efinición y características[editar] Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:
1.
Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de
cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
2.
Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un
segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
Definiciones clásicas[editar] Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo porCarpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.
Región angular[editar] Se denomina región angular cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.2
Amplitud de un ángulo[editar] Se llama amplitud de un ángulo a la medida de éste.2
Unidades de amplitud[editar]
Transportador de ángulos.
Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son: •
Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)
•
Grado sexagesimal
• Grado centesimal
Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
Tipos de ángulos[editar] Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:
Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.
Tipo
Descripción
Ángulo nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud Ángulo agudo mayor de 0 rad y menor de
rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).
Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a
rad.
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice. Ángulo obtuso Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a
rad.
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales). Ángulo llano
El ángulo llano tiene una amplitud de
rad.
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).
Ángulo oblicuo
Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo completo o perigonal
Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad.
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Ángulos convexo y cóncavo [editar] En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):1 Tipo
Descripción
Ángulo convexo o saliente Es el que mide menos de
rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).
Ángulo cóncavo, reflejo o entrante Es el que mide más de
rad y menos de
rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).
Ángulos relacion 1.3.3. Actividades que se sugieren para el futuro docente página: 45 En la página 20 se ilustra el doblado de un trozo de papel y se afi rma que la “esquina” que se forma es un ángulo recto, esdecir, mide 90°. Argumenta por qué ese ángulo es efectivamente un ángulo recto. Sustenta tu argumentación empleando los conocimientos de geometría que adquiriste en el bachillerato. Usa tusconocimientos de geometría del bachillerato para responder las siguientes preguntas:
Si un cuadrilátero tiene tres ángulos rectos ¿Significa que es un rectángulo? No significa eso porque el rectánguloal igual que el cuadrado tiene 4 ángulos rectos y no tres. ¿Qué condiciones deben satisfacer dos ángulos en un cuadrilátero para que éste sea un rectángulo? En todo rectángulo, los cuatro ángulosinternos son rectos. Y es que por es un paralelogramo (o sea, tiene lados paralelos dos a dos), sus ángulos internos opuestos son iguales, entonces si un ángulo interno es recto, por lógica y deducciónentiendes que los demás lo son y la medida de estos son de 90°.
Los siguientes cuatro pasos son un razonamiento típico para probar que los lados opuestos de un cuadrilátero que tiene cuatroángulos rectos necesariamente tiene lados opuestos de la misma longitud. Sigue el razonamiento con la ayuda de dibujos y de un texto de geometría para responder las preguntas que se muestran acontinuación: Si un cuadrilátero tiene cuatro ángulos rectos, entonces sus lados opuestos son paralelos. ¿Recuerdas algún resultado de geometría que lo fundamente? Si un Cuadrilátero significa "cuatro lados”se clasifican en Paralelogramos Trapecios Trapezoides Los cuales los paralelogramos son aquellos que en sus características Paralelogramos: Cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. Losparalelogramos son: el cuadrado, rectángulo. a) Cuadrado: Todos sus lados son de igual medida. Todos sus ángulos miden 90º. b) Rectángulo: Tiene dos pares de igual medida. Todos sus ángulos...[continua]
Ángulos de un polígono[editar] En función de su posición, se denominan: •
ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes,
interiormente. •
ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la
prolongación del adyacente.
Ángulos respecto de una circunferencia[editar]
Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser: Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos. La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.) Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones; Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta. La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.
Trisección del ángulo[editar] Artículo principal: Trisección del ángulo
La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.
Ángulos tridimensionales[editar]
•
El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio
delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común, •
El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una
superficie cónica.
Coordenadas angulares tridimensionales[editar] •
Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que
indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.
Ángulos en un espacio vectorial[editar] Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores define el ángulo formado por dosvectores no nulos
e
, se
mediante la
expresión:
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo
debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo
que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes: •
Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo,
el ángulo no cambia. •
Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar
negativo, el ángulo pasa a ser el complementario. •
Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados
nulos,
Galería de ángulos[editar]
e
no
TRIANGULOS CONGRUENTES
Para que un triangulo sea congruente debe tener la misma medidas y forma. Van a contar también con ángulos, vértices y lados correspondientes que quiere decir que se encuentran en la misma posición. Los ángulos correspondientes se encuentran en la misma posición con respecto al otro triangulo y son los siguientes:“a” y “n”; “b” y “o”; “c” y “m”. Las dos lineas rojas indican que tanto el lado "ab" y "no" son congruentes osea que miden lo mismo, por tanto las lineas azules indican que esos lados también son congruentes.
Los siguientes son triangulos rectangulos y ten presente que estos siempre forman un angulo recto que va a medir 90 grados.
Los ángulos S y L forman una perpendicular y nos indica que su ángulo mide 90°. Si el ángulo “T” mide 58°, podemos obtener la
medida de los otros ángulos. “T” es correspondiente a “K” por tanto también mide 58°. IMPORTANTE: La suma de todos los ángulos internos de un triangulo siempre es de 180°. A 180 le restamos 58 y 90 del ángulo recto y tenemos. 180 – (58+90)= 32 que sería la medida de los ángulos H y R. Contesta las preguntas en base a la siguiente figura:
RESPUESTAS:
1. nm y ab; bc y cn; ac y cm 2. n 3. a 4. a y m miden 45 grados. Matematicas: Geometría • inicie sesióno regístresepara comentar
Comentarios HOLA
Enviado por monteserrat en Diciembre 21, 2013 - 4:14pm HOLA NO ENTIENDO LA ULTIMA PREGUNTA POR QUE SI 80 GRADOS MIDE EL ANGULO OPUESTO Y EN LA REPUESTA DICE QUE A Y M MIDEN 45 Y 45 FALTARIAN 10 GRADOS PARA QUE EN TOTAL TODOS LOS ANGULOS SUMADOS DEN 180 GRADOS NO SE EN QUE ME EQUIVOCO ME PODRIAN DECIR POR FA Y MUCHAS GRACIAS ME ENCANTA LA PAGINA
•
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es igual Enviado por monteserrat en Diciembre 21, 2013 - 4:26pm los triangulos congruentes que los correspondientes ? •
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correspondiente vs congruentes
Enviado por Luz en Enero 13, 2014 - 9:10am Un triangulo congruente es el que mide lo mismo y si mide lo mismo tiene lados y angulos correspondientes, esto último quiere decir que se encuentran en la misma posición. Incluso aunque los triangulos no sean del mismo tamaño pero si son semejantes, van a tener lados correspondientes. Dibuja dos triangulos rectangulos de direfente tamaño, y la base con la base serían correspondientes (estan en la misma posición), la hipotenusa de ambos triangulos también serían correspondientes. Congruentes = miden los mismo, correspondientes (lados o ángulos) = estan en la misma posición. •
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Pregunta # 4 Enviado por Tania28 en Diciembre 27, 2013 - 3:43pm Hola maestra Luz... antes que nada le quiero agradecer por tomarce su tiempo para crear esta pagina tan completa. Igual que monteserrat tengo la misma pregunta que ella. Gracias:)
Congruencia (geometría)
Un ejemplo de movimiento o congruencia semejante a ellas. La última no es ninguna de las dos cosas. Nótese que los movimientos cambian propiedades de las figuras homogéneas y confluentes como la posición de estas, pero dejan inalteradas otras como las distancias y los ángulos.
En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es detranslaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. Índice [ocultar]
•
1 Definición de congruencia en geometría analítica
•
2 Ángulos congruentes
•
3 Congruencia de triángulos o
3.1 Congruencia de triángulos
•
4 Véase también
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5 Referencias
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6 Enlaces externos
Definición de congruencia en geometría analítica [editar] En la geometría euclidiana, la congruencia es fundamental; es lo equivalente a igualdad matemática en aritmética y álgebra. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualquier par de puntos en la primera figura, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda figura. Una definición más formal: dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo Rn son llamados congruentes si existe una isometría f : Rn → Rn (un elemento del grupo euclideoE(n)) con f(A) = B.
Ángulos congruentes[editar] Los ángulos α y β son congruentes y opuestos por el vértice.
Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. En esta imagen podemos ver que están marcados por el mismo color.
Losángulos opuestos por el vérticeson un ejemplo de ángulos congruentes. Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruente.
Congruencia de triángulos[editar] La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes. Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida. Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:
En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.
Congruencia de triángulos[editar] Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se establecen a través de los llamados teoremas de congruencia1 2 los cuales son: •
Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus
lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos. •
Caso ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus
ángulos respectivos y el lado entre ellos. •
Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.
•
Caso LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus
lados respectivos y el ángulo opuesto al mayor de ellos. •
Caso LAA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales uno de los
lados, el ángulo opuesto a dicho lado y otro de los ángulos. (En el caso LLA el ángulo dado puede ser el opuesto a cualquiera de los lados, no necesariamente al mayor, cuando es un ángulo recto u obtuso).
Véase también[editar] Relaciones aritméticas entre ángulos: •
Ángulos complementarios
•
Ángulos suplementarios
•
Ángulos conjugados
Relaciones posicionales entre ángulos: •
Ángulos adyacentes
•
Ángulos consecutivos
•
Ángulos opuestos por el vértice
•
Ángulos interiores y exteriores
Determinados por dos paralelas y una transversal •
Ángulos correspondientes
•
(Ángulos alternos)
Referencias[editar] 1. Volver arriba↑ Clemens y otros. Geometría con aplicaciones y solución de problemas. ISBN 0-201-64407-X
2. Volver arriba↑ Dolciani y otros: Geometría Moderna-
Enlaces externos[editar]
•
Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Congruencia.
•
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria.pdf
•
The SSS en Cut-the-Knot.
•
The SSA en Cut-the-Knot.
•
Esta obra deriva de la traducción de Congruence (geometry) de la
Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported