1－1 1-1 基本概念
1－3
1-2 分離變數法
1－7
1-3 齊次方程式（homogeneous equation）
1－12
1-4 正合方程式（exact equation）
1－14
1-5 積分因子（integrating factors）
1－18
1-6 一階線性常微分方程式
1－23
1-7 線性化微分方程式
1－28
2－1 2-1 基本概念
2－3
2-2 二階常係數齊次線性 O.D.E
2－6
2-3 二階常係數非齊次線性 O.D.E
2－10
2-4 二階變係數微分方程式
2－23
3－1 3-1 高階常係數線性微分方程式
3－3
3-2 高階變係數微分方程式
3－9
4－1 4-1 基本定義
4－3
4-2 泰勒級數解
4－13
4-3 Frobenius 級數解（指標方程式）
4－18
5－1 5-1 基本概念
5－3
5-2 基本函數之 Laplace transform
5－6
5-3 Laplace transform 運算法則
5－16
5-4 The inversion of Laplace transform 運算法則
5－30
5-5 摺積定理（convolution theorem）
5－39
5-6 Laplace transform 解微分方程式
5－43
6－1 6-1 基本概念
6－3
6-2 傅立葉級數（Fourier series）
6－6
6-3 奇函數、偶函數之 Fourier series
6－14
6-4 函數半幅展開
6－22
6-5 複數傅立葉級數（complex Fourier series）
6－26
6-6 傅立葉積分（Fourier integral）
6－28
6-7 傅立葉轉換（Fourier transform）
6－34
6-8 傅立葉轉換定理
6－40
7－1 7-1 古典機率與條件機率
7－3
7-2 單變數函數之機率分配
7－11
7-3 雙變數函數之機率分配
7－22
7-4 特殊機率分配
7－37
8－1 8-1 基本定義及運算
8－3
8-2 行列式（determinant）
8－11
8-3 聯立方程式的解法
8－17
8-4 反矩陣（inverse of matrix）
8－28
8-5 特徵值（eigenvalue）與特徵向量（eigenvector） 8－37 8-6 對角化解常微分聯立方程式
8－63
9－1 9-1 向量的基本運算
9－3
9-2 向量函數及弧長
9－11
9-3 梯度、散度、旋度
9－20
9-4 線積分
9－32
9-5 格林定理（Green’s theorem）
9－37
9-6 面積分（surface integral）
9－42
10－1 10-1 基本概念
10－3
10-2 極座標與力美弗定理（De Moivre）
10－4
10-3 複變函數（complex function）
10－11
10-4 複積分
10－19
10-5 複數級數
10－30
10-6 Taylor 級數與 Laurent 級數
10－33
10-7 留數定理（residues theorem）
10－44
11－1 11-1 基本概念
11－3
11-2 分離變數法（separation of variables）
11－7
11-3 常用的偏微分方程式
12－1
11－12
第一章 一階常微分方程式 1－3
1-1 基 本 概 念 一、定義 在一個方程式中，若含有未知的微分項或導函數，則稱此方程式為微分 方程式（differential equation）。 例子：y" 2xy' x2y 100 二、微分方程式的種類 常微分方程式（ordinary differential equation）： 定義：僅包含一個自變項的微分方程式稱為常微分方程式（O.D.E ）。 例子： y' 2xy' y sin x (x y)y" 3y' x2y 5 其中 x 為自變項，y 為因變項。 偏微分方程式（partial differential equation）： 定義：至少包含二個以上自變項的微分方程式稱為偏微分方程式（ P.D.E）。 例子： 2
∂ 2u ∂ 2u 3y xy 2 ∂x 2 ∂y
x
2 ∂ 2u 2 ∂ u xy sin x ∂x 2 ∂x∂y
其中，x , y 為自變項，u 為因變項。 全微分方程式（total differential equation）： 定義：包含多個自變項及每一變項的微分方程式稱為全微分方程式 （T.D.E）。 例子：若 u f(x , y , z) df
∂f ∂f ∂f dy dz dx ∂x ∂z ∂y
1－4 其中 x , y , z 為自變項，u 為因變項。 三、階（order）與次（degree） 階： 微分方程式中因變項微分的最高階導數。 次： 微分方程式中因變項微分最高階導數的次數方。 例子： (x y)dx 2x2dy 2 0 稱為一階一次 O.D.E。 2x(y')2 3y' 4x 0 稱為一階二次 O.D.E。
∂ 2u ∂ 2u 3 x ∂x 2 ∂y 2 稱為二階一次 P.D.E。
(
∂u ∂u 2 ) x( ) y ∂x ∂y
稱為一階二次 P.D.E。 四、線性（linear）與非線性（nonlinear） 線性： 滿足下列二個條件： 所有因變項及其各階導數的次數方均為一次。 無因變項及其各階導數的乘積項。 財稱為線性微分方程式。 非線性： 不滿足以上二個條件者稱為非線性微分方程式。
01 Determine the differential equations ～ are linear or nonlinear：
第一章 一階常微分方程式 1－5 (
dy 2 ) cos x 0 dx
dy sin y 0 dx dy x2y dx
：(
d2y dy (cos x) ex 2 dx dx
y
dy 2x 0 dx 【高雄大學電機所】
dy 2 ) cos x 0 dx
(y')2 cos x 0 非線性
d2y dy (cos x) ex 2 dx dx
y"(cos x)y' ex 線性 dy sin y 0 y' sin y 0 dx y3 y5 y7 y'(y ) 0 非線性 3! 5! 7! y‧
dy 2x 0 dx
y‧y' 2x 0 非線性
dy x2y dx y' x2y 0 線性
五、微分方程式解之種類 通解（general solution）： 微分方程式的解中含有未知的常數，此種解稱為通解。 特解（particular solution）： 在通解中利用邊界值條件求出未知的常數，此種解稱為特解。 奇異解（singular solution）： 不能由邊界值條件求出通解中的未知常數，而得到的另一種解稱為奇 異解。
1－6
02 下列何者不是線性（linear）微分方程式？ x3y' 3x2y
1 x
y' 1 y2 ：y' 1 y2，其中 y2 非線性。
x2y' 2xy sinh 5x xy' 2y x3ex
【高考】
第一章 一階常微分方程式 1－7
1-2 分 離 變 數 法 一、意義 在一階 O.D.E 中，若 y' u(x , y)可分解 f(x)g(y)，則此微分方程式稱 為變數可分離的方程式。 二、作法
y' u(x , y) f(x)g(y) dy f(x)g(y) dx dy f(x)dx g( y) ∫
dy ∫ f (x ) dx c g( y)
即可得到通解。
03 求微分方程 y'
4 xy 0，y(0) 1 之解為： y −1
2x y ln|y|1
x2 y ln|y|1
2x2 y ln|y|1
x2 y 1
：y'
4 xy 4 xy dy 0 dx y −1 y −1
(y 1)dy 4xydx ∫( 1
1 )dy ∫ 4 xdx y
y ln|y| 2x2 c，又 y(0) 1 c 1 2x2 y ln|y|1
【地方】
1－8
04 解微分方程式 xy' y2 y 2：
1 1 cx −3 3 y −1
1 cx −3 y −1
1 y 1 cx −3 3
1 1 cx −3 3 y −1
：xy' y2 y 2 x‧
dy y2 y 2 dx
1 1 dy dx （y + 2） （y − 1） x 1 1 1 1 ( )dy dx 3 y+2 x y −1 1 1 1 ( )dy 3( )dx x y+2 y −1 ∫(
1 1 1 − ）dy 3 ∫ dx x y + 2 y −1
ln|y 2| ln|y 1|3ln|x| c1 ln|
y+2 | ln|x −3 | c1 y −1
y+2 c2 x −3 y −1 3 1 c2 x −3 y −1 3 1 c2 x −3 y −1
1 1 cx −3 3 y −1
【高考】
第一章 一階常微分方程式 1－9
05 求解 3y4 1 12xy3y' 0；y(1) 2，其中 y'
dy 。 dx
【鐵路】
：3y4 1 12xy3y' 0 ∫
1 12 y 3 dy ∫ − dx 4 x 3y − 1
ln|3y4 1|ln|x| c1 c 3y4 1 x 又 y(1) 2 c 47 3xy4 x 47
06 Solve the following initial value problems：y' 2exy3，y(0)
1 2
【成大電機所】 ：y' 2ex y3 dy 2ex y3 dx
1 dy 2ex dx y3
∫
1 dy ∫ 2e x dx y3
1 2ex c 2y2 1 又 y(0) 2 2 c c 4 2 1 1 2 2ex 4 2 4ex 8 2y y
1－10
07 Solve：y'sin y sin x cos y sin x
【中山電機】
：y'sin y sin x cos y sin x y'sin y sin x sin x cos y sin x(1 cos y) sin y ∫ dy ∫ sin xdx 1 − cos y ln(1 cos y)cos x c1 1 cos y ce − cos x cos y 1 ce − cos x
08 Find the general solution for y'(y x)(y x 2) 1 ：y'(y x)(y x 2) 1 令 u y x du dy dx dy du dx
dy u(u 2) 1 dx
dy u(u 2)dx dx du dx u(u 2)dx dx 1 du dx u( u − 2) 1 1 1 （ − ）du ∫ dx ∫ 2 u−2 u ln|u 2| ln|u| 2x c1 u−2 ln| | 2x c1 u u−2 c2 e2x u y+x−2 c2 e2x y+x
【交大】
第一章 一階常微分方程式 1－11
09 求解微分方程式 y' y y2，其解為： 1 y 1 cex y y 1 cex x 1 + ce
y
1 1 − ce x
【高考】 ：
dy dy y y2 y 2 y y ( y 1) dx dx 1 1 1 dy dx ∫( )dy ∫ dx y( y − 1) y −1 y ln|y 1| ln|y| x c1
y −1 | x c1 y y −1 cex y 1 1 cex y 1 1 cex y 1 y 1 − ce x ln|
均正確
1－12
1-3 齊次方程式（homogeneous equation） 一、定義
若 f(x , y)滿足 f(x , y)k f(x , y)，則稱 f(x , y)為 k 次齊次函數。 二、作法 將微分方程式整理成 M(x , y)dx N(x , y)dy 0 令 y ux 或 x uy 代入微分方程式。 利用分離變數法求解。
10 Solve y'
y−x y+x
：令 y ux dy xdu udx
y−x y+x dy ux − x = dx ux + x y'
xdu + udx u −1 dx u +1
x
du u −1 u2 +1 u dx u +1 u +1
u +1 1 du dx 2 u +1 x u 1 1 （ ∫ u 2 + 1 + u 2 + 1）du ∫ x dx 1 ln|u2 1| tan −1 u ln|x| c 2
y y 1 ln|( )2 1| tan −1 ln|x| c 2 x x
【交大機械所】