Dioptres planes et dioptres sphériques

DIOPTRES SPHÉRIQUES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS Étude d’un Dioptre Sphérique dans l’Approximation de Gauss On appelle dioptre sphérique une surface sphérique de centre C, séparant un milieu d’indice n d’un milieu d’indice n’.

On suppose que n > n’

’+ r =  et  + i = 

D’après la figure :

La loi de réfraction, pour des rayons paraxiaux, s’écrit :

n i = n’ r

n (  -  ) = n’ ( - ’) Dans l’approximation de Gauss, H et S sont pratiquement confondus, et les angles étant petits



 HM  HM HM HM HM HM  HM  ,   ,  ' soit n   = n'     CS AS A'S AS  A'S   CS  CS

On prend S comme origine :

1   1  = n' n   SA SC 

1   1     SA' SC 

La relation de conjugaison avec origine au sommet:

 n  n' n n'    C SA SA' SC C : étant la vergence du dioptre

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Notion de Plan Conjugué, Grandissement Transversal Par hypothèse AB est petit de sorte que BC est paraxial ; donc AC  BC  CB’ CA’

Au lieu de points conjugués, on peut parler, dans l’approximation de Gauss, de plan conjugués perpendiculaire à l’axe. On définit alors pour un couple de plans conjugués le grandissement transversal.



A' B' AB

Grandissement transversal

Soient A et A’ deux points conjugués sur l’axe principal du dioptre, et AB un petit objet perpendiculaire à cet axe. AB petit  i et r petits, et donc n i = n’ r

 AB  A' B'  AB A' B' i et r =  n   n'   SA SA'  SA   SA'  D’où l’expression du grandissement :

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 

A ' B' n SA '  AB n' SA

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Position des foyers Par définition, la foyer image F’ est le point conjugué du point du milieu objet situé à l’infini sur l’axe principal. On obtient la position de F’ en faisant tendre SA vers l’infini dans la relation de conjugaison.



n'  n  n' n' n'  = C soit SF' = SC   n' -n C SF' SC

De même, le foyer objet F :

n  n  n' n n  = C soit SF = SC    C n - n' SF SC

On pose

f  SF et f' = SF' ; ce sont par définition, les distances focales objet et image du

dioptre sphérique.

f  SF 

n n' SC et f' = SF'  SC n  n' n'n

On remarque que :

f n  f' n' Les distances focales ont donc des signes opposés.

- Un dioptre est dit Convergent si le foyer image est réel :

f’  0

- Un dioptre est dit Divergent si le foyer image est virtuel :

f’  0

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La partie hachurée, représente le milieu le plus réfringent.

Remarque : Un dioptre est convergent si son centre est situé dans le milieu le plus réfringent.

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Construction d’une image Pour construire l’image d’un objet AB perpendiculaire à l’axe, on utilise des rayons particuliers qui ont des propriétés remarquables.

- Un rayon passant par le centre du dioptre n’est pas dévié.

- Un rayon incident parallèle à l’axe principal, émerge en passant par le foyer image.

- Un rayon incident passant par le foyer objet, émerge parallèlement à l’axe principal.

Remarque : Pour effectuer cette figure, il faut placer tout d’abord F et C, puis construire A’B’ à l’aide du rayon passant par le centre, d’où on en déduit la position de F’ sur la figure.

Le cas particulier du dioptre plan En faisant tendre vers l’infini, le rayon de courbure SC du dioptre sphérique, nous obtenons la relation de conjugaison du dioptre plan : SC

 

 n  n' n n'   on obtien  SA SA'

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n n'  SA SA'

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