Premio ABA 2008 - Segundo Premio by ABA Argentina

2º Premio •••

¿CÓMO SUCEDEN LAS FÓRMULAS? Lidia Ester Ibarra posee un Master en Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales, por la Universidad Autónoma de Barcelona (España). Es Directora del Proyecto de Investigación Nº 1494 del Consejo de Investigación de la Universidad Nacional de Salta. Y Profesora Adjunta Regular de la Facultad de Ciencias Exactas en la Cátedra de Resolución de Problemas en Educación Matemática, Didáctica de la Matemática y Práctica Docente de la misma Universidad. LIDIA ESTER IBARRA

Blanca Formeliano es Profesora del Segundo Año de Polimodal “Batalla de Salta”, donde se realizó el Proyecto de Investigación. Es Jefe de Trabajos Prácticos de Didáctica de la Matemática y Práctica Docente en la Facultad de Ciencias Exactas de Salta. Dirige Seminarios de alumnos del Profesorado. Profesora de Didáctica de la Matemática del Instituto de Formación Docente No. 6001, también de Salta (Capital). BLANCA FORMELIANO

Silvia Baspiñeiro es Alumna Practicante de la Cátedra de Práctica Docente de la Carrera del Profesorado de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de Salta.

SILVIA BASPIÑEIRO

ÍNDICE ••• 1. Resumen................................................................................................. 3 2. Introducción ........................................................................................... 4 3. Antecedentes .......................................................................................... 5 3.1. El problema...................................................................................... 7 4. Marco teórico......................................................................................... 8 4.1. Procedimiento general relacionado a la actividad matemática ....... 8 4.2. ¿Qué se expresa en el currículo? ..................................................... 8 4.3. Historia de algunas sucesiones importantes .................................. 11 5. Marco teórico específico ..................................................................... 15 6. Metodología de trabajo........................................................................ 19 7. Propuesta áulica ................................................................................... 20 8. Conclusiones........................................................................................ 36 9. Anexo 1................................................................................................ 37 10. Anexo 2.............................................................................................. 58 11. Bibliografía ........................................................................................ 70

1. RESUMEN ••• El Colegio Batalla de Salta es una institución escolar de la Capital de la Provincia de Salta. Creada en el año 1983, allí concurren adolescentes de alta vulnerabilidad social, provienen de hogares urbanos marginales, con problemas de drogadicción, alcoholismo, violencia familiar y embarazo precoz. En el plano escolar los problemas consisten en altos niveles de repitencia, sobre-edad, baja calidad de aprendizajes y fracasos en las evaluaciones de matemática. Esta situación nos llevó a proponer una forma distinta de enseñar matemática en el aula de Nivel Polimodal, con el objetivo de lograr aprendizajes que permita a los adolescentes acceder a estudios superiores, a oportunidades laborales calificadas y la inserción social. Se busca revertir el imaginario colectivo sobre la matemática escolar, tradicionalmente asumida como una disciplina estáticamente acotada, centrada solo en el dominio de destrezas mediante la reiteración de tareas, que se limita a procedimientos de ejecución mecánica, prescindiendo así de la invención, el ensayo, las refutaciones y la resignificación de los contenidos en contextos diferentes. Se propone superar las visiones empobrecidas y empobrecedoras del conocimiento matemático, incorporando activamente la riqueza de las relaciones que están en la base de cualquier concepto y que sugieren la posibilidad de interrelaciones con otros.

2. INTRODUCCIÓN ••• El Colegio Batalla de Salta es una institución que se encuentra en la zona norte del departamento Capital de la Provincia de Salta. Fue creado en 1983 para satisfacer los requerimientos de una vasta población de jóvenes y adolescentes que no contaban con una institución de nivel secundario en la zona. Por entonces, debían concurrir a establecimientos de la zona centro, ubicados a diez kilómetros del lugar. Actualmente, al Colegio Batalla de Salta concurren alumnos de alta vulnerabilidad social, provenientes de una población urbana marginal, con problemas de drogadicción, alcoholismo, violencia familiar y embarazos no deseados. Este estado de cosas nos llevó a pensar en una forma de trabajo que ayudara a los alumnos a lograr aprendizajes significativos y útiles que les posibilitaran el acceso a estudios superiores con los que pudieran tener mejores oportunidades laborales y sociales. Comenzamos por plantearnos cuáles eran los conocimientos que ellos poseían y si era posible resignificarlos o reorganizarlos para construir otros. Después de reflexionarlo, nos decidimos a trabajar con el tema “Sucesiones”. Cabe aclarar que se trabajó con el segundo año del Nivel Polimodal. De este modo, con respecto a los problemas relacionados con las sucesiones, los alumnos debieron explorar regularidades, encontrar estructuras, generalizar procedimientos, etc. Por ejemplo: “Encontrar una fórmula que permita calcular rápidamente la suma de cincuenta números cualesquiera en orden consecutivo, sin tener que hacer las cuarenta y nueve sumas”. De modo que debieron tener en cuenta que era necesario buscar una fórmula que les sirviera para calcular la suma de cualquier secuencia de cincuenta números consecutivos. Se trataba de encontrar un procedimiento cuyo cálculo fuera económico y que involucrara el análisis de una estructura y la identificación de regularidades. Incluimos en este rubro problemas de generalización y problemas ligados a la construcción de fórmulas como el trabajo de modelización que involucra, entre otros aspectos, la selección de las variables a estudiar, el uso del lenguaje de la matemática para expresar la relación entre las mismas y la elección de las formas más adecuadas de representación.

También tuvimos en cuenta los conceptos matemáticos que deben enseñarse teniendo en consideración el currículo en espiral; por ejemplo –una situación típica del primer año de EGB 1– “Escala de 2 hasta el 30”, 2-4-6-8-10-12-14-16-1820-22-24-26-28-30, es decir, una sucesión de números pares hasta 30. De esta manera, podemos observar que el concepto de sucesión ya está presente en esta etapa de modo implícito. Sin embargo, en este trabajo se irá aumentando, progresivamente, el grado de complejidad y sistematización inherente a su estudio.

3. ANTECEDENTES ••• La palabra “sucesión” se utiliza con frecuencia en el lenguaje cotidiano y tiene el mismo significado que en matemática, a saber, “conjunto ordenado de elementos”. Así, por ejemplo, se habla de sucesión de días o sucesión de números naturales con la misma interpretación intuitiva. Asimismo, las sucesiones tienen una gran importancia como objeto cultural dentro del campo de la matemática que se desarrolla en distintos niveles de enseñanza. La sucesión más importante de todas es la de los números naturales (vista ya en EGB1, 2 y 3), que sirve para construir todas las otras secuencias ordenadas de objetos; por ejemplo, las figuras geométricas o las configuraciones variadas con diferentes formas de representación de un mismo objeto. Además, en informática se trabaja con sucesiones, repitiendo operaciones una tras otra, lo que ha colocado a este tema en el centro del desarrollo actual de la matemática. Por todo lo dicho, la sucesión se constituye en uno de los pilares fundamentales de esta disciplina. La matemática discreta, presente en forma implícita en los lineamientos curriculares de EGB 3, surge como contraste y complemento de lo que podemos llamar matemática continua, la cual constituye, esencialmente, el campo de estudio del análisis matemático. La matemática continua se interesa por los conjuntos no numerables, como los reales mientras que la matemática discreta se interesa por los conjuntos numerables de objetos, como los enteros y racionales (todos los problemas expresables en términos de estos conjuntos por ejemplos grafos).

Para realizar el trabajo en el Colegio Batalla de Salta hicimos en primer lugar una investigación sobre las problemáticas imperantes en la institución. Estas fueron las más importantes: • • • • •

Altos índices de repitencia. Alumnos con sobre-edad. Bajo índice de asistencia. Alto índice de desaprobación de exámenes. Propuesta metodológica insuficiente para modificar el rendimiento de los alumnos. • Bajo nivel de logros con relación a los aprendizajes de contenidos y competencias básicas. Es por estos motivos que la institución se enmarca en el PROYECTO INSTITUCIONAL DE RETENCIÓN (PIR). Retención es la “capacidad de la escuela para lograr la permanencia de los alumnos en las aulas, garantizar la terminación de los ciclos y niveles en los tiempos previstos y asegurar el dominio de los saberes y competencias correspondientes”. Una vez determinadas las problemáticas de la institución en el Nivel Polimodal, decidimos trabajar en las problemáticas disciplinares y las estrategias. En lo relativo a lo disciplinar, encontramos los siguientes problemas: • Dificultades en el proceso de construcción oral y escrita. • Falta de dominio de operaciones y construcciones de nociones básicas de matemática, dificultad para abstraer ideas, retener información e interpretar consignas, lo que se traduce en serias dificultades para el aprendizaje. Las estrategias que elaboramos en relación con lo disciplinar fueron las siguientes: 1. Reformulación de las estrategias metodológicas atendiendo a la diversidad del grupo áulico. 2. Fortalecimiento de los tiempos de aprendizaje en la institución para lograr mejores resultados.

3. Selección de los contenidos y metodologías de enseñanza adecuados para el grupo. 4. Optimización de criterios y pautas de evaluación. Esta observación no solo nos sirvió para conocer la realidad institucional, sino también para optimizar el trabajo en clases a través de estrategias que nos llevaran a alcanzar los objetivos institucionales. 3.1 Problema Al conocer la realidad institucional con sus diversas problemáticas y teniendo en cuenta que las sucesiones son un contenido a enseñar, encontramos que los estudiantes desconocen los contenidos relacionados con el tema. Esta situación nos llevó a formular las siguientes hipótesis de trabajo: • Los estudiantes de segundo año de Polimodal pueden recuperar algunos saberes que aprendieron a lo largo de la Educación General Básica y construir el concepto de sucesiones. • Las matemáticas constituyen una actividad de resolución de situaciones problemáticas, socialmente compartidas. • Las matemáticas constituyen un sistema conceptual organizado lógicamente. Cada concepto no puede enseñarse totalmente en forma aislada; por ejemplo, la adquisición de la noción de sucesión necesita de los conceptos de conjuntos numéricos y de las relaciones funcionales. Un aspecto que exigirá nuestra atención será el de favorecer el trabajo progresivo en el razonamiento de tipo inductivo a partir del descubrimiento de regularidades en toda clase de situaciones. Otro aspecto será el desarrollo del razonamiento deductivo atendiendo a la necesidad de observar y justificar los ejercicios particulares sin ser formales ni rigurosos. Esto quiere decir que, aunque la formación en el campo de la matemática en el nivel Polimodal incorpora, a partir de lo trabajado en Educación General Básica, aspectos como la sistematización, la formalización y el rigor, no por ello se debe dejar de lado la creatividad y la intuición. Estas consideraciones implican que la enseñanza de la matemática debe conceder importancia a la capacidad de efectuar demostraciones matemáticas. A este respecto, es necesario tener en cuenta las dificultades que deben afrontar los alumnos al asimilar y desarrollar procedimientos de validación matemática.

4. MARCO TEÓRICO ••• Escogimos el marco teórico general enunciado por Marianna Bosch Casabó y Josep Gascón Pérez (1994): “Toda actividad matemática puede ser analizada como actividad de estudio de campos de problemas, actividad que se lleva a cabo mediante la producción y utilización de lo que llamamos técnicas matemáticas o, más precisamente, técnicas de estudio de campos de problemas”. Por técnicas entendemos “maneras de hacer” utilizadas por los alumnos, y relacionadas con las justificaciones de las definiciones o comentarios que describen el procedimiento empleado. 4.1 Procedimiento general relacionado a la actividad matemática “Problema” es toda situación con un objetivo a lograr, que requiere del sujeto una serie de acciones u operaciones para obtener una solución no inmediata y que permite generar nuevos conocimientos, modificando (enriqueciendo o rechazando) los que hasta el momento poseía. Así, esta noción de problema se corresponde con el marco teórico elegido. 4.2 ¿Qué se expresa en el currículo? El conocimiento a enseñar, en nuestro caso las sucesiones, está determinado por la programación oficial a través de los contenidos conceptuales y procedimentales (CBC). Los docentes deben transformar los contenidos, es decir, realizar la transposición didáctica para hacer que las representaciones sean accesibles al alumno. Dentro del currículo oficial (CBC del Polimodal), el tema sucesiones se encuentra en el Bloque 1 “Números y funciones”, e indica los siguientes contenidos: • Contenidos conceptuales: Números Reales. Propiedades. Operaciones. Aproximación decimal, cálculo aproximado, técnicas de redondeo y truncamiento, error absoluto y relativo. Sucesiones aritméticas y geométricas, recurrencia, suma de los primeros términos. Límite de una sucesión. El número e.

• Contenidos procedimentales: Cálculo de la suma y del término general en algunas sucesiones, su uso en la resolución de problemas de cálculo financiero en situaciones cotidianas (compras y pagos al contado y a plazo, costo financiero de las compras con tarjetas de crédito, etc.) De este modo, se propone el estudio de las propiedades de las sucesiones y su uso en diferentes ámbitos, para introducir luego el concepto de límite a través de trabajos con ejemplos no triviales que pueden determinar el límite de las funciones. Para el desarrollo de estos temas, será necesario acceder a su “construcción histórica”, a su tratamiento y utilización en diferentes ámbitos y en sus diferentes formas. Llevaremos a cabo el estudio en relación a la resolución de problemas con variedad de estrategias y atendiendo especialmente a los procesos de modelización que incluyen la generación del modelo matemático, la resolución y la validación de su solución en la situación original. Además, analizaremos las limitaciones, lo cual nos permitirá hacer predicciones. Mientras que la EGB se encuentra fundamentalmente caracterizada por un trabajo matemático de neto carácter aritmético, el Nivel Polimodal debe centrar su atención en modelos algebraicos y analíticos de alcance general. Estos modelos no tendrán competencia en la resolución de un problema particular sino en el hecho de plasmar las situaciones en general. En consecuencia, crearán fórmulas que brindarán solución a todos los problemas comprendidos por el mismo marco. El alcance general del álgebra y el análisis implicará que los alumnos traten con frecuencia condiciones de problemas con gran cantidad de soluciones, pudiendo ser estas infinitas. El trabajo de generalización comenzado en el tercer ciclo de la EGB deberá ser consolidado y profundizado en el Nivel Polimodal. El tratamiento de lo general deberá incluir la variabilidad y el estudio de las distintas formas que ésta puede asumir. De este modo, los estudios algebraicos darán paso a las indagaciones analíticas. El pensamiento algebraico permite resolver problemas en los que intervienen una o más cantidades desconocidas (incógnitas) que responden a las condiciones planteadas. Además, permite también resolver problemas que requieren de generalizaciones. Bajo esta mirada, el álgebra es útil esencialmente para acceder a propiedades numéricas, y es por esto que en ella se puede concebir una generalización de la aritmética. La evolución de la incógnita hacia la variable que se ha instalado en el tercer ciclo de EGB debe consolidarse en la Educación Polimodal.

Las letras se constituirán en un puente de varios tramos y serán el soporte que representará la manipulación operativa de las incógnitas. Así, permitirán –mediante las fórmulas– representar simbólicamente regularidades y dependencias. Pondrán en juego las variables y la dependencia entre ellas; servirán también como sustento de las representaciones que posibilitarán crear modelos que constituyan en objeto de estudio a los procesos de cambio. El estudio de la forma en que se producen los procesos de cambio será el salto central del pensamiento en el Polimodal. En este nivel, el tratamiento de contenidos que permitan hacer conscientes algunas relaciones conceptuales importantes ocupa un lugar relevante. En tal sentido, se tratará de pasar de la clasificación y jerarquización a la conceptualización organizada, además de continuar aumentando el campo de experimentación como soporte de la abstracción. De este modo, teniendo en cuenta que los alumnos se encuentran en situación de realizar abstracciones, no solo desde la manipulación de objetos sino también desde la representación de dichos conceptos, trataremos contenidos que favorezcan la formalización de conceptos y definiciones. Todo ello sin dejar de lado que antes de hablar de formalizar y definir hay que hablar de sistematizar y de utilizar correctamente el lenguaje. Con el objeto de que los alumnos puedan explicar por sí solos –el modelo implícito encontrado en la situación de acción–, es necesario que formulen, para lo cual deberán intercambiar información con sus compañeros. Seguidamente, deberán escribir las conclusiones halladas usando un lenguaje cada vez más preciso y comprensible, que pueda ser entendido por todos. En las fases anteriores los alumnos efectuarán una validación empírica que no será suficiente para convencer a sus compañeros de las conclusiones obtenidas, por lo que será necesario que el alumno construya pruebas que permitan justificar sus afirmaciones o relaciones encontradas. Por último, la situación de institucionalización está destinada a establecer convenciones sociales. En este tipo de situaciones se intenta que el conjunto de alumnos asuma la significación socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos mismos en situaciones de acción, formulación y validación. El docente debe anticipar las soluciones posibles a las que arribarán los estudiantes, y detectar los posibles errores que puedan cometer frente a la resolución de la situación planteada. Debe también transformar el conocimiento cultural en un conocimiento apropiado al contexto de la interacción. Yves Chevallard deno-

mina a este proceso de adaptación del conocimiento transposición didáctica (TAD). La TAD debe producirse en dos etapas: • Primera etapa: Saber sabido-saber a enseñar: adaptaciones y restricciones que sufren los saberes sabios al ser trasformados por sociólogos, epistemólogos y políticos dentro de los contenidos curriculares, propuestas oficiales, libros de texto, etc. • Segunda etapa: Saber a enseñar-saber enseñado: se trata de las adaptaciones o transformaciones que sufren los contenidos del currículo dentro del ejercicio de la enseñanza docente. Por lo tanto, es el docente quien debe realizar una adecuada transposición didáctica, que garantice que el saber erudito se transforme en saber escolarizado. Es por ello que es importante realizar una selección conveniente de secuencias de problemas, para obtener un determinado conocimiento matemático que dé lugar a aprendizajes concienzudos. En la TAD se parte del principio de que el saber matemático se construye como respuesta al estudio de cuestiones problemáticas, por lo que aparece como resultado de un proceso de estudio. Dicho proceso, en cuanto actividad que conduce a la construcción de conocimiento matemático, forma parte de la actividad matemática. Así, según señalan Bosch Casabó y Gascón Pérez (1964), “toda actividad matemática se puede analizar como actividad de estudio de campos de problemas, actividad que se lleva a cabo mediante la producción y utilización de técnicas matemáticas (maneras de hacer) o, más precisamente, técnicas de estudio de campos de problemas”. La formación escolar que la escuela pretende dar debe permitir a las nuevas generaciones ingresar a las “obras” de las que se compone la sociedad. Según Chevallard (1997), “una obra es cualquier elaboración humana que responde a determinadas cuestiones; así, son obras: el teatro, la ciudad, la república, la escritura, un libro de texto, la lengua francesa, etc.”. 4.3 Historia de algunas sucesiones importantes De acuerdo al marco teórico elegido, tener acceso a la “construcción histórica” nos ayudará a ver la importancia de las condiciones de creación de algunas

sucesiones especiales, como por ejemplo la sucesión de Fibonacci o la de números pitagóricos. En estas sucesiones está presente la línea de tiempo, por lo que es importante conocerlas. Tener de referencia este marco histórico nos ayudará a ver cuál fue el problema que originó las “sucesiones” que se transmiten en el aula. a) Los números pitagóricos Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o con piedrecillas en la arena, y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos. Es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos cuya suma determinaba el número representado. Así, obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados: Los número triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, ... Los número cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, ... Los números pentagonales: 1, 5, 12, 22, 35, ... La asociación del número con la imagen geométrica permitió a los pitagóricos la representación visual de los números, combinando las dos esencias de la matemática: los números y las formas. Los números poseen propiedades y relaciones completamente independientes de todo simbolismo, lo que les confiere un carácter universal e inmutable. La consideración de los números poligonales y su representación geométricovisual permite, por una parte, constatar que ciertos números tienen características diferentes a otros, hecho que se comprueba a través de las diferentes configuraciones geométricas que producen; por la otra, descubrir formas geométrico-empíricas, casi corpóreas, en las que se destaca la importancia de las propiedades numéricas y la obtención de relaciones interesantes entre sí. La polifiguración numérica llevaba a extender conceptos de la aritmética como la generalización de la experiencia práctica, con lo que se caía en un atomismo numérico bellamente ilustrado dentro de una geometría de números figurados. Éstas, que eran las primeras y las más simples estructuras de la geometría numérica, actualmente están en el corazón de la matemática y constituyen la matriz del desarrollo ulterior de la teoría de números.

A partir de las distribuciones geométricas de puntos que hicieron los pitagóricos con los números poligonales, y al considerar la relación entre órdenes consecutivos de números de un determinado tipo y relaciones entre números poligonales de tipos diferentes, aparecían, como evidencia empírico-visual, numerosas propiedades de los números enteros. Así, por ejemplo, si llamamos T(n), C(n), P(n), H(n) al n-ésimo número triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal, respectivamente, los esquemas gráficos nos proporcionan importantes propiedades aritméticas de los números enteros. Estos números han sido uno de los tópicos más atractivos de la historia de la aritmética, y fueron tratados por matemáticos de la talla de Nicómaco, Diofanto, Mersenne, Euler, Gauss, Lagrange, Legendre y Cauchy. Fueron ampliamente utilizados por Fermat, Pascal, Wallis y Roberval para la obtención de sus resultados sobre cuadraturas. Por ende, forman parte de las raíces históricas de la teoría de los números. Además, juegan un importante papel en el análisis combinatorio, intervienen en el binomio de Newton y en el cálculo de probabilidades. En la actualidad, el estudio de los números poligonales tiene un gran valor debido a la incipiente aplicación criptográfica en la seguridad de las comunicaciones, de modo que, como en muchos otros aspectos, Pitágoras se sitúa en el umbral del pensamiento matemático. b) Fibonacci y la sucesión de Fibonacci Una de las sucesiones por recurrencia más famosa es la llamada “sucesión de Fibonacci”, investigada por Leonardo Fibonacci, a quien se conoce como Leonardo de Pisa, ya que nació en esa ciudad italiana hacia el año 1175. Es casi irónico que este matemático que hizo tan notorios aportes a esta ciencia sea conocido sobre todo a causa de un matemático francés del siglo XIX, Édouard Lucas, quien interesado en la teoría de números encadenó su nombre a una sucesión numérica que forma parte de un problema trivial del Liber Abaci. “Imaginemos una pareja de conejos encerrados en un campo donde pueden anidar y criar. Supongamos que los conejos comienzan a procrear a los dos meses de vida, engendrando siempre una única pareja, y a partir de ese momento, cada uno de los meses siguientes un par más de iguales características. Admitiendo que no muriese ninguno de los conejos, ¿cuántos pares contendrá el cercado al cabo de un año?”

La sucesión que surge como respuesta al problema es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… y se la conoce como “sucesión de Fibonacci”. Los términos de la misma reciben el nombre “números de Fibonacci”. La sucesión (Fn) de números de Fibonacci se define entonces a través de la siguiente recurrencia: F1= 1 Fn= Fn-1+ Fn-2 para n ≥ 2 Fn = 0 Fibonacci no investiga la sucesión, la cual no recibe tampoco ningún estudio serio hasta comienzos del siglo XIX. Los números de Fibonacci tienen múltiples usos. Algunos de ellos son: a) En el reino vegetal, su aparición más llamativa es en la implantación en espiral de ciertas variedades de girasoles. De este modo, se encuentran dos haces de espirales logarítmicos, uno en sentido horario y otro en sentido contrario a las agujas del reloj, formados por dos términos consecutivos de la conocida serie. b) En las excepciones triviales 0 y 1, tomando como elemento de subíndice 0 de la sucesión entre los números de Fibonacci, hay solamente un cuadrado perfecto: el elemento 12, que es 144. Muy curioso, pues su valor es el cuadrado del subíndice. c) En la sucesión de Fibonacci hay solamente dos cubos: 1 y 8. d) La sucesión de Fibonacci puede encontrarse en las diagonales del Triángulo de Pascal que van desde el extremo superior derecho hasta el extremo inferior izquierdo. Aparece al sumar todos los términos de cada diagonal. c) Gauss y la suma de la progresión aritmética Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), considerado “el príncipe de las matemáticas” y “el matemático más grande desde la antigüedad”, ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia. Gauss tenía diez años cuando un día en la escuela el profesor mandó a sumar los cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tran-

quilidad... pero transcurridos pocos segundos Gauss levantó la mano porque ya había resuelto el ejercicio: “los cien primeros números naturales suman 5.050”. Y efectivamente es así. ¿Cómo lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de la relación constante establecida por la suma del primer término con el último, la del segundo con el penúltimo, y así sucesivamente. Con los cien números se pueden formar cincuenta pares, de forma que la solución final viene dada por el producto: 101•50 = 5050 Gauss había deducido la fórmula que proporciona la suma de n términos de una progresión aritmética de la que se conocen el primero y el último término, donde a1 es el primer término, an el último, y n es el número de términos de la progresión.

5. MARCO TEÓRICO ESPECÍFICO ••• Un proceso característico del razonamiento matemático es la generalización, es decir, la capacidad de llegar a propiedades generales, conclusiones o resultados a partir de la observación, el análisis o la verificación de casos particulares. Primero, partiremos de las siguientes cuestiones que llevan a la generalización: ¿Qué es razonar por recurrencia? Este tipo de razonamiento implica una capacidad de generalización que permite construir una propiedad general a partir de datos iniciales. Se trata de un camino que lleva de lo finito a lo infinito. La recursión, como método general de resolución de un problema, consiste en expresar la solución del mismo mediante una versión más sencilla del problema original, expresando el proceso de reducción en forma de algoritmo recurrente. La recursión aparece también en las definiciones y demostraciones por inducción

completa o matemática. Este razonamiento resulta de la síntesis constructiva de tres componentes: • El paso básico, que consiste en la verificación analítica de una proposición para n=1. • El paso inductivo o comprobación de que, si tal proposición o teorema es válido para un número cualquiera, entonces es válido para el siguiente. • La conclusión de la validez de la proposición o teorema para todos los naturales, cuando los pasos uno y dos sean cumplidos. ¿Qué es la iteración? Es la repetición de un procedimiento de cálculo o de un razonamiento. Los conceptos de iteración y recursión juegan un papel fundamental en los procesos de resolución de los problemas matemáticos. La aplicación de métodos recursivos debería iniciarse en la enseñanza de la matemática por procesos iterativos. Una definición puede probarse por inducción pero puede percibirse intuitivamente, por construcción iterativa de la secuencia. La iteración puede ser explícita o implícita y se encuentra en todos los niveles de la matemática. En algunos casos, la iteración parece ser un concepto inicial. Esta cualidad característica es la ejecución repetida de una noción particular. ¿Pero cómo llegamos a la generalización? La búsqueda de regularidades en un conjunto de datos (hechos, formas, números, expresiones algebraicas, gráficos, etc.) y la formulación de generalizaciones en base a lo observado, a la experiencia o a la intuición apuntarán a la formación del razonamiento inductivo que usan la mayoría de las ciencias para corroborar que ciertas proposiciones son verdaderas. Como forma de razonamiento, la inducción permite demostrar una cierta propiedad aritmética o geométrica. Como forma de procedimiento educativo, es un motor esencial para el descubrimiento y la consolidación de conceptos.

Con una adecuada selección de los problemas que se brindan a los alumnos, estos logran formalizar patrones y regularidades y construir el sentido del simbolismo. Los símbolos que actuaban como representaciones de objetos y de relaciones se transforman en objetos empíricos propios de la acción. El pensamiento se torna esencialmente abstracto. La simbolización surge como momento culminante del proceso de generalización matemática, otorgándole el grado máximo de abstracción. Yves Chevallard ve en el álgebra una generalización de la aritmética, en el sentido de que el álgebra es útil para acceder a propiedades numéricas. El lenguaje algebraico permite formular problemas o propiedades generales y luego resolverlos sistemáticamente. Los métodos de la matemática discreta son formas alternativas a los planteamientos de la matemática continua, si bien los dos se complementan en su aplicación en la resolución de problemas. La matemática discreta presenta las siguientes utilidades: • Favorece el desarrollo del pensamiento crítico y refuerza el pensamiento matemático, ya que los procesos de inducción son inherentes a ella, así como los tratamientos recursivos y la formulación de conjeturas por medio de la generalización de casos particulares. • Se trata de una herramienta potente desde el punto de vista tecnológico. La combinación entre la matemática discreta y el uso de los ordenadores ha hecho posible el desarrollo de nuevas aplicaciones, ha centrado la atención en nuevos tipos de problemas y ha abierto nuevas posibilidades a la matemática. Por matemática discreta debe entenderse a la rama de la matemática presente en muchos de los contenidos que los alumnos trabajan; por ejemplo, técnicas de conteo, razonamiento lógico, búsqueda de regularidades, algoritmos y probabilidad. Los números naturales constituyen un campo de trabajo privilegiado para la matemática discreta, pues ellos configuran uno de los modelos fundamentales para ésta. Es en este conjunto numérico –bien conocido por los alumnos que comienzan el nivel Polimodal– que centraremos nuestro estudio.

Las sucesiones recurrentes son sucesiones cuyos términos se definen en función de los anteriores (definición inductiva o recursiva). Las sucesiones aritméticas y geométricas son casos especiales de sucesiones recurrentes, en las que es posible hallar cada término según los valores de los términos anteriores. El cálculo de los intereses bancarios –tanto cuando se trata de un depósito como cuando se trata de un préstamo– es un problema algebraico que resulta sencillo si se dominan las progresiones geométricas y la suma de sus términos. De acuerdo al marco teórico escogido, una sucesión numérica a 0; a1; a2;... se define recursivamente siempre que: • Se especifique algún conjunto finito de valores (generalmente, el primero o los primeros). Estos valores se llaman condiciones de frontera, y su importancia radica en que permite determinar una solución única y definirla. Este requisito proporciona la base o punto de partida de la definición. • Los valores restantes de la sucesión están definidos en términos de los valores previos en la sucesión. Una fórmula que hace esto recibe el nombre de relación recursiva o relación de recurrencia. Una relación de recurrencia permite: • Calcular paso a paso un término de la sucesión a partir de uno o más de los anteriores. • Obtener a partir de ella una expresión general para su solución, que también se llama expresión de forma cerrada. Una expresión está definida en forma cerrada cuando en ella aparece un número finito de operaciones conocidas. Por ejemplo, son expresiones en forma cerrada porque en la primera aparece una potenciación y la diferencia, mientras que en la segunda aparecen la adición, el producto y el cociente. Una vez encontrada la forma cerrada para una relación de recurrencia, es necesario verificar si es válida, siendo una herramienta eficaz para ello la utilización de la inducción matemática.

Las sucesiones que se definen por recurrencia aparecen con frecuencia en la matemática y en otras ciencias. Existen muchas técnicas para obtener fórmulas cerradas a partir de ellas, pero lamentablemente no se conoce un método general de solución para manejar todas las relaciones de recurrencia.

6. METODOLOGÍA DE TRABAJO ••• La enseñanza de las sucesiones en el aula a través de problemas es el camino que queremos explorar para determinar cómo llega el alumno a la generalización y con qué herramientas realiza la validación. Así, proponemos la siguiente metodología de trabajo: 1) Realizar un análisis a priori donde se presenta la solución experta, junto con los posibles errores que pueden cometer los alumnos en la resolución de problemas. Este análisis es la anticipación que debe tener en cuenta el docente antes de toda propuesta áulica. 2) Propuestas áulicas, donde se detallan las tareas abordadas por clase y el tiempo que lleva cada una. 3) Realizar un análisis a posteriori, donde se presentan todas las soluciones a las que arribaron los alumnos. Éstas pueden o no coincidir con las del análisis a priori. 4) La confrontación de ambos análisis. Como el estudio que realizamos se basa en procesos de generalización, elegimos como punto de apoyo un conjunto numérico bien conocido por los alumnos, el de los números naturales, ya que permite generar sucesiones definidas recursivamente. En toda la secuencia trabajamos apuntando a: • El reconocimiento de regularidades, es decir: • Detectar regularidades • Describir regularidades

• El establecimiento (implícito) del paso inductivo. • El establecimiento de fórmulas generales, es decir: • Formalizar patrones y regularidades • La utilización de la escritura algebraica (construir el lenguaje matemático, construir el simbolismo) y la configuración geométrica como apoyos posibles para la construcción y validación de conjeturas. Algunas cuestiones que orientan el análisis a priori son: • ¿Qué procedimientos utiliza el alumno para establecer fórmulas generales y validarlas? • ¿El marco en el que está enunciado el problema facilita u obstaculiza la resolución? Cuando el docente piensa en su trabajo frente a los alumnos, selecciona las tareas, priorizando ciertos aspectos sobre otros. Se trata de hacer un análisis de lo probable, de la interacción de los alumnos con el problema y de sus errores, para prever una intervención adecuada del docente, quien colaborará tanto en la devolución de la secuencia con diferentes dificultades que se puedan plantear como en el análisis de los procedimientos de resolución.

7. PROPUESTA ÁULICA ••• La secuencia de actividades se llevó a cabo en un grupo de cuarenta y dos alumnos de segundo año del Polimodal de la Escuela Nº 5035 “Batalla de Salta”, durante los meses de mayo y julio del año 2006. Las clases de matemática se dictaban los días lunes y martes, con una duración de ochenta minutos. Las tareas se desarrollaron por medio de fotocopias. A continuación presentamos la siguiente tabla, con las tareas programadas por clase y la forma de trabajo de los alumnos.

Análisis a priori y a posteriori de las tareas propuestas. (Designaremos con Ti): A modo de ejemplo, analizaremos las tareas T1, T2, T3, T4 y T16 (las restantes figuran en el Anexo 1). T1: Dado el siguiente esquema:

a) En la quinta posición, ¿cuántos ladrillos hay? ¿Y en la décima posición? ¿Y en la decimoquinta posición? ¿Y en la trigésimo quinta posición? b) Si tengo trece ladrillos, ¿en qué posición estoy? ¿Y si tengo veintiún ladrillos? c) ¿Qué relación hay entre las cantidades de ladrillos? d) ¿Qué le pasa a la cantidad de ladrillos a medida que avanzo en las posiciones?

T2: Dado el siguiente esquema:

a) En la quinta posición, ¿cuántos ladrillos hay? ¿Y en la décima posición? ¿Y en la decimoquinta posición? ¿Y en la trigésimo séptima posición? b) Si tengo catorce ladrillos, ¿en qué posición estoy? ¿Y si tengo veintidós ladrillos? c) ¿Qué relación hay entre las cantidades de ladrillos? d) ¿Qué le pasa a la cantidad de ladrillos a medida que avanzo en las posiciones? Diferentes formas de resolución a priori para T1 y T2 T1 y T2: Estas tareas se plantean en un marco gráfico. Primera forma de resolución: mediante un registro de tabla Término general para T1 es y para T2 es Segunda forma de resolución: se pueden realizar anotaciones de la siguiente forma: Primera posición . 1 ladrillo Primera posición . 2 ladrillos Segunda posición . 3 ladrillos Segunda posición . 4 ladrillos Tercera posición . 5 ladrillos Tercera posición . 6 ladrillos Cuarta posición . 7 ladrillos Cuarta posición . 7 ladrillos y así sucesivamente y así sucesivamente Posibles errores: que no respeten el patrón de formación, que asienten mal los datos que se obtienen. Con trece ladrillos estoy en la séptima posición, para 91 ladrillos la posición es 46ª, en este caso resulta importante tener la expresión algébrica (T1). Para la T2, con catorce ladrillos la posición correspondiente es la séptima, y para 82 ladrillos es la 41ª.

Posibles errores: que no sepan calcular sobre expresiones literales. En el ítem c) deben hallar la diferencia aritmética, que es 2. Esto pueden obtenerlo con los primeros datos, ya que, para obtener un término, a partir del segundo se aumentan dos ladrillos al anterior. En el ítem siguiente deben notar que esta sucesión aumenta. Tercera forma de resolución Si observan los primeros cinco casos particulares, pueden darse cuenta de que, para obtener un término, a partir del segundo se aumentan dos ladrillos al anterior, entonces encuentran una ley de recurrencia, y para (T1). Pueden poner esta expresión en forma coloquial, ya que hasta el momento no conocen esta simbología. Y como esta sucesión es la de los números impares, solo pueden utilizar el marco numérico para resolver los demás ítems. Para la tarea T2, y , para Con estas dos tareas se institucionaliza el concepto sucesión aritmética. Confrontación del análisis a priori y a posteriori de T1 y T2 En este análisis presentamos la experimentación de la tarea planteada, la cual se basa en las observaciones realizadas durante la implementación de la secuencia y en las producciones escritas de los alumnos en el segundo año de Nivel Polimodal. La secuencia se lleva a cabo a lo largo de diez clases, desde el 30 de mayo hasta el 4 de julio de 2006. Para realizar el análisis que presentamos a continuación, tomamos registros de las respuestas de los alumnos y de los procedimientos en sus carpetas. Primera clase: Iniciamos la secuencia, escribiendo en el pizarrón el nombre del tema a desarrollar, “sucesiones”. A continuación, pedimos a los alumnos que formen grupos de a dos (de los diez grupos, cinco trabajan con la T1 y el resto con la T2), entregamos una copia con las tareas a realizar y pedimos que aclaren por escrito el procedimiento utilizado para resolverlas.

En la primera parte de la clase, cada grupo trabaja con su tarea. Una vez terminado, el grupo que tenía la tarea T1 (o T2) la entrega e intercambia la solución con el grupo que resolvió la tarea T2 (o T1), para que éste registre en su carpeta el otro problema, analice la resolución propuesta y proponga otras posibles formas de resolverla. Mientras ellos realizan estas actividades, pasamos por los bancos observando lo que hacen, con el fin de analizar la acción desplegada, las estrategias utilizadas por cada alumno y el trabajo de grupo. Soluciones propuestas por los alumnos para la T1 Un solo grupo trabajó en el marco gráfico para el caso de la T1. Lo hicieron de la siguiente forma: a)

Este grupo resuelve la tarea completa pero no llega a generalizar la T1 mediante una expresión algebraica, razón por la cual intervinimos y les preguntamos de qué forma expresarían la cantidad de ladrillos para cualquier posición. Usando el gráfico de la tarea, escriben: “En una posición cualquiera, la cantidad de ladrillos es n + n - 1, porque se cumple para todos los casos de acuerdo a los gráficos, entonces en la décima posición hay 10 + 10 - 1 = 19 ladrillos, en la decimoquinta posición hay 15 + 15 - 1 = 29 ladrillos y en trigésimoquinta posición hay 35 + 35 - 1 = 69 ladrillos.” b) Otro de los grupos planteó la siguiente solución a la tarea T1:

Si bien este grupo no llegó a generalizar a través de expresiones algebraicas, su conclusión fue la siguiente: “La unidad del número que representa la cantidad de ladrillos en cada posición siempre va a ser 1, 3, 5, 7 ó 9, ya que cada cinco posiciones se observa esto, por lo tanto en cualquier posición la cantidad de ladrillos es un número que termina en 1, 3, 5, 7 ó 9”. Además, contestaron a las otras preguntas utilizando la siguiente tabla:

En la quinta posición hay 9 ladrillos. De acuerdo con la tabla, para llegar a la décima posición se recorre dos veces la tabla inicial, por lo que se aumenta una decena a la cantidad de ladrillos, con lo que el resultado será 19 ladrillos. Para la decimoquinta posición se recorre tres veces la tabla inicial, por lo que se aumentan dos decenas a la columna de la cantidad de ladrillos, lo que arroja un total de 29 ladrillos. Y para la trigésimo quinta posición se recorre siete veces la tabla inicial por lo que se aumentan seis decenas a la cantidad de ladrillos, entonces habrán 69 ladrillos. c) Otro de los grupos armó la siguiente tabla, para la T1:

Este grupo generaliza de la siguiente forma: “Si me piden la cantidad de ladrillos para una posición cualquiera se debe sumar la posición que se pide más la posición anterior. Por ej.: cantidad de ladrillos para la 5ª posición, 5+4 = 9; para la 10ª hay 10+9=19; para 15ª hay 15+14=29. Entonces para cualquier posición nº hay n+(n-1) ladrillos”. Este grupo considera sin ayuda del docente el caso de una n-ésima posición. d) Otro de los grupos planteó lo siguiente:

Este grupo fundamentó así: “La cantidad total de ladrillos depende de la cantidad de ladrillos de la posición anterior, es decir que en cualquier posición la cantidad de ladrillos es la cantidad de ladrillos de la posición anterior más 2”. Así, se puede observar que este grupo generalizó de manera recurrente; si bien no usó una expresión algebraica, lo hizo mediante un lenguaje coloquial. e) El otro grupo que tenía esta tarea lo resolvió de la misma forma que la primera resolución del análisis a priori, pero no llegó a generalizar mediante expresiones algebraicas. Soluciones propuestas por los alumnos para la T2 Para esta tarea las soluciones fueron muy similares; solo dos grupos no llegaron a generalizar, y los demás resolvieron la tarea consignada a través de un análisis a priori. Una vez finalizadas las actividades, se procedió a la puesta en común; se dividió el pizarrón para confrontar todas las soluciones halladas por los grupos. En

primer lugar se colocó a las de la T1, por ofrecer mayor variedad. Cada pareja expuso al resto de la clase la resolución a la que arribaron. Algunos alumnos aportaron diciendo que la expresión encontrada en a) es “(n+n)-1 = 2n-1”. Luego de esta puesta en común, se procedió a institucionalizar los conceptos de sucesión y sucesión aritmética involucrados en las tareas propuestas. T3: Observa y resuelve: a) ¿Cuál es el área de cada cuadrado sabiendo que cada lado es la mitad del anterior?

b) c) d) e)

¿Cuál es el área del cuarto cuadrado? ¿Y la del vigésimo cuadrado? ¿Y la del n-ésimo cuadrado? Si tengo un área igual a 1/1024 cm2, ¿a qué cuadrado corresponde? ¿Qué le pasa al área del cuadrado a medida que formamos los cuadrados? ¿Qué relación hay entre las áreas de los cuadrados obtenidos? Graficar la sucesión obtenida.

T4: Observa y resuelve: a) ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrado sabiendo que cada lado equivale a la mitad del anterior?

b) ¿Cuál es el perímetro del cuarto cuadrado? ¿Y el del vigésimo cuadrado? ¿Y el del n-ésimo cuadrado? c) Si tengo un perímetro igual a 1/8 cm, ¿a qué cuadrado corresponde? d) ¿Qué le pasa al perímetro del cuadrado a medida que formamos los cuadrados?

e) ¿Qué relación hay entre los perímetros de los cuadrados obtenidos? f) Graficar la sucesión obtenida. Diferentes formas de resolución a priori de T3 y T4 T3 y T4: Estas actividades se plantean en un marco geométrico. Primera forma de resolución: Se puede llevar un registro de tabla.

Posibles errores: no saben operar con números racionales, por lo que pueden obtener un término general erróneo. No reconocen la relación funcional existente entre el cuadrado y su respectiva área o perímetro.

El término general es En el punto c)

para la T3, y para la T4 es es el área correspondiente al cuadrado número 20

(T3), esto se puede obtener luego de haber encontrado el término general de la sucesión dada, con esta forma de resolución. En ambos casos se trata de una sucesión decreciente. La relación entre las áreas es la razón geométrica términos a partir del segundo, se multiplica por perímetro, se multiplica por

, porque para obtener los

el término anterior, y para el

En estas dos tareas se incorpora la representación gráfica de las sucesiones obtenidas. Esta es una manera de ver a qué valor tienden ambas sucesiones.

Con estas dos actividades se institucionaliza el concepto de sucesión geométrica. Segunda forma de resolución: Si observan los primeros cuatro casos particulares, pueden darse cuenta de que para obtener un término, a partir del segundo se debe multiplicar por

del

término anterior. Entonces encuentran una ley de recurrencia,

, para

(T3), que se puede escribir en forma coloquial o simbólica. Y como esta sucesión es la de los números racionales, solo pueden utilizar el marco numérico para resolver los demás ítems. En el caso de la tarea T4 se puede proceder del mismo modo. Confrontación del análisis a priori y el análisis a posteriori de T3 y T4 Segunda clase: Antes de dar inicio a la clase, retomamos las definiciones de sucesión y sucesión aritmética institucionalizadas en la clase anterior. Luego se procedió a repartir las copias de las tareas T3 y T4, para lo que se conformaron cinco grupos de cuatro integrantes. Soluciones propuestas por los alumnos para la T3 y la T4 a) Los grupos 1 y 2 trabajaron, en principio, con el marco geométrico, y luego pasaron a un registro de tabla similar a la de la primera forma de resolución del análisis a priori:

Estos grupos encontraron los términos de la sucesión de áreas y perímetro pedidos, y expresaron correctamente ambos términos generales. b) El grupo 3 trabajó solo en un registro de tabla, de la siguiente forma:

En este caso, este grupo llega a una ley de recurrencia en ambas tareas. c) El grupo cuatro trabaja con decimales, solo en un marco algebraico:

Cuando el grupo encontró la expresión decimal de las áreas, no sabía cómo generalizar, razón por la cual les sugerimos transformar esta expresión decimal en fracciones, tras lo que continuaron trabajando solos. d) El grupo cinco siguió trabajando en tareas de geometría: Para el primer cuadrado el área es = Para el segundo cuadrado el área es = Para el tercer cuadrado el área es = Para el cuarto cuadrado el área es = Para el n cuadrado el área es =

Este grupo no calculó bien las áreas debido a que se cometió un error al multiplicar los racionales. Si este error se omite, el término general hallado solo es válido a partir del segundo cuadrado, por lo que tampoco se resolvió correctamente la tarea. Además, no alcanzaron a resolver la T4, ya que les llevó mucho tiempo encontrar el término general de la sucesión de áreas expresadas en forma decimal. Con esta tarea se institucionaliza el concepto de sucesión geométrica. T15: Si partimos de un cuadrado A1 de 1 cm. de lado y se ubica encima de él un cuadrado A2 igual al inicial, se obtiene un rectángulo. Se coloca a la derecha otro cuadrado A3 igual al lado mayor del rectángulo. Luego, hacia abajo, se coloca un cuadrado A4 cuyo lado es igual al lado mayor del rectángulo. Se repite el procedimiento hacia la izquierda, y así sucesivamente en forma circular. Encontrar la medida del lado menor del rectángulo que se forma en el paso número 15. Diferentes formas de resolución a priori para T15 La tarea T15 se plantea en un lenguaje coloquial. Para ella proponemos trabajar en un marco geométrico.

Siguiendo con este procedimiento y volcando los datos en una tabla, obtenemos:

Esta ley de recurrencia obtenida corresponde a la famosa sucesión de Fibonacci, por lo que para obtener la medida del lado en el paso 15 necesitamos de los lados en los pasos 13 y 14, es decir:

Confrontación del análisis a priori y el análisis a posteriori de T15 Octava clase: En esta tarea que consiste en leer y seguir un procedimiento, la clase trabajó bastante bien, ya que en solo quince minutos un grupo planteó lo siguiente:

Los demás grupos llevaron un registro de tabla y llegaron a la misma conclusión. Solo dos grupos que trabajaron en el mismo marco gráfico no lograron notar las regularidades, por lo que no llegaron a la generalización. Con la ayuda, fácilmente se dieron cuenta de la expresión general del total de piezas.

8. CONCLUSIONES ••• En el análisis de los registros se puede observar que, a medida que los estudiantes resuelven los problemas, se aproximan a la solución propuesta por los docentes. Esta forma de trabajar con problemas de sucesiones comprueba que el alumno puede realizar un pasaje natural al lenguaje simbólico, que acarrea tantas dificultades a adolescentes de 15 a 16 años. Esta investigación permite inferir que, si las tareas propuestas por el docente están secuenciadas, si dentro del aula se admite la discusión, validación y circulación del conocimiento matemático, entonces será posible la aprehensión y apropiación de las nociones que se enseñan. Esto se pudo comprobar a través de la evaluación que se realizó puesto que el ochenta por ciento de los alumnos aprobó la prueba individual, lo que indica que el aprendizaje de una noción matemática en contextos sociales difíciles depende de las estrategias docentes propuestas. Podemos decir que las teorías de las situaciones didácticas y la transposición didáctica han sido marcos teóricos adecuados para el diseño, puesta en práctica y análisis de la secuencia didáctica, puesto que nos ayudaron a tener en cuenta que: 1. Para que los alumnos resuelvan una tarea, es necesario que actúen, que tomen decisiones, es decir, que la tarea seleccionada va a promover la elaboración y la puesta en funcionamiento de conocimientos implícitos; ellos deberán explicitar los procedimientos a través de un lenguaje comprendido por todos y a la vez validarlos por medio de pruebas. Mediante el lenguaje, el conocimiento matemático puede ser construido en forma colectiva, permitiendo intercambiar experiencias individuales.

2. La secuencia debe promover distintas estrategias que los alumnos deberán desplegar, para lograr la generalización de los términos en una sucesión. 3. Es posible recuperar conocimientos que los alumnos poseen, resignificarlos y reorganizarlos para construir el concepto de sucesiones. 4. Es necesario transformar el conocimiento matemático para hacerlo funcionar en la sala de clase.

9. ANEXO 1 ••• Tareas T5 a T17 que se desarrollaron en las clases: T5: Teresa realiza su entrenamiento de salto en largo. El primer día alcanza 3,70 metros, y a fuerza de práctica logra superar cada día en 2 centímetros su marca anterior. a) ¿Cuánto salta el tercer día? ¿Y el quinto día? ¿Y el n-ésimo día? b) ¿Cuántos días de entrenamiento lleva cuando llega a 3,98 m? c) ¿Es una sucesión aritmética o geométrica? Justifica. d) Graficar la sucesión obtenida. e) ¿Es una sucesión creciente o decreciente? T6: Dejamos caer una pelota desde una altura de 1 metro y, tras cada rebote, la altura alcanzada se reduce a la mitad de la altura anterior. a) ¿Qué altura alcanzará la pelota en cada uno de los diez primeros rebotes? ¿En el vigésimo? ¿Y en el n-ésimo? b) ¿Cuántos rebotes habrá dado hasta alcanzar la altura de 0,03125 metros? c) ¿Es una sucesión aritmética o geométrica? Justifica. d) Graficar la sucesión obtenida. e) ¿Es una sucesión creciente o decreciente? T7: Si dibujas el árbol genealógico de tu familia hasta quince generaciones atrás: a) ¿Cuántos ancestros tuviste?

b) Generalizar para más de quince generaciones atrás. c) ¿Qué tipo de sucesión es? d) Graficar la sucesión encontrada. T8: Alicia ha decidido ahorrar un año 50 centavos diarios. a) ¿Cuál será el valor de su ahorro? b) Si ahorra siete años, ¿cuál será su ahorro? c) ¿Qué tipo de sucesión es? d) Graficar la sucesión encontrada. T9: Escribir, a partir del término general, los primeros seis términos de las siguientes sucesiones: {2n + 1} {2n - 3} T10: Indicar si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas. ¿Cuál es su constante o razón? {5, 9, 13, 17, 21,…} {√2, √2/3, √2/9, √2/27, √2/81,…} T11: Escribir el término de las siguientes sucesiones: {1, 2, 4, 8,16,…} {1, 3/2, 2, 5/2, 3,…} T12: Escribir el término general de la sucesión correspondiente a la cantidad de puntos necesarios para dibujar las siguientes figuras.

Y así sucesivamente. ¿Se trata de una sucesión aritmética o geométrica? ¿Puedes encontrar un término general equivalente al anterior? T13: Sumar los cien primeros naturales (sin usar calculadora). T14: Se construyó una torre triangular con latas vacías, todas de igual forma y tamaño. Se las ubicó de modo tal que cada hilera tuviese una lata menos que la anterior. Si se disponía de cien latas: a) ¿Cuántas hileras conforman la torre? b) ¿Cuántas latas se colocan en la base? c) ¿Sobran latas? d) ¿Y si se dispone de 10.000 latas? T16: Con un cuadrado de 1 centímetro de lado, trazar por sus puntos medios dos segmentos. Lo recortamos dejando la parte rayada sobre la mesa y nos quedamos con el recorte cuadrado en la mano, luego volvemos a realizar el mismo procedimiento para el cuadrado que tenemos en la mano y así sucesivamente. a) ¿Qué sucesión forman las piezas que quedan en la mano? b) ¿Qué sucesión forman el total de piezas que quedan sobre la mesa? c) Graficar ambas sucesiones.

T17: De la actividad realizada en el tema anterior (martes 28 de marzo): Por los puntos medios de los lados de un cuadrado, trazar segmentos de tal manera de obtener un nuevo cuadrado.

Repetir dos veces hasta obtener el tercer cuadrado pequeño. Calcular el perímetro y el área de los tres cuadrados.

Supongamos infinito el proceso de construcción de cuadrados (el cuadrado grande tiene lado igual a 1 centímetro). ¿Cuánto mide, cuando llevamos n cuadrados, la longitud de la línea negra? Diferentes formas de resolución a priori de T5 a T17 T5 Esta tarea se plantea en un lenguaje coloquial. Y es un problema de reinversión. Primera forma de resolución: En primer lugar, se debe definir la unidad de medida a utilizar: metro o centímetro. Días Altura alcanzada Primer Día . Segundo Día . Tercer Día . X Día . Término general Para el ítem b), deben usar el término general dado, es decir 3,70 + (x – 1) • 0,02 = 3,98m (pueden tener errores de tipo algebraico al resolver). En el ítem c) deben reconocer qué tipo de sucesión es, de acuerdo a su

comportamiento. En este caso se trata de una sucesión aritmética con diferencia 0,02. La resolución está planteada en un marco algebraico. Segunda forma de resolución: Registro de tabla

Posibles errores: no reducen 2 centímetros a metro o 3,70 metros a centímetro. T6 Esta tarea también se plantea en un lenguaje coloquial, y es un problema de reinversión. Primera forma de resolución Rebotes Primer rebote

Segundo rebote

Tercer rebote

Cuarto rebote

X rebote

Altura alcanzada (m)

Término General

Posibles errores: no reconocen propiedades de potenciación. Para el ítem b) deben usar el término general dado, es decir (pueden tener errores de tipo algebraico al resolver). En el ítem c) deben reconocer qué tipo de sucesión es, de acuerdo a su comportamiento. En este caso, se trata de una sucesión geométrica de razón

. La

resolución está planteada en un marco algebraico. Segunda forma de resolución

T7, T8, T9, T10, T11: El propósito de estas tareas es familiarizarse con los conceptos dados: sucesión, sucesión aritmética y geométrica. La T7 se plantea en un lenguaje coloquial. Primera forma de resolución I) Generaciones Ancestros 1ª . 2 2ª . 4 3ª . 8 Nº

II) Generaciones 1ª . 2ª . 3ª .

nª

Ancestros 1 2 3

Algunos alumnos puede que no generalicen para resolver cuántos ancestros hay en la decimoquinta generación, ya que se trata de resolver multiplicaciones por 2; es por eso que se pide que encuentren el término general. Algunos alumnos pueden tomar como primer término a ellos mismos y otros a sus padres. Segunda forma de resolución: Mediante un registro de tabla se puede llegar a la ley de recurrencia Tercera forma de resolución: Esta forma de resolución puede ser mediante un diagrama de árbol.

De esta forma, observando estos casos particulares se puede llegar a responder que para la decimoquinta generación se tuvieron ancestros. Y se puede llegar a generalizar mediante la siguiente expresión algebraica, ya que se trata de resolver potencias de 2: . En este caso se trata de una sucesión geométrica de razón 2. En cuanto a la T8, se plantea en un lenguaje coloquial. Primera forma de resolución Puede ser analizando los casos particulares mediante un registro de tabla:

En este caso se trata de una sucesión aritmética de diferencia igual a $0,50. En cuanto a las tareas T9, T10 y T11, son ejercicios para trabajar el concepto de sucesión como función (existencia y unicidad) y las características de una sucesión aritmética y geométrica. La tarea T12 se plantea en un marco gráfico. El análisis que pueden hacer es el siguiente: Primera forma de resolución: Puede realizar las anotaciones también en forma de tabla, Para la figura 1 se necesita 1 punto Para la figura 2 se necesitan 4 puntos = Para la figura 3 se necesitan 9 puntos = Para la figura 4 se necesitan 16 puntos = (por este comportamiento pueden concluir con la siguiente expresión) Para la figura n se necesitaran puntos. Esta forma de resolución se trabaja en un marco algebraico, donde n representa la figura en cuestión, y los puntos que me determinan el cuadrado. Por lo que llegan a generalizar Segunda forma de resolución: Pueden seguir trabajando con el marco gráfico de la siguiente forma:

Tomando cada punto como un cuadrado unidad, se tienen los siguientes cuadrados:

Y calculando el área de cada uno de ellos (base2) se puede obtener el término general de la sucesión de puntos. Es decir, se trabaja en un marco geométrico y para formalizar se pasa a un marco algebraico. Tercera forma de resolución: Esta forma de resolución es mediante el uso del marco grafico; es por eso que se pide que encuentren un término general equivalente a , el cual es más sencillo de encontrar en un registro de tabla.

A partir del marco grafico pasamos a un registro de tabla, donde podemos encontrar dos formas equivalentes de resolución:

En la T13, para obtener la suma de los cien primeros naturales se puede proceder estudiando casos particulares de la siguiente forma: Para sumar el primer natural . la suma es igual a 1 Para sumar los dos primeros naturales . la suma es 1+2=3 ó

Para sumar los tres primeros naturales . la suma es 1+2+3=6 ó

Para sumar los cuatro primeros naturales . la suma es 1+2+3+4=10 ó Generalizando . la suma de Para sumar los cien primeros naturales . la suma es:

La generalización encontrada no es la única, ya que también se puede generalizar de la siguiente forma: La T14 se presenta en un lenguaje coloquial y grafico. Planteemos las siguientes soluciones:

Primera forma de resolución: Se puede seguir utilizando el marco gráfico propuesto.

Y llegar a contestar que trece hileras conforman la torre, hay 91 latas en la base y sobran nueve latas. En el caso de contar con 10.000 latas, tendrán que buscar otra forma de resolución. Segunda forma de resolución: Como a medida que descendemos en la torre la cantidad de latas para cada base se aumenta en una unidad, este problema se resuelve utilizando la expresión algebraica hallada en la tarea anterior, de la siguiente forma:

Como la cantidad total de latas es la sucesión con la que se trabajó en la tarea anterior, utilizamos la siguiente expresión para resolver el problema: donde n representaría el número de la hilera. Resolviendo esta ecuación cuadrática n2+n-200 = 0, obtenemos n1= -14,65 y n2 = 13,65, donde se descarta la primera solución debido a que es un número negativo. Para la segunda solución tomamos n = 13, ya que

es decir que la base de torre para la hilera trece tiene 91 latas, por lo que sobran nueve latas, de las cien con las que se contaba. Con 10.000 latas, usando el mismo procedimiento tenemos con n = 140, ya que

, es decir, que con 10.000 latas la torre

tiene 140 hileras y su base tiene 9870 latas, y sobran 130 latas. La tarea T16 se plantea en un lenguaje coloquial. Proponemos la siguiente forma de resolución: trabajamos con un cuadrado de cartulina, realizando recortes como se indica en el problema.

A partir de estos recortes, registramos los datos en la siguiente tabla:

Esta tarea incorpora la sucesión de sumas parciales, donde el término general es sencillo de encontrar. La tarea T17 se propone en lenguaje coloquial. Puede resolverse de las siguientes formas: Primera forma de resolución: Se trabaja simultáneamente con un marco geométrico y algebraico. Primer paso: Como el cuadrado tiene 1 centímetro de lado, y solo necesitamos tomar la mitad de éste, nuestra sucesión comienza con:

Segundo paso: Luego, realizando el mismo procedimiento de la tarea del tema anterior, se tiene que: Para obtener la medida del segundo cuadrado, aplicamos el teorema de Pitรกgoras, mitad, nos queda:

pero como necesitamos solo la .

Para calcular el lado del tercer cuadrado procedemos de la misma forma: , operando algebraicamente se obtiene que el De la misma forma, en el tercer paso tenemos que:

Hasta este momento tendríamos

Si continuamos de esta manera, se tiene la sucesión

esta sucesión corresponde a una sucesión geométrica, ya que

;

en general se tiene que:

De esta forma, solo necesitamos conocer la sumatoria de esta sucesión, ya que ésta corresponde a la longitud de la línea negra, por lo tanto tenemos que como: , reemplazando tenemos que Segunda forma de resolución: mediante un registro de tabla de la siguiente forma:

Confrontación del análisis a priori y a posteriori de T5 a T17 Tercera clase: Antes de iniciar la clase, se vuelve sobre los conceptos de sucesión, sucesión aritmética y geométrica, y luego se les reparte a cada pareja T5 y T6. Soluciones de las tareas T5 a) Cinco grupos trabajaron como la primera forma de resolución propuesta en el análisis a priori. Con esta forma de resolución, se dieron cuenta de que se trata de una sucesión aritmética. b) Dos grupos trabajaron como los grupos de arriba, solo que llevaron un registro de tabla y llegaron a la misma generalización. También clasificaron esta sucesión como aritmética, y justificaron esto por la existencia de la constante 0,02m. c) Dos grupos trabajaron como la segunda forma de resolución propuesta en al análisis a priori. d) Un solo grupo trabajó de la siguiente forma: Días Altura er 1 día . 3,70m 2º día . 3,70m + 2 = 5,70m 3er día . 5,70m + 2 = 7,70m 4º día . 7,70m + 2 = 9,70m 5º día . 9,70m + 2 = 11,70m ................................................................ X día . 3,70m + 2 (x–1) Este grupo cometió un error al sumar en distintas unidades de medida.

Soluciones de T6 a) La mayoría de los grupos trabajó en la línea de la primera forma de resolución, propuesta en el análisis a priori. b) Un solo grupo comenzó la sucesión en 1m; de acuerdo al problema, la pelota es lanzada desde un metro de altura, y recién en el primer rebote alcanza la altura de

Esta solución no es acorde al problema planteado. c) Otro grupo trabajó con expresiones decimales los metros alcanzados:

En general, todos los grupos se dieron cuenta de que se trataba de una sucesión geométrica de razón

ó 0,5.

Cuarta clase: Se copian en el pizarrón las tareas T7, T8, T9, T10, T11 y T12, estas tareas se resuelven individualmente para ver los procedimientos que utiliza cada alumno ante la resolución de las tareas.

Soluciones para T7 a) El 80% de los alumnos trabajó en la línea de la primera forma de resolución del análisis a priori; un 20% de ellos como II) y el resto como I). b) El resto de los alumnos trabajó en un marco grafico, como el diagrama de árbol propuesto en la tercera forma de resolución del análisis a priori. Esta tarea no costó mucho a la clase. Soluciones para la T8 En general, los alumnos trabajaron en un registro de tabla como el del análisis a priori; al generalizar, el 90% de los alumnos lo expresó de la siguiente forma: an = 0,5n y el resto, como se trata de una sucesión aritmética, lo expresa así: an = 0,5 + (n – 1)0,5; ambas son iguales. Soluciones para la T9 ,T10,T11 En el caso de la T9, toda la clase lo resolvió de la misma forma: I)

II)

Los alumnos resolvieron la T10 de la siguiente forma: por lo que se trata de una sucesión aritmética de constante 4. por lo que se trata de una sucesión geométrica de razón 1 .

3 La T11, tuvo las siguientes soluciones: se trata de una sucesión geométrica. es una sucesión aritmética de constante

De estas seis tareas, la T12 fue la que más costó, debido a que todos los alumnos llegaron a generalizar de la misma forma y no lograban encontrar otra fórmula equivalente. En general, todos los alumnos llevaron un registro de tabla:

En este caso, la mayoría contestó que se trataba de una sucesión geométrica; dos alumnos se abstuvieron y, después de la puesta en común pasaron al pizarrón para comprobar que no puede ser ni una sucesión aritmética ni geométrica, ya que: , por lo que no existe una razón común y 1 + 3 = 4,4 + 5 = 9; no hay una constante común. Por lo que esta sucesión no es aritmética ni geométrica. Entonces, toda la clase concluyó que esta sucesión no es ni aritmética ni geométrica. Para buscar otro término general equivalente, siguieron trabajando en el registro de tabla, e intentaron ver alguna dependencia de los términos anteriores, tal como lo hacían algunos grupos como en el caso de las tareas T3 y T4, pero no lograron encontrar nada, por lo que se sugirió que formaran grupos de a tres. Quinta clase: Se continúa con la tarea T12; solo el grupo que trabajó en la tarea T1 usando ejes de referencia logró expresar:

Si bien no lo expresaron simbólicamente, se logró generalizar entre todos de la siguiente forma en el pizarrón: 1º figura = f1 = 1 punto 2º figura = f2 = 1 + 3 = 4 puntos 3º figura = f3 = 4 + 5 = 9 puntos, por lo tanto 4º figura = f4 = 9 + 7 = 16 puntos Por lo tanto, para la nª figura se tiene fn–1 + (2 • n–1) puntos, con f1 = 1. Con esto la clase llegó a la conclusión de que se trata de una sucesión recurrente. Este fue el único grupo que pudo encontrar otra forma de expresar el término general. Sexta clase: Una vez conformados los grupos, se pasó a copiar la tarea T13 en el pizarrón. Las soluciones propuestas por los grupos fueron las siguientes: Solución grupo 1: Este grupo comenzó a sumar de a 10, 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 a1 = 55 + (1–1)•100 = 55 11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 = 155 a2 = 55 + (2–1)•100 = 155 21+22+23+24+25+26+27+28+29+30 = 255 a3 = 55 + (3–1)•100 = 255 31+32+33+34+35+36+37+38+39+40 = 355 a4 = 55 + (4–1)•100 = 355 41 a 50 = 455 51 a 60 = 555 61 a 70 = 655 71 a 80 = 755 81 a 90 = 855 91 a 100 = 955 a10 = 55 + (10–1)•100 = 955 Solución grupo 2 a1 = 1 a2 = 1 + 2 = 3 a3 = 1 + 2 + 3 = 6 a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 a5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 a6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 an = an–1 + n

Solución grupo 3 Para la tarea T12 este grupo se dio cuenta de que:

Entonces, como el término general hallado en la T12 es n2, se tiene que n2 – an-1, con a1 = 1. Los demás grupos realizaron las sumas por escrito. En la puesta en común, la solución del grupo 1 no daba la suma de los 100 primeros naturales sino la suma de a 10. Por lo tanto, la suma de los 100 primeros naturales es: 55 + 155 + 255 + 355 + 455 + 555 + 655 + 755 + 855 + 955 = 5050 Como las demás soluciones estaban expresadas de manera recurrente, se contó cómo Gauss, con tan corta edad, pudo solucionar este problema, y se mostró la expresión que encontró: y para n=100;

Séptima clase: Con la T14 se pretende que utilicen la expresión de la clase anterior. Seis alumnos trabajaron en la línea de la primera forma de resolución del análisis a priori para el caso de 100 latas; para el otro caso no sabían cómo plantear una solución. El resto de la clase trabajó con el registro de tabla, y utilizó la expresión hallada en la tarea anterior. De estos alumnos, el 80% no sabía resolver la ecuación de segundo grado que se genera.

10. ANEXO 2 •••

11. BIBLIOGRAFÍA ••• Bosch, M. y Gascón J., “La integración del momento de la técnica en el proceso de estudio de campos de problemas de matemáticas”, en Enseñanza de la Ciencia, Barcelona, Universidad Autónoma de Barcelona, 1994. Brousseau, G., “¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la didáctica de la matemática? Primera parte”, en Enseñanza de la Ciencia, Barcelona, Universidad Autónoma de Barcelona, 1990, número 8 (3). Brousseau, G., Segundas Jornadas de Matemática y Didáctica de la Matemática, Barcelona, Universidad Autónoma de Barcelona, 1992. Brousseau, G., “Los diferentes roles del maestro“, en C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós, 1990. Charnay, R., “Aprender por medio de la resolución de problemas”, en. C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós, 1994. Chevallard, I, Bosch, M, y Gascon, J., Estudiar matemática. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, Barcelona, ICE/Horsori, 1997. Douady, Regine, “Relación de enseñanza-aprendizaje. Dialéctica instrumento-objeto. Juegos de marcos”, en Cuadernos de didáctica de las matemáticas Nº 3 IREM, París, Universidad de París, 1986. Gálvez, G., “La didáctica de las matemáticas” en. C. Parra e I. Saiz (comps.), Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones, Buenos Aires, Paidós, 1994. Rico, Luis, Diseño Curricular en educación matemática. Una perspectiva cultural, España, Editorial Alfar, 1997.

Vergnaud, G., La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, Grenoble, La Pensée Sauvage, 1991. Documentos Curriculares: • Contenidos Básicos Comunes para la Educación Polimodal Febrero 1997. • Diseño Curricular de la Provincia de Salta. Nivel Polimodal.1998.