แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม

สมมูลและสัจนิรันดร์

จัดทาโดย นางวรรณพร ทสะสังคินทร์ ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41

คานา แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทาขึ้น เพื่อใช้เป็นสื่อประกอบการจัดการเรียนรู้รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค31201 เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น โดยเน้นให้ผู้เรียนได้เรียนรู้และฝึกปฏิบัติด้วยตนเองจนเกิดทักษะ และความชานาญในเนื้อหา สามารถยกระดับผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนให้สูงขึ้น และเป็นการกระตุ้น ให้ผู้เรียนมีทัศนคติที่ดีต่อการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ประกอบด้วย คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู และนักเรียน แบบทดสอบก่อนเรียนพร้อมเฉลย ผลการเรียนรู้ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะพร้อมเฉลย และแบบทดสอบหลังเรียนพร้อมเฉลย ซึ่งนักเรียนสามารถใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ในชั้นเรียนและใช้สาหรับศึกษาเพิ่มเติมด้วยตนเองได้ ในการจัดทาแบบฝึกทักษะวิชาคณิตศาสตร์เล่มนี้สาเร็จลุล่วงได้ โดยได้รับการสนับสนุน จากคณะผู้บริหาร คณะครูโรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม และผู้เชี่ยวชาญทุกท่านที่กรุณาให้คาปรึกษา เสนอแนะแนวทางการแก้ไขข้อบกพร่อง ตลอดจนให้กาลังใจด้วยดีเสมอมา ผู้จัดทาขอขอบพระคุณ เป็นอย่างสูงมา ณ โอกาสนี้ ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียน การสอนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน ครูผู้สอน และผู้ที่สนใจเป็นอย่างมาก ตลอดจนสามารถ ยกระดับคุณภาพการศึกษาในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ให้มีประสิทธิภาพดียิ่งขึ้น วรรณพร ทสะสังคินทร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ก

ก

สารบัญ เรื่อง

หน้า

คานา…………………………………………………………………………………………………………………………….… ก สารบัญ............................................................................................................................................ ข คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4….…. ง คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู.................................................................... จ คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน..........…………………………………...…….. ฉ ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน................................................................ ช สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้.................................................................. ซ จุดประสงค์การเรียนรู้และสมรรถนะสาคัญ…………...................................................................... ฌ สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ...................................................................................................... ฎ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้.................................................................................................... ฏ แบบทดสอบก่อนเรียน..................................................................................................................... 1 กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน........................................................................................... 3 แบบฝึกทักษะที่ 2.1 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันโดยการสร้างตาราง ค่าความจริง.................................................................................................................................... 4 แบบฝึกทักษะที่ 2.2 การเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน..............….……..……….……............ 12 แบบฝึกทักษะที่ 2.3 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันโดยใช้รูปแบบประพจน์ ที่สมมูลกัน...................................................................................................................................... 22 แบบฝึกทักษะที่ 2.4 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ โดยการสร้างตารางค่าความจริง...................................................................................................... 30 แบบฝึกทักษะที่ 2.5 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ โดยวิธีการหาข้อขัดแย้ง................................................................................................................... 37 แบบฝึกทักษะที่ 2.6 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน..............….……..………………………………………............................ 48 แบบทดสอบหลังเรียน………………………….…………..……………………….……………………………..……..... 55 กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน............................................................................................ 58

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ข

ข

สารบัญ เรื่อง

หน้า

แบบบันทึกคะแนน.......................................................................................................................... 59 บรรณานุกรม …………………………………………………………………………….……….................................. 60 ภาคผนวก ..................................................................................................................................... 61 ภาคผนวก ก เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน....................................... 62 ภาคผนวก ข เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน................................................................... 64 ภาคผนวก ค เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน..................................................... 70 ภาคผนวก ง เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน........................................ 95 ภาคผนวก จ เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน................................................................... 97

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ค

ค

คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทาขึ้น เพื่อให้ครูผู้สอนใช้เป็นสื่อประกอบการจัดการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จานวน 28 ชั่วโมง มีรายละเอียดดังนี้ 1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ได้จัดลาดับเนื้อหาจากง่ายไปหายากเป็นลาดับขั้นตอนโดยแบ่งออกเป็น 5 เล่ม ดังนี้ เล่ม 1 ประพจน์และค่าความจริงของประพจน์ เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ เล่ม 3 การอ้างเหตุผล เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 2. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้เป็นแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ ประกอบด้วย 2.1 คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 2.2 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู 2.3 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน 2.4 ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับนักเรียน 2.5 สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้ 2.6 จุดประสงค์การเรียนรู้ 2.7 สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ 2.8 การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ 2.9 แบบทดสอบก่อนเรียน 2.10 ใบความรู้ 2.11 แบบฝึกทักษะ 2.12 แบบทดสอบหลังเรียน 2.13 แบบบันทึกคะแนน 2.14 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเฉลยแนวคิด 2.15 เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน 2.16 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเฉลยแนวคิด 3. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ใช้ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 7 – 12 เวลาเรียน 6 ชั่วโมง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ง

ง

คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู

การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ครูควรเตรียมความพร้อมและปฏิบัติตามคาแนะนา ดังต่อไปนี้ 1. ครูควรศึกษาเนื้อหาสาระและทาความเข้าใจแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ทุกเล่ม อย่างละเอียด 2. ครูจัดการเรียนรู้โดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จานวน 5 เล่ม ควบคู่กับแผนการจัดการเรียนรู้ 3. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียนลงในกระดาษคาตอบ 4. ครูชี้แจงขั้นตอนการศึกษาและวิธีการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แก่นักเรียนให้เข้าใจ และควรเน้นเรื่องความซื่อสัตย์ 5. ให้นักเรียนศึกษาคาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน แล้วฝึกปฏิบัติตามคาแนะนา 6. ครูคอยดูแลให้ความช่วยเหลือและให้คาแนะนานักเรียนเมื่อมีปัญหาในการฝึกปฏิบัติ 7. เมื่อนักเรียนฝึกปฏิบัติตามขั้นตอนในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แล้ว ให้นักเรียน ทาแบบทดสอบหลังเรียนลงในกระดาษคาตอบ 8. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียน แบบฝึกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียน เป็นรายบุคคลเพื่อประเมินความรู้ของตนเอง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

จ

จ

คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่นักเรียนกาลังศึกษานี้เป็นแบบฝึกทักษะที่จัดเนื้อหาไว้ เป็นลาดับขั้นตอน เพื่อให้นักเรียนได้เรียนรู้อย่างถูกต้อง เริ่มจากเนื้อหาที่ง่ายไปหาเนื้อหาที่ยาก สามารถเรียนรู้และฝึกปฏิบัติได้ด้วยตนเอง การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ควรปฏิบัติตามคาแนะนา ในการใช้อย่างเคร่งครัดจึงจะได้ผลดี สาหรับข้อปฏิบัติในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์มีดังนี้ 1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แต่ละเล่มประกอบด้วย 1.1 คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 1.2 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู 1.3 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน 1.4 ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับนักเรียน 1.5 สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้ 1.6 จุดประสงค์การเรียนรู้และสมรรถนะสาคัญของผู้เรียน 1.7 สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ 1.8 การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ 1.9 แบบทดสอบก่อนเรียน 1.10 ใบความรู้ 1.11 แบบฝึกทักษะ 1.12 แบบทดสอบหลังเรียน 1.13 แบบบันทึกคะแนน 1.14 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเฉลยแนวคิด 1.15 เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน 1.16 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเฉลยแนวคิด 2. ให้นักเรียนเตรียมอุปกรณ์การเรียนให้พร้อม 3. ให้นักเรียนแต่ละคนทาแบบทดสอบก่อนเรียนด้วยตนเอง จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 20 นาที และตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 4. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ ทาแบบฝึกทักษะด้วยตนเอง และตรวจคาตอบ จากเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 5. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรียนด้วยตนเอง จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 20 นาที และตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 6. ให้นักเรียนฝึกปฏิบัติด้วยความซื่อสัตย์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ฉ

ฉ

ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน

ศึกษาคาชี้แจงและคาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ สาหรับนักเรียน

ทาแบบทดสอบก่อนเรียน

ศึกษาใบความรู้

ทาแบบฝึกทักษะ

ทาแบบทดสอบหลังเรียน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ช

ช

สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วดั และผลการเรียนรู้

สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้ ของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ มีดังนี้ สาระที่ 4 พีชคณิต มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical model) อื่นๆ แทนสถานการณ์ต่างๆ ตลอดจนแปลความหมาย และนาไปใช้แก้ปัญหา ผลการเรียนรู้ 1. ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 2. ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ตัวชี้วัด ม. 4 – 6/ 1 ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา ม. 4 – 6/ 2 ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม ม. 4 – 6/ 3 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอได้อย่างถูกต้องและชัดเจน ม. 4 – 6/ 4 เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ ม. 4 – 6/ 5 มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ซ

ซ

จุดประสงค์การเรียนรูแ้ ละสมรรถนะสาคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ มีดังนี้ จุดประสงค์การเรียนรู้ ความรู้ นักเรียนสามารถ 1. ตรวจสอบความสมมูลกันของรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ โดยการสร้างตารางค่าความจริงได้ 2. เขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ได้ 3. ตรวจสอบความสมมูลกันของรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ โดยใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันได้ 4. ตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ โดยการสร้างตารางค่าความจริงได้ 5. ตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ โดยวิธีการหาข้อขัดแย้งได้ 6. ตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้ ด้านทักษะ/ กระบวนการ 1. ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา 2. ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม 3. ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอได้อย่างถูกต้องและชัดเจน 4. เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ 5. คิดริเริ่มสร้างสรรค์ ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ 1. ซื่อสัตย์สุจริต 2. มีวินัย 3. ใฝ่เรียนรู้ 4. มุ่งมั่นในการทางาน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ฌ

ฌ

สมรรถนะสาคัญ นักเรียนมีความสามารถในการ 1. สื่อสาร 2. คิด 3. แก้ปัญหา 4. ใช้ทักษะชีวิต 5. ใช้เทคโนโลยี

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ญ

ญ

สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ มีดังนี้ สาระการเรียนรู้ 1. การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 2. การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ สาระสาคัญ 1. ถ้ารูปแบบประพจน์สองรูปแบบใดมีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณีแล้วจะสามารถ นาไปใช้แทนกันได้ เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดังกล่าวว่าเป็น รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน 2. รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกว่า สัจนิรันดร์ (Tautology)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

ฎ

ฎ

การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

ความรู้ ภาระงาน/ ชิ้นงาน การทาแบบฝึก ทักษะที่ 2.1 – 2.6 การทา แบบทดสอบ หลังเรียน

แบบฝึกทักษะ ที่ 2.1 – 2.6

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

แบบทดสอบ หลังเรียน

ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

วิธีวัด ตรวจแบบฝึก ทักษะที่ 2.1 – 2.6 ตรวจ แบบทดสอบ หลังเรียน

เครื่องมือ

ทักษะ/ กระบวนการ ทักษะ/ วิธีวัด กระบวนการ - การแก้ปัญหา สังเกตพฤติกรรม - การให้เหตุผล ตามรายการประเมิน - การสื่อสาร ด้านทักษะ/ และนาเสนอ กระบวนการ ข้อมูลได้ - การเชื่อมโยง ความรู้ - ความคิดริเริ่ม สร้างสรรค์ ทักษะ สังเกตพฤติกรรม การทางานกลุ่ม ตามรายการประเมิน ด้านกระบวนการ กลุ่ม

เครื่องมือ แบบประเมิน ด้านทักษะ

แบบประเมิน กระบวนการ กลุ่ม

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ระดับดีขึ้นไป

ระดับพอใช้ ขึ้นไป

ฏ

ผู้ประเมิน เพื่อน, ครู เพื่อน, ครู

ผู้ประเมิน ครู

เพื่อน, ครู

ฏ

คุณลักษณะอันพึงประสงค์ คุณลักษณะ วิธีวัด เครื่องมือ อันพึงประสงค์ - ซื่อสัตย์สุจริต สังเกตพฤติกรรม แบบประเมิน - มีวินัย ตามรายการประเมิน คุณลักษณะ - ใฝ่เรียนรู้ คุณลักษณะ อันพึงประสงค์ - มุ่งมั่น อันพึงประสงค์ ในการทางาน

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ระดับดีขึ้นไป

ผู้ประเมิน เพื่อน,ครู

สมรรถนะสาคัญ สมรรถนะสาคัญ - ความสามารถ ในการสื่อสาร - ความสามารถ ในการคิด - ความสามารถ ในการแก้ปัญหา - ความสามารถ ในการใช้ ทั ก ษะ ชีวิต - ความสามารถ ในการใช้ เทคโนโลยี

วิธีวัด

เครื่องมือ

สังเกตพฤติกรรม แบบประเมิน ตามรายการประเมิน สมรรถนะ สมรรถนะ ผู้เรียน ผู้เรียน 5 ด้าน 5 ด้าน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ระดับดีขึ้นไป

ฐ

ผู้ประเมิน ครู

ฐ

แบบทดสอบก่อนเรียน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

คาชี้แจง 1 .แบบทดสอบเป็นแบบเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จานวน 10 ข้อ 10 คะแนน ใช้เวลาในการทาแบบทดสอบ 20 นาที 2. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมาย กากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก 1. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ที่สมมูลกับประพจน์ “ถ้าแดงขยันแล้วแดงจะไม่หยุดงาน” 1. แดงขยันหรือแดงหยุดงาน 2. แดงเป็นคนขยันและไม่หยุดงาน 3. ถ้าแดงหยุดงานแล้วแดงจะไม่ขยัน 4. ถ้าแดงหยุดงานแล้วแสดงว่าแดงขยัน 2. ให้ r และ s เป็นประพจน์ ประพจน์ใดต่อนี้สมมูลกับประพจน์ r  s 1. (r  s) 2. (r  s) 3. s  r 4. r  q 3. ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ (p  r)  (q  r) สมมูลกับประพจน์ในข้อใด 1. (p  q)  r 2. (p  q)  r 3. (p  q)  r 4. (p  q)  r 4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. (p  q)  r สมมูลกับ r  (p  q) 2. (p  q)  r สมมูลกับ r  (p  q) 3. p  (q  r) ไม่สมมูลกับ p  (q  r) 4. (p  q) ไม่สมมูลกับ p  q แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

1

1

5. ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ประพจน์ p  (p  (q  r)) สมมูลกับประพจน์ p  (q  r) ข. ประพจน์ p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (q  p)  (p  r) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ข้อ ก และ ข ถูก 2. ข้อ ก ผิด แต่ ข ถูก 3. ข้อ ก ถูก แต่ ข ผิด 4. ข้อ ก และ ข ผิด 6. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 1. (p  q)  (p  q) 2. (p  q)  (p  q) 3. (p  p)  (q q) 4. p  (p  q) 7. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่ถูกต้อง 1. (p  q)  r สมมูลกับ (p  r)  (q  r) 2. (p  q)  r สมมูลกับ (p  r)  (q  r) 3. (p  q)  [p  (q  p)] เป็นสัจนิรันดร์ 4. (p  q)  [(p  r)  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์ 8. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่ถูกต้อง 1. [p  (p  q)]  q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 2. [q  (p  q)]  (q  p) ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 3. [(p  q)  r]  [(q  r)  p] เป็นสัจนิรันดร์ 4. [(p  q)  (p  r)]  [p  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์ 9. กาหนดให้ p, r, s, t และ w เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 1. [r  (s  t)]  [r  (s  t)] 2. [p  (t  w)]  (p  r) 3. [(r  s)  (r  t)]  [(r  (s  t)] 4. [(r  s)  (t  w)]  [(r  s)  (t  w)] 10. ให้ p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดเป็นสัจนิรันดร์ 1. (p  q)  (q  p) 2. (p  q)  (p  q) 3. [(p  q)  q]  (p  q) 4. [(p  q)  p]  (p  q) แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

2

2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ แบบทดสอบก่อนเรียน เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ กระดาษคาตอบ

ชื่อ......................................................................... ชั้น ............ เลขที่ .........

คาชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก

ข้อ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ คิดเป็นร้อยละ

10

ผลการประเมิน  ผ่าน  ไม่ผ่าน ลงชื่อ .............................................. ผู้ตรวจ ( ............................................ )

เกณฑ์ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

3

3

แบบฝึกทักษะที่ 2.1 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ทสี่ มมูลกัน โดยการสร้างตารางค่าความจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถตรวจสอบความสมมูลกันของรูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้โดยการสร้างตารางค่าความจริงได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลา ในการศึกษาใบความรู้ 10 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 10 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

4

4

ใบความรู้ที่ 2.1

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน โดยการสร้างตารางค่าความจริง

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน (Equivalent) ในวิชาตรรกศาสตร์ ถ้ารูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใด มีค่าความจริงตรงกัน กรณีต่อกรณี จะสามารถนาไปใช้แทนกันได้ เรียกสองรูปแบบของประพจน์ดังกล่าว ว่าเป็น รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน สัญลักษณ์ที่ใช้แทนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน คือ “  ” และสัญลักษณ์ที่ใช้แทน รูปแบบของประพจน์ที่ไม่สมมูลกัน คือ “  ” เช่น ถ้า p และ q เป็นประพจน์ p สมมูลกับ q จะเขียนแทนด้วย p  q และ p ไม่สมมูลกับ q เขียนแทนด้วย p  q ในการตรวจสอบรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันสามารถทาได้โดยสร้างตารางค่าความจริง แล้วเปรียบเทียบค่าความจริงของสองประพจน์นั้น ว่ามีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณีหรือไม่ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ p  q หรือไม่

วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  q กับ p  q ดังนี้ p T T F F

q T F T F

pq T F T T

p F F T T

p  q T F T T

q T F T F

p  q และ p  q มีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ p  q กับ p  q ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p  q สมมูลกับ p  q แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

5

5

รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใด จะเรียกว่า รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ รูปแบบของประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงกันกรณีต่อกรณี กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ p  q หรือไม่

ตัวอย่างที่ 2

วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  q กับ p  q ดังนี้ p T T F F

p F F T T

q T F T F

p  q T T T F

pq T T T F

จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ p  q กับ p  q ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p  q สมมูลกับ p  q ตัวอย่างที่ 3

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p  q) สมมูลกับ p  q หรือไม่

วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q) กับ p  q ดังนี้ p T T F F

q T F T F

p F F T T

q F T F T

(p  q) p  q F F T F T F T T

(p  q) และ p  q มีค่าความความจริง ไม่ตรงกัน บางกรณี จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ (p  q) และ p  q ไม่ตรงกันบางกรณี ดังนั้น (p  q) ไม่สมมูลกับ p  q แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

6

6

ตัวอย่างที่ 4

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ p  q หรือไม่

วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  q กับ p  q ดังนี้ p T T F F

q T F T F

p F F T T

q F T F T

p  q p  q T F T F T F F T

จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ p  q กับ p  q แตกต่างกันทุกกรณี ดังนั้น p  q ไม่สมมูลกับ p  q ค่าความจริงของ p  q กับ p  q ตรงข้ามกันทุกกรณี กล่าวได้ว่าประพจน์ p  q เป็น นิเสธ กับประพจน์ p  q สาหรับการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันของประพจน์ที่อยู่ในรูปข้อความนั้น ให้เปลี่ยนประพจน์ที่อยู่ในรูปข้อความให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ แล้วตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ ที่สมมูลกันดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 5 วิธีทา จาก และ

จงตรวจสอบว่าข้อความ “ถ้าดาออกกาลังกายแล้วดาจะแข็งแรง” สมมูลกับ “ถ้าดาไม่แข็งแรงแล้วดาไม่ออกกาลังกาย” หรือไม่

ให้ p แทนประพจน์ ดาออกกาลังกาย q แทนประพจน์ ดาแข็งแรง “ถ้าดาออกกาลังกายแล้วดาจะแข็งแรง” เขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น p  q “ถ้าดาไม่แข็งแรงแล้วดาไม่ออกกาลังกาย” เขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น q  p พิจารณา p  q สมมูลกับ q  p หรือไม่ สร้างตารางค่าความจริงของ p  q กับ q  p ได้ดังนี้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

7

7

p T T F F

q T F T F

p F F T T

q F T F T

pq T F T T

q  p T F T T

จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ p  q กับ q  p ตรงกันกรณีต่อกรณี นั่นคือ p  q สมมูลกับ q  p ดังนั้น “ถ้าดาออกกาลังกายแล้วดาจะแข็งแรง” สมมูลกับ “ถ้าดาไม่แข็งแรง แล้วดาไม่ออกกาลังกาย”

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

8

8

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

แบบฝึกทักษะที่ 2.1 โดยการสร้างตารางค่าความจริง

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ ตัวอย่าง กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ q  p หรือไม่โดยการสร้างตารางค่าความจริง วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  q กับ q  p ดังนี้ p T T F F

q T F T F

p F F T T

q F T F T

p  q T F T T

q  p T F T T

จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ p  q กับ p  q ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p  q สมมูลกับ p  q 1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงเติมคาตอบเพื่อแสดงการตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ (p  q)  (q  p) หรือไม่โดยการสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  q กับ (p  q)  (q  p) ดังนี้ p T T F F

q T F T F

pq

qp

(p  q)  (q  p)

pq

จะเห็นได้ว่า …………………………………………………………………………………………..……… ดังนั้น …………………………………………………………………………………………………..………. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

9

9

2. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ p  q หรือไม่ โดยการสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  r สมมูลกับ p  (q  r) หรือไม่โดยใช้การสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

10

10

4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r) หรือไม่โดยการสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงตรวจสอบว่าข้อความ “ถ้าฝนตกหนักและน้าท่วมกรุงเทพ ฯ แล้วการจราจรจะติดขัด” สมมูลกับ “ฝนไม่ตกหนักหรือน้าไม่ท่วมกรุงเทพ ฯ หรือการจราจรติดขัด” หรือไม่โดยการสร้างตาราง ค่าความจริง (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

11

11

แบบฝึกทักษะที่ 2.2 การเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

จุดประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลา ในการศึกษาใบความรู้ 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

12

12

ใบความรู้ที่ 2.2

การเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันมีประโยชน์ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทต่าง ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ เช่น ถ้ามีข้อความในรูปแบบ p  q อาจเปลี่ยนข้อความนั้นใหม่ให้อยู่ในรูปแบบ p  q หรือ q  p ซึ่งนักเรียนได้เคยพบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันจากตัวอย่างและแบบฝึก ทักษะที่นักเรียนได้ศึกษาในใบความรู้ที่ 2.1 และแบบฝึกทักษะที่ 2.1 บ้างแล้ว เช่น 1) 2) 3) 4) 5)

p  q  p  q (p  q)  p  q p  q  (p  q)  (q  p) (p  q)  r  p  (q  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

สาหรับการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันนอกจากจะใช้การสร้างตาราง ค่าความจริงในการตรวจสอบแล้ว นักเรียนยังสามารถใช้ รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน ในการตรวจสอบ โดยการตรวจสอบวิธีนี้นักเรียนควรทาความเข้าใจเกี่ยวกับรูปแบบประพจน์ ที่สมมูลกันที่ควรทราบและฝึกทักษะในการเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันก่อนเพื่อนาไปใช้ ในการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันในแบบฝึกทักษะต่อไป

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ ตัวอย่างรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบซึ่งถูกนามาใช้ในการพิสูจน์ ทางคณิตศาสตร์และจะกล่าวถึงในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ มีดังต่อไปนี้ กาหนดให้ p, q และ r แทนประพจน์ 1. การสลับที่ (Commutation) p  q  q  p และ p  q  q  p 2. การเปลี่ยนหมู่ (Association) p  (q  r)  (p  q)  r และ p  (q  r)  (p  q)  r 3. การแจกแจง (Distribution) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) และ p  (q  r)  (p  q)  (p  r) แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

13

13

4. ทฤษฎีเดอมอร์แกน (De Morgan ‘s Theorem) (p  q)  p  q และ (p  q)  p  q

5. การปฏิเสธซ้อน (Double Negation) (p)  p 6. การย้ายข้างหรือคู่สลับ (Transposition) p  q  q  p

7. การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข (Material Implication) p  q  p  q 8. การเปลี่ยนรูปสมมูล (Material Equivalent) p  q  (p  q)  (q  p)

9. การรวมเงื่อนไข (Exportation) p  (q  r)  (p  q)  r 10. สัจนิรันดร์ (Tautology) p  p  p และ p  p  p สาหรับการเปลี่ยนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันโดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน สามารถศึกษาได้จากตัวอย่างต่อไปนี้ 1. การสลับที่ (Commutation) p  q  q  p และ p  q  q  p ตัวอย่างที่ 1

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จากการสลับที่ จงเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. p  q



3. p  r  5. p  q



qp r  p

qp

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

2. p  p



p  p

4. r  (p  q)  (p  q)  r 6. r  r



14

r  r

14

2. การเปลี่ยนหมู่ (Association) p  (q  r)  (p  q)  r และ p  (q  r)  (p  q)  r ตัวอย่างที่ 2

กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ จากการเปลี่ยนหมู่ จงเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. r  (q  p)



(r  q)  p

2. p  (q  p)



(p  q)  p

3. (q  p)  r



q  (p  r)

4. (p  q)  r

 p  (q  r)

5. [(q  r)  s]  (t  p) 

(q  r)  [s  (t  p)]

3. การแจกแจง (Distribution) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) และ p  (q  r)  (p  q)  (p  r) ตัวอย่างที่ 3

กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ จากการแจกแจง จงเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. r  (p  q)



(r  p)  (r  q)

2. q  (p  r)



(q  p)  (q  r)

3. p  (r  t)



(p  r)  (p  t)

4. s  (p  r)



(s  p)  (s  r)

5. (q  r)  (t  p) 

[(q  r)  t]  [(q  r)  p)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

15

15

4. ทฤษฎีเดอมอร์แกน (De Morgan ‘s Theorem) (p  q)  p  q และ (p  q)  p  q

ตัวอย่างที่ 4

กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ จากทฤษฎีเดอมอร์แกน จงเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. (s  p)



s  p

2. (q  r)



q  r

3. s  r



(s  r)

4. p  s



(p  s)

5. q  r



(q  r)

5. การปฏิเสธซ้อน (Double Negation) (p)  p

ตัวอย่างที่ 5

กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ จากการปฏิเสธซ้อน และทฤษฎีเดอมอร์แกน จงเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. (r)



r

2. (s)



s

3. (s  t)



s  t

4. (p  q)



pq

5. (t  r)



tr

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

16

16

6. การย้ายข้างหรือคู่สลับ (Transposition) p  q  q  p ตัวอย่างที่ 6

กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ จากการย้ายข้างหรือคู่สลับ และการปฏิเสธซ้อน จงเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. r  s



s  r

2. p  q



q  p

3. s  t



t  s

4. p  r



rp

5. (p  q)  (r  s) 

(r  s)  (p  q)

7. การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข (Material Implication) p  q  p  q ตัวอย่างที่ 7

กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ จากการเปลี่ยนรูปเงื่อนไข และการปฏิเสธซ้อน จงเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. r  s



r  s

2. p  q



pq

3. s  t



s  t

4. p  r



p  r

5. (p  q)  (r  s) 

(p  q)  (r  s)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

17

17

8. การเปลี่ยนรูปสมมูล (Material Equivalent) p  q  (p  q)  (q  p) ตัวอย่างที่ 8

กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ จากการเปลี่ยนรูปสมมูล จงเขียน รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. r  s



(r  s)  (s  r)

2. s  t



(s  t)  (t  s)

3. s  t



(s  t)  (t  s)

4. s  r



(s  r)  (r  s)

5. (p  q)  (r  s)



[(p  q)  (r  s)]  [(r  s)  (p  q)]

9. การรวมเงื่อนไข (Exportation) p  (q  r)  (p  q)  r ตัวอย่างที่ 9

กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ จากการรวมเงื่อนไข จงเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. r  (s  t)



(r  s)  t

2. p  (q  r)



(p  q)  r

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

18

18

10. สัจนิรันดร์ (Tautology) p  p  p และ p  p  p ตัวอย่างที่ 10

กาหนดให้ r, s และ t เป็นประพจน์ จากสัจนิรันดร์ จงเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง

1. r  r



r

2. s  s



s

3. t  t



t

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

19

19

แบบฝึกทักษะที่ 2.2 การเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................

1. กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ ให้นักเรียนเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูล กับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ โดยเติมคาตอบลงในช่องว่าง (10 คะแนน) ข้อ

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

รูปแบบของประพจน์

รูปแบบของประพจน์ ที่สมมูลกัน

p  (q  r)

p  (q  r)

ตัวอย่าง การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข

s  t

1.1 การสลับที่ 1.2 การเปลี่ยนหมู่

r  (s  t)

1.3 การแจกแจง

p  (r  t) (s  t)

1.4 ทฤษฎีเดอมอร์แกน

(q)

1.5 การปฏิเสธซ้อน 1.6 การย้ายข้างหรือคู่สลับ

p  q

1.7 การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข

r  s

1.8 การเปลี่ยนรูปสมมูล

st

1.9 การรวมเงื่อนไข 1.10 สัจนิรันดร์

p  (q  r) (p  q)  (p  q)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

20

20

2. ให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ ให้นักเรียนพิจารณาการแสดงว่ารูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้สมมูลกัน แล้วเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันตามที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง (5 คะแนน) ตัวอย่าง จงแสดงว่า (p  q)  (r  p) สมมูลกับ p  (q  r) วิธีทา

พิจารณา (p  q)  (r  p)  (p  q)  [r  (p)] (ทฤษฎีเดอมอร์แกน) 

(p  q)  (r  p)

(การปฏิเสธซ้อน)



(p  q)  (p  r)

(การสลับที่)



p  (q  r)

(การแจกแจง)

ดังนั้น (p  q)  (r  p) สมมูลกับ p  (q  r) 2.1 จงแสดงว่า p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r) (3 คะแนน) วิธีทา

พิจารณา p  (q  r) 

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)



(การแจกแจง)



(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)

ดังนั้น p  (q  r) สมมูลกับ ……………………………………….

2.2 จงแสดงว่า [(p  r)  q] สมมูลกับ (p  r)  q (2 คะแนน) วิธีทา

พิจารณา [(p  r)  q] 

(ทฤษฎีเดอมอร์แกน)



(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)

ดังนั้น [(p  r)  q] สมมูลกับ ……………………………………….

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

21

21

แบบฝึกทักษะที่ 2.3 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถตรวจสอบความสมมูลกันของรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้โดยใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลา ในการศึกษาใบความรู้ 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

22

22

ใบความรู้ที่ 2.3

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันสามารถทาได้โดย การสร้างตาราง ค่าความจริง และ การใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน ในการตรวจสอบ ให้นักเรียนพิจารณา การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันโดยใช้การสร้างตารางค่าความจริงและการใช้ รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันดังตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 1

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  (q  r) สมมูลกับ p  q  r หรือไม่

วิธีท่ี 1 การสร้างตารางค่าความจริง วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  (q  r) กับ (p  q)  r ดังนี้ p q r p q  r p  q p  (q  r) F T T T T T T F T T T F T T F F T F T T T F F T F F F F T T F T T T T T T F T F T T T T F F T T T T T F F F F T

(p  q)  r T T T F T T T T

จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ p  (q  r) กับ p  q  r ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  r

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

23

23

วิธีท่ี 2 การใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน วิธีทา พิจารณา p  (q  r)  p  (q  r)  (p  q)  r ดังนั้น p  (q  r)  (p  q)  r

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) (การเปลี่ยนหมู)่

จากการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันโดยการสร้างตารางค่าความจริง และการใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันดังตัวอย่างที่ 1 จะเห็นได้ว่าการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ ที่สมมูลกันโดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันสามารถตรวจสอบได้รวดเร็วกว่าการสร้างตาราง ค่าความจริง ซึ่งนักเรียนได้เคยศึกษาการเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันโดยใช้รูปแบบประพจน์ ที่สมมูลกันมาแล้วในใบความรู้ที่ 2.2 โดยนักเรียนควรจดจารูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ เพื่อช่วยให้นักเรียนสามารถแสดงการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันได้รวดเร็วขึ้น สาหรับการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันมีความหลากหลายแตกต่างกัน นักเรียนจึงควรศึกษาการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันโดยใช้รูปแบบประพจน์ ที่สมมูลกันจากตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2 วิธีทา

พิจารณา [(p  q)  (p  q)]  [(p  q)  (p  q)]  [(p  q)]  (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q) ดังนั้น [(p  q)  (p  q)]  (p  q)  (p  q)

ตัวอย่างที่ 3 วิธีทา

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [(p  q)  (p  q)] สมมูลกับ (p  q)  (p  q) หรือไม่ (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน) (การปฏิเสธซ้อน) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน)

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r) หรือไม่

p  (q  r)  p  (q  r)  (p  q)  (p  r)  (p  q)  (p  r) ดังนั้น p  (q  r)  (p  q)  (p  r) พิจารณา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

24

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) (การแจกแจง) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)

24

ตัวอย่างที่ 4 วิธีทา

(p  q)  [(p  q)  (q  p)] (การเปลี่ยนรูปสมมูล)  [(p  q)  (q  p)] (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  (p  q)  (q  p)] (ทฤษฎีเดอมอร์แกน)  (p  q)  (q  p)] (ทฤษฎีเดอมอร์แกน) ดังนั้น (p  q)  (p  q)  (q  p)]

พิจารณา

ตัวอย่างที่ 5 วิธีทา

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p  q) สมมูลกับ p  q หรือไม่

พิจารณา (p  q)  p  q จะได้ว่า (p  q)  p  q ดังนั้น (p  q)  p  q

ตัวอย่างที่ 6 วิธีทา

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p  q) สมมูลกับ (p  q)  (q  p)] หรือไม่

(ทฤษฎีเดอมอร์แกน)

จงตรวจสอบว่า“ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0” สมมูลกับ “ถ้า a  0 และ b  0 แล้ว ab  0”

กาหนดให้ p, q และ r แทนประพจน์ p แทนประพจน์ a = 0 q แทนประพจน์ b = 0 r แทนประพจน์ ab = 0 จาก “ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ได้เป็น r  (p  q) และ จาก “ถ้า a  0 และ b  0 แล้ว ab  0” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ได้เป็น (p  q)  r

r  (p  q)  (p  q)  r (การย้ายข้างหรือคู่สลับ)  (p  q)  r (ทฤษฎีเดอมอร์แกน) นั่นคือ r  (p  q)  (p  q)  r ดังนั้น “ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0” สมมูลกับ “ถ้า a  0 และ b  0 แล้ว ab  0” พิจารณา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

25

25

ตัวอย่างที่ 7 วิธีทา

จงตรวจสอบว่า “นายดาเล่นฟุตบอลหรือดนตรี” สมมูลกับ “ถ้านายดาเล่นดนตรี แล้วนายดาเล่นฟุตบอล”

กาหนดให้ p, q และ r แทนประพจน์ p แทนประพจน์ นายดาเล่นฟุตบอล q แทนประพจน์ นายดาเล่นดนตรี จาก “นายดาเล่นฟุตบอลหรือดนตรี” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ได้เป็น p  q และ จาก “ถ้านายดาเล่นดนตรีแล้วนายดาเล่นฟุตบอล” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ได้เป็น p  q

พิจารณา p  q  p  q (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) จะได้ว่า p  q  p  q ซึ่ง p  q  p  q ดังนั้น “นายดาเล่นฟุตบอลหรือดนตรี” ไม่สมมูลกับ “ถ้านายดาเล่นดนตรีแล้วนายดา เล่นฟุตบอล”

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

26

26

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์

แบบฝึกทักษะที่ 2.3 ที่สมมูลกันโดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ ให้นักเรียนแสดงการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่กาหนดให้ โดยใช้รูปแบบประพจน์ ที่สมมูลกัน ตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงว่า (p  q)  r สมมูลกับ p  (q  r) วิธีทา

พิจารณา (p  q)  r  (p  q)  r  (p  q)  r  p  (q  r)  p  (q  r)  p  (q  r) ดังนั้น (p  q)  r  p  (q  r)

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน) (การเปลี่ยนหมู่) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)

1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงว่า (p  q) สมมูลกับ q  p โดยเติมคาตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง (3 คะแนน) วิธีทา พิจารณา (p  q)  [(p)  q]

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)

 [p  q]

(การปฏิเสธซ้อน)

 p  (q)]

(ทฤษฎีเดอมอร์แกน)

 p  q

(การปฏิเสธซ้อน)

 q  p

(การสลับที่)

ดังนั้น (p  q)  q  p

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

27

27

2. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงว่า [(p  q)  r] สมมูลกับ r  (p  q) โดยเติมคาตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง (3 คะแนน) วิธีทา พิจารณา [(p  q)  r]  [(p  q)  r] 

(p  q)  (r)

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน)

 [(p)  (q)]  (r) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน)  (p  q)  r

(การปฏิเสธซ้อน)



(การสลับที่)

r  (p  q)

ดังนั้น [(p  q)  r]  r  (p  q) 3. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงว่า p  (q  r) สมมูลกับ q  (p  r) โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

28

28

4. กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ จงแสดงว่า (p  q)  [(q  r)  s] สมมูลกับ [(p  q)  (q  r)]  [(p  q)  s] โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงแสดงว่า “ถ้าฟ้าไม่ร้องหรือฟ้าไม่ครึ้มแล้วฝนจะไม่ตก” สมมูลกับ “ฟ้าร้องและฟ้าครึ้ม หรือฝนไม่ตก” โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

29

29

แบบฝึกทักษะที่ 2.4 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ โดยการสร้างตารางค่าความจริง

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถตรวจสอบความเป็นสัจนิรนั ดร์ของรูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้โดยการสร้างตารางค่าความจริงได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลา ในการศึกษาใบความรู้ 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

30

30

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ โดยการสร้างตารางค่าความจริง

ใบความรู้ที่ 2.4

สัจนิรันดร์ (Tautology) พิจารณาค่าความจริงของรูปแบบประพจน์ p  (p  q) ดังนี้ p T T F F

q T F T F

(p  q) T T T F

p  (p  q) T T T T

จะเห็นได้ว่ารูปแบบของประพจน์ p  (p  q) มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ซึ่งในทางตรรกศาสตร์เรียกว่ารูปแบบของประพจน์ p  (p  q) เป็น สัจนิรันดร์ บทนิยาม รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกว่า สัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 1 วิธีทา

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  (p  q) ได้ดังนี้ p T T F F

q T F T F

(p  q) T F F F

(p  q) T F T T

จะเห็นได้ว่า (p  q)  (p  q) เป็นจริงทุกกรณี ดังนั้น (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

(p  q)  (p  q) T T T T เป็นจริงทุกกรณี

31

31

ตัวอย่างที่ 2 วิธีทา

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p  q)  (q  p) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  (q  p) ได้ดังนี้ p T T F F

q T F T F

q F T F T

(p  q) F T F F

(q  p) T T T F

(p  q)  (q  p) F T F T

จะเห็นได้ว่า (p  q)  (q  p) เป็นเท็จบางกรณี ดังนั้น (p  q)  (q  p) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 3 วิธีทา p T T F F

เป็นเท็จบางกรณี

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  (p  q) ได้ดังนี้ q T F T F

q F T F T

pq T F T T

(p  q) F T F F

(p  q) F T F F

(p  q)  (p  q) T T T T เป็นจริงทุกกรณี

จะเห็นได้ว่า (p  q)  (p  q) เป็นจริงทุกกรณี ดังนั้น (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

32

32

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [q  (p  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ตัวอย่างที่ 4 วิธีทา

สร้างตารางค่าความจริงของ [p  (q  r)]  [q  (p  r)] ได้ดังนี้

p

q

r

(q  r)

p  (q  r)

(p  r)

q  (p  r)

[p  (q  r)]  [q  (p  r)]

T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

T T T F T T T F

T T T F T T T T

T F T F F F F F

T F F T F F T T

T T T T T T T T

จะเห็นได้ว่า [p  (q  r)]  [q  (p  r)] เป็นจริงทุกกรณี ดังนั้น [p  (q  r)]  [q  (p  r)] เป็นสัจนิรันดร์

เป็นจริงทุกกรณี

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ตัวอย่างที่ 5 วิธีทา

สร้างตารางค่าความจริงของ [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)] ได้ดังนี้

p

q

r

(p  q)

(p  q)  r

(p  r)

(q  r)

(p  r)  (q  r)

[(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)]

T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

T T T T T T F F

T F T F T F T T

T F T F T T T T

T F T T T F T T

T F T F T F T T

T T T T T T T T

จะเห็นได้ว่า [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)] เป็นจริงทุกกรณี ดังนั้น [(p  q)  r]  [(p  r)  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

33

เป็นจริงทุกกรณี

33

15 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ แบบฝึกทักษะที่ 2.4 ที่เป็นสัจนิรันดร์โดยการสร้างตารางค่าความจริง คะแนน ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ ตัวอย่าง กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (p  q)]  q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง วิธีทำ สร้างตารางค่าความจริงของ [p  (p  q)]  q ได้ดังนี้ q pq T T F F T T F T

p T T F F

p  (p  q) T F F F

[p  (p  q)]  q T T T T

ดังนั้น [p  (p  q)]  q เป็นสัจนิรันดร์ 1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา

สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  (p  q) ได้ดังนี้ p

q p p  q p  q

T T F F

T F T F

(p  q)  (p  q)

ดังนั้น …………………………………………………........................................................................

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

34

34

2. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [(p  r)  r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา

สร้างตารางค่าความจริงของ [p  (q  r)]  [(p  r)  r] ได้ดังนี้

p q

r

r

T T T T F F F F

T F T F T F T F

F T F T F T F T

T T F F T T F F

q  r p  (q  r) p  r

(p  r)  r

[p  (q  r)]  [(p  r)  r]

ดังนั้น …………………………………………………........................................................................

3. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา .................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

35

35

4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  q)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา .................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................

5. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [(p  q)  r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา .................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

36

36

แบบฝึกทักษะที่ 2.5 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ โดยวิธีการหาข้อขัดแย้ง

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถตรวจสอบความเป็นสัจนิรนั ดร์ของรูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้โดยวิธีการหาข้อขัดแย้งได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลา ในการศึกษาใบความรู้ 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

37

37

ใบความรู้ที่ 2.5

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ โดยวิธีการหาข้อขัดแย้ง

เนื่องจากรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์นั้นมีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ดังนั้นจึงสามารถตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์เมื่อรูปแบบของประพจน์เชื่อมด้วย ตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” () และ “หรือ” () โดย วิธีการหาข้อขัดแย้ง ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้

กรณีที่ 1 รูปแบบของประพจน์เชื่อมด้วยตัวเชื่อม “ถ้า... แล้ว...” () เมื่อ p และ q แทนประพจน์ พิจารณาค่าความจริงของ p  q ดังนี้ p T T F F

q T F T F

pq T F T T

เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว

พบว่า p  q เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ เมื่อ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จ ดังนั้น แนวทางในการตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์จะพิจารณาดูว่า เกิดกรณีที่ p  q เป็นเท็จได้หรือไม่ ถ้าเกิดขึ้นได้แสดงว่ารูปแบบ ของประพจน์ดังกล่าวมีโอกาสเป็นเท็จ ซึ่งสรุปได้ว่ารูปแบบของประพจน์ ดังกล่าว ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้ากรณีนี้เกิดขึ้นไม่ได้จะพบว่ารูปแบบ ของประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น จะสามารถ สรุปได้ว่ารูปแบบของประพจน์ดังกล่าว เป็นสัจนิรนั ดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

38

38

สามารถสรุปเป็นแนวทางการตรวจสอบได้ดังตัวอย่างที่ 1 กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ตัวอย่างที่ 1

วิธีที่ 1 การสร้างตารางค่าความจริง สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  (p  q) ได้ดังนี้ p T T F F

q T F T F

pq T F F F

pq T F T T

(p  q)  (p  q) T T T T

วิธีที่ 2 การหาข้อขัดแย้ง วิธีทา ขั้นที่ 1 สมมุติให้รูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นเท็จ สมมุตใิ ห้ (p  q)  (p  q) มีค่าความจริงเป็นเท็จ (p  q)  (p  q) F T T

F T

T

F

ขัดแย้งกัน ขั้นที่ 2 หาค่าความจริงของประพจน์ย่อยแล้วตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของรูปแบบ ของประพจน์ ดังนี้ - ถ้ามีข้อขัดแย้งกับที่สมมุติไว้แสดงว่ารูปแบบของประพจน์นั้น เป็นสัจนิรันดร์ - ถ้าไม่มีข้อขัดแย้งกับที่สมมุติไว้แสดงว่ารูปแบบของประพจน์นนั้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า (p  q)  (p  q) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

39

39

กรณีที่ 2 รูปแบบของประพจน์เชื่อมด้วยตัวเชื่อม “หรือ” ()

เมื่อ p และ q แทนประพจน์ พิจารณาค่าความจริงของ p  q ดังนี้

p T T F F

q T F T F

pq T T T F

เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว

พบว่า p  q เป็นเท็จเพียงกรณีเดียว คือ เมื่อ p และ q เป็นเท็จ ดังนั้น แนวทางในการตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์จะพิจารณาดูว่าเกิดกรณีที่ p  q เป็นเท็จได้หรือไม่ ถ้าเกิดขึ้นได้แสดงว่ารูปแบบของประพจน์ดังกล่าวมีโอกาส เป็นเท็จ ซึ่งสรุปได้ว่ารูปแบบของประพจน์ดังกล่าว ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้ากรณีนี้เกิดขึ้นไม่ได้จะพบว่ารูปแบบของประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริง เป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น จะสามารถสรุปได้ว่ารูปแบบของประพจน์ดังกล่าว เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

40

40

สามารถสรุปเป็นแนวทางการตรวจสอบได้ดังตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างที่ 2

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [(p  r) r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

วิธีทา ขั้นที่ 1 สมมุติให้รูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นเท็จ สมมุตใิ ห้ [p  (q  r)]  [(p  r) r] มีค่าความจริงเป็นเท็จ [p  (q  r)]  [(p  r) r] F F

F

T

F F

T F

T

F T

ขัดแย้งกัน

ขั้นที่ 2 หาค่าความจริงของประพจน์ย่อยแล้วตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของรูปแบบ ของประพจน์ ดังนี้ - ถ้ามีข้อขัดแย้งกับที่สมมุติไว้แสดงว่ารูปแบบของประพจน์นั้น เป็นสัจนิรันดร์ - ถ้าไม่มีข้อขัดแย้งกับที่สมมุติไว้แสดงว่ารูปแบบของประพจน์นนั้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ r เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [p  (q  r)]  [(p  r) r] เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [p  (q  r)]  [(p  r) r] เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

41

41

ศึกษาตัวอย่างแนวทางการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์โดยวิธีการ หาข้อขัดแย้งได้จากตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 3 วิธีทา

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p  q)  p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

สมมุติว่า (p  q)  p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (p  q)  p F T

F T

T T จากแผนภาพ จะเห็นว่ามีกรณีที่ p และ q เป็นจริง ที่ทาให้รูปแบบของประพจน์ (p  q)  p เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ (p  q)  p ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ตัวอย่างที่ 4 วิธีทา

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [(p  q)  (q  r)]  (p  r) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

สมมุตใิ ห้ [(p  q)  (q  r)]  (p  r) มีค่าความจริงเป็นเท็จ [(p  q)  (q  r)]  (p  r) F T

F

T T

T T

T

T

F

T

ขัดแย้งกัน จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ r เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [(p  q)  (q  r)]  (p  r) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [(p  q)  (q  r)]  (p  r) เป็นสัจนิรันดร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

42

42

ตัวอย่างที่ 5 วิธีทา

กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [(p  q)  (r  s)]  [(p  q)  (q  s)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

สมมุตใิ ห้ [(p  q)  (r  s)]  [(p  q)  (q  s)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ [(p  q)  (r  s)]  [(p  q)  (q  s)] F T

F

T

T

T T

T

T

F T T

F

F

F

จากแผนภาพ จะเห็นว่ามีกรณีที่ p กับ q เป็นจริง และ r กับ s เป็นเท็จ ที่ทาให้รูปแบบ ของประพจน์[(p  q)  (r  s)]  [(p  q)  (q  s)] เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [(p  q)  (r  s)]  [(p  q)  (q  s)] ไม่เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

43

43

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์

แบบฝึกทักษะที่ 2.5 ที่เป็นสัจนิรันดร์โดยวิธีการหาข้อขัดแย้ง

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ ตัวอย่าง กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (p  q)]  q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา สมมุตใิ ห้ [p  (p  q)]  q มีค่าความจริงเป็นเท็จ [p  (p  q)]  q F T

F

T

T T

T

ขัดแย้งกัน จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [p  (p  q)]  q เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [p  (p  q)]  q เป็นสัจนิรันดร์ 1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงเติมคาตอบ โยงเส้นหรืออธิบายเหตุผล เพื่อแสดงการตรวจสอบว่า [p  (p  q)]  p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการ หาข้อขัดแย้ง (2 คะแนน) วิธีทา สมมุตใิ ห้ [p  (p  q)]  p มีค่าความจริงเป็นเท็จ [p  (p  q)]  p F T

F

T

T F

T

T T

จากแผนภาพ จะเห็นว่า......................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ดังนั้น .................................................................................................................................... แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

44

44

2. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงเติมคาตอบ โยงเส้น หรืออธิบายเหตุผล เพื่อแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (2 คะแนน) วิธีทา

สมมุติให้ (p  q)  (p  q) มีค่าความจริงเป็นเท็จ (p  q)  (p  q) F F

F

T

F

จากแผนภาพ จะเห็นว่า......................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ดังนั้น ....................................................................................................................................

3. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงเติมคาตอบ โยงเส้น หรืออธิบายเหตุผล เพื่อแสดงการตรวจสอบว่า [(p  q)  r]  [(p  q)  (r  p)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (2 คะแนน) วิธีทา

สมมุตใิ ห้ [(p  q)  r]  [(p  q)  (r  p)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ [(p  q)  r]  [(p  q)  (r  p)] F T

F F F

F F

T

T

F F

จากแผนภาพ จะเห็นว่า......................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ดังนั้น .................................................................................................................................... แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

45

45

4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  [r  (p  q)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (3 คะแนน)

จากแผนภาพ จะเห็นว่า......................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ดังนั้น ....................................................................................................................................

5. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [p  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (3 คะแนน)

จากแผนภาพ จะเห็นว่า......................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ดังนั้น .................................................................................................................................... แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

46

46

6. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า {[(p  r)  (q  s)]  (p  q)}  (r  s) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (3 คะแนน)

จากแผนภาพ จะเห็นว่า......................................................................................................... ................................................................................................................................................................ ดังนั้น ....................................................................................................................................

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

47

47

แบบฝึกทักษะที่ 2.6 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ โดยใช้รปู แบบประพจน์ที่สมมูลกัน

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถตรวจสอบความเป็นสัจนิรนั ดร์ของรูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลา ในการศึกษาใบความรู้ 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

48

48

ใบความรู้ที่ 2.6

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

ทบทวน ชวนคิด

การเชื่อมประพจน์ด้วย “ก็ต่อเมื่อ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ใหม่จะเป็นจริง ในกรณีที่ประพจน์ที่นามาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงด้วยกันทั้งคู่หรือเป็นเท็จด้วยกัน ทั้งคู่เท่านั้น กรณีอื่น ๆ เป็นเท็จเสมอ ถ้า p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ใหม่ที่ได้จากการเชื่อมประพจน์ p กับประพจน์ q ด้วย “ก็ต่อเมื่อ” คือ “p ก็ต่อเมื่อ q” เขียนแทนด้วย p  q และเขียนตารางค่าความจริงได้ ดังนี้ p

q

pq

T

T

T

T

F

F

F

T

T

F

F

T

ประพจน์ p  q เป็นจริง เมื่อประพจน์ย่อยมีค่า ความจริงเหมือนกัน

เนื่องจากรูปแบบของประพจน์ที่เชื่อมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” () จะ เป็นจริง ในกรณี ที่ประพจน์ที่นามาเชื่อมกันนั้นเป็นจริงด้วยกันทั้งคูห่ รือเป็นเท็จด้วยกันทั้งคู่เท่านั้น กรณีอื่น ๆ เป็นเท็จ เสมอ ดังนั้น หากแสดงได้ว่ารูปแบบของประพจน์ที่เชื่อมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” มีค่าความจริงเหมือนกัน ก็จะทาให้สามารถสรุปได้ว่ารูปแบบประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์เนื่องจากไม่มีกรณีที่ความจริง จะเป็นเท็จ การตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์สาหรับรูปแบบของประพจน์ที่เชื่อมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” จึงตรวจสอบได้โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันโดยมีตัวอย่างดังต่อไปนี้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

49

49

ตัวอย่างที่ 1

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (p  q)

วิธีทา



(p  q)

จะต้องพิจารณาว่า (p  q) สมมูลกับ (p  q) หรือไม่ พิจารณา (p  q)  (p  q)  p  q ดังนั้น (p  q)  (p  q) นั่นคือ (p  q) และ (p  q) มีค่าความจริงเหมือนกัน ทาให้ (p  q)  (p  q) มีค่าความจริงเป็นจริง สรุปได้ว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 2 วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า (p  q)  r สมมูลกับ p  (q  r) หรือไม่ พิจารณา p  (q  r)  p  (q  r)  p  (q  r)  (p  q)  r  (p  q)  r  (p  q)  r จะได้ว่า (p  q)  r  p  (q  r) ดังนั้น [(p  q)  r]  [p  (q  r)] ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 3 วิธีทา

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [(p  q)  r]  [p  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [(p  q)  (p  q)]  [(p  q)  (p  q)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

จะต้องพิจารณาว่า (p  q)  (p  q) สมมูลกับ (p  q)  (p  q) หรือไม่ พิจารณา (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q) จะได้ว่า (p  q)  (p  q)  (p  q)  (p  q) ดังนั้น [(p  q)  (p  q)]  [(p  q)  (p  q)] เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

50

50

ตัวอย่างที่ 4 วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า (p  q)  (p  r) สมมูลกับ (q  r)  p หรือไม่ พิจารณา (p  q)  (p  r)  (p  q)  (p  r)  p  (q  r)  (q  r)  p  (q  r)  p จะได้ว่า (p  q)  (p  r)  (q  r)  p ดังนั้น [(p  q)  (p  r)]  [(q  r)  p] ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 5 วิธีทา

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [(p  q)  (p  r)]  [(q  r)  p] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า [(p  q)  r]  [(q  r)  p] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

จะต้องพิจารณาว่า (p  q)  r สมมูลกับ (q  r)  p หรือไม่ พิจารณา (p  q)  r  (p  q)  r จะได้ว่า [(p  q)  r]  (q  r)  p ดังนั้น [(p  q)  r]  [(q  r)  p] ไม่เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

51

51

15 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ แบบฝึกทักษะที่ 2.6 ที่เป็นสัจนิรันดร์โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน คะแนน ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................

ตัวอย่าง กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงว่า (p  q)  [(q  p)] วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า p  q สมมูลกับ (q  p) หรือไม่ พิจารณา p  q  q  p  q  p  (q  p) จะได้ว่า p  q  (q  p) ดังนั้น (p  q)  [(q  p)] เป็นสัจนิรันดร์

1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงอธิบายเหตุผลเพื่อสรุปการตรวจสอบว่า [(p  q)  r]  r  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (1 คะแนน) วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า (p  q)  r สมมูลกับ r  (p  q) หรือไม่ พิจารณา (p  q)  r  r  (p  q)  r  (p  q) จะได้ว่า (p  q)  r ………………. (สมมูลกับ/ ไม่สมมูลกับ) r  (p  q) ดังนั้น [(p  q)  r]  r  (p  q) ………………… (เป็น/ ไม่เป็น) สัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

52

52

2. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงเติมรูปแบบของประพจน์และอธิบายเหตุผลเพื่อสรุป การตรวจสอบว่า [(p  r)  (p  q)]  [p  (r  q)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (2 คะแนน) วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า (p  r)  (p  q) สมมูลกับ p  (r  q) หรือไม่ พิจารณา (p  r)  (p  q)  (p  r)  (p  q)  p  p  r  q  p  r  q  p  (r  q)  ………………………….  …………………………. จะได้ว่า (p  r)  (p  q) ………………. (สมมูลกับ/ ไม่สมมูลกับ) p  (r  q) ดังนั้น [(p  r)  (p  q)]  [p  (r  q)] ………………… (เป็น/ ไม่เป็น)

สัจนิรันดร์ 3. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [(p  r)  (q  r)]  [(p  q)  r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (4 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

53

53

4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (4 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [(p  q)  (r  q)]  [(p  r)  q] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (4 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

54

54

แบบทดสอบหลังเรียน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

คาชี้แจง 1 .แบบทดสอบเป็นแบบเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จานวน 10 ข้อ 10 คะแนน ใช้เวลาในการทาแบบทดสอบ 20 นาที 2. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมาย กากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก 1. ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ (p  r)  (q  r) สมมูลกับประพจน์ในข้อใด 1. (p  q)  r 2. (p  q)  r 3. (p  q)  r 4. (p  q)  r 2. ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ที่สมมูลกับประพจน์ “ถ้าแดงขยันแล้วแดงจะไม่หยุดงาน” 1. แดงขยันหรือแดงหยุดงาน 2. ถ้าแดงหยุดงานแล้วแดงขยัน 3. แดงเป็นคนขยันและไม่หยุดงาน 4. ถ้าแดงหยุดงานแล้วแดงจะไม่ขยัน 3. ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ประพจน์ p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (q  p)  (p  r) ข. ประพจน์ p  (p  (q  r)) สมมูลกับประพจน์ p  (q  r) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ข้อ ก และ ข ถูก 2. ข้อ ก ผิด แต่ ข ถูก 3. ข้อ ก ถูก แต่ ข ผิด 4. ข้อ ก และ ข ผิด

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

55

55

4. ให้ r และ s เป็นประพจน์ ประพจน์ใดต่อนี้สมมูลกับประพจน์ r  s 1. r  s 2. s  r 3. (r  s) 4. (r  s) 5. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. (p  q)  r สมมูลกับ r  (p  q) 2. (p  q)  r สมมูลกับ r  (p  q) 3. (p  q) ไม่สมมูลกับ p  q 4. p  (q  r) ไม่สมมูลกับ p  (q  r) 6. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่ถูกต้อง 1. (p  q)  [(p  r)  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์ 2. (p  q)  [p  (q  p)] เป็นสัจนิรันดร์ 3. (p  q)  r สมมูลกับ (p  r)  (q  r) 4. (p  q)  r สมมูลกับ (p  r)  (q  r) 7. กาหนดให้ p, r, s, t และ w เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 1. [(r  s)  (t  w)]  [(r  s)  (t  w)] 2. [(r  s)  (r  t)]  [(r  (s  t)] 3. [r  (s  t)]  [r  (s  t)] 4. [p  (t  w)]  (p  r) 8. ให้ p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดเป็นสัจนิรันดร์ 1. (p  q)  (q  p) 2. (p  q)  (p  q) 3. [(p  q)  p]  (p  q) 4. [(p  q)  q]  (p  q) 9. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 1. (p  q)  (p  q) 2. (p  q)  (p  q) 3. p  (p  q) 4. (p  p)  (q q)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

56

56

10. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่ถูกต้อง 1. [(p  q)  r]  [p  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์ 2. [(p  q)  (p  r)]  [(q  r)  p] ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 3. [q  (p  q)]  (q  p) เป็นสัจนิรันดร์ 4. [p  (p  q)]  q ไม่เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

57

57

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ แบบทดสอบหลังเรียน เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ กระดาษคาตอบ

ชื่อ......................................................................... ชั้น ............ เลขที่ .........

คาชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก

ข้อ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ คิดเป็นร้อยละ

10

ผลการประเมิน  ผ่าน  ไม่ผ่าน ลงชื่อ .............................................. ผู้ตรวจ ( ............................................ )

เกณฑ์ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

58

58

แบบบันทึกคะแนน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ ชื่อ ................................................................................ ชั้น ......... เลขที่ ........

1. คะแนนแบบทดสอบ แบบทดสอบ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ แบบทดสอบก่อนเรียน 10 แบบทดสอบหลังเรียน 10 2. คะแนนแบบฝึกทักษะ รายการ แบบฝึกทักษะที่ 2.1 แบบฝึกทักษะที่ 2.2 แบบฝึกทักษะที่ 2.3 แบบฝึกทักษะที่ 2.4 แบบฝึกทักษะที่ 2.5 แบบฝึกทักษะที่ 2.6 รวม

คิดเป็นร้อยละ

ผลการประเมิน

คะแนนเต็ม 15 15 15 15 15 15 90

คะแนนที่ได้

คิดเป็นร้อยละ ผลการประเมิน เกณฑ์ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 % ลงชื่อ ................................................................... ผู้บันทึก วันที่.............เดือน....................... พ. ศ. ...............

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

59

59

บรรณานุกรม กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ : ตรรกศาสตร์. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ ฟิสิกส์เซนเตอร์. คณาจารย์มหาวิทยาลัยมหาจุฬาลงกรณราชวิทยาลัย. (2551). คณิตศาสตร์เบื้องต้น (Basic Mathematics). กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์มหาจุฬาลงกรณราชวิทยาลัย. ณรงค์ ปั้นนิ่ม และรณชัย มาเจริญทรัพย์. (2554). คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4 เล่ม 1 ช่วงชั้นที่ 4 ม. 4 – 6. กรุงเทพฯ : ภูมิบัณฑิตการพิมพ์. เทพฤทธิ์ ยอดใส และอุดมศักดิ์ ลูกเสือ. (2552). เก็งข้อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ พ.ศ. พัฒนา. นรพนธ์ อุสาใจ. (2557). เฉลยข้อสอบโควตา ม. เชียงใหม่ ฉบับรวม 21 พ.ศ. 2537 – 2557 คณิตศาสตร์ (สายวิทย์). กรุงเทพฯ : ศิวา โกลด์ มีเดีย. พิพัฒน์พงศ์ ศรีวิศร. (2553). คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4 – 6 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ เดอะบุคส์. ไพโรจน์ เยียระยง. (2559). ตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย. เลิศ สิทธิโกศล. (2554). Math Review คณิตศาสตร์ ม. 4 – 6 เล่ม 1 เพิ่มเติม. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จากัด. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. พิมพ์ครั้งที่ 3. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2556). คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สมัย เหล่าวานิชย์ และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. (2554). Hi – ED’ s Mathematics ม. 4 – 6 เล่ม 1 (รายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง.

Harry J. Gensler. (2010). Introduction to logic. 2nd ed. New York : Routledge. .

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

60

60

ภาคผนวก

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

61

61

ภาคผนวก ก เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

62

62

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ แบบทดสอบก่อนเรียน เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ เฉลย

ข้อ 1 2 3 4 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1 –10 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนเลือกคาตอบได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนเลือกคาตอบไม่ถูกต้อง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

63

63

ภาคผนวก ข เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

64

64

เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ 1. ตอบข้อ 3 ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ที่สมมูลกับประพจน์ “ถ้าแดงขยันแล้วแดงจะไม่หยุดงาน” แนวคิด จาก “ถ้าแดงขยันแล้วแดงจะไม่หยุดงาน” ให้ p แทนประพจน์ แดงขยัน q แทนประพจน์ แดงหยุดงาน เขียนสัญลักษณ์แทนประพจน์ได้เป็น p  q พิจารณา p  q  (q)  p (การย้ายข้างหรือคู่สลับ)  q  p (การปฏิเสธซ้อน) ดังนั้น p  q  q  p นั่นคือ ถ้าแดงขยันแล้วแดงจะไม่หยุดงาน สมมูลกับ ถ้าแดงหยุดงานแล้วแดงจะไม่ขยัน 2. ตอบข้อ 2 ให้ r และ s เป็นประพจน์ ประพจน์ใดต่อนี้สมมูลกับประพจน์ r  s แนวคิด พิจารณา r  s  r  s (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  (r  s) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน) ดังนั้น r  s  (r  s) 3. ตอบข้อ 3 ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ (p  r)  (q  r) สมมูลกับประพจน์ในข้อใด แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 3 พิจารณา (p  q)  r  (p  q)  r (ทฤษฎีเดอมอร์แกน)  r  (p  q) (การสลับที่)  (r  p)  (r  q) (การแจกแจง)  (p  r)  (q  r) (การสลับที่)  (p  r)  (q r) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) ดังนั้น (p  q)  r  (p  r)  (q r)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

65

65

4. ตอบข้อ 1 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 1. (p  q)  r สมมูลกับ r  (p  q) พิจารณา (p  q)  r  r  (p  q) (การย้ายข้างหรือคู่สลับ)  r  (p  q) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  r  [(p)  q) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน)  r  (p  q) (การปฏิเสธซ้อน) ดังนั้น (p  q)  r  r  (p  q) 5. ตอบข้อ 3 ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ประพจน์ p  (p  (q  r)) สมมูลกับประพจน์ p  (q  r) ข. ประพจน์ p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (q  p)  (p  r) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง แนวคิด จาก ก. ประพจน์ p  (p  (q  r)) สมมูลกับประพจน์ p  (q  r) พิจารณา p  (p  (q  r))  p  (p  (q  r)) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  p  (p  (q  r)) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  (p  p)  (q  r) (การเปลี่ยนหมู่)  p  (q  r) (สัจนิรันดร์)  p  (q  r) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) ดังนั้น ประพจน์ p  (p  (q  r)) สมมูลกับประพจน์ p  (q  r) จาก ข. ประพจน์ p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (q  p)  (p  r) จะได้ว่า p  (q  r)  p  (q  r) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  (p  q)  (p  r) (การแจกแจง)  (p  q)  (p  r) (ทฤษฎีเดอร์มอแกน)  (p  q)  (p  r) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) ดังนั้น p  (q  r) ไม่สมมูลกับ (q  p)  (p  r) สรุปได้ว่า ข้อ ก ถูก แต่ ข ผิด

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

66

66

6. ตอบข้อ 4 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 4. p  (p  q) พิจารณา p  (p  q) ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง p  (p  q) F T

F

T F จากแผนภาพ จะเห็นว่ามีกรณีที่ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จ ที่ทาให้รูปแบบของประพจน์ p  (p  q) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ p  (p  q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 7. ตอบข้อ 4 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่ถูกต้อง แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 4. (p  q)  [(p  r)  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์ พิจารณา (p  q)  [(p  r)  (q  r)] ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยหาข้อขัดแย้ง (p  q)  [(p  r)  (q  r)] F T

F F F

F F

F

F

F F จากแผนภาพ จะเห็นว่ามีกรณีที่ p, q และ r เป็นเท็จ ที่ทาให้รูปแบบของประพจน์ (p  q)  [(p  r)  (q  r)] เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ (p  q)  [(p  r)  (q  r)] ไม่เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

67

67

8. ตอบข้อ 1 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่ถูกต้อง แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 1. [p  (p  q)]  q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ พิจารณา [p  (p  q)]  q ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยหาข้อขัดแย้ง [p  (p  q)]  q F T

F

T

T

ขัดแย้งกัน

T T จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [p  (p  q)]  q เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [p  (p  q)]  q เป็นสัจนิรันดร์ 9. ตอบข้อ 2 กาหนดให้ p, r, s, t และ w เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 2. [p  (t  w)]  (p  r) พิจารณา [p  (t  w)]  (p  r) ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยหาข้อขัดแย้ง [p  (t  w)]  (p  r)

F T

F F T

T

F

F T

T T จากแผนภาพ จะเห็นว่ามีกรณีที่ p, t และ w เป็นจริง และ r เป็นเท็จ ที่ทาให้รูปแบบ ของประพจน์ [p  (t  w)]  (p  r) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [p  (t  w)]  (p  r) ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

68

68

10. ตอบข้อ 4 ให้ p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดเป็นสัจนิรันดร์ แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 4. [(p  q)  p]  (p  q) พิจารณา [(p  q)  p]  (p  q) ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยหาข้อขัดแย้ง [(p  q)  p]  (p  q) F T T T

F T

T

T

F ขัดแย้งกัน

F

F จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ p เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [(p  q)  p]  (p  q) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [(p  q)  p]  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

69

69

ภาคผนวก ค เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

70

70

เฉลย

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน แบบฝึกทักษะที่ 2.1 โดยการสร้างตารางค่าความจริง

15 คะแนน

1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงเติมคาตอบเพื่อแสดงการตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ (p  q)  (q  p) หรือไม่โดยการสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  q กับ (p  q)  (q  p) ดังนี้ p T T F F

q T F T F

pq T F T T

qp T T F T

pq T F F T

(p  q)  (q  p) T F F T

จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ p  q กับ (p  q)  (q  p) ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p  q สมมูลกับ (p  q)  (q  p) เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถเติมค่าความจริงในตารางที่กาหนดให้เพื่อแสดงการตรวจสอบ ว่า p  q สมมูลกับ (p  q)  (q  p) หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง และ สามารถสรุปผลการตรวจสอบ ได้อย่างถูกต้อง 2 นักเรียนสามารถเติมค่าความจริงในตารางที่กาหนดให้เพื่อแสดงการตรวจสอบ ว่า p  q สมมูลกับ (p  q)  (q  p) หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้ 1 นักเรียนไม่สามารถเติมค่าความจริงในตารางที่กาหนดให้เพื่อแสดง การตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ (p  q)  (q  p) หรือไม่ได้ แต่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถเติมค่าความจริงในตารางที่กาหนดให้เพื่อแสดง การตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ (p  q)  (q  p) หรือไม่ได้ และไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบ ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

71

71

2. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  q สมมูลกับ p  q หรือไม่ โดยการสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  q กับ p  q ดังนี้ p T T F F

q T F T F

p F F T T

q F T F T

pq T T T F

p  q F F F T

จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ p  q กับ p  q ไม่ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p  q ไม่สมมูลกับ p  q หรือไม่ 3. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  r สมมูลกับ p  (q  r) หรือไม่โดยใช้การสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  r กับ p  (q  r) ดังนี้ p T T T T F F F F

q T T F F T T F F

r T F T F T F T F

pq T T F F F F F F

qr T F F F T F F F

(p  q)  r T F F F F F F F

p  (q  r) T F F F F F F F

จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ (p  q)  r กับ p  (q  r) ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น (p  q)  r สมมูลกับ p  (q  r)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

72

72

4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r) หรือไม่โดยการสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา สร้างตารางค่าความจริงของ p  (q  r) กับ (p  q)  (p  r) ดังนี้ p T T T T F F F F

q T T F F T T F F

r qr pq pr p  (q  r) (p  q)  (p  r) T T T T T T F T T F T T T T F T T T F F F F F F T T F F F F F T F F F F T T F F F F F F F F F F จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ p  (q  r) กับ (p  q)  (p  r) ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r)

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 9 คะแนน ให้คะแนนข้อ 2 – 4 ข้อละ 3 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถสร้างตารางค่าความจริงเพื่อแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ได้อย่างถูกต้อง และสามารถสรุปผล การตรวจสอบ ได้อย่างถูกต้อง 2 นักเรียนสามารถสร้างตารางค่าความจริงเพื่อแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถ สรุปผลการตรวจสอบได้ 1 นักเรียนไม่สามารถสร้างตารางค่าความจริงเพื่อแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ได้ แต่สามารถสรุปผลการตรวจสอบ ได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถสร้างตารางค่าความจริงเพื่อแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ได้ และไม่สามารถสรุปผล การตรวจสอบ ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

73

73

5. จงตรวจสอบว่าข้อความ “ถ้าฝนตกหนักและน้าท่วมกรุงเทพ ฯ แล้วการจราจรจะติดขัด” สมมูลกับ “ฝนไม่ตกหนักหรือน้าไม่ท่วมกรุงเทพฯ หรือการจราจรติดขัด” หรือไม่โดยการสร้างตาราง ค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา จาก “ถ้าฝนตกหนักและน้าท่วมกรุงเทพ ฯ แล้วการจราจรจะติดขัด” และ “ฝนไม่ตกหนักหรือน้าไม่ท่วมกรุงเทพ ฯ หรือการจราจรติดขัด” ให้ p แทนประพจน์ ฝนตกหนัก q แทนประพจน์ น้าท่วนกรุงเทพ ฯ r แทนประพจน์ การจราจรติดขัด เขียนสัญลักษณ์แทนข้อความ “ถ้าฝนตกหนักและน้าท่วมกรุงเทพ ฯ แล้วการจราจร จะติดขัด” ได้เป็น (p  q)  r เขียนสัญลักษณ์แทนข้อความ “ฝนไม่ตกหนักหรือน้าไม่ท่วมกรุงเทพ ฯ หรือการจราจร ติดขัด” ได้เป็น (p  q)  r สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  r กับ (p  q)  r ดังนี้ p T T T T F F F F

q T T F F T T F F

r p T F F F T F F F T T F T T T F T

q p  q

F F T T F F T T

T T F F F F F F

p  q

F F T T T T T T

(p  q)  r T F T T T T T T

(p  q)  r T F T T T T T T

จะเห็นได้ว่า ค่าความจริงของ (p  q)  r กับ (p  q)  r ตรงกันกรณีต่อกรณี ดังนั้น “ถ้าฝนตกหนักและน้าท่วมกรุงเทพ ฯ แล้วการจราจรจะติดขัด” สมมูลกับ “ฝนไม่ตกหนักหรือน้าไม่ท่วมกรุงเทพฯ หรือการจราจรติดขัด”

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

74

74

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวนสองข้อความ สามารถสร้างตารางค่าความจริงเพื่อแสดงการตรวจสอบ ว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ได้อย่างถูกต้อง และ สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 2 นักเรียนสามารถเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวนสองข้อความ สามารถสร้างตารางค่าความจริงเพื่อแสดงการตรวจสอบ ว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้ 1 นักเรียนสามารถเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวนสองข้อความ แต่ไม่สามารถสร้างตารางค่าความจริงเพื่อแสดง การตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ได้ และไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้ 0 นักเรียนไม่สามารถเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้ ไม่สามารถแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกัน หรือไม่ และไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

75

75

เฉลย

แบบฝึกทักษะที่ 2.2

15 คะแนน

การเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

1. กาหนดให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ ให้นักเรียนเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูล กับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ โดยเติมคาตอบลงในช่องว่าง (10 คะแนน) รูปแบบของประพจน์

รูปแบบของประพจน์ ที่สมมูลกัน

s  t

t  s

1.2 การเปลี่ยนหมู่

r  (s  t)

(r  s)  t

1.3 การแจกแจง

p  (r  t)

(p  r)  (p  t)

(s  t)

s  t

(q)

q

1.6 การย้ายข้างหรือคู่สลับ

p  q

p  q

1.7 การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข

r  s

(r)  s

1.8 การเปลี่ยนรูปสมมูล

st

(s  t)  (t  s)

p  (q  r)

(p  q)  r

(p  q)  (p  q)

pq

ข้อ

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

1.1 การสลับที่

1.4 ทฤษฎีเดอมอร์แกน 1.5 การปฏิเสธซ้อน

1.9 การรวมเงื่อนไข 1.10 สัจนิรันดร์

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1.1 – 1.10 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

76

76

2. ให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ ให้นักเรียนพิจารณาการแสดงว่ารูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้สมมูลกัน แล้วเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันตามที่กาหนดให้ลงในช่องว่าง (5 คะแนน) 2.1 จงแสดงว่า p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r) (3 คะแนน) วิธีทา

พิจารณา p  (q  r) 

p  (q  r)

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)



(p  q)  (p  r)

(การแจกแจง)



(p  q)  (p  r)

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)

ดังนั้น p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r)

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 4 ช่อง 2 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 3 ช่อง 1 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 2 ช่อง 0 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 1 ช่อง หรือ ไม่สามารถเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

77

77

2.2 จงแสดงว่า [(p  r)  q] สมมูลกับ (p  r)  q (2 คะแนน) วิธีทา

พิจารณา [(p  r)  q] 

(p  r)  q

(ทฤษฎีเดอมอร์แกน)



(p  r)  q

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)

ดังนั้น [(p  r)  q] สมมูลกับ (p  r)  q

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 2 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 3 ช่อง 1 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 2 ช่อง 0 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 1 ช่อง หรือ ไม่สามารถเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

78

78

เฉลย

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ แบบฝึกทักษะที่ 2.3 ที่สมมูลกันโดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

15 คะแนน

ให้นักเรียนแสดงการตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันที่กาหนดให้ โดยใช้รูปแบบประพจน์ ที่สมมูลกัน 1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงว่า (p  q) สมมูลกับ q  p โดยเติมคาตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง (3 คะแนน) วิธีทา พิจารณา (p  q)  [(p)  q]

ดังนั้น

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)

 (p  q)

(การปฏิเสธซ้อน)

 p  (q)]

(ทฤษฎีเดอมอร์แกน)

 p  q

(การปฏิเสธซ้อน)

 q  p

(การสลับที่)

(p  q)  q  p

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 6 ช่อง 2 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 4 – 5 ช่อง 1 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 2 – 3 ช่อง 0 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 1 ช่อง หรือ ไม่สามารถเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

79

79

2. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงว่า [(p  q)  r] สมมูลกับ r  (p  q) โดยเติมคาตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง (3 คะแนน) วิธีทา พิจารณา [(p  q)  r]  [(p  q)  r]

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)



(p  q)  (r)



[(p)  (q)]  (r) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน)



(p  q)  r

(การปฏิเสธซ้อน)



r  (p  q)

(การสลับที่)

(ทฤษฎีเดอมอร์แกน)

ดังนั้น [(p  q)  r]  r  (p  q) เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 6 ช่อง 2 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 4 – 5 ช่อง 1 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 2 – 3 ช่อง 0 นักเรียนสามารถเขียนรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวน 1 ช่อง หรือ ไม่สามารถเขียนรูปแบบ ของประพจน์ที่สมมูลกับรูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

80

80

3. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงว่า p  (q  r) สมมูลกับ q  (p  r) โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน (3 คะแนน) วิธีทา

พิจารณา p  (q  r)  p  (q  r)  p  (q  r)  (p  q)  r  (q  p)  r  q  (p  r)  q  (p  r)  q  (p  r) ดังนั้น p  (q  r)  q  (p  r)

(การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) (การเปลี่ยนหมู่) (การสลับที่) (การเปลี่ยนหมู่) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)

4. กาหนดให้ p, q, r และ s เป็นประพจน์ จงแสดงว่า (p  q)  [(q  r)  s] สมมูลกับ [(p  q)  (q  r)]  [(p  q)  s] โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน (3 คะแนน) วิธีทา พิจารณา (p  q)  [(q  r)  s]  [(p  q)  (q  r)]  [(p  q)  s] (การแจกแจง)  [(p  q)  (q  r)]  [(p  q)  s] (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) ดังนั้น (p  q)  [(q  r)  s]  [(p  q)  (q  r)]  [(p  q)  s] เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน ให้คะแนนข้อ 3 – 4 ข้อละ 3 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้อย่างถูกต้อง และสามารถสรุปผลการตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 2 นักเรียนสามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้ 1 ไม่พิจารณาให้คะแนนระดับนี้ 0 นักเรียนไม่สามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้ และไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

81

81

5. จงแสดงว่า “ถ้าฟ้าไม่ร้องหรือฟ้าไม่ครึ้มแล้วฝนจะไม่ตก” สมมูลกับ “ฟ้าร้องและฟ้าครึ้ม หรือฝนไม่ตก” โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน (3 คะแนน) วิธีทา จาก “ถ้าฟ้าไม่ร้องหรือฟ้าไม่ครึ้มแล้วฝนจะไม่ตก” และ “ฟ้าร้องและฟ้าครึ้ม หรือฝนไม่ตก” ให้ p แทนประพจน์ ฟ้าร้อง q แทนประพจน์ ฟ้าครึ้ม r แทนประพจน์ ฝนตก เขียนสัญลักษณ์แทนข้อความ “ถ้าฟ้าไม่ร้องหรือฟ้าไม่ครึ้มแล้วฝนจะไม่ตก” ได้เป็น (p  q)  r เขียนสัญลักษณ์แทนข้อความ “ฟ้าร้องและฟ้าครึ้มหรือฝนไม่ตก” ได้เป็น (p  q)  r พิจารณา (p  q)  r  (p  q)  r (ทฤษฎีเดอร์มอแกน)  (p  q)  r (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) จะได้ว่า (p  q)  r  (p  q)  r ดังนั้น “ถ้าฟ้าไม่ร้องหรือฟ้าไม่ครึ้มแล้วฝนจะไม่ตก” สมมูลกับ “ฟ้าร้องและฟ้าครึ้ม หรือฝนไม่ตก” เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวนสองข้อความ สามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน ได้อย่างถูกต้อง และสามารถสรุปผลการตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 2 นักเรียนสามารถเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวนสองข้อความ และสามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน ได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้ 1 นักเรียนสามารถเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้อย่างถูกต้อง จานวนสองข้อความ แต่ไม่สามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน ได้ และไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้ 0 นักเรียนไม่สามารถเขียนสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้จานวน สองข้อความ ไม่สามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันได้ และไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

82

82

เฉลย

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ แบบฝึกทักษะที่ 2.4 ที่เป็นสัจนิรันดร์โดยการสร้างตารางค่าความจริง

15 คะแนน

1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา

สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  (p  q) ได้ดังนี้ q p p  q p  q

p T T F F ดังนั้น

(p  q)  (p  q)

T F T T F F F F T T T T F T T T (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์

T T T T

2. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [(p  r)  r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) วิธีทา

สร้างตารางค่าความจริงของ [p  (q  r)]  [(p  r)  r] ได้ดังนี้

p q

r

r

T T T T F F F F

T F T F T F T F

F T F T F T F T

T T F F T T F F

q  r p  (q  r) p  r T T T F T T T F

T T T F T T T T

T T F F F F F F

(p  r)  r F T T F T F T F

[p  (q  r)]  [(p  r)  r] T T T F T T T T

ดังนั้น [p  (q  r)]  [(p  r)  r] ไม่เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

83

83

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1 – 2 ข้อละ 3 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถเขียนค่าความจริงลงในตารางได้อย่างถูกต้องทั้งหมด และสามารถสามารถสรุปผลการตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 2 นักเรียนสามารถเขียนค่าความจริงลงในตารางได้อย่างถูกต้องทั้งหมด แต่ไม่สามารถสามารถสรุปผลการตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 1 ไม่พิจารณาให้คะแนนระดับนี้ 0 นักเรียนไม่สามารถเขียนค่าความจริงลงในตารางได้ถูกต้องทั้งหมด และไม่สามารถสามารถสรุปผลการตรวจสอบได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

84

84

3. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) สร้างตารางค่าความจริงของ (p  q)  (p  q) ได้ดังนี้

วิธีทา

p q q T T F F

T F T F

F T F T

pq

p  q

(p  q)  (p  q)

T F T T

F T F F

T T T T

ดังนั้น (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์ 4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (5 คะแนน) สร้างตารางค่าความจริงของ [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] ได้ดังนี้

วิธีทา p q r

T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

qr

p  (q  r)

pq

pr

(p  q)  (p  r)

[p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)]

T

T F F F T T T T

T T F F T T T T

T F T F T T T T

T F F F T T T T

T T T T T T T T

F F

F T F F

F

ดังนั้น [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

85

85

5. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [(p  q)  r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยสร้างตารางค่าความจริง (3 คะแนน) สร้างตารางค่าความจริงของ [p  (q  r)]  [(p  q)  r] ได้ดังนี้

วิธีทา

p q r q q  r

T T T T F F F F

T T F F T T F F

T F T F T F T F

F F T T F F T T

T T T F T T T F

p  q

p  (q  r)

(p  q)  r

[p  (q  r)]  [(p  q)  r]

F F T T F F F F

T T T F T T T T

T T T T T T T T

T T T T T T T T

ดังนั้น [p  (q  r)]  [(p  q)  r] เป็นสัจนิรันดร์ เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 9 คะแนน ให้คะแนนข้อ 3 – 5 ข้อละ 3 คะแนน ดังนี้ ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่ กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง และสามารถสรุปผล การตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 2 นักเรียนสามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถสามารถ สรุปผลการตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 1 ไม่พิจารณาให้คะแนนระดับนี้ 0 นักเรียนไม่สามารถแสดงขั้นตอนการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง และไม่สามารถสามารถ สรุปผลการตรวจสอบได้ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

86

86

เฉลย

การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ แบบฝึกทักษะที่ 2.5 ที่เป็นสัจนิรันดร์โดยวิธีการหาข้อขัดแย้ง

15 คะแนน

1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงเติมคาตอบ โยงเส้นหรืออธิบายเหตุผล เพื่อแสดงการตรวจสอบว่า [p  (p  q)]  p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการ หาข้อขัดแย้ง (2 คะแนน) วิธีทา

สมมุตใิ ห้ [p  (p  q)]  p มีค่าความจริงเป็นเท็จ [p  (p  q)]  p F T

F

T

T

T ขัดแย้งกัน

F

T

T

จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ p เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [p  (p  q)]  p เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [p  (p  q)]  p เป็นสัจนิรันดร์ 2. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงเติมคาตอบ โยงเส้น หรืออธิบายเหตุผล เพื่อแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (2 คะแนน) วิธีทา

สมมุตใิ ห้ (p  q)  (p  q) มีค่าความจริงเป็นเท็จ (p  q)  (p  q) F F T

F F

F T

T T

จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ p และ q เป็นจริง ที่ทาให้รูปแบบของประพจน์ (p  q)  (p  q) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ (p  q)  (p  q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

87

87

3. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงเติมคาตอบ วงกลม โยงเส้น หรืออธิบายเหตุผล เพื่อแสดงการตรวจสอบว่า [(p  q)  r]  [(p  q)  (r  p)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (2 คะแนน) วิธีทา

สมมุตใิ ห้ [(p  q)  r]  [(p  q)  (r  p)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ [(p  q)  r]  [(p  q)  (r  p)] F T

F F F

F F

T

T

F F

ขัดแย้งกัน

จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ p เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [(p  q)  r]  [(p  q)  (r  p)] เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [(p  q)  r]  [(p  q)  (r  p)] เป็นสัจนิรันดร์ เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1 – 3 ข้อละ 2 คะแนน ดังนี้ ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 2 นักเรียนสามารถแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง และสามารถสรุปผลการตรวจสอบ ได้อย่างถูกต้อง 1 นักเรียนสามารถแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้ 0 นักเรียนไม่สามารถแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้ และไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

88

88

4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า (p  q)  [r  (p  q)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (3 คะแนน) วิธีทา

สมมุตใิ ห้ (p  q)  [r  (p  q)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ (p  q)  [r  (p  q)] F T

F T

F F

T

T

F

T ขัดแย้งกัน

จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า (p  q)  [r  (p  q)] เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ (p  q)  [r  (p  q)] เป็นสัจนิรันดร์ 5. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [p  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (3 คะแนน) วิธีทา สมมุตใิ ห้  (q  r)]  [p  (q  r)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ [p  (q  r)]  [p  (q  r)] F F

F

F

F

T F

T T

T

T

F ขัดแย้งกัน

จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ r เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [p  (q  r)]  [p  (q  r)] เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [p  (q  r)]  [p  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

89

89

6. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า {[(p  r)  (q  s)]  (p  q)}  (r  s) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง (3 คะแนน) วิธีทา สมมุตใิ ห้ {[(p  r)  (q  s)]  (p  q)}  (r  s) มีค่าความจริงเป็นเท็จ {[(p  r)  (q  s)]  (p  q)}  (r  s) F T

F

T

T

T F

F

F

T F

F

F

F

T

ขัดแย้งกัน

จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า {[(p  r)  (q  s)]  (p  q)}  (r  s) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ {[(p  r)  (q  s)]  (p  q)}  (r  s) เป็นสัจนิรันดร์ เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 9 คะแนน ให้คะแนนข้อ 4 – 6 ข้อละ 3 คะแนน ดังนี้ ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 3 นักเรียนสามารถเขียนแผนภาพ แสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ ที่กาหนดให้ป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง และสามารถสรุปผล การตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 2 นักเรียนสามารถเขียนแผนภาพและแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบ ของประพจน์ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถ สรุปผลการตรวจสอบได้อย่างถูกต้อง 1 นักเรียนสามารถเขียนแผนภาพ แต่ไม่สามารถแสดงการตรวจสอบ ว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้และไม่สามารถ สรุปผลการตรวจสอบได้ 0 นักเรียนไม่สามารถเขียนแผนภาพ ไม่สามารถแสดงการตรวจสอบ ว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้ และไม่สามารถ สรุปผลการตรวจสอบได้ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

90

90

15 การตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ แบบฝึกทักษะที่ 2.6 ที่เป็นสัจนิรันดร์โดยใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน คะแนน เฉลย

1. กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงอธิบายเหตุผลเพื่อสรุปการตรวจสอบว่า [(p  q)  r]  r  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (1 คะแนน) วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า (p  q)  r สมมูลกับ r  (p  q) หรือไม่ พิจารณา (p  q)  r  r  (p  q)  r  (p  q) จะได้ว่า (p  q)  r สมมูลกับ r  (p  q) ดังนั้น [(p  q)  r]  r  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์ เกณฑ์การให้คะแนน

คะแนนเต็ม 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสามารถอธิบายเหตุผลเพื่อสรุปการตรวจสอบว่าประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถอธิบายเหตุผลเพื่อสรุปการตรวจสอบว่าประพจน์ ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

91

91

2. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงเติมรูปแบบของประพจน์และอธิบายเหตุผลเพื่อสรุป การตรวจสอบว่า [(p  r)  (p  q)]  [p  (r  q)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (2 คะแนน) วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า (p  r)  (p  q) สมมูลกับ p  (r  q) หรือไม่ พิจารณา (p  r)  (p  q)  (p  r)  (p  q)  p  p  r  q  p  r  q  p  (r  q)  p  (r  q)  p  (r  q) จะได้ว่า (p  r)  (p  q) สมมูลกับ p  (r  q) ดังนั้น [(p  r)  (p  q)]  [p  (r  q)] เป็นสัจนิรันดร์ เกณฑ์การให้คะแนน

คะแนนเต็ม 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 2 นักเรียนสามารถเติมรูปแบบของประพจน์และอธิบายเหตุผล เพื่อสรุปการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่โดยการใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน 1 นักเรียนสามารถเติมรูปแบบของประพจน์ได้อย่างถูกต้อง แต่ไม่สามารถ อธิบายเหตุผลเพื่อสรุปการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยการใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน 0 นักเรียนไม่สามารถเติมรูปแบบของประพจน์ได้และไม่สามารถอธิบายเหตุผล เพื่อสรุปการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่โดยการใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

92

92

3. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [(p  r)  (q  r)]  [(p  q)  r] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (4 คะแนน) วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า (p  r)  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  r หรือไม่ พิจารณา (p  r)  (q  r)  (p  r)  (q  r)  r  r  p  q  r  (p  q)  (p  q)  r  (p  q)  r  (p  q)  r จะได้ว่า (p  r)  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  r ดังนั้น [(p  r)  (q  r)]  [(p  q)  r] เป็นสัจนิรันดร์

4. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (4 คะแนน) วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า p  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  (p  r) หรือไม่ พิจารณา p  (q  r)  p  (q  r)  (p  q)  (p  r)  (p  q)  (p  r) จะได้ว่า (p  r)  (q  r) สมมูลกับ (p  q)  r ดังนั้น [(p  r)  (q  r)]  [(p  q)  r] เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

93

93

5. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงแสดงการตรวจสอบว่า [(p  q)  (r  q)]  [(p  r)  q] เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (4 คะแนน) วิธีทา

จะต้องพิจารณาว่า (p  q)  (r  q) สมมูลกับ (p  r)  q หรือไม่ พิจารณา (p  r)  q  (p  r)  q  (p  r)  q  q  (p  r)  (q  p)  (q  r)  (p  q)  (r  q)  (p  q)  (r  q) จะได้ว่า (p  q)  (r  q) สมมูลกับ (p  r)  q ดังนั้น [(p  q)  (r  q)]  [(p  r)  q] เป็นสัจนิรันดร์ เกณฑ์การให้คะแนน

คะแนนเต็ม 12 คะแนน ให้คะแนนข้อ 3 – 5 ข้อละ 4 คะแนน ดังนี้ ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 4 นักเรียนสามารถแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นสัจนิรันดร์ได้อย่างถูกต้อง และสามารถสรุปผลการตรวจสอบ ได้อย่างถูกต้อง 3 ไม่พิจารณาให้คะแนนระดับนี้ 2 นักเรียนสามารถแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นสัจนิรันดร์ได้ไม่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของขั้นตอนทั้งหมด 1 ไม่พิจารณาให้คะแนนระดับนี้ 0 นักเรียนไม่สามารถแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ที่กาหนดให้ เป็นสัจนิรันดร์ได้ และไม่สามารถสรุปผลการตรวจสอบได้

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

94

94

ภาคผนวก ง เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

95

95

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ แบบทดสอบหลังเรียน เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ เฉลย

ข้อ 1 2 3 4 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1 –10 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนเลือกคาตอบได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนเลือกคาตอบไม่ถูกต้อง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

96

96

ภาคผนวก จ เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

97

97

เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ 1. ตอบข้อ 1 ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ (p  r)  (q  r) สมมูลกับประพจน์ในข้อใด แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 1 พิจารณา (p  q)  r  (p  q)  r (ทฤษฎีเดอมอร์แกน)  r  (p  q) (การสลับที่)  (r  p)  (r  q) (การแจกแจง)  (p  r)  (q  r) (การสลับที่)  (p  r)  (q r) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) ดังนั้น (p  q)  r  (p  r)  (q r) 2. ตอบข้อ 4 ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ที่สมมูลกับประพจน์ “ถ้าแดงขยันแล้วแดงจะไม่หยุดงาน” แนวคิด จาก “ถ้าแดงขยันแล้วแดงจะไม่หยุดงาน” ให้ p แทนประพจน์ แดงขยัน q แทนประพจน์ แดงหยุดงาน เขียนสัญลักษณ์แทนประพจน์ได้เป็น p  q p  q  (q)  p (การย้ายข้างหรือคู่สลับ)  q  p (การปฏิเสธซ้อน) ดังนั้น p  q  q  p เขียนข้อความแทน q  p จะได้ ถ้าแดงหยุดงานแล้วแดงไม่ขยัน พิจารณา

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

98

98

3. ตอบข้อ 2 ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ประพจน์ p  (p  (q  r)) สมมูลกับประพจน์ p  (q  r) ข. ประพจน์ p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (q  p)  (p  r) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง แนวคิด จาก ก. ประพจน์ p  (p  (q  r)) สมมูลกับประพจน์ p  (q  r) พิจารณา p  (p  (q  r))  p  (p  (q  r)) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  p  (p  (q  r)) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  (p  p)  (q  r) (การเปลี่ยนหมู่)  p  (q  r) (สัจนิรันดร์)  p  (q  r) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) ดังนั้น ประพจน์ p  (p  (q  r)) สมมูลกับประพจน์ p  (q  r) จาก ข. ประพจน์ p  (q  r) สมมูลกับประพจน์ (q  p)  (p  r) จะได้ว่า p  (q  r)  p  (q  r) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  (p  q)  (p  r) (การแจกแจง)  (p  q)  (p  r) (ทฤษฎีเดอร์มอแกน)  (p  q)  (p  r) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข) ดังนั้น p  (q  r) ไม่สมมูลกับ (q  p)  (p  r) สรุปได้ว่า ข้อ ก ถูก แต่ ข ผิด 4. ตอบข้อ 3 ให้ r และ s เป็นประพจน์ ประพจน์ใดต่อนี้สมมูลกับประพจน์ r  s แนวคิด พิจารณา r  s  r  s (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  (r  s) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน) ดังนั้น r  s  (r  s)

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

99

99

5. ตอบข้อ 2 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 1. (p  q)  r สมมูลกับ r  (p  q) พิจารณา (p  q)  r  r  (p  q) (การย้ายข้างหรือคู่สลับ)  r  (p  q) (การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข)  r  [(p)  q) (ทฤษฎีเดอมอร์แกน)  r  (p  q) (การปฏิเสธซ้อน) ดังนั้น (p  q)  r  r  (p  q) 6. ตอบข้อ 1 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่ถูกต้อง แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 1. (p  q)  [(p  r)  (q  r)] เป็นสัจนิรันดร์ พิจารณา (p  q)  [(p  r)  (q  r)] ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยหาข้อขัดแย้ง (p  q)  [(p  r)  (q  r)] F T

F F F

F F

F

F

F F จากแผนภาพ จะเห็นว่ามีกรณีที่ p, q และ r เป็นเท็จ ที่ทาให้รูปแบบของประพจน์ (p  q)  [(p  r)  (q  r)] เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ (p  q)  [(p  r)  (q  r)] ไม่เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

100

100

7. ตอบข้อ 4 กาหนดให้ p, r, s, t และ w เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดต่อไปนี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 4. [p  (t  w)]  (p  r) พิจารณา [p  (t  w)]  (p  r) ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยหาข้อขัดแย้ง [p  (t  w)]  (p  r)

F T

F F T

T

F

F T

T T จากแผนภาพ จะเห็นว่ามีกรณีที่ p, t และ w เป็นจริง และ r เป็นเท็จ ที่ทาให้รูปแบบ ของประพจน์ [p  (t  w)]  (p  r) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [p  (t  w)]  (p  r) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

101

101

8. ตอบข้อ 3 ให้ p และ q เป็นประพจน์ ประพจน์ในข้อใดเป็นสัจนิรันดร์ แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 3. [(p  q)  p]  (p  q) พิจารณา [(p  q)  p]  (p  q) ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยหาข้อขัดแย้ง [(p  q)  p]  (p  q) F T T T

F T

T

T

F ขัดแย้งกัน

F

F จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ p เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [(p  q)  p]  (p  q) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [(p  q)  p]  (p  q) เป็นสัจนิรันดร์ 9. ตอบข้อ 3 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 3. p  (p  q) พิจารณา p  (p  q) ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยใช้วิธีการหาข้อขัดแย้ง p  (p  q) F T

F

T F จากแผนภาพ จะเห็นว่ามีกรณีที่ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จ ที่ทาให้รูปแบบของประพจน์ p  (p  q) เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ p  (p  q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

102

102

10. ตอบข้อ 4 กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ ไม่ถูกต้อง แนวคิด จากตัวเลือกข้อ 4. [p  (p  q)]  q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ พิจารณา [p  (p  q)]  q ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่โดยหาข้อขัดแย้ง [p  (p  q)]  q F T T

F T

ขัดแย้งกัน

T T จากแผนภาพ จะเห็นว่าค่าความจริงของ q เป็นได้ทั้งจริงและเท็จ เกิดการขัดแย้ง กับที่สมมุติไว้ว่า [p  (p  q)]  q เป็นเท็จ ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ [p  (p  q)]  q เป็นสัจนิรันดร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์

103

103

จัดทาโดย

นางวรรณพร ทสะสังคินทร์ ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41