Premio ABA 2008 - Tercer Premio

3er. Premio •••

HACER MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA

Andrea Victoria Campillo es Docente. Profesora de Matemática en la Escuela Superior de Comercio Carlos Pellegrini. Profesora Adjunta Ordinaria de la asignatura Análisis Matemático II en la Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Buenos Aires. Profesora Adjunta en la asignatura Matemática en el Instituto Universitario de la Policía Federal Argentina.

ANDREA VICTORIA CAMPILLO

Yalile Soraya Srour es Docente. Profesora de Matemática en la Escuela Superior de Comercio Carlos Pellegrini.

Profesora Adjunta Ordinaria de la asignatura Análisis Matemático I en la Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Buenos Aires. Y Profesora en las asignaturas Análisis Matemático I y II en la Universidad de Belgrano, Facultad de Ciencias Económicas.

YALILE SORAYA SROUR

“Parece que uno de los elementos fundamentales de la naturaleza es que las leyes fundamentales de la física están descriptas en términos de una teoría matemática de gran poder y belleza, por lo que se necesita un nivel de matemática bastante elevado para entenderlas. Usted podría preguntarse: ¿por qué la naturaleza está construida siguiendo estos lineamientos? Uno podría solamente responder que nuestro conocimiento actual parece mostrar que la naturaleza está construida de esta manera. Simplemente tenemos que aceptarlo. Uno quizá podría describir la situación diciendo que Dios es un matemático de gran nivel y usó matemática muy avanzada en la construcción del Universo.”

Paul Dirac

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ÍNDICE ••• 1. Resumen................................................................................................. 4 2. Introducción ........................................................................................... 5 3. La propuesta didáctica ......................................................................... 12 4. Desarrollo del proyecto ....................................................................... 14 5. Conclusiones........................................................................................ 24 6. Desiderátum ......................................................................................... 25 7. Anexo I................................................................................................. 27 8. Anexo II ............................................................................................... 30 9. Anexo III.............................................................................................. 31 10. Anexo IV............................................................................................ 34 11. Anexo V ............................................................................................. 40

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1. RESUMEN ••• Es evidente para quienes enseñamos matemática –en particular en la escuela secundaria– que los altos índices de reprobación vienen asociados con actitudes de pasividad y desinterés de los alumnos hacia la asignatura. Las dificultades en la enseñanza y los resultados poco satisfactorios que observamos en nuestra tarea docente nos llevan a reflexionar y a cuestionar nuestro desempeño en el aula.

Con el objetivo de acortar la distancia entre los adolescentes y la matemática, tanto en la adquisición de saberes como en la forma en la cual estos saberes son generados en el ámbito científico, hemos diseñado una propuesta didáctica que utiliza las gráficas de funciones polinómicas, realizadas en Excel por los mismos alumnos, con el fin de que sean ellos quienes “descubran” la incidencia de la multiplicidad de las raíces en el gráfico de dichas funciones.

Este proyecto comenzó a gestarse en el año 2006, y en sucesivas etapas se fueron incorporando modificaciones y mejoras. La idea es seguir optimizándolo y transferirlo a otros contenidos. Esperamos sumar nuestro granito de arena a la mejora de la enseñanza de la matemática y a la incorporación de las nuevas tecnologías en el ámbito educativo.

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2. INTRODUCCIÓN ••• El aprendizaje de la matemática –y por lo tanto su enseñanza– debe ocupar un lugar preponderante en el desarrollo curricular de la enseñanza a cualquier nivel. La enseñanza de las ciencias en general constituye hoy en día uno de los pilares imprescindibles para la formación de los futuros ciudadanos: no puede hacerse una separación tajante entre formación científica y formación ciudadana. La ciencia ha avanzado a pasos agigantados en las últimas décadas del siglo XX, y en el siglo XXI este ritmo no parece detenerse, sino acelerarse. Los avances tecnológicos actuales hacen necesaria una educación que los acompañe formando ciudadanos que puedan adaptarse a esos cambios, pero también una educación que permita que el conjunto de la sociedad pueda definir la orientación de dichos avances, y la aplicación de los recursos que ellos ofrecen en función de la integración social y la paz.

El año 2008 fue designado como el año de la enseñanza de las ciencias en la República Argentina: si queremos que el mejoramiento de la enseñanza de la matemática sea una realidad, habrá que invertir tiempo y esfuerzo en la revisión de las metodologías, la implementación de una capacitación docente que difunda dicha revisión, la instalación de nuevos laboratorios informáticos o la ampliación y el mejoramiento de los ya existentes, el incremento en la producción y la difusión de bibliografía tanto pedagógica como específicamente matemática, etc. Todos los docentes que nos dedicamos a la enseñanza de las ciencias (en particular los profesores de matemática) vemos que las dificultades en la enseñanza de estas asignaturas no han disminuido: esta situación se ve refrendada con los resultados obtenidos en relevamientos nacionales e internacionales. Los porcentajes de reprobación son mayores para matemática que para cualquier otra asignatura (incluidas física o química), y si se tiene en cuenta el área de ciencias, los índices de reprobación son mayores que en el área de estudios sociales.

Que este año haya sido designado como año de la enseñanza de las ciencias indica la preocupación del Estado argentino por esta situación, lo que supone definir políticas tendientes a que la enseñanza de la ciencia y que la denominada alfabetización científica tengan un apoyo prioritario, que implique una mejora en la enseñanza de este área del conocimiento. La mencionada alfabetización

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científica deberá extenderse hacia todo el conjunto de la población, entendiendo como tal la capacidad de cualquier ciudadano no solo de incorporar los avances tecnológicos sino de manejar una forma de pensamiento que le permita cuestionar, indagar, proponer soluciones, extraer conclusiones, validar las proposiciones y entender e interpretar los hechos empíricos. A su vez, la ciencia deberá enseñarse y difundirse de manera tal que el conjunto de la ciudadanía pueda involucrarse y expresarse en debates acerca de la orientación y las finalidades de los avances científicos y de los recursos asignados a la investigación y el desarrollo, y tomar decisiones que no afecten el medio ambiente y la calidad de vida con la información necesaria.

Este replanteo acerca de la enseñanza de la ciencia y de la matemática no se está produciendo solo a nivel nacional, sino que ha sido evidenciado en numerosos organismos e instituciones del quehacer educativo internacional. Replantearse una reforma profunda de la enseñanza tradicional implica un acercamiento a la tarea científica de producción del conocimiento. Actualmente, el mundo científico está muy alejado de la enseñanza de la ciencia, por lo que resulta imprescindible acercar ambos mundos para que la comprensión de los conceptos científicos se funde en la comprensión –más profunda– del modo como estos conceptos se han generado y validado dentro de la comunidad científica.

Los científicos pueden valorar e interpretar un saber sobre ciencia porque comprenden los procesos intrínsecos mediante los cuales éste ha sido concebido: si una idea surge dentro de un determinado marco teórico, o si la idea resulta de la generalización de situaciones empíricas; si la idea ha recibido el apoyo de la comunidad científica a través de publicaciones o instituciones que difunden los nuevos conocimientos y las nuevas propuestas científicas; si la sociedad en la que ha sido concebida esta idea presenta un marco histórico y político favorable a su desarrollo o contrariamente se ha acotado la investigación científica.

De manera inversa, los docentes ignoran estos procesos, ya que lo que se enseña es una serie de conocimientos que constituyen el producto final del desarrollo mencionado. Los alumnos están alejados del proceso de generación de ideas y de validación científica del conocimiento, lo que profundiza el concepto de que los conocimientos científicos están alejados de sus posibilidades. Esto produce un acercamiento superficial y muchas veces erróneo a dichos saberes.

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Una forma de mejorar la enseñanza de la ciencia es acercar a los estudiantes al proceso de generación del conocimiento científico. Por supuesto, existen grandes diferencias entre el tipo de ciencia que construye la comunidad científica y el que circula en la comunidad educativa: en tanto los científicos trabajan en las fronteras del conocimiento, en el aula deberán trabajarse conocimientos ya validados.

La idea de acercar la enseñanza de las ciencias al proceso de construcción del conocimiento no debe entenderse exclusivamente como la imposición de clases de laboratorio: el desarrollo de tareas concretas de experimentación debería incrementarse, sin que éstas reemplacen las clases tradicionales, sino complementándolas. Tengamos en cuenta que el proceso de construcción del conocimiento científico no consiste exclusivamente en el aspecto experimental: la actividad científica involucra una serie de procesos que tienen que ver con la actividad cognitiva, además de la actividad relacionada con el laboratorio. La persona que hace ciencia debe poder recolectar datos experimentales pero también realizar procesos mentales como detección de patrones, generalización, abstracción, validación de teorías y resultados, inferencia de posibles experimentos que avalen los supuestos teóricos, etc. En definitiva, debe poder indagar, investigar, crear respuestas, defender y comunicar sus ideas, aceptar críticas; cuestionar y ser cuestionado. La propuesta deberá ser llevar al aula tanto la parte experimental del quehacer científico como la parte intelectual: es imprescindible que estos procesos formen parte indisoluble de la formación científica en la escuela.

En este contexto, la enseñanza de las ciencias desarrolla valores imprescindibles para la formación de ciudadanos comprometidos con la sociedad: promueve el trabajo en equipo, la defensa de ideas propias con argumentos válidos, el respeto y el aprecio por las ideas ajenas, la aceptación del diálogo que incluya críticas constructivas y replanteo de situaciones, etc. Asimismo, fomenta la capacidad de abstracción para ordenar y organizar la enorme cantidad de información disponible, y los subsiguientes procesos de descubrimiento de regularidades, planteo de hipótesis de explicación y validación de estas hipótesis. En definitiva, se trata de crear modelos a partir de los procesos científicos o tecnológicos, que los estudiantes deberían comenzar a manejar (en la medida de sus posibilidades y de sus saberes previos) en todas las etapas de la educación: inicial, primaria, secundaria, terciaria y/o universitaria.

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Para que estos procesos sean posibles, los docentes jugamos un rol fundamental: no solo debemos fomentar este tipo de procesos en nuestras clases sino que debemos inducir a que los alumnos vayan incorporando esta forma de ver el mundo para que puedan desarrollarlos en forma autónoma e independiente. Los alumnos (aun los más pequeños) pueden comprender que el mundo natural presenta cierta estructura y ciertas regularidades que pueden ser modelizadas. A medida que avanza la edad de los alumnos, estas regularidades pueden expresarse en forma más abstracta y aparece la necesidad de generalizar y de demostrar la veracidad de esa generalización (validación). Estos modelos pueden utilizarse para realizar predicciones y tomar decisiones sobre el proceso modelizado.

Este tipo de actividad natural en el ámbito científico debería ser incorporado gradualmente en la enseñanza escolar, en principio con un fuerte apoyo del docente. El apoyo facilitado por el docente (el “andamiaje”, en términos de Bruner) deberá ir disminuyendo progresivamente para que los alumnos asuman el control de sus actividades y competencias. Las actividades que los alumnos realicen en forma autónoma deberán ser planeadas de modo que los encaminen hacia un aprendizaje por descubrimiento. Los estudiantes deberán poder plantear sus propias hipótesis sobre los modelos analizados, interactuar con otros alumnos y con los docentes para argumentar, discutir y analizar, y finalmente validar o desechar estas hipótesis.

A través de los procesos descriptos, los alumnos podrían comprender el mundo natural y sus estructuras subyacentes mediante los modelos propuestos para describirlas. A su vez, estos modelos presentan la ventaja de poder aplicarse en situaciones similares y verificar que funcionan para poder explicar estas nuevas situaciones, y además para predecir nuevas posibilidades hasta el momento no exploradas. En este planteo no solo son importantes los experimentos y las experiencias directas, sino también los procesos cognitivos realizados en las clases tradicionales: generalización, discusión y confrontación de resultados, consultas bibliográficas, defensa de argumentos con bases sólidas, etc.

Lo ideal es que los alumnos aprendan a observar el mundo y los fenómenos que en él se desarrollan con una mirada científica, que desate los procesos cognitivos propios del método científico (claro que en las etapas adecuadas a la edad y los conocimientos previos de cada chico). Sin embargo, los docentes que enseñamos asignaturas de ciencias naturales o de ciencias exactas (particularmente en matemática) notamos que los estudiantes fracasan en una gran proporción en

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la adquisición de los saberes y habilidades propias de la asignatura, en especial en lo referido a la “mirada científica” antes mencionada, con todos los procesos involucrados. Es innegable que los docentes no han sido formados como científicos, por lo que no han recibido el entrenamiento propio de los procesos de “hacer ciencia”. A su vez, los científicos –que conocen este proceso porque forma parte de sus tareas habituales– no han sido formados en la docencia, y en general no pueden transmitir las ideas científicas de forma adecuada y pedagógica para quien no es un especialista en el área de investigación correspondiente. En este caso, ¿qué solución puede permitir que el docente entregue a los alumnos una visión más cercana al quehacer científico, que permita entender las teorías con sus alcances y sus limitaciones?

Cuando analizamos el fracaso en la enseñanza de la ciencia podemos encontrar innumerables razones que convergen en esta situación: falta de capacitación y actualización docente adecuada, programas desactualizados, inadecuados y muy extensos, problemas económicos en la implementación y adecuación de laboratorios de ciencias, etc. Sin embargo, lo que puede mejorarse sin lugar a dudas es la práctica pedagógica: los docentes debemos estar convencidos que pese a todas las dificultades que se presentan, siempre pueden producirse mejoras en los métodos de enseñanza. En cualquier ámbito docente deberá fomentarse la reflexión sobre las metodologías y prácticas pedagógicas; inclusive en los ámbitos de formación docente. Entre los estudiantes de carreras vinculadas a la docencia debería prevalecer la idea de que siempre pueden mejorarse la metodología y las herramientas de enseñanza.

Específicamente en relacion a la enseñanza de la matemática, todo profesor de la asignatura puede darse cuenta desde sus primeros contactos con la docencia del fracaso general de los alumnos en todos los niveles de la enseñanza.

Inclusive desde antes de recibirse, la mayoría de los alumnos de profesorados se dedica a dar clases particulares de matemática: esta práctica contribuye a disminuir los fracasos. Sin embargo, aunque ayuda a que más alumnos aprueben los exámenes de la asignatura, fomenta una práctica totalmente opuesta a la que se vino desarrollando en los párrafos anteriores: la producción de las famosas “recetas” para resolver los ejercicios y sacar buenas notas en las pruebas, sin entender en profundidad los conceptos y las metodologías involucradas. Estas clases particulares mejoran el rendimiento en lo inmediato, pero sin embargo no solucionan el problema de fondo: la adquisición de saberes. El uso de “recetas”

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para aprobar no resulta beneficioso a largo plazo, ya que los alumnos solo abordan la práctica operatoria y olvidan estas “recetas” rápidamente, sin haber adquirido los conceptos que respaldan esta práctica operatoria.

Para solucionar el tema de los fracasos en la enseñanza de la matemática puede tomarse el camino más fácil: se podría disminuir la exigencia en la comprensión y adquisición de conocimiento para incrementar la práctica operatoria que se ampara en las mencionadas “recetas”. Sin embargo, la mayoría de los docentes no está de acuerdo con esta postura. El problema consiste en seguir enseñando matemática en el nivel actual de exigencia y disminuir el fracaso de los alumnos: ningún docente estará de acuerdo en que bajar el nivel de exigencia o reducir al mínimo los contenidos sea beneficioso a largo plazo.

En esta situación, habrá que lograr un equilibrio entre la enseñanza de los distintos aspectos involucrados en el saber matemático: la comprensión de los conceptos, la formalización y las técnicas de resolución. No deberá confundirse, por ejemplo, la exigencia del lenguaje matemático con la exigencia de un formalismo inútil que termina abrumando y aburriendo a los alumnos. Asimismo, el aprendizaje de las técnicas de resolución no debería ser la única meta en el aprendizaje de la matemática: estas técnicas vacías de contenido no permiten la incorporación de los saberes ni la formalización de los conceptos. A su vez, si el docente insiste verdaderamente en la comprensión –antes que en las técnicas de resolución– puede resultar malinterpretado por los alumnos y los padres, acostumbrados a la aplicación de “recetas” y a la enseñanza clásica y expositiva.

Para conseguir sus objetivos, el docente deberá cuestionarse cuáles son las reales capacidades de sus alumnos, cuáles son las bases sobre las cuales se deberán “anclar” los nuevos conocimientos, qué motivaciones resultan más adecuadas para que los estudiantes consideren atractiva, útil y emocionante a la matemática. En la escuela secundaria, los adolescentes deberán profundizar en la abstracción matemática, ya que el desarrollo intelectual los habilita para ello. Sin embargo, esa práctica sobre la abstracción y el lenguaje formal no deberá abrumarlos hasta el punto de hacerles perder interés en una materia que termina siendo aburrida y árida.

La adquisición de saberes se realiza en el marco de las interacciones sociales que se dan en el ámbito del aprendizaje, tanto entre los alumnos del curso entre

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sí como en la relación de los alumnos con el docente. Si se produjo un fracaso en el aprendizaje, significa que hubo un fracaso en estas relaciones, particularmente en la que se establece entre los alumnos y el docente. La relación con el profesor es básica en la construcción del saber. En el estudio de estas relaciones intervienen diversos factores sociológicos, psicológicos, de comunicación, etc.

Es tarea de la ciencia de la didáctica analizar estos procesos de relación e identificar las fallas para poder resolverlas y modificar las actitudes que entorpecen la relación, fomentando aquellas que la favorecen. Esta tarea no es sencilla: la didáctica no debe conformarse con explicaciones superficiales, sino comprender verdaderamente estos procesos en profundidad para poder analizarlos y modificar los aspectos negativos para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Los cambios didácticos implican una serie de procedimientos que habitualmente no se desarrollan en plazos breves: deberán realizarse observaciones en distintos ámbitos y con distintos grupos, y plasmar esas observaciones en informes que se analizarán detalladamente a fin de explicar los fenómenos detectados. Estas explicaciones generarán cambios propuestos a las situaciones didácticas, que será necesario llevar a la práctica y volver a observar a fin de identificar si los fenómenos que se deseaban corregir continúan repitiéndose o el cambio didáctico resultó fructífero. Los docentes deben sentirse seguros al realizar estos cambios, que se implementan de manera progresiva. Inclusive, las innovaciones más osadas deberían contar con el apoyo de la comunidad educativa de los establecimientos donde se proponen, a fin de no coartar el espíritu innovador y los deseos de mejora de los docentes.

Todo cambio didáctico implica un trabajo extra para el docente que lo realiza, con la consiguiente angustia que genera trabajar con un sistema innovador que está siendo evaluado mientras se implementa. En principio, cualquier innovación puede hacer sentir inseguro al docente, que puede temer que la implementación no tenga la forma esperada, que los alumnos no perciban la mejora o que, debido a los cambios, la clase se salga de los cauces habituales. Para ganar seguridad, se debería trabajar con la nueva metodología durante varios años, para afianzar la confianza del docente en las modificaciones realizadas a su práctica pedagógica y lograr el equilibrio y las mejoras necesarias que garanticen la seguridad de que los cambios tienen resultados positivos.

Los profesores deben tener la libertad de innovar, plantear sugerencias, rea-

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lizar observaciones sobre las modalidades y los métodos de enseñanza, conectarse con otros docentes a través de jornadas o publicaciones que les permitan intercambiar ideas y propuestas. Es necesario plantear un debate profundo y realista sobre la enseñanza en general y sobre la enseñanza de las ciencias en particular, a fin de lograr el objetivo de una transformación de la enseñanza que permita el acceso de todos a la alfabetización científica y a la comprensión de una ciencia que nos incluya en una sociedad cada vez más tecnológica y técnica.

3. LA PROPUESTA DIDÁCTICA ••• La sociedad moderna –una sociedad intensamente tecnificada– reclama cada vez más una cultura científica, en la cual la matemática es uno de los pilares fundamentales. Si se desea disminuir los fracasos en las asignaturas de ciencias exactas, se podría tomar la solución fácil, que consiste en disminuir el nivel de exigencia en la comprensión, amparándose en las “recetas” para la resolución de ejercicios. De esta manera, se elude el problema de la adquisición de los saberes.

Asimismo, se plantea el problema referido a la formalización matemática: no debe confundirse la exigencia en la comprensión de los conceptos con la exigencia por la estrechez de un formalismo excesivo. Sin embargo, no debe caerse en la situación contraria, exigiendo solo comprensión y reduciendo al mínimo el tiempo dedicado a la enseñanza del lenguaje formal y las técnicas de resolución.

Otro pilar que no debe faltar en las clases es el de “hacer matemática”.

Debemos incorporar en nuestros alumnos las prácticas relacionadas con la investigación de problemas, la comparación de situaciones y el análisis de cierto número de casos que permita intuir una cierta propiedad o regla, debida a la observación de regularidades y la posterior generalización matemática de las mismas. Sin embargo, no debemos quedarnos solamente con el enunciado de dichas regularidades en forma de propiedades o teoremas sino que, en la medida que lo permita el conocimiento adquirido por los alumnos, plantear la posibilidad de la demostración general a fin de verificar si la propiedad enunciada se satisface para cualquier elemento considerado del conjunto al cual está referida.

En los casos en los cuales la demostración aludida resulte inadecuada por el

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nivel de conocimientos del curso o por falta de saberes en los cuales apoyarse, igualmente se debería plantear a los alumnos la situación de que una demostración resulta imprescindible para la confirmación final y definitiva de la propiedad analizada.

Creemos que la búsqueda de patrones o regularidades debe formar parte del desarrollo de las clases, siendo ésta una de las actividades fundamentales de la investigación matemática en todos los niveles. Como señala Adrián Paenza, “la matemática es la ciencia de los patterns (o de los patrones). En líneas muy generales, lo que hace un matemático es examinar patterns abstractos. Es decir, buscar peculiaridades, cosas que se repitan, patrones numéricos, de forma, de movimiento, de comportamiento, etc. Estos patterns pueden ser tanto reales como imaginarios, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, puramente utilitarios o no. Pueden emerger del mundo que nos rodea, de las profundidades del espacio y del tiempo o de los debates internos de la mente.”1 En general, la percepción de los alumnos es que un científico trabaja alejado de la realidad cotidiana, encerrado en una oficina o laboratorio, vinculado con actividades inaccesibles e incomprensibles para un adolescente. Sin embargo, la metodología de trabajo que aquí proponemos aspira a que los alumnos puedan acceder a una forma de manejo matemático de un problema determinado que los acerque a la forma de trabajo de cualquier científico: explorar, comparar, analizar, buscar patrones, extraer conclusiones, verificar sus conclusiones para otros casos particulares y –en la medida de lo posible– efectuar la demostración que garantice la validez universal de la propiedad inferida. Por lo tanto, tendrá que aprender las habilidades correspondientes a identificar el problema matemático, analizarlo y explicar sus conclusiones.

Para el desarrollo de este tipo de actividades se deberá tener en cuenta que los alumnos no se comportan como una página en blanco: cada persona posee ciertos conocimientos, y los nuevos deberán construirse a partir de los anteriores. No se trata simplemente de una acumulación, si no de que los nuevos saberes deberán producir una reestructuración de los anteriores para poder ser integrados. En el cerebro humano existen siempre algunos modelos implícitos. Estos modelos o representaciones pueden convertirse en obstáculos o ayudar a la construcción de futuros conocimientos. “Hacer matemática” puede favorecer la reestructuración de estos modelos al incorporar los nuevos conocimientos, ya que los 1. Adrián Paenza, “Matemática….¿Estás ahí?”, Buenos Aires, Siglo XXI, 2005

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saberes anteriores son confrontados por el propio alumno con los resultados obtenidos en las sucesivas pruebas, y sus conclusiones deberán encajar en el marco teórico que manejaba previamente.

Este tipo de actividades fomenta el desarrollo del pensamiento científico para conseguir un aprendizaje constructivo y significativo. A su vez, es imprescindible introducir el uso de distintos software que la tecnología pone hoy a nuestro alcance: ya en el siglo XXI, con la computación difundida en todos los ámbitos laborales y profesionales, los docentes debemos diseñar estrategias tendientes a incorporar gradualmente el uso de nuevas tecnologías en nuestra área para consolidar una comunidad docente comprometida con la aplicación de la informática. En este trabajo, proponemos la utilización del programa Excel del paquete Microsoft. Una misma actividad puede realizarse en dos o tres programas distintos para luego comparar los resultados y elegir el más adecuado en cada caso.

Dentro de los objetivos que nos planteamos para nuestros cursos, pretendemos que los estudiantes tengan un manejo integral de la matemática, que se apoyen en la tecnología y que desarrollen la capacidad de transferir conocimientos en diferentes registros: gráfico, algebraico, numérico, etc. Este propósito no puede ser objetivo de una sola asignatura, sino el resultado de la interacción de todas las materias que un estudiante curse a lo largo de su carrera. De este modo, se propicia una mayor significatividad psicológica, se induce el acercamiento a niveles de abstracción más poderosos, generales y que facilitan la comunicación interdisciplinaria y el aprendizaje significativo. Nos interesa que el alumno explore, sea creativo y habilidoso en la resolución de problemas.

4. DESARROLLO DEL PROYECTO ••• El presente proyecto trata de una actividad en el aula, diseñada para los alumnos de tercer año de la Escuela Superior de Comercio “Carlos Pellegrini”. Dicha escuela no tiene los mismos programas de estudio que las demás escuelas secundarias de la Capital Federal, pero el tema elegido en nuestra propuesta corresponde al programa de tercer año de Capital Federal, y al primer año Polimodal

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en la Provincia de Buenos Aires. En tercer año, el programa de matemática (que se detalla en el Anexo I) incluye algunos temas algebraicos que resultan arduos, áridos, abstractos y trabajosos para los adolescentes, como por ejemplo la definición analítica de polinomios, el factoreo, las expresiones algebraicas, las ecuaciones algebraicas, las ecuaciones irracionales, etc.

La actividad que desarrollaremos surge con la idea de incorporar la computación a la investigación de regularidades en las gráficas de funciones (en este caso específico para las funciones polinómicas), ya que se pueden realizar gráficos mediante el programa Excel, sin necesidad de un software específico de matemática. Para este planteo tuvimos en cuenta que el nivel socioeconómico de los alumnos en nuestra escuela es predominantemente de clase media. La mayoría de ellos cuenta con computadoras en sus casas (con el paquete de Microsoft Office que contiene el aplicativo Excel), o bien pueden tener acceso a ella en un “cíber” de los tantos que hay hoy en día en la ciudad de Buenos Aires. Además, la escuela cuenta con un Departamento de Informática, donde pueden realizar sus trabajos.

La idea de incorporar la computación como parte de las nuevas tecnologías al desarrollo de ciertos temas nos parece imprescindible en el siglo XXI. Además de resultar en actividades más atractivas para los alumnos (simplemente por la forma novedosa de realizar la tarea matemática), nos parece que la computación está ya inserta de forma indiscutible en casi cualquier actividad profesional o laboral que se desarrolle. Por ello, no podemos mantener la escuela fuera de la realidad: la incorporación de nuevas tecnologías como herramienta y recurso didáctico debería ser una tendencia creciente en las escuelas que cuenten con la posibilidad de hacerlo.

Este trabajo fue llevado a cabo en distintas etapas, y en todas ellas hemos conseguido el aporte de colegas, alumnos y autoridades escolares, que nos han servido para retroalimentar el proyecto, a fin de ir ampliándolo y mejorándolo. Estas mejoras todavía están en proceso, de modo que en años sucesivos se irán implementando novedades y agregados como resultado de las repercusiones que se obtengan por parte de los alumnos y de otros docentes en cada una de las implementaciones sucesivas.

En una primera etapa, la idea surge como posibilidad de aplicación de la computadora en su función de realizar cálculos y gráficas complejas para los alumnos, que pueden resolverse de manera sencilla utilizando un programa básico del Microsoft Office. En nuestras primeras charlas sobre el tema, a mediados del año

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2006, y luego de un intercambio de ideas y reflexiones sobre el asunto, nos pareció oportuno el uso de gráficos (generados por tablas de datos) mediante el aplicativo Excel. Para el caso particular de las funciones polinómicas (que son las primeras funciones que se estudian en tercer año), nos pareció interesante plantear a los alumnos el análisis de una serie de gráficos, para que evalúen la incidencia de la multiplicidad de las raíces de una función polinómica en el gráfico de la misma.

Nuestra expectativa consistía en que los alumnos dedujeran que una multiplicidad impar se representa gráficamente con una curva que corta el eje de las abscisas, mientras que una multiplicidad par genera un “rebote” de la gráfica. Plantear un trabajo práctico con estas características nos llevó en principio a evaluar distintos casos de funciones polinómicas que pudieran graficarse en un intervalo pequeño, que tuvieran distintas raíces con distintas multiplicidades y que la gráfica resultara lo suficientemente clara como para que los alumnos vieran la forma que toma la curva alrededor de las raíces sin “empastarse” con el eje de abscisas. Resultó un trabajo de ensayo y error, de pruebas con gráficas que nos parecía que podían funcionar para nuestro objetivo y otras que no servían y debían ser descartadas.

Por el momento del año en que decidimos abocarnos a formalizar este proyecto en el aula, no pudimos implementarlo en el mismo ciclo lectivo en el que fue concebido, ya que los temas tratados en él ya habían sido desarrollados en las clases transcurridas.

Afortunadamente, en febrero del año 2007 la Escuela Superior de Comercio “Carlos Pellegrini” realizó unas Jornadas de Socialización e Intercambio de Experiencias. En esas jornadas, los docentes de las distintas asignaturas podían difundir sus experiencias innovadoras y discutirlas con otros docentes de la misma materia o de áreas afines.

Resultó para nosotras una excelente oportunidad para exponer nuestro trabajo.

En dichas jornadas presentamos un póster (que adjuntamos en el Anexo II) con el proyecto que nos habíamos propuesto implementar a partir del año 2007 para los alumnos de los cursos de tercer año. En la exposición se planteó la siguiente idea: en un trabajo práctico que los alumnos realizarían en forma individual, se les pediría factorear una serie de polinomios (elegidos expresamente por cumplir con las características de claridad y sencillez antes descriptas) y graficarlos mediante la aplicación del programa Excel. A continuación, mediante una serie de actividades guiadas, pretendíamos que identificaran la incidencia de la multiplicidad de las raíces en el gráfico de la función polinómica. Las conclusiones obtenidas serían discutidas en clase y se realizaría una puesta en común para formalizar los resultados. Consideramos que esta modalidad de tra-

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bajo resultaría motivadora por la incorporación de la computadora como herramienta, el trabajo en grupo, la discusión posterior de ideas y el debate.

Luego de exponer nuestro proyecto, que pensábamos implementar en el inicio del año lectivo 2007, se produjo un intercambio de comentarios con los demás docentes que estaban presentes –en general docentes de matemática y asignaturas afines: física, química, computación–. Las docentes de química nos realizaron una devolución muy interesante, nos comentaron que veían en los alumnos de tercero, cuarto y quinto año cierta dificultad en el análisis de gráficas de funciones relacionadas con procesos o modelizaciones químicas, y particularmente nos comentaron que en muchos casos no interpretaban correctamente el significado de las raíces de la función descriptiva de un determinado proceso. Por eso, veían a nuestro proyecto como una alternativa interesante para subsanar esta problemática.

En el caso de los profesores de computación, su aporte fue muy significativo: nos comentaron que en la asignatura Informática, que se dicta en segundo año, los alumnos aprenden a manejar los programas Word y Excel del paquete de Microsoft Office. De este modo, una aplicación concreta para un trabajo escolar en tercer año resultaría una excelente aplicación de lo aprendido el año anterior. Además de esto, nos facilitaba la diagramación del instructivo para el trabajo práctico, ya que no deberíamos preocuparnos por dejar explicitadas demasiadas instrucciones para el manejo de tablas de datos y gráficas asociadas en el Excel. Además, nos invitaron a realizar cualquier actividad que necesitáramos en el gabinete de computación de la asignatura y nos ofrecieron su colaboración para el desarrollo de cualquier tema referido a la parte computacional que quisiéramos consultar.

Los demás docentes de matemática que escucharon nuestra propuesta nos apoyaron ampliamente: todos coincidieron en que este tipo de trabajo tiende a mostrar la matemática de una manera más cercana al alumno, haciéndolo formar parte del proceso. Encontrar regularidades y patrones forma parte del trabajo de cualquier matemático. En este caso, los alumnos deben encontrar regularidades mediante un trabajo guiado por el docente, pero efectuando un proceso que realiza cualquier investigador relacionado con la matemática. Además, todos coincidieron en que el empleo de la computación debería ser mucho más amplio que el que existe en este momento, por lo que cualquier incorporación de la computadora en los trabajos de los alumnos sería bienvenida.

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Con el aliciente y el apoyo recibidos en estas Jornadas, decidimos que en el año 2007 diseñaríamos un plan de trabajo y una guía de estudios para que los alumnos desarrollaran esta actividad, como prueba piloto. Obviamente, en función de los resultados obtenidos y las dificultades y aciertos encontrados, rediseñaríamos la actividad y ampliaríamos la metodología para otras funciones estudiadas en tercer año, a fin de optimizar el trabajo.

Sin embargo, el año 2007 fue muy problemático para la Escuela Superior de Comercio “Carlos Pellegrini”: hubo numerosas amenazas de bombas, paros docentes por reclamos salariales y gremiales, el colegio estuvo tomado durante meses por los alumnos debido al cambio de rector y el cuestionamiento a las nuevas autoridades. Se perdieron muchas clases, y los tiempos no nos permitieron implementar el trabajo como esperábamos. En esta segunda etapa de concreción de la idea, y debido a las dificultades en cuanto a los tiempos y los días de clase, no hubo posibilidad de que los alumnos armaran por sí mismos las gráficas a fin de trabajar en pequeños grupos para elaborar conclusiones y establecer luego en la clase una puesta en común. A fin de implementar nuestro proyecto de manera parcial, se decidió presentar en dos de los cursos de tercer año de la escuela las gráficas de funciones polinómicas realizadas en Excel en un afiche. La mera introducción de esta herramienta generó curiosidad y buena predisposición de los alumnos, quienes participaron en forma entusiasta y comprometida. Se les pidió que observaran los gráficos planteados y que analizaran el comportamiento de las funciones alrededor de las raíces. Lo primero que expresaron fue que no todas las funciones se comportaban igual. Para guiarlos a la relación buscada se les pidió que definieran los conjuntos de ceros, positividad y negatividad. A través de este análisis, los alumnos pudieron advertir que en algunos casos la curva se mantenía en el mismo semiplano respecto del eje x, y que en otros casos cortaba al eje de abscisas. Se analizaron primero todos los casos en los que la curva “cortaba” al eje x y se anotaron las multiplicidades de las raíces que presentaban dicho comportamiento; luego se hizo lo mismo para los casos en los que la curva “rebotaba” en el eje. De manera espontánea, los alumnos establecieron la relación entre la multiplicidad de las raíces y el comportamiento de la gráfica de la función polinómica.

Con la experiencia del año anterior –y ya con menos conflictos en la escuela–, en el año 2008 se planteó la propuesta didáctica conforme a la idea original. Se entregó a los alumnos la siguiente guía de trabajo práctico (y su correspondiente anexo):

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Guía para los alumnos Dado los siguientes polinomios:

Se pide: 1) Factorear cada polinomio en función de sus raíces.

2) Graficar cada una de las funciones polinómicas asociadas a ellos utilizando el programa Excel, en el intervalo [–3 ; 3]. En caso de duda ver ayuda Anexo.

3) Analizar los conjuntos: C º, C – y C +.

4) En función de los conjuntos definidos en el punto 2), analizar cómo se comportan las funciones alrededor de sus raíces.

5) De acuerdo con lo observado, ¿qué incidencia tiene la multiplicidad de las raíces en los gráficos?

6) Redacte sus conclusiones.

Anexo Ayuda para la gráfica en Excel Para graficar los polinomios en Excel, utilizaremos gráficos de línea. Por lo

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tanto, en una columna se colocarán los valores de la variable x. Éstos deben tener un valor de entre -3 y 3, y se recomienda que sean con saltos de 0,1, por ejemplo

y luego se realizarán las operaciones correspondientes a fin de que las imágenes se vuelquen en otra columna.

Una vez que tenemos los valores de las imágenes, “pintar” dichos valores y realizar lo siguiente: • • • •

Insertar gráfico Elegir tipo Lineal, y elegir el primero de los subtipos.

Presionar el botón “Siguiente” En el Rango de datos, ubicar la solapa “Serie”. En el “Rótulo del eje de categorías (x)”, indicar la columna correspondiente a los valores de la variable x.

• Presionar el botón “Siguiente” • En la solapa Leyenda, desmarcar el ítem “Mostrar leyenda” • Presionar el botón “Siguiente” hasta llegar al botón “Finalizar” Una vez obtenido el gráfico, pueden adecuarse los colores, fondos, grosor de las líneas, títulos, tamaño, etc. según los procedimientos habituales para gráficos.

Los alumnos de los dos cursos de tercer año en los cuales se propuso este trabajo se dividieron en grupos que armaron ellos según su afinidad, y contaron con treinta días para trabajar sobre la guía de estudio y presentar sus conclusiones.

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En dicho período podían realizar cualquier tipo de consulta con el docente sobre las dificultades que se fueran presentando. Se acordó con los alumnos que se realizaría una defensa del trabajo por parte de cada grupo a fin de calificar el trabajo realizado, independientemente de que las conclusiones a las que arribaran fueran o no correctas. La idea de incluir una nota para el trabajo tenía que ver con el mayor compromiso que esto generaría en los alumnos. La charla individual del docente con cada grupo permitiría además identificar si todos los integrantes del grupo habían participado en el trabajo y con qué grado de compromiso y responsabilidad habían asumido la tarea. Otro objetivo de la charla con el docente sería ayudarlos a concretar, ampliar, justificar, generalizar o desechar las conclusiones obtenidas.

Finalmente, entre los dos cursos se formaron doce grupos. En el tiempo que tuvieron para cargar los datos, las expresiones de los polinomios y realizar sus gráficas en Excel, hubo solo una consulta técnica, que fue la de utilizar gráfico de dispersión en lugar del gráfico de línea propuesto. Durante este tiempo, en clase se trabajó el factoreo de polinomios en función de sus raíces, aplicando la regla de Gauss. Afianzado este concepto, los alumnos estaban en condiciones de factorear los polinomios propuestos en el trabajo práctico y realizar todo el análisis pedido. En esta etapa, las consultas estuvieron relacionadas fundamentalmente con la expresión verbal de sus conclusiones: no sabían “cómo escribir lo que veían”. Asimismo, muchos alumnos preguntaron si podían contestar las últimas tres preguntas en un solo ítem (preguntas referidas al análisis del comportamiento de las gráficas de las funciones en el entorno de las raíces, observación de la incidencia de la multiplicidad de las raíces, y redacción de las conclusiones). Se les dio la libertad de que las contestaran como les fuera más cómodo, ya que el objetivo era que se animaran a enunciar sus conclusiones. Finalmente, ocho de los doce grupos expresaron explícitamente cómo afectaba la multiplicidad de una raíz la representación gráfica de la función polinómica.

El coloquio consistió, en primer lugar, en que contaran su experiencia para preparar el trabajo, sus dificultades y su organización. En general, el denominador común fue que se repartieron los polinomios que debían factorear y en ningún caso tuvieron la precaución de controlar lo que el compañero resolvió. Esto generó que algunos polinomios del mismo trabajo sufrieran el “olvido” del coeficiente principal y otros no. Expresaron que su gran dificultad consistió en poder plasmar en el papel en forma concreta y clara lo que observaban, debido

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a que estaban acostumbrados a recibir, ya elaborados, los teoremas, axiomas, propiedades, etc. Al solicitársele que fueran ellos mismos quienes debían enunciar una proposición que representara lo que estaban descubriendo, esto les planteaba una dificultad extra. Nunca se habían chocado con la experiencia de proponer ellos “verdades matemáticas”; les sorprendía lo difícil que podía ser encontrar los términos apropiados para poder generalizar sus conclusiones.

A continuación, se trabajó en forma individual definiendo los conjuntos de ceros y la positividad y negatividad de distintos polinomios graficados en el trabajo, y de esta manera se analizó el comportamiento en los entornos de las raíces. Para complementar el análisis se les presentó un grupo de gráficas de funciones polinómicas (ver Anexo III), donde todas las funciones tenían las mismas raíces pero con distintas multiplicidades. La idea era que los alumnos, en función de las observaciones realizadas y las conclusiones obtenidas, pudieran indicar la expresión polinómica que caracterizaba a cada una de las funciones presentadas. La observación de estos gráficos ayudó fundamentalmente a los cuatro grupos que no habían arribado a la relación entre la multiplicidad de las raíces y su incidencia en el gráfico, y a los grupos que habían arribado a la relación les permitió visualizarlo con más ejemplos.

Finalizadas las entrevistas con todos los grupos, se expusieron en el aula los resultados obtenidos, y de este modo se generalizó y enunció la propiedad “descubierta”. Como validación de la propiedad obtenida no se realizó una demostración rigurosa y formal, ya que en la misma se utiliza una notación que excede el nivel en el que estamos trabajando. Sin embargo, esto se “demostró” verbalmente, utilizando los polinomios ya factoreados en función de sus raíces. Se analizó el signo del producto en función de los signos de sus factores, y claramente pudieron generalizar que en los casos de multiplicidad par dicho factor no afecta el signo del producto.

Se continuó el estudio de las funciones polinómicas con distintos tipos de ejercicios: en un caso, partiendo de la expresión del polinomio se realizaron las gráficas, y en otro caso, partiendo de las gráficas se definieron las funciones polinómicas que se ajustaban a ellas. Los alumnos trabajaron con gran soltura y desenvolvimiento en estas nuevas propuestas.

Vale destacar que, al leer las conclusiones (algunas de ellas se pueden ver en

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el Anexo IV), surgieron otros temas para trabajar. Por ejemplo: en uno de los trabajos sus autores expresaron: “Si el coeficiente principal es negativo, las ramas se inclinarán hacia abajo”. Esta afirmación la conocían de segundo año para la función cuadrática. En este caso quisieron generalizarla para cualquier polinomio. Esto nos permitió debatir si era verdaderamente una propiedad de todo polinomio. Luego de proponer distintos ejemplos vieron que esto no se cumplía siempre (por ejemplo f (x) = –x3). A partir de esto, trabajamos el concepto de que solo algunos ejemplos no nos alcanzan para asegurar verdades matemáticas, y muchas veces no tomar en cuenta esto nos lleva a considerar como propiedad general alguna característica de cierta cantidad de casos. Con este análisis, los alumnos pudieron reafirmar el concepto de que los teoremas y propiedades se deben demostrar para ser consideradas verdades, mientras que para refutar una proposición alcanza con proponer un contraejemplo.

Por otro lado, los dos últimos polinomios P8 y P9 presentaban la dificultad de que sus gráficos realizados con Excel no permitían ver claramente el comportamiento de las funciones: en esos casos, resulta fundamental la importancia de la parte analítica. En el momento del coloquio, se les mostró a los alumnos las gráficas de estos polinomios realizadas con otro software: el Mathematica. (ver Anexo V). La intención con estos gráficos fue la de mostrarles que no siempre el Excel alcanza para graficar las distintas funciones matemáticas, y que hay otros programas específicos como el Matlab o el Mathematica que ayudan a realizar gráficas u otras operatorias matemáticas con mayor eficiencia.

Con la experiencia recabada en esta primera bajada al aula de la guía de trabajo propuesta, hemos decidido plantear ciertas mejoras para el año que viene. En principio, se incorporarán a la guía los gráficos utilizados en el coloquio para brindarle a los alumnos otro enfoque de la misma propiedad que esperamos encuentren.

Por otro lado, se vio una gran dificultad en las preguntas referidas al análisis de los gráficos para la obtención de ciertas reglas y la redacción de estas conclusiones (específicamente las preguntas Nº 4, Nº 5 y Nº 6 de la guía de trabajo confeccionada para los alumnos). Para los alumnos, redactar una sola respuesta para las tres consignas resultó más accesible. Para el próximo año se unificarán las tres preguntas a fin de facilitar el trabajo de la observación y redacción de las conclusiones, que es la parte más innovadora para los alumnos. No queremos que una cuestión de forma limite la creatividad y libertad en las respuestas.

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5. CONCLUSIONES ••• En virtud de la experiencia adquirida en nuestros años de trabajo en el aula, llegamos a la conclusión de que cada profesor debe reflexionar sobre el quehacer educativo y la propia práctica docente, y llevar a cabo una evaluación al respecto. Aunque muchos problemas sean externos y no tengamos posibilidad de solucionarlos (situación socioeconómica del país, que afecta a docentes y alumnos; falta de infraestructura en los laboratorios informáticos; problemas políticos en la Universidad de Buenos Aires que afectan a nuestra escuela, etc.), no debemos cruzarnos de brazos, y tenemos que plantearnos qué podemos cambiar en el aula para mejorar la calidad de la enseñanza, para promover el pensamiento autónomo y la capacidad creadora. Uno de los aspectos que con seguridad podemos mejorar son nuestras metodologías y la aplicación de recursos didácticos que generen un cambio favorable en la calidad de la enseñanza. Con este objetivo, los docentes debemos hacer una autocrítica permanente, que nos guíe hacia el mejoramiento de nuestras clases y, con ello, de la enseñanza en todos los niveles. Debemos tener en cuenta que los profesores no deben concebirse como profesionales de la repetición monótona y rutinaria de conocimientos ya sabidos, sino como corresponsables del crecimiento personal de sus alumnos. El feedback entre docentes y alumnos favorece tanto la evolución personal del alumno que aprende como la del profesor que enseña.

En definitiva, los docentes debemos revisar constantemente nuestras metodologías y reflexionar sobre nuestra tarea, intercambiar experiencias con otros educadores, realizar cursos de capacitación docente y efectuar todas las actividades posibles tendientes a mejorar la calidad de la enseñanza, nuestras herramientas didácticas y nuestra relación con los alumnos. En este sentido, la metodología de enseñanza de una asignatura no debe ser tan rígida como para no adaptarse a los cambios o mejoras que haya que realizar para elevar la calidad de la enseñanza.

Con el objetivo de tratar de mejorar nuestras clases, hemos planteado una propuesta didáctica que nos permita acercar a los alumnos a ciertos temas que resultan áridos y aburridos. A través del uso de la computadora y mediante la observación de las gráficas realizadas por los propios alumnos, hemos querido

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que comiencen a “hacer matemática”: a entender un poco la tarea científica, a observar, a interpretar, a identificar patrones, a proponer explicaciones, a poder expresar esas explicaciones mediante conclusiones que deben ser defendidas ante sus compañeros y la docente mediante argumentos válidos y convincentes.

Por las charlas que hemos tenido con los alumnos luego de la propuesta planteada en este trabajo, creemos que estamos acercándonos al objetivo propuesto. …. nosotros, quienes tendríamos que tener la obligación de comunicar adecuadamente la matemática, estamos en una situación de deudores permanentes, porque no logramos el objetivo: mostrar la belleza que tiene. Créanme: no son los alumnos ni los padres.

Somos nosotros, los docentes.

Adrián Paenza

6. DESIDERÁTUM ••• La incorporación de las nuevas tecnologías dentro de la escuela debe ser un compromiso de todos los docentes, en tanto los factores socioeconómicos lo permitan: sabemos que en la República Argentina no todos los establecimientos escolares cuentan con la misma infraestructura computacional, y en muchos casos la población escolar necesita cubrir necesidades básicas (alimentación, atención sanitaria, vestimenta, gas, electricidad, agua corriente, etc.) que relegan la computación a un segundo (o último) plano.

Teniendo en cuenta estas limitaciones, en los casos en que sea posible, consideramos que la computación es una excelente herramienta para la enseñanza de la matemática. En general, los adolescentes utilizan la computadora para navegar en Internet, chatear o jugar. El uso como herramienta útil en la escuela suele limitarse a la función de “máquina de escribir” y a la búsqueda de información en Internet sobre los temas escolares. Queremos con nuestra propuesta brindarles a los alumnos otra manera de aprovechar este recurso tecnológico.

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Con este criterio, esperamos ampliar esta modalidad de trabajo en otros temas del programa de tercer año de la Escuela Superior de Comercio “Carlos Pellegrini” (Anexo I). Estas son algunas de las nuevas propuestas: • Para el caso del estudio de funciones trigonométricas: evaluar cómo afecta la variación de los parámetros sobre el período y la amplitud de la curva gráfica. Por ejemplo: comparar las gráficas de las funciones: f (x) = sen x con g (x) = sen (2x) y con h (x) = sen

o bien:

f (x) = sen x con g (x) = 3sen x y con h (x) = –3sen x.

• La aproximación de funciones trigonométricas ( f (x) = sen x o f (x) = cos x) mediante funciones polinómicas de distintos grados (según el desarrollo en serie de Taylor) en un entrono de un punto (eventualmente 0). Esta actividad permitiría a los alumnos entender el modo en que las calculadoras científicas obtienen los valores de las funciones trigonométricas, logarítmicas, etc., y con ello la importancia de las funciones polinómicas no solo en la matemática sino también en otras áreas de la ciencia.

Este tipo de aplicaciones podría también utilizarse en otros años: • En segundo año, cuando comienzan con el estudio de funciones, apoyarse en las gráficas realizadas en Excel permitiría a los alumnos visualizar cómo afecta a la gráfica de una función lineal la modificación de la pendiente o de la ordenada al origen; o bien la variación del coeficiente principal en el gráfico de una función cuadrática; o los desplazamientos sobre los ejes de la gráfica de la función básica cuando se suman constantes a las variables.

En los sistemas de ecuaciones lineales, las gráficas ayudarán a identificar claramente los casos de rectas paralelas no coincidentes (sistema compatible indeterminado) o rectas coincidentes (sistema incompatible).

• En cuarto año se estudian las funciones logarítmicas y exponenciales: se podría utilizar el análisis de la gráfica de una función exponencial cuando la variable independiente está multiplicada por un número positivo o un número negativo, la diferencia en las gráficas de las funciones logarítmicas de base mayor o menor que uno, los desplazamientos de la función básica en el eje x o en el eje y.

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• En quinto año ya se inicia el estudio básico del análisis matemático: aquí las gráficas ayudarían a corroborar el análisis realizado para límites, derivadas y estudio de funciones.

En todos los casos, pueden diseñarse actividades que involucren la computación y las gráficas en Excel. Mediante este software se realizan las gráficas en forma rápida, pueden variarse distintos parámetros para efectuar comparaciones, pueden realizarse superposiciones de gráficos, etc. Todas estas prácticas serían muy arduas y complicadas de realizar a mano, lo que no permitiría un manejo de una cantidad suficiente de casos a fin de que los alumnos puedan comparar, encontrar patrones y extraer conclusiones. La idea sería ampliar el uso de esta metodología a nuevas situaciones didácticas.

7. ANEXO I ••• PROGRAMA DE MATEMÁTICA AÑO 3º - CICLO ESCOLAR 2007 UNIDAD 1. Polinomios Función polinómica. Definición. Grado. Polinomios.

Polinomio completo, ordenado, nulo. Igualdad entre polinomios.

Operaciones entre polinomios: adición, sustracción, multiplicación (casos particulares), división.

Caso particular de la división: divisor de la forma x + a. Regla de Ruffini.

Propiedad del resto.

Raíces de un polinomio. Factorización de un polinomio. Teorema de Gauss.

Divisor común de mayor grado y múltiplo común de menor grado de dos o más polinomios.

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UNIDAD 2. Expresiones algebraicas racionales Expresiones algebraicas racionales. Simplificación de expresiones algebraicas racionales. Condición de posibilidad.

Operaciones entre expresiones algebraicas racionales: adición, sustracción, multiplicación, división.

UNIDAD 3. Ecuaciones polinómicas - Sistemas Ecuación general de segundo grado con una incógnita. Deducción de la fórmula de resolución general. Naturaleza de las raíces. Propiedades de las raíces de la ecuación reducida. Reconstrucción de ecuaciones de segundo grado. Ecuaciones racionales e irracionales. Dominio de definición. Ecuaciones bicuadradas.

Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas del tipo: a)

b)

Representación gráfica de los sistemas.

Problemas de aplicación.

UNIDAD 4. Trigonometría Razones trigonométricas: relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo referidas a un ángulo agudo. Razones directas y recíprocas. Uso de calculadora. Resolución de triángulos rectángulos (casos clásicos).

Teorema del seno (enunciado y demostración). Teorema del coseno (enunciado).

Problemas de aplicación.

Medición de ángulos. Sistemas sexagesimal y circular.

Generalización de las razones trigonométricas al plano cartesiano.

Circunferencia trigonométrica.

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Valores del seno, coseno y tangente de ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 270º, 360º.

Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Estudio y gráfico.

Reducción al primer cuadrante. Relaciones entre las funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, que difieren en π, que difieren en π/2 y opuestos.

Identidades y ecuaciones. Dominio de definición.

Funciones inversas.

Aplicación: sen (α + β); cos (α + β).

Bibliografía del programa Carione y otros, Matemática 3, Buenos Aires, Santillana.

Carnelli y Lamella, Matemática M2, Buenos Aires, Editorial Tinta Fresca.

De Simone y Turner, Matemática 4, Buenos Aires, Editorial AZ. De Simone y Turner, Matemática 5, Buenos Aires, Editorial AZ. Etchegoyen y otros, Matemática 1, Buenos Aires, Editorial Kapelusz.

Kaczor y otros, Matemática I, Buenos Aires, Editorial Santillana.

Seveso y otros, Matemática 9, Buenos Aires, Editorial Kapelusz.

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8. ANEXO II •••

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Raíz con multiplicidad

Propuesta en el Aula

Otras Propuestas

Par

Impar

“rebota” en el eje x

corta al eje x

• Análisis de la posibilidad y negatividad de la función en el entorno de cada raíz.

• Debate de la incidencia de la multiplicidad con relación al ítem anterior.

• Puesta en común y conclusiones.

• Análisis de funciones trigonométricas: período, frecuencia, amplitud (por ej. comparando las funciones Sen(x), Sen(2x), Sen(1/2x), 2 Sen(x), -2 Sen(x), etc.

• Resolución de sistema de ecuaciones mediante el método gráfico: ecuaciones lineales y cuadráticas, o polinómicas de grado mayor que 2.

• Aproximación de funciones trigonométricas mediante funciones polinómicas (desarrollo en serie de Taylor).

9. ANEXO III ••• Gráficas de funciones polinómicas con iguales raíces (x = –3, x = –1, x = 2) y distinta multiplicidad. Estas gráficas se presentaron a los alumnos en el coloquio efectuado con la docente, posterior a la entrega del trabajo.

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10. ANEXO IV •••

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11. ANEXO V •••

Gráfica con Excel

Gráfica con Mathematica

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Grรกfica con Excel

Grรกfica con Mathematica

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