Συνοπτικό φυλλάδιο Γεωμετρίας Α - Β Λυκείου

Ευκλείδεια Γεωμετρία

1

Τρίγωνα Κριτήρια ισότητας Τριγώνων Π–Γ–Π

Γ–Π–Γ

Π–Π–Π

Ορθογωνίων τριγώνων Πλευρά ∆ύο ομόλογες και μία προσκείπλευρές ίσες μενη οξεία γωνία

Ισοσκελές τρίγωνο ονομάζεται κάθε τρίγωνο που έχει δύο ίσες πλευρές. Ιδιότητες: Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες Η διχοτόμος της κορυφής του ισοσκελούς τριγώνου ταυτίζεται με την διάμεσο στη βάση του και με το ύψος στη βάση του Αν ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει μία από τις τρεις παραπάνω ιδιότητες τότε έχει και τις άλλες δύο Η διχοτόμος, διάμεσος, ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ίσα τρίγωνα Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος ονομάζεται η ευθεία που: είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος Ιδιότητες: Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος ανήκει στην μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ∆ιχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. Ιδιότητες: Κάθε σημείο της διχοτόμου γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της. Κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας είναι σημείο της διχοτόμου Ίσα τόξα (μικρότερα του ημικυκλίου) ⇕ Ίσες χορδές ⇕ Ίσα αποστήματα

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

2

Συνοπτικοί πίνακες

Ανισοτικές σχέσεις Σε τρίγωνα Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι εσωτερικές γωνίες του τριγώνου.

ˆ και Γˆ > Β ˆ Γ̂εξ > Α εξ

Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα.

ˆ > Γˆ β>γ⇔Β

Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. (Τριγωνική ανισότητα) β−γ <α<β+γ α−γ <β<α+γ α −β < γ <α +β

Αν μία γωνία τρι- Κάθε χορδή κύκλου είναι γώνου είναι ορθή ή μικρότερη ή ίση της διαμέαμβλεία τότε η απέ- τρου Κάθε τρίγωνο έχει ναντι πλευρά είναι μία το πολύ ορθή ή η μεγαλύτερη πλευαμβλεία γωνία ρά του τριγώνου Το άθροισμα δύο Αν ένα τρίγωνο γωνιών κάθε τριγώνου έχει δύο γωνίες ίσες είναι μικρότερο των τότε είναι ισοσκελές Αν ένα τρίγωνο 180° έχει τρεις γωνίες ίσες τότε είναι ισόπλευρο

Αν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου και αντίστροφα.

Κάθετες και πλάγιες Αν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε: το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο αν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα

ΑΒ = ΑΓ ⇔ ΚΒ = ΚΓ

ΑΒ > ΑΚ και ΑΒ < ΑΓ ⇔ ΚΒ < ΚΓ

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

3

Ευθεία Ευθεία και κύκλος Τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου, που άγονται από σημείο εκτός αυτού είναι ίσα μεταξύ τους.

Μία ευθεία και ένας κύκλος έχουν κανένα κοινό σημείο ένα κοινό σημείο (εφαπτομένη κύκλου) δύο κοινά σημεία (τέμνουσα κύκλου)

Αν Ρ είναι ένα εξωτερικό σημείο ενός κύκλου, τότε η διακεντρική του ευθεία: είναι μεσοκάθετος της χορδής του κύκλου με άκρα τα σημεία επαφής διχοτομεί τη γωνία των εφαπτομένων τμημάτων και τη γωνία των ακτινών που καταλήγουν στα σημεία επαφής

Σχετικές θέσεις δύο κύκλων κύκλων Αν δ είναι η διάκεντρος των δύο κύκλων και R, ρ οι ακτίνες τους τότε οι σχετικές θέσεις τους είναι:

δ >R +ρ

Κανένα κοινό σημείο και ο κάθε κύκλος βρίσκεται στο εξωτερικό του άλλου κύκλου

δ<R +ρ

Κανένα κοινό σημείο και ο ένας κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό του άλλου κύκλου

δ = R −ρ

Εφάπτονται εσωτερικά

δ =R +ρ

Εφάπτονται εξωτερικά

R −ρ < δ < R +ρ

Τέμνονται σε δύο σημεία (Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους)

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

4

Συνοπτικοί πίνακες

Παράλληλες ευθείες Κριτήρια παράλληλων ευθειών Αν δύο ευθείες ε1 και ε2 δύο εντός γωνίες ίσες

τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν εναλλάξ δύο εντός, εκτός και δύο εντός και επί τα είναι παράλληλες σε επί τα αυτά μέρη γωνί- αυτά μέρη γωνίες πα- τρίτη ευθεία ε3 ες ίσες ραπληρωματικές

τότε είναι παράλληλες ( ε1 ε 2 )

Ιδιότητες παράλληλων ευθειών Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη τότε σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες τις εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες τις εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές

Τέμνουσα δύο ευθειών Αν δύο ευθείες ε1 και ε2

Αν μία ευθεία είναι κάθετη είναι παράλληλες και μία σε μία από δύο παράλληλες τρίτη ευθεία ε τέμνει την μία τότε είναι κάθετη και στην από αυτές τότε θα τέμνει άλλη. και την άλλη.

Αν δύο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από 180°, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες.

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

5

Γωνίες με πλευρές παράλληλες ∆ύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία αν είναι και δύο οξείες ή αμβλείες τότε είναι ίσες αν μία είναι οξεία και η άλλη είναι αμβλεία τότε είναι παραπληρωματικές

Γωνίες με πλευρές πλευρές κάθετες ∆ύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία αν είναι και δύο οξείες ή αμβλείες τότε είναι ίσες αν μία είναι οξεία και η άλλη είναι αμβλεία τότε είναι παραπληρωματικές

Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου Θεώρημα: Οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου.

Εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου Θεώρημα: Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου.

Άθροισμα γωνιών τριγώνου Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με 180° το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, μία Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: προς μία ίσες τότε έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι παραπληρωματικές Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 60°

ˆ +Β ˆ + Γˆ = 180° Α

Κυρτό ν– ν–γωνο Άθροισμα γωνιών κυρτού ν–γώνου

ˆ +Α ˆ + ... + Α ˆ = ( 2ν − 4 ) ⋅ 90° Α 1 2 ν

Άθροισμα εξωτερικών γωνιών κυρτού ν–γώνου

ˆ +Α ˆ + ... + Α ˆ Α 1,εξ 2,εξ ν,εξ = 360° Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

6

Συνοπτικοί πίνακες

Παραλληλόγραμμο Παραλληλόγραμμο Ορισμός: Ονομάζεται κάθε τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες Ιδιότητες: 1. Απέναντι πλευρές ίσες 2. Απέναντι γωνίες ίσες 3. Οι διαγώνιοι διχοτομούνται

Κριτήρια: 1 ή 2 ή 3 ή 4. Οι δύο απέναντι πλευρές είναι ίσες και παράλληλες

Ορθογώνιο Ορισμός: Κάθε παραλληλόγραμμο που έχει μία ορθή γωνία Ιδιότητες: 1, 2, 3 4: Οι διαγώνιοι είναι ίσες

Κριτήρια: Παραλληλόγραμμο και 5. Οι διαγώνιοι είναι ίσες

Ρόμβος

Ορισμός: Κάθε παραλληλόγραμμο που έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες

Ιδιότητες: 1, 2, 3 5. Οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα 6. Οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνιές του

Κριτήρια: Παραλληλόγραμμο και 6. Οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετε 7. Μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία του

Τετράγωνο Ορισμός: Κάθε παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος

Ιδιότητες: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Κριτήρια: Παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

7

Εφαρμογές παραλληλογράμμων Μέσο και μέσο

 ∆ μέσο ΑΒ Ε μέσο ΑΓ

Αν 

τότε ∆Ε =

ΒΓ 2

Μέσο και παράλληλη στην τρίτη πλευρά  ∆ μέσο ΑΒ  ∆Ε ΒΓ

Αν 

Ε μέσο ΑΓ  τότε  ΒΓ  ∆Ε = 2

Τρεις παράλληλες ευθείες και τέμνουσα με ίσα ευθύγραμμα τμήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν σε μία ευθεία ίσα τμήματα, θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει

∆ιάμεσοι – Βαρύκεντρο Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα

2 του μήκους της αντί3

Ύψη – Ορθόκεντρο Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο

στοιχης διαμέσου

Ορθογώνιο – ∆ιάμεσος στην υπουποτείνουσα

∆ιάμεσος = Μισό απέναντι πλευράς

Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας Αν η διάμεσος ενός τριγώνου είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης πλευράς τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή

Ορθογώνιο (Γωνία 30°) 30°)

Ορθογώνιο (Κάθετη το μισό υπο υποτείνουσας) τείνουσας)

Αν σε ορθογώνιο μία γωνία του ισούται με 30°, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτείνουσας Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο η μία κάθετη πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας τότε η απέναντι γωνία είναι 30° Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

8

Συνοπτικοί πίνακες

Τραπέζια Τραπέζιο Ορισμός: Κάθε κυρτό τετράπλευρο που έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες

∆ιάμεσος τραπεζίου / Μέσα διαγωνίων τραπεζίου 1. Η διάμεσος ΕΖ του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους:

ΕΖ =

ΑΒ + Γ∆ 2

2. Η διάμεσος του τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα Κ και Λ των διαγωνίων του και το τμήμα ΚΛ είναι ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεών του:

ΚΛ =

Γ∆ − ΑΒ 2

Ισοσκελές τραπέζιο Ορισμός: Κάθε τραπέζιο που οι μη παράλληλες πλευρές του είναι ίσες Ιδιότητες: 1. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση είναι ίσες 2. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες

Κριτήρια: 1. Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση είναι ίσες 2. Οι διαγώνιοί του είναι ίσες

Ορθογώνιο τραπέζιο Ορισμός: Κάθε τραπέζιο που έχει δύο ορθές γωνίες

Βασική εφαρμογή Όταν σε μία άσκηση χρειαστεί να φέρουμε βοηθητική ευθεία τότε το πλέον συνηθισμένο είναι να φέρουμε τα ύψη του τραπεζίου από τα δύο άκρα της μικρής βάσης. Το τετράπλευρο που σχηματίζεται είναι ορθογώνιο (άρα και οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες) Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

9

Γωνίες στον κύκλο Εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο

Επίκεντρη γωνία σε κύκλο

Γωνία χορδής και εφαπτομένης

Κάθε γωνία που η κορυφή της Κάθε γωνία που η κορυφή Κάθε γωνία που σχηματίζεται από είναι σημείο του κύκλου και οι της είναι το κέντρο του κύμία χορδή κύκλου και την εφαπλευρές της τέμνουν τον κύκλο κλου πτομένη στο άκρο της χορδής Σχέση εγγεγραμμένης και Σχέση γωνίας χορδής και εφαπτομένης αντίστοιχης επίκεντρης και γωνίας εγγεγραμμένης στη χορδή Το μέτρο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της

Κάθε γωνία χορδής και εφαπτομένης είναι ίση με κάθε εγγεγραμμένη που βαίνει στο τόξο της χορδής

Πορίσματα Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή (Άρα Κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι μικρότερη ή ίση των 90°)

Οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα του ίδιου ή ίσων κύκλων είναι ίσες

Εγγεγραμμένα και εγγράψιμα σχήματα Ένα τετράπλευρο ονομάζεται εγγεγραμμένο σε κύκλο όταν οι κορυφές του είναι σημεία του κύκλου

Ιδιότητες εγγεγραμμένου τετραπλεύρου 1. Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές 2. Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες

Ένα τετράπλευρο ονομάζεται εγγράψιμο όταν μπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του Κριτήρια εγγράψιμου τετραπλεύρου 1. ∆ύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές 2. Μία πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες 3. Μία εξωτερική του γωνία είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία του τετραπλεύρου

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

10

Συνοπτικοί πίνακες

Αναλογίες Αναλογίες Αναλογία ονομάζεται η ισότητα δύο ή περισσότερων λόγων. Συγκεκριμένα αναλογία με όρους τους αριθμούς α, β, γ, δ ονομάζεται κάθε ισότητα της μορφής

α γ = . β δ

Με την προϋπόθεση ότι όλες οι ακόλουθες παραστάσεις έχουν νόημα ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: α γ α β α γ = ⇔ αδ = βγ β) = ⇔ = α) β δ β δ γ δ γ)

α γ α ±β γ±δ = ⇔ = β δ β δ

δ)

γ α γ α = ⇔ = β δ α ±β γ±δ

ε)

α γ κ α + γ + ... + κ = = ... = = β δ λ β + δ + ... + λ

∆ιαίρεση τμημάτων εσωτερικά και εξωτερικά ∆ιαίρεση τμήματος εσωτερικά ως προς δοσμένο λό λόγο Το σημείο Μ διαιρεί εσωτερικά το ευθύγραμμο τμήΜΑ =λ μα ΑΒ σε λόγο λ, αν και μόνο αν, ΜΒ λ 1 Ισχύει: ΜΑ = ΑΒ και ΜΒ = ΑΒ λ +1 λ +1

∆ιαίρεση τμήματος εξωτερικά ως προς δοσμένο λό λόγο Το σημείο Μ διαιρεί εξωτερικά το ευθύγραμμο τμήμα ΜΑ ΑΒ σε λόγο λ, αν και μόνο αν, =λ ΜΒ λ 1 Ισχύει: ΜΑ = ΑΒ και ΜΒ = ΑΒ λ −1 λ −1

Θεώρημα Θαλή Θεώρημα Θαλή

Αν τρεις παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα.

AB ΒΓ ΑΓ ε1 ε 2 ε3 ⇒ = = ′ ′ ′ ′ Α Β Β Γ Α′Γ ′

Πόρισμα Κάθε ευθεία που είναι παράλληλη σε μία από τις πλευρές ενός τριγώνου χωρίζει τις δύο άλλες πλευρές σε μέρη ανάλογα και αντίστροφα.

∆Ε ΒΓ ⇔

Α∆ ΑΕ = ∆Β ΕΓ

Αντίστροφο θεωρήματος Θαλή Θεωρούμε δύο ευθείες δ1 και δ2 που τέμνουν δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε 2 στα σημεία Α, Α’ και Β, Β’ αντίστοιχα. Αν Γ και Γ’ είναι σημεία των ευθειών δ1 και δ2 αντίστοιχα τέτοια, ώστε AB Α′Β′ = , τότε η ευθεία ΓΓ ′ είναι παράλληλη BΓ Β′Γ ′ προς τις ε1 και ε 2 .

AB Α′Β′ = ⇒ ε1 ε 2 ε3 BΓ Β′Γ ′ Θεώρημα Το τρίγωνο που ορίζεται από τις ευθείες δύο πλευρών τριγώνου και μία παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του, έχει πλευρές ανάλογες προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου.

∆Ε ΒΓ ⇒

Α∆ ΑΕ ∆Ε = = ΑΒ ΑΓ ΒΓ

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

11

Θεωρήματα Θεωρήματα διχοτόμων Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

∆B AB = ∆Γ AΓ

EB AB = EΓ AΓ

Τα ίχνη ∆ και Ε των δύο διχοτόμων είναι σημεία συζυγή αρμονικά ως προς τις κορυφές Β και Γ του τριγώνου ΑΒΓ.

Ομοιότητα Όμοια σχήματα Ορισμός: Ονομάζονται δύο σχήματα, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από τις ομόλογες πλευρές τους ίσες Θεώρημα: Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων ευθύγραμμων σχημάτων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητάς τους

Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων 1. ∆ύο γωνίες ίσες μία προς μία 2. ∆ύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες 3. Όλες τις πλευρές ανάλογες μία προς μία

1. ∆ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια, όταν έχουν μία οξεία τους γωνία ίση 2. Όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια μεταξύ τους 3. ∆ύο ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία έχουν μία αντίστοιχη γωνία ίση, είναι όμοια

Λόγος ομοιότητας Ορισμός: Ονομάζεται ο λόγος των πλευρών των δύο σχημάτων που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες

Ο λόγος ομοιότητας δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο 1. δύο ομόλογων υψών τους 2. δύο ομόλογων διχοτόμων τους 3. δύο ομόλογων διαμέσων τους

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

12

Συνοπτικοί πίνακες

Μετρικές σχέσεις Σε ορθογώνιο τρίγωνο (Πυθαγόρειο θεώρημα)

BΓ 2 = AB 2 + AΓ 2 AB 2 = BΓ ⋅ B∆

A∆2 = B∆ ⋅ Γ∆

AΓ 2 = BΓ ⋅ Γ∆ 1 1 1 + = 2 2 AΓ AB A∆2

Γενίκευση Πυθαγόρειου θεωρήματος

α 2 = β 2 + γ 2 − 2βA∆

α 2 = β2 + γ 2 + 2βA∆

Πόρισμα α > β + γ αν και μόνο αν Α̂ > 90°

▪

Νόμος συνημιτόνων α = β + γ − 2βγσυνA

α = β + γ αν και μόνο αν Α̂ = 90°

▪

β2 = α 2 + γ 2 − 2αγσυνΒ

α 2 < β2 + γ 2 αν και μόνο αν Α̂ < 90°

▪

γ 2 = α 2 + β2 − 2αβσυνΓ

2 2

2 2

2 2

2

2

2

Θεωρήματα διαμέσων

β2 + γ 2 = 2μ α2 +

α2 2

β2 − γ 2 = 2α·M∆

Τέμνουσες κύκλου

PA ⋅ PB = PΓ ⋅ P∆ PE2 = PA ⋅ PB ∆ύναμη σημείου ως προς κύκλο Σχετικές θέσεις σημείου σημείου και κύκλου Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς Έστω ένα σημείο Ρ και ένας κύκλος ( Ο,R ) . Το σημείο Ρ μπορεί να τον κύκλο (Ο,R) συμβολίζεται με είναι: ∆P(O,R) και ισχύει α) Σημείο του κύκλου αν και μόνο αν: ( ΟΡ ) = R ⇔ ∆P(O,R) = 0 ∆P(O,R ) = δ2 − R 2 β) Εσωτερικό σημείο του κύκλου: ΟΡ < R ⇔ ∆P <0

όπου δ είναι η απόσταση ΟΡ.

γ)

( ) (O,R) P Εξωτερικό σημείο του κύκλου: ( ΟΡ ) > R ⇔ ∆ (O,R) > 0

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

13

Εμβαδά Εμβαδό πολυγωνικού χωρίου Ονομάζεται ο θετικός αριθμός λ που προκύπτει αν συγκρίνουμε την επιφάνεια του χωρίου (έστω S) με την επιφάνεια ενός άλλου επίπεδου χωρίου (έστω σ) το οποίο επιλέγουμε ως μονάδα. ( S = λ ⋅ σ ) Για το εμβαδόν δεχόμαστε ότι ισχύουν τα παρακάτω αξιώματα: 1. Ίσα πολυγωνικά χωρία έχουν ίσα εμβαδά 2. Αν ένα πολυγωνικό χωρίο χωρίζεται σε πεπερασμένου πλήθους πολυγωνικά χωρία, που δεν έχουν κοινά εσωτερικά σημεία, τότε το εμβαδόν του είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των επιμέρους πολυγωνικών χωρίων 3. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς 1 είναι ίσο με 1

Τύποι εμβαδών βασικών σχημάτων Τετράγωνο με πλευρά α

Ορθογώνιο με πλευρές α και β

Παραλληλόγραμμο με πλευρές α και β και αντίστοιχα ύψη υα και υβ

Ε = α2

Ε = α ⋅β

Ε = α ⋅ υ α = β ⋅ υβ

Τραπέζιο με μεγάλη βάση Β, μικρή βάση β και ύψος υ

Ε=

(Β + β) ⋅ υ 2

Εμβαδόν τριγώνου 1 Ε = α ⋅ υα 2

1 Ε = βγημΑ 2 α+β+ γ α, β, γ: πλευρές, ρ: ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου, R: ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου, τ = 2 Ε = τ ( τ − α )( τ − β )( τ − γ )

Ε = τ ⋅ρ

Ε=

αβγ 4R

Νόμος ημιτόνων γ α β = = = 2R ημΑ ημΒ ημΓ

Τύποι εμβαδών σχημάτων σχημάτων Ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά α

Ε=

α2 3 4

Ρόμβος με διαγώνιους δ1 και δ2

Κυρτό τετράπλευρο με ω τη γωνία των διαγωνίων δ1 και δ2

Ε = δ1 ⋅ δ2

1 Ε = δ1 ⋅ δ2 ⋅ ημω 2 Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

14

Συνοπτικοί πίνακες

Εμβαδόν και ομοιότητα Ε υα = Ε′ υα ′

Τρίγωνα με ίσες βάσεις

Αν α = α ′ τότε

Τρίγωνα με ίσα ύψη

Αν υα = υα′ τότε

Ε α = Ε′ α ′

Ε = λ2 Ε′ Ε Αν λ είναι ο λόγος ομοιότητας τότε = λ2 Ε′ ˆ =Α ˆ′ ή Α ˆ +Α ˆ ′ = 180° τότε Ε = β ⋅ γ Αν Α Ε′ β′ ⋅ γ ′

Αν λ είναι ο λόγος ομοιότητας τότε

Όμοια τρίγωνα Όμοια πολύγωνα Τρίγωνα με μία γωνία ίση ή παραπληρωματική

Βασικές εφαρμογές Κάθε διάμεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά τρίγωνα

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε που διέρχεται από μία κορυφή του (έστω Α) και είναι παράλληλη στην απέναντι πλευρά (εδώ ΒΓ). Για κάθε σημείο Μ της ε ισχύει ( ΜΒΓ ) = ( ΑΒΓ )

Ε1 = Ε2

( ΑΒΓ ) = ( ∆ΒΓ )

Μέθοδοι υπολογισμού εμβαδών 1.

2.

3.

4.

Με χρήση τύπων Με πρόσθεση ή αφαίρεση γνωστών εμβαδών Με λόγο ομοιότητας όμοιων σχημάτων Με λόγο γινομένου πλευρών δύο τριγώνων που έχουν μία γωνία ίση ή παραπληρωματικά

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

15

Μέτρηση κύκλου Κανονικά πολύγωνα Ορισμός: Ονομάζεται κάθε πολύγωνο, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. Ιδιότητες 1. ∆ύο κανονικά πολύγωνα με τον ίδιο αριθμό πλευρών είναι όμοια.

2. Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε έναν κύκλο και περιγράφεται σε έναν άλλο. Οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ομόκεντροι.

3. Σε δύο κανονικά ν–γωνα ο λόγος τους ισούται με το λόγο των λ R αν ακτίνων τους και το λόγο των αποστημάτων τους. ν = = λ ν′ R ′ α ν ′

Στοιχεία κανονικών πολυγώνων Κέντρο

O

Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου

Ακτίνα

R

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου

Απόστημα ( αν )

λ ν2 αν + = R2 4 λν 2

Πλευρά

360° ν 360° ων = ν Ρν = ν ⋅ λ ν

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου

φ ν = 180° −

Γωνία Κεντρική γωνία Περίμετρος Εμβαδό

Η γωνία υπό την οποία φαίνεται κάθε πλευρά του πολυγώνου

1 Εν = Ρν α ν 2

Στοιχεία βασικών κανονικών πολυγώνων 3 4

ν λν

R 3 R 2

αν

R 2 R 2 2

6 R R 3 2

Κύκλος / Κυκλικός δίσκος Μήκος κύκλου L = 2πR

Εμβαδό κυκλικού δίσκου Ε = πR 2

Μήκος τόξου πRμ ℓ= = αR 180 Εμβαδό κυκλικού τομέα 2 = πR μ = 1 αR 2 ΟΑΒ 360 2

(

)

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

16

Συνοπτικοί πίνακες

Πίνακας εμβαδού και όγκου στερεών σχημάτων Εμβ. Εμβ. παράπλευρης (EΠ)

Εμβ. Εμβ. ολικό (Ε (Εολ)

Όγκος (V)

2αβ + 2βγ + 2αγ

αβγ

6α 2

α3

2πρυ

2πρυ + 2πρ2

πρ2 υ

Πβ ⋅ υ

Π β ⋅ υ + Εβ

Εβ ⋅ υ

Πλάγιο πρίσμα

Πβ ⋅ υ

Π β ⋅ υ + Εβ

Κάθετη τομή ⋅ ακμή

Πυραμίδα

1 ⋅ Πβ ⋅ λ 2

Ε π + Εβ

1 ⋅ Εβ ⋅ υ 3

Ε π + Εβ + Εβ '

υ ⋅ Eβ + Eβ '+ Eβ ⋅ Eβ '

(παράπλευρο ύψος υ’)

 Πβ Πβ '  +   ⋅ υ' 2   2

Κώνος

πρλ

πρλ + πρ2

Κόλουρος κώνος

πλ ( ρ + ρ′ )

πλ ( ρ + ρ′ ) + π ρ2 + ρ′2

Ορθογώνιο Ορθογώνιο παρα παραλλ αραλληλεπίπ λληλεπίπε ηλεπίπεδο (ακμές α, β, γ) Κύβος (ακμή α) Κύλινδρος (ακτίνα βάσης βάσης ρ, ύψος υ) Πρίσμα (ύψος υ)

(απόστημα βάσης: λ, ύψος υ) Κόλουρη πυραμίδα

(ύψος υ, ακτίνες ρ και ρ’) Σφαίρα Πβ : Περίμετρος βάσης,

)

3

(

4πρ2

(ακτίνα ρ)

(

1 2 πρ υ 3

)

(

πυ 2 ρ + ρ′2 + ρρ′ 3

)

4 3 πρ 3

Εβ : εμβαδό βάσης

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

17

Μεθοδολογία ασκήσεων 1. Ίσα ευθύγραμμα τμήματα

1.1

Αντίστοιχες πλευρές ίσων τριγώνων.

1.2

Πλευρές ισοσκελούς τριγώνου

1.3

Πλευρές ισόπλευρου τριγώνου

1.4

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του

1.5

Κάθε σημείο της διχοτόμου γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της

1.6

Γράφουμε τα τμήματα ως αθροίσματα ή διαφορά ίσων τμημάτων

1.7

Αποστάσεις παράλληλων ευθειών

1.8

Ακτίνες κύκλου

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

18

Μεθοδολογία ασκήσεων

1.9

Εφαπτόμενα τμήματα κύκλου που φέρνουμε από σημείο εκτός αυτού

1.10

Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής πλευράς

1.11

Αν δύο τόξα είναι ίσα τότε και οι αντίστοιχες χορδές είναι ίσες

1.12

Η κάθετος από το κέντρο του κύκλου προς μία χορδή διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο

1.13

∆ύο χορδές είναι ίσες αν και μόνο αν τα αντίστοιχα αποστήματα είναι ίσα

1.14

Απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου

1.15

Απέναντι πλευρές ορθογωνίου

1.16

Απέναντι πλευρές ρόμβου

1.17

Απέναντι πλευρές τετραγώνου

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

19

1.18

Οι διαγώνιες ορθογωνίου

1.19

Οι διαγώνιες παραλληλογράμμου διχοτομούνται

1.20

Οι διαγώνιες ορθογωνίου διχοτομούνται

1.21

Οι διαγώνιες ρόμβου διχοτομούνται

1.22

Οι διαγώνιες τετραγώνου διχοτομούνται

1.23

Οι μη παράλληλες πλευρές ισοσκελούς τραπεζίου

1.24

Οι διαγώνιες ισοσκελούς τραπεζίου

2. Ίσες Ίσες γωνίες 2.1

Αντίστοιχες γωνίες ίσες τριγώνων

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

20

Μεθοδολογία ασκήσεων

2.2

Οι γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες

2.3

Όλες οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες

2.4

Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες

2.5

Η διχοτόμος γωνίας χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες

2.6

Αν προσθέσω ίσες γωνίες τότε προκύπτουν γωνίες ίσες

2.7

Αν πάρω τη διαφορά ίσων γωνιών τότε προκύπτουν ίσες γωνίες

2.8

Οι παραπληρωματικές ίσων γωνιών είναι ίσες γωνίες

2.9

Οι συμπληρωματικές ίσων γωνιών είναι ίσες γωνίες

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

2.10

Οι εντός εναλλάξ γωνίες παραλλήλων ευθειών είναι ίσες.

2.11

Οι εντός, εκτός και επί τα αυτά γωνίες παραλλήλων ευθειών είναι ίσες.

2.12

∆ύο οξείες γωνίες με πλευρές παράλληλες ή με πλευρές κάθετες είναι ίσες.

2.13

∆ύο αμβλείες γωνίες με πλευρές παράλληλες ή με πλευρές κάθετες είναι ίσες.

2.14

Απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου

2.15

Απέναντι γωνίες ορθογωνίου

2.16

Απέναντι γωνίες ρόμβου

2.17

Απέναντι γωνίες τετραγώνου

21

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

22

Μεθοδολογία ασκήσεων

2.18

Γωνίες στη μικρή ή στη μεγάλη βάση ισοσκελούς τραπεζίου

2.19

Αντίστοιχες γωνίες όμοιων τριγώνων

3. Κάθετες ευθείες 3.1

Αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος

3.2

Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών {Άσκηση 6}

3.3

Η διάμεσος στη βάση ισοσκελούς τριγώνου με τη βάση

3.4

Η διχοτόμος στη βάση ισοσκελούς τριγώνου με τη βάση

3.5

Οι διχοτόμοι δύο εντός και επί τα αυτά γωνιών

3.6

Από γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

23

3.7

Η εφαπτομένη κύκλου κάθετη στην ακτίνα του στο σημείο επαφής

3.8

∆ιάμεσος τριγώνου που είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης πλευράς

3.9

∆ιαγώνιες ρόμβου

3.10 Από το ορθόκεντρο τριγώνου

3.11

Σχηματίζουν τρίγωνο όπου το άθροισμα των άλλων δύο γωνιών είναι 90ο {Άσκηση 7}

4. Παράλληλες ευθείες 4.1

Είναι κάθετες στην ίδια ή σε παράλληλες ευθείες (σε διαφορετικά σημεία)

4.2

Είναι παράλληλες στην ίδια ευθεία

4.3

Αν τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

24

Μεθοδολογία ασκήσεων

4.4

Αν τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν τις εντός εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες

4.5

Αν τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές

4.6

Οι διχοτόμοι δύο εντός εναλλάξ γωνιών

4.7

Απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου

4.8

Απέναντι πλευρές ορθογωνίου

4.9

Απέναντι πλευρές ρόμβου

4.10 Απέναντι πλευρές τετραγώνου

4.11

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

25

4.12 Αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή

5. Σχηματισμός ισοσκελούς τριγώνου 5.1

Από ευθεία κάθετη στη διχοτόμο γωνίας

5.2

Από ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο γωνίας

5.3

Από τις διχοτόμους εντός και επί τα αυτά γωνιών που σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες

5.4

Σε ορθογώνιο τρίγωνο αν φέρουμε τη διάμεσο στην υποτείνουσα

5.5

Από τις διαγώνιες ορθογωνίου παραλληλογράμμου

5.6

Σε ρόμβο

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

26

Μεθοδολογία ασκήσεων

6. Μεθοδολογία σε ασκήσεις υπολογισμού γωνιών 6.1

Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180ο.

6.2

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών του.

6.3

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των δύο οξειών γωνιών είναι 90ο.

6.4

Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι (2ν-4) ορθές.

6.5

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού νγώνου είναι 2 ορθές.

7. Μεθοδολογία για βαρύκεντρο τριγώνου Το βαρύκεντρο χωρίζει κάθε μία από τις διαμέσους σε δύο τμήματα. Το μεγαλύτερο από τοα δύο τμήματα είναι διπλάσιο του μικρότερου.

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

27

8. Μεθοδολογία Μεθοδολογία για δύο μέσα 8.1

Βαρύκεντρο

8.2

Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι ίσο με το μισό της τρίτης πλευράς και παράλληλο προς αυτήν

9. Μεθοδολογία έγκεντρου - εγγεγραμμένου κύκλου Σημείο τομής διχοτόμων

10. Μεθοδολογία Μεθοδολογία περίκεντρο - περιγεγραμμένου κύκλου Σημείο τομής μεσοκαθέτων

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

28

Μεθοδολογία ασκήσεων

11. Μεθοδολογία ορθόκεντρου τριγώνου 11.1 Μπορεί να βρίσκεται εκτός του τριγώνου.

11.2 Σχηματίζονται έξι ορθογώνια τρίγωνα

11.3 Σχηματίζονται έξι εγγράψιμα τετράπλευρα

11.4 Σχηματίζονται δυάδες όμοιων τριγώνων

12. Μεθοδολογία για συνευθειακά σημεία Για να αποδείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

12.1

ˆ να είναι ευθεία γωνία (δηλαΑρκεί η γωνία ΑΒΓ δή 180ο) {Ασκήσεις 1, 2}

Τα ΑΒ και ΒΓ να είναι παράλληλα ευθύγραμμα 12.2 τμήματα (και αφού έχουν ένα κοινό σημείο άρα ανήκουν στην ίδια ευθεία) {Άσκηση 3}

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

29

13. Μεθοδολογία στις ανισοτικές σχέσεις 13.1

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από κάθε μία από τις απέναντι εσωτερικές

13.2

Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται ομοίως άνισες γωνίες

13.3 Τριγωνική ανισότητα

Από σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα 13.4 α. το κάθετο είναι το μικρότερο β. στο μικρότερο πλάγιο τμήμα αντιστοιχεί η μικρότερη απόσταση από το ίχνος της καθέτου

13.5

Κάθε χορδή κύκλου είναι μικρότερη ή ίση από τη διάμετρο του κύκλου

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

30

Μεθοδολογία ασκήσεων

14. Μεθοδολογία για τρεις ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο 14.1

Η τρίτη ευθεία διέρχεται από το σημείο τομής των δύο πρώτων

14.2 Περιέχουν τις τρεις διάμεσους του τριγώνου

14.3 Περιέχουν τις τρεις διχοτόμους του τριγώνου

14.4 Περιέχουν τα τρία ύψη του τριγώνου {Άσκηση 4}

14.5 Περιέχουν τις τρεις μεσοκαθέτους του τριγώνου

Περιέχουν μία εσωτερική διχοτόμο και τις διχοτό14.6 μους των εξωτερικών γωνιών των άλλων δύο κορυφών του τριγώνου

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

31

15. Μεθοδολογία για γινόμενο ευθύγραμμων τμημάτων Το γινόμενο ευθυγράμμων τμημάτων εύκολα μετασχηματίζεται σε αναλογία ευθυγράμμων τμημάτων

16. Αναλογία ευθύγραμμων τμημάτων 16.1 Θεώρημα Θαλή

16.2 Θεωρήματα διχοτόμων

16.3 Όμοια τρίγωνα

17. Μεθοδολογία για σταθερή παράσταση Θεωρούμε μία ή δύο χαρακτηριστικές περιπτώσεις ή οριακές θέσεις του μεταβλητού σημείου της 17.1 παράστασης και βρίσκουμε μία τιμή, έστω c, για την παράσταση

Αρκεί πλέον να αποδείξουμε ότι η παράσταση, 17.2 για τυχαία θέση του Μ, παίρνει τη συγκεκριμένη τιμή c {Άσκηση 5}

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

32

Μεθοδολογία ασκήσεων

18. Μεθοδολογία στα όμοια τρίγωνα Όταν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ∆ΕΖ είναι όμοια μπορείς να γράψεις ότι ΑΒΓ ≈ ∆ΕΖ. Πρέπει να βάζεις τα γράμματα με τη λογική ότι οι αντίστοιχες γωνίες των δύο τριγώνων είναι ίσες. ∆ηλαδή η σχέση ΑΒΓ ≈ ∆ΕΖ πρέπει για εσένα να σημαίνει (εκτός από την ομοιότητα) ότι ˆ =∆ ˆ, Β ˆ =Ε ˆ και Γˆ = Ζ ˆ • Α • ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ομόλογες πλευρές των ∆Ε, ΕΖ, ∆Ζ Αν έχεις βάλει σε σωστή σειρά τα γράμματα τότε εύκολα μπορείς να σχηματίσεις τις αναλογίες που θα χρησιμοποιήσεις στις ασκήσεις σου. ΑΒ ΒΓ ΓΑ Στη συγκεκριμένη περίπτωση = = . ∆Ε ΕΖ Ζ∆

19. Πότε πρέπει να χρησιμοποιήσω στις ασκήσεις μου τη μεθο μεθοδολογία των όμοιων τριγώνων; 18.1

Όταν η εκφώνηση μου αναφέρει ότι έχω όμοια τρίγωνα.

18.2

Όταν α άσκηση ζητάει να αποδείξω ότι έχω όμοια τρίγωνα.

Όταν η άσκηση ζητάει να αποδείξω μία αναλογία. (Σε αυτή τη περίπτωση πρέπει να δοκιμάσω και 18.3 το Θεώρημα του Θαλή ή τα Θεωρήματα των ∆ιχοτόμων)

18.4

Όταν η άσκηση ζητάει να αποδείξω μία ισότητα γινομένων ευθυγράμμων τμημάτων

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

33

Ασκήσεις πάνω στην μεθοδολογία 1. Να αποδείξετε ότι οι προβολές κάθε σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου ΑΒΓ πάνω στις πλευρές του είναι συνευθειακά σημεία και αντιστρόφως (ευθεία ευθεία του Simson Simson). Λύση Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ ένα τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου τού ΑΒΓ. Το τετράπλευρο ΑΒΓΜ που σχηματίζεται είναι, προφανώς, εγγεˆ = ΜΓ∆ ˆ . (1) γραμμένο σε κύκλο. Άρα είναι ΜΑΖ Παίρνουμε τις προβολές Ζ, ∆, Ε του σημείου Μ πάνω στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα. ˆ + ΜΕΑ ˆ = 90ο + 90 ο = 180ο άρα το Στο τετράπλευρο ΜΖΑΕ είναι ΜΖΑ ΜΖΑΕ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. ˆ . (2) ˆ = ΜΑΖ Επομένως είναι ΜΕΖ ˆ = 90ο άρα το ΜΕ∆Γ είναι ˆ = Μ∆Γ Στο τετράπλευρο ΜΕ∆Γ είναι ΜΕΓ εγγράψιμο σε κύκλο. ˆ + ΜΓ∆ ˆ = 180ο . (3) Επομένως είναι ΜΕ∆ ˆ = 180ο ⇒ ΜΕ∆ ˆ + ΜΓ∆ ˆ = 180ο ⇒ ΜΕ∆ ˆ + ΜΑΖ ˆ + ΜΕΖ ˆ = 180ο . Λόγω των (1) και (2) η (3) δίνει ΜΕ∆ Άρα τα σημεία ∆, Ε, Ζ είναι συνευθειακά.

2. Να αποδείξετε ότι τα συμμετρικά κάθε σημείου του περιγεγραμμένου κύκλου ενός τριγώνου ως προς τις πλευρές του είναι συνευθειακά σημεία (ευθεία ευθεία του Steiner).

Steiner Λύση Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ ένα τυχαίο σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου του. Έστω Κ, Λ, Ν τα συμμετρικά του Μ ως προς τις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. Έστω ∆, Ε, Ζ οι προβολές του Μ πάνω στις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. Τα ∆, Ε, Ζ είναι συνευθειακά (ευθεία Simson) ΚΛ ΛΝ Είναι ∆Ε = / / και ΕΖ = / / .

2 2 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι τα ΚΛ και ΛΝ είναι παράλληλα. Έχουν όμως ένα κοινό σημείο, το Λ άρα τα Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά.

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

34

Μεθοδολογία ασκήσεων

3. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των διαμέσων Β∆ και ΓΕ παίρνουμε σημεία Η και Ζ αντίστοιχα τέτοια, ώστε ∆Η = Β∆ και ΖΕ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι α) ΑΗ = ΑΖ β) τα σημεία Ζ, Α, Η είναι συνευθειακά. Λύση Στο τετράπλευρο ΑΖΒΓ είναι • ΑΕ=ΕΒ • ΖΕ=ΕΓ άρα είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιές του διχοτομούνται. Επομένως είναι ΑΖ=//ΒΓ. ΑΖ=//ΒΓ (1) Στο τετράπλευρο ΑΗΓΒ είναι • Α∆=∆Γ • Η∆=∆Β άρα είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιές του διχοτομούνται. Επομένως είναι ΑΗ=//ΒΓ ΑΗ=//ΒΓ. =//ΒΓ (2) Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι • ΑΗ=ΑΖ ΑΗ//ΑΖ, άρα σύμφωνα με το Αίτημα παραλληλίας οι ΑΗ, ΑΖ ανήκουν στην ίδια ευθεία, δηλαδή τα Α, Η, Ζ είναι συνευθειακά.

4. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του Β∆ και Μ το μέσο του τμήματος Γ∆. Προεκτείνουμε τη ∆Β κατά τμήμα ΒΕ = ∆Β. Να αποδείξετε ότι η κάθετη από το Μ στην ΑΒ, η κάθετη από το Α στην ΕΓ και η Β∆ συντρέχουν. Λύση Έστω ΜΖ ⊥ ΑΒ . Το Η είναι ήδη σημείο τομής των υψών ΜΖ και Β∆. Αρκεί να είναι ΑΗ ⊥ ΓΕ . Στο τρίγωνο ΑΒΜ το Η είναι ορθόκεντρο άρα είναι ΑΗ ⊥ ΒΜ . Στο τρίγωνο ∆ΕΓ είναι • Β μέσο της ΗΕ • Μ μέσο της ∆Γ άρα είναι ΒΜ//ΓΕ.

H ΑΗ είναι κάθετη στην ΒΜ άρα θα είναι κάθετη και στην παράλληλη τής ΒΜ, την ΓΕ, δηλαδή είναι ΑΗ ⊥ ΓΕ .

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

Ευκλείδεια Γεωμετρία

35

5. Να αποδείξετε ότι : α) το άθροισμα των αποστάσεων τυχαίου σημείου της βάσης ισοσκελούς τριγώνου από τις ίσες πλευρές του είναι σταθερό (και ίσο με ένα από τα ύψη του) β) το άθροισμα των αποστάσεων τυχαίου σημείου, που βρίσκεται στο εσωτερικό ισόπλευρου τριγώνου, από τις πλευρές του είναι σταθερό (και ίσο με το ύψος του) Λύση ˆ = Γˆ . α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές άρα είναι Β Έστω Κ τυχαίο σημείο της βάσης ΒΓ. Παρατήρηση Αν το Κ είναι το Β τότε η ζητούμενη παράσταση θα είναι ίση με την απόσταση του Γ από την ΑΒ. Φέρνουμε τις αποστάσεις ΚΕ και Κ∆ από τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Άρα είναι ΚΕ ⊥ ΑΒ και Κ∆ ⊥ ΑΓ . Φέρνουμε την ΚΖ ⊥ ΒΗ . Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΕΚ και ΒΖΚ έχουν • ΒΚ κοινή ˆ = ΒΚΖ ˆ (Β ˆ = Γˆ = ΒΚΖ ˆ ) • Β άρα είναι ίσα. Επομένως είναι Κ∆=ΖΗ και ΚΕ=ΒΖ. Άρα έχουμε Κ∆+ΚΕ=ΖΗ+ΒΖ=ΒΗ το οποίο είναι σταθερό και ανεξάρτητο από το σημείο Μ. β) Έστω Μ τυχαίο σημείο, εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ. Παρατήρηση Αν το Μ είναι το Α τότε η ζητούμενη παράσταση θα είναι ίση με το ύψος που αντιστοιχεί στην ΒΓ. Φέρνουμε από το Μ παράλληλη στην ΒΓ, η οποία τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Κ και Λ. Όμως το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο άρα και το ΑΚΛ είναι ισόπλευρο (αφού όλες του οι γωνίες είναι 60ο). Από το i) ερώτημα προκύπτει ότι το άθροισμα ΜΖ+ΜΕ είναι ίσο με το ύψος από την κορυφή Κ. Όμως σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο όλα τα ύψη είναι ίσα άρα είναι ΜΖ+ΜΕ=ΑΝ. ΜΖ+ΜΕ=ΑΝ Ακόμη είναι Μ∆=ΝΗ. Μ∆=ΝΗ Από τα παραπάνω προκύπτει ότι Μ∆+ΜΕ+ΜΖ= ΑΗ. Μ∆+ΜΕ+ΜΖ=ΑΝ+ΝΗ=ΑΗ +ΜΕ+ΜΖ= ΑΗ

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)

36

Μεθοδολογία ασκήσεων

6. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ παραλληλογράμμου ΑΒΓ∆ κατά τμήμα ΒΕ = ΒΓ και επί της ημιευθείˆ = 90ο . ας ∆Α θεωρούμε σημείο Ζ, ώστε ∆Ζ = ∆Γ. Να αποδείξετε ότι ΖΓΕ Λύση Στο τρίγωνο ∆ΓΖ είναι ∆Γ=∆Ζ άρα το τρίγωνο είναι ισοσκεˆ. λές με Γˆ1 = Ζ Στο τρίγωνο BΓE είναι BΓ=BE άρα το τρίγωνο είναι ισοσκεˆ. λές με Γˆ3 = Ε ˆ = Γˆ . Είναι ΒΕ/Γx άρα είναι Ε ˆ = Γˆ . Είναι Α∆//ΒΓ άρα είναι Ζ 2

4

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι Γˆ1 = Γˆ2 και Γˆ3 = Γˆ4 . Άρα οι ΓΖ και ΓΕ είναι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών. ˆ = 90ο . Επομένως είναι κάθετες μεταξύ τους, δηλαδή είναι ΖΓΕ

7. ∆ύο κάθετες χορδές ΑΒ, Γ∆ κύκλου με κέντρο Κ τέμνονται στο σημείο Ρ. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ΡΜ του τριγώνου ΡΒΓ είναι κάθετη στη ν Α∆. Λύση Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΡΓ η ΡΜ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα είναι ΡΜ=ΜΒ. ˆ =Ρ ˆ . Επομένως το τρίγωνο ΜΡΒ είναι ισοσκελές με Β 3 Έστω Κ το σημείο στο οποίο τέμνει την Α∆ η ΜΡ. ˆ είναι εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο άρα είναι Οι Β̂, ∆ ˆ. Β̂ = ∆ ˆ =Ρ ˆ ως κατακορυφήν. Είναι Ρ 1 2 ˆ =Ρ ˆ +∆ ˆ +Β ˆ =Ρ ˆ +Ρ ˆ = 90ο . Από τα παραπάνω έχουμε Ρ 1

2

2

3

ˆ = 90ο . Επομένως η ΡΜ είναι Άρα στο τρίγωνο ΡΚ∆ είναι ΡΚ∆ κάθετη στην Α∆.

Θεολόγης Καρκαλέτσης (Μαθηματικός)