ANÁLISE COMBINATÓRIA TIPOS DE AGRUPAMENTOS - ARRANJO
Você já percebeu que em nosso cotidiano, formamos agrupamentos em várias situações? Por exemplo, ao escolher colegas para um trabalho escolar em grupo, formamos agrupamento de pessoas; ao discutir sobre os possíveis quatro primeiros colocados no Campeonato Brasileiro de Futebol, formamos agrupamentos de clubes de futebol, etc.
A Análise Combinatória identifica 2 tipos de agrupamentos: os arranjos e as combinações.
ARRANJOS – são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos; qualquer mudança na ordem dos elementos altera o agrupamento. Exemplo: ao formar números naturais de três algarismos distintos escolhidos entre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos agrupando esses 5 algarismos 3 a 3. Esses números são chamados de arranjos de algarismos, porque, mudando a ordem dos algarismos em um desses números, obtemos outro número, observe:
246 ≠ 426 mudando a posição dos algarismos 2 e 4, obtemos um número diferente
Continuando... Mas, quantos números de 3 algarismos distintos eu poderei formar com esses 5 algarismos. C
D
U
Pelo princípio fundamental da contagem (PFC) teríamos: 5.4.3
O cálculo desse arranjo (An,p) também pode ser expresso por meio de fatorial. Então: A5,3 = 5 . 4 . 3 . 2!
2!
Observe que, em termos gerais, temos: A n,p =
n! (n – p)!
Outros exemplos: 1) Em uma competição de atletismo, 8 velocistas disputam a prova final dos 100 metros rasos, na qual os 3 primeiros colocados irão para o pódio. De quantas maneiras distintas o pódio poderá ser composto? 2) Uma senha para acessar os arquivos de um computador é composta de 10 caracteres distintos. Sabemos que esses caracteres podem ser algarismos de 0 a 9 e letras de A a Z, quantas tentativas no máximo uma pessoa que não conhece a senha deverá fazer para acessar os arquivos?
Caso particular: Para entender melhor, vamos ao exemplo: Anagrama é a palavra obtida pela troca da ordem das letras de uma palavra. AMOR, por exemplo, é um anagrama da palavra ROMA. Considerando os anagramas obtidos a partir da palavra JARDIM, determine quantos anagramas: a) São ao todo b) Terminam em M c) Tem as letras J, R e I juntas Você notou que trabalhamos com os mesmos elementos trocando-os apenas de posição? A esse tipo de formação damos o nome de PERMUTAÇÃO.
PERMUTAÇÃO – são agrupamentos em que os elementos que formam um todo, são trocados de lugar, com a finalidade de obter nova configuração. Para calcular o número de permutações vamos ao exemplo: Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
An,p = n!
(n – p)!
n=5 p=5
nº de elementos elementos tomados
Observe que temos 5 algarismos (são 5 elementos) que formarão números com 5 algarismos, isto é, utilizaremos todos os elementos disponíveis.
Você notou que n = p?
Resolvendo...
An,n = n!
= n! = n! (n – n)! 0! 1
A permutação simples é um caso particular de arranjo simples em que n = p, ou seja, trata-se de um arranjo de n elementos tomados n a n. A quantidade total de permutação simples de n elementos é indicada por Pn e pode ser obtida por: Pn = n! Voltando ao exemplo, temos, então: P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 números
Outros exemplos: 1) Quantos são os anagramas da palavra SABER? 2) Com as letras da palavra PROVA, quantos são os anagramas que começam por vogal e quantos são os anagramas que começam e terminam por consoante?
Por hoje 茅 s贸 pessoal...!!!