Sistemas de ecuaciones y matrices. Estudio de la compatibilidad de sistemas
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Dos amigos, Ana y Nicolás, tienen en total 60 euros. Además se sabe que Ana tiene m veces el dinero que tiene Nicolás. (a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de m) donde las incógnitas x e y sean el dinero que tiene cada uno. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema anterior, ¿es posible que Ana tenga el triple de dinero que Nicolás? (b) Si se supone que m = 3, ¿cuánto dinero tiene Ana? RESOLUCIÓN apartado (a) DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS
x ≡ "Euros que tiene Ana" y ≡ "Euros que tiene Nicolás" DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS
m: Veces el dinero que tiene Nicolás. PLANTEAMIENTO:
x + y = 60 x = my x + y = 60 x – my = 0 MÉTODO I: ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DEL SISTEMA POR EL MÉTODO DE GAUSS
( −1) 1 1 60 (1) 1 − m 0
1 60 1 0 − m − 1 − 60 Estudiamos la 2ª fila (– m – 1) y = – 60 –m–1=0 → –m=1 → m=–1
m=–1 (– m – 1) y = – 60 0y = – 60 0 = – 60 Pero 0 ≠ – 60 SISTEMA INCOMPATIBLE
m≠–1 Estudiamos la 2ª fila (– m – 1) y = – 60 Ejemplo: m = 0 – y = – 60 y = 60 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
RESUMEN SOLUCIÓN m = – 1 → SISTEMA INCOMPATIBLE m ≠ – 1 → SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Del aula a la PAU
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ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
¿Es posible que Ana tenga el triple de dinero que Nicolás?
Basándonos en el estudio de compatibilidad, “m” puede ser 3, ya que para m ≠ – 1 el sistema es compatible determinado. MÉTODO II: ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD Y DISCUSIÓN DE 1 PARÁMETRO CON AYUDA DE LOS DETERMINANTES.
Aplicamos el teorema de Rouché–Frobeniüs sobre criterios de compatibilidad: Sea A la matriz de coeficientes asociada a un sistema y A* la matriz ampliada, formada por los coeficientes del sistema y los términos independientes, el teorema de Rouché sobre criterios de compatibilidad dice: ☞ Si el Rango (A) = Rango (A*) → el sistema es compatible — Rango (A) = Rango (A*) = Número de incógnitas → el sistema es compatible determinado, admite una única solución. — Rango (A) = Rango(A*) < Número de incógnitas → el sistema es compatible indeterminado, admite infinitas soluciones. ☞ Si el Rango (A) ≠ Rango (A*) → el sistema es incompatible y no admite solución. Sea A la matriz de los coeficientes y A* la matriz ampliada: 1 1 A = 1 − m
1 1 60 A* = 1 − m 0 |A| = 0 El rango máximo de la matriz A va a ser 2 siempre que el determinante de orden dos de la misma sea distinto de 0: 1 1 A= =–m–1 1 −m Hemos aplicado la regla de Sarrus para su resolución... –m–1=0 m=–1 m ≠ – 1 → rg(A) = 2 m ≠ – 1 → rg(A*) = 2 m ≠ – 1 → rg(A) = rg(A*) = nº incógnitas SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Para m = – 1 Comprobaremos si existe un menor de orden 2 distinto de cero 1 1 |A| = =0 1 1 Si m = – 1 → rg(A) = 1 1 1 60 A* = 1 − m 0 1 60 = – 60 ≠ 0 1 0 Si m = – 1 → rg(A*) = 2 |A*| =
Si m = – 1 → rg(A) ≠ rg(A*) SISTEMA INCOMPATIBLE RESUMEN SOLUCIÓN m = – 1 → SISTEMA INCOMPATIBLE m ≠ – 1 → SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
Sistemas de ecuaciones y matrices. Estudio de la compatibilidad de sistemas
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RESOLUCIÓN apartado (b)
Si se supone que m = 3, ¿cuánto dinero tiene Ana?
Sustituimos en las ecuaciones del enunciado m = 3 y resolvemos el sistema: 1 60 1 0 − m − 1 − 60
1 60 1 → m = 3 → 0 − 3 − 1 − 60
– 4 y = – 60 → 4y = 60 y = 15 x + y = 60 x = 60 – 15 x = 45 RESOLUCIÓN CON CALCULADORA CON CAPACIDAD PARA RESOLVER SISTEMAS
A estas alturas del currículo, si no estamos evaluando que un alumno conozca los métodos con lápiz y papel, en estos problemas tan sencillos y nuestro objetivo es que sean capaces de comprender y pensar el significado del estudio de la compatibilidad, podemos darle cierta libertad a la hora de elegir el método de resolución del sistema, por lo que podrían hacerlo simplemente con una calculadora. En caso contrario, se puede solicitar que lo haga por un método algebraico y autorizar la utilización de esta herramienta TIC como elemento comprobador de resultados.
ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS
Si se supone que m = 3, entonces Ana tiene 45 € Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial: (a) Plantear el sistema: 0.75 puntos. El resto: 1 punto (b) 0.75 puntos.
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