao funkciju druge nepoznate, pa je u drugoj jednaËini zameniti dobijenim izrazom.

Postupak reπavawa je jednostavan.

за

Korak 1: Iz jedne jednaËine izraËunaj jednu nepoznatu (nazovimo je prva) kao (linearnu) funkciju od druge nepoznate. Korak 2: Zameni prvu nepoznatu u drugoj jednaËini dobijenim izrazom.

Korak 3: Reπi dobijenu (linearnu) jednaËinu po drugoj nepoznatoj.

За во

Korak 4: Zameni dobijenu vrednost za drugu nepoznatu u izraz za prvu nepoznatu i izraËunaj je.

пример

Odredi reπewe sistema linearnih jednaËina: '

x=y+2 . 2x 5y = 11

x=y+2 7y 11 11 4

, '

x=y+2 x=1 , ' y = 7: 7 = 1 y=1

117

3a 2a

2b 15 . b 17

3344

15 7a , ' a b

15 15

34 a

, '

a b

49: 7

7 a=7 , ' a b = 17 - 2 $ 7

ни

ке

пример

Reπi sistem linearnih jednaËina: '

бе

уџ

Ako novac koji treba da dobije Cana obeleæimo sa c, a novac koji treba da dobije Dana sa d, dobijamo sistem jednaËina: c + d = 2345 i c ‡ d = 789. Reπavawem sistema jednaËina dobija se: c d = 2345 c d = 2345 d 9 d = 2345 2d + 789 = 2345 , ' , ' , ' , ' c d = 789 c d + 789 c d + 789 c d + 789 d = 1556: 2 = 778 d = 778 , ' . c d + 789 c = 778 + 789 = 1567

за

пример

Cana i Dana treba da podele 2345 dinara, tako da Cana dobije 789 dinara viπe od Dane. Koliko novca Êe dobiti Cana, a koliko Dana?

Dakle, Cana Êe dobiti 1567, a Dana 778 dinara.

За во

Задаци

1. Metodom smene reπi sledeÊe sisteme linearnih jednaËina: 2x + 3y = 15 a =- 2 , b) ' . a) ' x=3 4b - 5a = 18 2. Odredi reπewa sistema jednaËina: 3x + 4y = 24 7a + 3b = 34 6m + 7n =- 1 , b) ' , v) ' . a) ' x-y=3 a = 2b m+n=0 3. Reπi sisteme jednaËina: 8x - 3y = 5 2p + 5q = 20 0, 2a + 0, 3b = 1, 2 , b) ' , v) ' . a) ' x + 3y = 4 3p - q = 13 0, 4a - 0, 1b = 1

1 2 2 1 x+ y=3 x- y=5 , b) * 5 . 4. Odredi reπewa sistema jednaËina: a) * 2 3 4 x-y=1 4x = 15y 5. Zbir dva broja je 2010, a wihova razlika 666. O kojim brojevima je reË?

118

ни

ке

8.4. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената

уџ

бе

Reπavawe sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate metodom suprotnih koeficijenata zasniva se na ekvivalentnim transformacijama a posebno na transformaciji 3. U sluËaju da su koeficijenti uz neku nepoznatu suprotni, sabirawem jednaËina po stranama dobija se jednaËina u kojoj se ta nepoznata ne pojavquje (jer je koefijent uz wu jednak nuli), a koja moæe da zameni jednu jednaËinu sistema.

за

5y = 7 . 5y = 13

д '

пример

3x 2x

За во

пример

Reπi sistem linearnih jednaËina: '

12 - 5y 5y x=4

, '

-5y 5y 7 - 12 = - 5 y= ( , ' x=4 x=4

Odredi reπewe sistema linearnih jednaËina: '

3a 2a

): ( 5) = 1

2b 6 . 3b = - 9

119

3a 2a

2b 6 9a , ' 3b = - 9 4a '

6b = 18 9a 6b , ' 6b = - 18 13a = 0

, '

9a 6b 18 , a = 0: 13 0

0 6b = 18 b = 18: (- 6) b =- 3 , ' , ' . a=0 a 0 a 0

ке

пример

ни

бе

Ako cenu braπna oznaËimo sa b, a cenu πeÊera sa s, onda je na osnovu uslova zadatka 3b + 5s = 424 i 5b + 8s = 686. Dakle, dobili smo sistem od dve linearne jednaËine sa dve nepoznate. Sistem reπavamo metodom suprotnih koeficijenata, tako πto prvu jednaËinu mnoæimo sa 5, a drugu sa ‡ 3: 3b 5s = 424 | $ 5 15b s = 2120 , ' . ) 5b 8s = 686 | (- 3) -15 15b s =- 2058 U narednom koraku umesto druge jednaËine koristimo zbir prve i druge jednaËine: 15b s = 2120 15b + 25 $ 62 = 2120 , ' , ' 25s 24s = s 2120 2058 62 s = 62 15b s 62

за

уџ

пример

, '

b = 570: 15 = 38 s = 62

Prema tome, 1 kg braπna koπta 38 dinara, a 1 kg πeÊera 62 dinara.

За во

Korak 4. Reπi drugu jednaËinu i idi na korak 5. Korak 5. Iz prve jednaËine izraËunaj preostalu nepoznatu.

120

Задаци 1. Odredi reπewa sistema jednaËina: 2x + 3y = 15 6a + 5b = 22 , b) ' , a) ' 5x - 3y = 6 7b - 6a = 2

v) '

4m + 9n = 13 . 5n - 2m = 3

бе

ни

ке

2. Reπi sisteme jednaËina: a) '

6. Dva broja Ëija je aritmetiËka sredina 37, razlikuju se za 8. O kojim brojevima je reË?

3x + 8y = 34 4x - 7y = 15 , b) ' . 12x + 32y = 96 8x - 14y = 30

за

8. Reπi sistem jednaËina: a) '

уџ

7. Dvocifreni broj je 4 (Ëetiri) puta veÊi od zbira svojih cifara, a 12 (dvanaest) puta veÊi od wihove razlike. Odredi taj dvocifreni broj.

За во

8.5. Графички приказ решења система линеарних једначина са две непознате

пример

GrafiËkom metodom odredi reπewa sistema linearnih jednaËina: '

y 2x y=5

JednaËina y ‡ 2x = 3, tj. jednaËina y = 2x + 3, u Dekartovom koordinatnom xOy Oy sistemu predstavqa pravu a Ëija je jednaËina y = 2x + 3.

121

y 6

y=5 =

5 SS(1,5) (1,5) 4 3 B(0,3) 0 2 1

слика 1

‡2

‡1

--5 -4 - -3 - -2 - -1 0 1 2 -11 C(-2,-1) ( -22 -33 -44

ке

Tačka

пример

Prava a: y ‡ 2xx = 3

y=2 x+3

UoËimo i pravu b Ëija je jednaËina y = 5. Prava a je definisana taËkama B i C (vidi tablicu), a prava b: y = 5 je paralelna sa x-osom iznad we na rastojawu 5.

уџ

бе

ни

3 пример

122

2x 3y = 5 . x =- 2

За во

пример

за

GrafiËkom metodom reπi sistem linearnih jednaËina: '

‡5

x=-2

N(-5,5)

Prava c: 2xx +3y = 5

Tačka

2x +3 y=

S(-2,3)

5 4 3 2 1

M(1,1)

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2

GrafiËkom metodom odredi reπewa sistema jednaËina '

3 4 5x

3x 2y = 1 . x + 4y 4y 5

Jednakosti 3xx ‡ 2y = 1 i x + 4y = 5 su jednaËine pravih koje su u xOy O ravni predstavqene pravom p (zadata taËkama A i B), odnosno pravom q (zadata taËkama C i D).

Prave p i q seku se u taËki S(1, 1). Proverom se utvruje da je x = 1 i y = 1 zaista reπewe datog sistema jednaËina, jer je 3 · 1 ‡ 2 · 1 = 1 i 1 + 4 · 1 = 5. слика 3

‡2

‡1

y 6

x+4y= 5

D(-3,2) -3,2)

Prava q: x + 4y = 5 x

‡3

A(3,4) A(3,4)

S(1,1) (1,1)

C(5,0) 5,0) 3 4 5 6 7x

- -4 - -3 - -2 - -1 0 1 2 -5 -11 B(-1,-2)) -22 B(-1,-2) -33

ни

Tačka

5 4 3 2 1

ке

3x -2y =1

Tačka

-44

уџ

бе

пример

Prava p: 3xx ‡ 2y = 1

GrafiËkom metodom reπi sistem jednaËina '

2x 4x

y 3 . 2y = 6

‡3

Tačka

пример

За во

Prava m: 2x ‡ y = 3

Prava n: 4x ‡ 2y 2y = 6

Tačka

‡1

слика 4

y 6 5 4 3 2 1

y=2 -2x x-3 +y= -3

за

Ako date jednaËine predstavimo pravama m i n u Dekartovoj koordinatnoj xOy Oy ravni, onda se dobija:

D(3,3) B(2,1)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x C(1,-1) -1 -2 -3 A(0,-3) -4

123

GrafiËkom metodom odredi reπewa sistema linearnih jednaËina ' Prava a: 2x + y = 3

слика 5

‡1

ке

‡2

ни

‡2

x y=2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x N(2,-1) -1 Q(0,-2) -2 -3 -4 =-2

y 6

y 2x+

пример

Prava n: 4xx + 2y = ‡2 Tačka

y 3 . 2y = - 4

M(-1,5) 5 4 3 P(-2,2) 2 1

Tačka

2x 4x

уџ

бе

за

Iz prethodnih primera moæemo izvesti sledeÊe zakquËke. Neka sistemu jednaËina )

a1 x + b1 y = c1 u Dekartovoj koordinatnoj xOy a2 x + b2 y = c2 ravni odgovaraju dve prave Ëije su jednaËine: a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2.

Ako se prave a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2 seku u taËki S(xo, yo), sistem ima jedinstveno reπewe x = xo i y = yo.

За во

Ako se prave a1x + b1y = c1 i a x + b2y = c2 poklapaju, sistem ima beskonaËno mnogo reπewa. Ako su prave a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2 paralelne, sistem nema reπewa.

Задаци

1. GrafiËkim metodom reπi sistem jednaËina: a) '

124

8.6. Примена система линеарних једначина са две непознате

ке

Sistemi linearnih jednaËina sa dve nepoznate imaju znaËajne primene kako u matematici, tako i u drugim naukama, ali i u mnogobrojnim problemima iz svakodnevnog æivota. NajznaËajnije primene sistema linearnih jednaËina ilustrujemo sledeÊim primerima.

бе

Neka je veÊi od traæenih brojeva x, a mawi y. Tada je x + y = 52 i tada je x = 9y + 2, pa dobijamo sistem jednaËina: x + y = 52 . ' x 9y 9y 2

уџ

Transformacijom dobijenog sistema u niz ekvivalentnih sistema i primenom metode smene (jer je nepoznata x u drugoj jednaËini sistema veÊ izraËunata) nalazimo: x + y = 52 9y 2 + y = 52 10y = 52 - 2 10y = 50 , ' , ' , ' , x 9y 9y 2 x 9yy 2 x 9y 9y 2 x 9yy 2 y = 50: 10 = 5 y=5 , ' . ' x 9y 9y 2 x = 9 $ 5 2 47

за

пример

ни

Zbir dva broja je 52. Ako se veÊi od wih podeli mawim, dobija se koliËnik 9 i ostatak 2. O kojim brojevima je reË?

За во

Traæeni brojevi su 47 i 5. Wihov zbir je 52, a pri deqewu 47 sa 5 dobija se koliËnik 9 i ostatak 2.

пример

125

m 4 m+4

4( 3(

) m 4 , ' ) m+4

4n - 16 m , ' 3n + 12 m

44n n 3n

4 - 16 m , ' 4 + 12 m

4n 3n 3n

12 . 8

Ako vrednost nepoznate m iz prve jednaËine zamenimo u drugoj jednaËini, dobija se: '

m 4n 12 12 m 4n 12 m 4n , ' , ' 4n 12 3n + 8 4n 3n = 12 + 8 n = 20

1122

, '

m = 4 20 n = 20

ни

ке

пример

бе

Neka je jednaËina traæene prave y = kxx + n. Kako taËke A i B pripadaju traæenoj pravoj, to koordinate taËaka zadovoqavaju jednaËinu prave, πto znaËi da je: 3 = k · 1 + n i 6 = k · 4 + n. k n=3 Iz uslova zadatka dobijamo sistem jednaËina: ' koji reπavamo metodom 4k n 6 smene. Dakle, k n=3 n k n k n k , ' , ' , ' , ' 4k n 6 4k n 6 4k 3 k 6 3k 3 = 6

уџ

пример

Odredi jednaËinu prave p, koja sadræi taËke: A(1, 3) i B(4, 6).

n 3k

, '

n k=1

за

, '

n=3-1 k=1

пример

За во

Traæena jednaËina je y = kxx + n, tj. y = x + 2.

)

126

3 ( 5$ (

1 1

75 v1 + v2 = 25 ili ' . v1 v2 = 15 2) = 75 2)

s 75 = = 15 sati. v2 5

ке

Vreme za koje Êe boca preÊi put od Novog Sada do Beograda je t =

Задаци

ни

4 пример

3 . O kojim brojevima je reË? 7 2. Dva broja se razlikuju za 19, a zbir wihovih treÊina je 27. Koji su to brojevi?

бе

1. Zbir dva broja je 2010, a wihov koliËnik je

уџ

за

5. ©kola je nabavila 120 uxbenika i 80 zbirki zadataka i platila ukupno 72000 dinara. Za tri uxbenika plati se kao za Ëetiri zbirke. Kolika je cena uxbenika, a kolika zbirke?

6. Mira i Vesna imaju jednake sume novca. Mira potroπi 42 dinara, a Vesna 214 dinara. Koliko su novca imale ako sada Mira ima tri puta viπe novca nego Vesna?

За во

7. Pas je ugledao zeca na razdaqini od 240 m ispred sebe. Zec pretrËi 500 m za 2 minuta, a pas pretrËi 1325 m za 5 minuta. Za koje vreme Êe pas stiÊi zeca? 8. Sada sin ima 9 godina, a wegov otac 35. Za koliko godina Êe otac biti 3 puta stariji od sina? 9. U jednom magacinu bilo je 4 puta viπe jabuka nego u drugom. Kada je iz veÊeg magacina izdato 950 kg, a iz maweg 50 kg jabuka, na oba mesta je ostala ista koliËina jabuka. Koliko jabuka je bilo u svakom magacinu?

127

слика 1

бе

Navedi joπ neke objekte koji imaju oblik vaqka.

За во

слика 2

уџ

Silosi za æitarice i druge poqoprivredne proizvode, konzerve, oklagija...

за

пример

ни

ке

2.1. Ваљак 9.1. Питагорина и његови теорема елементи

слика 3

128

Izvodnice i omotaË vaqka. Prilikom opisanog obrtawa pravougaonika SAA1S1 oko ose o(S, S1) stranica AA1 Êe opisati povrπ koja se sastoji od svih duæi TT1, koje su paralelne i podudarne sa duæi S1 A1 AA1, pri Ëemu taËka T prolazi svim taËkama kruæne linije k(S, T1 SA). Ta povrπ omotava vaqak i naziva se omotaË vaqka. To je povrπ koju nazivamo cilindar. Duæi TT1 su izvodnice vaqka; wihova duæina jednaka je visini vaqka i oznaËavamo je sa s. Dakle, cilindar koji je omotaË vaqka formiran je od izvodnica A S TT1 vaqka, pri Ëemu je T bilo koja taËka kruæne linije k(S, SA). T

Cilindar nas podseÊa na sulundar peÊi. Turska reË sulundar potiËe od latinske reËi cylindrus.

a) polupeËnik vaqka; b) visinu vaqka; v) duæinu izvodnice vaqka.

a = 3 cm ; b) H = a = 6 cm; v) s = H = 6 cm. 2

За во

за

b) H = a = 6 cm; v) s = h = 6 cm. 2) a) r =

пример

бе

Reπewe. 1) a) r = a = 6 cm;

ке слика 4

2°

1°

ни

Vaqak nastaje obrtawem kvadrata stranice a = 6 cm oko: 1) jedne od wegovih stranica; 2) jedne od wegovih osa simetrije koja ne sadræi nijedno wegovo teme. IzraËunaj:

уџ

пример

Reπewe. Pri tom obrtawu formira s telo oblika cevi duæine 14 cm, Ëiji je „spoqaπwi“ polupreËnik 5 cm, „unutraπwi“ polupreËnik 3 cm, a debqina „zidova“ je 2 cm. U stvari, ako je zadati pravougaonik ABCD, pri Ëemu je AB = 2 cm, AD = 14 cm i stranica BC C bliæa pravoj p od stranice AD, to telo se dobija ako se iz vaqka Ëija je osa p, polupreËnik 5 cm i jedna izvodnica AD iseËe (odstrani) vaqak Ëija je osa p, polupreËnik 3 cm i jedna izvodnica BC.

Контролна питања

p D

слика 5

14 cm

3 cm B1

2 cm

©ta je vaqak? ©ta je osa a πta visina vaqka? ©ta su osnove a πta polupreËnik vaqka? ©ta je omotaË vaqka a πta su wegove izvodnice?

129

ни

ке

2. Osnove vaqka su krugovi polupreËnika 12 cm a duæina wegovih izvodnica je 20 cm. Takav se vaqak moæe dobiti obrtawem: a) pravougaonika stranica 6 cm i 10 cm oko jedne od wegovih stranica; b) kvadrata stranice 20 cm oko prave paralelne dvema wegovim stranicama i bliæe za 4 cm jednoj od wih; v) pravougaonika stranica 24 cm i 20 cm oko jedne od wegovih osa simetrije; g) kvadrata stranice 24 cm oko jedne od wegovih osa simetrije. Zaokruæi slovo ispred taËnog (taËnih) odgovora.

бе

3. Odredi duæine stranica pravougaonika i poloæaj prave p u odnosu na wega ako je wegovim obrtawem oko p nastalo telo oblika cevi Ëija je duæina 50 cm, debqina „zidova“ 3 cm a „spoqaπwi“ preËnik jednak 14 cm.

уџ

4. Opiπi vaqak i povrπ koja ga ograniËava a da pri tom ne koristiπ pojam obrtawa geometrijske figure oko ose.

за

9.2. Равни пресеци ваљка слика 6

За во

130

слика 7

N1 S1

K M1

N S

ни

ке

слика 10

N1 M1

слика 9

уџ

слика 8

бе

N M

пример

4 cm

Reπewe. Osni presek tog vaqka je pravougaonik sa stranicama od 8 cm (= 2 · 4 cm) i 6 cm. Duæina wegove dijagonale je d=

6 2 cm = 10 cm .

4 cm

6 cm

пример

слика 11

Dat je vaqak polupreËnika 4 cm i visine 6 cm. IzraËunaj duæinu dijagonale wegovog osnog preseka.

За во

за

131

слика 12

ке

пример

ни

Контролна питања

Задаци

за

уџ

бе

1. Osni presek vaqka je kvadrat stranice 10 cm. Odredi polupreËnik, visinu i duæinu izvodnica tog vaqka. IzraËunaj povrπinu preseka tog vaqka simetralnom ravni (vidi odeqak 2.3, zadatak 10) jedne od wegovih izvodnica.

За во

2. Vaqak polupreËnika 15 cm i visine 20 cm preseËen je sa ravni koja je paralelna osi vaqka i na rastojawu je 8 cm od ose. IzraËunaj povrπinu takvog preseka. 3. Povrπina preseka vaqka sa ravni normalnom na wegove izvodnice je 196r cm2, a duæina dijagonale osnog preseka tog vaqka je 53 cm. IzraËunaj povrπinu osnog preseka vaqka.

9.3. Мрежа ваљка; површина ваљка

132

T1'

ке

бе

ни

слика 14

уџ

T1'

за

Ako oznaËimo sa B povrπinu jedne od osnova i sa M povrπinu omotaËa vaqka, onda je povrπina P vaqka T'

P = 2B + M.

За во

пример

Povrπina P vaqka polupreËnika r i visine H je P = 2rr (r + H).

IzraËunaj povrπinu vaqka koji nastaI je obrtawem pravougaonika sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm oko:

4 cm 6 cm 4 cm

6 cm

a) kraÊe stranice; b) duæe stranice. Reπewe. a) r = 6 cm, H = 4 cm; P = 2 · 6 · r(6 + 4) cm2, P = 120r cm2. b) r = 4 cm, H = 6 cm; P = 2 · 4 · r(4 + 6) cm2, P = 80r cm2.

слика 15

133

C 2 cm

3 cm

14 cm

уџ

Контролна питања

слика 16

бе

P = 2r1r · H + 2r2r · H + 2 (r12r ‡ r22r) = = (140r + 84r + 32r) cm2 = 256r cm2.

ке

Reπewe. Videli smo (vidi 9.1, primer 3) da pri ovakvom obrtawu nastaje telo koje ima oblik cevi. Ono je ograniËeno sa dva cilindara i dva kruæna prstena. Pri tome je spoqaπwi, veÊi cilindar polupreËnika 5 cm a visine 14 cm a unutraπwi, mawi cilindar ima polupreËnik od 3 cm i visinu od 14 cm, dok su kruæni prstenovi ograniËeni kruænicama polupreËnika 5 cm i 3 cm. Zbog toga je povrπina tela jednaka (r1 = 5 cm, r2 = 3 cm, H = 14 cm)

ни

пример

Задаци

за

За во

1. Nacrtaj na kartonu mreæu vaqka polupreËnika 5 cm i visine 16 cm. Iseci je i, koristeÊi samolepqivu traku, napravi model takvog vaqka. 2. IzraËunaj povrπinu vaqka koji nastaje obrtawem pravougaonika stranica a = 24 cm, b = 14 cm oko: a) jedne od wegovih duæih stranica; v) simetrale wegovih duæih stranica;

b) jedne od wegovih kraÊih stranica; g) simetrale wegovih kraÊih stranica.

134

ни

ке

8. IzraËunaj povrπinu vaqka ako je obim wegovog osnog preseka 30 cm i povrπina jedne wegove osnove jednaka je povrπini wegovog omotaËa.

бе

9.4. Запремина ваљка

уџ

Znamo da je zapremina prave (uspravne) prizme jednaka proizvodu povrπine osnove i visine te prizme, V = B · H. U to smo se uverili koristeÊi Kavalijerijev princip, prema kojem vaæi: ako dva tela preseËemo paralelnim ravnima i ako, pri tome, preseci ta dva tela bilo kojom od tih ravni imaju jednake povrπine, onda ta dva tela imaju jednake zapremine. слика 17

ω1

За во

за

Posmatrajmo pravu prizmu i vaqak jednakih povrπina osnova i jednakih visina. Moæemo ih smestiti tako da im po jedna osnova pripada dvema paralelnim ravnima, koje se nalaze na rastojawu jednakom visini ta dva tela (sl. 17). Pretpostavimo da su paralelne ravni ~ i ~1 ravni osnova prizme i vaqka, rastojawe izmeu wih je H i neka su povrπina osnove prizme i povrπina osnove vaqka jednake B. Neka je a bilo koja ravan paralelna ravnima ~ i ~1 koja seËe prizmu i vaqak. Ona seËe prizmu po mnogouglu koji je podudaran s wenim osnovama, dakle po mnogouglu povrπine B. Ravan a seËe vaqak po krugu koji je podudaran osnovama vaqka, dakle po krugu povrπine B. Na taj naËin zakquËujemo (na osnovu pomenutog principa) da su zapremine ta dva tela, prizme i vaqka, jednake. Zapremina prizme jednaka je B · H, pa je i zapremina vaqka jednaka B · H. Ako oznaËimo sa B povrπinu jedne od osnova vaqka i ako je H wegova visina, onda je zapremina V vaqka V = B · H.

Za vaqak polupreËnika r, dakle polupreËnika osnove r, povrπina B osnove jednaka je B = r2r. Zbog toga je zapremina V takvog vaqka jednaka V = r2 r · H. Zapremina V vaqka polupreËnika r i visine H je: V = r2r · H.

135

ке

Reπewe. U prethodnoj lekciji raËunali smo povrπine ovakva dva vaqka. a) r = 6 cm, H = 4 cm; V = r2r · H = 36r · 4 cm3 = 144r cm3. b) r = 4 cm, H = 6 cm; V = r2r · H = 16r · 6 cm3 = 96r cm3.

ни

U konzervu vaqkastog oblika treba da stane 16r l uqa, pri Ëemu osni presek tog vaqka treba da bude kvadrat. IzraËunaj polupreËnik i visinu takve konzerve.

слика 18

Reπewe. Znamo da litar uqa ima zapreminu od 1 dm3. Dakle,

H = 2r, V = 16r dm3; V = r2r · 2rr = 2r3r, 16r dm3 = 2r3r,

бе

1 пример

H r

8 dm3 = r3; r = 2 dm, H = 4 dm.

уџ

пример

IzraËunaj zapreminu vaqka koji nastaje obrtawem pravougaonika sa stranicama a = 4 cm, b = 6 cm oko: a) kraÊe stranice; b) duæe stranice.

Контролна питања

Задаци

за

За во

1. Povrπina vaqka jednaka je 48r cm2 a povrπina wegovog omotaËa 30r cm2. IzraËunaj zapreminu tog vaqka. 2. Odredi, pribliæno, visinu vaqkaste posude preËnika 14 cm ako u wega stane 4 l vode c r . 22 m . 7 3. IzraËunaj povrπinu vaqka ako mu je zapremina 100r cm3 a preËnik osnove je 10 cm. 4. IzraËunaj masu gvozdene cevi duæine 2 m ako joj je unutraπwi preËnik 18 mm a spoqaπwi 26 mm i znaπ da je gustina gvoæa 7,87 g/cm3.

5. Koliko litara vode treba potroπiti da bi se napunilo 80% bazena vaqkastog oblika preËnika 3 m i visine 1,20 m? 6. Iz lonca unutraπweg preËnika 24 cm i visine 30 cm voda se presipa u lonËiÊe unutraπweg preËnika 12 cm i visine 10 cm. Koliko Êe se takvih lonËiÊa napuniti? Koliko je vode preteklo?

136

7. Metalni vaqak zapremine 800r cm3 i polupreËnika osnove 10 cm pretopqen je u vaqak dva puta veÊe visine. IzraËunaj polupreËnik dobijenog vaqka.

2.1. Питагорина 10.1. Купа и њени теорема елементи

слика 1

ке

Na slici je rasprπivaË za rastresit materijal. Takav alat koristi se u poqoprivredi, graevinarstvu... On ima oblik kupe. Navedi joπ neke objekte koji imaju oblik kupe.

слика

за

уџ

бе

ни

За во

слика 3

137

Zadate su katete pravouglog trougla a = 7 cm, b = 24 cm.

слика 4

1) IzraËunaj polupreËnik osnove, visinu i duæinu izvodnice kupe koja nastaje obrtawem tog trougla oko: a) kraÊee katete; b) duæe katete.

C слика 5

A слика 6 B

2) Kakvo se telo dobija obrtawem tog trougla oko wegove hipotenuze?

24 + 7 cm

24 cm 25 cm .

25 cm.

s1 C

ни

бе

Iako to formulacijom zadatka nije traæeno, nije teπko izraËunati karakteristiËne elemente dveju kupa, koje su se pojavile u sluËaju 2). PolupreËnik osnova tih kupa jednak je hipotenuzinoj visini pravouglog trougla ABC. IzraæavajuÊi a povrπinu 1 1 tog trougla na dva naËina, nalazimo da je P a$b c $ hc , odakle dobijamo 2 2

уџ

пример

b) r = a = 7 cm, H = b = 24 cm, s =

ке

Reπewe. 1) a) r = b = 24 cm, H = a = 7 cm, s =

s1 H1

hc =

a b 7 24 = cm = 6, 72 cm . 2 25 24 2 - 6, 72 72 2 cm =

за

Zbog toga za veÊu kupu vaæi: r1 = 6,72 cm, s1 = 24 cm, H1 = = 576 - 45, 1584 cm = 23, 04 cm .

Za mawu kupu je r2 = r1 = 6,72 cm, s2 = 7 cm, H2 = AB ‡ H1 = (25 ‡ 23,04) cm = 1,96 cm.

За во

Контролна питања

Задаци 1. Jednakokraki pravougli trougao Ëija je duæina hipotenuze 20 cm obrÊe se oko svoje ose simetrije. IzraËunaj polupreËnik osnove, visinu i duæinu izvodnica dobijene kupe.

138

2. Kvadrat stranice a = 12 cm, obrÊe se oko jedne od svojih dijagonala. Kakvo telo pri tom nastaje? IzraËunaj karakteristiËne elemente tela iz kojih se ono sastoji.

3. Duæina izvodnica kupe je 16 3 cm . One zaklapaju ugao od 30° sa ravni osnove. IzraËunaj polupreËnik osnove i visinu kupe.

ке

4. Kakvo se telo dobija ako se pravougli trapez obrÊe oko svoje: a) kraÊe osnovice; b) duæe osnovice; v) kraÊeg kraka?

ни

10.2. Равни пресеци купе

бе

Preseci kupe ravnima mogu biti razliËite geometrijske figure. Mi Êemo razmatrati samo dve vrste takvih preseka: 1) preseci ravnima normalnim na osu kupe; 2) preseci ravnima koje sadræe osu kupe.

уџ

Да ли знате?

за

Apolonije iz Parge (oko 260‡190. godine pre nove ere), poznati starogrËki matematiËar, napisao je viπetomno delo Konusni preseci, koje je znaËajno doprinelo razvoju matematike, astronomije, optike, ...

σслика 7

За во

слика 8

III

III r S I

139

слика 9

Reπewe. Taj osni presek kupe je jednakokraki trougao visine 12 cm i povrπine 60 cm2. Dakle,

1 2 a $ 12 cm = 60 cm . 2 Odatle nalazimo da je a = 2rr = 10 cm, pa je r = 5 cm. Trougao SPV je pravougli s pravim uglom u temenu S. Stoga je PV

SSP 2

SV SV 2 =

12 2 + 5 2 cm = 13 cm .

бе

ни

ке

пример

Osni presek kupe visine H = 12 cm ima povrπinu 60 cm2. IzraËunaj polupreËnik osnove i duæinu izvodnica te kupe.

уџ

за

Reπewe. Ako je osni presek kupe jednakostraniËni trougao, stranice tog trougla jednake su 2rr (=s). Stoga je r = 12 cm. Uz oznake sa slike 10 uoËavamo da je, zbog sliËnosti trouglova SAV V i TA1V, V r : r1 слика 10 V 2r = SV V : TV V = 3 : 2. Zbog toga je r1 = = 8 cm , pa je traæena 3 2 povrπina jednaka 64r cm . Moæemo koristiti Ëiwenicu da je koeficijent sliËno3 sti k jednak , pa je odnos povrπina jednak 2 9 144r k2 = c= m. 4 64r

За во

пример

Контролна питања

α r1

T r

Задаци 1. PolupreËnik osnove kupe je 8 cm, a povrπina osnog preseka je 48 cm2. IzraËunaj duæinu izvodnica te kupe.

140

2. Osni presek kupe je pravougli trougao a wena visina je 12 cm. IzraËunaj: a) povrπinu wene osnove; b) povrπinu wenog osnog preseka.

3. Kupu polupreËnika osnove 9 cm i visine 12 cm seËe ravan paralelna ravni osnove kupe, takva da je vrh V kupe na rastojawu 4 cm od te ravni. IzraËunaj povrπinu preseka.

ни

10.3. Мрежа купе; површина купе

ке

4. Povrπina osnove kupe je 256r cm2 a povrπina wenog preseka sa ravni paralelnom ravni osnove, na rastojawu 6 cm od te ravni jednaka je 144r cm2. IzraËunaj visinu i duæinu izvodnica te kupe.

за

уџ

бе

Mreæa kupe. Znamo da je kupa ograniËena svojom osnovom i svojim omotaËem. Osnova kupe je krug, a wen omotaË je konusna povrπ (konus). O krugu i wegovim elementima sve znamo. Posmatrajmo stoga omotaË kupe. Neka je wen polupreËnik r i duæina wene izvodnice s. P' OmotaË moæemo razviti u ra- слика 11 s V van tako πto Êemo ga raseÊi V duæ jedne izvodnice, na pris α mer duæ izvodnice PV (sl. P 11a), pa tako dobijenu figuru razviti u ravan. Dobijeni razvoj u ravni omotaËa kupe je kruæni iseËak. Wegov poP P' lupreËnik jednak je duæini izvodnice kupe, dakle s. слика 12 P'

За во

Jasno je da zadata povrπ kupe (pa time i kupa) odreuje mreæu te kupe. Mreæa kupe se sastoji od kruænog iseËka i kruga koji dodiruje kruæni luk tog iseËka. Pitamo se da li svaka figura koja se sastoji od kruænog iseËka i kruga koji ga

K T

слика 13

T P P'

141

dodiruje u nekoj taËki wegovog kruænog luka P moæe predstavqati mreæu kupe. Na slici 14 pod a) i b) prikazano je da to nije taËno.

P' слика 14

V K

K P б)

ке

ни

Reπewe. Mora duæina kruænog luka tog kruænog iseËka biti jednaka obimu kruga. Dakle, mora biti sno s

sra = 2rr , odnosno r 180

360 ). a

a r (ili, ravnopravno, a = 360 $ , odno360 s

бе

пример

a , pokazuje da je zadavawem kruænog iseËka, koji je deo mreæe 360 kupe, zadata i osnova kupe.

уџ

за

Prva od wih, r

Povrπina kupe. Povrπ kupe sastoji se od osnove i omotaËa, pa je povrπina kupe jednaka zbiru povrπina wene osnove i omotaËa.

За во

Osnova kupe je krug polupreËnika r i wena povrπina je r2r, oznaËavamo je sa B (poËetno slovo reËi baza ‡ osnova), B = r2r. OmotaË kupe je konusna povrπ, koja se moæe razviti u ravan u kruæni iseËak polupreËnika s, pri Ëemu je duæina wegovog kruænog luka jednaka obimu osnove. Povrπina omotaËa kod nas se, tradicionalno, oznaËava slovom M i jednaka je povrπini tog iseËka. Ako je a mera u stepenima centralnog ugla tog iseËka, wegova povrπina je jednaka sra s 2 ra . BuduÊi da to jeste omotaË kupe, mora biti (vidi primer 1) 2rr = , M= 180 360

pa je

s 2 ra s $ sra s = = $ 2rr = rrs . 360 2 $ 180 2

142

слика 15

Reπewe. a) r = b = 15 cm, s = 36 + 15 cm = 1521 cm = 39 cm , P = rr (r + s) = 15r (15 + 39) cm2 = 810r cm2. 2

b) r = a = 36, s = 15 + 36 cm = 39 cm , P = rr (r + s) = 36r (36 + 39) cm2 = 2700r cm2.

слика 16

b a

ни

ке

пример

IzraËunaj povrπinu kupe koja nastaje obrtawem pravouglog trougla Ëije su katete a = 36 cm, b = 15 cm oko: a) duæe katete; b) kraÊe katete.

IzraËunaj povrπinu tela koje nastaje obrtawem pravouglog trougla, Ëije su katete a = 8 cm, b = 6 cm, oko wegove hipotenuze.

a2 + b2 =

слика 17

6 2 cm = 100 cm = 10cm .

уџ

Telo se sastoji od dve kupe podudarnih osnova, koje su osnovama prislowene jedna na drugu. PolupreËnik tih osnova jednak je hipotenuzinoj visini posmatranog pravouglog trougla. Ima-

B a c

за

За во

пример

бе

Reπewe. Nalazimo prvo hipotenuzu tog trougla,

M1 + M2

rrr rs1 + rrs2

rrr ra + rrb ,

P = 4,8r (8 + 6) cm2 = 67,2r cm2.

Контролна питања

143

ке

3. IzraËunaj veliËinu, izraæenu u stepenima, centralnog ugla kruænog iseËka koji se razvija u ravan omotaË kupe polupreËnika osnove 8 cm i visine 4 5 cm. Skiciraj sliku mreæe te kupe.

ни

4. OmotaË kupe razvijen u ravan je polukrug. Osni presek te kupe je: a) jednakokraki pravougli trougao; b) jednakostraniËan trougao;

бе

v) jednakokraki trougao s uglom naspram osnovice jednakim 30°. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

уџ

5. Jednakokraki trougao obrÊe se oko jednog od svojih krakova. IzraËunaj povrπinu dobijenog tela ako jedan ugao trougla ima 120° a duæina kraka je 4 3 cm.

за

10.4. Запремина купе

За во

Znamo da je zapremina piramide jednaka jednoj treÊini proizvoda povrπine 1 wene osnove i wene visine, V = B $ H . UoËavamo da ovo tvrewe vaæi bez obzi3 ra na to kakav mnogougao predstavqa osnovu piramide. Ovom Êemo se Ëiwenicom koristiti u daqem radu.

Kupa je telo, zaprema odreeni deo prostora i ima zapreminu. Posmatrajmo kupu i piramidu jednakih povrπina osnova B i jednakih visina H, pri Ëemu je piramida pravilna πestostrana. Neka su wihove osnove u izabranoj ravni ~0 tako da su im vrhovi VP (piramide) i VK (kupe) s iste strane te ravni. Neka je S0 centar simetrije pravilnog πestougla A1A2A3A4A5A6 i O0 centar osnove kupe. слика 18

M3 M2 M1 M4 S M5 M6 a

A3 A4

144

ω0

A2 A1

S0 A5

O r

a0 A6

O0 r0 S

ке

ни

Uverili smo se da su za proizvoqnu ravan ~, povrπine figura po kojima ta ravan seËe piramidu i kupu jednake. Prema veÊ upoznatom principu zapremine ta dva tela su jednake.

бе

Znamo da je zapremina V piramide Ëija je povrπina osnove B i visina H, 1 jednaka V = B $ H . 3

уџ

Zapremina kupe jednaka je jednoj treÊini proizvoda povrπine osnove i visine te kupe. Ako je polupreËnik osnove kupe r a wena visina H, imamo da je povrπina B osno1 1 2 ve kupe B = r2r, pa je V = B $ H = r r $ H . 3 3

за

Zapremina V kupe polupreËnika osnove r i visine H je 1 V = B $ H , tj. V = 1 r 2 r H . 3 3

За во

IzraËunaj zapreminu tela koje nastaje obrtawem jednakokrakog pravouglog trougla katete a = 18 cm oko: a) katete; b) hipotenuze.

слика 19

Reπewe. IzraËunavamo prvo duæinu hipotenuze

пример

a2 + b2

a 2 = 18 2 cm .

a) r = a = 18 cm, H = a = 18 cm (sl. 19) 1 2 r r$H 3

1 2 18 r $ 18 cm 3 = 1944rcm 3 . 3

1 3

2 ((9 3

слика 20

A _c a 2 _c 2

a B

2 3 3 ) r 9 2 cm = 972 2 rcm .

145

12 cm

22 cm A

ке

слика 22

ни

Obrtawem ovog trapeza oko mawe osnovice nastaje telo koje predstavqa vaqak polupreËnika 12 cm i visine 22 cm iz kojeg su odstrawene dve kupe jednakih polupreËnika osnove r = 12 cm, jedna visine 9 cm a druga visine 5 cm. Ako oznaËimo sa VV zapreminu vaqka, a sa V1 i V2 zapremine pomenutih kupa, nalazimo da je traæena zapremina V jednaka

C слика 21

8 cm

VV - V1

1 $9 3 3 = 2496r cm .

V2 = 12 2 r c 22 -

1 $ 5 m cm 3 = 3

уџ

бе

2 пример

cm 15

Date su osnovice a = 22 cm, c = 8 cm, jedan krak b = 15 cm i visina h = 12 cm trapeza. IzraËunaj zapreminu tela koje nastaje obrtawem tog trapeza oko mawe osnovice.

за

пример

За во

17 2 - 8 2 cm

1 2 r r$H 3

b H

15 cm .

Traæena zapremina je

146

V слика 23

1 2 4 r 15 3

3 80r cm .

a A1

Контролна питања

ке

Задаци

ни

1. IzraËunaj zapreminu kupe koja nastaje obrtawem pravouglog trougla kateta a = 16 cm, b = 30 cm oko: a) kraÊe katete; b) duæe katete.

2. IzraËunaj zapreminu tela koja nastaje obrtawem jednakostraniËnog trougla stranice a = 15 cm oko jedne od wegovih teæiπnih linija.

бе

3. Osni presek kupe je jednakokraki trougao osnovice a = 16 cm i krakova b = 17 cm. IzraËunaj zapreminu kupe.

уџ

4. IzraËunaj zapreminu tela koje nastaje obrtawem jednakokrakog trapeza visine 8 cm i duæina osnovica 24 cm i 12 cm oko: a) duæe osnovice; b) wegove simetrale. 5. Data je pravilna πestostrana piramida osnovne ivice a = 16 cm i boËne ivice b = 34 cm. U wu je upisana i oko we je opisana kupa. IzraËunaj odnos zapremina opisane i upisane kupe.

слика 24

За во

за

8 a

147

2.1. Питагорина 11.1. Појам лопте теорема и сфере

слика 1

бе

ни

ке

уџ

Ipak, ako nas neko zamoli da mu kaæemo, neposredno ili telefonom, πta je lopta, teπko Êemo u tome uspeti bez pozivawa na opaæajno iskustvo ili pokazivawa (kako to telefonom?) tela oblika lopte.

за

Lopta i sfera; osnovni elementi. Posmatrajmo polukrug KP kruga K(O,R), odreen wegovim preËnikom AB i izborom jednog od dva, tako nastala polukruga. Na slici 2 oznaËen je πrafirawem.

Ako se taj polukrug obrne oko ose o(A,B) za 360°, pa objedinimo sve taËke prostora kroz koje pri tome prou taËke polukruga, dobiÊemo telo koje nazivamo lopta. TaËka O je centar te lopte a R wen polupreËnik.

слика 2

B kP R KP O

За во

148

слика 5

taËka Q´ na sferi i taËka Q pripada duæi OQ´, pa je OQ + QQ´ = OQ´, tj. OQ = R ‡ QQ´ < R. Na osnovu izloæenog, moæemo reÊi da pomenuto svojstvo taËaka sfere odreuje sferu. Dakle,

P P'

Q O

Neka su dati taËka O i duæ duæine R. Sfera sa centrom O i polupreËnikom R je skup svih taËaka prostora koje su na rastojawu R od O. OznaËavamo je sa S(O,R).

ке

Sfera je, kao πto smo rekli, granica lopte, tako da se lopta sa centrom u taËki O i polupreËnikom R sastoji od svih taËaka prostora koje pripadaju sferi S(O,R) ili se nalaze unutar we. Dakle,

ни

Neka su dati taËka O i duæ duæine R. Lopta sa centrom O i polupreËnikom R je telo koje se sastoji od svih taËaka prostora koje pripadaju sferi S(O,R) ili se nalaze unutar we. OznaËavamo je sa B(O,R).

M T M

уџ

бе

Neka je M bilo koja taËka lopte B(O,R). Ako je M na sferi, weno rastojawe od O jednako je R. Ako je M unutar sfere, weno rastojawe od O mawe je od R. TaËke van sfere ne pripadaju lopti i wihovo rastojawe od O veÊe je od R. Zbog toga prethodnu definiciju lopte moæemo, ravnopravno, iskazati i na sledeÊi naËin.

слика 6

Neka su dati taËka O i duæ duæine R. Lopta sa centrom O i polupreËnikom R je telo koje se sastoji od svih taËaka prostora koje su na rastojawu od O mawem ili jednakom R.

слика 7

за

O R

За во

VeÊ smo naglasili da sferu odlikuje wena pravilnost. Sve taËke sfere su ravnopravne. Ali, ako iz nekog razloga jednu taËku sfere izdvojimo, dobijamo moguÊnost da na woj „uvedemo red“. To Êemo koristiti u sledeÊoj lekciji.

R R

B слика 8

F B D O C

149

Reπewe. Centar te sfere je srediπte O duæi AB a wen polupreËnik jednak je polovini duæine preËnika. Dakle, R = 7 cm.

ке

Zadate su duæine kateta pravouglog trougla ABC, C a = 24 cm, b = 10 cm. Odredi centar i polupreËnik lopte koja nastaje obrtawem kruga opisanog слика 10 oko tog trougla, oko wegove hipotenuze.

ни

Reπewe. IzraËunaÊemo prvo duæinu hipotenuze trougla 2

уџ

бе

1 пример

2 пример

слика 9

Duæ AB duæine 14 cm je preËnik sfere. Odredi wen centar i polupreËnik.

за

Контролна питања

За во

Задаци

1. Krug opisan oko kvadrata stranice a = 12 cm obrÊe se oko: a) simetrale jednog para naspramnih stranica kvadrata; b) jedne od dijagonala kvadrata. Uveri se da se u oba sluËaja dobija ista lopta. ©ta je centar te lopte i koliki je wen polupreËnik? 2. U jednakostraniËni trougao stranice a = 18 cm upisan je krug. Odredi centar i polupreËik lopte koja nastaje obrtawem tog kruga oko bilo koje od wegovih osa simetrije. 3. Uveri se da za bilo koju taËku M simetralne ravni duæi AB sfera S(M, MA) sadræi taËke A i B. (U zadatku 10, lekcija 2.3, nauËili smo da za dve zadate taËke A i B ravan koja prolazi kroz srediπte S duæi AB i normalna je na wu, nazvali smo je simetralna ravan duæi AB, ima svojstvo da je svaka taËka te ravni jednako udaqena od taËaka A i B.)

150

11.2. Пресеци лопте (сфере) и равни слика 11

n C

ке

1) d > R; tada ravan ~ nema zajedniËkih taËaka sa sferom, pa ni s loptom (sl. 12a);

ни

а)

уџ

слика 12

бе

2) d = R; tada ravan ~ ima sa sferom (i loptom) jednu zajedniËku taËku ‡ dodiruje sferu (i loptu) (sl. 12b);

б)

в)

за

ω O

За во

пример

OM 2 - OC 2 =

слика 13

C O M

d2 .

151

d 2 od taËke C, πto znaËi da pripada kruænoj liniji sa centrom C i polu-

preËnikom R 2 d 2 = r . Na taj naËin uverili smo se da je presek ravni ~ i sfere S(O, R) kruæna linija k(C, r) u ravni ~ a presek ravni ~ i lopte B(O, R) je krug K(C, r) u ravni ~.

слика 14

бе

за

Reπewe. Povrπina velikog kruga ove lopte je R2r. Povrπina maweg kruga je r2r, gde je r2 = R2 ‡ d2. Prema zahtevu mora biti R2r = 2rr2r = 2(R2 ‡ d2)r, odakle naR lazimo R2 = 2d2, odnosno d = . Dakle, traæeno ra2 R stojawe je . 2 слика

За во

пример

уџ

слика 15

ни

ке

1 пример

Dakle, proizvoqna taËka M preseËne linije nalazi se na odreenom rastojawu

d R O

ω R

слика 17

P kε O Q ε

152

kruænicu kf sfere, koja predstavqa presek sfere i ravni f.

слика 18

За во

пример

за

уџ

бе

ни

ке

a) Leskovac nalazi na 22° istoËne duæine i 43° severne πirine; b) Inija nalazi na 20° istoËne duæine i 45° severne πirine; v) KosjeriÊ nalazi na 20° istoËne duæine i 44° severne πirine.

Контролна питања

153

ке

3. Povrπina velikog kruga lopte je 625r cm2. Lopta je preseËena dvema paralelnim ravnima, takvim da su povrπine preseËnih krugova 49r cm2 i 576r cm2. Koliko je rastojawe izmeu tih ravni?

ни

4. Uveri se da se dve sfere Ëiji su centri na rastojawu mawem od zbira a veÊem od razlike wihovih polupreËnika seku po kruænici.

бе

5. Rastojawe taËaka A i B je 40 cm. Odredi sve taËke prostora koje su na rastojawu 37 cm od taËke A i 13 cm od taËke B.

уџ

6. Dve lopte jednakih polupreËnika smeπtene su tako da se centar jedne od wih nalazi na granici druge. IzraËunaj povrπinu preseka tih lopti.

за

7. Pronai na geografskoj karti Evrope naseqa Ëije su geografske koordinate pribliæno: a) 25° istoËne duæine i 45° severne πirine; b) 4° zapadne duæine i 40° severne πirine; v) 30° istoËne duæine i 60° severne πirine.

За во

154

Prema izvedenoj formuli, raËunamo 64 3 rcm ,

16 3 rcm 2 .

) rcm ) rcm

уџ

Pu = 4 (

бе

P0 = 4 (

ке

poklapaju sve Ëetiri znaËajne taËke. U takvom trouglu a 3 2 a 3 stranice a je h = a r0 h= , 2 3 3 1 a 3 rn h= . U naπem sluËaju je 3 6 h 6 , r0 4 3 , rn = 2 3 cm .

слика 19

ни

пример

Reπewe. Znamo da se u jednakostraniËnom trouglu

за

Sfera je opisana oko neke prizme ili piramide ako sva temena te prizme ili piramide pripadaju sferi. Tada kaæemo da je ta prizma ili piramida upisana u sferu. Sfera je upisana u neku prizmu ili piramidu ako sve strane te prizme ili piramide dodiruju sferu. U takvom sluËaju kaæemo da je ta prizma ili piramida opisana oko sfere.

За во

Ne mora uvek postojati sfera koja je upisana u ili opisana oko neke prizme ili piramide. Traæewe odgovora, potvrdnog ili odreËnog, na pitawe da li takva sfera postoji moæe biti zanimqiv zadatak.

a) sfere upisane u tu kocku;

пример

Data je kocka ivice a = 16 cm. IzraËunaj povrπinu: b) sfere opisane oko te kocke.

слика 20

Reπewe. a) Naspramne strane kocke dodiruju sferu u krajevima jednog wenog preËnika. Zbog toga je 2R = a = 16 cm, pa je R = 8 cm, P = 4R2r = 4 · 82r cm2 = 256r cm2.

155

слика 21

D pa je 2R zimo

4R 2 r

16 3 cm , O

8 3 cm . Na taj naËin nala-

4 $ (8 ( 3 ) 2 rcm 2

768rcm 2 .

ни

166

a 3

ке

пример

b) Krajevi dijagonala kocke su krajevi preËnika sfere. Znamo da je

Zapremina lopte. Lopta zaprema odreeni deo prostora i ima zapreminu.

Да ли знате?

4 3 R r. 3

уџ

бе

Zapremina V lopte polupreËnika R je

слика 22

За во

за

пример

Pravougli trougao kateta a = 16 cm, b = 30 cm upisan je u krug K(O, r). IzraËunaj zapreminu lopte koja nastaje obrtawem kruga K oko jednog od wegovih preËnika.

pa je R = r = 17 cm. Traæena zapremina je V

156

слика 23

Reπewe. Znamo da je centar kruænice opisane oko pravouglog trougla srediπte wegove hipotenuze i da je polupreËnik te kruænice jednak polovini duæine hipotenuze. RaËunamo c = a 2 + b 2 = 34 cm ,

4 3 R r 3

4 4 $ 17 3 rcm 3 = $ 4913rcm rcm 3 3 3

19652 rcm 3 . 3

слика 25

U zadacima koristiÊemo pojmove polulopte i polusfere. Neka je B(O, R) data lopta. UoËimo jedan od wenih velikih krugova K(O, R). On se nalazi u ravni a koja sadræi centar O sfere.

ни

Контролна питања

ке

бе

Kolika je povrπina lopte polupreËnika R? Kolika je zapremina lopte polupreËnika R?

Задаци

уџ

1. IzraËunaj povrπinu i zapreminu lopte preËnika 16 cm.

2. IzraËunaj zapreminu lopte ako je wena povrπina 144r dm2.

за

3. Da bi pribliæno odredio povrπinu metalne cisterne oblika sfere, napravqene od tankog lima Ëiju debqinu je mogao zanemariti, majstor je u cisternu sipao vodu i napunio ju je sa 3052 l. Kolika je pribliæno traæena povrπina cisterne u dm2 ako je r . 3,14?

4. IzraËunaj povrπinu sfere koja nastaje obrtawem kruænice opisane oko kvadrata stranice a = 24 cm oko jednog wenog preËnika.

За во

5. IzraËunaj povrπinu sfere upisane u kocku ivice a = 15 cm. 6. IzraËunaj zapreminu lopte opisane oko pravilne trostrane prizme ako je osnovna ivica a = 8 2 cm i visina 30 cm. 7. Od drvene kocke ivice a = 20 cm istesana je drvena lopta najveÊe zapremine. Koliki je, pribliæno, procenat odbaËenog materijala?

8. IzraËunaj masu gvozdene loptaste cisterne ako je spoqaπwi preËnik 6 m, a debqina zida 2 cm. Gusina gvoæa je 7,8 g/cm3.

9. Vodotoraw loptastog oblika snabdeva naseqe od 5000 stanovnika. Koliki treba da bude unutraπwi polupreËnik te lopte ako treba obezbediti 100 l vode u sekundi i zalihe treba da obezbede snabdevawe za 2 sata?

157

, ,

1. Сличност троуглова 1.1. 4. Koristi osobine proporcije.

б)

a) a x

1 A

в)

1 √2 √3

√3 A

x a

b e

уџ

г)

за

За во

1. a) Jednaki su unakrsni i transverzalni uglovi. b) Dva trougla na slici su otuda sliËni. y x 4 6 v) = i = , x = 6,4; y = 4,8. 8 5 4 5 2. JednakostraniËni trouglovi su sliËni. Jednakokraki pravougli trouglovi su sliËni. Ne, nisu bilo koja dva jednakoraka trougla sliËna. 3. Jesu. 5 y+8 8 x+5 4. = , = , x = 7,5; y = 12. 10 4 10 4 1 5. a) k; b) . k | AC | 24 | Al Bl | 12 6. , = = , 15 40 40 15 |AC| = 9 cm, |A´B´| = 32 cm.

7. AB + BC + CA = 27; k =

158

c b a

√2

1.2.

e x

ни

б)

бе

а)

c b a

2. Vidi slike

a x

b c a

ке

18 . 27

1.3. 1. a) \B = \L BA : LK = BD : LN = k ( 9ABD a 9KLN. b) AD : KN = BA : LK = k. A

8. 9ABD ~ 9CBA prema UU. Sledi BD : AB = BA : CB, tj. x : 5 = 5 : (x + 4), x (x + 4) = 25, x2 + 4x = 25, x2 + 4x + 4 = 29, (x + 2)2 = 29, x + 2 = 29 , x = 29 - 2 .

за

уџ

ке

ни

бе

1.4.

a2 121 = , c 5 5 2 b 4 ab 22 , h= . = = q= c c 5 5 5 5

11 2 + 2 2 = 5 5 , p =

За во

1. c =

a=11

5. Vidi sliku.

h b=2

6. Iz P1 a 2 P b 2 =` j i 2 =c m P3 c P3 c

2. p = 2, q = 8, c = p + q = 10 2 a = pc = 20 & a = 2 5 , 2 b = qc = 80 & b = 4 5 .

sabirawem dobijamo 2 2 P1 + P2 a +b = =1. 2 P3 c

3. a) (20 + 8 10 ) cm 4. Konstrukcija je prikazana na slici:

√ab a

b) (6 + 6 3 ) cm .

a+b 2 b

P2 a

b c P3

√mn m

159

2. Тачка, права, раван 2.1. D

ке

ни

C 1. a) Pripadaju B, C, G, F. b) Ne pripadaju A, D, E, H. 2. Odreeno je 10 E pravih. Vidi sliku! A 3. a) Odreena je najmawe jedna prava. b) Odreeno je najviπe πest pravih. 4. b.

2.3.

1. a) Prava AC prodire ravan BC1B1 u taËki C. b) Prava AD pripada ravni ABC.

3. Prave a i c mogu biti paralelne, mogu se seÊi i mogu biti mimoilazne. 4. b. 5. a.

уџ

1. a) Pravoj AC je paralelna prava A1C1; b) Pravu AC1 seku prave AB, AB1, AA1, AC, AD, A1C, B1D, BD1, C1C, C1D1, C1D. 2. Prave a i c su ili paralelne ili se seku.

бе

2.2.

b) Prave odreene ivicama kocke prodiru ravan stola. E

за

v) Prava BD1 prodire ravan ACC1 u centru kocke.

D A

2. a) Sa ravni ABC su paralelne prave: AB, AC, AD, BC, BD, CD, A1B1, A1C1, A1D1, B1C1, B1D1, C1D1.

b) Sa ravni BCC1 su paralelne prave: BC, BC1, BB1, CB1, CC1, C1B1, AD, AD1, AA1, DD1, DA1, D1A1.

За во

v) Sa ravni ACC1 su paralelne prave: AC, AC1, AA1, CA1, A1C1, BB1, DD1.

3. Ravan ABB1 prodiru prave: BC, B1C1, A1D1, AD, BC1, AD1, B1C, A1D, AC1, A1C, BD1, B1D, A1C1, B1D1, AC, BD.

H F

D C

160

E B

AB Є α

G F

4. a) Ivice kocke koje su paralelne sa ivicom koja je u ravni stola paralelne su sa ravni stola. Prave odreene ostalim ivicama prodiru ravan stola. H

BЄα

9. \CSM = 90° .

A C

α S A

B M

ни

b γ

7. Prave a i b su paralelne.

уџ

2.5.

6. Ravni b i c mogu biti paralelne ili se mogu seÊi. Vidi sliku!

бе

1. a) TaËno. b) NetaËno, jer mogu biti i paralelne. v) NetaËno. 2. Prave a i b mogu biti paralelne ili mimoilazne. 3. Prave a i b mogu biti paralelne ili mimoilazne ili mogu da se seku. 4. Ako prava m nije u ravni a tada je taËno a i b. Ako je prava m u ravni a tada mogu biti taËni svi odgovori. 5. v.

ке

2.4.

За во

за

1. Projekcije dve jednake i paralelne duæi na ravan su dve jednake i paralelne duæi, dve taËke ili jedna duæ. 2. b. 3. b, g. 4. a, b. 5. Vidi sliku. AB je hipotenuza DAB1B gde je AB1 || A´B´. AB2 = 122 + 62, AB = 6 5 cm AAl AM 3 AMAl + 3 BMBl , pa je , = BBl BMl 1 6 5 - BM . BM = 4 5 cm . = 2 BM B 4

2 A

B' B1

7. a) Ravan u kojoj je krug je paralelna projekcijskoj ravni. b) Ravan u kojoj je krug je normalna na projekcijsku ravan.

2.6.

1. Da. Kocka. 2. Da. 3. Povrπ ovog poliedra je sastavqena od trouglova. Ovaj poliedar ima 8 strana, 12 ivica, 6 temena. Ima 3 dijagonale.

4. b, g. 5. Nastalo telo ima 14 temena, 9 strana, 21 ivicu. 6. Telo ima 16 temena, 24 ivice, 10 strana.

161

3. Линеарне једначине и неједначине

1 . 3

ке

за

3. a) x = ‡ 8; b) a = ‡5; v) b = 0. 1 4. a) x = 3; b) a = 3; v) b = - ; g) c = 8. 3 7 5. a) x = 3; b) y = 2; v) z = - . 3 24 6. a) a = 7; b) y = 20; v) z = . 5

3.3.

уџ

1. a) x = ‡4; b) y = 17; v) z = ‡5. 2. a) m = 5; b) n = ‡40; v) p = -

ни

бе

3.2.

1. 11 < 25 ‡ 7, 23 · 16 > 148 + 57, x + 8 H 23, 3y + 5

2 . 15 Traæeni brojevi su 501, 502, 503 i 504. Stub je visok 12 m. Nataπa je imala 18 jabuka i 24 kruπke. 7200 kg sena. U jatu je bilo 36 gusaka. OstaÊe neuraena jedna petina posla. 10 Zlataru Zlatku treba = 3, 333f kg zlata 3 finoÊe 21 karat.

1. a =

За во

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

3.4. G 2(y ‡ 4). 2. 2x ‡ 4 < 0, x + 7 H 0, 2x ‡ 4 G x + 7. 3. a) 4 jeste reπewe nejednaËine 5x ‡ 7 H 3x + 1, a ostali brojevi nisu;

162

7. a) ‡2 < x < 4, b) 0 G x G 7, v) ‡ 5 G x < 3, g) ‡3 < x G 8, d) x G 1 ) x H ‡ 6.

3.5.

7 . 6

ни

5. a) x H 2; b) y > ‡1; v) z H-

бе

6. a) x 1

уџ

1. a) x < ‡5 ; b) y > 16; v) z H ‡5. 2. a) m H 4; b) n > ‡35; v) Uslov da nejednaËina postoji je da je p ! 0. 3 Ako je p pozitivno, nejednaËina G- 24 nep ma reπewa, jer je wena leva strana pozitivna, a desna negativna. Ako je p < 0, onda se mnoæewem cele nejednaËine sa p znak nejednako1 sti mewa i dobija se da je - G p G 0 . 8 3. a) x < ‡8 ; b) a H ‡5; v) b > 0. 3 4. a) x G 5; b) a 1 3 ; v) b H ‡6; g) c > 5. 2

ке

за

3.6.

За во

1. x < 0. 2. Reπewe su sve trojke uzastopnih prirodnih brojeva x, x + 1 i x + 2, takve da je 1 G x G 668, πto znaËi da je najmawa takva trojka 1, 2, 3, a najveÊa 668, 669, 670. 3. Sedam, jer je x < 8, pa je x ! {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

4. 5. 6. 7. 8.

4. Призма

4.1.

1. a) Ne. b) Ne. v) Ne. 2. v. 3. a) 5 2 cm ; b) 13 cm; v) 194 cm.

4. a) Da. b) Ne. 5. a) 4 3 cm ; b) 12 cm; v) a 3 . 2 2 2 6. a) 52 cm; b) 12 cm; v) 4 m + p + q .

163

4.2.

6. A

C1 B1' A1' D1'

бе

D1 6

ни

ке

5. Jedno reπewe ja dato na slici.

1. a. 3. b) Prvo konstruiπi pravougli trougao ABB1 (kateta AB = 3 cm, hipotenuza AB1=5 cm). 4. Osnovne ivice su 3 cm, 6 cm, 6 cm.

7. v.

уџ

4.3. 1. 2. 3. 4.

за

107,8 cm2. 192 cm2. a) 37,5 cm2; b) 600 cm2. Ako je ivica kocke a, tada je MN2 = a2 + (3a)2. Sledi da je 102=10a2, a = 10 cm. P = 60 cm2. 5. 44 cm2. 6. Treba dokupiti tri konzerve te farbe.

4.4

За во

1. a) P = (50 3 + 240) cm ; b) P = (8 3 + 54) cm .

2. a = 6 cm, b = H = 8 cm, P = (18 3 + 144) cm 2 . 2

3. a) P = (192 3 + 576) cm ;

b) P = (48 3 + 240) cm 2 . 4. Rastojawe naspramnih boËnih strana pravilne πestostrane prizme jednako je duæini mawe dijagonale osnove. Ako je a osnovna ivica prizme, onda je a 3 = 8 3 cm , a = H = 8 cm.

4.5. 1. a) 97,92 cm3. 3

2. a) 3,375 cm3; b) 5 5 cm ; v) 1,953125 m3. 3. a) P= 2a2 +4a · 3a=14a2, 14a2= 280 cm2, a = 20 cm , H = 3 20 cm , V = 120 5 cm 3 .

164

3 4. H = 12 2 cm, V = 300 2 cm ; b) Dijagonala 2 2 osnove je 10 cm. (b + 2) = b + 102, b2 + 4b + 4 = b2 + 100, b = 24 cm, V = 1200 cm3.

5. g.

6. a.

7. 40,5 kg.

4.6. 9. V = 6

225 3 3 1. a) 150 cm3; b) cm . 3 4 2. 9 3 cm . 3. IzraËunamo zapreminu 62 3 3 V= · 100 = 900 3 , V = 900 3 cm . 4 g Masa je m = 900 3 cm 3 · 7, 8 = 3 cm 7020 3 g = 7, 02 3 kg .

V = 15588 dm3. U taj bazen moæe da stane 15588 litara vode. 10. Prvo raËunamo osnovnu ivicu prizme, a zatim visinu. Iz B = 48 3 cm 2 sledi

ни

2 187 3 3 cm . 8

бе

3 7. 576 3 cm . 8. Masa jednog stuba je 19,203 kg. Moæe se transportovati 52 stuba.

уџ

за

5.1.

ке

5. a) 2592 3 cm 3 ; b) 864 cm3.

5. Пирамида

3 = 48 3 cm 2 , 4 pa je a2 = 32 cm2, a = 4 2 cm . Iz M = 48 cm2 sledi 6aH = 48 cm2, 24 2 cm · H = 48cm 2 , H = 2 cm . Zapremina je 2 3 V = B · H = 48 3 cm · 2 cm = 48 6 cm . 6

4. a) 108 3 cm 3 ; b) 750 3 cm 3 .

(20dm) 2 3 $ 15dm = 9000 3 dm 3 . 4

За во

2. Da. To je svaka trostrana piramida. 3. Osmostrana piramida ima 9 strana, 9 temena, 8 osnovnih ivica, 8 boËnih ivica, 8 boËnih strana. 4. a) Da. b) Da. v) Da. To je trostrana piramida. 5. a) Da. b) Ne. 6. v

5.2.

1. Vidi uraen primer 1 u odeqku 5.2. 2. a) Osnova je pravilan πestougao stranice 3 cm, a boËna strana je jednakokraki trougao sa osnovicom 3 cm i krakom 5 cm; b) Konstruiπe se pravougli trougao ASO tako da je hipotenuza 5 4. AS = 10 cm, a kateta 5 OS = 8 cm. 5 Kateta AO je jednaka 3 osnovnoj ivici pira5 mide, pa se zadatak svo4 di na primer pod a. 5 5 3. v

5. D1

B1 A' D

B S

B A''

B' A1

165

5.3. 1. a) 105 cm2; b) 144 cm2; v) 336 cm2; g) 360 cm2; 2 d) (100 + 100 3 ) cm ; ) 432 cm2. 2. 96 cm2 3. 64 (1 + 3 ) cm 2 .

4. d. 5. v. 6. Da.

5.4 5. a) (150 3 + 360) cm 2 ; b) 54 ( 3 + 15 ) cm 2 ;

ке

2 2 1. a) (36 3 + 126) cm ; b) 9 ( 3 + 4) cm ;

v) 27 3 cm 2 ; g) (25 3 + 180) cm 2 .

v) 54 ( 3 + 2) cm 2 ; g) (150 3 + 360) cm 2 . 6. 150 ( 3 + 2) cm 2 .

3. 108 3 cm 2 . 4. a.

7. (27 3 + 9 91 + 48) cm 2 .

ни

2. 9 ( 3 + 7 ) cm 2 .

1. a) 108 cm3; b) 64 cm3; v) 400 cm3; g) 2. a) 192 cm3; b)

256 2 3 cm 3

128 256 3 3 3 cm ; v) cm . 3 3

64 2 3 cm . 3 4. Neka je a osnovna ivica, h apotema. Tada je

ah ah = 36, 4 - a 2 = 64 . 2 2 ah Posle sabirawa sledi da je 5 = 100 , odno2 ah 2 = 36 sledi sno ah = 40. Iz jednakosti a + 2

за

a2 +

5.6.

За во

1. a) 72 3 cm 3 ; b) 3 39 cm 3 ; v) 25 407 cm 3 . 3 H = 4 cm. m = 18 2 $ 0, 7g = 17, 766g . b. 108 cm3.

81 3 3 cm ; 4

2. 3. 4. 5.

a 2 2 2 a = 4 cm, h = 10. IzraËunajmo H = h - ` j , 2 H=4 6 ,

64 6 3 cm . 3 5. Neka je SABCD pravilna Ëetvorostrana piramida. Trougao ACS je jednakokraki pravougli, AS = CS = 4 cm. Sledi da je

уџ

бе

5.5

AC = a 2 = 4 2 , a = 4 cm, H = 2 2 cm , V=

32 2 3 cm . 3

6. v. 7. a) 54 3 cm 3 ; b) 324 cm3; v) 162 3 cm 3 ; g) 150 23 cm 3 . 8. 324 2 cm 3 . 3 9. 108 3 cm . 3

10. (96 3 + 24 51 ) cm .

6. Линеарна функција 6.1. 1. v. 2. a) y(‡2) = ‡2 · (‡2) + 4 = 8

166

y(3) = ‡2 · 3 + 4 = ‡2 y(5) = ‡2 · 5 + 4 = ‡6;

b) Domen je {‡2, 3, 5}. Skup vrednosti je {8, ‡2, ‡6}. 1 v) x = - y + 2 . 2 3. a) Udaqenost od Beograda je y = 60 + t. 60 B

30 M

b) Udaqenost od Topole je y = 30 ‡ t. v) Za 30 minuta.

1. Nijedna. 2. v. 3. Vidi sliku.

-2

0 1

-3 -2 -1

4 +3 =5.

3 2 1

-1 O 0 1 -1

3 2 1 -1 O 0 1 -1

Ne. Jeste. Ne. a) Nula je x = 2. Funkcija je pozitivna za x < 2, a

За во

5 4

x 3 A

за

Povrπina trougla OAB 5$h 1 . je 4 $ 3 = 2 2 12 Sledi h = . 5

уџ

7. Duæ AB ima duæinu

x+1 y=-3 x y=-3

-3

бе

-1 -2

ни

y= 3 x

2 1

y = ‡2x + 4.

1. 2. 3. 4.

y=3x

2 8 6. c , m ; y = x + 2 i 3 3

6.3.

8. Prave su paralelne. Traæeno rastojawe je CC1 = 12 (kao u zadatku 9) i OC1 ‡ OC. Kako je OC = 5 6 12 6 18 6 $ = OC1 = OC $ = , rastojawe je . 4 5 4 5 5

4. (0,4) i (6,0). 5. a) y = ‡4x; b) y = x + 4.

ке

6.2.

5 . Funkcija je 2 5 5 pozitivna za x 2 - , a negativna za x 1 - ; 2 2 3 v) Za a > 0, nula je . Funkcija je pozitivna za a 3 3 x 2 , a negativna za x 1 . a a 3 Za a < 0, nula je . Funkcija je pozitivna za a 3 3 x 1 , a negativna za x 2 . a a Za a = 0, funkcija nema nule i stalno je negativna.

C 2

g) Za a > 1, nula je

negativna za x > 2. b) Nula je -

5. 6. 7. 8. 9.

167

6.4. 1. a) Konstantna funkcija; b) raste; v) opada.

km . h OdseËak na y-osi je ‡k + 1 > 1 jer je k < 0. a) k G 0, n < 0; b) k H 0, n < 0; v) k G 0, n > 0. »etvrta slika (slika 13). Prva je rastuÊa, ostale su opadajuÊe.

5. 30

2. a) za a > 0; b) za a > 2. 3. Za k > 3 je rastuÊa, za k = 3 konstantna, za k < 3 opadajuÊa. 4. k < 2.

6. 7. 8. 9.

ке

6.5. 1. +3

ни

5x -4 y

5. 3x ‡ 4y = 0. 5 0 6. Provera: (5,0) pripada pravoj zbog + = 1 . 5 3 3 0 (0,3) pripada pravoj zbog + = 1 . 5 3

y 4 2 1 0 1

-3 -2 -1 0 +3= 2xy

-2

4x-2=0

-1

1 pa su praKoeficijenti pravca su jednaki 2 ve paralelne.

-3

уџ

| AB | =

2. 8a + 3 + 5 = 0 & a = ‡1. 3.

2 1

за

-5 =2y

0 1

-5 -4 -3 -2 -1

-1

-2

12 . 5

За во

4. 5 · d = 4 · 3, d =

-1

–2

–3

5 2 5 2 5 5; c m +c m = 4 2 2 5 5 5 ; d2 $| CD | = $ & d2 = 4 2 2 3 5. d = d1 + d2 = 2 | CD | =

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 d –1

5 & d1 = 5 ; 2

2 1

3x +4 y=

5 2 5 2 5; 5 +c m = 2 2

d1 $| AB | = 5 $

y 3 x

168

1 5 x- , 2 2 1 5 2x - 4y + 5 = 0 & y = x + . 2 4

7. - x + 2y + 5 = 0 & y =

бе

2 D 5 1 4 C 5 –2 –1 O 0 1 2 –1 –2 B 5 –3 2

A 5

7. Графичко представљање података 7.1. 1. Cipele. 2. Leto

Jesen

Zima

Cipele

4,2

2,5

3,5

4,5

Rubqe

2,2

4,3

1,7

2,7

Kaputi

3. 20

6. број ђака 3

Slab

Dobar

Vrlo dobar

OdliËan

код куће

историја

математика географија

Matematika

Fizika

Istorija

уџ

7.2.

за

Krvne grupe Procenat

село

бе

море планина

ни

ProleÊe

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

ке

40%

39%

16%

За во

2. Najviπe aka provelo je raspust na selu, najmawe na planini. 3. NajveÊi troπkovi su za stan i hranu. 4. Najbrojnija krvne grupe su O i A, a najrea je AB .

довољан

добар

в. добар

одличан

(%) 40

15 5 0

AБ

7.3.

3 1. Sredwa vrednost je: a) 3; b) 14 : 7 = 2; v) - . 5 Medijana je: a) 3; b) 2; v) ‡1.

2. 132 : 12 = 11.

3. Neka je m najmawi a M najveÊi od brojeva a1, a2, ..., an. Tada je m G ai G M (i = 1, 2,..., n) pa je m + m + f + m r a1 + a2 + f + an Ga= G m= n n M+M+f+M = M. G n

169

160 320 640 km 6. a) vr = = = = 64 ; 2, 5 5 10 h b) Ostatak od 120 km puta treba preÊi za 1,5 h. Traæena proseËna brzina je

7. 40000. a + a2 + a3 + a4 + a5 8. 1 = 5 a1 + a2 + a3 a + a5 $3+ 4 $2 3, 3 $ 3 + 4, 5 $ 2 3 2 = = 5 5 = 3, 78 . 4.

120 240 km = = 80 . 1, 5 3 h

бе

11. Ne postoje, jer ako se druga jednaËina podeli sa 4, dobija se jednaËina 7x ‡ 2y = 9. Prva i druga jednaËina su protivureËne.

уџ

1. JednaËine sa dve nepoznate su a), v) i g), a linearne su a) i v). 2. a) a + b = 57; b) 2x ‡ 3y = 2010; v) m : n = 9. 3. 3 · 3 + 4 · 4 = 25 i 3 · (‡1) + 4 · 7 = 25, pa su (a, b) = (3, 4) i (a, b) = (‡1, 7) reπewa jednaËine 3a + 4b = 25. 4. 8 · 1 + 3 · 4 = 20 ! 7 i 8 · 5 + 3 · (‡2) = 34 ! 7, pa ureeni parovi (m, n) = (1, 4) i (m, n) = (5, ‡2) nisu reπewa jednaËine 8m + 3n = 7. 5. (p, 4) = (5, 4) i (1, q) = (1, ‡2). 6. x ‡ 2y = 15.

ни

8.1.

8.2.

За во

за

1. Jesu, jer je S = {(0, 5)} jedino reπewe i jednog i drugog sistema jednaËina. 2. Dokaz se zasniva na Ëiwenici da je (a, b) = (2, 1) jedino reπewe oba sistema. 3. Sistemi jednaËina J1 i J3,, sistem jednaËina J2 nije ekvivalentan ni sa jednim od preostala dva sistema jednaËina.

8.3.

ке

8. Системи линеарних једначина са две непознате

1. a) x = 3, y = 3; b) a = ‡2, b = 2. 2. a) x = 4, y = 1; b) a = 2, b = 1; v) m = 1, n = ‡ 1. 3. a) x = 1, y = 1; b) p = 5, q = 2; v) a = 3, b = 2. 22 15 , y= ; b) x = 15, y = 4. 4. a) x = 7 7 5. Traæeni brojevi su 1338 i 672. 6. Jedna stranica pravougaonika je 29 cm, a druga 21 cm. Povrπina pravougaonika je 609 cm2. 7. Krak je 10 cm, a osnovica 12 cm. Visina trougla je 8 cm, a povrπina trougla je 48 cm2.

8.4. 1. a) x = 3, y = 3; b) a = b = 2; v) m = n = 1. 1 7 2. a) x = 3, y = 4; b) a = , b = ; v) c = 1, d = 2. 5 5

170

3. a) x = y = 2; b) p = 1, y = ‡ 1; v) m = n = 0. 4. a) x = 5, y = 8; b) x = 4, y = 10; v) x = ‡ 1, y = 2. 5. Olovka koπta 10, a sveska 30 dinara.

6. Traæeni brojevi su 41 i 33. 7. Traæeni brojevi su 12, 24, 36 i 48.

4x - 7y = 15 4x - 7y = 15 i ima beskonaËno mnogo reπewa, tj. x = 7t + 9 i y = 4t + 3 (t ! R).

b) Dati sistem je ekvivalentan sa '

3x + 8y = 34 8. a) Dati sistem je ekvivalentan sa ' 3x + 8y = 24 i protivureËan je, tj. nema reπewa.

8.5. 2. a) x = 1, y = 3; b) x = 1, y = 1. 3. a) Kako su prave y = 7 ‡ 2x i y = 5 ‡ 2x paralelne, to sistem nema reπewa. b) Kako se prave y = 4x ‡ 3 i 12x ‡ 3y = 9 poklapaju, to system ima beskonaËno mnogo reπewa.

ни

ке

1. a) GrafiËkom metodom dobija se x = 1, y = 3. Proverom se uveravamo da je to stvarno reπewe. b) GrafiËkom metodom dobijamo da je potencijalno reπewe x = 4, y = 3, πto se proverom i dokazuje.

1. 2. 3. 4.

уџ

Traæeni brojevi su 603 i 1407. 50 i 31. Radi se o brojevima 40 i 20. »etvorokrevetnih soba ima 10, a trokrevetnih 8, pa je deËaka 40, a devojËica 24. 5. Uxbenik koπta 400, a zbirka 300 dinara.

бе

8.6.

9. Ваљак

за

9.1.

3 cm

8 cm

50 cm

3 cm

За во

9.2.

1. r = 5 cm, H = 10 cm, s = 10 cm. P = r2r = 25r cm2. 2. a = 15 2 - 8 2 cm = 161 cm, P = 2a $ H = 2 161 $ 20cm 2

= 40 161 cm 2 . r

d a a

171

9.3. 1.

5 cm

D1 H 16 cm C

ни

H2 r

уџ

ке

5 cm

бе

10π cm

1 1 2 M + B + 2rH = 32 (3r + 8) cm . 4 2

за

9.4.

За во

1. 2B + M = 48r cm2, M = 30r cm2; 2B = 18r cm2; B = r2r = 9r cm2, r = 3 cm; M = 2rrH = 30r cm2; rH = 15 cm2, H = 5 cm, V = 9r · 5 cm3 = 45r cm3. 2. V = 4 dm3, r = 7 cm, r2r · H = 4 dm3 = 4000 cm3, H=

4000 4000 4000 = cm = 25, 9cm. cm . 22 154 49r 49 $ 7

3. r2r · H = 100r cm3, 2r = 10 cm; r2H = 100 cm3, 100 r = 5 cm; H = cm = 4cm ; P = 90r cm2. 25

4. m = t · V; V = V1 ‡ V2 = (132r · 2000 ‡ 92r · 2000) mm3 = 2r (169 ‡ 81) cm3 . 552,64 cm3; m . 4,349 g. 5. r = 1,5 m, H = 1,20 m; V = 1,52r · 1,20 m3 = 2,7r m3, V$

80 = 2, 16rm 3 . 6, 7284m 3 = 6782, 4l. 100

172

10. Купа 10.1. 4.

1. r = 10 cm, H = 10 cm, s = 10 2 cm (slika ispod levo). V1

H 10cm 10cm

10cm

60˚

16√

30˚

Od veÊe kupe odseËena mala.

уџ

за

10.2.

2r $ H 2 = 48cm , 2

s = 16 3 cm.

1. Osni presek je jednakokraki trougao osnovice a = 2r =16 cm.

V H

Vaqku pridodata kupa.

бе

16 3 $ 3 cm = 24cm, 2

ни

2. Telo se sastoji iz dve kupe podudarnih osnova i jednakih visina. Za svaku od wih je r = 6 2 cm, H = 6 2 cm, s = 12 cm (slika iznad desno).

16 3 cm, H = SV = 2

Iz vaqka iseËena kupa.

3. r = AS =

ке

За во

H = 6 cm, s = H 2 + r2 , s = 10 cm. 2. Osni preseci kupa su V jednakokraki trouglovi. Osni presek naπe kupe je jednakokraki 12cm pravougli trougao visine 12 cm, zbog toga je r i r = 12 cm. S

r +H =

16 + 24 cm = 8 13 cm.

10.3.

1. s = r + H = 8 + 15 cm = 17cm, P = rr(r + s) = 8r(8 + 17) cm2 = 200r cm2. a 2. s = a = 17 cm, r = = 8, 5cm, 2 P = 8,5r(8,5 + 17) cm2 = 433,5r cm2. 3. s =

= 144 cm = 12cm. sra = 2rr , a = 240°. 180

s α

4. s = 2r, b).

(4 5 ) + 8 cm =

173

= 60 3 rcm 2 .

1 2 3 r r $ H = 4800rcm ; 3 1 2 3 b) r = 16 cm, H = 30 cm, V = r r $ H = 2560rcm . 3 a a 3 15 3 2. r = = 7, 5cm, H = = cm, 2 2 2 V = 37, 5r 3 cm 3 .

ни

10.4.

уџ

9 2 a 2 s - c m = 15cm , r = = 8cm, 2 2 V = 320r cm3. 4. a) Telo se sastoji od vaqka polupreËnika 8 cm i visine 12 cm i dve podudarne kupe polupreËnika osnove 8 cm i visine 6 cm. Zbog toga

за

12 cm

V = V1 + 2V2 = 8 2 r $ 12cm 3 + 2 $

6 cm

За во

8 cm

6 cm

8 cm

12 cm

b) Telo se dobija ako se od kupe polupreËnika osnove 12 cm i visine 16 cm odseËe kupa polupreËnika 6 cm i visine 8 cm. Zbog toga je 1 V = V1 - V2 = (12 2 r $ 16 - 6 2 r $ 8) cm 3 3 3 = 672rcm

8 cm

8 cm A

174

6 cm

S A

6 cm B

1 2 8 r $ 6cm 3 3

= 1024rcm

бе

1. a) r = 30 cm, H = 16 cm, V =

3. H =

ке

6. m = t · V = 8,5 g/cm3; V=

1 2 1 2 3 r r $ H = 2 r $ 6cm , 3 3

11. Лопта 11.1. 3.

1. U oba sluËaja 1 12 2 cm , r = 6 2 cm 2 a centar lopte je preseËna taËka O ortogonala kvadrata.

ке

ни

1 a 3 1 18 3 = cm = 3 3 cm. 3 2 3 2

уџ

R = rU =

12cm

бе

11.2.

M 17cm

за

1. Vidi primer 1 iz lekcije 11.2. Povrπina preseËnog kruga je P = 64r cm2.

15cm

M2 M1

N r2 S2

R r1 S1

R O

α2 α1

За во

r12 = R 2 - c

3. R = 25 cm, r1 = 24 cm, r2 = 7 cm. OS1 = 25 2 - 24 2 = = 7 cm,

S2 S1 O

175

= 132 ‡ x2 (izostavili smo pisawe cm) 1369 ‡ 1600 + 80x ‡ x2 = 169 ‡ x2, 80x = 400, x = 5 cm.

ке

ST = r = 13 2 - 5 2 cm = 12cm. Presek je kruænica polupreËnika 12 cm sa centrom u taËki S koja pripada duæi AB i na rastojawu je 5 cm od taËke B. 6. B1(O1,R), B2(O2,R). Trougao O1O2T je jednakostraniËan. PolupreËnik preseËnog kruga jeR 3 dnak je visini tog trougla, r = , pa je tra2 2 3R æena povrπina P = r. 4 T

40-x

S xB

13 c

37 c

ни

бе

уџ

7. a) Piteπti u Rumuniji; b) Madrid; v) Sankt Peterburg.

11.3.

За во

за

1. R = 8 cm, P = 4R2r = 256r cm2, 4 3 3 V = R r . 2143, 57cm . 3 2. 4R2r = 144r dm3, R2 = 36 dm2, R = 6 dm, V = 288r dm3. 4 3 3 3. 3052l = 3052dm = R r, R3r = 2289 dm3, 3 R3 . 729 dm3, R . 9 dm, P . 4 · 92r dm2 . 1017,36 dm2.

jednak rastojawu te taËke od temena prizme. U 2 a 3 pravouglom trouglu OT1A1 je A1 T1 = , 3 2 H 2 12 3 $ 3 OT = , A1 T1 = $ cm = 12cm, 2 3 2 OT = 15 cm, C1

= 12 2 cm, P = 4R2r = 4 · 2 · 144r cm2 = = 1152r cm2. a 5. 2R = a = 15cm, R = = 7, 5cm, 2 P = 4R2r = 4 · 7,52r cm2 = 225r cm2. 6. Centar lopte je srediπte duæi koja spaja teæiπta dowe i gorwe osnove a polupreËnik je

176

O C

1 1 4. R = a 2 = 24 2 cm = 2 2

R = OA1 =

OT12 + A1 T12 =

12 2 + 15 2 cm

4 r (R 31 - R 32) , R1 = 3 m, 3 = 27 m3, R23 = 26,198073 m3,

8. m = t · V, V = V1 - V2 = R2 = 2,97 m, R13

R13 ‡ R23 = 0,801927 m3, V=

4 3 3 r $ 0, 801927m = 4r $ 0, 267309m . 3

. 3,3589 cm3, t = 7,8 g/cm3, m . 26,19942 t.

бе

ни

ке

9. Potrebno je da zapremina vodotorwa bude veÊa od zapremine vode koja obezbeuje snabdevawe za 7200 sekundi. Zbog toga mora biti (1 l =

За во

за

уџ

177

Регистар појмова Сличност троуглова

ке

бе Призма

За во

178

уџ

за

– геометријско тело 31 – диедар 25 – дијагонала полиедра 31 – две равни 24 – ивица полиедра 31 – конвексан полиедар 32 – мимоилазне праве 19 – мрежа полиедра 32 – однос тачке и праве 15 – однос тачке и равни 15 – одређеност праве 15 – одређеност равни 16 – однос правих 19 – односи праве и равни 21 – ортогонална пројекција тачке на раван – паралелне равни 24 – полиедар 31 – прав диедар 25 – права паралелна равни 21 – права коса према равни 23 – права нормална на раван 21 – права продире раван 21 – права у равни 16 – пројекција дужи 28 – пројекција праве 28 – равни које се секу 24 – растојање тачке од равни 23 – симетрална раван дужи 24 – страна полиедра 31 – теме полиедра 31 – угао диедра 25 – угао између праве и равни 28 – узајамно нормалне равни 26

ни

Тачка, права, раван

Пирамида

ке

Ваљак

бе

ни

– ваљак 128 – висина ваљка 128 – запремина ваљка 135 – изводнице ваљка 128 – мрежа ваљка 133 – омотач ваљка 128 – оса ваљка 128 – осни пресеци ваљка 131 – основе ваљка 128 – површина ваљка 133 – полупречник ваљка 128 – пресеци ваљка равнима 130 – цилиндар 128

уџ

– апотема пирамиде 73 – бочна ивица пирамиде 73 – бочне стране пирамиде 72 – висина пирамиде 73 – врх пирамиде 73 – запремина пирамиде 85 – запремина правилне тростр. пирамиде 86 – запремина правилне четворос.пирамиде 85 – запремина правилне шестост. пирамиде 87 – ивица пирамиде 73 – једнакоивична пирамида 73 – мрежа пирамиде 76 – основа пирамиде 72 – основна ивица пирамиде 73 – пирамида 72 – површина пирамиде 78 – површина правилне тростране пирамиде 81 – површина правилне четворост.пирамиде 79 – површина правилне шестостр.пирамиде 81 – правилна пирамида 73 – пресек равни и пирамиде 73 – теме пирамиде 73 – тетраедар 73

Линеарна функција

За во

за

– вредност линеарне функције за х=0 92 – график линеарне функције 92 – домен функције 90 – имплицитни облик линеарне функције 99 – једначина праве 93 – коефицијент правца праве 93 – константна линеарна функција 97 – линеарна функција 89 – нагибни угао праве 97 – нула функције 94 – опадајућа линеарна функција 97 – растућа линеарна функција 97 – скуп вредности линеарне функције 91 Графичко представљање података – кружни дијаграм 105 – линијски графикон 103 – медијана 109 – популација 108 – средња вредност бројева 107 – статистика 101 – стубични дијаграм 104 – табеларно представљање података – узорак 108

102

115

Купа

– висина купе 137 – запремина купе 145 – изводнице купе 137 – конусна површ 137 – купа 137 – мрежа купе 141 – омотач купе 137 – описана купа 146 – оса купе 137 – осни пресеци купе 139 – површина купе 142 – пресеци купе равнима 139 – уписана купа 146 Лопта

– антиподалне тачке сфере 149 – велика кружница сфере 152 – географске координате 153 – екватор 153 – запремина лопте 156 – лопта 148 – меридијани 153 – описана лопта и сфера 155 – паралеле 153 – површина лопте 154 – полулопта и полусфера 157 – полупречник лопте и сфере 148 – пресеци лопте и сфере равнима 152 – пречник лопте и сфере 149 – сфера 148 – тангентна раван сфере 152 – уписана лопта и сфера 155 – центар лопте и сфере 148

179

Литература 1. МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ ЗА УЧЕНИКЕ ОСНОВНИХ ШКОЛА, Друштво математичара Србије, Београд (разна годишта)

ке

2. Драгољуб Милошевић, Борисав Симић: МАТЕМАТИЧКА ЧИТАНКА ЗА VII И VIII РАЗРЕД Завод за уџбенике, Београд, 2007.

ни

3. Миодраг Петковић: ЗАНИМЉИВИ МАТЕМАТИЧКИ ПРОБЛЕМИ Друштво математичара Србије, Београд, 2008.

бе

4. Ариф Золић, Борисав Симић: МАТЕМАТИЧКИ МОЗАИК, Друштво математичара Србије, Београд, 1989.

уџ

5. Manturov, Solncev, Sorkin, Fedin: MALI REČNIK MATEMATIČKIH TERMINA SA TUMAČEWIMA, Naučna knjiga, Beograd 1969.

• Друштво • Сајт

за

САЈТОВИ

математичара Србије – http://www.dms.org.yu

са великим бројем задатака – http: //www.problems.ru/ Википедија – http://sr.wikipedia.org/wiki/Математика

За во

• Енциклопдија

180