แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคฯ by Aemmily Emila

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ xy[x + y = 0] 2

x[(x  A)  (x < 2)] xy[x + y = 0]

จัดทาโดย นางวรรณพร ทสะสังคินทร์ ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41

คานา แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทาขึ้น เพื่อใช้เป็นสื่อประกอบการจัดการเรียนรู้รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค31201 เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น โดยเน้นให้ผู้เรียนได้เรียนรู้และฝึกปฏิบัติด้วยตนเองจนเกิดทักษะ และความชานาญในเนื้อหา สามารถยกระดับผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนให้สูงขึ้น และเป็นการกระตุ้น ให้ผู้เรียนมีทัศนคติที่ดีต่อการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ประกอบด้วย คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู และนักเรียน แบบทดสอบก่อนเรียนพร้อมเฉลย ผลการเรียนรู้ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ แบบฝึกทักษะพร้อมเฉลย และแบบทดสอบหลังเรียนพร้อมเฉลย ซึ่งนักเรียนสามารถใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ในชั้นเรียนและใช้สาหรับศึกษาเพิ่มเติมด้วยตนเองได้ ในการจัดทาแบบฝึกทักษะวิชาคณิตศาสตร์เล่มนี้สาเร็จลุล่วงได้ โดยได้รับการสนับสนุน จากคณะผู้บริหาร คณะครูโรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม และผู้เชี่ยวชาญทุกท่านที่กรุณาให้คาปรึกษา เสนอแนะแนวทางการแก้ไขข้อบกพร่อง ตลอดจนให้กาลังใจด้วยดีเสมอมา ผู้จัดทาขอขอบพระคุณ เป็นอย่างสูงมา ณ โอกาสนี้ ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียน การสอนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน ครูผู้สอน และผู้ที่สนใจเป็นอย่างมาก ตลอดจนสามารถ ยกระดับคุณภาพการศึกษาในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ให้มีประสิทธิภาพดียิ่งขึ้น วรรณพร ทสะสังคินทร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ก

สารบัญ เรื่อง

หน้า

คานา……………………………………………………………………………………………………………………………… . ก สารบัญ............................................................................................................................................ ข คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4……. ง คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู..................................................................... จ คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน..........………………………………...……….. ฉ ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน................................................................ ช สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้..................................................................... ซ จุดประสงค์การเรียนรู้และสมรรถนะสาคัญ...................................................................................... ฌ สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ...................................................................................................... ฎ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้.................................................................................................... ฐ แบบทดสอบก่อนเรียน..................................................................................................................... 1 กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน........................................................................................... 4 แบบฝึกทักษะที่ 4.1 ประโยคเปิด.................................................................................................... 5 แบบฝึกทักษะที่ 4.2 ตัวบ่งปริมาณ..............................................….……..…………….......................... 11 แบบฝึกทักษะที่ 4.3 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว (1) ……….......................... 20 แบบฝึกทักษะที่ 4.4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว (2) ……….......................... 33 แบบฝึกทักษะที่ 4.5 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว (1) …………......................... 43 แบบฝึกทักษะที่ 4.6 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว (2) …………......................... 53 แบบทดสอบหลังเรียน………………………….…………..……………………….………………………………………. 62 กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน............................................................................................ 65 แบบบันทึกคะแนน........................................................................................................................... 66 บรรณานุกรม …………………………………………………………………………….……….................................. 67

ข

สารบัญ เรื่อง

หน้า

ภาคผนวก ....................................................................................................................................... 68 ภาคผนวก ก เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน........................................ 69 ภาคผนวก ข เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน.................................................................... 71 ภาคผนวก ค เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน..................................................... 75 ภาคผนวก ง เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน........................................ 100 ภาคผนวก จ เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน.................................................................... 102

ค

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทาขึ้น เพื่อให้ครูผู้สอนใช้เป็นสื่อประกอบการจัดการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จานวน 28 ชั่วโมง มีรายละเอียดดังนี้ 1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ได้จัดลาดับเนื้อหาจากง่ายไปหายากเป็นลาดับขั้นตอนโดยแบ่งออกเป็น 5 เล่ม ดังนี้ เล่ม 1 ประพจน์และค่าความจริงของประพจน์ เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ เล่ม 3 การอ้างเหตุผล เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 2. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้เป็นแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์ เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ประกอบด้วย 2.1 คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 2.2 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู 2.3 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน 2.4 ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับนักเรียน 2.5 สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้ 2.6 จุดประสงค์การเรียนรู้และสมรรถนะสาคัญของผู้เรียน 2.7 สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ 2.8 การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ 2.9 แบบทดสอบก่อนเรียน 2.10 ใบความรู้ 2.11 แบบฝึกทักษะ 2.12 แบบทดสอบหลังเรียน 2.13 แบบบันทึกคะแนน 2.14 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเฉลยแนวคิด 2.15 เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน 2.16 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเฉลยแนวคิด 3. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ใช้ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 17 – 22 เวลาเรียน 6 ชั่วโมง

ง

การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ครูควรเตรียมความพร้อมและปฏิบัติตามคาแนะนา ดังต่อไปนี้ 1. ครูควรศึกษาเนื้อหาสาระและทาความเข้าใจแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ทุกเล่ม อย่างละเอียด 2. ครูจัดการเรียนรู้โดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จานวน 5 เล่ม ควบคู่กับแผนการจัดการเรียนรู้ 3. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียนลงในกระดาษคาตอบ 4. ครูชี้แจงขั้นตอนการศึกษาและวิธีการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แก่นักเรียนให้เข้าใจ และควรเน้นเรื่องความซื่อสัตย์ 5. ให้นักเรียนศึกษาคาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน แล้วฝึกปฏิบัติตามคาแนะนา 6. ครูคอยดูแลให้ความช่วยเหลือและให้คาแนะนานักเรียนเมื่อมีปัญหาในการฝึกปฏิบัติ 7. เมื่อนักเรียนฝึกปฏิบัติตามขั้นตอนในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แล้ว ให้นักเรียน ทาแบบทดสอบหลังเรียนลงในกระดาษคาตอบ 8. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียน แบบฝึกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียน เป็นรายบุคคลเพื่อประเมินความรู้ของตนเอง

จ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่นักเรียนกาลังศึกษานี้เป็นแบบฝึกทักษะที่จัดเนื้อหาไว้ เป็นลาดับขั้นตอน เพื่อให้นักเรียนได้เรียนรู้อย่างถูกต้อง เริ่มจากเนื้อหาที่ง่ายไปหาเนื้อหาที่ยาก สามารถเรียนรู้และฝึกปฏิบัติได้ด้วยตนเอง การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ควรปฏิบัติตามคาแนะนา ในการใช้อย่างเคร่งครัดจึงจะได้ผลดี สาหรับข้อปฏิบัติในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์มีดังนี้ 1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แต่ละเล่มประกอบด้วย 1.1 คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 1.2 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู 1.3 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน 1.4 ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับนักเรียน 1.5 สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้ 1.6 จุดประสงค์การเรียนรู้และสมรรถนะสาคัญของผู้เรียน 1.7 สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ 1.8 การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ 1.9 แบบทดสอบก่อนเรียน 1.10 ใบความรู้ 1.11 แบบฝึกทักษะ 1.12 แบบทดสอบหลังเรียน 1.13 แบบบันทึกคะแนน 1.14 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเฉลยแนวคิด 1.15 เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน 1.16 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเฉลยแนวคิด 2. ให้นักเรียนเตรียมอุปกรณ์การเรียนให้พร้อม 3. ให้นักเรียนแต่ละคนทาแบบทดสอบก่อนเรียนด้วยตนเอง จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 20 นาที และตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 4. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ ทาแบบฝึกทักษะด้วยตนเอง และตรวจคาตอบ จากเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 5. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรียนด้วยตนเอง จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 20 นาที และตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 6. ให้นักเรียนฝึกปฏิบัติด้วยความซื่อสัตย์

ฉ

ศึกษาคาชี้แจงและคาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ สาหรับนักเรียน

ทาแบบทดสอบก่อนเรียน

ศึกษาใบความรู้

ทาแบบฝึกทักษะ

ทาแบบทดสอบหลังเรียน

ช

สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้ ของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ มีดังนี้ สาระที่ 4 พีชคณิต มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical model) อื่นๆ แทนสถานการณ์ต่างๆ ตลอดจนแปลความหมาย และนาไปใช้แก้ปัญหา ผลการเรียนรู้ หาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ตัวชี้วัด ม. 4 – 6/ 1 ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา ม. 4 – 6/ 2 ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม ม. 4 – 6/ 3 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอได้อย่างถูกต้องและชัดเจน ม. 4 – 6/ 4 เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ ม. 4 – 6/ 5 มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

ซ

จุดประสงค์การเรียนรู้ของแแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ มีดังนี้ จุดประสงค์การเรียนรู้ ความรู้ นักเรียนสามารถ 1. จาแนกประโยคที่กาหนดให้ว่าเป็นประโยคเปิดหรือไม่ 2. เขียนประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้ 3. เขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ที่กาหนดให้ได้ 4. หาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียวที่กาหนดให้ได้ 5. หาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัวที่กาหนดให้ได้ ทักษะ/ กระบวนการ 1. ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา 2. ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม 3. ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอได้อย่างถูกต้องและชัดเจน 4. เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ 5. คิดริเริ่มสร้างสรรค์ คุณลักษณะอันพึงประสงค์ 1. ซื่อสัตย์สุจริต 2. มีวินัย 3. ใฝ่เรียนรู้ 4. มุ่งมั่นในการทางาน

ฌ

สมรรถนะสาคัญ นักเรียนมีความสามารถในการ 1. สื่อสาร 2. คิด 3. แก้ปัญหา 4. ใช้ทักษะชีวิต 5. ใช้เทคโนโลยี

ญ

สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ มีดังนี้ สาระการเรียนรู้ 1. 2. 3. 4.

ประโยคเปิด ตัวบ่งปริมาณ ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว

สาระสาคัญ 1. ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และเมื่อแทนตัวแปร ด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ 2. เรียก “สาหรับ... ทุก” และ “สาหรับ... บางตัว” ว่าตัวบ่งปริมาณ แทนด้วยสัญลักษณ์  และ  ตามลาดับ 3. ถ้า P(x) เป็นประโยคเปิดที่มี x เป็นตัวแปร ค่าความจริงของ P(x) ที่มีตัวบ่งปริมาณ ตัวเดียวเป็นดังนี้ x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย หนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อย หนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด

ฎ

สาระสาคัญ 4. ถ้า P(x, y) เป็นประโยคเปิดที่มี x และ y เป็นตัวแปร ค่าความจริงของ P(x, y) ที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว เป็นดังนี้ xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y

ด้วยสมาชิก a และ b ทุกคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริงเสมอ xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเท็จ xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b บางคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริง xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และ y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกคู่ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเท็จ xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ประโยค y[P(a, y)] เป็นจริง xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ประโยค y[P(a, y)] เป็นจริง xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ประโยค y[P(a, y)] เป็นจริง xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a แต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ประโยค y[P(a, y)] เป็นเท็จ

ฏ

ความรู้ ภาระงาน/ ชิ้นงาน การทาแบบฝึก ทักษะที่ 4.1 – 4.6 การทา แบบทดสอบ หลังเรียน

แบบฝึกทักษะ ที่ 4.1 – 4.6

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

แบบทดสอบ หลังเรียน

ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

วิธีวัด ตรวจแบบฝึก ทักษะที่ 4.1 – 4.6 ตรวจ แบบทดสอบ หลังเรียน

เครื่องมือ

ทักษะ/ กระบวนการ ทักษะ/ วิธีวัด กระบวนการ - การแก้ปัญหา สังเกตพฤติกรรม - การให้เหตุผล ตามรายการประเมิน - การสื่อสาร ด้านทักษะ/ และนาเสนอ กระบวนการ ข้อมูลได้ - การเชื่อมโยง ความรู้ - ความคิดริเริ่ม สร้างสรรค์ ทักษะ สังเกตพฤติกรรม การทางานกลุ่ม ตามรายการประเมิน ด้านกระบวนการ กลุ่ม

เครื่องมือ แบบประเมิน ด้านทักษะ

แบบประเมิน กระบวนการ กลุ่ม

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ระดับดีขึ้นไป

ระดับพอใช้ ขึ้นไป

ฐ

ผู้ประเมิน เพื่อน, ครู เพื่อน, ครู

ผู้ประเมิน ครู

เพื่อน, ครู

ฐ

คุณลักษณะอันพึงประสงค์ คุณลักษณะ วิธีวัด เครื่องมือ อันพึงประสงค์ - ซื่อสัตย์สุจริต สังเกตพฤติกรรม แบบประเมิน - มีวินัย ตามรายการประเมิน คุณลักษณะ - ใฝ่เรียนรู้ คุณลักษณะ อันพึงประสงค์ - มุ่งมั่น อันพึงประสงค์ ในการทางาน

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ระดับดีขึ้นไป

ผู้ประเมิน เพื่อน,ครู

สมรรถนะสาคัญ สมรรถนะสาคัญ - ความสามารถ ในการสื่อสาร - ความสามารถ ในการคิด - ความสามารถ ในการแก้ปัญหา - ความสามารถ ในการใช้ ทั ก ษะ ชีวิต - ความสามารถ ในการใช้ เทคโนโลยี

วิธีวัด

เครื่องมือ

สังเกตพฤติกรรม แบบประเมิน ตามรายการประเมิน สมรรถนะ สมรรถนะ ผู้เรียน ผู้เรียน 5 ด้าน 5 ด้าน

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ระดับดีขึ้นไป

ฑ

ผู้ประเมิน ครู

ฑ

แบบทดสอบก่อนเรียน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ

คาชี้แจง 1. แบบทดสอบเป็นแบบเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จานวน 10 ข้อ 10 คะแนน ใช้เวลาในการทาแบบทดสอบ 20 นาที 2. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมาย กากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก 1. ข้อความใดต่อไปนี้เป็นประโยคเปิด 1. p เป็นจานวนเฉพาะ 2. 7  {1, 2, 3, …, n, …} 3. ช่วยหยิบปากกาให้ฉันหน่อย 4. 5 เป็นคาตอบของสมการ y + 2 = 7 2. ประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความ “มีจานวนนับ x ซึ่ง x2 + 1  0 และ x + 5  8” ตรงกับข้อใด 1. x[x  N  (x2 + 1  0  x + 5  8)] 2. x[x  N  x2 + 1  0  x + 5  8] 3. x[x  N  x2 + 1  0  x + 5  8] 4. x[x2 + 1  0  x + 5  8] 3. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U  I ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. x[x + 4 = 0 และ x – 2 = –6] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2. x[x2  0 หรือ x2 + 1 = 0] มีค่าความจริงเป็นจริง 3. x[x2 > 0 และ x เป็นจานวนตรรกยะ] มีค่าความจริงเป็นจริง 4. x[ถ้า x < 3 แล้ว x < 5] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

4. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริง เป็นเท็จ 1. x[x2 – 3x + 2  0] 2. x[x2 – 3x + 2  0] 3. x[x + x  2x] 4. x[x + 8  0] 5. กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ U  {x  0  x  1} ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริง เป็นเท็จ 1. x[x2  x] 2. x[x2  x]

3. x[x2 – 2x + 2 < 0] 1 22 

1 22 

4.   xx  1    xx2  1  

6. ให้



U  {–2, –1, 0, 1, 2} P(x) แทนประโยค x2 + x – 6 = 0 Q(x) แทนประโยค x สอดคล้องกับสมการ x2 + 3x + 2 = 0 R(x) แทนประโยค x หาร 9 ลงตัว ประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง 1. x[P(x)  Q(x)] 2. x[Q(x)  R(x)] 3. x[P(x)  R(x)] 4. x[Q(x)  R(x)]

7. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {– 1, 0, 1} ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. xy[x + y + 2 > 0] มีค่าความจริงเป็นจริง 2. xy[x + y > 1] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 3. xy[x + y  0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 4. xy[x + y = 1] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

8. ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {2, 3} ข้อความ xy[y  x4] เป็นจริง 2. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {–2, 2} ข้อความ xy[x + y  0]เป็นจริง 3. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {1, 2, 3} ข้อความ xy[x + y < 6] เป็นจริง 4. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนเต็ม ข้อความ xy[y  x3] เป็นเท็จ 9. ประพจน์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นจริง 1. xy[x2 + y2  y + 2] เมื่อ U  {–1, 0, 1} 2. xy[x2 < y + 1] เมื่อ U  {–1, 0, 1} y 3. xy  x  y  เมื่อ U  R  yy x  4. xy[x + y < –1] เมื่อ U  R 10. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U  {1, 2, 3, 4} P(x) แทน x เป็นจานวนคู่ Q(x) แทน x2 < 4 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. x[P(x)  Q(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ข. x[P(x)  Q(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ข้อ ก และ ข ถูก 2. ข้อ ก และ ข ผิด 3. ข้อ ก ถูก และ ข ผิด 4. ข้อ ก ผิด แต่ ข ถูก

กระดาษคาตอบ แบบฝึกทักษะ เล่ม 4 แบบทดสอบก่อนเรียน ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ ชื่อ......................................................................... ชั้น ............ เลขที่ .........

คาชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก

ข้อ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ คิดเป็นร้อยละ

ผลการประเมิน  ผ่าน  ไม่ผ่าน ลงชื่อ .............................................. ผู้ตรวจ ( ............................................ )

เกณฑ์ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

แบบฝึกทักษะที่ 4.1 ประโยคเปิด

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถจาแนกประโยคที่กาหนดให้ว่าเป็นประโยคเปิด หรือไม่

คาชี้แจง 1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลา ในการศึกษาใบความรู้ 10 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 10 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน

ใบความรู้ที่ 4.1

ประโยคเปิด

ทบทวน ชวนคิด

ประพจน์ (Proposition หรือ Statements) คือ ประโยค หรือข้อความที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึง่ เท่านั้น ประโยคหรือข้อความ ที่มีลักษณะดังกล่าวจะอยู่ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้

ตัวอย่างประโยคหรือข้อความที่เป็นประพจน์

2(4 + 3) = 14 {1, 3, {1, 2, 3, …}} เป็นเซตอนันต์ 2  10  10 1 เป็นคาตอบของสมการ x2 + 1 = 0 √2 ไม่เป็นจานวนตรรกยะ

มีนักเรียนบางคนมาสาย

สุนัขทุกตัวมีสี่ขา

วันนี้ไม่มีนักเรียนคนใด ขาดเรียน

มีนกบางตัวบินไม่ได้

ในชีวิตประจาวันนักเรียนจะได้พบกับข้อความรูปแบบดังกล่าวอยู่เสมอ นอกจากนี้ ในวิชาคณิตศาสตร์จะพบข้อความรูปแบบนี้เช่นกัน ยกตัวอย่างเช่น สาหรับ x ทุกตัว x + 2 = 5 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง มี x บางตัว x + 5 = 0 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนเต็มลบ ข้อความดังกล่าวในทางคณิตศาสตร์เรียกว่า “ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ” ซึ่งมีส่วน 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็นประโยคเปิด และ ส่วนที่เป็นตัวบ่งปริมาณ

ประโยคเปิด (Open Sentence) ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธบางประโยคไม่เป็นประพจน์เนื่องจากยังไม่ทราบค่าความจริง ของประโยคเหล่านี้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ ยกตัวอย่างเช่น

เขาชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ x+2=5 a ไม่เป็นจานวนเต็มบวก

ตัวแปรที่อยู่ ในประโยคเหล่านี้ คือ เขา x และ a ตามลาดับ

ประโยคเหล่านี้ไม่เป็นประพจน์จนกว่าจะทราบว่า เขาในที่นี้เป็นใคร x และ a แทนด้วยจานวนใด ซึ่งเขา x และ a ที่ยกตัวอย่างนั้น เรียกว่า ตัวแปร และประโยคดังกล่าวเรียกว่า ประโยคเปิด แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

บทนิยาม

ประโยคเปิด (Open Sentence) คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยค ปฏิเสธที่มีตัวแปรและเมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์ สัญลักษณ์แทนประโยคเปิดใด ๆ ที่มี x เป็นตัวแปร นิยมเขียนแทนด้วย P(x) หรือ Px

จากตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้วนั้น ประโยคเปิดจะเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ เมื่อแทนค่าตัวแปรแบบเฉพาะเจาะจงลงไป ซึ่งต้องมีขอบเขต ของสิ่งที่กล่าวถึง นั่นคือ จะต้องมีเอกภพสัมพัทธ์ (U ) นั่นเอง

บทนิยาม

เอกภพสัมพัทธ์ (Untversal Set) คือ เซตที่บอกขอบเขต ของสิ่งที่กล่าวถึง และจะเขียนแทนเซตของเอกภพสัมพัทธ์ด้วย U หรือ U

กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {0, 1, 2, 3, 4} จงพิจารณาว่า x + 2 = 5 เป็นประโยคเปิดหรือไม่ วิธีทา กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {0, 1, 2, 3, 4} และให้ P(x) แทนประโยค x + 2 = 5 จะพบว่า P(x) เป็นประโยคที่มีตัวแปร x ซึ่งไม่สามารถบอกค่าความจริงได้ จึงไม่เป็นประพจน์ แต่เมื่อนาสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ (U ) ไปแทนที่ตัวแปรจะได้ ประพจน์ ทันที ดังนี้ P(0) แทนประโยค 0 + 2 = 5 เป็นเท็จ P(1) แทนประโยค 1 + 2 = 5 เป็นเท็จ P(2) แทนประโยค 2 + 2 = 5 เป็นเท็จ P(3) แทนประโยค 3 + 2 = 5 เป็นเท็จ P(4) แทนประโยค 4 + 2 = 5 เป็นเท็จ ดังนั้น P(x) เป็นประโยคเปิด ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

จงพิจารณาประโยคต่อไปนี้ว่าเป็นประพจน์หรือประโยคเปิด หรือไม่เป็น ทั้งประพจน์และประโยคเปิด ประโยค

ลักษณะของประโยค

1. เขาเป็นนายกรัฐมนตรี

ประโยคเปิด

2. x + 3 = 12

ประโยคเปิด

3. จงหาเซตคาตอบของ x2 – x – 2 < 0

ไม่เป็นทั้งประพจน์และประโยคเปิด

4. x2 + 3x + 2

ไม่เป็นทั้งประพจน์และประโยคเปิด

5. ถ้า x – 2 = 1 แล้ว x2 > 9

ประโยคเปิด

6. พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันตก

ประพจน์

7. 3 เป็นคาตอบของสมการ x2 – 2x – 3 = 0

ประพจน์

8. จังหวัดเชียงใหม่อยู่ภาคในเหนือ ของประเทศไทย

ประพจน์

9. p เป็นจานวนเฉพาะ 10. กรุณาทาการบ้านมาให้เรียบร้อย

ประโยคเปิด ไม่เป็นทั้งประพจน์และประโยคเปิด

แบบฝึกทักษะที่ 4.1 ประโยคเปิด

10 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ พิจารณาประโยคต่อไปนี้แล้วจาแนกว่าเป็นประพจน์หรือประโยคเปิด หรือไม่เป็นทั้งประพจน์ และประโยคเปิด โดยโยงเส้นจับคู่ประโยคให้ถูกต้อง (10 คะแนน) x2 + 5x – 7 = 0

(x – 7)(x+2) 2x < 1 หรือ x > 0

จงหาเซตคาตอบ ของ x2 + 2x – 5 = 0 –1 เป็นคาตอบของ สมการ x+1=0 เขาชอบกีฬา วอลเลย์บอล x2 + y = 2 มีกราฟ เป็นเส้นตรง

ประพจน์

X หารด้วย 4 ลงตัว อย่าเดินลัดสนาม 5  {1, 2, 4, 5} 2 เป็นจานวน ตรรกยะ จังหวัดเชียงใหม่ อยู่ในภาคเหนือ ของประเทศไทย ช่วยหยิบปากกา ให้ฉันหน่อย x เป็นจานวนจริง ใช่หรือไม่ ไก่เป็นสัตว์เลี้ยงลูก ด้วยนม ถ้า x – 2 = 1 แล้ว x2 > 9

ประโยคเปิด

จงหา x จากสมการ x+1=0 a เป็นจานวนตรรกยะ

ไม่เป็น ทั้งประพจน์ และประโยคเปิด

12 – 9 = 24 เธอสอบได้ที่หนึ่งของ ห้อง x2 + 3x + 2 x2 > 0

แบบฝึกทักษะที่ 4.2 ตัวบ่งปริมาณ

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถ 1. เขียนประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้ 2. เขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลา ในการศึกษาใบความรู้ 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน

ใบความรู้ที่ 4.2

ตัวบ่งปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) ในวิชาคณิตศาสตร์พบว่ามีประโยคที่ใช้ข้อความ “สาหรับ ... ทุกตัว ...” หรือ “สาหรับ ... บางตัว ...” ปรากฏอยู่ในประโยคนั้น เรียก “สาหรับ ... ทุกตัว ...” หรือ “สาหรับ ... บางตัว ...” ว่า ตัวบ่งปริมาณ เช่น สาหรับ x ทุกตัว x + 2 = 5 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง มี x บางตัว x + 5 = 0 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนเต็มลบ ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณจะประกอบด้วย ส่วนที่เป็นตัวบ่งปริมาณ และ ส่วนที่เป็นประโยคเปิด ข้อความลักษณะนี้เรียกว่า ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ พิจารณา ข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ และเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้ เอกภพสัมพัทธ์ สาหรับ x ทุกตัว x2 = x  x ส่วนที่เป็นตัวบ่งปริมาณ

เมื่อ เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง

ส่วนที่เป็นประโยคเปิด

เขียนประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ ดังนี้ เอกภพสัมพัทธ์  x

[x2 = x  x] , U = R

ส่วนที่เป็นตัวบ่งปริมาณ

ส่วนที่เป็นประโยคเปิด

ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) คือ คาบอกกล่าวถึงการกาหนดขีดจากัดของปริมาณ หรือขอบเขตของตัวแปรในประโยคเปิด

การใช้สญ ั ลักษณ์ท่คี วรทราบ ใช้สัญลักษณ์ x แทน สาหรับ x ทุกตัว ใช้สัญลักษณ์ x แทน สาหรับ x บางตัว ใช้สัญลักษณ์ U แทน เอกภพสัมพัทธ์ ใช้สัญลักษณ์ R แทน เซตของจานวนจริง ใช้สัญลักษณ์ Q แทน เซตของจานวนตรรกยะ ใช้สัญลักษณ์ I แทน เซตของจานวนเต็ม ใช้สัญลักษณ์ N แทน เซตของจานวนนับ

ตัวบ่งปริมาณมี 2 แบบ ดังนี้ ตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด” (Universal Quantifier) ตัวบ่งปริมาณทั้งหมดใช้บอกปริมาณซึ่งหมายถึง สมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์ จะเป็นไปตามเงื่อนไขที่กาหนด ตัวอย่างของตัวบ่งปริมาณทั้งหมด เช่น “สาหรับทุก ๆ ค่าของ x” “สาหรับแต่ละค่า ของ x” “แต่ละ” และ “ทั้งหมด” เป็นต้น ใช้สัญลักษณ์  แทน ตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด”

กาหนดให้ P(x) แทนประโยคเปิด x[P(x)] หมายถึง สาหรับทุก ๆ x ใน U มีเงื่อนไข P(x)

ตัวอย่างข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด”

ตัวอย่างที่ 1 2

x[x – 1 = (x – 1)(x + 1)] , U = I

หมายถึง หรือ หรือ หรือ ตัวอย่างที่ 2

ทุก ๆ ค่าของ x ใน U ทาให้ x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) สาหรับจานวนเต็ม x ทุกจานวน x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) แต่ละจานวนเต็ม x ซึ่ง x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนเต็ม แล้ว x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) ให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจานวนจริง จงเขียนประโยคต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์

1. จานวนเต็มทุกจานวนเป็นจานวนจริง ประโยคสัญลักษณ์ x[x  I  x  R] 2. แต่ละจานวนเต็ม x ซึ่ง x  x = x2 ประโยคสัญลักษณ์ x[x  I  x  x = x2] 3. แต่ละจานวนจริง x ซึ่ง x  x = x2 ประโยคสัญลักษณ์ x[x  R  x  x = x2] หรือ x[x  x = x2]

กรณีที่เอกภพสัมพัทธ์ เป็น เซตของจานวนจริง มักนิยมละการเขียน เอกภพสัมพัทธ์

ตัวบ่งปริมาณ “มีอย่างน้อยหนึ่ง” (Existential Quantifier) ตัวบ่งปริมาณมีอย่างน้อยหนึ่งใช้บอกปริมาณซึ่งหมายถึง มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขที่กาหนด ตัวอย่างของตัวบ่งปริมาณมีอย่างน้อยหนึ่ง เช่น “บางอย่าง” “มีอย่างน้อยหนึ่ง” “มีบางตัว ของ x ที่ ...” “มีหนึ่งตัวซึง่ ...” เป็นต้น ใช้สัญลักษณ์  แทน ตัวบ่งปริมาณ “มีอย่างน้อยหนึ่ง” กาหนดให้ P(x) แทนประโยคเปิด x[P(x)] หมายถึง มี x อย่างน้อยหนึ่งตัวใน U ที่เป็นไปตามเงื่อนไข P(x)

ตัวอย่างข้อความที่มีตัวบ่งปริมาณ “มีอย่างน้อยหนึ่ง”

ตัวอย่างที่ 3 2

x[x = 4] , U = I

หมายถึง มีจานวนเต็ม x อย่างน้อยหนึ่งตัว ทาให้ x2 = 4 หรือ มี x บางตัว x เป็นจานวนเต็ม และ x2 = 4 หรือ สาหรับจานวนเต็ม x บางจานวน x2 = 4 ตัวอย่างที่ 4

ให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจานวนจริง จงเขียนประโยคต่อไปนี้ให้อยู่ในรูป สัญลักษณ์

1. จานวนจริงบางจานวนเป็นจานวนเต็ม ประโยคสัญลักษณ์ x[x  R  x  I] 2. มีจานวนจริง x อย่างน้อยหนึง่ จานวน ทาให้ x2 = 2x ประโยคสัญลักษณ์ x[x2 = 2x] หรือ x[x  R  x2 = 2x] 3. มีจานวนจริงบวก x อย่างน้อยหนึง่ จานวน ทาให้ x2 – 2x + 3 = 0 ประโยคสัญลักษณ์ x[x2 – 2x + 3 = 0] ตัวอย่างที่ 5

จงเขียนประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง ข้อความ

ประโยคสัญลักษณ์ x[2x + 3 > 7]

1. มี x บางตัวที่ทาให้ 2x + 3 > 7 2. สาหรับ x ทุกตัว x + 0 = x

x[x + 0 =

3. มี x บางตัว x + x = x2

x[x + x = x

]

4. สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนเต็มแล้ว x เป็นจานวนตรรกยะ

x[x  I  x  Q]

5. มีจานวนจริงบางจานวนที่เป็นจานวนตรรกยะแต่ไม่เป็นจานวนเต็ม

x[x  Q  x  I]

การเขียนสัญลักษณ์แทนประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณจะต้องเขียนเอกภพสัมพัทธ์กากับไว้ เสมอ แต่ในกรณีที่เอกภพสัมพัทธ์เป็น เซตของจานวนจริง มักนิยมละการเขียนเอกภพสัมพัทธ์ การเชื่อมประโยคเปิด ด้วยตัวเชื่อม , , ,  ตลอดจน  ก็ทาได้เช่นเดียวกับ การเชื่อมประพจน์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ตัวอย่างที่ 6

จงเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง

ประโยคสัญลักษณ์

ข้อความ (แนวการตอบ)

1. x[x + 2 = 0]

มีจานวนจริง x บางจานวน ซึ่ง x + 2 = 0

2. x[x + (–x) = 0]

สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว x + (–x) = 0 สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ x เป็นจานวนตรรกยะ หรือ x เป็นจานวนอตรรกยะ ทุก ๆ จานวนจริง x ถ้า x2 = a2 แล้ว (x = a x = –a) มีจานวนจริง x อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ x เป็นจานวนเต็ม และ x > 5

3. x[x  Q  x  Q] 4. x[x2 = a2  (x = a x = –a)] 5. x[x  I  x > 5]

กรณีที่ประโยคเปิดมีตัวบ่งปริมาณมากกว่าหนึ่งตัว สามารถเขียนประโยคสัญลักษณ์ ได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 7

ประโยคสัญลักษณ์

1. สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว มี y บางตัว ซึ่ง xy = 0

xy[xy = 0]

2. มีจานวนจริง x บางตัว ซึ่งสาหรับ y ทุกตัว xy = y

xy[xy = y]

3. สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว มี y บางตัว ซึ่ง x + y = x – y 4. สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว และสาหรับ y ทุกตัว ถ้า x < y แล้ว x2 < y2 5. มีจานวนจริง x บางตัว และมีจานวนจริง y บางตัว ซึ่ง x < y แต่ x2 > y2

xy[x + y = x – y] 2

xy[x < y  x 2

xy[x < y  x

< y2]

> y2]

ตัวอย่างที่ 8

ประโยคสัญลักษณ์

ข้อความ (แนวการตอบ)

สาหรับทุกจานวนจริง x และทุกจานวนจริง y ที่ x2 + y2  25 สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว มีจานวนจริง y บางตัว xy[xy = 1] ซึ่ง xy = 1 2 2 xy[(x + y > 10)  (x + y = 3)] สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ มีจานวนจริง y บางจานวน ซึ่ง x + y > 10 แต่ x2 + y2 = 3 2 มีจานวนจริง x บางจานวนและจานวนจริง xy[x + y = y – 1  x Q] y บางจานวน ถ้า x2 + y = y – 1 แล้ว x เป็นจานวนตรรกยะ มีจานวนจริง x อย่างน้อยหนึ่งตัวและจานวนจริง xy[xy = 0  x + y  0] y อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ xy = 0 และ x + y  0

1. xy[x2 + y2  25] 2. 3. 4. 5.

แบบฝึกทักษะที่ 4.2 ตัวบ่งปริมาณ

10 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. ให้นักเรียนเขียนประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เมื่อกาหนดให้ U = R (5 คะแนน)

ตัวอย่าง สาหรับจานวนจริง x ทุกตัว x2 = x 2

x[x = x]

1.1) มีจานวนจริง x บางจานวน ซึ่ง x + 5 < 10

1.2) สาหรับจานวนจริง x บางตัวและจานวนจริง y บางตัวที่ 2x + y = 9

1.3) สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน x2 + 1 > 0

1.4) สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ มีจานวนจริง y บางตัว ที่ x = 3y หรือ x + y  3

1.5) สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน ถ้า 3x  9 แล้ว x  3

2. ให้นักเรียนเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เมื่อกาหนดให้ U = R (5 คะแนน) ตัวอย่าง x[x < 1  x2 > 1] มีจานวนจริง x บางจานวน ถ้า x < 1 แล้ว x2 > 1 2.1) x[x + 1 = x]

2.2) x[x + 5  3]

2.3) x[x3 = 0  x = 0]

2.4) xy[x + y = xy]

2.5) xy[x + y = 0  xy  0 ]

แบบฝึกทักษะที่ 4.3 ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณตัวเดียว (1)

จุดประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ตัวเดียวที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ โดยใช้เวลา 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

ใบความรู้ที่ 4.3

ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณตัวเดียว (1)

เมื่อกาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U และกาหนดประโยคเปิด P(x) นักเรียนทราบแล้ว ว่าสามารถเขียน ตัวบ่งปริมาณ หน้าประโยคเปิดได้ 2 แบบ คือ x[P(x)]

หรือ

x[P(x)]

ทั้งสองประโยคนี้จะกลายเป็นประพจน์ เพราะสามารถหาค่าความจริงได้ พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ กาหนดให้ P(x) แทนประโยค x + 1 > 2 1) พิจารณาประโยค x[x + 1 > 2], U = {2, 3, 4} เมื่อนาสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ (U ) ไปแทนที่ตัวแปร x ใน P(x) จะได้ P(2) แทน 2 + 1 > 2 เป็นจริง P(3) แทน 3 + 1 > 2 เป็นจริง P(4) แทน 4 + 1 > 2 เป็นจริง แสดงว่า ถ้าแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ของ U แล้วได้ประพจน์ที่เป็นจริงทั้งหมด ลักษณะเช่นนี้จะกล่าวว่าประโยค x[x + 1 > 2], U = {2, 3, 4} มีค่าความจริงเป็นจริง 2) พิจารณาประโยค x[x + 1 > 2], U = {1, 2, 3} เมื่อนาสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ (U ) ไปแทนที่ตัวแปร x ใน P(x) จะได้ P(1)

แทน 1 + 1 > 2

เป็นเท็จ

P(2) แทน 2 + 1 > 2 เป็นจริง P(3) แทน 3 + 1 > 2 เป็นจริง แสดงว่า มี x บางตัว เมื่อแทนแล้ว ทาให้ได้ประพจน์ที่เป็นเท็จ ลักษณะเช่นนี้ จะกล่าวว่าประโยค x[x + 1 > 2], U = {1, 2, 3} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

จากที่ได้กล่าวมาแล้วนั้น จะเห็นได้ว่าการพิจารณาค่าความจริงของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น โดยทั่วไปจะพิจารณาแต่ละส่วนของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ดังนี้ ตัวบ่งปริมาณ ประโยคเปิด เอกภพสัมพัทธ์

ในการพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ซึ่งเป็นประโยคเปิด ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว เพื่อความสะดวกในการกล่าวถึงประโยค จะแทนประโยคเปิด ที่มีตัวแปร x ด้วย P(x) ดังนั้น ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่จะพิจารณาค่าความจริง จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้ x[P(x)] เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ คือ U x[P(x)] เมื่อเอกภพสัมพัทธ์ คือ U

ค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ “ทั้งหมด” บทนิยาม x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง

ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก แต่ละตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริง เป็นจริง ทั้งหมด x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก อย่างน้อยหนึ่งตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มี ค่าความจริง เป็นเท็จ

ตัวอย่างที่ 1

จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้พร้อมอธิบายเหตุผล

1. x[x + 3 > 5], U = {4, 5, 6} ประโยค x[x + 3 > 5], U = {4, 5, 6} หมายถึง “ทุก ๆ ค่าของตัวแปร x ใน U ทาให้ x + 3 > 5” ประโยคนี้จะเป็นจริงเมื่อนาสมาชิกใน U ทุกตัวไปแทน ค่าตัวแปร x ในประโยคเปิด x + 3 > 5 แล้วทาให้ประโยคดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริง วิธีทา

ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x + 3 > 5

เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x + 3 > 5 ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U = {4, 5, 6} จะได้ประพจน์ดังนี้ P(4) แทน 4 + 3 > 5 เป็นจริง P(5) แทน 5 + 3 > 5 เป็นจริง P(6) แทน 6 + 3 > 5 เป็นจริง จะเห็นว่าเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U ในประโยคเปิด x + 3 > 5 แล้วได้ประพจน์ที่ เป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น x[x + 3 > 5], U = {4, 5, 6} มีค่าความจริงเป็นจริง ในทางตรงข้าม ถ้ามีสมาชิกใน U อย่างน้อยหนึ่ง จานวน ทาให้ประโยค x + 3 > 5 เป็นเท็จ ก็แสดงว่า x[x + 3 > 5] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เช่น 2. x[x + 3 > 5], U = {1, 3, 6} วิธีทา พิจารณาประโยคเปิด x + 3 > 5 พบว่า เมื่อแทนตัวแปร x ด้วย 1 จะได้ว่า 1+3>5 เป็นเท็จ นั่นคือ จะมี x อย่างน้อยหนึ่งจานวน คือ 1 ที่ทาให้ประโยคเปิด x + 3 > 5 เป็นเท็จ ดังนั้น x[x + 3 > 5], U = {1, 3, 6} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

1 2

3. x[x < x2], U = {0, , 1, } วิธีทา

พิจารณาประโยคเปิด x < x2 พบว่า เมื่อแทนตัวแปร x ด้วย จะได้ว่า

<( )

1 2

เป็นเท็จ

นั่นคือ จะมี x อย่างน้อยหนึ่งจานวน คือ ที่ทาให้ประโยคเปิด x < x2 เป็นเท็จ 2

ดังนั้น x[x < x2], U = {0, , 1, } มีค่าความจริงเป็นเท็จ

กรณีที่เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตอนันต์ เช่น U = R หรือ U = I เป็นต้น การพิจารณาค่าความจริงโดยการแทนค่าตัวแปร x ด้วยสมาชิกของ U ทั้งหมดนั้น ทาไม่ได้ การพิจารณาค่าความจริงจึงต้องพิจารณาจากเซตคาตอบของประโยคเปิด

ตัวอย่างที่ 2

กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = R จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ที่กาหนดให้ต่อไปนี้พร้อมอธิบายเหตุผล

1. x[x2 + 2x + 2 > 0] วิธีทา พิจารณาเซตคาตอบของอสมการ x2 + 2x + 2 > 0 จาก x2 + 2x + 2 > 0 จะได้ว่า (x2 + 2x + 1) + 1 > 0 (x + 1)2 + 1 > 0 จะพบว่า สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน (x + 1)2 > 0 เสมอ ดังนั้น (x + 1)2 + 1 > 0 เป็นจริงสาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน สรุปได้ว่า x[x2 + 2x + 2 > 0], U = R มีค่าความจริงเป็นจริง

2. x[√ 2 = x] วิธีทา พิจารณา √ 2 จะพบว่า √ 2  0 เสมอ จะพบว่า จะมี x เป็นจานวนลบ ( x < 0) อย่างน้อย 1 ตัว เช่น x = –1 ซึ่งเมื่อแทนตัวแปร x = –1 ในประโยคเปิด √ 2 = x จะได้

√(-1) = –1

เป็นเท็จ

ดังนั้น √ 2 = x ไม่เป็นจริงสาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน สรุปได้ว่า x[√ 2 = x], U = R มีค่าความจริงเป็นเท็จ

สาหรับประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณซึ่งประกอบด้วยประโยคเปิดสองประโยค เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม การแทนค่าตัวแปรในประโยคเปิดต้องแทนค่าทั้งสองประโยค แล้วพิจารณาค่าความจริง

ตัวอย่างที่ 3

จงหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมอธิบายเหตุผล

1. x[x > 0  x เป็นจานวนเฉพาะ], U = {2, 3, 5, 7} วิธีทา ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x > 0  x เป็นจานวนเฉพาะ เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x > 0  x เป็นจานวนเฉพาะ ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ใน U = {2, 3, 5, 7} จะได้ประพจน์ดังนี้ P(2) แทน 2 > 0  2 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง T T P(3) แทน 3 > 0  3 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง T T P(5) แทน 5 > 0  5 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง T T P(7) แทน 7 > 0  7 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง T T แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

จะเห็นว่าเมื่อแทน x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U ในประโยคเปิด x > 0 และ x เป็นจานวนเฉพาะ แล้วได้ประพจน์ที่ เป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น x[x > 0 และ x เป็นจานวนเฉพาะ], U = {2, 3, 5, 7} มีค่าความจริงเป็นจริง 2. x[x เป็นจานวนเฉพาะ  x เป็นจานวนคู่], U = {2, 3, 4, 5} วิธีทา ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x เป็นจานวนเฉพาะ  x เป็นจานวนคู่ เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x เป็นจานวนเฉพาะ  x เป็นจานวนคู่ ด้วยสมาชิก แต่ละตัวใน U = {2, 3, 4, 5} จะได้ประพจน์ดังนี้ P(2) แทน 2 เป็นจานวนเฉพาะ  2 เป็นจานวนคู่ T T P(3) แทน 3 เป็นจานวนเฉพาะ  3 เป็นจานวนคู่ T F P(4) แทน 4 เป็นจานวนเฉพาะ  4 เป็นจานวนคู่ F T P(5) แทน 5เป็นจานวนเฉพาะ  5 เป็นจานวนคู่ T F

เป็นจริง เป็นจริง เป็นจริง เป็นจริง

จะเห็นว่าเมื่อแทน x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U ในประโยคเปิด x เป็นจานวนเฉพาะ  x เป็นจานวนคู่ แล้วได้ประพจน์ที่ เป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น x[x เป็นจานวนเฉพาะ  x เป็นจานวนคู่], U = {2, 3, 5, 7} มีค่าความจริงเป็นจริง 3. x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x เป็นจานวนคู่], U = {2, 3, 4, 5} สาหรับตัวอย่างนี้เป็นประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่ประกอบด้วยประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณ คือ x[x เป็นจานวนเฉพาะ] กับ x[x เป็นจานวนคู่] เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม  ดังนั้นการพิจารณาค่าความจริงต้องหาค่าความจริง ของ x[x เป็นจานวนเฉพาะ] และค่าความจริงของ x[x เป็นจานวนคู่] แล้วจึงพิจารณาค่าความจริงของ x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x เป็นจานวนคู่]

วิธีทา พิจารณาค่าความจริงของ x[x เป็นจานวนเฉพาะ] และค่าความจริง ของ x[x เป็นจานวนคู่] ดังนี้ 1) พิจารณาค่าความจริงของ x[x เป็นจานวนเฉพาะ], U = {2, 3, 4, 5} ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x เป็นจานวนเฉพาะ เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x เป็นจานวนเฉพาะ ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ใน U = {2, 3, 4, 5} จะได้ประพจน์ดังนี้ P(2) แทน 2 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง P(3) แทน 3 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง P(4) แทน 4 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นเท็จ P(5) แทน 5 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง จะเห็นว่าเมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U ในประโยคเปิด x เป็นจานวนเฉพาะ แล้วได้ประพจน์ที่ ไม่เป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น x[x เป็นจานวนเฉพาะ], U = {2, 3, 4, 5} มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2) พิจารณาค่าความจริงของ x[x เป็นจานวนคู่], U = {2, 3, 4, 5} ให้ Q(x) แทนประโยคเปิด x เป็นจานวนคู่ เมื่อแทนตัวแปรในประโยคเปิด x เป็นจานวนเฉพาะ ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ใน U = {2, 3, 4, 5} จะได้ประพจน์ดังนี้ Q(2) แทน 2 เป็นจานวนคู่ เป็นจริง Q(3) แทน 3 เป็นจานวนคู่ เป็นเท็จ Q(4) แทน 4 เป็นจานวนคู่ เป็นจริง Q(5) แทน 5 เป็นจานวนคู่ เป็นเท็จ จะเห็นว่าเมื่อตัวแปรแทน x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U ในประโยคเปิด x เป็นจานวนคู่ แล้วได้ประพจน์ที่ ไม่เป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น x[x เป็นจานวนคู่], U = {2, 3, 4, 5} มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x เป็นจานวนคู่] F F F สรุปได้ว่า x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x เป็นจานวนคู่] มีค่าความจริง เป็นเท็จ

การพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ  สามารถพิจารณา ได้รวดเร็วขึ้นโดยการพิจารณากรณีที่ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดจะมีค่าความจริง เป็นเท็จซึ่งหากยกตัวอย่างกรณีที่ เป็นเท็จ ได้อย่างน้อยหนึง่ กรณี ก็สามารถสรุปได้ว่า ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตัวอย่างที่ 4

จงหาค่าความจริงของ x[x2 > 9  x > 3], U = R พร้อมอธิบายเหตุผล

เนื่องจากเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตอนันต์ การพิจารณาค่าความจริงโดยการแทนค่านั้น ทาได้ยาก จึงพิจารณากรณีที่ x[x2 > 9  x > 3] จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ สาหรับ x[x2 > 9  x > 3] จะมีค่าความจริง เป็นเท็จ เพียงกรณีเดียว นั่นคือ เมื่อแทน x ที่อยู่ใน U ในประโยคเปิดแล้ว x2 > 9 มีค่าความจริง เป็นจริง และ x > 3 มีค่าความจริง เป็นเท็จ วิธีทา

พิจารณาประโยคเปิด x2 > 9  x > 3 พบว่า เมื่อแทน x ด้วย –4 จะได้ว่า (–4)2 > 9  –4 > 3 เป็นเท็จ T F

ดังนั้น จะมีจานวนจริงอย่างน้อยหนึง่ จานวน คือ –4 ที่ทาให้ประโยคเปิด x > 9  x > 3 มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2

สรุปได้ว่า x[x2 > 9  x > 3], U = R มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ค่าความจริงของประโยค

แบบฝึกทักษะที่ 4.3 ที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว (1)

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ แล้วเติม T หน้าประโยคที่มีค่าความจริงเป็นจริง และเติม F หน้าประโยคที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อกาหนดให้ U = R (5 คะแนน) 1.1 x[(x + 1)2 = x2 + 1]

1.2 x[x2  1]

1.3 x[x < x + 1]

1.4 x[x + 1 = 1]

1.5 x[x + 1  x] 2. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้พร้อมอธิบายเหตุผล (10 คะแนน) ตัวอย่าง x[x + x = 2x], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา

ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x + x = 2x เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x + x = 2x ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ใน U = {–2, –1, 0, 1, 2} จะได้ประพจน์ดังนี้ P(-2) แทน (–2) + (–2) = 2(–2) เป็นจริง P(-1) แทน (–1) + (–1) = 2(–1) เป็นจริง P(0) แทน 0 + 0 = 2(0) เป็นจริง P(1) แทน 1 + 1 = 2(1) เป็นจริง P(2) แทน 2 + 2 = 2(2) เป็นจริง จะเห็นว่าเมื่อแทน x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U ในประโยคเปิด x + x = 2x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U = {–2, –1, 0, 1, 2} แล้วได้ประพจน์ที่ เป็นจริงทั้งหมด ดังนั้น x[x + x = 2x], U = {–2, –1, 0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นจริง แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

2.1) x[x2 + 2x + 1  0], U = R วิธีทา

............................................................................................................................

2.2) x[x + 8 > 8], U = {0, 2, 4, 6, 8} วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................

2.3) x[x > 0  x2 = 1], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา

............................................................................................................................

2.4) x[x  0  x2 = 0] , U = R วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................

2.5) x[x > 0]  x[x  5] , U = R วิธีทา

............................................................................................................................

แบบฝึกทักษะที่ 4.4 ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณตัวเดียว (2)

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ตัวเดียวที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง

ใบความรู้ที่ 4.4

ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณตัวเดียว (2)

ค่าความจริงของตัวบ่งปริมาณ “มีอย่างน้อยหนึ่ง” บทนิยาม x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง

ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก อย่างน้อยหนึ่งตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่า ความจริง เป็นจริง x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิก แต่ละตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริง เป็นเท็จ ทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 1

1. x[x – 3 = –4], U = {–2, –1, 0, 1, 2} ประโยค x[x – 3 = –4], U = {–2, –1, 0, 1, 2} หมายถึง “มีค่าของ x ใน U อย่างน้อยหนึ่งจานวน ที่ทาให้ x – 3 = –4” ประโยคนี้จะเป็นจริงเมื่อนาสมาชิก ใน U อย่างน้อยหนึ่งจานวนไปแทนค่า x ในประโยคเปิด x – 3 = –4 แล้วทาให้ประโยค ดังกล่าว มีค่าความจริงเป็นจริง วิธีทา

พิจารณาประโยคเปิด x – 3 = –4 เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x – 3 = –4 ด้วยสมาชิกใน U = {–2, –1, 0, 1, 2} พบว่า มี –1  U ซึ่งทาให้ประพจน์ –1 – 3 = –4

เป็นจริง

ดังนั้น x[x – 3 = –4], U = {–2, –1, 0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นจริง แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ในทางตรงข้าม ถ้าแทนสมาชิกแต่ละตัวใน U แล้วทาให้ประโยคเปิด x – 3 = –4 เป็นเท็จทั้งหมด ก็แสดงว่า x[x – 3 = –4] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เช่น จงหาค่าความจริงของ x[x – 3 = –4], U = {0, 1, 2} วิธีทา ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x – 3 = –4 เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x – 3 = –4 ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ใน U = {0, 1, 2} จะได้ประพจน์ดังนี้ P(0) แทน 0 – 3 = –4 P(1) แทน 1 – 3 = –4 P(2) แทน 2 – 3 = –4

เป็นเท็จ เป็นเท็จ เป็นเท็จ

ดังนั้น x[x – 3 = –4], U = {0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2. x[x2 + 3x + 2 = 0], U = N วิธีทา พิจารณาเซตคาตอบของประโยคเปิด x2 + 3x + 2 = 0 จาก x2 + 3x + 2 = 0 จะได้ว่า (x + 1)(x + 2) = 0 นั่นคือ เซตคาตอบของ x2 + 3x + 2 = 0 คือ {–1, –2} แต่ –1 และ –2 ไม่อยู่ใน U = N ดังนั้น x[x2 + 3x + 2 = 0], U = N มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตัวอย่างที่ 2

กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {–1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้พร้อมอธิบายเหตุผล

1. x[x  0  x  I] วิธีทา

พิจารณาการแทนค่าตัวแปร x ในประโยคเปิด x  0  x  I พบว่ามี 0  U ซึ่งทาให้ประพจน์ 0 00I เป็นจริง T T ดังนั้น x[x  0  x  I], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นจริง

2. x[x  0]  x[x  I] สาหรับตัวเชื่อม “และ” () ประโยคจะมีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x[x  0] และ x[x  I] มีค่าความจริงเป็นจริง วิธีทา

1) พิจารณาค่าความจริงของ x[x  0] พบว่ามี –1  U ซึ่งทาให้ประพจน์ –1  0 เป็นจริง ดังนั้น x[x  0] มีค่าความจริงเป็นจริง 2) พิจารณาค่าความจริงของ x[x  I] พบว่ามี 0  U ซึ่งทาให้ประพจน์ 0  I เป็นจริง ดังนั้น x[x  I] มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า

x[x  0]  x[x  I]

T T

ดังนั้น x[x  0]  x[x  I], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นจริง แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ตัวอย่างที่ 3

กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {1, 2, 3, 4, 5} จงหาค่าความจริง ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้พร้อมอธิบายเหตุผล

1. x[x เป็นจานวนเฉพาะ  x < 1] วิธีทา พิจารณาการแทนค่าตัวแปร x ในประโยคเปิด x เป็นจานวนเฉพาะ  x < 1 พบว่ามี 2  U ซึ่งทาให้ประพจน์ 2 เป็นจานวนเฉพาะ  2 < 1 เป็นจริง T F ดังนั้น x[x เป็นจานวนเฉพาะ  x < 1], U = {1, 2, 3, 4, 5} มีค่าความจริงเป็นจริง 2. x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x < 1] วิธีทา พิจารณาค่าความจริงของ x[x เป็นจานวนเฉพาะ] พบว่ามี 2  U ซึ่งทาให้ประพจน์ 2 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง ดังนั้น x[x เป็นจานวนเฉพาะ] มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x < 1] T T หรือ F T ดังนั้น x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x < 1], U = {1, 2, 3, 4, 5} มีค่าความจริงเป็นจริง ตัวอย่างที่ 4

กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {2, 3, 4, 5} จงหาค่าความจริง ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้พร้อมอธิบายเหตุผล

1. x[x เป็นจานวนเฉพาะ  x ไม่เป็นจานวนคู่] วิธีทา พิจารณาการแทนค่าตัวแปร x ในประโยคเปิด x เป็นจานวนเฉพาะ  x ไม่เป็นจานวนคู่ พบว่ามี 3  U ซึ่งทาให้ประพจน์ 3 เป็นจานวนเฉพาะ  3 ไม่เป็นจานวนคู่ เป็นจริง T T T ดังนั้น x[x เป็นจานวนเฉพาะ  x ไม่เป็นจานวนคู่], U = {2, 3, 4, 5} มีค่าความจริงเป็นจริง แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

2. x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x ไม่เป็นจานวนคู่] วิธีทา 1) พิจารณาค่าความจริงของ x[x เป็นจานวนเฉพาะ] พบว่ามี 2  U ซึ่งทาให้ประพจน์ 2 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง ดังนั้น x[x เป็นจานวนเฉพาะ] มีค่าความจริงเป็นจริง 2) พิจารณาค่าความจริงของ x[x ไม่เป็นจานวนคู่] พบว่ามี 3  U ซึ่งทาให้ประพจน์ 3 ไม่เป็นจานวนคู่ เป็นจริง ดังนั้น x[x ไม่เป็นจานวนคู]่ มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x ไม่เป็นจานวนคู่] T T T ดังนั้น x[x เป็นจานวนเฉพาะ]  x[x ไม่เป็นจานวนคู่], U = {2, 3, 4, 5} มีค่าความจริงเป็นจริง

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

แบบฝึกทักษะที่ 4.4 ตัวเดียว (2)

15 คะแนน

1.2 x[x2 + 1 > 5]

1.3 x[x2 – 3x + 4 = 0]

1.4 x[x2 = 1]

1.5 x[x  I  x  R]

2. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้พร้อมอธิบายเหตุผล (10 คะแนน) ตัวอย่าง x[x  0  x3 < 0], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา

พิจารณาการแทนค่าตัวแปร x ในประโยคเปิด x  0  x3 < 0 พบว่ามี –1  U ซึ่งทาให้ประพจน์ –1  0  (–1)3 < 0 เป็นจริง T T

T ดังนั้น x[x  0  x3 < 0], U = {–2, –1, 0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นจริง

2.1) x[x2 – x – 6 > 0], U = {–1, 0, 1} วิธีทา

............................................................................................................................

2.2) x[x > 1], U = I วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................

2.3) x[x  0  x = 1], U = {–1, 0, 1, 2} วิธีทา

............................................................................................................................

2.4) x[x  0  x เป็นจานวนเฉพาะ], U = {0, 2, 4} วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................

2.5) x[2x = 0]  x[x เป็นเอกลักษณ์การบวก], U = {–1, 0, 1} วิธีทา

............................................................................................................................

แบบฝึกทักษะที่ 4.5 ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณสองตัว (1)

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ สองตัวที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้โดยใช้เวลาในการศึกษา ใบความรู้ 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

ใบความรู้ที่ 4.5

ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณสองตัว (1)

ประโยคเปิด P(x, y) เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปรสองตัว นั่นคือ ตัวแปร x และ ตัวแปร y สามารถเติมตัวบ่งปริมาณหน้าประโยคเปิดเพื่อพิจารณาค่าความจริงของประโยคเปิด เรียกว่า ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว สามารถเขียนได้ 8 รูปแบบ ดังนี้ xy[P(x, y)]

xy[P(x, y)]

xy[P(x, y)]

xy[P(x, y)]

yx[P(x, y)]

yx[P(x, y)]

yx[P(x, y)]

yx[P(x, y)]

บทนิยาม xy[P(x, y)]

หรือ yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และตัวแปร y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริงเสมอ xy[P(x, y)] หรือ yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และตัวแปร y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเท็จ

ตัวอย่างที่ 1

กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {0, 1, 2} จงหาค่าความจริงของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ พร้อมอธิบายเหตุผล

1. xy[x + y  x] วิธีทา ให้ P(x, y) แทนประโยคเปิด x + y  x เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x + y  x ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ใน U = {0, 1, 2} จะได้ประพจน์ดังนี้ P(0, 0) แทน 0 + 0  0 เป็นจริง P(0, 1) แทน 0 + 1  0 เป็นจริง P(0, 2) แทน 0 + 2  0 เป็นจริง P(1, 0) แทน 1 + 0  1 เป็นจริง P(1, 1) แทน 1 + 1  1 เป็นจริง P(1, 2) แทน 1 + 2  1 เป็นจริง P(2, 0) แทน 2 + 0  2 เป็นจริง P(2, 1) แทน 2 + 1  2 เป็นจริง P(2, 2) แทน 2 + 2  2 เป็นจริง จะเห็นได้ว่าทุกประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น xy[x + y  x], U = {0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นจริง 2. xy[y < x] วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด y < x ด้วยสมาชิก ใน U = {0, 1, 2} พบว่ามี 0  U และ 1  U ซึ่งเมื่อแทน x = 0 และ y = 1 ในประโยคเปิด y < x จะได้ว่า 1<0 เป็นเท็จ ดังนั้น xy[y < x], U = {0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตัวอย่างที่ 2

กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = R (เซตของจานวนจริงบวก) จงหาค่าความจริง ของ xy[xy > 0  x + y > 0] พร้อมอธิบายเหตุผล +

วิธีทา จากสมบัติของจานวนจริงบวก จะได้ว่า ถ้า x  R และ y  R แล้ว xy > 0 และ x + y > 0 แสดงว่า ถ้าแทน x และ y ในประโยคเปิด xy > 0 และ x + y > 0 ด้วยสมาชิกใด ๆ ของ U แล้วจะได้ประพจน์ที่เป็นจริงทั้งสองประพจน์ +

ดังนั้น xy[xy > 0  x + y > 0], U = R มีค่าความจริงเป็นจริง ตัวอย่างที่ 3

กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = R จงหาค่าความจริง ของ xy[x = y  x = y] พร้อมอธิบายเหตุผล

วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x = y  x = y ด้วยสมาชิก ใน U = R พบว่ามี –1  U และ 1  U ซึ่งเมื่อแทน x = –1 และ y = 1 ในประโยคเปิด y < x จะได้ว่า –1 = 1  –1 = 1 เป็นเท็จ T F ดังนั้น xy[x = y  x = y], U = R มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะเห็นได้ว่า xy[P(x, y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริงนั้น ต้องพิจารณา ค่าของ x และ y ทุก ๆ คู่ในเอกภพสัมพัทธ์

บทนิยาม xy[P(x, y)]

หรือ yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และตัวแปร y ด้วยสมาชิก a และ b บางตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นจริง xy [P(x, y)] หรือ yx[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x และตัวแปร y ด้วยสมาชิก a และ b ทุกตัว ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ P(a, b) เป็นเท็จ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ตัวอย่างที่ 4

1. xy[x + y = xy] วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x + y = xy ด้วยสมาชิก ใน U = {0, 1, 2} พบว่ามี 2  U ซึ่งเมื่อแทน x = 2 และ y = 2 ในประโยคเปิด x + y = xy จะได้ว่า 2 + 2 = 2(2) เป็นจริง ดังนั้น xy[x + y = xy], U = {0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นจริง 2 xy[x + 5 = 2 + y] วิธีทา ให้ P(x, y) แทนประโยคเปิด x + 5 = 2 + y เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x + 5 = 2 + y ด้วยสมาชิกแต่ละตัว ใน U = {0, 1, 2} จะได้ประพจน์ดังนี้ P(0, 0) แทน 0 + 5 = 2 + 0 เป็นเท็จ P(0, 1) แทน 0 + 5 = 2 + 1 เป็นเท็จ P(0, 2) แทน 0 + 5 = 2 + 2 เป็นเท็จ P(1, 0) แทน 1 + 5 = 2 + 0 เป็นเท็จ P(1, 1) แทน 1 + 5 = 2 + 1 เป็นเท็จ P(1, 2) แทน 1 + 5 = 2 + 2 เป็นเท็จ P(2, 0) แทน 2 + 5 = 2 + 0 เป็นเท็จ P(2, 1) แทน 2 + 5 = 2 + 1 เป็นเท็จ P(2, 2) แทน 2 + 5 = 2 + 2 เป็นเท็จ จะเห็นได้ว่าทุกประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น xy[x + 5 = 2 + y], U = {0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตัวอย่างที่ 5

1. xy[x2 – y = y2 – x] วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x2 – y = y2 – x ด้วยสมาชิก ใน U = {–1, 0, 1} พบว่ามี 0  U ซึ่งเมื่อแทน x = 0 และ y = 0 ในประโยคเปิด x2 – y = y2 – x จะได้ว่า 02 – 0 = 02 – 0 เป็นจริง ดังนั้น xy[x2 – y = y2 – x], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นจริง 2. xy[x2 – y  y2 – x] วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x2 – y  y2 – x ด้วยสมาชิก ใน U = {–1, 0, 1} พบว่ามี 0  U และ 1  U ซึ่งเมื่อแทน x = 0 และ y = 1 ในประโยคเปิด x2 – y  y2 – x จะได้ว่า 02 – 1  1 2 – 0 เป็นจริง ดังนั้น xy[x2 – y = y2 – x], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นจริง จะเห็นได้ว่า xy[P(x, y)] จะมีค่าความจริงเป็นจริงนั้น ต้องหาค่า x และ y ในเอกภพสัมพัทธ์ อย่างน้อยหนึ่งคู่ ที่ทาให้ประโยคเปิด P(x, y) เป็นจริง

แบบฝึกทักษะที่ 4.5

ค่าความจริงของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว (1)

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ แล้วโยงเส้น จับคู่ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณกับค่าความจริงที่มีความสัมพันธ์กัน เมื่อกาหนดให้ U = {1, 2, 3} (5 คะแนน) xy[x

y = y]

xy[x +y < 6]

xy[(y – x)

= y3 – x3]

เป็นเท็จ

เป็นจริง

xy[x

+y2 < 12]

xy[x xy[y = x

< y + 1]

]

2. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้พร้อมอธิบายเหตุผล (10 คะแนน) ตัวอย่าง xy[x + y = x – y], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x + y = x – y ด้วยสมาชิกใน U = {–2, –1, 0, 1, 2} พบว่ามี –2  U และ –1  U ซึ่งเมื่อแทน x = –2 และ y = –1 ในประโยคเปิด x + y = x – y จะได้ว่า –2 – 1 = –2 – (–1) –3 = –1 เป็นเท็จ ดังนั้น xy[x + y = x – y], U = {–2, –1, 0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2.1) xy[x + y = x + y], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา

............................................................................................................................

2.2) xy[(x – y)2  y2 + 9xy] วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ 2.3) xy[x > y  x + y  3], U = {–1, 0, 1} , = {–1, 0, 1, 2} วิธีทา ............................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

2.4) xy[x = y  x  y], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา

............................................................................................................................

แบบฝึกทักษะที่ 4.6 ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณสองตัว (2)

คาชี้แจง

ใบความรู้ที่ 4.6

ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณสองตัว (2)

บทนิยาม xy[P(x, y)]

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ประโยค y[P(a, y)] เป็นจริง xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วทาให้ประโยค y[P(a, y)] เป็นเท็จ

ตัวอย่างที่ 1

1. xy[x + y = 0], U = {–1, 0, 1} ในการพิจารณาค่าความจริงของ xy[P(x, y)] ต้องนา x แต่ละค่า (ทุกตัว) มาพิจารณา ซึ่งอาจเขียนได้

x

(x ทุกค่า)

ค่า y ที่ทาให้ x + y = 0

–1 มี y = 1 ที่ทาให้ –1 + 1 = 0 เป็นจริง 0 มี y = 0 ที่ทาให้ 0 + 0 = 0 เป็นจริง 1 มี y = –1 ที่ทาให้ 1 + (–1) = 0 เป็นจริง แสดงว่าทุก ๆ ค่าของ x จะมี y อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ทาให้ x + y = 0 เป็นจริง

วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกทุกตัวของ U = {–1, 0, 1} ในประโยคเปิด x + y = 0 จะได้ว่า y[–1 + y = 0] เป็นจริง เพราะจะมี y = 1 ที่ทาให้ –1 + 1 = 0 เป็นจริง y[0 + y = 0] เป็นจริง เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ 0 + 0 = 0 เป็นจริง y[1 + y = 0] เป็นจริง เพราะจะมี y = –1 ที่ทาให้ 1 + (–1) = 0 เป็นจริง ดังนั้น xy [x + y = 0], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นจริง 2. xy[(x + y)2 = x2 + y2], U = {–1, 0, 1} วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกทุกตัวของ U = {–1, 0, 1} ในประโยคเปิด (x + y)2 = x2 + y2 จะได้ว่า y[(–1 + y)2 = (–1)2 + y2] เป็นจริง เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ (–1 + 0)2 = (–1)2 + 02 เป็นจริง 2 2 2 y[(0 + y) = 0 + y ] เป็นจริง เพราะจะมี y = 1 ที่ทาให้ (0 + 1)2 = 02 + 12 เป็นจริง 2 2 2 y[(1 + y) = 1 + y ] เป็นจริง เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ (1 + 0)2 = 12 + 02 เป็นจริง ดังนั้น xy[(x + y)2 = x2 + y2], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นจริง 3. xy[xy = 1], U = R เนื่องจากเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริงซึง่ ไม่สามารถใช้การพิจารณา ทุกค่าได้ วิธีทา

จาก

= 1

จะได้

จะพบว่ามี x อย่างน้อยหนึ่งค่า คือ x = 0 ที่ทาให้ไม่สามารถหาค่า y ที่เป็นจานวนจริงได้ ดังนั้น xy[xy = 1], U = R มีค่าความจริงเป็นเท็จ

4. xy[y – x2 > 5], U = Iวิธีทา จาก y – x2 > 5 จะได้ y > 5 + x2 จะพบว่า ถ้า y = –1 จะไม่มีค่า x  U ที่ทาให้ y > 5 + x2 นั่นคือ มี y อย่างน้อยหนึง่ ค่าซึ่งไม่สามารถหาค่าซึ่งไม่สามารถหาค่า x ที่อยู่ในเอกภพ สัมพัทธ์ ที่ทาให้ y > 5 + x2 ดังนั้น xy[y – x2 > 5], U = I- มีค่าความจริงเป็นเท็จ

บทนิยาม xy[P(x, y)]

มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a บางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประโยค y[P(a, y)] มีค่าความจริงเป็นจริง xy[P(x, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ แทนตัวแปร x ด้วยสมาชิก a แต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วประโยค y[P(a, y)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ (นั่นคือไม่สามารถหาค่าของ a ซึ่งทาให้ y[P(a, y)] เป็นจริงได้เลย)

ตัวอย่างที่ 2

1. xy[x + y = y], U = {0, 1, 2, 3} การพิจารณาค่าความจริงของ xy[P(x, y)] จะต้องหาค่า x อย่างน้อย หนึ่งค่า ซึ่งค่านี้เมื่อจับคู่กับ y ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วจะต้องทาให้ประโยค P(x, y) เป็นจริง

x

y

x+y=y

y = 0 จะได้ 0 + 0 = 0 เป็นจริง y = 1 จะได้ 0 + 1 = 1 เป็นจริง X=0 y = 2 จะได้ 0 + 2 = 2 เป็นจริง y = 3 จะได้ 0 + 3 = 3 เป็นจริง แสดงว่า ในกรณีที่ x = 0 ประโยคเปิด x + y = y จะเป็นจริงทุกค่าของ y ที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ วิธีทา

จะพบว่า 0  U เมื่อแทนตัวแปร x = 0 ในประโยคเปิด x + y = y จะได้ว่า y[0 + y = y] เป็นจริง เนื่องจากถ้าแทน y ใด ๆ ที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ว่า 0 + y = y เป็นจริงเสมอ ดังนั้น xy[x + y = y], U = {0, 1, 2, 3} มีค่าความจริงเป็นจริง

2. xy[x2 – y  y2 – x], U = {–1, 0, 1} วิธีทา จากการแทน x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวของ U จะได้ว่า แทน x = –1 จะได้ y[1 – y  y2 – (–1)] เป็นเท็จ (เช่น y = 0) แทน x = 0 จะได้ y[0 – y  y2 – 0] เป็นเท็จ (เช่น y = 0) แทน x = 1 จะได้ y[1 – y  y2 – 1] เป็นเท็จ (เช่น y = 1) แสดงว่า ถ้าแทน x ด้วยสมาชิก b ใด ๆ ของ U จะได้ว่า y[b2 – y  y2 – b] เป็นเท็จเสมอ ดังนั้น xy[x2 – y  y2 – x], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

แบบฝึกทักษะที่ 4.6

ค่าความจริงของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว (2)

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ แล้วโยงเส้น จับคู่ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณกับค่าความจริงที่มีความสัมพันธ์กัน เมื่อกาหนดให้ U = R (5 คะแนน) xy[x + y  x]

xy[x y < 5]

xy[y – 2x  0]

เป็นเท็จ

เป็นจริง

xy[x

+ 3x + 4 = y]

xy[(y – x)

= y3 – x3

xy[x + y = y]

2. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้พร้อมอธิบายเหตุผล (10 คะแนน) ตัวอย่าง xy[xy = y], U = {0, 3, 4} วิธีทา

จากการแทน x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวของ U จะได้ว่า แทน x = 0 จะได้ y[0y = y] เป็นเท็จ (เช่น y = 3) แทน x = 3 จะได้ y[3y = y] เป็นเท็จ (เช่น y = 3) แทน x = 4 จะได้ y[4y = y] เป็นเท็จ (เช่น y = 3) แสดงว่า ถ้าแทน x ด้วยสมาชิก b ใด ๆ ของ U จะได้ว่า y[by = y] เป็นเท็จเสมอ ดังนั้น xy[xy = y], U = {0, 3, 4} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2.1) xy[x  y = x  x], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา

............................................................................................................................

2.2) xy[x  y = x ], U = I วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ 2.3) xy[x + y = 0  xy = 0], U = {–2, –1, 0, 1, 2} , = {–1, 0, 1, 2} วิธีทา ............................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

2.4) xy[x + y  0], U = {0, 1, 2, …} วิธีทา

............................................................................................................................

แบบทดสอบหลังเรียน

แบบฝึกทักษะที่ 4 ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ

คาชี้แจง 1. แบบทดสอบเป็นแบบเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จานวน 10 ข้อ 10 คะแนน ใช้เวลาในการทาแบบทดสอบ 20 นาที 2. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมาย กากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก 1. กาหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ U  {x  0  x  1} ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริง เป็นเท็จ 1. x[x2  x] 2. x[x2  x] 1 1 3.   xx  1    xx22  1   22  22   2 4. x[x – 2x + 2 < 0] 2. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U  I ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. x[x2  0 หรือ x2 + 1 = 0] มีค่าความจริงเป็นจริง 2. x[x + 4 = 0 และ x – 2 = –6] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 3. x[ถ้า x < 3 แล้ว x < 5] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 4. x[x2 > 0 และ x เป็นจานวนตรรกยะ] มีค่าความจริงเป็นจริง 3. ประพจน์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ ประพจน์ใดมีค่าความจริงเป็นจริง 1. xy[x + y < –1] เมื่อ U  R y 2. xy  x  y  เมื่อ U  R  yy x  3. xy[x2 + y2  y + 2] เมื่อ U  {–1, 0, 1} 4. xy[x2 < y + 1] เมื่อ U  {–1, 0, 1}

4. ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนเต็ม ข้อความ xy[y  x3] เป็นเท็จ 2. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {1, 2, 3} ข้อความ xy[x + y < 6] เป็นจริง 3. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {–2, 2} ข้อความ xy[x + y  0] เป็นจริง 4. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {2, 3} ข้อความ xy[y  x4] เป็นจริง 5. ให้

U  {–2, –1, 0, 1, 2} P(x) แทนประโยค x2 + x – 6 = 0 Q(x) แทนประโยค x สอดคล้องกับสมการ x2 + 3x + 2 = 0 R(x) แทนประโยค x หาร 9 ลงตัว ประพจน์ใดต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นจริง 1. x[Q(x)  R(x)] 2. x[P(x)  R(x)] 3. x[P(x)  Q(x)] 4. x[Q(x)  R(x)]

6. ข้อความใดต่อไปนี้เป็นประโยคเปิด 1. 5 เป็นคาตอบของสมการ y + 2 = 7 2. ช่วยหยิบปากกาให้ฉันหน่อย 3. 7  {1, 2, 3, …, n, …} 4. p เป็นจานวนเฉพาะ 7. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง ข้อใดต่อไปนี้มีค่าความจริง เป็นเท็จ 1. x[x2 – 3x + 2  0] 2. x[x2 – 3x + 2  0] 3. x[x + 8  0] 4. x[x + x  2x]

8. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U  {1, 2, 3, 4} P(x) แทน x เป็นจานวนคู่ Q(x) แทน x2 < 4 พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. x[P(x)  Q(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ข. x[P(x)  Q(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ข้อ ก และ ข ผิด 2. ข้อ ก และ ข ถูก 3. ข้อ ก ผิด แต่ ข ถูก 4. ข้อ ก ถูก และ ข ผิด 9. ประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความ “มีจานวนนับ x ซึ่ง x2 + 1  0 และ x + 5  8” ตรงกับข้อใด 1. x[x2 + 1  0  x + 5  8] 2. x[x  N  x2 + 1  0  x + 5  8] 3. x[x  N  x2 + 1  0  x + 5  8] 4. x[x  N  (x2 + 1  0  x + 5  8)] 10. ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจานวนเต็ม ข้อความ xy[y  x3] เป็นเท็จ 2. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {1, 2, 3} ข้อความ xy[x + y < 6] เป็นจริง 3. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {–2, 2} ข้อความ xy[x + y  0] เป็นจริง 4. กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {2, 3} ข้อความ xy[y  x4] เป็นจริง

กระดาษคาตอบ แบบฝึกทักษะที่ 4 แบบทดสอบหลังเรียน ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ ชื่อ......................................................................... ชั้น ............ เลขที่ ......... คาชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก

ข้อ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ คิดเป็นร้อยละ

เกณฑ์ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

แบบบันทึกคะแนน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ชื่อ ................................................................................ ชั้น ......... เลขที่ ........ 1. คะแนนแบบทดสอบ แบบทดสอบ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ แบบทดสอบก่อนเรียน 10 แบบทดสอบหลังเรียน 10 2. คะแนนแบบฝึกทักษะ รายการ แบบฝึกทักษะที่ 4.1 แบบฝึกทักษะที่ 4.2 แบบฝึกทักษะที่ 4.3 แบบฝึกทักษะที่ 4.4 แบบฝึกทักษะที่ 4.5 แบบฝึกทักษะที่ 4.6 รวม

คิดเป็นร้อยละ

ผลการประเมิน

คะแนนเต็ม 10 10 15 15 15 15 80

คะแนนที่ได้

คิดเป็นร้อยละ ผลการประเมิน เกณฑ์ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

ลงชื่อ ................................................................... ผู้บันทึก วันที่.............เดือน....................... พ. ศ. ...............

บรรณานุกรม กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ : ตรรกศาสตร์. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ ฟิสิกส์เซนเตอร์. คณาจารย์มหาวิทยาลัยมหาจุฬาลงกรณราชวิทยาลัย. (2551). คณิตศาสตร์เบื้องต้น (Basic Mathematics). กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์มหาจุฬาลงกรณราชวิทยาลัย. ณรงค์ ปั้นนิ่ม และรณชัย มาเจริญทรัพย์. (2554). คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4 เล่ม 1 ช่วงชั้นที่ 4 ม. 4 – 6. กรุงเทพฯ : ภูมิบัณฑิตการพิมพ์. เทพฤทธิ์ ยอดใส และอุดมศักดิ์ ลูกเสือ. (2552). เก็งข้อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ พ.ศ. พัฒนา. นรพนธ์ อุสาใจ. (2557). เฉลยข้อสอบโควตา ม. เชียงใหม่ ฉบับรวม 21 พ.ศ. 2537 – 2557 คณิตศาสตร์ (สายวิทย์). กรุงเทพฯ : ศิวา โกลด์ มีเดีย. พิพัฒน์พงศ์ ศรีวิศร. (2553). คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4 – 6 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ เดอะบุคส์. ไพโรจน์ เยียระยง. (2559). ตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย. เลิศ สิทธิโกศล. (2554). Math Review คณิตศาสตร์ ม. 4 – 6 เล่ม 1 เพิ่มเติม. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จากัด. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. พิมพ์ครั้งที่ 3. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2556). คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สมัย เหล่าวานิชย์ และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. (2554). Hi – ED’ s Mathematics ม. 4 – 6 เล่ม 1 (รายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. Harry J. Gensler. (2010). Introduction to logic. 2nd ed. New York : Routledge.

ภาคผนวก

ภาคผนวก ก เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน

เฉลย แบบฝึกทักษะที่ 4 แบบทดสอบก่อนเรียน ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 ×

× × × × × × × × ×

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1 –10 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนเลือกคาตอบได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนเลือกคาตอบไม่ถูกต้อง

ภาคผนวก ข เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน

เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 1. ตอบ ข้อ 1 แนวคิด ข้อความ “p เป็นจานวนเฉพาะ” เป็นประโยคเปิดเนื่องจากเป็นข้อความที่มีตัวแปร p ซึ่งเมื่อแทนค่าตัวแปร p แล้วจะได้ประพจน์ เช่น เมื่อ แทน p ด้วย 2 จะได้ว่า 2 เป็นจานวนเฉพาะ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง 2. ตอบ ข้อ 3 แนวคิด พิจารณาข้อความ “มีจานวนนับ x ซึ่ง x2 + 1  0 และ x + 5  8” สามารถเขียนประโยคสัญลักษณ์ได้เป็น x[x  N  x2 + 1  0  x + 5  8] 3. ตอบ ข้อ 2 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ x[x2  0 หรือ x2 + 1 = 0] เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x2  0 หรือ x2 + 1 = 0 ด้วยสมาชิกใน U  I พบว่ามี 0  U ซึ่งเมื่อแทนในประโยคเปิด จะได้ว่า 02  0 หรือ 02 + 1 = 0 เป็นจริง T F 2 2 ดังนั้น x[x  0 หรือ x + 1 = 0] มีค่าความจริงเป็นจริง 4. ตอบ ข้อ 1 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ x[x2 – 3x + 2  0] หาเซตคาตอบของสมการ x2 – 3x + 2  0 จาก x2 – 3x + 2 = 0 มีเพียง 1  U และ 2  U (x – 1)(x – 2) = 0 เท่านั้น ที่แทนลงในตัวแปร x จะได้ว่าเซตคาตอบของ x2 – 3x + 2  0 แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริง คือ {1, 2} เป็นจริง ซึ่งไม่เป็นจริง พบว่า มี 4  U ซึ่งทาให้ประพจน์ สาหรับทุกจานวนจริง 42 – 3(4) + 2 = 0 เป็นเท็จ ดังนั้น x[x2 – 3x + 2  0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

5. ตอบ ข้อ 3 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ x[x2 – 2x + 2 < 0] ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x2 – 2x + 2 < 0 พบว่ามี 0  U ซึ่งเมื่อแทนใน P(x) จะได้ว่า 02 – 2(0) + 2 < 0 เป็นเท็จ 2 ดังนั้น x[x – 2x + 2 < 0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 6. ตอบ ข้อ 4 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ x[Q(x)  R(x)] เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด Q(x)  R(x) ด้วยสมาชิกใน U  {–2, –1, 0, 1, 2} พบว่ามี –1  U ซึ่งเมื่อแทนใน Q(x)  R(x) จะได้ว่า Q(–1) แทน –1 สอดคล้องกับสมการ x2 + 3x + 2 = 0 เป็นจริง R(–1) แทน –1 หาร 9 ลงตัว เป็นจริง จะได้ว่า Q(–1)  R(–1) เป็นจริง T F ดังนั้น x[Q(x)  R(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง 7. ตอบ ข้อ 4 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ xy[x + y = 1] จากการแทน x ด้วยสมาชิกแต่ละตัวของ U จะได้ว่า แทน x = –1 จะได้ y[–1 + y = 1] เป็นเท็จ (เช่น y = 0) แทน x = 0 จะได้ y[0 + y = 1] เป็นเท็จ (เช่น y = 0) แทน x = 1 จะได้ y[1 + y = 1] เป็นเท็จ (เช่น y = 1) ดังนั้น xy[x + y = 1] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 8. ตอบ ข้อ 2 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {–2, 2} ข้อความ xy[x + y  0] เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกทุตัวของ U = {–2, 2} ในประโยคเปิด x + y = 0 จะได้ว่า y[–2 + y  0] เป็นจริง เพราะจะมี y = 2 ที่ทาให้ –2 + 2 = 0 เป็นจริง y[2 + y  0] เป็นจริง เพราะจะมี y = –2 ที่ทาให้ 2 + –2 = 0 เป็นจริง ดังนั้น xy[x + y  0], U = {–2, 2} มีค่าความจริงเป็นจริง

9. ตอบ ข้อ 1 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ xy[x2 + y2  y + 2], เมื่อ U  {–1, 0, 1} เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกทุกตัวของ U = {–1, 0, 1} ในประโยคเปิด 2 2 x +y y+2 จะได้ว่า y[(–1)2 + y2  y + 2] เป็นจริง เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ (–1)2 + 02  0 + 2 เป็นจริง 2 2 y[(0) + y  y + 2] เป็นจริง เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ (0)2 + 02  0 + 2 เป็นจริง 2 2 y[(1) + y  y + 2] เป็นจริง เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ (1)2 + 02  0 + 2 เป็นจริง 2 2 ดังนั้น xy[x + y  y + 2], เมื่อ U  {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นจริง 10. ตอบ ข้อ 2 แนวคิด กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U  {1, 2, 3, 4} P(x) แทน x เป็นจานวนคู่ Q(x) แทน x2 < 4 ก. พิจารณาค่าความจริงของ x[P(x)  Q(x)] พิจารณาประโยคเปิด x เป็นจานวนคู่  x2 < 4 พบว่า เมื่อแทน x ด้วย 2 จะได้ว่า 2 เป็นจานวนคู่  22 < 4 เป็นเท็จ T F ดังนั้น x[P(x)  Q(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข. พิจารณาค่าความจริงของ x[P(x)  Q(x)] พิจารณาประโยคเปิด x เป็นจานวนคู่  x2 < 4 พบว่า เมื่อแทน x ด้วย 2 และ 4 จะได้ว่า 2 เป็นจานวนคู่  22 < 4 เป็นเท็จ T F 2 และ 4 เป็นจานวนคู่  4 < 4 เป็นเท็จ T F ดังนั้น x[P(x)  Q(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ภาคผนวก ค เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน

เฉลย แบบฝึกทักษะที่ 4.1

การอ้างเหตุผลที่อยู่ในรูปสัญลักษณ์

10 คะแนน

พิจารณาประโยคต่อไปนี้แล้วจาแนกว่าเป็นประพจน์หรือประโยคเปิด หรือไม่เป็นทั้งประพจน์ และประโยคเปิด โดยโยงเส้นจับคู่ประโยคให้ถูกต้อง (10 คะแนน) x2 + 5x – 7 = 0

(x – 7)(x+2) 2x < 1 หรือ x > 0

จงหาเซตคาตอบ ของ x2 + 2x – 5 = 0 –1 เป็นคาตอบของ สมการ x+1=0 เขาชอบกีฬา วอลเลย์บอล x2 + y = 2 มีกราฟ เป็นเส้นตรง จงหา x จากสมการ x+1=0

ประพจน์

x หารด้วย 4 ลงตัว อย่าเดินลัดสนาม 5  {1, 2, 4, 5} 2 เป็นจานวน ตรรกยะ จังหวัดเชียงใหม่ อยู่ในภาคเหนือ ของประเทศไทย ช่วยหยิบปากกา ให้ฉันหน่อย x เป็นจานวนจริง ใช่หรือไม่ ไก่เป็นสัตว์เลี้ยงลูก ด้วยนม

ประโยคเปิด

a เป็นจานวนตรรกยะ

ไม่เป็น ทั้งประพจน์ และประโยคเปิด

12 – 9 = 24 เธอสอบได้ที่หนึ่งของ ห้อง x2 + 3x + 2

ถ้า x – 2 = 1 แล้ว x2 > 9

x2 > 0

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ให้คะแนนข้อละ 0.5 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 0.5 นักเรียนสามารถจาแนกว่าประโยคที่กาหนดให้เป็นประพจน์หรือประโยคเปิด หรือไม่เป็นทั้งประพจน์และประโยคเปิด โดยโยงเส้นจับคู่ประโยค ได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถจาแนกว่าประโยคที่กาหนดให้เป็นประพจน์หรือประโยค เปิด หรือไม่เป็นทั้งประพจน์และประโยคเปิดได้

เฉลย

แบบฝึกทักษะที่ 4.2

ตัวบ่งปริมาณ

10 คะแนน

1. ให้นักเรียนเขียนประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เมื่อกาหนดให้ U = R (5 คะแนน) 1.1) มีจานวนจริง x บางจานวน ซึ่ง x + 5 < 10 x[x + 5 < 10]

1.2) สาหรับจานวนจริง x บางตัวและจานวนจริง y บางตัวที่ 2x + y = 9 xy[2x + y = 9]

1.3) สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน x2 + 1 > 0 2

x[x + 1 > 0]

1.4) สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ มีจานวนจริง y บางตัว ที่ x = 3y หรือ x + y  3 xy[x = 3y  x + y  3]

1.5) สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน ถ้า 3x  9 แล้ว x  3 x[3x  9  x  3]

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1.1 – 1.5 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสามารถเขียนประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ ได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถเขียนประโยคสัญลักษณ์แทนข้อความที่กาหนดให้ได้

2. ให้นักเรียนเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เมื่อกาหนดให้ U = R (5 คะแนน) 2.1) x[x + 1 = x] สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ ซึ่ง x + 1 = x 2.2) x[x + 5  3] มีจานวนจริง x บางจานวน ซึ่ง x + 5  3 2.3) x[x3 = 0  x = 0] สาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน ถ้า x3 = 0 แล้ว x = 0 2.4) xy[x + y = xy] มีจานวนจริง x บางจานวน และสาหรับทุกจานวนจริง y ซึ่ง x + y = xy 2.5) xy[x + y = 0  xy  0 ] มีจานวนจริง x และ y บางจานวน ที่ x + y = 0 และ xy  0

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ให้คะแนนข้อ 2.1 – 2.5 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสามารถเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ที่กาหนดให้ ได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถเขียนข้อความแทนประโยคสัญลักษณ์ที่กาหนดให้ได้

เฉลย

แบบฝึกทักษะที่ 4.3

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 15 คะแนน ตัวเดียว (1)

1. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ แล้วเติม T หน้าประโยคที่มีค่าความจริงเป็นจริง และเติม F หน้าประโยคที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อกาหนดให้ U = R (5 คะแนน)

1.1 x[(x + 1)2 = x2 + 1]

1.2 x[x2  1]

1.3 x[x < x + 1]

1.4 x[x + 1 = 1]

1.5 x[x + 1  x]

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1.1 – 1.5 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ ได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ ได้

2. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้พร้อมอธิบายเหตุผล (10 คะแนน) 2.1) x[x2 + 2x + 1  0], U = R วิธีทา

พิจารณาเซตคาตอบของสมการ x2 + 2x + 1 = 0 จาก x2 + 2x + 1 = 0 (x + 1)2 = 0 จะได้ว่าเซตคาตอบของสมการ คือ {–1} นั่นคือ มีสมาชิกใน U อย่างน้อยหนึ่งตัว คือ –1 ที่เมื่อนาไปแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x2 + 2x + 1  0 แล้วได้ประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น x[x2 + 2x + 1  0], U = R มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2.2) x[x + 8 > 8], U = {0, 2, 4, 6, 8} วิธีทา

ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x + 8 > 8 พบว่าเมื่อแทนตัวแปร x ด้วย 0  U ใน P(x) จะได้ว่า P(0) แทน 0 + 8 > 0 เป็นเท็จ ดังนั้น x[x + 8 > 8], U = {0, 2, 4, 6, 8} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2.3) x[x > 0  x2 = 1], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา

ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x > 0  x2 = 1 พบว่าเมื่อแทนตัวแปร x ด้วย 2  U ใน P(x) จะได้ว่า P(2) แทน 2 > 0  22 = 1 เป็นเท็จ T F 2 x[x > 0  x = 1], U = {–2, –1, 0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2.4) x[x  0  x2 = 0] , U = R วิธีทา สาหรับ x[x  0  x2 = 0] จะมีค่าความจริงเป็นเท็จเพียงกรณีเดียว เมื่อ แทน x ที่อยู่ใน U ในประโยคเปิดแล้ว x  0 หรือ x2 = 0 มีค่าความจริงเป็นเท็จ กรณีที่ 1 เมื่อแทน x ด้วยสมาชิกทุกตัวของ R ยกเว้น 0 (R – {0}) ในประโยคเปิด จะได้ว่า x  0  x2 = 0 เป็นจริง T F กรณีที่ 2 เมื่อแทน x ด้วย 0  U ในประโยคเปิด จะได้ว่า 0  0  02 = 0 เป็นจริง F T 2 ดังนั้น x[x  0  x = 0] , U = R มีค่าความจริงเป็นจริง 2.5) x[x > 0]  x[x  5] , U = R วิธีทา

พิจารณาค่าความจริงของ x[x > 0] และค่าความจริงของ x[x  5] ดังนี้ 1) พิจารณาค่าความจริงของ x[x > 0] ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x > 0 เมื่อแทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วย 0  U จะได้ว่า P(0) แทน 0 > 0 เป็นเท็จ นั่นคือ x[x > 0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2) พิจารณาค่าความจริงของ x[x  5] ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x > 0 เมื่อแทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วย 3  U จะได้ว่า P(3) แทน 3  5 เป็นเท็จ นั่นคือ x[x  5] มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า

x[x > 0]  x[x  5]

F T

ดังนั้น x[x > 0]  x[x  5] , U = R มีค่าความจริงเป็นจริง แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ให้คะแนนข้อ 2.1 – 2.5 ข้อละ 2 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 2 นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ พร้อมอธิบายเหตุผลได้อย่างถูกต้อง 1 นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ได้ แต่ไม่สามารถอธิบายเหตุผลได้ 0 นักเรียนไม่สามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ และไม่สามารถอธิบายเหตุผลได้

เฉลย

แบบฝึกทักษะที่ 4.4

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 15 คะแนน ตัวเดียว (2)

1.1 x[x + 2 = x]

1.2 x[x2 + 1 > 5]

1.3 x[x2 – 3x + 4 = 0]

1.4 x[x2 = 1]

1.5 x[x  I  x  R]

2. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้พร้อมอธิบายเหตุผล (10 คะแนน) 2.1) x[x2 – x – 6 > 0], U = {–1, 0, 1} วิธีทา

ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x2 – x – 6 > 0 แทนค่าตัวแปร x ด้วยสมาชิกใน U = {–1, 0, 1} จะได้ว่า P(–1) แทน (–1)2 – (–1) – 6 > 0 เป็นเท็จ P(0) แทน (0)2 – (0) – 6 > 0 เป็นเท็จ 2 P(1) แทน (1) – (1) – 6 > 0 เป็นเท็จ 2 ดังนั้น x[x – x – 6 > 0], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2.2) x[x > 1], U = I วิธีทา

พิจารณาการแทนค่าตัวแปร x ในประโยคเปิด x > 1 พบว่ามี 3  U ซึ่งทาให้ประพจน์ 3 > 1 เป็นจริง ดังนั้น x[x > 1], U = I มีค่าความจริงเป็นจริง

2.3) x[x  0  x = 1], U = {–1, 0, 1, 2} วิธีทา

ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x  0  x = 1 แทนค่าตัวแปร x ด้วยสมาชิกใน U = {–1, 0, 1, 2} จะได้ว่า P(–1) แทน –1  0  –1 = 1 เป็นเท็จ T F P(0) แทน 0  0  0 = 1 เป็นเท็จ T F P(1) แทน 1  0  1 = 1 เป็นเท็จ F T P(2) แทน 2  0  2 = 1 เป็นเท็จ F F ดังนั้น x[x  0  x = 1], U = {–1, 0, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2.4) x[x  0  x เป็นจานวนเฉพาะ], U = {0, 2, 4} วิธีทา

พิจารณาแทนค่าตัวแปร x ในประโยคเปิด x  0  x เป็นจานวนเฉพาะ พบว่ามี 2  U ซึ่งทาให้ประพจน์ 2  0  2 เป็นจานวนเฉพาะ เป็นจริง T T ดังนั้น x[x  0  x เป็นจานวนเฉพาะ], U = {0, 2, 4}

มีค่าความจริงเป็นจริง 2.5) x[2x = 0]  x[x เป็นเอกลักษณ์การบวก], U = {–1, 0, 1} พิจารณาค่าความจริงของ x[2x = 0]  x[x เป็นเอกลักษณ์การบวก] 1) พิจารณาค่าความจริงของ x[2x = 0], U = {–1, 0, 1} ให้ P(x) แทนประโยคเปิด 2x = 0 จะได้ว่า P(–1) แทน 2–1 = 0 เป็นเท็จ 0 P(0) แทน 2 = 0 เป็นเท็จ 1 P(1) แทน 2 = 0 เป็นเท็จ x นั่นคือ x[2 = 0]  x[x เป็นเอกลักษณ์การบวก], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2) พิจารณาค่าความจริงของ x[x เป็นเอกลักษณ์การบวก], U = {–1, 0, 1} ให้ Q(x) แทนประโยคเปิด x เป็นเอกลักษณ์การบวก จะได้ว่า Q(0) แทน 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก เป็นจริง นั่นคือ x[x เป็นเอกลักษณ์การบวก], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นจริง วิธีทา

พิจารณาค่าความจริงของ x[2x = 0]  x[x เป็นเอกลักษณ์การบวก] x จะได้ว่า x[2 = 0]  x[x เป็นเอกลักษณ์การบวก] F T F x ดังนั้น x[2 = 0]  x[x เป็นเอกลักษณ์การบวก], U = {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

เฉลย

แบบฝึกทักษะที่ 4.5

ค่าความจริงของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว (1)

15 คะแนน

1. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ แล้วโยงเส้น จับคู่ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณกับค่าความจริงที่มีความสัมพันธ์กัน เมื่อกาหนดให้ U = {1, 2, 3} (5 คะแนน) xy[x

y = y]

xy[x +y < 6]

xy[(y – x)

= y3 – x3]

เป็นเท็จ

เป็นจริง

xy[x

+y2 < 12]

xy[x xy[y = x

< y + 1]

]

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ให้คะแนนข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ ได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ ได้

2. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้พร้อมอธิบายเหตุผล (10 คะแนน) 2.1) xy[x + y = x + y], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด [x + y = x + y ด้วยสมาชิกใน U = {–2, –1, 0, 1, 2} พบว่ามี –1  U และ 1  U ซึ่งเมื่อแทน x = –1 และ y = 1 ในประโยคเปิด x + y = x + y จะได้ว่า –1 + 1 = –1 + 1 เป็นเท็จ ดังนั้น xy[x + y = x + y], U = {–2, –1, 0, 1, 2} มีค่าความจริง เป็นเท็จ

2.2) xy[(x – y)2  y2 + 9xy]

วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด (x – y)2  y2 + 9xy ด้วยสมาชิกใน พบว่ามี 0  U ซึ่งเมื่อแทน x = 0 และ y = 0 ในประโยคเปิด (x – y)2  y2 + 9xy จะได้ว่า (0 – 0)2  02 + 9(0)(0) เป็นจริง 2 2 ดังนั้น xy[(x – y)  y + 9xy] มีค่าความจริงเป็นจริง

2.3) xy[x > y  x + y  3], U = {–2, –1, 0, 1, 2} , =วิธ{ีท–1,า 0, 1ให้, 2P(x, } y) แทนประโยคเปิด x > y  x + y  3 เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x > y  x + y  3 ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U = {–2, –1, 0, 1, 2} พิจารณา P(x, y) ที่มีประโยคเปิด x > y ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนี้ P(–1, –2) แทน –1 > –2  –1 + (–2)  3 เป็นจริง P(0, –1) แทน 0 > –1  0 + (–1)  3 เป็นจริง P(0, –2) แทน 0 > –2  0 + (–2)  3 เป็นจริง P(1, 0) แทน 1 > 0  1 + (0)  3 เป็นจริง P(1, –1) แทน 1 > –1  1 + (–1)  3 เป็นจริง P(1, –2) แทน 1 > –2  1 + (–2)  3 เป็นจริง P(2, 1) แทน 2 > 1  2 + (1)  3 เป็นจริง P(2, 0) แทน 2 > 0  2 + (0)  3 เป็นจริง P(2, –1) แทน 2 > –1  2 + (–1)  3 เป็นจริง P(2, –2) แทน 2 > –2  2 + (–2)  3 เป็นจริง สาหรับกรณีอื่น ๆ P(x, y) มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น xy[x > y  x + y  3], U = {–2, –1, 0, 1, 2}

2.4) xy[x = y  x  y], U = {–2, –1, 0, 1, 2} ให้ P(x, y) แทนประโยคเปิด x = y  x  y เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x = y  x  y ด้วยสมาชิกแต่ละตัวใน U = {–1, 0, 1} พิจารณา P(x, y) ที่มีประโยคเปิด x = y มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนี้ P(–2, –2) แทน –2 = –2  –2  –2 เป็นเท็จ P(–1, –1) แทน –1 = –1  –1  –1 เป็นเท็จ P(1, 1) แทน 1 = 1  1  1 เป็นเท็จ P(0, 0) แทน 0 = 0  0  0 เป็นเท็จ P(1, 1) แทน 1 = 1  1  1 เป็นเท็จ ดังนั้น xy[x > y  x + y  3], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา

2.5) xy[x  0  x = y + 1], U = {–2, –1, 1, 2} วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x และตัวแปร y ในประโยคเปิด x  0  x = y + 1 ด้วยสมาชิกใน U = {–2, –1, 1, 2} พบว่ามี –2  U และ 1  U ซึ่งเมื่อแทน x = –2 และ y = 1 ในประโยคเปิด x  0  x = y + 1 จะได้ว่า –2  0  –2  = 1 + 1 เป็นจริง T T ดังนั้น xy[x  0  x = y + 1], U = {–2, –1, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นจริง

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 ให้คะแนนข้อ 2.1 – 2.5 ข้อละ 2 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 2 นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ พร้อมอธิบายเหตุผลได้อย่างถูกต้อง 1 นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ได้ แต่ไม่สามารถอธิบายเหตุผลได้ 0 นักเรียนไม่สามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ และไม่สามารถอธิบายเหตุผลได้

ค่าความจริงของประโยค แบบฝึกทักษะที่ 4.6 ที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว (2) เฉลย

15 คะแนน

xy[x y < 5]

xy[y – 2x  0]

เป็นเท็จ

เป็นจริง

xy[x

+ 3x + 4 = y]

xy[(y – x)

= y3 – x3]

xy[x + y = y]

เกณฑ์การให้คะแนน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

คะแนนเต็ม 5 คะแนน ให้คะแนนข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ ได้อย่างถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สามารถหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ ได้

2. ให้นักเรียนหาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้พร้อมอธิบายเหตุผล (10 คะแนน) 2

2.1) xy[x  y = x  x], U = {–2, –1, 0, 1, 2} วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกทุกตัวของ U = {–2, –1, 0, 1, 2} 2 2 ในประโยคเปิด x  y = x  x 2 2 จะได้ว่า y[(–2)  y = (–2)  (–2)] เป็นจริง 2 2 เพราะจะมี y = –2 ที่ทาให้ (–2)  (–2) = (–2)  (–2)] เป็นจริง 2 2 y[(–1)  y = (–1)  (–1)] เป็นจริง 2 2 เพราะจะมี y = –1 ที่ทาให้ (–1)  (–1) = (–1)  (–1)] เป็นจริง 2 2 y[(0)  y = (0)  (0)] เป็นจริง 2 2 เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ (0)  (0) = (0)  (0)] เป็นจริง 2 2 y[(1)  y = (1)  (1)] เป็นจริง 2 2 เพราะจะมี y = 1 ที่ทาให้ (1)  (1) = (1)  (1)] เป็นจริง 2 2 y[(2)  2 = (2)  (2)] เป็นจริง 2 2 เพราะจะมี y = 2 ที่ทาให้ (2)  (2) = (2)  (2)] เป็นจริง 2 2 ดังนั้น xy[x  y = x  x], U = {–2, –1, 0, 1, 2} มีค่าความจริง เป็นจริง

2.2) xy[x  y = x ], U = I วิธีทา

จาก xy=x จะได้ y=1 จะพบว่า สาหรับทุก ๆ x จะมี y = 1 ที่ทาให้ x  1 = x เป็นจริงเสมอ ดังนั้น xy[x  y = x ], U = I มีค่าความจริงเป็นจริง

2.3) xy[x + y = 0  xy = 0], U = {–2, –1, 0, 1, 2} , = {–1, 0, 1, 2} วิธีทา เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกทุกตัวของ U = {–2, –1, 0, 1, 2} ในประโยคเปิด x + y = 0  xy = 0 จะได้ว่า y[(–2) + y = 0  (–2)y = 0] เป็นเท็จ เนื่องจาก (–2) + 2 = 0  (–2)(2) = 0 เป็นเท็จ T F (มี 2  U ซึ่ง (–2) + 2 = 0 เป็นจริง แต่ (–2)(2) = 0 เป็นเท็จ) ดังนั้น xy[x + y = 0  xy = 0], U = {–2, –1, 0, 1, 2} มีค่าความจริง เป็นเท็จ

2.4) xy[x + y  0], U = {0, 1, 2, …} วิธีทา

จาก 0  U เมื่อแทน x = 0 ในประโยคเปิด x + y  0 จะได้ว่า y[0 + y  0] เป็นจริง เนื่องจากถ้าแทน y ใด ๆ ที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ว่า 0 + y  0 เป็นจริงเสมอ ดังนั้น xy[x + y  0], U = {0, 1, 2, …} มีค่าความจริงเป็นจริง

2.5) xy[x + y = x – y], U = {–2, –1, 1, 2} วิธีทา

พิจารณา x+y=x–y จะได้ว่า y = –y ซึ่งเป็นเท็จเสมอ ดังนั้น xy[x + y = x – y], U = {–2, –1, 1, 2} มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ภาคผนวก ง เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน

100

เฉลย แบบฝึกทักษะที่ 4 แบบทดสอบหลังเรียน ค่าความจริงของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4 ×

× × × × × × × × ×

101

ภาคผนวก จ เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน

102

เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 1. ตอบ 4 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ x[x2 – 2x + 2 < 0] ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x2 – 2x + 2 < 0 พบว่ามี 0  U ซึ่งเมื่อแทนใน P(x) จะได้ว่า 02 – 2(0) + 2 < 0 เป็นเท็จ 2 ดังนั้น x[x – 2x + 2 < 0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 2. ตอบ 1 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ x[x2  0 หรือ x2 + 1 = 0] เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด x2  0 หรือ x2 + 1 = 0 ด้วยสมาชิกใน U  I พบว่ามี 0  U ซึ่งเมื่อแทนในประโยคเปิด จะได้ว่า 02  0 หรือ 02 + 1 = 0 เป็นจริง T F 2 2 ดังนั้น x[x  0 หรือ x + 1 = 0] มีค่าความจริงเป็นจริง 3. ตอบ 3 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ xy[x2 + y2  y + 2], เมื่อ U  {–1, 0, 1} เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกทุกตัวของ U = {–1, 0, 1} ในประโยคเปิด 2 2 x +y y+2 จะได้ว่า y[(–1)2 + y2  y + 2] เป็นจริง เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ (–1)2 + 02  0 + 2 เป็นจริง 2 2 y[(0) + y  y + 2] เป็นจริง เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ (0)2 + 02  0 + 2 เป็นจริง 2 2 y[(1) + y  y + 2] เป็นจริง เพราะจะมี y = 0 ที่ทาให้ (1)2 + 02  0 + 2 เป็นจริง 2 2 ดังนั้น xy[x + y  y + 2], เมื่อ U  {–1, 0, 1} มีค่าความจริงเป็นจริง

103

4. ตอบ 3 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {–2, 2} ข้อความ xy[x + y  0] เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกทุกตัวของ U = {–2, 2} ในประโยคเปิด x + y = 0 จะได้ว่า y[–2 + y  0] เป็นจริง เพราะจะมี y = 2 ที่ทาให้ –2 + 2 = 0 เป็นจริง y[2 + y  0] เป็นจริง เพราะจะมี y = –2 ที่ทาให้ 2 + –2 = 0 เป็นจริง ดังนั้น xy[x + y  0], U = {–2, 2} มีค่าความจริงเป็นจริง 5. ตอบ 1 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ x[Q(x)  R(x)] เมื่อแทนตัวแปร x ในประโยคเปิด Q(x)  R(x) ด้วยสมาชิกใน U  {–2, –1, 0, 1, 2} พบว่ามี –1  U ซึ่งเมื่อแทนใน Q(x)  R(x) จะได้ว่า Q(–1) แทน –1 สอดคล้องกับสมการ x2 + 3x + 2 = 0 เป็นจริง R(–1) แทน –1 หาร 9 ลงตัว เป็นจริง จะได้ว่า Q(–1)  R(–1) เป็นจริง T F ดังนั้น x[Q(x)  R(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง 6. ตอบ 4 แนวคิด ข้อความ “p เป็นจานวนเฉพาะ” เป็นประโยคเปิดเนื่องจากเป็นข้อความที่มีตัวแปร p ซึ่งเมื่อแทนค่าตัวแปร p แล้วจะได้ประพจน์ เช่น เมื่อ แทน p ด้วย 2 จะได้ว่า 2 เป็นจานวนเฉพาะ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง 7. ตอบ 2 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ x[x2 – 3x + 2  0] หาเซตคาตอบของสมการ x2 – 3x + 2  0 จาก x2 – 3x + 2 = 0 มีเพียง 1  U และ 2  U (x – 1)(x – 2) = 0 เท่านั้น ที่แทนลงในตัวแปร x จะได้ว่าเซตคาตอบของ x2 – 3x + 2  0 แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริง คือ {1, 2} เป็นจริง ซึ่งไม่เป็นจริง พบว่า มี 4  U ซึ่งทาให้ประพจน์ สาหรับทุกจานวนจริง 2 4 – 3(4) + 2 = 0 เป็นเท็จ 2 ดังนั้น x[x – 3x + 2  0] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

104

8. ตอบ 1 แนวคิด กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ U  {1, 2, 3, 4} P(x) แทน x เป็นจานวนคู่ Q(x) แทน x2 < 4 ก. พิจารณาค่าความจริงของ x[P(x)  Q(x)] พิจารณาประโยคเปิด x เป็นจานวนคู่  x2 < 4 พบว่า เมื่อแทน x ด้วย 2 จะได้ว่า 2 เป็นจานวนคู่  22 < 4 เป็นเท็จ T F ดังนั้น x[P(x)  Q(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ ข. พิจารณาค่าความจริงของ x[P(x)  Q(x)] พิจารณาประโยคเปิด x เป็นจานวนคู่  x2 < 4 พบว่า เมื่อแทน x ด้วย 2 และ 4 จะได้ว่า 2 เป็นจานวนคู่  22 < 4 เป็นเท็จ T F 2 และ 4 เป็นจานวนคู่  4 < 4 เป็นเท็จ T F ดังนั้น x[P(x)  Q(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ 9. ตอบ 2 แนวคิด พิจารณาข้อความ “มีจานวนนับ x ซึ่ง x2 + 1  0 และ x + 5  8” สามารถเขียนประโยคสัญลักษณ์ได้เป็น x[x  N  x2 + 1  0  x + 5  8] 10. ตอบ 3 แนวคิด พิจารณาค่าความจริงของ กาหนดเอกภพสัมพัทธ์ คือ {–2, 2} ข้อความ xy[x + y  0] เมื่อแทนตัวแปร x ด้วยสมาชิกทุกตัวของ U = {–2, 2} ในประโยคเปิด x + y = 0 จะได้ว่า y[–2 + y  0] เป็นจริง เพราะจะมี y = 2 ที่ทาให้ –2 + 2 = 0 เป็นจริง y[2 + y  0] เป็นจริง เพราะจะมี y = –2 ที่ทาให้ 2 + –2 = 0 เป็นจริง ดังนั้น xy[x + y  0], U = {–2, 2} มีค่าความจริงเป็นจริง

105