1 Όριο – Συνέχεια συνάρτησης
1
Όριο – Συνέχεια συνάρτησης 1. Επαναληπτικές ασκήσεις
2. Ορισμός συνάρτησης
1. Να λύσετε την εξίσωση λx + 3 = 5x − 7 για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℝ . 2. Να λύσετε την εξίσωση
2x − 1 x − 2 5 + − =0. x − 2 2x − 1 2
Ασκήσεις Α’ ομάδας 1. Να βρείτε τις τιμές του α ∈ ℝ ώστε να είναι συναρτήσεις οι σχέσεις: 3x − 4, x ≤ 2α 2 − α α) f ( x ) = 2 2 x + 7, x ≥ α + α − 3
π 3. Να λύσετε την εξίσωση 2ημ 7x − = 2 . 4
3 − x, x ≤ 4 β) f ( x ) = 2 2 3x − α , x ≥ 4
4. Να δείξετε ότι η παράσταση συν 2 x − 2συνα ⋅ συνx ⋅ συν ( α + x ) + συν 2 ( α + x )
2. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = ln
1− x . Να βρείτε τα 1+ x f ( 0 ) , f ( συν2α ) , f ( − x ) .
είναι ανεξάρτητη του x. 5. Να λύσετε την εξίσωση 2συν 2 x + 3συνx − 2 = 0 . 6. Να λύσετε την εξίσωση x 4 − 5x 3 + 5x 2 + 5x – 6 = 0 . 7. α)
f (α + β) =
Για ποιες τιμές του α ∈ ℝ η f ( x ) = ( α − 1) ορίx
ζεται σε όλο το ℝ ; β) Αν είναι α = 3 τότε να λύσετε την εξίσωση f ( x ) + f ( x + 1) = 6 8. Για ποιες τιμές του x ∈ ℝ οι αριθμοί:
(
)
ex − 1 . Να δείξετε ότι: ex + 1 f (α ) + f (β)
3. ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) =
1 + f (α ) f (β)
4. Να απλοποιήσετε τους τύπους των συναρτήσεων:
x 3 + 2x 2 − x + 2 x +1 − x β) f ( x ) = ln x 3 − 3x + 2 x +1 + x ημx συνx + δ) f ( x ) = ln xe ln x γ) f ( x ) = 1 − εφx 1 − σφx α) f ( x ) =
log178, log 81 2 x + 2 ⋅ 3 x , x log 3 με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου; 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: β) x − 3 − x + 1 = 3 2x − 3 α) x 2 − 5 x + 6 = 0
5. Να εκφράσετε τις συναρτήσεις χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής: 3 x2 − 4 α) f ( x ) = β) f ( x ) = x − 3 −1 x −2 γ) f ( x ) = x 3 − 4x 2 + 3x
δ) f ( x ) = ln ( x − 1) + ln 5 − x
10. 10. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 3x − 1 < 5
β) 2x +
1 ≥3 3
γ) 2 x + 1 + 3 x > x + 1 δ)
3 x −1 + 2 5
≤ 2 x −1 <
2 x −1 −1 3
11. Να λύσετε τις εξισώσεις: 4x 2 − x 3 − 9 x 3 + 4x 2 + 9 α) = x2 − 2 x2 + 2 β)
x +3 + x +2 = 7
12. Να λύσετε τις ανισώσεις: β) x 3 − 4x 2 + 2x − 8 > 0 α) x 2 − 4x + 4 ≤ 0 2 + x − x2 2 1 γ) ≤0 δ) x 2 − < 2 2x + 1 x ⋅ ( 2x + 1) x +1 ε) 2x − 2 − 3 x −3 − 2x − 3 + 3 x − 4 ≥ 0 στ) ln ( 2x − 1)( x + 3 ) ≥ 2 ln 3
Θεολόγης Καρκαλέτσης
6. Το άθροισμα των διαστάσεων α και β ενός ορθογωνίου είναι 14. Να εκφράσετε το εμβαδόν του ως συνάρτηση του α και ως συνάρτηση της διαγωνίου του δ. 7. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α. Αν ΜΝΡΣ είναι ένα εγγεγραμμένο ορθογώνιο και ΑΜ = x να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης που εκφράζει το εμβαδόν του. 8. Ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει τετράγωνη βάση ΑΒΓ∆ με πλευρά x και ύψος y. Αν η περίμετρος της παράπλευρης επιφάνειας είναι 30 cm να εκφράσετε τον όγκο του κουτιού συναρτήσει του x. 9. Έστω f ( x ) =
αx
συνάρτηση, όπου α ∈ ℝ . αx + α α) Να αποδείξετε ότι f ( x ) + f (1 − x ) = 1 β) Να υπολογίσετε το άθροισμα 1 2 2000 S =f + f 2001 + ... + f 2001 2001
Ε.Μ.Ε.