Ah74

第一篇 教育測驗與統計公式重點整理 ................. 1－1 第二篇 教育統計重點彙總 ..................................... 2－1 第三篇 教育測驗重點彙總 ..................................... 3－1 第四篇 常考計算題題型演練 ................................. 4－1 第五篇 名詞總彙 ..................................................... 5－1

…………………第一篇  教育測驗與統計公式重點整理

組中點

1－3

真正上限 + 真正下限 組上界 + 組下界  2 2 n

∑ xi x + x 2 + LL + x n X 1  i =1 n n n 1 X1 + n 2 X 2 合併平均數 X  n1 + n 2 n

n

i =1

i =1

 ∑（x i − x）2  ∑（x i − a）2 （最小平方法） N h  Md  L （  FL）‧ 2 f

 X  Mo  3（ X  Md）（皮氏經驗法則） Q − Q1  QD  Q  3 （四分位差） 2  Max  Min  S2xa  S2x ； Sa2x  a2 S2x ；Sax | a | Sx

（∑ X）2 − SS N 2x    X （母體） N N N x （ ） ∑ 2 2 2 x − ∑ （x − x） SS x n S ∑   （樣本） n n n

∑（X −）2

∑X

2

1－4

教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………

SSx  ∑（x − x）2 離均差平方和 Sx  100% X 多組變異數（敘述統計─不同群體相同變項）：

變異係數 CV 

k

∑ n 〔S i

S2 

2 i

+（x i − x）2〕

i =1

k

∑n

i

i =1

S2 

n 1〔S12 +（x 1 − x）2 + n 2〔S22 +（x 2 − x）2〕+ LL n 1 + n 2 + LL + n i

和差變異數（分測驗和差變異數）： S（2XY） S2X  S2Y  2SXY  S2X  S2Y  2rXYSXSY ：（X  Y）2  X2  Y2  2XY S（2A + B+ C）  S2A S2B SC2 2rABSASB  2rACSASC  2rBCSBSC 合併變異數（變異數同質性─獨立樣本 t-test）： Sˆ12 +（n 2 − 1） Sˆ22 （n − 1） S2P  1 ，df  n1  n2  2） n1 + n 2 − 2  AD 

∑｜X − X｜（平均差） n

偏態係數 SK  g1 

m3 m2 m2



m3 S3

（g1  0 常態；g1  0 正偏；g1  0 負偏） m4 m 峰態係數 g2  44  3  3 S （m 2）2

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1－5

（g2  0 常態峰；g2  0 高峽峰；g2  0 低闊峰）

百分等級： 100R − 50 R：名次 N f p （P − L） 〔 p 〕+ F h 已分組資料 PR   100 N X − X−X 標準分數 Z    S MA  IQ   100（比率智商） CA

未分組資料 PR  100 

直線轉換（線性轉換）：  T  10Z  50（平均數 50、標準差 10）  AGCT  20Z  100（平均數 100、標準差 20）  BIS  16Z  100（平均數 100、標準差 16）  WISC  15Z  100（平均數 100、標準差 15）  CEEB  SAT  GRE  100Z  500（平均數 500、 標準差 100）

非直線轉換（非線性轉換）：  Stanine  2Z  5（平均數 5、標準差 2）  NCE  21.06Z  50（平均數 50、標準差 21.06）  SAS  8Z  50（平均數 50、標準差 8）  T 量表 10Z  50（平均數 50、標準差 10） 獨立事件：P(X∩Y) P(X)‧P(Y)

1－6

教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………

相依事件：P(X∩Y) P(X)‧P(Y | ) 二項分配：f(x) C nx p x qnx，E(X) np，V(X) npq 百努里分配：f(x) p x q1x，E(X) p，V(X) pq （b − a）2 1 b+a 均勻分配：f(x) ，E(X) ，V(X) b−a 2 12 1 X − − （ ） 1 常態分配：f(x) e 2  ，E(X)，V(X)2 2 2

r

r

∑Z

X

ZY

n −1



S XY SSXY  S X‧S Y SSX SSY

∑ XY − （∑ X）2 ∑ X2 − n

∑ X∑ Y n

（∑ Y）2 − n SS XY 共變數 SXY  CXY  COV   r‧SX‧SY n −1

∑Y

2

離均差交叉乘積和 SSXY  CP  ∑（X − X） （Y − Y ） 離均差交叉乘積和 SSXY  ∑ xy  ∑ XY 

∑ X∑ Y

n ˆ 原始分數迴歸方程式 Y  a  bX（最小平方法）（有單

位） 〔b 

∑ XY −

∑ X∑ Y

SS S S n  XY  XY  r‧ Y ； 2 2 （ ） X SS S SX ∑ X X ∑ X2 − n

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1－7

a  Y  b‧ X 〕

〔迴歸係數（斜率）考驗 t 

b − ； S Y‧X SS X

a −

截距（常數）考驗 t  S Y‧X

（難題較少考）〕

1 X2 + n SS X

標準分數迴歸方程式（無單位） ˆ −Y Y X−X Zˆ Y ‧ZX  rZX   r‧ SY SX  SSt  ∑（Y − Y）2 （n  1）‧ S2Y  SSY ˆ − Y）2  b2SS  r2SS SSreg  ∑（Y X Y ˆ ）2  SS  SS SSres  ∑（Y − Y t reg

決定係數 r 2  R2  疏離係數 1 − r

SSreg SS t

；效果值2 

SSb ； SS t

2

∑（Y − Yˆ）  2

估計標準誤 Sy‧x  ˆ Z 推估實際值 Y

1−

標準誤X 

X n

n−2

 2

‧S Y‧X

SSres  Sy 1 − r 2 n−2 ˆ  Z ‧S YY  1− 2

Y‧X

1－8

教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………

推估母體平均數 X  Z

 1− 2

‧

X

 X  Z

 1− 2

n

‧

X n

測量標準誤 SEmeas  SX 1 − rXX 推估真實分數 Z

 1− 2

‧SEmeas  t  X  Z

 1− 2

分層隨機抽樣比例抽樣 ni  n 

‧SEmeas

Ni

∑N

i

機率分配： 期望值 E(X) ∑ Pi X i  變異數 V(X) E（X ）2  E(X2)〔E(X)〕2 2 2 抽樣分配 E( X ) E(X)；2X ( X ) X n 2、t、F 分配之定義公式與實用公式： 抽樣方法 定

義

公

分配

式 實

無

用

公

X −   n

X − 2  ∑（ i ）  i =1 n

2 分配

F 分配



2 （df）

12 df F  21 2 df 2

（n − 1）Sˆ2 （2df） 2

F

Sˆ1222 Sˆ22 2

1

式

1－9

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t 分配

Z

t（df）

t（n  1）

 df

2

X − Sˆ n

假設考驗與區間估計： 母數的區間估計與考驗： 單一母體的估計與考驗： 2 已知……用 Z 分配   n  30……Z（查不到 t(df)時改    2  未知……  用 Z 分配）    n  30……t  2 未知  X  t

 （1− ；n −1） 2

‧

Sˆ

 X  t

n

 （1− ；n −1） 2

‧

n

大樣本 n  30（無法查到 t 表值） S S XZ  ‧  X  Z  ‧ （1− ） （1− ） n n 2 2 2 已知  X  Z

 （1− ） 2

‧



 X  Z

n

兩母體1 2 的估計與考驗：

 （1− ） 2

‧

Sˆ

 n

1－10

教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………

12 ，22 已知……用 Z 分配 1 2   n1 , n2  30……用 Z  2 2 2 ，2 未知  獨立 1 2 用 t  1 2   2  2 n1 , n2  30…… 抽樣 1 2 用 t'  成對抽樣 未知 r  (相依樣本) 已知 r

12 與22 已知

（ X1  X 2 ） Z

‧

（ X1  X 2 ） Z

‧

 （1− ） 2

 （1− ） 2

12 22 1 2  + n1 n 2

12 n1

+

22 n2

 與 未知（  ） 2 1

2 2

2 1

2 2

2

（ X1  X 2 ） t

2

S P SP 1 2  + n1 n 2

‧

 （1− , df ） 2

2

（ X1  X 2 ）  t

 （1− , df ） 2

‧

2

S P SP 2 （ SP  + n1 n 2

（n 1 − 1）Sˆ1 +（n 2 − 1）Sˆ 2 ，df  n1  n2  2） n1 + n 2 − 2 2

2

2

2

1 與22 未知（1 22 ） 2

（ X1  X 2 ） t

‧

 （1− , df ） 2

2

S1 S2 + 1 2  n1 n 2

1－11

…………………第一篇  教育測驗與統計公式重點整理

2

（ X1  X 2 ） t

（1−

2



‧

 , df ） 2

2

S1 S2 + n1 n 2

2

S1 S2 2 +  n1 n 2

〔df  〕 2 2 S 2 S 2  1  2 n1 n2 + n1 − 1 n2 −1 相依樣本（r 不知） Sˆ Sˆ D  t  ‧ D  D  D  t  ‧ D （1− , df ） （1− , df ） n n 2 2

（df  n  1） 相依樣本（r 已知）

S1 + S2 − 2rS1S2  1  n 2

（ X1  X 2 ）t

‧

 （1− , df ） 2

2

S1 + S2 − 2rS1S2 n 2

2 （ X1  X 2 ） t

‧

 （1− , df ） 2

（df  n  1）

2

1－12

教育測驗與統計錦囊妙計…………………………………

12 , 22 已知：Z （x 1 − x 2）−（1－2） 2 2  1 2  +  n1 n 2 1 2  （x − x ）−（1－2）  n1 , n2  30：Z  1 2 2  2  s1 s 2  2  2 + 1 , 2 未知  n1 n 2   n1 , n2  30： （x 1 − x 2）−（1－2）  獨    ：t  2 2  sP sP   + 立  n1 n 2   樣   （F  test） 本  （x − x 2）−（1－2）     ：t' 1  s12 s 22 +  n1 n 2    知 r：t （x 1 − x 2）−（1－2）   s12 + s 22 − 2rs1s 2 相依    n 樣本   未知 r：t  D −D SD 2

2

1

2

2

2

1

2

n 2

變異數 的區間估計與考驗： 單一母體： 2 （n − 1）Sˆ 2  （未知時）或 2 