Математика 18211 by Zavod za udžbenike

за осми разред основне школе

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ www.zavod.co.rs k.b. 18211

Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић

ЗБИРКА

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

за осми разред основне школе

Вера Јоцковић Владимир Мићић Ђорђе Дугошија Војислав Андрић

ЗАДАТАКА ИЗ MАТЕМАТИКЕ

за осми разред основне школе

РЕЦЕНЗЕНТИ = др Ариф Золић Пера Цветиновић Милица Прошић УРЕДНИК = Милољуб Албијанић ОДГОВОРНИ УРЕДНИК = Слободанка Ружичић ЗА ИЗДАВАЧА = Милољуб Албијанић, директор и главни уредник CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2)(076) ЗБИРКА задатака из математике : за осми разред основне школе / Вера Јоцковић ... [и др.] ; [цртежи Марија Караћ]. – 2. изд. – Београд : Завод за уџбенике, 2011 (Београд : Графипроф). – 144 стр. ; граф. прикази ; 27 cm Тираж 15.000. ISBN 978-86-17-17448-2 1. Јоцковић, Вера, 1949– [аутор] COBISS.SR-ID 183014668

Министар просвете Републике Србије својим решењем број 650-02-133/2010-06 од 21. јула 2010. године, одобрио је овај уџбеник математике за издавање и употребу у осмом разреду основне школе. ISBN 978-86-17-17448-2 © ЗАВОД ЗА УЏБЕНИКЕ, Београд (2010–2011)

Ovo delo ne sme se umnoæavati, fotokopirati i na bilo koji naËin reprodukovati, ni u celini, a ni u delovima, bez pismenog odobrewa izdavaËa.

П Ова Збирка задатака намењена је ученицима осмог разреда основне школе и написана је према важећем Наставном програму за предмет Математика. Настојали смо да њоме дамо допринос успешном остваривању програма. Збирка припада уџбеничком комплету за осми разред Завода за уџбенике, који чине Уџбеник, Збирка задатака из математике за оне који желе и могу више и Приручник уз уџбеник са оријентационим распоредом У збирци су задаци дати према наставним темама. Наслови тема и лекција истоветни су са одговарајућим насловима у уџбенику а у оквиру њих задаци су дати, по нашем мишљењу, у логичном следу, од лакших ка тежим, што омогућава сваком ученику напредовање од препознавања и репродукције садржаја до њиховог пуног разумевања и примене. Задаци нису означавани звездицама (једном или више), што се често среће у збиркама задатака, јер смо сматрали да звездице могу ученике демотивисати и унапред обесхрабрити. Збирка садржи око 700 задатака у оквиру једанаест поглавља – наставних тема; за све су дати резултати а за велики број, пре свега сложенијих, дата су комплетна решења или упутства за њихово решавање. Дато је и око 100 задатака, намењених проверавању стечених знања; они су распоређени на крају сваке наставне теме и оформљени у облику контролних вежби, датих на три нивоа. Да би се олакшало рачунање, на крају књиге дата је таблица квадрата бројева од 1 до 100. Иако њу, у свакодневној настави, успешно замењују џепни рачунари, што по нашем мишљењу треба и подстицати, због проблема који се у вези с тим јављају приликом провера знања (контролних вежби и писмених задатака), када се, по правилу, не дозвољава употреба џепних рачунара, добро је да се ученици увежбају у раду с таблицом и оспособе за њено коришћење. Неће представљати проблем да се за саму проверу знања припреме копије таблице, како се она не би злоупотребила. Захваљујемо се рецензентима др Арифу Золићу, Милици Прошић и Пери Цветиновићу на корисним примедбама и сугестијама. Са захвалношћу ћемо примити све конструктивне примедбе и предлоге корисника књиге. Београд, 2010. године Аутори

Садржај 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Талесова теорема ................................................................................................................................................. Сличност троуглова .......................................................................................................................................... Ставови сличности троуглова ..................................................................................................................... Примена сличности на правоугли троугао ..............................................................................................

, , 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни Односи правих. Мимоилазне праве Однос праве и равни. Права нормална на раван. Растојање тачке од равни Односи две равни Ортогонална пројекција на раван Полиедар

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

Појам једначине Еквивалентне трансформације једначина Примена линеарних једначина Неједначине Еквивалентне неједначине Примена линеарних неједначина

4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

Призма. Појам, врсте, елементи Мрежа призме Површина призме. Површина усправне четворостране призме Површина правилне тростране призме. Површина правилне шестостране призме Запремина призме. Запремина усправне четворостране призме. Запремина правилне тростране призме. Запремина правилне шестостране призме. Маса тела.

1 7 8 10 12

2 16 17 18 19 21 22

3 25 25 27 29 30 31

4 34 36 37 39 41

Појам, врсте, елементи Мрежа пирамиде................................................................................................ Површина пирамиде. Површина четворостране пирамиде Површина правилне тростране пирамиде. Површина правилне шестостране пирамиде Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде Запремина правилне тростране пирамиде. Запремина правилне шестостране пирамиде

46 48 49 51 53 55

6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5.

Функција y = kx + n График линеарне функције Нуле и знак линеарне функције Ток линеарне функције Имплицитни облик линеарне функције

7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина 7.2. Стубични и кружни дијаграми 7.3. Средња вредност и медијана

8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

Појам система линеарних једначина са две непознате Еквивалентност система линеарних једначина са две непознате Решавање система линеарних једначина са две непознате методом смене Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената 8.5. Решавање система линеарних једначина са две непознате графичком методом 8.6. Примена система линеарних једначина са две непознате

9.1. 9.2. 9.3. 9.4.

Ваљак и његови елементи Равни пресеци ваљка Мрежа ваљка; површина ваљка Запремина ваљка

10.1. 10.2. 10.3. 10.4.

Купа и њени елементи Равни пресеци купе Мрежа купе; површина купе Запремина купе

11.1. Појам лопте и сфере 11.2. Пресеци лопте (сфере) и равни 11.3. Површина и запремина лопте

, ,

6 59 60 61 62 63

7 65 67 68

8 72 73 73

74 75 76

9 79 80 81 83

10 86 87 88 89

11 92 93 94

1.1. Талесова теорема Подсети се

Ako paralelne prave na jednoj pravoj odsecaju duæi a i b a na drugoj al i bl (sl. 1), onda vaæi a : b = al : bl. b a a a' a'

b b'

b' p

1. Neka paralelne prave seku krake nekog ugla pOq u taËkama A, B na kraku p odnosno Al, Bl na kraku q.

B A

Ako je OA : AB = 4 : 3, dokaæi da je AAl : BBl = 4 : 7. 2. Prave AAl i BBlsu paralelne. Odredi nepoznatu duæinu x prema slici: a)

12 O

p x

x q

15 A'

q O

5 A'

B 10 x

3. Dve paralelne prave seku par pravih kao na slici. Odredi nepoznatu duæinu x. a)

b) 12

x 4

4. Na jednom kraku ugla nalaze se duæi duæina 3 i 4. Kroz wihove krajeve konstruisane su paralelne prave koje na drugom kraku odsecaju dva odseËka. Ako je duæina veÊeg 6, kolika je duæina maweg od wih?

5. Neka je ABCD trapez sa osnovicama AB i CD i M taËka kraka AD koja ga deli u razmeri 2 : 3. Prava kroz M paralelna osnovicama seËe krak BC u taËki N. Odredi BN : NC. 6. Podeli konstruktivno datu duæ: a) na 3 jednaka dela; b) u razmeri 2 : 3 : 5; v) u razmeri 1 :

2 ; g) u razmeri 2 : 3 .

7. Kroz temena trougla konstruisane su prave paralelne naspramnim stranicama. Dokaæi da one odreuju trougao Ëije su stranice dva puta veÊe od stranica polaznog trougla. 8. Na stranicama AB i AC trougla ABC izabrane su taËke M i N, pri Ëemu je AM : AB = 3 : 4 , AN : AC = 3 : 4. Ako je BC = 8 odredi duæinu MN. 9. Osnovice trapeza su duæina a = 7 cm i b = 4 cm. Dve prave paralelne osnovicama dele jedan krak na tri jednaka dela. Odredi duæine duæi koje one grade sekuÊi trapez. 10. Konstruiπi duæi Ëije su duæine jednake x =ab, y =ab/c, z = a/b (a, b, c su duæine datih duæi, jediniËna duæ je 1 cm). 11. Dokaæi da pri paralelnom osvetqewu jednake duæi na jednoj pravoj imaju jednake senke na drugoj pravoj. 12. Neka su a i b dve samerqive duæi jedne prave i al, bl wihove senke baËene pri paralelnom osvetqewu na drugu pravu. Dokaæi da su ali blsamerqive.

1.2. Сличност троуглова Подсети се

Trougao ABC je sliËan trouglu KLM, u zapisu 9ABC ~9 KLM, ako je \A = \K, \B = \L, \C = \M. OdgovarajuÊe stranice sliËnih trouglova su proporcionalne: AB : KL = BC : LM = CA : MK = k. Odnos obima sliËnih trouglova jednak je koeficijentu sliËnosti k. Odnos povrπina sliËnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenta sliËnosti k2.

1. Dat je trougao ABC. Konstruiπi wemu sliËan trougao KLM, ako je koeficijent 1 2 sliËnosti jednak: a) 2; b) ; v) ; g) 2 . 2 3 2. Dve paralelne prave grade sa parom pravih koje se seku odseËke Ëija je duæina prikazana na slikama

y A' 5 4 A O 6 8 B' x

2 A y

x 3

a) Obeleæi i zapiπi koji su trouglovi sliËni. b) IzraËunaj nepoznate duæine x i y. 3. Da li su sliËni trouglovi Ëija su dva ugla 24° i 42° odnosno 42° i 114°? 4. Dve paralelne prave grade na kracima ugla odseËke duæina kao na slici. Odredi nepoznate x i y.

5. Neka je k konstanta sliËnosti dva sliËna trougla ABC i KLM. Kolika je razmera teæiπnih duæi iz B i iz L?

6. Neka je ABC ~ AlBlCl, AB = 12, BC = 15, BlCl = 40, AlCl = 24. Koliko je AC i AlBl? 7. Trougao ABC ima stranice AB = 3 cm, BC = 9 cm, CA = 8 cm. Obim wemu sliËnog trougla KLM je 30 cm. Odredi stranice tog trougla. 8. Trougao ABC ima stranice AB = 10 cm, BC = 8 cm, CA = 6 cm. Povrπina wemu sliËnog trougla KLM je 70 cm2. Odredi stranice tog trougla. 9. Neka su ABC i A1B1C1 sliËni trouglovi. Najduæa stranica trougla ABC je 24 cm, a najkraÊa visina trougla A1B1C1 je 10 cm. Ako je povrπina trougla A1B1C1 jednaka 60 cm2 izraËunaj povrπinu trougla ABC. 10. IzraËunaj duæinu x na slici ispod levo. L C

y 7

84˚ 6

11. Trouglovi ABC i KLM na slici iznad desno su sliËni. Odredi x, y i \K.

12. IzraËunaj hipotenuzu AC prema slici ispod levo. C F

E 3

2 y

8 A

13. ABCD je paralelogram, AB = 8, AD = 5, CF = 2. Odredi x i y sa slike iznad desno. 14. Da li su sliËna dva jednakokraka trougla Ëiji su tupi uglovi jednaki? 15. Odredi uglove romba Ëije su dijagonale 2 3 , 2 . 16. Da li su sliËni trouglovi Ëije stranice imaju duæine 3, 6, 7 i 4,5; 7,5 i 10,5?

17. IzraËunaj x : y prema podacima sa slike ako je ABCD paralelogram. 18. Obim trougla ABC je 18. Ako je 9ABC ~ 9DEF, DE = 6, EF = 9, DF = 12 odredi stranice trougla ABC.

y A

19. Stranice trougla su 3, 4 i 5. Povrπina wemu sliËnog trougla je 24. Kolike su stranice drugog trougla? 20. Dato je 9ABC ~ 9DEF i AB = 12, BC = 10, EF = 15, DF = 9. Odredi DE i AC. 21. IgraË je udaqen 12 m od mreæe visoke 0,9 m. Sa koje visine treba da servira tenisku lopticu ako æeli da ona malo iznad pree mreæu i padne 6m daleko u poqe protivnika?

1.3. Ставови сличности троугла Подсети се

UU: Dva trougla su sliËna ako imaju po dva odgovarajuÊa ugla jednaka. RUR: Dva trougla su sliËna ako im je po jedan ugao jednak a stranice na wihovim kracima proporcionalne. RRR: Dva trougla su sliËna ako su im odgovarajuÊe stranice proporcionalne.

Da li su sliËni trouglovi na slici: 9

2. Koji od trouglova na slici su sliËni? 1

II 2

I 75˚

75˚

III

2,5

3 30˚

VI 3

V 2

3. Dokaæi da su trouglovi na koordinatnoj mreæi na slici sliËni. 4. Da li su sliËni trouglovi Ëije su stranice: a) 15 cm, 18 cm, 7 cm odnosno 36 cm,14 cm, 30 cm; b)

3 cm, 2 cm, 2cm i

6 cm, 2 2 cm, 2cm .

5. Neka se visine NA i MB trougla NMH seku u taËki O (vidi sliku).

a) OznaËi na slici jednake uglove. b) Dokaæi da je 9NOB ~ 9MOA i izraËunaj MO, ako je NO = 21 cm, NB = 14 cm, MA = 12 cm. v) Dokaæi da je 9NAH ~ 9MBH i izraËunaj NH, MB i BH, ako je AH = 3 m, MH = NA =4 m. 6. Neka su AA1 , BB1 , CC1 visine trougla ABC. Dokaæi N da su sliËni trouglovi

A O

a) ABB1 i ACC1; b) ABC i A1BC1. 7. Dijagonale trapeza BCDE Ëije su osnovice BE i CD seku se u taËki H. 1. Dokaæi da je 9BHE ~ 9DHC. 2. IzraËunaj osnovicu CD ako je: a) BE = 32, BH = 28, HD = 21; b) BE = 36, EH = 32, CH = 24. 3. IzraËunaj dijagonale trapeza ako je:

4. IzraËunaj osnovicu BE ako je:

a) BE = 45, CD = 27, BH = 40, CH = 21;

a) BD = 30, BH = 18, CD = 8;

b) BE = 49, CD = 28, DH = 24, EH = 35.

b) BD = 20, DH = 8, CD = 6.

8. Na stranici BC paralelograma ABCD izabrana je taËka M. Prava DM seËe pravu AB u taËki N. 1. Dokaæi da je 9BNM ~ 9AND

2. IzraËunaj stranicu AB ako je: a) AD = 25, BN = 8, BM = 10:

b) NM = 6, BN = 8, DN = 15.

3. IzraËunaj stranice paralelograma ako je: a) AN = 15, BM = 8, BN = 6;

b) BN = 6, BM = 1, AN = 18.

9. Dve tetive AB i CD kruænice k seku se u taËki M. Dokaæi da je 9MAD ~ 9MCB i MA · MB = MC · MD.

1.4. Примена сличности на правоугли троугао Подсети се

Ako je ABC pravougli trougao sa pravim uglom \C, visina h iz temena C deli ga na dva pravougla trougla sliËna polaznom trouglu.

D p

Iz 9ABC ~ 9CBD sledi a : b : c = p : h : a, a iz 9ABC ~ 9ACD sledi a : b : c = h : q : b. 2

Odavde nalazimo: p =

a b ab , q= , h= = pq . c c c

h a

1. IzraËunaj duæine stranica pravouglog trougla ako je dato: a) visina koja odgovara hipotenuzi h = 4 cm i odseËak p = 3 cm koji ona gradi na hipotenuzi; b) kateta a = 13 cm i visina koja odgovara hipotenuzi h = 5 cm. v) OdseËci p = 4 cm i q = 9 cm na koje visina deli hipotenuzu. 2. Konstruiπi pravougli trougao sa elementima iz prethodnog zadatka. 3. IzraËunaj duæinu dijagonala deltoida ABCD ako je \A = \C = 90° i AB = 12 cm, AD = 5 cm. 4. IzraËunaj stranice deltoida ABCD ako je \A = \C = 90°, dijagonala AC = 6 cm, a veÊi odseËak dijagonale BD do preseËne taËke dijagonala je 4 cm. 5. IzraËunaj stranice deltoida ABCD ako je \A = \C = 90°, a odseËci na koje je dijagonala BD razloæena preseËnom taËkom dijagonala su 12 cm i 3 cm.

6. Date su duæi duæina a i b. Konstruiπi duæ duæine: a)

ab , b)

a 2 + ab ; v)

a 2 + b 2 + ab .

7. Data je osnovica jednakokrakog trougla a = 20 cm i visina koja odgovara kraku h = 16 cm. U kojoj razmeri ona deli krak? 8. Trougao ABC je jednakokrak. Visina koja odgovara osnovici AB je 10 cm a visina koja odgovara kraku je 16 cm. Odredi stranice tog trougla. 9. IzraËunaj stranice pravouglog trougla kome je jedna kateta jednaka 6 cm a odnos druge katete i hipotenuze je 4 : 5. 10. Konstruiπi pravougli trougao kome je hipotenuza 7 cm a razmera kateta a : b = 3 : 4. 11. Iz dva naspramna temena pravougaonika spuπtene su normale na dijagonalu. Ako one dele dijagonalu na tri jednaka dela, odredi razmeru stranica pravougaonika. 12. Neka je ABCD pravougaonik stranice AB = 10 cm. Ako je rastojawe temena B do dijagonale AC jednako 8 cm, izraËunaj povrπinu pravougaonika. 13. Podnoæje hipotenuzine visine udaqeno je od kateta pravouglog trougla 3 cm i 4 cm. IzraËunaj duæine stranica trougla. 14. Podnoæje hipotenuzine visine udaqeno je od srediπta kateta pravouglog trougla 3 cm i 4 cm. IzraËunaj duæinu hipotenuze. 15. Za katete sliËnih pravougaonih trouglova ABC i A1B1C1 vaæi b2 = 1 ‡a2 i b 21 = 4 - a 21 . Ako su O i O1 obimi, redom, trouglova ABC i A1B1C1, tada je: a) O1 = 4O; b) O1=

1 O; v) O1 = 2O; g) O1 = 2,5 O; d) O1 = O + 2. 2

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 16. Neka su A1 i B1 podnoæja visina AA1 i BB1 troula ABC. SliËni trouglovi su: a)ABC i A1BA; b) ABC i A1AB1; v)ABC i A1B1C ; g) ABC i AB1C . Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

I ниво p

1. Dve paralelne prave odsecaju na dvema pravama koje se seku odseËke duæina prema slici. Odredi nepoznate duæine x i y.

3 4 O

2. Da li su sliËni trouglovi prikazani na slici?

9 3

40˚

40˚ B

3. Trouglovi ABC i KLM su sliËni. Obim trougla ABC je 32 cm a najmawa stranica je AB = 4 cm. Dve duæe stranice trougla KLM su 26 cm i 30 cm. Odredi najkraÊu stranicu trougla KLM. 4.

OdseËci koje na hipotenuzi pravi visina pravouglog trougla su 3 cm i 12 cm. Kolike su katete?

II ниво 1. Dve paralelne prave odsecaju na dvema pravama koje se seku odseËke duæina prema slici. Odredi nepoznate duæine x i y.

10 4

2. Neka su ABC i A1B1C1 sliËni trouglovi. y 8 Najduæa stranica trougla ABC je 15 cm, a najkraÊa visina trougla A1B1C1 je 4 cm. Ako je povrπina trougla A1B1C1 jednaka 6 cm2 , izraËunaj povrπinu trougla ABC. 3. Visine koje odgovaraju osnovici i kraku jednakokrakog trougla ABC redom su 16 cm i 12 cm. Obim wemu sliËnog trougla A1B1C1 je 22 cm. IzraËunaj stranice trougla A1B1C1. 4. Neka su AA1, BB1, CC1 visine trougla ABC. Dokaæi da su sliËni trouglovi ABB1 i ACC1.

III ниво p

1. Dve paralelne prave odsecaju na dvema pravama koje se seku odseËke duæina prema slici. Odredi nepoznate duæine x i y. y

2. Neka za uglove trougla ABC vaæi da je \BAC = 2\ABC. Dokazati da je a2 = b(b + c). 3. Neka je ABCD trapez. Duæ EF je paralelna osnovicama AB = a, CD = b, pri ËemuE ! AD, F ! BC. Ako je AE : ED = 3 : 4. IzraËunaj EF.

4 O

x 2

4. Neka je trougao ABC pravougli \ACB = 900. Ako simetrala ugla CAB gradi na kateti BC odseËke duæine 13 cm i 5 cm, izraËunaj stranice trougla ABC.

,, ,, 2.1. Однос тачке и праве. Однос тачке и равни. Одређеност праве. Одређеност равни Подсети се

Dve razliËite taËke odreuju jednu jedinu pravu. Ako dve razliËite taËke A i B pripadaju ravni, tada sve taËke prave AB pripadaju toj ravni. Tri taËke koje se ne nalaze na jednoj pravoj odreuju taËno jednu ravan. Prava i taËka van we odreuju taËno jednu ravan Dve prave koje se seku odreuju taËno jednu ravan. Dve razliËite paralelne prave odreuju taËno jednu ravan.

Zaokruæi slovo ispred reËenica koje su taËne: a) Ravan je odreena pravom i taËkom van we. b) Dve prave odreuju jednu ravan. v) Tri taËke odreuju jednu ravan. g) Ravan je odreena s dve prave koje se seku.

Dato je sedam razliËitih taËaka, pri Ëemu ne postoje tri taËke koje su na istoj pravoj. Koliko je pravih odreeno parovima tih taËaka? Prikaæi reπewe odgovarajuÊom skicom.

Dato je deset razliËitih taËaka. Parovima tih taËaka je odreeno najviπe: a) 5; b) 10; v) 20; g) 45; d) 90 pravih. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

4. Neka su A1, A2,.. , A5 razliËite taËke koje pripadaju kruænici k(O,r). Koliko je: a) najmawe; b) najviπe pravih odreeno parovima taËaka O, A1, A2,.. , A5 ? 5.

Dat je skup od 20 taËaka pri Ëemu wih 10 pripada jednoj pravoj? Koliko je najviπe pravih odreeno parovima taËaka iz tog skupa?

Koliko pravih je odreeno parovima temena kocke prikazane na slici?

B1 D

Dato je 5 paralelnih pravih pri Ëemu wih 3 pripada jednoj ravni. Koliko je najviπe ravni odreeno parovima tih pravih? A

C B

2.2. Односи правих. Мимоилазне праве Подсети се

Za dve prave se kaæe da su mimoilazne ako ne postoji nijedna ravan kojoj pripadaju.

Date su reËenice: a) Ako dve prave nisu paralelne, onda se one seku. b) Ako se dve prave ne seku, onda su one paralelne. v) Ako su dve prave u jednoj ravni i nisu paralelne, onda se one seku. Zaokruæi slovo ispred reËenice koja je taËna.

Neka prava p seËe pravu q i neka prava q seËe pravu r. U kakvom poloæaju mogu biti prave p i r ako su prave p, q i r u jednoj ravni?

Prave a i b se seku u taËki P. Prava c seËe prave a i b. a) Ako prava c ne sadræi taËku P, tada se prave a, b i c nalaze u jednoj ravni. b) Ako prava c sadræi taËku P, tada se prave a, b i c ne nalaze u jednoj ravni. Koja od ovih reËenica je taËna?

Neka je prava p paralelna pravoj q i neka prava q paralelna pravoj r. U kakvom su poloæaju prave p i r ako su prave p, q i r u jednoj ravni?

Neka je prava p paralelna pravoj q i neka prava q paralelna pravoj r. U kakvom su poloæaju prave p i r ako prave p, q i r nisu u jednoj ravni?

U ravni su date tri prave koje meusobno nisu paralelne. U koliko taËaka se seku neke od tih pravih?

Prave m i n su mimoilazne. Prava a je paralelna pravoj m, a prava b je paralelna pravoj n. Prave a i b mogu da:

D1 A1

a) se seku; b) se mimoilaze; v) budu paralelne. Samo jedan od ovih odgovora ne moæe biti taËan. Koji? 8.

Na modelu kocke ABCDA1B1C1D1 prikazanom na slici utvrdi koje prave odreene temenima kocke su mimoilazne sa pravom BD1.

C1 B1

D A

C B

2.3. Однос праве и равни. Права нормална на раван. Растојање тачке од равни Подсети се

Ako prava i ravan nemaju zajedniËkih taËaka ili je prava u ravni, kaæemo da je prava paralelna ravni. Kaæemo da je prava a normalna na ravan a ako je prava a normalna na svaku pravu ravni a koja sadræi taËku prodora prave a i ravni a. Ako je prava n, koja prodire ravan a u taËki N, normalna na dve prave te ravni koje sadræe taËku N, onda je prava n normalna na ravan a. Ako prava prodire ravan i nije normalna na ravan kaæe se da je kosa prema ravni. TaËka A je van ravni a. Neka je N prodor normale iz taËke A na ravan a kroz ravan a. Kaæemo da je duæina duæi AN rastojawe taËke A od ravni a.

RazliËite taËke A i B su u ravni a, a taËke C i D su van ravni a tako da su prave AC i BD normalne na ravan a. Koliko razliËitih ravni je odreeno taËkama A, B, C, D?

TaËka O je centar kruænice opisane oko trougla ABC. U taËki O je konstruisana normala p na ravan ABC. Na pravoj p je izabrana taËka M. Dokaæi da je AM = BM = CM.

3. TaËke A, B i C su temena jednakostraniËnog trougla. a) Gde se u prostoru nalazi taËka jednako udaqena od ovih taËaka? b) Koliko ima takvih taËaka? 4.

Neka je ABC jednakostraniËni trougao stranice AB = 12 cm. U centru O kruænice opisane oko ovog trougla je postavqena normala n na ravan trougla. TaËka M je na pravoj n. a) IzraËunaj rastojawa taËke M od temena trougla ako je OM =1 cm. b) IzraËunaj rastojawe taËke M od ravni trougla ako je AM = 8 cm.

U ravni a se nalazi pravougli trougao ABC sa katetama AC = 10 cm i BC =24 cm. U srediπtu C1 hipotenuze AB postavqena je duæ C1M normalna na ravan a. a) TaËka M je od ravni a udaqena 13 cm. Kolika je duæ MC? b) Ako je duæ MC = 26 cm, koliko je taËka M udaqena od temena A?

TaËka S je centar kruænice upisane u kvadrat ABCD. U taËki S je konstruisana normala n na ravan ABCD. Na pravoj n je izabrana taËka M. Dokaæi da je taËka M na jednakim rastojawima od stranica kvadrata.

Neka je ABC jednakostraniËni trougao stranice AB =18 cm. U centru S kruænice upisane u ovaj trougao je postavqena normala n na ravan trougla. TaËka M je na pravoj n. IzraËunaj rastojawa taËke M od stranica trougla ako je SM =3 cm.

8. Neka je ABCDA1B1C1D1 kocka ivice a. Neka je taËka S srediπte strane BCC1B1 , a T srediπte ivice AB. Dokaæi da je ugao TBS prav.

C1 B1 S

D T

10. Pravougli trougao ABC (\C = 90°) je u D ravni a. TaËka D je van ravni a tako da je DC normalno na AC i DC = CB. Dokaæi da je trougao ABC podudaran trouglu ADC. Da li je prava DC normalna na ravan a? Da li je prava BC normalna na ravan ACD? Obrazloæi odgovore. Vidi sliku!

9. Neka su taËke A, B i C u vertikalnoj ravni a, a taËka D ispred ravni tako da je DA normalno na a. Ako je AB = AC, dokaæi da je DB = DC. Vidi sliku!

A C

11. Na ivicama BA i BC kocke ABCDA1B1C1D1 date su taËke M i N tako da je BM = BN. Vidi sliku. a) Dokaæi da je D1M = D1N. b) U kakvom je poloæaju prava MN prema ravni BDD1?

12. Ravan a sadræi srediπte S duæi AB. Svaka taËka ravni a na jednakim je rastojawima od krajwih taËaka duæi AB. Dokaæi da je ravan a normalna na duæ AB.

D1 A1

C1 B1

D A

C MB

2.4. Односи две равни Подсети се

Za dve ravni koje nemaju nijednu zajedniËku taËku ili se poklapaju kaæemo da su paralelne. α

Za dve ravni koje imaju zajedniËku pravu kaæemo da su seku.

apb ‡ diedar pa, pb ‡ strane diedra p ‡ ivica diedra \aSb‡ ugao diedra

S p

Ravan a seËe ravni b i c redom po pravim p i q. U kakvom poloæaju mogu biti ravni b i c ako se prave p i q: a) seku; b) poklapaju?

2. Ravan a seËe ravni b i c redom po pravim m i n. U kakvom poloæaju mogu biti prave m i n ako se ravni b i c: a) seku; b) poklapaju? 3. Ravan c seËe ravan a po pravoj a i seËe ravan b po pravoj b. a) Ako su razliËite ravni a i b paralelne, tada su prave a i b paralelne. b) Ako su razliËite prave a i b paralelne, tada su ravni a i b paralelne. Koja od ovih reËenica je taËna? 4. Neka je ugao aSb ugao diedra apb i A neka taËka na polupravoj Sa. TaËka B je podnoæje normale n iz taËke A na polupravu Sb. U kakvom je poloæaju prava n prema poluravni pb? 5. Ugao diedra apb je 60°. Ako je taËka K na strani ap i od ivice p je na rastojawu od 6 cm, koliko je rastojawe taËke K od druge strane diedra ? 6. Ugao diedra apb je 30°. Ako je taËka A na strani ap i od strane pb je na rastojawu od 5 cm, koliko je rastojawe taËke A od ivice diedra? 7. TaËka A je na strani ap diedra apb. Od strane pb taËka A je na rastojawu od 5 cm, a od ivice diedra: a) 10 cm; b) 5 2 cm ; v) 5 cm. Koliki je ugao diedra apb? 8. Ugao diedra apb je 60°. TaËke A i B su na ivici p i AB = 10 cm. JednakostraniËni trouglovi ABC i ABD su poluravnima ap i pb. IzraËunaj CD. 9. Neka je ugao aSb ugao pravog diedra apb i neka su taËke A i B redom na polupravim Sa, Sb. Ako je SA = 4 cm, SB = 5 cm, koliko je AB? 10. Neka je diedar apb prav i neka su taËke A i B na ivici p. Kvadrati ABCD i ABMN su redom u poluravnima ap i pb. Ako je AB = 4 cm izraËunaj CM i CN ? (Vidi sliku dole levo.) β

α D

p N

B M

11. Neka je prava n normalna na ravan a. Svaka ravan b, koja sadræi pravu n, normalna je na ravan a. Proveri i dokaæi. (Vidi sliku gore desno.)

2.5. Ортогонална пројекција на раван Подсети се

Ortogonalna projekcija (slika) taËke A na ravan r je taËka Al u kojoj normala iz taËke A na ravan r prodire ravan r. Oπtri ugao a koji obrazuje prava a sa svojom projekcijom al na ravan r naziva se ugao izmeu prave a i ravni r. Za ugao a se kaæe i da je nagibni ugao prave a prema ravni r.

n A

a' π

TaËka A je u ravni r, a taËka B je van te ravni. IzraËunaj duæinu projekcije AlBl duæi AB na ravan r ako je: a) AB = 5 cm, BBl= 4 cm; b) AB = 2,6 dm, BBl = 1 dm; v) AB =

α A

15 cm, BBl = 6 cm .

TaËka A je u ravni r, a taËka B je van te ravni. IzraËunaj duæinu projekcije AlBl duæi AB na ravan r ako je:

a) AB = 8 cm, \BABl = 30°; b) BBl = 12cm, \BABl = 45c ; v) AB = 6 3 cm, \BABl = 60c . 3.

TaËka C je u ravni r, a taËka S je van te ravni. IzraËunaj duæinu duæi CS ako je: a) ClSl = 5 cm, SSl = 12cm; b) SSl = 8 cm, \SCSl = 45°; v) ClSl = 6 cm, \SCSl = 60°.

TaËke A i B su sa iste strane ravni a. Ako je AB = 10 cm i a) Al Bl = 5 3 cm , b) Al Bl = 5 2 cm , pri Ëemu je AlBl projekcija duæi AB na ravan a, odredi ugao izmeu prave AB i ravni a.

Jednakokraki trougao ABC, AB = 10 cm, AC = BC = 13 cm, se nalazi u ravni koja seËe ravan r po pravoj AB. IzraËunaj obim i povrπinu trougla AlBlCl, koji je projekcija trougla ABC na ravan r. Ravni ABC i r zaklapaju ugao od: a) 30°; b) 45°; v) 60°.

Jednakokraki trougao ABC, AB = 6 cm, AC = BC = 3 5 cm , se nalazi u ravni koja seËe ravan r po pravoj AB. Koliki ugao zaklapaju ravni ABC i r ako je projekcija trougla ABC na ravan r jednakostraniËni trougao AlBlCl?

7. Kvadrat ABCD, AB = 6 cm, se nalazi u ravni koja seËe ravan r po pravoj AB. IzraËunaj obim i povrπinu Ëetvorougla AlBlClDl, koji je projekcija kvadrata ABCD na ravan r. Ravni ABC i r grade ugao od: a) 30°; b) 45°; v) 60°. 8. Pravougaonik ABCD, AB = 4 cm, BC = 8 cm se nalazi u ravni koja seËe ravan r po pravoj AB. Koliki ugao zaklapaju ravni ABC i r ako je projekcija pravougaonika ABCD na ravan r kvadrat AlBlClDl? 9. Ravan trougla ABC zaklapa sa ravni a ugao od 45°. Trougao ABC je jednakokraki pravougli. Hipotenuza AB = 12 cm pripada ravni a. a) IzraËunaj povrπinu trougla ABCl gde je Cl normalna projekcija temena C na ravan a. b) IzraËunaj ugao koji prava AC zaklapa sa a. 10. TaËka O je centar kruænice opisane oko trougla ABC. U taËki O je konstruisana normala p na ravan ABC. Na pravoj p je izabrana taËka M. Dokaæi da su nagibni uglovi pravih AM, BM, CM prema ravni trougla ABC jednaki. 11. Kvadrat ABCD, AB = 8 cm, se nalazi u ravni a koja seËe ravan r . IzraËunaj povrπinu Ëetvorougla AlBlClDl, koji je projekcija kvadrata ABCD na ravan r ako je teme A u ravni r a dijagonala BD je paralelna ravni r. Ravni a i r zaklapaju ugao od: a) 30°; b) 45°; v) 60°.

2.6. Полиедар Подсети се

Geometrijsko telo Ëija povrπ je sastavqena od konaËno mnogo mnogouglova naziva se poliedar.

Koliko temena, ivica i strana ima svaki od poliedara prikazanih na slici.

Nacrtaj mreæu kvadra Ëije su ivice 2 cm, 3 cm, 4 cm.

PreseËemo kocku jednom ravni. Nastaju dva tela. Da li su ta tela poliedri?

Povrπ poliedra je sastavqena od 8 podudarnih jednakostraniËnih trouglova. Koliko ivica ima taj poliedar?

Povrπ poliedra je sastavqena od 20 podudarnih jednakostraniËnih trouglova. Taj poliedar ima: a) 20; b) 25; v) 30; g) 40; d) 60 ivica. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

I ниво 1.

Dato je 9 razliËitih taËaka, pri Ëemu ne postoje tri taËke koje su na istoj pravoj. Koliko je pravih odreeno parovima tih taËaka?

Ugao diedra apb je 60°. TaËka M se nalazi u unutraπwosti diedra i od strana diedra je na rastojawu od po 3 cm. Koliko je rastojawe taËke M od ivice diedra?

IzraËunaj duæinu projekcije AlBl duæi AB na ravan r ako je AB = 17 cm, AAl = 1 cm, BBl = 9 cm. TaËke A i B su sa iste strane ravni π.

II ниво 1.

Dato je 9 razliËitih taËaka, pri Ëemu postoje taËno tri taËke koje su na jednoj pravoj. Koliko je pravih odreeno parovima tih taËaka?

Ugao diedra apb je 120°. TaËka M se nalazi u unutraπwosti diedra, na jednakim rastojawima od strana diedra, a od ivice diedra je na rastojawu od 10 cm. Koliko je rastojawe taËke M od strana diedra?

IzraËunaj duæinu projekcije AlBl duæi AB na ravan π ako je AB = 17 cm, AAl = 7 cm, BBl = 8 cm. TaËke A i B su sa raznih strane ravni π.

III ниво 1.

Dato je 10 razliËitih taËaka, pri Ëemu postoje taËno 4 taËke koje su na jednoj pravoj. Koliko je pravih odreeno parovima tih taËaka?

Ugao diedra apb je 90°. TaËka M se nalazi u unutraπwosti diedra, od jedne strane diedra je na rastojawu od 3 cm, a od ivice diedra 6 cm. Koliko je rastojawe taËke M od druge strane diedra?

IzraËunaj duæinu projekcije AlBl duæi AB na ravan r ako prava AB zaklapa sa ravni r ugao od 30° i AB = 20 cm.

3 ! Подсети се

n JednaËina po nepoznatoj (promenqivoj) x je jednakost oblika L = D, gde su L i D algebarski racionalni izrazi od kojih bar jedan sadræi nepoznatu (promenqivu) x. Izraze L i D zvaÊemo leva, odnosno desna strana jednaËine. n Reπewe jednaËine L = D po nepoznatoj x (L i D su racionalni algebarski izrazi od kojih bar jedan sadræi nepoznatu x), je svaki realan broj x0 za koji je jednakost L = D taËna. n JednaËinu oblika x = x0, smatraÊemo jednaËinom u reπenom obliku. n Domen jednaËine L = D po nepoznatoj x je skup M svih relanih brojeva za koje postoje algebarski racionalni izrazi L i D. Takve vrednosti nazivamo dopustivim vrednostima nepoznate (promenqive) x. n Skup reπewa date jednaËine L = D Ëine svi realni brojevi iz skupa dopustivih vrednosti M date jednaËine za koje je jednakost L = D taËna. n JednaËina po nepoznatoj x oblika L = L, gde je L algebarski racionalni izraz koji sadræi promenqivu (nepoznatu) x, naziva se identitet. Identitet ima beskonaËno mnogo reπewa. Skup reπewa jednaËine koja predstavqa identitet jednak je domenu jednaËine (identiteta). n JednaËinu po nepoznatoj x oblika L + a = L + b, gde je L algebarski racionalni izraz koji sadræi nepoznatu (promenqivu) x i gde je a ! b nazvaÊemo nemoguÊa jednaËina. NemoguÊa jednaËina nema reπewa, tj. skup wenih reπewa je prazan skup. n Dve jednaËine su ekvivalentne ako imaju jednake skupove reπewa. Dve jednaËine su ekvivalentne i ako obe nemaju reπewa. n Ekvivalentne transformacije jednaËina su: 1. Ako se u datoj jednaËini L = D jedan algebarski izraz ili neki wegov deo zameni izrazom koji je wemu jednak (za svako x iz domena M), dobija se jednaËina ekvivalentna datoj jednaËini. 2. Ako se i levoj i desnoj strani jednaËine L = D doda isti algebarski izraz A, dobija se jednaËina L + A = D + A koja je ekvivalentna datoj jednaËini. 3. Ako se leva i desnu strana jednaËine L = D pomnoæi racionalnim algebarskim izrazom A (A ! 0), dobija se jednaËina L · A = D · A koja je ekvivalentna datoj jednaËini.

3.1. Појам једначине 1. Koje od datih jednakosti su numeriËke (brojevne) jednakosti: a) 36 : 4 = 15 ‡ 6; b) 17 ‡ 5x = 2; v) 58 = 72 + 9; g) 11 · 7 = 100 : 4 + 52? 2. Dati su izrazi: M = 18 : 3, N = 13 ‡ 7 i P = 5a ‡ 37. Koliko numeriËkih jednakosti, a koliko jednaËina se dobija ako date izraze poveæemo znakom jednakosti? 3. Dati su izrazi: A = 2y ‡ 9, B = 3y + 8 i C = 6 ‡ 4y. Koliko jednaËina se moæe dobiti meusobnim povezivawem datih izraza znakom jednakosti? 4. Napiπi jednu numeriËku jednakost i jednu jednaËinu. 5. Da li je reπewe jednaËine 7x ‡ 19 = 4x + 2 elemenat skupa S = {‡2, ‡1, 0, 1, 2, 3, 4}? 40 = 13 - x . Da li je 4 reπewe date jednaËine? 6. Dokazati da je 5 reπewe jednaËine Da li je 8 reπewe date jednaËine? x 7. Odredi skup reπewa jednaËina: x a) 6b ‡ 5 = 4b ‡ 5 + 2b; b) = 1 ; v) 7m + 8 ‡ 2m = 5m - 6; g) y2 ‡ 49 = (y + 7)(y ‡ 7). x Koje od datih jednaËina su identiteti, a koje nemoguÊe? 8. Napiπi primere bar dva identiteta i dve nemoguÊe jednaËine. 9. Da li su skupovi reπewa jednaËina 5x + 9 ‡ x = 12 + 4x ‡ 3 i

7x - 28 7 = jednaki? 3x - 12 3

10. Odredi domen jednaËine, a zatim i reπi jednaËinu

x - 8x =0. 6 - 3x

3.2. Еквивалентне трансформације једначина 1. Reπi jednaËine: a) x + 9 = 2; b) y ‡ 5 = 33; v) 6 ‡ z = 19. 2. Odredi skup reπewa jednaËina: a) 17m = 85; b)

n 5 =- 11 ; v) =- 30 . 6 p

3. Reπi jednaËine: a) 6x + 13 = 5x + 9; b) 24 ‡ 8a = 35 ‡ 9a, v) 7b + 56 = 56 ‡ 18b. 4. Odredi skup reπewa jednaËina: a) 3x ‡ 4 = 26; b) 101 ‡ 5a = 66; v) 37 = 13 ‡ 4b, g) 38 = 5c ‡ 47. 5. Reπi jednaËine: a) 12x + 5 = 5x + 33; b) 14 ‡ 9y = 26 ‡ 5y; v) 6 ‡ (4z + 3) = z + 5.

6. Odredi skup reπewa jednaËina: y y x 1 z z a) 1 - = ; b) 7 + = 8 + ; v) + 11 = 20 - . 6 3 5 4 2 3 7. Napiπi bar jednu linearnu jednaËinu Ëije reπewe je: a) ‡9; b) 2; v)

3 ; g) 0,4.

8. Reπi jednaËine: a)

a + 11 4+b 3+b 2 - 5c 1 - 3c ; v) 2 - c . = 5a - 3 ; b) 9 - b = = 6 3 8 4 7

9. Reπi jednaËine: 6 9 24 16 1 2 3 a+b a) + 3 = - 2 ; b) +7= - 5 ; v) + =5+ . 3 x 3y y 2z 3z 4z 2 + 3 5x + 2 3x + 4 = 7 ; b) =2. 7x - 7 8x - 5 x-5 x+2 2x - 1 2x + 6 = = 11. Reπi jednaËine: a) ; b) . x+4 x-3 3x + 5 3x - 4 12. Odredi skup reπewa jednaËina: a) x(x + 3) = x2 ‡ 6; b) (2y + 1)(2y ‡ 1) = (2y + 3)2.

10. Odredi skup reπewa jednaËina: a)

13. Date su jednaËine: a) 12x + 9 = 5x ‡ 19; b) (x + 4)(2x ‡ 3) = (x ‡ 1)(x + 1); v) (x + 2)(x ‡ 1) = x2. Koje od datih jednaËina su linearne? Odredi skup reπewa dobijenih linearnih jednaËina. 14. Reπi jednaËine: a)

6+y 6+y 3x 2x 5x 5-z 5-z ; b) 6 + y + = ; v) 5 - z = = . 13 9 4 7 11 3 8

15. Reπi jednaËine i utvrdi koja od wih nema reπewe, a koja ima beskonaËno mnogo reπewa: x-3 x-1 x-6 ; b) x · (x ‡ 5) = x · (4 + x) ‡9x; = 3 4 12 x-8 x+8 =6? v) (x ‡ 2)2 ‡ (x+7)2 = 9 · (5 ‡ 2x); g) 6 + 0 9 a)

16. Da li su ekvivalentne jednaËine: a) 2x + 17 = 5x + 8 i b) 4x ‡ 3 = 5x + 7 i

x x +2 = -1? 2 5

x - 1 = 4x - 12 ; 3

17. Dokaæi da su jednaËine y = 2, 3y + 5 = 7y ‡ 3 i y2 ‡ 4y + 4 = 0 ekvivalentne. 18. Date su jednaËine: a2 ‡ 81 = 0, 3a = 27, | a | = 9 i 5 ‡ a = 14 ‡ 2a. Koje od datih jednaËina su ekvivalentne? 19. Da li su ekvivalentne jednaËine: a) 7y = 2y i y2 = 0, b) 4z = 12 i 9 ‡ 6z + z2 = 0, v) x2 + 5 = 0 i 7x ‡ 1 = 7x + 6. Mogu li biti ekvivalentne jedna linearna i jedna kvadratna jednaËina?

a+3 = 1 imaju beskonaËno mnogo rea+3 πewa. Da li su date jednaËine ekvivalentne?

20. Dokaæi da jednaËine a + 5 = 3a + 5 ‡ 2a i

21. KoristeÊi Ëiwenicu da je proizvod dva ili viπe realnih brojeva jednak nuli ako i samo ako je jedan od Ëinilaca jednak nuli, reπi jednaËine: a) (x ‡ 5)(x + 2) = 0; b) (2y ‡ 6)(6 + 3y) = 0; v) z2 ‡ 9 = 0. 22. Reπi jednaËine: a) x2 ‡ 7x = 0; b) y2 = 5y, v) 2z2 + 6z = 0; g) 4a2 ‡ 9 = 0; d) 16b2 = 81. 23. Odredi reπewa jednaËina: a) (x + 1)(x ‡ 2)(2x ‡ 10) = 0; b) (3y ‡ 6)(4y + 12)(20 ‡ 5y) = 0. 24. Reπi jednaËine: a) x3 ‡ x = 0; b) y2 ‡ 6y + 8 = 0; v) z2 ‡ 9x + 18 = 0; g) a4 = 25a2. 25. KoristeÊi Ëiwenicu da je koliËnik dva realna broja jednak nuli ako je deqenik jednak nuli, a delilac razliËit od nule, reπi jednaËine: 6y - 18 x-5 =0. = 0 ; b) a) y x+7 26. Reπi jednaËine: a)

2 2 (y - 5 ) (2 y + 8 ) a2 - 4 x - 6z x -9 ; b) ; v) ; g) =0. = 0 = 0 = 0 3a + 6 y + 17 x-3 x2 + 9

27. Odredi reπewe jednaËina: a) x = 5 ; b) x = 0, x =- 8 . 28. Reπi jednaËine: a) x - 7 = 2 ; b) 3y - 6 = 9 ; v) 2z + 8 = 0 ; g) 5a - 4 =- 27 . 29. Odredi reπewa jednaËina: a) x + x + 1 = 5 ; b) y - 2 - y + 2 = 1 . 30. Reπi jednaËine: a) x = x + 4 ; b) y - 5 + y + 1 = y - 3 .

3.3. Применa линеарних једначина 1. Ako se broju a doda broj

4 dobija se broj 2,6. Odredi broj a. 7

2. AritmetiËka sredina dva uzastopna parna prirodna broja je 111. O kojim brojevima je reË? 3. Postoji li pet uzastopnih celih brojeva Ëiji je zbir jednak 1? 3 su jabuke, a 4. Nataπa je imala izvestan broj jabuka i kruπaka. Od ukupnog broja 7 sve ostalo su kruπke. Kada je dobila joπ 4 jabuke i pojela 2 kruπke onda je imala jednak broj jabuka i kruπaka. Koliko je Nataπa na poËetku imala jabuka, a koliko kruπaka ?

5. Mira je dobila kutiju punu bombona. Prvoga dana je pojela Ëetvrtinu bombona, a drugoga dana Ëetvrtinu ostatka. Koliko bombona je dobila Mira ako joj je na kraju drugog dana ostalo 9 bombona? 6. –ore pojede teglu meda za 14 dana. –ore i Vera zajedno pojedu teglu meda za 10 dana. Za koliko bi dana sama Vera pojela teglu meda ? 7. Jedna cev napuni bazen za 6 sati, a druga za 10 sati. Cev koja prazni bazen istoËi pun bazen vode za 5 sati. Za koliko Êe se sati napuniti bazen, ako istovremeno rade sve tri cevi ? 1 1 8. U tri cisterne je bilo ukupno 780 hl soka. Ako iz prve istoËimo , iz druge i 4 5 3 iz treÊe soka u sve tri cisterne Êe ostati jednake koliËine soka. Koliko je soka 7 bilo u svakoj od cisterni ? 9. Ako se pomeπa 30 t kafe Ëija je cena 200 din/kg sa 20 t kafe Ëija je cena 290 din/kg i na to doda profitna stopa od 25%, kolika Êe biti prodajna cena kafe, ako je profit ukalkulisan u prodajnu cenu i ako je PDV za kafu 18%? 10. Put izmeu Beograda i Minhena Duπan je je preπao automobilom za tri dana. 3 5 celog puta. TreÊeg dana je preπao 45 km Prvoga dana je preπao , a drugog 8 12 3 viπe od celog puta. Kolika je duæina puta izmeu Beograda i Minhena? 7 11. Jedna kateta pravouglog trougla je 8 cm, a druga kateta je za 2 cm mawa od hipotenuze. Kolika je povrπina datog trougla? 12. U pravouglom trouglu jedna kateta je 7, a druga kateta i hipotenuza su uzastopni prirodni brojevi. Odredi povrπinu tog pravouglog trougla. 13. Dokaæi da je 5 jedino reπewe linearne jednaËine 5x ‡ 6 = 3x + 4. 14. Brojevi 2 i 3 su jedina reπewa kvadratne jednaËine 5x ‡ 6 = x2. Dokaæi. 15. Razlika dva broja je 13,86. Ako se veÊem broju pomeri zapeta ulevo, za jedno mesto dobija se mawi broj. Koji su to brojevi? 16. Milan je sabrao deset uzastopnih prirodnih brojeva i dobio zbir 2010. Da li je Milan dobro sabirao? 17. Kazaqke na Ëasovniku pokazuju 9 sati. Posle koliko vremena Êe se one prvi put poklopiti ? 18. Dvocifren broj je za 45 veÊi od dvocifrenog broja koji se dobija kada wegove cifre zamene mesta. O kojim brojevima je reË? 19. Ako se datom trocifrenom broju izbriπe cifra desetica, onda se dobija broj koji je 6 puta mawi od datog. O kom broju je reË? 20. Jagoda je roena u proπlom veku. Zbir cifara godine wenog roewa je za 2 veÊi od broja wenih godina. Koje godine je roena Jagoda?

Подсети се

n NejednaËina po nepoznatoj (promenqivoj) x je nejednakost oblika L 2 D , gde su L i D algebarski racionalni izrazi od kojih bar jedan sadræi nepoznatu x. n Umesto simbola 2 moæe ravnopravno biti upotrebqen i neki od preostalih nejednakosnih simbola 1, G, H. n Reπewe nejednaËine L 2 D po nepoznatoj x, je svaki realan broj x0 za koje je nejednakost L 2 D taËna. Svi realni brojevi za koje je nejednakost L 2 D taËna Ëine skup reπewa nejednaËine L 2 D. n NejednaËina x 2 x0 predstavqa nejednaËinu u reπenom obliku. n Ekvivalentne transformacije nejdnaËina su: 1. Ako se u datoj nejednaËini L 2 D jedan algebarski izraz ili neki wegov deo zameni izrazom koji je wemu jednak (za svaku vrednost nepoznate iz domena nejednaËine M), dobija se nejednaËina ekvivalentna datoj nejednaËini. 2. Ako se i levoj i desnoj strani nejednaËine L 2 D doda isti algebarski izraz A (definisan na domenu M) dobija se nejednaËina L + A > D + A koja je ekvivalentna datoj ne jednaËini. 3. Ako se leva i desna stranu nejednaËine L 2 D pomnoæe realnim brojem A (A 2 0), dobija se ne jednaËina L · A > D · A koja je ekvivalentna datoj nejednaËini. 4. Ako se leva i desnu strana nejednaËine L 2 D pomnoæe realnim brojem A (A 1 0), dobija se nejednaËina L · A < D · A koja je ekvivalentna datoj nejednaËini.

3.4. Неједначине 1. Napiπi po jedan primer taËne numeriËke nejednakosti i nejednaËine. 2. Dati su izrazi: A = 4, B = 3x ‡ 5, C = x + 9. Napiπi bar tri nejednakosti koje se dobijaju povezivawem datih izraza nekim od nejednakosnih simbola. 3. Da li su brojevi ‡2, ‡1, 0, 1, 2, 3, 4 reπewa nejednaËina: a) 4x ‡ 7 G x + 5; b) x2 > 4? Da li je skup S { ‡2, ‡1, 0, 1, 2, 3, 4} skup reπewa datih nejednaËina?

4. Odrediti skup reπewa nejednaËina: a) 6x + 13 < 11x ‡ 6 ‡ 5x; b) x2 + 4 > x2 ‡ 9. 5. Napiπi primer jedne nejednaËine Ëiji je skup reπewa skup svih realnih brojeva i jedne nejednaËine koja nema realnih reπewa. 6. Date su nejednaËine u reπenom obliku: a) ‡5 < x < 3; b) ‡1 G x < 7; v) ‡9 < x G 6; g) ‡4 G x G 3; d) x > ‡2, ) x G 5 . Prikaæi skupove reπewa datih jednaËina grafiËki i zapiπi skupove reπewa u obliku odgovarajuÊih intervala. 7. Napiπi nejednaËinu u reπenom obliku ako je skup wenih reπewa interval: a) (‡4, 2), b) [ - 7, 0], v) [‡3, 5), g) (‡8, 3]; d) (‡∞, ‡1]; ) [ 6, ∞) 8. Koliko reπewa imaju nejednaËine: a) x2 + 5 < 0; b) x4 + 3 > 0; v) | x | < 0; g) | x | > ‡7 ? 9. Postoje li realni brojevi takvi da je: a) 2x > 5x; b)

4x G0? 7x

10. Da li su taËne nejednakosti: a) 2300 < 3200; b) (‡4)50 > 101010? 11. Da li nejednaËine x + 3 > 0 i

x+3 2 0 imaju jednake skupove reπewa? x2

12. Odrediti reπewe nejednaËine `

x 2 j H0. x-5 13. Postoje li nejednaËine koje imaju jedinstveno reπewe? Ako postoji, napiπi primer bar jedne takve nejednaËine? 14. Napiπi bar jednu nejednaËinu koja u skupovima N, Z i R ima razliËite skupove reπewa. 15. Napiπi bar jednu nejednaËinu koja u skupovima N, Z i R ima jednake skupove reπewa.

3.5. Еквивалентне неједначине 1. Reπi nejednaËine: a) x + 5 < 9; b) y ‡ 3 > 14; v) 6 ‡ z G 13. 2. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 7m H 49; b)

n 4 1- 6 ; v) G- 28 . 3 p

3. Reπi nejednaËine: a) 5x + 16 < 3x + 8; b) 51 ‡ 7a H 9 ‡ a; v) 6b + 38 > 4 ‡ 11b. 4. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 5x ‡ 4 G 21; b) 27 ‡ 4a > 7; v) 13 H 1 ‡ 3b; g) 39 < 5c ‡ 11. 5. Reπi nejednaËine: a) 8x + 13 H 5x + 46; b) 2 ‡ 9y > 16 ‡ 2y; v) 5 ‡ (7z + 66) G 4z + 16.

6. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 1 -

y y x 1 z z 2 ; b) 5 + G 8 + ; v) + 6 1 2 - . 5 8 4 9 3 7

7. Napiπi bar jednu linearnu jednaËinu Ëiji skup reπewe je: a) (‡5, ∞); b) (‡∞, 4]. 8. Reπi nejednaËine: a+7 7+b 3+b 1 - 3c 1 - 2c 2 3a - 7 ; b) 1 + b H 1 ; v) 1 - c . a) 5 4 9 6 8 9. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) x(x + 2) G x2 ‡ 8; b) (3y + 2)(3y ‡ 2) > (3y + 1)2. 10. Date su nejednaËine: a) 12x + 9 G 5x ‡ 19; b) (x + 4)(2x ‡ 3) < (4x ‡ 1)(x + 1); v) (x + 2)(x ‡ 1) ≥ x2. Koje od datih nejednaËina su linearne, a koje kvadratne? Odredi skup reπewa nejednaËina koje se mogu svesti na linearne nejednaËine. 11. Reπi nejednaËine: a)

1+y 1+y 1-z 1-z x x x ; v) 1 - z - 1 ; b) 1 + y + H 2 . 8 9 3 4 5 6 7

12. Odredi skup reπewa nejednaËina: a) 11x ‡ 10 G 9x ‡ 8 + 2x; b) 6x + 15 ‡ 2x > 4x + 27. 13. Reπi nejednaËine i utvrdi koja od wih nema reπewe, a koja ima beskonaËno mnogo x-3 x-1 x-3 reπewa: a) G ; b) x · (x ‡ 2) > x · (2 + x) ‡ 4x + 1; 5 2 10 x-2 x+2 v) (x ‡ 5)2 ‡ (x ‡ 4)2 H 3 · (5 ‡ 6x); g) 1 + . 115 5 14. Da li su ekvivalentne nejednaËine:

2x x H1 i 15? x 3x

15. Reπi nejednaËine: a) a2 + 6a + 9 G 0; b) b2 + 16 > 8b; v) 2 < c2 + 19 < 8.

3.6. Примена линеарних неједначина 1. Odredi sve realne brojeve koji su veÊi od svoje Ëetvrtine. 2. Zbir pet uzastopnih prirodnih brojeva je veÊi od 2010. O kojim brojevima je reË? 3. Koliko ima prirodnih brojeva x za koje je 3x ‡ 18 < x + 26? 4. Odredi najveÊi prirodan broj x za koji je

x x +4 1 +9. 3 7

9 - 4x 17? 5 6. Odredi najmawi ceo broj y koji zadovoqava nejednaËinu 6,5 + 3y H 2 + y.

5. Koliko ima celih brojeva x takvih da je 3 1

7. Odredi sve realne brojeve r takve da je 5(r ‡ 3) < r + 1 i 1 ‡ 4(r ‡ 2) < ‡3.

8. Reπi nejednaËine a) | 2x ‡ 1 | < ‡ 3; b) | 6x + 2 | H 0; v) | x + 1| > ‡ 7. 9. Reπi nejednaËine a) x + 2x 1 9 ; b) x + x H 0 ; v) 5x - x 1 8 . 10. Postoje li celi brojevi koji istovremeno ispuwavaju nejednakosti: x ‡ 5 > 11, 2x ‡ 3 > 5 i 3x + 7 < 70? 11. Odredi skup reπewa nejednaËina: a)

y+5 x-3 17 - z 1 0 ; v) G 0 ; b) 2 20. 2 - z2 - 4 y +5 x

12. Reπi nejednaËine: a) (x ‡ 2)(x + 3) < 0; b) a2 ‡ 7a > 0; v) b2 ‡ 49 G 0. 13. Odredi skup reπewa nejednaËina: a)

y+2 x-5 z + 13 1 0 ; v) H 0 ; b) 21. y-3 x z-4

14. Zbir prirodnog broja n i wegove reciproËne vrednosti je mawi od 4. Koliko takvih prirodnih brojeva n ima? 15. Odredi sve cele brojeve koji su mawi od svoje reciproËne vrednosti. 16. Odredi prirodni boj x tako da su od sledeÊih tvrewa: 1) 2x > 70, 2) x < 100, 3) 3x > 25, 4) x H 10, 5) x > 5 tri taËna, a dva netaËna.

I ниво 1. Reπi jednaËinu 7 +

2. Reπi nejednaËinu

2y y =6+ . 2 3

x 1 1 - 2 . 2 6 3

3. Zbir tri uzastopna parna broja je 2010. O kojim brojevima je reË? 4. Koliko ima prirodnih brojeva x za koje je 5x ‡ 13 1 3x + 2?

IIниво 1. Reπi jednaËinu:

x-1 x-2 x+3 x+4 . + = 3 4 5 6

2y y , a potom zapiπi i grafiËki predstavi weno 2. Reπi nejednaËinu 7 + G 6 + 2 3 reπewe.

3. Zbir pet uzastopnih prirodnih brojeva je 2010. O kojim brojevima je reË? 4. Odredi najveÊi prirodni broj x za koji je

x x +3 1 +7. 4 9

III ниво 1. Reπi jednaËinu

1 2 3 23 . + + = 2x 3x 4x 24

2. Reπi nejednaËinu

x+1 x+2 x+3 x+4 . + G + 3 4 5 6

3. Letele su vrane, spazile su grane. Po πest vrana, grana viπe. Po pet vrana, vrana viπe. Kol’ko grana? Kol’ko vrana? 4. Za koje vrednosti realnog broja a nejednaËina 2x + 5 1 3x ‡ 1 G x + a ima reπewe?

4.1. Појам, врсте, елементи Подсети се

! ДИЈАГОНАЛА ПРИЗМЕ

ТЕМЕ ОСНОВА БОЧНА ИВИЦА

ДИЈАГОНАЛА БОЧНЕ СТРАНЕ

БОЧНА СТРАНА

ДИЈАГОНАЛА ОСНОВЕ

ОСНОВНА ИВИЦА

Ako je prizma uspravna, a osnove su pravilni mnogouglovi, za tu prizmu se kaæe da je pravilna. Duæ odreena temenima prizme koja ne pripadaju istoj strani prizme naziva se dijagonala prizme Presek prizme i ravni kojoj pripadaju nesusedne boËne ivice prizme naziva se dijagonalni presek

1. Koliko najmawe strana, ivica i temena moæe imati prizma? 2. Popuni tabelu: Petostrana prizma Broj osnova Broj boËnih strana Broj strana Broj osnovnih ivica Broj boËnih ivica Broj ivica

©estostrana prizma

Devetostrana prizma

Desetostrana prizma

n-tostrana prizma

3. Koliko parova paralelnih strana ima pravilna: a) trostrana; b) Ëetvorostrana; v) πestostrana prizma? 4. Aleksandar je kupio poklon svojoj sestri i zapakovao ga u kutiju oblika kvadra Ëije su ivice 30 cm, 24 cm, 15 cm. Kolika je duæina trake kojom je kutija vezana, kao na slici, ako je za maπnu potrebno joπ 50 cm trake? a) 602 cm; b) 552 cm; v) 464 cm; g) 326 cm; d) 188 cm. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. Popuni tabelu: Trostrana prizma

»etvorostrana prizma

©estostrana prizma

Osmostrana prizma

n-tostrana prizma

Broj dijagonala osnova Broj dijagonala boËnih strana Broj dijagonala tela 6. Da li prizma moæe imati neparan broj dijagonala? 7. Da li visina prizme moæe biti jednaka dijagonali prizme? 8. Dijagonalni presek pravilne Ëetvorostrane prizme je kvadrat Ëija je povrπina 50 cm2. IzraËunaj ivicu osnove i visinu prizme. 9. IzraËunaj obim preseka kocke ABCDA1B1C1D1 ivice a = 12 cm i ravni koja je normalna na ravan ABC i seËe ivice AB i BC u wihovim srediπtima. 10. Ivice kvadra su 2 cm, 3 cm, 5 cm . IzraËunaj: a) dijagonale strana; b) dijagonalu kvadra; v) ugao koji dijagonala kvadra zaklapa sa najmawom (po povrπini) stranom kvadra. 11. Neka je ABCDA1B1C1D1 pravilna prizma i neka je a ravan odreena temenima A, C, C1. ©ta je presek ravni a i ravni : a) A1B1D1; b) BA1B1; v) BB1D1? 12. Osnovna ivica i visina pravilne πestostrane prizme su a = 6 cm i H =12 cm. IzraËunaj: a) dijagonale osnove prizme; b) dijagonalu boËne strane prizme; v) dijagonalu prizme. 13. Šta je osnova uspravne Ëetvorostrane prizme koja nije pravilna, a ima jednake dijagonalne preseke? 14. Koje pravilne prizme imaju jednake sve dijagonalne preseke?

4.2. Мрежа призме Подсети се

Figura koju Ëine svi mnogouglovi (strane) prizme naziva se mreæa prizme. Iz mreæe se savijawem i lepqewem moæe napraviti model prizme.

1. Konstruiπi mreæu pravilne trostrane prizme Ëije su sve ivice po 3 cm. 2. Konstruipi mreæu pravilne trostrane prizme Ëiji je razvijeni omotaË kvadrat stranice 5 cm. 3. Konstruipi mreæu kocke ako je dijagonala jedne strane 3 cm. 4. Razvijen omotaË uspravne prizme je: a) pravougaonik; b) jednakokraki trapez; v) deltoid. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. Marko treba da konstruiπe mreæu pravilne Ëetvorostrane prizme na papiru oblika kvadrata stranice 20 cm. Kolike su osnovna i boËna ivica te prizme ako treba da otpadne πto mawe papira? 6. Konstruiπi mreæu pravilne Ëetvorostrane prizme Ëija je osnovna ivica 3 cm, a dijagonala prizme 6 cm. 7. Konstruiπi mreæu kvadra Ëije su ivice

2 cm,

3 cm,

7 cm .

8. Konstruiπi mreæu uspravne Ëetvorostrane prizme ABCDA1B1C1D1 Ëija je osnova jednakokraki trapez. Osnovne ivice su AB = 4 cm, BC = CD = DA = 2 cm. NajveÊa boËna strana je kvadrat. 9. Na tri susedne strane kocke nacrtane su dijagonale (vidi sliku!). Koja od sledeÊih mreæa je mreæa date kocke?

10. Data je mreæa kocke:

Koja od prikazanih kocki odgovara ovoj mreæi? Zaokruæi slovo iznad odgovarajuÊe slike. a)

11. Da li se od figure date na slici moæe samo savijawem i presavijawem papira sastaviti kocka? 12. Konstruiπi mreæu pravilne jednakoiviËne πestostrane prizme ako je: a) ivica 3 cm; b) duæa dijagonala osnove 5 cm; v) dijagonala boËne strane 6 cm.

4.3. Површина призме. Површина усправне четворостране призме Подсети се

Ako sa B obeleæimo povrπinu jedne osnove prizme, sa M povrπinu omotaËa a sa P povrπinu prizme, tada je P = 2B + M.

Povrπina pravilne Ëetvorostrane prizme P = 2a2 +4aH. Povrπina kvadra P=2ab+2bc+2ac.

Povrπina kocke P=6a2,

1. IzraËunaj povrπinu kocke ako je wena ivica: a) 10,2 cm; b) 12 2 cm . 2 2. IzraËunaj povrπinu kocke ako je povrπina dijagonalnog preseka 64 2 cm .

3. Rastojawe centra kocke od jedne ivice je 8 2 cm. IzraËunaj: a) ivicu; b) povrπinu te kocke. 4. Rastojawe centra kocke od jednog temena je b) ivicu; v) povrπinu te kocke.

3 cm . IzraËunaj: a) dijagonalu;

5. Za koliko procenata se poveÊa povrπina kocke ako se svaka ivica kocke poveÊa za 20%? 6. Osnova uspravne prizme je pravougaonik stranica 3 cm i 4 cm. IzraËunaj povrπinu te prizme ako je wen dijagonalni presek kvadrat. 7. Povrπina kvadra je P = 460 cm2. IzraËunaj dijagonalu tog kvadra ako su ivice a = 5 cm, b = 12 cm. 8. Kvadar ivica 6 cm, 8 cm i 10 cm razrezan jednom ravni na dva jednaka kvadra, tako da je povrπina jednog maweg kvadra najmawa. Kolike su ivice malog kvadra? 9. Koliko se razliËitih kvadara moæe sastaviti od 12 podudarnih kockica ivice 2 cm? Koji od tih kvadara ima najveÊu povrπinu? 10. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane prizme Ëije su osnovna i boËna ivica a = 6 cm, b = 1 dm. 11. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane prizme Ëija je osnovna ivica 8 cm, a dijagonala boËne strane 17 cm. 12. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane prizme Ëija je osnovna ivica 5 2 cm , a dijagonala (prizme) 26 cm. 13. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane prizme ako je dijagonala osnove 12 cm, a dijagonala a) boËne strane 9 cm; b) tela 20 cm. 14. Osnovna ivica pravilne Ëetvorostrane prizme je 8 cm a dijagonala boËne strane nagnuta je prema ravni osnove pod uglom od 45°. IzraËunaj povrπinu te prizme. 15. Osnovna ivica pravilne Ëetvorostrane prizme je 8 6 cm a dijagonala prizme nagnuta je prema ravni osnove pod uglom od 30°. IzraËunaj povrπinu te prizme. 16. Povrπina omotaËa pravilne Ëetvorostrane prizme je 32 cm2 , a povrπina prizme je 50 cm2 . Zbir svih ivica prizme je: a) 56 cm; b)

104 68 96 100 cm ; v) cm ; g) cm ; d) cm . 3 3 3 3

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

17. Osnova uspravne prizme je trapez ABCD (AB II CD ), AB = 14 cm, CD = 2 cm, AD = BC = 10 cm. IzraËunaj povrπinu te prizme ako je: a) boËna ivica 10 cm; b) najmawa boËna strana kvadrat; v) dijagonala najveÊe boËne strane je 26 cm. 18. Osnova uspravne prizme je romb sa dijagonalama d1 = 10 cm i d2 = 24 cm.Povrπina omotaËa je 520 cm2 . IzraËunaj: a) visinu; b) povrπinu te prizme. 19. Osnova prizme je paralelogram Ëije su stranice 10 cm i 8 2 cm , a oπtar ugao 45°. Ako je visina prizme 5 cm izraËunaj wenu povrπinu. 20. Ivica osnove pravilne četvorostrane prizme je 5 cm. Izrazi površinu P te prizme u funkciji visine H.

4.4. Површина правилне тростране призме. Површина правилне шестостране призме Подсети се

Ako je a osnovna ivica, a H visina pravilne trostrane prizme, povrπina je: P=2

2 a2 3 a 3 + 3aH , odnosno P = + 3aH . 4 2

Ako je a osnovna ivica, a H visina pravilne πestostrane prizme, povrπina je P=2$6

a2 3 2 + 6aH , odnosno P = 3a 3 + 6aH. 4

1. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je osnovna ivica 12 cm, boËna ivica 4 cm. 2. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je zbir svih osnovnih ivica 30 cm i jednak je zbiru svih boËnih ivica. 3. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je: a) obim osnove 18 cm, a povrπina jedne boËne strane 18 cm2 ; b) povrπina osnove 24 3 cm 2 , visina 2 6 cm ; v) povrπina omotaËa 48 cm2, visina 4 cm.

4. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane jednakoiviËne prizme ako je povrπina: 2 a) wene osnove 25 3 cm ; b) wenog omotaËa 12 cm2. 5. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 18 cm, boËna ivica 20 cm; b) obim osnove 36 cm, povrπina omotaËa 72 cm2; v) povrπina osnove 600 3 cm 2, dijagonala boËne strane 20 2 cm ; g) povrπina omotaËa 48 cm2, duæa dijagonala osnove 4 cm. 6. BoËna strana pravilne a) trostrane; b) πestostrane prizme je kvadrat povrπine 1 m2. IzraËunaj povrπinu te prizme. 7. Ivica osnove pravilne: a) trostrane; b) πestostrane prizme je 6 cm. Dijagonala jedne boËne strane zaklapa sa osnovom ugao od 30°. IzraËunaj povrπinu prizme 8. Povrπine omotaËa pravilne trostrane i pravilne πestostrane prizme su po 108 cm2, a obimi po jedne osnove su po 12 cm. IzraËunaj povrπine tih prizmi. 9. Obim veÊeg dijagonalnog preseka pravilne πestostrane jednakoiviËne prizme je 24 cm. Povrπina te prizme je: 2 2 2 2 a) 108 ^ 3 + 2 h cm ; b) 108 ^ 3 + 3 h cm ; v) 48 ^ 3 + 2 h cm ; g) 48 ^ 3 + 1 h cm ; 2 d) 48 ^ 3 + 3 h cm .

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 10. Osnovna ivica pravilne πestostrane prizme je 12 cm. IzraËunaj povrπinu prizme ako je povrπina maweg dijagonalnog preseka jednaka povrπini osnove prizme. 11. Povrπina veÊeg dijagonalnog preseka pravilne πestostrane prizme je 600 cm2, a a : H = 1 : 3 gde su a i H osnovna ivica i visina. IzraËunaj povrπinu te prizme. 12. Presek pravilne trostrane prizme ABCA1B1C1 i ravni koja sadræi boËnu ivicu AA1 i srediπta osnovnih ivica BC i B1C1 je kvadrat Ëija je povrπina 100 cm2. IzraËunaj povrπinu prizme. 13. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane prizme ako je duæa dijagonala osnove 20 cm, a kraÊa dijagonala prizme 20 3 cm . 14. Povrπina veÊeg dijagonalnog preseka pravilne πestostrane prizme je 100 cm2. Povrπina omotaËa ove prizme je: 2 a) 100 cm2; b) 200 cm2; v) 300 cm2; g) 300 3 cm .

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

15. Povrπina osnove i povrπina omotaËa pravilne πestostrane prizma su redom B i M. Prizma je preseËena duæ jednog veÊeg dijagonalnog preseka. Kolika je povrπina jednog tog dela? 2 5 a) B + M; b) B + 0,5 M; v) 0,5 B+M; g) B + M ; d) B + M . 3 6 Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

4.5. Запремина призме. Запремина усправне четворостране призме Подсети се

Zapremina uspravne Ëetvorostrane prizme jednaka je proizvodu povrπine wene osnove i visine V = B · H. Masa tela je proizvod zapremine i gustine m + V · t.

1. Date su kocke Ëije su ivice 3 cm i 4 cm. IzraËunaj zapreminu kocke Ëija je povrπina jednaka zbiru povrπina datih kocki. 2. IzraËunaj zapreminu kocke Ëija jedna strana ima povrπinu: a) 25 cm2; b) 0,25 m2; v) 2,5 cm2; g ) 250 cm2; d) 2500 cm2. 3. Od gvozdene kocke ivice 20 cm treba izvaqati tablu lima debqine 2 mm i πirine 1 m. Kolika je duæina te table? 4. Adam je nacrtao mreæu kocke i utvrdio da je duæ MN jednaka 17 cm. Vidi sliku! Kolika je zapremina kocke Ëiju mreæu je Adam nacrtao? 5. Kocka ABCDEFGH ivice a preseËena je sa ravni ACH. IzraËunaj zapreminu kocke ako je povrπina preseka 2 jednaka 8 3 cm .

6. Dijagonala kvadra je 13 cm, a dijagonale wegovih strana su 4 10 cm , 3 17 cm . IzraËunaj povrπinu i zapreminu kvadra. 7. Duæine tri razliËite ivice kvadra su tri uzastopna prirodna broja (cm), a zbir duæina svih ivica je 120 cm. Zapremina tog kvadra je: a) 504 cm3; b) 720 cm3; v) 840 cm3; g) 990 cm3; d) 5814 cm3. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

8. Kvadar i kocka imaju jednake zapremine. Koje od ovih tela ima veÊu povrπinu ako su ivice kvadra 2 cm, 6 cm, 18 cm? 9. IzraËunaj zapreminu kvadra Ëije ivice su u razmeri 3 : 4 : 12, a dijagonala je 52 cm. 10. Trgovac Toπa treba da transportuje dve vrste robe koja je u kutijama oblika kocke. Ivice 12 kutija su po 0,5 m, a ivice 20 kutija su po 0,1m. Da li Toπa moæe te kutije da spakuje u sanduk, Ëije su ivice 1,2 m, 1,75 m, 0,7 m? 11. IzraËunaj zapreminu kvadra Ëije tri razliËite strane imaju povrπine 6 cm2, 10 cm2, 15 cm2. 12. Jedan radnik za 1 sat iskopa 1,2 m3 zemqe. Za koje vreme Êe taj radnik iskopati kanal oblika kvadra Ëije su ivice 1 m, 0,5 m, 6 m? 13. U akvarijumu oblika kvadra Ëije dno ima stranice 75 cm i 20 cm, a visina je 60 cm, nalazi se voda do visine 36 cm. Ako se na dno akvarijuma spusti 10 kamenih kocki ivice 5 cm, nivo vode se podigne za: a) mawe od 10 cm; b) 10 cm; v) 12 cm; g) 15 cm; d) preliÊe se. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 14. Osnova uspravne prizme je pravougaonik sa stranicama 6 cm i 8 cm. IzraËunaj zapreminu te prizme ako je povrπina dijagonalnog preseka 50 cm. 15. Osnova uspravne prizme je pravougaonik sa stranicama 30 cm i 40 cm. IzraËunaj zapreminu te prizme ako dijagonala prizme nagnuta je prema ravni osnove pod uglom od 45°. 16. BoËna ivica pravilne Ëetvorostrane prizme je: a) dva puta mawa; b) za 50% veÊa od osnovne ivice. Povrπina prizme je 280 cm2. IzraËunaj zapreminu te prizme. 17. Povrπina pravilne Ëetvorostrane prizme je 1800 cm2. IzraËunaj zapreminu prizme ako je wen razvijeni omotaË kvadrat. 18. Dijagonala pravilne Ëetvorostrane prizme je 8 2 cm i nagnuta je prema ravni osnove pod uglom od 60°. IzraËunaj zapreminu te prizme. 8m

20. Koliko litara vode stane u jarak oblika prizme Ëija je osnova jednakokraki trapez, a duæina 50 m? Osnovice i krak trapeza su redom 8 m, 6 m i 5 2 m . (Vidi sliku).

50 m

19. Za ograivawe dvoriπta je potrebno obezbediti 500 letvi (dasaka) oblika kvadra Ëije su ivice 1,4 m, 10 cm, 1cm. a) Koliko boje je potrebno za bojewe svih letvi ako se sa 1 kg boje oboji 4 m2 drvene povrπi? b) Kolika je masa svih letvi ako je gustina drveta 0,74 g/cm3 ?

21. Osnova uspravne prizme je romb Ëija je visina 2 3 cm i oπtar ugao 60°. Visina prizme je jednaka duæoj dijagonali osnove. IzraËunaj zapreminu prizme. 22. Dimenzije cigle su 250 mm, 120 mm, 65 mm. Koliko komada cigala moæe da se preveze kamionom nosivosti 2 tone, ako je gustina materijala od koga je cigla napravqena 1,13 g/cm3?

4.6. Запремина правилне тростране призме. Запремина правилне шестостране призме. Маса тела Подсети се

Ako je a osnovna ivica, a H visina pravilne trostrane prizme, zapremina je: V=

3 4

$ H.

Ako je a osnovna ivica, a H visina pravilne πestostrane prizme, zapremina je: V=

$ H.

1. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 10 cm, boËna ivica 20 cm; b) obim osnove 24 cm, visina 5 cm; v) povrπina osnove 100 3 cm 2 , povrπina omotaËa 60 cm2; g) povrπina omotaËa 48 cm2, osnovna ivica 4 cm. 2 2. Povrπina osnove pravilne trostrane prizme je 400 3 cm , a visina prizme jednaka je: a) visini osnove; b) obimu osnove. IzraËunaj povrπinu i zapreminu te prizme.

3. Osnovna ivica pravilne trostrane prizme je 4 cm a povrπina prizme je ^8 3 + 96 h cm 2 . IzraËunaj zapreminu te prizme.

4. IzraËunaj zapreminu tavana kuÊe koja je prikazana na slici. 5. Povrπina jedne boËne strane pravilne trostrane prizme je 28 cm2, a boËna ivica je za 3 cm duæa od osnovne ivice. IzraËunaj zapreminu prizme. 6. BoËna ivica pravilne trostrane prizme je 12 cm i jednaka je preËniku kruga:

15 m

a) opisanog oko osnove; b) upisanog u osnovu. IzraËunaj zapreminu te prizme.

10 m

2 7. Povrπina osnove pravilne trostrane prizme je 4 3 cm , a povrπina omotaËa je 120 cm2. IzraËunaj zapreminu prizme.

8. Presek pravilne trostrane prizme ABCA1B1C1 i ravni koja sadræi srediπta osnovnih ivica AB, AC, A1B1, A1C1 je kvadrat Ëija je povrπina 36 cm2. IzraËunaj zapreminu te prizme. 9. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane prizme ako je: a) osnovna ivica 12 cm, boËna ivica 1,5 dm; b) obim osnove 60 cm, obim jedne boËne strane 30 cm; 2 2 v) povrπina osnove 600 3 cm , povrπina omotaËa 600 3 cm ; g) povrπina omotaËa 48 cm2, duæa dijagonala osnove 12 cm. 10. KraÊa dijagonala osnove pravilne πestostrane prizme je d, a veÊi dijagonalni presek je kvadrat. Dokaæi da je tada zapremina prizme d3. 11. Mawi dijagonalni presek pravilne πestostrane prizme je kvadrat povrπine 64 cm2. IzraËunaj: a) povrπinu veÊeg dijagonalnog preseka; b) zapreminu te prizme. 12. Mawa dijagonala pravilne πestostrane prizme je 6 3 cm i sa osnovom zaklapa ugao od 60°. IzraËunaj zapreminu te prizme. 13. IzraËunaj masu izlivenog betonskog dela prikazanog na slici, ako je gustina betona 2,8 g/cm3, a mere su u centimetrima.

14. Deo neke maπine je izliven od gvoæa i oblika je pravilne πestostrane prizme iz koje je „izvaena“ πestostrana prizma. IzraËunaj masu tog dela ako je gustina livenog gvoæa 8,9 g/cm3. Vidi sliku desno (mere su u centimetrima)!

20 80

15. Ukrasna porcelanska posuda je oblika pravilne πestostrane prizme. Mereno spoqa osnovna ivica je 8 cm i visina 10 cm. Debqina zida i dna posude je 4 mm. IzraËunaj masu te posude ako je gustina porcelana 2,25 g/cm3. Posuda nema poklopac.

I ниво 1. IzraËunaj obim i povrπinu dijagonalnog preseka kocke ivice 10 cm. 2. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane prizme ako je povrπina osnove 36 cm2, a boËna ivica je dva puta veÊa od osnovne ivice. 3. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane prizme ako je osnovna ivica 12 cm, a visina 4,5 cm. 4. IzraËunaj povrπinu omotaËa pravilne πestostrane prizme ako je osnovna ivica 10 cm, a obim jedne boËne strane 50 cm.

II ниво 1. IzraËunaj obim i povrπinu dijagonalnog preseka kvadra Ëije su ivice 3 cm, 4 cm, 10 cm. 2. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je povrπina osnove 36 3 cm 2, a visina 10 cm. 3. IzraËunaj zapreminu kocke ako je wena dijagonala 10 cm. 4. Razvijeni omotaË pravilne πestostrane prizme je kvadrat povrπine 100 cm2. IzraËunaj zapreminu prizme.

III ниво 1. IzraËunaj obim i povrπinu maweg dijagonalnog preseka pravilne πestostrane prizme Ëija je boËna strana obima 30 cm. Osnovna i boËna ivica su u razmeri 2 : 3. 2. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane prizme ako je povrπina jedne boËne 2 strane 36 3 cm , a dijagonala boËne strane sa osnovom gradi ugao od 60°. 3. IzraËunaj zapreminu kocke ako je rastojawe jednog temena od srediπta naspramne strane 8 6 cm . 4. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane prizme ako je osnovna ivica 10 cm, a povrπina omotaËa je jednaka treÊini povrπine prizme.

5.1. Појам, врсте, елементи Подсети се

Ako je osnova piramide pravilni mnogougao i ako je prava odreena vrhom piramide i srediπtem osnove normalna na ravan osnove kaæe se da je piramida pravilna. ВРХ БОЧНА ИВИЦА

БОЧНА СТРАНА

ВИСИНА АПОТЕМА

ОСНОВНА ИВИЦА ОСНОВА

1. Desetostrana piramida ima: a)10 temena; b) 11 temena; v) 10 strana; g) 11 strana; d) 10 ivica; ) 20 ivica. Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora. 2. Koliko strana, temena, osnovnih ivica, boËnih ivica, boËnih strana ima stostrana piramida? 3. Ako je piramida pravilna, tada su jednake sve: a) osnovne ivice; b) boËne ivice; v) apoteme; g) ivice. Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora. 4. Da li visina pravilne piramide moæe biti jednaka duæini: a) osnovne ivice; b) boËne ivice; v) apoteme? 5. BoËne ivice trostrane piramide SABC su jednake. Normala iz vrha piramide prodire ravan osnove u: a) centru opisane kruænice; b) centru upisane kruænice; v) ortocentru;

g) teæiπtu trougla ABC.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

6. Ako Ëetvorostrana piramida ima jednake boËne ivice, tada osnova te piramide moæe bi: a)pravougaonik; b) kvadrat; v) romb; g) pravougli trapez; d) jednakokraki trapez. Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora. 7. Apoteme trostrane piramide SABC su jednake. Normala iz vrha piramide prodire ravan osnove u: a) centru opisane kruænice; b) centru upisane kruænice; v) ortocentru; g) teæiπtu trougla ABC. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 8. Ako Ëetvorostrana piramida ima jednake apoteme, tada je osnova te piramide: a)pravougaonik; b) kvadrat; v) romb; g) deltoid. Zaokruæi slova ispred taËnih odgovora. 9. Основа пирамиде је правилни шестоугао. Та пирамида је правилна ако normala iz vrha prodire ravan osnove у taËki koja je u: а) пресеку дијагонала основе; б) центру кружнице описане око основе; в) једном темену основе; г) средишту једне ивице основе. H

Заокружи слово испред тачног одговора. 10. Osnova Ëetvorostrane piramide je strana ABCD kocke ABCDEFGH, a vrh je teme F. Da li je ta piramida pravilna? Obrazloæi odgovor! IzraËunaj duæine boËnih ivica, visinu i apoteme te piramide ako je ivica kocke 10 cm. Vidi sliku!

G F

E D A

C B

11. IzraËunaj apotemu pravilne: a) Ëetvorostrane; b) trostrane ; v) πestostrane piramide ako je obim osnove 24 cm i jednak je obimu jedne boËne strane. 12. Neka je SABCD pravilna Ëetvorostrana piramida osnovne ivice 10 2 cm i boËne ivice 26 cm. IzraËunaj obim i povrπinu preseka piramide i ravni SAC. 13. Piramida SABCD je pravilna Ëetvorostrana jednakoiviËna. Wena snovna ivica je 4 cm. IzraËunaj obim i povrπinu trougla SAC. 14. Neka je SABCD pravilna Ëetvorostrana piramida osnovne ivice 10 cm i boËne ivice 13 cm. IzraËunaj obim i povrπinu preseka piramide i ravni SMN gde su M i N srediπta ivica: a) AB i BC; b) AB i CD. 15. Osnovna ivica i visina pravilne a) Ëetvorostrane; b) πestostrane piramide su 12 cm i 10 cm. IzraËunaj obim preseka piramide i ravni a koja je paralelna, ravni osnove i sadræi srediπte visine.

16. Osnovna i boËna ivica pravilne a) Ëetvorostrane; b) πestostrane i v) tostrane piramide su 10 cm i 13 cm. IzraËunaj duæinu ortogonalne projekcije boËne ivice na ravan osnove. 17. Osnovna i boËna ivica pravilne a) Ëetvorostrane; b) πestostrane i v) tostrane piramide su 8 cm i 12 cm. IzraËunaj duæinu ortogonalne projekcije duæi odreene vrhom piramide i srediπtem osnovne ivice na ravan osnove.

5.2. Мрежа пирамиде 1. Konstruiπi mreæu pravilne a) trostrane; b) Ëetvorostrane jednakoiviËne piramide Ëija su ivice po 3 cm 2. Konstruiπi mreæu pravilne a) trostrane; b) Ëetvorostrane jednakoiviËne piramide Ëija su apoteme po 3 cm. 3. Sve boËne strane pravilne trostrane piramide su jednakokraki pravougli trouglovi Ëije su katete po 3 cm. Konstruiπi mreæu. 4. Napravi model Ëetvorostrane piramide SABCD Ëija je osnova romb. Dijagonale osnove su d1 = 4 cm, d2 = 6 cm. Duæ odreena vrhom piramide i presekom O dijagonala osnove je normalna na ravan osnove i wena duæina je 5 cm. 5. Koja od figura na slici nije mreæa trostrane piramide? a)

6. Konstruiπi mreæu pravilne πestostrane piramide Ëija je osnovna ivica a = 4 cm i nagibni ugao a) boËne ivice prema osnovi je 30˚ ; b) boËne strane prema osnovi je 45˚.

5.3. Површина пирамиде. Површина четворостране пирамиде Подсети се

Pravilna Ëetvorostrana piramida SABCD: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugaao boËne strane prema osnovi. S

H a

D β

α N

B H

C O O

a√2 2 A

a 2 N

a 2

α M

a√2 2

a 2

a 2 a 2 a 2 2 2 h2 = H 2 + ` j , b2 = H 2 + c m, b =h +` j 2 2 2

P = 2a 2 + 4

ah , P = 2a 2 + 2ah 2

1. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je: a) osnovna ivica 6 cm, boËna ivica 5 cm; b) boËna ivica 13 cm, visina 5 cm. 2. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide SABCD ako je boËna stra2 na ABS jednakostraniËni trougao povrπine 16 3 cm . 3. Osnovna ivica pravilne Ëetvorostrane piramide je 6 cm. Apotema te piramide je za 1 cm veÊa od visine. Povrπina piramide je: a) 132 cm2; b) 120 cm2; v) 96 cm2; g) 92 cm2; d) 48 cm2 Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 4. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je: a) boËna ivica 20 cm, nagibni ugao boËne ivice prema osnovi 30°; b) visina 10 cm, nagibni ugao boËne ivice prema osnovi 45°.

5. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide SABCD ako je presek SAC: a) pravougli trougao povrπine 32 cm2; b) jednakostraniËni trougao obima 18 cm. 6. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide SABCD ako je presek SAC jednakokraki trougao, AC = 10 3 cm i \ASC = 120°. 7. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je: a) visina 12 cm, nagibni ugao boËne strane prema osnovi 45°; b) apotema 24 cm, nagibni ugao boËne strane prema osnovi 60°. 8. Neka je SABCD pravilna Ëetvorostrana piramida, a taËke M i N srediπta ivica BC i AD. IzraËunaj povrπinu piramide ako je SMN a) pravougli trougao povr2 πine 50 cm2 ; b) jednakostraniËni trougao povrπine 25 3 cm . 9. Правилна четворострана једнакоивична пирамида ивице 8 cm је пресечена са две равни, при чему свака од tih ravni садржи врх пирамиде и средишта по једног пара наспрамних ивица основе. На тај начин настају четири пирамиде. Израчунај површину једне од тих пирамида. 10. IzraËunaj povrπinu pravilne Ëetvorostrane jednakoiviËne piramide Ëija je:

a) apotema 8 cm;

b) visina 5 cm.

11. IzraËunaj povrπinu omotaËa Ëetvorostrane piramide ako su sve boËne ivice po 10 cm i uglovi pri vrhu boËnih strana su po: a) 30°; b) 45°. 12. Visina pravilne Ëetvorostrane piramide jednaka je osnovnoj ivici a = 8 cm. Povrπina te piramide je: 2 a) 64 5 cm ;

b) 128 5 cm 2 ;

d) 64 ^2 + 5 h cm 2 .

v) 64 ^1 + 5 h cm 2 ;

g) 64 ^1 + 3 h cm 2 ;

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora 13. ©ator je oblika pravilne Ëetvorostrane piramide osnovne ivice 2,5 m i visine 2,5 m. Koliko je materijala potrebno za izradu delova koji ne Ëine dno πatora? 14. Osnova piramide je kvadrat ABCD stranice 6 cm. BoËna ivica SA = 8 cm je normalna na ravan osnove. Povrπina omotaËa ove piramide je: a) 96 cm2;

b) 12 55 cm 2 ;

v) 64 ^1 + 5 h cm 2 ;

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

g) 108 cm2;

d) 144 cm2.

5.4. Површина правилне тростране пирамиде. Површина правилне шестостране пирамиде Подсети се

Pravilna trostrana piramida SABC: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, h1 visina osnove, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi. S

h H α

a 2

O B

h 2 = H 2+ c

ah 2

β M 1 O h1 3

α C 2 h1 3

M 1 a B 2

a 3 a 3 a 2 2 2 2 2 m , b =H +c m , b =h +` j . 6 3 2

Pravilna πestostrana piramida SABCDEF: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, h1 visina karakteristiËnog trougla osnove, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi. S

β M

b H

F A

P=6

E α D

O a

3 4

M B

β M a√3 O 2

α O

M a B

a 2 a 3 2 2 2 a 2 a 3 2 2 2 2 , b = h2 + ` j h2 = H2 + c b = H + a , m 2 2

ah 3a 3 , P= + 3ah . 2 2

1. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako je zbir svih osnovnih

ivica 18 cm, a zbir svih apotema 12 cm. 2. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako je: a) obim osnove 12 cm, boËna ivica 8 cm; 2 b) povrπina osnove 25 3 cm , apotema 10 cm; v) povrπina omotaËa 48 cm2, apotema 8 cm. 3. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane jednakoiviËne piramide ako je: a) ivica 24 cm; b) visina jedne strane 6 cm. 4. Mreæa pravilne trostrane jednakoiviËne piramide je jednakostraniËni trougao stranice 24 cm. Povrπina omotaËa te piramide je: a) 108 2 cm 2 ; b) 108 3 cm 2 ; v) 48 6 cm 2 ; g) 108 cm2; d) 144 3 cm 2. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 5. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako je visina 6 cm i: a) boËna ivica 4 3 cm ; b) apotema 8 cm. 6. Површина омотача правилне тростране пирамиде је 144 cm2 и основна ивица je jednaka apotemi. Израчунај povrπinu пирамиде. 7. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako: a) boËna ivica b = 8 cm zaklapa sa osnovom ugao od 45°; b) osnovna ivica je 6 cm, a boËna strana zaklapa sa osnovom ugao od 30 °. 8. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane piramide ako, boËna ivica zaklapa sa osnovom ugao od 30° i: a) osnovna ivica je 12 cm; b) visina je 6 cm. 9. Temena A, C, F, H kocke ABCDEFGH su temena trostrane piramide. Da li je ta piramida pravilna? Obrazloæi odgovor! IzraËunaj:

H F

a) duæine ivica, visinu i apoteme; b) povrπinu te piramide ako je ivica kocke 12 cm. Vidi sliku! 10. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je:

D A

C B

a) obim osnove 24 cm, apotema 1 dm; 2 b) povrπina osnove 600 3 cm , apotema 20 cm; v) povrπina omotaËa 48 cm2, a obim osnove 12 cm. 11. KraÊa dijagonala osnove pravilne πestostrane piramide je d = 12 3 cm , a visina piramide je H = 8 cm. IzraËunaj povrπinu piramide.

12. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je apotema h = 12 3 cm a boËna strana zaklapa sa ravni osnove ugao od 60°. 13. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je povrπina osnove 150 3 cm 2 , a a) boËna strana; b) boËna ivica zaklapa sa ravni osnove ugao od 30°. 14. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je osnovna ivica 6 cm, a centar osnove je od boËne strane na rastojawu 3 3 cm . 15. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je osnovna ivica 2 5 cm a centar osnove je od boËne ivice na rastojawu od 4 cm.

5.5. Запремина пирамиде. Запремина четворостране пирамиде. Подсети се

Pravilna Ëetvorostrana piramida SABCD: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi. S S

H a

B O

O N

α A

a 2

α M

a√2 2

a 2

a 2 a 2 a 2 2 2 h2 = H 2 + ` j , b2 = H 2 + c m , b =h +` j 2 2 2 O

a√2 2 A

a 2 N

a 2

P = 2a 2 + 2ah . 2

a H 3

1. Keopsova piramida ima oblik pravilne Ëetvorostrane piramide osnovne ivice 233 m i visine 149 m. IzraËunaj zapreminu.

2. Povrπina jedne boËne strane pravilne Ëetvorostrane piramide je 12 cm2 i a) osnovna ivica 4 cm; b) apotema 12 cm; v) povrπina osnove 2 cm2. IzraËunaj zapreminu te piramide. 3. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je boËna ivica b = 10 cm i visina H = 8 cm. 4. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je: a) osnovna ivica 20 2 cm , nagibni ugao boËne ivice prema osnovi 60°; b) visina 30 cm, nagibni ugao boËne ivice prema osnovi 45°. 5. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je apotema h = 10 cm a nagibni ugao boËne strane prema osnovi b = 60°. 6. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane piramide ako je osnovna ivica a = 12 cm a nagibni ugao boËne strane prema osnovi b = 30°. S

7. U kocku ivice a = 12 cm, upisana je piramida SMNPQ (M, N, P i Q su srediπta ivica jedna strane kocke a S centar naspramne strane). Vidi sliku! а) IzraËunaj zapreminu piramide. b) U kojoj su razmeri zapremine piramide i kocke?

P Q

8. Povrπina omotaËa pravilne Ëetvorostrane piramide je 60 cm2. IzraËunaj zapreminu ako je odnos osnovne ivice i apoteme 3 : 2.

9. Povrπina osnove pravilne Ëetvorostrane piramide SABCD je 100 cm2, a povrπina omotaËa je 260 cm2. IzraËunaj: a) povrπinu preseka ACS; b) povrπinu poliedra SABC; v) zapreminu te piramide. 10. Mreæa pravilne Ëetvorostrane piramide je ucrtana u kvadrat stranice 12 2 cm . Vidi sliku! IzraËunaj zapreminu te piramide ako je duæina osnovne ivice jednaka apotemi. 11. Zapremina pravilne Ëetvorostrane piramide je 48 cm3. Osnovna ivica je 6 cm. Povrπina piramide je: 2 a) 96 cm2; b) 90 cm2; v) ^48 + 12 5 h cm ; g) 64 cm2; d) 144 cm2. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora.

12. IzraËunaj zapreminu pravilne Ëetvorostrane jednakoiviËne piramide ako je wena: a) ivica; b) apotema; v) visina 10 2 cm .

13. IzraËunaj zapreminu poliedra koji se sastoji od dve pravilne Ëetvorostrane jednakoiviËne piramide sa zajedniËkom osnovom ako je ivica 8 cm. Vidi sliku!

C O

5.6. Запремина правилне тростране пирамиде. Запремина правилне шестостране пирамиде Подсети се

Pravilna trostrana piramida SABC: a osnovna ivica, b boËna ivica, H visina, h apotema, h1 visina osnove, a nagibni ugao boËne ivice prema osnovi, b nagibni ugao boËne strane prema osnovi. S

a 2

h H A

β M

h1 M

O B

B S

β M 1 O h1 3

α C 2 h1 3

M 1 a B 2

a 3 a 3 a 2 2 2 2 2 h =H +c m , b =H +c m , b =h +` j 6 3 2 2

a2 3 $H 4 V= , 3

3 $H . 12

Подсети се

S F

β M

S h

E α D

O a

a h1

M B

H β M a√3 O 2

ah 3a 3 ah , P= +3 ; 2 2 2

α O

M a B

a 3 a 2 2 2 2 2 2 m , b =H +a , b =h +` j 2 2 6

h2 = H2 + c

P=6

b H

F A

a2 3 $H 2 a 3 $H 4 , V= . 3 2

1. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane piramide ako je osnovna ivica 12 cm, a boËna ivica 13 cm. 2. IzraËunaj visinu pravilne trostrane jednakoiviËne piramide, ako je ivica: a) 12 cm; b) x. 3. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane jednakoiviËne piramide, ako je ivica: a) 18 cm; b) x. 4. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane piramide ako boËna ivica b = 6 cm obrazuje sa osnovom ugao od 60°. 5. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane piramide ako, boËna ivica obrazuje sa osnovom ugao od 45° i: a) osnovna ivica je 18 cm; b) visina je 8 cm. 6. IzraËunaj povrπinu i zapreminu pravilne trostrane piramide SABC ako je boËna ivica b = 9 cm jednaka visini osnove. 7. Temena A, B, C, F kocke ABCDEFGH. su temena trostrane piramide. Da li je ta piramida pravilna? Obrazloæi odgovor! IzraËunaj: a) duæine ivica, visinu i apoteme; b) zapreminu; v) povrπinu te piramide ako je ivica kocke 12 cm. Vidi sliku!

8. BoËne strane pravilne trostrane piramide su pravougli trouglovi i a) boËna ivica je 4 cm; b) apotema je 6 cm; v) osnovna ivica je 6 cm IzraËunaj zapreminu te piramide.

G F

E D A

C B

9. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane piramide ako je osnovna ivica a = 8 cm i boËna ivica b = 17 cm. 10. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane piramide ako boËna ivica b = 8 cm zaklapa sa osnovom ugao od 45°. 11. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane piramide ako je : a) osnovna ivica 12 cm; b) visina 4 cm, a boËna ivica zaklapa sa osnovom ugao od 30°. 12. IzraËunaj zapreminu pravilne πestostrane piramide ako boËna strana zaklapa sa osnovom ugao od 45° i: a) osnovna ivica je 6 3 cm ; b) visina je 4 cm. 13. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je wena zapremina 24 3 cm 3, a osnovna ivica 2 3 cm 2. 14. BoËna ivica pravilne πestostrane piramide je tri puta veÊa od osnovne ivice. IzraËunaj zapreminu te piramide ako je visina 8 2 cm . 15. Површина омотача правилне шестостране пирамиде је 432 cm2 и основна ивица 12 cm. a) Израчунај запремину пирамиде; b) IzraËunaj rastojawe srediπta osnove piramide od jedne boËne strane. 16. IzraËunaj povrπinu pravilne πestostrane piramide ako je wena zapremina 864 3 cm 3 a visina je 4 cm.

I ниво 1. Osnova Ëetvorostrane piramide je strana ABCD kocke ABCDEFGH, a vrh je srediπte strane EFGH. Da li je ta piramida pravilna? IzraËunaj apoteme i visinu te piramide ako je ivica kocke 12 cm. 2. IzraËunaj povrπinu i zapreminu pravilne πestostrane piramide ako je osnovna ivica 10 cm, a boËna ivica 26 cm. 3. IzraËunaj povrπinu i zapreminu pravilne trostrane piramide ako je osnovna ivica 12 cm, a apotema 15 cm.

4. IzraËunaj povrπinu pravilne trostrane jednakoiviËne piramide ako je osnovna ivica 6 cm.

II ниво 1. Osnova Ëetvorostrane piramide je strana ABCD kocke ABCDEFGH, a vrh je srediπte kocke . Da li je ta piramida pravilna? Obrazloæi odgovor! IzraËunaj duæine boËnih ivica i visinu te piramide ako je ivica kocke 12 cm. 2. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane piramide ako je povrπina osnove 20, 25 3 cm 2 , a povrπina omotaËa je 108 cm2. 3. IzraËunaj povrπinu i zapreminu pravilne πestostrane piramide ako je osnovna ivica 6 cm, a visina je 2 cm mawa od boËne ivice. 4. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane jednakoiviËne piramide ako je ivica 9 cm.

III ниво 1. Osnova Ëetvorostrane piramide je strana ABCD kocke ABCDEFGH, a vrh je srediπte ivice FG. Da li je ta piramida pravilna? Obrazloæi odgovor! IzraËunaj duæine boËnih ivica i visinu te piramide ako je ivica kocke 20 cm. 2. IzraËunaj povrπinu i zapreminu pravilne trostrane piramide ako je osnovna ivica 12 cm, a boËna strana zaklapa sa osnovom ugao od 60°. 2 3. Површина основе правилне шестостране пирамиде је 24 3 cm , а површина омотача је 60 cm2. Израчунај запремину те пирамиде.

4. IzraËunaj zapreminu pravilne trostrane jednakoiviËne piramide ako je wena po2 vrπina 144 3 cm .

6.1. Линеарна функција y = kx + n 1. Kojim od datih formula je zadata linearna funkcija: a) y = 3x + 1; b) y = 0,2x ‡ 3; v) y = 4; g) y = 3(x ‡ 1)2 ‡ x(3x + 1); d) x2 ‡ y + 5 =0? 2. Odredi k i n u linearnoj funkciji: a) y = - x + 1 ; b) y = x; v) y = ‡3; g) y = 2 + x . 3

3. Popuni tabelu: x y = 0,3x‡1 x y = 2x ‡ 0,5

‡0,1

‡0,2

‡1

0,5

4. Ako je 2x ‡ 3y = 5, popuni tabelu: x y

‡1

‡3 ‡2

5. Utvrdi funkcionalnu zavisnost x i y i dopuni tabelu: x y

2 5

3 8

4 11

‡1

‡3 ‡2

‡2 ‡1

‡1 0

0 1

‡3

6. Data je tabela x y

1 2

Nai odgovarajuÊu formulu. 7. Izmeu x i y je linearna veza. Popuni tabelu: x y

‡1

0 1

2 ‡3

‡2

8. Domen funkcije y = 3x ‡ 2 je [‡2,5]. Odredi skup vrednosti. 9. Skup vrednosti funkcije y = ‡2x + 5 je [‡1,4]. Odredi domen. 10. Popuni tabelu: 1 0,5

2 0,75

3 1,0

4 1,25

5 1,5

11. Dati su brojevi 8, 11, 14, 17, 20, 23,... Tada na n- tom mestu mora biti broj: a) 2n+6; b) 6n+2; v) 5n+3; g) 3n+5. Zaokruæi taËan odgovor.

12. Ako je x y

0 3

1 8

3 18

4 23

6 33

Izmeu x i y veza je: a) y = x + 3; b) y = 3x; v) y =5x ‡ 3; g) y = 5x + 3. Zaokruæi taËan odgovor. h ; g) m = 60h. Zao13. Broj minuta u h Ëasova je: a) m = 60 ‡ h; b) m = h + 60; v) m = 60 kruæi taËan odgovor. 14. Æika je imao 5 sliËica. Svakog meseca sakupio je joπ po dve sliËice. Koliko sliËica je imao posle x meseci? 15. Ako je f(x) = 2x‡1, izraËunaj: a) f(4); b) f(‡3); v) f(0,5). 16. Ako je f(x) = 4x ‡ 5 odredi f(2 ‡ x). 17. Ako je f(2 ‡ x) = 3x ‡ 4 odredi : a) f(0); b) f(2); v) f( a); g) f(x).

6.2. График линеарне функције Подсети се

Grafik linearne funkcije y =kx+n je prava linija. Prave y = k1 + n1, i y = k2x + n2 su paralelne ako i samo ako je k1 = k2.

1. Koja od taËaka (0, 2), (‡3, 7), (‡3, ‡7) pripada pravoj y = 3x + 2? 2. Grafik funkcije y = 0,5x + 2 sadræi taËku: a) A(2, 3); b) B(‡2, ‡2); v) C(‡2 , 1); g) D(‡4 , 2); d) E(‡2, ‡3). Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 3. Nacrtaj grafike funkcija: a) y = ‡3x, b) y = ‡3x + 2, v) y = 2x, g) y = 2x ‡ 1. 5. Napiπi jednaËinu prave koja sadræi taËke: a) (‡1,0) i (0, 0); b) (0, 4) i (1, 0). 6. ProËitaj koordinate preseËnih taËaka pravih sa koordinatnim osama na slici i napiπi wihove jednaËine. y y a) b) v) g) 3

2 1

. -2 -1

-1 -2 -3

2 1 0 1

-3 -2 -1

-1 -2 -3

0 1

2 x

-3 -2 -1

2 1

-1

0 1

2 x

-2 -1

-2

-3

7. Kolike odseËke na koordinatnim osama gradi prava y = ‡2x + 6?

-1

0 1

3 x

2 8. Koliko je rastojawe koordinatnog poËetka od prave y =- x + 6 ? 3 9. Koja od taËaka ^ 2 , 0 h, ^1, 2 h, ^ 2 , 1 h pripada pravoj y = 2 x - 1 ? 10. Nacrtaj grafik funkcije y = 3 x + 2 . 11. Koje od datih pravih su paralelne: y = 2x ‡ 12, y = ‡ 2x + 12, y = 2x ‡ 11? 12. Za koji broj a su paralelne prave: a) y =3x ‡ 2, y = (3 ‡ a)x + 3;

b) y = (2a ‡ 1)x + 3, y =(2 ‡ a)x ‡ 2?

5 5 x - 5 udaqena od prave y = x? 12 12

13. Koliko je prava y =

14. Koliko je rastojawe pravih y =‡x + 3 i y = ‡x ‡ 4?

6.3. Нуле и знак линеарне функције Подсети се

Vrednost nezavisno promenqive x za koju je vrednost linearne funkcije y = kx + n jednaka nuli, tj. reπewe jednaËine kx + n = 0, naziva se nula funkcije. Nula funkcije je prva koordinata taËke preseka grafika funkcije i x-ose.

1. Odredi nulu i znak funkcija: a) y = 3 ‡ x; b) y = 6x ‡ 5; v) y = 2ax ‡ 3; g) y = (2 ‡ a)x + a ‡ 1. 2. ProËitaj nulu i znak funkcije sa datog grafika: a)

0 1 2

0 1 2 3

1 2 x

3. Moæe li linearna nekonstantna funkcija da ima dve nule? 4. Ispitaj znak funkcije y =x + 2a za razne vrednosti broja a. 5. Ispitaj znak funkcije y = ax + 2 za razne vrednosti broja a. 6. Grafik linearne funkcije seËe x-osu u taËki (2,0) i paralelan je pravoj y = ‡x. Koja je to funkcija?

7. Odredi linearnu funkciju koja ima nulu u x = ‡3 i koja gradi ugao od 45 stepeni sa pozitivnim smerom x-ose. 8. Odredi nulu linearne funkcije Ëiji grafik sa x osom gradi ugao do 135 stepeni i sadræi taËku (0,4). 9. U petak je na stovariπtu bilo 120 t ugqa. Svakog dana osim nedeqe proda se 6 t ugqa. Za koliko dana Êe se sav ugaq prodati? Kojeg dana po prvi put neÊe viπe biti ugqa?

6.4. Ток линеарне функције Подсети се

Vrednost linearne funkcije y = kx + n raste sa porastom nezavisno promenqive ako je k > 0, a opada ako je k < 0.

1. Kakav je tok fukcija: a) y = ‡3; b) y = x ‡ 3; v) y =‡x + 10? 2. Za koje vrednosti broja a je rastuÊa funkcija: a) y = (a-1)x ‡ 4; b) y = (2a‡4)x+2? 3. Ispitaj tok funkcije y= (2a-6)a+3, a ‡ realan broj. 4. Ako je funkcija y = (2+2k)x + 3 rastuÊa, kakvo je k? 5. Prava y =kx + n ne prolazi kroz Ëetvrti kvadrant. Kakvog su znaka k i n? 6. Koje od funkcija Ëiji su grafici prikazani na slikama su rastuÊe a koje opadajuÊe? a)

g) y

7. TaËka (2,‡1) pripada grafiku funkcije y = (3a ‡ 1)x + a. Da li je ova funkcija rastuÊa ili opadajuÊa? 8. Grafik linearne funkcije sadræi taËke : a) (2,0) i (‡3,1); b) (‡3,‡1) i (2,3). Kakav je tok ove funkcije? 9. Ako je funkcija y =(3 ‡ a)x + a + 4 opadajuÊa, dokaæi da je odseËak koji wen grafik pravi na y-osi veÊi od 7. 10. Dokaæi da je nagibni ugao prave y =3x‡1 prema x-osi veÊi od nagibnog ugla prave y = 2x + 10 prema x-osi.

6.5. Имплицитни облик линеарне функције Подсети се

Vezu ax + by + c = 0, ako je bar jedan od brojeva a ili b razliËit od nule, nazivamo implicitni oblik linearne funkcije. Skup taËaka u koordinatnoj ravni Ëije koordinate zadovoqavaju ovakvu vezu (tj. reπewe ove jednaËine sa dve nepoznate) je prava linija.

1. Napiπi u eksplicitnom obliku funkcije: a) 3x ‡ y = 2; b) ‡x + 2y + 4 = 0; 3 v) 0, 4x + y + 1 = 0 ; g) y ‡ 8 = 0. 5 2. Napiπi u obliku ax + by + c = 0 i odredi a, b, c za svaku od funkcija: a) y = 3x + 7; 3 b) y =- x + 5 ; v) y = 0,4x ‡ 3; g) y = 9. 7 3. Nacrtaj prave: a) 2x+3y + 6 = 0; b) 5x ‡ 4y + 20 = 0; v) 4x ‡ 12 = 0. 4. TaËka (2, ‡3) pripada pravoj 2x + a y + 5 = 0. Odredi a. 5. Nacrtaj pravu x = 3y ‡2. 6. Koliko je koordinatni poËetak udaqen od prave 5x + 12y = ‡13? 7. Napiπi jednaËinu prave koja sadræi koordinatni poËetak i paralelna je pravoj 3x ‡ 4y + 5 = 0. 8. Prava odseca na x-osi odseËak 5 a na y-osi 12. Kakva je wena jednaËina? 9. Dokaæi da su prave ‡3x + 2y + 5 = 0, 6x ‡ 4y + 15 = 0 paralelne. 10. Koliki je ugao izmeu pravih x =3 i x‡y = 3? 11. Prave x + y = 1 i x ‡ ay = 1 su normalne. Koliko je a? 12. Koja od pravih 3x ‡ 2y = 6 i 2x + 3y =12 sa koordinatnim osama gradi trougao veÊe povrπine?

I ниво 1. Дата је функција у = –2х + 4. Скицирај график, одреди нулу и одреди вредности независно променљиве х за које су одговарајуће вредности зависно променљиве у позитивне [негативне]. 2. Одреди k тако да је график функције у= kх + 4 паралелан графику функције 2х – 3у + 6 = 0. Утврди да ли је за то k функција растућа или опадајућа. 3. Одреди n тако да график функције у= 0,5х + n садржи тачку А(–2, 2). 4. Дата је линеарна функција у= (2m – 1)х + 4m – 6. Одреди број m тако да график функције сече осу х у тачки х= 2.

II ниво 1. График функције у= 0,5х + 3 садржи тачку : а) А(2, 2); б) B(–2 ,–2); в) C(–2, 2). Заокружи слово испред тачног одговора. 3 2. Одреди нулу функције y =- x + 4 . 4 3. Графику функције y = kx – 3 припада тачка: a) А(1,3), б) B(−1,−5), в) C(−4,0). Да ли је та функција растућа или опадајућа? 1 4. Одреди функцију чији je график паралелaн правoj: а) y = x - 3 ; б) x – 2y + 7 = 0 2 и садржи тачку (–1,1).

III ниво 1. Ако броју х одговара број у тако да је у= 2х + 7, а) допуни таблицу:

x y

–2

0,5

б) скицирај график.

–1

2. График функције у= kх – 6 паралелан је графику функције 2х – 3у + 6 = 0. За то k функција у= kх – 6 има нулу: а) х = 6; б) х = 3; в) х = 4; г) х = –9; д) х = 9. Заокружи слово испред тачног одговора. 3. Израчунај растојање координатног почетка од графика функције у = –х + 8. 4. График линеарне функције садржи тачке (1,–1) и (–2,5). Да ли је та функција растућа?

7.1. Табеларно и графичко представљање зависних величина

1. Napravi tabelu omiqenosti voÊa ako je rezultat glasawa prikazan tabelom Breskve

ޯޯޯޯ ޯ

Jabuke

ޯޯޯޯ

Kruπke

ޯޯޯޯ ޯ

Jagode

ޯޯޯޯ

Maline

ޯޯޯޯ

Pomoranxe

ޯޯޯޯ ޯޯޯޯ

Koje voÊe je najomiqenije a koje najmawe omiqeno? 2. Pretvori tabelu dobijenu u 1. zadatku u grafikon. 3. Broj prodatih kugli sladoleda po vrstama sladoleda prikazan je tabelom »okolada

Vanila

Jagoda

Viπwa

Prikaæi podatke grafikonom. 4. Broj poena u igri prikazan je tabelom Igra

Poena

Prikaæi rezultate grafikonom.

5. Prognozirana temperatura data je tabelom Dan Ponedeqak Utorak Sreda »etvrtak Petak

Temperatura 1 4 10 2 ‡1

Kakav tok temperature se prognozira? 6. OËekivano vreme potrebno da se uradi neki zadatak je Zadatak 1 2 3 4 5

Vreme rada (min) 1 8 4 9 12

a) Da li su zadaci poreani po teæini? b) Ako nisu, poreaj ih po teæini. 7. Raspodela dobijenih poena na ispitu izgleda ovako: Broj poena

Broj aka

51‡60 61‡70 71‡80 81‡90 91‡100

1 2 4 6 7

8. ProËitaj tok kretawa vozila sa grafikona:

пређени пут (km)

Predstavi je grafikonom.

50 40 30 20 10 0

време (час)

7.2. Стубични и кружни дијаграми ВОЋЊАК

1. Raspodela voÊaka u voÊwaku prikazana je stubiËnim dijagramom: Јабука

Pretvori ga u tabelu.

Бресква Шљива

2. Broj prodatih vozila prikazan je stubiËnim dijagramom

Кајсија 1

Број стабала

Pretvori ga u grafikon.

ПРОДАЈА ВОЗИЛА

3. Predstavi stubiËnim dijagramom prodaju sladoleda po vrstama iz zad. 2 u 7.1.

10 9

5. Prikaæi kruænim dijagramom (pitom) stubiËne dijagrame iz zad. 2 u 7.1. 6. Prikaæi kruænim dijagramom (pitom) stubiËne dijagrame iz zad. 3 u 7.1.

8 Број продатих возила

4. Prikaæi kruænim dijagramom (pitom) stubiËne dijagrame iz zad. 1 u 7.1.

7 6 5 4 3 2 1

7. DvostubiËni dijagram prikazuje ocene Æike i Mike. Proveri da je u veÊini predmeta Æika boqi od Mike.

Дан

БРОЈ БОДОВА ПО ПРЕДМЕТУ

Број бодова

20 15 Жика

Мика

5 0

први предмет

други предмет

трећи предмет

четврти предмет

пети предмет

8. Prikaæi kruænim dijagramom (pitom) procenat odsustvovawa aka u nastavi nedeqno, ako je broj otsutnih dat tabelom, a u razredu je 21 ak. Dan

Broj otsutnih

Ponedeqak

Utorak

Sreda

»etvrtak

Petak

7.3. Средња вредност и медијана Подсети се

a1 + a2 + f + an . n Ako je n neparno, medijana ovih brojeva je sredwi po veliËini meu wima, a u sluËaju da je n parno, medijana je aritmetiËka sredina (poluzbir) dva sredwa po veliËini broja meu wima. Sredwa vrednost (prosek) brojeva a1, a2, f, an je broj ar =

1. Odredi sredwu vrednost i medijanu brojeva: a) 1, 3, 5, 6, 10;

b) 1, 3, 3, 3, 5;

v) ‡1, 3, ‡3, 4, 4, ‡5.

2. Odredi sredwu vrednost i medijanu brojeva: a) 3, 1, 1, 7, ‡2; b) 8, ‡1, 7, ‡7, 8; v) 4, ‡3, 5, ‡6, ‡6, 3, 4; g) 4, ‡3, 2, 2, ‡4, 5, 5, 7, ‡9, 8. 3. Mika ima sredwu vrednost ocena 4,03, a Æika 4,30. Ko je od wih boqi ak? 4. Mika ima prosek ocena 4. Da li on mora imati ocenu 4 iz nekog od predmeta? 5. Æika ima prosek ocena 5. ©ta ima iz matematike? 6. Na deset predmeta koje je poloæio Mika je ostvario prosek 4,2. Da li on ima bar jednu peticu? A bar jednu trojku?

7. U tabeli je prikazan prosek ocena dva razreda iz svih predmeta P1,... ,P8 . P1

VIII1 4,2

3,1

2,6

4,2

3,1

3,2

2,9

4,1

VIII2 3,2

2,5

4,4

3,1

4,6

4,8

3,1

3,6

Koji je razred je postigao boqi ukupan uspeh? 8. Stopa smrtnosti od gripa je pola promila. Ako je poznato da je od gripa umrlo 98 lica ocenite koliko je bilo zaraæenih? 9. Na sluËajnom uzorku od 100 lica 20 bi podræalo predlog A, 15 predlog B a ostali su neopredeqeni. Ocenite koliko neopredeqenih ima u kolektivu koji ima 800 qudi? 10. ProseËne koliËine padavina u leto, jesen, zimu i proleÊe su 10, 50, 35 i 65 litara po kvadratnom metru. Koliki je godiπwi prosek padavina? 11. Medijana sedam brojeva je 3. Mora li jedan od brojeva biti 3? A da je medijana osam brojeva? 12. Poznato je da je medijana nekih brojeva mawa od tri od wih. Koliko meu wima ima brojeva ne mawih od medijane? 13. Dokaæi da se minimalna vrednost izraza x - 2 + x - 5 + x - 3 dostiæe kada je x medijana brojeva 2, 5 i 3. 14. Dokaæi da se minimalna vrednost izraza x - 1 + x + 1 + x - 3 + x + 4 dostiæe kada je x medijana brojeva 1, ‡1, 3 i ‡4.

I ниво Na grafikonu je prikazan uspeh uËenika iz matematike 1. Pretvori podatke u tabelu. 6

3. IzraËunaj medijanu ocena.

broj aka

2. IzraËunaj proseËnu ocenu.

5 4 3

4. Prikaæi podatke kruænim dijagramom (pitom). 2 1 0

II ниво U tabeli je prikazana visina devojËica Visina (cm) Broj devojËica

150

151

152

153

154

155

156

157

158

1. IzraËunaj prosek visina. 2. IzraËunaj medijanu visina. 3. Prikaæi podatke grafikonom. 4. Prikaæi podatke kruænim dijagramom (pitom).

III ниво U tabeli je prikazana dnevna zarada Æike i Mike. Ponedeqak

Utorak

Sreda

»etvrtak

Petak

Æika

Mika

1. IzraËunaj proseËnu zaradu svakog od wih. 2. IzraËunaj medijanu dnevne zarade svakog od wih. 3. Predstavi podatke dvostubiËnim dijagramom. 4. Predstavi podatke kruænim dijagramom (pitom).

Подсети се

•

Jednačina oblika ax + by = c, gde su a, b i c dati realni brojevi, a x i y nepoznate, naziva se linearna jednačina sa dve nepoznate.

•

Uređeni par realnih brojeva (x0, y0) je rešewe linearne jednačine ax + by = c sa dve nepoznate x i y, ako je tačna jednakost ax0 + by0 = c.

• • • • • • • •

Sva rešewa jednačine čine skup wenih rešewa. a1 x + b1 y = c1 Dve jednačine ) čine sistem linearnih jednačina sa dve nepoznate a2 x + b2 y = c2 x i y (a1, b1, c1, a2, b2, c2 su dati realni brojevi). a1 x0 + b1 y0 = c1 Ako su obe jednakosti ) tačne, onda je uređeni par (x0, y0) jedno a2 x0 + b2 y0 = c2 rešewe sistema. Skup rešewa datog sistema jednačina čine sva rešewa sistema, tj. skup svih uređenih parova koji zadovoqavaju obe jednačine sistema. x = x1 Sistem jednačina sa dve nepoznate ' nazivamo sistem jednačina u rešenom y = y1 obliku. Sistem jednačina koji nema nijedno rešewe naziva se protivurečnim ili nemogućim. Sistem jednačina J1 ekvivalentan je sistemu jednačina J2 ako je skup rešewa sistema jednačina J1 jednak skupu rešewa sistema jednačina J2. Ekvivalentne transformacije sistema jednačina su: L 1 = D1 L 2 = D2 1. Zamena redosleda jednačina: sistem ' ekvivalentan je sistemu ' . L 2 = D2 L 1 = D1 2. Promena jedne jednačine sistema množewem wenih strana brojem različitim L 1 = D1 L 1 = D1 od nule: sistem ' ekvivalentan je sistemu ' . tL2 = tD2 (t ! 0) L 2 = D2 3. Promena jedne jednačine dobijena dodavawem wenim stranama proizvoqnog L 1 = D1 ekvivalentan je sistemu umnoπka strana druge jednačine: sistem ' L 2 = D2 L 1 = D1 . ' L2 + tL1 = D2 + tD1 4. Nepoznatu iz jedne jednačine sistema izraziti kao funkciju druge nepoznate i zameniti u drugoj jednačini dobijenim izrazom.

8.1. Појам система линеарних једначина са две непознате 1. Date su jednaËine: a) x + 2y = 7; b) a5 = 30a + 2; v) 3m + 17 = 4n ‡ 30; g) 3y2 + 4z2 = 1. Koje od wih su jednaËine sa dve nepoznate? Koje od datih jednaËina su linearne? 2. Dati su izrazi: I1 = 3x + 2, I2 = 5y ‡ 4, I3 = 6x2. Koja od jednakosti I1 = I2, I2 = I3, I3 = I1 je jednaËina sa dve nepoznate? Koja od jednaËina je linearna? 3. Napiπi linerane jednaËine koje prevode sledeÊe reËenice na matematiËki jezik: a) Razlika dva broja je 23; b) Zbir dvostrukog broja a i trostrukog broja b je 4; v) KoliËnik dva broja je 11, a ostatak je 7. 4. Dokaæi da su ureeni parovi (a, b) = (1, 2) i (a, b) = (5, 6) reπewa jednaËine b ‡ a = 1. 5. Ureeni parovi (m, n) = (2, 3) i (m, n) = (1, ‡3) nisu reπewa jednaËine 10m + 7n = 3. Dokaæi. 6. Data je linearna jednaËina 5x ‡ 3y = 2. Odredi brojeve p i q tako da ureeni parovi (p, 1) i (4, q) budu reπewa date jednaËine. 7. Napiπi bar jednu linearnu jednaËinu sa dve nepoznate Ëije jedno reπewe je (x, y) = (5, ‡ 2 ) 8. Odredi sva reπewa jednaËine 4x ‡ y = 2010. 9. Da li jednaËine 7x + 16y = 23 i y = 2010 Ëine sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate? 3a + 4b = 7 . Koji od ureenih parova (a, b) 10. Dat je sistem linearnih jednaËina f : ' 5a - 2b = 3 su reπewa datog sistema jednaËina: a) (3, 4); b) (1, 1); v) (‡1, 2)? 11. Dokaæi da ureeni parovi (‡2, 6) i (1, 3) nisu reπewa sledeÊeg sistema linearnih jednaËina sa dve nepoznate: J : '

4p + 9q = 22 . 7q - 3p =- 9

12. Napiπi bar jedan sistem linearnih jednaËina sa dve nepoznate Ëije reπewe je (x, y) = (2, 1). 13. Da li postoje realni brojevi x i y, takvi da je 4x ‡ 7y = 11 i 20x ‡ 35y = 54? x + 8y = 11 ? Na koji naËin se mogu 14. Koliko reπewa ima sistem jednaËina J : ' 3x + 24y = 33 opisati sva reπewa datog sistema?

8.2. Еквивалентност система линеарних једначина са две непознате 1. Da li su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : '

x=2 3x + 4y = 18 i J2 : ' ? y=3 5y - 6x =- 8

2. Dokaæi da su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : '

b=1 6a - 5b = 7 i J2 : ' . 3a + b = 5 3a + 4b = 10

x=2 4x = 8 3. Dati su sistemi linearnih jednaËina sa dve nepoznate: J1 : ' , J2 : ' , y =- 1 5y =- 15 2x = 4 . Koji od datih sistema su ekvivalentni? J3 : ' 7y =- 7 4. Dokaæi da sistemi jednaËina J1 : '

11p + 12q = 14 8p = 0 i J2 : ' nisu ekvivalentni. 13p - 15q = 16 9q = 18

5. Napiπi bar jedan sistem jednaËina koji je ekvivalentan sa sistemom jednaËina: m=3 . J:' n=8 x=2 x2 = 4 i J2 : ) 2 ? 6. Da li su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : ' y =- 1 y =1 7. Dokaæi da su ekvivalentni sistemi jednaËina J1 : '

x + 2y = 3 3x = 3 i J2 : ' . 2x - y = 1 4x + 5y = 9

8. Da li su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : '

7x - 4y = 12 x + 9y = 14 i J2 : ' ? 8y - 14x = 24 18y + 2x = 0

9. Da li su ekvivalentni sistemi jednaËina: J2 : '

x - 2y = 5 x+y=7 i J2 : ' ? 6y - 3x =- 15 4x + 4y = 28

10. Napiπi bar jedan sistem jednaËina koji je ekvivalentan sistemu 6x + y = 13 J:' . 12x + 2y = 26

8.3. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом смене 1. Metodom smene reπi sledeÊe sisteme linearnih jednaËina: a) '

3x + 2y = 15 2a =- 2 ; b) ' . y=3 3b - 4a = 10

2. Odredi reπewa sistema jednaËina: a) '

3x + 4y = 19 6a + 5b = 1 8m + 7n =- 8 ; b) ' ; v) ' . x - 2y = 3 a =- b m + n =- 1

2 4 3 1 x+ y=6 x- y=2 ; b) . 3. Reπi sisteme jednaËina: a) * 3 * 5 7 4 x-y+2 =0 4x = 7y 4. AritmetiËka sredina dva broja je 100, a wihova razlika 36. O kojim brojevima je reË? 5. Zbir cifre desetica i cifre jedinica dvocifrenog broja je 12, a wihova razlika je 4. O kom broju je reË? 6. Ako se prirodan broj m podeli prirodnim brojem n koliËnik je 5 i ostatak je 2. Odredi m i n, ako je wihov zbir jednak 50. 7. Milan ima 1000 dinara viπe od Nikole. Koliko novca ima Milan, a koliko Nikola, ako Milan ima pet puta viπe novca od Nikole? 8. Obim jednakokrakog trougla je 36 cm, a krak je za 3 cm duæi od osnovice. Kolika je povrπina datog trougla? x + 3y = 25 5x - y = 24 ; b) ' . 4x + 12y = 104 25x - 5y = 120 10. Ugao x je komplementan sa uglom y i suplementan sa uglom z. Odredi uglove x, y i z ako su i uglovi y i z suplementni. 9. Reπi sisteme jednaËina: a) '

11. Obim pravougaonika je 10 puta veÊi od razlike wegovih stranica. IzraËunaj povrπinu datog pravougaonika ako je jedna wegova stranica za 20 cm duæa od polovine druge stranice. 12. Data su tri broja, tako da zbirovi svaka dva od wih imaju vrednosti 56, 84 i 112. O kojim brojevima je reË? 13. U pravouglom trouglu katete se razlikuju za 2 cm, a razlika povrπina kvadrata konstruisanih nad katetama je 28 cm2. IzraËunaj hipotenuzu datog pravouglog trougla.

8.4. Решавање система линеарних једначина са две непознате методом супротних коефицијената 1. Odredi reπewa sistema jednaËina: 2x + 5y = 29 3a + 4b = 25 4m + 9n = 72 ; b) ' ; v) ' . a) ' 5y - 2x = 21 7a - 4b = 5 5n - 2m = 2 2. Reπi sisteme jednaËina: a) '

4x + 3y = 25 a + 3b = 10 8c + 3d = 73 ; b) ' ; v) ' . 2x - y = 5 3a + b = 6 5c + 11d = 73

5x + 3y = 34 3p - 10y = 0 3. Odredi reπewa sistema jednaËina: a) ' ; b) ' ; 3x + 5y = 30 10p + 7y = 121 4m = 7n + 3 . v) ' 3m = 5n + 3 Z1 3 ]] x + y = 10 7x = 5y 5 ; b) [ 13 ; 4. Reπi sistem jednaËina: a) ' 7 4x + 3y = 4! x y =4 ] 4 (x + 1 ) = 3 (y - 2 ) 10 . v) ) \4 5y - x = 11 5. Za 8 sokova i 7 koka-kola plaÊeno je 820 dinara. Koliko koπta 6 sokova i 5 koka-kola, ako je za 4 soka i 3 koka-kole plaÊeno 380 dinara? 6. Razlika dva broja je 62, a kada se veÊi podeli mawim koliËnik je 6 i ostatak 2. Odredi date brojeve. 7. Zbir dva broja je 100, pri Ëemu je polovina prvog jednaka treÊini drugog. O kojim brojevima je reË? 8. Reπi sistem jednaËina: a) '

4x - 9y = 25 2x + 7y = 24 ; b) ' . 12x - 27y = 75 12x + 42y = 96

9. Mladen je za jedan posao treba da dobije 1300 dinara i loptu. Meutim, Mladen je uradio samo treÊinu posla i za to dobio 100 dinara i loptu. Koliko koπta lopta? 10. Leka ima tri puta viπe novca od Æarka. Ako obojica potroπe po 1000 dinara onda Êe Leka imati Ëetiri puta viπe novca od Æarka. Koliko novca ima Leka, a koliko Æarko? 11. Dvocifreni broj je za 45 veÊi od zbira, a za 53 veÊi od razlike svojih cifara. Odredi taj dvocifreni broj. 12. Ako se pomeπa 20 litara vode Ëija je temperatura xoC sa 30 litara vode Ëija je temperatura yoC dobija se meπavina Ëija je temperatura 26oC. Ako se pomeπa 30 litara vode Ëija je temperatura xoC sa 20 litara vode Ëija je temperatura yoC dobija se meπavina Ëija je temperatura 24oC. Odredi x i y.

8.5. Решавање система линеарних једначина са две непознате графичком методом 1. GrafiËkim metodom reπi sistem jednaËina: a) '

3x + y = 7 2x - y = 5 ; b) ' . y=4 x=2

2. GrafiËkim metodom odredi reπewe sistema jednaËina: a) '

2x + y = 6 5x - 2y = 3 ; b) ' . x + 3y = 8 4x + y = 5

3. GrafiËkim metodom reπi sistem jednaËina: a) '

3x + y = 7 2x - y = 3 ; b) ' . 6x + 2y = 14 4x - 2y = 8

3x - ay = 1 . Odredi realne brojeve a i b tako da ureeni bx - 2y = 1 par (1, 1) bude reπewe datog sistema.

4. Dat je sistem jednaËina '

x - 2y = 4 . Odredi realne brojeve a i c tako da dobijeni ax + 6y = c sistem jednaËina: a) ima jedinstveno reπewe; b) nema reπewa; v) ima beskonaËno mnogo reπewa.

5. Dat je sistem jednaËina '

6. Date su prave a i b Ëije su jednaËine x ‡ 2y = 6 i y = mx + n. Odredi realne brojeve m i n tako da se date prave: a) seku; b) poklapaju; v) paralelne su.

8.6. Примена система линеарних једначина са две непознате 1. Razlika dva broja je 528. Kada se veÊi podeli mawim dobija se koliËnik 3 i ostatak 100. O kojim brojevima se radi? 2. Grupa turista putovala je 8 sati vozom, 15 sati autobusom i 7 sati brodom i preπla ukupno 1449 km. Autobus se kretao 2 puta sporije od voza i 2 puta bræe od broda. Koliko kilometara je grupa preπla svakim od prevoznih sredstava? 3. DomaÊica je kupila 5 kg sira i 2 kg kajmaka za 1770 dinara. Koliko je platila sir, a koliko kajmak, ako je kajmak bio tri puta skupqi od sira? 4. Brat je tri puta stariji od sestre, a tri puta mlai od svoga dede. Zbir godina dede i unuka je 84. IzraËunaj koliko su stari brat, sestra i wihov deda. 5. Otac i sin imaju zajedno 60 godina, a pre 5 godina otac je bio 4 puta stariji od sina. Koliko godina sada ima sin, a koliko otac? 6. Jaπa i Saπa su kupili 5 lubenica, pri Ëemu je Jaπa platio 2, a Saπa 3 lubenice. Tada im se prikquËi Raπa i zajedno pojedu svih 5 lubenica, pri Ëemu je svaki deËak pojeo jednaku koliËinu lubenica. Raπa je za svoj deo lubenica ostavio 150 dinara i otiπao. Kako su Jaπa i Saπa podelili tih 150 dinara? 7. Aca iz prve klupe je primetio: „Ako se broj jabuka u korpi sabere sa brojem uËenika dobije se taËno 100“. Potom je uËiteq svakom uËeniku podelio po dve jabuke, a pri tom je u korpi ostalo 19 jabuka. Koliko je bilo uËenika, a koliko jabuka? 8. Kada Marko kupi 3 sveske ostane mu 30 dinara. Ako bi hteo da kupi 4 sveske, onda mu nedostaje 40 dinara. Koliko novaca ima Marko?

9. Janko i Marko reπe da kupe zbirku zadataka iz matematike. Janku nedostaje 320 dinara, a Marku 80 dinara za zbirku. Zbog toga odluËe da zbirku kupe zajedniËki. Meutim, ni tada nisu imali dovoqno novca, jer im je nedostajalo 40 dinara. Koliko koπta zbirka zadataka? 10. Odeqewe u kome je bilo 32 uËenika kupilo je loptu koja koπta 2460 dinara, pri Ëemu su deËaci za loptu dali po 90 dinara, a devojËice po 60 dinara. Koliko u tom odeqewu ima deËaka, a koliko devojËica? 11. NovËanicu od 1000 dinara treba razmeniti u novËanice od 20 dinara i 50 dinara, tako da ukupno bude 38 novËanica. Koliko Êe biti novËanica jedne, a koliko druge vrste? 12. U jednoj posudi ima dva puta viπe mleka nego u drugoj. Kada se iz svake posude odlije po 20 litara mleka, onda u prvoj posudi ima tri puta viπe mleka nego u drugoj. Koliko mleka je u svakoj od posuda bilo na poËetku? 13. Grupa od 58 putnika preveze se preko reke koristeÊi 9 Ëamaca od kojih su neki imali 6, a neki 8 sediπta. Koliko Ëamaca je bilo od svake vrste, ako se zna da su svi bili puni? 14. Ako Mare pokloni Qubi 1000 dinara, onda Êe imati jednake sume novca. Ako Quba pokloni Maru 2000 dinara, onda Êe Mare imati Ëetiri puta viπe novca od Qube. Koliko sada novca ima Mare, a koliko Quba? 15. Grupa izletnika ugovori voæwu autobusom tako da svaki izletnik plati po 60 dinara. Meutim, 5 izletnika ne doe i zbog toga su ostali morali da plate po 80 dinara. Koliko je izletnika bilo na izletu? 16. Dva broja se razlikuju za 16. Ako oba broja poveÊamo za 6, wihov proizvod se uveÊa za 396. Odredi te brojeve. 17. Zidawe kuÊe 30 radnika zavrπi za 28 dana. Ako im se posle 10 dana prikquËi joπ radnika, kuÊa se zavrπi 6 dana pre roka. Koliko radnika se prikquËilo poslu? 18. TakmiËar A je osvojio toliko bodova koliko B, C i D zajedno. TakmiËar B je imao bod viπe od C, a takmiËar C bod viπe od D. Koliko je bodova imao svaki od wih ako je A imao 6 puta viπe od D? 19. Dopuni magiËni kvadrat 11 13 12 20. Letele su vrane, spazile su grane. Po tri vrane grana viπe. Po dve vrane vrana viπe. Kol’ko grana? Kol’ko vrana?

I ниво 1. Da li su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : ' 2. Reπi sistem linearnih jednaËina J : '

x=5 2x + 5y = 0 i J2 : ' ? y=2 8y - 3x = 1

x-y=2 . 3x + 2y = 1

y-x=3 reπi grafiËkom metodom i proveri taËnost dobi3. Sistem jednaËina ' 2x + y = 6 jenog reπewa. 4. Dragana i Nada imaju zajedno 2010 dinara. Koliko ima Dragana, a Koliko Nada, ako Dragana ima 200 dinara viπe od Nade?

II ниво 1. Da li su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : ' 2. Reπi sistem linearnih jednaËina J : '

x+y=3 2x + 5y = 2 i J2 : ' ? y-x=1 8y - 3x = 3

5x - 3y = 6 . 3x + 2y = 2

2y + x = 5 3. Sistem jednaËina ' reπi grafiËkom metodom i proveri taËnost dobi2x + 4y = 2 jenog reπewa. 4. Kada se od dvocifrenog broja oduzme broj napisan istim ciframa, ali u obrnutom poretku dobije se 45. O kom dvocifrenom broju je reË, ako je zbir wegovih cifara 13?

III ниво 1. Da li su ekvivalentni sistemi jednaËina: J1 : '

x+y=3 2x + 5y = 1 i J2 : ' ? 2 8y - 2x = 2 x =4

Z 3x 2y =7 ]] 3 2. Reπi sistem linearnih jednaËina J : [ 2 . 5y ] 4x + =3 4 \ 5 2y + x = 3 reπi grafiËkom metodom, proveri taËnost dobi2x + 4y = 6 jenog reπewa i opiπi sva reπewa datog sistema.

3. Sistem jednaËina '

4. Kada se od dvocifrenog broja oduzme broj napisan istim ciframa, ali u obrnutom poretku dobija se 36. O kom dvocifrenom broju je reË, ako je taj broj 7 puta veÊi od zbira svojih cifara?

9.1. Ваљак и његови елементи Подсети се

Povrπ vaqka sastoji se od dva podudarna kruga (osnove vaqka) i wegovog omotaËa. Vaqak je telo koje se sastoji od svih taËaka povrπi vaqka i taËaka unutar povrπi vaqka. PolupreËnik r vaqka je polupreËnik wegovih osnova, visina H vaqka je rastojawe izmeu wegovih ravni osnova a duæina s izvodnica jednaka je visini vaqka.

1. Vaqak nastaje obrtawem pravougaonika stranica a = 6 cm , b = 10 cm oko: a) jedne od wegovih kraÊih stranica; b) jedne od wegovih duæih stranica; v) simetrale wegovih kraÊih stranica; g) simetrale wegovih duæih stranica. Za svaki od nastalih vaqaka izraËunaj polupreËnik, visinu i duæinu izvodnica. 2. Kvadrat stranice a = 14 cm obrÊe se oko: a) jedne od wegovih stranica; b) simetrale jednog para wegovih naspramnih stranica; v) jedne od wegovih dijagonala. U kojim od ovih sluËajeva obrtawem nastaje vaqak? U sluËajevima kada na taj naËin nastaje vaqak izraËunaj polupreËnik, visinu i duæinu izvodnica tog vaqka. 3. Vaqak polupreËnika r = 8 cm i visine H = 16 cm moæe nastati obrtawem: a) kvadrata stranice a = 8 cm oko jedne od wegovih stranica; b) kvadrata stranice a = 16 cm oko jedne od wegovih stranica; v) kvadrata stranice a = 16 cm oko jedne od wegovih osa simetrije; g) pravougaonika stranica a = 8 cm, b = 16 cm oko jedne od wegovih duæih stranica; d) pravougaonika stranica a = 8 cm, b = 16 cm oko jedne od wegovih kraÊih stranica; ) pravougaonika stranica a = 8 cm, b = 16 cm oko simetrale wegovih duæih stranica; e) pravougaonika stranica a = 8 cm , b = 16 cm oko simetrale wegovih kraÊih stranica. Zaokruæi slovo (slova) ispred taËnog (taËnih) odgovora. 4. Dijagonale pravougaonika zaklapaju ugao od 60° i duæine su 18 cm. IzraËunaj polupreËnik, visinu i duæinu izvodnica vaqka koji nastaje obrtawem tog pravougaonika oko: a) jedne od wegovih kraÊih stranica; b) simetrale wegovih duæih stranica.

5. Telo u obliku cevi duæine 75 cm, spoqaπweg preËnika 15 cm i unutraπweg preËnika 11 cm moæe nastati obrtawem nekog pravougaonika oko neke prave. Odredi duæine stranica takvog pravougaonika i poloæaj te prave u odnosu na pravougaonik. 6. Neka su a i b paralelne ravni na rastojawu 24 cm. U wima se nalaze kruænice k1(O1, 10 cm) (u a) i k2(O2, 10 cm) (u b) smeπtene tako da je prava n(O1,O2) normalna na date ravni. Opiπi vaqak za koji Êe kruænice k1 i k2 biti granice wegovih osnova (odredi wegov polupreËnik, visinu, osnove i wihovu povrπinu, izvodnice i omotaË, duæine izvodnica).

9.2. Равни пресеци ваљка Подсети се

Osni preseci vaqka su preseci ravnima koje sadræe wegovu osu. To su podudarni pravougaonici duæina stranica 2r i H. Preseci vaqka ravnima normalnim na osu vaqka su krugovi podudarni wegovim osnovama.

α N1 M1

S1 α

T S

N S M

1. IzraËunaj duæinu dijagonale i povrπinu osnog preseka vaqka polupreËnika 12 cm i visine 45 cm. 2. Osni presek vaqka visine 16 cm ima povrπinu od 480 cm2. Kolika je povrπina preseka tog vaqka bilo kojom ravni koja je normalna na wegove izvodnice. 3. Duæina jedne stranice osnog preseka vaqka je 24 cm a duæina wegove dijagonale je 26 cm. Uveri se da postoje dva vaqka s takvim osnim presekom i za svaki od wih izraËunaj polupreËnik i povrπine preseka ravnima normalnim na izvodnice. 4. Ravan seËe vaqak polupreËnika 10 cm duæ dve wegove izvodnice koje su na rastojawu 16 cm. IzraËunaj rastojawe te ravni od ose vaqka. 5. Vaqak polupreËnika 7,4 cm i visine 20 cm preseËen je jednom ravni koja je paralelna sa osom vaqka i na rastojawu je 2,4 cm od we. IzraËunaj povrπinu preseka.

6. Paralelne ravni a i b su paralelne osi vaqka polupreËnika 25 cm i visine 40 cm i seku ga po pravougaonicima povrπine 1 920 cm2 i 1 200 cm2. IzraËunaj rastojawe izmeu te dve ravni ako: a) osa vaqka nije izmeu tih ravni; b) osa vaqka jeste izmeu tih ravni. 7. Povrπina osnih preseka vaqka je dva puta veÊa od povrπine preseka tog vaqka ravnima normalnim na wegove izvodnice. Odnos izmeu polupreËnika takvog vaqka i wegove visine jednak je: a) 2 : 1;

v) 1 : r;

b) 1 : 2;

g) 2 : r;

d) r : 2.

Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 8. Osni presek vaqka je kvadrat a povrπina preseka tog vaqka ravnima normalnim na wegove izvodnice je 289r cm2. IzraËunaj povrπinu osnog preseka vaqka.

9.3. Мрежа ваљка; површина ваљка Подсети се

Mreæa vaqka je figura u ravni koja se sastoji od pravougaonika duæina stranica 2rr i H, koji predstavqa wegov omotaË razvijen u ravan, i dva kruga polupreËnika r koji dodiruju naspramne stranice tog pravougaonika duæine 2rr. Povrπina P vaqka polupreËnika r i visine H je P = 2rr(r + H).

T1'

1. Nacrtaj mreæu vaqka polupreËnika 4 cm i visine 8 cm. 2. Nacrtaj na kartonu pribliæno mreæu vaqka Ëiji se omotaË razvija u pravougaonik sa stranicama a = 8r cm, b = 6r cm ako je: a) visina vaqka a ; b) visina vaqka b. U oba sluËaja iseci mreæu i uz pomoÊ samolepqive trake napravi model vaqka. 3. Nacrtaj mreæu vaqka koji nastaje obrtawem kvadrata stranice 6 cm oko wegove ose simetrije koja ne sadræi nijedno od wegovih temena. 4. IzraËunaj povrπinu vaqka koji nastaje obrtawem kvadrata stranice 12 cm oko: a) jedne od wegovih stranica; b) simetrale jednog od parova wegovih naspramnih stranica. 5. IzraËunaj povrπinu vaqka koji nastaje obrtawem pravougaonika stranica a = 8 cm, b = 16 cm oko: a) jedne od wegovih kraÊih stranica; b) jedne od wegovih duæih stranica; v) simetrale wegovih kraÊih stranica; g) simetrale wegovih duæih stranica.

6. Na slikama je nacrtano nekoliko figura koje se sastoje od po jednog pravougaonika i po dva podudarna kruga koji dodiruju stranice tog pravougaonika. Neke od tih figura mogu predstavqati mreæu vaqka a neke ne mogu. Zaokruæi slova koja su zapisana uz one od figura koje mogu predstavqati mreæu vaqka. U sluËajevima koji su zaokruæeni navedi polupreËnik i visinu tog vaqka.

4 cm 8 cm 4 cm

8π cm

3 cm

6 cm

b) 4 cm

3 cm 6π cm

5 cm

22 cm

6π cm 3 cm

6 cm

8 cm

8π cm

6 cm

3 cm

4 cm

4π cm 8π cm

3 cm

)

7. IzraËunaj povrπinu vaqka Ëija je povrπina osnog preseka 108 cm2 a povrπina preseka sa ravni normalnom na osu vaqka je 36r cm2. 8. Vaqak polupreËnika 24 cm preseËen je paralelnim ravnima a, b, c, pri Ëemu a sadræi osu vaqka a b i c dele jedan od polupreËnika osnove na tri jednaka dela. IzraËunaj odnos povrπina preseka vaqka tim ravnima. 9. Vaqak visine 24 cm i povrπine osnog preseka 432 cm2 preseËen je sa tri ravni koje sadræe osu vaqka i svake dve od wih zaklapaju ugao od 60°. Vaqak je na taj naËin podeqen na πest delova. IzraËunaj povrπinu jednog od tih delova. 10. OmotaË vaqka, razvijen u ravan, predstavqa pravougaonik dimenzija 9r cm # 16r cm. IzraËunaj odnos povrπina dva vaqka Ëiji to moæe biti razvijeni omotaË. 11. IzraËunaj povrπinu vaqka ako je povrπina wegovog osnog preseka 1 568 cm2 a wegova visina je dva puta veÊa od preËnika. 12. Povrπina vaqka je 384 cm2 a wegov osni presek je kvadrat. IzraËunaj polupreËnik i visinu vaqka. 13. Za pravqewe kartonskih kutija vaqkastog oblika (u koje se pakuje keks) pripremqeno je 2 000 pravougaonih kartona dimenzija 6r cm # 7r cm za omotaËe. Od kartonske table dimenzija 1,20 m # 12 m mogu se napraviti dna i poklopci tih kutija (rastur materijala je 15%). Odredi polupreËnik i visinu kutija.

14. Metalnu cev duæine 4 m, spoqaπweg preËnika 64 cm i debqine metala 2 cm treba obojiti spoqa i iznutra. Koliko boje treba nabaviti ako je za bojewe 1 m2 potrebno 500 g boje i ako se „osnove“ ne boje? 15. KeramiËkim ploËicama dimenzija 3,33 # 3,33 cm treba obloæiti okrugli bazen preËnika 12 m i dubine 2,4 m. U jednom paketu ploËica nalazi se 8 000 komada. Koliko paketa ploËica treba obezbediti da bi se izvrπilo oblagawe bazena, a raËuna se sa 5% rastura. 16. Drveni vaqak polupreËnika 8 cm i povrπine osnog preseka 512 cm2 preseËen je jednom ravni koja sadræi osu vaqka. Dobijena dva tela treba obojiti. Koliko je za to boje potrebno ako za bojewe 2 m2 treba 1 kg?

9.4. Запремина ваљка Подсети се

Zapremina V vaqka polupreËnika r i visine H je V = r2r · H .

1. IzraËunaj zapreminu vaqka koji nastaje obrtawem kvadrata stranice 12 cm oko: a) jedne od wegovih stranica; b) simetrale jednog para naspramnih stranica kvadrata. 2. IzraËunaj zapreminu vaqka koji nastaje obrtawem pravougaonika stranica 12 cm i 18 cm oko: a) jedne od duæih stranica; v) simetrale duæih stranica;

b) jedne od kraÊih stranica; g) simetrale kraÊih stranica.

3. IzraËunaj zapreminu vaqka visine 42 cm ako je duæina dijagonale wegovog osnog preseka 58 cm. 4. IzraËunaj zapreminu vaqka ako je wegov osni presek kvadrat a povrπina osnove je 289r cm2. 5. IzraËunaj zapreminu vaqka visine 12 cm ako dijagonale osnih preseka zaklapaju s ravnima osnova vaqka ugao od 60°. 6. Data je pravilna πestostrana prizma Ëija je duæina osnovnih ivica 8 cm a duæina boËnih ivica 12 cm . U wu je upisan vaqak (osnove su mu krugovi upisani u osnove prizme) i oko we je opisan vaqak (osnove su mu krugovi opisani oko osnova prizme). IzraËunaj odnos zapremina ta dva vaqka. 7. Fabrika treba da proizvede veÊu koliËinu metalnih posuda s poklopcima, u obliku vaqka i zapremine od po 6 litara. Ako ih proizvode od istih limenih tabli, da li im se viπe isplati, s obzirom na utroπeni materijal, da posude proizvode u obliku πerpi visine 15 cm ili u obliku lonaca visine 20 cm (r . 3,14 )?

8. Tanker nosivosti 200 000 t nafte pretoËio je u luci sav svoj teret u vaqkaste rezervoare unutraπweg preËnika osnove 20 m i visine 16 m. Koliko je, najmawe, takvih rezervoara moralo biti u luci ako uzmemo u obzir da je gustina nafte 0,76 t/m3 i r . 3,14? 9. Da bi se grad snabdeo vodom, treba obezbediti rezervu za dva sata, pri Ëemu potrebe grada iznose 2 000 litara vode u sekundi. Gradi se deset jednakih rezervoara vaqkastog oblika a wihova je visina ograniËena na 8 metara. Koliki je, pribliæno, polupreËnik tih rezervoara?

42 mm

11. Gvozdeni zavrtaw se sastoji od glave, tela i matice. Glava ima oblik pravilne πestougaone prizme visine 4 mm i rastojawa 13 mm izmeu naspramnih stranica osnove a telo je vaqkastog oblika, visine 42 mm , preËnika 8 mm s narezanom „lozom“ i izliveno je iz jednog komada s glavom. Matica je odvojena i ima oblik pravilne πestougaone prizme istih osnova kao glava i visine 5 mm iz koje je odstrawen vaqak preËnika 8 mm. Ako zanemariπ Ëiwenicu da se narezivawem loze masa smawuje i uzmeπ u obzir da je gustina livenog gvoæa 8,40 g/cm3 a r . 3,14, izraËunaj pribliæno masu:

5 mm

10. Od drvene oblice (kruænog preseka) duæine 6 m i preËnika 24 cm treba iseÊi gredu jednake duæine i najveÊeg (kvadratnog) preseka. Koliki je pribliæno, u procentima, rastur materijala?

12. IzraËunaj pribliæno masu olovne cevi debqine „zidova“ 6 mm, unutraπweg preËnika 18 mm i duæine 6 m, ako znaπ da je gustina olova 11,35 g/cm3, r . 3,14.

4 mm

a) tela s glavom; b) matice zavrtwa.

13 mm

I ниво 1. Vaqak nastaje obrtawem pravougaonika stranica a = 12 cm, b = 20 cm oko: a) jedne od wegovih kraÊih stranica; b) jedne od wegovih duæih stranica. Za svaki od nastalih vaqaka odredi polupreËnik, visine i duæine izvodnice. 2. Osni presek vaqka je kvadrat stranice a = 18 cm. IzraËunaj povrπinu osnove tog vaqka.

3. IzraËunaj povrπinu vaqka koji nastaje obrtawem pravougaonika stranica a = 15 cm, b = 14 cm oko jedne od wegovih kraÊih stranica. 4. Voda je u lonac unutraπweg preËnika osnove 26 cm nalivena do visine od 20 cm. Koliko se pribliæno, litara vode nalazi u loncu (r . 3,14)?

II ниво 1. Data je stranica a = 30 cm i dijagonala d = 34 cm pravougaonika. IzraËunaj polupreËnik, visinu i duæinu izvodnice vaqka koji nastaje obrtawem tog pravougaonika oko: a) jedne od wegovih kraÊih stranica; b) simetrale wegovih duæih stranica. 2. Dijagonala osnog preseka vaqka ima duæinu od 24 cm i zaklapa ugao od 30° sa ravni osnove. IzraËunaj polupreËnik, visinu, povrπinu osnove i povrπinu osnog preseka tog vaqka. 3. Zatvorenu metalnu cisternu vaqkastog oblika, spoqaπwe duæine 604 cm, spoqaπweg preËnika 204 cm i debqine lima od 2 cm treba obojiti spoqa i iznutra. Koliko boje treba obezbediti ako je za bojewe 1 m2 potrebno 600 g boje. 4. IzraËunaj zapreminu vaqka ako znaπ da je povrπina wegove osnove 196r cm2 a osni presek mu je kvadrat

III ниво 1. Pravougaonik je upisan u krug polupreËnika 10 cm a odnos wegovih stranica je 4 : 3. IzraËunaj polupreËnik, visinu i duæinu izvodnica vaqka koji nastaje obrtawem tog pravougaonika oko: a) jedne od wegovih duæih stranica; b) simetrale wegovih kraÊih stranica. 2. Osni presek vaqka polupreËnika 17 cm je kvadrat. Ravan paralelna wegovoj osi i udaqena 8 cm od we seËe vaqak. IzraËunaj povrπinu preseka. 3. Komad kartona dimenzije 8r cm # 12r cm treba da bude omotaË kartonske kutije vaqkastog oblika. IzraËunaj odnos povrπina dva vaqka Ëiji to moæe biti omotaË. 4. Data je pravilna Ëetvorostrana prizma Ëije su dijagonale 24 cm i zaklapaju s ravnima osnova ugao od 60°. U wu je upisan i oko we opisan vaqak. IzraËunaj odnos zapremina ta dva vaqka.

10 10.1. Купа и њени елементи Подсети се

! V

Povrπ kupe sastoji se od jednog kruga (osnova kupe) i wenog omotaËa. Kupa je telo koje se sastoji od svih taËaka prostora koje pripadaju povrπi kupe ili se nalaze unutar we. Izvodnice kupe su duæi Ëiji su krajevi vrh kupe i bilo koja taËka osnovne kruænice kupe.

Visina H kupe je rastojawe wenog vrha od ravni wene osnove. Izvodnice kupe su hipotenuze pravouglih trouglova Ëije su katete duæina r i H.

S M

1. Zadate su duæine kateta pravouglog trougla a = 15 cm, b = 36 cm. IzraËunaj polupreËnik osnove, visinu i duæinu izvodnica kupe koja nastaje obrtawem tog trougla oko: a) duæe katete; b) kraÊe katete. 2. Duæina kateta jednakokrakog pravouglog trougla je 18 cm. IzraËunaj polupreËnik osnove, visinu i duæinu izvodnica kupe koja nastaje obrtawem tog trougla oko: a) jedne od kateta; b) wegove ose simetrije. 3. Jednakokraki trougao osnovice a = 14 cm i krakova b = 25 cm obrÊe se oko svoje ose simetrije. IzraËunaj polupreËnik osnove, visinu i duæinu izvodnica tako nastale kupe. 4. Duæina izvodnica kupe je s = 12 cm . One zaklapaju sa ravni osnove kupe ugao od 60°. IzraËunaj polupreËnik osnove i visinu kupe. 5. Jednakokraki trougao osnovice a = 16 cm i ugla naspram osnovice od 120° obrÊe se oko: a) jednog od svojih krakova; b) svoje osnovice. Kakvo se telo pri tome dobija? IzraËunaj elemente dveju kupa pomoÊu kojih se to telo formira. 6. Kakvo se telo dobija ako se jednakokraki trapez obrÊe oko svoje: a) kraÊe osnovice; b) duæe osnovice; v) simetrale? Ako su duæine osnovica trapeza 28 cm i 12 cm i ugao izmeu kraka i duæe osnovice 45°, izraËunaj u sva tri sluËaja elemente tela pomoÊu kojih se ono formira. 7. Romb Ëiji je jedan ugao 120° a stranica a = 18 cm obrÊe se oko svoje: a) kraÊe dijagonale; b) duæe dijagonale. Kakvo se telo pri ovom obrtawu dobija? IzraËunaj elemente tela koja ga formiraju.

8. Pravougli trougao Ëije su duæine kateta 15 cm i 20 cm obrÊe se oko svoje hipotenuze. Kakvo se telo pri tome dobija? IzraËunaj elemente oba tela iz kojih je ono sastavqeno.

10.2. Равни пресеци купе Подсети се

Osni preseci kupe su weni preseci ravnima koje sadræe osu kupe. To su podudarni jednakokraki trouglovi duæina osnovica 2r i visine H. Duæine krakova tih trouglova su s.

V V

II III

Preseci ravnima normalnim na osu kupe su krugovi. P

r S

III I

1. Dat je polupreËnik osnove r = 14 cm i duæina izvodnica s = 50 cm kupe. IzraËunaj povrπinu wenog: a) osnog preseka; b) preseka simetralnom ravni wene visine. 2. Odredi uglove osnog preseka kupe ako je: a) wena visina jednaka polupreËniku osnove; b) duæina wenih izvodnica jednaka preËniku osnove. 3. IzraËunaj povrπinu osnog preseka kupe koja je nastala obrtawem pravouglog trougla, Ëije su duæine kateta 16 cm i 30 cm, oko: a) kraÊe katete; b) duæe katete. 4. Izvodnice kupe zaklapaju s ravni osnove ugao od 30° a wihova je duæina 20 cm. IzraËunaj povrπinu wenog: a) osnog preseka; b) preseka simetralnom ravni wene visine. 5. Povrπina osnog preseka kupe polupreËnika osnove 8 cm je 240 cm2. IzraËunaj visinu i duæinu izvodnica te kupe. 6. Kaæe se da je kupa upisana u pravilnu piramidu ako je osnova kupe upisana u osnovu piramide i vrhovi im se poklapaju. U pravilnu πestostranu piramidu osnovne ivice 16 cm i boËne ivice 34 cm upisana je kupa. IzraËunaj povrπinu wenog: a) osnog preseka; b) preseka simetralnom ravni wene visine. 7. Osni presek kupe visine 18 cm je pravougli trougao. IzraËunaj wen: a) polupreËnik osnove i duæinu izvodnica; b) povrπinu osnog preseka; v) povrπinu osnove; g) povrπinu preseka simetralnom ravni wene visine. 8. Povrπina osnove kupe je 576r cm2 a povrπina wenog osnog preseka je 1 080 cm2. IzraËunaj: a) duæinu izvodnica te kupe; b) povrπine preseka kupe dvema ravnima, paralelnim ravnima wene osnove, takvim da dele visinu kupe na tri jednaka dela.

10.3. Мрежа купе; површина купе

Подсети се

Mreæa kupe je figura u ravni koja se sastoji od kruænog iseËka kruga polupreËnika s i centralnog ugla a, koji predstavqa omotaË kupe razvijen u ravan, i kruga polupreËnika r koji dodiruje spoqa kruæni luk tog iseËka. Ako je ugao a meren u stepenima, izmeu r, s i a vaæi veza r · 360 = s · a. Povrπina P kupe polupreËnika osnove r i duæine izvodnica s jednaka je P = rr(r+s). P'

V P

P' s

V α

K T

P P'

1. OmotaË kupe, razvijen u ravan, predstavqa kruæni iseËak sa centralnim uglom od 270°. Odnos polupreËnika te kupe i duæine wenih izvodnica je: a) 1 : 2; b) 2 : 3; v) 3 : 4; g) 4 : 3; d) 3 : 2; ) 2 : 1. Zaokruæi slovo ispred taËnog odgovora. 2. OmotaË kupe polupreËnika osnove 12 cm razvijen u ravan predstavqa polukrug. IzraËunaj povrπinu osnog preseka te kupe. 3. Koliki je centralni ugao kruænog iseËka koji se dobija razvijawem u ravan omotaËa kupe polupreËnika osnove 8 cm i visine 80 cm . 4. Koja od nacrtanih figura moæe predstavqati mreæu kupe? Zaokruæi slova napisana pored takvih figura i za te sluËajeve izraËunaj visinu odgovarajuÊe kupe. a)

6 cm 240˚

b) 3 cm

6 cm 240˚

v) 4 cm

180˚

6 cm 3 cm

5. Kruæni iseËak kruga polupreËnika 18 cm, kome odgovara centralni ugao od: a) 120°; b) 240° predstavqa omotaË kupe razvijen u ravan. Nacrtaj na kartonu mreæe te dve kupe, iseci ih i, uz pomoÊ samolepqive trake, napravi wihove modele. 6. Nacrtaj mreæu kupe Ëiji je: a) osni presek jednakostraniËni trougao stranice 6 cm; b) preËnik osnove 8 cm a duæina izvodnica 6 cm.

7. IzraËunaj povrπinu kupe: a) polupreËnika osnove 10 cm i visine 24 cm; b) polupreËnika osnove 24 cm i visine 10 cm.

8. Zadat je pravougli trougao duæina kateta 2,8 dm i 4,5 dm. IzraËunaj povrπinu kupe koja nastaje obrtawem tog trougla oko: a) kraÊe katete; b) duæe katete. 9. IzraËunaj povrπinu kupe visine 5,5 cm i povrπine osnog preseka 26,4 cm2. 10. Povrπina osnove kupe jednaka je polovini povrπine wenog omotaËa. IzraËunaj povrπinu te kupe ako je polupreËnik osnove 15 cm. 11. IzraËunaj povrπinu tela koje nastaje obrtawem pravouglog trougla duæina kateta 20 cm i 15 cm oko hipotenuze. 12. Zadata je stranica c = 7 cm i na wu nalegli uglovi a = 60°, b = 30° trougla ABC. IzraËunaj povrπinu tela koje nastaje obrtawem tog trougla oko stranice: a) BC; b) CA; v) AB. 13. IzraËunaj povrπinu tela koje nastaje obrtawem pravouglog trapeza duæina osnovica 15 cm i 10 cm i visine 5 cm oko: a) duæe osnovice; b) kraÊe osnovice; v) kraÊeg kraka. 14. IzraËunaj povrπinu tela koje nastaje obrtawem jednakokrakog trapeza duæina osnovica 20 cm i 14 cm i visine 4 cm oko: a) duæe osnovice; b) kraÊe osnovice; v) ose simetrije trapeza. 15. IzraËunaj povrπinu kupe upisane u pravilnu trostranu piramidu osnovne ivice a = 16 cm i boËne ivice b = 17 cm. 16. Drvena kupa preËnika osnove 42 cm i duæine izvodnica 75 cm preseËena je sa dve paralelne ravni osnove tako da one dele visinu kupe na tri jednaka dela. Dobijene delove treba obojiti. Koliko je za to boje potrebno ako je za bojewe jednog kvadratnog metra potrebno 0,5 kg i r ≈ 3,14. 17. ©ator kruæne osnove preËnika 4,8 m sastoji se od dna, cilindriËnog zida visine 1,6 m i kupastog krova, tako da je ukupna visina u centru jednaka 2,6 m. Koliko je kvadratnih metara πatorskog platna potrebno da bi se napravio takav πator?

10.4. Запремина купе Подсети се

Zapremina V kupe polupreËnika osnove r i visine H jednaka je V=

1 2 r r · H. 3

1. IzraËunaj zapreminu kupe koja nastaje obrtawem pravouglog trougla Ëije su duæine kateta 12 cm i 9 cm oko: a) duæe katete; b) kraÊe katete.

2. IzraËunaj zapreminu kupe polupreËnika osnove 6,3 cm i duæine izvodnica 8,7 cm. 3. IzraËunaj zapreminu kupe ako je duæina wenih izvodnica 12 cm i one zaklapaju ugao od 30° sa ravni osnove kupe. 4. Povrπina osnove kupe je 36r cm2 a povrπina wenog osnog preseka je 90 cm2. IzraËunaj zapreminu te kupe. 5. IzraËunaj zapreminu kupe ako je duæina wenih izvodnica 12 cm i one zaklapaju ugao od 30° sa ravni osnove kupe. 6. OmotaË kupe je kruæni iseËak kruga polupreËnika 15 cm, kome odgovara centralni ugao od 240°. IzraËunaj zapreminu kupe. 7. IzraËunaj zapreminu kupe upisane u pravilnu Ëetvorostranu piramidu osnovne ivice a = 24 cm i boËne ivice b = 20 cm. 8. IzraËunaj zapreminu tela dobijenog obrtawem pravouglog trougla, Ëije su katete a = 30 cm, b = 40 cm, oko hipotenuze. 9. IzraËunaj zapreminu tela koje nastaje obrtawem jednakokrakog trapeza duæina osnovica 18 cm i 12 cm i uglova na duæoj osnovici od 60° oko: a) duæe osnovice; b) kraÊe osnovice; v) ose simetrije trapeza. 10. IzraËunaj zapreminu tela koje nastaje obrtawem paralelograma stranica a = 16 cm, b = 8 cm i jednog ugla od 45° oko jedne od duæih stranica. 11. IzraËunaj zapreminu dela prostora koji ograniËava πator, opisan u zadatku 17 iz prethodne lekcije. 12. RasprπivaË za rastresite materijale u obliku kupe (vidi sliku 1 u Uxbeniku) ima gorwi preËnik 140 cm a osni presek mu je jednakostraniËni trougao. Kolika je, pribliæno, masa materijala gustine 2,4 g/cm3 koja se moæe u wega smestiti ako je dozvoqeno da se napuni do nivoa 10 cm ispod gorwe granice (raËunaj s pribliænim vrednostima na dve decimale)?

I ниво 1. Jednakokraki pravougli trougao duæine hipotenuze 12 2 cm obrÊe se oko: jedne od kateta; b) ose simetrije trougla. IzraËunaj polupreËnik osnove, visinu i duæinu izvodnica kupe koja pri tome nastaje. 2. Osni presek kupe polupreËnika r = 15 cm je jednakostraniËni trougao. IzraËunaj wenu visinu, duæinu izvodnica i povrπinu osnog preseka. 3. Duæine kateta pravouglog trougla su 24 cm i 10 cm. IzraËunaj povrπinu kupe koja nastaje obrtawem tog trougla oko: a) duæe katete; b) kraÊe katete. 4. IzraËunaj zapreminu kupe polupreËnika osnove r = 12 cm i duæine izvodnica s = 25 cm.

II ниво 1. Izvodnice kupe zaklapaju sa ravni osnove ugao od 30° i duæine su 16 cm. IzraËunaj visinu i polupreËnik osnove te kupe. 2. Povrπina osnog preseka kupe visine 15 cm je 180 cm2. IzraËunaj polupreËnik i duæinu izvodnica te kupe. 3. IzraËunj povrπinu kupe Ëiji razvoj omotaËa u ravan predstavqa kruæni iseËak polupreËnika 20 cm i odgovarajuÊeg centralnog ugla od 90°. 4. IzraËunaj zapreminu kupe upisane u pravilnu πestostranu piramidu osnovnih ivica a = 16 cm i boËnih ivica b = 34 cm.

III ниво 1. Jednakokraki trapez duæina osnovica 26 cm i 14 cm i duæine krakova 10 cm obrÊe se oko kraÊe osnovice. Kakvo se telo pri tome dobija? IzraËunaj elemente tela (polupreËnike, visine, duæine izvodnica) od kojih je ono formirano. 2. Jedan od uglova osnog preseka kupe visine 24 cm ima 120°. IzraËunaj wen polupreËnik osnove, duæinu izvodnica, povrπinu osnog preseka, povrπinu osnove i povrπinu preseka simetralnom ravni wene visine. 3. IzraËunaj povrπinu tela koje nastaje obrtawem pravouglog trapeza duæina osnovica 22 cm i 16 cm i jednog ugla od 60° oko: a) duæe osnovice; b) kraÊeg kraka. 4. Telo se sastoji od dve kupe podudarnih osnova, oslowene osnovama jedna na drugu. OmotaË jedne od wih, razvijen u ravan, predstavqa kruæni iseËak kruga polupreËnika 15 cm i odgovarajuÊeg centralnog ugla od 90 ° dok omotaË druge od wih predstavqa kruæni iseËak Ëiji je centralni ugao 270°. IzraËunaj povrπinu i zapreminu tog tela.

11 11.1. Појам лопте и сфере Подсети се

Neka je data taËka O i duæina R. Sfera sa centrom O i polupreËnikom R je povrπ koja se sastoji od svih taËaka prostora koje se nalaze na rastojawu R od taËke O. Lopta sa centrom O i polupreËnikom R je telo koje se sastoji od svih taËaka prostora koje pripadaju sferi sa centrom O i polupreËnikom R ili se nalaze unutar we.

B kP R O

A o(А,B)

1. Duæ AB duæine 8 cm je polupreËnik sfere. Gde je centar i koliki je polupreËnik sfere? Koliko takvih sfera postoji? 2. Oko pravougaonika ABCD, duæina susednih stranica 16 cm i 30 cm, opisana je kruænica. Odredi centar i polupreËnik sfere koja nastaje obrtawem te kruænice oko jedne od dijagonala pravougaonika. 3. Duæ AB je preËnik sfere S(O, R) ako: a) taËke A i B pripadaju sferi S; b) taËke A i B pripadaju sferi S i centar O sfere pripada duæi AB; v) duæina duæi AB je 2R; g) taËke A i B pripadaju sferi S i duæina duæi AB je 2R; d) taËka O je srediπte duæi AB; ) taËka O je srediπte duæi AB i duæina duæi AB je 2R. Zaokruæi slova napisana ispred taËnih reËenica. 4. Data je sfera S(O, R). TaËke A i B su krajevi jednog a taËke C i D krajevi drugog preËnika te sfere. Uveri se da su te Ëetiri taËke temena pravougaonika. 5. Oko jednakokrakog trougla duæine osnovice 30 cm i duæine krakova 39 cm opisan je krug. Odredi centar i polupreËnik lopte koja nastaje obrtawem tog kruga oko ose simetrije trougla. 6. Temena jednakostraniËnog trougla ABC duæina stranica 10 cm pripadaju sferi polupreËnika 10 cm. Gde se nalazi centar te sfere? Opiπi postupak wegovog odreivawa. Uveri se da postoje dve takve sfere.

11.2. Пресеци лопте (сфере) и равни Подсети се

Presek sfere i ravni koja je na rastojawu od centra sfere mawem od polupreËnika sfere je kruænica. Presek sfere i ravni koja sadræi centar sfere je velika kruænica sfere.

O O

Presek lopte i ravni koja je na rastojawu od centra lopte mawem od polupreËnika lopte je krug. Presek lopte i ravni koja sadræi centar lopte je veliki krug lopte.

1. IzraËunaj obim i povrπinu velikog kruga lopte polupreËnika 15 cm. 2. Ako prihvatimo da je Zemqa telo oblika lopte (u stvarnosti je ona malo spqoπtena na polovima) i znamo da je wen polupreËnik oko 6 370 km, izraËunaj pribliæno duæinu ekvatora, duæinu jednog meridijana i povrπinu ekvatorijalnog preseka Zemqe. 3. IzraËunaj povrπinu preseËnog kruga lopte B(O, 25 cm) i ravni a ako je rastojawe centra lopte od te ravni 7 cm. 4. Paralelne ravni ~1 i ~2 seku loptu B(O, 15 cm) po podudarnim krugovima povrπine 144 cm2. IzraËunaj rastojawe izmeu tih ravni. 5. Ravan a seËe sferu S(O, 25 cm) po kruænici Ëiji je obim jednak polovini obima velike kruænice sfere. Koliko je rastojawe ravni a od centra sfere? 6. Paralelne ravni a1 i a2 seku loptu polupreËnika 65 cm, prva po krugu polupreËnika 60 cm a druga po krugu polupreËnika 39 cm. IzraËunaj rastojawe izmeu tih ravni ako se centar lopte: a) ne nalazi izmeu wih; b) nalazi izmeu wih. (Tablica kvadrata prirodnih brojeva do 100 nalazi se na str. 147). 7. UoËi na geografskoj karti da se Sremska Mitrovica nalazi, pribliæno, na 45° severne πirine. IzraËunaj, pribliæno, duæinu paralele koja prolazi kroz Sremsku Mitrovicu, ako usvojiπ da je r ≈ 3,14 i , 2 ≈ 1,4 a polupreËnik Zemqe je R . 6370 km. 8. Na karti Evrope uoËavamo da se, pribliæno, Beograd i Stokholm nalaze na istom meridijanu (22° istoËne duæine) i da su im geografske duæine 45° (Beograd) i 60° (Stokholm). Ako avion leti duæ meridijana, koliki Êe, pribliæno, put „prevaliti“ od Beograda do Stokholma? 9. Centar lopte polupreËnika 14 cm nalazi se na povrπi lopte polupreËnika 25 cm. IzraËunaj obim kruga po kojem se te dve lopte seku. 10. Jedan od polupreËnika lopte B(O, 24 cm) podeqen je sa dve podeone taËke na tri jednaka dela. Dve ravni normalne na taj polupreËnik prolaze kroz podeone taËke. IzraËunaj: a) odnos povrπina preseËnih krugova; b) odnos obima preseËnih krugova.

11.3. Површина и запремина лопте Подсети се

Povrπina P lopte polupreËnika R je P = 4R2r . Zapremina V lopte polupreËnika R je V = (4/3)R3r .

1. IzraËunaj povrπinu i zapreminu lopte: a) polupreËnika 2 dm; b) preËnika 14 cm. 2. IzraËunaj zapreminu lopte ako je wena povrπina: a) 100r cm2 ; b) 576r cm2. 3. IzraËunaj povrπinu lopte ako je wena zapremina: a) 36r cm3; b) 288r cm3; 4. U kvadrat stranice a = 3 dm je upisan i oko wega upisan krug. Ti se krugovi obrÊu oko jedne od osa simetrije kvadrata. IzraËunaj odnos: a) povrπina; b) zapremina tako nastalih lopti. 5. U jednakostraniËni trougao stranice a = 12 cm je upisan i oko wega opisan krug. Krugovi se obrÊu oko jedne od osa simetrije tog trougla. IzraËunaj odnos: a) povrπina; b) zapremina tako nastalih lopti. 6. Oko pravouglog trougla kateta a = 24 cm, b = 10 cm opisan je krug. IzraËunaj povrπinu i zapreminu lopte koja nastaje obrtawem tog kruga oko bilo kojeg od wegovih preËnika. 7. Lopta je opisana oko kocke duæine ivica 6 cm. IzraËunaj povrπinu i zapreminu te lopte. 8. Data je pravilna Ëetvorostrana prizma osnovnih ivica a = 3 2 cm i boËnih ivica b = 8 cm. IzraËunaj povrπinu i zapreminu lopte opisane oko te prizme. 9. Osni presek vaqka je kvadrat Ëija je duæina dijagonala 20 2 cm. U vaqak je smeπtena lopta tako da dodiruje osnove vaqka u wihovim centrima. IzraËunaj povrπinu i zapreminu lopte. 10. PolupreËnik osnove kupe je 10 cm a wena visina je jednaka preËniku osnove. Centar osnove i vrh kupe su krajevi preËnika lopte. IzraËunaj povrπinu i zapreminu te lopte. 11. (Arhimedov zadatak) Osni presek vaqka je kvadrat stranice 20 cm. U vaqak su smeπtene: lopta tako da dodiruje osnove vaqka u centrima osnova i kupa tako da joj se osnova poklapa sa jednom od osnova vaqka a vrh joj se nalazi u centru druge osnove. Uveri se da se zapremine vaqka, lopte i kupe odnose kao 3 : 2 : 1. 12. Drvena lopta polupreËnika 9 cm preseËena je sa dve paralelne ravni, koje dele jedan od preËnika lopte na tri jednaka dela. Dobijena tri drvena objekta treba obojiti. Koliko je, pribliæno, za to boje potrebno ako se za bojewe 1 dm2 potroπi 3 g, r ≈ 3,14 10 ≈ 3,16 ?

13. Dno betonskog rezervoara za vodu oblika je polusfere; na wega se nastavqa cilindriËni deo preËnika 2,4 m (slika levo). Kolika, pribliæno, treba da bude visina cilindriËnog dela ako u rezervoar staje: a) 16 000 litara ; b) 24 000 litara vode (r ≈ 3,14) ?

2,4

14. Gvozdeni zavrtaw je izliven iz jednog komada i sastoji se od tela vaqkastog oblika sa narezanom „lozom“, preËnika 6 mm i visine 40 mm, i glave oblika polulopte sa zarezom za odvrtku, preËnika 10 mm (slika desno). Ako zanemariπ Ëiwenicu da se narezivawem loze i zareza masa tela smawuje, a znaπ da je gustina livenog gvoæa 8,4 g/cm3, izraËunaj masu jednog zavrtwa. 15. Prema pravilima igre odbojkaπka lopta ima masu od 260 do 280 grama i obim (obim velikog kruga) od 65 do 67 centimetara. IzraËunaj, pribliæno, povrπinu koæe (prirodne ili veπtaËke) kojom je takva lopta presvuËena, ako je wen obim 66 cm i r ≈ 3,14. 16. Bacawe kugle je jedna od atletskih disciplina. U muπkoj seniorskoj konkurenciji ono se izvodi ËeliËnom kuglom (loptom) mase 7,257 kg. Ako je gustina Ëelika 7,85 g/cm3 i r ≈ 3,14, uveri se da je polupreËnik kugle veÊi od 6 cm i mawi od 6,1 cm.

I ниво 1 . IzraËunaj obim i povrπinu velikog kruga lopte preËnika 12 cm. 2. IzraËunaj zapreminu lopte ako je wena povrπina 16r cm2. 3. Lopta je opisana oko kocke duæine ivica 4 3 cm. IzraËunaj povrπinu lopte.

II ниво 1. Oko pravouglog trougla kateta a = 10 cm, b = 24 cm opisan je krug. Odredi centar i polupreËnik lopte koja nastaje obrtawem tog kruga oko jednog od wegovih preËnika. 2. IzraËunaj povrπinu preseËnog kruga lopte polupreËnika 17 cm i ravni a, ako je rastojawe centra lopte od te ravni 15 cm. 3. IzraËunaj, pribliæno, masu zlatnog priveska oblika loptice, ako je wen preËnik jednak 8 mm a gustina zlata je 19,3 g/cm3 (r ≈ 3,14).

III ниво 1. Lopta B(O, 17 cm) preseËena je ravnima a1 i a2 od kojih je centar O udaqen 15 cm, odnosno 8 cm. IzraËunaj rastojawe izmeu tih ravni ako centar O: a) nije izmeu wih; b) jeste izmeu wih. 2. IzraËunaj povrπinu i zapreminu lopte opisane oko pravilne Ëetvorostrane prizme osnovnih ivica a = 8 2 cm i boËnih ivica b = 30 cm. 3. Od granita, gustine 2,5 t/m3, isklesano je postoqe oblika lopte, mase 1 800 kg. IzraËunaj, pribliæno, zapreminu i povrπinu te lopte (r ≈ 3,14).

, ,

Сличност троуглова

1.1 1.

Razloæi 3OBBl na 7 podudarnih trouglova i podudarne paralelogrme prema slici. Tvrewe postaje oËevidno.

1 1

7. O

ABCE i ABDC su paralelogrami. Sledi EC = AB = CD. E

12 x = & x = 2, 4 ; b) (x + 10): x = 20: 15 , a) 20 4 (x + 10): x = 4: 3 3x + 30 = 4x v) 10: 5 = (x + 16): 16 . x = 30 x = 16

a) x: 4 = 12: 6 ; b) x: 4 = 12: 6 x=8 x=8 x 6 = 3 4 9 x= 2

BN : NC= = AM : MD =2 : 3

6 D

√3

√2

Neka prava koja sadræi taËku M a paralelna je BC seËe AC u N. Prema Talesovoj teoremi ANl : AC = AM : AB = AN : AC. Otuda je Nl / N, tj. MN || BC . Prema Talesovoj teoremi vaæi i MN : BC = AM : AB = 3 : 4. Sledi 3 MN = BC = 6 . 4 C

C N

B A

b) 9.

Sa slike se vidi: B

D a

a A

C x y 3

4 4

C' 4

D' 4

x BC 1 1 = = & x = (a - b) & a-b AB 3 3 CCl = x + b = 5

y BD 2 2 = = & y = (a - b) = 2 . a-b AB 3 3 DDl = y + b = 6.

b a

x a

10. x : a = b : 1;

11. Neka q i r prave parap lelne pravi p koje saD D'' C dræe taËke A odnosno r B C (vidi sliku). Iz A q B'' 3ABBm b 3CDDm prema USU (AB = CD, \A = A' B' C' D' p' \C, \B = \D) sledi ABm = CDm, odakle zbog ABm = AlBl i CDm = ClDl, sledi tvrewe. 12. KoliËnik a : b je racionalan broj pa je i wemu jednak koliËnik al : bl racionalan broj. Dakle al i bl su samerqive duæi.

1 b

a y

y:a=b:c

z : 1 = a : b.

b c

1.2 1.

3OAAl ~ 3OBBl

Konstrukcija prikazana na slikama M

B 2

M K A

K A

y B

3 A'

M C

M K A1

L 1

K A

3. 4.

3OAB ~ 3OAlBl x 8 = 4 5 y 6 = 4 5

x 3 = &x= 5+4 5 y+2 y = &y= 9 5 Jesu. x+5 5 = & x = 7, 5 10 4 y+8 8 = & y = 12 10 4

B A

y 4O 6

5 8 B'

27 5 5 2

4 y

RUR

3 ABD + 3 KLN

12.

(<A = < K, AB : KL = AD : KN = k) A

13. K D

BD : LN = k AC 24 B = & AC = 15 $ = 9 15 40 5 Al Bl 40 8 = & Al Bl = 12 $ = 32 12 15 3 30 3 9 AB + BC + CA = 20, k = ; KL = AB = , 20 2 2 3 27 3 , MK = CA = 12 . LM = BC = 2 2 2

Zbog AB2 = BC2 + CA2 trougao ABC je pra1 vougli, pa ima povrπinu BC $ CA = 24 . 2 Koeficijent sliËnosti 3KLM i 3ABC je 72 k= = 3 pa je 24

AC = 6+3

62 + 82 3 & AC = 10 = 15 . 6 2

x+y=8 y , x = 4 5 2 3 16 x= $ = 2 7

5 16 , y + y = 8, 7y = 16, y = 2 7 40 . 7

14. Da (jer tup ugao nije naspram kraka). 15. 3ABO je sliËan polovini jednakostraniËnog trougla (prema RUR). Odatle sledi \ABO = 60° i \A = \C = 60°, \B = \D = 120°

a B

√3

1 O a

a C

16. Ne, zbog 3 : 6 : 7 ! 4,5 : 7,5 : 10,5. UU x 5 = , zbog TADF + 3 EBF . y 2 18 2 2 = AB = DE = 4, 18. k = 27 3 3 2 2 BC = EF = 6, CA = FD = 8 . 3 3

17.

KL = 10 3 cm, LM = 8 3 cm, MK = 6 3 cm. . A

60 24 B1 C1 = = 12, k = =2 5 12

P(ABC) = k2P(A1B1C1) = 4 · 60 = 240 A

10.

10 2 2 = , AC = k $ DF = 9 = 6, . 15 3 3 3 DE = AB = 18 2

20. k =

x 12 3 = , x=6 =9 6 8 2 α

D A

11. \K = 84c;

3$4 19. Povrπina prvog trougla je = 6 , jer je 2 pravougli. Koeficijent sliËnosti je 6 1 k= = . 24 2 3 5 Stranice drugog trougla su , 2, 2 2

12 B

y x 9 7 21 . = & x = 6; = & y = 4 6 6 4 2

21.

0, 9 0, 9 x = , x = 18 $ = 2, 7m 18 6 6

x 0,9 12

1.3.

Jesu prema RUR. Prvi i πesti, drugi i treÊi, Ëetvrti i peti. Sledi na osnovu RRR stava. Koeficijent sliËnosti je 2. a) Da; b) Da; k = 2 .

A B1 C1

x 3

O x

1. 3BHF, 3CHD (prema UU) 2. a)

v) 3 NAH + 3 MBH (po UU), MA = MH - AH = 1 NH AH 12 2 2 = & BH = , NH = NA + AM = 5, MH BH 5 16 NH NA = & MB = 5 MB MH a) 3ABB1 a 3ACC1, zbog \A = \A, \B1 = \C1 = 90° ,

H E

CD CH 24 3 = & CD = 36 $ = 36 $ = 27 BE HE 32 4 BH DH 40 = & DH = 27 $ = 24, 3. a) BE CD 45 BD = BH + HD = 64

CH HE 35 = & CH = 28 $ = 20, CD BE 49 CE = EH + CH = 55

b) 3ABC a 3A1BC1. TaËke A1 i C1 su na kruænici Ëiji je preËnik AH jer je \A1 = \C1 = 90°. \BC1A1 = \BHA1 (kao periferijski nad istim lukom) \BHA1 = \BCA (kao uglovi sa normalnim kracima).

100

b) B1

CD HD 21 = & CD = 32 $ = 8 $ 3 = 24 BE BH 28

b) 3 NOB + 3 MOA (po UU) ; MO MA 12 = & MO = 21 $ = 18cm NO NB 14

C 8

Sledi \BC1A1 = \BCA i 3ABC + 3A1BC1 prema UU stavu, jer je i \B = \B.

1. 2.

BE 8 8 = , BE = 3 $ 4 = 12 18 12 2 BE 6 = , BE = 3 $ 3 = 9 b) 12 8

C 6 D

2. a)

4. a)

\N = \N 1. 1 &3 BNM + 3 AND \DAN = \MBN

3. a) AB = AN ‡ BN = 9

AD AN 15 = & AD = 8 $ = 20 BM BN 6 1 b) AB = 18 ‡ 6 = 12, AD = 18 $ = 3 6

9. 25 M 6

10 A

25 10 = & a = 12 a+8 8 9 a 72 b) = & a = = 12 6 8 6

\DAM = \BCD %(periferijski nad BD ) \AMD = \CMB (unakrsni) A 3AMD ~ 3CMB (prema UU)

B M C

MA MD = & MA $ MB = MC $ MD MC MB

1.4 1.

a) a2 = p2 + h2 = 9 + 16 = 25; a = 5 cm ah 5: 4 20 a : b=p : h&b= = = cm p 3 3 bc 20 4 16 a : b=h : q&q= = $ = cm a 3 5 3 16 25 c=p+q=3+ = cm 3 3 b) p =

v) Konstruiπi c = p + q. Iz srediπta C1 opiπi kruænicu c polupreËnika c/2. TreÊe teme je u preseku normale koja deli c na odseka p i q i ove kruænice. 3.

a 2 - h 2 = 169 - 25 = 144 = 12

h2 25 = p 12 25 144 + 25 169 c= + 12 = = 12 12 12 25 169 5 $ 13 65 b = qc = $ = = 12 12 12 12 q=

AE = 4.

12 2 + 5 2 = 13 ,

BD =

5 A

60 120 , AC = . 13 13

AD = 4 2 + 3 2 = 5 = DC BD AD 25 = & BD = & AD DE 4 9 81 BE = & AB = 9 + = 4 4

47 2

v) h = pq = 4 $ 9 = 2 $ 3 = 6 a=

p 2 + h 2 = 16 + 36 = 52 2

5 4

b = q + h = 81 + 36 117 c = p + q = 13 2.

a) Konstruiπi prvo 3BCD sa katetama p = BD i h = DC a zatim taËku A u preseku normale u C na BC i poluprave BD. b) Konstruiπi prvo 3BCD sa katetama a = BC i kateta h = DC a sama taËka A kao u prethodnim.

D A

3 E

AE = 3 $ 12 = 6 AB =

6 +3 =

45 = 3 5 B

101

6. a) vidi sliku;

√a

√ab a

DA || CB. Konstruiπi B na polupravoj CB tako da je AB || AB. Dokaæi da 9ABC ima traæene elemente.

361 = 180 = 6 5 144

AD 6 2 + 12 2 = ;

√ab

v) √a b

+ √a2 2+

√a

b2 +

√ab

20 2 - 16 2 = 4 $ 36 =

2 $ 6 = 12

11. h = 2c $ c = c 2 a : b = c : h = c : c 2 = 1: 2 6

a c

6 h

x+6 x + 12 = , 5x + 30 = 4x + 48, x = 18 8 10

Traæena razmera je 18 : 12 = 3 : 2. 8. 9BCD je pravougli, visina koja odgovara 32 50 hipotenuzi je 8, pa je x = , krak , a os3 3 80 novica . 3 C 16

6 10 8

b 4 = , a=6 c 5 5b = 4 b 2 + 36 25b 2 = 16b 2 + 16 $ 36 9b 2 = 16 $ 36 4$6 = 8 cm b= 3 c = 10 cm

40 3

p 8 32 = , p= D 8 6 3 a 8 40 = , a= p 10 6 3 400 P = 10a = 3 p 5 15 6 8 13. h = 5, = , p= 3 4 4 q 5 20 10 A = , q= 4 3 3 20 15 80 + 45 125 + = = c= 3 4 12 12 3 9 25 3 = 4x & x = & a = 4 + = 4 4 4 16 16 25 = &b=3+ 4 = 3y & y = 3 3 3

12.

10. Konstruiπi 9CAlBl (\C = 90°, CAl = 4 cm, CBl = 3 cm) Konstruiπi CD = 7 cm paralelno BlAl. Konstruiπi A na polupravoj CAl tako da je

102

h 4

x p

15. c = 1, c1 = 2 & k = 2 & O1 = 20

14. a = 6, b = 8; c = 6 2 + 8 2 = 100 = 10 3

16. v)

Тачка, права и раван 2.1. 1. 4.

a, g. 2. 21. 3. g. a) Parovima ovih taËaka je odreeno najmawe 11 pravih kada dva para taËaka odreuju preËnik. b) Parovima ovih taËaka je odreeno najviπe 15 pravih kada ne postoji par taËaka koji odreuje preËnik. Vidi sliku! A3 A4

A2 A5

Neka su taËke A1, A2,..., A10 na jednoj pravoj, a taËke A11, A12,..., A20 van te prave. Najviπe pravih ovim skupom taËaka je odreeno kada meu taËkama A11, A12,..., A20 ne postoje tri taËke na jednoj pravoj. Takoe ni po dve taËke iz ovog skupa nisu na jednoj pravoj sa ma kojom taËkom A1, A2,..., A10. Tada je odreeno 10 · 10 = 100 pravih (svaka taËka iz drugog skupa sa svakom taËkom iz prvog 10 $ 9 skupa). Zatim = 45 pravih je odreeno 2 taËkama samo drugog skupa. I joπ 1 prava na kojoj su taËke A1, A2,..., A10 . Dakle, ukupno 146 pravih. 6. 28. 7. 8.

2.2. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

v. Seku se ili su paralelne. TaËna je reËenica pod a). Prave p i r su paralelne. Prave p i r su paralelne. Seku se sve tri prave u jednoj taËki ili po dve prave u tri taËke. Vidi sliku!

S b

7. v. 8. Sa pravom BD1 su mimoilazne prave AD, AC, CD, AA1, A1B1, CC1, B1C1, A1C1.

2.3. 1. 2.

Odreena je jedna ravan jer su prave AC i BD paralelne. Vaæi OA = OB = OC jer je O centar opisane kruænice oko trougla ABC. Prava p je norp

4. C

B O A

malna na ravan ABC, pa je \MOA = \MOB = \MOC = 90°. Sledi 9MOA , 9MOB , 9MOC, a iz podudarnosti AM = BM = CM. a) Bilo koja taËka sa prave n normalne na ravan ABC u srediπtu trougla. b) Tih taËaka ima koliko taËaka na pravoj n. a) AM = BM = CM = 7 cm; b) OM = 4 cm. 1 a) AC1 = BC1 = CC1 = AB = 13 cm jer je C1 2 oko trougla ABC. centar kruænice opisane Iz pravouglog trougla MCC1 je

103

MC2 = CC21 + MC21 , MC = 13 2 cm . b) MA = 26 cm. Neka su E, F, G, L redom dodirne taËke upisane kruænice i stranica AB, BC, CD, DA kvadrata ABCD. Prave SE, SF, SG, SL su normalne na odgovarajuÊe stranice i SE = SF = SG=SL. Trouglovi MSE, MSF, MSG, MSL su podudarni. Zaπto? Iz podudarnosti sledi ME=MF=MG=ML. Prave ME, MF, MG, ML su normalne redom na pravama AB, BC, CD, DA. Vidi sliku!

n M

D L A

S E

G F B

TaËke E, F, G su redom na pravama AB, BC, CA. Prave ME, MF, MG su normalne redom na pravim AB, BC, CA. ME = MF = MG = 6 cm.

8. Prava TB je normalna na ravan BCC1B1, pa je TB normalno na BS. 9. Iz DA = a sledi da je DA = AB DA = AC. Trouglovi DAB i DAC su podudarni. Zaπto? Iz podudarnosti sledi da je DB = DC. 10. Prava DC nije normalna na ravan a. Prava BC nije normalna na ravan ACD. 11. a) Uputstvo: Dokaæi da su trouglovi AMD i CND, odnosno D1 DM i D1DN podudarni. Iz podudarnosti sledi da je D1M = D1N. b) Prava MN je normalna na ravan BDD1. 12. Neka M taËka ravni a razliËita od taËke S. UoËimo ravan MAB. α Trouglovi ASM i BSM su u ravni MAB. Poπto je AS = SB, M MS = MS, MA = MB sledi po stavu poduB darnosti SSS da je A S 9ASM , 9BSM. Odavde je \MSA = \MSB, a poπto su ovi uglovi i uporedni sledi da su oba prava. Dakle, prava AB je normalna na pravu MS. Za bilo koju taËku N ravni a, razliËitu od taËaka S i M, na isti naËin dokazujemo da je prava AB normalna na pravu SN. Prava AB je normalna na pravama SM i SN ravni a te sledi da je prava AB normalna na ravni a. To znaËi da je ravan a normalna na duæ AB u wenom srediπtu S.

2.4. a) Ravni b i c se seku. b) Ravni b i c se poklapaju ili seku.

γ β

3. 4. γ

104

a) Prave m i n mogu da se seku da se poklapaju ili da budu paralelne. b) Prave m i n se poklapaju. TaËna je reËenica pod a. n U poluravni pb α odredimo pravu A q tako da sadræi taËku B i da je a paralelna iviβ ci p. S obzirom na to da je ivica S b B p normalna na q p ravan ab, to je i

woj paralelna prava q normalna na tu ravan, pa je prava q normalna i na pravu n. Dakle, prava n je normalna na pravu b i na pravu q, odnosno na poluravan pb. 3 3 cm .

5 3 cm α C

α p

60°

C1 B P

60° β

9. AB = 41 cm . 10. CM = 4 2 cm, CN = 4 3 cm . α

10 cm.

D A 30°

a) 30°;

A α

10 30°

B M

11. Neka prava n prodire ravan a u taËki N. Neka je prava p presek ravni a i b. Prava n je normalna na pravu p. Odredimo pravu q u ravni a koja je normalna na pravu p i seËe je u taËki N. Tada ja \nNq = 90° ugao diedra odreenog ravnima a i b. Taj diedar je prav, pa je ravan b normalna na ravan a. β

b) 45°; α

N p

A α

5√2 45° P

5 B

v)90°. α

A 5 P p

105

2.5. a) AlBl = 3 cm; b) AlBl = 2,4 dm ; v) AlBl = 3 cm.

A' A

p A' A

a) Al Bl = 4 3 cm ; b) AlBl = 12 cm;

6. 7.

B π

A 30˚ B' A'

A 45˚ A'

v) Al Bl = 3 3 cm .

A' A

a) CS = 13 cm; ; b) CS = 8 2 cm ; v) CS =12 cm.

Ugao izmeu prave AB i ravni a je: a) 30°; b) 45°. B

C A

B' B

C' 30°

b) Al Bl = Cl Dl = AB = CD , Bl Cl = Dl Al = 3 2 cm , B

OAl Bl C l Dl = (12 + 6 2 ) cm , PAl Bl C l Dl = 18 2 cm 2

5√2

5√3

45°

30°. a) Al Bl = Cl Dl = AB = CD , Bl Cl = Dl Al = 3 3 cm , OAl Bl Cl Dl = (12 + 6 3 ) cm , PAl Bl Cl Dl = 18 3 cm 2

A 60˚ B' A'

a) O = (10 + 2 133 ) cm , P = 30 3 cm 2 ; A' A

α C p A' A

D' B' B

C C' 45°

A A π

v) Al Bl = Cl Dl = AB = CD , C' B

30°

Bl Cl = Dl Al = 3cm , OAl Bl C l Dl = 18cm , PAl Bl C l Dl = 18cm 2

b) O = (10 + 2 97 ) cm , P = 30 2 cm 2 ; α D

C A' A

p A' A B

45°

v) O = (10 + 2 61 ) cm , P = 30cm 2 .

106

C D' B' B

C' 60°

2 a) 32 3 cm ;

60° D C

A' A

B' B

D D' A' A

B B'

C' 30°

b) 32 2 cm 2 ;

60°

9. a) 18 2 cm 2 ; b) 30° 10. Projekcije pravih MA, MB, MC na ravan trougla su redom prave OA, OB, OC. Vaæi OA = OB = OC jer je O centar opisane kruænice oko trougla ABC. Prava p je normalna na ravan ABC, pa je \MOA = \MOB = \MOC = 90°. Sledi 9MOA , 9MOB , 9MOC, a iz podudarnosti \MAO = \MBO = \MCO. p

D D' A' A

B C' B'

45°

v) 32cm 2 .

A' A

C B C' B'60°

11. »etvorougao AlBlClDl je romb sa dijagonalama AlCl i Bl Dl + 8 2 cm . Povrπina je:

2.6. 1.

a) Temena 6, ivica 9 strana 5; b) Temena 12, ivica 18 strana 8; v) Temena 24, ivica 36 strana 14.

3. 4. 5.

Da. 12. v

3 4

107

Линеарне једначине и неједначине

3.1. 1. 2.

3. 4. 5. 6. 7.

NumeriËke jednakosti su: a), v) i g) , a jednaËina je b). Jednakost je M = N, tj. 18 : 3 = 13 ‡ 7, a jednaËine su M = P, tj. 18 : 3 = 5a ‡ 37 i N = P, tj. 13 ‡ 7 = 5a ‡ 37. Tri: 2y ‡ 9 = 3y + 8, 2y ‡ 9 = 6 ‡ 4y i 3y + 8 = 6 ‡ 4y. NumeriËka jednakost je na primer, 12 + 4 = 20 ‡ 4, a jednaËina je 9b + 17 = 12b ‡ 23. Nije, jer nijedan od elemenata datog skupa ne zadovoqava datu jednaËinu. Brojevi 5 i 8 jesu reπewa date jednaËine, a broj 4 nije reπewe. a) Jednakost 6b ‡ 5 = 4b ‡ 5 + 2b, tj. 6b ‡ 5 = 6b ‡ 5 je identitet i S = R;

x = t je identitet, s tim πto x je x ! 0, pa je S = R \{0}; v) Jednakost 7m + 8 ‡ 2m = 5m ‡ 6 je nemoguÊa jer je 5m + 8 ! 5m ‡ 6; g) Jednakost y2 ‡ 49 = (y + 7)(y ‡ 7) je identitet i S = R. 8. Identiteti su: x + 5 = 3x + 5 ‡ 2x i 5(y ‡ 4) = 5y ‡ 20. NemoguÊe jednaËine su 7x ‡ 10 = 11x + 18 - 4x i 6(a + 9) = 6a ‡ 33. 9. Nisu. Prva jednaËina je identitet i S = R. Druga jednaËina ima skup reπewa S = R \{6}. 10. Domen date jednaËine je M = {x ‡ x ! R i x < 2}, a jedino reπewe je 0, jer drugo „reπewe“ x = 8 ne pripada domenu jednaËine. b) Jednakost

3.2. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

14.

108

a) x = ‡7; b) y = 38; v) z = ‡13. 1 a) m = 12; b) n = ‡66; v) p = - . 6 a) x = ‡4; b) a = 11; v) b = 0. a) x = 25; b) a = 7; v) b = ‡6; g) c = 17. 2 a) x = 4; b) y = ‡3; v) z = - . 5 a) x = 4; b) y = 6; v) z = 20. a) x + 9 = 0; b) 2x + 5 = x + 7; v) 5x 3 = 15 ; g) 13a = 3a + 4. a) a = 1; b) b = 5; v) c = ‡2. 1 a) x = 3; b) y = 1; v) z = . 12 3 14 . a) x = - ; b) x = 2 13 1 2 a) x = ; b) x = - . 2 3 5 a) x = ‡2; b) y = - . 6 Linearna jednaËina je 12x + 9 = 5x ‡ 19. JednaËine (x + 4)(2x ‡ 3) = (x ‡ 1)(x + 1) i (x + 2)(x ‡ 1) = x2 su kvadratne. JednaËina (x + 2)(x ‡ 1) = x2 se svodi na linearnu. Reπewa jednaËina koje se svode na linearnu jednaËinu su: a) x = ‡4; b) x = 2. a) x = 0; b) y = ‡6; v) z = 5.

15.

16. 17. 18.

19.

20.

1 a) x = ; b) JednaËina ima beskonaËno 2 mnogo reπewa; v) JednaËina nema reπewa; g) x = 0. a) Jesu, jer obe imaju skup reπewa S = { 3 }, b) Nisu. Sve tri jednaËine imaju skup reπewa S = {2}. Ekvivalentne su jednaËine a2 ‡ 81 = 0 i | a | = 9, Ëiji je skup treπewa S = { ‡9, 9}, ali su ekvivalentne i jednaËine 3a = 27 i 5 ‡ a = 14 ‡ 2a Ëiji je skup reπewa S1 = { 9 }. Prve i druge jednaËine nisu ekvivalentne, jer nemaju jednake skupove reπewa. a) Jesu, jer je S = {0}; b) Jesu, jer je S = {3}; v) Jesu, jer je S = Ø iz Ëega zakquËujemo da su dve jednaËine ekvivalentne i u sluËaju kada obe nemaju reπewa. Jedna linearna i jedna kvadratna jednaËina mogu biti ekvivalentne. Dokaz su sluËajevi a) i b). Prva jednaËina se svodi na jednaËinu a + 5 = a + 5 koja je taËna za svaki realan broj a. Druga jednaËina se svodi na jednakost 1 = 1 za svaki realan broj a razliËit od ‡3. JednaËine nisu ekvivalentne, jer je S1 = R, a S2 = R \ {‡3}.

21. 22.

23. 24.

25.

a) x1 = 5, x2 = ‡2; b) y1 = 3, y2 = ‡2; v) z1 = ‡3, z2 = 3. a) x1 = 0, x2 = 7; b) y1 = 0, y2 = 5; v) z1 = 0, 3 3 9 z2 = ‡3; g) a1 = - , a2 = ; d) b1 - , 2 2 4 9 b2 = . 4 a) x1 = ‡1, x2 = 2, x3 = 5; b) y1 = 3, y2 = ‡3, y3 = 4; a) x1 = ‡1, x2 = 0, x3 = 1; b) y1 = 2, y2 = 4; v) z1 = 3, z2 = 6; g) a1 = 0, a2 = 5, a3 = 5. a) x = 5; b) y = 3.

26. a) x1 = ‡3, x2 = 3; b) y1 = ‡4, y2 = 5; v) z1 = 6, jer z2 = 0 ne pripada domenu jednaËine; g) a1 = 2, jer a2 = ‡2 ne pripada domenu jednaËine. 27. a) x1 = ‡5, x2 = 5; b) x1 = 0; v) jednaËina nema reπewa. 28. a) x1 = 5, x2 = 9; b) y1 = ‡1, y2 = 5; v) z1 = ‡4; g) jednaËina nema reπewa. 29. a) x1 = 2, x2 = ‡3; b) y1 = ‡1. 30. a) x1 = ‡2; b) jednaËina nema reπewa.

3.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

12.

13. 14.

15.

16.

71 . 35 Traæeni brojevi su 110 i 112. Ne postoji. Nataπa je imala 18 jabuka i 24 kruπke. Mira je imala 16 bombona. Vera bi pojela teglu meda za 35 dana. Za 15 sati. U prvoj cisterni je bilo 240hl, a drugoj 225hl, a u treÊoj 315hl soka. Cena kafe Êe biti 250 dinara. Duæina puta izmeu Beograda i Minhena je 1080 km. Neka je x duæina druge katete. Tada je 82 + x2 = (x + 2)2, pa je 64 + x2 = x2 + 4x + 4 ili 60 = 4x. Dakle, katete su 8 cm i 15 cm, a hipotenuza 17 cm. Povrπina tog treougla je 60 cm2 . Katete pravouglog trougla su 7 i 24, a hipotenuza 25. Povrπina pravouglog trougla je 84. Data jednaËina je ekvivalentna sa jednaËinom x = 5, Ëije je jedino reπewe broj 5. Data jednaËina je ekvivalentna sa jednaËinom x2 ‡ 5x + 6 = 0, tj. jednaËinom (x ‡ 2)(x ‡ 3) = 0, Ëija su jedina reπewa brojevi 2 i 3. Neka je traæeni broj x. Kada se decimalna zapeta pomeri za jedno mesto ulevo dobija se broj koji je deset puta mawi, dakle 0,1x. Prema tome x ‡ 0,1x = 0,9x = 13,86, pa je x = 15,4. Ako je x + (x + 1) + ... + (x + 8) + (x + 9) = 2010, onda je 10x + 45 = 2010, πto znaËi da je a=

17.

18.

19.

20.

10x = 1965 ili x = 196,5. Milan nije dobro sabirao, jer 196,5 nije prirodan broj. Dok mala kazaqka „pree“ put od 1 minuta, velika kazaqka „pree“ put od 12 minuta. Neka su se one srele posle x minuta. Kako je mala kazaqka imala prednost od 30 minuta, to se dobija jednaËina x 11x 30 + = x , tj. = 30 . Sledi da je 12 12 360 x= minuta ili vreme do poklapawa ka11 7 zaqki je 32 minuta, 43 sekunde i se11 kunde. Ako je traæeni dvocifreni broj 10x + y, onda je iz uslova zadatka 10x + y = 45 + 10y + x ili 9x - 9y = 45, pa je x ‡ y = 5. Uslove zadatka ispuwavaju dvocifreni brojevi 61, 72, 83 i 94. Ako je dati trocifreni broj 100x + 10y + z, onda je iz uslova zadatka 100x + 10y + z = 6(10x + z) ili 40x + 10y = 5z. Posle deqewa sa 5 dobija se da je z = 8x + 2y. Kako je z cifra, to je z G 9, πto znaËi da je x = 1 i y = 0, a z = 8. ReË je o broju 108 koji je 6 puta veÊi od broja 18. Neka je Jagoda roena 19xy godine. Jagoda sada ima 2010 ‡ 19xy = 2010 ‡ (1900 + 10 x + y) = 2010 ‡ 1900 ‡ 10x ‡ y = 110 ‡ 10x ‡ y. Zbir cifara godine wenog roewa je 1 + 9 + x + y = 10 + x + y. Iz uslova zadatka je 10 + x + y = 110 ‡ 10x ‡ y + 2. Dakle, 11x + 2y = 102, pa je x paran broj. Ako je x < 8, onda je 11x + 2y < 7 · 11 + 18 = 95 < 102. Ako je x > 8, onda je 11x + 2y > 11 · 10 + 2y > 102. ZnaËi x = 8, pa je tada y = 7, a Jagoda je roena 1987. godine.

109

3.4. 1. 2. 3.

4. 5.

15 < 24 ‡ 7 i 3x + 4 H 5x + 6. 4 < 3x ‡ 5, 4 H x + 9, x + 9 G 3x ‡ 5. a) Svi dati brojevi su reπewa nejednaËine 4x ‡ 7 G x + 5; b) NejednaËinu x2 > 4 ispuwavaju samo brojevi 3 i 4. Skup S = {‡ 1, 0, 1, 2, 3, 4} nije skup reπewa nijedne od datih nejednaËina. a) S = Ø; b) S = R. a) Skup svih realnih brojeva je reπewe nejdnaËine 3x2 + 7 > 3; b) NejednaËina | x | + 2010 < 0, nema realnih reπewe, tj. S = Ø. a) _____(____________________)________; ‡5 -----" !----- 3 S = (‡5, 3) b) _______[___________________)________ ‡1 -----" !----- 7 S = [‡1, 7) v) ______(____________________]_______ ; ‡9-----" !----- 6 S = ( ‡9, 6] g) ______[____________________]________ ‡4 -----" !----- 3 S = [‡4, 3] d) ______(___________________________ ; ‡2 -----" S = ( ‡2, 3)

) _________________________]_________ !----- 5 S = (‡3, 5 ] 7. a) ‡4 < x < 2; b) 7 G x G 0; v) ‡ 3 G x < 5; g) ‡8 < x G 3; d) x G ‡1; ) x H 6. 8. a) NejednaËina nema reπewa; b) S = R; v) NejednaËina nema reπewa; g) S = R. 9. a) Postoje, jer je x < 0, tj. S = (‡3, 0); b) NejednaËina nema reπewa, tj. S = Ø. 10. a) Kako je 23 = 8 < 9 = 32, to je i 100 100 ^2 3h 1 ^3 2h , pa je nejednakost taËna. 10 50 b) ^ - 4 h50 = ^ 4 h50 = ^ 2 2h = 2 100 = ^ 2 10h

11.

12. 13. 14.

15.

= 102410 > 101010, pa je nejednakost taËna. Nemaju jer je S1 = (‡3, 3), a S2 = (‡3, 0) , (0, 3), tj. S1 ! S2. Skup reπewa date nejednaËine je S = R \ {5}. Na primer, nejednaËine (x + 3)2 G 0 ili |x + 3| G 0 imaju jedinstveno reπewe x = ‡3. NejednaËina x + 5 > 0 ima u skupovima N, Z i R sledeÊe skupove reπewa: S1 = N, S2 = {‡4, ‡3, ‡2, ‡1, 0, 1, 2, 3 ...} i S3 = (‡5, 3). NejednaËina (3y ‡ 12)2 G 0 i u skupu N i Z i R ima reπewe S = {4}.

3.5. 1. 2.

3. 4. 5. 6.

110

a) x < ‡4; b) y > 17; v) z H 77. a) m H 7; b) n < ‡18, v) Uslov da nejednaËina postoji je da je p ! 0. Ako je broj p poziti4 van nejednaËina G- 28 nema reπewa, jer p je wena leva strana pozitivna, a desna negativna. Ako je p < 0, onda se mnoæewem cele nejednaËine sa p znak nejednakosti mewa i 1 dobija se da je - G p 1 0 . 7 a) x < ‡4; b) a G 7; v) b > ‡2. a) x G 5; b) a < 5; v) b H ‡4; g) c > 10. a) x ≥ 11; b) y < ‡ 2; v) z H ‡7. 38 63 144 a) x 1 ; b) y G ; v) z 1 . 5 4 13

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

a) x + 10 > 5; b) 2x + 5 G 13. 39 17 a) a < 3; b) b H ; v) c 2 . 23 6 5 a) x G ‡4; b) y 1 - . 6 a) x G 4; b) nejednaËina se ne moæe svesti na linearnu; v) x H 2. a) x > 0; b) y H ‡1; v) z < 1. a) S = R; b) S = Ø. 1 a) x H ; b) S = Ø; v) S = Ø; g) x < 0. 2 Jesu, jer je S1 = S2 = R / {0}. a) a = ‡3; b) S = R / {4}; v) S = Ø.

3.6. 1. x > 0. 2. Reπewe su sve petorke uzastopnih prirodnih brojeva x, x + 1, x + 2, x + 3 i x + 4 takve da je x > 400. 3. Dvadeset jedan, jer je x < 22, pa je x ! {1, 2, 3, ... 20, 21}. 4. NajveÊi takav prirodan broj je 26. 5. Pet i to su: -‡6, ‡5, ‡4, ‡3 i ‡2. 6. To je broj ‡2. 7. Broj r zadovoqava relaciju 3 < r < 4. 8. a) S = Ø; b) S = R; v) S = R. 9. a) S = (‡3, 3); b) S = R; v) S = (‡2, 2) 10. Postoje, jer je 16 < x < 21, pa su traæeni brojevi 17, 18, 19 i 20. 11. a) ‡ 3 < x < 2, tj. S = (‡3, 2); b) a < 0 i a > 7, tj. S = (‡3, 0) , (7, 3); v) ‡7 G b G 7, tj. S = [‡7, 7]. 12. a) S = (‡3, 0) , (0, 3]; b) S = ( ‡3, ‡5); v) S = (17, 3).

13. a) x < 0 i x H 5, tj. S = (‡3, 0) , [5, 3); b) ‡2 < y < 3, tj. S = (‡2, 3); v) z > 4, tj. S = (4, 3). 14. Tri. To su 1, 2 i 3. 15. To su celi brojevi koji su mawi od ‡1. 16. Reπewa datih nejednaËina u skupu prirodnih brojeva su: 1) x > 30, 2) x < 100, 3) x > 8, 4) x H 10 i 5) x > 5. Ako je x G 5, onda je taËna samo nejednakost 2). Ako je 6 G x G 8, onda su taËne dve nejednakosti 2) i 5). Ako je x = 9, onda su taËne nejednakosti 2), 3) i 5), a netaËne 1) i 4). Ako je 10 G x G 30, onda su taËne nejednakosti 2), 3), 4) i 5), a netaËna nejednakost 1). Ako je 31 G x G 99, onda su sve nejednakosti taËne. Ako je 100 G x, onda su taËne nejednakosti 1, 3), 4) i 5), a netaËna nejednakost 2). Prema tome, reπewe je prirodan broj 9.

Призма

4.1. 1.

Prizma moæe imati najmawe pet strana, devet ivica i πest temana. To je trostrana prizma. . Petostrana prizma

©estostrana prizma

Devetostrana prizma

Desetostrana prizma

n-tostrana prizma

Broj osnova

BoËnih strana

Broj strana

n+2

Broj osnovnih ivica Broj boËnih ivica Broj ivica 3. 4.

a) Jedan par; b) Tri para; v) »etiri para. a)

111

5. Trostrana prizma

»etvorostrana prizma

©estostrana prizma

Osmostrana prizma

n-tostrana prizma

Broj dijagonala osnova

n · (n ‡ 3)

Broj dijagonala boËnih strana

Broj dijagonala prizme

n · (n ‡ 3)

6. 7. 8.

Ne. Ne ako je prizma uspravna. A1 Neka su a i H redom osnovna ivica i visina te prizme. Dijagonala osnove jednaka je visini prizme tj.

C1 B1

D a

H C

a 2 = H = 50 cm = 5 2 cm .

Ivica osnove i visina prizme su a = 5 cm, H = 5 2 cm . Obim je 12 ^ 2 + 2 h cm C1

D1 A1

B1 C

Dijagonala kvadra AG sa stranom ADHE zaklapa ugao GAH jer je AH projekcija prave AG na ravan ADHE. Poπto su AH = 5 cm, AG = 10 cm sledi da dijagonala zaklapa sa najmawom stranom kvadra ugao od 45°. 11. a) Ravan a i ravan A1B1D1 se seku po pravoj A1C1; b) Ravan a i ravan BA1B1 se seku po pravoj AA1; v) Ravan a i ravan BB1D1 se seku po pravoj SS1, gde su S i S1 centri osnova. 12. a) Mawa dijagonala osnove je AC = 6 3 cm . VeÊa dijagonala osnove je AD = 12 cm; b) Dijagonala boËne strane je AB1 = 6 5 cm . v) Mawa dijagonala prizme je AC1 = 6 7 cm , a veÊa AD1 = 12 2 cm .

F 6 D A

F C A

√5

Ivice najmawe strane kvadra su 2 cm,

112

b) AG = 10 cm ; v) Povrπine razliËitih strana kvadra su 6 cm 2, 10 cm 2, 15 cm 2 .

√3

a) AC = 2 2 cm, AF = 7 cm, AH = 5 cm

10. Neka je kvadar ABCDEFGH, AE = 2 cm, AD = 3 cm, . AB = 5 cm

√2

3 cm .

6√3

13. Pravougaonik ili jednakokraki trapez. 14. »etvorostrana i petostrana.

4.2. 1.

8. D1 D''1

C1'

D1'

3 3 3

D''

3. 5 3

D 3

4. a 5. Iz 4a = 20 cm i 2a + H = 20 cm sledi a = 5 cm, H = 10 cm. 6. Prvo konstruiπi pravougli trougao ACC1 (kateta je dijagonala osnove, hipotenuza AC1 = 6cm). 7. Uputstvo: prvo konstruiπi duæi Ëije su duæine: 2 cm, 3 cm, 7 cm . Vidi sliku!

√2

√3

√2

Reπewe.

10. v.

11. Da. Vidi sliku!

√7 √3

12. a)

√3

√2

√7

b) a = 2,5 cm, pa je daqe kao pod a). v) a = 3 2 cm, pa je daqe kao pod a).

√2 √3

113

4.3. 1. 2. 3.

5. 6. 7.

8. 9.

a) P = 624,24 cm2; b) P = 1728 cm2 . P = 384 cm2. Rastojawe centra kocke od jedne ivice jednako je poloS vini dijagonale strane. Vidi sliku! a) Ivica kocke je 16 cm; b) Povrπina kocke je 1536 cm2. Rastojawe centra kocke od jednog temena jednako je poS lovini dijagonale kocke. Vidi sliku! a) Dijagonala kocke je 2 3 cm ; b) Ivica kocke je 2 cm; v) Povrπina kocke je 24 cm2. Povrπina kocke se poveÊa za 44%. P = 94 cm2. P = 2 $ ^ab + ac + bc h , 460 = 2 $ ^5 $ 12 + 5 $ c + 12 $ c h , c = 10 cm, d = 269 cm . Ivice malog kvadra su 6 cm, 8 cm i 5 cm. Mogu se sastaviti 4 kvadra i to kao 12 # 1, 6 # 2, 3 # 4, 3 # 2 # 2 kockica. Wihove

10. 11. 12. 13.

14. 15. 16. 17.

ivice (u cm) su, redom, 24 # 2 # 2, 12 # 4 # 2, 6 # 8 # 2, 6 # 4 # 4. NajveÊu povrπinu ima prvi kvadar. Proveri! P = 312 cm2. P = 608 cm2. P = ^100 + 480 2 h cm 2 . a) P = 72 ^ 2 + 2 h cm 2 ; b) P = ^144 + 384 2 h cm 2 . P = 384 cm2. P = 256 ^ 3 + 2 6 h cm 2 . b) a) Ako je h visina osnove, tada je 14 - 2 h 2 = 10 2 - c m = 100 - 36 = 64 , 2 h = 8 cm. P = 2B + m 14 + 2 $ 8 + 14 $ 10 + 10 $ 10 + 2 $ 10 + 10 $ 10 P=2 2 P = 2 $ 8 $ 8 + (14 + 10 + 2 + 10) $ 10 2 P = 488cm ;

b) P = 200 cm2; v) P = (128 + 144 30 ) cm2. 18. a) H = 10 cm; b) P = 760 cm2 . 19. P = (260 + 80 2 ) cm2. 20. P = (50 +20H) cm2.

4.4. 1. 2. 3.

4. 5.

P = 72 ^ 3 + 2 h cm 2 . 25 3 P= c + 150 m cm 2 . 2

a) P = 18 ^ 3 + 3 h cm 2 ; b) P = 48 ^ 3 + 3 h cm 2 ; v) P = 8 ^ 3 + 6 h cm 2 . a) P = 50 ^ 3 + 6 h cm 2 ; b) P = 2 ^ 3 + 6 h cm 2 . a) P = ^ 972 3 + 2160 h cm 2; b) P = ^108 3 + 72 h cm 2 ; v) P = 1200 ^ 3 + 3 h cm 2 ; g) P = 12 ^ 3 + 4 h cm 2 .

a) P = c 3 + 3 m m 2 ; b) P = ^ 3 3 + 6 h m 2 .

Iz H = a 3 sledi H = 2 3 cm .

P6 = ^12 3 + 108 h cm 2 .

9. v) 10. Iz 6 a

3 4

= a 3 $ H sledi

12 2 3 = 12 3 $ H , 4 odnosno H = 18 cm. P = 432 ^ 3 + 3 h cm 2 . 11. P = 300 ^ 3 + 6 h cm 2 . 6

12. Neka su M i M1 srediπta, redom, ivica BC i B1C1. Iz AM = 10 cm sledi a= M1

20 3 cm . H=10 cm. 3 B1

a) P = 54 3 cm 2 ; b) P = 180 3 cm 2 .

114

8. P3 = ^8 3 + 108 h cm 2 ,

C A

D 2k = ^a 3 h + H 2 ,

20 3 m 3 20 3 3 P=2$ +3$ $ 10 4 3 800 3 2 P= cm . 3

13. Iz Dd = 2a sledi a = 10 cm. Obeleæimo kraÊu dijagonalu prizme sa Dk. Onda je

odnosno ^ 20 3 h = ^ 10 3 h + H 2 . H = 30 cm. P = 300 ^ 3 + 6 h cm 2 . 2

14. v) 15. d)

4.5. 1.

Neka je a ivica traæene kocke. Tada je: 6a2 = 6 · 32 + 6 · 42, a = 5 cm, V = 125 cm3. a) V = 125 cm3; b) V = 0,125 m3; 625 10 3 v) V = cm 3 ; g) V = 1250 10 cm ; 4 d) 125000 cm3. OËigledno da je (20 cm)3 = 2 mm · 1 m · x gde smo sa x obeleæili traæenu duæinu table lima. 8 000 cm3 = 0,2 cm · 100 cm · x, x = 400 cm = 4 m. Duæina te table je 4 m. Neka je ivica kocke a. Tada je MN2 = (4a)2 + a2, odnosno 289 = 17a2. a = 17 cm, V = 17 17 cm 3 .

V = 64 cm3. Neka su a, b, c ivice kvadra. Tada je 2 2 a 2 + b 2 = ^4 10 h , b 2 + c 2 = ^3 17 h , 2 2 2 2 a + b + c = 13 odnosno 2 a + b 2 = 160 , b 2 + c 2 = 153 , a 2 + b 2 + c 2 = 169 Sledi da je a2 = 16, b2 = 144, c2 = 9, a = 4 cm, b = 12 cm, c = 3 cm. P = 192 cm2, V = 144 cm3. 7. g) 8. VeÊa je povrπina kocke. 9. Neka su a, b, c ivice kvadra. Tada je a : b : c = 3 : 4 : 12, odnosno a = 3x, b = 4x, c = 12x gde je 5. 6.

10. 11.

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

x koeficijent proporcionalnosti. Iz: 522 = (3x)2 + (4x)2 + (12x)2, (4 · 13)2 = 9x2 + 16x2 + 144x2, 42 · 132 = 169x2, x = 4. Sledi a = 12 cm, b = 16 cm, c = 48 cm. Zapremina kvadra je V = 9216 cm3. Ne moæe. Neka su a, b, c ivice kvadra. Tada je: a · b = 6, b · c = 10, a · c = 15. Pomnoæimo (a · b) (b · c) (a · c) = 6 · 10 · 15, pa sledi a2b2c2 = 900, odnosno abc = 30. Zapremina kvadra je 30 cm3. IskopaÊe kanal za 2 sata i 30 minuta. a) V = 240 cm3. V = 60 000 cm3. 105 2 a) 35 70 cm 3 ; b) 35 cm . 2 V = 4 000 cm3 V = 64 6 cm 3 . Povrπina jedne letve je 3100 cm2, a svih 155 m2. Potrebno je 38,75 kg boje. Masa jedne letve je 140 cm $ 10 cm $ 1 cm $ 0, 74

g cm

= 1036 g ,

a svih 518 kg. 20. Stane 2450000 litara vode. 21. V = 96 cm3. 22. 909

4.6. 1. 2.

a) 500 3 cm 3 ; b) 80 3 cm 3 ; v) 100 3 cm 3 ; g) 16 3 cm 3 . a) P = 3200 3 cm 2, V = 24dm 3 ; b) P = 800 ( 3 + 18) cm 2, V = 48 3 dm 3 .

42 3 + 3 $ 4 $ H = 8 3 + 96 sledi Iz 2 4 H = 8 cm. V = 32 3 cm 3 . V = 375 m3.

115

(a + 3)a = 28 = 7 · 4, a = 4 cm, b = 7 cm, V = 28 3 cm 3 . 6. a) Neka je a osnovna ivica prizme. PreËnik kruga opisanog oko osnove (trougla) je 2a 3 2a 3 . Iz = 12 sledi a = 6 3 cm . 3 3 3 V = 324 3 cm ; b) 1296 3 cm3 7. V = 40 3 cm 3 . 8. V = 216 3 cm 3 . 9. a) 3240 3 cm 3 ; b) 750 3 cm 3 ; v) 9000 cm 3 ; g) 72 3 cm 3 . 10. Neka je a osnovna ivica, a H visina te prizme. Tada je d = a 3 i H = 2a, odnosno d 3 2d 3 . Zapremina je a= , H= 3 3

11.

12.

13. 14. 15.

d 3 m$ 3 2d 3 3 V=6 $ = d3 . 4 3 8 3 a) a 3 = H = 8 cm , a = . Povrπina 3 128 3 3 veÊeg dijagonalnog preseka je cm . 3 b) Zapremina prizme je 256 3 cm 3 . Mawa dijagonala osnove pravilne πestostrane prizme je 3 3 cm , osnovna ivica 243 3 3 3 cm, a visina 9 cm. V = cm . 2 1092 kg 18,729 kg 1,215 kg

Пирамида

5.1. 12. O = 72 cm, P = 240 cm2. 13. O = ^8 + 4 2 h cm , P = 8 cm2. 5 263 14. a) O = ^5 2 + 24 h cm , P = cm 2 . 2 b) O = 34 cm, P = 5 119 cm 2 .

1. 2.

b, g, đ Stostrana piramida ima 101 stranu, 101 teme, 100 osnovnih ivica, 100 boËnih ivica, 100 boËnih strana 3. a, b, v. 4. a) Da; b) Ne; v) Ne. 5. a 6. a, b, d 7. b 8. b, v, g 9. b 10. Piramida nije pravilna. BoËne ivice su BF = 10 cm, AF = CF = 8 2 cm , DF = 8 3 cm. Visina je 10 cm. Apoteme boËnih strana ABF i CBF su jednake duæini ivice BF. Apoteme boËnih strana CDF i ADF su jednake duæini dijagonala AF i CF. 11. a) a = 6 cm, b = 9 cm, h = 6 2 cm ; b) a = 8 cm, b = 8, cm, h = 4 3 cm ; v) a = 4 cm, b = 10 cm, h = 4 6 cm . S

h C

A B

116

C F

C B

C A

15. a) 24 cm; b) 36 cm.

D a

S b

16. Ortogonalna projekcija boËne ivice na ravan osnove je duæ određena temenom osnove koje pripada toj boËnoj ivici i centrom osnove, tj. duæ Ëija je duæina jednaka polupreËniku kruænice opisane oko osnove.Duæina ortogonalne projekcije boËne ivice na ravan osnove ne zavisi od duæine

projekcija duæi određene vrhom piramide i srediπtem osnovne ivice na ravan osnove je duæ određena centrom osnove i srediπtem osnovne ivice, tj. duæ Ëija je duæina jednaka polupreËniku kruænice upisane u osnovu. Duæina ortogonalne projekcije te duæi ne zavisi od wene duæine. Vidi sliku.

boËne ivice. Vidi sliku. a) 5 2 cm ; 10 3 b) 10 cm; v) cm . 3 S

S S

b F D b'

S' B

b' O B

D A C

b' O

a) 4 cm; b) 4 3 cm ; v)

17. BoËna strana pravilne piramide je jednakokraki trougao. Prava koja sadræi vrh piramide i normalna je na osnovnu ivicu seËe osnovnu ivicu u wenom srediπtu. Duæina duæi od vrha piramide do srediπta osnovne ivice je apotema. Ortogonalna

8 3 cm . 6 S

S F

S' O

C A M

D C

5.2. Na slici su prikazani mreæa i model te piramide.

1. a)

b) D

C d1

5 cm

O d2 A

O d1

S'''

3. 4.

Konstruiπi jednakostraniËni trougao Ëija je apotema 3 cm. Stranica tog trougla je jednaka ivici piramide, pa se daqe zadatak svodi na prethodni. Vidi sliku. Prvo konstruiπemo mreæu te piramide. Konstruiπemo romb ABCD Ëije su dijagonale d1 = 4 cm i d2 = 6 cm. Konstruiπemo trougao ACS koji je jednakokrak. Wegova osnovica je AC = d1 = 4 cm, a visina koja odgovara osnovici je 5 cm. Stranice AS i CS, AS = CS su jednake odgovarajućim boËnim ivicama piramide. Na isti naËin konstruiπemo trougao BDS odnosno boËne ivice BS = DS.

O d2

S' D

C A

B S''

S'ˇ

5. 6.

v, g. Neka je SABCDEF traæena piramida i O centar wene osnove. a) Konstruiπemo trougao AOS gde je AO = a = 4 cm, \AOS = 90c, \OAS = 30c. Duæina duæi OS je visina piramide. Zatim konstruiπemo jednakostraniËni trougao ABO i trougao MOS gde je M srediπte ivice AB. Duæ MO je jednaka visini trougla ABO, \MOS = 90c , OS je kateta

117

S trougla AOS. Duæina duæi MS je apotema. Daqe konstruh H iπemo mreæu. Vidi slike! 30˚ O a) Konstruiπemo jednako- A M a B straniËni trougao ABO. Zatim konstruiπemo trougao MOS gde je M srediπte ivice AB. Stranica MO je jedF a naka visini trougla ABO, \MOS = 90c , \OMS = 45c . Duæina duæi MS je apotema. a Daqe konstruiπemo mreæu A O kao pod a. Vidi slike!

E 30˚

D A

45˚ M B

E M

S h M

S hF

M B

O b

O a

D C

B S

M a

45˚

h a

S b

M B

5.3. 1.

3. 4.

a 2 a) a = 6 cm, b = 5 cm, h 2 = b 2 - ` j , 2 P = 84 cm2; a 2 2 2 b) b = 13 cm, H = 5 cm c m =b -H , 2 a 2 h 2 = b 2 - ` j , P = ^288 + 24 194 h cm 2 . 2 BoËna i osnovna ivica su jednake stranici jednakostraniËnog trougla ABS, tj. 8 cm. P = 64 ^1 + 3 h cm 2 . v). Nagibni ugao boËne ivice pravilne Ëetvorostrane piramide prema osnovi je ugao između boËne ivice i dijagonale osnove.

a) b = 20cm, a = 30°. UoËimo pravougli trougao AOS. Ugao SAO je a =30°, pa je kateta OS = H jednaka polovini hipotenuze AS= b = 20cm. H = 10 cm, AO = 10 3 cm , AC = 20 3 cm , AB = a = 10 6 cm , a 2 h 2 = b 2 - ` j , h = 5 10 cm , 2 P = 200 ^3 + 15 h cm 2 ; S S

D 30˚ A

C O

30˚ B

118

10√3

10 O

b) H = 10 cm, a = 45°; a = 10 2 cm, h = 5 6 cm, P = 200 (1 + 3 ) cm2.

S S √2

D O

45˚

Nagibni ugao boËne strane pravilne Ëetvorostrane piramide SABCD prema osnovi je ugao OMS gde je M srediπte ivice AB, a O centar osnove. Vidi sliku! a) H = 12 cm, b = 45°; P = 576 ^1 + 2 h cm 2 ;

45˚ 10

D 12

A 45˚

a) Iz povrπine trougla ACS sledi AS = CS = 8 cm, AC = 8 2 cm . Daqe je AB = 8 cm, pa je piramida jednakoiviËna. P = 64 ^1 + 3 h cm 2 .

O C

M B

b) h = 24 cm, b = 60°. P = 1728 cm2.

S S D

C O

O 8√2

b) Iz AC = 6 cm sledi AB = 3 2 cm . Apote-

A 60˚

62 - c

3 14 3 2 cm . m , h= 2 2 2 P = 18 ^1 + 7 h cm .

ma je h =

S 6

8. 6

C B

a) Trougao SMN je jednakokrak pravougli. Hipotenuza MN je jednaka osnovnoj ivici, a katete MS i NS apotemi. a = 10 2 cm , h = 10 cm, P = 200 ^ 1 + 2 h cm 2 . b) a = 10 cm, h = 10 cm, P = 300 cm2. S

Visina SO trougla ASC je visina piramide. Iz pravouglog trougla AOS sledi: AC 2 2 AS2 = c m + SO . 2

O B

O 10√3

Poπto je \SAC = 30c , to je SO =

S 120˚

D A

M B

N A

1 AS , 2

AC 2 AS 2 odnosno AS = c m +c m 2 2 2 3 2 ^ AS = 5 3 h , AS = 10 cm, OS = 5 cm. AC 4 je dijagonala osnove, pa je osnovna ivica AB = a = 5 6 cm . Apotema je

Te piramide nisu pravilne. Vidi sliku! S

h2 = 5 2 + c

5 10 5 6 cm . m , h= 2 2 Traæena povrπina je P = 50 ^3 + 15 h cm 2 .

D A

O M

N B

4$4 3 4$4 2 , +2 2 2 P = 16 ^1 + 3 + 2 h cm 2 . P = 42 + 2

119

10. a) Ako je apotema h = 8 cm, tada je osnovna 16 3 ivica a = . 3 256 ^ 1 + 3 h cm 2 ; Povrπina je P = 3

a 2 , pa je a = H 2 , tj. a = 5 2 cm a) H = 2 je P = 50 ^1 + 3 h cm 2 . Povrπina 11. BoËne strane su podudarni jednakokraki tro2 uglovi. a) M = 100 cm2; b) M = 100 2 cm ;

30˚

h A

12. v 13. Delovi koji ne Ëine dno πatora su boËne strane piramide (πatora). Apotema je:

45˚

S S

b) D

a 2 5 2 5 2 h2 = H2 + ` j , h2 = c m + c m , 2 2 4 5 5 25 5 h= cm . Povrπina je P = cm 2 . 4 4 14. g)

b) Visina piramide je jednaka polovini dijagonale osnove. (Vidi zadatak 5a.)

5.4. 1. 2.

a = 6 cm, h = 4 cm, P = ^9 3 + 36 h cm 2 . a) ^16 + 12 15 h cm 2 ; b) 25 ^ 3 + 6 h cm 2 ; v) 4 ^ 3 + 12 h cm 2 .

a) P = 4

b) a = 4 3 cm, b.

a) c

a2 3 , P = a 2 3 , P = 576 3 cm 2 ; 4 P = 48 3 cm 2 .

120

b C A

45˚ O

a 3 2 2 a 3 =2 7, m =h -H , 6 6

a = 4 21 cm, P = ^ 84 3 + 48 21 h cm 2 6. Povrπina jedne boËne strane je 48 cm2. a$a 2 = 48, a = 4 6 cm, P = ^ 24 3 + 144 h cm . 2 7. Neka je SABC pravilna trostrana piramida i O centar osnove. a) Ortogonalna projekcija boËne ivice je duæ određena temenom osnove koje pripada boËnoj ivici i centrom osnove. Ugao koji boËna ivica zaklapa sa osnovom je \OAS. Vidi sliku! Iz trougla AOS je AO = OS = 4 2 cm jer je \OAS = 45°,

a 3 2 2 a 3 = 2 3 , a = 6cm, m =b -H , 3 3 a 2 h 2 = b 2 - ` j , h = 39 cm , 2 P = 9 ^ 3 + 39 h cm 2 ;

b) c

AS = 8 cm. Iz trougla ABC određujemo osnovnu ivicu preko visine osnove 2 h1 = 4 2 , 3 2h 3 h1 = 6 2 cm, a = 1 , a = 4 6 cm . 32 a 2 2 Apotema je h = b - ` j , h = 2 10 cm . 2 Povrπina je P = 24 ^ 3 + 15 h cm 2 .

b) BoËna strana , na primer ABC, zaklapa sa ravni osnove ugao SMO gde je M srediπte ivice AB. Vidi sliku! Ugao SMO je ugao pravouglog trougla SMO pri Ëemu je 1 OM = h1, OM = 3 cm . 3 C

S h

M h1

S h 30˚ O 1 h1 3

M B

10. 11. 12.

13.

Iz \SMO = 30° sledi da je MS = 2OS, odnosno MS = 2 cm. Dakle, apotema je 2 cm. Traæe2 na povrπina je P = ^9 3 + 18 h cm . a) Koristi prethodni zadatak. h1 = 6 3 cm, 2 h = 4 3 cm , b = 8 cm, h = 2 7 cm . 3 1 Povrπina je: P = 36 ^ 3 + 7 h cm 2 b) Iz H = 6 cm sledi b = 12 cm i 2 h = 6 3 cm, h1 = 9 3 cm , a = 18 cm. 3 1 h = 3 7 cm . Traæena povrπina je P = 8 ^ 3 + 7 h cm 2 . Piramida je pravilna jednakoiviËna trostrana jer su sve ivice jednake sa dijagonalama strana kocke. a) Ivica, visina i apotema te piramide su redom a = 12 2 cm , H = 8 3 cm , h = 6 6 cm ; b) P = 288 3 cm 2 a) ^24 3 + 120 h cm 2 ; b) 600 ^ 3 + 2 h cm 2 ; v) ^6 3 + 48 h cm 2 . P = ^216 3 + 72 43 h cm 2 . S Neka je h1 visina karakteristiËnog trougla πestougla koji je osnova piramide. Ugao koji h H F E boËna strana zaklapa sa ravni osnove A 60˚ O je ugao SMO gde je M h1 M srediπte ivice AB. B C Vidi sliku! h1 = 6 3 cm , a = 12 cm, P = 648 3 cm 2 . Iz povrπine osnove sledi da je osnovna ivica a = 10 cm. a) h1 = 5 3 cm i h = 10 cm.

Povrπina je P = ^ 150 3 + 300 h cm 2 ; b) boËna ivica sa ravni osnove zaklapa ugao SAO, pa iz trougla SAO ( \SOA = 90°, \SAO = 30°, 10 3 AO = 10 cm) sledi H = SO = cm. Apo3 5 39 tema je h = cm . Povrπina je 3 P = ^150 3 + 50 39 h cm 2 . S 14. Neka je SABCDEF pravilna πestostrana piramida UoËimo trougao MOC H E R F3 gde je M srediπte √3 osnovne ivice AB A D O 6 i O centar osnove. M B C Rastojawe centra osnove od boËne strane ABS je OR i jednako je visini koja odgovara hipotenuzi pravouglog trougla MOS. Vidi sliku! OM = 6 cm, MR = 3 cm, RS = 9 cm, apotema MS = 12 cm. Povrπina je P = 216 3 cm 2 . 15. Neka je SABCDEF praviS lna πestostrana piramida. UoËimo trougao AOS gde je O centar osnove. Rastojawe centra H R osnove od boËne ivice F E 4 AS je OR i jednako je viD D A 2√5 O sini koja odgovara hipoB C tenuzi pravouglog trougla AOS . Vidi sliku! OA = 2 5 cm , AR = 2 cm, RS = 8 cm. BoËna ivica AS = 10 cm. Apotema Povrπina je h = 95 cm . P = 30 ^ 3 + 19 h cm 2 .

5.5. 1. 2. 3. 4.

2696353,6 m3. 5 46 64 2 4 143 3 3 a) cm 3 . cm ; b) cm ; v) 3 33 3 192 cm . Nagibni ugao boËne ivice pravilne Ëetvorostrane piramide prema osnovi je ugao između boËne ivice i dijagonale osnove. Neka je SABCD data piramida. Vidi sliku! a) Trougao ACS je jednakostraniËan, pa je AS = AC = 40 cm. Visisna je H = 20 3 cm . 16 000 3 Traæena zapremina je V = cm 3 . 3 a 2 b) Skiciraj sliku! H = , a = 30 2 cm , 2 3 V = 18000 cm .

D A

60˚

O B

60˚ C

Nagibni ugao boËne strane pravilne Ëetvorostrane piramide SABCD prema osnovi je ugao OMS gde je M srediπte ivice AB, a O

121

6. 7. 8.

a) 60 2 cm 2 ; b) ^180 + 60 2 h cm 2 ; v) 400 cm3. 10. Dijagonala kvadrata u koji je ucrtana meæa je 24 cm. Sledi da su osnovna ivica i apo-

centar osnove. Vidi sliku! SM = h = 10 cm, a MO = = 5 cm , 2 OC = H = 5 3 cm, . 500 3 3 V= cm 3 A

60˚ O

V = 96 3 cm 3 . a) 288 cm3; b) 1 : 6. ah 60 Povrπina jedne boËne strane je = ,, 2 4 3 2 ah = 30 cm . Iz a : h = 3 : 2 sledi a = h , pa 2 3 2 2 h = 30cm , h = 2 5 cm , a = 3 5 cm , je 2 35 15 35 H= cm, V = cm 3 . 2 2 a = 10 cm, h = 13 cm, H = 12 cm.

tema 8 cm. Visina piramide je H = 4 3 cm , 256 3 pa je traæena zapremina V = cm 3 . 3 C 11. a 12. Neka su a, h, H osnovna ivica, apotema i visina piramide. 2000 a) a = 10 2 cm, H = 10 cm, V = cm 3 ; 3 20 6 cm, 3 10 12 16000 3 3 H= cm, V = cm 3 27 4000 2 v) H = 10 2 cm, a = 10c m, V = cm 3 . 3 512 2 13. V = cm 3 . 3 b) h = 10 2 cm, a =

5.6. 1.

RaËunamo visinu piramide. Vidi sliku! Iz trougla BOS je:

H = 6 6 cm , pa je 2 18 3 $6 6 4 V= = 486 2 , 3 3 V = 486 2 cm . b) Iz prethodnog zadatka sledi da je 2 x 3 $x 6 x 6 , pa je V = 4 H= 3 3

2 2 a 3 H 2 = b 2 - c h1 m = b 2 - c m , 3 3 2 12 3 H 2 = 13 2 - c m , H = 11 cm. 3

Zapremina je: V=

(12cm) 2 3 $ 11 cm , V = 132 3 cm 3 . 12 S

B O A

122

x 6 . 3 a) Iz prethodnog zadatka sledi da je H=

2 h1 3

2 a 3 a) H 2 = a 2 - c h1 m = a 2 - c m, 3 3 2 12 3 H 2 = 12 2 - c m , H = 4 6 cm. 3 2 x 3 x2 2x 2 2 2 b) H 2 = x 2 - c = , m , H =x 3 3 3 2

x3 2 . 12 Vidi zadatak 7a iz odeqka 5.4. U trouglu AOS je AS = 6 cm, \SAO = 60°, \AOS = 90°, pa je AO = 3 cm, OS = 3 3 cm. Iz AO = 3 cm sledi da je visina osnove 4,5 cm, odnosno osnovna ivica a = 3 3 cm . Zapremina je 81 V= cm 3 . 4 V=

b H

5. 6.

3 a) V = 486 cm3; b) V = 128 3 cm . Iz h1 = 9 cm sledi a = 6 3 cm, apotema

a 2 x 2 = 6 2 - ` j , x = 3 6 cm. 2 2 a 3 2 2 Daqe je H = h - c m , H = 3 5 cm . 6 Povrπina i zapremina su: P = ^27 3 + 81 2 h cm 2, V = 27 15 cm 3 .

a) Piramida je pravilna jer je strana ACF jednakostraniËni trougao stranice 12 2 cm, a boËne ivice AB, CB, FB su jednake ivici kocke, tj. 12 cm. b) najjednostavnije raËu-

nawe zapremine je da smatramo da je strana ABC osnova piramide a BF visina. U tom a2 sluËaju B = , H = a pa je 2 2 a $a a3 , V= 2 , V= 3 6 odnosno V = 288 cm3; 2 2 ^ 12 2 h 3 12 v) P = +3 , P = 72 ^ 3 + 3 h cm 2 4 2 32 cm 3 ; 8. Vidi prethodni zadatak! a) V = 3

Dakle, d =

72 3 cm 3 $ 3

= 3 3 cm . 72 cm 2 Srediπta osnove piramide od jedne boËne strane je udaqeno 3 3 cm . S

3 3 b) V = 72 2 cm ; v) V = 9 2 cm . 9. V = 480 3 cm 3 . 10. Vidi zadatak 13b iz odeqka 5.4. a = H = 4 2 cm, V = 64 6 cm 3 . 11. a) H = 4 3 cm , V = 864 cm3; b) a = 4 3 cm, V = 96 3 cm 3 12. Vidi zadatak 12 iz odeqka 5.4. a) H = h1 = 9 cm, V = 486 3 cm 3 ;

b) h1 = 4 cm, a =

a) Povrπina jedne boËne strane je 72 cm2. Apotema je 12 cm. Visina piramide je 6 cm. 3 Zapremina piramide je 432 3 cm . b) Srediπte osnove i jedna boËna strana πestostrane piramide su vrh i osnova trostrane piramide. Zapremina te piramide je jednaka πestini zapremine πestostrane pi3 ramide, tj. 72 3 cm . Povrπina osnove trostrane piramide je jednaka povrπini jedne boËne strane πestostrane piramide, pa je 72 cm2. Traæeno rastojawe, obeleæimo ga sa d, je visina te trostrane piramide.

F A

E D

M B

8 3 128 cm, V = 3 cm 3 . 3 3

13 . 48 3 cm 2 . 14. H 2 = b 2 - a 2, H 2 = ^ 3ah2 - a 2, ^ 8 2 h = 9a 2 - a 2, a = 4cm, V = 64 6 cm 3 .

3V 3 $ 864 3 16. B = , B= = 648 3 , H 4 6a 2 3 = 648 3 , a2 = 432, a = 12 3 cm , 4 B = h 2 = 18 2 + 4 2 , h = 2 85 cm , 2 ^ 12 13 h 3 12 3 $ 2 85 P=6 +6$ , 4 2 2 P = ^648 3 + 72 255 h cm .

Линеарна функција 6.1. 1. 2.

a), b), v). 1 a) k = - , n = 1; b) k = 1, n = 0; 3 1 2 v) k = 0, n = ‡3; k = , n = . 5 3

x y

3. x

‡0,1

‡0,2

y = 0,3x ‡ 1

‡1,03

‡1,06

‡0,7

8. 9.

‡1

7 3

1 2

‡2

‡3

11 3

- 2 G x G 5 & - 6 G 3x G 15 &= 8 G 3x - 2 G 13 . Skup vrednosti je [‡8,13]. 1 - 1 G 2x + 5 G 4 & - 6 G - 2x G - 1 & 3 H x H . 2 1 Domen je ; , 3E . 2

123

10. 12. 14. 15.

y = 0,25n + 0,25. 11. g) g) 13. g) 2x + 5. a) f(f(0,5)) =2 · 0,5 ‡ 1=0; b) f(‡0,5) = 2 · (‡0,5) ‡ 1 = ‡2; v) f(f10,5) - f(0) = 2,0 ‡ 1= ‡1. x

1,25

‡0,25

0,5

2x ‡ 0,5

‡1

0,5

2x - 0, 5 = 2 2x = 2, 5 x = 1, 25 16. f(2 ‡ x) = 4(2 ‡ x) ‡5 = ‡4x + 3. 17. a) Stavi x = 2. f(0) = 3 ·2 ‡ 4 = 2; b) f(2) = f(2 ‡ 0) = 3 · 0 ‡ 4 = ‡4; v) f(a) = f(2 ‡ (2 ‡ a)) = 3 (2 ‡ a) ‡ 4 = ‡3a + 2; g) f(x) = ‡3x + 2.

6.2. (0,2) i (‡3,‡7) pripadaju pravoj y = 3x + 2. a) i b) y x-1

6 5 4 3 2 1

y=2

y=-3

y=x

1. 2. 3.

3 2 1 -3 -2 -1

-3

4. 5.

2 x

-1

x+2

-2

0 1

y=-3

-1

-2 -1

3 0 1

3 x+ y= 2

-1 -2

2 v) y = x - 3 3

-3 -2 -1

2 1 2 x

-2 -x

-3

2 x

g) y = ‡ x ‡ 2

2 1 0 1

0 1

-3

-1

2 1 -1

2 3 4 5 6 7 8 9

-2

124

-3 -2 -1

-3

6. 7. 8.

y= 3 2 x+

2 1

0 1

-2 -1

-1

0 1

Povrπina trougla je 3 · 9 = 27. Ako je rastojawe nule do prve x, 18 onda je x $ 3 3 = 6 · 9, pa je x = . 13 9. ^ 2 , 1 h . 10. Konstruiπi taËku B(1, 3 ). Grafik je paralelan OB i sadræi taËku (0,2).

a) y = 0; b) y = 4 ‡ 4x. 3 3 a) y = - x + 3 b) y = x + 3 2 2 y

-1

C A

3 x

2 2 x- -2 y= 3 -3

a = 3; b = 6. OdseËci na osama su 3 i 6. Hipotenuza trougla koga sa koordinatnim osama gradi prava je 9 2 + 6 2 = 81 + 36 = 117 = 3 13 .

11. y = 2x ‡ 12 i y = 2x ‡ 11. 12. a) a - 0; b) a = 1. 13. 12 2 + 5 2 = 144 + 25 = 169 = 13 13d = 5 $ 12 60 d= . 13 Vidi sliku!

y 4 3 2 1 -1 0 1 -1 -2

10 11 12 x

14. d = a + b 3 a= 2 2 b=2 2 d = 3, 5 2 .

y 4 3 2 1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 b -2

4 x

-3

-4

-5

6.3. 1.

a) x0 = 3; x 2 3 & y 1 0 ; x 1 3 & y 2 0 . 5 5 5 je y > 0; je x 1 je b) Nula je ; za 2 6 6 6 y < 0. 3 ako a ! 0; za a = 0 nema nula. 2a 3 3 &y20; x1 &y10. Ako je a > 0; x 2 2a 2a 3 3 &y10, x1 &y20. Ako je a < 0; x 2 2a 2a Za a = 0, y = ‡3 < 0. g) Za a = 2, y = 1 > 0. 1-a Za a ! 0, nula je . 2-a 1-a 1-a je y > 0 a za x < je Za a < 2; Za x > 2-a 2-a y < 0, 1-a 1-a Za a > 2; za x < je y > 0 a za x > je 2 a 2-a y<o v) Nula je

a) Nula je 3; Za x < 3 je y > 0 Za x > 3 je y < 0

3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

b) Nula je ‡2; Za x < ‡2 je y < 0 Za x > ‡2 je y > 0

v) Funkcija stalno g) Nula je 2. pozitivna Za x > 2 je y > 0 Za x < 2 je y < 0. Ne. Za x > ‡2a je y > 0; za x < ‡2a je y < 0. Ako a = 0 funkcija je y = ‡2 > 0 je sve x. 2 Ako je a > 0, funkcija pozitivna je x 2 2 a a negativna je x 1 - . a Ako je a < 0, funkcija je pozitivna 2 2 x 1 - a negativna je x 2 - . a a y = ‡x + 2 y = x + 3. y = ‡x + 4. 6x = 120, x = 20 radnih dana. Kako je prvi dan bio petak, 20. dan biÊe Ëetvrtak. Izmeu su bile 3 nedeqe kada se nije radilo pa treba produæiti joπ 3 radna dana petak, subotu i ponedeqak. Ugqa po prvi put neÊe biti u utorak.

6.4. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Funkcija je: a) konstantna; b) rastuÊa; v) opadajuÊa. a) Za a > 1; b) za a > 2. Za a > 3 funkcija je...., za a : 3 namaqena, za a < 3 opadajuÊa k > o. k H 0, n H 0. RastuÊe su funkcije Ëiji su grafici b) i g) a opadajuÊe druge dve.

3 ‡1 = (3a ‡ 1) 2 + a Kako je k = 3a ‡ 1= ‡ 7 1 < 0, ova funkcija je opadajuÊa. 1 ‡1 = 6a ‡ 2 + a, 1 = 7a, a = . 7 1-0 a) k = 1 0 , pa je funkcija opadajuÊa 3-2 3 - (- 1 ) 2 0 , pa je funkcija rastuÊa b) b = 2 - (- 3 ) 3-a10&a23&a+427.

125

10. Nagibni ugao prave je y = 3x ‡ 1 prema x-osi ... je kao nagibni ugao prave y = 3x prema x-osi. SliËno, prave y = 2x + 10 i y = 2x imaju jednake uglove prema x-osi. Kako je prava

y = 3x iznad prave y = 2x za x > 0, nagibni ugao prave y = 3x ‡ 1 prema x-osi je veÊi od nagibnog ugla prave y = 2x + 10 prema xosi.

6.5.

- 3x + 2y + 5 = 0 6x = 4y + 15 = 0 2y = 3x - 5 4y = 6x + 15 3 5 6 15 y= x+ y= x2 2 4 4 3 6 Kako je = prave su paralelne 2 4

2 1 -1

+4 0 1

-2

2 x

-5 -4 -3 -2 -1

-3

4 3

10.

2 1

-3 -2 -1

3x ‡ 4y = 0. y x + =1. 5 12

-1

0 1

2 x

2 1

-2

-2 -1

x=3

y 2

-1

0 1

11. a = 1. y

-3

2 · 2 + a(‡3) + 5 = 0; a = 3.

2 1

y 3

0 1

2 x

13 2 13 2 13 169 6. AB = c m + c m = $ 169 = 5 12 5 $ 12 60 168 13 13 $d= $ &d=1. 60 5 12 y

12. y 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1

3 2 13 1 5 A -2 -1 d 0 1 13 - B 12

-1

2 x y=

-3 -2 -1

-2 -1 0 1 -1 -2

2 =3y-

2 1

-2

126

3 4 x

-3

3 4 x

-2

4. 5.

0 1

-2

1 -2 -1

-1

45˚

7. 8.

ay =

1 2 5 a) y = 3x + 2; b) y = x - 2 ; v) y = - x - ; 2 3 3 g) y = 8. 3 a) ‡3x + y ‡ 7 = 0; b) x + y - 5 = 0 ; 7 v) ‡0,4x + y + 3 = 0; g) 0 · x + y ‡ 9 = 0 a) b)

2 x

-3 -4 -5

3 x

Графичко представљање података 7.1. 1.

a) Breskve

Jabuke

Kruπke

Jagode

Maline

Pomoranxe

7 0

b) Najomiqenije voÊe su pomoranxe. Najmawe omiqene su jabuke. 5.

Do srede raste potom opada.

2. 7

5 4

кв рес

уке јаб

ке

руш

оде јаг

а ли

не

џе

мо по

ра н

6. 7.

a) Nisu. b) 1, 3, 2, 4, 5.

3. 30

5 0

а лад о к чо

а ил

в ан

јаг

ода

шњ

ви

2 1 0

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

Prvi sat vozilo je mirovalo. SledeÊa dva sata kretalo se brzinom 15 km/h (jer je za dva sata preπlo 30 km). Od 3 do 5 sati je stajalo. Od 5 do 6 sati se kretalo brzinom 20 km/h. Od 6 do 8 sati je stajalo. Od 8 do 9 sati se vraÊalo brzinom od 50 km/h.

127

7.2. 360c 4 = 62, 61c ; za breskve i 23 360c 6 = 93, 91c ; za kajsije: 109,57°. πqive 23

Za jabuke: VoÊka

Jabuka

Breskva ©qiva

Broj 4 stabala

Kajsija

OdgovarajuÊi centralni uglovi su pribliæno 51,43; 64,28; 90 i 102,86 stepeni

8 понедељак

уторак

6 Број продатих возила

среда

четвртак

петак

3 2

6. 1 0

OdgovarajuÊi centralni uglovi su pribliæno 42,4, 84,7, 105,9 i 127 stepeni.

П чоколад

ванила 24

јагода

вишња

16 12

Æika je boqi u prvom, drugom i petom predmetu.

OdgovarajuÊi centralni uglovi su redom 90, 60, 30, 60, 120 stepeni.

8 4 0

да ола к о ч

а ил

в ан

јаг

ода

шњ

ви

понедељак уторак среда

OdgovarajuÊi centralni uglovi su:

четвртак петак јабука кајсија шљива бресква

128

7.3. 1.

3. 4. 5. 6.

7. 8.

a) a = 5, m = 5; b) a = 3, m = 3; v) a = 1/3, m = 1. a) a = 2, m = 1; b) a = 3, m = 7; v) a = 2/3, m = 0; g) a = 1,7, m = 3. Æika. Ne. Pet. Ima najmawe dve petice! U suprotnom zbir ocena bi bio najviπe 9 · 4 + 5 = 41, a prosek najviπe 4,1. Ne mora da ima ni jednu trojku. Na primer moæe da ima 7 petica, jednu Ëetvorku, jednu dvojku i jednu jedinicu, pa da ima prosek 4,2. Drugi razrred. 19600.

9. 10. 11. 12. 13.

520. 49 l/m2. a) Mora; b) Ne mora. Tri. Za x G 2 izraz je jednak 2 ‡ x + 3 ‡ x + 5 ‡ x = 10 ‡ 3x H 10 ‡ 3 · 2 = 4. Za 2 < x G 3 izraz je jednak x ‡ 2 + 3 ‡ x + 5 ‡x = 6 ‡ x H 3. Za 3 < x G 5 izraz je jdnak x ‡ 2 + x ‡3 + 5 ‡ x = x > 3. Za x > 5 izraz je jednak x ‡ 2 + x ‡ 3 + x ‡ 5 = 3x ‡ 10 > 5. Minimalna vrednost 3 se dostiæe ako je x = 3 a to je medijana brojeva 2, 3, 5. 14. Medijana brojeva 1, ‡1, 3, ‡4 ima osobinu da je zbir wenih udaqewa od tih brojeva minimalan, a dati izraz upravo predstavqa zbir tih udaqewa.

Системи линеарних једначина са две непознате

8.1. 1. 2.

3. 4. 5.

6. 7. 8.

JednaËine sa dve nepoznate su a), v) i g), a linearne su a) i v). 3x + 2 = 5y ‡ 4 i 5y ‡ 4 = 6x2 su jednaËine sa dve nepoznate, 3x + 2 = 6x2 nije jednaËina sa dve nepoznate. Samo prva jednaËina je linearna. a) x ‡ y = 23; b) 2a + 3b = 4; v) m = 11n + 7. Kako je 2 ‡ 1 = 1 i 6 ‡ 5 = 1, to su dati ureeni parovi reπewa jednaËine b ‡ a = 1. Kako je 10 · 2 + 7 · 3 = 41 ≠ 3 i 10 · 1 + 7 · (‡3) = ‡11 ≠ 3, pa dati ureeni parovi nisu reπewa jednaËine 10m + 7n = 3. (p, 1) = (1, 1) i (4, q) = (4, 6). 2x ‡ 3y = 16. Ako je 4x ‡ y = 2010, onda je y = 4x ‡ 2010, pa su sva reπewa date jednaËine definisana ureenim parovima (t, 4t ‡ 2010), gde je t neki realan broj.

9. Da. 10. a) (3, 4) nije reπewe; b) (1, 1) jeste reπewe; v) (‡1, 2) nije reπewe. 11. Ureeni par (1, 2) jeste reπewe prve, ali nije reπewe druge jednaËine, a ureeni par (0, 3) jeste reπewe druge, ali nije reπewe prve jednaËine u sistemu. 12. Jedan od moguÊih sistema je: 2x + y = 5 i 4x + 3y = 11. 13. Ne postoje, jer ako se prva jednaËina pomnoæi sa 5, dobija se jednaËina 20x ‡ 35y = 55, koja je protivureËna drugoj jednaËini 20x ‡ 35y = 54. 15. Ako se druga jednaËina podeli sa 3 dobija se jednaËina x + 8y = 11, koja je identiËna prvoj jednaËini. Sva reπewa datog sistema se mogu opisati formulama: x = 11 ‡ 8t, y = t, gde je t ma koji realan broj.

129

8.2. 1. 2. 3.

5. 6.

Jesu, jer je S = {(2, 3)} jedino reπewe i jednog i drugog sistema jednaËina. Dokaz se zasniva na Ëiwenici da je (a, b) = (2, 1) jedino reπewe oba sistema. Sistemi jednaËina J1 i J3 su ekvivalentni. Sistem jednaËina J2 nije ekvivalentan ni sa jednim od preostala dva sistema jednaËina. Sistemi nisu ekvivalentni, jer je (0, 2) reπewe drugog, a nije reπewe prvog sistema jednaËina. 2m + 5n = 46 i 5m ‡ n = 7. Nisu, jer (‡2, 1) jeste reπewe drugog, a nije reπewe prvog sistema jednaËina.

Jesu ekvivalentni, jer je S = {(1, 1)} skup reπewa i jednog i drugog sistema. 8. Jesu, jer oba nemaju reπewa. 9. Nisu, iako oba imaju beskonaËno mnogo reπewa: S1 = {(2t + 5, t), t ! R} i S2 = {(7, 7 ‡ t), t ! R}. Tako ureeni par (7, 1) jeste reπewe prvog, a nije reπewe drugog sistema jednaËina. 10. Dati sistem ima beskonaËno mnogo reπewa S = {(t, 13 ‡ 6t), t ! R}, pa je jedan od moguÊih ekvivalentnih sistema jednaËina 7.

18x + 3y = 39 . 24x + 4y - 52

8.3. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

a) x = 3, y = 3; b) a = ‡1, b = 2. a) x = 5, y = 1; b) a = 1, b = ‡1; v) m = ‡1, n = 0. a) x = 1, y = 1; b) p = 4, q = 1; v) a = 10, b = 5. a) x = 3, y = 5; b) x = 7, y = 4. Traæeni brojevi su 118 i 82. Dvocifreni broj o kome je reË je 84.

m = 42, n = 8. Milan ima 1250, a Nikola 250 dinara. Stranice jednakokrakog trougla su 13 cm, 13 cm i 10 cm, visina je 12 cm, a povrπina 60 cm2. 10. a) Sistem je protivureËan; b) Sistem ima beskonaËno mnogo reπewa S = {(t, 5t ‡ 24), t ! R}. 7. 8. 9.

8.4. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

a) x = 2, y = 5; b) a = 3, b = 4; v) m = 9, n = 4. a) x = 4, y = 3, b) a = 1, b = 3; v) c = 8, d = 3. a) x = 5, y = 3; b) p = 10, y = 3; v) m = 6, n = 3. a) x = 5, y = 7; b) x = 12, y = 10; v) x = ‡1, y = 2. Sok koπta 50, a koka-kola 60 dinara, pa 6 sokova i 5 koka-kola koπta 600 dinara. Traæeni brojevi su 74 i 12. Traæeni brojevi su 40 i 60. a) Sistem je protivureËan; b) Drugi sistem ima beskonaËno mnogo reπewa

4t - 25 m, t d R 1 . 9 Lopta koπta 500 dinara. Æarko ima 3000, a Leka 9000 dinara. Ako je x cifra desetica, a y cifra jedinica, onda je iz uslova zadatka 10x + y = x + y + 45 i 10x + y = x ‡ y + 53. Reπavawem dobijenog sistema sledi da je x = 5 i y = 4, pa je traæeni broj 54. Reπewe x = 20oC, y = 30oC dobija se iz sistema jednaËina: 20x + 30y = 26 $ 50 . ' 30x + 20y = 24 $ 50 S = 'c t,

9. 10. 11.

12.

8.5. 1.

130

a) GrafiËkim metodom se dobija x = 1, y = 4. Proverom se uveravamo da je to reπewe;

b) GrafiËkom metodom dobijamo da je potencijalno reπewe x = 2, y = ‡1, u πta se proverom i uveravamo.

2. 3.

a) x = 2, y = 2; b) x = 1, y = 1. a) Kako se prave y = 7 ‡ 3x i 2y = 14 ‡ 6x poklapaju to sistem ima beskonaËno mnogo reπewa; b) Kako su prave y = 2x ‡ 3 i 2y = 4x ‡ 8 paralelne, to sistem nema reπewa.

4. 5.

a = 2, b = 3. a) a ! ‡3 i c ! ‡12; b) a = ‡3 i c ! ‡12; v) a = ‡3 i c = ‡12; 1 1 a) m ! i n ! ‡3; b) m = i n = ‡3; 2 2 1 v) m = i n ! ‡3. 2

8.6. 1. Traæeni brojevi su 742 i 214. 2. Grupa je vozom preπla 672 km, autobusom 630 km i brodom 147 km. 3. Sir koπta 118, a kajmak 354 dinara. 4. Sestra je stara 7 godina, brat 21 godinu, a deda 63 godine. 5. Sin ima 15, a otac 45 godina. 6. Jaπa Êe uzeti 30, a Saπa 120 dinara. 7. Bilo je 27 uËenika i 73 jabuke. 8. Sveska koπta 70 dinara, a Marko je imao 240 dinara. 9. Janko ima 40, Marko 280 dinara, a zbirka koπta 360 dinara. 10. DeËaka ima 18, a devojËica 14. 11. Bilo je 30 novËanica od 20 i 8 novËanica od 50 dinara. 12. U prvoj posudi je bilo 80, a u drugoj 40 litara mleka.

13. KoriπÊeno je 7 Ëamaca sa 6 sediπta i 2 Ëamca sa 8 sediπta 14. Mare ima 6000, a Quba 4000 dinara. 15. Na izletu je bilo 15 turista (po 80 dinara), a trebalo je da ih bude 20 (po 60 dinara). 16. Traæeni brojevi su 38 i 22. 17. PrikquËilo im se joπ 15 radnika. 18. TakmiËar A je osvojio 6, takmiËar B 3, takmiËar C 2 i takmiËar D 1 bod. 19.

3. 4.

9 3 H = 9 cm, s = 9 cm; b) p = cm , H = 9 cm, 2 s = 9 cm. Duæine stranica tog pravougaonika su 75 cm i 2 cm. Prava je paralelna duæim

y‡1

y+1

x‡1

9.1. a) r = 10 cm, H = 6 cm, s = 6 cm; b) r = 6 cm, H = 10 cm, s = 10 cm; v) r = 3 cm, H = 10 cm, s = 10 cm; g) r = 5 cm, H = 6 cm, s = 6 cm. a) Nastaje vaqak; r = 14 cm, H = 14 cm, s = 14 cm; b) Nastaje vaqak; r = 7 cm, H = 14 cm, s = 14 cm; v) Ne nastaje vaqak. TaËni su odgovori pod: v), g). a = 9 3 cm , b = 9 cm; a) p = 9 3 cm ,

20. Neka je broj grana x, a broj vrana y. Iz uslova zadatka je 3(x ‡ 1) = y i 2x = y ‡ 1. Reπavawem dobijenog sistema dobija se x = 4 i y = 9, tj. bilo je 4 grane i 9 vrana.

Ваљак 1.

stranicama pravougaonika i na rastojawu je 5,5 cm od bliæe od wih. Taj se vaqak sastoji od svih taËaka svih duæi M1M2 paralelnih duæi O1O2, pri Ëemu je M1 proizvoqna taËka kruga K1(O1 , 10 cm) a M2 taËka kruga K2(O2 , 10 cm); r = 10 cm, visina je duæina duæi O1O2, osnove su krugovi K1(O1, 10 cm) i K2(O2, 10 cm), povrπina osnova je 100r cm2, izvodnice su duæi M1M2, paralelna duæi O1O2, gde je M1 bilo koja taËka kruænice k1 a M2 taËka kruænice k2, omotaË Ëine sve izvodnice vaqka a duæina izvodnica jednaka je visini, dakle, jednaka je duæini duæi O1O2.

131

9.2. 1. 2. 3.

d = 51 cm, P = 1080 cm2. 2r = 30 cm, r = 15 cm; P = r2r = 225r cm2. 26 2 - 24 2 cm = 10 cm ; r1 = 12 cm, H1 = 10 cm, P1 = 144r cm2; r2 = 5 cm, H2 = 24 cm, P2 = 25 cm2 . d2 = (102 ‡ 82) cm2, d = 6 cm (slika levo).

1920 : 40 = 48, 1200 : 40 = 30; rastojawa tih ravni od ose vaqka nalazimo iz dva pravougla trougla Ëija je duæina hipotenuze 25 cm a duæina jedne od kateta 24 cm u prvom odnosno 15 cm u drugom trouglu, pa je d1 = 7 cm a d2 = 20 cm. Rastojawe između ravni je d1 + d2 = 27 cm u sluËaju pod a) a d2 ‡ d1 = 13 cm u sluËaju pod b).

40 cm

20 cm 25 cm S d2 d1

B S

d 16 cm 10 cm

2,4 cm x 7,4 cm S

x2 = (7,42‡2,42) cm2, x = 7 cm, P = 2x · H = 280 cm2 (slika desno).

d1 d2 S 25 cm

2rH = 2r2r, r : H = 1 : r; taËan je odgovor pod v). 2r = H, r2r = 289r cm2, r = 17 cm, P = 2r · H = 4r2 = 1 156 cm2.

9.3. 1.

3. 3 cm

4 cm

6 cm 8 cm 4 cm

6π cm

8π cm

4. 2. 3 cm

4 cm

6. 6π cm

8π cm

7. 4 cm

8π cm 3 cm

132

6π cm

3 cm

a) r = 12 cm, H = 12 cm; P = 2rr(r + H) = 24r · 24 cm2 = 576r cm2; b) r = 6 cm, H = 12 cm, P = 216r cm2. a) r = 16 cm, H = 8 cm, P = 768r cm2; b) r = 8 cm, H = 16 cm, P = 384r cm2; v) r = 4 cm, H = 16 cm, P = 160r cm2; g) r = 8 cm, H = 8 cm, P = 256r cm2. a) r = 4 cm, H = 8 cm; d) r = 3 cm, H = 6r cm; u ostalim sluËajevima figure ne mogu predstavqati mreæu vaqka. r2r = 36r cm2, r = 6 cm, 2r · H = 108 cm2, 12 cm · H = 108 cm2, H = 9 cm, P = 12r(6 + 9) cm2 = 180r cm2. Osa vaqka je sadræana u ravni a, na rastojawu je 8 cm od ravni b i na rastojawu 16 cm od ravni c. U pravouglom trouglu SAM

(slika 8) znamo duæinu hipotenuze SA i katete SM, pa je AM2 = (242 ‡ 82) cm2 = 512 cm2, odnosno AM = 16 2 cm . Na isti naËin iz pravouglog trougla SBN nalazimo da je BH = 8 5 cm . Povrπine Ëiji odnos traæimo jednake su: P1 = 2r · H = 48 cm · H, P2 = 2AM · H = 32 2 cm ·H, P3 = 2BN · H = 16 5 cm · H. Traæeni odnos je P1 : P2 : P3 = 3 : 2 2 : 5 (slika ispod levo). S1

S S

9. 2r · H = 432 cm2, r = 9 cm. Povrπ jednog od dobijenih delova sastoji se od dva kruæna iseËka koji odgovaraju centralnim uglovima od po 60° osnova vaqka, dva pravougaonika stranica 24 cm i 9 cm i jedne πestine omotaËa vaqka. Traæena povrπina je P = 27r cm2 + 432 cm2 + 72r cm2 = (99r + 432) cm2 (slika iznad desno). 10. r1 = 5 cm, H1 = 16r cm, P1 = 10r(5 + 16r) cm2; r2 = 8 cm, H2 = 10r cm, P2 = 16r(8 + 10r) cm, P1 : P2 = (25 + 80r) : (64 + 80r). 11. H = 2 · 2r = 4r, 2r · 4r = 1568 cm2, r = 14 cm; H = 56 cm, P = 2 · 14r(14 + 56) cm2 = 1960r cm2. 12. H = 2r, P = 2rr(r + H) = 2rr(r + 2r) = 6r2r = 384r cm2, r = 8 cm, H = 16 cm. 13. Ako je polupreËnik vaqka 3 cm, povrπina upotrebqenog kartona za osnove je

4 000 · 32r cm2 < 36 000 · 3,2 cm2 = 11 5200 cm2, πto je mawe od raspoloæivih 120 · 1 200 · · (1 ‡ 0,15) cm2 = 122 400 cm2, pa se kutije mogu napraviti; wihova je visina 7r cm. Ako je polupreËnik vaqka 3,5 cm, trebalo bi 4 000 · 3,52r cm2 > 49 000 · 3,1 cm2 , πto je jednako 151 900 cm2, i veÊe je od povrπine raspoloæive table, Ëak i bez uzimawa rastura u obzir. Takve se kutije ne mogu napraviti. 14. Ukupna povrπina koju treba obojiti jednaka je zbiru povrπina omotaËa dva vaqka, jednog polupreËnika 32 cm i visine 400 cm a drugog polupreËnika 30 cm i visine 400 cm. Ako prihvatimo r ≈ 3,14 , nalazimo da treba obojiti (64 + 60) · r · 400 cm2 ≈ 155 744 cm2 ≈ 16 m2 . Za bojewe nam je dovoqno oko 8 kg boje. 15. Treba obloæiti jednu osnovu (dno) i omotaË vaqka polupreËnika 6 m i visine 2,4 m. Dakle, P = B + M, pri Ëemu je B = 62r m2 ≈ 36 · 3,14 m2 = 113,04 m2 , M = 2 · 6 · r · 2,4 m2 ≈ 90,432 m2, pa je P ≈ 203,472 m2. UzimajuÊi u obzir i rastur od 5% treba obezbediti ploËice za oblagawe oko 213,6456 m2. Jedan paket obezbeđuje oblagawe 8000 · 3,33 · 3,33 cm2 = 88 711,2 cm2 = 8,87112 m2 ≈ 8,87 m2. ImajuÊi u vidu da je 213,6456 : 8,87 = 24,086... , treba obezbediti viπe od 24 paketa ploËica. Dakle, dovoqno je 25 paketa. 16. Iz 2rH = 512 cm2, r = 8 cm, nalaS1 zimo da je H = 32 cm. Ukupna povrπina dobijena dva tela jednaka je zbiru povrπine vaqka i povrπina dva wegova osna preseka. Dakle, P = 2rr(r + H) +2 · 2rH = (640 r + 1024) cm2 ≈ 3033,6 cm2 = 0,30336 m2. Za bojewe treba samo oko 0,30336 m2 · 500 g/m2 ≈ S 152 g boje.

9.4. 1.

3. 4. 5.

a) r = 12 cm, H = 12 cm , V = 1728r cm2; b) r = 6 cm, H = 12 cm, V = 432r cm2. a) 2592r cm2; b) 3888r cm2; v) 972r cm2; g) 648r cm2. (2r)2 + (42 cm)2 = (58 cm)2, 2r = 40 cm, r = 20 cm, V = 202r · 42 cm3 = 16 800r cm3. r = 17 cm, H = 2r = 34 cm, V = 9826r cm3. r = 4 3 cm, V = 576r cm3.

KarakteristiËni trougao pravilnog πestougla je jednakostraniËni trougao. PolupreËnik ro kruænice opisane oko pravilnog πestougla jednak je duæini stranice tog πestougla a polupreËnik ru u wega upisane kruænice jednak je visini wegovog karakteristiËnog trougla. Traæene zapremine 2 su: Vu = ru2r · H = ^4 3 h r · 12 cm3 = 576r cm3; Vo = ro2r · H = 82r · 12 cm3 = 768r cm3 a wihov odnos je Vu : Vo = 3 : 4.

133

V = 6 dm3 = 6 000 cm3, r2r · H = 6 000 cm3. Ako su posude oblika πerpe, onda je H = H1 = 15 cm a ako su oblika lonca, onda je H = H2 = 20 cm. U prvom sluËaju je r = r1 , pa je r12r = 400 cm2 a u drugom sluËaju je r = r2, pa je r22r = 300 cm2. Iz navedenih jednakosti nalazimo, uz pomoÊ xepnog kalkulatora, r1 ≈ 11,29 cm, r2 ≈ 9,78 cm, pa je P1 ≈ 1 864 cm2, P2 ≈ 1828 cm2. ProizvođaËu se viπe isplati da posude proizvodi u obliku lonaca visine 20 cm jer je P2 < P1, πto znaËi da je utroπak materijala mawi. 200 000 3 Zapremina pretoËene nafte je B = m 0, 76 = 263 157,89... m3 ≈ 263 158 m3. Zapremina

10. PreËnik oblice jednak je dijagonali preseka grede; duæina stranica kvadrata je 12 2 cm . Vo = 122r·600 cm3 ≈ 271 296 cm3, 2 Vg = ^ 12 2 h $ 600 cm 3 = 172 800cm 3 , pa je rastur Vo ‡ Vg ≈ 98 496 cm3, πto Ëini oko 36% zapremine oblice. 11. OznaËimo sa a stranicu pravilnih πestouglova i wenu duæinu. Imamo da je a 3 = 13 mm , 2 13 odakle nalazimo a = mm , pa je zapremi3 na glave Vt = 338 3 mm 3 . Zapremina tela 2$

zavrtwa je Vt = 42r · 42 mm3 = 672r mm3. Za-

jednog rezervoara je Vr = 102r·16 m3 ≈

premina matice je Vm = ^ 422, 5 3 - 4 2 π $ 5 h mm 2 .

5 024 m3. Zbog 263 158 : 5 024 = 52,380175... , u 9.

luci je moralo biti bar 53 takva rezervoara. Rezerva mora biti bar 14 000 000 litara, odnosno 14 000 m3 vode, πto znaËi da jedan rezervoar mora imati zapreminu od bar 1 400 m3. Dakle, mora biti r2r·H H 1 400 m3, odnosno, r2 H 55,732... m2, odakle nalazimo da je r ≈ 7,5 m.

Masa tela s glavom je mtg ≈ 2,6955 · 8,4 g = 22,6422 g dok je masa matice mm ≈ 0,4806 · 8,4 g = 4,03704 g. 12. V = 6 000r (152‡92) mm3 ≈ 2 712 960 mm3 ≈ 2 713 cm3, m ≈ 2 713·11,35 g = 30 792,55 g ≈ 30,8 kg.

Купа

10.1

3. 4. 5.

134

Hv = 8 3 cm , sv = 16 cm, a za mawu kupu rm = 8 cm, Hm =

8 16 3 cm , sm = 3 cm ; 3 3

a Hv

a) r = 15 cm, H = 36 cm, s = 39 cm; b) r = 36 cm, H = 15 cm, s = 39 cm. a) r = 18 cm, H = 18 cm, s = 18 2 cm ; b) r = 9 2 cm , H = 9 2 cm , s = 18 cm. 1 r = a = 7cm , s = b = 25 cm, H2 = s2 ‡ r2 = 2 2, H = 24 cm. 576 cm Osni presek je jednakostraniËni trougao; r = 6 cm, H = 6 3 cm . 16 Duæina krakova tog trougla je 3 cm 3 troug(duæina stranica jednakostraniËnog la visine 8 cm). a) Telo se dobija ako se iz kupe Ëiji je osni presek jednakostraniËni trougao stranica 16 cm iseËe (odstrani) mawa kupa Ëija se osnova poklapa sa osnovom veÊe kupe a vrh joj je u teæiπtu osnog preseka veÊe kupe (slika 11); za veÊu kupu je rv = 8 cm,

120

Hm S rm

b) Telo se sastoji od dve kupe podudarnih osnova i jednakih visina, oslowenih osnovama jedna na drugu (slika desno); za svaku

s H r H s

8√

8 cm

8 cm 28 cm

8 cm

16 cm

8√

9 cm

14 cm

6 cm

2 6√

2 8√

U sluËaju pod b) (slika pored) telo se dobija ako se na svaku od osnova vaqka „nadogradi“ kupa. 8 cm 12 cm 8 cm U sluËaju pod v) (slika ispod) telo se dobija ako se od veÊe kupe odseËe mawa kupa. a) Za vaqak je r = 8 cm, H = 28 cm; za kupe je r = 8 cm, H = 8 cm, s = 8 2 cm; b) Za vaqak je r = 8 cm, H = 12 cm; za kupe je r = 8 cm, H = 8 cm, s = 8 2 cm;

v) Za veÊu kupu je r = 14 cm, H = 14 cm, s = 14 2 cm; za mawu kupu je r = 6 cm, H = 6 cm, s = 6 2 cm. KraÊa dijagonala razlaæe romb na dva podudarna jednakostraniËna trougla stranica 18 cm a duæa dijagonala ga razlaæe na dva podudarna jednakokraka trougla krakova od 18 cm i ugla izmeu krakova od 120°. U oba sluËaja dobija se telo koje se sastoji od dve kupe podudarnih osnova i jednakih visina, oslowenih osnovama s jedna na drugu. H r a) Za svaku od tih kupa (slika) je r = 9 3 cm, H s H = 9 cm, s = 18 cm; b) Za svaku od tih kupa (slika 17) je r = 9 cm, H = 9 3 cm , s H s = 18 cm. r RaËunamo prvo karakteristiËne elemente datog pravougH s log trougla. Duæina hipotenuze je 25 cm, visina 12 cm, duæina odseËka na hipotenuzi uz duæu katetu je 16 cm a odseËka uz kraÊu katetu 9 cm. Telo se sastoji 12 cm od dve kupe podudarnih osnova polupreËnika 12 cm, jedna visine 16 cm a druga visine 9 cm, oslowenih osnovama jedna na drugu (slika). Duæina izvodnica prve kupe je 20 cm a duæina izvodnica druge kupe je 15 cm.

14 cm

8 3 cm , H = 8 cm, od wih je r = 3 16 s= 3 cm . 3 U sluËaju pod a) (slika ispod) telo se dobija ako se iz vaqka iseku dve kupe.

10.2 1.

H2 = s2 ‡ r2 = 2 304 cm2; H = 48 cm (koristi tablicu kvadrata prirodnih brojeva ili xepni raËunar ili rastavi broj 2 304 na Ëinioce). a) Povrπina osnog preseka jednaka je r · H; u naπem primeru to je 672 cm2; b) presek je krug Ëiji je polupreËnik jednak 1 7cm c = 14 cm m , a wegova je povrπina 2 49r cm2 .

3. 4.

a) 45°, 45°, 90° (trougao je jednakokraki pravougli); b) 60°, 60°, 60° (trougao je jednakostraniËan). a) 30 · 16 cm2 = 480 cm2; b) 16 · 30 cm2 = 480 cm2. 1 s r = s 3 = 10 3 cm , H = = 10 cm . 2 2 2 a) 100 3 cm 2 ; b) ^5 3 h r cm2 = 75r cm2. 8 cm · H = 240 cm2, H = 30 cm, s2 = r2 + H2 = (64+900) cm2 = 964 cm2, s = 964 cm .

135

1 r = 16 3 cm = 8 3 cm , 2 H2 = (342 ‡ 162) cm2 = 900 cm2, H = 30 cm. 2 a) 240 3 cm 2 ; b) ^4 3 h r cm2 = 48r cm2. a) r = H = 18 cm, s = 18 2 cm ; b) 324 cm2;

v) 324r cm2; g) 81r cm2. r2r = 576r cm2, r = 24 cm; r · H = 1080 cm2, H = 45 cm. a) s = 51 cm; b) r1 = 16 cm, P1 = 256r cm2, r2 = 8 cm, P2 = 64r cm2.

10.3.

3. 4. 5. 6.

6 cm 180˚

3 cm

240˚

4 cm

a) r = 10 cm, s = 26 cm, P = rr(r + s) = 360r cm2; b) r = 24 cm, s = 26 cm, P = 1 200r cm2. 8. Duæina hipotenuze tog trougla jednaka je 5,3 cm. a) r = 4,5 cm, s = 5,3 cm, P = 44,1r cm2; b) r = 2,8 cm, s = 5,3 cm, P = 22,68r cm2 . 9. r · 5,5 cm = 26,4 cm2, r = 4,8 cm, s = 7,3 cm, P = 58,08r cm2. 10. Zadato je da je r r s = M = 2B = 2r2r , odakle nalazimo s = 2r = 30 cm. P = 15r(15 + 30) cm2 = 675r cm2. 11. Odgovor na postavqeno pitawe dali smo prilikom reπavawa zadatka 8 u lekciji 10.1 ; podseti se i slike 18. Povrπ dobijenog tela sastoji se od dva omotaËa kupa koje ga formiraju. Zbog toga je P = M1 + M2 = rr(s1 + s2) , pri Ëemu je r = 12 cm, s1 = 15 cm, s2 = 20 cm, pa je P = 12(15 + 20)r cm2 = 420r cm2. 7.

136

7 147 cm , s = 7 cm, P = r cm2; 2 4 7 49 ^ 3 cm , s = 7cm, P = 3 - 2 3 hr b) r = 2 4 cm2; v) PostupajuÊi kao u zadatku 11 nalazi-

12. a) r =

mo P = M1 + M2 =

7 7 7 3c + 3 m r cm2 = 4 2 2

49 ^ 3 + 3 h r cm2. 8 13. a) Telo se sastoji od maweg vaqka i na wega nadograđene kupe, pri Ëemu su osnove vaq10 cm ka i osnova kupe podudarni krugo15 cm vi (slika). Povrπ tela se sastoji od osnove vaqka, omotaËa vaqka i omotaËa kupe, pa je wegova povrπina P = B + Mv + Mk = (25r + 100r + 25 2 r) cm2 = 25r(5+ 2 ) cm2 5 cm

a : 360 = r : s, r : s = 270 : 360 = 3 : 4; taËan je odgovor pod v). r : s = 180° : 360° = 1 : 2 , s = 2r = 24 cm; osni presek je jednakostraniËni trougao. Wegova je povrπina 144 3 cm2. s = 12 cm; r : s = 8 : 12 = 3 : 4, a : 360° = 3 : 4 , a = 270°. Treba zaokruæiti slova b) i v). b) H = 2 5 cm ; v) H = 3 3 cm . UoËavamo da je prva kupa oπtrijeg vrha i veÊe visine.

b) Telo se sastoji od veÊeg vaqka iz kojeg je iseËena kupa, pri Ëemu su osnove vaqka i osnova kupe podudarni krugovi (slika ispod). Povrπ tela sastoji se od osnove vaqka, omotaËa vaqka i omotaËa kupe, pa je wegova povrπina P = B + Mv + Mk = (25r + 150r + 25 2 r) cm2 = 25r(7+ 2 cm2;

5 cm

10 cm 15 cm

v) Telo se sastoji iz veÊe kupe polupreËnika osnove 15 cm, visine 15 cm i duæine izvodnica 15 2 cm, od koje je odseËena mawa kupa polupreËnika osnove 10 cm, visine 10 cm i duæine izvodnica 10 cm, pri Ëemu se vrhovi te dve kupe poklapaju (slika).

Povrπ tela sastoji se od osnove veÊe kupe, osnove mawe kupe i dela omotaËa veÊe kupe koji preostaje kad se od wega odseËe omotaË mawe kupe. Zbog toga je P = B1 + B2 + M1 ‡ M2 = (325 + 125 2 )r cm2.

trougla stranica 16 cm a duæina izvodnica jednaka je duæini apotema te piramide (slika 1 16 8 dole levo). Dakle, r = 3 cm = 3 cm, 3 2 3 2 2 s = 17 - 8 cm = 15 cm , pa je P= c

√2

10 cm

15 cm

64 + 40 3 m r cm2. 3

7 β

14 α a

10 cm 15 cm

14. Neka je to trapez ABCD, AB = 20 cm, CD = 14 cm, neka su C1 i D1 taËke osnovice AB, takve da je CC1 = 4 cm i DD1 = 4 cm i neka je V preseËna taËka pravih p(A,D) i q(B,C) a S srediπte osnovice AB. Duæina hipotenuze AD pravouglog trougla AD1D je 5 cm (nacrtaj sliku). Zbog sliËnosti trouglova AD1D 40 i ASV je 3 cm: 10 cm = 4 cm: SV, SV = cm 3 50 i 5 cm : AV = 3 cm:10 cm, AV = cm . 3 a) P = Mv+2Mk = (112r+40r) cm2 = 152r cm2; b) P = 200r cm2; v) P = B1 + B2 + M1 ‡ M2 = (100r + 49r + 500 245 r· r) cm2 = 232r cm2. 3 3 15. PolupreËnik osnove kupe jednak je polupreËniku upisane kruænice jednakostraniËnog

16. Treba obojiti povrπinu jednaku zbiru povrπina kupe, dva kruga polupreËnika 14 cm i dva kruga polupreËnika 7 cm. Duæina izvodnica kupe jednaka je 6066 cm . 78cm , pa je povrπina kupe pribliæno jednaka P ≈ 2079r cm2. Zbog toga je ukupna povrπina koju treba obojiti, pribliæno, 2 · 196r cm2 + 2 · 49r cm2 + 2079r cm2 = 2 569r cm2 . Za to nam treba oko 130 grama boje (slika gore desno). 17. Ukupna povrπina platna jednaka je zbiru povrπina kruga (dno), omotaËa vaqka (zid) i omotaËa kupe (krov). Duæina izvodnica kupe jednaka je s = 2,6 m. P = (2,42r + 2·2,4r · 1,6 + 2,4r · 2,6) m2 = 19,68r m2 ≈ 61,8 m2. Da bi se takav πator napravio potrebno je oko 62 m2 πatorskog platna.

10.4 1 2 3 1. a) r = 9 cm, H = 12 cm, V = r r $ H = 324rcm ; 3 b) r = 12 cm, H = 9 cm, 1 2 r r $ H = 432rcm 3 . 3 12 a : b = 12 : 5, a = b, 5 2 12 c 2 = a2 + b2 = c $ bm + b2 = 5 , 169 2 2 144 b c + 1m = $b 25 25 V=

169 2 $b , 25 b2 = 25 cm2, b = 5 cm, a = 12 cm; a) r = 5 cm, H = 12 cm, 169 cm 2 =

1 2 5 r12 cm 3 = 100r cm 3 ; 3 b) r = 12 cm, H = 5 cm, V=

1 2 12 r $ 5 cm 3 = 240 cm 3 . 3

137

r = 6,3 cm , s = 8,7 cm , H2 = (75,69 ‡ 39,69) cm2 = 36 cm 2, H = 6 cm,

Iz pravouglog trougla ClBC nalazimo da je BC = 6 cm, h = 3 3 cm . D

1 6, 3 2 r $ 6 cm 3 = 79, 38 cm 3 . 3 r2r = 36r cm2, r = 6 cm, r · H = 90 cm2, 1 H = 15 cm, V = r2 r $ H = 180r cm 3 . 3 H = 6 cm, r2 = 108 cm2, V=

1 2 1 r r $ H = $ 108r $ 6 cm 2 = 216r cm 2 . 3 3 s = 15 cm, r : s = 2 : 3, r = 10 cm, H = 5 5 cm , 1 V = 500 5 rcm 3 . 3 a r = = 12cm, s 2 = 256cm 2, s = 16 cm, 2

V= 6.

H 2 = 112cm 2, H = 4 7 cm V = 192 7 r cm 3 . b s

60˚

60˚ C' B

a) Telo se sastoji od vaqka polupreËnika 3 3 cm i visine 12 cm i dve kupe polupreËnika osnova 3 3 cm i visine 3 cm (slika 31), pa je zapremina tela jednaka V = Vv + 2Vk = ^ 3 3 h r c 12 + 2 $ 2

1 $ 3 m cm 3 = 3

27 $ 14r cm 3 = 378 cm 3 .

b) Telo predstavqa vaqak polupreËnika 3 3 cm i visine 18 cm iz kojeg su iseËene dve kupe polupreËnika osnova 3 3 cm i visine 3 cm (slika 32), pa je wegova zapremina V = Vv ‡ 2Vk = 2 ^ 3 3 h r c 18 - 2 $ 1 $ 3 m cm =

3 27·16r cm3 = 432r cm3 .

IzraËunavamo prvo neophodne elemente pravouglog trougla (duæinu hipotenuze, hipotenuzinu visinu, odseËke na hipotenuzi) (slika 28): c = 50 cm, hc = 24 cm, ACl = 32 cm, BCl = 18 cm. Telo se sastoji iz dve kupe podudarnih osnova (krugovi polupreËnika 24 cm), oslowenih osnovama jedna na drugu (slika 29). Vrh jedne kupe je teme A a vrh druge kupe je teme B trougla. Visina prve kupe je 32 cm a visina druge je 18 cm. Zapremina tela jednaka je zbiru zapremina te dve kupe, V = V1 + V2 = 1 2 24 r (32 + 18) cm 3 = 9600rcm 3 . 3

138

3 cm

v) Telo se sastoji od velike kupe polupreËnika osnove 9 cm i visine 9 3 cm od koje je odseËena mala kupa polupreËnika osnove 6 cm i visine 6 3 cm (slika), a wegova zapremina je 1 r(92 · 9 3 ‡ 62 · 6 3 ) cm3 = 3 171r 3 cm3.

6√3 cm

C' hc

12 cm

V = V1 ‡ V2 =

3 cm

9√3 cm

3√3 cm

Neka je to trapez ABCD i neka su Cl i Dl preseci osnovice AB s pravama kroz C odnosno D , normalnim na osnovice (slika ispod).

6 cm 9 cm

napuniti materijalom. To su jednakostraniËni trougao ABC stranica 140 cm i jednakostraniËni trougao PQC visine za 10 cm mawe od visine trougla ABC. Visina CCl trougla ABC je CCl = 70 3 cm . 121,24 cm, pa je visina CCm trougla PQC jednaka (pribliæno) CCm . 111,24 cm. Odatle nalazimo da je PQ . 128,45 cm. Zapremina kupe koju moæe napuniti rastresiti materijal jedna1 ka je (pribliæno) V . 64,222r·111,24 cm3 3 . 480 186,53 cm3 = 0,48 m3. Masa materijala je m = t · V, te konaËno nalazimo da je m . 2,4 t/m3·0,48 m3 = 1,152 t.

10. Visina paralelograma je 4 2 cm. Telo se sastoji od vaqka polupreËnika 4 2 cm i visine 16 cm iz kojeg je iseËena kupa polupreËnika osnove 4 2 cm i visine 4 2 cm i na koji je nadograena ista takva kupa. Zbog toga je zapremina tela jednaka V = Vv ‡ Vk + Vk = Vv = ( 4 2 )2r · 16 cm3 = 512r cm3. 1 11. V = Vv + Vk = (2,42r · 1,6 + · 2,42r · 1) m3 3 3 = 9,408r m .

2,6 m

1,6 m

A P

C' C''

B Q

4,8 m

12. Na slici 34 prikazali smo osni presek rasprπivaËa i wegovog dela koji se moæe

Лопта 11.1. 1.

centar sfere. PolupreËnik r upisane kruænice je polupreËnik sfere. On je jednak visini trouglova ABS, BCS, CAS, pa je povrπina trougla ABC jednaka 1 1 P = ^ a + b + c h = ^ 30 + 39 + 39 h 3 cm 2 2 2 = 54 cm $ r.

PolupreËnik sfere je 8 cm a centar je ili taËka A ili taËka B. Postoje dve takve sfere, S1(A, 8 cm), S2(B, 8 cm). Centar sfere je preseËna taËka dijagonala a polupreËnik joj je jednak polovini duæine dijagonala pravougaonika, 1 16 2 + 30 2 cm = 17cm . 2 TaËne su reËenice pod b), g), ). Duæi AB i CD su jednake duæine (=2R) i meusobno se polove (seku se u centru O sfere, a to je srediπte obe duæi). One su dijagonale Ëetvorougla ACBD, koji, prema tome, ima svojstvo da su mu dijagonale jednake duæine i meusobno se polove. U πestom razredu smo nauËili da je takav Ëetvorougao pravougaonik. Neka je to trougao ABC i neka je S centar u wega upisane kruænice (slika). TaËka S je R=

3. 4.

S druge strane je visina trougla ABC jednaka 36 cm (h2 =( 392 ‡ C 152) cm2 = 1296 cm2), i wegova je povrπina P=

1 $ 30 $ 36 cm 2 = 540 cm 2 . 2 Iz jednakosti 540 cm2 = 54 cm · r nalazimo A da je r = 10 cm.

S r B

139

Neka je a simetralna ravan stranice AB i b simetralna ravan stranice BC trougla ABC i neka je p preseËna prava te dve ravni (slika). Sve taËke prave p jednako su udaqene od sva tri temena trougla ABC . Na woj postoje dve taËke, oznaËimo ih sa O1 i O2 koje su na rastojawu 10 cm od temena A, pa i od temena B i C. Dakle, temena datog trougla su na rastojawu 10 cm od taËke O1 i na rastojawu 10 cm od taËke O2. Sfere S1(O1, 10 cm) i S2(O2, 10 cm) su traæene sfere. ©ta se mewa i da li postoje takve sfere ako je wi-

hov polupreËnik: a) 5 cm; b) 25 cm? A ako je 10 polupreËnik 3 cm? 3 B O2 β

A C

11.2.

25 2 - 7 2 cm = 576 cm = 24cm , P = 242r cm2 = 576r cm2 .

65 cm 39 cm

α1 α2

α 25 cm

r O

R = 25 cm, 2Rr = 2 · 2rr, r = 12,5 cm; R2 ‡ r2 = 25 d2, d = 3 cm. 22 2 d 1 = ^65 - 60 2h cm 2 = 625cm 2 , d1 = 25 cm; d22 = (652 ‡ 392) cm2 = 2704 cm2, d2 = 52 cm. a) Ako se centar lopte ne nalazi izmeu ravni ~1 i ~2 (slika), rastojawe izmeu wih jednako je razlici d2 ‡ d1 = 27 cm;

7 cm

Ako su povrπine preseËnih krugova 144r cm2, wihovi su polupreËnici 12 cm a rastojawa svake od ravni od centra sfere po 9 cm. Izmeu te dve ravni rastojawe je 18 cm (slika).

b) Ako se centar lopte nalazi izmeu tih ravni (slika 40), rastojawe izmeu wih jednako je zbiru d1 + d2 = 77 cm. 39 cm

α1

ω2

140

25 cm 18 cm

9 cm

12 cm

ω1

52 cm

25 cm

R = 15 cm, o = 2Rr = 30r cm, P = R2r cm2 = 225r cm2. Duæina E ekvatora jednaka je obimu velikog kruga, duæina M meridijana jednaka je poluobimu velikog kruga, povrπina PE ekvatorijalnog preseka jednaka je povrπini velikog kruga. Nalazimo, E . 2·6370r km . 40 003,6 km, M . 20 001,8 km, PE . 6 3702r km . 127 411 466 km2. PolupreËnik preseËnog kruga jednak je

52 cm

α2

65 cm

r = 13,44 cm. Traæeni obim preseËnog kruga je o = 2·13,44r cm . 84,4 cm.

M N r O1

10. Neka su to ravni a1 i a2 , pri Ëemu je prva od wih na rastojawu 8 cm a druga na rastojawu 16 cm od centra i neka su r1 i r2 polupreËnici odgovarajuÊih preseËnih krugova (slika). VeÊ nauËenim postupkom izraËunavamo: r12 = (242 ‡ 82) cm2 = 512 cm2, r1 = 16 2 cm; r22 = (242 ‡ 162) cm2 = 320 cm2, r2 = 8 5 cm. a) P1 : P2 = r12r : r22r = 8 : 5; b) o1 : o2 = 2r1r : 2r2r = 2 2 : 5 . α2 r2

α1 r1

16 cm

Ako je d rastojawe od centra Zemqe ravni a, koja seËe povrπ Zemqe po paraleli na kojoj se nalazi Sremska Mitrovica, onda je d = r i r 2 = 6370 km, odakle nalazimo r . 4 550 km. Duæina posmatrane paralele je, pribliæno, 2·4 550 · r km = 28 574 km. Razlika geografskih πirina Stokholma i Beograda je 15°. Zbog toga je, pribliæno, duæina dela „wihovog“meridijana koju treba da preleti avion, oznaËimo je sa d(B,S), jednaka jednoj dvanaestini duæini tog meridijana (180° : 15° = 12). U zadatku 2. smo izraËunali da je ta duæina meridijana pribliæno jednaka 20 001,8 km, pa je traæena duæina puta d(B,S) . 1 666,82 km. Posmatrajmo presek te dve lopte bilo kojom ravni koja sadræi wihove centre O1 i O2 . Ona seËe svaku od lopti po wenom velikom krugu i odgovarajuÊe sfere po velikim kruænicama k1(O1, 25 cm) i k2(O2, 14 cm). Neka je M jedna od preseËnih taËaka tih dveju kruænica (slika). PolupreËnik r preseËnog kruga datih lopti jednak je visini iz temena M jednakokrakog trougla O1O2M, Ëija osnovica O2M ima duæinu 14 cm a kraci O1O2 i O1M imaju duæinu 25 cm. IzraËunajmo prvo visinu O1N tog trougla. Imamo da je O1N2 = (252 ‡ 72) cm2 = 576 cm2, pa je O1N = 24 cm. Povrπina P posmatranog 1 trougla je, s jedne strane, jednaka P = ·14 · 2 24 cm2 = 168 cm2 a s druge strane je jednaka 1 P= ·25 cm · r = r · 12,5 cm. IzjednaËa2 vawem dobijenih izraza za P nalazimo da je

8 cm

11.3. 1.

a) R = 2 dm, P = 4R2r = 4 · 22r dm2 = 16r dm2, 4 4 32 V = R3r = 23r dm3 = r dm3; 3 3 3 b) R = 7 cm, P = 4 · 72r cm2 = 196r cm2, 4 3 1372 7 r cm3 = r cm3. 3 3 4 a) P = 4R2r = 100r cm2, R = 5 cm, V = R3r 3 500 = r cm3; b) R = 12 cm, V = 2 304r cm3. 3 4 3 a) V = R r = 36r cm3, R = 3 cm, P = 4R2r 3 2 = 36r cm ; b) R = 6 cm, P = 144r cm2.

V= 2

ru = 1 a = 1,5 dm, ro = 1 d = 3

2 dm; 2 2 2 a) Pu = 9r dm2, Po = 18r dm2, Pu : Po = 1 : 2;

b) Vu : Vo = 1 : 2 2 . 1 2 ru = 6 3 cm = 2 3 cm, ro = 6 3 cm = 3 3 4 3 cm. a) Pu : Po = 1 : 4; b) Vu : Vo = 1 : 8. Znamo da je polupreËnik kruga opisanog oko pravouglog trougla jednak polovini duæine wegove hipotenuze. 24 2 + 20 2 cm = 26cm , R = 13 cm, 4 P = 4 · 132r cm2 = 676 cm3, V = · 133r cm3 3 8788 = r cm3. 3 Znamo da je duæina dijagonale kocke duæine ivice a jednaka a 3 . Dijagonala kocke je c=

141

preËnik lopte, pa je polupreËnik lopte R = 6 3 cm , wena povrπina P = 432r cm2 a zapremina V = 864 3 r cm. Duæina dijagonala osnova je ^3 2 h 2 cm = 6 cm ,

te je duæina dijagonala prizme 6 2 + 8 2 cm = 10 cm (slika 43). Odatle nalazimo da je polupreËnik lopte opisane oko prizme R = 5 cm, povrπina te lopte 100r cm2 a wena zapre500 mina r cm3. 3

polupreËnik vaqka rV = 10 cm, visina vaqka HV = 20 cm, polupreËnik osnove kupe rK = 10 cm i visina kupe HK = 20 cm (slika 46). Zapremine posmatrana tri tela su 2 · 2000r cm3, VV = 2 000 r cm3, VL = 3 1 VK = · 2 000r cm3 . Wihov je odnos 3 2 1 VV : VL : VK = 1 : : = 3 : 2 : 1. 3 3

r a√2 a

Duæina stranica tog kvadrata je 20 cm, pa je 2r = H = 20 cm. Onda je polupreËnik lopte, koja je na opisani naËin smeπtena u vaqak (slika), R = 10 cm, wena povrπina P = 400r cm2 4 a wena zapremina V = ·1000 r cm3. 3

12. Rastojawe centra lopte od svake od tih ravni jednako je 3 cm (slika). One seku loptu po dva podudarna kruga polupreËnika r = 9 2 - 3 2 cm = 6 2 cm . Ukupna povrπina U koju treba obojiti jednaka je zbiru povrπine lopte i povrπine Ëetiri kruga polupreËnika 6 2 cm. Dakle, U = (4·92r + 4·(6 2 )2r) cm2 = 612r cm2 . 1 922 cm2. Za to je potrebno oko 58 grama boje. α1

α2

r O r

10. Visina kupe je 20 cm. PreËnik posmatrane lopte je 20 cm a wen polupreËnik R = 10 cm (slika), pa je wena povrπina P = 400r cm2 a 4 wena zapremina V = · 1000 r cm3. 3

H r

11. KoristeÊi se zadacima 9 i 10 uoËavamo da je polupreËnik posmatrane lopte R = 10 cm,

142

13. Zapremina poluloptastog dela (slika) jedna1 4 ka je · 1,23r m3 = 1,152r m3 . 3,62 m3. 2 3 U taj deo se moæe smestiti oko 3 620 litara vode. Preostali deo vode treba da stane u cilindriËni deo rezervoara; wegova je zapremina 1,22r · H m3, gde je H merni broj visine (dubine) cilindriËnog dela rezervoara, meren u metrima, koji treba odrediti. a) (16 000 ‡ 3 620) dm3 = 12 380 dm3 = 12,38 m3, pa traæena dubina H cilindriËnog dela treba da bude, pribliæno, H . 12,38 m3 :4,5216 m2 . 2,74 m;

b) (24 000 ‡ 3620) dm3 = 20 380 dm3 = 20,38 m3, H . 20,38 m3:4,5216 m2 . 4,51 m. 2,4

14. Zavrtaw se sastoji od vaqkastog i poluloptastog dela. Ukupna zapremina je V = V1+V2 2 = (32r · 40 + · 53r) mm3 . 443,33r mm3 . 3 1392 mm3 = 1,392 cm3; m = t · V . 11,6928 g. 15. o = 2Rr = 66 cm, R . 10,577 cm; P . 1405 cm2. 16. V = (7257:7,85) cm3 = 924,458... cm3. Ako je polupreËnik kugle 6 cm, wena je zapremina 904,32 cm3 dok bi za polupreËnik kugle od 6,1 cm, wena zapremina bila 950,29... cm3, pa polupreËnik mora biti veÊi od 6 cm i mawi od 6,1 cm.

143

Квадрати бројева од 1 до 100 n – n2

n – n2

1– 1

26 – 676

51 – 2601

76 – 5776

2– 4

27 – 729

52 – 2704

77 – 5929

3– 9

28 – 784

53 – 2809

78 – 6084

4 – 10

29 – 841

54 – 2916

79 – 6241

5 – 25

30 – 900

55 – 3025

80 – 6400

6 – 36

31 – 961

56 – 3136

81 – 6561

7 – 49

32 – 1024

57 – 3249

82 – 6724

8 – 64

33 – 1089

58 – 3364

83 – 6889

9 – 81

34 – 1156

59 – 3481

84 – 7056

10 – 100

35 – 1225

60 – 3600

85 – 7225

11 – 121

36 – 1296

61 – 3721

86 – 7396

12 – 144

37 – 1369

62 – 3844

87 – 7569

13 – 169

38 – 1444

63 – 3969

88 – 7744

14 – 196

39 – 1521

64 – 4096

89 – 7921

15 – 225

40 – 1600

65 – 4225

90 – 8100

16 – 256

41 – 1681

66 – 4356

91 – 8281

17 – 289

42 – 1764

67 – 4489

92 – 8464

18 – 324

43 – 1849

68 – 4624

93 – 8649

19 – 361

44 – 1936

69 – 4761

94 – 8836

20 – 400

45 – 2025

70 – 4900

95 – 9025

21 – 441

46 – 2116

71 – 5041

96 – 9216

22 – 484

47 – 2209

72 – 5184

97 – 9409

23 – 529

48 – 2304

73 – 5329

98 – 9604

24 – 576

49 – 2401

74 – 5476

99 – 9801

25 – 625

50 – 2500

75 – 5625

100 10000

Vera JockoviÊ, Vladimir MiÊiÊ, –ore Dugoπija, Vojislav AndriÊ: ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE za 8. razred osnovne πkole • Drugo izdawe, 2011. godina • IzdavaË: Zavod za uxbenike, Beograd, ObiliÊev venac 5, www.zavod.co.rs • Likovni urednik: Tijana Rančić • Grafički urednik: Milan Bjelanović • Dizajn i korice: Marija Hajster • Kompjuterska obrada: Aleksandar Savić • Crteži: Marija Karać • Lektor: Duπica Trifunović • Korektor: Ruæica JovanoviÊ • Format: 20,5 × 26,5 cm • Obim: 18 πtamparskih tabaka • Rukopis predat u πtampu aprila 2011. godine • ©tampawe zavrπeno aprila 2011. godine • ©tampa: „GRAFIPROF“, Beograd

144