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第 一 章 迴歸分析概念與相關分析 ............. 1－1 第 二 章 簡單線性迴歸 ................................. 2－1 第 三 章 其他迴歸模型 ................................. 3－1 第 四 章 殘差分析 ......................................... 4－1 第 五 章 多元線性迴歸 ................................. 5－1 第 六 章 矩陣應用 ......................................... 6－1 第 七 章 迴歸模式選擇 ................................. 7－1 第 八 章 邏輯斯迴歸（補充） ..................... 8－1 附 錄 一 最新試題 ......................................... 9－1 附 錄 二 分配表 ........................................... 10－1

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一、線性迴歸的概念 什麼是迴歸： 19 世紀知名遺傳學暨統計學家高爾登（Galton），發現「非 常高的父母所生的孩子，往往會比父母矮些，而非常矮的父 母所生的孩子，則往往比父母高」，他把這個現象稱作「 Regression to the Mean」。他認為假使沒有這個現象的話， 那麼非常高的父母所生的孩子都會比父母高，及非常矮的父 母所生的孩子都會比父母矮，這樣一來經過世代交替最終會 造成兩種身高極端差異的族群。他也找到一個數學方法去測 量 這 樣 的 關 係 ， 並 且 定 義 為 相 關 係 數 （ Coefficient of Correlation），所以迴歸可以找出兩變項的相關性，並且進 一步可以找出因子是否會影響實驗值的結論。 線性迴歸的概念： 兩個變數之間的關係，最基本的關係就是線性關係。連續變 數之間的關係可以是直線的，也可以是非直線的關係，因為 許多問題與經濟現象以一種直線或近似直線的關係就足以掌 握其變動趨勢，如銷售額可利用銷貨額與廣告支出金額的關 係作預測。若我們將因子部分的變數稱為自變數（ Independent Variable），以 X 表示；實驗值部分的變數稱為 依變項（Dependent Variable），以 Y 表示。如此我們就可 以利用迴歸的概念找出自變數與依變數的關係式。 二、變數之間的關聯 從統計學的角度來說，變數的關係並非完全的函數關係。若 我們觀察銷售額與廣告支出金額的關係，每一筆廣告支出有

第一章／迴歸分析概念與相關分析

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其對應的銷售額，將這些數值之對應關係繪成的圖形，稱之 為散布圖（Scatter Diagrams）。統計的直線關係就是要在圖 形內找到一條直線，儘可能的接近觀察的樣本點，用來代替 廣告支出與銷售額之變化情況。由下圖可以看出，由廣告支 出與銷售額之間得到一個統計關係，亦即並非所有的觀察值 均落在一條直線上，因樣本變動影響觀察值與平均值的差異 ，這就是統計關係的意義。

直線和非直線相關： 因為直線關係在許多現象間的關係是很好的表示法，通常使 用它來測量兩變數間變動趨勢的一致性，因此有許多關係相 當密切的變數可以用直線表示，即我們所謂的線性關係。但 是還是有些情況必須用非直線來表示。我們必須在事前觀察 決定使用直線還是非直線，最好的方式可以使用畫圖的方法 配合經驗評估使用那種方式較合適。 相關程度： 相關程度是瞭解變數關係的一種方法，兩種變數之相關程度 很高，代表他們幾乎由同一因素決定，也就是說一種變數變 動時，另一種變數就會跟著改變；當相關低時，其代表他們 之個別差異由相當不同因素決定。

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正相關

負相關

無直線相關

無直線相關

無直線相關

無直線相關

相關程度衡量： 即便我們可以使用散布圖觀察兩變數之間的相關性，但還是 無法藉由圖形的資訊來量化相關程度。所以用來描述自變項 與依變項之間正負變動關係與關連性強弱，可採用相關係數 來衡量之。 ‧屬量資料：屬量資料可利用積差相關係數（又稱皮爾森相 關係數、樣本相關係數）來量化兩變項之間的關聯性。

第一章／迴歸分析概念與相關分析

rX , Y 

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SS XY SS X SS Y n

n

（ Yi − Y）  X i Yi  nX Y 其中 SSXY  （ X i − X） i =1

i =1

n

n

其中 SSXY  （ X i − X）Yi  （ Yi − Y）X i i =1

i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

n

n

n

i =1

i =1

i =1

又 SSX  （ X i − X）2   X i2 − nX 2  （ X i − X）X i 又 SSY  （ Yi − Y）2   Yi2 − nY 2  （ Yi − Y）Yi 等級資料： 斯皮爾曼（Spearman）等級相關係數： 6 d i2 rs  1  n（ n 2 − 1） 其中 di  Xi  Yi，n 樣本數。 肯德爾（Kendall）相關係數： S'  n ，S'為失序量數。 C2 相關係數觀念釐清： 要注意 rX , Y 與統計學隨機變數中所提X , Y 有所不同 ，隨機變數章節是給 f（x , y）求算X , Y，X , Y 稱母 體相關係數；此處 rX , Y 是利用成對資料（Xi , Yi）求 算，稱為樣本相關係數。 公式中 SSXY，SSX，SSY 為通用符號，考場可直接使 用（有時 SSXY 會以 SXY 表示，而 SSX 與 SSY 會以 SXX 、SYY 表示），但隨考題所給資料型式不同，其變化 公式亦要留意。 1  rX , Y  1，rX , Y 愈接近1，表兩變項之間的變 動關係很強；rX , Y 接近 0，則稱兩變項無直線相關（

6 並非獨立），且 rX , Y  0 表兩變項有正向關係，rX , Y  0 則有負向關係。  0.7 |rX , Y| 1，稱高度相關；0.3 |rX , Y| 0.7， 稱中度相關；0 |rX , Y| 0.3，稱低度相關。 這裡的相關指的是直線關係，兩變項間可能會有很強 的直線關係，但不代表之間具有因果關係（即 Y 是

X 所造成的）。例如：臺灣年平均垃圾量與臺灣每年 適婚男女未婚比例為正相關，但不代表更高的垃圾量 是由於大家不結婚所造成的，只是恰好兩者有正相關。 三、相關程度的推論 母體相關係數之檢定： 檢定是否有相關：

H0： 0 抽樣分布為 T* r

n−2 ～t（n  2） 1 − r2

檢定相關係數等於一定值：

H0：0 1 1 + r 1 1 +0 ln − ln 2 1 − r 2 1 −0 * 抽樣分布為 Z  ～Z 1 n −3 檢定兩組相關係數是否相等：

H0：1 2 抽樣分布為 Z*

1 1 + r1 1 1 + r2 ln − ln 2 1 − r1 2 1 − r2 1 1 + n1 − 3 n 2 − 3

斯皮爾曼等級相關係數檢定：

～Z

第一章／迴歸分析概念與相關分析

小樣本：

H0： 0 T* rs

n−2 ～t（n  2） 1 − rS2

大樣本：

H0： 0 Z* r n − 1 ～Z ：較少採用大樣本來作檢定。

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1 下列三個圖中，縱軸與橫軸的變數間的相關係數可以 r1、r2、

r3 表示，其大小關係？



【中山資管】





三圖中之相關度最高，其次，更次，即 r2  r1  r3。

2 假設 X 為讀書所花時間，Y 為考試成績，A、B、C、D 四班 學生讀書時間和成績的散布圖如下。四個班 X-Y 之相關係數 分別為 Ra、Rb、Rc、Rd。

比較其大小，以下何者最有可能？

第一章／迴歸分析概念與相關分析

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 Ra  Rb  Rc  Rd  Rb  Ra  Rc  Rd  Ra  Rb  Rd  Ra  Rc 【國安機統】 資料散布如一直線時，相關程度大，反之則較小。  選。

3 某人有興趣瞭解身高與體重的關係。在收集資料後，他繪製體 重與身高之散布圖並進行兩變數之相關性分析。體重與身高之 散布圖在下圖，兩變數之樣本相關係數是 0.940，因此某人宣 稱「體重」與「身高」有非常強的正相關性。試評論某人之分 析結果並針對下圖說明你會如何分析以期達到最適之模式。

【高考迴歸】 相關係數 r 之大小，並不能直接用來判斷兩變數線性相關的 程度，在上圖中我們可發現大部分資料皆群聚在下方，但有 一個離群值，因此造成 0.94 的高度相關，但若忽略極端值 ，只計算下方資料之 r 時，相關就不會如此高。

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4 請在下面表格中填入適當的相關係數（僅能填入 0.25、0.5、 0.8）： 爸爸與已成年兒子身高之間的相關係數。 丈夫身高與太太身高之間的相關係數。 一個男子其 4 歲時與其 18 歲時身高的相關係數。 【清大科管】  0.8，有遺傳會有高度正相關。  0.5，有一點點正相關，不高是因為無血緣關係，但選配 偶時，會有一點點「高配高，矮配矮」的現象。  0.25，4 歲的小孩，身高並無太大差異，出來之點應在一 直線（X  4）上，所以相關降低。

5 以下是 8 位業務人員的壓力分數（X）和銷售業績（Y）： X

80

50

36

58

72

60

56

68

Y

65

60

35

39

48

44

48

61

請計算出 rX , Y ？

【雲科企管】

  X 2  30104，n  8， X  60   Y 2  20836，  XY  24654， Y  50

rX , Y 

SSXY  XY − nXY   0.626 SSX‧SSY （ X 2 − nX 2） （ Y 2 − nY 2）