Muestreo. Inferencia estadística. Test de hipótesis
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M MU UE ES ST TR RE EO O.. IIN NF FE ER RE EN NC CIIA AE ES ST TA AD DÍÍS ST TIIC CA A.. T TE ES ST TD DE EH HIIP PÓ ÓT TE ES SIIS S CONVOCATORIA
JUNIO - ORDINARIA
Opciones
Fase General
EXTRAORDINARIA
Fase Específica
Fase General
Fase Específica
2009 – 2010
A: NO
B: SÍ
A: SÍ
B: SÍ
A: NO
B: SÍ
A: NO
B: SÍ
2010 - 2011
A: SÍ
B: SÍ
A: NO
B: SÍ
A: NO
B: SÍ
A: SÍ
B: SÍ
(*) Algunas preguntas irán acompañadas de un asterisco. Son cuestiones propuestas por los autores, no incluidas en las pruebas PAU, con el objetivo de complementar los objetivos curriculares del tema y completar con cuestiones muy parecidas a las de otras convocatorias. 01.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase GENERAL – OPCIÓN B – junio 2010
En las pasadas elecciones el porcentaje de participación fue del 75%. Después de emitir un spot para fomentar la participación en las próximas elecciones, se realiza una encuesta seleccionando al azar a 3025 personas del censo electoral, de las cuales 2541 dicen que irán a votar y el resto responden que no lo harán. (a) Plantea un test para contrastar que el spot no ha surtido el efecto esperado, frente a la alternativa de que sí lo ha hecho, tal como parecen indicar los datos. (b) ¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior a un nivel de significación del 4%? (c)* Calcula un intervalo de confianza del 96% para la proporción de participación en las próximas elecciones. Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(11.43) = 1, F(2.05) = 0.98, F(1.75) = 0.96, F(0.96) = 0.83, F(0.04) = 0.52. RESOLUCIÓN apartado (a)
Los datos proporcionados por el problema son: Población: p = 0.75 ; q = 0.25 2541 Muestra: n = 3025 ; pˆ = = 0.84 ; 3025
qˆ = 0.16
1º PASO
Planteamos las hipótesis:
H0: Hipótesis nula. H1: Hipótesis alternativa, complementa la hipótesis nula. H0: p ≤ 0.75 → El spot NO fomenta la participación en las próximas elecciones. H1: p > 0.75 → El spot SÍ fomenta la participación en las próximas elecciones. Siendo “p“ la proporción de participación en las próximas elecciones. RESOLUCIÓN apartado (b)
2º PASO
El nivel de significación que nos determina el enunciado es del 4% → α = 0.04 El nivel de confianza es del 96% → 1 – α = 0.96 3º PASO
Las hipótesis así definidas suponen plantear una prueba de...
Del aula a la PAU
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Contraste de hipótesis unilateral. Para α = 0.04 (1 – α = 0.96), según vemos en el enunciado (F(zα) = 0.96), le corresponde un valor crítico de zα = 1.75 La hipótesis alternativa nos indica la dirección del contraste, es decir, la región de rechazo de la hipótesis nula:
La región crítica o de rechazo será (1.75, + ∞) 4º PASO
Recordemos que los datos proporcionados por el problema son: 2541 = 0.84 ; qˆ = 0.16 3025 La distribución muestral de proporciones, para muestras de tamaño muestral mayor que 30, sigue una distribución normal de parámetros:
Población: p = 0.75 , q = 0.25
;
Muestra: n = 3025 ; pˆ =
p · q pˆ → N p, n 0.75 · 0.25 N 0.75, 3025
N(0.75, 0.0079) 5º PASO
Como no se trata de una N(0, 1), el valor del estadístico del contraste lo obtenemos tipificando la variable... pˆ − p Z= → N(0, 1) p⋅q n 0.84 - 0.75 Z= = 11.4315 0.0079 6º PASO
Nuestro estadístico (Z = 11.4315) cae dentro de la región de rechazo por lo que rechazamos la hipótesis nula y, a un nivel de significación del 4%, defenderemos que el spot sí ha surtido efecto y ha subido el porcentaje de los posibles votantes.
Muestreo. Inferencia estadística. Test de hipótesis
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RESOLUCIÓN apartado (c)*
Calcula un intervalo de confianza del 96% para la proporción de participación en las próximas elecciones.
1 – α = 0.96 0.96/2 = 0.48
El motivo por el que se examina el área 0.98 es porque la superficie buscada, la dada en las tablas para el valor crítico zα/2 , es 0.50 + 0.48 = 0.98 F(zα/2) = 0.98
Se miran los datos dados en el enunciado y vemos que... zα/2 = 2.05 El intervalo de confianza IC al 96% para el estadístico Z viene dado por – zα/2 ≤
– zα/2 ·
p⋅q n
≤ zα/2
p⋅q ≤ pˆ – p ≤ zα/2 · n
p⋅q n
p⋅q ≤ – p ≤ – pˆ + zα/2 · n
– pˆ – zα/2 ·
pˆ + zα/2 ·
pˆ – zα/2 0.84 – 2.05 ·
pˆ − p
p⋅q ≥ p ≥ pˆ – zα/2 · n
p⋅q ≤ p ≤ pˆ + zα/2 n
p⋅q n p⋅q n
p⋅q n
0.75 ⋅ 0.25 ≤ p ≤ 0.84 + 2.05 · 3025
0.82386 ≤ p ≤ 0.85614 IC(p) = [0.82386, 0.85614]
0.75 ⋅ 0.25 3025
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Del aula a la PAU
El intervalo de confianza al 96% para la proporción de participación en las próximas elecciones es [0.82386, 0.85614] Dicho de otra forma, hay una probabilidad del 96% de que la proporción de participación en las próximas elecciones se encuentre dentro del intervalo [0.82386, 0.85614] Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial: (a) Plantear las hipótesis, 0.75 puntos. (b) 1.75 puntos.
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