Funciones. Límites de funciones. Continuidad y derivabilidad. Derivadas. Aplicaciones
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Funciones. Límites de funciones. Continuidad y derivabilidad. Derivadas. Aplicaciones 01.– PAU – Universidades de Andalucía – Fase General – Opción A – Ordinaria 2010
Sea la función f(x) = 2x2 – (1/3)x3. Calcule: (a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos. (c) (0.5 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4. RESOLUCIÓN apartado (a)
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Para el análisis del crecimiento procedemos a estudiar su derivada primera: Función estrictamente creciente → f ' (x) > 0 Función estrictamente decreciente → f ' (x) < 0 f(x) = –
1 3 x + 2x2 3
f ' (x) = – x2 + 4x Estudiamos el signo de la función f ‘ (x) f ' (x) = x (– x + 4) x2 = 4 La función se anula para x1 = 0 Estudiamos el signo de la función f'(x) = x (4 – x) en cada uno de estos 3 intervalos que determinan estos dos valores -·+
-
+·-
+·+ 0
Decreciente
+ Creciente
4
-ℜ
Decreciente
La función es estrictamente creciente en el intervalo (0, 4) y es estrictamente decreciente en los intervalo (– ∞, 0) y (4, + ∞) RESOLUCIÓN apartado (b)
Las coordenadas de sus extremos relativos.
Del estudio realizado del crecimiento de la función podemos deducir que se alcanza un máximo relativo en el punto (4, y) y un mínimo relativo en (0, y). 1 1 f(x) = – x3 + 2x2 → f(4) = – ·43 + 2·42 3 3 f(4) = 32/3 ≅ 10.66666667 Máximo relativo (4, 32/3) 1 1 f(x) = – x3 + 2x2 → f(0) = – 03 + 2·02 3 3 f(0) = 0 Mínimo relativo (0, 0) Del estudio realizado del crecimiento de la función podemos deducir que se alcanza un máximo relativo en (4, 32/3) y un mínimo relativo en (0, 0). RESOLUCIÓN apartado (c)
El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.
Del aula a la PAU
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Sabemos que la pendiente de la tangente de una función en un punto es la derivada primera de la función en dicho punto. f ' (x) = 4 – x2 + 4x = 4 – x2 + 4x – 4 = 0 x=
− 4 ± 4 2 − 4 ·( −1) · ( −4) 2·( −1)
=
−4± 0 =2 −2
Por lo que el punto que nos piden es (2, y) 1 1 f(x) = – x3 + 2x2 → f(2) = – ·23 + 2·22 3 3 f(2) = 16/3 ≅ 5.3333333 El punto (2, 16/3) es el punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4 En la PAU habremos realizado todos los cálculos vistos anteriormente, pero en el aula, la calculadora gráfica nos permite contratar los resultados obtenidos con lápiz y papel y visualizar dicha gráfica y sus propiedades locales.
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