MAGNITUDES Y VECTORES
MAGNITUDES MAGNITUD ESCALAR: es aquella magnitud que queda perfectamente definida por un número y sus unidades. Masa: 5 Kg Temperatura: 273 K Energía: 80 J
MAGNITUDES MAGNITUD VECTORIAL: es aquella magnitud que precisa, para ser definida, de módulo, dirección, sentido y punto de aplicación Posición Velocidad
¡¡¡Necesitamos un vector!!!
VECTORES LONGITUD: módulo. LÍNEA SOBRE LA QUE SE APOYA: dirección.
VÉRTICE DE LA FLECHA: sentido. ORIGEN DEL VECTOR: punto de aplicación.
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
𝑟 = 𝑟𝑥 + 𝑟𝑦 + 𝑟𝑧 𝑟 = 𝑟𝑥 · 𝑖 + 𝑟𝑦 · 𝑗 + 𝑟𝑧 · 𝑘
EJEMPLO 𝑟 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 𝑣 = 2𝑗 + 2𝑘 𝑟 + 𝑣 = 3 + 0 𝑖 + −2 + 2 𝑗 + 4 + 2 𝑘 𝑟 + 𝑣 = 3𝑖 + 6𝑘 → 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑧
PROYECCIÓN SEGÚN LOS ÁNGULOS
𝑆𝑥 = 𝑆 · cos 𝛼 𝑆𝑦 = 𝑆 · sin 𝛼 𝑆 = 𝑆 · cos 𝛼 𝑖 + 𝑆 · sin 𝛼 𝑗
MULTIPLICACIÓN DE VECTORES
PRODUCTO ESCALAR Es una operación entre vectores que da como resultado un número. Se calcula multiplicando los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.
𝑎 · 𝑏 = 𝑎 · 𝑏 · cos 𝛼 PE Máximo: cuando los vectores 𝑎 y 𝑏 tienen la misma dirección. PE Nulo: cuando los vectores 𝑎 y 𝑏 son perpendiculares (cos 90º = 0)
PRODUCTO ESCALAR En función de las componentes
𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 𝑘 𝑏 = 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑏𝑧 𝑘 𝑎 · 𝑏 = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧
PRODUCTO ESCALAR Ángulo que forman los vectores
𝑎 · 𝑏 · cos 𝛼 = 𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧
cos 𝛼 =
𝑎𝑥 · 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 · 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 · 𝑏𝑧 𝑎 · 𝑏
EJEMPLO đ?‘Ž = 2đ?‘– − đ?‘— + 3đ?‘˜ đ?‘? = đ?‘– + 3đ?‘— − 2đ?‘˜
đ?‘Ž = 4 + 1 + 9 = 14 đ?‘? = 1 + 9 + 4 = 14
đ?‘Ž ¡ đ?‘? = 2 − 3 − 6 = −7 Valor de producto escalar de los vectores a y b cos đ?›ź =
đ?‘ƒđ??¸ đ?‘Ž ¡ đ?‘?
;
−7
−7 1 cos đ?›ź = = =− ; 2 14 ¡ 14 14
đ?›ź = cos −1 −1 2 = 120đ?‘œ
PRODUCTO VECTORIAL Es una operación entre vectores El resultado es otro vector El módulo del vector resultante es el producto de los módulos iniciales multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos vectores.
PRODUCTO VECTORIAL DIRECCIÓN: perpendicular al plano que forman los dos vectores originales. MÓDULO:
𝑢 × 𝑣 = 𝑢 · 𝑣 · sin 𝜃 SENTIDO: se puede calcular mediante la regla del sacacorchos.
PRODUCTO VECTORIAL 𝑢𝑥 𝑢 = 𝑢𝑦 𝑢𝑧 𝑖 𝑢 × 𝑣 = 𝑢𝑥 𝑣𝑥
𝑗 𝑢𝑦 𝑣𝑦
𝑘 𝑢𝑧 𝑣𝑧
𝑣𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑣𝑦 𝑣𝑧
= 𝑢𝑦 · 𝑣𝑧 · 𝑖 + 𝑢𝑥 · 𝑣𝑦 · 𝑘 + 𝑢𝑧 · 𝑣𝑥 · 𝑗 −
𝑢𝑦 · 𝑣𝑧 − 𝑢𝑧 · 𝑣𝑦 𝑢 × 𝑣 = 𝑢𝑧 · 𝑣𝑥 − 𝑢𝑥 · 𝑣𝑧 𝑢𝑥 · 𝑣𝑦 − 𝑢𝑦 · 𝑣𝑥
−𝑢𝑦 · 𝑣𝑥 · 𝑘 − 𝑢𝑧 · 𝑣𝑦 · 𝑖 − 𝑢𝑥 · 𝑣𝑧 · 𝑗
NOTA: 𝑣 × 𝑢 = − 𝑢 × 𝑣
DERIVADA DE UN VECTOR
DERIVADA DE UN VECTOR 𝑑𝑟 Δ𝑟 = lim 𝑑𝑡 ∆𝑡→0 Δ𝑡
𝑟1 ; 𝑟2 = 𝑓 𝑡
𝑡1 ⇒ 𝑟1 = 𝑟𝑥1 𝑖 + 𝑟𝑦1 𝑘 + 𝑟𝑧1 𝑘 𝑡2 ⇒ 𝑟2 = 𝑟𝑥2 𝑖 + 𝑟𝑦2 𝑘 + 𝑟𝑧2 𝑘 ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑟𝑥2 − 𝑟𝑥1 𝑖 + 𝑟𝑦2 − 𝑟𝑦1 𝑗 + 𝑟𝑧2 − 𝑟𝑧1 𝑘
∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
đ?‘&#x;đ?‘Ľ2 − đ?‘&#x;đ?‘Ľ1 đ?‘&#x;đ?‘Ś2 − đ?‘&#x;đ?‘Ś1 đ?‘&#x;đ?‘§2 − đ?‘&#x;đ?‘§1 ∆đ?‘&#x; = đ?‘–+ đ?‘—+ đ?‘˜ ∆đ?‘Ą đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 ∆đ?‘&#x;đ?‘Ś ∆đ?‘&#x;đ?‘Ľ ∆đ?‘&#x;đ?‘§ = đ?‘–+ đ?‘—+ đ?‘˜ ∆đ?‘Ą ∆đ?‘Ą ∆đ?‘Ą ∆đ?‘&#x;đ?‘Ś Δđ?‘&#x; ∆đ?‘&#x;đ?‘Ľ ∆đ?‘&#x;đ?‘§ lim = lim đ?‘– + lim đ?‘— + lim đ?‘˜ ∆đ?‘Ąâ†’0 Δđ?‘Ą ∆đ?‘Ąâ†’0 ∆đ?‘Ą ∆đ?‘Ąâ†’0 ∆đ?‘Ą ∆đ?‘Ąâ†’0 ∆đ?‘Ą
đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘§ = đ?‘–+ đ?‘—+ đ?‘˜ đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‘đ?‘Ą Este resultado es importantĂsimo ya que nos muestra que, para derivar un vector podemos derivar componente a componente.
EJEMPLO 𝑟 = 4𝑡 2 𝑖 − 7𝑡𝑗 + 3𝑘 𝑣=
𝑟′
=
𝑑𝑟 𝑑𝑡
𝑟=𝑓 𝑡
= 8𝑡𝑖 − 7𝑗
Y ya si nos ponemos… Velocidad: Aceleración:
𝑎 = 8𝑖 𝑣=
𝑑𝑟 𝑑𝑡
𝑎=
𝑑𝑣 𝑑𝑡
=
𝑑2 𝑟 𝑑𝑡 2