Número Proporcionais 2
Números Diretamente Proporcionais
Dois conjuntos A e B têm números diretamente proporcionais quando dividindo cada elemento de A pelo seu correspondente em B, obtemos sempre o mesmo número.
Dividindo cada número (elemento) do conjunto A pelo mesmo correspondente em B, obtemos razões iguais a 1 2 ; dividindo cada número do conjunto B pelo correspondente no conjunto A, obtemos razões iguais a 2.
Neste caso, dizemos que A e B têm números diretamente proporcionais.
Divisão de uma quantia em partes proporcionais
Divisão Diretamente Proporcional
Vamos analisar uma situação.
Três pessoas resolveram abrir uma sociedade para investirem em um negócio: o primeiro investiu R$ 10 000,00; o segundo, R$ 8 000,00; e o terceiro, R$ 2 000,00.
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01. A razão é 3 5 02. a). A razão é 42 6 7 m m = b). A razão é 5 10 1 2 05 == , c). A razão é 5 2 2 5 04 == , 03.
calcularmos a razão, dividimos o primeiro número
a). xx 15 4 12 5 b). xx , , , , 02 24 03 16 c). xx 24 4 6 16
Para
pelo segundo.
CAPÍTULO
Consideremos os conjuntos: 4 6 10 14 2 3 5 7 A B A = {2, 3, 5, 7} e B = {4, 6, 10, 14} em correspondência biunívoca, como mostra na figura:
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Depois de um certo período foi apurado um lucro de R$ 15 000,00. Como deve ser repartido, proporcionalmente, o lucro obtido?
Podemos escrever os dados da seguinte forma:
X = 10 000k
Y = 8 000k
Z = 2 000k
Desse modo:
10 000k + 8 000k + 2 000k = 15 000
20 000k = 15 000
k = 15 000 20 000
Simplificando teremos:
k = 3 4
Com isso, temos:
Xk X 10 000 10 000 3 4 7 500
Yk Y 8 000 8 000 3 4 6 000 .
Zk Z 2 000 2 000 3 4 1500 .
O primeiro sócio receberá R$ 7 500,00, o segundo, R$ 6 000,00 e o terceiro, R$ 1 500,00.
Divisão Inversamente Proporcional
Analise a situação a seguir.
Um pai, ao dividir R$ 468,00 entre seus três filhos, o fez inversamente proporcional às idades de cada um. Sabendo-se que as idades eram 2, 3 e 4 anos, calcular a parte de cada um.
Já que a divisão é inversamente proporcional às idades, vamos resolvê-lo utilizando a constante de proporcionalidade k.
X k = 2
Desse modo:
Y k = 3
Z k = 4
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kk k 23 4 468 Fazendo o MMC 64 3 12 468 kk k 13 12 468 k = 13 12 468 k = k == 5 616 13 432 10
Praticando
04. Reparta o número 800 em partes proporcionais aos números 4, 20 e 16
05. Reparta a quantia de R$ 1890,00 em partes inversamente proporcionais aos números 6 e 8. CHAVE
Regra de Três 3
Quando a resolução de um problema envolve a comparação de duas ou mais grandezas proporcionais, podemos usar uma técnica conhecida como regra de três.
A regra de três simples se resume numa proporção com duas razões simples, apresentando um termo desconhecido.
Quando uma das grandezas aumentar ou diminuir, juntamente com a outra, a regra de três será direta; se uma aumentar e outra diminuir, a regra de três será inversa.
O processo consiste em:
1. colocar em uma mesma coluna as grandezas de igual espécie ou mesma unidade de medida;
2. analisar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais;
Unidade i Matemática Financeira Com isso, temos: X k X 2 432 2 216 Y k Y 3 432 3 144 Z k Z 4 432 4 108 O de 2 anos irá receber R$ 216,00, o de 3 anos R$ 144,00 e o de 4 anos receberá R$ 108,00.
CORREÇÃO 01. X = 4k Y = 20k Z = 16k 42016 800 kk k 40 800 800 40 20 kk X 42080 Y 20 20 400 Z 16 20 320 02. X k = 6 Y k = 8 kk kk 68 1890 68 48 1890 14 48 1890 90720 14 6480 kk X == 6480 6 1080
DE
CAPÍTULO
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3. anotar a proporção correspondente e resolvê-la.
Primeiramente, vejamos um exemplo de regra de três simples e direta:
Um automóvel percorreu 180km em três horas com uma determinada velocidade. Em quantas horas percorrerá 120km com a mesma velocidade?
Dados:
Regra de três direta → quanto menor é a distância, menos tempo demora (com a mesma velocidade) → os valores diminuem na mesma proporção.
Logo, o automóvel percorrerá 120km em 2 horas.
Vejamos agora um exemplo de regra de três simples inversa:
Uma torneira jorrando 20 litros de água por minuto enche um reservatório em 6 horas. Qual o tempo em que encherá, o mesmo reservatório, uma torneira com uma vazão de 30 litros de água por minuto?
Dados:
Litros de água Horas 20 L 6 30 L x
Regra de três inversa → quanto maior o número de litros vertidos por minuto, menor será o tempo gasto para encher o reservatório. As grandezas são inversamente proporcionais.
Como a regra de três é inversa, temos que inverter um dos termos da igualdade, portanto temos que 6 está para x e 30 está para 20 (observe que invertemos os termos relativos aos litros):
= 4 horas
Logo, a torneira encherá o reservatório em 4 horas
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Km
180
120
Horas
3
x
180 120
180
x = 360 180 x =
180 120 3 = x
3 x = .
360 x =
2 horas
20 6 = x 30 20 6 x = 30 120 x = x = 120 30 x
30
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Regra de três composta
Quando um problema envolve mais de duas grandezas que, tomadas duas a duas, são diretas ou inversamente proporcionais, aplicamos na resolução a regra de três composta
Analise a seguinte situação:
Suponha que 30 secretários sejam capazes de arquivar, em média, a 10 000 processos em 45 dias, considerando que os secretários trabalhavam durante 8 horas por dia. No entanto, um aumento na demanda, obrigou que o arquivamento, dos mesmos 10 000 processos, ficasse pronto em 30 dias. Para isso, o diretor pretende contratar mais 6 secretários. Quantas horas por dia deverão trabalhar todos os secretários, para consigam arquivar todos os processos em 30 dias?
Organizamos as grandezas e respectivos valores em colunas, “montando” as proporções.
Números de secretários Número de horas por dia Número de dias de trabalho
30 8 45
36 X 30
Em seguida, analisamos a proporcionalidade entre as grandezas, duas a duas.
Ô “Número de secretários” e “Número de horas por dia” são inversamente proporcionais (considerando a grandeza “Número de dias de trabalho” constante).
Ô “Número de horas por dia” e Número de dias de trabalho” são inversamente proporcionais (considerando a grandeza “Número de operários” constante).
Agora, montamos a proporção e calculamos:
O arquivamento ficará pronto em 30 dias se cada um dos 36 secretários trabalhar 10 horas por dia, ou seja, oito horas de jornada normal de trabalho mais duas horas extras.
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30 30 45 x 8 1080 1350 x = 1080 8 1350 x 1080 10 800 x = x = 10 800 1080 x = 10
83 6
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