Examen matemáticas - 1º Bachillerato - 16/03/2012

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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla ¡ Segovia Â

Examen  de  MatemĂĄticas  1Âş  Bachillerato  -­â€?  16/03/2012  Â

Abrigamos  una  multitud  de  prejuicios  si  no  nos  decidimos  a  dudar,  alguna  vez,  de  todas  las  cosas  en  que  encontremos  la  menor  sospecha  de  incertidumbre.  RenĂŠ  Descartes.  FilĂłsofo  y  cientĂ­fico  francĂŠs.  Â

1. Representa  grĂĄficamente  la  funciĂłn:  (3  puntos)  đ?‘Ś=

đ?‘Ľ!  2−đ?‘Ľ

Estudiando:  dominio,  asĂ­ntotas,  puntos  de  corte  con  los  ejes,  monotonĂ­a,  extremos  relativos,  curvatura.   Â

Primero  estudiamos  los  puntos  de  corte  con  los  ejes:  â€˘ •

Corte  con  el  eje  OX:  đ?‘Ś = 0   â&#x;š   đ?‘Ľ ! = 0   â&#x;ś   0, 0  Corte  con  el  eje  OY:  đ?‘Ľ = 0   â&#x;š   đ?‘Ś = 0     â&#x;ś   0, 0 Â

El  único  punto  de  corte  con  los  ejes  serĂĄ  el  origen  de  coordenadas.  Â

Calculamos  las  asĂ­ntotas.  Calculamos  las  asĂ­ntotas  verticales  igualando  a  cero  el  denominador  de  la  funciĂłn:  2 − đ?‘Ľ = 0    â&#x;š    đ?‘Ľ = 2  Por  lo  tanto  existe  asĂ­ntota  vertical  en  đ?‘Ľ = 2.  Calculamos  entonces  la  tendencia  de  la  funciĂłn  cuando  se  acerca  a  dicha  asĂ­ntota:  đ?‘Ľ! 4 đ?‘Ľ! 4 lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = lim! = ! = +∞                                lim! đ?‘“ đ?‘Ľ = lim! = ! = −∞  !→! !→! 2 − đ?‘Ľ !→! !→! 2 − đ?‘Ľ 0 0 Â

Calculamos  si  existe  asĂ­ntota  horizontal  u  oblicua.  Para  ello  comprobamos  la  tendencia  de  la  funciĂłn  en  đ?‘Ľ → Âąâˆž:  đ?‘Ľ! đ?‘Ľ! ∞ đ?‘Ľ! lim đ?‘“ đ?‘Ľ = lim =   â&#x;ś   lim = ∞  đ?‘Ľ !→!! !→!! 2 − đ?‘Ľ !→!! 2 ∞ − đ?‘Ľ! đ?‘Ľ! lim đ?‘“ đ?‘Ľ = lim

!→!

!→! 2

đ?‘Ľ! −đ?‘Ľ

=

đ?‘Ľ! đ?‘Ľ!

∞   â&#x;ś   lim = −∞  đ?‘Ľ !→!! 2 ∞ − đ?‘Ľ! đ?‘Ľ!

Por  lo  tanto  concluimos  que  no  existe  asĂ­ntota  horizontal,  pero  dado  que  la  diferencia  entre  el  grado  del  numerador  y  del  denominador  es  uno,  tendrĂĄ  asĂ­ntota  oblicua  đ?‘Ś đ?‘Ľ = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘›:  đ?‘Ľ! đ?‘“ đ?‘Ľ đ?‘Ľ! ∞ 1 đ?‘Ľ! đ?‘š = lim = lim =   â&#x;ś   đ?‘š = lim = = −1  ! ! !→! đ?‘Ľ !→! 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ !→! 2đ?‘Ľ đ?‘Ľ ∞ −1 − đ?‘Ľ! đ?‘Ľ! đ?‘Ľ! đ?‘Ľ! + đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ! 2đ?‘Ľ ∞ + đ?‘Ľ = lim = lim = lim =  !→! 2 − đ?‘Ľ !→! !→! !→! 2 − đ?‘Ľ 2−đ?‘Ľ 2−đ?‘Ľ ∞

đ?‘› = lim đ?‘“ đ?‘Ľ − đ?‘šđ?‘Ľ = lim !→!

2đ?‘Ľ

2 đ?‘› = lim!→! 2 đ?‘Ľ đ?‘Ľ = = −2     Por  lo  tanto,  la  asĂ­ntota  oblicua  serĂĄ:  đ?‘Ś đ?‘Ľ = −đ?‘Ľ − 2.  âˆ’1 đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ  Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org

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Vamos  a  estudiar  la  monotonĂ­a  de  la  funciĂłn,  para  ello  calculamos  su  derivada:  đ?‘“! đ?‘Ľ =

2đ?‘Ľ ¡ 2 − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ! ¡ −1 4đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ ! + đ?‘Ľ ! 4đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ! = =  2−đ?‘Ľ ! 2−đ?‘Ľ ! 2−đ?‘Ľ !

Para  identificar  los  extremos  relativos  (puntos  donde  la  funciĂłn  ni  crece  ni  decrece  y,  por  lo  tanto,  su  pendiente  es  cero)  igualamos  a  cero  la  funciĂłn  derivada:  Â

đ?‘“ ! đ?‘Ľ = 0 Â Â â&#x;š Â Â

đ?‘Ľ=0 4đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ! ! = 0    â&#x;š    4đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 0   â&#x;ś    2−đ?‘Ľ ! đ?‘Ľ=4

Â

En  đ?‘Ľ = 0  đ?‘Ś  4  (tambiĂŠn  en  đ?‘Ľ = 2,  dado  que  en  dicho  punto  existe  una  discontinuidad)  la  funciĂłn  puede  cambiar  su  comportamiento:  Â

INTERVALOS Â

−∞, 0 Â

0, 2 Â

2, 4 Â

4, ∞ Â

SIGNO Â đ?‘“ ! đ?‘Ľ Â

− Â

+ Â

+ Â

− Â

COMPORTAMIENTO Â đ?‘“ đ?‘Ľ Â DECRECIENTE Â CRECIENTE Â CRECIENTE Â DECRECIENTE Â

 Para  comprobar  si  cada  extremo  relativo  corresponde  a  un  mĂĄximo  o  un  mĂ­nimo  calculamos  la  derivada  segunda  de  la  funciĂłn:  Â

đ?‘“ !! đ?‘Ľ =

4 − 2đ?‘Ľ ¡ 2 − đ?‘Ľ

!

− 4đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ! ¡ 2 ¡ 2 − đ?‘Ľ −1 4 − 2đ?‘Ľ ¡ 2 − đ?‘Ľ + 4đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ! ¡ 2 =  2−đ?‘Ľ ! 2−đ?‘Ľ !

đ?‘“ !! đ?‘Ľ =

8 − 4đ?‘Ľ − 4đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ ! + 8đ?‘Ľ − 2đ?‘Ľ ! 8 =  ! 2−đ?‘Ľ 2−đ?‘Ľ !

Â

Comprobamos  el  signo  de  la  derivada  segundo  en  los  extremos  relativos:  đ?‘“ !! 0 =

8 2−0

đ?‘“ !! 4 =

8 2−4

!

> 0 Â Â â&#x;š MĂ­nimo Â

!

< 0 Â Â â&#x;š MĂĄximo Â

Â

Calculamos  el  valor  que  toma  la  funciĂłn  es  cada  extremo  relativo:  đ?‘“ 0 =

0! 4! = 0      đ?‘Ś      đ?‘“ 4 = = −8  2−0 2−4

Â

Por  lo  tanto,  los  extremos  relativos  de  la  funciĂłn  serĂĄn:  đ?‘€Ă­đ?‘›đ?‘–đ?‘šđ?‘œ:  0, 0                  đ?‘€ĂĄđ?‘Ľđ?‘–đ?‘šđ?‘œ:  4, −8  Â

Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org

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Para  calcular  la  curvatura  estudiamos  el  signo  de  la  funciĂłn  derivad  segunda:  đ?‘“ !! đ?‘Ľ =

8 2−đ?‘Ľ

!

= 0    â&#x;š    ∄  đ?‘Ľ ∈ đ??ˇ đ?‘“ đ?‘Ľ /đ?‘“ !! đ?‘Ľ = 0 Â

Â

Como  no  existe  ningĂşn  valor  que  anule  la  segunda  derivada  de  la  funciĂłn  podemos  concluir  que  no  habrĂĄ  ningĂşn  punto  de  inflexiĂłn.  Sin  embargo,  cabe  la  posibilidad  de  que  la  funciĂłn  cambie  su  curvatura  en  đ?‘Ľ = 2,  dado  que  en  dicho  punto  đ?‘“ đ?‘Ľ  es  discontinua.  Â

INTERVALOS Â

−∞, 2 Â

2, ∞ Â

SIGNO Â đ?‘“ !! đ?‘Ľ Â

+ Â

− Â

CURVATURA Â đ?‘“ đ?‘Ľ Â CĂ“NCAVA Â CONVEXA Â Â

Y  por  último,  el  dominio  de  la  funciĂłn:  đ??ˇ đ?‘“ đ?‘Ľ

= â„? − 2 Â

Â

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2. Deriva  las  siguientes  funciones:  (3  puntos)  a) đ?‘Ś = sin 2đ?‘Ľ + 1 b) đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 7

!

!" !!!

Â

¡ arctg đ?‘Ľ ! Â

c) đ?‘Ś = đ?‘’ !"# !! + đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?đ?‘ đ?‘’đ?‘› 5!!!! − cos ! đ?‘Ľ ! + 3đ?‘Ľ  a)   đ?‘Ś ! = ln đ?‘Ľ + 3 ¡ sin 2đ?‘Ľ + 1

!" !!! !!

!" !!!

¡ 2 cos 2đ?‘Ľ + 1 + sin 2đ?‘Ľ + 1

¡

ln sin 2đ?‘Ľ + 1 Â đ?‘Ľ+3

Â

đ?‘?) Â Â đ?‘Ś ! = 3 2đ?‘Ľ + 7

!

¡ 2 ¡ arctg đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ + 7

!

¡

1 3đ?‘Ľ ! ¡  1 + đ?‘Ľ! 2 đ?‘Ľ!

Â

đ?‘?)   đ?‘Ś ! = −2 sin 2đ?‘Ľ ¡ đ?‘’ !"# !! +

5!!!! ¡ 3 ln 5 1 − 5!!!!

+ 2 cos đ?‘Ľ ! + 3đ?‘Ľ ¡ sin đ?‘Ľ ! + 3đ?‘Ľ ¡ 2đ?‘Ľ + 3 Â

Â

3. Determina  la  monotonĂ­a,  concavidad  y  convexidad  de  la  funciĂłn:  (1  punto)  đ?‘Ś = đ?‘’ ! đ?‘Ľ ! − 3  Para  estudiar  la  monotonĂ­a  calculamos  la  derivada  de  la  funciĂłn:  đ?‘“ ! đ?‘Ľ = đ?‘’ ! đ?‘Ľ ! − 3 + đ?‘’ ! ¡ 2đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ − 3 ¡ đ?‘’ !  Igualamos  a  cero  para  localizar  los  puntos  donde  cambie  el  signo  de  la  derivada  y,  por  consiguiente,  el  comportamiento  creciente  o  decreciente  de  la  funciĂłn:  đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ − 3 ¡ đ?‘’ ! = 0    â&#x;š    đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ − 3 = 0   â&#x;ś  Â

đ?‘Ľ = −3

Â

đ?‘Ľ=1 Valoramos  el  comportamiento  de  la  funciĂłn  a  travĂŠs  del  signo  de  la  funciĂłn  derivada:  INTERVALOS Â

−∞, −3 Â

−3, 1 Â

1, ∞ Â

SIGNO Â đ?‘“ ! đ?‘Ľ Â

+ Â

− Â

+ Â

COMPORTAMIENTO Â đ?‘“ đ?‘Ľ Â CRECIENTE Â DECRECIENTE Â CRECIENTE Â Â

Para  estudiar  la  concavidad  y  convexidad  igualamos  a  cero  la  derivada  segunda:  đ?‘“ !! đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ − 3 ¡ đ?‘’ ! + 2đ?‘Ľ + 2 ¡ đ?‘’ ! = đ?‘Ľ ! + 4đ?‘Ľ − 1 ¡ đ?‘’ ! = 0  đ?‘Ľ ! + 4đ?‘Ľ − 1 = 0   â&#x;ś  Â

đ?‘Ľ =− 5−2

Â

đ?‘Ľ = 5−2 Valoramos  la  concavidad  o  convexidad  de  la  funciĂłn  a  travĂŠs  del  signo  de  la  funciĂłn  derivada  segunda:  INTERVALOS Â

−∞, − 5 − 2 Â

− 5 − 2, 5 − 2 Â

SIGNO Â đ?‘“ !! đ?‘Ľ Â

+ Â

− Â

+ Â

CURVATURA Â đ?‘“ đ?‘Ľ Â

CĂ“NCAVA Â

CONVEXA Â

CĂ“NCAVA Â

5 − 2, ∞ Â

Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org

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4. Estudia la continuidad y derivabilidad de: (1 punto) 𝑔 𝑥 = 𝑥 ! − 4𝑥 − 5

Lo primero que debemos hacer es reescribir la función valor absoluto 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 como una función a trozos. Parra ello debemos calcular los puntos donde 𝑓 𝑥 cambia de signo: 𝑥 = −1 𝑓 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 ! − 4𝑥 − 5 = 0 ⟶ 𝑥=5 Analizamos el signo de la función 𝑓 𝑥 : INTERVALOS SIGNO 𝑓 𝑥

−∞, −1 +

−1, 5 −

5, ∞ +

Por lo tanto, la función 𝑔 𝑥 será:

𝑥 ! − 4𝑥 − 5 𝑠𝑖 − ∞ < 𝑥 ≤ −1 𝑔 𝑥 = −𝑥 ! + 4𝑥 + 5 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 5 𝑥 ! − 4𝑥 − 5 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑥 < ∞

Calculamos la continuidad de la función, los puntos donde podría existir discontinuidad son 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = 5: lim 𝑔 𝑥 = lim ! 𝑥2 − 4𝑥 − 5 = 0

!→!!!

!→!!

𝑔 −1 = 0 lim ! 𝑔 𝑥 = 𝑔 −1 = lim ! 𝑔 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = −1 !→!!

lim 𝑔 𝑥 = lim !

!→!!!

!→!!

− 𝑥2

!→!!

+ 4𝑥 + 5 = 0

lim 𝑔 𝑥 = lim! −𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0

!→!!

!→!

𝑔 5 = 0 lim! 𝑔 𝑥 = 𝑔 5 = lim! 𝑔 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 5 !→!

lim 𝑔 𝑥 = lim!

!→!!

!→!

𝑥2

!→!

− 4𝑥 − 5 = 0

Calculamos la derivabilidad de la función en dichos puntos: 𝑔′ −1! =

𝑑 𝑥2 − 4𝑥 − 5 𝑑𝑥

−1 = 2𝑥 − 4 −1 = −6 𝑔′ −1! = 𝑔 −1 ≠ 𝑔′ −1! ⟹

=

𝑑 −𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥

−1 = −2𝑥 + 4 −1 = 6 ⟹ 𝑔 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = −1

𝑔′ 5! =

𝑑 −𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥

5 = −2𝑥 + 4 5 = −6 𝑔! 5! ≠ 𝑔 5 = 𝑔′ 5! ⟹

𝑔!

!!!

𝑔 ! 5! =

𝑑 𝑥2 − 4𝑥 − 5 𝑑𝑥

5 = 2𝑥 − 4 5 = 6 ⟹ 𝑔 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = 5 Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | fuencisla@maristascompostela.org

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5. Calcula  â€œđ?‘Žâ€?, “đ?‘?â€?  y  â€œđ?‘?â€?  para  que  la  funciĂłn  đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ! + đ?‘Žđ?‘Ľ ! + đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?  tenga  una  tangente  en  el  punto  đ?‘ƒ 2, −1  cuya  pendiente  sea  2  y  cumpla  que  su  segunda  derivada  en  el  punto  đ?‘Ľ = 0  valga  4.  (1  punto)  Â

Primero  vamos  a  calcular  la  primera  y  segunda  derivada  de  la  funciĂłn:  Â

đ?‘“ ! đ?‘Ľ = 3đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? Â Â Â Â đ?‘Ś Â Â Â Â đ?‘“ !! đ?‘Ľ = 6đ?‘Ľ + 2đ?‘Ž Â Â

Ahora  empezaremos  a  sustituir  las  condiciones  de  contorno  para  calcular  los  valores  de  â€œđ?‘Žâ€?, “đ?‘?â€?  y  â€œđ?‘?â€?.  Empezaremos  por  la  segunda  derivada:  Â

đ?‘“ !! 0 = 6 ¡ 0 + 2đ?‘Ž = 4    â&#x;š    đ?‘Ž = 2 Â

Â

Sustituimos  el  valor  de  "đ?‘Ž"  y  aplicamos  la  condiciĂłn  de  la  primera  derivada:  Â

đ?‘“ ! đ?‘Ľ = 3đ?‘Ľ ! + 4đ?‘Ľ + đ?‘?    â&#x;ś     đ?‘“ ! 2 = 3 ¡ 2! + 4 ¡ 2 + đ?‘? = 2   â&#x;š   đ?‘? = −18  Â

Sustituimos  el  valor  de  "đ?‘?"  y  tenemos  en  cuenta  que  la  funciĂłn  toma  valor  âˆ’1  cuando  đ?‘Ľ = 2  para  calcular  el  valor  de  "đ?‘?":  Â

đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ! + 2đ?‘Ľ ! − 18đ?‘Ľ + đ?‘?     â&#x;ś     đ?‘“ 2 = 2! + 2 ¡ 2! − 18 ¡ 2 + đ?‘? = −1    â&#x;š    đ?‘? = 19    6. Calcula Â

!!!

¡ !!!! !

!!!! !" !!!!

! !"#

− !!! !"  expresando  el  resultado  en  todas  las  formas  posibles.  (1  punto) Â

 2 − đ?‘– 2 + 4đ?‘– !" đ?‘– !"# 2 − đ?‘– 2 + 4đ?‘– −đ?‘– 2 − đ?‘– 2 + 4đ?‘– đ?‘– 4 + 8đ?‘– − 2đ?‘– − 4đ?‘– ! đ?‘– ¡ − = ¡ − = ¡ + = + =  5 + 4đ?‘– ! 3 + 2đ?‘– 4 − đ?‘– !" 5 − 4 3 + 2đ?‘– 4 + 1 1 3 + 2đ?‘– 5 3 + 2đ?‘– 5 Â

=

8 + 6đ?‘– đ?‘– 8 + 6đ?‘– ¡ 3 − 2đ?‘– đ?‘– 24 − 16đ?‘– + 18đ?‘– − 12đ?‘– ! đ?‘– 36 + 2đ?‘– đ?‘– 5 36 + 2đ?‘– + 13 ¡ đ?‘– + = + = + = + = =  3 + 2đ?‘– 5 3 + 2đ?‘– ¡ 3 − 2đ?‘– 5 9+4 5 13 5 13 ¡ 5

 = Â

180 + 10đ?‘– + 13đ?‘– 180 + 23đ?‘– 36 23 = = + đ?‘–. Â 65 65 13 65

Calculamos  el  radio  y  el  argumento:   đ?‘…=

36 13

!

23 + 65

!

đ??šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘?đ?‘–đ?‘›Ăłđ?‘šđ?‘–đ?‘?đ?‘Ž: =

=

23 2533 65 = arctan 23 ≈ 7°  16!  54′′  ! ≈ 2 79                  đ?›ź = arctan 36 325 180 13

36 23 + đ?‘–                đ??šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘&#x;: đ?‘§ = 2! 79!°  !"!  !"##  13 65

Â

đ??šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘šđ?‘Ž  đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘œđ?‘›đ?‘œđ?‘šĂŠđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘?đ?‘Ž:   đ?‘§ = 2! 79 ¡ cos 7°  16!  54′′ + 2! 79 ¡ sin 7°  16!  54′′ Â

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