第 一 章 基礎數論
1－1
第 二 章 多項式、方程式與不等式
2－1
第 三 章 數列與級數
3－1
第 四 章 指數、對數
4－1
第 五 章 三角函數
5－1
第 六 章 複數
6－1
第 七 章 直線方程式與平面向量
7－1
第 八 章 空間向量與方程組
8－1
第 九 章 矩陣
9－1
第 十 章 二次曲線
10－1
第十一章 微積分
11－1
第十二章 排列組合
12－1
第十三章 機率
13－1
第十四章 基礎統計
14－1
《附錄》 最新試題
15－1
第一章 基礎數論 1－1
第一章
基 礎 數 論 一、數系 實數系 有理數：凡是可以寫成
q ，其中 p, q 為整數且 p, q 互質，p 0，稱為 p
有理數。 無理數：凡是不可寫成
q 者，稱為無理數。 p
正整數 N：1, 2, 3, …… 零：0 整數 Z 負整數： 1, 2, 3, …… 1 2 1 2 2 10 1 有理數 Q 分數： 2 , 3 , 5 , 9 , 7 , 11 , 2 , …… 有限小數：1.23, 2.57, 7.6, …… 實數 R 循環小數： 0.17 , 4.3 , 4.2456 無理數： 3 , 5 , , e, 0.31215312648…… 二、絕對值 |x|表示數線上點 x 與原點間的距離。 a, 當 a 0 若 a, b 為實數，則|a| a, 當 a 0 a b, 當 a b |a b| b a, 當 a b 三、分數與小數之運算 a 若 a, b 為整數，且 b 0 或 1，則 稱為分數。 b 分數相加減：
a c ad ± bc b d bd 分數乘除運算：
1－2 警專數學
a c a d ad b d b c bc 同分母的分數就比較分子，分子越大，其值越大。 同分子的分數就比較分母，分母越大，其值越小。 a a −c a a+c 若 為真分數，a、b、c 為正整數且 b c，則 。 b b−c b b+c 7 11 15 例如： 。 8 12 16 a a −c a a+c 。 若 為假分數，a、b、c 為正整數且 b c，則 b b−c b b+c 4 5 6 例如： 。 3 4 5 a 設 為最簡分數，化為小數的判別法： b 分母 b 只含 2 或 5 兩種質因數：可化成有限小數。 其他：無限小數。 四、因數的判別法 含因數 2： 末位是偶數（含因數 4：末兩位為 4 的倍數）。 含因數 3： 所有數字和為 3 的倍數（含因數 9：數字和為 9 的倍數）。 含因數 5： 個位數為 0 或 5。 含因數 11： 奇數位的數字和偶數位的數字和 11 的倍數。 含因數 12： 檢查有無 3 或 4 的倍數。 五、最大公因數、最小公倍數的求法 觀察法。 質因數分解法。 輾轉相除法。
第一章 基礎數論 1－3
Question 1 下列有關數的敘述，何者正確？ 2 為有理數
3i 2i
|1 i||1 i|
3.12 為有理數
有理數與無理數的乘積必為無理數
【警專 22 期甲組】
無法比較； 0 2 0 為有理數。
Question 2 下列何者正確？ 0.9 1 1 0.16 6 2291 2.315 990
循環小數均為有理數 0.16 0.16 【警專 27 期乙組】
0.9
9 16 − 1 1 16 1； 0.16 ； 0.16 9 90 6 99
2.315 2
315 − 3 2315 − 23 990 990
Question 3 令 a 5 ，b 3 11 ，c 4 21 則三數大小關係為何？ abc
bca
cab
acb 【警專 26 期甲組】
1
1
1
a 5 5 2 (56) 12 (1252) 12 3
1 3
4
b 11 11 (11 ) 1 4
1 12
c 4 21 21 (213)
1 12
2
(121 )
1 12
所以 a b c
1－4 警專數學
Question 4 設 n 為自然數， 21
n n +1 11 ，則 n 之值為： 7 7 22
23
24 【警專 31 期甲組】
11 3.3，故 n 3.3 7 23.1，所以 n 23。
Question 5 設 13 + 4 3 a b，其中 a 為整數，0 b 1，則 a 之值為何？ 1
2
3
4 【警專 30 期乙組】
13 + 4 3 （ 12 + 1）2 12 1 4.xxx
Question 6 設 a 為負數，則|a 2|a||之值為何？ a
a
2a
3a 【警專 20 期甲組】
|a| a |a 2a|| a| a（因為 a 為負）
Question 7 莒光號列車通過 50 公尺的隧道需 15 秒，若通過 250 公尺隧道需 35 秒，則 此莒光號列車之長度為多少公尺？ 50
75
100
125 【警專 20 期甲組】
V
50 + x 250 + x x 100 15 35
Question 8 重量分別為 2 公兩、10 公兩的 18K 金、12K 金各一塊，融合在一起的金屬
第一章 基礎數論 1－5
是幾 K 金？ 13K 金
12K 金
15K 金
16K 金 【警專 20 期甲組】
2
18 12 x 10 12 x 13 24 24 24
Question 9 「若來過，必留痕跡」這句話，在邏輯上與下列何者同義？ 若沒來過，必不留痕跡
若有留痕跡，必曾來過
若無痕跡，必不曾來過
若有留痕跡，必不曾來過 【警專 24 期甲組】
p→q q→ p
Question 10 若 756 2a 3b 7c 11d，則 a b c d ？ 4
5
6
7 【警專 20 期甲組】
756 22 33 71 110
Question 11 下列哪些數字是 9 的倍數？ 1027 1
1080 1
320
345 87321
123456 【警專 24 期乙組】
1 1 2 不為 9 的倍數；展開後為 79 個 9 320 910； 1 2 3 4 5 6 21 不為 9 的倍數 345 有 3 的因數，87321 也有 3 個因數。
Question 12 下列何者是 3 的倍數？ 7231 251
2163 7123
1243 2143
31999 1
1－6 警專數學
【警專 30 期甲組】 7231 與 251 皆非 3 的倍數； 216 為 3 的倍數，但 712 不是 124 除以 3 餘 1，214 除以 3 餘 1；不為 3 的倍數
Question 13 6666 7777 8888 被 9 除的餘數為何？ 0
1
2
3 【警專 26 期甲組】
6 6 6 6 24 除以 9 餘 6 7 7 7 7 28 除以 9 餘 1 8 8 8 8 32 除以 9 餘 5 所以共餘 11，即餘 2
Question 14 設 a, b, c N，若 a：b：c 4：3：2，且 a, b, c 的最小公倍數為 120，則
a, b, c 的最大公因數為： 2
4
5
10 【警專 22 期乙組】
設 a 4k，b 3k，c 2k
120 12k k 10
Question 15 設 a, b 都是正整數，且 a b 176，［a, b］ 330，則 a, b 的最大公因數 為何？ 11
22
33
66 【警專 30 期乙組】
設 a xm，b ym
a b m(x y) 176 24 11
第一章 基礎數論 1－7
［a, b］ xym 2 3 5 11 比較兩式得 m 2 11
Question 16 1 2 3 100 ， ， ，……， 這 100 個分數中，有幾個是最簡分數？ 100 100 100 100 36
40
44
48 【警專 24 期甲組】
100 22 52，所以分子不為 2 或 5 的倍數即滿足 100 50 20 10 40
Question 17 設 n 為整數，則使
65 為正整數的所有 n 的總和為： 2n − 5
52
54
56
58 【警專 26 期乙組】
65 的因式有 1, 5, 13, 65，但此題僅取正值 所以 2n 5 1, 5, 13, 65 n 3, 5, 9, 35
Question 18 「大於 1 的正整數 a 如果找不到不大於 a 的質因數，則 a 就是質數」，下 列何者是質數？ 277
157
361
271
667 【警專 26 期乙組】
277 16……； 157 12……； 361 19…… 667 25……； 271 16……
Question 19 下列敘述何者正確？ 911 為質數
1 為質數
5 為質數
333333 之質因數有 5 個
1－8 警專數學
若 n! n (n 1)…… 3 2 1 則 10！之質因數有 4 個 【警專 27 期乙組】 911 30……；質數需大於 1 333333 32 7 11 13 37；質因數有 2, 3, 5, 7 共 4 個
第一章 基礎數論 1－9
設 a, b 為有理數，c, d 為無理數，則下列何者正確？ a c 為無理數
c d 為無理數
ac 為無理數
cd 為無理數
下列何者正確？ 3 14 4 13 兩個有理數之間必有一整數 15 是實數，也是有理數 a, b 為實數，若 a b 2 0，則 a b 0 a 10 + 37 ，則 a 在哪兩個連續整數之間？ 1與2
2與3
3與4
4與5
設 a 2 2 3 ，b 7 2，c 6 5 ，下列何者正確？ abc
abc
bac
acb
0.34 0.343
0.34 0.344
下列何者不正確？ 0.9 1
0.232 0.23
下列哪些有理數可化成有限小數？ 41 137 16 15 21 15
7 50
1 512
設 a，b 為整數，若 a 0 b 且 a b 0，則下列何者正確？ |a||b| 2
a b
|a||b|
|a||b|
b(a b) 0
2
設|a||b|，a, b 為實數，則下列哪些正確？ |a| 0 ab
|b| 0
|a| b 0
|b| a 0
1－10 警專數學
若 c 2 ，d − 2 ，但 c d 0 為有理數 若 a 0，c 2 ，但 ac 0 為有理數 若 c 3 ，d 3 ，但 cd 3 為有理數 ： 可比較平方後大小關係 ( 3 14 )2 17 2 42 ；( 4 13 )2 17 2 52 所以 3 14 4 13 不一定 15 為無理數 若 a 2，b − 2 ，則 a b 2 0 ： 36 37 49 6 37 7 原式 10 + 6 10 + 37 10 + 7 4 10 + 37 5 ： 可比較平方後大小關係
a2 ( 2 2 3 )2 11 2 24 b2 ( 7 2)2 11 2 28 c2 ( 6 5 )2 11 2 30 所以 a2 b2 c2 a b c ： 9 0.9 1，其他可以直接展開比較大小。 9 ： 若最簡分數的分母僅含有 2 或 5 的質因式時，可化為有限小數。 ： 若 a 0 b 且 a b 0，代表 b 的絕對值數字比 a 大。 ： |b|可能等於 0 |a||b|，代表 a 的絕對值數字比 b 大 所以不論 b 是否為負數，|a| b a, b 未必為正數 ：