Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla ¡ Segovia
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RecuperaciĂłn  de  FĂsica  –  1Âş  Bachillerato  –  16/01/2012  Â
1. Una  partĂcula  se  mueve  en  el  plano  XY,  siendo  la  ecuaciĂłn  de  su  movimiento:               đ?‘&#x; = 4đ?‘Ą ! − 1 đ?š¤ + đ?‘Ą ! + 3  Calcula:  (1’5ptos)  a) La  velocidad  instantĂĄnea  de  la  partĂcula.  b) El  desplazamiento  realizado  por  la  partĂcula  en  los  dos  primeros  segundos.  c) Su  velocidad  media  en  esos  dos  primeros  segundos.  d) La  ecuaciĂłn  de  su  trayectoria.  Â
a) La  velocidad  instantĂĄnea  se  calcula  derivando  la  posiciĂłn  respecto  del  tiempo:  đ?‘‘đ?‘&#x; đ?‘Ą đ?’— đ?’• = = đ?&#x;–đ?’•! + đ?&#x;?đ?’•!  đ?’Ž/đ?’”  đ?‘‘đ?‘Ą Â
b) Para  calcular  el  desplazamiento  a  los  dos  segundos  sustituimos  primero  đ?‘Ą = 0  đ?‘  en  la  ecuaciĂłn  de  la  posiciĂłn:  đ?‘&#x; 0đ?‘ = 4 ¡ 0! − 1 đ?š¤ + 0! + 3 đ?šĽ  đ?‘š = −đ?š¤ + 3đ?šĽ  đ?‘š  Â
Sustituimos  đ?‘Ą = 2đ?‘ :   Â
đ?‘&#x; 2đ?‘ =
4 ¡ 2! − 1 đ?š¤ + 2! + 3 đ?šĽ  đ?‘š = 15đ?š¤ + 7đ?šĽ  đ?‘š Â
 Calculamos  el  desplazamiento:  Â
∆đ?‘&#x; = đ?‘&#x; 2đ?‘ − đ?‘&#x; 0đ?‘ =
Â
15 + 1 đ?š¤ + 7 − 3 đ?šĽ  đ?‘š Â
∆đ?’“ = đ?&#x;?đ?&#x;”! + đ?&#x;’!  đ?’Ž Â
Â
c) Calculamos  los  valores  de  la  velocidad  en  0  đ?‘  y  2  s:  Â
đ?‘Ł 0đ?‘ = 0đ?š¤ + 0đ?šĽ  đ?‘š/đ?‘     →     đ?‘Ł 0đ?‘
Â
đ?‘Ł 2đ?‘ = 16đ?š¤ + 4đ?šĽ  đ?‘š     →     đ?‘Ł 2đ?‘
Â
= 0  đ?‘š/đ?‘  ≈ 272  đ?‘š Â
Por  lo  tanto,  la  velocidad  media  serĂĄ:  Â
đ?’—đ?’Ž Â
=
đ?‘Ł 0đ?‘ + đ?‘Ł 2đ?‘ 2
=
0 Â đ?‘š/đ?‘ Â +
272 Â đ?‘š/đ?‘
2 Â đ?‘
≈
đ?&#x;–! đ?&#x;? Â đ?’Ž/đ?’” Â
d) Expresamos  đ?‘Ś đ?‘Ľ  eliminando  el  parĂĄmetro  temporal:  đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ = 4đ?‘Ą ! − 1   →    đ?‘Ą ! =  4 đ?‘Ś = đ?‘Ą ! + 3     →    đ?‘Ą ! = đ?‘Ś − 3  Â
Â
Igualando  đ?‘Ą ! : Â
Â
đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ + 1 12 = đ?‘Ś − 3  →    đ?‘Ś = +  →    đ?’š 4 4 4
đ?’™ =
đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;‘ Â đ?&#x;’
Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org
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2. Por  un  punto  A  de  una  carretera  pasa  un  camiĂłn  con  velocidad  constante  de  45  km/h;  10  s  mĂĄs  tarde  pasa  por  el  mismo  punto  un  automĂłvil.  Calcula:  (2ptos)  a) Si  el  automĂłvil  pasa  con  una  velocidad  de  90  km/h,  ¿dĂłnde  se  encuentra  el  camiĂłn  cuando  el  coche  pasa  por  A?  b) Si  el  automĂłvil  sale  de  A  (10  segundos  despuĂŠs  que  el  camiĂłn),   ¿con  quĂŠ  aceleraciĂłn  constante  debe  salir  si  quiere  alcanzar  al  camiĂłn  15  s  despuĂŠs  de  pasar  por  A?  c) ÂżQuĂŠ  velocidad  tiene  el  coche  en  el  momento  de  alcanzar  al  camiĂłn?   a) Dado  que  el  camiĂłn  se  mueve  con  velocidad  constante,  y  como  nos  piden  la  posiciĂłn  del  mismo  respecto  del  punto  A  pasados  10  segundos:   đ?‘ = đ?‘ ! + đ?‘Ł! ¡ đ?‘Ą = 12! 5  đ?‘š/đ?‘  ¡ 10  đ?‘  Â
đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“  đ?’Ž  (đ?’…đ?’†đ?’”đ?’…đ?’†  đ?‘¨) Â
 b) Utilizamos  las  ecuaciones  de  movimiento  rectilĂneo  uniforme  para  el  camiĂłn  y  movimiento  rectilĂneo  uniformemente  acelerado  en  el  caso  del  automĂłvil.  Si  tomamos  A  como  el  punto  de  origen,  entonces  la  posiciĂłn  inicial  del  camiĂłn  serĂĄn  los  125  m  calculados  en  el  apartado  anterior:   đ?‘ ! = đ?‘ !! + đ?‘Ł! ¡ đ?‘Ą                  â&#x;ś    đ?‘ ! = 125  đ?‘š + 12! 5  đ?‘š/đ?‘ ¡ 15  đ?‘ = 312′5  đ?‘š   ! ! ! đ?‘ ! = đ?‘ ! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą + ! đ?‘Žđ?‘Ą !   â&#x;ś    đ?‘ ! = 0  đ?‘š + 25 ! ¡ 15  đ?‘ + ! đ?‘Ž ¡ 15  đ?‘ ! = 375  đ?‘š + 112! 5  đ?‘ ! ¡ đ?‘Ž    La  condiciĂłn  para  que  el  automĂłvil  alcance  al  camiĂłn  es  que  coincidan  en  el  mismo  punto  a  la  vez  â&#x;š  đ?‘ !  15  đ?‘ = đ?‘ ! (15  đ?‘ ):   312! 5  đ?‘š − 375  đ?‘š ! ! ! 312 5  đ?‘š = 375  đ?‘š + 112 5  đ?‘ ¡ đ?‘Ž    â&#x;ś    đ?‘Ž =  112! 5  đ?‘ ! Â
đ?’‚ = −đ?&#x;Ž! đ?&#x;“đ?&#x;”  đ?’Ž/đ?’”đ?&#x;? Â
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c) Aplicamos  la  expresiĂłn  de  la  velocidad  para  un  movimiento  rectilĂneo  uniformemente  acelerado:  đ?‘Ł! đ?‘Ą = đ?‘Ł!! + đ?‘Žđ?‘Ą   Como  el  tiempo  para  el  cual  el  automĂłvil  alcanza  al  camiĂłn  son  15  s,  sustituimos:   đ?‘Ł! 15  đ?‘ = 25  đ?‘š/đ?‘ − 0! 56  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ 15  đ?‘ Â
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đ?’—đ?‘¨ đ?&#x;?đ?&#x;“  đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;”! đ?&#x;”  đ?’Ž/đ?’”  Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org
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3. Se  lanza  un  objeto  verticalmente  hacia  arriba  con  velocidad   v  =  40  m/s.  Cuando  se  encuentra  subiendo  y  a  50  m  de  altura,  se  lanza  otro  cuerpo  con  la  misma  velocidad.  Calcula:  (2ptos)  a) Âż  DĂłnde  se  encuentran?   b) ÂżCuĂĄl  es  la  altura  mĂĄxima  alcanzada  por  el  primero?   c) ÂżDĂłnde  estĂĄ  el  segundo  cuando  el  primero  estĂĄ  bajando  y  se  encuentra  a  50  m  de  altura?  Â
a) Ambos  cuerpos  describen  un  movimiento  rectilĂneo  uniformemente  acelerado  (MRUA).  Si  empezamos  a  contar  el  tiempo  en  el  momento  en  el  que  se  lanza  el  segundo  cuerpo,  tendremos  que  calcular  la  velocidad  inicial  que  lleva  el  primero  en  ese  momento,  ya  que  serĂĄ  su  velocidad  inicial.  Calculamos  primero  el  tiempo  que  tarda  en  llegar  a  esos  50  m:  Â
1 đ?‘† = đ?‘†! + đ?‘Ł! đ?‘Ą + đ?‘”đ?‘Ą !    â&#x;ś    50  đ?‘š = 0  đ?‘š + 40  đ?‘š/đ?‘ ¡ đ?‘Ą − 4! 9  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ đ?‘Ą !  2
Â
đ?‘Ą! = 1! 54 Â đ?‘ Â Â Â đ?‘Ś Â Â Â đ?‘Ą! = 6! 62 Â đ?‘ Â
Â
Como  nos  interesa  el  tiempo  que  necesita  el  cuerpo  1  para  llegar  a  50  metros  por  primera  vez  (a  la  subida)  utilizaremos  đ?‘Ą! .  Ahora  podemos  calcular  la  velocidad  que  lleva  a  esa  altura:  Â
đ?‘Ł! = đ?‘Ł! + đ?‘Žđ?‘Ą!    â&#x;ś    đ?‘Ł! = 40  đ?‘š/đ?‘ − 9! 8  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ 1! 54  đ?‘ = 24! 9  đ?‘š/đ?‘ Â
Â
Planteamos  ahora  las  condiciones  iniciales  del  problema,  para  ello  llamaremos  cuerpo  A  al  que  sale  primero  cuerpo  B  al  que  sale  despuĂŠs:  Â
đ?‘†!! = 50  đ?‘š Â
Â
đ?‘Ł!! = 24! 9 Â đ?‘š/đ?‘ Â
đ?‘†!! = 0  đ?‘š  Â
Â
đ?‘Ł!! = 40 Â đ?‘š/đ?‘ Â
Â
Â
Planteamos  las  ecuaciones  de  posiciĂłn  y  las  igualamos,  ya  que  se  encontrarĂĄn  cuando  ambos  estĂŠn  a  la  misma  altura:  Â
1 đ?‘†! = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą + ¡ đ?‘” ¡ đ?‘Ą ! = 50  đ?‘š + 24! 9  đ?‘š/đ?‘ ¡ đ?‘Ą − 4′9   đ?‘š/đ?‘ ! ¡ đ?‘Ą !  2  1 đ?‘†! = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą + ¡ đ?‘” ¡ đ?‘Ą ! = 0  đ?‘š + 40  đ?‘š/đ?‘ ¡ đ?‘Ą − 4′9   đ?‘š/đ?‘ ! ¡ đ?‘Ą !  2 Â
Simplificando  e  igualando:   Â
50 + 24! 9 ¡ đ?‘Ą − 4! 9 ¡ đ?‘Ą ! = 40 ¡ đ?‘Ą − 4! 9 ¡ đ?‘Ą !  50 = 15! 1 ¡ đ?‘Ą  →    đ?‘Ą =
Â
50 = 3! 3 Â đ?‘ Â 15! 1
Sustituyendo  el  valor  del  tiempo  en  una  de  las  ecuaciones  obtenemos  la  altura:   Â
đ?‘†! = 40  đ?‘š/đ?‘ ¡ 3! 3  đ?‘ − 4′9  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ 3! 3  đ?‘
!
 →    ��
′
= đ?‘şđ?‘Š = đ?&#x;•đ?&#x;– đ?&#x;”đ?&#x;’  đ?’Ž Â
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b) Derivamos  la  expresiĂłn  de  la  posiciĂłn  del  primer  cuerpo  e  igualamos  a  cero,  ya  que  su  velocidad  serĂĄ  nula  cuando  alcance  la  altura  mĂĄxima.  Calculamos  de  esta  manera  el  tiempo  que  tardarĂĄ  el  alcanzar  dicha  altura:   đ?‘Ł! = đ?‘Ł!! + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"# = 24! 9  đ?‘š/đ?‘ − 9′8   đ?‘š/đ?‘ ! ¡ đ?‘Ą!"# = 0  đ?‘š/đ?‘   24! 9  đ?‘š/đ?‘ đ?‘Ą!"# = ! = 2! 54  đ?‘  9 8  đ?‘š/đ?‘ !  Para  calcular  la  altura  mĂĄxima  sustituimos  en  la  ecuaciĂłn  de  la  posiciĂłn  el  tiempo  hallado:   1 ! đ?‘†!"# = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą!"# + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"# = 50  đ?‘š + 24! 9  đ?‘š/đ?‘ ¡ 2′54  đ?‘ − 4′9   đ?‘š/đ?‘ ! ¡ 2! 54  đ?‘ !  2 Â
 Â
đ?‘şđ?’Žđ?’‚đ?’™ = đ?&#x;–đ?&#x;?! đ?&#x;”đ?&#x;‘  đ?’Ž Â
c) Calculamos  el  tiempo  que  tarda  el  primero  en  llegar  a  50  m  a  la  bajada:   1 đ?‘†! = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą + ¡ đ?‘” ¡ đ?‘Ą !    â&#x;ś    50  đ?‘š = 50  đ?‘š + 24′9  đ?‘š/đ?‘ ¡ đ?‘Ą − 4′9  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ đ?‘Ą !  2  đ?‘Ą! = 0  đ?‘ ! ! ! 4 9 ¡ đ?‘Ą = 24 9 ¡ đ?‘Ą  →    đ?‘Ą! = 5′08  đ?‘  El  primer  tiempo  no  es  vĂĄlido  para  nuestro  problema,  tomamos  la  segunda  soluciĂłn  ya  que  es  el  tiempo  que  tarda  en  volver  (bajando)  a  dicha  posiciĂłn.  Sustituimos  en  la  ecuaciĂłn  del  segundo  cuerpo:   1 đ?‘†! = đ?‘†!! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą! + ¡ đ?‘” ¡ đ?‘Ą!! = 0  đ?‘š + 40  đ?‘š/đ?‘ ¡ 5′08  đ?‘ − 4′9  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ 5′08  đ?‘ !  2
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   Â
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đ?‘şđ?‘Š = đ?&#x;•đ?&#x;”! đ?&#x;•đ?&#x;“ Â đ?’Ž Â
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4. Desde  un  campanario  de  15  m  de  altura  lanzamos  hacia  arriba  un  petardo  la  noche  de  San  Juan  con  una  velocidad  inicial  de  30  m/s  y  con  un  ångulo  con  la  horizontal  de  60Âş.  Calcular:  (2ptos)  a) El  alcance  (distancia  horizontal  en  el  suelo).  b) La  velocidad  a  la  que  cae  el  petardo.  c) La  altura  mĂĄxima  a  la  que  llega.  Â
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a) Primero  planteamos  las  condiciones  iniciales,  para  ello  tendremos  que  calcular  las  componentes  de  la  velocidad  inicial:  đ?‘Ľ! = 0  đ?‘š       đ?‘Ś! = 15  đ?‘š     đ?‘Ł!! = đ?‘Ł! ¡ cos đ?›ź = 30  đ?‘š/đ?‘ ¡ cos 60° = 15  đ?‘š/đ?‘  đ?‘Ł!! = đ?‘Ł! ¡ sin đ?›ź = 30  đ?‘š/đ?‘ ¡ sin 60° = 15 3  đ?‘š/đ?‘  Â
Para  calcular  el  alcance  horizontal  tendremos  en  cuenta  que  la  condiciĂłn  que  se  cumple  cuando  el  petardo  vuelve  al  suelo  la  altura  es  cero  đ?‘Ś  đ?‘Ľ!"# = 0  đ?‘š.  Aplicamos  la  expresiĂłn  de  la  posiciĂłn  para  la  componente  vertical  y  asĂ Â calculamos  el  tiempo  que  tardarĂĄ  el  petardo  en  llegar  al  suelo.  1 ! đ?‘Ś đ?‘Ľ!"# = đ?‘Ś! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą!"#$% + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"#$%  2 Â
!
!
 0 = 15  đ?‘š + 15 3  đ?‘š/đ?‘ ¡ đ?‘Ą!"#$% − 4 9  đ?‘š/đ?‘ ¡
! đ?‘Ą!"#$% Â Â Â â&#x;ś Â Â Â
Â
đ?‘Ą ! = −0! 53  đ?‘ !
!
Â
đ?‘Ą = 5 83 Â đ?‘
Tomamos  el  tiempo  positivo  como  resultado  y  lo  sustituimos  en  la  ecuaciĂłn  de  la  posiciĂłn  para  la  componente  horizontal:  Â
 Â
đ?‘Ľ!"# = đ?‘Ľ đ?‘Ą!"#$% = đ?‘Ľ! + đ?‘Ł!" ¡ đ?‘Ą!"#$% = 0  đ?‘š + 15  đ?‘š/đ?‘ ¡ 5! 83  đ?‘ Â
đ?’™đ?’Žđ?’‚đ?’™ = đ?&#x;–đ?&#x;•! đ?&#x;’đ?&#x;“  đ?’Ž Â
Â
b) Para  calcular  la  velocidad  a  la  que  cae  el  petardo  tendremos  que  tener  en  cuenta  las  componentes  vertical  y  horizontal.  La  componente  horizontal  de  la  velocidad  es  constante  y  ya  la  conocemos.  Tenemos  que  calcular  la  componente  vertical.  Sustituimos  el  tiempo  de  vuelo  en  la  expresiĂłn  de  la  velocidad:   Â
đ?‘Ł! đ?‘Ą!"#$% = đ?‘Ł!! + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"#$% = 15 3  đ?‘š/đ?‘ − 9! 8  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ 5! 83  đ?‘ = −31′15  đ?‘š/đ?‘ Â
Por  lo  tanto,  la  velocidad  serĂĄ:   Â
đ?‘Ł đ?‘Ą!"#$% = 15đ?š¤ − 31′15đ?šĽ  đ?‘š/đ?‘ Â
Y  el  mĂłdulo  de  la  velocidad  valdrĂĄ:  Â
Â
đ?’— đ?’•đ?’—đ?’–đ?’†đ?’?đ?’?
=
152 + 31′152 =
đ?&#x;‘đ?&#x;’! đ?&#x;“đ?&#x;• Â đ?’Ž/đ?’” Â
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c) Para  calcular  la  altura  mĂĄxima  tendremos  en  cuenta  que,  cuando  el  cuerpo  alcanza  dicha  altura,  su  componente  vertical  de  la  velocidad  se  anula:  Â
Â
đ?‘Ł!!"# = đ?‘Ł!! + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"#    â&#x;ś    0 = 15 3  đ?‘š/đ?‘ − 9! 8  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ đ?‘Ą!"#  đ?‘Ą!"# =
Â
15 3 Â đ?‘š/đ?‘ = 2! 65 Â đ?‘ Â 9! 8 Â đ?‘š/đ?‘ !
Sustituyendo  el  tiempo  que  tarda  en  alcanzar  la  altura  mĂĄxima  en  la  ecuaciĂłn  de  la  componente  vertical  de  la  posiciĂłn  obtendremos  dicha  altura:  1 ! đ?‘Ś!"# = đ?‘Ś! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą!"# + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"#  2 Â
 Â
Â
đ?‘Ś!"# = 15  đ?‘š + 15 3  đ?‘š/đ?‘ ¡ 2! 65  đ?‘ − 4! 9  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ 2! 65  đ?‘ ! Â
đ?’šđ?’Žđ?’‚đ?’™ = đ?&#x;’đ?&#x;—! đ?&#x;’đ?&#x;’ Â đ?’Ž Â
 Â
5. Un  aviĂłn  vuela  horizontalmente  con  velocidad  vA  =  900  km/h  a  una  altura  de  2000  m,  suelta  un  paquete  de  alimentos  que  debe  caer  en  un  barco  que  se  estĂĄ  moviendo  con  la  velocidad  de  vB  =  40  km/h  y  en  la  misma  direcciĂłn  y  sentido  que  el  aviĂłn.  Determinar:  (2’5ptos)  a) ÂżQuĂŠ  tiempo  tarda  el  paquete  en  llegar  al  barco?  b) ÂżQuĂŠ  distancia  recorre  el  barco  desde  el  lanzamiento  hasta  el  impacto?  Â
a) Estamos  ante  un  problema  de  tiro  horizontal.  Planteamos  las  condiciones  iniciales  lo  primero:  Â
Â
đ?‘Ľ! = 0  đ?‘š       đ?‘Ś! = 2000  đ?‘š     đ?‘Ł!! = đ?‘Ł! ¡ cos đ?›ź = 250  đ?‘š/đ?‘ ¡ cos 0° = 250  đ?‘š/đ?‘  đ?‘Ł!! = đ?‘Ł! ¡ sin đ?›ź = 250  đ?‘š/đ?‘ ¡ sin 0° = 0  đ?‘š/đ?‘  El  tiempo  que  tarda  en  llegar  el  paquete  al  barco  es  el  tiempo  de  vuelo  del  mismo.  Lo  calculamos  con  la  expresiĂłn  de  la  componente  vertical  de  la  posiciĂłn,  teniendo  el  cuanta  que,  cuando  el  paquete  llegue  al  barco  la  altura  serĂĄ  cero:  1 ! đ?‘Ś đ?‘Ľ!"# = đ?‘Ś! + đ?‘Ł!! ¡ đ?‘Ą!"#$% + đ?‘” ¡ đ?‘Ą!"#$%  2 Â
Â
! 0  đ?‘š = 2000  đ?‘š − 4! 9  đ?‘š/đ?‘ ! ¡ đ?‘Ą!"#$%    â&#x;ś    đ?‘Ą!"#$! = Â
Â
2000 Â đ?‘š Â 4! 9 Â đ?‘š/đ?‘ !
đ?’•đ?’—đ?’–đ?’†đ?’?đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž! đ?&#x;?  đ?’” Â
b) Dado  que  el  barco  realiza  un  movimiento  uniforme:  Â
đ?‘ = đ?‘ ! + đ?‘Ł ¡ đ?‘Ą!"#$% = Â
100  đ?‘š/đ?‘ ¡ 20′2  đ?‘  9
đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’! đ?&#x;’đ?&#x;’ Â đ?’Ž Â Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org