2.1
GEOMETRÍA DE LAS FUNCIONES CON VALORES REALES
Iniciamos nuestra investigación de funciones con valores reales desarrollando métodos para visualizarlas. Introduciremos en particular, los conceptos de grafica, curva de nivel y superficie de nivel de dichas funciones. Sea f una función cuyo dominio sea un subconjunto E de V 8 y cuya imagen esté contenida en V 7 . Con esto queremos decir que a cada x œ aB"ßÞÞÞßB8 b − E , 0 asigna un valor 0 axb, una m-ada en V 7 . Dichas funciones 0 se llaman funciones con valores vectoriales si 7 ", y funciones con valores escalares si 7 œ ". Por ejemplo, la función $Î# con valores escalares 0 aBß Cß D b œ aB# C# D # b manda al conjunto E de aBß Cß D b Á a!ß !ß !b en V $ (8 œ $ en este caso) a V (7 œ "). Para denotar 0 solemos escribir $Î# 0 À aBß Cß D b È aB# C# D # b Nótese que en V $ solemos usar la notación aBß Cß D b en lugar de aB" ß B# ß B$ b. En general, la notación x È 0 axb es útil para indicar el valor al cual se manda un punto x − V 8 . Escribimos 0 À E § V 8 Ä V 7 para expresar que E es el dominio de 0 (en V 8 ) y que la imagen está contenida en V 7 . También usamos la expresión 0 manda E dentro de V 7 Þ Dichas funciones 0 se llaman funciones de varias variables si E § V 8 , 8 ". Como otro ejemplo, tomemos la función con valores vectoriales 1 À V ' Ä V # definida por la regla 1axb œ 1aB" ß B# ß B$ ß B% ß B& ß B' b œ ˆB" B# B$ B% B& B' ß ÈB#" B#' ‰Þ La primera coordenada del valor de 1 en x es el producto de las coordenadas de x. Las funciones de V 8 a V 7 no son sólo abstracciones matemáticas, sino que surgen de manera natural en problemas estudiados en todas las ciencias. Por ejemplo, para especificar la temperatura X en una región E del espacio se requiere una función X À E § V $ Ä V (8 œ $, 7 œ "); así X aBß Cß D b es la temperatura en el punto aBß Cß D b. Para especificar la velocidad de un fluido moviéndose en el espacio se requiere una asociación Z À V % Ä V $ , donde Z X aBß Cß Dß >b es el vector velocidad del fluido en el punto aBß Cß D b del espacio en el tiempo > (ver la figura 2.1.1). Para especificar la tasa de reacción de una solución que consta de seis reactores químicos E, F , G , H, I y J en proporciones B, C, D , A, ? y @, se requiere una asociación 5 À Y § V ' Ä V , donde 5aBß Cß Dß Aß ?ß @b da la tasa cuando los químicos están en las proporciones indicadas. Para especificar el vector cardiaco (el vector que indica la magnitud y dirección del flujo de la corriente eléctrica en el corazón) en el tiempo >, se requiere una asociación c À V Ä V $ ß > È - a>b.
Figura 2.1.1 Un fluido en movimiento define un campo vectorial Z al especificar la velocidad de las partículas del fluido en cada punto en espacio y tiempo. Cuando 0 À Y § V 8 Ä V , decimos que 0 es una función de 8 variables, con dominio Y y valores reales. La razón por la que decimos "8 variables" es simplemente que consideramos las coordenadas de un punto x œ aB"ßÞÞÞßB8 b − Y como 8 variables, y 0 axb œ 0 aB"ßÞÞÞßB8 b depende de estas variables. Decimos con "valores reales" porque 0 aB"ßÞÞÞßB8 b es un número real. Buena parte de nuestro estudio será acerca de funciones con valores reales, por lo que les daremos atención especial. Para 0 À Y § V Ä V , (8 œ "), la gráfica de 0 es el subconjunto de V # que consta de los puntos aBß 0 aBbb en el piano, para B en Y . Este subconjunto se puede pensar como una curva en V # . Esto se escribe simbólicamente, como gráfica 0 œ ÖaBß 0 aBbb − V # lB − Y ×, donde las llaves significan "el conjunto de todos" y la barra vertical significa "tal que". Trazar la gráfica de una función de una variable es un recurso útil para visualizar el comportamiento real de una función. (Ver la figura 2.1.2.) Sera conveniente generalizar la idea de gráfica de una función a funciones de varias variables. Esto conduce a la siguiente definicón: DEFINICIÓN Sea 0 À Y § V 8 Ä V . Definimos la gráfica de 0 como el subconjunto de V 8" que consta de todos los puntos aB"ßÞÞÞßB8 ß 0 aB"ßÞÞÞßB8 bb en V 8" para aB"ßÞÞÞßB8 b en Y . En símbolos: gráfica 0 œ ÖaB"ßÞÞÞßB8 ß 0 aB"ßÞÞÞßB8 bb − V 8" laB"ßÞÞÞßB8 b − Y ×
Para el caso 8 œ "ß la gráfica es una curva en V # , mientras que para 8 œ # es una superficie en V $ (ver la figura 2.1.2). Para 8 œ $ es difícil visualizar la gráfica, pues como vivimos en un mundo tridimensional, nos es difícil imaginar conjuntos en V % . Para superar este obstáculo, introducimos la idea de conjunto de nivel.
Figura 2.1.2 variables.
Gráficas de (a) una función de una variable y (b) una función de dos
Supongamos que 0 aBß Cß D b œ B# C# D # . Un conjunto de nivel es un subconjunto de V $ en donde 0 es constante; por ejemplo, el conjunto donde B# C# D # œ " es un conjunto de nivel para 0 . A este si lo podemos visualizar: es una esfera de radio " en V $ . El comportamiento o estructura de una función está determinada en parte por la forma de sus conjuntos de nivel; en consecuencia, entender estos conjuntos nos ayuda a entender la función en cuestión. Los conjuntos de nivel también son útiles para entender funciones, de dos variables 0 aBß Cb, en cuyo caso hablaremos de curves de nivel.
Figura 2.1.3 Los contornos de nivel de una función se definen de la misma manera que las líneas de contorno en un mapa topográfico. La idea es análoga a la usada para preparar mapas de contornos, donde se trazan líneas para representar altitudes constantes; caminar a lo largo de dicha línea
significará caminar en una curva de nivel. En el caso de una colina sobre el piano BC, una gráfica de todas las curvas de nivel nos da una buena idea de la función 2aBß Cb, que representa la altura de la colina en los puntos aBß Cb (ver la figura 2.1.3). DEFINICIÓN Sea 0 À Y § V 8 Ä V y sea - − V . Entonces el conjunto de nivel del valor - se define como aquellos puntos x − Y para los cuales 0 axb œ - . Si 8 œ #, hablamos de una curva de nivel (de valor - ); y si 8 œ $ß hablamos de una superficie de nivel. En símbolos, el conjunto de nivel de valor - se escribe {x − Y l0 axb œ - } § V 8 . Nótese que el conjunto de nivel siempre esta en el espacio dominio.
EJEMPLO 1 La función constante 0 À V # Ä Vß aBß Cb È #, esto es, la función 0 aBß Cb œ #, tiene como gráfica el plano horizontal D œ # en V $ . La curva de nivel del valor - es vacía si - Á #, y es todo el plano BC si - œ #.
EJEMPLO 2 La función 0 À V # Ä Vß aBß Cb È B C # tiene como gráfica el plano inclinado D œ B C #. Este plano interseca el plano BC (D œ !) en la recta C œ B # y el eje D en el punto a!ß !ß #b. Para cualquier valor - − V, la curva de nivel del valor - es la recta C œ B Ð- #Ñ; o, en símbolos, el conjunto P- œ {aBß CblC œ D Ð- #Ñ} § V # Exhibimos unas cuantas curvas de nivel de la funcion en la figura 2.1.4. Se trata, en realidad, de un mapa de contorno de la funcion 0 .
Figura 2.1.4 Las curvas de nivel de 0 aBß Cb œ B C # muestran el comportamiento de esta función.
Figura 2.1.5 Relación de las curvas de nivel en la figura 2.1.4, con la gráfica de la función 0 aBß Cb œ B C #, la cual es el plano D œ B C #. A partir de las curvas de nivel rotuladas con el valor o "altura" de la función, se puede inferir la gráfica de la función elevando mentalmente cada curva de nivel a la altura apropiada, sin estirarla, inclinarla o deslizarla. Si se contemplara este procedimiento para todas las curvas de nivel P- , esto es, para todos los valores - − V ,
juntas conformarían toda la gráfica de 0 , como se indico en la figura 2.1.5 para el ejemplo 2. Si se visualiza la gráfica solo para un número finito de curvas de nivel, como suele ser el caso, se produce una especie de modelo de contorno, como en la figura 2.1.4. Sin embargo, si 0 es una función suave, su gráfica será una superficie suave; entonces, al suavizar mentalmente el modelo de contorno se obtiene una buena idea de la gráfica.
EJEMPLO 3 Describir la 0 À V # Ä Vß aBß Cb È B# C# .
gráfica
de
la
función
cuadrática
SOLUCIÓN La gráfica es el paraboloide de revolución D œ B# C# , orientado hacia arriba desde el origen y alrededor del eje D . La curva de nivel del valor - es vacía para - !; para - ! la curva de nivel de valor - es el conjunto {aBß CblB# C# œ - }, un círculo de radio È- con centro en el origen. Así, al elevarlo a la altura - sobre el plano BC, el conjunto de nivel es un círculo de radio 0 , que indica una forma parabólica (ver las figuras 2.1.6 y 2.1.7). Es posible determinar el aspecto de una gráfica mediante el método de las secciones. Una sección de la gráfica de 0 es la intersección de la gráfica con un plano (vertical). Por ejemplo, si T" es el plano BD en V $ , definido por C œ !, entonces la sección de 0 en el ejemplo $ es el conjunto T" gráfica 0 œ {aBß Cß D blC œ !ß D œ B# },
Figura 2.1.6
Algunas curvas de nivel para la funcion 0 aBß Cb œ B# C# .
Figura 2.1.7
Las curvas de nivel de la figura 2.1.6 elevadas hasta la gráfica.
Figura 2.1.8
Dos secciones de la gráfica de 0 aBß Cb œ B# C# .
el cual es una parábola en el plano BD . De manera análoga, si T# denota al plano CD , definido por B œ !, entonces la sección T# gráfica 0 œ {aBß Cß D blB œ !ß D œ C# } es una parábola en el plano CD (ver la figura 2.1.8). Usualmente, es útil calcular al menos una sección para complementar la información dada por los conjuntos de nivel.
EJEMPLO 4 La gráfica de la función cuadrática 0 À V # Ä Vß aBß Cb È B# C# se llama paraboloide hiperbólico o silla de montar, con centro en el origen. Esbozar la gráfica. SOLUCIÓN Para visualizar esta superficie trazamos primero las curvas de nivel. Para determinar las curvas de nivel, resolvemos la ecuación B# C# œ - . Consideremos los valores - œ !ß „ "ß „ %. Para - œ !, tenemos C# œ B# , o C œ „ B, de manera que este conjunto de nivel está formado por dos rectas que pasan por el origen. Para - œ ", la curva de nivel es B# C# œ ", o C œ „ ÈB# ", que
Figura 2.1.9 Curvas de nivel para la función 0 aBß Cb œ B# C# . es una hipérbola que cruza verticalmente el eje B en los puntos a „ "ß !b (ver la figura 2.1.9Ñ .De manera análoga, para - œ %, la curva de nivel está definida por C œ „ ÈB# %, la hipérbola cruza verticalmente el eje B en a „ #ß !b. Para - œ ", obtenemos la curva B# C# œ ", esto es, B œ „ ÈC# ", la hipérbola cruza horizontalmente el eje C en a!ß „ "b. Y para - œ %, se obtiene la hipérbola que pasa por a!ß „ #b. Se muestran estas curvas en la figura 2.1.9. Como no es fácil visualizar la gráfica de 0 a partir solo de estos datos, calcularemos dos secciones, como lo hicimos en el ejemplo anterior. Para la sección en el plano BD , tenemos
T" gráfica 0 œ {aBß Cß D blC œ !ß D œ B# }ß que es una parábola abriéndose hacia arriba; y para el plano CD , T# gráfica 0 œ {aBß Cß D blB œ !ß D œ C# }ß que es una parábola abriéndose hacia abajo. Ahora se puede visualizar la gráfica elevando las curvas de nivel a la altura apropiada y suavizando la superficie resultante. Su colocación se facilita al calcular las secciones parabólicas. Este procedimiento genera la silla de montar hiperbólica mostrada en la figura 2.1.10. Comparar esto con las gráficas generadas por computadora en la figura 2.1.11 (nótese que se ha cambiado la orientación de los ejes).
Figura 2.1.10 Algunas curvas de nivel en la grafica de 0 aBß Cb œ B# C# .
Figura 2.1.11 (a) Gráfica generada por computadora, de D œ B# C# . (b) Esta gráfica con las curvas de nivel elevadas.
EJEMPLO 5
Describir la gráfica de la función 0 À V $ Ä Vß aBß Cß D b È B# C# D # .
SOLUCIÓN Este es el equivalente tridimensional del ejemplo $. En este contexto, los conjuntos de nivel son superficies en el dominio tridimensional V $ . La gráfica, en V % , no
se puede visualizar directamente; sin embargo se pueden calcular de manera analítica las secciones.
Figura 2.1.12 Algunas superficies de nivel para 0 aBß Cß D b œ B# C# D # . El conjunto de nivel con valor - es el conjunto P- œ {aBß Cß D blB# C# D # œ - }ß el cual es una esfera con centro en el origen y radio È- para - !, es un solo punto en el origen para - œ !, y es vacio para - !. En la figura 2.1.12 se muestran los conjuntos de nivel para - œ !ß "ß % y *. Se obtiene mayor información acerca de la gráfica al calcular una sección. Por ejemplo, si escribimos WDœ! œ {aBß Cß Dß >blD œ !}, entonces podemos ver la sección WDœ! gráfica 0 œ {aBß Cß Dß >bl> œ B# C# ß D œ !}Þ Como aquí D se mantiene fija en D œ !, podemos visualizar esta sección de la gráfica como una superficie en V $ , en las variables Bß C y > (figura 2.1.13). La superficie es un paraboloide de revolución.
Figura 2.1.13 La sección D œ ! de la gráfica de 0 aBß Cß D b œ B# C# D # . EJEMPLO 6 Describir la gráfica de la función 0 À V $ Ä V definida por # 0 aBß Cß D b œ B C# D # , que es el símil tridimensional del ejemplo %, y también se conoce como silla de montar.
SOLUCIÓN
Las superficies de nivel están definidas por P- œ {aBß Cß D blB# C# D # œ - }Þ
Para - œ !, se trata del cono D œ „ ÈB# C# con centro en el eje D . Para - negativa, digamos - œ +# , obtenemos D œ „ ÈB# C# +# , que es un hiperboloide de dos hojas alrededor del eje D , que atraviesa el eje D en los puntos a!ß !ß „ +b. Para positivo, digamos - œ ,# , la superficie de nivel es el hiperboloide de revolución de una hoja alrededor del eje D definido por D œ „ ÈB# C# ,# , el cual interseca el plano BC en el círculo de radio l,l. Estas superficies de nivel se esbozan en la figura 2.1.14. Se puede obtener otra vista de la gráfica a partir de una sección. Por ejemplo, el subespacio WCœ! œ {aBß Cß Dß >blC œ !} interseca la gráfica en la sección WCœ! gráfica 0 œ {aBß Cß Dß >blC œ !ß > œ B# D # }ß esto es, el conjunto de puntos de la forma aBß !ß Dß B# D # b, que puede considerarse, como en el ejemplo anterior, una superficie en el espacio BD> (ver la i figura 2.1.15).
Figura 2.1.14 Algunas superficies de nivel de la función 0 aBß Cß D b œ B# C# D # .
Figura 2.1.15 La sección C œ ! de la gráfica de 0 aBß Cß D b œ B# C# D # .
Hemos visto como se pueden usar los métodos de secciones y conjuntos de nivel para entender el comportamiento de una función y su gráfica; estas técnicas pueden ser de bastante utilidad para personas que deseen visualizar ampliamente datos complicados. Existen muchos programas de computadora que pueden trazar una función dada. Para funciones de una variable, se trata solo de calcular ciertos valores de la función y localizar los puntos. Para funciones de dos variables se usa el método de las secciones. Por ejemplo, para trazar 0 aBß Cb, la computadora selecciona secciones paralelas a los ejes, asignando valores, digamos a C y trazando la gráfica correspondiente, después cambiando y y repitiendo el proceso. Así se puede barrer una buena parte de la gráfica.