第一篇 教育測驗與統計公式重點整理 ................. 1－1 第二篇 教育統計重點彙總 ..................................... 2－1 第三篇 教育測驗重點彙總 ..................................... 3－1 第四篇 常考計算題題型演練 ................................. 4－1 第五篇 名詞總彙 ..................................................... 5－1
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組中點
1－3
真正上限 + 真正下限 組上界 + 組下界 2 2 n
∑ xi x + x 2 + LL + x n X 1 i =1 n n n 1 X1 + n 2 X 2 合併平均數 X n1 + n 2 n
n
i =1
i =1
∑（x i − x）2 ∑（x i − a）2 （最小平方法） N h Md L （ FL）‧ 2 f
X Mo 3（ X Md）（皮氏經驗法則） Q − Q1 QD Q 3 （四分位差） 2 Max Min S2xa S2x ； Sa2x a2 S2x ；Sax | a | Sx
（∑ X）2 − SS N 2x X （母體） N N N x （ ） ∑ 2 2 2 x − ∑ （x − x） SS x n S ∑ （樣本） n n n
∑（X −）2
∑X
2
1－4
教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………
SSx ∑（x − x）2 離均差平方和 Sx 100% X 多組變異數（敘述統計─不同群體相同變項）：
變異係數 CV
k
∑ n 〔S i
S2
2 i
+（x i − x）2〕
i =1
k
∑n
i
i =1
S2
n 1〔S12 +（x 1 − x）2 + n 2〔S22 +（x 2 − x）2〕+ LL n 1 + n 2 + LL + n i
和差變異數（分測驗和差變異數）： S（2XY） S2X S2Y 2SXY S2X S2Y 2rXYSXSY ：（X Y）2 X2 Y2 2XY S（2A + B+ C） S2A S2B SC2 2rABSASB 2rACSASC 2rBCSBSC 合併變異數（變異數同質性─獨立樣本 t-test）： Sˆ12 +（n 2 − 1） Sˆ22 （n − 1） S2P 1 ，df n1 n2 2） n1 + n 2 − 2 AD
∑｜X − X｜（平均差） n
偏態係數 SK g1
m3 m2 m2
m3 S3
（g1 0 常態；g1 0 正偏；g1 0 負偏） m4 m 峰態係數 g2 44 3 3 S （m 2）2
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1－5
（g2 0 常態峰；g2 0 高峽峰；g2 0 低闊峰）
百分等級： 100R − 50 R：名次 N f p （P − L） 〔 p 〕+ F h 已分組資料 PR 100 N X − X−X 標準分數 Z S MA IQ 100（比率智商） CA
未分組資料 PR 100
直線轉換（線性轉換）： T 10Z 50（平均數 50、標準差 10） AGCT 20Z 100（平均數 100、標準差 20） BIS 16Z 100（平均數 100、標準差 16） WISC 15Z 100（平均數 100、標準差 15） CEEB SAT GRE 100Z 500（平均數 500、 標準差 100）
非直線轉換（非線性轉換）： Stanine 2Z 5（平均數 5、標準差 2） NCE 21.06Z 50（平均數 50、標準差 21.06） SAS 8Z 50（平均數 50、標準差 8） T 量表 10Z 50（平均數 50、標準差 10） 獨立事件：P(X∩Y) P(X)‧P(Y)
1－6
教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………
相依事件：P(X∩Y) P(X)‧P(Y | ) 二項分配：f(x) C nx p x qnx，E(X) np，V(X) npq 百努里分配：f(x) p x q1x，E(X) p，V(X) pq （b − a）2 1 b+a 均勻分配：f(x) ，E(X) ，V(X) b−a 2 12 1 X − − （ ） 1 常態分配：f(x) e 2 ，E(X)，V(X)2 2 2
r
r
∑Z
X
ZY
n −1
S XY SSXY S X‧S Y SSX SSY
∑ XY − （∑ X）2 ∑ X2 − n
∑ X∑ Y n
（∑ Y）2 − n SS XY 共變數 SXY CXY COV r‧SX‧SY n −1
∑Y
2
離均差交叉乘積和 SSXY CP ∑（X − X） （Y − Y ） 離均差交叉乘積和 SSXY ∑ xy ∑ XY
∑ X∑ Y
n ˆ 原始分數迴歸方程式 Y a bX（最小平方法）（有單
位） 〔b
∑ XY −
∑ X∑ Y
SS S S n XY XY r‧ Y ； 2 2 （ ） X SS S SX ∑ X X ∑ X2 − n
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1－7
a Y b‧ X 〕
〔迴歸係數（斜率）考驗 t
b − ； S Y‧X SS X
a −
截距（常數）考驗 t S Y‧X
（難題較少考）〕
1 X2 + n SS X
標準分數迴歸方程式（無單位） ˆ −Y Y X−X Zˆ Y ‧ZX rZX r‧ SY SX SSt ∑（Y − Y）2 （n 1）‧ S2Y SSY ˆ − Y）2 b2SS r2SS SSreg ∑（Y X Y ˆ ）2 SS SS SSres ∑（Y − Y t reg
決定係數 r 2 R2 疏離係數 1 − r
SSreg SS t
；效果值2
SSb ； SS t
2
∑（Y − Yˆ） 2
估計標準誤 Sy‧x ˆ Z 推估實際值 Y
1−
標準誤X
X n
n−2
2
‧S Y‧X
SSres Sy 1 − r 2 n−2 ˆ Z ‧S YY 1− 2
Y‧X
1－8
教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………
推估母體平均數 X Z
1− 2
‧
X
X Z
1− 2
n
‧
X n
測量標準誤 SEmeas SX 1 − rXX 推估真實分數 Z
1− 2
‧SEmeas t X Z
1− 2
分層隨機抽樣比例抽樣 ni n
‧SEmeas
Ni
∑N
i
機率分配： 期望值 E(X) ∑ Pi X i 變異數 V(X) E（X ）2 E(X2)〔E(X)〕2 2 2 抽樣分配 E( X ) E(X)；2X ( X ) X n 2、t、F 分配之定義公式與實用公式： 抽樣方法 定
義
公
分配
式 實
無
用
公
X − n
X − 2 ∑（ i ） i =1 n
2 分配
F 分配
2 （df）
12 df F 21 2 df 2
（n − 1）Sˆ2 （2df） 2
F
Sˆ1222 Sˆ22 2
1
式
1－9
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t 分配
Z
t（df）
t（n 1）
df
2
X − Sˆ n
假設考驗與區間估計： 母數的區間估計與考驗： 單一母體的估計與考驗： 2 已知……用 Z 分配 n 30……Z（查不到 t(df)時改 2 未知…… 用 Z 分配） n 30……t 2 未知 X t
（1− ；n −1） 2
‧
Sˆ
X t
n
（1− ；n −1） 2
‧
n
大樣本 n 30（無法查到 t 表值） S S XZ ‧ X Z ‧ （1− ） （1− ） n n 2 2 2 已知 X Z
（1− ） 2
‧
X Z
n
兩母體1 2 的估計與考驗：
（1− ） 2
‧
Sˆ
n
1－10
教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………
12 ，22 已知……用 Z 分配 1 2 n1 , n2 30……用 Z 2 2 2 ，2 未知 獨立 1 2 用 t 1 2 2 2 n1 , n2 30…… 抽樣 1 2 用 t' 成對抽樣 未知 r (相依樣本) 已知 r
12 與22 已知
（ X1 X 2 ） Z
‧
（ X1 X 2 ） Z
‧
（1− ） 2
（1− ） 2
12 22 1 2 + n1 n 2
12 n1
+
22 n2
與 未知（ ） 2 1
2 2
2 1
2 2
2
（ X1 X 2 ） t
2
S P SP 1 2 + n1 n 2
‧
（1− , df ） 2
2
（ X1 X 2 ） t
（1− , df ） 2
‧
2
S P SP 2 （ SP + n1 n 2
（n 1 − 1）Sˆ1 +（n 2 − 1）Sˆ 2 ，df n1 n2 2） n1 + n 2 − 2 2
2
2
2
1 與22 未知（1 22 ） 2
（ X1 X 2 ） t
‧
（1− , df ） 2
2
S1 S2 + 1 2 n1 n 2
1－11
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2
（ X1 X 2 ） t
（1−
2
‧
, df ） 2
2
S1 S2 + n1 n 2
2
S1 S2 2 + n1 n 2
〔df 〕 2 2 S 2 S 2 1 2 n1 n2 + n1 − 1 n2 −1 相依樣本（r 不知） Sˆ Sˆ D t ‧ D D D t ‧ D （1− , df ） （1− , df ） n n 2 2
（df n 1） 相依樣本（r 已知）
S1 + S2 − 2rS1S2 1 n 2
（ X1 X 2 ）t
‧
（1− , df ） 2
2
S1 + S2 − 2rS1S2 n 2
2 （ X1 X 2 ） t
‧
（1− , df ） 2
（df n 1）
2
1－12
教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………
12 , 22 已知：Z （x 1 − x 2）−（1－2） 2 2 1 2 + n1 n 2 1 2 （x − x ）−（1－2） n1 , n2 30：Z 1 2 2 2 s1 s 2 2 2 + 1 , 2 未知 n1 n 2 n1 , n2 30： （x 1 − x 2）−（1－2） 獨 ：t 2 2 sP sP + 立 n1 n 2 樣 （F test） 本 （x − x 2）−（1－2） ：t' 1 s12 s 22 + n1 n 2 知 r：t （x 1 − x 2）−（1－2） s12 + s 22 − 2rs1s 2 相依 n 樣本 未知 r：t D −D SD 2
2
1
2
2
2
1
2
n 2
變異數 的區間估計與考驗： 單一母體： 2 （n − 1）Sˆ 2 （未知時）或 2