Plan de clase (1/7) Escuela: _________________________________________ Fecha: ________________ Profesor (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 8
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan por métodos propios, problemas que también se pueden resolver con ecuaciones lineales con dos incógnitas. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas: 1. Una bolsa contiene en total 21 frutas, de las cuales algunas son peras y otras son duraznos. ¿Cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa? 2. Si la cantidad de peras que hay en la bolsa es 11 unidades más que la cantidad de duraznos, ¿cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa? Consideraciones previas: Seguramente en el primer problema los alumnos encontrarán, sin mucha dificultad, varias soluciones diferentes que sean correctas, pero, hay dos preguntas adicionales que pueden favorecer la reflexión y discusión. La primera pregunta es: ¿cuántas soluciones diferentes, que sean correctas, puede haber? La segunda pregunta: ¿Cómo se podría expresar la solución, de manera que incluya a todas las respuestas correctas? La primera pregunta lleva a los alumnos a buscar pares de números naturales que sumen 21, mientras que la segunda los lleva a buscar una expresión del tipo x + y = 21, en la que x y y representen, respectivamente la cantidad de duraznos o de peras. Finalmente hay que pedirles que representen gráficamente esta ecuación. Se supone que esto es algo que ya saben hacer. En contraste con el primer problema, en el segundo la solución es única. Dado que los alumnos no saben usar las ecuaciones simultáneas, se espera que encuentren la solución con procedimientos aritméticos. Es muy importante que se analicen los resultados y procedimientos encontrados, antes de decirles que con la información que ofrece este problema se pueden formular dos ecuaciones, a diferencia del primero, en el que sólo se pudo formular una ecuación. Si es necesario, hay que ayudar a los alumnos a formular la segunda ecuación y pedir que la representen gráficamente en el mismo plano donde representaron la ecuación del primer problema. Finalmente hay que hacerles notar que las coordenadas del punto donde se cruzan las dos rectas son la solución del problema. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy Ăştil
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Plan de clase (2/7) Escuela: _________________________________________ Fecha: ________________ Profesor (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 8
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen el sistema de ecuaciones que permite resolver un problema y lo representen gráficamente para encontrar la solución. Consigna: Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema: Alejandra y Erica fueron al cine y compraron dos helados sencillos de chocolate y un refresco en vaso grande por $ 35.00. Si se sabe que el precio del refresco en vaso grande vale la mitad del precio de un helado sencillo de chocolate, ¿cuál es el precio de un helado de chocolate y cuál el de un refresco en vaso grande? Consideraciones previas: Con base en el trabajo realizado en la sesión anterior, en ésta hay que centrar la reflexión de los alumnos directamente en la formulación de las ecuaciones. Hay que ayudarlos a identificar los datos que se quieren conocer y representarlos con literales. A partir de aquí, hay que animarlos a que formulen una ecuación y luego la otra. Conviene que una vez más se apoyen en el método gráfico para encontrar la solución. Una vez que la solución se analice y se compruebe que cumple con las condiciones del problema, hay que explicar un segundo método para resolver el sistema de ecuaciones. Dado que muy probablemente la segunda ecuación quede formulada así x = 2y, o así, x = y el método que más se presta es el de sustitución. Como parte de la explicación hay 2 que decir que un paso importante de este método consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación. Para que los alumnos ejerciten conviene plantear un problema más y algunos sistemas fuera de contexto. Problema: En la cooperativa escolar se vendieron 296 refrescos en total. Si los refrescos chicos vendidos fueron el triple de los medianos. ¿Cuántos se vendieron de cada uno? Sistemas fuera de contexto: a)
2 x + y = 14 x = y +1
b)
2 x + 2 y =160 x =3 y
c)
2 x − y =15 x =2 y
Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil
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Plan de clase (3/7) Escuela: _________________________________________ Fecha: ________________ Profesor (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 8
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen el sistema de ecuaciones con el que se puede resolver un problema, conozcan y usen el método de suma o resta para encontrar la solución. Consigna: Organizados en equipos, planteen el sistema de ecuaciones con el que se puede resolver el siguiente problema. Encontrar dos números tales que, el triple del primero más el segundo es igual a 820. El doble del primero menos el segundo es igual 340. Consideraciones previas: Es importante centrar la reflexión de los alumnos primero en la formulación de las ecuaciones que, en este caso, se espera que no haya dificultad. Hay que verificar, en cada equipo, que el sistema de ecuaciones esté correctamente planteado; en este caso el sistema es: 3x + y = 820 2x – y = 340 Es probable que los alumnos despejen una de las incógnitas para resolverlo por el método de sustitución, dado que en este momento los alumnos ya tienen los conocimientos sobre este proceso de simplificación algebraica. En la puesta en común el profesor debe revisar los diferentes procedimientos usados por los alumnos y cuestionarlos sobre el más adecuado para encontrar la solución del sistema y seguidamente su comprobación. Después de esto, hay que explicarles que ante un sistema como éste, en el que una de las incógnitas (y) tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, lo que conviene es sumar o restar término a término para que quede una sola ecuación con una incógnita, en este caso, 5x = 1160. A partir de aquí, se espera que los alumnos sepan encontrar los números que se buscan. Finalmente hay que decirles que este método se llama de suma o resta.
Para consolidar el uso del método explicado se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos. 1. Resolver por el método de suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones. a) a + b = 135 a - b = 59
b) 2m + 12n = -22 8m – 12n = 32
2. Resolver el siguiente problema: Para el día del estudiante los alumnos del grupo A compraron hamburguesas y refrescos. Un equipo compró 5 hamburguesas y 3 refrescos y pagaron $285. Otro equipo compró, a los mismos precios, 2 hamburguesas y 3 refrescos y pagaron $150. ¿Cuánto les costó cada hamburguesa y cada refresco? Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil
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Plan de clase (4/7) Escuela: _________________________________________ Fecha: ________________ Profesor (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 8
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionan sobre la manera de utilizar el método de suma o resta, cuando los coeficientes de ambas incógnitas no son iguales. Consigna: Organizados en equipos, planteen y resuelvan el sistema de ecuaciones que resuelve el siguiente problema. Diego y Claudia fueron a una tienda de discos compactos. Diego fue al departamento de discos de música y vio que todos estaban al mismo precio. Claudia fue al departamento de películas y vio que todas estaban al mismo precio. Diego pagó $240 por dos discos de música y una película; mientras que Claudia pagó $255 por un disco de música y dos películas. ¿Cuál es el precio unitario de cada mercancía? Consideraciones previas: Primero hay que verificar que el sistema de ecuaciones esté correctamente planteado: 2x + y = 240 x + 2y = 255 En seguida se plantea la siguiente reflexión: Dado que en este caso tanto los coeficientes de x como los de y no son iguales, ¿qué se podría hacer para usar el método de suma o resta? Se espera que este cuestionamiento lleve a los alumnos a la necesidad de encontrar una ecuación equivalente a la primera o a la segunda, para igualar los coeficientes de alguna de las incógnitas. Si no surge de los alumnos, hay que explicarlo. Para consolidar este aprendizaje se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos. 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x − y = −5
a) 3 x + 2 y =15
2a + b = 9
b) a − 2b = −8
2. Resolver los siguientes problemas. a) Por cinco boletos para un concierto de rock y tres boletos para un partido de fútbol se pagaron $720 y por dos boletos para el mismo concierto y seis para el mismo partido de fútbol se pagaron $480 ¿Cuál es el valor del boleto para cada uno de los eventos? b) A un baile asistieron 270 personas. Si los boletos de caballero costaban $100 y los de dama $80 y se recaudaron $24 800 por todas las entradas, ¿cuántas mujeres y cuántos hombres asistieron al baile?
Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil
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Plan de clase (5/7) Escuela: _________________________________________ Fecha: ________________ Profesor (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 8
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos planteen y resuelvan un sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación. Consigna: Organizados en equipos de tres resuelvan el siguiente problema: Elena compró blusas y faldas, sabemos que el costo de dos blusas equivale a 300 pesos menos el costo de 3 faldas y por otra parte cada blusa cuesta veinticinco pesos más que cada falda ¿Cuanto cuesta cada prenda? Consideraciones previas: Es muy probable que los alumnos tengan dificultades para plantear el sistema de ecuaciones que relaciona los datos del problema; por lo que si es necesario, hay que ayudarlos. Dicho sistema es el siguiente, si se considera que x es el precio de una blusa e y el precio de una falda: 2x = 300 – 3y x = y + 25 Una vez que todos estén de acuerdo en el sistema de ecuaciones y pedirles que lo resuelvan, es probable que los alumnos utilicen algún método que ya conocen, después de lo cual, hay que proponer el método de igualación como otra alternativa de solución. Conviene invitar a los alumnos a que planteen diferencias, ventajas y desventajas de este método con respecto a los otros. Para consolidar este aprendizaje se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: 10 − y 2 a) 6+y x= 2 x=
7b − 4 8 b) 3b + 6 a= 6 a=
c)
m =2 +n m = −4 + 3n
Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil
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Plan de clase (6/7) Escuela: _________________________________________ Fecha: ________________ Profesor (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 8
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de ejemplos ya resueltos, reconozcan y analicen las características de los diferentes métodos (sustitución, suma o resta e igualación) con los que se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales, para que a partir este análisis elijan el método idóneo según las características del sistema. Consigna: Organizados en equipos, revisen los métodos de resolución de los problemas planteados y contesten las preguntas argumentando sus respuestas. Problema 1: La suma de dos números es 195. Si el doble del primer número menos el segundo es 60, ¿cuáles son esos números? Sistema: x + y = 195 2x – y = 60 Simplificación: x + y = 195 2x – y = 60 ----------------3x = 255 x = 255 / 3 x = 85 x + y = 195 85 + y = 195 y = 195 – 85 y = 110 a) ¿Por qué creen que se eligió este método para resolver el sistema? b) Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado. Problema 2. Dos hermanos ganan juntos $ 7,500.00 al mes. ¿Cuánto gana cada quien si uno de ellos percibe $1,800.00 más que el otro? Sistema: a + b = 7500 b = a + 1800 Simplificación: a + b = 7500 a + (a + 1800) = 7500
2a + 1800 = 7500 2a = 7500 – 1800 2a = 5700 a = 5700 / 2 a = 2850 b = a + 1800 b = 2850 + 1800 b = 4650 a) ¿Qué método se utilizó al resolver este sistema de ecuaciones? b) ¿Por qué creen que se eligió este método? c) Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado. Problema 3: Un vendedor de frutas no recuerda el precio al que cobró las sandías y los melones; sólo sabe lo siguiente: Día Lunes
Venta Una sandía y cuatro melones; cobró $ 49.00 Una sandía y siete melones; cobró $ 73.00
Martes
Conclusión La sandía cuesta 49 menos el precio de cuatro melones La sandía cuesta 73 menos el precio de siete melones.
Según lo establecido en la tabla ¿Cuál es el precio de cada una de las frutas? Sistema: s = 49 – 4m s = 73 – 7m 49 – 4m = 73 – 7m -4m + 7m = 73 – 49 3m = 24 m = 24 / 3 m=8 s + 4m = 49 s + 4(8) = 49 s + 32 = 49 s = 49 – 32 s = 17 a) ¿Qué método se utilizó al resolver este sistema de ecuaciones? b) ¿Por qué creen que se eligió este método? c) Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado. Consideraciones previas: El maestro debe tener la certeza de que los alumnos trabajaron los métodos de sustitución, suma o resta e igualación en las clases anteriores de tal forma que puedan encontrar las ventajas de cada uno de ellos. En el momento de la confrontación, la discusión debe orientarse a reconocer las diferencias entre los métodos y la conveniencia de la selección de
uno de ellos según como queda formulado el sistema, para esto el profesor puede resolver alguno de los sistemas por otro u otros métodos y analizar junto con los alumnos las dificultades que surgen por no seleccionar el método idóneo. Así mismo hay que dejar claro que el fin de los tres métodos estudiados, diferentes al método gráfico, es simplificar el sistema a una sola ecuación con una incógnita, lo que facilita la resolución. Es importante que el docente haga uso del lenguaje matemático al explicar (coeficiente, incógnita, sistema, ecuación, etc.) de tal forma que el alumno vaya apropiándose de él. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil
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Plan de clase (7/7) Escuela: _________________________________________ Fecha: ________________ Profesor (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 8
Eje temático: SN y PA
Contenido: 8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen plantear y resolver un sistema de ecuaciones por cualquier método algebraico. Consigna: Organizados en equipos planteen un sistema de ecuaciones para cada uno de los problemas siguientes y resuélvanlos utilizando el método algebraico que consideren conveniente. 1. En la cooperativa escolar se vendieron 296 refrescos en total. Si los refrescos chicos vendidos fueron el triple de los medianos. ¿Cuántos se vendieron de cada uno? 2.
La suma de dos números es 72 y su diferencia es 48. ¿Cuáles son dichos números?
3. Patricia compró 10 estampillas de correos, unas de $3.00 y otras de $1.00. Si pago $18.00 en total, ¿cuantos pagó por cada una? 3. Al trabajar en un restaurante, Pedro ganó $37.00 más que Juan, pero si a lo que ganó Juan se le restan $23.00, la cantidad que se obtiene es $ 734.00. ¿Cuanto le corresponde a cada uno? Consideraciones previas: Probablemente los alumnos tengan dificultad para elegir el método más adecuado para la resolución y la idea es que lo resuelvan por el método de su preferencia. Se sugiere al profesor que aproveche la puesta en común para que los equipos argumenten el por qué eligieron ese método, de tal manera, que nuevamente los alumnos puedan valorar los distintos métodos utilizados. Además el profesor deberá propiciar que sean los mismos alumnos quienes validen los métodos más directos de acuerdo a los problemas planteados. Para consolidar lo aprendido se pueden plantear problemas como los siguientes: a) El perímetro del primer triangulo es 21 y el del segundo 23 ¿Cuánto valen “x” y “y”?
y
x+2 x
y
y-x 2x
b) En un rectángulo, el doble del largo menos el triple del ancho es 8 cm y el triple del largo más el doble del ancho es 25cm. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?
c) Dentro de cinco años, mi abuelito tendrá el cuádruplo de mi edad. Hace cinco años tenía siete veces mi edad. ¿Qué edad tenemos él y yo? Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil
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