Dinamica rotacional by Alexs Prince Vargas

DINÁMICA ROTACIONAL

CONTENIDOS MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS. Momento de inercia de un sistema de partículas y de un cuerpo rígido. Torque y momento de inercia, aplicaciones Torque y momento angular. Conservación del momento angular.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR. Fuerza Tangencial y Centrípeta. Fuerzas en el movimiento vertical. Fuerzas en el movimiento horizontal. GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER.

Teorías Geocéntrica e Heliocéntrica. Campo Gravitacional.

Satélites en órbitas circulares. Leyes de Kepler.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Sólido rígido.

Es el cuerpo cuyas partículas conservan invariantes en el tiempo las distancias relativas que las separan.

 En el movimiento de rotación las partículas del sólido rígido describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación y situadas en planos perpendiculares a dicho eje.  El movimiento general de un cuerpo rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa.

1. En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas. 2. En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional al radio de la circunferencia que describe, y su dirección es tangente a dicha circunferencia.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS CENTRO DE MASAS. El centro de masas de un cuerpo es un punto que describe la misma trayectoria que

una partícula sometida a las mismas fuerzas que el cuerpo.

ZL Z

m3 m1  r1

CM m4

SC S mn XC C

 m2 rCM m n r2

GUSTAVO SALINAS E.

 rcm 

m

21/06/2017

CM m4 YC

  mi ri

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Propiedades de los centros de masa.  La resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre un sistema puede considerarse aplicada sobre el centro de masas.  La cantidad de movimiento de un sistema es igual a la de su centro de masas.

 Fext = m acm

Cuerpos discretos Cuerpos continuos 21/06/2017

CENTRO DE MASAS DE:   mi ri mi vi     vcm  rcm   mi  mi  rcm 

 r  dm

 dm

 vcm 

  v dm

 dm

GUSTAVO SALINAS E.

 acm 

 m a  ii

m

 acm 

 a  dm

 dm

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTร CULAS INERCIA EN LAS ROTACIONES

El concepto de inercia en el movimiento de traslaciรณn Inercia: Resistencia que presenta un cuerpo a cambiar su estado de movimiento.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Un objeto en movimiento posee

Inercia

la masa

es una medida de la inercia

depende

Se cuantifica

momento lineal P = mv

Si no actúan fuerzas externas, se conserva el momento lineal 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ¿Como se produce o se modifica una rotación?

Para que un cuerpo gire

Se le debe aplicar una Fuerza F

Para que un cuerpo modifique su rotación (cambios en )

Se le debe aplicar un Torque 

El torque mide la capacidad de una fuerza para producir una rotación sobre los objetos

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS La inercia también se manifiesta en las rotaciones

Un objeto que gira, en torno a un eje tiende a seguir girando

INERCIA ROTACIONAL

 Propiedad de los objetos de resistirse a cambios en sus rotaciones  Un objeto que gira, tiende a seguir girando

La masa La inercia rotacional

21/06/2017

La distribución de la masa, respecto del eje de giro GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO

Es una magnitud que da cuenta como es la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas alrededor de uno de sus puntos. Es análogo a la masa de un cuerpo. Representa la inercia de un objeto a rotar. 

r m

I = m r2

Para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula a al eje de giro escogido. Matemáticamente se expresa como:

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS CARACTERÍSTICAS DEL MOMENTO DE INERCIA  Es una medida de la inercia del cuerpo al giro sobre ese eje.  No es propio del cuerpo, depende del eje.

 Es una magnitud tensorial.  Su unidad es kg·m2.

INERCIA Y MOMENTO DE INERCIA INERCIA

MOMENTO DE INERCIA

DEPENDE SOLAMENTE DE LA MASA DEL CUERPO

DEPENDE DE LA MASA DEL CUERPO Y DE LA DISTRIBUCIÓN DE ÉSTA RESPECTO AL EJE DE ROTACIÓN

Momento de inercia de una distribución continua de masa Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es , dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS MOMENTO DE INERCIA (CONTINUACIÓN)

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS MOMENTO DE INERCIA (CONTINUACIÓN)

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS TEOREMA DE STEINER.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS RADIO DE GIRO:

Es una cantidad física, donde I es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto a determinado eje y M su masa. Físicamente, el radio de giro R. representa la distancia medida desde el eje, a la cual se puede concentrar la masa del cuerpo sin variar su momento de inercia.

I  MR

I R M I  I1  I 2  I 3  ......., M  m1  m2  m3  ...... I  I i M  mi

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 1: Calcule el momento de inercia para: a) Una barra de largo 50 cm y masa 5 Kg que gira sobre un eje que: i) pasa por su centro ii) pasa por su extremo b) Un cilindro de radio 10 cm y alto 20 cm, cuya masa es de 800 g. si gira sobre un eje central: i) a su altura ii) a su diámetro c) Una esfera que gira sobre su diámetro, de masa 2,5 Kg y diámetro 25 cm. d) Un cascaron esférico de masa 1000 g y radio 50 cm que gira sobre su diámetro.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 2: Determinar el momento de inercia del sistema mostrado en la figura, las masas son puntuales unidas por varillas rígidas de masa despreciable. Asumir que el eje pasa por la masa m y es perpendicular al plano del papel.

EJEMPLO 3: Calcúlese el momento de inercia de la siguiente distribución de 8 masas idénticas respecto a los dos ejes que se muestran en la figura: a) Un eje que pasa por el centro de masas de la distribución. b) Un eje que pasa por dos masas en el mismo lado.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS SEGUNDA LEY DE NEWTON, tanto para torques internos como externos. El momento de las fuerzas exteriores para un sólido rígido que gira alrededor de un eje principal de inercia que pasa por O se expresa

F  m.a si multiplicamos ambos miembros por r. rxF  m.a.r pero a   .r

  m. .r.r pero  = rxF   m.r 2 .



21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

ext O

pero I  m.r 2

 I

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EL MOVIMIENTO COMBINADO DE TRANSLACIÓN Y ROTACIONAL DE UN CUERPO RÍGIDO

La energía cinética total del cilindro rodante es Ec = ½IPω² donde IP es el momento de inercia alrededor de un eje que pasa por P. Se puede demostrar que Ip = Icm + MR2 y al reemplazar en Ec se tiene:

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTĂ?CULAS MOMENTO ANGULAR (đ?&#x2018;ł)

El momento angular tiene la misma direcciĂłn que la velocidad angular para un sĂłlido plano.

L ď&#x20AC;˝ rx p, pero cantidad de movimiento p = m.v L ď&#x20AC;˝ r.m.v, pero v ď&#x20AC;˝ ď ˇ.r. p=

L ď&#x20AC;˝ r.m.ď ˇ.r L ď&#x20AC;˝ mr 2 .ď ˇ

L ď&#x20AC;˝ Iď ˇ

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS  Lo anterior implica que:

 Aplicación:

 Generalizando

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 1: ¿Cuál es la energía cinética rotacional de la figura, si rotan con una rapidez angular de 600 rpm?.

EJEMPLO 2: Una persona está de pie en el centro de una plataforma circular (sin fricción) manteniendo sus brazos extendidos horizontalmente con una pesa en cada mano. Está girando alrededor de un eje vertical con rapidez angular de 3.0 rad/s. El momento de Inercia de la persona más los de la plataforma y las pesas extendidas es de 4.5 kgm². cuando la persona acerca las pesas a su cuerpo el momento de inercia disminuye a 2.2 kgm². a) ¿Cuál es la nueva rapidez angular de la plataforma?. b) ¿Cuál es la variación de la energía cinética experimentada por el sistema?.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 3:

Sobre un cilindro macizo radio de 2 m y de masa M = 8 kg, está enrollada una cuerda que se desenrolla por medio de un cuerpo de m = 5 kg como muestra la figura. Partiendo del reposo desciende 3 m, determinar: a) La aceleración tangencial de un punto de la cuerda. b) La tensión de la cuerda. c) La aceleración angular de la rueda. d) La velocidad final de un punto de la cuerda. e) La velocidad angular final de la rueda. f) La aceleración centrípeta final de un punto del borde de la rueda. g) El momento de inercia del cilindro con respecto a su eje de rotación. h) El tiempo que se demora en descender el cuerpo de masa m.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 4: El trompo mostrado en la figura, tiene un momento de inercia de 4.0 x 10−4 kg.m² y está inicialmente en reposo. Es libre de rotar alrededor del eje estacionario AA’. Una cuerda, enrollada en la parte superior del mismo, es jalada de tal forma que ejerce una tensión constante de 5.57 N. Si la cuerda no se resbala en lo que se desenrolla, ¿cuál es la rapidez angular del trompo después de que se han desenrollado 80.0cm de la cuerda?

R: 149 rad/s. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 5: En el sistema de la figura el momento de inercia de la rueda es 10 kg.m2. Hallar: a) La aceleración del bloque de masa M, si el sistema se abandona partiendo del reposo. b) El tiempo en que el bloque M desciende una distancia de 1 m, después que es abandonada en reposo. c) La tensión de la cuerda en la sección horizontal y la sección vertical. DATOS

I = 10 kg.m2 H=1m Vo = 0 a) a = ? b) T = ? c) t = ?

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 6: Para el sistema que se muestra en la figura, m1 = 8.0 kg, m2 = 3.0 kg,  = 30° y el radio y la masa de la polea son 0.10 m y 0.10 kg, respectivamente. a) ¿Cuál es la aceleración de las masas?. b) Si el torque de la polea es constante de 0.50 N.m cuando el sistema está en movimiento, ¿cuál es la aceleración?.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 7: Un cilindro de 10.0 kg de masa rueda sin deslizarse sobre un plano inclinado de 30°, partiendo del reposo. Si la altura de dónde se deja caer es 2 m. Determinar: a) La aceleración del centro de masa. b) La velocidad del centro de masa con la que llega al final del plano inclinado. c) La pérdida de energía en el punto más bajo.

a) 1,81 m/s2; b) 3,79 m/s; c) 88,27 [J]. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

MOVIMIENTO ROTACIONAL DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 8: Un carrete tiene una masa M = 3,0 kg, y un momento de inercia respecto al centro instantáneo de rotación Io = 0,05 kgm2, un radio exterior R = 3,1 cm y un radio interior de r = 1,7 cm. Al carrete se enrolla una cuerda a su alrededor, luego el extremo de la cuerda pasa por una polea ideal y se une a una masa m = 1,0 kg la misma cuelga verticalmente. El plano sobre el que se mueve el carrete está inclinado con un ángulo de 37° sobre la horizontal. Determinar: a) La aceleración del centro del carrete. b) La tensión en la cuerda.

m 

a) 0,37 m/s2; b) 10,39 [N]. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR FUERZA CENTRÍPETA Y FUERZA TANGENCIAL De acuerdo a la segunda Ley de Newton, un partícula que gira con movimiento circular, tiene las fuerzas: Tangencial y Centrípeta, como se observa en la figura.

 F  m.a,

de donde a  a t  a c

 F  m( a t  a c ) F  F t  F c FUERZA TANGENCIAL (FT).- Es la componente de la fuerza neta en la dirección tangencial que comunica en la partícula una aceleración tangencial y determina que la velocidad cambie de módulo.  F  ma t



mgsen  mat , pero at = .r mgsen  m r , si el movimiento es circular uniforme,  =0. mgsen = 0. 21/06/2017

 y

GUSTAVO SALINAS E.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR FUERZA CENTRIPETA (Fc).- Es la componente de la fuerza neta en la dirección central que comunica a la partícula una aceleración centrípeta y determina que la velocidad cambie de dirección.  F  ma c v2 T  mg cos   mac , pero ac = r 2 v T  mg cos   m . r



De la ecuación anterior, despejando T de ésta ecuación se tiene:

v2 T  mg cos   m . r

 y

v2 En la parte más baja la ecuación anterior se resume a: T  mg  m . r

En la parte más alta la ecuación anterior se resume a:

T m

v  mg . r

Pero en el punto más alto la velocidad es crítica y la tensión es igual a cero ( T = 0 ):

v

rg .

La velocidad crítica se define como la mínima velocidad que debe tener un cuerpo que se mueve sobre una trayectoria circula vertical, en la posición superior, a fin de que se complete la trayectoria. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR PÉNDULO CÓNICO Para analizar este movimiento, partiremos de la figura que representa un pequeño cuerpo de masa m , sujeto al extremo de una cuerda de longitud L, que describe un circulo horizontal con velocidad v de magnitud constante. Cuando el cuerpo describe su trayectoria, la cuerda engendra la superficie de un cono (péndulo cónico). La cuerda forma un ángulo  con la vertical.

Fx  mac v2 Tsen  m r Fy  0 T cos   mg  0

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR Resumiendo, tenemos movimientos horizontales y verticales que hacemos girar un cuerpo de masa “m” con ω = cte, de donde v = cte, en una circunferencia de radio r.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR PERALTES Se denomina peralte al ángulo de inclinación que tiene una vía en una curva, respecto al plano horizontal. Proporciona mayor seguridad a los vehículos, permitiendo que se mantengan en la trayectoria porque incrementa el valor de la fuerza centrípeta en la curva.

Velocidad Mínima.- Para ésta condición el auto tenderá a deslizarse lentamente hacia abajo de la carretera, por lo que la fuerza de rozamiento sobre los neumáticos estará en sentido opuesto a tal tendencia

vmín 

Rg ( sen   cos  ) cos    sen

Velocidad Máxima.- Para ésta condición el auto tenderá a deslizarse hacia arriba de la carretera, por lo que la fuerza de rozamiento sobre los neumáticos actuará en sentido opuesto a tal tendencia.

vmáx 

Rg ( sen   cos  ) cos    sen 

Velocidad Optima.- Es la velocidad que deberá tener el auto en la curva, a fin de que no tienda a deslizarse lateralmente hacia ningún lado, la fuerza de rozamiento es nula (Fr = 0). 21/06/2017

vópt 

Rg tan 

GUSTAVO SALINAS E.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR EJEMPLO 1: Un cuerpo de 8 Kg. atado a una cuerda de 1,3 m de longitud, gira por una trayectoria circular horizontal a 720 RPM. Determinar. a) La velocidad tangencial. b) La aceleración centrípeta. c) La fuerza centrípeta que actúa sobre el cuerpo.

EJEMPLO 2: Un cuerpo de un péndulo cónico es de 2 kg. y cuelga de una cuerda de 8 m de longitud, describiendo una trayectoria circular en un plano horizontal. Si el cuerpo se desvía de la vertical hasta que la cuerda forme un ángulo de 30º con la vertical. Determinar. a) La tensión de la cuerda. b) Cuál es la rapidez del cuerpo.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR EJEMPLO 3: Una masa de 2 Kg está colgada del techo mediante una cuerda de 1 m de longitud, y gira en circunferencias horizontales ( péndulo cónico) con un radio de 30 cm. Siendo g = 9´8 N/Kg se pide: a) Las fuerzas que actúan sobre “m” así como su resultante. b) La tensión de la cuerda. c) Velocidad angular con la que gira y frecuencia de dicho movimiento. d) Si la velocidad angular se hace el doble ¿ qué ángulo forma la cuerda con la vertical y cuál es ahora su tensión? e) El momento angular o cinético de “m” con respecto al centro de la circunferencia descrita en ambos casos.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR EJEMPLO 4: Un cuerpo de 1 Kg. describe una circunferencia vertical atado al extremo de una cuerda de 1,2 m de longitud, con una rapidez constante de 5 m/s. Determinar la tensión de la cuerda, cuando: • El cuerpo se encuentra en el punto más bajo de la trayectoria. • El cuerpo se encuentra en el punto más alto de la trayectoria. • El cuerpo se encuentra en el mismo nivel que el centro de la circunferencia. • Esta forma un ángulo de 60º sobre la horizontal.

EJEMPLO 5: Un vehículo de 800 kg, describe una curva horizontal de 35 m de radio. Si  = 0,2. a) La máxima velocidad en km/h con qué podrá tomar la curva sin derrapar, si no hubiese peralte. b) El peralte de la curva para que no derrape a la velocidad de 108 km/h.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

FUERZAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR EJEMPLO 6: Un auto de 15 toneladas toma una curva de 40 m de radio cuyo ángulo de peralte es de 15°. Si el auto viaja a 72 km/h, ¿se necesitará fuerza de fricción?. ¿En caso afirmativo, cuanta y en que dirección?

EJEMPLO 7: Dado que la fuerza real que actúa sobre un piloto depende del propio peso del piloto, los efectos centrípetos generalmente se miden como aceleración. Si la aceleración máxima que un ser humano puede soportar es 7 veces la gravedad (7g). Determinar la velocidad máxima que puede picar un piloto para salir en una curva de 300 ft de radio.

R. 259,23 ft/s. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE El campo gravitatorio de la Tierra es la perturbación que ésta produce en el espacio que la rodea por el hecho de tener masa. Los campos gravitatorios quedan caracterizados por la intensidad de campo y el potencial en cada punto.

Campo gravitatorio

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIĂ&#x201C;N UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER INTENSIDAD DELCAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE En el punto P, que dista una distancia r del centro de la Tierra, el vector intensidad de campo es:

MT g ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC;G 2 ď&#x192;&#x2014; u r

h RT

g r

DĂłnde MT es la masa de la Tierra. La distancia r la podemos poner en funciĂłn del radio de la Tierra RT y de la altura h: r = RT + h

MT g ď&#x20AC;˝ ď&#x20AC;G ď&#x192;&#x2014;u 2 (R T ď&#x20AC;Ť h) đ?&#x2018;´đ?&#x2018;ť = đ?&#x;&#x201C;, đ?&#x;&#x2014;đ?&#x;&#x2013; Âˇ đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019; đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x2C6; đ?&#x2018;š = đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2022;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x152;đ?&#x2019;&#x17D; = đ?&#x;&#x201D;, đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x2022; đ??ą đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;đ?&#x;&#x201D; đ?&#x2019;&#x17D; 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER INTENSIDAD DELCAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE El módulo de este vector es:

MT gG 2 (R T  h)

Para puntos situados sobre la superficie de la Tierra a nivel del mar donde h = 0:

MT gG 2 RT

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Todos los cuerpos del universo se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa

Constante de Gravitación Universal, cuyo valor es 6,67·10-11 N· m2/kg2

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER PESO DE UN CUERPO Peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra (o el planeta en el que se encuentre) lo atrae. Cuerpo de masa m

FTierra,cuerpo  p (peso) r

p Tierra

La fuerza peso, al igual que la intensidad de campo, tiene en cualquier punto dirección radial y sentido dirigido hacia el centro de la Tierra.

FTierra ,cuerpo 21/06/2017

MT  m  p  G  u 2 r GUSTAVO SALINAS E.

p  m· g 42

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER

PESO DE UN CUERPO El peso de cuerpo situado a cierta distancia de la Tierra puede: ► Hacer caer el objeto sobre la superficie terrestre La caída tiene lugar con una aceleración a la que llamamos aceleración de la gravedad , que tiene el mismo valor que la intensidad del campo gravitatorio en ese punto.

g =9,8 m/s2 g =9,8 m/s2 g =9,8 m/s2

La aceleración de la gravedad (y la intensidad del campo gravitatorio ) no es constante sino que disminuye con la distancia al centro de la Tierra.

g =9,8 m/s2

MT g  G  2  u r

g =9,8 m/s2 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER PESO DE UN CUERPO ► Mantener el objeto o satélite en órbita alrededor de la Tierra.

En este caso, el peso actúa como fuerza

centrípeta La fuerza centrípeta es imprescindible para que cualquier objeto describa una órbita cerrada ( circular, elíptica, … ) Esto ocurre con la Luna o con los satélites artificiales.

Fc  FG

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

M .m mac  G 2 r v2 M .m m G 2 r r

v2  G

M r 44

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA TERRESTRE

Un cuerpo de masa m sometido al campo gravitatorio terrestre, adquiere cierta energía potencial, que nos viene dada por la fórmula:

MT  m Ep  G r

h RT

Como podemos expresar r en función del radio de la Tierra y de la altura: r = RT + h

MT  m Ep  G RT  h A la energía potencial que tiene el cuerpo m cuando está infinitamente alejada de la Tierra, le asignamos valor cero (La Tierra no interacciona con ella). Cuando se acerca a la Tierra, su energía potencial disminuye y es negativa. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA TERRESTRE

Para calcular la energía potencial gravitatoria en cursos anteriores se utilizaba la expresión:

Ep  m  g  h

MT  m Ep  G RT  h La variación de energía potencial que tiene lugar cuando un cuerpo cae es: E p (h)  E p (suelo)  G

 1  MT m  MT m  1  h    G   GM T m     GM T m  2  RT  h  RT  R R  h R  R h  T T   T T 

Si consideramos puntos próximos a la superficie, h<<RT:

E p (h)  mgh Expresión válida para puntos cercanos a la superficie, h << RT, dónde puede considerarse g constante y tomamos como referencia Ep (suelo) = 0. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER POTENCIAL GRAVITATORIO TERRESTRE El potencial en un punto del campo gravitatorio terrestre es el trabajo que realiza la fuerza del campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta el infinito. h RT

MT V  G r Cuando expresamos r en función del radio de la Tierra y de la altura, el potencial es:

MT V  G RT  h Como vimos en el tema anterior, el trabajo para trasladar un cuerpo de masa m desde un punto A a otro B es:

WAB  m  (VA  VB ) siendo VA y VB el potencial gravitatorio en los puntos A y B. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES VELOCIDAD ORBITAL es la velocidad que tiene el planeta en su movimiento alrededor del Sol (o del satélite alrededor del planeta). Como la fuerza gravitatoria le proporciona al planeta o al satélite la fuerza centrípeta necesaria:

Fgravitatoria  Fcentrípeta G

MT  mL

La velocidad orbital es:

v2  mL  r

v

G  MT r

Vemos que la velocidad orbital del satélite NO depende de su masa.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES VELOCIDAD DE ESCAPE es la velocidad ve que debe adquirir un cuerpo (un satélite artificial) para escapar de la atracción terrestre.

1 G  M T  m 2 m  ve  00 2 r

Ecinicial  Epinicial  Ec  Ep Obtenemos para la velocidad de escape, la expresión:

2  G  MT ve  r 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER

EJEMPLO 1. Calcular el valor de la intensidad del campo gravitatorio sobre la superficie de la Tierra.

¿Y en la cima del Everest, cuya altura es de 8 850 m ?

EJEMPLO 2. Determinar a qué altura sobre la superficie de la Tierra debemos subir un cuerpo para su peso se reduzca un 20 %.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER EJEMPLO 2. Dos partículas de masas m1 = 4 kg y m2 = 0,5 kg que están situadas a una distancia de 20 cm se separan hasta una distancia de 40 cm. Calcular la energía potencial asociada a las dos posiciones relativas y el trabajo realizado durante el proceso.

EJEMPLO 3. Un satélite de 250 kg de masa, está en órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 500 km sobre su superficie. Calcula su velocidad y su periodo de revolución. ¿Cuál es la energía involucrada en el proceso de poner al satélite en órbita con esa velocidad? Datos: Radio de la Tierra = 6370 km y g = 9,8 m/s².

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER EJEMPLO 4. La intensidad del campo gravitatorio en las proximidades de la superficie terrestre es 9,8 N/kg, y el radio de la Tierra es 6,38 x106 m. (a) Utiliza la fórmula de Newton para comprobar que la masa de la Tierra es 5,98 x 1024 kg. (b) Calcula el volumen de la Tierra y su densidad media, suponiendo que es una esfera. (c) ¿Cómo se explica el valor hallado de la densidad media, si la densidad de los materiales de la superficie terrestre es alrededor de 2500 kg/m3?

EJEMPLO 5. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT, siendo RT el radio de la Tierra, igual a 6 400 km. Calcula: a) La velocidad lineal de la Luna en su movimiento alrededor de la Tierra. b) El correspondiente periodo de rotación en días. Datos. G = 6,67×10-11 Nm2kg-2; masa de la Tierra: M = 5,98×1024 kg. R.: a) v = 1,0×103 m/s; b) T = 27 dias 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER EJEMPLO 5. La luz del Sol tarda 5×102 s en llegar a la Tierra y 2,6×103 s en llegar a Júpiter. Calcula: a) El periodo de Júpiter orbitando alrededor del Sol. b) La velocidad orbital de Júpiter. c) La masa del Sol. Datos: T período de Tierra alrededor del Sol: 3,15×107 s; c = 3×108 m/s; G = 6,67×10-11 Nm2kg-2. (Se suponen las orbitas circulares).

R: a) TJ = 3,74×108 s; v = 1,31×104 m/s; b) M = 2,01×1030 kg. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER TEORÍAS GEOCÉNTRICA E HELIOCÉNTRICA

La antigua Astronomía Breve Historia de los defensores de los Modelos Geocéntrico e Heliocéntrico a través del tiempo.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER TEORÍAS GEOCÉNTRICA E HELIOCÉNTRICA

Consiste en la observación del cielo nocturno proporcionando datos suficientes de los movimientos de los astros como para establecer diferentes teorías sobre el universo. La astronomía ha estado ligada al ser humano desde la antigüedad y todas las civilizaciones han tenido contacto con esta ciencia.

Personajes como Aristóteles, Tales de Mileto, y Albert Einstein han sido algunos de sus cultivadores. Observaron que algunos astros en una época del año parecían moverse hacia delante, y en otras, hacia atrás. Estos astros se denominaron planetas, y el estudio de sus movimientos dio lugar al modelo geocéntrico.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER TEORÍAS GEOCÉNTRICA E HELIOCÉNTRICA

MODELO GEOCÉNTRICO Es un antiguo modelo de ubicación de la Tierra en el Universo. Coloca la Tierra en el centro del Universo, y los astros, incluido el Sol, girando alrededor de ella. El geocentrismo estuvo vigente en las más remotas civilizaciones, estuvo en vigor hasta el siglo XVI cuando fue reemplazada por la teoría heliocéntrica. Aristóteles dividía el universo en dos partes: un mundo celeste y otro terrestre. El mundo celeste era perfecto y su único movimiento tenía que ser circular, porque el círculo es la figura perfecta: no tiene ni principio ni fin y es igual en todos los puntos. Esta teoría no podía justificar que el Sol, la Luna, Venus, Marte y Júpiter aparecieran unas veces más brillantes y más próximos a la Tierra y otras, más alejados de ella.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER TEORÍAS GEOCÉNTRICA E HELIOCÉNTRICA

MODELO GEOCÉNTRICO Claudio Tolomeo en el sigo II d. C. publicó el Almagesto. En él afirmaba que el Sol, la Luna y los cinco planetas visibles desde la Tierra se mueven con sus propias esferas transparentes describiendo movimientos circulares. Estableció la hipótesis de que los planetas se desplazan en pequeños círculos (epiciclos) cuyo centro se mueve en una órbita circular alrededor de la Tierra.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER TEORÍAS GEOCÉNTRICA E HELIOCÉNTRICA

MODELO HELIOCÉNTRICO La Teoría heliocéntrica es la que sostiene que la Tierra y los demás planetas giran alrededor del Sol. El heliocentrismo, fue propuesto en la antigüedad por el griego Aristarco de Samos (310 a. C. - 230 a. C.), quien se basó en medidas sencillas de la distancia entre la Tierra y el Sol, determinando un tamaño mucho mayor para el Sol que para la Tierra. LA REVOLUCIÓN DE COPÉRNICO Es el paso del tradicional sistema ptolemaico geocéntrico al innovador sistema copernicano heliocéntrico, iniciada en el siglo XVI por Nicolás Copérnico y culminada en el siglo XVII por Isaac Newton. En el siglo XVI, la teoría volvería a ser formulada, esta vez por Nicolás Copérnico, uno de los más influyentes astrónomos de la historia, con la publicación en 1543 del libro “De Revolutionibus Orbium Coelestium” (Las revoluciones de las esferas celestes). 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER TEORÍAS GEOCÉNTRICA E HELIOCÉNTRICA

ESTUDIO DEL UNIVERSO EN LOS SIGLOS Galileo Galilei Descubrió las fases de Venus con un telescopio que construyó en 1610, demostrando que giraba alrededor del Sol y que la teoría de Copérnico era cierta. También descubrió cuatro de los satélites de Júpiter. Estudió las manchas solares y la vía láctea. Galileo Galilei

Johannes Kepler En 1610,Kepler utilizó los datos exhaustivos de Tycho Brahe y adapto la teoría de Copérnico a un sistema planetario con órbitas elípticas. Descartó la antigua creencia del movimiento uniforme y supuso que la velocidad de los planetas es mayor o menor según la distancia al Sol. Sus teorías, válidas para cualquier objeto en órbita alrededor de una estrella cualquiera, quedan establecidas en las tres leyes de Kepler.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER TEORÍAS GEOCÉNTRICA E HELIOCÉNTRICA

Isaac Newton A partir de los descubrimientos realizados por Copérnico, Galileo y Kepler en 1687 Newton formuló en su obra „Principios matemáticos de filosofía natural‟, un conjunto de leyes universales que explicaban el movimiento de los cuerpos celestes, la caída y el peso de los cuerpos, el movimiento de los satélites, el movimiento y la periodicidad de las mareas y la trayectoria de las cometas.

Isaac Newton

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

 El Sol está inmóvil en el centro de Universo.  Los planetas, junto a las esferas que los transportan, giran alrededor del Sol según el siguiente orden: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno.  La Tierra está afectada por dos movimientos importantes: uno de rotación alrededor de su propio eje y otro de traslación en torno al Sol.  La Luna gira alrededor de la Tierra.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

PRIMERA LEY DE KEPLER Todo planeta gira en torno del Sol describiendo una orbita elíptica, en la cual el Sol ocupa uno de los focos.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

PERIHELIO Y AFELIO Cuando el Planeta describe una elipse, debe moverse más rápidamente cuanto más cerca se encuentra del sol. La velocidad en el “afelio” es menor que en el “perihelio”.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

SEGUNDA LEY DE KEPLER El radio que une a un planeta con el Sol “describe” áreas iguales en tiempos iguales.

Para que esto ocurra, Kepler descubrió que los planetas se mueven con mayor rapidez cuando están mas cercanos al Sol y con mas lentitud cuando están mas alejados de él. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIร N UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

TERCERA LEY DE KEPLER

Los cuadrados de los periodos de revoluciรณn de los planetas son proporcionales a los cubos de los radios de sus orbitas.

Donde K es una constante para todos los planetas.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

TABLA PARA DETERMINAR K

21/06/2017

Planeta

Periodo de revolución T ( en años )

Radio de la orbita r ( en u.a. )

Mercurio

0,241

0,387

Venus

0,615

0,723

Tierra

1,000

Marte

1,881

1,524

Júpiter

11.860

5,204

Saturno

29.600

9,580

Urano

83,700

19,140

Neptuno

165,400

30,200

GUSTAVO SALINAS E.

T2 K 3 R

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

EJEMPLO 1. Calcula el periodo de la estación espacial internacional (ISS), sabiendo que gira en una órbita situada a una distancia media de 400 km sobre la superficie de la Tierra. Datos: RT = 6370 km; go = 9,8 m/s².

EJEMPLO 2. Un satélite de 1000 kg de masa gira alrededor de la Tierra con un periodo de 12 horas. (Datos: G = 6, 67 x 10−11 en unidades S.I; masa de la Tierra = 5, 98 x 1024 kg). Calcular a) El radio de giro. b) La velocidad del satélite. c) Su energía total.

R. 2, 662 x 107 m; 3870, 88 m/s; −7, 49 x 109 J 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

EJEMPLO 3. Sabiendo que la Luna tiene una masa de 7, 35 x 1022 kg y que el campo gravitatorio en su superficie es la sexta parte que en la superficie terrestre. Calcular: a) El radio de la Luna. b) La longitud de un péndulo en la Luna para que tenga el mismo período que otro péndulo situado en la Tierra y cuya longitud es de 60 cm. c) El momento angular de la Luna respecto a la Tierra. Dato: G = 6,67 x 10−11 N m2/kg2, distancia Luna-Tierra = 3, 84 x 108 m.

R: 1, 732 x 106 m; 0,1 m; 2, 82 x 1034 kg ms−1 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

EJEMPLO 4. Un astronauta de 75 kg gira alrededor de la Tierra (dentro de un satélite artificial) en una orbita situada a 10 000 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) La velocidad orbital y el periodo de rotación. b) El peso del astronauta en esa orbita. Datos: g0 = 9,80 m/s2; RT = 6 400 km .

R: a) v = 4,95×103 m/s; T = 2,08×104 s; b) Ph = 1,1×102 N 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEYES DE KEPLER

EJEMPLO 5. Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 describe una órbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotación T1 = 2 años, mientras que el planeta 2 describe una órbita elíptica cuya distancia más próxima es r1 = 108 km y la más alejada es r2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra la figura. ¿Cuál es el periodo de rotación del planeta 2? .

R: 3,3 años. 21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.

GRAVITACIร N UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER

Mi intenciรณn es demostrar que la mรกquina celestial no es como un ser divino, sino como un reloj.

21/06/2017

GUSTAVO SALINAS E.