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目 錄 t n e t Con

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第一章 基本理論與應用………………………1-1 1-1 流場性質…………………………………………1-1 1-1-1 密度／1-1 1-1-2 壓力／1-2 1-1-3 溫度／1-3 1-1-4 理想氣體的狀態方程式／1-3 1-1-5 速度／1-6 1-1-6 黏滯性／1-6 1-2 因次分析…………………………………………1-7 1-2-1 基本因次與衍生因次／1-8 1-2-2 白金漢Pi定理／1-8 1-3 流場描述…………………………………………1-13 1-3-1 座標系統／1-13 1-3-2 穩流與非穩流／1-15 1-3-3 流線、徑線及痕線／1-15 1-4 連續方程式………………………………………1-17 1-4-1 流線管的質量守恆律／1-17

1-4-2 連續方程式的微分形式／1-19 1-4-3 流函數／1-20 1-5 動量方程式………………………………………1-23 1-5-1 尤拉方程式／1-23 1-5-2 柏努利方程式／1-24 1-5-3 低速管流／1-27 1-5-4 皮托管／1-32 1-5-5 壓力係數／1-36 1-6 基本熱力學………………………………………1-38 1-7 等熵流動…………………………………………1-41 1-8 能量方程式………………………………………1-44 1-9 音速………………………………………………1-45 1-10 空速測量應用 …………………………………1-48 1-10-1 不可壓縮流／1-48 1-10-2 高次音速可壓縮流／1-49 1-11 勢流理論 ………………………………………1-52 1-11-1 散度與旋度／1-52 1-11-2 無旋流場與速度位勢／1-53 1-11-3 邊界條件／1-55 1-11-4 基本速度位勢函數／1-56

N E W S

1-11-5 無旋轉圓柱流場／1-59 1-11-6 旋轉圓柱流場／1-64

第二章 二維機翼………………………………2-1 2-1 機翼與翼型………………………………………2-1 2-1-1 有限翼與無限翼／2-1 2-1-2 翼型幾何參數／2-2 2-1-3 NACA翼型／2-4 2-2 基本空氣動力參數………………………………2-7 2-2-1 無因次參數／2-7 2-2-2 升力特性／2-10 2-2-3 流動相似性／2-14 2-3 升力原理…………………………………………2-16 2-3-1 壓力分佈與升力／2-16 2-3-2 起始渦漩與升力／2-20 2-3-3 環流理論／2-21 2-4 薄翼理論…………………………………………2-24 2-4-1 對稱翼／2-27 2-4-2 弧形翼／2-32 2-5 高升力裝置………………………………………2-37

第三章 三維機翼………………………………3-1 3-1 三維幾何參數……………………………………3-1 3-2 有限翼展的三維效應……………………………3-4 3-2-1 有限翼展現象／3-4 3-2-2 誘導阻力／3-7 3-2-3 升力係數變化／3-11 3-3 升力線理論………………………………………3-14 3-3-1 三維渦線／3-14 3-3-2 蒲朗多升力線理論／3-16 3-4 機翼設計…………………………………………3-20 3-4-1 翼平面形狀／3-20 3-4-2 機翼扭轉／3-22

第四章 可壓縮流………………………………4-1 4-1 可壓縮流特性……………………………………4-1 4-2 次音速可壓縮性修正……………………………4-4 4-2-1 壓力係數修正／4-4 4-2-2 升力係數修正／4-5 4-3 穿音速流…………………………………………4-7

N E W S

4-3-1 臨界馬赫數／4-7 4-3-2 阻力發散與音障／4-9 4-3-3 馬赫下俯／4-11 4-4 超音速流…………………………………………4-12 4-4-1 馬赫波／4-12 4-4-2 震波與擴散波／4-14 4-4-3 超音速升力與阻力／4-15 4-5 高速機翼設計……………………………………4-19 4-5-1 超臨界翼型／4-20 4-5-2 後掠翼／4-22 4-6 超音速噴嘴………………………………………4-23

第五章 黏性流…………………………………5-1 5-1 邊界層理論………………………………………5-1 5-1-1 平板邊界層／5-4 5-1-2 層流翼型／5-10 5-2 流動分離現象……………………………………5-12 5-2-1 邊界層分離過程／5-12 5-2-2 流動分離與壓阻力／5-14 5-2-3 邊界層狀態之影響／5-16

5-3 物體阻力…………………………………………5-18 5-3-1 流線形體與鈍形體／5-18 5-3-2 飛機阻力的組成／5-20

《附錄》精選試題………………………………6-1 計算題…………………………………………………6-1 申論題…………………………………………………6-8

1－1

第一章

基本理論與應用 1－1

流場性質

在空氣動力學中，最常使用的流場性質是密度（density）、壓力（ pressure）、溫度（temperature）、速度（velocity）及黏滯性（viscosity）。

1-1-1 y密度 單位體積所包含的質量，定義為密度。選取一塊體積 v 的物質，測量出 質量為 m，則此塊物質的平均密度為

=

m v

（1-1）

將選取的體積不斷縮小，逐漸趨近於 0，計算出的密度就是空間中一個 點的密度

 = lim v →0

m v

（1-2）

密度單位以「質量單位／體積單位」來表示。國際單位系統（International

System of Units，簡稱 SI）的密度單位為公斤／立方公尺（kg/m3）。英 制單位系統則使用磅／立方呎（lb/ft3 或 lbm/ft3）。因為「磅」區分為 質量磅（pound mass）及力磅（pound force）兩種含義，所以單位符號 會使用 lbm 及 lbf 來區分。為了便於物理公式的計算，有另一個英制質 量單位 slug（1 slug  32.174 lb）。 與密度定義相反，單位質量所具有的體積，定義為比容積（ specific

volume）

1－2

ν = lim

m→0

v m

與密度互為倒數 1 = ν

（1-3）

（1-4）

1-1-2 y壓力 考慮一個放置在流體中的物體表面，或是盛裝流體的管子或容器的壁面 。流體分子在空間中不斷運動，當碰撞到物體表面時，產生動量變化， 就會在表面上造成垂直的作用力。在單位面積上承受的作用力，定義為 壓力。如果選取一個較大的面積 A，測量出垂直作用力為 F，則此面積 受到的平均壓力為

p=

F A

（1-3）

將面積 A 不斷縮小，逐漸趨近於 0，這樣就可以代表空間中一個點的壓力

F A→0 A

p = lim

（1-4）

壓力不只存在於流體與固體表面之間，流體之間也同樣有壓力作用。 常見的壓力單位很多種。在國際單位系統中，使用牛頓／平方公尺（

N/m2 ）為主要壓力單位，方便在各種原理公式中運用，不需要額外的 單位轉換計算。N/m2 也稱做 Pascal，簡寫為 Pa，以紀念 17 世紀的法國 科學家帕斯卡（Blaise Pascal）。英制單位系統的壓力單位為磅／平方 呎（lb/ft2）。除此之外，在不同領域及日常生活中，也有其他常用的壓 力單位。

1－3

表 1-1 常用壓力單位 單 位 標準大氣壓 磅／平方吋 巴 公斤力／平方公分 托

符 號 atm psi bar kgf/cm2 Torr（mmHg）

換 算 關 係 1 atm  101325 Pa 1 psi  6894.757 Pa 1 bar  100000 Pa 1 kgf/cm2  98000 Pa 1 Torr  1 mmHg  101325/760 Pa

備

註

在氣象上常用 紀念托理切利（ Torricelli）

1-1-3 y溫度 氣體溫度與氣體分子的平均動能有關。就理想氣體而言，分子的平均動 能 EK 正比於溫度 T

EK =

3 k BT 2

（1-5）

上式中的 kB 是波茲曼常數（Boltzmann constant），等於 1.38  10−23J/K。  SI 採用克氏溫標（Kelvin）單位，符號為 K，與攝氏溫標的關係為

K °C  273.15

（1-6）

請注意克氏溫標的符號只有字母 K，沒有「°」記號。絕對溫度等於 0K 或 273.15°C，代表所有的分子內能都為 0 的狀態。以（1-6）式換算 克氏溫標與攝氏溫標時，如果有效位數不包含到小數，也可以只使用

273 作為換算的差值。

1-1-4 y理想氣體的狀態方程式 在一般大氣層中飛行所遇到的空氣，可以視為理想氣體（perfect gas） 。理想氣體的假設為：氣體分子體積為零；除非發生碰撞，氣體分 子之間無交互作用力；氣體分子之間為彈性碰撞。 氣體分子之間的交互作用分成兩種，一是碰撞時產生的接觸力，另一是 由質量及電量產生的非接觸力。非接觸力在近距離時很明顯，但距離增

1－4

大後就快速的減弱。在一般大氣狀況下，空氣分子之間的平均距離很遠 ，至少大於 10 倍分子直徑，非接觸力的作用可以忽略，只有在碰撞時 ，才會有交互作用力產生。因此，在空氣動力學中，通常將空氣視為理 想氣體。 密度、壓力及溫度決定了氣體的狀態（state），其關係稱為狀態方程式 （equation of state）。理想氣體的狀態方程式為

p = RT

（1-7）

其中 R 為氣體常數，是氣體的特定性質，與氣體種類有關。對於一般 空氣而言，R  287 J/kg‧K。根據狀態方程式，只要知道 p、、T 其 中的兩個，就可以計算出第三個。 理想氣體的狀態方程式可以寫成

p =1 RT

（1-8）

以實際的氣體性質代入，等號右側不會剛好等於 1，會有些許偏差，可 以用 Berthelot 方程式來代表

p ap bp =1+ − RT T T3

（1-9）

其中的常數 a 及 b 是氣體的特性常數。可以看出來，當壓力低、溫度高 時，等號右側的第 2、3 項會趨近於 0，使方程式趨近於為理想氣體方 程式。不過，當溫度過高時，例如超過 2500K 以上，氧分子會解離為 原子，空氣變成具有較高的化學活性，就不能再視為理想氣體了。

例題 1-1

在波音 747 客機機翼上某一位置的空氣壓力為 1.10  105 N/m2

，空氣密度為 1.20 kg/m3。在此位置的空氣溫度為何？

1－5

 根據理想氣體的狀態方程式 p = RT ，可計算溫度

T

例題 1-2

p 1.10 × 105   319（K） R 1.20 × 287

壓縮空氣儲存在一個容積為 30 m3 的儲氣槽中，壓力為 30 atm，

溫度維持在 15°C。在此儲氣槽內的空氣總質量為多少 kg？ 101325（Pa）  換算壓力單位為 Pa：p  30（atm） 1（atm） 換算壓力單位為 Pa：p  3.040  106（Pa） 換算溫度單位為 K：T  15  273.15  288.15（K） 儲氣槽內的空氣密度可由理想氣體方程式計算 p 3.040 × 106 = =  36.76（kg/m3） RT 287 × 288.15 儲氣槽容積為 V  30 m3，因此，內部空氣的總質量為

M V  36.76  30  1103（kg）

例題 1-3

在五萬呎高空中測量到溫度為56.5°C，壓力為 11.6 kPa。此

處的空氣比容積為多少？  由理想氣體狀態方程式可知密度 =

v=

例題 1-4

p ，所以比容積為 RT

1 RT 287 ×（− 56.5 + 273.15）  5.36（m3/kg） = = 11.6 × 103  p

在理想氣體條件下，飛機機身上某一點的溫度為10°C，壓力

為 1.7  104 N/m2，請計算該點的空氣密度為何？  由理想氣體狀態方程式可知

【民航特考】

1－6

=

P 1.7 × 104  0.2252（kg/m3） = RT 287 ×（− 10 + 273）

1-1-5 y速度 空氣動力學關注的是移動的流體，所以流體速度是非常重要的性質。 速度是一種向量（ vector），包含速率（ speed）與方向（direction）兩 種性質。日常生活提到的「速度」，通常只是表示某個物體在單位時間 內的移動距離，其實是指「速率」。例如，汽車在高速公路行駛速度為

110 km/h。除非有其他物體或壁面限制，流體在空間中可以往任何方向 流動。所以要描述流體的運動，除了速率，方向也是不可或缺。前述的 密度、壓力及溫度只有量值，是屬於純量（scalar）。 通常在空氣動力學中談到流體速度時，指的是空間中某個位置的流體速 度，其概念和一般剛體運動的速度有些不同。剛體運動速度是明確的指 稱特定質量塊或質點的速度。例如，我們說：「某一輛車子的速度為

80 公里／小時，朝北前進」，這個「速度」是隸屬於這一輛特定「車 子」的速度；若說：「高速公路北上 150 公里處的行車速度為 80 公里 ／小時」，則這個「速度」就是空間位置「150 公里處」的性質，不是 特定「車子」的性質。在空間中某一點位置的流體速度，定義為：經過 這個位置的流體質點所具有的速度。在不同時刻經過這個位置的流體質 點是不同的，我們只是把剛好經過這個位置的流體質點速度，拿來代表 這個空間位置的速度。因為大部分運動中的流體都不容易區分出各個質 點，然後追蹤其速度變化，所以在有關流體運動的描述中，「速度」通 常是指空間的函數，而非質點的速度。

1-1-6 y黏滯性 流體之間有速度差異時，會存在互相牽引的力量，作用的方向平行於速

1－7

度。此種性質稱為黏滯性。水和空氣等流體，黏滯力的大小正比於速度 梯度，即

= μ

∂V ∂y

（1-10）

為黏滯應力，y 是垂直於速度方向的座標，μ 是一個比例常數，稱為 黏度或黏滯係數。空氣在標準海平面條件下的黏滯係數為 μ  1.7894  10−5 kg/m‧s。黏滯係數主要受溫度影響，可使用 Sutherland 定律來 計算，或以簡化的冪次定律（power law）來計算

⎛ T ⎞ μ =（1.716 × 10 −5）⎜ ⎟ ⎝ 273 ⎠

2/3

kg/m‧s

（1-11）

上式僅適用於空氣，不同氣體需使用不同的係數。 由於黏滯性的作用，在物體表面附近會形成速度較低的區間，稱為邊界 層（boundary layer）。在一般飛行器表面的邊界層非常薄，但是對於氣 流變化卻有極大的影響。

自由流

邊界層

圖 1-1 物體表面邊界層內的速度變化

1－2

因次分析

因次（ dimension ）是指物理性質的種類。例如，「長度」是一種因次 ，「質量」是另一種因次。不同因次的量值不可以互相比較，也不能互

1－8

相加減。某些物理量的因次可以從其他因次來建構。例如，「面積」的 因次是「長度」平方，「速度」的因次是「長度／時間」。 單位（unit）是用來描述某種因次量值大小的基本量。例如，「公尺」 是「長度」的單位，「公斤」是「質量」的單位。單位只是參考的量值 ，不是唯一。如公尺、公分、英呎都是長度單位。

1-2-1 y基本因次與衍生因次 對 所 有 考 慮 的 物 理 量 ， 我 們 可 以 只 選 擇 幾 個 基 本 因 次 （ fundamental dimension），再組合出其他的因次。空氣動力學所考慮的物理量，通常 只需要用到 4 個基本因次：質量、長度、溫度及時間，以符號 m、l、θ、 t 來表示。其他物理量的因次可由基本因次組合而得，稱為衍生因次（ derived dimension）。表 1-2 是常用物理量的衍生因次。 表 1-2 常用物理量之衍生因次 物 理 面積 體積 速度 加速度 力

量定 義因 長度平方 l2 長度立方 l3 長度／時間 l t−1 速度／時間 l t−2 質量加速度 m l t−2 （牛頓第二運動定律） 力矩 力長度 m 2 l t−2 壓力 力／面積 m −1 l t−2 能量（功） 力距離（長度） m 2 l t−2 功率 能量／時間 m 2 l t −3

次

1-2-2 y白金漢 Pi 定理 在工程上有許多問題無法利用解析方法來取得答案，或者尚無足夠認知 建構理論。此時就需要借助實驗觀察與測量，來提供解決的方法。透過 實驗，我們可以先觀察出影響結果的重要參數。例如，早期的飛機研究 者根據實驗室或實際飛行取得的資料，知道空氣密度、飛行速度 V、

1－9

機翼面積 S 及飛行攻角會影響升力 L 的大小。寫成函數關係為

L = f（,V ,S ,）

（1-12）

或者全部放在等號同一邊

f（ 1 L ,,V , S ,）= 0

（1-13）

可以透過實驗，每次變更一個參數值，慢慢將各參數對升力的關聯性建 立起來。但是，這樣需要很多次實驗，而且不容易瞭解各參數之間的交 互影響。在沒有建構完整理論之前，可以先藉由因次分析，找出各參數 的影響特性，簡化函數關係。  凡 是 符 合 物 理 定 律 的 方 程 式 ， 必 定 具 有 因 次 齊 一 性 （ dimensional

homogeneity ）。也就是說，方程式中的每一項都具有相同的因次。如 果讓整個方程式除以某些相同因次的參數組合，可以將方程式變成無因 次（dimensionless）形態。例如 1-1-4 節介紹的理想氣體狀態方程式， 方程式（1-7）和（1-8）意義相同，但前者等號兩邊的每一項具有壓力 的因次 M−1LT−2，而後者是無因次形態。白金漢 Pi 定理（Buckingham

Pi theorem）說明了這種無因次化的概念與方法。 假設描述某個物理現象的關係式具有 N 個變數，即

F（ 1 P1 , P2 , P3 ,L , PN）= 0

（1-14）

這些變數的因次都可以使用 K 個基本因次來組成。則這個關係式可以 化為具有（N  K）個無因次變數的方程式

F（ 2 Π1 ,Π 2 ,L , Π N − K）= 0

（1-15）

其中 Π1, Π2,... ΠN  K 是無因次變數，分別是 K  1 個變數的乘積，如下

1－10

Π1 = f（ 1 P1 , P2 ,L , PK , PK +1） Π 2 = f（ 2 P1 , P2 ,L , PK , PK + 2） M

（1-16）

Π N − K = f（ 1 P1 , P2 ,L , PK , PN） 變數 P1, P2,..., PK 是自行選擇的 K 個變數，可以涵蓋這個物理方程式具 有的 K 個基本因次。 以方程式（1-13）為例，共有 5 個變數。各變數的因次為

〔L〕= mlt −2 〔〕= ml − 3 〔V〕= lt −1 〔S〕= l

（1-17）

2

〔〕= 1 在此的中括號〔〕表示其中變數的因次。請注意攻角已是無因次的變 數。包括的基本因次共有 3 個：m、l、t。依據白金漢 Pi 定理，變數有 5 個（N  5），基本因次 3 個（K  3），所以可以找出 5  3  2 個無因次變數。攻角α是其中一個（Π1 ），我們要再找出另外一個 無因次變數Π2。假設 a b c d Π 2 = L V S

（1-18）

因次的關係為 a b c 〔Π 2〕=（mlt −2） （ ml −3） （ lt −1） （ l 2）d

（1-19）

整合各因次的冪次 〔Π 2〕= m a + b l a − 3b + c + 2 d t −2 a − c 因為Π2 是無因次變數，所以各個因次應該都是 0 次方。

（1-20）