Probabilidad teórica (1/3) 1. En el lanzamiento de una moneda al aire: a. ¿Qué es más probable, que se obtenga sol o águila? b. ¿Con qué fracción puedes representar la probabilidad de obtener águila? c. ¿Con qué fracción puedes representar la probabilidad de obtener sol? 2. En el lanzamiento de un dado al aire: a. ¿Qué es más probable, que se obtenga 1 o 4? ___________________________ b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1? _______________________ c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4? _______________________ d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor a 4? ________________ e. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cualquier número del dado? ____________ 3. En el lanzamiento simultáneo de una moneda y un dado al aire: a. Anota el total de resultados posibles. b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila y el número 3?. Anota los resultados favorables. c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener sol y un número par? Anota los resultados favorables.
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4. En el lanzamiento simultáneo de dos dados al aire. Anota cada uno de los resultados posibles:
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números impares? Anota los resultados favorables.
b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y uno impar? Anota los resultados favorables.
Consideraciones previas: El verdadero reto de los problemas de este plan es que los alumnos expresen numéricamente la probabilidad teórica de diferentes eventos. Para el problema 1, se espera que los alumnos puedan advertir que sol y águila tiene la misma probabilidad de obtenerse, ya que son los únicos posibles resultados y están en igualdad de circunstancias. Para expresar la probabilidad de obtener águila, es posible 1 y discutir 2 1 ampliamente el significado de dicha expresión, si a nadie se le ocurre escribir el 2
que escriban la mitad o 1 de 2, será importante verificar si algunos utilizan
profesor puede proponerlo y analizar junto con los alumnos el significado de sus elementos, el 2 es el total de resultados posibles (espacio muestral) y el 1 los resultados favorables. En el problema 2, a diferencia del 1, es que el número de resultados posibles del experimento es mayor, hay 6 posibles resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6). A partir del tercer problema, una tarea fundamental, nada simple, es que los alumnos traten de determinar el total de los resultados posibles de cada experimento e identificar 2
los casos favorables, para lograrlo se pueden utilizar diversas herramientas como un diagrama de árbol o una tabla de doble entrada, si a los alumnos no se les ocurre utilizar estos recursos, el profesor puede sugerirlos. Por ejemplo, en el problema 4 pueden utilizar una tabla como la siguiente, la cual permite apreciar el espacio muestral del lanzamiento de dos dados y a partir de él identificar los casos favorables de cada evento.
Dado 2
Posibles resultados de lanzar dos dados Dado 1 1 2 3 4 5 6 1 1,1 3,1 5,1 2 3 1,3 3,3 5,3 4 5 1,5 3,5 5,5 6
La tabla sólo contiene los resultados de obtener dos números impares, así, de los 36 posibles resultados, 9 son favorables, por lo tanto, la probabilidad de obtener dos números impares es
9 1 o bien . 36 4
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Relación entre la probabilidad teórica y la frecuencial (2/3) 1. El juego de los volados consiste en lanzar una moneda al aire y predecir el resultado (águila o sol). ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila? ______________ ¿Y de que caiga sol? ____________________________ 2. Ahora en parejas lancen 20 veces una moneda y registren sus resultados en la siguiente tabla.
a) ¿Cuántas águilas cayeron? ______________________ b) Escriban el cociente del número de águilas entre el total de volados. _____________ c) ¿Qué relación observan entre el cociente que escribieron y la probabilidad de caer águila que obtuvieron sin hacer el volado en la actividad 1? ________________
3. Tracen una tabla para registrar los resultados de todas las parejas del grupo. Escriban también los resultados en la siguiente tabla.
a) ¿Cuántas águilas cayeron en total? __________________ b) Escriban el cociente del número de águilas entre el total de volados. _________ c) ¿Qué relación observan entre el cociente que obtuvieron en pareja y en el grupo, respecto a la probabilidad que escribieron en la actividad 1 sin hacer el volado? _________________________________________________________ d) Si lanzaran la moneda 1 000 veces, ¿cuántas veces creen que se obtenga águila? ________ ¿Por qué? _________________________________________________
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Consideraciones previas: Para realizar las actividades de la consigna hay que prever que cada pareja cuente con una moneda. En la actividad 1 se trata de que los alumnos encuentren la probabilidad teórica de obtener águila en un volado. Los resultados posibles de un volado son dos (águila y sol) y la probabilidad de obtener águila es 1 de 2, lo cual también puede escribirse como 1/2. En la actividad 2 se trata de obtener la probabilidad frecuencial de que caiga águila al lanzar 20 veces la moneda; es decir, echar 20 volados y ver cuántas veces cayó águila. La probabilidad frecuencial puede escribirse como el cociente del número de veces que cayó águila entre 20, por ejemplo, si caen 8 águilas, la probabilidad frecuencial se escribe con 8/20. Además de obtener la probabilidad frecuencial, en la pregunta c se pretende que los alumnos comparen ambas y que adviertan, aunque de manera incipiente, en este momento, cierto acercamiento de la probabilidad frecuencial respecto a la teórica. La actividad tres es muy semejante a la anterior, con la importante diferencia de que ahora se contabilizan los resultados de todas las parejas del grupo. Resulta evidente que la probabilidad frecuencial sea más cercana a la probabilidad teórica y que los alumnos puedan advertir que en la medida en que aumentan los experimentos, la probabilidad frecuencial cada vez se aproxima más a la teórica. Así la respuesta a la pregunta d tendría que ser un número muy cercano a 500. Como puede advertirse, el resultado utilizado en todas las actividades fue águila; de modo que una pregunta interesante, si es que no la plantean los alumnos, sería: ¿qué sucede con la probabilidad frecuencial de obtener sol?, ¿es la misma que en el caso del águila? Dado que la probabilidad teórica de obtener águila o sol es la misma (1/2), sus probabilidades frecuenciales tienen el mismo comportamiento: cada vez más se aproximarán a 1/2 conforme se repita un mayor número de veces el experimento.
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Probabilidad teórica y la frecuencial de un evento con experimento con seis posibles resultados 1. El equipo formado por Daniela, Verónica, Lulú, Manuel, Rodrigo y Luis ganó un balón en un concurso. Para seleccionar al alumno que se llevará el balón, se propuso que cada quien elegiría un número y luego se lanzaría 60 veces el dado; el alumno que haya seleccionado el número que haya salido más veces, sería el ganador. a) ¿Quién tiene más posibilidades de ganar, Rodrigo o Verónica? ____________ ¿Por qué? ____________________________________________________ b) ¿Cuál es la probabilidad de que Daniela resulte ganadora? ______________ ¿Por qué? ____________________________________________________ 2. Ahora realicen el experimento para obtener un posible ganador. Tiren un dado 60 veces y registren sus resultados en la siguiente tabla de frecuencias.
a) De acuerdo con los resultados de su experimento, ¿quién ganaría el balón? _______________ ¿Cuál es la probabilidad de que Manuel se lleve el balón? __________________ b) Si el experimento se repitiera 600 veces, ¿a qué valor se aproximaría la probabilidad frecuencial de que resulte ganador Manuel? _____________________
Consideraciones previas: Para llevar a cabo las actividades de la consigna hay que prever que cada equipo cuente con un dado. A diferencia del plan anterior, en este experimento hay 6 posibles resultados en tanto que en el otro eran únicamente 2. Se trata de comprobar que la probabilidad frecuencial de un evento se aproxima cada vez más a la probabilidad teórica siempre y cuando se realice más veces el experimento. 6
Para el primer problema, en donde se trata de predecir lo que ocurrirá en 60 lanzamientos de un dado, el único referente que tienen los niños es la probabilidad teórica; es decir, que cada uno de los 6 posibles resultados tiene 1 de 6 o 1/6 de probabilidad de aparecer. Por lo anterior, todos tienen la misma probabilidad de ganar, así que la probabilidad frecuencial puede ser cualquier cociente x /60, el cual será cercano a 1/6. Una vez que realicen el experimento 60 veces, se espera que puedan identificar que las probabilidades frecuenciales de cada resultado se aproximan a 1/6 y que concluyan que en 600 lanzamientos se acercarán aún más.
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