Integrales indefinidas. Integrales definidas. Aplicaciones
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IIn ntteeg grraalleess iin nd deeffiin niid daass.. IIn ntteeg grraalleess d deeffiin niid daass.. A Ap plliiccaacciio on neess CONVOCATORIA
JUNIO – ORDINARIA
Opciones
Fase General
EXTRAORDINARIA
Fase Específica
Fase General
Fase Específica
2009 – 2010
A: NO
B: SÍ
A: NO
B: SÍ
A: NO
B: SÍ
A: SÍ
B: NO
2010 – 2011
A: SÍ
B: NO
A: SÍ
B: NO
A: SÍ
B: NO
A: NO
B: SÍ
(*) Algunas preguntas irán acompañadas de un asterisco. Son cuestiones propuestas por los autores, no incluidas en las pruebas PAU, con el objetivo de complementar los objetivos curriculares del tema y completar con cuestiones muy parecidas a las de otras convocatorias. 01 – PAU – Universidad de Oviedo – Fase General – Opción B – junio 2010
Dada la función f(x) = x2 – 4x. (a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 0. (b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre x = 1 y x = 7. RESOLUCIÓN apartado (a)
Dada una función f(x), se denomina función primitiva de ésta a otra función F(x), derivable en todo el dominio de f(x), tal que F'(x) coincida con el valor de f(x) en dichos puntos. F(x) = ¿?
F’(x) = f(x)
f(x) = x2 – 4x Calculemos la primitiva F(x)
∫ (x2 – 4x) dx = = ∫ x2 dx – ∫ 4x dx = x3 x2 –4 → 3 2 x3 F(x) = – 2x2 + k 3
=
F(3) = 0
→
33 – 2 · 32 + k = 0 3
9 – 18 + k = 0 k=9 La primitiva F(x) que verifica las condiciones del enunciado es: x3 F(x) = – 2x2 + 9 3 RESOLUCIÓN apartado (b)
f(x) = x2 – 4x se trata de una parábola. Obtenemos la tabla de valores y, ayudándonos de las propiedades obvias del estudio local, representamos la función... V(–b/2a, y) → V (2, y)
2
y = x – 4x x y 2 –4 1 –3 3 –3 0 0 4 0
Del aula a la PAU
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Vértice (2, – 4) Aunque en la tabla de valores ya vemos los puntos de corte con el eje OX (y = 0), si lo hacemos algebraicamente, dichos puntos serían para x2 – 4x = 0 x2 – 4x = 0 x (x – 4) = 0 x1 = 0 ; x2 = 4
Como llevamos manifestando a lo largo del libro, en las pruebas PAU de Asturias utilizaremos el método de lápiz y papel, aunque en el aula podremos auxiliarnos de una calculadora gráfica, en nuestro caso la CG 20 de CASIO, e incluso ir comprobando las posibles respuestas aportadas.
Para S1 , al estar la superficie por debajo del eje OX, la expresión dará un valor negativo. Para que quede positivo, cambiamos de signo la integral definida: 4 S1 → – ∫ 1 (x2 – 4x) dx 4
∫ 1 (x2 – 4x) dx Aplicamos la Regla de Barrow 4
=[ =[
x3 – 2x2] 1 = 3
43 13 – 2·42] – [ – 2·12] = 3 3 64 1 = – 32 – +2=–9 3 3
S1 = 9 u2 S2 →
7
∫ 4 (x2 – 4x) dx
7
∫4
(x2 – 4x) dx =
Aplicamos la Regla de Barrow
Integrales indefinidas. Integrales definidas. Aplicaciones
=[
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7 x3 – 2x2] 4 = 3
73 43 – 2·72] – [ – 2·42] = 3 3 343 64 = – 98 – + 32 = 27 3 3
=[
S2 = 27 u2 St = S1 + S2 St = 9 u2 + 27 u2 = 36 u2
VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO DIRECTO CON CALCULADORA GRÁFICA Simplemente bastará con representar el valor absoluto de la función:
Una vez que conocemos la gráfica de la función, es sencillo comprobar los resultados obtenidos si tenemos unos mínimos conocimientos teóricos matemáticos...
Comprobación directa con la calculadora científica: Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial: (a) Calcular la primitiva: 0.75 puntos (b) Representar la función: 1. Calcular el área: 0.75 puntos.
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