Campo Gravitatorio

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CAMPO GRAVITATORIO

CONCEPTO DE CAMPO

CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO  Es una región del espacio afectada por una determinada magnitud que cambia con la posición. Ésta puede ser, por ejemplo una Tª, una fuerza…  En todos los campos “los espacios se deforman” debido a las fuerzas que le son introducidas.

TIPOS DE CAMPO a) ESCALAR Si la magnitud física asociada a cada punto del espacio es escalar. Por ejemplo la temperatura.

b) VECTORIAL Si la magnitud física asociada a cada punto es vectorial. Por ejemplo una fuerza.

REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO a) CAMPO ESCALAR Se representa mediante líneas equipotenciales, que son líneas que unen los puntos donde la magnitud física asociada al campo tiene el mismo valor. Temperatura Presión

→ →

Isotermas Isobaras

También se las conoce como curvas de nivel y no se cortan nunca.

REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO b) CAMPO VECTORIAL Se representa mediante líneas de campo, que son líneas que representan en cada punto la dirección del campo e indican la trayectoria que sigue el movimiento de una partícula colocada en ese punto del campo.

Las líneas de campo (o líneas de fuerza) no se cortan nunca

REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO b) CAMPO VECTORIAL Si los campos vectoriales son conservativos podemos definir un potencial que es una magnitud que sólo depende de la posición (escalar).

Podemos representarlas. Van a ser siempre perpendiculares a las líneas de campo.

CAMPO GRAVITATORIO

CAMPO GRAVITATORIO • Es una propiedad de la masa material de las partĂ­culas que se manifiesta como fuerza de atracciĂłn sobre otras partĂ­culas con masa. • Es un campo vectorial porque alrededor de la masa, lo que se distribuye es una magnitud vectorial (đ??š ).

Intensidad de Campo: (đ?’ˆ) Es la fuerza ejercida por unidad de masa.

đ?‘”=

−đ??şÂˇđ?‘€ đ?‘˘đ?‘&#x; 2 đ?‘&#x;

đ?‘ đ??žđ?‘”

đ??š đ?‘”= đ?‘š

Vector de campo gravitatorio

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIĂ“N Para calcular la intensidad de campo gravitatorio creado por varias masas, se calcula la intensidad creada por cada una de ellas como si las otras no existirĂĄn. La intensidad total serĂĄ la suma vectorial de las intensidades de cada masa. đ?’?

đ?’ˆđ?‘ť =

đ?’ˆđ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

đ?‘Ž ¡ đ?’Žđ?’Š đ?’ˆđ?’Š = − đ?’–đ?’“ đ?&#x;? đ?’“đ?’Š

ACELERACIÓN EN UN CAMPO GRAVITATORIO 𝑀·𝑚 𝐹𝐶 = 𝐺 · 𝑅2 𝐹 =𝑚·𝑎 𝑀 𝑎=𝐺· 2 𝑅

𝑀·𝑚 𝑚·𝑎 =𝐺· 𝑅2

→

𝑀 𝑔=𝐺· 2 𝑅

LÍNEAS DE CAMPO GRAVITATORIO Para una sola masa, las líneas de campo acaban en ella.

Para dos masa las líneas de campo se complican porque se tuercen un poco por la existencia de la otra masa.

CARĂ CTER CONSERVATIVO El trabajo que realiza una fuerza para producir un desplazamiento entre dos puntos A y B no depende de la trayectoria seguida, sĂłlo de la posiciĂłn inicial y final. (ÂĄÂĄÂĄGracias a Dios!!! si no las integrales serĂ­an terribles y mucho mĂĄs habituales)

đ?‘žđ?&#x;?đ?‘¨đ?‘Š = đ?‘žđ?&#x;?đ?‘¨đ?‘Š đ?‘žđ?‘¨đ?‘Š =

� � �

¡ đ?’…đ?’“

y

đ?‘­=

−đ?‘Žđ?‘´đ?’Ž đ?’–đ?’“ đ?&#x;? đ?’“

CARĂ CTER CONSERVATIVO Recordamos cĂłmo se calcula el producto escalar de dos vectores y tenemos en cuenta que đ?‘­ đ?’š đ?’…đ?’“ son siempre paralelos. đ?‘Š

��� = ���

đ?‘Š

đ?‘­ ¡ đ?’…đ?’“ ¡ đ??œđ??¨đ??Ź đ??… = đ?‘¨

�

đ?‘Žđ?’Žđ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;? − ¡ đ?’…đ?’“ = −đ?‘Žđ?’Žđ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;? đ?&#x;? đ?’“

� �

−đ?&#x;? đ?‘Š đ?&#x;? đ?&#x;? = −đ?‘Žđ?’Žđ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;? ¡ = đ?‘Žđ?’Žđ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;? ¡ − đ?‘Žđ?’Žđ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;? ¡ đ?’“ đ?‘¨ đ?’“ đ?‘Š đ?’“ đ?‘¨

đ?‘žđ?‘¨đ?‘Š = đ?‘Žđ?’Žđ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;?

đ?&#x;? đ?&#x;? − đ?’“đ?‘Š đ?’“đ?‘¨

Como el trabajo realizado por la fuerza sólo depende de �� (posición inicial) y �� (posición final) puedo decir que es CONSERVATIVO.

đ?’…đ?’“ đ?’“đ?&#x;?

VARIACIONES DE LA INTENSIDAD DE CAMPO CON LA ALTURA

Vamos a estudiar el campo gravitatorio creado por una masa esfĂŠrica. El estudio sirve tanto para esferas huecas como macizas. Se comporta como si toda la masa estuviera concentrada en el centro. 1. En la superficie:

đ?‘ŽÂˇđ?‘´ đ?’ˆđ?&#x;Ž = − đ?&#x;? đ?’–đ?’“ đ?‘š

2. Lejos de la superficie, a una altura “h”: 𝑴 𝒈=𝑮 𝟐 𝒓

𝒚

𝒓=𝑹+𝒉

𝑮𝑴 𝑹𝟐 𝑮𝑴 𝑹𝟐 𝑹𝟐 𝒈 = 𝟐 · 𝟐 = 𝟐 · 𝟐 = 𝒈𝟎 · 𝟐 𝒓 𝑹 𝑹 𝒓 𝒓

𝑹𝟐 𝒈 = 𝒈𝟎 · 𝑹+𝒉 Como

𝑹𝟐

< 𝑹+𝒉

𝟐

⇒

𝑹𝟐 𝑹+𝒉 𝟐

𝟐

< 𝟏 obtenemos que siempre se cumple:

𝒈 < 𝒈𝟎

EJEMPLO ¿Qué relación existe entre la intensidad del campo gravitatorio creado por una esfera de radio 10 m en la superficie y a una altura de 100 m?

R = 10 m

h = 100 m

𝑅2 𝑔 = 𝑔0 · 𝑅+𝑕

10 𝑚 2 = 𝑔0 · 2 10 𝑚 + 100 𝑚 100 𝑚2 1 = 𝑔𝑜 · = 𝑔𝑜 · 2 12100 𝑚 121

𝑔𝑜 𝑔= 121

2

=

EJEMPLO Calcular a qué altura 𝑔 =

𝑔𝑜 : 3

𝑔𝑜 𝑔= 3 100 𝑚2 𝑔 = 𝑔0 · 100𝑚 + 20𝑕 + 𝑕2

300 = 100 + 20𝑕 + 𝑕2

1 100 𝑔𝑜 = 𝑔𝑜 · 3 100 + 20𝑕 + 𝑕2

𝑕 = 7′ 32 𝑚 𝑕′ = −27′ 32𝑚

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Como hemos demostrado que el campo gravitatorio es una fuerza conservativa podemos definir una energía potencial gravitatoria.

Es una magnitud escalar cuyo valor está relacionado con la posición que ocupa una masa respecto a la masa que genera el campo. En un campo conservativo, la E. potencial es una magnitud cuya variación indica el trabajo que hay que realizar para llevar una masa de un punto a otro.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA

Recordamos que ya definimos que 𝑾𝑨𝑩 = 𝑮𝒎𝟏 𝒎𝟐 y como 𝑬𝒑𝑩 =

𝟏 −𝑮𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝒓𝑩

y

𝑬 𝒑𝑨 =

𝟏 𝒓𝑩

−

𝟏 𝒓𝑨

𝟏 −𝑮𝒎𝟏 𝒎𝟐 𝒓𝑨

𝑾𝑨𝑩 = 𝑬𝒑𝑩 − 𝑬𝒑𝑨 = −∆𝑬𝒑

:

ENERGĂ?A POTENCIAL GRAVITATORIA Diferencia de la energĂ­a potencial (ÂĄÂĄÂĄes absurdo decir que la energĂ­a potencial en un punto vale x si no se pone antes un valor de referencia!!!) đ?‘Źđ?’‘ = đ?&#x;Ž đ?’„đ?’–đ?’‚đ?’?đ?’…đ?’? đ?’“ → ∞ donde la masa no tiene influencia sobre ningĂşn objeto que se coloque. đ?‘žđ?‘Šâˆž = −∆đ?‘Źđ?’‘đ?‘Šâˆž = −(đ?‘Źđ?’‘∞ − đ?‘Źđ?’‘đ?‘Š ) = đ?‘Źđ?’‘đ?‘Š Vamos a demostrar esta afirmaciĂłn con mayor rigurosidad matemĂĄtica: ∞

đ?‘žđ?‘Šâˆž =

đ?‘Š

đ?&#x;? ∞ đ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;? đ?‘­ đ?’…đ?’“ = đ?‘Žđ?’Žđ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;? ¡ = đ?‘Žđ?’Žđ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;? đ?&#x;Ž − = −đ?‘Ž ; đ?’“ đ?‘Š đ?’“đ?‘Š đ?’“đ?‘Š

đ?‘žđ?‘Šâˆž = đ?‘Źđ?’‘đ?‘Š đ?’„. đ?’’. đ?’…. đ?’Ž đ?&#x;? ¡ đ?’Žđ?&#x;? đ?‘Źđ?’‘ = −đ?‘Ž ; đ?’“

đ?‘ą

ENERGĂ?A POTENCIAL GRAVITATORIA Algo que no podemos dejar de tener en cuenta es que la energĂ­a potencial en un punto es, por definiciĂłn, negativa. Por lo tanto đ?‘žđ?‘Šâˆž = đ?‘Źđ?’‘đ?‘Š < đ?&#x;Ž En este caso el trabajo es negativo, porque el objeto se mueve desde B → ∞, quiere salir del campo y eso tiene un coste de energĂ­a que se debe hacer desde fuera para conseguir mover al objeto. El caso de đ?‘žâˆžđ?‘Š = −đ?‘Źđ?’‘đ?‘Š > đ?&#x;Ž En este caso el trabajo es positivo, porque el objeto, que se mueve desde ∞ → B, lo hace sĂłlo, a favor del campo y sin necesidad de aporte externo de energĂ­a.

ENERGĂ?A POTENCIAL GRAVITATORIA

A parte de la energía potencial, que tendrå cualquier masa por el mero hecho de estar situada en un punto del campo, si la masa se mueve tendrå tambiÊn tendrå ENERG�A CINÉTICA:

đ?‘´đ?’Ž đ?&#x;? đ?‘Źđ?‘´ = −đ?‘Ž + đ?’Žđ?’—đ?&#x;? đ?‘š đ?&#x;?

EN LA TIERRA Vamos a calcular el incremento de energĂ­a potencial gravitatoria desde la superficie terrestre hasta una altura “hâ€?. ∆đ?‘Źđ?’‘đ?&#x;Žâ†’đ?’‰

đ?‘Žđ?‘´đ?‘ť đ?’Ž −đ?‘Žđ?‘´đ?‘ť đ?’Ž đ?&#x;? đ?&#x;? =− − = đ?‘Žđ?‘´đ?‘ť đ?’Ž − = đ?‘šđ?‘ť + đ?’‰ đ?‘šđ?‘ť đ?‘šđ?‘ť đ?‘šđ?‘ť + đ?’‰

Obtenemos el denominador comĂşn y simplificamos:

đ?‘šđ?‘ť +đ?’‰ − đ?‘šđ?‘ť đ?’‰ = đ?‘Žđ?‘´đ?‘ť đ?’Ž = đ?‘Žđ?‘´đ?‘ť đ?’Ž = đ?&#x;? đ?‘šđ?‘ť đ?‘šđ?‘ť + đ?’‰ đ?‘šđ?‘ť + đ?‘šđ?‘ť đ?’‰ đ?&#x;?

Sacamos del parĂŠntesis un đ?‘šđ?‘ť dividiendo y tenemos en cuenta que đ?’ˆđ?&#x;Ž = =

đ?‘Žđ?‘´đ?‘ť đ?’Ž đ?‘šđ?‘ť

đ?&#x;?

đ?’‰ đ?&#x;?+

đ?’‰ đ?‘šđ?‘ť

= đ?’ˆđ?&#x;Ž đ?’Ž ¡

đ?’‰ đ?&#x;? + đ?‘šđ?’‰

đ?‘ť

đ?‘Žđ?‘´đ?‘ť đ?‘šđ?‘ť đ?&#x;?

:

EN LA TIERRA Podemos aproximar diciendo que la altura “hâ€? es mucho mĂĄs pequeĂąa đ?’‰ que el radio terrestre (đ?‘šđ?‘ť = đ?&#x;”. đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;– đ?’Œđ?’Ž), por lo tanto → đ?&#x;Ž. đ?‘šđ?‘ť

∆đ?‘Źđ?’‘ = đ?’Ž ¡ đ?’ˆđ?&#x;Ž ¡ đ?’‰

donde đ?’ˆđ?&#x;Ž = đ?&#x;—′ đ?&#x;– đ?’Ž/đ?’”đ?&#x;?

POTENCIAL GRAVITATORIO (DIFERENCIA DE POTENCIAL)

POTENCIAL GRAVITATORIO El Potencial Gravitatorio (V) se define en un punto de un campo gravitatorio como la đ?‘Źđ?’‘ que tendrĂ­an el sistema formado por la masa creadora del campo y la unidad de masa situada en ese punto.

đ?‘´ đ?‘˝ = −đ?‘Ž ; đ?‘š

đ?‘ą đ?’Œđ?’ˆ

El Potencial Gravitatorio (V) en un punto es el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masa desde un punto al infinito.

POTENCIAL GRAVITATORIO Para una masa “m�:

đ?‘Źđ?’‘ = đ?’Ž ¡ đ?‘˝ Por lo tanto, el trabajo podemos escribirlo como: đ?‘žđ?‘¨đ?‘Š = −∆đ?‘Źđ?’‘ = −∆đ?‘˝ ¡ đ?’Ž

đ?‘žđ?‘¨đ?‘Š = −đ?’Ž ¡ đ?‘˝đ?‘Š − đ?‘˝đ?‘¨ ;

đ?‘ą

POTENCIAL GRAVITATORIO Si tengo varias masas, el potencial en un punto es la suma escalar de los potenciales debidos a cada masa. En el punto p calculo el potencial de cada una de las masas (đ?‘˝đ?&#x;? , đ?‘˝đ?&#x;? , ‌ đ?‘˝đ?’Š ).

đ?’Š

�� =

đ?‘˝đ?’? đ?’?=đ?&#x;?

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Las superficies equipotenciales son aquellas superficies en las cuales todos sus puntos se caracterizan por tener el mismo potencial. Para el caso de una masa “m” las superficies equipotenciales son ESFERAS CONCÉNTRICAS perpendiculares a las líneas de campo. (Lógico, ya que el campo gravitatorio es un campo central)

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES El sentido del campo siempre apunta hacia potenciales decrecientes. ÂĄÂĄÂĄOJO!!! El valor del potencial es definido negativo, por lo que el valor “ceroâ€? del potencial en el infinito es el mayor valor que puede tomar el potencial.

Es interesante observar que, ya que el campo gravitatorio es conservativo, cuando me muevo sobre una superficie equipotencial no hago ningĂşn trabajo. đ?‘Š = −đ?‘š ¡ ∆đ?‘‰ = −đ?‘š ¡ 0 = 0

GRADIENTE DE POTENCIAL • Como el campo gravitatorio es perpendicular a las superficies equipotenciales, al movernos en direcciĂłn radial un ∆đ?‘&#x; atravesamos superficies equipotenciales. • El gradiente de potencial entre dos puntos es una medida del campo gravitatorio que describe la rapidez de variaciĂłn del campo al desplazarnos desde un punto en direcciĂłn radial. (Es como la pendiente de una cuesta).

đ??şđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘‰ = đ?›ť ¡ đ?‘‰ =

∆đ?‘‰ − ∆đ?‘&#x;

⇒�=

∆đ?‘‰ − ∆đ?‘&#x;

MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES

PERIODO DE REVOLUCIĂ“N a) Las Ăłrbitas son elĂ­pticas, cerradas y planas. (Radio medio a). Aproximamos a Ăłrbitas circulares de radio R = a. b) Los satĂŠlites estĂĄn sometidos a una fuerza de atracciĂłn gravitatoria. Esta es una fuerza centrĂ­peta que mantiene al satĂŠlite girando. đ?‘€ ¡ đ?‘š đ?‘šđ?‘Ł 2 đ??šđ?‘” = đ??šđ?‘? ⇒ đ??ş = 2 đ?‘… đ?‘…

đ?‘Ł=

đ??şđ?‘€ ; đ?‘…

đ?‘š đ?‘

Observamos que la velocidad del satĂŠlite no depende de la masa del mismo, sĂłlo de la masa del planeta y la distancia al mismo.

SATÉLITES GEOESTACIONARIOS Es un satĂŠlite que gira en el plano del ecuador terrestre. EstĂĄ siempre en la misma posiciĂłn sobre la Tierra. Es decir, el periodo de rotaciĂłn de la Tierra y el periodo de traslaciĂłn del satĂŠlite coinciden. đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Łđ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘ đ?‘Žđ?‘ĄĂŠđ?‘™đ?‘–đ?‘Ąđ?‘’ = đ?‘‡đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘‡đ?‘–đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Ž = 24 đ?‘•

Vamos a calcular el radio de estos satĂŠlites: đ?‘… đ?‘‡ = 2đ?œ‹đ?‘… đ??şđ?‘€ 2 đ?‘…3 4đ?œ‹ đ?‘‡2 = đ??şđ?‘€

đ?‘…=

3

đ??şđ?‘€đ?‘‡ 2 ≈ 42300 đ?‘˜đ?‘š (âˆź 36000 đ?‘˜đ?‘š đ?‘ đ?‘œđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘’) 2 4đ?œ‹

CUESTIÓN PARA LA CLASE

Estos son tres tipos de órbitas ¿puede haber más?

VELOCIDAD DE ESCAPE

VELOCIDAD DE ESCAPE • Es la velocidad mĂ­nima que hay que proporcionar a un cuerpo o masa que estĂĄ sometida a un campo gravitatorio para que escape del mismo. • La condiciĂłn de escape es que la energĂ­a total del cuerpo (una vez ha escapado del campo gravitatorio) sea cero. • Es decir, la velocidad de escape es aquella que anula la energĂ­a mecĂĄnica de un cuerpo. 1 đ?‘€đ?‘š 2 đ??¸ = đ??¸đ??ś + đ??¸đ?‘? = đ?‘šđ?‘Ł − đ??ş =0 2 đ?‘… 1 đ?‘€đ?‘š 2 đ?‘šđ?‘Ł = đ??ş 2 đ?‘… 2đ??şđ?‘€ 2 đ?‘Ł = đ?‘…

đ?‘Łđ?‘’ =

2đ??şđ?‘€ đ?‘…

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