AF09

 1－1 1-1  基本概念

1－3

1-2  分離變數法

1－7

1-3  齊次方程式（homogeneous equation）

1－12

1-4  正合方程式（exact equation）

1－14

1-5  積分因子（integrating factors）

1－18

1-6  一階線性常微分方程式

1－23

1-7  線性化微分方程式

1－28

 2－1 2-1  基本概念

2－3

2-2  二階常係數齊次線性 O.D.E

2－6

2-3  二階常係數非齊次線性 O.D.E

2－10

2-4  二階變係數微分方程式

2－23

 3－1 3-1  高階常係數線性微分方程式

3－3

3-2  高階變係數微分方程式

3－9

 4－1 4-1  基本定義

4－3

4-2  泰勒級數解

4－13

4-3  Frobenius 級數解（指標方程式）

4－18

 5－1 5-1  基本概念

5－3

5-2  基本函數之 Laplace transform

5－6

5-3  Laplace transform 運算法則

5－16

5-4  The inversion of Laplace transform 運算法則

5－30

5-5  摺積定理（convolution theorem）

5－39

5-6  Laplace transform 解微分方程式

5－43

 6－1 6-1  基本概念

6－3

6-2  傅立葉級數（Fourier series）

6－6

6-3  奇函數、偶函數之 Fourier series

6－14

6-4  函數半幅展開

6－22

6-5  複數傅立葉級數（complex Fourier series）

6－26

6-6  傅立葉積分（Fourier integral）

6－28

6-7  傅立葉轉換（Fourier transform）

6－34

6-8  傅立葉轉換定理

6－40

 7－1 7-1  古典機率與條件機率

7－3

7-2  單變數函數之機率分配

7－11

7-3  雙變數函數之機率分配

7－22

7-4  特殊機率分配

7－37

 8－1 8-1  基本定義及運算

8－3

8-2  行列式（determinant）

8－11

8-3  聯立方程式的解法

8－17

8-4  反矩陣（inverse of matrix）

8－28

8-5  特徵值（eigenvalue）與特徵向量（eigenvector） 8－37 8-6  對角化解常微分聯立方程式

8－63

 9－1 9-1  向量的基本運算

9－3

9-2  向量函數及弧長

9－11

9-3  梯度、散度、旋度

9－20

9-4  線積分

9－32

9-5  格林定理（Green’s theorem）

9－37

9-6  面積分（surface integral）

9－42

 10－1 10-1  基本概念

10－3

10-2  極座標與力美弗定理（De Moivre）

10－4

10-3  複變函數（complex function）

10－11

10-4  複積分

10－19

10-5  複數級數

10－30

10-6  Taylor 級數與 Laurent 級數

10－33

10-7  留數定理（residues theorem）

10－44

 11－1 11-1  基本概念

11－3

11-2  分離變數法（separation of variables）

11－7

11-3  常用的偏微分方程式

 12－1

11－12

 第一章 一階常微分方程式 1－3

1-1  基 本 概 念 一、定義 在一個方程式中，若含有未知的微分項或導函數，則稱此方程式為微分 方程式（differential equation）。 例子：y" 2xy' x2y  100 二、微分方程式的種類 常微分方程式（ordinary differential equation）： 定義：僅包含一個自變項的微分方程式稱為常微分方程式（O.D.E ）。 例子：  y' 2xy' y  sin x (x  y)y" 3y' x2y  5 其中 x 為自變項，y 為因變項。 偏微分方程式（partial differential equation）： 定義：至少包含二個以上自變項的微分方程式稱為偏微分方程式（ P.D.E）。 例子： 2

∂ 2u ∂ 2u  3y  xy  2 ∂x 2 ∂y

x

2 ∂ 2u 2 ∂ u  xy  sin x ∂x 2 ∂x∂y

其中，x , y 為自變項，u 為因變項。 全微分方程式（total differential equation）： 定義：包含多個自變項及每一變項的微分方程式稱為全微分方程式 （T.D.E）。 例子：若 u  f(x , y , z)  df 

∂f ∂f ∂f dy  dz dx  ∂x ∂z ∂y

1－4  其中 x , y , z 為自變項，u 為因變項。 三、階（order）與次（degree） 階： 微分方程式中因變項微分的最高階導數。 次： 微分方程式中因變項微分最高階導數的次數方。 例子： (x  y)dx  2x2dy  2  0 稱為一階一次 O.D.E。  2x(y')2  3y' 4x  0 稱為一階二次 O.D.E。 

∂ 2u ∂ 2u  3 x ∂x 2 ∂y 2 稱為二階一次 P.D.E。

(

∂u ∂u 2 )  x( ) y ∂x ∂y

稱為一階二次 P.D.E。 四、線性（linear）與非線性（nonlinear） 線性： 滿足下列二個條件： 所有因變項及其各階導數的次數方均為一次。 無因變項及其各階導數的乘積項。 財稱為線性微分方程式。 非線性： 不滿足以上二個條件者稱為非線性微分方程式。

01 Determine the differential equations ～ are linear or nonlinear：

 第一章 一階常微分方程式 1－5 (

dy 2 )  cos x  0 dx

dy  sin y  0 dx dy   x2y dx 

：(



d2y dy (cos x)  ex 2 dx dx

y

dy  2x  0 dx 【高雄大學電機所】

dy 2 )  cos x  0 dx

(y')2  cos x  0  非線性 

d2y dy (cos x)  ex 2 dx dx

 y"(cos x)y' ex  線性 dy   sin y  0  y' sin y  0 dx y3 y5 y7  y'(y    ) 0  非線性 3!

5!

7!  y‧

dy  2x  0 dx

 y‧y' 2x  0  非線性 

dy  x2y dx  y' x2y  0  線性

五、微分方程式解之種類 通解（general solution）： 微分方程式的解中含有未知的常數，此種解稱為通解。 特解（particular solution）： 在通解中利用邊界值條件求出未知的常數，此種解稱為特解。 奇異解（singular solution）： 不能由邊界值條件求出通解中的未知常數，而得到的另一種解稱為奇 異解。

1－6 

02 下列何者不是線性（linear）微分方程式？  x3y' 3x2y 

1 x

 y' 1  y2  ：y' 1  y2，其中 y2 非線性。

 x2y' 2xy  sinh 5x  xy' 2y  x3ex

【高考】

 第一章 一階常微分方程式 1－7

1-2  分 離 變 數 法 一、意義 在一階 O.D.E 中，若 y' u(x , y)可分解 f(x)g(y)，則此微分方程式稱 為變數可分離的方程式。 二、作法

y' u(x , y) f(x)g(y) dy   f(x)g(y) dx dy   f(x)dx g( y) ∫

dy  ∫ f (x ) dx  c g( y)

即可得到通解。

03 求微分方程 y'

4 xy  0，y(0) 1 之解為： y −1

 2x  y  ln|y|1

 x2  y  ln|y|1

 2x2  y  ln|y|1

 x2  y 1

 ：y'

4 xy 4 xy dy 0  dx y −1 y −1

(y  1)dy  4xydx  ∫( 1 

1 )dy  ∫ 4 xdx y

 y  ln|y| 2x2  c，又 y(0) 1  c  1  2x2  y  ln|y|1

【地方】

1－8 

04 解微分方程式 xy' y2  y  2：

1 1   cx −3 3 y −1



1 cx −3 y −1

1  y  1   cx −3 3



1 1  cx −3 3 y −1



 ：xy' y2  y  2  x‧

dy  y2  y  2 dx

1 1  dy  dx （y + 2） （y − 1） x 1 1 1 1  (  )dy  dx 3 y+2 x y −1 1 1 1 (  )dy 3( )dx x y+2 y −1  ∫(

1 1 1 − ）dy 3 ∫ dx x y + 2 y −1

 ln|y  2| ln|y  1|3ln|x| c1  ln|

y+2 | ln|x −3 | c1 y −1

y+2  c2 x −3 y −1 3 1  c2 x −3 y −1 3  1  c2 x −3 y −1 



1 1   cx −3 3 y −1

【高考】

 第一章 一階常微分方程式 1－9

05 求解 3y4  1  12xy3y' 0；y(1) 2，其中 y'

dy 。 dx

【鐵路】

：3y4  1  12xy3y' 0 ∫

1 12 y 3 dy  ∫ − dx 4 x 3y − 1

 ln|3y4  1|ln|x| c1 c  3y4  1  x 又 y(1) 2  c  47  3xy4  x  47

06 Solve the following initial value problems：y' 2exy3，y(0)

1 2

【成大電機所】 ：y' 2ex y3 dy   2ex y3 dx 

1 dy  2ex dx y3

∫

1 dy  ∫ 2e x dx y3

1  2ex  c 2y2 1 又 y(0) 2  2  c  c 4 2 1 1   2  2ex  4  2 4ex  8 2y y 

1－10 

07 Solve：y'sin y  sin x cos y  sin x

【中山電機】

：y'sin y  sin x cos y  sin x  y'sin y  sin x  sin x cos y  sin x(1  cos y) sin y ∫ dy  ∫ sin xdx 1 − cos y  ln(1  cos y)cos x  c1  1  cos y  ce − cos x  cos y  1  ce − cos x

08 Find the general solution for y'(y  x)(y  x  2) 1 ：y'(y  x)(y  x  2) 1 令 u  y  x  du  dy  dx  dy  du  dx 

dy  u(u  2) 1 dx

 dy  u(u  2)dx  dx  du  dx  u(u  2)dx  dx 1  du  dx u( u − 2) 1 1 1  （ − ）du  ∫ dx ∫ 2 u−2 u  ln|u  2| ln|u| 2x  c1 u−2  ln| | 2x  c1 u u−2   c2 e2x u y+x−2   c2 e2x y+x

【交大】

 第一章 一階常微分方程式 1－11

09 求解微分方程式 y' y  y2，其解為： 1  y  1  cex y  y  1  cex x 1 + ce

y

1 1 − ce x

【高考】  ：

dy dy  y  y2   y 2  y  y ( y  1) dx dx 1 1 1  dy  dx  ∫(  )dy  ∫ dx y( y − 1) y −1 y  ln|y  1| ln|y| x  c1

y −1 | x  c1 y y −1   cex y 1  1   cex y 1   1  cex y 1 y 1 − ce x  ln|

 均正確

1－12 

1-3  齊次方程式（homogeneous equation） 一、定義

若 f(x , y)滿足 f(x , y)k f(x , y)，則稱 f(x , y)為 k 次齊次函數。 二、作法 將微分方程式整理成 M(x , y)dx  N(x , y)dy  0 令 y  ux 或 x  uy 代入微分方程式。 利用分離變數法求解。

10 Solve y'

y−x y+x

：令 y  ux  dy  xdu  udx

y−x y+x dy ux − x  = dx ux + x  y'



xdu + udx u −1  dx u +1

x

du u −1 u2 +1   u  dx u +1 u +1

u +1 1 du  dx 2 u +1 x u 1 1 （ ∫ u 2 + 1 + u 2 + 1）du  ∫ x dx 1  ln|u2  1| tan −1 u ln|x| c 2 

y y 1  ln|( )2  1| tan −1 ln|x| c 2 x x

【交大機械所】