Funciones. Continuidad. Derivadas. Aplicaciones
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F Fu un ncciio on neess.. L Líím miitteess d dee ffu un ncciio on neess.. C Co on nttiin nu uiid daad d.. D Deerriivvaad daass.. A Ap plliiccaacciio on neess 02.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – junio 2010
Si f(x) representa el coste medio (en €) por kg de alimento preparado en una determinada empresa para una jornada en la que se han producido “x” kg de alimento, se tiene que: 9 f(x) = 2 + x + ; x>0 x (a) Dibuja la gráfica de la función. ¿Aumenta alguna vez el coste medio? ¿Cuál debe ser la cantidad de producto que se debe preparar en una jornada para minimizar el coste medio por kg de alimento? (b) Será necesario un reajuste del proceso si no es posible conseguir un coste medio menor de 10€. ¿Se necesita reajustar el proceso? RESOLUCIÓN apartado (a) MÉTODO: RESOLUCIÓN MEDIANTE EL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES A TRAVÉS DE DERIVADAS
x ≡ "Número de kg de alimento producido" f(x) ≡ "Coste medio, en euros, por kg de alimento" En este tipo de ejercicios es aconsejable realizar previamente un pequeño estudio antes de pasar a dibujar la gráfica. Procedamos a estudiar el crecimiento de la función f(x). Para ello estudiaremos su derivada primera: Función estrictamente creciente → f '(x) > 0 Función estrictamente decreciente → f ‘(x) < 0 f(x) = 2 + x +
9 x
x>0
f ‘(x) = 1 –
f ‘(x) =
9 x2
x2 − 9
x2 Factorizamos el numerador:
f ‘(x) =
( x + 3)( x − 3) x2
Al ser el denominador siempre positivo (x2), estudiamos el signo del numerador en cada uno de estos 3 intervalos que determinan los dos valores que hacen cero dicho numerador: -·-
+ Creciente
+·+
+·-3
decreciente
3
+ℜ Creciente
Con este estudio realizado del crecimiento de la función y con la ayuda de una pequeña tabla de valores, ya podemos hacer un esbozo de la gráfica en ese intervalo de kilogramos de alimento.
Del aula a la PAU
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f(x) = 2 + x + x 0.1 1 2 3 4 5
9 x
y 92.1 12 8.5 8 8.25 8.8
También podemos utilizar la ayuda de una calculadora científica de la gama 570 ES de CASIO, con capacidad para generar rápidamente tablas de valores:
Ahora ya estamos en disposición de realizar un esbozo de la gráfica. En el examen de PAU de Asturias lo realizaremos a mano, con el método denominado “lápiz y papel”, aunque en el aula podríamos y deberíamos utilizar una calculadora gráfica como herramienta auxiliar.
¿Aumenta alguna vez el coste medio?
Tras el estudio realizado con ayuda de las derivadas y el esbozo de la gráfica (x > 0), podemos afirmar que el coste medio aumenta (crece) a partir de los 3 kg de alimento. ¿Cuál debe ser la cantidad de producto que se debe preparar en una jornada para minimizar el coste medio por kg de alimento?
Tras el estudio realizado con ayuda de las derivadas podemos determinar que la cantidad de producto que se debe preparar en una jornada para minimizar el coste medio por kg de alimento es de 3 kg. RESOLUCIÓN apartado (b)
Será necesario un reajuste del proceso si no es posible conseguir un coste medio menor de 10€. ¿Se necesita reajustar el proceso?
Veamos cuándo el coste medio es mayor de 10 € 9 2+x+ > 10 x Como x > 0 podemos simplificar la inecuación de la siguiente manera: 2x + x2 + 9 > 10x x2 – 8x + 9 > 0 x=
x1 ≅ 1.354
,
8 ± 8 2 − 36 8 ± 28 = =4± 7 2 2
x2 ≅ 6.646 (Tomamos estos valores por ser más intuitivos a la hora del estudio) (x – 1.354) (x – 6.646) > 0 -·-
+ 1.354
+·-
+·+
- 6.646 + ℜ
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A la vista de la gráfica y una vez realizado el estudio anterior con la ayuda de las inecuaciones, vemos que el coste medio es mayor de 10 € al principio, desde el inicio hasta aproximadamente 1.35 kg de alimento, momento a partir del cual va a ser menor de 10 euros pero, según va aumentando, a partir de aproximadamente 6.65 kg ya habrá que hacer el reajuste pues se superan los 10 euros que nos comentan en el enunciado. Como se supone que el valor de x va aumentando y vemos que la función de los costes, a partir de 3 kg, es creciente, vemos claramente que habrá que hacer un reajuste. En el aula, la calculadora gráfica en una buena herramienta para comprobar estos resultados.
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial: (a) Representación gráfica: 1 punto. Cada cuestión: 0.5 puntos. (b) 0.50 puntos.
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