C2 multipl exr alg

Multiplicación de expresiones algebraicas Multiplicación de monomios y polinomios Clase 1/8 En equipo, resuelvan el siguiente problema: Analicen la siguiente figura; luego respondan lo que se pide: 12 4 2x a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el largo del rectángulo blanco? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa su perímetro? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa su área? d) ¿Cuál es el perímetro y el área de la parte sombreada?

1

Clase 2/8 Se está armando una plataforma con piezas de madera como las siguientes: x x

x

4

Plataforma De acuerdo con las dimensiones que se indican en los modelos: a) ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma? d) Si x es igual a 50 cm, ¿cuál es el perímetro y área de la plataforma?

Ejercicios.

Resuelvan los siguientes ejercicios: (13 x)(12 y ) = 6m(15m + 3n) =

4a (7b − 2a ) = −2 x 2 y 3 (3 x 2 y + 5 x − 6 y + 2) =

( 10r t )  − 15rt + 25t − 35r − 101 ÷ = 2

2

a) (3x + 1)(7x) = b) (8z2)(3z3 + 2z) = c) (5xy4)(6xy + 4x3y – 7xy3) = d) (7xv3 + 8x3v – 7v)(8v4) =

e) (3ax + 9ay – 5a4z)(2a) = f) (5x2 + 9x + 7)(3x3) = g) (9m2n)(4m + 3n – 5m3n) = h) (0.2a2b)(0.1ab2 + 10a2) =

i)

1 2 2  1x  1   − ÷ ax − a x − 12 ÷ = 3  3  2 

 1 2 3 yz 2 1  + ÷( −8 yz ) = j)  y z − 4 8 4

3

Multiplicación de expresiones algebraicas Divisiones de un polinomio entre un monomio Clase 3/8 Resuelvan el siguiente problema. ¿Cuánto mide el largo del siguiente rectángulo?

3a

A = 6a2 + 15a

?

Resuelve los siguientes ejercicios: 18a 2 + 6ab = 3a

64 x 2 y −12 xy = 2 xy

4

(35h3 t2 - 28h2 t3 – 14h2 t2)÷ (7ht)=

a)

c)

e)

( −5a b

3 2

40m3 n 2 − 20m 2 n3 = 20m 2 n 2 5 z 2t − 6 zt 2 + 7 zt = −8 zt

b)

8r 5 − 12r 4 + 16r 3 = 4r 2

6 4 3 2 2 d) ( 10 x − 8 x + 6 x − 4 x ) ÷ ( −2 x ) =

− 9a 2b3 + 11a 2b 2 ) ÷ ( −7 ab ) =

5

Multiplicaci贸n de expresiones algebraicas Regla para calcular el cuadrado de la suma de dos n煤meros.

Clase 4/8.

Con las siguientes figuras (Fig. A, Fig. B y Fig. C) se pueden formar cuadrados cada vez m谩s grandes, ve por ejemplo el cuadrado 1, el cuadrado 2 y el cuadrado 3. Con base en esta informaci贸n completen la tabla que aparece enseguida. Trabajen en equipos.

Fig. A

Fig. B 1

1

Fig. C 1

x

x x

6

Cuadrado 1

Cuadrado 3

7

Núm. de cuadrado

Medida de un lado

Perímetro

Área

1

x+1

4(x+1)= 4x + 4

(x+1)2 =(x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1

4(x+ 2)= 4x + 8

2

4(x+3)=

3

4(x+4)=

4

4(x+5)=

5

4(x+6)=

6 a

(x+2)2 =(x+2) (x+2)=x2+2x+2x+4=x2+4x+4

x+a

4(x+a)=

(x + a)2 = (x + a)(x + a) =

Para calcular el área de cada cuadrado, en todos los casos se elevó al cuadrado una suma de dos números y en todos los casos el resultado final, después de simplificar términos semejantes, son tres términos.

Cuando se eleva al cuadrado un binomio el resultado final son tres términos, de los cuales: El primero es el primer término del binomio, elevado al cuadrado El segundo es el producto de los dos términos del binomio, multiplicado por dos El tercero es el segundo término del binomio, elevado al cuadrado.

Esta expresión que resulta de elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.

8

Multiplicación de expresiones algebraicas Cuadrado de la suma de dos números.

Clase 4/8. Ejercicios.

Resuelve los siguientes ejercicios: a)

( a + b)

b)

( x + 1)

c)

( r + 0.1)

2

2

= = 2

=

2

 x y d)  − + ÷ =  2 3

e)

( − m + 3)

2

=

2

1  f)  −h + ÷ = 2  2

1  g)  a + ÷ = 10  

9

Multiplicación de expresiones algebraicas Regla para calcular el cuadrado de la diferencia de dos números.

Clase 5/8 De un cuadrado cuyo lado mide x, (Fig. A), se recortan algunas partes y queda un cuadrado más pequeño, como se muestra en la figura B. Fig. B Fig. A 5

x

x x

x

5

1. ¿Cuál es la expresión que representa la medida de cada uno de los lados de la figura sombreada B? 2. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la Fig. B?

Resolver : a) (x - 1)2 = b) (2x – y)2 = c) (-x- 3y)2= d) (z3 - 7)2 = e) (x - 6)(x -6 ) = 10

f) (x2 – 2)2= g) (x – 0.5)2= 2

1  h)  2m − ÷ = 4 

i) (1996)2 = (2000 – 4)2 =

(

)(

) – 2(

(

)( ) +

)( ) =

11

Multiplicación de expresiones algebraicas Factorización de trinomios cuadrados perfectos Clase 6/8 La figura A está dividida en cuatro partes, un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos iguales. Si el área de la figura completa es x2 +16x+64, Fig. A

1. ¿Cuánto mide un lado de la figura completa? ______________ 2. ¿Cuánto mide un lado del cuadrado grande?____________ 3. ¿Cuánto mide un lado del cuadrado chico?____________ 4. Anoten dentro de la figura el área de cada parte.

La expresión x2 +16x+64 es un trinomio cuadrado perfecto. Escríbanlo como un producto de dos factores y como un binomio al cuadrado: x2 +16x+64 = (

+

)(

+

)=(

+

)2

El cuadrado de un binomio (a + b)2 da como resultado un trinomio cuadrado perfecto (a 2 + 2ab + b2) Y un trinomio cuadrado perfecto (a2 + 2ab + b2) se puede expresar como el cuadrado de un binomio (a + b)2 o como el producto de dos factores iguales (a + b) (a + b). A este último proceso se le llama factorización.

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto 12

a2 + 2ab + b2 = (a + b) (a + b). a2 – 2ab + b2 = (a – b) (a – b)

Multiplicación de expresiones algebraicas Factorización de trinomios cuadrados perfectos Clase 6/8 Ejercicios. a) x 2 + 6 x + 9 = ( ____ + ____ ) = ( ____ + ____ ) ( ____ + ____ ) 2

b) 4m 2 + 25n 2 + 20mn = ( ____ + ____ ) = ( ____ + ____ ) ( ____ + ____ ) 2

c)

( ____ + n ) = m

d)

( 3a − 2b )

e)

( ___ − 2 y )

2

2

2

+ 2mn + n 2 = ( ____ + ____ ) ( ____ + ____ )

= 9a 2 − 12ab + ____ = ( ____ − ____ ) ( ____ − ____ )

2

= 4 x 4 − 4 x 2 y + ____ = ( ____ − ____ ) ( ____ − ____ )

f) 4 x 2 + 12 x + 9 = ( ___ + ___ ) = ( ____ + ____ ) ( ____ + ____ ) 2

g) −6r 4t 2 + 9r 8 + t 4 = ( ___ − ___ ) = ( ____ − ____ ) ( ____ − ____ ) 2

13

h) 4 z 2 + 9 − 12 z = ( ___ − ___ ) = 2

i)

j)

25a 4 + 30a 2b + 9b 2 = ( ___ + ___ )

2

49n 4 − 112n 2 m + 64m 2 = ( ___ − ___ ) = ( ____ − ____ ) ( ____ − ____ ) 2

k)

( 6 y + ___ )

l)

x4 +

2

= 36 y 2 + 1.2 y + 0.01

1 1 2 2 − x = ( ___ − ___ ) 16 2

m) 3052 = (300+ 5)2 = (

)(

=

) + 2(

+

)(

)+(

+

)(

)=

=

14

Multiplicación de expresiones algebraicas Diferencia de cuadrados y producto de dos binomios conjugados.

Clase 7/8 En equipos resuelvan el siguiente problema: Fig. 1 Fig. 2

y x

x

y

De un cuadrado de lado x, se corta un cuadrado más pequeño de lado y, como se muestra en la figura 1. Después, con las partes que quedan de la figura 1, se forma el rectángulo de la figura 2.

Con base en esta información contesten: a) ¿Cuál es el área de la ________________________

figura

1,

después

de

cortar

el

cuadrado

pequeño?

b) Anoten las medidas del rectángulo de la figura 2 Largo:___________ ancho:_____________ c) Expresen el área de la figura 2.

A=_______________

d) Escriban al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos cuadrados, por ejemplo, x2 – y2, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces, en este caso, (x+y)(x-y).______ ______________________________________________________________

15

Resuelve los siguientes ejercicios: a) (3m + 2n)(3m - 2n) = b) (4xy – 2x)(4xy + 2x) = c) a2 – b2 = d) x2 – 4n2 = e) ____ – 16y2 = ( ___ + 4y )(5x - ____ ) f) x2 – 400 = g) 25x2 – 64 = h) (101)(99) = (100 + 1) (100 – 1) =

16

Multiplicación de expresiones algebraicas Factorización de un trinomio de la forma x2+(a+b)x + ab, como el producto de dos binomios con un término común.

Clase 8/8 En equipo, resuelvan el siguiente problema: Con las figuras A, B, C y D se formó un rectángulo (Fig. E). Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica. a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido?

Base:_________ altura:_____________ b) ¿Cuál es el área del rectángulo formado? __________________ Fig. A

7

5

Fig. B

Fig. C

5

x

Fig. D

x

x 7

x

Fig. E

c) Si el área de un rectángulo similar al de la figura E, es x 2+8x+15, ¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo?

Base:_______________ altura:________________ d) Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x 2+8x+15 e) Escriban una regla para determinar los dos binomios a partir de un trinomio que no es cuadrado perfecto. ___________________________________ _____________________________________________________________ Completa de manera que se cumpla la igualdad en cada caso: a) m² – 3m – 10 = (m -5 )(m + ___ ) b) c² + 7c + 12 = (c + ___ )(c + ___ ) c) x² - 22x + 120 = ( ___ - ___ )(x - 12) d) x² + 11x + 18 = (

)(

)

17

e) (4x2 +2y)( 4x2 – 2y)=

Multiplicación de expresiones algebraicas Factorización de un trinomio de la forma x2+(a+b)x + ab, como el producto de dos binomios con un término común.

Clase 8/8.Ejercicios.

Factoriza los siguientes trinomios. a) x 2 + 4 − 5 x = b) x 2 + 8 x + 15 = c) x 2 − 5 x − 36 = d) x 2 + x − 30 =

e) x 2 + 10 − 7 x = f) −7 + y 2 − 6 y = g) 12t + 20 + t 2 = h) m 2 + 15m + 50 = i) z 2 − 6 + 5 z =

j) r 2 + r − 24 = k) −t − 72 + t 2 = l)

z2 − 7 − 2 =

m) a 2 + 16 − 8a =

18