1
Ολοκληρωτικός Ολοκληρωτικός λογισμός 8.
1. Aρχική Aρχική συνάρτηση ή παράγουσα Ασκήσεις Α’ ομάδας 1. Να βρείτε τις αρχικές, στο ℝ , της συνάρτησης f με τύπο f ( x ) = e . x
β) Να βρείτε το σύνολο των αρχικών συναρτήσεων της f
π Να βρείτε συνάρτηση f : 0, → ℝ για την οποία 2 1− f (x) π ισχύει f ′ ( x ) = , x ∈ 0, και f ( 0 ) = −3 . συν 2 x 2 2.
(
α)
f ( x ) = 2x + 4x − 7x + 11 β) f ( x ) = ( x + 3 ) x − 1
γ)
f (x) =
ε)
f ( x ) = 3 x − 5 7 x3
3
2
x 3 − 2x x
2
1 3 5 + 3− 6 x x x 3 2 3x − x + x − 3 στ) f ( x ) = x −1
2.
Να βρείτε τις παράγουσες των συναρτήσεων: 1 2 α) f ( x ) = 3e x + 2ημx − συνx β) f ( x ) = 2 − ημ x συν 2 x 3.
Να βρείτε τις παράγουσες των συναρτήσεων: 1 α) f ( x ) = 3e x + 2 − x−4
f ( x ) = ( x − 3 ) − 2συν3x
γ)
f (x) =
δ)
f ( x ) = ( x + 1) συν x 2 + 2x
e εφx συν 2 x
)
f ′( x) =
2 + f (x) x
, x≠0
α) Να βρείτε την αρχική της συνάρτησης g ( x ) =
2 x2
β) Να βρείτε την συνάρτηση f 11. Έστω μία συνεχής συνάρτηση f : ℝ → ℝ και F μία αρχική της f στο ℝ . Αν f (1) = 1 και f ( x ) ⋅ F ( 2 − x ) = 1 για κάθε x ∈ ℝ , τότε: α) Να βρείτε το F (1) β) Να αποδείξετε ότι f ( 2 − x ) ⋅ F ( x ) = 1 γ) Να αποδείξετε ότι είναι σταθερή η συνάρτηση g ( x) = F ( x ) ⋅ F (2 − x ) δ) Να βρείτε τον τύπο της f
(
12. Να βρείτε συνάρτηση f : ( 0, +∞ ) → ℝ τέτοια ώστε
)
f ( x ) = εφ2 x
δ) f ( x ) = x 3x 2 + 2
5.
Να βρείτε τις παράγουσες των συναρτήσεων: xσυνx − ημx α) f ( x ) = 2xe x + x 2 e x β) f ( x ) = x2
7.
(
σχύει f ′ ( x ) − 2x = x 2 − f ( x ) συνx , x ∈ ℝ και f ( 0 ) = 0 .
2
4. Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων: ημ 3 x + 1 1 α) f ( x ) = β) f ( x ) = 2 x ln x ημ x
6.
Να βρείτε συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ι-
)
δ) f ( x ) =
β)
9.
10. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ℝ → ℝ με f ( 3 ) = 7 για την οποία ισχύει
Ασκήσεις B’ ομάδας 1. Να βρείτε τις παράγουσες των συναρτήσεων:
γ)
α) Να δείξετε ότι έχει αρχικές στο ℝ η συνάρτη 2 − 12 e x , x≠0 ση f με τύπο f ( x ) = x 3 0, x=0
1 Να βρείτε τις παράγουσες της f ( x ) = . x Να βρείτε τις παράγουσες της f ( x ) = x + 1
Θεολόγης Καρκαλέτσης
2 για κάθε x > 0 και της οποίας η x3 γραφική παράσταση να έχει, για x → +∞ , ασύμπτωτη την ευθεία y = 3x − 4 . να είναι f ′′ ( x ) = −
13. Έστω ότι η συνάρτηση f έχει παράγουσα στο ℝ , μία συνάρτηση F που δεν είναι 1–1 στο ℝ . Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ ℝ με f ( ξ ) = 0 . 14. Ποια από τα παρακάτω ολοκληρώματα είναι καλώς ορισμένα; 1 1 π/2 α) ∫ dx β) ∫ ημxdx 0 x −1 0 γ)
∫
ε)
∫
π
0 2 0
εφxdx 1 − x 2 dx
1
δ)
∫
στ)
∫
0 1
0
ln xdx 1 dx x +1