《主 題 一》 敘述統計.................................................... 1－1 《主 題 二》 機率論........................................................ 2－1 《主 題 三》 單變數函數之機率分配............................ 3－1 《主 題 四》 雙變數函數之機率分配............................ 4－1 《主 題 五》 特殊機率分配............................................ 5－1 《主 題 六》 抽樣方法與抽樣分配................................ 6－1 《主 題 七》 估 計........................................................ 7－1 《主 題 八》 假設檢定.................................................... 8－1 《主 題 九》 變異數分析................................................ 9－1 《主 題 十》 迴歸與相關................................................ 10－1 《主題十一》 無母數統計................................................ 11－1 《附 錄》 統計機率分配表........................................ 12－1
主題一 敘述統計
1 －3
1 在一組隨機樣本 17、15、23、7、9、13 中，已得知變異數 33.2，計算 平均數、變異係數（CV），以及全距（range）與四分位距（IQR）各 是多少？（12 分）
【普考】
n
： X
xi ∑ i =1
CV
n
17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 14 6
33.2 S 0.4116 X 14
Range Max Min 23 7 16 資料由小到大排列：7, 9, 13, 15, 17, 23，n 6
n 6 1.5 Q1 X(2) 9 4 4 3n 18 4.5 Q3 X(5) 17 4 4 IQR Q3 Q1 17 9 8
2 請回答下列問題： 寫出樣本平均數與樣本變異數的計算公式。（8 分） 寫出母體（population）平均數與母體變異數的定義及計算公式。（8 分） 說明什麼狀況下，會以樣本平均數來替代（估計）母體平均數？（5 分）
【地四】
1－4 n
：樣本平均數 X
xi ∑ i =1
n n 1 樣本變異數 S2 ［ ∑（x i − x）2 ］ n − 1 i =1
母體平均數為所有資料在數線上的一個平衡的位置，其公式為 N
∑ xi i =1
N
。
母體變異數為離均差平方和再除以總個數，它是所有變異量數中 N 1 最常用且最穩定的一個，其公式為2 ［ ∑（x i −）2 ］。 N i =1 若欲計算母體的母數且須用到母體平均數時，但母體平均數未知，
則可以利用樣本平均數來替代（估計）母體平均數。
3 甲公司品管檢驗員抽驗該公司生產之燈泡 20 盒，得各盒不良品件數 x 的分配如下表所示： X
0
1
2
3
4
5
盒數
1
8
5
3
2
1
試求不良品件數的下列項目：（每小題 5 分，共 25 分） 平均數。 中位數。 眾數。 標準差。 四分位距（Interquartile Range）。
【地四】
K
： X
mifi ∑ i =1 n
01 1 8 2 5 3 3 4 2 51 2 20
主題一 敘述統計
Me
X（10）X（11） 2
1－5
2 2 2 2
Mo 1（出現最多次） K
∑ f i mi2 1 02 8 12 5 22 3 32 2 42 1 52 i =1
112 標準差 S
K 1 1 ［∑ f i m i2 nx 2］ ［112 202 2］ 201 n 1 i =1
標準差 S 1.2978
X X n 20 11 5 Q1 （5） （6） 1 4 4 2 2 X X 3 3 33 n 20 15 Q3 （15） （16） 3 4 4 2 2
四分位距 IQR Q3 Q1 3 1 2
4 某大學統計學系之大一統計學課程，依學生高中時期之數學程度分成甲 、乙兩班，甲班學生 40 人，其統計學期末考試之平均成續為 35 分，標 準差為 5 分；乙班學生 60 人，其平均成績為 80 分，標準差為 4 分。 試問兩班全體學生統計學期末考試之平均成績為多少分？ 甲班學生之考試成績頗不理想，故老師決定每位學生之成績均「乘以
2 後再減 5 分」，試問經調整分數後，該班學生成績之平均數及標準 差分別為何？ 乙班學生中有 1 人夾帶小抄舞弊，其成績為 60 分，經開會決議應以
0 分計算，試問乙班統計學期末考試成績之平均數標及標準差應修正 為多少分？
： x
35408060 62 4060
【普考】
1－6 設調整後成績為 Y Y 2X 5 Y 2 X 5 2 35 5 65 SY 2SX 2 5 10 x
806060 79 60 n
調整前 ∑ X i2 16 60 60 802 384960 i =1 n
調整後 ∑ X i2 384960 602 381360 i =1
S2
n 1 1 ［ ∑ X i2 n X 2 ］ ［381360 60 792］ 115 n 60 i =1
S 115 10.72
5 8 個項目分別為：溫度、性別、智商、體重、距離、所屬學院別、滿意 度分數（1, 2, 3）、教育程度（小學、中學、大學）。 那些項目為衡量尺度（ Measurement Scale ）中的順序尺度（ Ordinal
Scale）？ 那些項目為衡量尺度中的區間尺度（Interval Scale）？ 那些項目為衡量尺度中的比例尺度（Ratio Scale）？
【地四】
：滿意度，教育程度。 溫度，智商。 體重，距離。
6 某連鎖店在甲、乙兩城市各分店之業績如下：（資料自小排到大，省略 中間部分資料） 甲：21 23 23 27……58 60 61 65 65 122
主題一 敘述統計
1 －7
乙：24 24 25 28………………68 69 69 70 72 彙整資料如下： 城市 分店數
業 績 平均數 標準差 全距 中位數 第 1 四分位 第 3 四分位
甲
35
49.8
12.5
101
42
35
53
乙
40
44.3
7.3
48
46
36
58
甲、乙兩城市之業績，何者較差？請述明理由。 甲、乙兩城市之業績，何者較分散？請述明理由。 如乙城市各分店之業績皆加 7，則乙城市業績之平均數、中位數及標 準差分別變化多少？
【關務四】
：此題有離群值，故以中位數代表資料集中的位置。因為中位數不受
離群值的影響。甲的中位數為 42，乙的中位數為 46。所以甲城市 的業績較乙城市差。 此題有離群值，做以四分位差做為資料的分散程度：
Q 3Q1
5335 9 2 2 Q Q1 5836 乙城市 Q.D 3 11 2 2
甲城市 Q.D
乙城市的業績較甲城市分散 Y X 7 Y X 7 乙城市的平均數為 44.3 7 51.3 Y X 7 Md 也會加 7 乙城市的中位數為 46 7 53 Y X 7 Y X 乙城市的標準差為 7.3
7 生產一批貨品其重量（單位為 0.1 公斤）如下莖葉圖所示：
1－8 9 8 7 6 5 4 3
27 148 0234667 123558 8 8
試畫出箱型圖（Box Plot），並判定是否有離群值？
【普考】
：資料由小排列到大為 38 , 58 , 61 , 62 , 63 , 65 , 65 , 68 , 70 , 72 , 73 , 74 ,
76 , 76 , 77 , 81 , 84 , 88 , 92 , 97 n 20
Min 38，Max 97 x +x 20 63 + 65 n 5 Q1 （5） （6） 64（單位為 0.1 公斤） 4 4 2 2 x +x 20 72 + 73 n 10 Q2 （10） （11） 72.5（單位為 0.1 公斤） 2 2 2 2 x +x 3n 60 77 + 81 15 Q3 （15） （16） 79（單位為 0.1 公斤） 4 4 2 2 箱型圖：（單位為 0.1 公斤）
離群值為在（Q1 1.5 IQR , Q3 1.5 IQR）以外 （64 1.5 15 , 79 1.5 15）以外 （41.5 , 101.5）以外 有離群值 38（單位為 0.1 公斤）
8 下列是 10 位學生的身高資料：
主題一 敘述統計
1 －9
172 168 164 170 176 160 154 179 160 166 求中位數。 求四分位距（Inter Quartile Range）。 求第 90 百分位數。
【普考】
：由小到大：（n 10）
154，160，160，164，166，168，170，172，176，179 X（5）X（6） 166168 Me 167 2 2 n 10 2.5 Q1 X(3) 160 4 4 3n 30 7.5 Q3 X(8) 172 4 4 IQR Q3 Q1 172 160 12
9n 90 9 10 10 X（9）X（10） 176179 P90 177.5 2 2
9 下列是 5 位學生的身高與體重資料： 身高（x）
172
168
164
170
176
體重（y）
62
54
58
64
62
請問那一個變數的離勢（Dispersion）較大？ ：身高與體重單位不同，利用變異係數判斷變數的離勢 身高（x）：172 , 168 , 164 , 170 , 176 n
x i 172 168 …… 176 850 ∑ i =1 n
x i2 1722 1682 …… 1762 144580 ∑ i =1
【高三】
1－10 n
x
xi ∑ i =1
n
850 170 5 n
（∑ x i）2 1 n 2 1 8502 x ［∑ x i − i =1 ］ ［144580 − ］ 4 n i =1 n 5 5 4 CV1 x 0.0235 x 170 體重（y）：62 , 54 , 58 , 64 , 62 n
y i 62 54 …… 62 300 ∑ i =1 n
yi2 622 542 …… 622 18064 ∑ i =1 n
y
yi ∑ i =1 n
300 60 5 n
（∑ yi）2 1 1 3002 y ［∑ yi2 − i =1 ］ ［18064 − ］ 3.58 n i =1 n 5 5 y 3.58 CV2 0.0597 y 60 n
CV1 CV2 體重的離勢比身高大
10 若有一組 80 筆的樣本資料，資料已整理成次數分配表，如下表：（每 小題 5 分，共 25 分） 組 限
30～50
50～70
70～90
90～110
110～130
組次數
5
20
30
40
5
試計算：平均數。標準差。中位數。第 28 個百分位數。第
3 個四分位數。
【普考】
主題一 敘述統計
1－11
組 限
30～50
50～70
70～90
90～110
110～130
組中點
40
60
80
100
120
組次數
5
20
30
40
5
以下累積次數
5
25
55
95
100
：
此題應該共有 100 筆資料而非 80 筆 K
x
mifi ∑ i =1
40 × 5 + 60 × 20 + 80 × 30 + 100 × 40 + 120 × 5 84 100
n K 1 S2 ［ ∑ f i m i2 nx 2 ］ n − 1 i =1
其中 f i m i2 5 402 20 602 30 802 40 1002 5 1202 744000 S
1 ［744000 − 100 × 84 2］ 19.6946 100 − 1
N 100 50（個） 2 2 中位數落在 70～90 組
100 N − 25 − Fi −1 Md a i −1 2 C 70 2 20 86.67 30 fi 第 28 個百分位數落在 70～90 組 28 N − Fi −1 28 − 25 100 P28 C 70 20 72 fi 30
3 3 N 100 75（個） 4 4 Q3 落在 90～110 組
3 N − Fi −1 Q3 a i −1 4 C fi 3 × 100 − 55 90 4 20 100 40
1－12
11 下列資料是某快遞公司在運送 50 個小額包裹費用（單位：元）的次數 分配表如下：（20 分） 組別
組 界
次 數
1
20 X 32
8
2
32 X 44
20
3
44 X 56
12
4
56 X 68
6
5
68 X 80
4
組中點
相對次數
累積相對次數
描繪出相對次數直方圖。 依此計算平均數。 ： 組 別
【關務四】
組 界
次 數
組中點
相對次數
累積相對次數
1
20 X 32
8
26
0.16
0.16
2
32 X 44
20
38
0.40
0.56
3
44 X 56
12
50
0.24
0.80
4
56 X 68
6
62
0.12
0.92
5
68 X 80
4
74
0.08
1.00
K
x
mifi ∑ i =1 n
26 × 8 + 38 × 20 + 50 × 12 + 62 × 6 + 74 × 4 44.72（元） 50