แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ by Aemmily Emila

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม

สมมูลและนิเสธของประโยคทีม่ ีตัวบ่งปริมาณ

จัดทาโดย นางวรรณพร ทสะสังคินทร์ ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการ โรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 41

คานา แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทาขึ้น เพื่อใช้เป็นสื่อประกอบการจัดการเรียนรู้รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค31201 เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น โดยเน้นให้ผู้เรียนได้เรียนรู้และฝึกปฏิบัติด้วยตนเองจนเกิดทักษะ และความชานาญในเนื้อหา สามารถยกระดับผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนให้สูงขึ้น และเป็นการกระตุ้น ให้ผู้เรียนมีทัศนคติที่ดีต่อการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ประกอบด้วย คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู และนักเรียน แบบทดสอบก่อนเรียนพร้อมเฉลย ผลการเรียนรู้ มาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด จุดประสงค์การเรียนรู้และสมรรถนะสาคัญของผู้เรียน ใบความรู้ แบบฝึกทักษะพร้อมเฉลย และแบบทดสอบหลังเรียนพร้อมเฉลย ซึ่งนักเรียนสามารถใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ในชั้นเรียน และใช้สาหรับศึกษาเพิ่มเติมด้วยตนเองได้ ในการจัดทาแบบฝึกทักษะวิชาคณิตศาสตร์เล่มนี้สาเร็จลุล่วงได้ โดยได้รับการสนับสนุน จากคณะผู้บริหาร คณะครูโรงเรียนกาแพงเพชรพิทยาคม และผู้เชี่ยวชาญทุกท่านที่กรุณาให้คาปรึกษา เสนอแนะแนวทางการแก้ไขข้อบกพร่อง ตลอดจนให้กาลังใจด้วยดีเสมอมา ผู้จัดทาขอขอบพระคุณ เป็นอย่างสูงมา ณ โอกาสนี้ ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียน การสอนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน ครูผู้สอน และผู้ที่สนใจเป็นอย่างมาก ตลอดจนสามารถ ยกระดับคุณภาพการศึกษาในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ให้มีประสิทธิภาพดียิ่งขึ้น วรรณพร ทสะสังคินทร์

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ก

สารบัญ เรื่อง

หน้า

คานา………………………………………………………………………………………………………………………..……… ก สารบัญ............................................................................................................................................. ข คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4…….. ง คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู..................................................................... จ คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน..........…………………………………...……… ฉ ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน................................................................ ช สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้................................................................... ซ จุดประสงค์การเรียนรู้และสมรรถนะสาคัญ..................................................................................... ฌ สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ...................................................................................................... ฎ การวัดและประเมินผลการเรียนรู้..................................................................................................... ฏ แบบทดสอบก่อนเรียน.................................................................................................................... 1 กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียน............................................................................................ 4 แบบฝึกทักษะที่ 5.1 การสมมูลกันของประโยคเปิด........................................................................ 5 แบบฝึกทักษะที่ 5.2 การสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ (1).............................................. 12 แบบฝึกทักษะที่ 5.3 การสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ (2).............................................. 18 แบบฝึกทักษะที่ 5.4 การหานิเสธของประพจน์และการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ตัวเดียว.....……………………............................................................................................................... 24 แบบฝึกทักษะที่ 5.5 การหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว......……………….……............. 36 แบบทดสอบหลังเรียน …………….…………………………………….……………………………….…………………. 43 กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลังเรียน............................................................................................ 46 แบบบันทึกคะแนน........................................................................................................................... 47 บรรณานุกรม …………………………………………………………………………….………................................. 48

ข

สารบัญ เรื่อง

หน้า

ภาคผนวก ....................................................................................................................................... 49 ภาคผนวก ก เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน......................................... 50 ภาคผนวก ข เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน..................................................................... 52 ภาคผนวก ค เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน....................................................... 56 ภาคผนวก ง เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน........................................... 76 ภาคผนวก จ เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน...................................................................... 78

ค

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทาขึ้น เพื่อให้ครูผู้สอนใช้เป็นสื่อประกอบการจัดการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค31201 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จานวน 28 ชั่วโมง มีรายละเอียดดังนี้ 1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ได้จัดลาดับเนื้อหาจากง่าย ไปหายากเป็นลาดับขั้นตอนโดยแบ่งออกเป็น 5 เล่ม ดังนี้ เล่ม 1 ประพจน์และค่าความจริงของประพจน์ เล่ม 2 สมมูลและสัจนิรันดร์ เล่ม 3 การอ้างเหตุผล เล่ม 4 ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 2. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ประกอบด้วย 2.1 คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 2.2 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู 2.3 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน 2.4 ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับนักเรียน 2.5 สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้ 2.6 จุดประสงค์การเรียนรู้และสมรรถนะสาคัญของผู้เรียน 2.7 สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ 2.8 การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ 2.9 แบบทดสอบก่อนเรียน 2.10 ใบความรู้ 2.11 แบบฝึกทักษะ 2.12 แบบทดสอบหลังเรียน 2.13 แบบบันทึกคะแนน 2.14 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเฉลยแนวคิด 2.15 เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน 2.16 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเฉลยแนวคิด 3. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ใช้ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ที่ 23 – 27 เวลาเรียน 5 ชั่วโมง

ง

การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ครูควรเตรียมความพร้อมและปฏิบัติตามคาแนะนา ดังต่อไปนี้ 1. ครูควรศึกษาเนื้อหาสาระและทาความเข้าใจแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ทุกเล่ม อย่างละเอียด 2. ครูจัดการเรียนรู้โดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จานวน 5 เล่ม ควบคู่กับแผนการจัดการเรียนรู้ 3. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียนลงในกระดาษคาตอบ 4. ครูชี้แจงขั้นตอนการศึกษาและวิธีการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แก่นักเรียนให้เข้าใจ และควรเน้นเรื่องความซื่อสัตย์ 5. ให้นักเรียนศึกษาคาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน แล้วฝึกปฏิบัติตามคาแนะนา 6. ครูคอยดูแลให้ความช่วยเหลือและให้คาแนะนานักเรียนเมื่อมีปัญหาในการฝึกปฏิบัติ 7. เมื่อนักเรียนฝึกปฏิบัติตามขั้นตอนในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แล้ว ให้นักเรียน ทาแบบทดสอบหลังเรียนลงในกระดาษคาตอบ 8. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียน แบบฝึกทักษะ และแบบทดสอบหลังเรียน เป็นรายบุคคลเพื่อประเมินความรู้ของตนเอง

จ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่นักเรียนกาลังศึกษานี้เป็นแบบฝึกทักษะที่จัดเนื้อหาไว้ เป็นลาดับขั้นตอน เพื่อให้นักเรียนได้เรียนรู้อย่างถูกต้อง เริ่มจากเนื้อหาที่ง่ายไปหาเนื้อหาที่ยาก สามารถเรียนรู้และฝึกปฏิบัติได้ด้วยตนเอง การใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ควรปฏิบัติตามคาแนะนา ในการใช้อย่างเคร่งครัดจึงจะได้ผลดี สาหรับข้อปฏิบัติในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์มีดังนี้ 1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์แต่ละเล่มประกอบด้วย 1.1 คาชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 1.2 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับครู 1.3 คาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์สาหรับนักเรียน 1.4 ขั้นตอนการใช้แบบฝึกทักษะสาหรับนักเรียน 1.5 สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้ 1.6 จุดประสงค์การเรียนรู้และสมรรถนะสาคัญของผู้เรียน 1.7 สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญ 1.8 การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ 1.9 แบบทดสอบก่อนเรียน 1.10 ใบความรู้ 1.11 แบบฝึกทักษะ 1.12 แบบทดสอบหลังเรียน 1.13 แบบบันทึกคะแนน 1.14 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเฉลยแนวคิด 1.15 เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน 1.16 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเฉลยแนวคิด 2. ให้นักเรียนเตรียมอุปกรณ์การเรียนให้พร้อม 3. ให้นักเรียนแต่ละคนทาแบบทดสอบก่อนเรียนด้วยตนเอง จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 20 นาที และตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 4. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ ทาแบบฝึกทักษะด้วยตนเอง และตรวจคาตอบ จากเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 5. ให้นักเรียนทาแบบทดสอบหลังเรียนด้วยตนเอง จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 20 นาที และตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน 6. ให้นักเรียนฝึกปฏิบัติด้วยความซื่อสัตย์

ฉ

ศึกษาคาชี้แจงและคาแนะนาการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ สาหรับนักเรียน

ทาแบบทดสอบก่อนเรียน

ศึกษาใบความรู้

ทาแบบฝึกทักษะ

ทาแบบทดสอบหลังเรียน

ช

สาระ/ มาตรฐานการเรียนรู้ ตัวชี้วัด และผลการเรียนรู้ ของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ มีดังนี้ สาระที่ 4 พีชคณิต มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical model) อื่นๆ แทนสถานการณ์ต่างๆ ตลอดจนแปลความหมาย และนาไปใช้แก้ปัญหา ผลการเรียนรู้ สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ตัวชี้วัด ม. 4 – 6/ 1 ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา ม. 4 – 6/ 2 ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม ม. 4 – 6/ 3 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอได้อย่างถูกต้องและชัดเจน ม. 4 – 6/ 4 เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ ม. 4 – 6/ 5 มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

ซ

จุดประสงค์การเรียนรู้ของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ มีดังนี้ จุดประสงค์การเรียนรู้ ความรู้ นักเรียนสามารถ 1. ตรวจสอบการสมมูลกันของประโยคเปิดที่กาหนดให้ได้ 2. ตรวจสอบการสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ได้ 3. หานิเสธของประพจน์ที่กาหนดให้ได้ 4. หานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียวที่กาหนดให้ได้ 5. หานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัวที่กาหนดให้ได้ ทักษะ/ กระบวนการ 1. ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา 2. ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม 3. ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอได้อย่างถูกต้องและชัดเจน 4. เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ 5. คิดริเริ่มสร้างสรรค์ คุณลักษณะอันพึงประสงค์ 1. มีความซื่อสัตย์สุจริต 2. มีวินัย 3. ใฝ่เรียนรู้ 4. มุ่งมั่นในการทางาน

ฌ

สมรรถนะสาคัญ นักเรียนมีความสามารถในการ 1. สื่อสาร 2. คิด 3. แก้ปัญหา 4. ใช้ทักษะชีวิต 5. ใช้เทคโนโลยี

ญ

สาระการเรียนรู้และสาระสาคัญของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ มีดังนี้ สาระการเรียนรู้ 1. 2. 3. 4.

การสมมูลกันของประโยคเปิด การสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ การหานิเสธของประพจน์และการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว การหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว

สาระสาคัญ 1. ตัวอย่างประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณที่สมมูลกัน เช่น - x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] - x[P(x)]  x[Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)] - x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  P(x)] - x[P(x)]  x[Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)] - x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] - (x[P(x)]  x[Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)] - x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)]  Q(x)] 2. ตัวอย่างประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณที่เป็นนิเสธกัน เช่น - นิเสธของ x[P(x)]  x[Q(x)] คือ x[P(x)]  x[Q(x)] - นิเสธของ x[P(x)]  x[Q(x)] คือ x[P(x)]  x[Q(x)]

ฎ

ความรู้ ภาระงาน/ ชิ้นงาน การทาแบบฝึก ทักษะที่ 5.1 – 5.5 การทา แบบทดสอบ หลังเรียน

แบบฝึกทักษะ ที่ 5.1 – 5.5

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

แบบทดสอบ หลังเรียน

ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

วิธีวัด ตรวจแบบฝึก ทักษะที่ 5.1 – 5.5 ตรวจ แบบทดสอบ หลังเรียน

เครื่องมือ

ทักษะ/ กระบวนการ ทักษะ/ วิธีวัด กระบวนการ - การแก้ปัญหา สังเกตพฤติกรรม - การให้เหตุผล ตามรายการประเมิน - การสื่อสาร ด้านทักษะ/ และนาเสนอ กระบวนการ ข้อมูลได้ - การเชื่อมโยง ความรู้ - ความคิดริเริ่ม สร้างสรรค์ ทักษะ สังเกตพฤติกรรม การทางานกลุ่ม ตามรายการประเมิน ด้านกระบวนการ กลุ่ม

เครื่องมือ แบบประเมิน ด้านทักษะ

แบบประเมิน กระบวนการ กลุ่ม

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ระดับดีขึ้นไป

ระดับพอใช้ ขึ้นไป

ฏ

ผู้ประเมิน เพื่อน, ครู เพื่อน, ครู

ผู้ประเมิน ครู

เพื่อน, ครู

ฏ

คุณลักษณะอันพึงประสงค์ คุณลักษณะ วิธีวัด เครื่องมือ อันพึงประสงค์ - ซื่อสัตย์สุจริต สังเกตพฤติกรรม แบบประเมิน - มีวินัย ตามรายการประเมิน คุณลักษณะ - ใฝ่เรียนรู้ คุณลักษณะ อันพึงประสงค์ - มุ่งมั่น อันพึงประสงค์ ในการทางาน

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ระดับดีขึ้นไป

ผู้ประเมิน เพื่อน,ครู

สมรรถนะสาคัญ สมรรถนะสาคัญ - ความสามารถ ในการสื่อสาร - ความสามารถ ในการคิด - ความสามารถ ในการแก้ปัญหา - ความสามารถ ในการใช้ ทั ก ษะ ชีวิต - ความสามารถ ในการใช้ เทคโนโลยี

วิธีวัด

เครื่องมือ

สังเกตพฤติกรรม แบบประเมิน ตามรายการประเมิน สมรรถนะ สมรรถนะ ผู้เรียน ผู้เรียน 5 ด้าน 5 ด้าน

เกณฑ์ ที่ใช้ประเมิน ระดับดีขึ้นไป

ฐ

ผู้ประเมิน ครู

ฐ

แบบทดสอบก่อนเรียน

แบบฝึกทักษะที่ 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ

คาชี้แจง 1. แบบทดสอบเป็นแบบเลือกตอบ 4 ตัวเลือก จานวน 10 ข้อ 10 คะแนน ใช้เวลาในการทาแบบทดสอบ 20 นาที 2. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมาย กากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก

1. x[P(x)  Q(x)] มีความหมายเช่นเดียวกับข้อใดต่อไปนี้ 1. x[Q(x)  P(x)] 2. x[P(x)  Q(x)] 3. {x[P(x)  Q(x)]} 4. {x[P(x)  Q(x)]} 2. ข้อใดถูกต้อง 1. x[x < 1]  x[x > 1] สมมูลกับ x[x  1]  x[x  1] 2. x[x  A]  x[x  B] สมมูลกับ x[x  A]  x[x  B] 3. x[x < 1  x  A]  x[x  B] ไม่สมมูลกับ x[x  A  x  1]  x[x  B] 4. x[x  A  x  B]  x[x  B] ไม่สมมูลกับ x[x  A  x  B]  x[x  B] 3. ข้อความ x[(x < 0  x = –x)] สมมูลกับข้อใดต่อไปนี้ 1. x[x  0  x = –x] 2. x[x  0  x  –x] 3. x[x < 0  x = –x] 4. x[x < 0  x  –x]

4. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ เมื่อ P(x), Q(x) และ R(x) แทนประโยคเปิด ก. ข้อความ x[(P(x)  Q(x))  R(x)] สมมูลกับ x[R(x)  (P(x)  Q(x))] ข. นิเสธของข้อความ xy[(x > y)  (x2  y)] คือ xy[(x > y)  (x2  y)] ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ข้อ ก และ ข ถูก 2. ข้อ ก ถูก แต่ ข ผิด 3. ข้อ ก ผิด แต่ ข ถูก 4. ข้อ ก และ ข ผิด 5. นิเสธของ x[x + 1  0] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. x[x + 1  0] 2. x[x + 1 = 0] 3. x[x + 1 = 0] 4. x[x + 1  0] 6. ข้อใด ไม่ถูกต้อง 1. x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] 2. xy[P(x,y)] สมมูลกับ xy[P(x,y)] 3. x[Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)] 4. x[P(x)] สมมูลกับ x[P(x)] 7. นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คือข้อใด 1. x[P(x)  Q(x)] 2. x[P(x)  Q(x)] 3. x[P(x)  Q(x)] 4. x[(P(x)  Q(x))] 8. นิเสธของ xy[x < y  x + y > 0] คือข้อใด 1. xy[x + y  0  x  y] 2. xy[x  y  x + y  0] 3. xy[x < y  x + y  0] 4. xy[x  y  x + y > 0]

9. นิเสธของข้อความ xy[xy < 0  (x < 0  y < 0)] คือข้อความใดต่อไปนี้ 1. xy[(xy  0)  (x < 0  y < 0)] 2. xy[(xy < 0)  (x  0  y  0)] 3. xy[(xy < 0)  (x  0  y  0)] 4. xy[(xy  0)  (x < 0  y < 0)] 10. ข้อใดเป็นนิเสธของประพจน์ xy[x + y = 1  xy > 0] 1. xy[x + y  1  xy  0] 2. xy[x + y  1  xy > 0] 3. xy[x + y  1  xy  0] 4. xy[x + y = 1  xy  0]

กระดาษคาตอบ แบบฝึกทักษะที่ 5 แบบทดสอบก่อนเรียน สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ ชื่อ......................................................................... ชั้น ............ เลขที่ ......... คาชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก

ข้อ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ คิดเป็นร้อยละ

ผลการประเมิน  ดีมาก  ดี  พอใช้  ปรับปรุง ลงชื่อ .............................................. ผู้ตรวจ ( ............................................ )

เกณฑ์การประเมิน คะแนนร้อยละ 80 – 100 คะแนนร้อยละ 60 – 79 คะแนนร้อยละ 40 – 59 คะแนนร้อยละ 0 – 39

ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์

ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง

แบบฝึกทักษะที่ 5.1 การสมมูลกันของประโยคเปิด

จุดประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถตรวจสอบการสมมูลกันของประโยคเปิด ที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง 1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลา ในการศึกษาใบความรู้ 10 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 10 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

แบบฝึกทัแบบฝึ กษะคณิ ง ตรรกศาสตร์ เบื้องต้น เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 กทัตกศาสตร์ ษะคณิเรืต่อศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์ 5 เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ใบความรู้ที่ 5.1 ทบทวน ชวนคิด

การสมมูลกันของประโยคเปิด

ตัวอย่างรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

ตัวอย่างรูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบซึ่งถูกนามาใช้ในการพิสูจน์ ทางคณิตศาสตร์และจะกล่าวถึงในแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ มีดังต่อไปนี้ กาหนดให้ p, q และ r แทนประพจน์ 1. การสลับที่ (Commutation) p  q  q  p และ p  q  q  p 2. การเปลี่ยนหมู่ (Association) p  (q  r)  (p  q)  r และ p  (q  r)  (p  q)  r 3. การแจกแจง (Distribution) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) และ p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 4. ทฤษฎีเดอมอร์แกน (De Morgan ‘s Theorem) (p  q)  p  q และ (p  q)  p  q 5. การปฏิเสธซ้อน (Double Negation) (p)  p 6. การย้ายข้างหรือคู่สลับ (Transposition) p  q  q  p 7. การเปลี่ยนรูปเงื่อนไข (Material Implication) p  q  p  q 8. การเปลี่ยนรูปสมมูล (Material Equivalent) p  q  (p  q)  (q  p) 9. การรวมเงื่อนไข (Exportation) p  (q  r)  (p  q)  r 10. สัจนิรันดร์ (Tautology) p  p  p และ p  p  p

ถ้ากาหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด ให้นักเรียนพิจารณาประโยคเปิดต่อไปนี้ P(x)  Q(x) และ Q(x)  P(x) เมื่อแทน x ด้วยสมาชิกใน U จะได้ว่า ประโยคเปิด P(x)  Q(x) เทียบได้กับ p  q และ ประโยคเปิด Q(x)  P(x) เทียบได้กับ q  p เนื่องจาก p  q สมมูลกับ q  p ดังนั้น P(x)  Q(x) สมมูลกับ Q(x)  P(x) เรียกการสมมูลกันดังกล่าวนี้ว่า รูปแบบของประโยคเปิดที่สมมูลกัน รูปแบบของประโยคเปิดที่สมมูลกันจะเทียบได้กับรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1

กาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ ตัวอย่างรูปแบบของประโยคเปิดที่สมมูลกัน เทียบกับรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันเป็นดังนี้

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

รูปแบบของประโยคเปิดที่สมมูลกัน

p  q สมมูลกับ q  p p  q สมมูลกับ p  q (p  q) สมมูลกับ p  q (p  q) สมมูลกับ p  q

P(x)  Q(x) สมมูลกับ Q(x)  P(x) P(x)  Q(x) สมมูลกับ P(x)  Q(x) [P(x)  Q(x)] สมมูลกับ P(x)  Q(x) [P(x)  Q(x)] สมมูลกับ P(x)  Q(x)

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างรูปแบบของประโยคเปิดที่สมมูลกัน เมื่อกาหนดให้ p และ q เป็นประพจน์

1. x > 0  x = x สมมูลกับ x = x  x > 0 เนื่องจาก p  q สมมูลกับ q  p 2. x  N  x + 5 = 10 สมมูลกับ x + 5  10  x  N เนื่องจาก p  q สมมูลกับ q  p 3. x  0  x2 > 0 สมมูลกับ x > 0  x2 > 0 เนื่องจาก p  q สมมูลกับ p  q 4. (x  Q  x2 = 2) สมมูลกับ x  Q  x2  2 เนื่องจาก (p  q) สมมูลกับ p  q 5. (x เป็นจานวนคู่  x ไม่เป็นจานวนเฉพาะ) สมมูลกับ x ไม่เป็นจานวนคู่  x เป็นจานวนเฉพาะ เนื่องจาก (p  q) สมมูลกับ p  q

แบบฝึกทักษะที่ 5.1 การสมมูลกันของประโยคเปิด

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. ให้นักเรียนพิจารณาว่าประโยคเปิดที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ โดยโยงเส้นจับคู่ประโยคเปิด ด้านบนกับประโยคเปิดด้านล่างที่สมมูลกัน (5 คะแนน)

P(x)  Q(x)

(P(x))

P(x)  Q(x) P(x)  Q(x) [P(x)  Q(x)]

[P(x)  Q(x)]

Q(x)  P(x)

P(x)  Q(x) P(x)  Q(x)

P(x) P(x)  Q(x)

P(x)  Q(x)

2. กาหนดให้ P(x), Q(x) และ R(x) เป็นประโยคเปิด จงแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบ ของประโยคเปิดที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ (10 คะแนน)

ตัวอย่าง P(x)  [Q(x)  R(x)] กับ R(x)  [Q(x)  P(x)] วิธีทา

พิจารณา P(x)  [Q(x)  R(x)]  P(x)  [R(x)  Q(x)]  [R(x)  Q(x)]  P(x)  R(x)  [Q(x)]  P(x)] ดังนั้น P(x)  [Q(x)  R(x)] สมมูลกับ R(x)  [Q(x)  P(x)]

2.1) P(x)  [Q(x)  R(x)] กับ [Q(x)  P(x)]  [R(x)  P(x)] วิธีทา

............................................................................................................................

2.2 [P(x)  Q(x)] กับ P(x)  Q(x) วิธีทา

............................................................................................................................

2.3) P(x)  [Q(x)  R(x)] กับ [P(x)  Q(x)]  [P(x)  R(x)]

วิธีทา

............................................................................................................................

2.4) P(x)  [Q(x)  R(x)] กับ [P(x)  Q(x)]  R(x) วิธีทา

............................................................................................................................

2.5) P(x)  [Q(x)  R(x)] กับ [P(x)  Q(x)]  [P(x)  R(x)] วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................

แบบฝึกทักษะที่ 5.2 การสมมูลกันของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ (1)

จุดประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถตรวจสอบการสมมูลกันของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้โดยใช้เวลา 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

ใบความรู้ที่ 5.2

การสมมูลกันของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ (1)

รูปแบบของประโยคเปิดที่สมมูลกัน เมื่อเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกัน ไว้ข้างหน้ารูปแบบของประโยคเปิดดังกล่าวจะได้ ประพจน์ที่สมมูลกัน

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างรูปแบบของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ เมื่อกาหนดประโยคเปิด P(x) และ Q(x)

1. เนื่องจาก P(x)  Q(x) สมมูลกับ Q(x)  P(x) ดังนั้น x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  P(x)] และ x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  P(x)] 2. เนื่องจาก P(x)  Q(x) สมมูลกับ P(x)  Q(x) ดังนั้น x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] และ x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] 3. เนื่องจาก [P(x)  Q(x)] สมมูลกับ P(x)  Q(x) ดังนั้น x[(P(x)  Q(x))] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] และ x[(P(x)  Q(x))] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] ให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด จงแสดงการตรวจสอบว่าประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ สมมูลกันหรื อไม่ 1. x[P(x)] กับ x[P(x) P(x)] วิธีทา เนื่องจาก P(x) สมมูลกับ P(x)  P(x) ดังนั้น x[P(x)] สมมูลกับ x[P(x)  P(x)] ตัวอย่างที่ 2

2. x[(P(x)  Q(x))] กับ x[P(x)  Q(x)] วิธีทา พิจารณา (P(x)  Q(x))  (P(x)  Q(x))  P(x)  Q(x)) ดังนั้น x[(P(x)  Q(x))] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x))]

3. x[P(x)  Q(x)] กับ x[(P(x) Q(x))  (Q(x)  P(x))] วิธีทา เนื่องจาก P(x) Q(x) สมมูลกับ (P(x)  Q(x))  (Q(x)  P(x)) ดังนั้น x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[(P(x)  Q(x))  (Q(x)  P(x))] 4. x[x = 2  x2 = 4] กับ x[x2  4  x  2] วิธีทา ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x = 2 Q(x) แทนประโยคเปิด x2 = 4 ประโยค x[x = 2  x2 = 4] เขียนในรูปสัญลักษณ์ จะได้ว่า x[P(x)  Q(x)] และประโยค x[x2  4  x  2] เขียนในรูปสัญลักษณ์ จะได้ว่า x[Q(x)  P(x)] เนื่องจาก P(x)  Q(x) สมมูลกับ Q(x)  P(x) จะได้ว่า x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  P(x)] ดังนั้น x[x = 2  x2 = 4] สมมูลกับ x[x2  4  x  2] 5. x[(x > 0  y > 0)  xy > 0] กับ x[(x  0  y  0)  xy > 0] วิธีทา พิจารณา x[(x > 0  y > 0)  xy > 0]  x[(x > 0  y > 0)  xy > 0]  x[(x  0  y  0)  xy > 0] ดังนั้น x[(x > 0  y > 0)  xy > 0] สมมูลกับ x[(x  0  y  0)  xy > 0]

แบบฝึกทักษะที่ 5.2

การสมมูลกันของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณ (1)

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. กาหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด ให้นักเรียนพิจารณาว่าประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ โดยทาเครื่องหมายถูก () หน้าข้อที่สมมูลกัน และทาเครื่องหมายผิด () หน้าข้อที่ไม่สมมูลกัน (5 คะแนน) 

ตัวอย่าง x[P(x)] สมมูลกับ x[P(x)] 1.1 x[Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  Q(x)] 1.2 x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  P(x)] 1.3 x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] 1.4 x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  P(x)] 1.5 x[(P(x)  Q(x))] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)]

2. กาหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด จงแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ (10 คะแนน) ตัวอย่าง x[x > 5  x2 > 25] กับ x[x2  25  x  5] วิธีทา

พิจารณา x[x > 5  x2 > 25]  x[x2  25  x  5] ดังนั้น x[x > 5  x2 > 25] สมมูลกับ x[x2  25  x  5]

2.1) x[x2 + 2x + 1 = 0  x2 – 1 > 0] กับ x[x2 + 2x + 1  0  x2 – 1  0] วิธีทา

............................................................................................................................

2.2) x[x < 0  x2 > 0] กับ x[(x < 0  x2  0)]

วิธีทา

............................................................................................................................

2.3) x[x > 2  x2 > 4] กับ x[x2  4  x  2]

วิธีทา

............................................................................................................................

2.4) x[x = 0  x3 = 8] กับ x[(x = 0  x3 = 8)  (x3 = 8  x = 0)] วิธีทา

............................................................................................................................

2.5) x[x  0  x2  0] กับ x[x2 < 0  x < 0] วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................

แบบฝึกทักษะที่ 5.3 การสมมูลกันของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ (2)

จุดประสงค์การเรียนรู้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้โดยใช้เวลา 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 10 คะแนน

ใบความรู้ที่ 5.3

การสมมูลกันของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณ (2)

นอกจากการสมมูลกันของประโยคเปิดและการสมมูลกันของประพจน์ที่ได้ จากการเติมตัวบ่งปริมาณชนิดเดียวกันลงข้างหน้าประโยคเปิดที่สมมูลกันแล้ว ยังมีการ สมมูลกันของรูปแบบของประพจน์ ซึ่งแต่ละประพจน์มีตัวบ่งปริมาณที่ไม่จาเป็น ต้องเป็นชนิดเดียวกัน ขอแต่เพียงให้รูปแบบของประพจน์นนั้ อยู่ในรูปแบบที่สมมูลกัน

ตัวอย่างที่ 1

ให้ p กับ q เป็นประพจน์ และ P(x) กับ Q(x) เป็นประโยคเปิด พิจารณาการสมมูลกันของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้

1. เนื่องจาก (p) สมมูลกับ p

จะมีตัวอย่างประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่สมมูลกัน ดังนี้

1.1 (x[P(x)]) สมมูลกับ x[P(x)] 1.2 (x[Q(x)]) สมมูลกับ x[Q(x)] 2. เนื่องจาก p  q สมมูลกับ q  p ดังนี้

จะมีตัวอย่างประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่สมมูลกัน

จะได้ว่า 2.1 x[P(x)]  x[Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)]  x[P(x)] 2.2 x[Q(x)]  x[P(x)] สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)] 2.3 x[P(x)]  x[Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)]  x[P(x)] 3. เนื่องจาก (p  q) สมมูลกับ p  q ที่สมมูลกัน ดังนี้

จะมีตัวอย่างประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

จะได้ว่า 3.1 (x[P(x)]  x[Q(x)]) สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)]) 3.2 (x[P(x)]  x[Q(x)]) สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)]) 3.3 (x[P(x)]  x[Q(x)]) สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)])

ตัวอย่างที่ 2

จงสร้างประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่สมมูลกับประโยคต่อไปนี้

เมื่อกาหนดให้ P(x) Q(x)

แทน แทน

x เป็นจานวนตรรกยะ x2 = 2

1. สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนตรรกยะ แล้วจะมี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2 วิธีทา เขียนประโยคสัญลักษณ์แทน “สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนตรรกยะ แล้วจะมี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2” ได้เป็น x[P(x)]  x[Q(x)] จะได้ว่า x[P(x)]  x[Q(x)]  x[P(x)]  x[Q(x)] นั่นคือ “สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนตรรกยะ แล้วจะมี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2” สมมูลกับ “ไม่เป็นความจริงที่ว่าสาหรับ x ทุกตัว x เป็นจานวนตรรกยะ หรือมี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2” หรือ x[P(x)]  x[Q(x)]  x[Q(x)]  x[P(x)] นั่นคือ “สาหรับ x ทุกตัว ถ้า x เป็นจานวนตรรกยะ แล้วจะมี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2” สมมูลกับ “ถ้าไม่เป็นความจริงที่ว่า มี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2 แล้ว ไม่เป็นความจริงที่ว่า สาหรับ x ทุกตัว x เป็นจานวนตรรกยะ 2. ไม่เป็นความจริงที่ว่า ถ้ามี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2 แล้วสาหรับ x ทุกตัว x เป็นจานวนตรรกยะ วิธีทา เขียนประโยคสัญลักษณ์แทน “ไม่เป็นความจริงที่ว่า ถ้ามี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2 แล้วสาหรับ x ทุกตัว x เป็นจานวนตรรกยะ” ได้เป็น (x[Q(x)]  x[P(x)]) พิจารณา (x[Q(x)]  x[P(x)])  (x[Q(x)]  x[P(x)])  x[Q(x)]  x[P(x)] ดังนั้น (x[Q(x)]  x[P(x)])  x[Q(x)]  x[P(x)] นั่นคือ “ไม่เป็นความจริงที่ว่า ถ้ามี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2 แล้วสาหรับ x ทุกตัว x เป็นจานวนตรรกยะ” สมมูลกับ “มี x บางตัว ซึ่ง x2 = 2 และไม่จริงที่ว่า สาหรับ x ทุกตัว x เป็นจานวนตรรกยะ” 3. ไม่เป็นความจริงที่ว่า (มี x บางตัว ซึ่ง x เป็นจานวนตรรกยะ และสาหรับ x ทุกตัว ซึ่ง x2 = 2) วิธีทา เขียนประโยคสัญลักษณ์แทน “ไม่เป็นความจริงที่ว่า (มี x บางตัว ซึ่ง x เป็นจานวน ตรรกยะ และสาหรับ x ทุกตัว ซึ่ง x2 = 2)” ได้เป็น (x[P(x)]  x[Q(x)]) จะได้ว่า (x[P(x)]  x[Q(x)])  x[P(x)]  x[Q(x)]) นั่นคือ “ไม่เป็นความจริงที่ว่า (มี x บางตัว ซึ่ง x เป็นจานวนตรรกยะ และสาหรับ x ทุกตัว 2 ซึ่ง x = 2)” สมมูลกับ “ไม่เป็นความจริงที่ว่า มี x บางตัว ซึ่ง x เป็นจานวนตรรกยะ หรือไม่จริงที่ว่า สาหรับ x ทุกตัว x2 = 2”

ตัวอย่างที่ 3 วิธีทา

จงตรวจสอบว่า x[x  R]  x[x  I] สมมูลกับ x[x  I]  x[x  R]] หรือไม่

พิจารณา x[x  R]  x[x  I]  x[x  I]  x[x  R]] ดังนั้น x[x  R]  x[x  I] ไม่สมมูลกับ x[x  I]  x[x  R]]

อ่านเสริม เพิ่มความรู้ ประโยคที่สมมูลกันสามารถใช้แทนกันได้ ซึ่งการพิสูจน์ ในวิชาคณิตศาสตร์จะนาสมบัติดังกล่าวนี้ไปใช้ ตัวอย่างเช่น จะพิสูจน์ว่า A  B = B  A เราทราบว่า A  B และ B  A จะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว ถ้าให้ x เป็นสมาชิกใด ๆ ของ A  B จากนิยามของ A  B จะได้ x  A  x  B แต่ x  A  x  B สมมูลกับ x  B  x  A (เนื่องจาก P(x)  Q(x) สมมูลกับ Q(x)  P(x)) จะได้ว่า x  B  x  A ซึ่งจะได้ว่า x เป็นสมาชิกของ B  A จะได้ A  B  B  A --------------------- (1) และในทานองเดียวกัน ถ้าให้ x เป็นสมาชิกของ B  A จะได้ว่า B  A  A  B --------------------- (2) จาก (1) และ (2) จะได้ A  B = B  A

แบบฝึกทักษะที่ 5.3

การสมมูลกันของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณ (2)

10 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. กาหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด จงแสดงการตรวจสอบว่ารูปแบบของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้สมมูลกันหรือไม่ (10 คะแนน) ตัวอย่าง x[x > 5]  x[x2 > 25] กับ x[x  5]  x[x2 > 25] วิธีทา

พิจารณา x[x > 5]  x[x2 > 25]  x[x  5]  x[x2 > 25] ดังนั้น x[x > 5]  x[x2 > 25] สมมูลกับ x[x  5]  x[x2 > 25]

2.1) x[P(x)]  x[Q(x)] กับ x[P(x)]  x[Q(x)] วิธีทา

............................................................................................................................

2.2) (x[P(x)]  x[Q(x)]) กับ x[P(x)]  x[Q(x)] วิธีทา

............................................................................................................................

2.3) x[x  R]  x[x  I] กับ x[x  I]  x[x  R]

วิธีทา

............................................................................................................................

2.4) x[x2 – 2 = 2 – x2]  x[x เป็นจานวนคู]่ กับ x[x เป็นจานวนคู่]  x[x2 – 2 = 2 – x2] วิธีทา

............................................................................................................................

2.5) x[x2 = 16]  x[x – 7 > 4] กับ x[x2 = 16]  x[x – 7  4] วิธีทา

............................................................................................................................

แบบฝึกทักษะที่ 5.4 การหานิเสธของประพจน์ และนิเสธของประโยคที่มตี ัวบ่งปริมาณตัวเดียว

จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถ 1. หานิเสธของประพจน์ที่กาหนดให้ได้ 2. หานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียวที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง 1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนแล้วจึงทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการศึกษาใบความรู้ 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 20 คะแนน

ใบความรู้ที่ 5.4

การหานิเสธของประพจน์และนิเสธของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว

ทบทวน ชวนคิด

เมื่อกาหนดให้ p แทนประพจน์ จะกล่าวได้ว่านิเสธของประพจน์ p นั้น มีค่าความจริงตรงข้ามกับค่าความจริงของประพจน์ p ซึ่ง เขียนแทน นิเสธของ p ด้วย p

นิเสธของประพจน์ จากที่ทราบแล้วว่านิเสธของประพจน์ p คือ p พิจารณานิเสธของประพจน์ ดังต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1

ให้ p, q และ r เป็นประพจน์ จงหานิเสธของประพจน์ต่อไปนี้

1. p  q วิธีทา นิเสธของประพจน์ p  q คือ (p  q) จะได้ว่า (p  q)  p  q ดังนั้น นิเสธของ p  q คือ p  q 2. p  q วิธีทา นิเสธของประพจน์ p  q คือ (p  q) พิจารณา (p  q)  (p  q)  p  q จะได้ว่า (p  q)  p  q ดังนั้น นิเสธของ p  q คือ p  q 3. p  (q  r) วิธีทา นิเสธของประพจน์ p  (q  r) คือ [p  (q  r)] พิจารณา [p  (q  r)]  [p  (q  r)]  p  (q  r)  p  (q  r) จะได้ว่า [p  (q  r)]  p  (q  r) ดังนั้น นิเสธของ p  q คือ p  (q  r) แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

นิเสธของประโยคเปิด เมื่อกาหนดให้ P(x) แทนประโยคเปิด นิเสธของ P(x) คือ P(x) ซึ่งเป็นประโยคเปิดที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับ P(x)

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างนิเสธของประโยคเปิด P(x) 1) 2) 3) 4)

ตัวอย่างที่ 3

x+1=2 x+1<2 xI x หาร 10 ลงตัว

P(x)

x+12 x+12 xI x หาร 10 ไม่ลงตัว

ให้ P(x), Q(x) และ R(x) แทนประโยคเปิด จงหานิเสธของประโยคเปิด ที่กาหนดให้ต่อไปนี้ โดยพิจารณาจากนิเสธของประพจน์ในตัวอย่างที่ 1

1. P(x)  Q(x) วิธีทา จากตัวอย่างที่ 1 พบว่านิเสธของประพจน์ p  q คือ p  q ดังนั้น นิเสธของ P(x)  Q(x) คือ P(x)  Q(x) 2. P(x)  Q(x) วิธีทา จากตัวอย่างที่ 1 พบว่านิเสธของประพจน์ p  q คือ p  q ดังนั้น นิเสธของ P(x)  Q(x) คือ P(x)  Q(x) 3. P(x)  [Q(x)  R(x)] วิธีทา จากตัวอย่างที่ 1 พบว่านิเสธของประพจน์ p  (q  r) คือ p  (q  r) ดังนั้น นิเสธของ P(x)  [Q(x)  R(x)] คือ P(x)  [Q(x)  R(x)]

นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว กาหนดประโยคเปิด P(x) ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณซึ่งเกิดจากประโยคเปิด P(x) มีได้ 2 ลักษณะ คือ x[P(x)] และ x[P(x)]

นิเสธของ x[P(x)] บทนิยาม นิเสธของ x[P(x)] เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x[P(x)] หมายถึง ประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับ x[P(x)] พิจารณาประโยค “นักเรียนทุกคนในห้องนี้ใส่เสื้อสีแดง” ให้ P(x) แทนประโยคเปิด นักเรียนในห้องนี้ใส่เสื้อสีแดง สามารถเขียนสัญลักษณ์แทนได้เป็น x[P(x)] ประโยคที่ตรงข้ามกับประโยคดังกล่าว คือ “มีนักเรียนอย่างน้อยหนึ่งคนในห้องนี้ ไม่ใส่เสื้อสีแดง” สามารถเขียนสัญลักษณ์แทนได้เป็น x[P(x)] สรุป

นิเสธของ x[P(x)] คือ x[P(x)] นั่นคือ x[P(x)] สมมูลกับ x[P(x)]

ตัวอย่างที่ 4

ตัวอย่างนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว

ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว 1) x[x + 5 = 7] 2) x[x2 + 1 > 0] 3) x[x เป็นตัวประกอบของ 10] 4) จานวนตรรกยะทุกจานวนเป็นจานวนจริง

นิเสธ x[x + 5  7] 2 x[x + 1  0] x[x ไม่เป็นตัวประกอบของ 10]

มีจานวนตรรกยะบางจานวนที่ไม่เป็นจานวนจริง

นิเสธของ x[P(x)] บทนิยาม นิเสธของ x[P(x)] เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ x[P(x)] หมายถึง ประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับ x[P(x)] พิจารณาประโยค “มีจานวนจริง x อย่างน้อยหนึ่งจานวน ที่ทาให้ x + 1 > 5” ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x + 1 > 5 สามารถเขียนสัญลักษณ์แทนได้เป็น x[P(x)] ประโยคที่ตรงข้ามกับประโยคดังกล่าว คือ “ทุก ๆ จานวนจริง x ทาให้ x + 1  5” สามารถเขียนสัญลักษณ์แทนได้เป็น x[P(x)] สรุป

นิเสธของ x[P(x)] คือ x[P(x)] นั่นคือ x[P(x)] สมมูลกับ x[P(x)]

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว

ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว 1) 2) 3) 4)

นิเสธ 2

x[x + x = 5] 2 x[x > 7] 2 x[x  1]

x[x + x  5] 2 x[x  7] 2 x[x < 1]

มีจานวนเต็มบางจานวนเป็นจานวนตรรกยะ

จานวนเต็มทุกจานวนไม่เป็นจานวนตรรกยะ

การหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณจะใช้รูปแบบของประโยคเปิด ที่สมมูลกันช่วยในการพิจารณาโดยมีตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6

ให้ P(x), Q(x) และ R(x) แทนประโยคเปิด จงหานิเสธของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้

1. x[P(x)  Q(x)] วิธีทา นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คือ x[P(x)  Q(x)] พิจารณา x[P(x)  Q(x)]  x[(P(x)  Q(x))]  x[P(x)  Q(x))] จะได้ว่า x[P(x)  Q(x)]  x[P(x)  Q(x))] ดังนั้น นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คือ x[P(x)  Q(x))] 2. x[2x = x2  x  x2] วิธีทา นิเสธของ x[2x = x2  x  x2] คือ x[2x = x2  x  x2] พิจารณา x[2x = x2  x  x2]  x[2x  x2  x  x2] x 2 2  x[2 = x  x = x ] จะได้ว่า x[2x = x2  x  x2] สมมูลกับ x[2x = x2  x = x2] ดังนั้น นิเสธของ x[2x = x2  x  x2] คือ x[2x = x2  x = x2]

3. x[x  I  x  Q] วิธีทา นิเสธของ x[x  I  x  Q] คือ x[x  I  x  Q] จะได้ว่า x[x  I  x  Q]  x[x  I  x  Q] ดังนั้น นิเสธของ x[x  I  x  Q] คือ x[x  I  x  Q] 4. x[x2 = 4]  x[2x < x + 1] วิธีทา นิเสธของ x[x2 = 4]  x[2x < x + 1] คือ (x[x2 = 4]  x[2x < x + 1]) พิจารณา (x[x2 = 4]  x[2x < x + 1])  x[x2 = 4]  x[2x < x + 1] 2  x[x  4]  x[2x  x + 1] จะได้ว่า (x[x2 = 4]  x[2x < x + 1]) สมมูลกับ x[x2  4]  x[2x  x + 1] ดังนั้น นิเสธของ x[x2 = 4]  x[2x < x + 1] คือ x[x2  4]  x[2x  x + 1] 5. x[x < 0]  x[x2 + 2x = 0] วิธีทา นิเสธของ x[x < 0]  x[x2 + 2x = 0] คือ (x[x < 0]  x[x2 + 2x = 0]) พิจารณา (x[x < 0]  x[x2 + 2x = 0])  (x[x < 0]  x[x2 + 2x = 0]) 2  x[x < 0]  x[x + 2x = 0] 2  x[x < 0]  x[x + 2x  0] จะได้ว่า (x[x < 0]  x[x2 + 2x – 3]) สมมูลกับ x[x < 0]  x[x2 + 2x  0] ดังนั้น นิเสธของ x[x < 0]  x[x2 + 2x = 0] คือ x[x < 0]  x[x2 + 2x  0]

อ่านเสริม เพิ่มความรู้ วิธีทา

ให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ จงเขียนข้อความ ที่มีตัวบ่งปริมาณแสดงว่า A  B

เนื่องจาก A  B หมายความว่า x[x  A  x  B] และ A  B คือนิเสธของ A  B ดังนั้น A  B หมายถึง x[x   A x  B] จาก x[x   A x  B] สมมูลกับ x[x  A  x  B] ดังนั้น x[x  A  x  B] เป็นข้อความที่แสดงว่า A  B

กล่าวได้ว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B

การหานิเสธของประพจน์และนิเสธ

แบบฝึกทักษะที่ 5.4 ของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว

20 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. กาหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ให้นักเรียนแสดงการหานิเสธของประพจน์ที่กาหนดให้ ต่อไปนี้ (4 คะแนน) ตัวอย่าง p  (q  r) วิธีทา

นิเสธของ p  (q  r) คือ [p  (q  r)] พิจารณา [p  (q  r)]  [p  (q  r)]  p  (q  r)]  p  q  r จะได้ว่า [p  (q  r)] สมมูลกับ p  q  r ดังนั้น นิเสธของ p  (q  r) คือ p  q  r

1.1) (p  q)  r วิธีทา

............................................................................................................................

1.2) (p  q)  r

วิธีทา

............................................................................................................................

2. ให้นักเรียนหานิเสธของประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ โดยเติมคาตอบลงในช่องว่าง (8 คะแนน) ที่

ประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ตัวอย่าง x + 7 = 4

นิเสธ x+74

2.1 x2 + 2x + 1 < 0 2.2 x  I  x  R 2.3 P(x)  Q(x) 2.4 x[2x + x2 = 5] 2.5 x[x2 + 5x – 9 = 0] 2.6 x[P(x)]  x[Q(x)] 2.7 x[x2 = x  x2  x] 2.8 x[x Q]  x[x  I]

3. ให้นักเรียนหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ (8 คะแนน) ตัวอย่าง x[x2  0  (x  0  x < 0)] วิธีทา

นิเสธของ x[x2  0  (x  0  x < 0)] คือ x[x2  0  (x  0  x < 0)] พิจารณา x[x2  0  (x  0  x < 0)]  x[x2 < 0  (x  0  x < 0)]  x[x2  0  (x  0  x < 0)]  x[x2  0  (x < 0  x  0)] จะได้ว่า x[x2  0  (x  0  x < 0)] สมมูลกับ x[x2  0  (x < 0  x  0)] ดังนั้น นิเสธของ x[x2  0  (x  0  x < 0)] คือ x[x2  0  (x < 0  x  0)]

3.1) x[x > 0  x2 > 0]

วิธีทา

............................................................................................................................

3.2) x[x2  0]  x[x = –x]

วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

3.3) x[(x  Q  x  Q)  x  R]

วิธีทา

............................................................................................................................

3.4) กาลังสองของจานวนจริงทุกจานวนมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์และจานวนจริง บางจานวนเป็นจานวนตรรกยะ วิธีทา

............................................................................................................................

............................................................................................................................................

แบบฝึกทักษะที่ 5.5 การหานิเสธของประโยคทีม่ ีตัวบ่งปริมาณสองตัว

จุดประสงค์การเรียนรู้

นักเรียนสามารถหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว ที่กาหนดให้ได้

คาชี้แจง

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ก่อนแล้วจึงทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการศึกษาใบความรู้ 15 นาที 2. หลังจากศึกษาใบความรู้ให้นักเรียนทาแบบฝึกทักษะ โดยใช้เวลาในการทาแบบฝึกทักษะ 25 นาที คะแนนเต็ม 15 คะแนน

ใบความรู้ที่ 5.5

การหานิเสธของประโยคทีม่ ีตัวบ่งปริมาณสองตัว

จากที่ได้เรียนรู้เกี่ยวกับการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว มาแล้ว ในกรณีที่เป็นประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว การหานิเสธ ทาได้โดยการให้ความหมายเพิ่มเติม ดังต่อไปนี้ กาหนดให้ P(x, y) แทนประโยคเปิด 1) 2) 3) 4)

xy[P(x, y)] หมายถึง x[y[P(x, y)]] xy[P(x, y)] หมายถึง x[y[P(x, y)]] xy[P(x, y)] หมายถึง x[y[P(x, y)]] xy[P(x, y)] หมายถึง x[y[P(x, y)]]

จากความหมายดังกล่าว เมื่อใช้ความรู้เกี่ยวกับนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียว ในการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัวจะหานิเสธได้ดังนี้ ตัวอย่างที่ 1 วิธีทา

ตัวอย่างการหานิเสธของ xy[P(x, y)]

นิเสธของประพจน์ xy[P(x, y)] คือ xy[P(x, y)] พิจารณา xy[P(x, y)]  x[y[P(x, y)]]  x[y[P(x, y)]  xy[P(x, y)] จะได้ว่า xy[P(x, y)] สมมูลกับ xy[P(x, y)] ดังนั้น นิเสธของ xy[P(x, y)] คือ xy[P(x, y)] จากแนวทางการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัวดังตัวอย่าง ที่ 1 สามารถสรุปเป็นแนวทางในการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว ทั้ง 4 รูปแบบ ได้ดังนี้

สรุป

1) xy[P(x, y)] หมายถึง 2) xy[P(x, y)] หมายถึง 3) xy[P(x, y)] หมายถึง 4) xy[P(x, y)] หมายถึง y[P(x, y)]

ตัวอย่างที่ 2

xy[P(x, y)] xy[P(x, y)] xy[P(x, y)] xy[P(x, y)]

ตัวอย่างนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว

ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว 1) 2) 3) 4)

xy[x + y > 5] xy[x + y = 7] 2 2 xy[x + 2xy +y = x - y] xy[x < y + x]

นิเสธ 2

xy[x + y  5] xy[x + y  7] 2 2 xy[x + 2xy +y  x - y] xy[x  y + x]

จากแนวทางการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียวและสองตัว ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว สาหรับประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณมากกว่าสองตัวนั้น สามารถ หานิเสธได้โดยใช้แนวทางการหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดียวและสองตัว ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 3

ตัวอย่างนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณมากกว่าสองตัว

ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณมากกว่าสองตัว 1) 2) 3) 4)

xyz[P(x, y, z)] xyz[xyz = x + y + z] xyz[(x + y) + z = x + (y + z)] xyz[x < y  x < z]

ตัวอย่างที่ 4 วิธีทา

นิเสธ xyz[P(x, y, z)] xyz[xyz  x + y + z] xyz[(x + y) + z  x + (y + z)] xyz[x  y  x  z]

จงหานิเสธของ xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y = z]

นิเสธของ xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y = z] คือ xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y = z] พิจารณา xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y = z]  xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y = z]  xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y  z] จะได้ว่า xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y = z] สมมูลกับ xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y  z] ดังนั้น นิเสธของ xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y = z] คือ xyz[(xy = y  x + z = z)  x + y  z]

แบบฝึกทักษะที่ 5.5

การหานิเสธของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณสองตัว

15 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. ให้นักเรียนหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ โดยเติมคาตอบลงในช่องว่าง (9 คะแนน) ที่

ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ตัวอย่าง xy[x > 0  y > 0  xy > 0]

นิเสธ xy[x  0  y  0  xy  0]

1.1 xy[x + y = y2] 1.2 xy[x + y > y2 – 5] 1.3 xy[x2 = y2] 1.4 xy[x2 > y2 – 7] 1.5 xy[x + y  xy] 1.6 xy[xy  yx] 1.7 xy[x  I  x  N] 1.8 xyz[(xy)z  x(yz)  x + y + z = 0] 1.9 xyz[x > y  y > z]

2. ให้นักเรียนหานิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณที่กาหนดให้ต่อไปนี้ (6 คะแนน) ตัวอย่าง xy[(x = y  x = –y)  x = y] วิธีทา

นิเสธของ xy[(x = y  x = –y)  x = y] คือ xy[(x = y  x = –y)  x = y] พิจารณา xy[(x = y  x = –y)  x = y]  xy[(x = y  x = –y)  x = y]  xy[(x = y  x = –y)  x  y] จะได้ว่า xy[(x = y  x = –y)  x = y] สมมูลกับ xy[(x = y  x = –y)  x  y] ดังนั้น นิเสธของ xy[(x = y  x = –y)  x = y] คือ xy[(x = y  x = –y)  x  y]

2.1) xy[x2 + y = y – 1  x  Q]

วิธีทา

............................................................................................................................

2.2) xyz[x2 > y2 + z  x + y + z = 1]

วิธีทา

............................................................................................................................

2.3) xyz[(x < y  y < z)  xy < yz] Q] วิธีทา ............................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................

............................................................................................................................................

แบบทดสอบหลังเรียน

แบบฝึกทักษะที่ 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ

1. ข้อใด ไม่ถูกต้อง 1. x[P(x)] สมมูลกับ x[P(x)] 2. x[Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)] 3. xy[P(x,y)] สมมูลกับ xy[P(x,y)] 4. x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] 2. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ เมื่อ P(x), Q(x) และ R(x) แทนประโยคเปิด ก. ข้อความ x[(P(x)  Q(x))  R(x)] สมมูลกับ x[R(x)  (P(x)  Q(x))] ข. นิเสธของข้อความ xy[(x > y)  (x2 < y)] คือ xy[(x > y)  (x2  y)] ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ข้อ ก และ ข ถูก 2. ข้อ ก ผิด แต่ ข ถูก 3. ข้อ ก และ ข ผิด 4. ข้อ ก ถูก แต่ ข ผิด 3. นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คือข้อใด 1. x[(P(x)  Q(x))] 2. x[P(x)  Q(x)] 3. x[P(x)  Q(x)] 4. x[P(x)  Q(x)]

4. ข้อใดถูกต้อง 1. x[x < 1  x  A]  x[x  B] ไม่สมมูลกับ x[x  A  x  1]  x[x  B] 2. x[x  A  x  B]  x[x  B] ไม่สมมูลกับ x[x  A  x  B]  x[x  B] 3. x[x  A]  x[x  B] สมมูลกับ x[x  A]  x[x  B] 4. x[x < 1]  x[x > 1] สมมูลกับ x[x  1]  x[x  1] 5. ข้อความ x[(x < 0  x = –x)] สมมูลกับข้อใดต่อไปนี้ 1. x[x < 0  x = –x] 2. x[x  0  x = –x] 3. x[x < 0  x  –x] 4. x[x  0  x  –x] 6. นิเสธของข้อความ xy[xy < 0  (x < 0  y < 0)] คือข้อความใดต่อไปนี้ 1. xy[(xy  0)  (x < 0  y < 0)] 2. xy[(xy < 0)  (x  0  y  0)] 3. xy[(xy  0)  (x < 0  y < 0)] 4. xy[(xy < 0)  (x  0  y  0)] 7. นิเสธของ x[x + 1  0] คือข้อใดต่อไปนี้ 1. x[x + 1 = 0] 2. x[x + 1  0] 3. x[x + 1 = 0] 4. x[x + 1  0] 8. x[P(x)  Q(x)] มีความหมายเช่นเดียวกับข้อใดต่อไปนี้ 1. {x[P(x)  Q(x)]} 2. {x[P(x)  Q(x)]} 3. x[Q(x)  P(x)] 4. x[P(x)  Q(x)] 9. ข้อใดเป็นนิเสธของประพจน์ xy[x + y = 1  xy > 0] 1. xy[x + y  1  xy  0] 2. xy[x + y = 1  xy  0] 3. xy[x + y  1  xy > 0] 4. xy[x + y  1  xy  0] แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

10. นิเสธของ xy[x < y]  x + y > 0] คือข้อใด 1. xy[x  y  x + y > 0] 2. xy[x + y  0  x  y] 3. xy[x < y  x + y  0] 4. xy[x  y  x + y  0]

กระดาษคาตอบ แบบฝึกทักษะที่ 5 แบบทดสอบหลังเรียน สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ ชื่อ......................................................................... ชั้น ............ เลขที่ ......... คาชี้แจง ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงคาตอบเดียว โดยทาเครื่องหมายกากบาท (×) ลงในกระดาษคาตอบให้ตรงกับข้อที่นักเรียนเลือก

ข้อ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ คิดเป็นร้อยละ

ผลการประเมิน  ผ่าน  ไม่ผ่าน ลงชื่อ .............................................. ผู้ตรวจ ( ............................................ )

เกณฑ์ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 %

แบบบันทึกคะแนน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ ชื่อ ................................................................................ ชั้น ......... เลขที่ ........ 1. คะแนนแบบทดสอบ แบบทดสอบ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ แบบทดสอบก่อนเรียน 10 แบบทดสอบหลังเรียน 10 2. คะแนนแบบฝึกทักษะ รายการ แบบฝึกทักษะที่ 5.1 แบบฝึกทักษะที่ 5.2 แบบฝึกทักษะที่ 5.3 แบบฝึกทักษะที่ 5.4 แบบฝึกทักษะที่ 5.5 รวม

คิดเป็นร้อยละ

ผลการประเมิน

คะแนนเต็ม 15 15 10 20 15 75

คะแนนที่ได้

คิดเป็นร้อยละ ผลการประเมิน เกณฑ์ที่ใช้ประเมิน ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 75 % ลงชื่อ ................................................................... ผู้บันทึก วันที่.............เดือน....................... พ. ศ. ...............

บรรณานุกรม กวิยา เนาวประทีป. (2556). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ : ตรรกศาสตร์. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ ฟิสิกส์เซนเตอร์. คณาจารย์มหาวิทยาลัยมหาจุฬาลงกรณราชวิทยาลัย. (2551). คณิตศาสตร์เบื้องต้น (Basic Mathematics). กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์มหาจุฬาลงกรณราชวิทยาลัย. ณรงค์ ปั้นนิ่ม และรณชัย มาเจริญทรัพย์. (2554). คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4 เล่ม 1 ช่วงชั้นที่ 4 ม. 4 – 6. กรุงเทพฯ : ภูมิบัณฑิตการพิมพ์. เทพฤทธิ์ ยอดใส และอุดมศักดิ์ ลูกเสือ. (2552). เก็งข้อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ พ.ศ. พัฒนา. นรพนธ์ อุสาใจ. (2557). เฉลยข้อสอบโควตา ม. เชียงใหม่ ฉบับรวม 21 พ.ศ. 2537 – 2557 คณิตศาสตร์ (สายวิทย์). กรุงเทพฯ : ศิวา โกลด์ มีเดีย. พิพัฒน์พงศ์ ศรีวิศร. (2553). คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม. 4 – 6 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : สานักพิมพ์ เดอะบุคส์. ไพโรจน์ เยียระยง. (2559). ตรรกศาสตร์และทฤษฎีเซต. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัย. เลิศ สิทธิโกศล. (2554). Math Review คณิตศาสตร์ ม. 4 – 6 เล่ม 1 เพิ่มเติม. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จากัด. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2554). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. พิมพ์ครั้งที่ 3. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (2556). คู่มือครูรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6. พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. สมัย เหล่าวานิชย์ และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. (2554). Hi – ED’ s Mathematics ม. 4 – 6 เล่ม 1 (รายวิชาพื้นฐานและเพิ่มเติม). กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. Harry J. Gensler. (2010). Introduction to logic. 2nd ed. New York : Routledge.

ภาคผนวก

แบบฝึกทั1กษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

ภาคผนวก ก เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน

แบบฝึกทักษะที่ 5 เฉลย แบบทดสอบก่อนเรียน สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 ×

4 × ×

× × × × × × ×

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1 –10 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนเลือกคำตอบได้อย่ำงถูกต้อง 0 นักเรียนเลือกคำตอบไม่ถูกต้อง

ภาคผนวก ข เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน

เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ 1. ตอบ 2 แนวคิด พิจำรณำ x[P(x) → Q(x)]  x[P(x)  Q(x)] ดังนั้น x[P(x) → Q(x)] มีควำมหมำยเช่นเดียวกับ x[[P(x)  Q(x)] 2. ตอบ 4 แนวคิด พิจำรณำ x[x  A → x  B] → x[x  B]  x[x  A → x  B]  x[x  B]  x[x  A → x  B]  x[x  B] ดังนั้น x[x  A → x  B] → x[x  B] สมมูลกับ x[x  A → x  B]  x[x  B] 3. ตอบ 4 แนวคิด พิจำรณำ x[(x < 0 → x = –x)]  x[(x  0  x = –x)]  x[(x < 0  x = –x)] ดังนั้น x[(x < 0 → x = –x)] สมมูลกับ x[(x < 0  x = –x)] 4. ตอบ 3 แนวคิด ก. พิจำรณำ x[(P(x)  Q(x)) → R(x)]  x[R(x) → (P(x)  Q(x))]  x[R(x) → (P(x)  Q(x))] ดังนั้น x[(P(x)  Q(x)) → R(x)] สมมูลกับ x[R(x) → (P(x)  Q(x))] ซึ่ง x[(P(x)  Q(x)) → R(x)] ไม่สมมูลกับ x[R(x) → (P(x)  Q(x)] ข. พิจำรณำนิเสธของข้อควำม xy[(x > y)  (x2 < y)] คือ xy[(x > y)  (x2 < y)] พิจำรณำ xy[(x > y)  (x2 < y)]  xy[(x  y)  (x2  y)]  xy[(x > y) → (x2  y)] ดังนั้น นิเสธของข้อควำม xy[(x > y)  (x2 < y)] คือ xy[(x > y) → (x2  y)] แบบฝึกทั1กษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

5. ตอบ 1 แนวคิด นิเสธของ x[x + 1  0] คือ (x[x + 1  0]) พิจำรณำ (x[x + 1  0])  x[x + 1  0 ดังนั้น นิเสธของ x[x + 1  0] คือ x[x + 1  0] 6. ตอบ 1 แนวคิด x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] 7. ตอบ 2 แนวคิด นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คือ x[P(x)  Q(x)] พิจำรณำ x[P(x)  Q(x)]  x[(P(x)  Q(x))]  x[(P(x) → Q(x))] ดังนั้น นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คือ x[(P(x) → Q(x))] 8. ตอบ 3 แนวคิด นิเสธของ xy[x < y] → x + y > 0] คือ xy[x < y] → x + y > 0] พิจำรณำ xy[x < y → x + y > 0]  xy[(x < y → x + y > 0)]  xy[(x  y  x + y > 0)]  xy[x < y  x + y  0)] ดังนั้น นิเสธของ xy[x < y] → x + y > 0] คือ xy[x < y  x + y  0)] 9. ตอบ 3 แนวคิด นิเสธของข้อควำม xy[xy < 0 → (x < 0  y < 0)] คือ xy[xy < 0 → (x < 0  y < 0)] พิจำรณำ xy[xy < 0 → (x < 0  y < 0)]  xy[(xy < 0 → (x < 0  y < 0))]  xy[(xy  0  (x < 0  y < 0))]  xy[xy < 0  (x  0  y  0)] ดังนั้น นิเสธของข้อควำม xy[xy < 0 → (x < 0  y < 0)] คือ xy[xy < 0  (x  0  y  0)] แบบฝึกทั1กษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

10. ตอบ 1 แนวคิด นิเสธของประพจน์ xy[x + y = 1  xy > 0] คือ xy[x + y = 1  xy > 0] พิจำณำ xy[x + y = 1  xy > 0]  xy[x + y  1  xy  0] ดังนั้น นิเสธของประพจน์ xy[x + y = 1  xy > 0] คือ xy[x + y  1  xy  0]

ภาคผนวก ค เฉลยแบบฝึกทักษะและเกณฑ์การให้คะแนน

เฉลย

รูปแบบของประโยคเปิดที่สมมูลกัน

แบบฝึกทักษะที่ 5.1

15 คะแนน

1. ให้นักเรียนพิจำรณำว่ำประโยคเปิดที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่ โดยโยงเส้นจับคู่ประโยคเปิด ด้ำนบนกับประโยคเปิดด้ำนล่ำงที่สมมูลกัน (5 คะแนน)

P(x)  Q(x)

P(x) → Q(x)

(P(x))

P(x) → Q(x) [P(x) → Q(x)]

[P(x) → Q(x)]

P(x)  Q(x)

Q(x)  P(x) P(x)  Q(x)

P(x) P(x)  Q(x)

P(x)  Q(x)

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ให้คะแนนกำรตอบข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสำมำรถโยงเส้นจับคู่ประโยคเปิดด้ำนบนกับประโยคเปิดด้ำนล่ำง ที่สมมูลกันได้อย่ำงถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สำมำรถโยงเส้นจับคู่ประโยคเปิดด้ำนบนกับประโยคเปิด ด้ำนล่ำงที่สมมูลกันได้

2. กำหนดให้ P(x), Q(x) และ R(x) เป็นประโยคเปิด จงแสดงกำรตรวจสอบว่ำรูปแบบ ของประโยคเปิดที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่ (10 คะแนน) 2.1) P(x)  [Q(x)  R(x)] กับ [Q(x)  P(x)]  [R(x)  P(x)] วิธีทา

พิจำรณำ P(x)  [Q(x)  R(x)]  [P(x)  Q(x)]  [P(x) R(x)]  [Q(x)  P(x)]  [R(x)  P(x)] ดังนั้น P(x)  [Q(x)  R(x)] สมมูลกับ [Q(x)  P(x)]  [R(x)  P(x)]

2.2 [P(x)  Q(x)] กับ P(x)  Q(x) วิธีทา

พิจำรณำ [P(x)  Q(x)]  P(x)  Q(x)] จะเห็นได้ว่ำ [P(x)  Q(x)] สมมูลกับ P(x)  Q(x) ดังนั้น [P(x)  Q(x)] ไม่สมมูลกับ P(x)  Q(x)

2.3) P(x) → [Q(x)  R(x)] กับ [P(x) → Q(x)]  [P(x) → R(x)] วิธีทา

พิจำรณำ P(x) → [Q(x)  R(x)]  P(x)  [Q(x)  R(x)]  [P(x)  Q(x)]  [P(x)  R(x)]  [P(x) → Q(x)]  [P(x) → R(x)] ดังนั้น P(x) → [Q(x)  R(x)] สมมูลกับ [P(x) → Q(x)]  [P(x) → R(x)]

2.4) P(x) → [Q(x) → R(x)] กับ [P(x)  Q(x)] → R(x) วิธีทา

พิจำรณำ P(x) → [Q(x) → R(x)]  P(x) → [Q(x)  R(x)]  P(x)  [Q(x)  R(x)]  [P(x)  Q(x)]  R(x)  [P(x)  Q(x)]  R(x)  [P(x)  Q(x)] → R(x) ดังนั้น P(x) → [Q(x) → R(x)] สมมูลกับ [P(x)  Q(x)] → R(x)

 [P(x) → Q(x)]  [P(x) → R(x)] ดังนั้น P(x) → [Q(x)  R(x)] สมมูลกับ [P(x) → Q(x)]  [P(x) → R(x)] 2.5) P(x)  [Q(x)  R(x)] กับ [P(x)  Q(x)]  [P(x)  R(x)] วิธีทา

พิจำรณำ P(x)  [Q(x)  R(x)]  [P(x)  Q(x)]  [P(x)  R(x)] ดังนั้น P(x)  [Q(x)  R(x)] สมมูลกับ [P(x)  Q(x)]  [P(x)  R(x)]

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ให้คะแนนข้อ 2.1 – 2.5 ข้อละ 2 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 2 นักเรียนสำมำรถแสดงกำรตรวจสอบว่ำรูปแบบของประโยคเปิด ที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่และสำมำรถสรุปได้อย่ำงถูกต้อง 1 นักเรียนสำมำรถแสดงกำรตรวจสอบว่ำรูปแบบของประโยคเปิด ที่กำหนดให้สมมูลกันได้แต่ไม่สำมำรถสรุปได้ 0 นักเรียนไม่สำมำรถแสดงกำรตรวจสอบว่ำรูปแบบของประโยคเปิด ที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่และไม่สำมำรถสรุปได้ แบบฝึกทั1กษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

การสมมูลกันของประโยค แบบฝึกทักษะที่ 5.2.1 ที่มีตัวบ่งปริมาณ (1) เฉลย

15 คะแนน

1. กำหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด ให้นักเรียนพิจำรณำว่ำประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณ ที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่ โดยทำเครื่องหมำยถูก (✓) หน้ำข้อที่สมมูลกัน และทำเครื่องหมำยผิด () หน้ำข้อที่ไม่สมมูลกัน (5 คะแนน)

✓

1.1 x[Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  Q(x)]



1.2 x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  P(x)]

✓

1.3 x[P(x) → Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)]



1.4 x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[Q(x)  P(x)]



1.5 x[(P(x)  Q(x))] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)]

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1.1 – 1.5 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสำมำรถพิจำรณำว่ำประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้ สมมูลกันหรือไม่ ได้อย่ำงถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สำมำรถพิจำรณำว่ำประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้ สมมูลกันหรือไม่

2. กำหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด จงแสดงกำรตรวจสอบว่ำรูปแบบของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่ (10 คะแนน) 2.1) x[x2 + 2x + 1 = 0  x2 – 1 > 0] กับ x[x2 + 2x + 1  0  x2 – 1  0] พิจำรณำ x[x2 + 2x + 1 = 0  x2 – 1 > 0]  x[x2 – 1 > 0  x2 + 2x + 1 = 0] ดังนั้น x[x2 + 2x + 1 = 0  x2 – 1 > 0] ไม่สมมูลกับ x[x2 + 2x + 1  0  x2 – 1  0] วิธีทา

2.2) x[x < 0  x2 > 0] กับ x[(x < 0 → x2  0)] วิธีทา

พิจำรณำ x[x < 0  x2 > 0]  x[(x  0  x2  0)]  x[(x < 0 → x2  0)] จะเห็นได้ว่ำ x[x < 0  x2 > 0] สมมูลกับ x[(x < 0 → x2  0)] ดังนั้น x[x < 0  x2 > 0] ไม่สมมูลกับ x[(x < 0 → x2  0)]

2.3) x[x > 2 → x2 > 4] กับ x[x2  4 → x  2] วิธีทา

พิจำรณำ x[x > 2 → x2 > 4]  x[x2  4 → x  2] ดังนั้น x[x > 2 → x2 > 4] สมมูลกับ x[x2  4 → x  2]

2.4) x[x = 0  x3 = 8] กับ x[(x = 0 → x3 = 8)  (x3 = 8 → x = 0)] วิธีทา พิจำรณำ x[x = 0  x3 = 8]  x[(x = 0 → x3 = 8)  (x3 = 8 → x = 0)] ดังนั้น x[x = 0  x3 = 8] สมมูลกับ x[(x = 0 → x3 = 8)  (x3 = 8 → x = 0)]

2.5) x[x  0 → x2  0] กับ x[x2 < 0 → x < 0] วิธีทา

พิจำรณำ x[x  0 → x2  0]  x[x2 < 0 → x < 0] จะได้ว่ำ x[x  0 → x2  0] สมมูลกับ x[x2 < 0 → x < 0] ดังนั้น x[x  0 → x2  0] ไม่สมมูลกับ x[x2 < 0 → x < 0]

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 10 คะแนน ให้คะแนนข้อ 2.1 – 2.5 ข้อละ 2 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 2 นักเรียนสำมำรถแสดงกำรตรวจสอบว่ำรูปแบบของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่และสำมำรถสรุปได้ อย่ำงถูกต้อง 1 นักเรียนสำมำรถแสดงกำรตรวจสอบว่ำรูปแบบของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่ แต่ไม่สำมำรถสรุปได้ 0 นักเรียนไม่สำมำรถแสดงกำรตรวจสอบว่ำรูปแบบของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่และไม่สำมำรถสรุปได้

การสมมูลกันของประโยค แบบฝึกทักษะที่ 5.2.2 ที่มีตัวบ่งปริมาณ (2) เฉลย

10 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. กำหนดให้ P(x) และ Q(x) เป็นประโยคเปิด จงแสดงกำรตรวจสอบว่ำรูปแบบของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้สมมูลกันหรือไม่ (10 คะแนน) 2.1) x[P(x)] → x[Q(x)] กับ x[P(x)]  x[Q(x)] วิธีทา

พิจำรณำ x[P(x)] → x[Q(x)]  x[P(x)]  x[Q(x)] จะได้ว่ำ x[P(x)] → x[Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)] ดังนั้น x[P(x)] → x[Q(x)] ไม่สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)]

2.2) (x[P(x)]  x[Q(x)]) กับ x[P(x)]  x[Q(x)] วิธีทา

พิจำรณำ (x[P(x)]  x[Q(x)])  x[P(x)]  x[Q(x)] ดังนั้น (x[P(x)]  x[Q(x)]) สมมูลกับ x[P(x)]  x[Q(x)]

2.3) x[x  R] → x[x  I] กับ x[x  I] → x[x  R] วิธีทา

พิจำรณำ x[x  R] → x[x  I]  x[x  I] → x[x  R] ดังนั้น x[x  R] → x[x  I] สมมูลกับ x[x  I] → x[x  R]

2.4) x[x2 – 2 = 2 – x2]  x[x เป็นจำนวนคู่] กับ x[x เป็นจำนวนคู่]  x[x2 – 2 = 2 – x2] พิจำรณำ x[x2 – 2 = 2 – x2]  x[x เป็นจำนวนคู่]  x[x เป็นจำนวนคู่]  x[x2 – 2 = 2 – x2] ดังนั้น x[x2 – 2 = 2 – x2]  x[x เป็นจำนวนคู่] สมมูลกับ x[x เป็นจำนวนคู่]  x[x2 – 2 = 2 – x2] วิธีทา

2.5) x[x2 = 16] → x[x – 7 > 4] กับ x[x2 = 16]  x[x – 7  4] พิจำรณำ x[x2 = 16] → x[x – 7 > 4]  x[x2 = 16]  x[x – 7 > 4] จะได้ว่ำ x[x2 = 16] → x[x – 7 > 4] สมมูลกับ x[x2 = 16]  x[x – 7 > 4] ดังนั้น x[x2 = 16] → x[x – 7 > 4] ไม่สมมูลกับ x[x2 = 16]  x[x – 7  4] วิธีทา

นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ แบบฝึกทักษะที่ 5.3 ตัวเดียว เฉลย

20 คะแนน

ชื่อ .................................................................................... ชั้น .......... เลขที่ ................ 1. กำหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ให้นักเรียนแสดงกำรหำนิเสธของประพจน์ที่กำหนดให้ ต่อไปนี้ (4 คะแนน) 1.1) (p  q)  r วิธีทา นิเสธของ (p  q)  r คือ [(p  q)  r] พิจำรณำ [(p  q)  r]  (p  q)  r  (p  q)  r จะได้ว่ำ (p  q)  r สมมูลกับ (p  q)  r ดังนั้น นิเสธของ (p  q)  r คือ (p  q)  r

1.2) (p → q)  r วิธีทา นิเสธของ (p → q)  r คือ [(p → q)  r] พิจำรณำ [(p → q)  r]  [(p  q)  r]  (p  q)  r]  (p  q)  r จะได้ว่ำ [(p → q)  r] สมมูลกับ (p  q)  r ดังนั้น นิเสธของ (p → q)  r คือ (p  q)  r

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1.1 – 1.2 ข้อละ 2 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 2 นักเรียนสำมำรถแสดงกำรหำนิเสธของประพจน์ที่กำหนดให้และสำมำรถ สรุปได้อย่ำงถูกต้อง 1 นักเรียนสำมำรถแสดงกำรหำนิเสธของประพจน์ที่กำหนดให้ได้ แต่ไม่ สำมำรถสรุปได้ 0 นักเรียนไม่สำมำรถแสดงกำรหำนิเสธของประพจน์ที่กำหนดให้และไม่ สำมำรถสรุปได้

2. ให้นักเรียนหำนิเสธของประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้ต่อไปนี้ โดยเติมคำตอบลงในช่องว่ำง (8 คะแนน) ที่

ประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

นิเสธ

2.1 x2 + 2x + 1 < 0

x2 + 2x + 1  0

2.2 x  I  x  R

xIxR

2.3 P(x)  Q(x)

P(x)  Q(x)

2.4 x[2x + x2 = 5]

x[2x + x2  5]

2.5 x[x2 + 5x – 9 = 0]

x[x2 + 5x – 9  0]

2.6 x[P(x)]  x[Q(x)]

x[P(x)]  x[Q(x)]

2.7 x[x2 = x  x2  x]

x[x2  x  x2 = x]

2.8 x[x  Q]  x[x  I]

x[x Q]  x[x  I]

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 8 คะแนน ให้คะแนนข้อ 2.1 – 2.8 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสำมำรถหำนิเสธของประโยคเปิดหรือประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณ ที่กำหนดให้ได้อย่ำงถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สำมำรถหำนิเสธของประโยคเปิดหรือประโยค ที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้ได้

3. ให้นักเรียนหำนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้ต่อไปนี้ (8 คะแนน)

3.1) x[x > 0 → x2 > 0] วิธีทา

นิเสธของ x[x > 0 → x2 > 0] คือ x[x > 0 → x2 > 0] พิจำรณำ x[x > 0 → x2 > 0]  x[x  0  x2 > 0]  x[x > 0  x2  0] จะได้ว่ำ x[x > 0 → x2 > 0] สมมูลกับ x[x > 0  x2  0] ดังนั้น x[x > 0 → x2 > 0] มีนิเสธคือ x[x > 0  x2  0]

3.2) x[x2  0] → x[x = –x] วิธีทา

นิเสธของ x[x2  0] → x[x = –x] คือ (x[x2  0] → x[x = –x]) พิจำรณำ (x[x2  0] → x[x = –x])  (x[x2  0]  x[x = –x])  x[x2  0]  x[x = –x]) จะได้ว่ำ (x[x2  0] → x[x = –x]) สมมูลกับ x[x2  0]  x[x = –x ดังนั้น นิเสธของ x[x2  0] → x[x = –x] คือ x[x2  0]  x[x = –x])

3.3) x[(x  Q  x  Q) → x  R] วิธีทา

นิเสธของ x[(x  Q  x  Q) → x  R] คือ x[(x  Q  x  Q) → x  R] พิจำรณำ x[(x  Q  x  Q) → x  R]  x[(x  Q  x  Q)  x  R]  x[(x  Q  x  Q)  x  R] จะได้ว่ำ x[(x  Q  x  Q) → x  R] สมมูลกับ x[(x  Q  x  Q)  x  R] ดังนั้น นิเสธของ x[(x  Q  x  Q) → x  R] คือ x[(x  Q  x  Q)  x  R]

3.4) กำลังสองของจำนวนจริงทุกจำนวนมำกกว่ำหรือเท่ำกับศูนย์และจำนวนจริง บำงจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ วิธีทา จำก “กำลังสองของจำนวนจริงทุกจำนวนมำกกว่ำหรือเท่ำกับศูนย์และจำนวน จริงบำงจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ” เขียนสัญลักษณ์ได้เป็น x[x2  0]  x[x  Q] นิเสธของ x[x2  0]  x[x  Q] คือ (x[x2  0]  x[x  Q]) พิจำรณำ (x[x2  0]  x[x  Q])  x[x2  0]  x[x  Q])  x[x2 < 0]  x[x  Q]) จะได้ว่ำ (x[x2  0]  x[x  Q]) สมมูลกับ x[x2 < 0]  x[x  Q]) นั่นคือ x[x2  0]  x[x  Q] มีนิเสธคือ x[x2 < 0]  x[x  Q]) ดังนั้น “กำลังสองของจำนวนจริงทุกจำนวนมำกกว่ำหรือเท่ำกับศูนย์ และจำนวนจริงบำงจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ” มีนิเสธคือ “กำลังสองของจำนวนจริง บำงจำนวนน้อยกว่ำศูนย์หรือจำนวนจริงทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนตรรกยะ” แบบฝึกทั1กษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ตรรกศาสตร์เบื้องต้น เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 8 คะแนน ให้คะแนนข้อ 3.1 – 3.4 ข้อละ 2 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 2 นักเรียนสำมำรถแสดงกำรหำนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณ ที่กำหนดให้และสำมำรถสรุปได้อย่ำงถูกต้อง 1 นักเรียนสำมำรถแสดงกำรหำนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณ ที่กำหนดให้ได้ แต่ไม่สำมำรถสรุปได้ 0 นักเรียนไม่สำมำรถแสดงกำรแสดงกำรหำนิเสธของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้และไม่สำมำรถสรุปได้

นิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ แบบฝึกทักษะที่ 5.4 สองตัว เฉลย

15 คะแนน

1. ให้นักเรียนหำนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้ต่อไปนี้ โดยเติมคำตอบลงในช่องว่ำง (9 คะแนน) ที่

ประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

นิเสธ

1.1 xy[x + y = y2]

xy[x + y  y2]

1.2 xy[x + y > y2 – 5]

xy[x + y  y2 – 5]

1.3 xy[x2 = y2]

xy[x2  y2]

1.4 xy[x2 > y2 – 7]

xy[x2  y2 – 7]

1.5 xy[x + y  xy]

xy[x + y = xy]

1.6 xy[xy  yx]

xy[xy < yx]

1.7 xy[x  I  x  N]

xy[x  I  x  N]

1.8 xyz[(xy)z  x(yz)  x + y + z = 0] xyz[(xy)z = x(yz)  x + y + z  0] 1.9 xyz[x > y  y > z]

xyz[x  y  y  z]

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 9 คะแนน ให้คะแนนข้อ 1.1 – 1.9 ข้อละ 1 คะแนน ระดับคะแนน เกณฑ์การให้คะแนน 1 นักเรียนสำมำรถหำนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้ โดยเติมคำตอบได้อย่ำงถูกต้อง 0 นักเรียนไม่สำมำรถหำนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้ได้

2. ให้นักเรียนหำนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมำณที่กำหนดให้ต่อไปนี้ (6 คะแนน) 2.1) xy[x2 + y = y – 1 → x  Q] วิธีทา

นิเสธของ xy[x2 + y = y – 1 → x  Q] คือ (xy[x2 + y = y – 1 → x  Q]) พิจำรณำ xy[x2 + y = y – 1 → x  Q]  xy[x2 + y  y – 1  x  Q]  xy[x2 + y = y – 1  x  Q] จะได้ว่ำ (xy[x2 + y = y – 1 → x  Q]) สมมูลกับ xy[x2 + y = y – 1  x  Q] ดังนั้น นิเสธของ xy[x2 + y = y – 1 → x  Q] คือ xy[x2 + y = y – 1  x  Q]

2.2) xyz[x2 > y2 + z → x + y + z = 1] วิธีทา นิเสธของ xyz[x2 > y2 + z → x + y + z = 1] คือ xyz[x2 > y2 + z → x + y + z = 1] พิจำรณำ xyz[x2 > y2 + z → x + y + z = 1]  xyz[x2  y2 + z  x + y + z = 1]  xyz[x2 > y2 + z  x + y + z  1] จะได้ว่ำ xyz[x2 > y2 + z → x + y + z = 1] สมมูลกับ xyz[x2 > y2 + z  x + y + z  1] ดังนั้น นิเสธของ xyz[x2 > y2 + z → x + y + z = 1] คือ xyz[x2 > y2 + z  x + y + z  1]

2.3) xyz[(x < y  y < z) → xy < yz] Q] วิธีทา นิเสธของ xyz[(x < y  y < z) → xy < yz] คือ xyz[(x < y  y < z) → xy < yz] พิจำรณำ xyz[(x < y  y < z) → xy < yz]  xyz[(x < y  y < z)  xy < yz]  xyz[ (x < y  y < z)  xy  yz] จะได้ว่ำ xyz[(x < y  y < z) → xy < yz] สมมูลกับ xyz[ (x < y  y < z)  xy  yz] ดังนั้น นิเสธของ xyz[(x < y  y < z) → xy < yz] คือ xyz[ (x < y  y < z)  xy  yz]

ภาคผนวก ง เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนและเกณฑ์การให้คะแนน

แบบฝึกทักษะที่ 5 เฉลย แบบทดสอบหลังเรียน สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตวั บ่งปริมาณ ข้อ 1 1 2 3 × 4 5 6 7 8 9 × 10

4 ×

× × × × × × ×

ภาคผนวก จ เฉลยแนวคิดแบบทดสอบก่อนเรียน

เฉลยแนวคิดแบบทดสอบหลังเรียน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่ม 5 สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

1. ตอบ 4 แนวคิด x[P(x)  Q(x)] สมมูลกับ x[P(x)  Q(x)] 2. ตอบ 2 แนวคิด ก. พิจำรณำ x[(P(x)  Q(x)) → R(x)]  x[R(x) → (P(x)  Q(x))]  x[R(x) → (P(x)  Q(x))] ดังนั้น x[(P(x)  Q(x)) → R(x)] สมมูลกับ x[R(x) → (P(x)  Q(x))] ซึ่ง x[(P(x)  Q(x)) → R(x)] ไม่สมมูลกับ x[R(x) → (P(x)  Q(x)] ข. พิจำรณำนิเสธของข้อควำม xy[(x > y)  (x2 < y)] คือ xy[(x > y)  (x2 < y)] พิจำรณำ xy[(x > y)  (x2 < y)]  xy[(x  y)  (x2  y)]  xy[(x > y) → (x2  y)] ดังนั้น นิเสธของข้อควำม xy[(x > y)  (x2 < y)] คือ xy[(x > y) → (x2  y)] 3. ตอบ 1 แนวคิด นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คือ x[P(x)  Q(x)] พิจำรณำ x[P(x)  Q(x)]  x[(P(x)  Q(x))]  x[(P(x) → Q(x))] ดังนั้น นิเสธของ x[P(x)  Q(x)] คือ x[(P(x) → Q(x))]

4. ตอบ 2 แนวคิด พิจำรณำ x[x  A → x  B] → x[x  B]  x[x  A → x  B]  x[x  B]  x[x  A → x  B]  x[x  B] ดังนั้น x[x  A → x  B] → x[x  B] สมมูลกับ x[x  A → x  B]  x[x  B] 5. ตอบ 3 แนวคิด พิจำรณำ x[(x < 0 → x = –x)]  x[(x  0  x = –x)]  x[(x < 0  x = –x)] ดังนั้น x[(x < 0 → x = –x)] สมมูลกับ x[(x < 0  x = –x)] 6. ตอบ 4 แนวคิด พิจำรณำ x[(x < 0 → x = –x)]  x[(x  0  x = –x)]  x[(x < 0  x = –x)] ดังนั้น x[(x < 0 → x = –x)] สมมูลกับ x[(x < 0  x = –x)] 7. ตอบ 2 แนวคิด นิเสธของ x[x + 1  0] คือ (x[x + 1  0]) พิจำรณำ (x[x + 1  0])  x[x + 1  0 ดังนั้น นิเสธของ x[x + 1  0] คือ x[x + 1  0] 8. ตอบ 4 แนวคิด พิจำรณำ x[P(x) → Q(x)]  x[P(x)  Q(x)] ดังนั้น x[P(x) → Q(x)] มีควำมหมำยเช่นเดียวกับ x[P(x)  Q(x)]

9. ตอบ 1 แนวคิด นิเสธของประพจน์ xy[x + y = 1  xy > 0] คือ xy[x + y = 1  xy > 0] พิจำณำ xy[x + y = 1  xy > 0]  xy[x + y  1  xy  0] ดังนั้น นิเสธของประพจน์ xy[x + y = 1  xy > 0] คือ xy[x + y  1  xy  0] 10. ตอบ 3 แนวคิด นิเสธของ xy[x < y] → x + y > 0] คือ xy[x < y] → x + y > 0] พิจำรณำ xy[x < y → x + y > 0]  xy[(x < y → x + y > 0)]  xy[(x  y  x + y > 0)]  xy[x < y  x + y  0)] ดังนั้น นิเสธของ xy[x < y] → x + y > 0] คือ xy[x < y  x + y  0)]