ANÁLISE COMBINATÓRIA TIPOS DE AGRUPAMENTOS - COMBINAÇÃO
COMBINAÇÃO – são agrupamentos em que não se considera a ordem dos elementos; qualquer mudança na ordem dos elementos não altera o agrupamento. Exemplo: Uma escola tem 9 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis?
Note que, ao organizarmos grupos com 4 professores, mesmo se invertermos a ordem dos professores no grupo, isso não altera em nada. Continua sendo o mesmo grupo de professores.
Utilizando-se do cálculo de arranjo simples, temos: n=9 p=4 A9,4 = 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5! = 3.024 (9 – 4)! 5! Porém, existem os agrupamentos em que ocorre a permutação entre os professores, que nesse caso o grupo é o mesmo, a ordem não importa. No exemplo seriam: P4 = 4! = 4 . 3 . 2 .1 = 24
Logo, o número de combinações simples será o quociente 3.024 : 24 = 126 Organizando todos esses cálculos numa única fórmula, temos: Cn,p = n! p! (n – p)!
Vamos a outro exemplo: Um pizzaiolo tem à sua disposição ingredientes para fazer pizzas nos seguintes sabores: atum (A), queijo (Q), calabresa (C), portuguesa (P) e milho (M). Quantas são as possibilidades de pizzas que podem ser feitas com três sabores diferentes?
AQC APM
AQM QCP
AQP QPM
ACP QCM
Note que esses agrupamentos se diferenciam pela natureza de seus elementos, e não pela ordem dos mesmos. Cada uma dessas possibilidades corresponde a uma combinação de 5 sabores tomados 3 a 3.
ACM CPM
Utilizando a fórmula, temos:
C5,3 =
5! = 5 . 4 . 3! = 10 possibilidades 3! (5 – 3)! 3! . 2! Mão a obra!!! Vamos fazer juntos? Em uma classe de 30 alunos pretende-se formar uma comissão de três alunos para a representação discente no colégio. Quantas comissões distintas podem ser formadas?
Se você encontrou 4.060 comissões ... Você acertou!!!
Vamos a outro exemplo? Os 30 alunos de uma classe devem fazer um trabalho em equipe de 4 pessoas. Há 20 garotas e 10 garotos. Quantas equipes podem ser formadas: a) Se não houver restrições quanto ao sexo? b) Com 2 garotas e 2 garotos?
Agora, é hora de resolver a 2ª parte da ficha de atividades 03, ok?
Fonte: Leonardo, Fábio Martins de
Conexões com a matemática São Paulo – Moderna, 2013 Paiva, Manuel Matemática: Paiva São Paulo – Moderna, 2013
Montagem: prof.ª Ana M. Leal – C.E. Manuel de Abreu – Niterói/RJ matemática – 3º ano E.M.