Universidad Politécnica Salesiana
Antes de la clase Guía de desarrollo para la casa Tema: Rectas y Planos el espacio Nombre: Anshelo Fabricio Guamán Aldaz.
Conceptos
Curso: 4101.
Recta Recuerda que debes revisar en casa: Rectas y planos en el espacio Ya que viste el recurso en casa, contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Cuántas formas existen para expresar la ecuación de la recta en el espacio? Lista las formas de expresar la recta. Ecuación vectorial: (x,y,z)= (Xo,Yo,Zo) + t(d1,d2,d3). Ecuaciones paramétricas:
X= xo + td1
Y= yo + td2
Z= zo + td3
Ecuaciones de forma continua:
X-Xo = Y-Yo = Z -Zo
Una recta se compone por un vector dirección y un punto perteneciente a la recta. Plano Un plano se compone por un vector normal al plano y un punto perteneciente al plano.
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2. Escribe las tres formas de expresar la ecuación de la recta que contiene el punto P = (3, 4, 0) y es paralelo al vector director v = (3, 4, 0).
Ecuación vectorial: (x, y, z)= (Xo,Yo,Zo) + t(d1,d2,d3). (x, y, z)= (3,4,0) + t(3,4,0) Ecuaciones paramétricas:
X= xo + td1
X= 3 + 3t
Y= yo + td2
Y= 4 + 4t
Z= zo + td3
Z= 0 + 0t
Ecuaciones de forma continúa:
X-3/3 = Y-4/4 , z = 0
3. Al cambiar la dirección del vector director del ejercicio anterior, ¿Existe algún cambio en la ecuación de la recta? No, solo cambia el sentido del vector. 4. ¿Cuál es el proceso para pasar de la ecuación paramétrica a la ecuación continua (o simétrica) de la recta? El proceso para pasar de una ecuación paramétrica a continua es el siguiente: Debemos despejar t de la ecuación paramétrica y luego igualamos los resultados al despejar t. T=T=T. 5. La relación entre el plano y el vector normal al plano, ¿Qué significa que sea normal? Es un vector de un espacio de producto escalar que contiene tanto a la entidad geométrica como al vector normal, que tiene la propiedad de ser ortogonal a todos los vectores tangentes a la entidad geométrica.
6. Recta: Ejercicios a. Plantee la ecuación de la recta, en sus diversas formas, de los siguientes ejercicios: i.
Contiene a (1, 21, 1) y (21, 1, 21) A= (1, 21, 1)
B = (21, 1, 21)
AB = (21, 1, 21) - (1, 21, 1)
AB = (20, -20, 20)
Ecuación vectorial: (x,y,z)= (Xo,Yo,Zo) + t(d1,d2,d3). (x,y,z)= (1,21,1) + t(20,-20,20). Ecuaciones paramétricas: • X= xo + td1
X= 1 + 20t
• Y= yo + td2
Y= 21 - 20t
• Z= zo + td3
Z= 1+ 20t
Ecuaciones de forma continúa: • X-Xo = Y-Yo = Z –Zo X – 1/20 = y – 21/-20 = z – 1/20
ii. Contiene a (21, 26, 2) y es paralela al vector v = 4i + j - 3k Ecuación vectorial: (x,y,z)= (Xo,Yo,Zo) + t(d1,d2,d3). (x,y,z)= (21,26,2) + t(4,1,-3) Ecuaciones paramétricas: X= xo + td1
X= 21 + 4t
Y= yo + td2
Y= 26 + t
Z= zo + td3
Z= 2 - 3t
Ecuaciones de forma continua: X-Xo = Y-Yo = Z –Zo
x – 21/4 = y – 26 = z – 2/-3
7. Plano: Ejercicios a. Obtenga la ecuaciĂłn de la recta en sus diversas formas para los ejercicios planteados. i.
P = (5, -5, 0) y n = 4j – 3k
ii. P = (0, 1, -2) y n = 3i - 2j + k
iii. Contiene a (1, 0, 24), (3, 4, 0) y (0, 22, 1)
b. Identifique sí los planos son paralelos. i.
π1: x + y + z = 2; π2: 2x + 2y + 2z = 4
Calculemos ángulo entre planos x+y+z-2=0y 2x + 2y + 2z - 4 = 0
cos α = cos α =
|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| √ A12 + B12 + C12 √ A22 + B22 + C22 |1·2 + 1·2 + 1·2| √ 12 + 12 + 12 √ 22 + 22 + 22 |2 + 2 + 2|
=
=
6
√1+1+1 √4+4+4
=
√ 3 √ 12
=
6 =
√ 36
= 1 Si obtengo el coseno inverso de 1 el ángulo es cero.
ii. π1: 2x - y - z = 2; π2: x - 2y - 9z = 4
Calculemos ángulo entre planos 2x - y - z - 2 = 0 y x - 2y - 9z - 4 = 0
cos α = cos α =
|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| √ A12 + B12 + C12 √ A22 + B22 + C22 |2·1 + (-1)·(-2) + (-1)·(-9)| √ 22 + (-1)2 + (-1)2 √ 12 + (-2)2 + (-9)2 |2 + 2 + 9|
=
√ 4 + 1 + 1 √ 1 + 4 + 81 13
=
√ 516
=
13 =
√ 6 √ 86
=
= 13√ 129 258 ≈ 0.57229
Si obtengo el coseno in verso de 0.57229 el ángulo seria 55.24
Preguntas para el profesor Escribe 3 preguntas relacionadas a “Aula o clase invertida” para hacerla en la próxima clase.
Porque un plano se relaciona con un vector normal. Porque una recta se relaciona con un vector paralelo. Cuál es la diferencia y semejanza entre plano y recta.