010fp711408

第 一 章 基礎數論

1－1

第 二 章 多項式、方程式與不等式

2－1

第 三 章 數列與級數

3－1

第 四 章 指數、對數

4－1

第 五 章 三角函數

5－1

第 六 章 複數

6－1

第 七 章 直線方程式與平面向量

7－1

第 八 章 空間向量與方程組

8－1

第 九 章 矩陣

9－1

第 十 章 二次曲線

10－1

第十一章 微積分

11－1

第十二章 排列組合

12－1

第十三章 機率

13－1

第十四章 基礎統計

14－1

《附錄》 最新試題

15－1

第一章 基礎數論 1－1

第一章

基 礎 數 論 一、數系 實數系 有理數：凡是可以寫成

q ，其中 p, q 為整數且 p, q 互質，p  0，稱為 p

有理數。 無理數：凡是不可寫成

q 者，稱為無理數。 p

正整數 N：1, 2, 3, ……  零：0 整數 Z    負整數： 1,  2,  3, ……  1 2 1 2 2 10 1  有理數 Q 分數： 2 , 3 , 5 , 9 , 7 , 11 , 2 , ……   有限小數：1.23,  2.57, 7.6, ……   實數 R  循環小數： 0.17 , 4.3 , 4.2456   無理數： 3 , 5 , , e, 0.31215312648…… 二、絕對值 |x|表示數線上點 x 與原點間的距離。 a, 當 a  0 若 a, b 為實數，則|a|   a, 當 a  0 a  b, 當 a  b |a  b|  b  a, 當 a  b 三、分數與小數之運算 a 若 a, b 為整數，且 b  0 或 1，則 稱為分數。 b 分數相加減：

a c ad ± bc   b d bd 分數乘除運算：

1－2 警專數學

a c a d ad     b d b c bc 同分母的分數就比較分子，分子越大，其值越大。 同分子的分數就比較分母，分母越大，其值越小。 a a −c a a+c 若 為真分數，a、b、c 為正整數且 b  c，則   。 b b−c b b+c 7 11 15 例如：   。 8 12 16 a a −c a a+c   。 若 為假分數，a、b、c 為正整數且 b  c，則 b b−c b b+c 4 5 6 例如：   。 3 4 5 a 設 為最簡分數，化為小數的判別法： b 分母 b 只含 2 或 5 兩種質因數：可化成有限小數。 其他：無限小數。 四、因數的判別法 含因數 2： 末位是偶數（含因數 4：末兩位為 4 的倍數）。 含因數 3： 所有數字和為 3 的倍數（含因數 9：數字和為 9 的倍數）。 含因數 5： 個位數為 0 或 5。 含因數 11： 奇數位的數字和偶數位的數字和 11 的倍數。 含因數 12： 檢查有無 3 或 4 的倍數。 五、最大公因數、最小公倍數的求法 觀察法。 質因數分解法。 輾轉相除法。

第一章 基礎數論 1－3

Question  1 下列有關數的敘述，何者正確？  2 為有理數

 3i  2i

|1  i||1  i|

 3.12 為有理數

有理數與無理數的乘積必為無理數

【警專 22 期甲組】

 無法比較； 0  2  0 為有理數。

Question  2 下列何者正確？  0.9  1 1  0.16  6 2291  2.315  990

循環小數均為有理數  0.16  0.16 【警專 27 期乙組】

  0.9 

9 16 − 1 1 16  1； 0.16   ； 0.16  9 90 6 99

 2.315  2

315 − 3 2315 − 23  990 990

Question  3 令 a  5 ，b  3 11 ，c  4 21 則三數大小關係為何？ abc

bca

cab

acb 【警專 26 期甲組】

 1

1

1

a  5  5 2 (56) 12 (1252) 12 3

1 3

4

b  11  11 (11 ) 1 4

1 12

c  4 21  21 (213)

1 12

2

(121 )

1 12

所以 a  b  c

1－4 警專數學

Question  4 設 n 為自然數，  21

n n +1  11  ，則 n 之值為： 7 7  22

 23

 24 【警專 31 期甲組】



11  3.3，故 n  3.3  7  23.1，所以 n  23。

Question  5 設 13 + 4 3  a  b，其中 a 為整數，0  b  1，則 a 之值為何？ 1

2

3

4 【警專 30 期乙組】



13 + 4 3  （ 12 + 1）2  12  1  4.xxx

Question  6 設 a 為負數，則|a  2|a||之值為何？ a

 a

 2a

 3a 【警專 20 期甲組】

 |a| a |a  2a|| a| a（因為 a 為負）

Question  7 莒光號列車通過 50 公尺的隧道需 15 秒，若通過 250 公尺隧道需 35 秒，則 此莒光號列車之長度為多少公尺？  50

 75

 100

 125 【警專 20 期甲組】



V

50 + x 250 + x   x  100 15 35

Question  8 重量分別為 2 公兩、10 公兩的 18K 金、12K 金各一塊，融合在一起的金屬

第一章 基礎數論 1－5

是幾 K 金？  13K 金

 12K 金

 15K 金

 16K 金 【警專 20 期甲組】



2

18 12 x  10   12   x  13 24 24 24

Question  9 「若來過，必留痕跡」這句話，在邏輯上與下列何者同義？ 若沒來過，必不留痕跡

若有留痕跡，必曾來過

若無痕跡，必不曾來過

若有留痕跡，必不曾來過 【警專 24 期甲組】



p→q  q→ p

Question  10 若 756  2a  3b  7c  11d，則 a  b  c  d ？ 4

5

6

7 【警專 20 期甲組】



756  22  33  71  110

Question  11 下列哪些數字是 9 的倍數？  1027  1

 1080  1

 320

 345  87321

 123456 【警專 24 期乙組】

  1  1  2 不為 9 的倍數；展開後為 79 個 9  320  910； 1  2  3  4  5  6  21 不為 9 的倍數  345 有 3 的因數，87321 也有 3 個因數。

Question  12 下列何者是 3 的倍數？  7231  251

 2163  7123

 1243  2143

 31999  1

1－6 警專數學

【警專 30 期甲組】   7231 與 251 皆非 3 的倍數； 216 為 3 的倍數，但 712 不是  124 除以 3 餘 1，214 除以 3 餘 1；不為 3 的倍數

Question  13 6666  7777  8888 被 9 除的餘數為何？ 0

1

2

3 【警專 26 期甲組】



6  6  6  6  24 除以 9 餘 6 7  7  7  7  28 除以 9 餘 1 8  8  8  8  32 除以 9 餘 5 所以共餘 11，即餘 2

Question  14 設 a, b, c  N，若 a：b：c  4：3：2，且 a, b, c 的最小公倍數為 120，則

a, b, c 的最大公因數為： 2

4

5

 10 【警專 22 期乙組】

 設 a  4k，b  3k，c  2k

120  12k  k  10

Question  15 設 a, b 都是正整數，且 a  b  176，［a, b］ 330，則 a, b 的最大公因數 為何？  11

 22

 33

 66 【警專 30 期乙組】

 設 a  xm，b  ym

a  b  m(x  y) 176  24  11

第一章 基礎數論 1－7

［a, b］ xym  2  3  5  11 比較兩式得 m  2  11

Question  16 1 2 3 100 ， ， ，……， 這 100 個分數中，有幾個是最簡分數？ 100 100 100 100  36

 40

 44

 48 【警專 24 期甲組】



100  22  52，所以分子不為 2 或 5 的倍數即滿足 100  50  20  10  40

Question  17 設 n 為整數，則使

65 為正整數的所有 n 的總和為： 2n − 5

 52

 54

 56

 58 【警專 26 期乙組】



65 的因式有 1,  5,  13,  65，但此題僅取正值 所以 2n  5  1, 5, 13, 65  n  3, 5, 9, 35

Question  18 「大於 1 的正整數 a 如果找不到不大於 a 的質因數，則 a 就是質數」，下 列何者是質數？  277

 157

 361

 271

 667 【警專 26 期乙組】

  277  16……； 157  12……； 361  19……  667  25……； 271  16……

Question  19 下列敘述何者正確？  911 為質數

 1 為質數

 5 為質數

 333333 之質因數有 5 個

1－8 警專數學

若 n! n (n  1)…… 3  2  1 則 10！之質因數有 4 個 【警專 27 期乙組】   911  30……；質數需大於 1  333333  32  7  11  13  37；質因數有 2, 3, 5, 7 共 4 個

第一章 基礎數論 1－9

設 a, b 為有理數，c, d 為無理數，則下列何者正確？  a  c 為無理數

 c  d 為無理數

 ac 為無理數

 cd 為無理數

下列何者正確？  3  14  4  13 兩個有理數之間必有一整數  15 是實數，也是有理數  a, b 為實數，若 a  b 2  0，則 a  b  0 a  10 + 37 ，則 a 在哪兩個連續整數之間？ 1與2

2與3

3與4

4與5

設 a  2 2  3 ，b  7  2，c  6  5 ，下列何者正確？ abc

abc

bac

acb

 0.34  0.343

 0.34  0.344

下列何者不正確？  0.9  1

 0.232  0.23

下列哪些有理數可化成有限小數？ 41 137   16 15 21  15



7 50



1 512

設 a，b 為整數，若 a  0  b 且 a  b  0，則下列何者正確？ |a||b| 2

a b

|a||b|

|a||b|

 b(a  b) 0

2

設|a||b|，a, b 為實數，則下列哪些正確？ |a| 0 ab

|b| 0

|a| b  0

|b| a  0

1－10 警專數學

若 c  2 ，d  − 2 ，但 c  d  0 為有理數 若 a  0，c  2 ，但 ac  0 為有理數 若 c  3 ，d  3 ，但 cd  3 為有理數 ： 可比較平方後大小關係 ( 3  14 )2  17  2 42 ；( 4  13 )2  17  2 52 所以 3  14  4  13 不一定  15 為無理數 若 a  2，b  − 2 ，則 a  b 2  0 ：  36  37  49  6  37  7 原式 10 + 6  10 + 37  10 + 7  4  10 + 37  5 ： 可比較平方後大小關係

a2 ( 2 2  3 )2  11  2 24 b2 ( 7  2)2  11  2 28 c2 ( 6  5 )2  11  2 30 所以 a2  b2  c2  a  b  c ： 9  0.9   1，其他可以直接展開比較大小。 9 ： 若最簡分數的分母僅含有 2 或 5 的質因式時，可化為有限小數。 ： 若 a  0  b 且 a  b  0，代表 b 的絕對值數字比 a 大。 ： |b|可能等於 0 |a||b|，代表 a 的絕對值數字比 b 大 所以不論 b 是否為負數，|a| b  a, b 未必為正數 ：