Statistiques à deux variables Enoncé : Le tableau ci-dessous donne l’évolution du prix de la tartelette aux framboises dans une pâtisserie. Année Rang xi
2004 1
2005 2
2006 3
2007 4
2008 5
2009 6
Prix pi
1,75
2
2,1
2,25
2,4
2,55
1) Représenter cette série statistique dans un repère orthonormé (unités 1cm pour 1 unité en abscisse et 2cm pour une unité en ordonnée). Peut-on envisager un ajustement affine ? 2) Méthode des moindres carrés. A l’aide de la calculatrice donner une équation de la droite d’ajustement par la méthode des moindres carrés. 3) Méthode de la droite de Mayer : a) On appelle G1 le point moyen des trois premiers relevés et G2 le point moyen des trois derniers relevés. Calculer les coordonnées de G1 et de G2 . b) Donner l’équation de la droite ( G1 G2 ). 4) Comparer les deux méthodes et les prix prévisibles de la tartelette aux framboises en 2012 dans chacun des cas.
Correction : 1) Nous allons traiter cet exercice avec le mode stat de la calculatrice ; on rentre dans list 1 et list 2 les données de l’exercice ( Pour les modes de saisie et d’effacement de données préexistantes vous pouvez vous reporter à l’exercice sur les statistiques à une variable)
Pour représenter cette série nous allons utiliser la fonction GRPH de la calculatrice, en la configurant correctement pour obtenir le résultat souhaité.
On veillera à ce que l’écran soit bien identique au modèle ci-contre : ainsi la calculatrice exécutera les travaux demandés pour une série à deux variables de fréquence 1.
2) Méthode des moindres carrés.
Une simple pression sur
nous permet d’avoir l’équation de la droite de régression par la
méthode des moindres carrés.
La droite d’ajustement a donc pour équation y = 0,15285 x + 1, 64
3) Méthode de la droite de Mayer : En list 1 et list 2 nous allons saisir les trois premiers couples de données, en list3 et list 4 les trois derniers.
Pour obtenir les coordonnées du point G1
la calculatrice doit bien être configurée comme ci-dessus.
Il en résulte que G1 (2;1, 95) Nous allons reconfigurer la calculatrice pour qu’elle nous donne le point moyen G2 des trois derniers points (en list3 et list 4).
Puis on obtient
Il en résulte que G2 (5; 2, 4)
Il ne reste plus qu’à entrer les couples de valeurs de G1 et de G2 en list 5 (les abscisses) et list 6 (les ordonnées) pour obtenir l’équation de la droite de régression par la méthode de Mayer.
La droite ( G1 G2 ) a donc pour équation y = 0,15 x + 1, 65 4) Prix prévisible en 2012 Pour cela nous allons considérer rentrer dans la table de la calculatrice les deux équations de droite et pour x=9 (ce qui correspond à 2012) nous comparerons les résultats. Pour la saisie des fonctions reportez-vous aux exercices sur la fonction carrée par exemple.
Il en résulte que d’après la méthode des moindres carrés la tartelette à la framboise coûtera 3€02 en 2012 et par la méthode de la droite de Mayer elle coûtera 3€. Ces deux méthodes donnent des résultats très proches.
Remarques : En fait nous avons demandé à la calculatrice, lors de la dernière étape de la méthode de la droite de Mayer, de trouver l’équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés mais comme il n’y a que deux points le coefficient de corrélation est égal à 1 et le résultat trouvé est bien l’équation de la droite par la méthode de Mayer. Voici le détail des calculs donnant l’équation de la droite par la méthode de Mayer : La droite ( G1 G2 ) a une équation de la forme y = ax + b , avec : yG − yG1 2, 4 − 1,95 a= 2 = = 0,15 xG2 − xG1 5−2 De plus ( G1 G2 ) passe par G1 donc : 1,95 = 0,15 × 2 + b b = 1,95 − 0,3 b = 1, 65 La droite ( G1 G2 ) a donc pour équation y = 0,15 x + 1, 65 .