AB72

《主 題 一》 敘述統計.................................................... 1－1 《主 題 二》 機率論........................................................ 2－1 《主 題 三》 單變數函數之機率分配............................ 3－1 《主 題 四》 雙變數函數之機率分配............................ 4－1 《主 題 五》 特殊機率分配............................................ 5－1 《主 題 六》 抽樣方法與抽樣分配................................ 6－1 《主 題 七》 估 計........................................................ 7－1 《主 題 八》 假設檢定.................................................... 8－1 《主 題 九》 變異數分析................................................ 9－1 《主 題 十》 迴歸與相關................................................ 10－1 《主題十一》 無母數統計................................................ 11－1 《附 錄》 統計機率分配表........................................ 12－1

主題一 敘述統計

1 －3

1 在一組隨機樣本 17、15、23、7、9、13 中，已得知變異數 33.2，計算 平均數、變異係數（CV），以及全距（range）與四分位距（IQR）各 是多少？（12 分）

【普考】

n

： X 

xi ∑ i =1

 CV 

n



17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13  14 6

33.2 S   0.4116 X 14

 Range  Max  Min  23  7  16 資料由小到大排列：7, 9, 13, 15, 17, 23，n  6

n 6   1.5  Q1  X(2) 9 4 4 3n 18   4.5  Q3  X(5) 17 4 4  IQR  Q3  Q1  17  9  8

2 請回答下列問題： 寫出樣本平均數與樣本變異數的計算公式。（8 分） 寫出母體（population）平均數與母體變異數的定義及計算公式。（8 分） 說明什麼狀況下，會以樣本平均數來替代（估計）母體平均數？（5 分）

【地四】

1－4 n

：樣本平均數 X 

xi ∑ i =1

n n 1 樣本變異數 S2  ［ ∑（x i − x）2 ］ n − 1 i =1

母體平均數為所有資料在數線上的一個平衡的位置，其公式為 N



∑ xi i =1

N

。

母體變異數為離均差平方和再除以總個數，它是所有變異量數中 N 1 最常用且最穩定的一個，其公式為2  ［ ∑（x i −）2 ］。 N i =1 若欲計算母體的母數且須用到母體平均數時，但母體平均數未知，

則可以利用樣本平均數來替代（估計）母體平均數。

3 甲公司品管檢驗員抽驗該公司生產之燈泡 20 盒，得各盒不良品件數 x 的分配如下表所示： X

0

1

2

3

4

5

盒數

1

8

5

3

2

1

試求不良品件數的下列項目：（每小題 5 分，共 25 分） 平均數。 中位數。 眾數。 標準差。 四分位距（Interquartile Range）。

【地四】

K

： X 

mifi ∑ i =1 n



01 1 8  2 5  3 3 4 2  51 2 20

主題一 敘述統計

 Me 

X（10）X（11） 2



1－5

2 2 2 2

 Mo  1（出現最多次） K

 ∑ f i mi2  1  02  8  12  5  22  3  32  2  42  1  52 i =1

 112 標準差 S 

K 1 1 ［∑ f i m i2  nx 2］ ［112 202 2］ 201 n 1 i =1

標準差 S  1.2978

X X n 20 11   5  Q1  （5） （6）  1 4 4 2 2 X X 3 3 33  n   20  15  Q3  （15） （16）  3 4 4 2 2



四分位距 IQR  Q3  Q1  3  1  2

4 某大學統計學系之大一統計學課程，依學生高中時期之數學程度分成甲 、乙兩班，甲班學生 40 人，其統計學期末考試之平均成續為 35 分，標 準差為 5 分；乙班學生 60 人，其平均成績為 80 分，標準差為 4 分。 試問兩班全體學生統計學期末考試之平均成績為多少分？ 甲班學生之考試成績頗不理想，故老師決定每位學生之成績均「乘以

2 後再減 5 分」，試問經調整分數後，該班學生成績之平均數及標準 差分別為何？ 乙班學生中有 1 人夾帶小抄舞弊，其成績為 60 分，經開會決議應以

0 分計算，試問乙班統計學期末考試成績之平均數標及標準差應修正 為多少分？

： x 

35408060  62 4060

【普考】

1－6 設調整後成績為 Y  Y  2X  5  Y  2 X  5  2  35  5  65  SY  2SX  2  5  10  x 

806060  79 60 n

調整前 ∑ X i2  16  60  60  802  384960 i =1 n

調整後 ∑ X i2  384960  602  381360 i =1

 S2 

n 1 1 ［ ∑ X i2  n X 2 ］ ［381360  60  792］ 115 n 60 i =1

 S  115  10.72

5 8 個項目分別為：溫度、性別、智商、體重、距離、所屬學院別、滿意 度分數（1, 2, 3）、教育程度（小學、中學、大學）。 那些項目為衡量尺度（ Measurement Scale ）中的順序尺度（ Ordinal

Scale）？ 那些項目為衡量尺度中的區間尺度（Interval Scale）？ 那些項目為衡量尺度中的比例尺度（Ratio Scale）？

【地四】

：滿意度，教育程度。 溫度，智商。 體重，距離。

6 某連鎖店在甲、乙兩城市各分店之業績如下：（資料自小排到大，省略 中間部分資料） 甲：21 23 23 27……58 60 61 65 65 122

主題一 敘述統計

1 －7

乙：24 24 25 28………………68 69 69 70 72 彙整資料如下： 城市 分店數

業 績 平均數 標準差 全距 中位數 第 1 四分位 第 3 四分位

甲

35

49.8

12.5

101

42

35

53

乙

40

44.3

7.3

48

46

36

58

甲、乙兩城市之業績，何者較差？請述明理由。 甲、乙兩城市之業績，何者較分散？請述明理由。 如乙城市各分店之業績皆加 7，則乙城市業績之平均數、中位數及標 準差分別變化多少？

【關務四】

：此題有離群值，故以中位數代表資料集中的位置。因為中位數不受

離群值的影響。甲的中位數為 42，乙的中位數為 46。所以甲城市 的業績較乙城市差。 此題有離群值，做以四分位差做為資料的分散程度：

Q 3Q1

5335 9 2 2 Q  Q1 5836 乙城市 Q.D  3   11 2 2

甲城市 Q.D 



 乙城市的業績較甲城市分散  Y  X  7 Y X  7  乙城市的平均數為 44.3  7  51.3  Y  X  7  Md 也會加 7  乙城市的中位數為 46  7  53  Y  X  7 Y X  乙城市的標準差為 7.3

7 生產一批貨品其重量（單位為 0.1 公斤）如下莖葉圖所示：

1－8 9 8 7 6 5 4 3

27 148 0234667 123558 8 8

試畫出箱型圖（Box Plot），並判定是否有離群值？

【普考】

：資料由小排列到大為 38 , 58 , 61 , 62 , 63 , 65 , 65 , 68 , 70 , 72 , 73 , 74 ,

76 , 76 , 77 , 81 , 84 , 88 , 92 , 97  n  20

Min  38，Max  97 x +x 20 63 + 65 n   5  Q1  （5） （6）   64（單位為 0.1 公斤） 4 4 2 2 x +x 20 72 + 73 n   10  Q2  （10） （11）   72.5（單位為 0.1 公斤） 2 2 2 2 x +x 3n 60 77 + 81   15  Q3  （15） （16）   79（單位為 0.1 公斤） 4 4 2 2 箱型圖：（單位為 0.1 公斤）

離群值為在（Q1  1.5 IQR , Q3  1.5 IQR）以外 （64  1.5  15 , 79  1.5  15）以外 （41.5 , 101.5）以外  有離群值 38（單位為 0.1 公斤）

8 下列是 10 位學生的身高資料：

主題一 敘述統計

1 －9

172 168 164 170 176 160 154 179 160 166 求中位數。 求四分位距（Inter Quartile Range）。 求第 90 百分位數。

【普考】

：由小到大：（n  10）

154，160，160，164，166，168，170，172，176，179 X（5）X（6） 166168  Me    167 2 2 n 10    2.5  Q1  X(3) 160 4 4 3n 30   7.5  Q3  X(8) 172 4 4  IQR  Q3  Q1  172  160  12 

9n 90  9 10 10 X（9）X（10） 176179  P90    177.5 2 2

9 下列是 5 位學生的身高與體重資料： 身高（x）

172

168

164

170

176

體重（y）

62

54

58

64

62

請問那一個變數的離勢（Dispersion）較大？ ：身高與體重單位不同，利用變異係數判斷變數的離勢 身高（x）：172 , 168 , 164 , 170 , 176 n

x i  172  168 …… 176  850 ∑ i =1 n

x i2  1722  1682 …… 1762  144580 ∑ i =1

【高三】

1－10 n

x 

xi ∑ i =1



n

850  170 5 n

（∑ x i）2 1 n 2 1 8502 x  ［∑ x i − i =1 ］ ［144580 − ］ 4 n i =1 n 5 5  4  CV1  x   0.0235 x 170 體重（y）：62 , 54 , 58 , 64 , 62 n

y i  62  54 …… 62  300 ∑ i =1 n

yi2  622  542 …… 622  18064 ∑ i =1 n

y 

yi ∑ i =1 n



300  60 5 n

（∑ yi）2 1 1 3002 y  ［∑ yi2 − i =1 ］ ［18064 − ］ 3.58 n i =1 n 5 5 y 3.58  CV2    0.0597 y 60 n

 CV1  CV2 體重的離勢比身高大

10 若有一組 80 筆的樣本資料，資料已整理成次數分配表，如下表：（每 小題 5 分，共 25 分） 組 限

30～50

50～70

70～90

90～110

110～130

組次數

5

20

30

40

5

試計算：平均數。標準差。中位數。第 28 個百分位數。第

3 個四分位數。

【普考】

主題一 敘述統計

1－11

組 限

30～50

50～70

70～90

90～110

110～130

組中點

40

60

80

100

120

組次數

5

20

30

40

5

以下累積次數

5

25

55

95

100

：

此題應該共有 100 筆資料而非 80 筆 K

x 

mifi ∑ i =1



40 × 5 + 60 × 20 + 80 × 30 + 100 × 40 + 120 × 5  84 100

n K 1  S2  ［ ∑ f i m i2  nx 2 ］ n − 1 i =1

其中 f i m i2  5  402  20  602  30  802  40  1002  5  1202  744000  S  

1 ［744000 − 100 × 84 2］ 19.6946 100 − 1

N 100   50（個） 2 2  中位數落在 70～90 組

100 N − 25 − Fi −1 Md  a i −1  2  C  70  2  20  86.67 30 fi 第 28 個百分位數落在 70～90 組 28 N − Fi −1 28 − 25 100  P28   C  70   20  72 fi 30

3 3  N   100  75（個） 4 4  Q3 落在 90～110 組

3 N − Fi −1 Q3  a i −1  4 C fi 3 × 100 − 55  90  4  20  100 40

1－12

11 下列資料是某快遞公司在運送 50 個小額包裹費用（單位：元）的次數 分配表如下：（20 分） 組別

組 界

次 數

1

20  X  32

8

2

32  X  44

20

3

44  X  56

12

4

56  X  68

6

5

68  X  80

4

組中點

相對次數

累積相對次數

描繪出相對次數直方圖。 依此計算平均數。 ： 組 別

【關務四】

組 界

次 數

組中點

相對次數

累積相對次數

1

20  X  32

8

26

0.16

0.16

2

32  X  44

20

38

0.40

0.56

3

44  X  56

12

50

0.24

0.80

4

56  X  68

6

62

0.12

0.92

5

68  X  80

4

74

0.08

1.00



K

x 

mifi ∑ i =1 n



26 × 8 + 38 × 20 + 50 × 12 + 62 × 6 + 74 × 4  44.72（元） 50