Examen matemáticas - 1º Bachillerato - 08/02/2012

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Examen  de  MatemĂĄticas  1Âş  Bachillerato   1. Calcula:  Dominio,  imagen,  asĂ­ntotas,  mĂĄximos  y  mĂ­nimos  relativos,  intervalos  de  monotonĂ­a,  intervalos  de  curvatura,    y  limite  de  la  funciĂłn  en  x=2.   (1pto) Â

Dominio:  đ??ˇ đ?‘“ đ?‘Ľ = −∞, −2 âˆŞ −2, 2 âˆŞ 2, ∞ = â„? − Âą2   Imagen:  đ??źđ?‘š đ?‘“ đ?‘Ľ = −∞, ∞ = â„?   AsĂ­ntotas:  Verticales:   đ?‘Ľ = −2   y   đ?‘Ľ = 2  Horizontales:   đ?‘Ś = −2   MĂĄximos  relativos:  la  funciĂłn  no  tiene  ningĂşn  mĂĄximo  relativo.  MĂ­nimos  relativos:  đ?‘Ľ, đ?‘Ś = 0, −2   Intervalos  de  monotonĂ­a:   La  funciĂłn  es  creciente  en:  âˆ’∞, −2 ;  0, 2 ;  2, ∞  La  funciĂłn  es  decreciente  en:  âˆ’2, 0   Intervalos  de  curvatura:  La  funciĂłn  es  convexa  en:  âˆ’∞, −2 ;  âˆ’2, 2  La  funciĂłn  es  cĂłncava  en:  2, ∞   LĂ­mite  en  đ?‘Ľ = 2:   lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = ∞ Â

Â

!→!

lim đ?‘“ đ?‘Ľ ≠lim! đ?‘“ đ?‘Ľ   â&#x;š   lim đ?‘“ đ?‘Ľ = ∄ Â

!→!!

!→!

!→!

lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = −∞ Â

!→!

 Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org

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2. Dadas  las   funciones:         đ?‘“ đ?‘Ľ = Â

! ! !! !"# !!!

+ đ?‘’ !!! Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â đ?‘” đ?‘Ľ =

!!!

Calcula:  a) Dominio  de:  đ?‘“ đ?‘Ľ , đ?‘” đ?‘Ľ  y  â„Ž đ?‘Ľ .  b) La  funciĂłn  â„Ž ∘ đ?‘” đ?‘Ľ  y  su  dominio.  c) La  funciĂłn  đ?‘” ∘ â„Ž !! đ?‘Ľ . Â

!

              â„Ž đ?‘Ľ =

! !!!!

     (1’5ptos) Â

Â

a) Para  calcular  el  dominio  de  đ?‘“ đ?‘Ľ  tendremos  en  cuenta  que  las  raĂ­ces  no  existen  para  valores  negativos  del  radicando,  que  los  logaritmos  no  existen  para  valores  negativos  ni  nulos  de  su  argumento  y  que,  por  ser  una  fracciĂłn,  el  valor  que  anule  el  denominador  tampoco  serĂĄ  incluido  en  el  dominio  de  la  funciĂłn.  La  exponencial  no  tiene  problemas  en  ningĂşn  punto.  â€˘ đ?‘Ľ ! − 4    â&#x;ś    đ?‘Ľ ! − 4 = 0    â&#x;ś    đ?‘Ľ = Âą2 Â

−∞, −2  +

−2, 2 −

2, ∞ +

Por  lo  tanto  la  funciĂłn  đ?‘“ đ?‘Ľ  no  existirĂĄ  en  el  intervalo  âˆ’2, 2 .  â€˘

log đ?‘Ľ + 4    â&#x;ś    đ?‘Ľ + 4 = 0    â&#x;ś    đ?‘Ľ = −4  Por  lo  que  đ?‘“ đ?‘Ľ  no  existirĂĄ  en  el  intervalo  âˆ’∞, −4 .  Â

•

Denominador    â&#x;ś     log đ?‘Ľ + 4 = 0    â&#x;ś    đ?‘Ľ + 4 = 1    â&#x;ś    đ?‘Ľ = −3  La  funciĂłn  đ?‘“ đ?‘Ľ  no  existirĂĄ  en  el  punto  đ?‘Ľ = −3.  Â

Una  vez  analizados  todos  los  puntos  e  intervalos  conflictivos  podemos  decir  que  el  dominio  de  đ?‘“ đ?‘Ľ  serĂĄ:  đ??ˇ đ?‘“ đ?‘Ľ = −4, −3 âˆŞ −3, −2 âˆŞ 2, ∞   El  dominio  de   đ?‘” đ?‘Ľ  es  sencillo  ya  que  no  existe  ningĂşn  punto  conflictivo:  Â

đ??ˇđ?‘” đ?‘Ľ

= â„? Â

Â

Para  calcular  el  dominio  de  â„Ž đ?‘Ľ  tendremos  que  tener  en  cuenta  el  punto  en  el  que  se  anula  el  denominador:  â€˘ 4đ?‘Ľ − 4 = 0    â&#x;ś    đ?‘Ľ = 1    Por  lo  tanto,  el  dominio  de   â„Ž đ?‘Ľ  serĂĄ:  đ??ˇ đ?‘” đ?‘Ľ = â„? − 1  Â

b)

ℎ∘đ?‘” đ?‘Ľ =â„Ž đ?‘” đ?‘Ľ Â

=

! ! !¡! ! !!

=

!!! ! !!! !¡ ! !!

=

!!! !!!!!!"

=

!!! !!!!

Â

Calculamos  el  cero  del  denominador  para  conocer  el  dominio:  â€˘ 4đ?‘Ľ − 4 = 0    â&#x;ś    đ?‘Ľ = 1    Por  lo  tanto,  el  dominio  de   â„Ž ∘ đ?‘” đ?‘Ľ  serĂĄ:  đ??ˇ â„Ž ∘ đ?‘” đ?‘Ľ = â„? − 1  Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org

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c) Calculamos  primero  đ?‘” ∘ â„Ž đ?‘Ľ :   đ?‘”∘ℎ đ?‘Ľ =đ?‘” â„Ž đ?‘Ľ

! !!!!!! !! â„Ž đ?‘Ľ + 2 !!!! 9đ?‘Ľ − 8 = = = !!!! =  3 3 3 12đ?‘Ľ − 12

 Calculamos  ahora  su  inversa:   9đ?‘Ľ − 8 đ?‘Ś=   â&#x;ś  đ?‘Ś 12đ?‘Ľ − 12 = 9đ?‘Ľ − 8  â&#x;ś  12đ?‘Ľđ?‘Ś − 12đ?‘Ś = 9đ?‘Ľ − 8  â&#x;ś   12đ?‘Ľđ?‘Ś − 9đ?‘Ľ = 12đ?‘Ś − 8  12đ?‘Ľ − 12  12đ?‘Ś − 8 đ?‘Ľ 12đ?‘Ś − 9 = 12đ?‘Ś − 8   â&#x;ś   đ?‘Ľ = ;  12đ?‘Ś − 9  12đ?‘Ľ − 8 đ?‘” ∘ â„Ž !! đ?‘Ľ =  12đ?‘Ľ − 9 Â

 3. Calcula  los  valores  de  â€œaâ€?  y  â€œbâ€?  para  que  la  funciĂłn  sea  continua:  (1pto)    đ?‘Ľ ! + 2        đ?‘ đ?‘–    đ?‘Ľ < 0  đ?‘Žđ?‘Ľ ! + đ?‘? đ?‘“ đ?‘Ľ =            đ?‘ đ?‘–   0 ≤ đ?‘Ľ ≤ 2  2 đ?‘?đ?‘Ľ + 4      đ?‘ đ?‘–   đ?‘Ľ > 2 Â

 Para  que  đ?‘“ đ?‘Ľ  sea  continua,  tienen  que  existir  los  lĂ­mites  en  đ?‘Ľ = 0  y  đ?‘Ľ = 2:   lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = lim! đ?‘Ľ ! + 2 = 2  !→!

!→!

đ?‘? đ?‘? đ?‘“ 0 =                                              lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘“ 0 = lim! đ?‘“ đ?‘Ľ   â&#x;š   = 2   â&#x;š   đ?‘? = 4 !→! !→! 2 2 lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = lim!

!→!

!→!

đ?‘Žđ?‘Ľ ! + đ?‘? đ?‘? = Â 2 2

  Una  vez  que  conozco  el  valor  de  đ?‘?  calculo  el  otro  lĂ­mite:   đ?‘Žđ?‘Ľ ! + 4 lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = lim! = 2đ?‘Ž + 2  !→! !→! 2

đ?‘“ 2 = 2đ?‘Ž + 2                                            lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘“ 2 = lim! đ?‘“ đ?‘Ľ  â&#x;š  2đ?‘Ž + 2 = 12  â&#x;š  đ?‘Ž = 5 !→!

!→!

lim đ?‘“ đ?‘Ľ = lim! 4đ?‘Ľ + 4 = 12 Â

!→!!

!→!

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4. Estudia el dominio y la continuidad de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥 ! − 4𝑥 − 5 y represéntala: (1pto) Vamos a estudiar en qué intervalos la función 𝑔 𝑥 dentro del valor absoluto es negativa y en cuáles es positiva para poder definir nuestra función a trozos: −∞, −1 −1, 5 5, ∞ 𝑥 = −1 𝑥 ! − 4𝑥 − 5 = 0 ⟶ ! 𝑥! = 5 + − + Por lo tanto, la función será: 𝑥 ! − 4𝑥 − 5 𝑠𝑖 − ∞ < 𝑥 ≤ −1 𝑓 𝑥 = −𝑥 ! + 4𝑥 + 5 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 5 El dominio será: 𝐷 𝑓 𝑥 = ℝ ! 𝑥 − 4𝑥 − 5 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑥 < ∞

Calculamos los límites en 𝑥 = −1 y 𝑥 = 5: lim ! 𝑓 𝑥 = lim ! 𝑥 ! − 4𝑥 − 5 = 0 !→!!

!→!!

𝑓 −1 = 0 lim! 𝑓 𝑥 = 𝑓 −1 = lim! 𝑓 𝑥 = 0 !→!!

!→!!

!

lim 𝑓 𝑥 = lim ! −𝑥 + 4𝑥 + 5 = 0

!→!!!

!→!!

La función 𝑓 𝑥 es continua en 𝑥 = −1 lim! 𝑓 𝑥 = lim! −𝑥 ! + 4𝑥 + 5 = 0 !→!

!→!

𝑓 5 = 0 lim! 𝑓 𝑥 = 𝑓 5 = lim! 𝑓 𝑥 = 0 !→!

!→!

!

lim!→!! 𝑓 𝑥 = lim! 𝑥 − 4𝑥 − 5 = 0 !→!

La función 𝑓 𝑥 es continua en 𝑥 = 5 La función 𝑓 𝑥 es continua en ℝ Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org

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5. Calcula  las  asĂ­ntotas  de  la  funciĂłn  đ?‘“ đ?‘Ľ =

!! !!!

 y  esboza  su  grĂĄfica.  (1pto) Â

Â

La  funciĂłn  tendrĂĄ  una  asĂ­ntota  vertical  en  el  punto  en  el  que  el  denominador  se  anule:  đ?‘Ľ − 6 = 0   â&#x;ś   đ?‘Ľ = 6  Calculamos  los  lĂ­mites  de  la  funciĂłn  cuando  đ?‘Ľ → 6:  đ?‘Ľ! lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = lim! = −∞  !→! !→! đ?‘Ľâˆ’6 Â

đ?‘Ľ! = ∞  đ?‘Ľâˆ’6

lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = lim!

!→!

!→!

Â

Dado  que  el  numerador  de  la  funciĂłn  es  un  grado  mayor  que  el  denominador,  Êsta  tendrĂĄ  una  asĂ­ntota  oblicua  de  ecuaciĂłn  đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?.  Lo  comprobamos:  Â

lim đ?‘“ đ?‘Ľ = lim

!→!

!→!

đ?‘Ľ! đ?‘Ľâˆ’6

= lim

!→!

đ?‘Ľ! đ?‘Ľ!

đ?‘Ľ 6 − đ?‘Ľ! đ?‘Ľ!

=

1 = ∞  0!

Â

lim đ?‘“ đ?‘Ľ = lim

!→!!

!→!!

đ?‘Ľ! = lim !→!! đ?‘Ľâˆ’6

đ?‘Ľ! đ?‘Ľ!

=

đ?‘Ľ 6 − đ?‘Ľ! đ?‘Ľ!

1 = −∞  0!

Â

Calculamos  đ?‘Ž :  đ?‘Ľ đ?‘“ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ž = lim = lim = lim 6 !→! đ?‘Ľ !→! đ?‘Ľ − 6 !→! đ?‘Ľ − đ?‘Ľ đ?‘Ľ

=

1 = 1 Â 1

Â

6đ?‘Ľ đ?‘Ľ! đ?‘Ľ ! − đ?‘Ľ ! + 6đ?‘Ľ 6đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘? = lim đ?‘“ đ?‘Ľ − đ?‘Žđ?‘Ľ = lim − đ?‘Ľ = lim = lim = lim 6 !→! !→! đ?‘Ľ − 6 !→! !→! đ?‘Ľ − 6 !→! đ?‘Ľ đ?‘Ľâˆ’6 − đ?‘Ľ đ?‘Ľ

= 6 Â

Â

Por  lo  tanto,  las  dos  asĂ­ntotas  de  la  funciĂłn  son:   AsĂ­ntota  vertical:   đ?‘Ľ = 6   AsĂ­ntota  oblicua:  đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 6         Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org

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6. Halla  los  lĂ­mites  siguientes:  (1’5ptos)  ! ! !!!!

a) lim!→!

!!!

Â

!!! !

!! ! !!

b) lim!→!

!! ! !!

Â

Â

! ! !!!!

a) lim!→!

!!!

!

= ! Â

Â

lim

!→!

đ?‘Ľ! − 3 − 1 = lim !→! đ?‘Ľâˆ’2

đ?‘Ľ! − 3 + 1

đ?‘Ľâˆ’2

!→!

b) lim!→!

!! ! !! !! ! !!

2đ?‘Ľ ! + 6 đ?‘™đ?‘–đ?‘š !→! 2đ?‘Ľ ! − 4

= đ?‘™đ?‘–đ?‘š 1 + đ?‘Ľâ†’∞

!"#

!!! !

!!! !

đ?‘Ľ2 − 2

!!!!" !! ! !!"

= ���

đ?‘Ľâ†’∞

=

1+

!! !" !! ! !"# ! ! ! !→! !! !" ! !! !! �

! !"#!→! ! !

=

đ?‘Ľ! − 3 + 1

!→!

=

4 =2 2

!!! !

= 1! Â

đ?‘Ľ! + 3 − đ?‘Ľ! + 2 = đ?‘™đ?‘–đ?‘š 1 + !→! đ?‘Ľ! − 2

đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘Ľ2 −2 5 ¡ ¡ 6 5 đ?‘Ľ2 −2

1 đ?‘Ľ2

đ?‘Ľ+2

= lim

=

!!!

đ?‘Ľ! + 3 = đ?‘™đ?‘–đ?‘š 1 + ! −1 !→! đ?‘Ľ −2

đ?‘Ľâˆ’3 6

5

!!! !

!!! ! ! !! !! !!! ! ! !! !!

đ?‘Ľ! − 3 + 1

đ?‘Ľâˆ’2

!→!

đ?‘Ľ! − 3 + 1

đ?‘Ľâˆ’2

!→!

đ?‘Ľ! − 3 − 1

= lim

đ?‘Ľ+2 đ?‘Ľâˆ’2

= lim

= lim!→!

đ?‘Ľ! − 3 + 1 đ?‘Ľ! − 3 + 1

đ?‘Ľâˆ’2

đ?‘Ľ! − 4

= lim

= � !→!

đ?‘Ľ! − 3 − 1

= ���

−2 5

1+

đ?‘Ľâ†’∞

đ?‘Ľ2 −2 5

1 đ?‘Ľ2

!!! !

= Â

đ?‘Ľâˆ’3 5 ¡ 6 đ?‘Ľ2 −2

= Â

−2 5

= đ?‘’ !/! = đ?‘’ ! = 1 Â

 7. Calcula  las  siguientes  derivadas  (1’5ptos)  a) đ?‘Ś = 2 ¡ b) đ?‘Ś = đ?‘’ !

!

đ?‘Ľ ! − 1 + đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘” đ?‘Ľ Â

! !!!

¡ cos 2đ?‘Ľ + 3 Â

Â

a) Â

đ?‘Ś! = 2 ¡

1 8

!

đ?‘Ľ! − 1

!

¡ 4đ?‘Ľ ! +

1 1+

đ?‘Ľ

!¡

1 2 đ?‘Ľ

=

đ?‘Ľ! !

đ?‘Ľ! − 1

!

+

1 2 �¡ 1+�

Â

Â

b) Â

đ?‘Ś ! = 2đ?‘Ľ − 3 đ?‘’ !

! !!!

¡ đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľ + 3 + đ?‘’ !

! !!!

¡ −2 sin 2đ?‘Ľ + 3 Â

Â

đ?‘Ś! =

2đ?‘Ľ − 3 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2đ?‘Ľ + 3 − 2 sin 2đ?‘Ľ + 3 đ?‘’ !

! !!!

Â

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 8. Calcula Â

! !"# !!! !

−

! !"# !!! !"

¡

!!! !!!

 expresando  el  resultado  en  todas  las  formas  posibles.  RepresĂŠntalo.  (1’5ptos) Â

 đ?‘– !"# đ?‘– !"# đ?‘– + 3 đ?‘– ! !" đ?‘– ! !" ¡ đ?‘– ! đ?‘– + 3 1 1 ¡ −đ?‘– đ?‘–+3 1 đ?‘– đ?‘–+3 − ¡ = − ¡ = − ¡ = + ¡ =  ! !" ! ! ! 2−đ?‘– 4+đ?‘– 4−đ?‘– 2— 1 4 + đ?‘– ¡ đ?‘– 4 − đ?‘– 2 + 1 4 + 1 ¡ −1 4 − đ?‘– 3 3 4 − đ?‘–  1 đ?‘– ! + 3đ?‘– 1 −1 + 3đ?‘– 1 1 − 3đ?‘– 1 1 − 3đ?‘– ¡ 12 + 3đ?‘– 1 12 + 3đ?‘– − 36đ?‘– + 9 = + = + = − = − = − =  3 12 − 3đ?‘– 3 12 − 3đ?‘– 3 12 − 3đ?‘– 3 12 − 3đ?‘– ¡ 12 + 3đ?‘– 3 144 + 9  1 21 − 33đ?‘– 1 21 33đ?‘– 10 11 = − = − + = + đ?‘– ≈ 0! 196 + 0! 216  đ?‘–  3 153 3 153 153 51 51  Calculamos  el  radio  y  el  argumento:   đ?‘…=

10 51

!

+

11 51

!

=

13 ≈ 0′29  153

 đ?›ź = arctan

!! !"

!" !"

= arctan

!! !"

≈ 47! 7° Â

   Â

đ??šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘?đ?‘–đ?‘›Ăłđ?‘šđ?‘–đ?‘?đ?‘Ž: =

10 11 + đ?‘– 51 51

 Â

đ??šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;: đ?‘§ = 0! 29!"! !°     đ??šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘œđ?‘›đ?‘œđ?‘šĂŠđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž:  đ?‘§ = 0! 29 ¡ cos 47! 7° + 0! 29 ¡ sin 47! 7°    Â

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