La programación lineal
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L LA AP PR RO OG GR RA AM MA AC CIIÓ ÓN NL LIIN NE EA AL L 1.– PAU – Universidades de Andalucía – Fase General – Opción A – Ordinaria 2010
Sea el recinto definido por las inecuaciones siguientes: x + y ≤ 15 ; x ≤ 2y ; 0 ≤ y ≤ 6 ; x ≥ 0 (a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto. (b) (1 punto) Calcule sus vértices. (c) (0.5 puntos) Determine el máximo valor de la función F(x, y) = 8x + 5y en el recinto anterior y dónde se alcanza. RESOLUCIÓN apartado (a) CONJUNTO DE RESTRICCIONES
x + y ≤ 15 x ≤ 2y 0≤y≤6 x ≥ 0 ; y ≥ 0∗ ∗ (∗) Restricción ya incluida en el contexto del problema LA REGIÓN FACTIBLE
x + y = 15
x = 2y
x y x y 0 15 0 0 15 0 6 3 En la PAU tendremos que ir realizando la actividad con lápiz y papel, en un solo dibujo, aunque en el aula podremos utilizar herramientas auxiliares como lo puede ser una calculadora gráfica, en nuestro caso, la CG – 20 de CASIO. Para una mejor comprensión por parte del alumnado, vamos a mostrar, de forma pautada, las imágenes de cómo se va obteniendo la región factible en cada momento. (a) Cada una de las funciones serán representadas en trazo grueso. (b) Dibujaremos su correspondiente semiplano determinado por la inecuación, fácilmente visible en forma de sombreado. (c) En cada momento, a la derecha, figura el nombre de la inecuación y la comprobación para, tomado un punto al azar de uno de los semiplanos, comprobar si verifica dicha inecuación. (d) En los sucesivos “fotogramas” irán apareciendo las nuevas inecuaciones, los semiplanos y la intersección de todos los que hasta ese momento han sido estudiados. Veamos, a continuación, todo el proceso descrito: x + y ≤ 15 Punto (0, 0) 0 + 0 ≤ 15 SÍ se verifica (0, 0) ∈ región factible
Del aula a la PAU
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x ≤ 2y (0, 4) 0≤8 SÍ se verifica (0, 4) ∈ región factible
y≤6 Punto (0, 2) 2≤6 SÍ se verifica (0, 2) ∈ región factible
0≤y Todos los valores del primero y segundo cuadrantes x≥0 Todos los valores del primero y cuarto cuadrantes La solución está representada por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible (sombreada). RESOLUCIÓN apartado (b)
CÁLCULO DE VÉRTICES
A(0, 0) Visualización directa en la gráfica, con la ayuda de la tabla de valores. A(0, 0) B(0, y) Visualización directa en la gráfica, con la ayuda de la tabla de valores. B(0, 6) C(x, 6) Resolvemos el sistema. x + y = 15 → x + 6 = 15 → x = 9 y=6
C(9, 6) D(x, y) Resolvemos el sistema. x + y = 15 → 2y + y = 15 → 3y = 15 → y = 5 x = 2y
La programación lineal
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x = 2y → x = 10 D(10, 5) RESOLUCIÓN apartado (c) LOCALIZACIÓN DE SOLUCIONES
Teorema fundamental de la programación lineal: Como la región factible existe y está acotada, el valor máximo o mínimo absoluto de la función se alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados. ANÁLISIS DE ÓPTIMOS
Vértices
Función objetivo → F(x, y) = 8x + 5y Aplicamos el TEOREMA mencionado: F(x, y) = 8x + 5y Valor
A(0, 0)
8·0 + 5·0 =
0
B(0, 6)
8·0 + 5·6 =
30
C(9, 6)
8·9 + 5·6 =
102
D(10, 5)
8·10 + 5·5 =
105
El valor máximo de la función se encontrará en el punto D(10, 5), donde alcanza un valor de 105 unidades.
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