TEMA 10
Limitaciones de la mecรกnica clรกsica
Limitaciones de la mecánica clásica Hasta el s.XX las leyes de Newton y de Maxwell pueden explicar cualquier fenómeno.
Sistemas que se desplazan a velocidades próximas a las de la luz.
Sistemas atómicos.
Limitaciones de la mecánica clásica Aceleración velocidades:
de
electrones
a
grandes
No cumplen el principio de conservación de la energía mecánica.
No eran capaces de sobrepasar la velocidad de la luz.
Sistemas de referencia inerciales
Tren moviĂŠndose con velocidad constante
Sistemas de referencia inerciales ď‚ž
Es todo sistema de referencia que se encuentra en reposo o que se mueve con un movimiento rectilĂneo uniforme.
Transformaciones de Galileo Observador en O: 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡
𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑂′ : 𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑥0
𝑣 ′ 𝑥 = 𝑣𝑥 − 𝑣0
𝑎′ 𝑥 = 𝑎𝑥
𝑦′ = 𝑦
𝑣′𝑦 = 𝑣𝑦
𝑎′𝑦 = 𝑎𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑣′𝑧 = 𝑣𝑧
𝑎′𝑧 = 𝑎𝑧
𝑡′ = 𝑡
Transformaciones de Galileo
La aceleración observada es la misma para todos los observadores.
Galileo concluyó que si las aceleraciones son idénticas en cualquier sistema de referencia inercial, las causas que las provocan han de ser las mismas.
Principio de relatividad de Galileo: las leyes de la física son invariantes respecto a dos observadores que se mueven con movimiento uniforme, uno respecto al otro.
TeorĂa de la Relatividad Especial
Teoría de la Relatividad Especial
En el siglo XIX se pensaba que la luz se desplazaba como una onda mecánica.
El medio por el que se desplazaba se conocía como éter.
Michelson y Morley intentaron detectar el éter a través de su interferómetro pero se llevaron una sorpresa.
Teoría de la Relatividad Especial
Las leyes de Maxwell no eran invariantes para dos sistemas inerciales.
Lorentz descubrió una transformación de velocidades para el electromagnetismo.
Mostró que estas transformaciones dejaban invariantes las ecuaciones de Maxwell.
TeorĂa de la Relatividad Especial Las leyes de la FĂsica tienen la misma expresiĂłn en todos los sistemas de referencia inerciales. 2. La velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales. 1.
ď‚ž
Estos postulados de Einstein no son compatibles con las transformaciones de Galileo debido a que đ?‘? = đ?‘? đ?‘Ąđ?‘’ .
TeorĂa de la Relatividad Especial ď‚ž
Einstein empleĂł las transformaciones de Lorentz: đ?‘Ľ ′ = Îł đ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Ą y′ = y z′ = z đ?‘ŁÂˇđ?‘Ľ t =Îł đ?‘Ąâˆ’ 2 đ?‘? ′
TeorĂa de la Relatividad Especial ď‚ž
Cuando las velocidades son muy grandes se notan los efectos relativistas.
ď‚ž
Cuando son pequeùas‌ lim �′ = lim
đ?‘Łâ‰Şđ?‘?
đ?‘Łâ‰Şđ?‘?
đ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Ą đ?‘Ł2 1− 2 đ?‘?
đ?‘ŁÂˇđ?‘Ľ đ?‘Ąâˆ’ 2 đ?‘? lim đ?‘Ąâ€˛ = lim đ?‘Łâ‰Şđ?‘? đ?‘Łâ‰Şđ?‘? đ?‘Ł2 1− 2 đ?‘?
=
=
đ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Ą 1−0
đ?‘Ąâˆ’0 1−0
= đ?‘Ľ − đ?‘Łđ?‘Ą
=đ?‘Ą
TeorĂa de la Relatividad Especial Factor de Lorentz 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
1,05
TeorĂa de la Relatividad Especial ď‚ž
Si dos objetos se mueven con velocidad đ?‘Ł1 y đ?‘Ł2 , cercanas a la velocidad de la luz: đ?‘Ł2 − đ?‘Ł1 đ?‘Łâ€˛2 = đ?‘Ł1 ¡ đ?‘Ł2 1− đ?‘?2
Donde �′2 es la velocidad del segundo objeto visto por el primero.
Consecuencias de la Relatividad
DilataciĂłn del tiempo
ď‚ž
El intervalo de tiempo es mayor si lo mide el observador en reposo.
ď‚ž
El tiempo se dilata si se mide desde un sistema de referencia que viaja a la misma velocidad.
La paradoja de los dos gemelos ď‚ž
Dos gemelos de 25 aĂąos se separan porque uno de ellos viaja a un planeta de otro Sistema Solar situado a 20 aĂąos luz de la Tierra.
ď‚ž
La nave lleva una velocidad constante de 0′ 8 đ?‘?.
ď‚ž
ÂżQuĂŠ edad tienen cuando se reencuentran?
ď‚ž
Tiempo que mide el que se queda en la Tierra: đ?‘‘ 2 ¡ 20đ?‘? ∆đ?‘Ą = = ′ = 50 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘ đ?‘Ł 0 8đ?‘?
ď‚ž
Edad actual: 25 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘ + 50 đ?‘ŽĂąđ?‘œđ?‘ = đ?&#x;•đ?&#x;“ đ?’‚Ăąđ?’?đ?’”
Tiempo que mide el reloj del viajero: ′ 8𝑐 ∆𝑡 0 ∆𝑡 ′ = = 50 𝑎ñ𝑜𝑠 · 1 − 𝛾 𝑐2
2
∆𝑡 ′ = 50 𝑎ñ𝑜𝑠 · 0′ 6 = 30 𝑎ñ𝑜𝑠
Edad actual: 25 𝑎ñ𝑜𝑠 + 30𝑎ñ𝑜𝑠 = 55 𝑎ñ𝑜𝑠
ContracciĂłn de la longitud ď‚ž
Las dimensiones de los objetos se contraen en la direcciĂłn del movimiento: đ?‘™ = đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ đ?‘™ ′ = đ?‘Ľâ€˛đ??ľ − đ?‘Ľâ€˛đ??´
ď‚ž
Aplicamos las transformaciones de Lorentz
đ?‘Ľâ€˛đ??´ = Îł đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Łđ?‘Ą
đ?‘Ś
đ?‘Ľâ€˛đ??ľ = Îł đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Łđ?‘Ą
Contracciรณn de la longitud ๏
Restamos: ๐ โ ฒ = ๐ ฅโ ฒ๐ ต โ ๐ ฅ โ ฒ๐ ด = ฮณ ๐ ฅ๐ ต โ ๐ ฃ๐ ก โ ฮณ ๐ ฅ๐ ด โ ๐ ฃ๐ ก ๐ โ ฒ = ๐ พ ๐ ฅ๐ ต โ ๐ ฃ๐ ก โ ๐ ฅ๐ ด + ๐ ฃ๐ ก
๐ โ ฒ = ๐ ฅโ ฒ๐ ต โ ๐ ฅ โ ฒ๐ ด = ๐ พ ๐ ฅ๐ ต โ ๐ ฅ๐ ด
La longitud de una nave espacial es de 30 m, medida desde la Tierra.
Cuando fue lanzada medía 50 m.
Calcula la velocidad de la nave.
ď‚ž
Aplicamos la expresión de contracción relativista de la longitud: �′ � =�¡� →� = � ′
đ?‘Ł 2 đ?‘™â€˛ đ?‘™â€˛2 30 đ?‘š 1− 2 = → đ?‘Ł =đ?‘? 1− 2 =đ?‘? 1− đ?‘? đ?‘™ đ?‘™ 50 đ?‘š
đ?‘Ł = 0′ 8đ?‘?
2 2
Masa relativista ď‚ž
A medida que aumenta la velocidad se produce un incremento del valor de la masa respecto de la situaciĂłn de esta en reposo:
Equivalencia Masa – EnergĂa ď‚ž
La energĂa necesaria para que un cuerpo pase del reposo a tener una velocidad v es:
ď‚ž
Donde đ??¸0 = đ?‘š0 đ?‘? 2 es la energĂa de la masa en reposo.
Equivalencia Masa – EnergĂa ď‚ž
Para valores de la velocidad mucho menores que c: 1 đ??¸đ?‘? = đ?‘š0 đ?‘Ł 2 2
ď‚ž
La masa en reposo de un neutrĂłn es đ?‘šđ?‘› = 1′ 674927 ¡ 10−27 đ?‘˜đ?‘”. Calcula:
a)
Su energĂa en reposo.
b)
Su energĂa cinĂŠtica cuando se mueve a una velocidad đ?‘Ł = 0′ 5 đ?‘?.
a)
La energía en reposo: 𝐸0 = 𝑚0 𝑐 2
𝐸0 = 1′ 674927 · 10−27 𝑘𝑔 · 3 · 108 𝑚/𝑠 𝐸0 = 1′ 5074 · 10−10 𝐽 ≈ 9′ 4 · 108 𝑒𝑉
2
b)
Energía cinética: 𝑚0
𝐸𝑐 =
𝑣2 1− 2 𝑐
𝐸𝑐 =
2
− 𝑚0 𝑐 =
1 0′ 5𝑐 1− 𝑐2
2
1 𝑣2 1− 2 𝑐
− 1 𝑚0 𝑐 2
− 1 𝐸0 = 0′ 1547 · 𝐸0
𝐸𝑐 = 2′ 33 · 10−11 𝐽 ≈ 1′ 5 · 108 𝑒𝑉