C O M P E N D I O D E T É C N I C A S PA R A L A
Programación Lineal
Enero 2014
Teoría de Juegos Método Simplex
Lógica Bayesiana
www.tomadedecisioness.com.ve
Método de Transporte Método de Monte Carlo
EDICIÓN ESPECIAL
C O M P E N D I O D E T É C N I C A S PA R A L A
Portada: Análisis de Problemas Foto: Estudio Profesional ARS
UNVERSIDAD FERMÍN TORO ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN ANÁLISIS DE PROBLEMAS Para la TOMA DE DECISIONES
Realizado por: Alejandra Ramírez S.
Contenido Programación Lineal. Método Simplex. Lógica Bayesiana Teoría de Juegos. Método de Transporte Método de Monte Carlo.
La
Programación Lineal tiene que ver con una serie de técnicas matemáticas que tienen por objetivo brindar un apoyo importante en la toma de decisiones sobre asuntos que involucran un alto número de variables. Así mismo, esta herramienta se basa en el estudio de aquellas situaciones en las que se requieren maximizar o minimizar funciones sujetas a ciertas limitaciones o restricciones. Uno de sus precursores fue L. V. Kantoróvich, quien recibió el premio Nobel de la Economía en el año 1975 por sus aportes en cuanto a la optimización de los recursos humanos a través de su libro: Métodos matemáticos para la organización y la producción, publicado en 1939.
1. Elegir las incógnitas. 2. Escribir la función objetivo. 3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones. 4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles . 5. Calcular las coordenadas de los vértices. 6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices.
La fabrica ON LINE, C.A., produce para el mercado interno, chaquetas y pantalones. Tres maquinas (de cortar, coser y teñir), se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar 1 hora, la de coser 3 horas y la de teñir 1 hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar 1 hora, la de coser 1 hora y la de teñir ninguna hora. La máquina de teñir se puede usar hasta 3 horas, la de coser hasta 11 y la cortar hasta 7. Todo lo que se fabrica se vende y se obtiene un beneficio de 8 Bs.F por cada chaqueta y 5 Bs. F por cada pantalón. ¿Cómo emplearíamos las maquinas para conseguir el máximo beneficio? Variables: Chaqueta = X1 Pantalón = X2 Función Objetivo: Z= 8X1 + 5X2
Restricciones: Cortar X1 + X2 ≤ 7 Coser 3X1 + X2 ≤ 11 Teñir X1 ≤ 3 X1, X2 > 0
Puntos de las Rectas: X1 + X2 ≤ 7 3X1 + X2 ≤ 11 X1 + X2 = 7 3X1 + X2 = 11
X1 = 3
1) X1 + X2 = 7 2) 3X1 + X2 = 11 -X1 - X2 = -7 3X1 + X2 = 11 2X1 = 4 X1 = 4/2 X1 = 2 Reemplazando X1 en X1 + X2 = 7 2 + X2 = 7 X2 = 7-2 X2 = 5 Reemplazando X1 y X2 en función Objetivo Z= 8X1 + 5X2 La solución es de 2 Chaquetas y 5 Z= 8.2 + 5.5 Pantalones, lo cual es exacto utilizando Z= 16 + 25 la restricción 3X1 + X2 ≤ 11, con lo cual la Z= 41 fábrica ONLINE, C.A obtendrá un Beneficio de 41 Bs.
El Método Simplex es un conjunto de métodos que permiten resolver problemas de programación lineal, mejorando la solución en cada paso del procedimiento. Este procedimiento se basa en la inclusión y exclusión de una variable determinada, buscando siempre la mayor utilidad o el menor costo hasta encontrar la solución más óptima.
La Empresa Manos a la Obra, C.A., produce mesas y sillas para la venta en el país. Y requiere dos tipos básicos de mano de obra especializada: para ensamblado y acabado. Producir una mesa requiere tres horas de ensamblado, dos horas de acabado y se vende con una ganancia de $30. La producción de una silla requiere de una hora de cada una de ellas, y se vende a $18. Actualmente, la compañía dispone de 200 horas de ensamblado y 160 horas de acabado - Calcular el número mesas y sillas que debe fabricar la Empresa Manos a la Obra, C.A. para maximizar las ganancias. - Y cuál es el máximo beneficio que obtiene la empresa con las ventas de sus productos Variables: X= Nº de Mesas que debe fabricar la Empresa para obtener el máximo Beneficio. Y= Nº de Sillas que debe fabricar la Empresa para obtener el máximo Beneficio. Función Objetivo: Z= 30X + 18Y Restricciones: X≥0 Y≥0 3X + Y ≤ 200 2X + Y ≤ 160
Este método fue desarrollado por George Dantzing, en el año 1947.
Es un proceso de búsqueda que se vuelve sorprendentemente eficiente para solucionar problemas muy grandes.
BASE
S1 S2 Z
BASE
-30X – 18Y = 0
3X + Y + S1 = 200 2X + Y + S2 = 160
V. HOLGURA
X
Y
S1
S2
3
1
1
0
200
2
1
0
1
160
-30
-18
0
0
0
V. DECISIÓN
V. HOLGURA
X
S1
S2
Y
V. SOLUCIÓN
X
1
1/3
1/3
0
200/3
S2
0
1/3
- 2/3
1
80/3
Z
0
-8
10
0
2.000
BASE
Z= 0
V. SOLUCIÓN
V. DECISIÓN
V. DECISIÓN
V. HOLGURA
V. SOLUCIÓN
X
Y
S1
S2
X
1
0
1
-1
Y
0
1
-2
3
80
Z
0
0
-6
24
2.640
40
I.- (1/3) 1FI :
V.- (-1/3) 2FIII + 1FII :
i) (1/3) (3) = 3/3 = 1
i) (-1/3) (0) + 1 = 1
ii) (1/3) (1) = 1/3
ii) (-1/3) (1) + (1/3) = -1/3 + 1/3 = 0
iii) (1/3) (1) = 1/3
iii) (-1/3) (-2) + (1/3) = 2/3 + 1/3 = 9/9 = 1
iv) (1/3) (0) = 0
iv) (-1/3) (3) + 0 = (-3/3) = -1
v) (1/3) (200) = 200/3
v) (-1/3) (80) + 200/3 = -80/3 + 200/3 = 360/9 = 40
II.- (-2) 1FII + 2FI :
VI.- (8) 2FIII + 3FII :
i) (-2) (1) + 2 = -2 + 2 = 0
i) (8) (0) + 0 = 0
ii) (-2) (1/3) + 1 = -2/3 + 1 = 1/3
ii) (8) (1) + (-8) = 8 – 8 = 0 iii) (8) (-2) + 10 = -16 + 10 = -6
iii) (-2) (1/3) + 0 = -2/3 iv) (8) (3) + 0 = 24 iv) (-2) (0) + 1 = 0 + 1 = 1 v) (8) (80) + 2000 = 640 + 2000 = 2640 v) (-2) (200/3) + 160 = -400/3 + 160 = 80/3
III.- (30) 1FII + 3FI :
Comprobación:
i) (30) (1) + (-30) = 30 – 30 = 0
Z= 30X + 18Y Z= 30x40 + 18x80 Z= 1200 + 1440 Z= 2640
ii) (30) (1/3) + (-18) = 30/3 – 18 = 10 – 18 = -8 iii) (30) (1/3) + 0 = 30/3 = 10 iv) (30) (0) + 0 = 0
SOLUCIÓN:
v) (30) (200/3) + 0 = 6000/3 = 2000
La Empresa Manos a la Obra, C.A deberá fabricar 40 Mesas y 80 Sillas para obtener un mayor beneficio y una ganancia máxima de 2.640 $
IV.- (3) 2FII i) (3) (0) = 0 ii) (3) (1/3) = 3/3 = 1 iii) (3) (-2/3) = -6/3 = -2 iv) (3) (1) = 3 v) (3) (80/3) = 240/3 = 80
La
Teoría Bayesiana consiste en proporcionar una metodología para analizar adecuadamente la información con la que se cuenta y decidir de manera razonable sobre la mejor forma de actuar. Se basa principalmente en la interpretación subjetiva de la probabilidad y tiene como punto central el Teorema de Bayes. Existen 3 pasos fundamentales para plantear el Teorema de Bayes:
Especificar un modelo de probabilidad que incluya algún tipo de conocimiento previo sobre los parámetros dados.
Actualizar el conocimiento sobre los parámetros desconocidos condicionando este modelo de probabilidad a los datos observados.
La estadística clásica y la estadística Bayesiana se diferencian en su concepto de probabilidad, ya que en el primer caso se maneja con mayor objetividad, mientras que en la lógica bayesiana la probabilidad depende del observador y por lo tanto su concepto tiende a ser más subjetivo.
Evaluar el ajuste del modelo a los datos y la sensibilidad de las conclusiones a cambios en los supuestos del modelo.
Vamos a aplicar la fórmula: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana: a) Que llueva: probabilidad del 50%. b) Que nieve: probabilidad del 30% c) Que haya niebla: probabilidad del 20%. Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente: a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%. b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20% c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%. Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%). Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
a) Probabilidad lloviendo:
de
que
estuviera
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad nevando:
de
que
estuviera
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%. c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
La Teoría de Juegos es una rama de la economía y de las matemáticas que consiste en estudiar las decisiones tomando en cuenta las decisiones tomadas por los demás. Es decir, se basa en razonamientos circulares. Esta teoría se ha empleado como herramienta de apoyo para diversas decisiones de tipo económicas, políticas, empresariales, entre otras. Y suele representarse gráficamente utilizando matrices o árboles de decisión que llevarán a comprender mejor los razonamientos. Fue creada por Von Neumann y Morgenstern en el año 1994.
Dos gasolineras se encuentran una frente a la otra. Los consumidores están pendientes del precio y cada gasolinera debe decidir si cobra un precio alto o uno bajo. La matriz de recompensas es la siguiente:
Resolviendo y aplicando los criterios maximín y minimax:
Juego de Estrategia: Maximin y Minimax Estos criterios sirven para obtener la solución de un juego y determinar la estrategia óptima de un jugador: Criterio Maximín: Identifica los mínimos por renglón y selecciona el mayor. Criterio Mínimax: Identifica los máximos por columna y selecciona el menor. Si el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es de estrategia pura (existe un punto de silla de montar). El valor del juego para el primer jugador es su valor maximín.
Dado que el valor maximín del primer jugador es igual al mínimax del segundo jugador, entonces el juego es de estrategia pura (existe un punto de silla de montar). Ambos ugadores escogen bajar sus precios. El valor del juego para el primer jugador es 0 y para el segundo jugador también.
El método de transporte consiste en la búsqueda de un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a diferentes destinos, siendo su objetivo principal la minimización de los costos de transporte determinando qué cantidad de mercancía deberá enviarse a cuál destino. Este modelo supone que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas.
La empresa Conteiner, C.A., tiene sus sedes en las Aduanas de Puerto Cabello, Guanta en Puerto La Cruz, Las Piedras en Paraguana y Paraguachon en Maracaibo, y realizan fletes de Contenedores a las Ciudades de Puerto Ayacucho y San Antonio del Táchira. Las capacidades de las sedes son de 2000, 3000, 2500 y 1500 Contenedores. Las demandas mensuales en los dos centros de destino son de 4600 y 2800 contenedores. El costo de un contenedor por kilómetro es de 0,16$. El diagrama de las distancias recorridas entre las sedes y los destinos es: Si, el objetivo del la empresa Conteiner, C.A., es minimizar el costo, consiguiendo una solución optima factible. ¿Cuál sería ese costo? Costo de un contenedor por kilómetro 0,16 $.
PTO. CABELLO GUANTA LAS PIEDRAS PARAGUACHON
Puerto Ayacucho Puerto Cabello
Los puntos de origen y la capacidad por período para cada uno.
Guanta Las Piedras Paraguachón DEMANDA
Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno
El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino
PUERTO AYACUCHO
SAN ANTONIO DEL TÁCHIRA
320 400 408 416
860 432 272 256
San Antonio del Táchira
320
Destino Ficticio
860
OFERTA 0
2.000
2000 0
400 2.600
432
0
400 408
272 2.400
416
0 100
256
0 1.500
4.600
2.800
1.600
3000 400 2500 100 1500 0 9.000
Z= C11X11 + C21X21 + C22X22 + C32X32 + C33X33 + C43X43 Z= (320)(2000) + (400)(2600) + (432)(400) + (272)(2400) + (0)(100) + (0)(1500) Z= 640.000 + 1.040.000 + 172.800 + 652.800 Z= 2.505.600 Comprobación Col + Fil – 1 ≤ N° de casillas llenas 3+4–1=7 Solución: La Empresa Conteiner, C.A deberá realizar 2 viajes al Destino Puerto Ayacucho y 2 viajes a San Antonio del Táchira para poder cubrir la demanda de ambos con un costo mínimo total de $ 2.505.600
El método de Monte Carlo es Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 aleatorios: 0,500 al 0,999
Números
Números
Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA. En otras aplicaciones, se asocian intervalos de números aleatorios según las probabilidades de ocurrencia de los eventos a simular.
definido como una técnica de simulación para problemas que tienen una base estocástica o probabilística., la cual permite tener en cuenta el riesgo en análisis cuantitativos y tomas de decisiones. Los científicos que trabajaron con la bomba atómica utilizaron esta técnica por primera vez; y le dieron el nombre de Monte Carlo, la ciudad turística de Mónaco conocida por sus casinos. Desde su introducción durante la Segunda Guerra Mundial, la simulación Monte Carlo se ha utilizado para modelar diferentes sistemas físicos y conceptuales. Este método se basa en técnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebas aleatorias repetidas El Método Monte Carlo ofrece a la persona responsable de tomar las decisiones una serie de posibles resultados, así como la probabilidad de que se produzcan según las medidas tomadas
Caro M, A. “Descartes 2D”. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001. Disponible: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didactico s/Programacion_lineal/index.htm
Fernández, J. “Ditutor”. Enciclopedia web, Año 2010. Disponible: http://www.ditutor.com/programacion_lineal/programacion_lineal. html
López, J. Métodos de Transporte, Año 2011 Disponible: http://javierlopez45.blogspot.com/2011/05/definicion-metodo-detransporte.html Salazar L, B. Herramientas para el Ingeniero Industrial, Creative Commons. Disponible: http://ingenierosindustriales.jimdo.com/herramientas-para-elingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-deoperaciones/m%C3%A9todo-simplex/
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