3. Movimiento vibratorio

MOVIMIENTO VIBRTORIO

TEMA 3

MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO  MOVIMIENTO PERIÓDICO: es un movimiento en el que se repiten todas las características del mismo en un tiempo determinado.  MOVIMIENTO OSCILATORIO: es aquel movimiento periódico en el que la partícula se desplaza de un lado a otro de la posición de equilibrio.  MOVIMIENTO VIBRATORIO: es el movimiento oscilatorio en el que las oscilaciones son relativamente rápidas.  PERIODO (T): es el tiempo empleado en realizar un ciclo completo, es decir, en volver a la situación inicial.

MOVIMIENTO PERIÓDICO Y OSCILATORIO  FRECUENCIA (ν): es el número de ciclos que se completan en un segundo.

1 đ?œˆ = ; đ?‘ −1 = đ??ťđ?‘§ đ?‘‡ ď‚Ą ELONGACIĂ“N [x(t), y(t)]: es la distancia que separa a la partĂ­cula de la posiciĂłn de equilibrio en un instante dado. (x → horizontal; y → vertical). ď‚Ą AMPLITUD (A): es la elongaciĂłn mĂĄxima, es decir, la mĂĄxima distancia que se separa la partĂ­cula de la posiciĂłn de equilibrio.

MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE

M.V.A.S.  Es el más sencillo dentro de los movimientos vibratorios.  Es un movimiento periódico en el que la partícula se desplaza a ambos lados de la posición de equilibrio. Se caracteriza porque es un movimiento con aceleración variable.  Esta aceleración está producida por una fuerza recuperadora que es proporcional al desplazamiento, pero de sentido contrario.  Al móvil que describe este movimiento se le llama oscilador armónico.

LEY DE HOOK đ??š = −đ?‘˜ ¡ đ?‘Ľ ď‚Ą La fuerza va a ser mĂĄxima en los extremos đ?‘Ľ = đ??´ đ?‘œ đ?‘Ľ = −đ??´ . Como esto es asĂ­, la aceleraciĂłn tambiĂŠn serĂĄ mĂĄxima en dichos puntos. ď‚Ą La fuerza en đ?‘Ľ = 0 va a ser 0, entonces, la aceleraciĂłn tambiĂŠn se anularĂĄ en el punto de equilibrio. ď‚Ą Podemos decir que la aceleraciĂłn es variable en funciĂłn de la posiciĂłn de la partĂ­cula. ď‚Ą Si hablamos de la velocidad:

đ?‘Ł = 0 đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = đ??´ đ?‘Ś đ?‘Ľ = −đ??´ đ?‘Ł → đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = 0

M.V.A.S. Elongación:

𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑡 ; 𝑚 𝑣=𝑓 𝑡 ;

𝑚 𝑠

Aceleración: 𝑎 = 𝑓 𝑡 ;

𝑚 𝑠2

Velocidad:

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ď‚Ą Movimiento vertical:

đ?‘‘2đ?‘Ś đ??š = −đ?‘˜ ¡ đ?‘Ś = đ?‘š ¡ đ?‘Ž = đ?‘š ¡ đ?‘‘đ?‘Ą 2 đ?‘‘2đ?‘Ś −đ?‘˜ ¡ đ?‘Ś = đ?‘š ¡ đ?‘‘đ?‘Ą 2

đ?‘‘2đ?‘Ś đ?‘šÂˇ +đ?‘˜Âˇđ?‘Ś=0 2 đ?‘‘đ?‘Ą ď‚Ą EcuaciĂłn diferencial, no sabemos resolver este tipo de ecuaciones, pero en este caso se ve casi a simple vista lo que vamos a obtener‌

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO đ?‘Ś = đ??´ ¡ sin

AdemĂĄs,

đ?œ… đ?‘š

đ?œ… ¡đ?‘Ą đ?‘š

= đ?œ” (velocidad angular)

Comprueba que se cumple la ecuación  ¿Y si hubiese una constante sumando/restando en el argumento del seno‌?  ¿Y si en vez del seno usamos un coseno‌?

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO 𝑦 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑 0 𝑦 = 𝐴 · cos 𝜔𝑡 + 𝜑 0 Donde

𝑦 → 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (𝑚) 𝐴 → 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝑚) 𝜔 → 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝜑 0 → 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑑 . 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑡 0

2𝜋 𝜔= = 2𝜋𝜈 = 𝑇

𝜅 𝑚

𝑟𝑎𝑑 𝑠

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO

CAMBIO DE UNIDADES: RADIANES → GRADOS 3 ′ 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 ⟶ 3 ′ 2 · 180 0 = 576 0 sin 576 0 ≈ −0′9

EJEMPLO  Suponemos que tenemos una masa colgada de un muelle como en la figura. Cuando lo dejamos estar, la masa está en reposo (izq.). Esa es su posición de equilibrio.  Contraemos el muelle 2 cm y soltamos, dejando que la masa oscile libremente (despreciamos rozamiento con el aire).  Queremos calcular la fase inicial.

EJEMPLO Como es un movimiento vibratorio armĂłnico simple cumplirĂĄ la Ley de Hook:

đ??š = −đ?‘˜ ¡ đ?‘Ľ Conocemos la soluciĂłn que se obtiene para estos casos:

đ?‘Ś = đ??´ ¡ sin đ?‘¤đ?‘Ą + đ?œ‘ 0 En este caso, en el momento inicial (t = 0) la elongaciĂłn es đ?‘Ś 0 = −2 đ?‘?đ?‘š y la amplitud đ??´ = 2 đ?‘?đ?‘š ; sustituimos en la fĂłrmula y despejamos:

−2 = 2 ¡ sin đ?‘¤ ¡ 0 + đ?œ‘ 0 −2 = 2 ¡ sin đ?œ‘ 0

EJEMPLO

Obviamente, para conseguir que el 2 valga -2 sĂłlo nos falta un signo menos:

sin đ?œ‘ 0 = −1 đ?œ‘ 0 = sin

−1

đ?œ‹ −1 = − đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ 2

đ?œ‹ đ?œ‘0 = − đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘ 2

REPRESENTACIĂ“N ď‚Ą Si đ?‘Ś = đ??´ ¡ sin đ?‘¤đ?‘Ą + đ?œ‘ 0

y ademĂĄs đ?œ‘ 0 = 0:

Vamos a distinguir dos puntos (azules y morados)

REPRESENTACIĂ“N ď‚Ą đ?‘Ś1 = đ??´ ¡ sin đ?œ”đ?‘Ą1 + đ?œ‘ 0

ď‚Ą đ?‘Ś 2 = đ??´ ¡ sin đ?œ”đ?‘Ą 2 + đ?œ‘ 0

Diferencia de fase: ∆đ?œ‘ = đ?œ”đ?‘Ą 2 + đ?œ‘ 0 − đ?œ”đ?‘Ą1 + đ?œ‘ 0 ∆đ?œ‘ = đ?œ”đ?‘Ą 2 − đ?œ”đ?‘Ą1

∆đ?œ‘ = đ?œ” đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1 Observamos dos situaciones importantes y significativas en funciĂłn del valor que tome esta diferencia de fase

REPRESENTACIĂ“N

∆đ?œ‘ = đ?œ” đ?‘Ą2 − đ?‘Ą1

ď‚Ą ∆đ?œ‘ = 2đ?œ‹ ¡ đ?‘›; đ?‘› = 0, 1, 2, 3, ‌ los puntos estĂĄn en FASE, es decir, tienen la misma elongaciĂłn y tendencia, y su distancia es el Periodo (o un mĂşltiplo del mismo). ď‚Ą ∆đ?œ‘ = (2đ?‘› + 1)đ?œ‹; đ?‘› = 0, 1, 2, 3, ‌ los puntos estĂĄn es OPOSICIĂ“N DE FASE, es decir, tiene la misma elongaciĂłn, tendencia contraria y su distancia es el Periodo (o un mĂşltiplo del mismo).

VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S. 𝑑𝑦 𝑑 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑 0 𝑣= = 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑣 = 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 𝑣𝑚𝑎𝑥 → cos 𝜔𝑡 + 𝜑 0 = ±1 sin 𝜔𝑡 + 𝜑 0 = 0

⇒

𝑣𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔

𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜑 0 = 𝑦 = 0

¡¡¡ocurre en la Posición de Equilibrio!!!

VELOCIDAD DE VIBRACIĂ“N DEL M.V.A.S.

đ?‘Ł = đ??´đ?œ” cos đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘0 đ?‘Ł đ?‘šđ?‘–đ?‘› → cos đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘ 0 = 0 sin đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘ 0 = Âą1

đ?‘Łđ?‘šđ?‘–đ?‘› = 0

⇒

đ??´ sin đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘ 0 = đ?‘Ś = Âąđ??´

ÂĄÂĄÂĄocurre en los extremos del movimiento!!!

VELOCIDAD DE VIBRACIÓN DEL M.V.A.S. sin2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1

cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 =

1 − sin2 𝜔𝑡 + 𝜑0

sin 𝜔𝑡 + 𝜑0

𝑦 = 𝐴

𝑣 = 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑0

cos 𝜔𝑡 + 𝜑0 =

𝑦2 1− 2 𝐴

𝐴2 − 𝑦 2 2 − 𝑦2 = 𝐴𝜔 = 𝜔 𝐴 𝐴2

𝑣 = 𝜔 𝐴2 − 𝑦 2

ACELERACIÓN DEL M.V.A.S. 𝑑𝑣 𝑑 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 0 𝑎= = 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑎 = −𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 + 𝜑0 𝑎 𝑚𝑎𝑥 → sin 𝜔𝑡 + 𝜑 0 = ±1

𝑎𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔2

⇒

𝑎 = −𝜔2 𝑦 𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴

¡¡¡ocurre en los extremos del movimiento!!!

ACELERACIĂ“N DEL M.V.A.S. đ?‘Ž = −đ??´đ?œ”2 sin đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘0 đ?‘Ž đ?‘šđ?‘–đ?‘› → sin đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘ 0 = 0

đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘› = 0

⇒

đ?‘Ž = −đ?œ”2 đ?‘Ś đ?‘Ś=0

ÂĄÂĄÂĄocurre en la PosiciĂłn de Equilibrio!!!

EL PÉNDULO SIMPLE

EL PÉNDULO SIMPLE

 Se compone de un cuerpo que cuelga de un hilo de masa despreciable y que se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio.  Este mecanismo m.v.a.s.

describe

un

 La fuerza a la que se encuentra sometido el péndulo es la fuerza de la gravedad.

EL PÉNDULO SIMPLE Vamos a calcular la fuerza total a la que se ve sometido el pĂŠndulo para entender asĂ­ su movimiento. đ?‘ƒđ?‘Ľ = đ?‘ƒ ¡ sin đ?œƒ = −đ?‘šđ?‘” sin đ?œƒ đ?‘ƒđ?‘Ś = đ?‘ƒ ¡ cos đ?œƒ = đ?‘šđ?‘” cos đ?œƒ

đ?‘‡ = −đ?‘ƒđ?‘Ś đ??š = đ?‘ƒđ?‘Ľ + đ?‘ƒđ?‘Ś + đ?‘‡ = đ?‘ƒđ?‘Ľ + đ?‘ƒđ?‘Ś − đ?‘ƒđ?‘Ś

đ??š = đ?‘ƒđ?‘Ľ

EL PÉNDULO SIMPLE Como θ va a ser muy pequeĂąo si queremos tratar al pĂŠndulo como un m.v.a.s. (si las oscilaciones son muy grandes no podemos despreciar el rozamiento y deja de serlo) đ?œƒ ≈ 0 ⇒ sin đ?œƒ ≈ đ?œƒ đ?‘ƒđ?‘Ľ = −đ?‘šđ?‘”đ?œƒ đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘œđ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘Ľ đ?œƒ= = đ?‘?đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘”đ?‘˘đ?‘œ đ??ż

−đ?‘šđ?‘” đ??š= đ?‘Ľ đ??ż

Fuerza proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario

EL PÉNDULO SIMPLE

Podemos calcular la aceleraciĂłn a la que se ve sometido:

đ??š = đ?‘šđ?‘Ž −đ?‘šđ?‘” đ?‘Ľ đ??š đ??ż đ?‘Ž= = đ?‘š đ?‘š

−đ?‘” đ?‘Ž= đ?‘Ľ đ??ż

EL PÉNDULO SIMPLE Y podemos calcular la frecuencia de oscilaciĂłn del pĂŠndulo, ya que conocemos la aceleraciĂłn de cualquier m.v.a.s: đ?‘Ž = −đ?œ” 2 đ?‘Ľ đ?‘” đ?‘Ľ đ?‘” −đ?‘Ž đ??ż 2 đ?œ” = = = đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ??ż

đ?œ”=

đ?‘” đ??ż

EL PÉNDULO SIMPLE Y por Ăşltimo, podemos calcular la relaciĂłn mĂĄs importante que vamos a ver para un pĂŠndulo simple, su periodo: 2đ?œ‹ 2đ?œ‹ đ?‘‡= = đ?œ” đ?‘” đ??ż

đ??ż đ?‘‡ = 2đ?œ‹ đ?‘”

ECUACIONES DE MOVIMIENTO đ?‘Ľ đ?‘Ą = đ??´ ¡ sin đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘ 0

đ?œƒ đ?‘Ą = đ?œƒ0 ¡ sin đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘0 Ejemplo: Calcula el desfase inicial en t = 0 đ?œƒ 0 = 10 0

đ?œƒ = 10 0

đ?œƒ đ?‘Ą = đ?œƒ 0 ¡ sin đ?œ”đ?‘Ą + đ?œ‘ 0

10 0 = 10 0 ¡ sin 0 + đ?œ‘ 0 sin đ?œ‘ 0 = 1

đ?œ‘ 0 = sin −1 (1)

đ?œ‹ đ?œ‘0 = 2

ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO

ENERGÍA DEL OSCILADOR ARMÓNICO

En el m.v.a.s. se ponen en juego dos tipos de energía: La energía cinética La energía potencial

(Modelo de Einstein)

ENERGÍA CINÉTICA DEL M.V.A.S. 1 1 2 𝐸𝐶 = 𝑚𝑣 = 𝑚 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 0 2 2

2

1 = 𝑚𝐴 2 𝜔 2 cos 2 𝜔𝑡 + 𝜑 0 = 2

1 𝑘 1 2 2 = 𝑚𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 0 = 𝑘𝐴 2 1 − sin 2 𝜔𝑡 + 𝜑 0 2 𝑚 2 1 = 𝑘 𝐴 2 − 𝐴 2 sin 2 𝜔𝑡 + 𝜑 0 2

1 𝐸𝐶 = 𝑘 𝐴2 − 𝑥 2 ; 2

=

1 = 𝑘 𝐴2 − 𝑥 2 2

𝑆𝑖 𝑥 = 0 → 𝐸𝐶 𝑚á𝑥

𝐽

1 2 = 𝑘𝐴 2

𝑆𝑖 𝑥 = ±𝐴 → 𝐸𝐶 𝑚𝑖𝑛 = 0

ENERGĂ?A POTENCIAL DEL M.V.A.S. ď‚Ą Podemos calcular la energĂ­a potencial porque las fuerzas elĂĄsticas son fuerzas conservativas. đ?‘Š = −∆đ??¸đ?‘ƒ Calculamos primero el trabajo: đ?‘Š=

đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ1

đ??š ¡ đ?‘‘đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ1

đ?‘˜ ¡ đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ2 1 1 2 −đ?‘˜ ¡ đ?‘Ľ ¡ đ?‘‘đ?‘Ľ = − = đ?‘˜đ?‘Ľ 1 − đ?‘˜đ?‘Ľ 22 2 đ?‘Ľ1 2 2

đ?‘Š = −∆đ??¸đ?‘ƒ = đ??¸đ?‘ƒ1 − đ??¸đ?‘ƒ2

1 1 2 = đ?‘˜đ?‘Ľ 1 − đ?‘˜đ?‘Ľ 22 2 2

ENERGĂ?A POTENCIAL DEL M.V.A.S. đ?‘Š = −∆đ??¸đ?‘ƒ = đ??¸đ?‘ƒ1 − đ??¸đ?‘ƒ2

1 1 2 = đ?‘˜đ?‘Ľ 1 − đ?‘˜đ?‘Ľ 22 2 2

Consideramos E P = 0 cuando x = 0; es decir, en la posiciĂłn de equilibrio:

�� � = 0

1 2 đ??¸đ?‘ƒ = đ?‘˜đ?‘Ľ ; 2

→ đ??¸đ?‘ƒ đ?‘šđ?‘–đ?‘› = 0

đ??˝ đ?‘†đ?‘– đ?‘Ľ = Âąđ??´ → đ??¸đ?‘ƒ đ?‘šĂĄđ?‘Ľ

1 2 = đ?‘˜đ??´ 2

ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S. 𝐸𝑚

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = 𝑘 𝐴 − 𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑘𝐴 − 𝑘𝑥 + 𝑘𝑥 2 2 2 2 2 2

1 2 𝐸𝑚 = 𝑘𝐴 ; 2 𝑆𝑖 𝑥 = 0

→ 𝐸𝑃 𝑚𝑖𝑛 = 0 𝑦 𝐸𝐶 𝑚á𝑥

𝑆𝑖 𝑥 = ±𝐴 → 𝐸𝑃 𝑚á𝑥

𝐽 1 2 1 2 = 𝑘𝐴 ⇒ 𝐸𝑀 = 𝑘𝐴 2 2

1 2 1 2 = 𝑘𝐴 𝑦 𝐸𝐶 𝑚𝑖𝑛 = 0 ⇒ 𝐸𝑀 = 𝑘𝐴 2 2

ENERGÍA MECÁNICA DEL M.V.A.S. ¡¡¡La Energía Mecánica es Constante!!!

EJEMPLO  Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinÊtica y mecånica para una elongación de 5 cm. ¿Cuåles son sus valores en los extremos y en el punto de equilibrio?

1 đ??¸đ??ś = đ?‘˜ đ??´ 2 − đ?‘Ľ 2 2 1 đ??¸đ?‘ƒ = đ?‘˜đ?‘Ľ 2 2 đ??¸đ?‘š

1 = đ?‘˜đ??´ 2 2

Vamos a necesitar calcular la constante k, para eso nos dan T:

2đ?œ‹ đ?œ”= = đ?‘‡

đ?‘˜ đ?‘š

4đ?œ‹ 2 đ?‘˜=đ?‘š 2 đ?‘‡ Sustituimos los datos: 2 4đ?œ‹ đ?‘˜đ?‘” đ?‘ ′ ′ đ?‘˜ = 0 5đ?‘˜đ?‘” ¡ = 4 93 2 = 4′93 2đ?‘ 2 đ?‘ đ?‘š

EJEMPLO  Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinÊtica y mecånica para una elongación de 5 cm. ¿Cuåles son sus valores en los extremos y en el punto de equilibrio?

Calculamos las energías en x = 0’05m

đ??¸đ??ś =

1 2

¡ 4 ′ 93

đ?‘ đ?‘š

¡

0 ′ 1�

2

− 0 ′ 05đ?‘š

2

= 1 ′ 85 ¡ 10 −2 đ??˝

1 ′ đ?‘ đ??¸đ?‘ƒ = ¡ 4 93 ¡ 0 ′ 05đ?‘š 2 = 6 ′ 16 ¡ 10 −3 đ??˝ 2 đ?‘š 1 ′ đ?‘ đ??¸đ?‘š = ¡ 4 93 ¡ 0 ′ 1đ?‘š 2 = 2 ′ 47 ¡ 10 −2 đ??˝ 2 đ?‘š

EJEMPLO  Un objeto de 0’5 kg describe un m.v.a.s. de periodo 2 s y una amplitud A = 0’1 m. Calcula la energía potencial, cinÊtica y mecånica para una elongación de 5 cm. ¿Cuåles son sus valores en los extremos y en el punto de equilibrio?

Calculamos las energĂ­as en los extremos (x = Âą A):

đ??¸đ??ś = 0 đ??¸đ?‘ƒ = đ??¸đ?‘š = 2 ′ 47 ¡ 10 −2 đ??˝ Calculamos las energĂ­as en el punto de equilibrio (x = 0):

đ??¸đ??ś = đ??¸đ?‘š = 2 ′ 47 ¡ 10 −2 đ??˝ đ??¸đ?‘ƒ = 0

AMORTIGUAMIENTO

AMORTIGUAMIENTO En los movimientos vibratorios existen fuerzas no conservativas como la fuerza de rozamiento que hacen que la energĂ­a disminuya. Esta pĂŠrdida de energĂ­a se traduce en una disminuciĂłn de Amplitud.

1 đ??¸ = đ?‘˜đ??´ 2 2 Para evitar el amortiguamiento se debe comunicar al sistema energĂ­a con la misma frecuencia de vibraciĂłn. A esta frecuencia se la conoce como frecuencia de RESONANCIA .