Άλγεβρα Α Λυκείου σε διδακτικές ώρες

Ε. Εισαγωγικό κεφάλαιο

E.1 / 1

Το λεξιλόγιο της Λογικής

1.

Ποιες από τις παρακάτω φράσεις είναι προτάσεις στη μαθηματική λογική; Αυτές να χαρακτηρισθούν ως αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ). α) Ο Νίκος είναι 12 ετών β) Ο αριθμός 143 διαιρείται με το 3 γ) Την Κυριακή θα έχει ηλιοφάνεια δ) Κάθε ισοσκελές τρίγωνο είναι ορθογώνιο ε) Το ζάρι έχει 8 έδρες στ) στ) ( α = β και γ = δ ) ⇒ α + γ = β + δ

1

5.

Να εξετάσετε πότε αληθεύουν οι ισχυρισμοί: α) ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) ≠ 0

( x + 1) ⋅ ( x 2 − 3 ) ≠ 0

β)

γ) x 2 − 5x + 6 ≠ 0 δ) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

Π1. Π1.

Τα αεροσκάφη Α, Β, Γ, ∆, Ε περιμένουν να απογειωθούν. Βάσει εντολής, το Ε θα απογειωθεί πριν από το Α και μετά το ∆, ενώ το Γ θα απογειωθεί μετά τα Α και Β. Επομένως, είναι βέβαιο ότι: α) το Β θα απογειωθεί πρώτο β) το ∆ θα απογειωθεί πρώτο γ) το Ε θα απογειωθεί πρώτο δ) το Γ θα απογειωθεί τελευταίο

2.

Να εξετάσετε αν οι παρακάτω ισχυρισμοί είναι αληθείς ή ψευδείς: α) α 2 = 9 ⇒ α = 3 β) α = 3 ⇒ α 2 = 9 γ) α 2 < 9 ⇒ α < 3 δ) α 2 > 9 ⇒ α > 3 ε) ( α < 1 και β < 2 ) ⇒ α ⋅ β < 2 στ) ( α ≠ 1 και β ≠ 2 ) ⇒ α ⋅ β ≠ 2 ζ) x = y ⇒ x = y η)

Α.Σ.Ε.Π. για απόφοιτους Λυκείου

E.2 / 1

x = y ⇒x=y

θ) αβ = α ⇒ β = 1 α ι) = α ⇒ β =1 β κ) α 2 > 0 για κάθε α ∈ ℝ λ) α = β ⇒ α 2 = β2

1.

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τα σύμβολα ∈ και ∉, αν ο κάθε αριθμός ανήκει ή δεν ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο. ℚ ℕ ℤ ℝ −5,5

μ) α 2 = β 2 ⇒ α = β

π

ν) α ≠ β ⇒ α 2 ≠ β 2 ξ)

Σύνολα

2 /2

x 2 = x για κάθε x ∈ ℝ

3.

Να εξετάσετε αν οι παρακάτω ισχυρισμοί είναι αληθείς ή ψευδείς. α) α = 3 ⇔ α 2 = 9 β) α 2 = 9 ⇔ α = 3 γ) α > 3 ⇔ α 2 > 9 δ) α ≠ 3 ⇔ α 2 ≠ 9 ε) Μία ευθεία είναι μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος αν και μόνο αν διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος

144 −13 / 3

40 / 5 2 0,3 −4

Α.Π.Σ.

4.

Να εξετάσετε πότε αληθεύουν οι ισχυρισμοί: α) ( x − 1) ⋅ ( x + 2 ) = 0 β)

( x + 1) ⋅ ( x 2 − 3 ) = 0

γ) x 2 − 5x + 6 = 0 δ) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ή ισοσκελές

2.

Έστω το σύνολο Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8} και

δύο υποσύνολά του, το Α = {1,3,5} και το Β = {1,2,6,8} . Να βρείτε τα σύνολα:

α) Α ∪ Β

β) Α ∩ Β Θεολόγης Καρκαλέτσης

2

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

γ) Α′ ε)

δ) Β′

( Α ∪ Β )′

στ) ( Α ∩ Β )′

ζ) Α′ ∪ Β′

3.

1.1 / 1

∆ειγματικός χώρος – Ενδεχόμενα

η) Α′ ∩ Β′

Έστω Ω = {1,2,3,…,10} ένα βασικό σύνολο

και τρία υποσύνολα αυτού Α = {1,2,4,7,8} , Β = {3,4,8,10} και Γ = {2,4,5,10}

α) Να παραστήσετε τα σύνολα Ω, Α, Β και Γ με διάγραμμα Venn. β) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους καθώς και με διαγράμματα Venn τα σύνολα: i) Α ∪ Β ii) Β ∩ Γ iv) ( Α ∩ Β ) ∪ Γ iii) Α ∪ ( Β ∩ Γ ) v) Α ∩ Β ∩ Γ

Α.Π.Σ.

4.

Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα: α) Α = {x ∈ ℤ / x − 2 < 4}

{

}

β) Β = x ∈ ℕ / x 2 + 3x + 2 = 0

5.

Να παραστήσετε με περιγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα: α) Α = {3,6,9,...} και Β = {9,12,15,...} β) Α = {2,4,6,...} και Β = {−4, −2, −,0,...}

6.

Γράψτε όλα τα υποσύνολα του συνόλου Α = {1,2,3}

7.

Έστω το σύνολο Ω = {x ∈ ℕ / 0 < x ≤ 24} και

τα σύνολα Α = {x ∈ Ω / x = 2κ,κ ∈ ℕ} και B = {x ∈ Ω / x = πολ.3} . Να γράψετε με αναγραφή

των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα: α) Α ∪ Β β) Α ∩ Β ′ γ) Α δ) Β′ ε) ( Α ∪ Β )′ στ) ( Α ∩ Β )′ ζ) Α′ ∪ Β′

η) Α′ ∩ Β′

Π2.

Σε σύνολο 200 ατόμων: 100 είναι Έλληνες, 60 είναι ξανθοί, 95 είναι γυναίκες και 40 έχουν μυωπία. Ο μέγιστος δυνατός αριθμός ξανθών Ελληνίδων γυναικών με μυωπία είναι: α) 40 β) 60 γ) 95 δ) 100

Α.Σ.Ε.Π. για απόφοιτους Λυκείου Θεολόγης Καρκαλέτσης

1.

∆ύο παίκτες Α και Β παίζουν έναν αγώνα τένις. Νικητής θεωρείται εκείνος που θα νικήσει σε τρία σετ. Να κάνετε δεντροδιάγραμμα και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος.

2.

Ρίχνουμε ένα νόμισμα και σημειώνουμε με Κ αν η όψη είναι κεφαλή και Γ αν η όψη είναι γράμματα. Να κάνετε δεντροδιάγραμμα και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος αν ρίξουμε το νόμισμα α) 2 φορές β) 3 φορές γ) 4 φορές

3.

Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος με τη βοήθεια ενός πίνακα διπλής εισόδου.

4.

Μέσα σε ένα κιβώτιο έχουμε 4 μπάλες, μία άσπρη (Α), μία μαύρη (Μ), μία κόκκινη (Κ) και μία πράσινη (Π). Παίρνουμε χωρίς να βλέπουμε από το κιβώτιο μία μπάλα και τη αφήνουμε στην άκρη. Στη συνέχεια παίρνουμε ακόμα μία μπάλα από το κιβώτιο. α) Να κάνετε δεντροδιάγραμμα και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να κάνετε δεντροδιάγραμμα και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος αν επανατοποθετούμε την πρώτη μπάλα μέσα στο κιβώτιο πριν πάρουμε τη δεύτερη μπάλα

5.

Έχουμε ένα συρτάρι που έχει 3 μπλούζες, μία άσπρη (Α), μία πράσινη (Π) και μία κόκκινη (Κ) και ένα άλλο συρτάρι που έχει 4 παντελόνια, ένα γκρι (Γ), ένα μαύρο (Μ), ένα μπλε (Μ) και ένα καφέ (Κ). Αν πάρουμε μία μπλούζα από το ένα συρτάρι και ένα παντελόνι από το άλλο συρτάρι τότε να κάνετε δεντροδιάγραμμα και να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

Π3. Π3.

Έστω n ∈ ℤ , επιλεγμένος τυχαία από το σύνολο {5, 7, 9, 11} και p ∈ ℤ επιλεγμένος τυχαία από το σύνολο {2, 6, 10, 14, 18}. α) Ποια είναι τα πιθανά αθροίσματα n + p; β) Πόσες φορές εμφανίζεται το n + p = 23;

1. Πιθανότητες

3

6.

∆ύο φίλοι παίζουν το γνωστό παιχνίδι «πέτρα, ψαλίδι, χαρτί». Με χρήση δενδροδιαγράμματος ή πίνακα διπλής εισόδου να προσδιορίσετε όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος και να δημιουργήσετε έτσι το δειγματικό χώρο του πειράματος αυτού. Να προσδιορίσετε το ενδεχόμενο «ισοπαλία» Α.Π.Σ.

1.1 / 2

Πράξεις με ενδεχόμενα

∆ύο παίκτες Α και Β παίζουν έναν αγώνα τένις. Νικητής θεωρείται εκείνος που θα νικήσει σε τρία σετ. α) Να κάνετε δεντροδιάγραμμα και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: i) Ο παίκτης Α δεν νίκησε σε κανένα σετ ii) ii) Ο παίκτης Α νίκησε σε ένα σετ iii) iii) Ο παίκτης Β νίκησε σε ένα τουλάχιστον σετ

4.

1.

Έστω ένα πείραμα τύχης, Α και Β δύο ενδεχόμενα του πειράματος και ω ένα αποτέλεσμα του πειράματος. Να διατυπώσετε στη γλώσσα των συνόλων τις παρακάτω φράσεις: α) Το Α πραγματοποιείται β) Το Α δεν πραγματοποιείται γ) Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β δ) Πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β ε) Πραγματοποιείται μόνο το Α στ) Πραγματοποιείται μόνο το Β ζ) ∆εν πραγματοποιείται ούτε το Α, ούτε το Β η) Πραγματοποιείται ένα το πολύ από τα Α, Β θ) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β ι) Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β

2.

3.

Αν είναι Ω = {0,1,2,3,...,9} , Α = {1,3,5} και

Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές και σημειώνουμε με Κ αν η όψη είναι κεφαλή και Γ αν η όψη είναι γράμματα. α) Να κάνετε δεντροδιάγραμμα και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα i) Α: «μία τουλάχιστον ρίψη είναι Κ» Β: «οι δύο ρίψεις είναι ίδιες» ii) ii) Α ∪ Β , Α ∩ Β , Α′ , Β′ , Α − Β , Β − Α

5.

Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα i) Α: «Το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της 2ης ρίψης» Β: «Το αποτέλεσμα της 2ης ρίψης είναι το διπλάσιο από το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης» ii) ii) Α′ , Β′ , Α ∪ Β , Α ∩ Β , Α − Β

Β = {1,2,3,8} τότε να βρείτε τα σύνολα:

α) Α ∪ Β δ) Β′

β) Α ∩ Β ε) Α − Β

γ) Α′ στ) Β − Α

ζ) Α′ ∪ Β

η) Α ∪ Β′

θ)

ι)

5.

( Α ∩ Β )′

( Α ∪ Β )′

κ) Α′ ∪ Β′

Από τους μαθητές ενός λυκείου κάποιοι μιλούν πολύ καλά τη γαλλική γλώσσα. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή για να εκπροσωπήσει το σχολείο σε μια εκδήλωση του τμήματος Γαλλικής Φιλολογίας. Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα Α: «ο μαθητής να είναι κορίτσι» Β: «ο μαθητής μιλά πολύ καλά τη γαλλική γλώσσα», να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: α) Α ∪ Β β) Α ∩ Β γ) Β − Α δ) Α − Β ε) Α′ στ) Α′ ∪ Β Α.Π.Σ.

5.

Σε μια ομάδα 20 ατόμων, 4 από τις 7 γυναίκες και 2 από τους 13 άνδρες φορούν γυαλιά. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά. Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε: A. «να είναι γυναίκα ή να φοράει γυαλιά» B. «να μην είναι γυναίκα και να φοράει γυαλιά» Α.Π.Σ.

Π4. Π4.

Σε ένα πάρτι 15 άτομα έφαγαν μελομακάρονα και 12 άτομα έφαγαν κουραμπιέδες. 10 από αυτά τα άτομα έφαγαν και από τα δύο. 3 άτομα δεν έφαγαν τίποτα. Ποιος ήταν ο αριθμός των ατόμων που ήταν στο πάρτι;

Θεολόγης Καρκαλέτσης

4

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

1.2 1.2 / 1

Έννοια της πιθανότητας

1.

α) Αν Α, Β, Γ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα: i) Α ∪ Β ii) Β ∩ Γ iv) Α′ iii) ( Α ∩ Β ) ∩ Γ

ξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ΄ τάξης είναι 20%. Να βρείτε: α) το πλήθος των μαθητών της Γ΄ τάξης β) το πλήθος των μαθητών της Β΄ τάξης. γ) την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέξαμε να είναι της Β΄ τάξης. Τ.Θ.

Π5. Π5.

Μία σακούλα περιέχει έξι μπλε και κάμποσους πράσινους βόλους. Αν η πιθανότητα να τραβήξουμε στην τύχη έναν μπλε βόλο είναι 0,25 τότε ο αριθμός των πράσινων βόλων είναι α) 12 β) 18 γ) 24 δ) 30 ε) 36 ∆ιαγωνισμός Ε.Μ.Ε. Γ’ Γυμνασί Γυμνασίου

β) Στο παρακάτω σχήμα παριστάνονται με διάγραμμα Venn ο παραπάνω δειγματικός χώρος Ω και τα τρία ενδεχόμενα Α, Β και Γ αυτού.

1.2 1.2 / 2

1. Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του (α) ερωτήματος. Τ.Θ.

2.

Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές και σημειώνουμε με Κ αν η όψη είναι κεφαλή και Γ αν η όψη είναι γράμματα. α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Α: «μία τουλάχιστον ρίψη είναι Κ» Β: «οι δύο ρίψεις είναι ίδιες» Γ: «οι δύο ρίψεις είναι γράμματα» ii) ii) Α ∪ Β , Α ∩ Β , Α ∪ Γ , Α ∩ Γ , B ∪ Γ , Β ∩ Γ , Α ′ , Β′ , Γ ′ , Α − Β , Β − Α , A − Γ , Γ − Α , Β − Γ , Γ − Β , Α ∪ Β ∪ Γ , ( Α ∩ Β) ∩ Γ

3.

Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι δύο φορές. α) Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος β) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων i) Α: «Το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης είναι μικρότερο από το αποτέλεσμα της 2ης ρίψης» Β: «Το αποτέλεσμα της 2ης ρίψης είναι το διπλάσιο από το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης» ii) ii) Α′ , Β′ , Α ∪ Β , Α ∩ Β , Α − Β

4.

Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 200 είναι μαθητές της Α΄ τάξης. Αν επιλέ-

Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αξιωματικός ορισμός πιθανότητας ενδεχομέ ενδεχομένου

Έστω Ω = {1,2,...,ν} , ν ∈ ℕ * , ο δειγματικός

χώρος ενός πειράματος τύχης. ∆ίνονται οι πιθακ νότητες Ρ ( κ ) = , κ = 1,2,..., ν . Να βρείτε το ν.

10

2.

Έστω Ω = {1,2,...,2ν} , ν ∈ ℕ * , ο δειγματικός

χώρος ενός πειράματος τύχης. ∆ίνονται οι πιθα1 νότητες Ρ ( κ ) = κ , κ = 1,2,...,2ν . Να υπολογίσε2 τε: α) την Ρ ( 0 ) β) την πιθανότητα του ενδεχομένου Α = {2,4,...,2ν}

3.

Έστω Ω = {ω1 ,ω 2 ,ω3 } , ο δειγματικός χώρος

ενός πειράματος τύχης. Αν P ( ω 2 ) = 2P ( ω1 ) και P ( ω3 ) = 4P ( ω1 ) τότε να βρείτε τις P ( ω1 ) , P ( ω 2 )

και P ( ω3 ) .

4.

Έστω Ω = {ω1 ,ω 2 ,ω3 } , ο δειγματικός χώρος

ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα Α = {ω1 ,ω 2 } και Β = {ω 2 ,ω3 } 1 3 και Ρ ( Β ) = , να βρείτε τις πιθανό2 4 τητες των απλών ενδεχομένων του Ω.

Αν Ρ ( Α ) =

1. Πιθανότητες

5.

Έστω Ω = {ω1 ,ω 2 ,ω3 ,ω 4 } , ο δειγματικός χώ-

ρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα Α = {ω1 ,ω 2 ,ω3 } και Β = {ω1 ,ω3 } . Αν ισχύουν: 1 2κ − 1 1− κ , Ρ (Β) = και Ρ ( ω 4 ) = τότε: κ 2κ 3κ α) να βρείτε το κ ∈ ℝ * β) τις πιθανότητες Ρ ( ω 2 ) και Ρ ( ω 4 ) Ρ (Α) =

6.

Έστω Ω = {ω1 ,ω 2 ,ω3 } , ο δειγματικός χώρος

ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από τα στοιχειώδη ενδεχόμενα ω1 , ω2 , ω3 , ω 4 , ω 5 με 1 1 , Ρ ( ω 2 ) = Ρ ( ω3 ) = και 3 6 1 Ρ ( ω 4 ) + 2Ρ ( ω 5 ) = .

2 α) Να υπολογίσετε τις Ρ ( ω 4 ) και Ρ ( ω 5 )

5

Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος τύχης:

2.

τότε να υπολογίσετε τις Ρ ( Α ∩ Β ) , Ρ ( Α − Β ) , Ρ  ( Α ∩ Β )′  , Ρ ( Α ∪ Β′ )  

3.

4.

Ένα μη αμερόληπτο ζάρι είναι έτσι φτιαγμένο ώστε η εμφάνιση κάθε αριθμού (κ) να είναι ανάλογη του (κ) με κ = 1,2,3,4,5,6 . Να βρείτε την πιθανότητα εμφάνισης κάθε αριθμού.

1.2 1.2 / 3

1.

Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων ενδεχο ενδεχομένων (Ι)

∆ίνεται το σύνολο Ω = {1,2,3,4,5,6} και τα

υποσύνολά του Α = {1,2,4,5} και Β = {2,4,6} . α) Nα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn, με βασικό σύνολο το Ω, τα σύνολα Α και Β. Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα Α ∪ Β , Α ∩ Β , Α′ και Β′ . β) Επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Να μην πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A ii) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα A και Β iii) Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα A, B Τ.Θ.

Αν ισχύει Ρ ( Α ) = 0,4 , Ρ ( Α ∩ Β ) = 0,1 και

Ρ ( Α ∪ Β ) = 0,7 τότε να υπολογίσετε τις Ρ ( Β ) , Ρ ( Β − Α ) , Ρ  ( Α ∪ Β )′  και Ρ ( Α′ ∪ Β )  

β) Αν Α = {ω1 ,ω 2 ,ω3 } και Β = {ω3 ,ω 4 ,ω 5 } να

7.

Αν ισχύει Ρ ( Α ∪ Β ) = 0,6 , Ρ ( Β − Α ) = 0,4

τότε να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ ( Α ) .

Ρ ( ω1 ) =

υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου να πραγματοποιηθεί μόνο το Α

Αν ισχύει Ρ ( Α ) = 0,4 , Ρ ( Β′ ) = 0,4 και Ρ ( Α ∪ Β ) = 0,8

5.

Αν ισχύει Ρ ( Β ) = 0,4 , Ρ ( Α ∩ Β ) = 0,3 και

Ρ ( Α ∪ Β ) = 0,8 τότε να υπολογίσετε τις: Ρ ( Α ) , Ρ  ( Α − Β )′  και Ρ ( Α ∪ Β′ )  

6.

Αν ισχύει Ρ ( Α ) = 0,1 , Ρ ( Β − Α ) = 0,6 τότε να

υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ ( Α ∪ Β ) .

7.

Αν ισχύει Ρ ( Α ∩ Β ) = Ρ ( Α ) ⋅ Ρ ( Β ) τότε να

αποδείξετε ότι:

Ρ ( Α − Β ) = Ρ ( Α ) ⋅ Ρ ( Β′ )

και

Ρ ( Α ′ ∩ Β′ ) = Ρ ( Α ′ ) ⋅ Ρ ( Β ′ )

8.

Αν ισχύει Ρ ( Α ) = 0,2 , Ρ ( Β ) = 0,5 και Ρ ( Α ∪ Β ) = 0,6

τότε να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Γ: «πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α, Β» ∆: «πραγματοποιείται μόνο το Β» Ε: «πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α, Β» Ζ: «δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β» 3 5 1 Αν ισχύει Ρ ( Α ) = ,Ρ ( Α − Β ) = , Ρ ( Β ) = 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την Ρ ( Α ∩ Β )

9. Π6. Π6.

Αν P ( A ∪ B ) και P ( A ) είναι λύσεις

της 15x 2 − 19x + 6 = 0 α) να υπολογίσετε τα Ρ ( Α ) , Ρ ( Α ∪ Β ) β) να αποδείξετε ότι τα Α και Β είναι μη ασυμβίβαστα

β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο «Α ή Β» ii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης του παραπάνω ενδεχομένου. Τ.Θ. Θεολόγης Καρκαλέτσης

6

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

1.2 1.2 / 4

Κανόνες λογισμού πιθανοτή πιθανοτήτων ενδεχομένων (ΙΙ)

1.

Από 120 μαθητές ενός Λυκείου, 32 μαθητές συμμετέχουν σε μια θεατρική ομάδα, 28 μαθητές συμμετέχουν στην ομάδα στίβου και 16 μαθητές συμμετέχουν και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: α) να συμμετέχει σε μια τουλάχιστον από τις δυο ομάδες; β) να συμμετέχει μόνο σε μία από τις δυο ομάδες; γ) να μη συμμετέχει σε καμία από τις δυο ομάδες;

2.

Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 25% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το 30% συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 15% των μαθητών συμμετέχει και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο μαθητής συμμετέχει στη θεατρική ομάδα» Β: «ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου», α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: ii) iii) i) A ∪ B ii) A ∩ B iii) B − A iv) iv) Α′ β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων i) ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου ii) ii) ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα Τ.Θ.

3.

∆ίνεται ο πίνακας: 1 2 3 1 11 12 13 2 21 22 23 3 31 32 33 Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παραπάνω πίνακα. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομένων: Α: «ο διψήφιος να είναι άρτιος» Β: «ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολ.3» Γ: «ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολ.3» Τ.Θ.

4.

Από τους σπουδαστές ενός Ωδείου, το 50% μαθαίνει πιάνο, το 40% μαθαίνει κιθάρα, ενώ το 10% των σπουδαστών μαθαίνει και τα δύο αυτά όργανα. Επιλέγουμε τυχαία ένα σπουδαστή του Ωδείου. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει πιάνο»

Θεολόγης Καρκαλέτσης

Β: «ο σπουδαστής αυτός μαθαίνει κιθάρα» Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου: α) Ο σπουδαστής αυτός να μαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο παραπάνω όργανα β) Ο σπουδαστής αυτός να μην μαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω όργανα Τ.Θ.

5.

Το 70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και το 20% έχει και τα δύο. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο αυτής της πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο κάτοικος έχει αυτοκίνητο» Μ: «ο κάτοικος έχει μηχανάκι» α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: Α.Π.Σ. i) Α ∪ Μ ii) iii) ii) M − A iii) Μ′ β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε: i) να μην έχει μηχανάκι ii) ii) να μην έχει ούτε μηχανάκι ούτε αυτοκίνητο Τ.Θ.

6.

Από τους 180 μαθητές ενός λυκείου, 20 μαθητές συμμετέχουν στη θεατρική ομάδα, 30 μαθητές συμμετέχουν στην ομάδα στίβου, ενώ 10 μαθητές συμμετέχουν και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή του λυκείου. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο μαθητής συμμετέχει στη θεατρική ομάδα» Β: «ο μαθητής συμμετέχει στην ομάδα στίβου» α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i) Α ∪ Β ii) iii) ii) Β − Α iii Α′ β) Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής που επιλέχθηκε: i) να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα ii) Τ.Θ. ii) να συμμετέχει μόνο στην ομάδα στίβου

7.

Σε ένα τμήμα της Α’ Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες είναι 0,9. α) Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη. i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα και των δύο γλωσσών; ii) ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από τις δύο γλώσσες; β) Αν 14 μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος; Τ.Θ.

1. Πιθανότητες

8.

Η εξέταση σε ένα διαγωνισμό των Μαθηματικών περιλάμβανε δύο θέματα τα οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόμενοι. Για να βαθμολογηθούν με άριστα έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέματα, ενώ για να περάσουν την εξέταση έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέματα. Στο διαγωνισμό εξετάσθηκαν 100 μαθητές. Στο πρώτο θέμα απάντησαν σωστά 60 μαθητές. Στο δεύτερο θέμα απάντησαν σωστά 50 μαθητές, ενώ και στα δύο θέματα απάντησαν σωστά 30 μαθητές. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων (ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) Να απάντησε σωστά μόνο στο δεύτερο θέμα. ii) ii) Να βαθμολογηθεί με άριστα. iii) iii) Να μην απάντησε σωστά σε κανένα θέμα. iv) Τ.Θ. iv) Να πέρασε την εξέταση

9.

Από μια έρευνα μεταξύ μαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι το 80% των μαθητών πίνει γάλα ή τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι στο σπίτι το πρωί. Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο μαθητής πίνει γάλα» Β: «ο μαθητής τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι» Αν από το σύνολο των μαθητών το 60% πίνει γάλα και το 45% τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι α) να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα: i) ο μαθητής ούτε να πίνει γάλα ούτε να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι ii) ii) ο μαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δυο φέτες ψωμί με βούτυρο και μέλι iii) iii) ο μαθητής να πίνει μόνο γάλα β) να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του α) ερωτήματος. Τ.Θ.

10.

Μια ημέρα, στο τμήμα Α1 ενός Λυκείου, το 1/4 των μαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωμετρία, ενώ το 1/3 των μαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά μαθήματα. Η καθηγήτρια των μαθηματικών επιλέγει τυχαία ένα μαθητή για να τον εξετάσει. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο μαθητής έχει διαβάσει Άλγεβρα» Γ: «ο μαθητής έχει διαβάσει Γεωμετρία»

7

α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα του προβλήματος. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο μαθήματα ii) να έχει διαβάσει ένα μόνο από τα δυο μαθήματα γ) Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι οι μισοί από τους μαθητές έχουν διαβάσει Γεωμετρία, να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής: i) να έχει διαβάσει Γεωμετρία ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα Τ.Θ.

11.

11.

Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο ∆ημήτρης (∆), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και 2 γυναίκες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας άντρας και μια γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόματά τους. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων Α: Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης Β: Να διαγωνίστηκε η Ζωή Γ:: Να μη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο ∆ημήτρης Τ.Θ.

12.

12.

Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες (Α), 9 μαύρες (Μ), κόκκινες (Κ) και πράσινες (Π) μπάλες. Οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 16. Επιλέγουμε μια μπάλα στην τύχη. ∆ίνονται τα παρακάτω ενδεχόμενα: Α: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΑΣΠΡΗ K: η μπάλα που επιλέγουμε είναι KOKKINH Π: η μπάλα που επιλέγουμε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ α) Να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδεχόμενα: i) Η μπάλα που επιλέγουμε δεν είναι άσπρη ii) ii) Η μπάλα που επιλέγουμε είναι κόκκινη ή πράσινη β) Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος (α). Τ.Θ.

Θεολόγης Καρκαλέτσης

8

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

1.2 1.2 / 5

4.

Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού 1 χώρου Ω για τα οποία ισχύει P ( A ) = και 3 3 5 3 P ( A ∪ B ) = . Να αποδείξετε ότι ≤ P (Β) ≤ .

4 12 4

Ανισοτικές σχέσεις στις πιθανότη πιθανότητες

1.

Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού 1 2 χώρου Ω με P ( A ) = , P ( B ) = 2 3 α) Να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα β) Να αποδείξετε ότι 1 ≤ 6P ( A ∩ B ) ≤ 3

5.

Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος τύχης ισχύουν Ρ ( Α ) = 0,2 και Ρ ( Β ) = 0,7 Να αποδείξετε ότι 0,7 ≤ Ρ ( Α ∪ Β ) ≤ 0,9 .

6.

Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος τύχης ισχύουν 2 3 Ρ ( Α′ ) = και Ρ ( Α ∪ Β ) = 3 4 5 3 Να αποδείξετε ότι ≤ Ρ (Β) ≤ .

12 4

2.

Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι: α) Ρ ( Α ) + Ρ ( Β ) ≤ 1 + Ρ ( Α ∩ Β ) β) 0 ≤ P ( A ) ⋅ P ( A ′ ) ≤ γ)

1 4

2 2 1 ≤  P ( A )  +  P ( A′ )  ≤ 1 2

7.

Αν Α, Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ ( Α ) = λ2 και Ρ ( Β ) = 7λ2 − 6λ + 2 .

δ) P ( A ∩ B ) ≤ P ( A ) ⋅ P ( B ) + P  ( A ∪ B )′    ε) 2P ( A ∩ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) ≤ 2P ( A ∪ B )

Να αποδείξετε ότι

3.

Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού 33 χώρου Ω για τα οποία ισχύει P ( A ∪ B ) = και 35 6 P ( A′ ) + P ( B′ ) = . Να υπολογίσετε τις πιθανότη7 τες των ενδεχομένων Α ∩ Β και Α′ ∪ Β′ .

1 1 ≤λ≤ .

4 2

Π7. Π7.

Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει P ( A′ ) ≤ α και P ( B ) ≤ β , 0 < α < β < 1 Να αποδείξετε ότι β − α ≤ P ( A ∩ B ) − P ( A ′ ∩ B′ )

Π8. Π8. (Το μεγάλο παζάρι) Έχουμε τρία κλειστά κουτιά, έστω τα Α, Β, Γ από τα οποία το ένα περιέχει ένα μεγάλο δώρο και τα άλλα δύο είναι άδεια. Σκοπός το παιχνιδιού είναι να βρει ο παίκτης το μεγάλο δώρο.

A

B

Ã

Α’ φάση: ∆ιαλέγει ο παίκτης ένα κουτί, έστω το Α. Ο παρουσιαστής του παιχνιδιού γνωρίζει εκ των προτέρων που βρίσκεται το μεγάλο δώρο. Ανεξάρτητα από το αν το μεγάλο δώρο βρίσκεται ή όχι στο κουτί Α ο παρουσιαστής ανοίγει το κουτί από τα Β και Γ που είναι κενό. Β’ φάση: Ο παίκτης καλείται τώρα να αποφασίσει αν θα επιμείνει στην πρώτη του προτίμηση (το κουτί Α) ή αν θα αλλάξει προτίμηση και θα επιλέξει το κουτί από τα Β και Γ που παραμένει κλειστό. Τι συμφέρει, από άποψη πιθανοτήτων, να επιλέξει ο παίκτης την δεύτερη φορά που θα ρωτηθεί;

Θεολόγης Καρκαλέτσης

2. Πραγματικοί αριθμοί

8.

Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: x ( x + 1) 2x − 1 α) Α = β) Β = x ( x + 2) x ( x − 1)

Πραγματικοί αριθμοί – Ιδιότητες πράξεων

2.1 / 1

1.

9

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις;

α) 3 ⋅ 7 − 4 − 2 ⋅ 3 ( 4 + 2 ⋅ ( −2 ) )

γ) Γ =

β) −3 ⋅ 7 + 4 + 2 ⋅ 3 ( 4 + 2 ⋅ ( −2 ) ) 1 2 1 3− 3 3 2−

γ)

ε)

1−

δ)

1 1−

2.

1 3

1+

1 −2 2 1 −3 3

2.1 / 2 2

στ)

1

2

3−

Μέθοδοι απόδειξης / Αναλογίες

1.

1

2−

1 x

x +1 δ) ∆ = x − 1 x −1 x +1

4−

2 3

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις;

Αποδείξτε με ένα αντιπαράδειγμα ότι δεν ισχύει η συνεπαγωγή α 2 = β2 ⇒ α = β

2.

Αν α, β, γ είναι τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός α + β + γ είναι πολλαπλάσιο του 3.

3  1 2  1  α) 2 −  −  1 +   4 2 3  2   3 2 3   1  3 2  β)  − ⋅  :  − 1 +    4 3 2   2  2 3 

3.

3.

μός α είναι περιττός β) αν ο αριθμός α 2 + 2α είναι άρτιος τότε και ο α είναι άρτιος

Να βρείτε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων για την τιμή του x που δίνεται σε κάθε περίπτωση; α) Α = −  −3  −2 ( x − 1) − ( x − 9 )   , x = −1 β) Β = − ( − x + 2 )( x − 1)( x + 4 )( 3 − x ) , x = 3 3 τότε να υπολογίσετε την τιμή της 2 παράστασης −5 ( −4x − 2y ) − 2 ( 2x − 3y )

4.

Αν x + y =

1+ α τότε να υπολογίσετε την τιμή της 4 παράστασης 2 ( α − 3β + 5γ ) − 3  α − 2 ( β − γ ) 

5.

Αν γ =

1 είναι αντίθετοι τότε: β α) να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και −β είναι αντίστροφοι β) να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = 4β − 2α ( β − 2 ) − 2 ( 3 − 2α − 2β ) 

6.

Αν οι αριθμοί α και

7.

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( 2x + 1)( y − 2 ) = 0

Έστω ο αριθμός α ∈ ℤ . Να αποδείξετε ότι:

α) αν ο αριθμός ( α + 3 ) είναι άρτιος τότε ο αριθ2

4.

Αν οι α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί τότε να αποδείξετε ότι: α) βγ − αδ = 2 β) βδ − αγ περιττός γ) α + β + γ + δ άρτιος αλλά όχι πολ.4

5.

Να αποδείξετε ότι για κατάλληλα α και β ώστε να έχει νόημα η παρακάτω παράσταση ισχύει: 1 1 + =1 α 2β 1− 1− 2β α

6.

∆ίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ με β ≠ 0 και δ ≠ γ ώστε να ισχύουν:

γ α+β 1 = = 4 και β δ−γ 4 α) Να αποδείξετε ότι α = 3β και δ = 5γ β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης α⋅γ +β⋅γ Π= β⋅δ − β⋅γ

Τ.Θ.

β) 2xy − 4x = 2 − y Θεολόγης Καρκαλέτσης

10

7.

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

4.

Να βρείτε τα α,β ∈ ℝ αν ξέρετε ότι α β = και ότι α + β = 40 3 5

Να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστά1 1 σεων για x = − και y = − : 3 2

8.

Να βρείτε τα α,β ∈ ℝ αν ξέρετε ότι οι αριθμοί α και β είναι ανάλογοι του 2 και του 3 και ισχύει α + β = 25 .

9.

Αν ισχύει

Αν

α γ = τότε (με την προϋπόθεση ότι οι β δ

παραστάσεις έχουν νόημα) να αποδείξετε ότι: α 5α − 7γ = β 5β − 7δ Αν οι γωνίες ενός τριγώνου είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 2, 3 και 4 τότε να υπολογίσετε τις γωνίες αυτές.

1.

∆υνάμεις

1 α) Α = 2 ⋅ 8 ⋅   2

−5

1 β) Β = ( 0,5 ) ⋅   2

4

4 δ) ∆ =   ⋅ 0,752 3

γ) Γ = 3 4 ⋅ 92 ⋅ 81

α)

2

3 5

5

3

 1 − α −2  γ)  −1  1+ α 

3.

β)

2

Αν οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

(α β ) ⋅ (α 2 −3

6.

4

−1 5

β

)

3

( )

⋅ α 7 ⋅ β3

3

Αν β = 2α με α ≠ 0 να υπολογίσετε την τιμή −5

3

 α2   α3  της παράστασης  3  ⋅  4  : α 3 β −1 β  β 

(

)

Έστω x, y πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει: 4x + 5y = −2 x − 4y α) Να αποδείξετε ότι: y = 2x β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 2x 2 + 3y 2 + xy Τ.Θ.

A= xy ∆ίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α,

−2

( )

24 x 2 y

3

x

 4  16 α)   = 25  5

( )

− 36 xy 3

8x 3 y 4

δ) 2 x ⋅ 2 x + 2 = 4

( )

α 22 ⋅ β3

8

α −2 ⋅ (αβ)25

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 4

3

13α 2β3 γ 4 − 5α 2β3 γ 4 12x 2 y 3 + 30x 4 y 3 α) β) 4αβ 2 γ 3 6x 2 y

Θεολόγης Καρκαλέτσης

x 2 ⋅ y 3 ⋅ x −1 1 y 2 ⋅ −1 x

(

( xy )−3 ⋅ xy 2  :  x 3 : y −4    1 για α = 0,125 και β = 4

(x − y) (y − x)

 α 3 β2 γ 4 δ−2  δ)   3 −3  εζ 

δ)

4

−2

5.

9.

Να εκτελέσετε τις πράξεις:

12x −2 y 4 − 18xy −1 γ) 3x −3 y −3

3

3

β) Να υπολογίσετε την τιμή Κ =

Να εκτελέσετε τις πράξεις:

( 6x y z ) : ( 8x y z )

−3

3

α2 + 1 α = . β2 + 1 β α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι

3

−4

−2

β, με α ≠ β για τους οποίους ισχύει

3

2.

γ) Γ =

8.

Να εκτελέσετε τις πράξεις: 13

) : (x y ) ) ⋅(y : x )

7.

11.

2.1 / 3

(

β) Β = x : y 2

α 3 = τότε να βρείτε την τιμή των β 5

παραστάσεων (με την προϋπόθεση ότι έχουν νόημα): 2α + 3β 3α α) β) β α − 2β β 2α + 3β γ) δ) 3α − β 5α − 7β

10.

10.

(

α) Α = x x 2 y 3

x

27 2 β)   = 8 3

1 ε) 2

2 3  

x +1

=

9 4

)

−2

⋅ x10 ⋅ y −8  

x

1 1 γ)   = 8 2

Τ.Θ.

2. Πραγματικοί αριθμοί

Αξιοσημείωτες ταυτότητες (Υπολογισμός, (Υπολογισμός, απλοποίη απλοποίηση παραστάσε παραστάσεων)

2.1 / 4

1.

11

γ)

Να αποδείξετε ότι:

(α − β ) = (β − α ) 2

2

και ( α + β ) = ( −α − β ) 2

2

2.

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:  3 + x2  2 α)  1 + x + ⋅ 1− x 1 − x  

(

)

 4xy   x y 2xy  − − 2 β)  x + y −  : x + y   x + y y − x x − y2   2 2  1 1   1  γ)  x +  − 2  1 + 2   :  x −  x x x       x2 x2y  x y  y δ)  2 − ⋅ + 2  : 2 2 2  2 x + y  xy + y x + xy   x − y  x − y

ε)

x 4 + x 2 y 2 + y 4 x 2 + 2xy − 3y 2 ⋅ x 2 − 4xy − 21y 2 x3 − y3

  x + 1 2   x − 1  2   x 3 + 1 2x στ)   + 3 : + 3 −    : 3      x + 1    x − 1 x − 1   x − 1  x

ζ) 1+

:

x

1 + x + x2 1 + 3x + 3x 2 + x 3

x 1+ x 4 2 2 x + x y + y 4 x 2 + 3xy + 2y 2 1 : ⋅ 2 3 3 2 x +y x − 3xy − 10y x − 5y 1− x +

η)

 y  −2 ( x + y )2 − 4xy  x4  − ⋅ θ)   2 2 4 x 2 − xy  y − x   x y −y  

ι)

κ)

3. α)

β)

( x + 2 ) ⋅  1 +

6x + 12   5x + 5   ⋅ 1 + 2  2 x −x−6  x + 3x + 2 

 x −1 x −1 x+3 x+3 + − 3 x−2 : 3 x−2 x+2 x+2 x−5 x−5 + + 4 x − 3 12 4 ( x − 1)

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α 3 − β3 α + β ⋅ α 3 + β3 α − β 2

 α 2 + αβ + β2   2 2   α − αβ + β  α 3 β3 1 1 1 − 3 + + 2 3 2 αβ β β α α : 1 1 α β  α β  −  −  ⋅  + − 1 β α β α β α    

α 2 α β2 β − + − β2 β α 2 α 2

 1 1 α β   −  ⋅  + + 1 α β  β α 

 x − y x + y ( x − y ) 2 ( x + y )2   : x4 − y4 + + − δ)  y x y  x    3 3 2 2 α −β α −β  1 1 ⋅ 3 ⋅ 2+ 2 2 2 3  α +β α +β α β  ε) 2 ( α + β ) − αβ ⋅  1 − 1    2 ( α − β ) + αβ  β α 

(

)

1  1  α + β + γ   β2 + γ 2 − α 2  −2  ⋅ 1 + στ) στ)   ⋅ (α + β + γ) 1   2βγ 1   α −β+γ   

1 α3 − 1 α2 − 1 α+ α +1 2 x −3 1− − x 1 + 3x η) 2  3  1 − x  ⋅ 1 − x     1+  1  1  2 + x ⋅3 + x      θ)

ζ)

 3α  3 α 2 + αβ + β2 3  2α + β ⋅ − ⋅  3 : 2 3 2  α+β β − α  α + 2αβ + β  α + β  α − β

4.

∆ίνεται το τριώνυμο − x 2 +

(

)

3 −1 x + 3 .

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: ∆ =

(

3 +1

)

2

β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο

Τ.Θ.

x 2 − 4x + 4 .

2x 2 − 3x − 2 α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 2x 2 − 3x − 2 β) Για ποιες τιμές του x ∈ ℝ ορίζεται η παράσταση K; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση K Τ.Θ.

5.

∆ίνεται η παράσταση: Κ =

Π9. Π9.

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: α) α 5 + β 5 = β) α 5 − β 5 = γ) α 6 − β6 =

δ) α10 − β10 = Θεολόγης Καρκαλέτσης

12

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

2.1 / 5

1.

Να αποδείξετε ότι:

α)

( 2α − 3 )

β)

(α

2

8.

Απόδειξη ισοτήτων (απλών και υπό συνθήκη)

)

−  2 ( α + 1)  = 5 − 20α 2

2

δ)

2

( 3α + 2 ) − ( 2α + 3 ) 2

2

β)

(α

9.

Να αποδείξετε ότι:

2

+ β2 + γ 2

3

10.

= 5 ( α + 1)( α − 1)

Να αποδείξετε την ταυτότητα

(α + β) 3.

4

= α 4 + 4α 3 β + 6α 2β2 + 4αβ3 + β 4

Να αποδείξετε ότι 2

α)

 1 1 1  + +   = α −β β−γ γ −α  1 1 1 = + + 2 2 2 (α − β ) (β − γ ) ( γ − α )

4.

Να αποδείξετε ότι:

α)

(α + β + γ )

3

3

3

5.

(α + β + γ ) − (α + β − γ ) − (α − β + γ ) − 3 − ( −α + β + γ ) = 24αβγ 3

3

2

2

1 + α2 1 + α2 1 1 και λ = τότε 2 + 2 = 1 2 2α 1−α κ λ

β) να αποδείξετε ότι α 2 + β2 + γ 2 = 9

12.

Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει:

(α να αποδείξετε ότι

3

α) Να αποδείξετε ότι:

(α + β) − (α − β)

2

)

Αν για τους μη μηδενικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει: 1 1 1 α + β + γ = 3 και + + = 0 α β γ α) να βρείτε την τιμή Α = αβ + βγ + αγ

2

+3β2 ( α + γ ) + 3γ 2 ( α + β ) + 6αβγ

β)

(

= 2 α 4 + β4 + γ 4

11.

= α + β + γ + 3α ( β + γ ) + 3

2

Να αποδείξετε ότι

αν κ =

2.

)

β) αν α − β = 2 τότε α 3 − 3α 2 = β3 + 3β 2 − 4

γ) α ( α + 1) − ( 2α ) = ( α − 1) − (1 − α ) 2

α 2 + β2 = γ 2 − 2αβ

2

2

2

α)

α) αν ( α + β ) − ( α − β ) = 8 τότε αβ = 2

− 2 − α ( α − 2 )( α + 2 ) = 4 2

Να αποδείξετε ότι αν α + β + γ = 0 τότε:

= 4αβ

2

+ β2

) = (α 3

3

+ β3

)

2

α β 2 + = β α 3

13.

α) Να αποδείξετε ότι: 1 1 β) Αν α + = 5 να υπολογίσετε το α 2 + 2 α α 2 4 γ) Αν α − = 5 να υπολογίσετε το α 2 + 2 α α

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 2

 344 345   344 345  Α= + −  −   345 344   345 344 

6.

2

α) Να αποδείξετε ότι: ( α + β )( α − β ) − ( α + γ )( α − γ ) = ( γ − β )( γ + β )

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = 2012 ⋅ 2008 − 2011 ⋅ 2009

7.

Π10. Π10. Ταυτότητα Euler Να αποδείξετε ότι α) α 3 + β3 + γ 3 − 3αβγ = 2 2 2 1 = ( α + β + γ ) ( α − β ) + ( β − γ ) + ( γ − α )    2 β) αν α + β + γ = 0 τότε α 3 + β3 + γ 3 = 3αβγ

α) Να αποδείξετε ότι α +β α 3 + β3 = α + ( α − β ) α 3 + ( α − β )3

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 19923 + 19533 19923 + 393 Θεολόγης Καρκαλέτσης

γ)

(α − β) + (β − γ ) + ( γ − α ) = 3 ( α − β )( α − γ )( β − γ ) 3

3

3

=

2. Πραγματικοί αριθμοί

Π11. Π11.

13

6.

Ταυτότητα Langrange (2 x 2)

α) για α, β ομόσημους, α ≠ β ισχύει:

α) Να αποδείξετε ότι:

(α

2

)(

)

+ β 2 x 2 + y 2 = ( αx + βy ) + ( αy − βx ) β) 2

2

Να γράψετε το 13 ⋅ 41 σαν άθροισμα τετραγώνων δύο ακέραιων αριθμών

β) για α, β ετερόσημους ισχύει:

7.

2.2 / 1

α)

α 2 + 4 ≥ 4α

γ)

α ( α + 6 ) ≥ 2 ( α − 2 ) δ) 4β ( α − 2β ) ≤ ( α − β )

2.

Να αποδείξετε ότι

α)

(α + β)

2

α) Να αποδείξετε ότι

(α

2

)(

(α

2

δ)

5 x 2 + y 2 ≥ ( x + 2y )

ε)

2 ( α − 1) ≥ ( α + 1 ) − 8

2

)

+ 1 β2 + 9 ≥ ( αβ + 3 )

β) Να αποδείξετε ότι

α+β αβ ≤    2  2

2

Να αποδείξετε ότι: 1 1 1 1 < + + ... <1 2 1001 1002 2000

2

)

)

2

≥ 4α β

(

) (

Π12. Π12. Ανισότητα Cauchy - Swhartz

γ)

στ) αβ ≤

(

β) α ( α + 4β ) ≥ β ( 2α − β )

α 2 + β2  α + β  ≥  2  2 

α 2 + β2 ≤ −1 2αβ

3 α4 + α2 + 1 ≥ α2 + α + 1

8.

Να αποδείξετε ότι:

α 2 + β2 ≥1 2αβ

Να αποδείξετε ότι:

Απόδειξη ανισοτήτων

1.

β)

Να αποδείξετε ότι:

)(

)

2

+ β 2 x 2 + y 2 ≥ ( αx + βy )

2

γ) Να αποδείξετε τώρα το α) ερώτημα βοηθούμενοι από το β) ερώτημα 2

2

Απόδειξη ανισοτήτων υπό

α 2 + β 2 α 3 − β3 , α≠β ≤ 2 α −β

συν συνθήκη – Βασική σχέση α + 2.2 / 2

3.

1 α

Να αποδείξετε ότι:

α) α 2 + α + 1 > 0 β) α 2 − 4α + 5 > 0 γ) α 2 + β2 + γ 2 ≥ αβ + βγ + αγ

Να αποδείξετε ότι αν οι αριθμοί α και β είναι 1 1 ομόσημοι τότε α < β ⇔ > . α β

δ)

(α + β + γ )

ε)

α 2 + β2 + γ 2 + δ2 ≥ 2 ( αβ − γδ )

2.

Αν α + β = 4 τότε να αποδείξετε ότι αβ ≤ 4 .

4.

Να αποδείξετε ότι:

3.

Εάν α < 1 να δείξετε ότι 1 − α 3 > 3α(1 − α) .

β) α 2 + β 2 + 5 ≥ 2 ( α − 2β ) . Πότε ισχύει το ίσον;

4.

Αν α < −3 να δείξετε ότι 6 ( α + 1) < −3 (1 − α )

5.

5.

Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισότητες:

α) β)

x > 1 ⇔ 2x 3 − x 2 < 2x 4 − 1 x > 2 ⇒ x 3 > 2x 2 − x + 2

6.

Εάν α > 0 , β > 0 , γ > 0 να δείξετε ότι

α)

2α ≤1 α2 + 1

2

≥ 3 ( αβ + βγ + αγ )

1.

α) α 2 + 4β2 + 3γ 2 + 15 > 2α + 12β + 6γ

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α και β για τους οποίους ισχύει: α) α 2 + β2 = 4 ( β − 1) β) α 2 + β2 + 20 ≤ 4 ( 2β − α )

β) α 5 + β 5 ≥ α 4 β + β 4 α

Θεολόγης Καρκαλέτσης

14

γ) δ)

ε)

7.

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

α 2 + β2 α + β ≥ α+β 2 α+β 2 ≥ αβ ≥ 1 1 2 + α β α 2 + β2 α 2 + γ 2 β2 + γ 2 + + ≥α+β+ γ α+β α+γ β+γ

Αν για τους α,β, γ ∈ ℝ με α,β, γ > 0 ισχύει

β+γ  γ+α  α+β  αβ  − γ  + βγ  − α  + γα  − β ≤ 0 τ  2   2   2  ότε να αποδείξετε ότι α = β = γ .

8. α)

Αν αβ < 0 δείξτε ότι:

(1 + α ) ⋅ (1 + β ) < 1 + α + β

β) Αν α − β ≤ 0 τότε 1 − αβ ≥ (1 + α ) ⋅ (1 − β )

2.2 / 3

1.

Αν 3 < x < 5 τότε να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: 1 1 3x − 4 + 3 β) 1 − γ) δ) x 2 − 1 α) x 2−x x

2.

Αν 1 < x < 3 και 2 < y < 5 τότε να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις: α) x + y β) x − y γ) 2x − 3y δ) x 2

Να αποδείξετε ότι αν: α β + ≥2 β α α β οι α και β είναι ετερόσημοι τότε + ≤ −2 β α

α) οι α και β είναι ομόσημοι τότε β) γ)

οι α, β, γ είναι ομόσημοι τότε α+β β+γ γ+α + + ≥6 γ α β

10.

10.

∆ίνονται πραγματικοί αριθμοί α, β, με α > 0 και β > 0 . Να αποδείξετε ότι: 4 4 4 β) (α + )(β + ) ≥ 16 α) α + ≥ 4α Τ.Θ. α α β

11.

11.

Αν ισχύει α > β > 0 τότε να αποδείξετε ότι 1 1 α 7 − > β7 − α β

Π13. Π13.

Σε μία τάξη υπάρχουν 10 μαθητές που έχουν διαφορετικό ύψος. Ένας από αυτούς, που θα τον ονομάσουμε Α έχει ύψος ίσο με τον μέσο όρο του ύψους των 6 πιο κοντών, ενώ ένας άλλος που θα τον ονομάσουμε Β έχει ύψος ίσο με το μέσο όρο του ύψους και των 10 μαθητών. Ποιος είναι ο πιο κοντός, ο Α ή ο Β; (Μέσο όρο ν αριθμών ονομάζουμε το πηλίκο του αθροίσματος των αριθμών διά του ν). Ε.Μ.Ε.

Θεολόγης Καρκαλέτσης

ε)

y2

στ) x 2 + y 2

3.

−3 < x < −1 και 2 < y < 5 τότε να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις: α) x + y β) x − y γ) 2x − 3y

δ) x 2

9.

Ελάχιστη και μέγιστη τιμή παραστάσεων

ε)

y2

στ) x 2 + y 2

4.

Αν −1 < x < 3 και 2 < y < 5 τότε να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρουν οι παραστάσεις: α) x + y β) x − y γ) 2x − 3y δ) x 2

ε)

y2

στ) x 2 + y 2

5.

Αν 2 ≤ x ≤ 3 και 1 ≤ y ≤ 2 , τότε να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: x α) x + y β) 2x − 3y γ) Τ.Θ. y

6.

Αν 2 ≤ α ≤ 4 και −4 ≤ β ≤ −3 τότε να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: α) α − 2β β) α 2 − 2αβ Τ.Θ.

7.

Αν 3 ≤ x ≤ 5 και −2 ≤ y ≤ −1, να βρείτε μεταξύ ποιων τιμών βρίσκονται οι παραστάσεις: β) x 2 + y 2 Τ.Θ. α) y − x

2.2 / 4

1.

Σύγκριση παραστάσεων

Αν α < β < γ τότε να συγκρίνετε τους αριθμούς Α = αβ + βγ και Β = β2 + αγ .

2.

Εάν αβ < 0 να συγκρίνετε τους αριθμούς 4 −β 4 α−4 4 και Β = . Α= + − β αβ α αβ

2. Πραγματικοί αριθμοί

3.

15

∆ίνονται οι παραστάσεις:

Κ = 2α 2 + β2 + 9 και Λ = 2α(3 − β), όπου α,β ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι: Κ − Λ = (α 2 + 2αβ + β 2 ) + (α 2 − 6α + 9) β) Να δείξετε ότι: Κ ≥ Λ , για κάθε τιμή των α, β γ) Για ποιες τιμές των α, β ισχύει η ισότητα Κ = Λ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Τ.Θ.

4.

∆ίνονται οι παραστάσεις:

Κ = 2α 2 + β2 και Λ = 2αβ , όπου α,β ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι: Κ ≥ Λ, για κάθε τιμή των α, β. β) Για ποιες τιμές των α, β ισχύει η ισότητα K = Λ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Τ.Θ.

5.

Απλοποίηση παραστάσεων με  α, α ≥ 0 απόλυτη τιμή α =   − α, α < 0

2.3 / 1

1.

Να υπολογίσετε τις παρακάτω απόλυτες τιμές:

α)

−7 =

β) 0 =

δ)

2π − 8 =

ε)

1 2

−1 =

γ)

3 −2 =

στ)

32 − 6 −1 = 7

2.

Αν ισχύει 0 < α < β < γ να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) Α = α − β − 3α − 3γ + 2α + 2γ − β − γ

Αν 0 < α < β τότε να συγκρίνετε τους αριθμούς 1 1 Α = 7 και Β = 7 . α β 6. Αν α > 1 να διατάξετε τους αριθμούς 1 , 12 , α α 1 από τον μεγαλύτερο προς τον μικρότερο.

3.

7.

χωρίς απόλυτες τιμές. β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: x − 5 x − 10 Τ.Θ. + A= x − 5 x − 10

Αν 0 < α < 1 τοποθετείστε από το μεγαλύτερο προς τον μικρότερο τους αριθμούς 1 1 α , α2 , 2 , , α − 1 α α

8.

Για κάθε πραγματικό αριθμό x με την ιδιότητα 5 < x < 10 α) να γράψετε τις παραστάσεις x − 5 και x − 10

4.

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) Α = 5 − x − 2

Αν 0 < α < 1 , τότε

α) να αποδείξετε ότι: α 3 < α β) να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς 0, α 3 , 1, α ,

β) Β = 3 β − α − 2α − 2β + 5β − α

1 α

9.

Για τους αριθμούς α και β ισχύει αβ + 1 > α + β > 2 α) Να αποδείξετε ότι α − 1 > 0 και 1 − β < 0 1 1 1 β) Να αποδείξετε ότι 2 < − α −1 α α γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: Α = β3 − 1 και Β = β2 − β

Τ.Θ.

β) Β = 3 + 2 1 − x γ) Γ = x − 2 − 3 2 − x

5.

Β= x − 3 όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός.

α) Για 2 ≤ x < 3 να αποδείξετε ότι Α + Β = x − 1 β) Υπάρχει x ∈  2,3 ) ώστε να ισχύει Α + Β = 2 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

6.

Να συγκρίνετε τους αριθμούς 251 και 334

Τ.Θ.

Αν x < 1 να απλοποιήσετε την παράσταση Α = x − 2 − 2 x −1 + x + 3 − 5

7. Π14. Π14.

∆ίνονται οι παραστάσεις Α = 2x − 4 και

∆ίνεται η παράσταση: A = x − 1 + y − 3 με

x, y ∈ ℝ , για τους οποίους ισχύει: 1 < x < 4 και 2 < y < 3 . Να αποδείξετε ότι: α) A = x − y + 2 Τ.Θ. β) 0 < A < 4

8.

∆ίνεται η παράσταση: A = 3x − 6 + 2 , όπου ο x

είναι πραγματικός αριθμός. Θεολόγης Καρκαλέτσης

16

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

α) Να αποδείξετε ότι: i) για κάθε x ≥ 2 , A = 3x − 4 ii) ii) για κάθε x < 2 , A = 8 − 3x . β) Αν για τον x ισχύει ότι x ≥ 2 να αποδείξετε ότι: 9x 2 − 16 = 3x + 4 Τ.Θ.

3x − 6 + 2

2.3 / 2

Γεωμετρική ερμηνεία απόλυτης τιμής: α − β = d ( α,β ) = β − α

1.

2.3 / 3

1.

Να γράψετε την παράσταση Α= α− α + α+ α

χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής.

2.

Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις:

α) Α = x 2 − xy β) Β = α 2 + 2 αβ + β2

∆ίνεται ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση: d ( x,5 ) ≤ 9 .

3.

α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του x γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β). δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι: x + 4 + x − 14 = 18 Τ.Θ.

α) Α =

2.

∆ίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς − 2, 7 και x αντίστοιχα, με −2 < x < 7 . α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων. i) x+2 ii) ii) x − 7 β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος: x+2 + x −7

Ιδιότητες απόλυτης τιμής

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

β) Β =

x 2 − 2x x3 + x2 x 2 − 3x + 2

− x 2 + 4x − 3

4.

Να υπολογίσετε τα α και β: α) α − 1 + β − 2 = 0 β)

5.

α 2 − 2αβ + β2 + α − β = 0

Αν α,β, γ ≠ 0 τότε να αποδείξετε ότι −3 ≤

α β γ + + ≤3 α β γ

6.

Να υπολογίσετε τα α και β: α) α − 3 + 4 3 − α = 0 β)

α − 2 + 2α − 4 = 0

γ) 3 α − 1 + 2 3 − 3α = 0

γ) Να βρείτε γεωμετρικά την τιμή της παράστασης Α = x+2 + x−7

7.

δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα Τ.Θ.

β)

α − β = α + β ⇔ α ⋅β ≤ 0

γ)

α − β = α + β ⇔ α ⋅β ≤ 0

δ)

α − β = α − β ⇔ α ⋅β ≥ 0

3.

Σε έναν άξονα τα σημεία Α, Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθμούς 5, 9 και x αντίστοιχα. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων x − 5 και x − 9 β) Αν ισχύει x − 5 = x − 9 i) Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου Μ αναγνωρίζετε; ii) ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό x που παριστάνει το σημείο Μ. Να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας Τ.Θ.

Θεολόγης Καρκαλέτσης

Να αποδείξετε τις ισοδυναμίες: α) α + β = α + β ⇔ α ⋅ β ≥ 0

8.

∆ίνεται η παράσταση Α = x − 1 − 2 2 − x

 x − 3, x < 1  α) Να αποδείξετε ότι Α = 3x − 5, 1 ≤ x < 2 − x + 3, x ≥ 2 

β) Να λύσετε τις εξισώσεις Α = 0 και Α = 2 γ) Να αποδείξετε ότι Α ≤ 3 για κάθε x πραγματικό. Ποια είναι η μέγιστη τιμή της παράστασης και για ποια τιμή του x η παράσταση Α παίρνει την μέγιστη τιμή

2. Πραγματικοί αριθμοί

Π15. Π15.

α) Αν α,β ≠ 0 , να δείξετε ότι β α + ≥ 2 (1) β α

β) Πότε ισχύει η ισότητα στην (1); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Τ.Θ.

2.3 / 4

1.

Ανισώσεις – Ανισότητες με απόλυτη τιμή

Αν x ≤ 2 και y ≤ 1 να αποδείξετε ότι:

α)

x−y ≤3

β)

2x + y ≤ 5

γ)

3x − 2y ≤ 8

17

Τετραγωνική ρίζα (Ορισμός, ιδιότη ιδιότητες)

2.4 / 1

1.

Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες:

α)

9

β)

900

γ)

0,09

δ)

196

ε)

1,96

ε)

1.960.000

στ)

484

ζ)

0,00484

η)

48.400

θ)

1024

ι)

10,24

κ)

102.400

2.

Να υπολογίσετε (αν ορίζονται) τις ρίζες:

α) 13 2

β)

13

2

γ)

( −5)

2

−5

δ)

2

3.

Αν είναι Α = 2 − 3, Β = 2 + 3, τότε: α) Να αποδείξετε ότι Α ⋅ Β = 1 β) Να υπολογίσετε την τιμή Π = Α 2 + Β 2

Τ.Θ.

2.

∆ίνονται δύο τμήματα με μήκη x και y, για τα οποία ισχύουν x − 3 ≤ 2 και y − 6 ≤ 4 α) Να δείξετε ότι 1 ≤ x ≤ 5 και 2 ≤ y ≤ 10 β) Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις 2x και y Τ.Θ.

3.

Αν x ≤ 2 , y ≤ 3 να δείξετε ότι

4.

Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες:

α)

( −14 )

γ)

(

5.

α) Να αποδειχθεί ότι 1 < α < 3 β) Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται το β γ) Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση 2α − 3β δ) Να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η α παράσταση Τ.Θ. β

Α=

Αν β ≠ 0 , 2α + 5β ≠ 0 και

5α + 2β α <1 να αποδείξετε ότι < 1.

2α + 5β β

2

δ)

(

24 − 5

)

2

x2 + y2 x2 x 2 − 2x + 1 − αν 0 < x < 1 x x −1

Γ = x 2 − 4x + 4 − x 2 + 4x + 4 αν x < 2 ∆=

x x2 x 2 − 6x + 9 − για x ∈ ℝ x x −3

Ε = x 2 − 2x + 1 − x 2 + 2x + 1

5. α) β) γ)

Π16. Π16.

)

3 − 2 3 +1

x2 + y2

Β=

Για τους πραγματικούς αριθμούς α,β ∈ ℝ ισχύει ότι: α − 2 < 1 και β − 3 ≤ 2

2− 3

β)

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

2x + 3y ≤ 13

4.

2

δ)

6.

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

(2 (3

( (

3 +3 2 3 −1

)

)

2

2

α+ β − α− β α+ β−

)

2

α− β

)

2

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

 1 1  2 α α)  + :  α − β α + β  α2 − β   Θεολόγης Καρκαλέτσης

18

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

1

β)

3 +1 1

γ)

8+ 3 5+2

δ)

1

+

5 −2

−

+

4.

3 −1 1

Α = 200 − 5 2 − 18 Β = 48 + 12 − 75

8− 3

12 96 150 + − +2 2 2 2 α) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές τις Α, Β, Γ Γ=

5 −2 5 +2

 α +β α −β  α +β α −β + −   :   α +β  α −β α + β   α −β

ε)

7. α) Να επιλέξετε έναν τρόπο, ώστε να αξιοποιήσετε ότι 2 ≅ 1,41 , 3 ≅ 1,73 , 5 ≅ 2,24 , 7 ≅ 2,64 και να υπολογίσετε με προσέγγιση εκατοστού τους αριθμούς

5.

Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: 1 2 β) α) 2 2 −1 3+ 2

ε)

3 20 + 80

ζ)

Τ.Θ.

45 − 5

4x + 15y − 17 + − x + 5y + 13 = 0

7− 5

ι)

5 +1

6. Αν

α+ β x 2 − 4x + 4 x2 + 5 − 3 1

η)

5+ 3+ 2 1

3+ 5− 2 1 3

2 −1

−4 < x < −3 να απλοποιήσετε την παράστα-

ση: Α=2

2.4 / 2

στ)

3 + 2 −1 1

3

α− β

δ)

1

θ)

Να λύσετε την εξίσωση

2

γ)

20, 45 και 80 β) Αν δεν γνωρίζαμε τις προσεγγιστικές τιμές των ριζών πώς θα μπορούσατε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

Π17. Π17.

∆ίνονται οι παραστάσεις:

Απλοποίηση ριζικού – Ρητοποί Ρητοποίηση παρονομαστή

( x − 2)

2

+ x 2 + 6x + 9 − 3

(x + 4)

2

Π18. Π18.

Υπολογίστε το άθροισμα 1 1 + + + ...

2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4 1 ... + 2025 2024 + 2024 2025 1

1.

Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:

α)

72 + 50 − 32

β)

12 + 27 + 75

γ)

50 + 18 − 8

( ε) ( στ) (

δ)

2.

) 75 ) ⋅ 3 8)⋅ 2

72 + 50 − 32 ⋅ 2 12 + 27 + 50 + 18 −

2.4 / 3

2

α) Αν x + 75 = 48 να βρείτε το x .

β) Αν x − 125 = 45 − 80 να βρείτε το x 2 .

3.

∆ίνονται οι παραστάσεις:

Α = 3 2 + 200 − 50 και Β = 300 − 75 − 12 α) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α, Β. β) Να υπολογίσετε την παράσταση Γ = Α 2 − Β 2 . Θεολόγης Καρκαλέτσης

1. α)

Υπόριζες ποσότητες που είναι τέλεια τετράγωνα τετράγωνα– γωνα–Περιορι Περιορισμοί

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 33 + 20 2

γ)

5−2 6

ε)

14 − 6 5

2.

β)

7+4 3

δ)

11 − 6 2

Για ποιες τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις:

2. Πραγματικοί αριθμοί

x −3 − 5−x

α)

x −5 − 8− x

γ)

3.

19

β)

5−x

4.

x−2

α)

3

28 − 1 ⋅ 3 28 + 1 = 3

β)

5

33 + 1 ⋅ 5 33 − 1 = 2

− ( 2x − 5 )

δ)

2

(

x − 4 + x +1

)(

x − 4 − x +1

)

α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x Τ.Θ. ∆ίνεται η παράσταση

A= x−4 + 6−x α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος β) Για x = 5 , να δείξετε ότι A2 + A − 6 = 0 Τ.Θ.

5.

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

x = 11 + 6 2 + 11 − 6 2 είναι ακέραιος. Υπόδειξη: Αποδείξτε πρώτα ότι x 2 = 36 .

Νιοστή ρίζα (Ορισμός, ιδιότητες)

2.4 / 4

1.

Να υπολογίσετε τις παρακάτω ρίζες: 3

α)

8

β)

4

27

δ)

3

γ)

3

2.

Να βρείτε τα εξαγόμενα:

16 125

α)

3

α ⋅ α5

β)

γ)

12

211 : 4 23

δ)

6

57 : 3 52

ε)

7

α 2β3 : 21 αβ 5

στ)

3

α 4 β 5 : α 2 β3

33 ⋅ 3 32 ⋅ 6 3

3.

Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μίας ρίζας: α) γ) ε)

α+β + 2 αβ = α + β με α ≥ 0 , β ≥ 0

γ) ∆ίνεται η παράσταση: Α=

4.

Να αποδείξετε ότι:

β)

3 3 3 3

3

4

3

δ)

3 3

α α

4

α

στ)

4 3

2

5

2

3 2 3 2 3 2 4 3

3

α αβ

5.

Αν α < β < 0 τότε να αποδείξετε ότι:

(α − β)

2

− 3 ( −α ) + 4 β 4 = 0 3

6.

Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητό παρονομαστή: 7 6 α) 3 54 β) 3 γ) 5 4 14 3 α β δ) ε) 3 2 6 4 α β

7.

Για ποιες τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις: α)

3

β)

2x - 5

4

x2

γ)

6

− x 2 + 2x − 1

8. ∆ίνεται η παράσταση A = 1 − x − 4 x4 α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος. β) Αν x = −3 , να δείξετε ότι: A3 + A 2 + A + 1 = 0 Τ.Θ.

9. ∆ίνεται η παράσταση: B = 5 ( x − 2 )

5

α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Β; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x υπό μορφή διαστήματος. β) Αν x = 4 , να δείξετε ότι: B 2 + 6B = B 4 Τ.Θ.

2.4 / 5

1. α)

2.

Σύγκριση ριζικών

Να συγκρίνετε τους παρακάτω αριθμούς: 3

5 και 2

β)

4

3 και

3

2

Να συγκρίνετε τους παρακάτω αριθμούς:

α)

6 + 2 και 2 + 3

β)

5 και

γ)

5 − 2 6 και

3+ 2 3−2 2 Θεολόγης Καρκαλέτσης

20

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

δ)

7 − 5 και

9 −2

ε)

26 + 6 και 13 + 17

3.

i)

Αν x > 1 να διατάξετε από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη τις παραστάσεις:

4. α)

x,

1 x x

iii) iii)

4.

Να δείξετε ότι: 3 < 30 < 4 .

β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς

5. ∆ίνονται οι αριθμοί

( 2)

6

και B =

3

30 και 6 − 3 30

( 2) 3

6

α) Να δείξετε ότι: A − B = 4 β) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς:

3

2, 1,

Τ.Θ.

2

6. ∆ίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις: Α=

( 2) , Β = ( 3) , Γ = ( 6) 6

3

6

6

β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

3

3 και

6

6 . Να Τ.Θ.

Αν είναι Α = 3 5, Β = 3, Γ = 6 5, τότε:

α) να αποδείξετε ότι Α ⋅ Β ⋅ Γ = 15 β) να συγκρίνετε τους αριθμούς Α, Β

2.4 / 6

1.

Απόδειξη ανισοτήτων με ρίζες

Να αποδείξετε τα παρακάτω:

α) Αν α > β > 0 τότε ισχύει:

α > β ⇔α >β

β) Αν α, β είναι θετικοί με α ≤ β τότε ισχύει: α+β i) α ≤ ≤β 2 ii)) α ≤ αβ ≤ β ii

2.

Αν α, β, γ θετικοί να αποδείξετε ότι: α) ( α + β )( β + γ )( γ + α ) ≥ 8αβγ β)

α+ β+ γ 1 1 1 + + ≥ α β γ αβγ

Π19. Π19.

αβ + βγ + γα ≤ α + β + γ αβ + γδ ≥ 2 4 αβγ

α) Αν x > 0 να αποδείξετε ότι

Τ.Θ. β) Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της

1 x

x+

≥2

1 x

και

για ποια τιμή του x παίρνει την ελάχιστη τιμή γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε α > 0 είναι α = α α δ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή των παραστάσεx2 + 5 x+4 ων: Α = και Β = x+3 x2 + 4

Τ.Θ.

α) Αν α,β ≥ 0 να αποδείξετε ότι α +β αβ ≤ 2 β) Ένα ορθογώνιο με πλευρές x, y έχει περίμετρο ℓ. Να αποδείξετε ότι το τετράγωνο με πλευρά ℓ έχει εμβαδόν τουλάχιστον 16πλάσιο του εμβαδού του ορθογωνίου

6.

α) Αν α,β > 0 να αποδείξετε ότι: 2

α 2 + β2  α + β  i) ≥  2  2  2αβ α+β ii)) ≤ αβ ≤ ii α+β 2

β) Έστω η εξίσωση x − αβ + x −

2αβ α+β =x− (1) α + β 2

α+β 2 ii) ii) Να γράψετε την (1) χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να τη λύσετε ως προς x α+β α 2 + β2 iii) αβ ≥ iii) Να αποδείξετε ότι 2 2 iv) iv) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α)(i) να συμπεράνετε ότι α = β v) Να βρείτε τη λύση της εξίσωσης

i) Να αποδείξετε ότι x ≥

Να «βάλετε» τον αριθμό 3 − x μέσα στο ριζικό της παράστασης Α = ( 3 − x )

Θεολόγης Καρκαλέτσης

x+

5.

6

α) Να δείξετε ότι: A + B + Γ = 23 .

7.

α +β 2

ii) ii) γ αβ + β γα + α βγ ≤ αβ + αγ + βγ

x x

,

3

A=

αβ ≤

β) Αν α, β , γ ≥ 0 να αποδείξετε ότι:

3.

1 , x

α) Αν α,β ≥ 0 να αποδείξετε ότι

3+x 3−x

3. Εξισώσεις

3.1 / 1

21

Εξισώσεις 1ου βαθμού

Εξισώσεις 1ου βαθμού με απόλυτες τιμές

3.1 / 2

1.

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 − 4 ( 2 − x ) = 2 ( 3 − x ) 2x + 1 x − 2 1 − = 7 3 2 γ) 12 + 4x = 6 − 2 ( 3 − 2x )

β)

δ)

x − 5 14 7x + = − 3 ( x − 3) 2 4 2

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 3 ( 2 − x ) + 5 ( x + 4 ) + 2 = 3x + 30 β) 2x – x ( x – 5 ) = − x 2 + 7x – 8 γ) –3 ( 2x – 5 ) + 7 ( x – 1) = 4 ( 2 – x ) + 3

(

)

δ)

( 2x – 5 )

3.

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 3 ( 2x − 1) x − 3 6x − 3 − = 5 4 10 5 − x 2x + 1 x − 1 − = 3 4 6 2 x − 1 1 5 − 3x 7 − 2x ⋅ − ⋅ = 3 5 2 6 15 2 − x 2 + x 2x + 7 2x + 5 − = − 4 2 4 3

β) γ) δ)

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2x − 5 = 7 β) γ)

1 − 5x = 2

2.

Να λύσετε τις εξισώσεις:

2

– 3 ( x – 2 ) = 4 x – 3 + 5x 2

4.

Να βρείτε το α ∈ ℝ ώστε η εξίσωση 7−x x x α) + = α − να έχει ρίζα το 4 3 4 2 x + 1 3x − 1 − = α να έχει ρίζα το –1 β) − 2 4

γ) ε) στ)

3.

Ένα συνεργείο 13 εργατών, αν εργαστεί 10 ώρες την ημέρα, για να ολοκληρώσει ένα έργο χρειάζεται 32 ημέρες. Ακριβώς τότε, προσλαμβάνονται Ν εργάτες επιπλέον, οπότε το συνεργείο που προκύπτει, εργαζόμενο επί 8 ώρες την ημέρα, παραδίνει το έργο σε 20 ημέρες. Ο αριθμός Ν των επιπλέον εργατών είναι: α) 10 β) 13 γ) 20 δ) 26 Α.Σ.Ε.Π. 2004 για αποφοίτους Λυ Λυκείου

−3x + 15 = 45

x +1

β)

3 x−2

2 x −1 − 5

= 15 δ) 3 3 x − 8 = 3 ( x − 10 ) − 7 ( x − 8 )

2x − 1 3

−

2 − 4x 5

= 10 −

x +5

=

8 x−2

−

4

=

1 5

6x − 3 4

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α)

x +1 = 2

β)

x −3 = 5

γ)

2 − 5 x =1

δ)

x−2 −x =4

4.

Να λύσετε τις εξισώσεις: β) d ( x − 2,3 ) = 5 α) d ( x,3 ) = 3 γ) d ( 2x − 4,3 ) = 0

d ( x + 1, x + 3 ) = 1

δ)

5.

Να λύσετε τις εξισώσεις: β) 2x − 1 = 2 − 3x α) x − 3 = 2x − 1 γ)

x−2 = 2−x

3x − 6 = x − 2

δ)

6.

Να λύσετε τις εξισώσεις: β) x − 2 = 2x − 3 α) x − 2 = 3 − 2x γ)

Π20. Π20.

3x − 1 = −1

δ)

α) 2 x − 5 = 3 x − 12

2.

α)

1.

x−2 = x−2

x−2 =2−x

δ)

7. ∆ίνεται η παράσταση:

Α=

α) Να δείξετε ότι: Α = 4 β) Να λύσετε την εξίσωση:

3 5− 3

+

5 5+ 3

x+ A =1

Τ.Θ.

Π21. Π21.

Από τα 500 μέλη ενός συλλόγου το 40% ήταν γυναίκες κι από αυτές το 1/5 έκαναν σκι. Αν οι άνδρες που έκαναν σκι ήταν διπλάσιοι από τις αντίστοιχες γυναίκες, πόσοι άνδρες έκαναν σκι; α) 40 β) 80 γ) 120 δ) 200 Α.Σ.Ε.Π. για αποφοίτους Λυ Λυκείου

Θεολόγης Καρκαλέτσης

22

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

3.1 / 3

Παραμετρικές εξισώσεις 1ου βαθμού

1.

Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℝ : α) 2λx = 2(x – 1) – 5λ β) γ) δ) ε) στ) ζ) η)

λ2 x – 2λ = 4λ + x + 6 λ2 x – λ2 = 9x + 3λ λ2 x + 3 = 3x + λ λ3 x – λ2 = 8x – 4 λ(x + 4 – λ) = 3 (x + 1) 3λx – λ = 1 – x λ2 (x – 1) – 3λ = 1 – 3x

θ) λ2 x = x ( 4λ – 3 ) + λ2 – 1 ι)

( λ + 2 ) ⋅ ( λ – 5) x = λ2 – 5λ + 4

8.

Έστω οι εξισώσεις

αx + β = 0 (1), βx + γ = 0 (2) όπου α, β, γ ∈ ℝ + Να αποδείξετε την ισοδυναμία: «Οι εξισώσεις (1)– (2) έχουν κοινές λύσεις ⇔ β2 = αγ .

9. ∆ίνεται η εξίσωση λ ⋅ x = x + λ2 − 1 , με παράμετρο λ ∈ ℝ α) Να αποδείξετε ότι γράφεται ισοδύναμα: ( λ − 1) x = ( λ − 1)( λ + 1) , λ ∈ ℝ

β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε γ) Για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο ℝ ; Τ.Θ.

10. ∆ίνεται η εξίσωση

(λ

2

2.

Να βρείτε τις ακέραιες και θετικές λύσεις της παραμετρικής εξίσωσης λx = λ − 5 , λ ∈ ℤ

3.

Να βρείτε τις ακέραιες και θετικές λύσεις της εξίσωσης ( λ − 1) x = 2λ − 1 , λ ∈ ℤ

4.

Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ για τις οποίες η εξίσωση λ2 x – λ2 = 9x – 6λ + 9 α) είναι αδύνατη β) έχει μοναδική λύση

5.

Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ ∈ ℝ για τις οποίες είναι αόριστη η εξίσωση

(α

6.

2

)

– 4α x = − 4x + β2 – 6β + γ 2 – 10γ + 34

Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση

λx + 5λ = λ2 + 2x + 6 α) να έχει μοναδική ρίζα το 1 β) να έχει ρίζα το 1

7.

Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ℝ ώστε η εξίσωση

λ2 x = 4x + λ2 – 3λ + 2 α) να έχει λύση το 5 β) να έχει μοναδική λύση το 5

Θεολόγης Καρκαλέτσης

)

− 9 x = λ2 − 3λ , με παράμετρο λ ∈ ℝ . (1)

α) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές πραγματικές τιμές για το λ, να γράψετε τρείς εξισώσεις. β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ ∈ ℝ , ώστε η (1) να έχει μία και μοναδική λύση. γ) Να βρείτε την τιμή του λ ∈ ℝ , ώστε η μοναδική λύση της (1) να ισούται με 4. Τ.Θ.

11. ∆ίνεται η εξίσωση:

(λ

2

)

− 1 x = ( λ + 1)( λ + 2 ) με παράμετρο λ ∈ ℝ

α) Να λύσετε την εξίσωση για λ = 1 και λ = −1 β) Για ποιες τιμές του λ έχει μοναδική λύση; Τ.Θ.

12. ∆ίνεται η εξίσωση (α + 3)x = α 2 − 9 , με παράμετρο α ∈ ℝ α) Να λύσετε την εξίσωση όταν i) α =1 ii) ii) α = −3 β) Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδιορίσετε τη λύση αυτή Τ.Θ.

Π22. Π22.

Να βρείτε την τιμή του α, ώστε οι εξι-

σώσεις 4x + 2 ( 3x – 1) = 1 + 3 ( x – 1) , 2α (1 – x ) = 1 να είναι ισοδύναμες.

3. Εξισώσεις

23

∆ιωνυμικές εξισώσεις ( x v = α )

3.2 / 1

3.3 / 1

Εξισώσεις 2ου βαθμού

1.

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) β) γ) δ)

x +8=0 x3 − 8 = 0 x 4 − 16 = 0 x 4 + 16 = 0

Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου: α) x 2 − 4x + 3 = 0 β) x 2 − 5x + 6 = 0 γ) 2x 2 − 5x + 2 = 0

2.

Να λύσετε τις εξισώσεις:

2.

α) β) γ) δ)

x 5 − 64x 2 = 0 x 5 + 64x 2 = 0 x 8 − 32x 3 = 0 x 8 + 32x 3 = 0

β)

3.

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) β) γ) δ)

3

3

x x3 x5 x7

− 8x = 0 + 64x = 0 − 81x = 0 − 16x 3 = 0

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α)

δ)

( x − 2) = 8 5 ( x − 2 ) = −32 2 ( x + 1) = 64 4 ( 2x + 1) = 81

5.

Να λύσετε τις εξισώσεις:

γ)

3

α) 2 ( x + 3 ) = 8 2

β) 3 ( x + 4 ) = −81 3

γ) δ)

Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( 2x – 5 )( x – 3 ) = ( 2x – 5 )( 3x – 8 )

( 3x − 1) − 4 ( 3x − 1) = 0 4 (1 − 2x ) + 27 (1 − 2x ) = 0 3

Π23. Π23.

Η χλόη ενός λιβαδιού είχε ομοιόμορφη ταχύτητα ανάπτυξης και ομοιόμορφο πάχος. Ξέρουμε ότι 70 αγελάδες μπορούν να βοσκήσουν ολόκληρη τη χλόη σε 24 ημέρες. Αν όμως οι αγελάδες είναι 30 τότε θα χρειαστούν 60 ημέρες. Πόσες αγελάδες θα έτρωγαν όλη τη χλόη του λιβαδιού σε 96 ημέρες;

( 3x + 5)

3

= 4 ( 3x + 5 )

γ) x 3 – 4x 2 = 9x – 36 δ) x ( 3x – 1) + ( 2x – 5 )(1 – 3x ) = ( 5x – 2 )( 3x – 1)

3. α)

Να λύσετε τις εξισώσεις:

(x

2

)

(

)

− 4 ( x − 1) = x 2 − 1 ( x − 2 )

β) 2x 2 – 5x = ( 2x – 5 )( 2x + 4 ) γ)

( 4x

2

)

– 9 = 3 ( 2x + 3 )

2

( x – 3 ) – 1 = 2 ( x – 2) 2 2 ε) 5 ( x + 3 ) ( x – 1) – ( x + 3 )( x – 1) = 0 2 2 στ) ( 7x + 3 ) – 4 ( 3x – 2 ) = 0

δ)

4. β)

1.

2

2

ζ)

x − 5 + x −1 ≤ 0

η)

x − 3 + x2 − 9 ≤ 0

Π24. Π24.

α) Να λύσετε τις εξισώσεις

3x 2 − 14x + 8 = 0 (1) και 8x 2 − 14x + 3 = 0 (2) β) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης (2) είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης (1) και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής: αx 2 + βx + γ = 0 (3) και γx 2 + βx + α = 0 (4) με α ⋅ γ ≠ 0 Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (3) και α ⋅ γ ≠ 0 , τότε i) ρ ≠ 0 και 1 ii) ii) ο επαληθεύει την εξίσωση (4) ρ

Τ.Θ.

Θεολόγης Καρκαλέτσης

24

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

Παραμετρικές εξισώσεις 2ου βαθμού

3.3 / 2

1.

Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του β οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μία λύση.

β)

( 2x + β ) – ( 2x – β ) = 24β2 2 2 ( 3x – β ) – ( 3x – 2β ) = β2

2.

∆ίνεται η εξίσωση:

α)

2

(λ

2

)

(

6.

)

− λ x 2 − λ2 − 1 x + λ − 1 = 0 , (1)

∆ίνεται η εξίσωση

(

)

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσω-

(

σης είναι: ∆ = α 2 + 1

)

2

β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: 1 ρ1 = 1 και ρ2 = − α γ) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε: ρ1 − ρ2 = 2 Τ.Θ. ∆ίνεται η εξίσωση

λx 2 − (λ − 1)x − 1 = 0, με παράμετρο λ ≠ 0 α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό − 2 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ ≠ 0 Τ.Θ.

∆ίνεται η εξίσωση

2x 2 + λx − 36 = 0 (1) με παράμετρο λ ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ, η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Υποθέτουμε τώρα ότι μία από τις ρίζες της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός ρ Θεολόγης Καρκαλέτσης

∆ίνεται η εξίσωση

λx + ( 2λ − 1) x + λ − 1 = 0 ,με παράμετρο λ ∈ ℝ − {0}

αx 2 − α 2 − 1 x − α = 0 , με παράμετρο α ≠ 0

5.

Τ.Θ.

2

γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ ∈ ℝ που βρήκατε στο (α) ερώτημα η (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (1), αν αυτή είναι 2ου βαθμού Τ.Θ.

4.

είναι ρίζα της εξίσωσης −36x 2 + λx + 2 = 0

2

με παράμετρο λ ∈ ℝ . α) Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ℝ , για τις οποίες η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθμού β) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του λ ∈ ℝ που βρήκατε στο (α) ερώτημα η (1) παίρνει τη μορφή: λx 2 − ( λ + 1) x + 1 = 0

3.

i) Να δείξετε ότι ο αριθμός –ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 2x 2 − λx − 36 = 0 1 ii) ii) Να δείξετε ότι ρ ≠ 0 και ότι ο αριθμός ρ

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή σταθερή β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με 2 μονάδες Τ.Θ.

7. ∆ίνεται η εξίσωση

λx 2 + 2 ( λ − 1) x + λ − 2 = 0 , (1) με παράμετρο λ ∈ ℝ

α) Να λύσετε την εξίσωση όταν λ = 0 β) Έστω λ ≠ 0 i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις οποίες στη συνέχεια να βρείτε 2 ii) ii) Αν x1 = −1 και x 2 = −1 + είναι οι δυο ρίλ ζες της εξίσωσης (1), να προσδιορίσετε τις τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει x1 − x 2 > 1 Τ.Θ.

3. Εξισώσεις

3.3 / 3

25

Κλασματικές εξισώσεις 2ου βαθμού

α) Να βρείτε για ποιες τιμές του x έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση 2x 2 − 1 1 Π= 2 + x − x 1− x β) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση 2x 2 − 1 1 + =0 Τ.Θ.

2 x − x 1− x

2.

Να λύσετε τις εξισώσεις: 2 3 1 = + 2 α) x x +1 x + x 2 3x 4 β) − = 2 3x − 1 3x + 1 9x − 1 1 1 = 2 γ) x+2 x −4 x +1 2 δ) + 2 =0 2 x − 1 x − 2x + 1 2x + 1 x 1 − 2 = ε) 2 x − x x − 2x + 1 x 1 3 3 x2 + 6 στ) 2 − 2 + = x − 1 x + x3 x3 − x2 x 4 − x2 2x + 3 1 − 2x 4 2x + 3 + = + 2 ζ) x x +1 x +1 x + x ∆ίνονται οι παραστάσεις:

y2 − 4 x2 − 4 και Β y = ( ) x 2 − 4x + 4 y 2 + 4y + 4 α) Για ποιες τιμές των x, y ορίζονται οι παραστάσεις αυτές β) Να βρείτε t ∈ ℝ ώστε Α ( t ) = B ( t ) Α(x) =

γ) Να βρείτε τα σημεία Μ ( x, y ) του επιπέδου για τα οποία ισχύει: Α ( x ) = B ( y )

4.

Τύποι Vieta

1.

1.

3.

3.3 / 4

∆ίνονται οι παραστάσεις 1+ x 2 A= και B = 2 , x∈ℝ x −1 x −x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: x ≠ 1 και x ≠ 0 β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει A=B Τ.Θ.

Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών των εξισώσεων: α) x 2 − 5x + 6 = 0

β) x 2 − 7αx + 12α 2 = 0

2.

Αν το −1 είναι η μία ρίζα της εξίσωσης

x − 2x + β = 0 τότε να βρείτε το β και την άλλη ρίζα της εξίσωσης.

2

3.

Έστω η εξίσωση x 2 + 4x − 3 = 0 . Να υπολογίσετε (χωρίς να λύσετε την εξίσωση) τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: α) x1 + x 2 β) x1 ⋅ x 2 γ) x1 − x 2

δ)

1 1 + x1 x 2

4.

∆ίνεται η εξίσωση x 2 − 2λx + 4 ( λ − 1) = 0 , με

ε)

x 12 + x 2 2

στ) x13 + x 23

παράμετρο λ ∈ ℝ . α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ ∈ ℝ γ) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: x1 + x 2 = x1 ⋅ x 2 Τ.Θ.

5.

∆ίνεται η εξίσωση

( λ + 2) x2 + ( 2λ + 3 ) x + λ − 2 = 0

(1)

με παράμετρο λ ≠ −2 . α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι: ∆ = 12λ + 25 β) Να βρείτε τις τιμές του λ ≠ −2 , ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισμα των ριζών S = x1 + x 2 και το γινόμενο των ριζών P = x1 ⋅ x 2 δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε για τις ρίζες x1 , x 2 της εξίσωσης (1) να ισχύει η σχέση:

( x 1 + x 2 − 1) + ( x 1 ⋅ x 2 + 3 ) 2

6.

2

=0

Τ.Θ.

∆ίνεται η εξίσωση

x 2 + 2λx + λ − 2 = 0 , με παράμετρο λ ∈ ℝ . α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ ∈ ℝ

Θεολόγης Καρκαλέτσης

26

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

γ) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: x1 + x 2 = − x1 ⋅ x 2 Τ.Θ.

7.

∆ίνεται η εξίσωση x 2 + 2λx + 4 ( λ − 1) = 0 , με παράμετρο λ ∈ ℝ

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ ∈ ℝ γ) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει:

( x1 + x 2 ) 8.

2

+ x1 ⋅ x 2 + 5 = 0

∆ίνεται η εξίσωση

(

Τ.Θ.

)

αβx 2 − α 2 + β2 x + αβ = 0

όπου α, β δύο θετικοί αριθμοί. α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης

(

είναι: ∆ = α 2 − β 2

)

2

β) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των αριθμών α, β, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες, τις οποίες να προσδιορίσετε, ως συνάρτηση των α, β α γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι x1 = και β β x 2 = , να δείξετε ότι (1 + x1 )(1 + x 2 ) ≥ 4 Τ.Θ. α

9.

∆ίνεται η εξίσωση

(

)

2.

∆ίνονται οι αριθμοί: Α =

3.

α)

1 3− 7

Β=

1

3+ 7 1 α) Να δείξετε ότι: Α + Β = 3 και Α ⋅ Β = 2 β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς Α, Β Τ.Θ.

Να λύσετε την εξίσωση x − 2 = 3

β) Να σχηματίσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος Τ.Θ.

4.

∆ίνονται οι αριθμοί: A =

1

,B =

1

5+ 5 5− 5 1 α) Να δείξετε ότι: i) A + B = 2 1 ii) A ⋅ B = 20 β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς Α και Β. Τ.Θ.

5.

∆ίνεται το τριώνυμο: 2x 2 + 5x − 1 α) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, x1 και x 2

β) Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: 1 1 x1 + x 2 , x1 ⋅ x 2 και + x1 x 2 γ) Να προσδιορίσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που 1 1 και . Τ.Θ. έχει ρίζες τους αριθμούς x1 x2

x 2 − λx − λ2 + 5 = 0 (1) με παράμετρο λ ∈ ℝ

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης (1) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ ∈ ℝ γ) Αν x1 , x 2 είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1),

Π25. Π25.

να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ℝ για τις οποίες ισχύει: Τ.Θ. ( x1 − 2 )( x 2 − 2 ) = −4

και t ∆ , για τους οποίους ισχύει:

3.3 / 5

Τύποι Vieta – Κατασκευή εξίσωσης

1.

Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς: α) 3 και 1

β) 1 + 3 και 1 − 3 α −β γ) και 1 α+β

Θεολόγης Καρκαλέτσης

Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο ∆ημήτρης τερμάτισαν σε έναν αγώνα δρόμου με αντίστοιχους χρόνους (σε λεπτά) t A , t B , t Γ t A + 2t B 3 t A − t ∆ = tB − t ∆

tA < tB , tΓ =

και

t A + tB 2 ii) ii) Να βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι αθλητές β) ∆ίνεται επιπλέον ότι ισχύει: t A + t B = 6 και t A ⋅ t B = 8

α) i)

Να δείξετε ότι: t ∆ =

i) Να γράψετε μία εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τα t A και t B ii) ii) Να βρείτε τους χρόνους τερματισμού των τεσσάρων αθλητών Τ.Θ.

3. Εξισώσεις

27

Εξισώσεις που λύνονται με αντικατάσταση αντικατάσταση

3.3 / 6

1.

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) x 2 − 3 x + 2 = 0 β)

( x − 1)

γ)

x 2 − 3x + 2 − x − 2 = 0

2

− 5 x −1 + 6 = 0

4.

∆ίνεται η εξίσωση

αx 2 − 5x + α = 0 , με παράμετρο α ≠ 0 5 α) Να αποδείξετε ότι αν α ≤ , τότε η εξίσωση 2 έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς, που είναι αντίστροφοι μεταξύ τους β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, αν α = 2 γ) Να λύσετε την εξίσωση: 2

1 1   2 x +  − 5 x +  + 2 = 0 x x  

2

1− x  1− x − 20 = 0 δ)   − 1+ x  1+ x

ε)

(x

2

)(

)

+ x + 1 x 2 + x + 2 = 12

1  1   στ)  x 2 + 2  − 4  x +  + 5 = 0 x x   

ζ)

2.

(

3 x2 + 1 2−x

) +2+x =

9 x (2 − x ) 2

α) ∆ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση

x 4 − 7x 2 + 12 = 0 Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση x 4 + βx 2 + γ = 0 (1) με παραμέτρους β, γ ∈ ℝ

Να δείξετε ότι: Αν β < 0 , γ > 0 και β2 − 4γ > 0 , τότε η εξίσωση (1) έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες Τ.Θ.

3.

∆ίνονται οι εξισώσεις

x 2 − 3x + 2 = 0 (1) και x 4 − 3x 2 + 2 = 0 (2) α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (1) β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (2) γ) Να βρείτε τριώνυμο της μορφής x 2 + βx + γ = 0 που οι ρίζες του να είναι κάποιες από τις ρίζες της εξίσωσης (2) και επιπλέον, για κάθε αρνητικό αριθμό x, να έχει θετική τιμή Τ.Θ.

5.

α)

Τ.Θ.

∆ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση:

x 4 − 8x 2 − 9 = 0 Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση: x 4 + βx 2 + γ = 0 (1) με παραμέτρους β, γ ∈ ℝ Να δείξετε ότι: Αν γ < 0 τότε β2 − 4γ > 0 i)

ii) η εξίσωση (1) έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες

6.

α)

Τ.Θ.

∆ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση:

x 4 − 9x 2 + 20 = 0 Nα δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. β) Να κατασκευάσετε μία διτετράγωνη εξίσωση της μορφής x 4 + βx 2 + γ = 0 η οποία να έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε τον ισχυρισμό σας λύνοντας την εξίσωση που κατασκευάσατε Τ.Θ. Τ.Θ.

Π26. Π26. Έχουμε 10 τόνους καρπούζια. Το κάθε καρπούζι αποτελείται κατά 99% από νερό. Τα καρπούζια μένουν πολλή ώρα στον ήλιο και έτσι εξατμίζεται μια ποσότητα νερού. Έτσι λόγω της εξάτμισης το κάθε καρπούζι αποτελείται κατά 98% από νερό. Πόσο ζυγίζουν τώρα τα καρπούζια;

Θεολόγης Καρκαλέτσης

28

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

4.1 / 1

Ανισώσεις πρώτου βαθ βαθμού (Απλές – παραμετρικές)

1.

Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 2 ( 3x + 1) + 3 ( x − 2 ) + 3 < 2x + 4 ( x − 1) β) 4 ( x − 3 ) + 2x ≤ 2 ( x − 3 ) + 4 ( x − 1) γ) 2 ( x − 3 ) + 2 (1 + 2x ) ≥ 3 ( 2x − 1) − 1

2.

Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 2x − 8 2 − x ≤ α) 7 4 2x + 3 1 3x + 1 7x β) + > − 5 4 4 20 1− x x +1 −1 3 2 γ) x ≤ − 3 2

3.

Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: 3 − 2 (1 − x ) ≤ 3 ( x − 1) − x  α)  x x − 2 >1  − 2 3 3 ( x − 3 ) ≤ 6x  β)  25 1  − 2 x +  − x < 2 4   3 − 2 (1 − x ) ≤ 3 ( x − 1) − x  γ)  x x − 2 >1  − 2 3

7. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του λ ∈ ℝ τις ανισώσεις: α) λx − 3λ > 2x (1 − λ ) β) λ ( x − λ − 4 ) ≥ 4 − 2x γ) λ ( x − 4 ) ≥ ( λ − 2 )( λ + 2 ) − 4 ( x − 1)

∆ίνονται οι ανισώσεις:

x 1 3x − 1 < x + 9 και 2 − ≤ x + 2 2 α) Να βρείτε τις λύσεις τους β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων

4.

6.

Να λύσετε τις ανισώσεις:

3 α) 4 ( x − 1) + 3 ≤ x ≤ 2 ( x − 1) + 4 β) 3x − 1 ≤ 5 ≤ 2x − 1 − 3 ( x + 1) 1 1 1  γ) 3  x −  − 4 < ( 6x + 2 ) − < 4 ( 2 − x ) − x 2 3 4 

5.

Να λύσετε τα συστήματα των παρακάτω ανισώσεων: x 1 1 x  2x − 2 − 3 > − 6 + 3 α)   x + 1 > 7x − 8  2 3 2 ( x − 3 ) < 1 − ( x + 1) β)  −2 − (1 − x ) ≤ 3 ( x − 1)  3x − 1 2x − 1  4 ≥ 3   5x − 1 4x − 1 γ)  ≥ 5  6  6x − 1 7x − 1  7 ≥ 8 

δ)

( λ − 2) x < 1 − x − 2 3

3

8.

Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ℝ οι παρακάτω ανισώσεις αληθεύουν για κάθε τιμή του x ∈ ℝ . α) λ ( x − λ ) < 3 ( x − 3 )

β) λ ( x + 5 ) < λ2 − 2 ( − x − 3 )

9.

Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ∈ ℝ οι παρακάτω ανισώσεις είναι αδύνατες για κάθε τιμή του λ.

1 α) λ ( λx + 1) ≥ x + 2 λx − λ x − λ x + 4 β) ≥ − 3 4 6

10.

10.

Θεωρούμε την εξίσωση x 2 + 2x + λ − 2 = 0 , με παράμετρο λ ∈ ℝ . α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες β) Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δυο ρίζες x1 , x 2 , να προσδιορίσετε το λ ώστε να ισχύει: x1 x 2 − 2 ( x1 + x 2 ) = 1

11.

11.

Έστω η εξίσωση

(λ + 2)x 2 + 2λx + λ − 1 = 0, με παράμετρο λ ≠ − 2 α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες β) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσω-

σης να βρείτε το λ ώστε x 1 ⋅ x 2 = −3 Θεολόγης Καρκαλέτσης

Τ.Θ.

Τ.Θ.

4. Ανισώσεις

29

Ανισώσεις πρώτου βαθμού με απόλυ απόλυτη τιμή

4.1 / 2

1.

Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 2x − 1 < 3 β) 1 − 3x ≤ 2 γ) x − 2 < 0 δ)

3x − 4 ≤ 0

ε)

ζ)

2x − 1 > 3

η) 1 − 3x ≥ 2

ι)

3x − 4 ≥ 0

κ)

2. α) γ) ε)

x − 7 < −2

στ) 7 − x < −1 θ)

2x − 1 > −2 λ)

x−2 >0 2 − 3x > −3

5 x +1

<3 −

2x

x −1 − 4

β) >

1− x

δ) 2 3 3 2x − 1 + 3 4 − 2 − 4x − ≤ x 2 6

5 x −1 < 2 3 3 x −1 −1 1 − x − ≥ −1 4 2 +

3.

Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: β) 2 < x − 1 ≤ 4 α) 3 ≤ x ≤ 5

4.

Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις:

α)

x −x <3−x

β)

x +x < 5+x

γ)

x −1 − 2 ≤ 3

δ)

1 − 3x − 2 ≥ 4

5. α)

6.

Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: x 2 − 6x + 9 > 2

β)

x 2 − 4x + 4 > 1

α) Να αποδείξετε την ισοδυναμία α < β ⇔ α 2 < β2

β) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x − 1 < x − 2 ii) ii) iii) iii) x − 2 > x + 1

7.

x+3 > x−5

iv) iv) 2x − 3 ≤ 3x − 2

Αν ισχύει x + 1 < 2 , x ∈ ℝ να δείξετε ότι

α) ότι x ∈ ( −3,1) β) είναι ανεξάρτητη του x η τιμή της παράσταx + 3 + x −1 σης: K = . Τ.Θ.

4

8.

α)

α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x − 4 = 3 x − 1

β) Να λύσετε την ανίσωση: 3x − 5 > 1 γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Τ.Θ.

Να λύσετε την ανίσωση x + 4 ≥ 3

β) Αν α ≥ −1 , να γράψετε την παράσταση Α = α + 4 − 3 χωρίς απόλυτες τιμές. Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας

10.

Τ.Θ.

α) Να λύσετε την ανίσωση: x − 5 < 4

β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παρα1 1 πάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι: < < 1 Τ.Θ.

9 α

11.

Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: x −4

9.

α) Να λύσετε την ανίσωση x − 1 ≥ 5 .

β) Να βρείτε τους αριθμούς x που απέχουν από το 5 απόσταση μικρότερη του 3 γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β) Τ.Θ.

12.

α) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών: i) 2x − 3 ≤ 5 ii) ii) 2x − 3 ≥ 1

β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις Τ.Θ.

13.

α) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών: i) 1 − 2x < 5 και ii) ii) 1 − 2x ≥ 1 β) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις. Τ.Θ.

14.

Να βρείτε τα διαστήματα (αν υπάρχουν) που συναληθεύουν οι ανισώσεις: α) x − 4 ≤ 3 και x − 2 ≤ 4 β)

15.

x − 2 ≤ 5 και x − 1 > 2

α) Να λύσετε την ανίσωση x + 4 ≥ 3

β) Αν α ≥ −1 , να γράψετε την παράσταση Α = α + 4 − 3 χωρίς απόλυτες τιμές. Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας.

16.

Τ.Θ.

Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει 2x − 1 < 1 , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 0 < x < 1 β) Να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 1, x, x 2 . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Τ.Θ. Θεολόγης Καρκαλέτσης

30

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

17.

5.

α) Να λύσετε την ανίσωση x − 5 < 2

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 − 3x > 5 γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δυο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή ένωση διαστημάτων Τ.Θ.

Π27. Π27.

∆ίνεται η εξίσωση x 2 − βx + γ = 0 με β, γ πραγματικούς αριθμούς. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει x1 + x 2 = 4 τότε:

7.

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις (1) και (2) Τ.Θ.

Ανισώσεις δευτέρου βαθμού (I)

8.

Αν d ( x, −2 ) < 1 , x ∈ ℝ να δείξετε ότι:

9.

Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β, x ∈ ℝ ισχύει:

α) x 2 + x + 1 > 0 β) α 2 − αβ + β2 > 0 δ) −β2 + 2αβ − 2α 2 ≤ 0

Τ.Θ.

α) Να λύσετε την ανίσωση: x 2 − 10x + 21 < 0 β) ∆ίνεται η παράσταση: A = x − 3 + x 2 − 10x + 21

i) Για 3 < x < 7 , να δείξετε ότι: A = − x 2 + 11 − 24 ii) Να βρείτε τα x ∈ ( 3,7 ) ώστε A = 6 Τ.Θ. α) Να λύσετε την ανίσωση: 3x 2 − 4x + 1 ≤ 0 β) Αν α,β δυο αριθμοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 3α + 6β είναι επίσης λύση της ανίσωσης Τ.Θ.

9

Θεολόγης Καρκαλέτσης

β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος α). Τ.Θ.

γ) −3β 2 + 4αβ − 2α 2 ≤ 0

3.

4.

α) Να λύσετε τις ανισώσεις:

2x − 5 ≤ 3 και 2x 2 − x − 1 ≥ 0

∆ίνονται οι ανισώσεις:

α) −3 < x < −1 β) x 2 + 4x + 3 < 0

α) Να λύσετε την εξίσωση

2x 2 − x − 6 = 0 (1) β) Να λύσετε την ανίσωση x − 1 < 2 (2)

− x 2 + 5x − 6 < 0 (1) και x 2 − 16 ≤ 0 (2) α) Να βρείτε τις λύσεις των ανισώσεων (1), (2) β) Να παραστήσετε τις λύσεις των (1) και (2) στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρείτε τις κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων Τ.Θ.

2.

α) Να αποδείξετε ότι

x 2 + 4x + 5 > 0 , x ∈ ℝ β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση: B = x 2 + 4x + 5 − x 2 + 4x + 4 Τ.Θ.

Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του β που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση (1) δεν έχει πραγματικές ρίζες. Τ.Θ.

1.

x2 − x − 2 = 0 β) Να λύσετε την ανίσωση x2 − x − 2 > 0 και να παραστήσετε το σύνολο λύσεών της στον άξονα των πραγματικών αριθμών 4 γ) Να τοποθετήσετε το − στον άξονα των 3 4 πραγματικών αριθμών. Είναι το − λύση της ανί3 σωσης του ερωτήματος (β); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Τ.Θ.

6.

α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του β β) Να αποδείξετε ότι γ < 4 γ) ∆ίνεται επιπλέον η εξίσωση x 2 − β x + 3 = 0 (1)

4.2 / 1

α) Να λύσετε την εξίσωση

10.

10.

Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: 2

 2031   2031  + 2 α) −3    −1  103   103  2

 123   123  − 5 + 1 β) 7    205   205 

Π28. Π28.

Να λύσετε την εξίσωση x 2 + x + 1 + 6x − 3 = x 2 + 7x − 2

Υπόδειξη: Ισχύει α + β = α + β ⇔ αβ ≥ 0

4. Ανισώσεις

31

iii) iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα:

4.2 / 2

1.

1+ α <1+ α

Aνισώσεις δευτέρου βαθμού (I (IΙ)

5.

∆ίνονται οι ανισώσεις: x − 2 < 3 και x 2 − 2x − 8 ≤ 0

α) Να βρείτε τις λύσεις τους β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ∈ ( −1,4] γ) Αν οι αριθμοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξερ + ρ2 τε ότι και ο αριθμός 1 είναι κοινή τους λύση 2 Τ.Θ.

2.

i) Να δείξετε ότι το 1 είναι μεταξύ των κ, λ. ii) Να δείξετε ότι: 3 κ−λ ≥ 2

6.

Τ.Θ.

∆ίνονται οι ανισώσεις

α) Να λύσετε τις ανισώσεις. β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ∈ [−3, −1) . γ) Αν οι αριθμοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο

1 3 και είναι 2 2

λύσεις της ανίσωσης 2x 2 − 3x + 1 < 0

των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι: ρ1 − ρ2 ∈ ( −2,2) Τ.Θ.

Τ.Θ.

∆ίνεται το τριώνυμο: f ( x ) = 3x 2 + 9x − 12 , x ∈ ℝ

α) Να λύσετε την ανίσωση f(x) ≤ 0 και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της στον άξονα των πραγματικών αριθμών β) Να ελέγξετε αν ο αριθμός 3 2 είναι λύση της ανίσωσης του ερωτήματος (α). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Τ.Θ.

4.

Να λύσετε την ανίσωση 5 x 2 + 1 ≥ x (1) 2 β) ∆ίνονται δύο αριθμοί κ, λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης (1) και ικανοποιούν επιπλέον τη σχέση ( λ − 1)( κ − 1) < 0

x + 1 ≤ 2 και x 2 − x − 2 > 0

2x 2 − 3x + 1 α) Να βρείτε τις ρίζες του. β) Να βρείτε τις τιμές του x ∈ ℝ για τις οποίες: 2x 2 − 3x + 1 < 0

3.

α)

∆ίνεται το τριώνυμο

γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί

Τ.Θ.

α)

Να λύσετε την ανίσωση

x2 < x στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. β) ∆ίνεται ένας αριθμός α ∈ ℝ με 0 < α < 1 i) Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο και να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς:

Π29. Π29.

α)

Να λύσετε την ανίσωση: x2 + x − 6 < 0

β) Να λύσετε την ανίσωση: x −

1 >1 2

γ) ∆ίνεται το παρακάτω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλευρές α και α + 1 όπου ο αριθμός α ικανοποιεί τη σχέση 1 α − > 1 . Αν για το εμβαδόν Ε του ορθο2 γωνίου ισχύει Ε < 6 , τότε: 3 i) Να δείξετε ότι: < α < 2 2 ii) Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών κυμαίνεται η περίμετρος του ορθογωνίου. Τ.Θ.

0, 1, α, α 2 , α Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια και του ερωτήματος α). ii) ii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθμούς α + α2 α, α 2 , 2

Θεολόγης Καρκαλέτσης

32

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

4.2 / 3

Παραμετρικές ανισώ ανισώσεις δευτέρου βαθμού (Ι)

1.

Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ για τις οποίες για τις οποίες οι παρακάτω ανισώσεις αληθεύουν για κάθε x ∈ ℝ . α) x 2 − 2λx + λ > 0 β) αx 2 + ( α − 3 ) x − 4 < 0

μ2 − 2 μ − 8

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

6.

Τ.Θ.

∆ίνεται η εξίσωση

Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ για τις οποίες οι παρακάτω ανισώσεις είναι αδύνατες:

x 2 − 2λx + 4λ + 5 = 0 , με παράμετρο λ ∈ ℝ α) Να αποδείξετε ότι αν λ = 5 η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή β) Να εξετάσετε αν υπάρχει και άλλη τιμή του λ ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα γ) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες δ) Αν λ2 − 4λ − 5 = 4λ − λ2 + 5 να δείξετε ότι η εξί-

α) 16 − λ2 x 2 − ( λ + 4 ) x − 1 > 0

σωση δεν έχει ρίζες

2.

β)

3.

( ) (3α + 2α − 1) x − ( α + 1) x + 1 ≤ 0 2

2

∆ίνεται το τριώνυμο

x 2 + βx + β2 , β ∈ ℝ α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα του τριωνύμου. β) i) Αν β≠0 τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο του τριωνύμου; ii) Πώς αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτημα (i), όταν β = 0 γ) Με τη βοήθεια της απάντησής στο ερώτημα (β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα α 2 + αβ + β2 > 0 για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β που δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0. Τ.Θ.

4.

∆ίνεται η εξίσωση

x 2 − 2λx + λ2 − 1 = 0 , με παράμετρο λ ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι για κάθε λ ∈ ℝ η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για κάθε λ ∈ ℝ γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, οι δυο άνισες ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα ( − 2,4) Τ.Θ.

5.

Τ.Θ.

∆ίνεται το τριώνυμο

x 2 − 2x − 8 α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού x 8889 β) Αν κ = − , είναι η τιμή της παράστασης 4444 κ 2 − 2κ − 8 μηδέν, θετικός ή αρνητικός αριθμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Αν ισχύει −4 < μ < 4 , τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο της τιμής της παράστασης Θεολόγης Καρκαλέτσης

7.

∆ίνεται το τριώνυμο

(

)

λx 2 − λ2 + 1 x + λ , λ ∈ ℝ − {0}

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ ∈ ℝ − {0} β) Για ποιες τιμές του λ το παραπάνω τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε την τιμή του λ ≠ 0 , ώστε f ( x ) ≤ 0 , για κάθε x ∈ ℝ

8.

Τ.Θ.

∆ίνεται το τριώνυμο

αx 2 + βx + γ = 0 , α ≠ 0 με ρίζες τους αριθμούς 1 και 2 α) Χρησιμοποιώντας τους τύπους για το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών του τριωνύμου, να αποδείξετε ότι: γ = 2α και β = −3α β) Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές για κάθε x ∈ (1,2 ) , τότε:

i) να αποδείξετε ότι α < 0 ii) να λύσετε την ανίσωση γx 2 + βx + α < 0

Τ.Θ.

9.

∆ίνεται πραγματικός αριθμός α, που ικανοποιεί τη σχέση α − 2 <1 α) Να γράψετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του α β) Θεωρούμε το τριώνυμο 1 x2 − ( α − 2) x + 4 i) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και να προσδιορίσετε το πρόσημό της ii) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του x ∈ ℝ , ισχύει 1 x2 − ( α − 2) x + > 0 Τ.Θ.

4

4. Ανισώσεις

4.2 / 4

1.

33

4.

α) Να λύσετε την ανίσωση: x 2 − 5x − 6 < 0 β) Να βρείτε το πρόσημο του αριθμού

Παραμετρικές ανισώσεις δευτέρου βαθμού (ΙΙ)

2

46  46  Κ = −  + 5 −6 47  47  και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. γ) Αν α ∈ ( −6,6 ) , να βρείτε το πρόσημο της παρά-

Θεωρούμε το τριώνυμο f ( x ) = 3x 2 + κx − 4 , με παράμετρο κ ∈ ℝ

α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του κ, το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες ή ετερόσημες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Αν x1 και x 2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου και α, β δύο πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει α < x1 < x 2 < β , να προσδιορίσετε το πρόσημο του γινομένου

α ⋅ f ( α ) ⋅ β ⋅ f (β)

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας

2.

α)

Τ.Θ.

Θεωρούμε την εξίσωση

x 2 + 2x + 3 = α , με παράμετρο α ∈ ℝ i) Να βρείτε για ποιες τιμές του α η εξίσωση x 2 + 2x + 3 = α έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες ii) Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να προσδιορίσετε β) ∆ίνεται το τριώνυμο f ( x ) = x 2 + 2x + 3 , x ∈ ℝ

στασης Λ = α2 − 5 α − 6

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

5.

3.

f (x) − 2 ≤ 2

Τ.Θ.

Π30. Π30.

Αν α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου, να αποδείξετε ότι για κάθε x ∈ ℝ το τριώνυμο

(

)

β2 x 2 + β2 + γ 2 − α 2 x + γ 2

είναι θετικό.

∆ίνεται το τριώνυμο:

βρείτε την τιμή του αθροίσματος S = x1 + x 2 των

( 8 − λ ) x 2 − 2 ( λ − 2 ) x + 1 = 0 , (1)

να είναι μη αρνητικό για κάθε x ∈ ℝ

Τ.Θ.

x 2 − 6x + λ − 7 , όπου λ ∈ ℝ α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες. β) i) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να

Έστω η εξίσωση

με παράμετρο λ ∈ ℝ . α) Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε η εξίσωση (1) να είναι 1ου βαθμού β) Αν η εξίσωση (1) είναι 2ου βαθμού, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε αυτή να έχει μια ρίζα διπλή, την οποία και να προσδιορίσετε γ) Αν η εξίσωση έχει μια ρίζα διπλή, να προσδιορίσετε τις τιμές του λ (αν υπάρχουν) ώστε το τριώνυμο ( 8 − λ ) x2 − 2 ( λ − 2) x + 1

i) Να αποδείξετε ότι f ( x ) ≥ 2 , για κάθε x ∈ ℝ ii) Να λύσετε την ανίσωση

Τ.Θ.

Ανισώσεις δευτέρου δευτέρου βαθμού και ρίζες της εξίσωσης

4.2 / 5

ριζών και να εκφράσετε συναρτήσει του λ το γινόμενο P = x1 ⋅ x 2 των ριζών.

1.

ii) Να δείξετε ότι, για κάθε λ με 7 < λ < 16 , το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσημο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) i) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση x 2 − 6 x + λ = 7 (1)

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ ∈ ℝ β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; 1 γ) Αν λ ≠ και x1 , x 2 είναι οι ρίζες της 2 παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει 1 d ( x1 , x 2 ) = Τ.Θ. d ( x1 , x 2 )

έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. ii) Έχει η εξίσωση (1) για λ = 3 10 τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Τ.Θ.

∆ίνεται η εξίσωση

(

)

x 2 − x + λ − λ2 = 0 , με παράμετρο λ ∈ ℝ (1)

Θεολόγης Καρκαλέτσης

34

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

2.

∆ίνεται η εξίσωση

x − 2 ( λ − 1) x + λ + 5 = 0 (1), (1) με παράμετρο λ ∈ ℝ 2

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι: ∆ = 4λ2 − 12λ − 16 β) Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ , ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x1 , x 2 και d ( x1 ,x 2 ) είναι η απόσταση των x1 , x 2

στον άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει d ( x1 ,x 2 ) = 24

3.

Τ.Θ.

∆ίνεται η εξίσωση

x 2 − λx + 1 = 0 (1) με παράμετρο λ ∈ ℝ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές και άνισες β) Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της 1 εξίσωσης (1), τότε και ο αριθμός είναι επίσης ρ

ρίζα της εξίσωσης γ) Για λ > 2 , να αποδείξετε ότι: i) οι ρίζες x1 , x 2 της εξίσωσης (1) είναι αριθμοί θετικοί ii) ii) x1 + 4x 2 ≥ 4

4.

Τ.Θ.

∆ίνεται το τριώνυμο x 2 − ( α + 1) x + 4 , α ∈ ℝ

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι ∆ = ( α − 1) − 16

5.

∆ίνεται η εξίσωση

x 2 − 4x + 2 − λ2 = 0 (1) με παράμετρο λ ∈ ℝ α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ ∈ ℝ , η (1) έχει δύο ρίζες άνισες β) Αν x1 και x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1):

i)

Να βρείτε το S = x1 + x 2

ii) ii)

Να βρείτε το P = x1 ⋅ x 2 ως συνάρτηση του

πραγματικού αριθμού λ γ) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός 2 + 3 τότε: i) να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσω-

σης (1) είναι ο αριθμός 2 − 3 ii) ii) να βρείτε το λ

6.

Τ.Θ.

∆ίνεται το τριώνυμο

(

)

λx 2 − λ2 + 1 x + λ , λ ∈ ℝ − {0}

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ ∈ ℝ − {0} β) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S = x1 + x 2 συναρτήσει του λ ≠ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P = x1 ⋅ x 2 των ριζών

γ) Αν λ < 0 , τότε: i) το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii) ii) να αποδείξετε ότι x1 + x 2 ≥ 2x1 x 2 , όπου x1 , x 2 είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου.

Τ.Θ.

2

β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες γ) Έστω ότι το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x1 και x 2 i) Να βρείτε το άθροισμα S = x1 + x 2 , το γινόμενο P = x1 ⋅ x 2 των ριζών του.

ii) ii) Να αποδείξετε ότι d ( x1 ,1) ⋅ d ( x 2 ,1) = 4

Π31. Π31.

Τ.Θ.

7.

∆ίνεται η εξίσωση

(

)

x − λx + λ2 + λ − 1 = 0 (1) με παράμετρο λ ∈ ℝ 2

α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες πραγματικές β) Να λύσετε την ανίσωση: S 2 − P − 2 ≥ 0 , όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (1) Τ.Θ.

Οι πλευρές x1 , x 2 ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:

x 2 − 2x + λ ( 2 − λ ) = 0 με λ ∈ ( 0,2 ) α) i) ii) β)

Να βρείτε συναρτήσει του λ: την περίμετρο Π του ορθογωνίου το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου Να αποδείξετε ότι Ε ≤ 1 , για κάθε λ ∈ ( 0,2 )

γ) Για ποια τιμή του λ το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με 1; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο;

Θεολόγης Καρκαλέτσης

Τ.Θ.

5. Πρόοδοι

35

5.1 / 1

Ακολουθίες 5.2 / 1

Γενικός όρος αριθμητικής προόδου

1.

Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών: α) α ν = 3ν − 1 β) α ν = 3 ν γ) α ν = ν 2 − 2ν

δ) α ν =

ν2 ν +1

2.

Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών: α) α1 = 1 , α ν +1 = α ν + 2 αν +2 2 α 2 γ) α1 = 2 , α ν +1 = ν 2 1 δ) α1 = 1 , α ν +1 = αν + 1

β) α1 = 6 , α ν +1 =

3.

α) ω = 2 και α1 = −2 , όπου ω είναι η διαφορά της προόδου και α1 ο πρώτος όρος της β) α ν = 2ν − 4 , ν ∈ Ν * και να βρείτε ποιος όρος β) α ν = 3

γ) α ν = 2 + 1

δ) α ν = 2ν − 3

ν

4.

Να βρείτε τον νιοστό όρο των ακολουθιών. α) α1 = 1 , α ν +1 = α ν + 3 β) α1 = 2 , α ν +1 = 3α ν

5.

Να παραστήσετε γεωμετρικά τους τρεις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών. α) α ν = 2ν + 1 β) α ν = 2ν

Π32. Π32.

∆ίνεται η αριθμητική πρόοδος ( α ν ) με όρους

α 2 = 0 , α 4 = 4 . Να αποδείξετε ότι:

α) α ν = ν + 1

γ) α ν = − ν 2 + 2ν + 1

Να εξετάσετε αν είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου οι παρακάτω αριθμοί. Αν είναι τότε να βρείτε τη διαφορά και το γενικό όρο της προόδου σε κάθε περίπτωση. α) 2, 4, 6, … β) 12, 9, 6, …

3 5 7 γ) –2, –5, –8, … δ) , , ,…

4 4 4 ε) –3, 0, 3 , 6 , … στ) 4, 11, 18, …

2.

Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες: ν

1.

δ) α ν = ( −1)

ν

Κάθε πλευρά ενός ισόπλευρου τριγώνου χωρίζεται σε τρία ίσα τμήματα. Το μεσαίο τμήμα κάθε πλευράς αντικαθίσταται από τις δύο πλευρές ισόπλευρου τριγώνου. Στο σχήμα με μορφή αστεριού που προκύπτει αντικαθιστούμε πάλι το μεσαίο 1/3 κάθε πλευράς με δύο πλευρές ισόπλευρου τριγώνου. Με ανάλογο τρόπο συνεχίζουμε για κάθε σχήμα που προκύπτει από τη διαδικασία αυτή. α) Να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο και το γενικό όρο της ακολουθίας (Sv) που εκφράζει το πλήθος των πλευρών κάθε σχήματος β) Να βρείτε έναν αναδρομικό τύπο και το γενικό όρο της ακολουθίας (Uv) που εκφράζει την περίμετρο κάθε σχήματος, αν το αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά ίση με 1

της προόδου είναι ίσος με 98

Τ.Θ.

3. ∆ίνεται αριθμητική πρόοδος ( α ν )

για την οποία

ισχύει: α 4 − α 2 = 10 α) Να δείξετε ότι ω = 5 β) Αν το άθροισμα των τριών πρώτων όρων της προόδου είναι 33, να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου Τ.Θ.

4.

∆ίνεται η αριθμητική πρόοδος ( α ν ) με α1 = 1

και α 3 = 9 . Ν βρείτε: α) τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου β) το μικρότερο θετικό ακέραιο ν, ώστε να ισχύει α ν > 30 Τ.Θ.

5.

Σε μία αριθμητική πρόοδο (α ν ) ισχύουν: α1 = 2 και α 25 = α12 + 39

α) Να δείξετε ότι ω = 3 β) Ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 152 Τ.Θ.

6.

Έστω αριθμητική πρόοδος (α ν ) με διαφορά ω

α15 − α 9 =2 α10 − α 7 β) Αν α15 − α 9 = 18, να βρείτε το ω

α) Να δείξετε ότι:

7.

Τ.Θ.

Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) ισχύουν: α 4 − α 9 = 15 και α1 = 41

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι ίση με − 3. β) Να βρείτε θετικό ακέραιο ν ώστε α ν = ν Τ.Θ. Θεολόγης Καρκαλέτσης

36

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

8.

Να βρείτε τον πρώτο όρο της αριθμητικής προόδου 5, 9, 13, … που είναι μεγαλύτερος από το 327.

i) ii)

8.

9.

Να βρείτε τον μεγαλύτερο όρο της αριθμητικής προόδου 103, 96, 89, … που είναι μικρότερος από 7.

5.2 / 2

1.

β) Αν x = 1 και Α = α1 , να υπολογίσετε τη διαφορά ω να υπολογίσετε τον α 20

Τ.Θ.

∆ίνεται η εξίσωση

x 2 − 2βx + (β2 − 4) = 0 , (1) με παράμετρο β ∈ ℝ α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις x1 = β − 2 και x 2 = β + 2

β) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθμοί x1 ,β,x 2 με τη σειρά που δίνονται, είναι

Αριθμητικός μέσος

διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας Τ.Θ.

α) Να βρείτε το x ∈ ℝ ώστε οι αριθμοί x + 2 , ( x + 1) , 3x + 2 2

Π33. Π33.

Αν οι πλευρές ενός τριγώνου και η ημεπερίμετρος είναι διαδοχικοί όροι αριθμηττκής προόδου να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β) Να βρείτε τη διαφορά ω της παραπάνω αριθμητικής προόδου, όταν i) x =1 ii) x = −1 Τ.Θ.

2.

Να βρείτε δύο αριθμούς α και β έτσι ώστε οι αριθμοί 5, α, 21, β να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

3.

α) Να βρείτε δύο αριθμούς α και β έτσι ώστε οι αριθμοί 5, α, β, 23 να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου β) Αν το β είναι ο δέκατος όρος της προόδου τότε να βρείτε τον πρώτο της όρο

4.

Να βρείτε δύο αριθμούς που διαφέρουν κατά 4 και έχουν αριθμητικό μέσο το –3.

5.

5.2 / 3

Άθροισμα διαδοχικών πρώτων όρων αριθμητικής προόδου

1.

Να βρείτε τα αθροίσματα S1 = 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 851 S 2 = 5 + 12 + 19 + ... + ( 7v − 2 )

2.

α) Να βρείτε το άθροισμα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων 1, 2, 3,…,ν. β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να πάρουμε άθροισμα 45 Τ.Θ.

3.

∆ίνεται αριθμητική πρόοδος ( α ν ) για την οποία

Να δείξετε ότι αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε το ίδιο θα ισχύει και για τους αριθμούς α 2 ( β + γ ) , β2 ( α + γ ) , γ 2 ( α + β )

ισχύει ότι: α1 = 19 και α10 − α 6 = 24 .

6.

4.

Να δείξετε ότι αν οι αριθμοί α 2 , β2 , γ 2 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και ισχύει ( β + γ )( γ + α )( α + β ) ≠ 0 τότε και οι αριθμοί

(β + γ ) , ( γ + α ) −1

−1

, (α + β)

−1

θα είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

7. Οι αριθμοί A =1, B = x + 4, Γ = x + 8 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ( α ν ) .

α) Να βρείτε τη τιμή του x Θεολόγης Καρκαλέτσης

α) Να αποδείξετε ότι ω = 6 β) Να βρείτε τον α 20 γ) Να βρείτε S 20

Τ.Θ.

Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) με διαφορά ω = 4 ,

ισχύει: α 6 + α11 = 40 . α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 της προόδου β) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουμε ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με το μηδέν; Τ.Θ.

5.

Οι αριθμοί x + 6 , 5x + 2 , 11x − 6 είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α1 και διαφορά ω.

5. Πρόοδοι

37

α) Να βρείτε το x και να αποδείξετε ότι ω = 4 β) Αν είναι α1 = 0 , να υπολογίσετε το άθροισμα S 8 των 8 πρώτων όρων

6.

Τ.Θ.

Θεωρούμε την ακολουθία ( α ν ) των θετικών

περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, … α) Να αιτιολογήσετε γιατί η ( α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της β) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους τους Τ.Θ.

5.2 / 5

1.

5.2 / 4

1.

Να παρεμβάλετε 12 αριθμούς ανάμεσα στο 4 και στο 25 έτσι ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

2.

Ανάμεσα στους όρους α 31 και α 47 μίας αριθ-

μητικής προόδου παρεμβάλουμε 50 όρους έτσι ώστε να δημιουργηθεί μία νέα αριθμητική πρόοδος. Να βρεθεί το άθροισμα των όρων που παρεμβλήθηκαν όταν είναι γνωστό ότι α 26 + α 52 = 100

3.

Μεταξύ των αριθμών 12 και 60 παρεμβάλλουμε ορισμένους αριθμούς με άθροισμα 252, ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.

4.

Να παρεμβάλετε μεταξύ των αριθμών 1 και 36 αριθμούς ώστε όλοι μαζί να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με άθροισμα 148.

5.

Πόσους αριθμητικούς ενδιαμέσους μπορούμε να παρεμβάλουμε ανάμεσα στους αριθμούς 3 και 35, ώστε ο τέταρτος ενδιάμεσος προς τον τελευ1 ταίο να έχει λόγο .

3

Σε αριθμητική πρόοδο (α ν ) είναι α1 = 2 και α 5 = 14

α) Να αποδείξετε ότι ω = 3 β) Να βρείτε πόσους αρχικούς (πρώτους) όρους πρέπει να προσθέσουμε, ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με 77. (∆ίνεται: 1849 = 43 )

2. Παρεμβολή σε αριθμητική πρόο πρόοδο

(α ν ) ,

ω. α) Να αποδείξετε ότι α 20 − α10 = 10ω β) Αν α 20 − α10 = 30 και α1 = 1 , να αποδείξετε ότι α ν = 3ν − 2

γ) Ποιος είναι ο πρώτος όρος της προόδου που ξεπερνάει το 30; δ) Πόσοι όροι της παραπάνω προόδου είναι μικρότεροι του 60; Τ.Θ.

3.

Σε αριθμητική πρόοδο είναι α 2 = κ 2 και α 3 = ( κ + 1) , κ ακέραιος με κ > 1 2

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι αριθμός περιττός β) Αν ο πρώτος όρος της είναι α1 = 2 , τότε: i) Να βρείτε το κ και να δείξετε ότι ω = 7 ii) Να εξετάσετε αν ο αριθμός 1017 είναι όρος της προόδου Τ.Θ.

4.

Σε μια αριθμητική πρόοδο ( α ν ) , ο 3ος όρος είναι

α 3 = 8 και ο 8ος όρος είναι α 8 = 23 .

α) Να αποδείξετε ότι α1 = 2 και ω = 3 β) Να υπολογίσετε τον 31ο όρο της. γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: ( α1 + 1) + ( α 2 + 2 ) + ( α 3 + 3 ) + ... + ( α 31 + 31)

α100 = 5 Να βρείτε το άθροισμα των 100 πρώτων όρων περιττής τάξης.

Τ.Θ.

5.

Οι αριθμοί x 2 + 5 , x 2 + x , 2x + 4 , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού x. β) Αν x = 3 και ο αριθμός α 4 = x 2 + 5 να βρείτε: το α1 και το ω

ii) το S = α15 + α16 + α17 + ... + α 24

Θεωρούμε μία αριθμητική πρόοδο ν ∈ ℕ * με

Τ.Θ.

∆ίνεται η αριθμητική πρόοδος (α ν ) με διαφορά

i)

Π34. Π34.

Γενικές ασκήσεις στην αριθμητική πρόοδο

6.

Τ.Θ.

∆ίνεται αριθμητική πρόοδος ( α ν ) με α 3 = 10 και α 20 = 61

α) Να βρείτε το α1 και το ω β) Να εξετάσετε αν το 333 είναι όρος της προόδου Θεολόγης Καρκαλέτσης

38

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι x και y της παραπάνω προόδου ( α ν ) , τέτοιοι ώστε να ισχύει:

x y = 2 3

Τ.Θ.

7.

Τρεις αριθμοί που σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο έχουν γινόμενο 3.000. Αν ο μικρότερος είναι 10 να βρείτε τους άλλους δύο.

8.

∆ίνεται η αριθμητική πρόοδος ( α ν ) , ν ∈ ℕ *

που αποτελείται από ακέραιους αριθμούς για την οποία ισχύει ότι: α1 = x , α 2 = 2x 2 − 3x − 4 , α 3 = x 2 − 2 , x ∈ ℝ α) Να αποδειχθεί ότι x = 3 β) Να βρεθεί ο ν–οστός όρος της προόδου και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει όρος της προόδου που να ισούται με 2014 γ) Να υπολογιστεί το S = α1 + α 3 + α 5 + ... + α15 Τ.Θ.

9.

Σε μία αριθμητική πρόοδο ( α ν ) το άθροισμα

των 10 πρώτων όρων της είναι 40, ενώ το άθροισμα των 15 πρώτων όρων της είναι 135. Να βρείτε: α) το α1 και το ω β) την τιμή A = α19 + α16 γ) το άθροισμα S = α10 + α11 + ... + α 27

5.2 / 6

Γενικά προβλήματα στην αριθμητική πρόο πρόοδο

1.

Η τιμή αγοράς ενός Η/Υ είναι μεγαλύτερη από 620 χιλιάδες δραχμές και μικρότερη από 640 χιλιάδες δραχμές. Κατά την αγορά συμφωνήθηκαν τα εξής: Να δοθεί προκαταβολή 120 χιλιάδες δραχμές Η εξόφληση του υπόλοιπου ποσού να γίνει σε 10 μηνιαίες δόσεις Κάθε δόση να είναι μεγαλύτερη από την προηγούμενη κατά ω χιλιάδες δραχμές Η τέταρτη δόση να είναι 48 χιλιάδες δραχμές α) Να εκφράσετε το ποσό της πρώτης δόσης του υπολογιστή ως συνάρτηση του ω β) Να εκφράσετε την τιμή αγοράς του υπολογιστή ως συνάρτηση του ω γ) Να βρείτε την τιμή του ω δ) Να βρείτε το ποσό της τελευταίας δόσης του υπολογιστή ε) Να βρείτε την τιμή αγοράς του υπολογιστή (Πανελλήνιες 1999)

Θεολόγης Καρκαλέτσης

2.

Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει 20 κυψέλες σε μια ευθεία η οποία διέρχεται από την αποθήκη του Α. Η πρώτη κυψέλη απέχει 1 μέτρο από την αποθήκη Α, η δεύτερη 4 μέτρα από το Α, η τρίτη 7 μέτρα από το Α και γενικά κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α, 3 επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη. α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε το ν-οστό όρο αυτής της προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της; β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη Α είναι η 20η κυψέλη; γ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη Α συλλέγει το μέλι, από μία κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει πάλι πίσω στην αποθήκη Α. i) Ποια είναι απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι από την 3η κυψέλη; ii) ii) Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι και από τις 20 κυψέλες;

3.

Ένα κλειστό στάδιο έχει 25 σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει 12 καθίσματα και καθεμιά από τις επόμενες σειρές έχει δυο καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη. α) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά β) Να υπολογίσετε την χωρητικότητα του σταδίου γ) Οι μαθητές ενός Λυκείου προκειμένου να παρακολουθήσουν μια εκδήλωση, κατέλαβαν όλα τα καθίσματα από την 7η μέχρι και την 14η σειρά. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών του Λυκείου

4.

Ο ∆ιονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς 3, 7, 11, 15,... και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το 4. Σταματάει όταν έχει γράψει τους 40 πρώτους από τους αριθμούς αυτούς. α) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) Να βρείτε το άθροισμα των 40 αυτών αριθμών γ) Είναι ο αριθμός 120 ένας από αυτούς τους 40 αριθμούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του ∆ιονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς όρους της ίδιας αριθμητικής προόδου, από εκεί που είχε σταματήσει ο ∆ιονύσης μέχρι να εμφανιστεί ο αριθμός 235. Να βρείτε το άθροισμα των αριθμών που έγραψε ο Γιώργος

5. Πρόοδοι

5.

Μια οικογένεια, προκειμένου να χρηματοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει να επιλέξει μεταξύ δυο προγραμμάτων που της προτείνονται: Για το πρόγραμμα Α πρέπει να καταθέσει τον 1o μήνα 1 ευρώ, το 2o μήνα 2 ευρώ, τον 3 o μήνα 4 ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα. Για το πρόγραμμα Β πρέπει να καταθέσει τον 1o μήνα 100 ευρώ, το 2o μήνα 110 ευρώ, τον 3 o μήνα 120 ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει πρέπει να καταθέτει ποσό κατά 10 ευρώ μεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα. α) i) Να βρείτε το ποσό α ν που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό το ν ο μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα Α. ii) ii) Να βρείτε το ποσό β ν που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό το ν ο μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα Β. iii) iii) Να βρείτε το ποσό A ν που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από ν μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα Α. iv) iv) Να βρείτε το ποσό B ν που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από ν μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα Β. β) i) Τι ποσό θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά τους πρώτους 6 μήνες, σύμφωνα με κάθε πρόγραμμα; ii) ii) Αν κάθε πρόγραμμα ολοκληρώνεται σε 12 μήνες, με ποιο από τα δύο προγράμματα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι μεγαλύτερο;

6.

Στην Α’ τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύμβουλος των μαθηματικών πρόκειται να πραγματοποιήσει μια δραστηριότητα. Επειδή όμως δεν γνωρίζει το πλήθος των μαθητών της τάξης, συμβουλεύεται το Γυμναστή του σχολείου, που στοιχίζει τους μαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά με ένα πρόβλημα: «Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους μαθητές σε x σειρές με x − 1 μαθητές σε κάθε σειρά. Αν όμως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x + 3 σειρές με x − 3 μαθητές σε κάθε σειρά, θα μου λείπει ένας μαθητής». α) Να βρείτε την τιμή του x β) Να αποδείξετε η Α’ τάξη έχει 90 μαθητές. γ) Η σύμβουλος σκοπεύει να μοιράσει τους παραπάνω 90 μαθητές σε ν ομάδες εργασίας, ώστε στην πρώτη ομάδα να πάνε 2 μαθητές και σε κάθε επόμενη ομάδα να πηγαίνουν 2 παρα-πάνω κάθε

39

φορά. Να βρείτε την τιμή του ν, δη-λαδή πόσες ομάδες εργασίας θα δημιουργηθούν.

7.

Ένα μυρμήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραμμο κλαδί μήκους 1 m, με τον ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το 1o λεπτό προχωράει 1 cm, το 2o λεπτό προχωράει 3cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά 2cm μεγαλύτερη από αυτήν που διήνυσε το προηγούμενο λεπτό. α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το μυρμήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τον v–οστό όρο α ν αυτής της προόδου

β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το μυρμήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της κίνησής του. γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού δ) Υποθέτουμε τώρα ότι, την ίδια στιγμή που το μυρμήγκι ξεκινάει την πορεία του, από το άλλο άκρο του κλαδιού μία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη κατεύθυνση και με τον ακόλουθο τρόπο: Το 1o λεπτό προχωράει 1 cm, το 2o λεπτό προχωράει 2 cm, το 3 o λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διήνυσε το προηγούμενο λεπτό i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής της, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να βρείτε τον v– οστό όρο β ν αυτής της προόδου ii) ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το μυρμήγκι και η αράχνη θα βρεθούν αντιμέτωπα σε απόσταση 1 cm Τ.Θ.

8.

Ο ιδιοκτήτης ενός ταξιδιωτικού γραφείου εκτιμά ότι, όταν για μια συγκεκριμένη διαδρομή διαθέτει τα εισιτήρια στην κανονική τιμή των 21 € ανά εισιτήριο, τότε πουλά κατά μέσο όρο 30 μόνο εισιτήρια, ενώ το λεωφορείο έχει 51 θέσεις. Θέλοντας να αυξήσει τη πελατεία του, κάνει την ακόλουθη προσφορά: Ο πρώτος επιβάτης που θα αγοράσει εισιτήριο θα πληρώσει 3 € και κάθε επόμενος επιβάτης θα πληρώνει 0,50 € περισσότερο από τον προηγούμενο. α) Να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο δεύτερος, ο τρίτος και ο τέταρτος επιβάτης β) Αν, για κάθε ν ≤ 51 ο αριθμός αν εκφράζει το ποσό που θα πληρώσει ο ν-οστός επιβάτης, να δείξετε ότι οι αριθμοί α1 , α 2 , …, α 51 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να βρείτε τη διαφοΘεολόγης Καρκαλέτσης

40

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

ρά ω αυτής της προόδου γ) Αν το λεωφορείο γεμίσει, να βρείτε το ποσό που θα πληρώσει ο 51ος επιβάτης δ) Να βρείτε πόσα τουλάχιστον εισιτήρια θα πρέπει να πουληθούν ώστε η είσπραξη του γραφείου με αυτή την προσφορά να ξεπερνά την είσπραξη που θα έκανε διαθέτοντας τα εισιτήρια στην τιμή των 21 € ανά εισιτήριο (∆ίνεται ότι: 10021 = 101 )

Τ.Θ.

7.

Να βρείτε γεωμετρική πρόοδο με λόγο λ στην οποία είναι α1 = 3λ και α1 + α 2 = 18 .

8.

Να βρείτε γεωμετρική πρόοδο που το άθροισμα του 4ου και του 5ου όρου είναι 108 ενώ η διαφορά του 5ου από τον 4ο όρο είναι –54.

9.

Σε γεωμετρική πρόοδο ( α ν ) είναι α 4 − α 2 = 24

και α 2 + α 3 = 6 . Να βρείτε το λόγο και τον γενικό

5.3 / 1

Γενικός όρος γεωμετρικής προό προόδου

1.

Να εξετάσετε αν είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου οι παρακάτω αριθμοί. Αν είναι τότε να βρείτε το λόγο και το γενικό όρο της προόδου σε κάθε περίπτωση. α) 1, 3, 9, 27, … β) 128, 256, 512, 1024, 2048, … γ)

2 + 1, 1,

2 − 1, 3-2 2 , …

δ) 2 + 1, 2 + 2, 2 + 3 , … ε) 162, –54, 18, –6, …

2.

Σε γεωμετρική πρόοδο ( α ν ) με θετικό λόγο λ,

ισχύει: α 3 = 1 και α 5 = 4 . α) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου και τον πρώτο όρο της β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: α ν = 2ν −3

3.

Να βρείτε γεωμετρική πρόοδο ( α ν ) στην οποία

είναι α 3 = 12 και α 8 = 384 .

όρο της προόδου.

10.

Να βρείτε γεωμετρική πρόοδο της οποίας οι τρεις πρώτοι όροι έχουν άθροισμα 42, α11 = 16α 7 .

11.

Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 1, 3, 9, … που είναι μεγαλύτερος από 1.000

5.3 / 2

Γεωμετρικός μέσος

1.

Να βρείτε τον γεωμετρικό μέσο των παρακάτω αριθμών: i) 3, 27 ii) ii) –2¸–8 1 iii) iv) iii) , 2 iv) 5 − 2 , 5 + 2 2

2.

Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 2, x, x − 2 δεν είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

3.

Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1

4.

α 8 = 384 . Να βρείτε ποιος όρος της είναι ίσος με

3.072.

5.

Σε μία γεωμετρική πρόοδο ( α ν ) είναι α11 = 16

και α 25 = 2048 . Να βρείτε το α17 .

6.

(α + β)

Σε γεωμετρική πρόοδο ( α ν ) είναι α 5 = 48 και

Σε μία γεωμετρική πρόοδο ( α ν ) είναι α11 = 128

και α 7 = 8 . Να βρείτε:

α) τον πρώτο όρο και το λόγο της ( α ν ) β) τους πέντε πρώτους όρους της ( α ν )

Θεολόγης Καρκαλέτσης

, 2

α 3 − β3 , α 2 + αβ + β2 α 2 − β2

(

)

2

είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

4.

α) Να βρείτε το x ∈ ℝ ώστε οι αριθμοί: x , 2x + 1 , 5x + 4 , με τη σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. β) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου, όταν: i) x =1 ii) x = −1

5.

Να βρείτε τρεις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου οι οποίοι έχουν: α) άθροισμα 14 και γινόμενο 64 β) άθροισμα 3 και άθροισμα τετραγώνων 21 13 γ) άθροισμα 14 και άθροισμα αντιστρόφων 9

5. Πρόοδοι

6.

41

α)

Να βρείτε, για ποιες τιμές του x, οι αριθμοί x+4, 2−x, 6−x με τη σειρά που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου β) Αν x = 5 και ο 6 − x είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωμετρική προόδου, να βρείτε το λόγο λ και το α1 της προόδου Τ.Θ.

7.

Οι αριθμοί κ − 2 , 2κ και 7κ + 4 , κ ∈ ℕ είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου ( α ν ) .

α) Να αποδείξετε ότι κ = 4 και να βρείτε το λόγο λ της προόδου β) i) Να εκφράσετε τον α 2 , α 5 και α 4 ως συνάρτηση του α1

ii) ii) Να δείξετε ότι α 2 + α 5 = 4 ( α1 + α 4 )

Τ.Θ.

4.

Να λύσετε την εξίσωση 2 + 22 + 23 + ... + 2x = 2046

5.

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α=

6.

α + α 2 + α 3 + ... + α ν 1 1 1 1 + 2 + 3 + ... + ν α α α α

∆ίνεται η γεωμετρική πρόοδος ( α ν ) με λόγο λ

για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα: α 3 = 4 , α 5 = 16 και λ > 0 α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α1 και το λόγο λ της προόδου β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία ( β ν ) , με 1

( βν ) = α

αποτελεί επίσης γεωμετρική πρόοδο με

ν

λόγο τον αντίστροφο του λόγου της ( α ν )

Π35. Π35.

′ είναι τα αθροίσματα των 10 γ) Αν S10 και S10

∆ίνεται η εξίσωση:

2x 2 − 5βx + 2β2 = 0 (1) , με παράμετρο β > 0 α) Να δείξετε ότι η (1) έχει ρίζες β x1 = 2β , x 2 = 2 β) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της (1), να εξε-

τάσετε αν οι αριθμοί x1 ,β,x 2 με τη σειρά

Άθροισμα διαδοχικών πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου

Να βρείτε τα αθροίσματα S1 = 1 + 3 + 9 + 27 + ... + 729

Να βρείτε το άθροισμα 1 + 2 + 4 + ... β) Να βρείτε πόσους από τους παραπάνω όρους πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να πάρουμε άθροισμα 1023 νιοστός ν −1

όρος

μίας

ακολουθίας

Να παρεμβάλλετε τέσσερις αριθμούς ανάμεσα στο 5 και στο 160 ώστε και οι έξι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

2.

Να παρεμβάλετε τέσσερις αριθμούς ανάμεσα στο 9 και στο 2187 ώστε και οι έξι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

είναι

4 . Να αποδείξετε ότι η ακολουθία είναι 5ν γεωμετρική πρόοδος και να βρείτε το άθροισμα των 16 πρώτων όρων της. αν =

Παρεμβολή σε γεωμετρική πρόοδο

1.

α)

Ο

Σε μία γεωμετρική πρόοδο ( α ν ) ισχύει

5.3 / 4

S 2 = 1 + 3 + 9 + 27 + ... + 313

3.

7.

Τ.Θ.

Να βρείτε: α) το λόγο λ της προόδου 2S + α1 β) το πηλίκο 2011 2S 2009 + α1

1.

2.

στοιχα, να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: 1 ′ = 9 S10 S10 2

α7 − α6 − α 5 = 27 α4 − α3 − α2

που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας

5.3 5.3 / 3

πρώτων όρων των προόδων ( α ν ) και ( β ν ) αντί-

3.

Να παρεμβάλετε 5 αριθμούς μεταξύ του 1 και του 64 ώστε όλοι μαζί να αποτελούν γεωμετρική πρόοδο.

Θεολόγης Καρκαλέτσης

42

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

4.

Να παρεμβάλετε πέντε γεωμετρικούς ενδιάμεσους ανάμεσα στις ρίζες της εξίσωσης 16x 2 − 65x + 4 = 0

5.

∆ίνεται η γεωμετρική πρόοδος 1, 3, 9, 27, 81.

3.

Να βρείτε για ποιες τιμές του x υπάρχουν τα αθροίσματα και να τα υπολογίσετε:

(1 − x ) + ...

1 1− x + + α) S1 = 2 1 + x (1 + x ) (1 + x )3 2

α) Να βρείτε τα γινόμενα α1 ⋅ α 5 , α 2 ⋅ α 4 , α 3 2

β) S 2 = x +

β) Να γενικεύσετε το συμπέρασμά σας γ) Ισχύει 2 ⋅ 12 = 4 ⋅ 6 . Η ακολουθία 2, 4, 6, 12 είναι γεωμετρική πρόοδος; δ) Τι συμπεραίνετε για το αντίστροφο του συμπεράσματος του (β); Κ.Ε.Ε.

4.

6.

α) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι λ = 3 β) Αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι 200, να βρείτε το α1 Τ.Θ.

7.

Αν είναι |α| < 1, |β| < 1 και α ≠ β τότε να υπολογίσετε το άθροισμα

( α + β ) + ( α 2 + αβ + β2 ) + ( α 3 + α 2β + αβ2 + β3 ) + ...

∆ίνεται η γεωμετρική πρόοδος (α ν ) , για την

α οποία ισχύει 5 = 27 . α2

Σε γεωμετρική πρόοδο ( α ν ) είναι α4 1 = 4 και α 2 ⋅ α 8 = α6 4

Να βρείτε το λόγο και τον γενικό όρο της προόδου.

Π36. Π36.

Αν α1 , α 2 , α 3 , ..., α ν ,... είναι γεω-

μετρική πρόοδος και συμβαίνει να είναι το γινόμενο των δύο όρων της α κ ⋅ α λ ίσο με τον όρο α ρ της προόδου, ισχύει δε κ + λ > ρ τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1 είναι επίσης όρος της προόδου (κ, λ φυσικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός).

5.3 / 5

Άθροισμα Άθροισμα διαδοχικών πρώτων όρων φθίνουσας γεωμετρικής οόδου

1.

Να υπολογίσετε τα αθροίσματα: 1 1 β) 1 + + + ... α) 4 + 2 + 1 + ...

3 9 5 3 γ) + 1 + + ... δ) α 5 + α 3 + α + ... , α > 1 3 5

2.

Να βρείτε μία γεωμετρική πρόοδο για την οποία ισχύει: α) S = 8 και α1 = 3 β) S = 8 και α 2 = 3

Θεολόγης Καρκαλέτσης

x2 x3 + + ...

1 + x (1 + x )2

5.3 / 6

Γενικά προβλήματα στην γεωμετρική πρόοδο

1.

Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 204800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 102.400 βακτήρια, μετά από 2 ώρες 51.200 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από 6 ώρες; β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 6.400, ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για 5 ώρες. Συμβολίζουμε με β ν το πλήθος των βακτηρίων ν ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης (v ≤ 5). i) Να δείξετε ότι η ακολουθία ( β ν ) είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον πρώτο όρο και το λόγο της ii) Να εκφράσετε το πλήθος β ν των βακτηρίων συναρτήσει του ν iii) iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό 3 ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης;

2.

Εξαιτίας ενός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στην θάλασσα πετρέλαιο που στο τέλος της 1ης ημέρας καλύπτει 3 τετραγωνικά μίλια (τ.μ.), στο τέλος της 2ης ημέρας καλύπτει 6 τ.μ, στο τέλος της 3ης ημέρας καλύπτει 12 τ.μ. και γενικά εξαπλώνεται έτσι, ώστε στο τέλος κάθε ημέρας να καλύπτει επιφάνεια διπλάσια από αυτήν που κάλυπτε την προηγούμενη. α) Να βρείτε την επιφάνεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος της 5ης ημέρας μετά το ατύχημα β) Πόσες ημέρες μετά από την στιγμή του ατυχή-

5. Πρόοδοι

43

ματος το πετρέλαιο θα καλύπτει 768 τ.μ.; γ) Στο τέλος της 8ης ημέρας επεμβαίνει ο κρατικός μηχανισμός και αυτομάτως σταματάει η εξάπλωση του πετρελαίου. Στο τέλος της επόμενης ημέρας η επιφάνεια που καλύπτει το πετρέλαιο έχει μειωθεί κατά 6 τ.μ. και συνεχίζει να μειώνεται κατά 6 τ.μ. την ημέρα. Να βρείτε πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα 12 τ.μ.

1.

3.

2.

Ένας ασθενής παίρνει δόση των 10 mg ενός φαρμάκου κάθε 4ωρο. Στο χρονικό αυτό διάστημα 1 διασπάται το της ποσότητας του φαρμάκου 4 που βρίσκεται στην αρχή του 4ώρου στο αίμα του ασθενούς ενώ το υπόλοιπο παραμένει στο αίμα του ασθενούς. α) Να βρείτε την ποσότητα του φαρμάκου που έχει στο αίμα του ο ασθενής μόλις πάρει την 2η δόση του φαρμάκου β) Να βρείτε την ποσότητα του φαρμάκου που έχει στο αίμα του ο ασθενής στο τέλος του πρώτου 12ώρου γ) Αν είναι γνωστό ότι, όταν η ποσότητα του φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς υπερβεί τα 50 mg, παρουσιάζονται επικίνδυνες παρενέργειες, δείξτε ότι ο ασθενής δεν κινδυνεύει ακόμη και με ισόβια λήψη του φαρμάκου Κ.Ε.Ε.

4.

∆ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α, β και εμβαδόν Ε, τέτοια ώστε οι αριθμοί α, Ε, β, με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. α) Να αποδείξετε ότι Ε = 1 β) Αν α + β = 10 τότε: i) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τα μήκη α, β ii) Να βρείτε τα μήκη α, β Τ.Θ.

5.3 / 7

Γενικές ασκήσεις στην αριθμηαριθμητική και γεωμετρική πρόο πρόοδο

Αν οι αριθμοί

α, αβ, 2β3 − β 2 γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, με α,β, γ ≠ 0 , να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α,β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α) Αν οι 4 − x, x, 2

είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε το x β) Αν οι 4 − x, x, 2 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε το x γ) Να βρεθεί ο x ώστε οι 4 − x, x, 2 να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου

3.

Αν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και α2, β2, γ2 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε να αποδείξετε ότι α=γ.

4.

Να βρείτε τρεις αριθμούς α, β, γ αν έχουν άθροισμα 99, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και οι α, γ, β είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου.

5.

Αν τρία τόξα είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά ω και τα αντίστοιχα συνημίτονα τους είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου τότε να αποδείξετε ότι ω = κπ , κ ∈ ℤ . Τ.Θ.

Π37. Π37.

Η μικρότερη γωνία κυρτού πολυγώνου είναι 60° και κάθε άλλη 20° μεγαλύτερη της προηγούμενής της. Να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου.

Θεολόγης Καρκαλέτσης

44

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

6.1 / 1

Ορισμός συνάρτη συνάρτησης

6.1 / 2

1.

7°C

12°C

15°C

20°C

25°C

20°C

20°C

13°C

11°C

4°C

−0,8°

−0,3°

Στον πίνακα φαίνεται η μέγιστη μηνιαία θερμοκρασία για την Θεσσαλονίκη το έτος 2003. Ι Φ Μ Α Μ Ι Ι Α Σ Ο Ν ∆ Α Ε Α Π Α Ο Ο Υ Ε Κ Ο Ε Ν Β Ρ Ρ Ι Υ Υ Γ Π Τ Ε Κ

Είναι η αντιστοιχία: Μήνας Θερμοκρασία συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

1.

∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) =

γ)

x 2 − 4x + 3 x− 3

. Να

βρείτε το πεδίο ορισμού της.

Μαθηματικά Γενικής – 2004

2.

Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 3x + 1 3 α) f ( x ) = 2 β) f ( x ) = 2 x −1 x − x +1 2 ημx x +3 γ) f ( x ) = δ) f ( x ) = 2x − 1 − 3 x +x

2.

Να εξετάσετε αν τα παρακάτω βελοδιαγράμματα παριστάνουν συναρτήσεις από το Α στο Β. α) β)

Πεδίο ορισμού συνάρτη συνάρτησης

ε) f ( x ) =

1 x+3

2−

1 −1 x −1

στ) f ( x ) = 1 − x 2

x + 5 x ≥1  x + 2, , x >1  η) f ( x ) =  x − 1 ζ) f ( x ) =  −3x + 4, x < 1 6, x =1  x−2 , x <1  θ) f ( x ) =  x 2 + 3 ι) f ( x ) = x 2 − 4x + 3  3x − 4, x > 1

δ)

κ) f ( x ) =

x −x

μ) f ( x ) = 5 x − ξ) f ( x ) =

3.

Έστω η συνάρτηση 2 + x, x ≤ 4 f (x) =  2  x − 1, x > 4 Να βρείτε τα f ( 0 ) , f (1) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , f ( 4 ) , f ( 5 ) , f ( 6 )

π) f ( x ) =

3

2 x −1

9−x

x −1 − 2 x 2 + 3x + 4 2x − 1

λ) f ( x ) = 5 − x + 4 x + 1 ν) f ( x ) =

x−2

ο) f ( x ) =

− x 2 + 3x + 4 x2 − 4

ρ) f ( x ) =

2− x+3

x+3

x − 2 +1

3.

f ( x ) = 3x

ii) ii) f ( x ) = 2x 2

Σε κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις να βρείτε το πεδίο ορισμού της και μετά να απλοποιήσετε τον τύπο της: x+2 x2 − 1 α) f ( x ) = 2 β) f ( x ) = 2 x −4 x − 3x + 2

iii) iii) f ( x ) = 2x − 1

iv) iv) f ( x ) = x

γ) f ( x ) = x 2 − 4x + 4

3 x2 vii) vii) f ( x ) = x

1 x3 viii) viii) f ( x ) = x v ,v ∈ ℕ *

Π38. Π38. i)

Για ποιες από τις παρακάτω:

v) f ( x ) =

ix) ix) f ( x ) = 3 ⋅ 2 x

vi) vi) f ( x ) =

x) f ( x ) =

ισχύει για όλα τα α,β ∈ Df

α) f ( α + β ) = f ( α ) + f ( β ) β) f ( αβ ) = f ( α ) ⋅ f ( β ) γ) f ( α + β ) = f ( α ) ⋅ f ( β )

Θεολόγης Καρκαλέτσης

1 3x

ε) f ( x ) =

x−5 x −1 − 2

δ) f ( x ) = 1 − συν 2 x 8 x +1 στ) f ( x ) = 3 x+ x−4 2−

Π39. Π39.

Να βρείτε τα κ ∈ ℝ ώστε οι συναρτήσεις να έχουν πεδίο ορισμού όλο το ℝ . α) f ( x ) = κx 2 + 2x + 1 β) f ( x ) =

x +1 x − ( κ − 1) x + κ − 1 2

Τ.Θ.

6. Συναρτήσεις

6.1 / 3

45

Τιμές συνάρτησης 6.1 / 4

Εύρεση τύπου συνάρτησης σε προβλήμα προβλήματα

1.

Η τιμή P (σε χιλιάδες δραχμές) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά, δίνεται t−6 . Να βρείτε την από τον τύπο: P ( t ) = 4 + 25 2 t + 4 τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά.

1.

Στο παρακάτω τραπέζιο (οι πλευρές του είναι σε m).

(Επαναληπτιικές) 2000 Πανελλαδικές (Επαναληπτ

2.

∆ίνεται η συνάρτηση f με f ( x ) = x 2 + x .

1 α) Να βρείτε τις τιμές της f στα 0, − 2, , 3 .

2 β) Να υπολογίσετε τα: f ( 5 ) , f ( α ) , f ( 2α − 1) ,

( )

f ( x + 3 ) , f ( −x ) , f ( x ) , f x 2 , f ( α + β )

γ) Για κάθε α,β ∈ ℝ με α ≠ β να αποδείξετε ότι f (α ) − f (β) α −β

3.

= α + β +1

∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) =

τα α,β ∈ ℝ αν

αx + β . Να βρείτε x−2

f (1) = −3 και f ( −1) =

4.

1 3

α) Να εκφράσετε την περίμετρό του Π ως συνάρτηση του x. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Π(x); β) Να εκφράσετε το εμβαδόν του Ε ως συνάρτηση του x. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ε(x); γ) Να προσδιορίσετε τις δυνατές τιμές του x, αν η περίμετρος του τραπεζίου είναι τουλάχιστον 39m και το εμβαδόν του το πολύ 99m2. ˆ και το ευθύ∆ίνεται η ορθή γωνία xOy γραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 10 m του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και Ox αντιστοίχως.

2.

y

A

∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 2x + 1 − 1 . Να

εξετάσετε ποιοι από τους αριθμούς −2, − 1, 0 είναι τιμές της f.

5.

∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = x 2 − 4 .

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Για κάθε α > 1 να αποδείξετε ότι: 1 i) Ο αριθμός α + ανήκει στο Α f ; α 1 1  ii) ii) f  α +  = α − α α 

O

B

x

Το σημείο Β κινείται με σταθερή ταχύτητα u = 2m / sec και η θέση του πάνω στον άξονα Ox δίνεται από τη συνάρτηση s ( t ) = ut , t ∈ 0,5 όπου t ο χρόνος (σε δευτερόλεπτα). Να βρεθεί το εμβαδόν E ( t ) του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου.

1η δέσμη 1993

3. Π40. Π40.

Το άθροισμα των διαστάσεων α και β ενός ορθογωνίου είναι 14. Να εκφραστεί το εμβαδόν του ως συνάρτηση του α και ως συνάρτηση της διαγωνίου του δ.

Να υπολογίσετε το f ( 2 ) και να βρείτε τον

4.

∆ίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει f ( x ) = x − 1 − f (2) τύπο της συνάρτησης.

Έστω ημικύκλιο με διάμετρο AB = 2R στο οποίο εγγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ∆. Αν ˆ = x τότε να εκφράσετε το εμβαδόν του τραBA∆ πεζίου ως συνάρτηση του x. Θεολόγης Καρκαλέτσης

46

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

5.

∆ίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρά α. Έστω ΚΛΜΝ ένα εγγεγραμμένο ορθογώνιο στο ΑΒΓ. Αν είναι AK = x τότε να βρείτε το εμβαδόν του ΚΛΜΝ συναρτήσει του x.

3.

Για ποιες τιμές του α ∈ ℝ το σημείο Α ( α + 3,4 − α ) ανήκει στον

α) β) γ) δ)

πρώτο τεταρτημόριο δεύτερο τεταρτημόριο τρίτο τεταρτημόριο τέταρτο τεταρτημόριο

4.

Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α ( 2,1)

παράμετρος. Μία επιχείρηση έχει έσοδα E ( t ) που

ως προς: α) τον άξονα x ′x β) τον άξονα y′y γ) την αρχή των αξόνων δ) την ευθεία y = x

δίνονται σε εκατομμύρια δραχμές από τον τύπο E ( t ) = ( t − 1) φ ( t ) , t ≥ 0

5.

6.

∆ίνεται η συνάρτηση φ ( t ) = 2t + μ , t ∈ ℝ , μ ∈ ℝ

όπου t συμβολίζει το χρόνο σε έτη. Το κόστος λειτουργίας K ( t ) της επιχείρησης δίνεται επίσης σε εκατομμύρια δραχμές σύμφωνα με τον τύπο K (t) = φ (t + 4) , t ≥ 0 α) Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους P ( t ) για t ≥ 0 όταν γνωρίζουμε ότι κατά το πρώτο έτος λειτουργίας η επιχείρηση παρουσίασε ζημιά δώδεκα εκατομμύρια δραχμές β) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη; 4η δέσμη 1998

7.

Σε μία κοινότητα όλοι οι καταναλωτές νερού πληρώνουν 6 € πάγιο κάθε μήνα (ανεξαρτήτως αν καταναλώνουν ή όχι νερό). Για τα πρώτα 12 m3 νερού πληρώνουν 0,60 €/m3. Για κάθε επιπλέον m3 νερού πληρώνουν 0,80 €/m3. Να βρείτε μία συνάρτηση y = f ( x ) που να δίνει το κόστος (y) του νερού, αν σε έναν μήνα καταναλωθούν x m3 νερού.

6.2 / 1

Ορθοκανονικό σύστημα συντεσυντεταγμένων / Συμμετρικό / ΑπόΑπόσταση

Να βρείτε το συμμετρικό του σημείο Α ( −2,1)

ως προς: α) τον άξονα x ′x β) τον άξονα y′y γ) την αρχή των αξόνων δ) την ευθεία y = x

6.

Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων: α) Α ( 3,1) και Β ( −2,4 ) β) Γ ( 3,1) και ∆ ( −2,1) γ) Ε ( 2,0 ) και Ζ ( 4,0 ) δ) Η ( α,0 ) και Θ ( β,0 )

7.

Έστω τα σημεία Α (1,4 ) , Β ( 5,2 ) , Γ ( −2, −2 ) .

α) Να αποδείξετε ότι είναι ορθογώνιο β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του Να βρείτε ποια σημεία του άξονα x ′x απέχουν από το σημείο Α ( 2,6 ) απόσταση ίση με 10.

8.

9.

Έστω τα σημεία Α (1, −1) και Β ( −1,1) . Να

βρείτε για ποια σημεία Γ του καρτεσιανού επιπέδου το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

1.

Να σημειώσετε σε ένα σύστημα συντεταγμένων τα παρακάτω σημεία: Α ( 2,1) , B ( 4, −1) , Γ ( −2,3 ) , ∆ ( −1, −5 ) , Ε ( 2,0 ) , Z ( 0,3 ) , Η ( −1,0 ) , Θ ( 0, −2 )

2.

Έστω το σημείο Α ( 2κ + 1,3κ − 2 ) . Ποιο είναι

το σημείο Α αν: α) ανήκει στον άξονα x ′x β) ανήκει στον άξονα y′y Θεολόγης Καρκαλέτσης

Π41. Π41.

Έστω τα σημεία A ( 4,1) , B ( −3,1)

και Γ ( 0,5 ) . α) Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο β) Να προσδιορίσετε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του

6. Συναρτήσεις

47

2.

Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 3−x 2 f (x) = και g ( x ) = − x+7 x

Γραφική παράστα παράσταση συνάρτη συνάρτησης

6.2 / 2

1.

Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( x ) = 2x − 3 που έχουν α) τετμημένη ίση με 2 β) τεταγμένη ίση με 3

2.

Να βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων

ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = x − 2 + α η συνάρτηση f ( x ) =

x+2 −x . Να εξε2x − 1

1  τάσετε αν τα σημεία A  ,3  και B ( 2,0 ) ανήκουν 2  στη γραφική παράσταση της f.

Π42. Π42.

Από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων να βρείτε τα αντίστοιχα πεδία ορισμού τους και τα σύνολα τιμών τους

( λ − 1) x + 1

λx − 2λ − 1 x x −1 όταν οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. f (x) =

Να βρείτε το α ∈ ℝ ώστε το σημείο Α (1,3 ) να

3. Έστω

3.

4.

και g ( x ) =

Έστω η συνάρτηση

x 2 − βx + 2 . x −1 Η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο A ( −1, −3 ) . f (x) =

α) Να βρείτε το β ∈ ℝ β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με τα τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( x ) = x 2 − 5x + 3

5.

Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες οι Cf

βρίσκεται πάνω από την Cg . α) f ( x ) = x 2 − 5x + 6 και g ( x ) = x 2 + x − 2 β) f ( x ) = x 2 − 3x + 2 και g ( x ) = x 2 + 5x − 6

α)

6.

Έστω η συνάρτηση f ( x ) = 2x − 5 − α η οποία

τέμνει τον άξονα y′y στο σημείο με τεταγμένη ίση με 2. α) Να βρείτε το α β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf βρίσκεται «πάνω» από τον άξονα x ′x

β)

γ)

Τ.Θ.

Π43. Π43.

Αν για τις f,g : ℝ → ℝ ισχύει

f ( x ) ⋅ f ( x ) − 2g ( x )  − 2x 2 = x 4 + 1 − g 2 ( x ) ,

6.2 / 3

Σημεία τομής / Σχετικές θέσεις συναρτήσεων

x ∈ ℝ τότε να βρείτε την συνάρτηση d ( x )

που εκφράζει την κατακόρυφη απόσταση των Cf και Cg . Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της απόστασης αυτής;

1.

Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες x ′x και y′y . α) f ( x ) =

x2 + x − 2 x2 − 1

β) f ( x ) =

x 2 + 3x + 2 x2 − 1 Θεολόγης Καρκαλέτσης

48

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

Συντελεστής διεύθυνσης ευευθείας – Γραφική παράσταση 6.3 / 1

f ( x ) = αx + β

1.

∆ίνονται οι παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( x ) = 2x + 4 ii) f ( x ) = −2x + 4 ii) iii) iii)

f (x) = 2

iv) iv)

f ( x ) = −1

v)

f ( x ) = 2x

vi) vi)

f ( x ) = −2x

vii) vii)

f (x) = x

viii) viii) f ( x ) = − x

α) Να βρείτε τα σημεία τομής τους με τους άξονες β) Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσής τους καθώς το είδος της γωνίας (οξεία, αμβλεία, κ.λπ.) που σχηματίζουν με τον άξονα x ′x γ) Να κάνετε τη γραφική τους παράσταση

2.

Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων: α) f ( x ) = 2x − 1 , x ∈  −3,4 ) 2x − 1, β) f ( x ) =  4 − x,  x + 1,  γ) f ( x ) = 4, 2 − x, 

x<3 x≥3 x<3 3≤x<5 x>5

3.

Να σχεδιάσετε την ευθεία y = 2x − 3 και να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει με τους άξονες.

4.

Ένα κινητό που κινείται έτσι ώστε η απόστασή του (σε Km) από ένα σημείο Α (που το θεωρούμε αρχή της μέτρησης) σε σχέση με το χρόνο (σε ώρες) φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

β) Πόσα χιλιόμετρα είναι η συνολική απόσταση; γ) Πόσες φορές το κινητό έκανε στάση και για πόση ώρα; δ) Πόσος χρόνος πέρασε μέχρι να κάνει την πρώτη στάση, τι απόσταση διήνυσε και ποια ήταν η ταχύτητά του σ’ αυτό το χρονικό διάστημα; ε) Σε τι απόσταση από το Α θα βρίσκεται: 45 λεπτά, 1 ώρα και 15 λεπτά, 1 ώρα και 33 λεπτά, 3 ώρες και 30 λεπτά και 4 ώρες μετά την αρχή της μέτρησης στ) Προσπαθήσετε να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης που περιγράφεται στο διάγραμμα

6.3 / 2

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών – f ( x ) = x

1.

Να βρείτε τη σχετική θέση των: α) ε1 : y = 2x − 3 και ε 2 : y = 2x − 4 β) ε1 : y = 2x − 3 και ε 2 : y = 2x − 3 1 γ) ε1 : y = 2x − 3 και ε 2 : y = − x − 3 2 δ) ε1 : y = 2x − 3 και ε 2 : y = 3x − 3

2.

Να βρείτε το λ ∈ ℝ να είναι παράλληλες οι:

( : y = (λ

) − 6 ) x + λ + 1 και ε

α) ε1 : y = λ2 − 6 x + λ + 1 και ε 2 : y = 3x − 1 β) ε1

2

2

: y = 3x + 4

3.

Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε να είναι κάθετες οι: α) ε1 : y = ( λ − 3 ) x − 3 και ε 2 : y = ( λ − 5 ) x + 1 λ β) ε1 : λ2 x − 2 και ε 2 : y = − x + 1 8

4.

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των: α) f ( x ) = x − 1 β) g ( x ) = x − 2 γ) h ( x ) = − x

δ) q ( x ) = − x + 2

5.

Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f ( x ) = x − 1 β) g ( x ) = x − 2 + 1 γ) h ( x ) = − x − 1 − 2

Π44. Π44. Από τις πληροφορίες του διαγράμματος να απαντήσετε στα ερωτήματα: α) Ποια ήταν η διάρκεια της κίνησης; Θεολόγης Καρκαλέτσης

δ) q ( x ) = − x + 1 + 2

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( x ) = 2 − x και g ( x ) = x − 2 Τ.Θ.

6. Συναρτήσεις

6.3 / 3

Προσδιορισμός Προσδιορισμός εξίσω εξίσωσης ευθείας

1.

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή λ και διέρχεται από το σημείο Α σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: β) λ = −1 και Α ( 2,3 ) α) λ = 1 και Α ( 2,3 ) 1 3 και Α ( −2,7 ) δ) λ = − και Α ( 5, −1) 2 2 λ = 0 και Α (1,4 ) στ) λ = 0 και Α ( 0,0 )

49

Γραφική παράσταση των συσυναρτή ναρτήσεων f ( x ) ± c , f ( x ± c )

6.4 / 1

1.

Έστω η συνάρτηση f ( x ) = x 2 .

A. Να γράψετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως συνάρτηση της f. α) g ( x ) = x 2 + 1 β) h ( x ) = x 2 − 2

γ) λ =

γ) p ( x ) = x 2 + 3

ε)

B. Να βρείτε τις παρακάτω τιμές: β) f ( x + 2 ) α) f ( x − 1)

2.

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία ε και διέρχεται από το σημείο Α σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) ε : y = 2x − 1 και Α (1,3 ) β) ε : y = −3x και Α ( 4, −2 ) 1 γ) ε : y = − x + 1 και Α ( −1,5 ) 2 δ) ε : y = x + 5 και Α ( −4, −3 )

δ) q ( x ) = x 2 − 1

γ) f ( 3x − 1)

δ) f ( 2x + 1)

3.

α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x

x2

( x + 1)

2

( x − 2)

2

–4 –3 –2

3.

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία ε και διέρχεται από το σημείο Α σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) ε : y = 4x + 3 και Α ( −1,3 ) 2  β) ε : y = −2x και Α  ,2  3  1 1  γ) ε : y = − x − 5 και Α  −3, −  2 3  δ) ε : y = x + 3 και Α ( −1, −2 )

–1 0 1 2 3 4 β) Να βάλετε τα παραπάνω σημεία σε πίνακα συντεταγμένων

4.

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Α (1,2 ) και Β ( 2,3 ) β) Α ( 2,3 ) και Β ( 4,6 ) γ) Α ( 2,5 ) και Β ( 4,5 )

5.

Έστω η ευθεία που έχει εξίσωση ε : y = ( λ + 1) x + 2 − 4λ

και τέμνει τον άξονα x ′x στο σημείο με τετμημένη ίση με 2. α) Να βρείτε το λ β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην παραπάνω ευθεία και διέρχεται από την αρχή των αξόνων

Θεολόγης Καρκαλέτσης

50

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

γ) Μπορείτε να συμπεράνετε πως προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g ( x ) = x 2 + 1 και h ( x ) = x 2 − 2

δ) Τι συμπεραίνετε για τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων f ( x + c ) σε σχέση με τη γραφική παράσταση της f;

από τη γραφική παράσταση της f ( x ) = x ; 2

δ) Τι συμπεραίνετε για τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων f ( x ) + c σε σχέση με τη γραφι-

Π45. Π45.

Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία A ( 2,3 ) και B ( 5,1) .

κή παράσταση της f;

α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f β) Να λύσετε την ανίσωση f ( 2 + f ( 3x − 4 ) ) > 1

4.

α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών: x

( x + 1)

x2

2

( x − 2)

(

2

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f x 2 + x = 3

–4 –3

6.5 / 1

Μονοτονία συνάρτησης

–2 –1

1.

0 1

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( x ) = 3x − 1 με x ∈ ℝ

είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ .

2

2.

3

∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = 3 − x −1

4

Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τη μονοτονία της. β) Να βάλετε τα παραπάνω σημεία σε πίνακα συντεταγμένων

3.

Να βρείτε το είδος της μονοτονίας των παρακάτω συναρτήσεων: α) f ( x ) = x + x

β) f ( x ) = x − 1 + 2

γ) f ( x ) = x 3 + 3x

δ) f ( x ) =

1 x +1 3

 x + 1, x ≤ 3 f (x) =  2x, x > 3 x≤2 1 − x, στ) f ( x ) =  2  x − 4x + 4, x > 2 ζ) f ( x ) = x x − 1 − x − 3

ε)

4.

α) Έστω μία συνάρτηση f, γνησίως αύξουσα στο 1,4  και γνησίως αύξουσα στο ( 4,6 . Αποδείξτε, με κατάλληλο αντιπαράδειγμα, ότι η συνάρτηση δεν είναι πάντα γνησίως αύξουσα στο 1,6  .

γ) Μπορείτε να συμπεράνετε πως προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g ( x ) = ( x + 1) και h ( x ) = ( x − 2 ) 2

2

από τη γραφική παράσταση της f ( x ) = x 2 ; Θεολόγης Καρκαλέτσης

β) Έστω μία συνάρτηση f, γνησίως αύξουσα στο 1,4  και γνησίως αύξουσα στο  4,6  . Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 1,6  .

5.

Έστω μία συνάρτηση f, γνησίως μονότονη στο ℝ . Αν είναι f (1) = 3 και f ( 2 ) = −4 τότε να βρείτε

το είδος της μονοτονίας της f.

6. Συναρτήσεις

51

6.

Παρακάτω βλέπετε τις γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων. Σε ποια διαστήματα κάθε συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα ή σταθερή. α)

α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η κάθε συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα ή σταθερή β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η κάθε συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα

2.

Να βρείτε το μέγιστο και ελάχιστο (αν υπάρχουν) των παρακάτω συναρτήσεων καθώς και τις αντίστοιχες θέσεις τους. α) f ( x ) = 2x − 3 με x ∈  −3,2 

β)

β) g ( x ) = 4 − 3x με x ∈  −15, −7  γ) h ( x ) = 1 − 2x με x ∈  −1,2 )

γ)

3.

Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις παρουσιάζουν ολικό ελάχιστο το οποίο να βρείτε. α) f ( x ) = x 2 − 4x + 7 β) f ( x ) = 3 + x

4. Π46. Π46.

Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία A ( 2,3 ) και B ( 5,1) . α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f β) Να λύσετε την ανίσωση f ( 2 + f ( 3x − 4 ) ) > 1

(

)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f x 2 + x = 3 Τ.Θ.

6.5 / 2

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 6x g(x) = 2 −x − 9 παρουσιάζει μέγιστο στο x 0 = 3 .

5.

Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις παρουσιάζουν ολικό μέγιστο το οποίο να βρείτε. α) f ( x ) = − x 2 − 2x + 5 β) g ( x ) =

4x x +4 2

γ) f ( x ) = 2 − ( x − 1)

Ακρότατα συνάρτησης

δ) f ( x ) = −1 − x + 3 2 x

ε)

f ( x ) = 32 − 2x −

6.

Έστω η συνάρτηση

1.

Παρακάτω βλέπετε τις γραφικές παραστάσεις έξι συναρτήσεων. i)

4

f ( x ) = 2 − α − 7 − x με α ∈ ℝ

Να βρείτε το α αν είναι f ( x ) ≤ 3 , x ∈ Df

7.

Έστω η συνάρτηση f ( x ) = x 2 + αx + α − 1 με α ∈ ℝ

ii)

Να βρείτε το α αν είναι f ( x ) ≤ −3 , x ∈ Df .

Π47 Π47. iii) iii)

Έστω οι συναρτήσεις f,g : ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύει f ( x ) = g ( x ) + x 2 + 2 για κάθε x ∈ ℝ

Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση των Cf και Cg . Θεολόγης Καρκαλέτσης

52

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

Συμμετρίες συνάρτησης

3.

Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι παρακάτω συναρτήσεις: 1 α) f ( x ) = 1 − x 2 + 6 x x3 − x β) f ( x ) = 2 x +7 x2 − x γ) f ( x ) = 2 x +1

β)

6.5 / 3

1.

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω καμπύλες στην περίπτωση που είναι άρτιες και στην περίπτωση που είναι περιττές α)

δ) f ( x ) = x 2 + 3 + x + 5 ε)

f ( x ) = x 3 − 3x

στ) f ( x ) =

x−2 x−2

+

x x

+

x+2 x+2

2.

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω καμπύλες είναι γραφικές παραστάσεις άρτιας ή περιττής συνάρτησης: α)

γ)

4.

Αν η συνάρτηση f είναι άρτια στο ℝ και γνησίως αύξουσα στο ( α,β ) τότε να αποδείξετε ότι

είναι γνησίως φθίνουσα στο ( −β, −α ) . β)

5.

Έστω η συνάρτηση f :  4α − α 2 ,6 − 3α  → ℝ

η οποία είναι περιττή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ ( 2, −4 ) . Να βρείτε α) το α ∈ ℝ

γ)

β) την τιμή της παράστασης Κ = f ( −2 ) + f ( 0 )

Π48. Π48.

Θεολόγης Καρκαλέτσης

6.

Να εξετάσετε αν είναι περιοδική η συνάρτηση

7.

Να εξετάσετε αν είναι περιοδική η συνάρτηση

f ( x ) = x 2 με x ∈ ℝ

f ( x ) = x4 + x2 x ∈ ℝ

Να βρείτε τη συνάρτηση f αν ξέρετε ότι είναι περιττή και ότι ισχύει

(x

2

)

+ 1 f ( x ) − 3x ≤ 0 για κάθε x ∈ Df

7. Μελέτη βασικών συναρτήσεων f ( x ) = αx 2 , f ( x ) = αx 3 , f ( x ) =

7.1 / 1

1.

53

x

Να μελετήσετε τις συναρτήσεις:

α) f ( x ) = x 2 και g ( x ) = − x 2 β) f ( x ) = 2x 2 , g ( x ) = −2x 2 , h ( x ) = 2 x 4 και q ( x ) = 2x x

2.

7.

Να μελετήσετε τις συναρτήσεις

− x 2 , x < 0 α) f ( x ) =  2  x , x ≥ 0 4x 3 β) f ( x ) = x 3x 3 γ) f ( x ) = , x ∈ ( −1,3  x

3.

α) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Ο και Α β) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Ο και Β γ) τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β δ) το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ

Έστω η συνάρτηση f ( x ) = αx 2 , α ∈ ℝ . Να

∆ίνονται οι παρακάτω παραβολές (σε κάθε σχήμα η παραβολή που παριστάνεται με διακεκομμένη γραμμή είναι η y = x 2 σ) β)

γ)

δ)

βρείτε το α αν: α) η Cf διέρχεται από το σημείο Α ( −2,12 ) β) η Cf είναι συμμετρική της g ( x ) = 3x 2 ως προς τον άξονα x ′x

4.

Να βρείτε για ποιες τιμές του α ∈ ℝ η συνάρτηση:

(

)

α) f ( x ) = α 2 − 2α − 3 x 2 είναι γνησίως αύξουσα στο 0,+∞ ) β) f ( x ) = ( α − 1 − 4 ) x 2 είναι παραβολή που παρουσιάζει μέγιστο

α) Να βρείτε ποια παραβολή είναι η γραφική παράσταση καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις, αιτιολογώντας την επιλογή σας. i)

f ( x ) = (2 − x )

2

ii) ii) g ( x ) = x 2 + 2

γ) f ( x ) = α 2 − α − 6 x 2 είναι παραβολή που ανή-

iii) iii) h ( x ) = ( 2 − x )( x + 2 )

κει στο 3ο και 4ο τεταρτημόριο

β) Να βρείτε τη συνάρτηση στην οποία αντιστοιχεί η παραβολή που δεν είναι γραφική παράσταση μίας από τις συναρτήσεις f, g και h (Α.Π.Σ.)

(

5.

)

Έστω οι συναρτήσεις f ( x ) = x 2 και g ( x ) = 4 με x ∈ ℝ

α) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων β) Να λύσετε γραφικά τις ανισώσεις x 2 ≤ 4 και x 2 > 4 γ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα παραπάνω αποτελέσματα

6.

Έστω η παραβολή με τύπο f ( x ) = x 2 και η ευ-

θεία y = c , c ∈ ℝ η οποία τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία Α και Β. Αν το τρίγωνο ΟΑΒ (Ο η αρχή των αξόνων) που σχηματίζεται είναι ορθογώνιο στο Ο τότε να βρείτε:

Π49. Π49.

Έστω η παραβολή f ( x ) = 2x 2 και η

ευθεία y = c , c ∈ ℝ που τέμνει την παραβολή στα σημεία Α, Β τα οποία έχουν απόσταση 3 2 . Να βρείτε α) το c β) τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ

Θεολόγης Καρκαλέτσης

54

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

7.2 / 1

f (x) =

α x

Γραφική παράσταση της από μετατοπίμετατοπίf ( x ) = αx 2 + βx + γ από σεις της f ( x ) = αx 2 . Άξονας συμσυμμετρίας, μονοτονία, μέγιστο – ελάελάχιστο, σημεία τομής με άξονες

1.

Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που διέρχεται από το σημείο Α ( 3,1) .

2.

7.3 / 1

∆ίνεται η υπερβολή με εξίσωση 2−α f (x) = , α∈ℝ x Αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από το 1  σημείο Α  α, −  τότε: 2 

1.

α) να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) να βρείτε το α γ) να κάνετε τη γραφική παράσταση της f

2.

3.

Έστω η συνάρτηση

  x, x < −1  f ( x ) = 2, −1 ≤ x ≤ 1 1  , x >1 x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της να κάνετε τη γραφική της παράσταση β) Να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατά της

Να μελετήσετε και να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων: α) f ( x ) = x 2 β) g ( x ) = 2x 2 γ) g ( x ) = 2x 2 − 1 Να μελετήσετε και να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων: α) f ( x ) = − x 2 β) g ( x ) = −3x 2 γ) g ( x ) = −3x 2 + 1

3.

Να μελετήσετε και να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων: α) f ( x ) = ( x + 2 )

β) g ( x ) = 2 ( x + 2 )

2

2

γ) g ( x ) = 2 ( x + 2 ) − 1 2

4.

Να μελετήσετε και να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων: α) f ( x ) = 2x 2 − 12x + 14 β) f ( x ) = − x 2 + 4x − 3

Π50. Π50.

Έστω η υπερβολή 2 y= , x>0 x και ένα σημείο της Μ της γραφικής της παράστασης. Φέρουμε τις προβολές Α και Β του Μ στους ημιάξονες Οx και Oy αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ΟΑΜΒ είναι σταθερό καθώς το Μ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της f β) Να βρείτε τι συντεταγμένες του σημείου Μ ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου

Θεολόγης Καρκαλέτσης

γ) f ( x ) = x 2 − 5x + 6

Π51. Π51.

Έστω η συνάρτηση

f ( x ) = x 2 − 4x − λ2 + 8λ − 7 , λ ∈ ℝ

α) Να βρείτε για ποια τιμή του λ, το ελάχιστο της f παίρνει τη μέγιστη τιμή του β) Για την τιμή του λ που βρήκατε, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

7. Μελέτη βασικών συναρτήσεων

55

4.

Να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων: 2 x <1  x + x, α) f ( x ) =  2  x − 6x + 7, x ≥ 1  x 2 − 6x + 8, x <1 β) f ( x ) =  2 − x − 2x + 3, x > 3 1 x < −1 x ,  −1 ≤ x ≤ 1 γ) f ( x ) =  x ,  2  x + 1, x > 1 

Γραφική παράσταση της f ( x ) = αx 2 + βx + γ

7.3 / 2

1. i)

(έξι περιπτώ περιπτώσεις)

Έστω οι συναρτήσεις: f ( x ) = −2x 2 + 4x

ii) ii) f ( x ) = x 2 − 4x + 4 iii) iii) f ( x ) = 2x 2 + 4x + 3 Για κάθε μία από τις συναρτήσεις να βρείτε: α) τον άξονα συμμετρίας και την κορυφή της Cf β) τη μονοτονία και τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f γ) το σύνολο τιμών της f δ) τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες

5.

Να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων: α) f ( x ) = x 2 − 5x + 6

ε) τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

β) f ( x ) = − x 2 + 4x − 3

2.

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της παραβολής που διέρχεται από τα Α ( −1,2 ) , B (1,4 ) , Γ ( 0,1)

γ) f ( x ) = − x 2 + 4x − 4

6.

3.

Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρ-

α) β) γ) δ) ε) στ)

α >0, α >0, α >0, α<0, α<0, α<0,

Από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων και το πλήθος των κοινών τους σημείων με τον άξονα x ′x , όπου υπάρχουν.

τησης f ( x ) = αx 2 + βx + γ αν γνωρίζετε ότι: β >0, β >0, β >0, β >0, β<0, β<0,

Π52. Π52.

γ >0, γ >0, γ >0, γ >0, γ<0, γ<0,

∆>0 ∆=0 ∆<0 ∆>0 ∆<0 ∆>0

∆ίνεται το τριώνυμο

α) f ( x ) = ( x − 2 )

2

β) f ( x ) = x 2 − 3x + 2 γ) f ( x ) = − x 2 + x − 1 δ) f ( x ) = − x 2 + 7x − 6

(

)

λx 2 − λ2 + 1 x + λ , λ ∈ ℝ − {0}

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ ∈ ℝ − {0} β) Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S = x1 + x 2 συναρτήσει του λ ≠ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P = x1 ⋅ x 2 των ριζών γ) Αν λ > 0 το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Αν 0 < λ ≠ 1 και x1 , x 2 με x1 < x 2 είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να βρείτε το πρόσημο του γινομένου f ( 0 ) ⋅ f ( κ ) ⋅ f ( μ ) , όπου κ, μ είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε x1 < κ < x 2 < μ

Τ.Θ.

Θεολόγης Καρκαλέτσης

56

Άλγεβρα Α’ Λυκείου

Βιβλιογραφία Όλα τα βιβλία Μαθηματικών, του Ο.Ε.∆.Β., όλων των τάξεων ∆ημοτικού, Γυμνασίου, Τ.Ε.Ε. και Λυκείου. Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία των μαθηματικών στο Γυμνάσιο και το Λύκειο. Εφημερίς της κυβερνήσεως της Ελληνικής ∆ημοκρατίας (Αρ. Φύλλου 1168.τεύχος 2/8-6-2011). Πρόγραμμα σπουδών Μαθηματικών Α’ τάξης Γενικού Λυκείου Άλγεβρα Α’ Λυκείου. Βασίλης Παπαδάκης. Εκδόσεις Σαββάλας. 2008. Άλγεβρα Α’ Λυκείου. Χρήστος Σιωζόπουλος. Εκδόσεις Ζήτη. 1993. Άλγεβρα Α’ και Β’ Λυκείου. Στέφανος Ηλιάσκος – Γιώργος Φωτόπουλος. Εκδόσεις Ηλιάσκος Φροντιστήρια.

2013. Αριθμοί και άλλα. Τάσος Αγάπης. Εκδόσεις Μαθηματική Βιβλιοθήκη – Χ. Βαφειάδης. 1998. Μαθηματικά Γ’ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Αναστάσιος Μπάρλας. Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. 2003. Ο Οιδίποδας και η σφίγγα. Ανδρέας Πούλος. Εκδόσεις Σαββάλας. 2002. Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής. Αθ. Τζουβάρας. Εκδόσεις Υπηρεσία ∆ημοσιευμάτων Α.Π.Θ. 1987. Συνδυαστική. Θ. Ν. Καζαντζής. Εκδόσεις Μαθηματική Βιβλιοθήκη – Χ.Βαφειάδης. 1997. Την κυρία ή την τίγρη. Raymond Smyllyan. Εκδόσεις Κάτοπτρο. 1998. Περιοδικά: Απολλώνιος Αστρολάβος ∆ιάσταση Ευκλείδης Α', Β', Γ' Μαθηματική Επιθεώρηση Μαθηματική Παιδεία Τα μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο

Θεολόγης Καρκαλέτσης