CAPITULO I Segmentos dirigidos Hemos asociado a cada segmento de recta un número positivo, su longitud o medida. Pero, cuando se requiere compara entre sí varios segmentos de una misma recta conviene asociarle números positivos o negativos de acuerdo a una convención que fijaremos. Sobre la recta X' X elegimos un sentido, que será el sentido positivo, por ejemplo el sentido X' X señalado en la figura por la flecha.
→
Al segmento arbitrario AB hacemos corresponder al número que mide su longitud, precedido del signo + si ese segmento está dirigido en el sentido positivo, o del – si está dirigido en el sentido opuesto. Es de señalar que el signo del segmento depende esencialmente del orden según el cual se enuncian sus extremos; se tiene: →
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AB = − BA La anterior convención permite escribir algunas relaciones independientemente de la disposición de los puntos que intervienen. Si, por ejemplo, A, B, C son tres puntos colineales, BC es igual a la suma o la diferencia de AB y AC , según el orden en que se suceden los tres puntos. Cuando se evalúan los segmentos en magnitud y en signo, esas diferentes relaciones se remplazan por una sola →
→
→
(1) AB + BC + CA = 0 , la cual se verifica cualquiera sea la disposición de los puntos. En
efecto, si recorremos la recta
en el sentido
según el orden A, B, C, luego los segmentos →
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positivo,
encontramos los puntos
AB, AC, BC son positivos y se tiene
→
AC = AB + BC , o sea la relación (1). Pero la relación no cambia al permutar dos puntos, por ejemplo B y C →
→
teniendo
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AC + CB + BA = 0 , que es la misma relación (1), la cual es válida si el orden de los puntos es A, C, B.
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Por otra parte, es conocido que siguiendo una serie de permutaciones sucesivas se puede cambiar arbitrariamente el orden de los puntos y luego la fórmula (1) es válida en general. Todavía más, en el caso de 5 puntos A, B, C, D, E de la recta X' X , →
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AB + BC + CD + DE + EA = 0 (∗) En efecto la relación está demostrada para tres puntos. Por consiguiente basta con demostrar que si es válida para un número arbitrario de n puntos, lo es asimismo para n +1. Supongamos que la relación es válida para 4 puntos →
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AB + BC + CD + DA = 0 Para, los puntos A, D, E se tiene →
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AD + DE + EA = 0 →
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Al sumar ambas fórmulas, AD + DA = 0, y se tiene la igualdad dada (∗) . Démonos un punto fijo O en X' X . Fijaremos entonces un punto arbitrario A por medio →
del segmento OA , en magnitud y signo, que se denomina la abscisa del punto A, con referencia al origen O . Evidentemente el conocimiento de la abscisa de A, en magnitud y signo, determina la posición del punto A. Si los puntos A y B están dados por sus abscisas referidas al mismo origen, la distancia AB está dada por: AB = OB − OA , que es la relación equivalente a AB + BC + CA = 0 . Si C yace sobre la recta AB, la razón
CA es negativa para C entre A y B, y es positiva CB
para C exterior al segmento AB . Por consiguiente solo existe un punto que divide a un segmento según una proporción dada en magnitud y signo. Si C y D son conjugados armónicos con respecto al segmento AB, las CA DA y son iguales y de signo contrario. razones CB DB
Sea O punto medio del segmento CD cuyos extremos son conjugados armónicos con respecto al segmento AB , se tiene OC 2 = OA • OB .
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En efecto, A, B, C, D están determinados por sus abscisas referidas al origen O , entonces CA DA la identidad =− se escribe: CB DB CA DA AO + OC AO − OC = = = − CB DB CO + OB CO − OB Si hacemos la suma de los dos últimos numeradores y la suma de los dos últimos denominadores, tendremos una razón igual a las anteriores y otra al formar la diferencia entre estos mismos términos, observando además que OD = −OC : −
CA DA 2OC 2OA = = = . CB DB 2OB 2OC
Tenemos pues demostrado lo siguiente Teorema.- La mitad de un segmento de recta es media proporcional entre las distancias del punto medio del segmento a los puntos de lo dividen armónicamente. OC OA Además, el valor común de las razones , es igual al valor de las razones OB OC CA DA . − , CB DB Reciproco.- Si a partir del punto medio O del segmento CD se lleva en el mismo sentido las longitudes OA, OB cuya media proporcional es la mitad del segmento, A y B dividen armónicamente al segmento dado CD.
En efecto, de la proporción −
OC OA AO + OC AO − OC = resulta la identidad = es decir OB OC CO + OB CO − OB
CA DA = (pues OD = −OC ). CB DB
Corolario.- Si dos segmentos son conjugados armónicos, el círculo cuyo diámetro es el primero, cortan ortogonalmente a todo círculo que pasa por los extremos del segundo segmento.
En efecto, el radio del primero al cuadrado es igual a la potencia de su centro con respecto al segundo. Recíprocamente, si dos círculos son ortogonales todo diámetro del uno es divido armónicamente por el otro.
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Consideramos que dos rectas paralelas están igualmente orientadas. Merced a esta convención diremos que la razón entre los segmentos BC y DE interceptados por un mismo ángulo sobre dos secantes paralelas es igual en magnitud y signo a la razón de los segmentos AB, AD que estas paralelas interceptan sobre los lados del ángulo.
Autor: Profesor Dr. Don Wilfred Reyes S.
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